「演習 電気磁気学 新装版」

サンプルページ

この本の定価・判型などは，以下の URL からご覧いただけます．

http://www.morikita.co.jp/books/mid/071132

※このサンプルページの内容は，新装版 1刷発行時のものです．

i

新装版にあたって

基礎電気・電子工学シリーズ「電気磁気学」の姉妹書として「演習 電気磁気学」が出版されて以来，幸いにも好評を得て増刷を重ねてきた．このたび，「電気磁気学［第2版］」が新装版として発刊されることにともない，「演習 電気磁気学」もここに新たな装丁で，「演習 電気磁気学［新装版］」として発刊されることになった．この機会に，新装版では「電気磁気学［第 2版・新装版］」と同様，2色刷りなどによって，章・節の標題および例題などのレイアウトが変更され，全体的に見やすく，わかりやすくなっている．さらに，本文ばかりではなく，図についても 2色刷りによって，場や力などがより直感的にわかりやすくなるように工夫されている．そのことで，電気磁気学の問題に対する考え方や解き方がより理解しやすくなると思っている．その他，このたびの新装版では，加筆，修正に加え，新 JIS（日本工業規格）に基づき，電気抵抗および抵抗器の記号の変更や，また，従来用いられていたリットルの単位記号を，現在の高校の教科書等で使用されている単位記号に改めている．最後に，新装版の出版に際してご尽力いただいた森北出版（株）の石田昇司氏，藤原祐介氏に深く感謝する．2014年 8月

著者らしるす

ii

まえがき

著者らは先に基礎電気・電子工学シリーズ 1「電気磁気学」をあらわした．この書では，何よりも“入門書として，わかりやすい”ことを念頭において書いたつもりである．幸いにもこの趣旨が大方に認められ，これまで増刷を重ねることができたことは著者らにとって大きな喜びである．電気磁気学をより深く理解し，それによって応用力を身につけるためには，演習問

題を実際にできるだけ数多く解いてみることがきわめて有効である．これまで，本シリーズにおいても適切な演習書の出版の要求が多く寄せられていたことを受け，今回，非才を省みず，ここに姉妹書として「演習 電気磁気学」を執筆した．本書の章ならびに節の構成は，基礎電気・電子工学シリーズ 1「電気磁気学」に沿っ

ている．各節では，はじめに，節の標題についての要点を短くまとめ，つぎに 2，3の例題を示して理解を深められるように努めた．もしも，これらの内容について理解が不十分と思われる場合には，姉妹書の「電気磁気学」にもどってさらに学習を深めていただきたい．各節の終わりには，これだけはぜひ解いていただきたい基本的なやさしい問題からなる「基礎問題」を掲げている．また，各章の終わりには，総合力と応用力を養うための「応用問題」を配した．これらの問題の解答をまとめて巻末に示してあるが，これはあくまで一つの解答例と考えている．読者にあっては，まずは自分の力で考えて解答を試みた後に，巻末の解答を参照されるようぜひお願いしたい．終わりに，本書の執筆をお薦めいただいた故 西巻正郎先生，関口利男先生，ならび

に出版にあたってお世話いただいた森北出版株式会社の関係各位に，厚く御礼申し上げる次第である．2000年 1月

著者らしるす

iii

目 次

第 1章 電 荷 1

1.1 電 荷 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1

1.2 クーロンの法則 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1

1.3 静電誘導 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3

応用問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3

第 2章 真空中の静電界 5

2.1 電界と電気力線 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5

2.2 電位差と電位 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6

2.3 等電位面と電位の傾き · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8

2.4 ガウスの法則 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9

2.5 帯電導体の電荷分布と電界 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11

2.6 静電界の計算 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14

応用問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16

第 3章 導体系と静電容量 19

3.1 導体系 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 19

3.2 静電しゃへい · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 20

3.3 静電容量 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 20

3.4 コンデンサの接続 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 22

3.5 静電界におけるエネルギーと力 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 25

応用問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 27

iv 目 次

第 4章 誘電体 28

4.1 誘電体と比誘電率 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 28

4.2 誘電体の分極 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 29

4.3 誘電体中のガウスの法則 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 30

4.4 誘電体境界面での境界条件 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 32

4.5 誘電体中に蓄えられるエネルギーと力 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 34

応用問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 36

第 5章 定常電流 39

5.1 電 流 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 39

5.2 オームの法則と抵抗 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 40

5.3 ジュールの法則 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 41

5.4 電源と起電力 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 42

5.5 定常電流界 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 43

応用問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 45

第 6章 真空中の静磁界 46

6.1 磁 界 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 46

6.2 電流による磁界と磁束 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 48

6.3 ビオ サバールの法則 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 49

6.4 アンペアの周回積分の法則 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 53

6.5 電磁力 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 56

応用問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 59

第 7章 磁性体 62

7.1 物質の磁気的性質 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 62

7.2 磁化の強さと磁化電流 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 62

7.3 磁界の強さと透磁率 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 63

7.4 磁気回路 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 65

7.5 強磁性体の磁化 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 66

目 次 v

7.6 磁石と磁極 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 69

応用問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 70

第 8章 電磁誘導 71

8.1 ファラデーの法則 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 71

8.2 物体の運動による起電力 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 73

8.3 渦電流と表皮効果 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 74

応用問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 75

第 9章 インダクタンス 77

9.1 自己および相互インダクタンス · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 77

9.2 コイルの接続 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 78

9.3 磁界のエネルギーと力 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 79

9.4 インダクタンスの計算 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 80

応用問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 83

第 10章 電磁波 84

10.1 変位電流 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 84

10.2 マクスウェルの方程式 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 85

10.3 電磁波 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 86

10.4 平面電磁波 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 88

10.5 ポインチングベクトル · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 89

応用問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 90

演習問題解答 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 92

参考文献 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 167

索 引 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 168

1

第

章1 電 荷

電 荷1.1

電気の作用を起こす源を電荷といい，物体に電荷が現れることを帯電するという．電荷の担い手は電子と陽子であり，それぞれ負と正で大きさが等しく，その値は

e� 1.60× 10−19 C

で与えられる．これを電気素量あるいは素電荷という．

例題 1.1 電子が何個集まれば 1 —Cの負電荷が得られるか．解答電子の電荷は −1.60× 10−19 Cであるから，

−10−6

−1.60× 10−19= 6.25× 1012 個

したがって，約 6× 1012 個の電荷が必要．

基礎問題1.1 帯電した水滴が −10−16 Cの電荷をもっているとき，水滴には何個の過剰な電子があ

るか．

クーロンの法則1.2

真空中に二つの電荷Q1，Q2 [C]が，たがいに点電荷とみなせるほど離れた距離r [m]に位置するとき，両電荷の間にはつぎのような力がはたらく．これをクーロンの法則という．

F =Q1Q2

4πε0r2� 9× 109

Q1Q2

r2[N] (1.1)

ここで，力 F は二つの電荷に対して外向き，すなわち，たがいに反発する方向

2 第 1章 電 荷

を正にとるものとする．式 (1.1)の力をクーロン力，あるいは静電力という．また，ε0 は真空の誘電率で，ε0 � 8.85× 10−12 F/mである．

例題 1.2 真空中にQ1 = 2 —C，Q2 = 1 —Cの電荷があり，電荷間の距離を 50 cmとするとき，電荷間にはたらくクーロン力を求めよ．解答

F = 9× 109 × 2× 10−6 × 10−6

0.52= 0.072 N

したがって，クーロン力は 0.072 Nの反発力である．

例題 1.3 1辺が a [m]の正三角形の各頂点にQ [C]の点電荷がある．各点電荷にはたらくクーロン力を求めよ．解答図 1.1のように，正三角形の頂点Aの電荷には

たらく力 FAは，頂点Bに置かれた電荷Qとの間にはたらく力 FAB と，頂点 Cに置かれた電荷Q

との間にはたらく力 FACを，それらの方向と大きさを考え，ベクトル的に合成することによって求められる．力の大きさはつぎのようになる．

図 1.1

FAB = FAC =Q2

4πε0a2

FA = 2FAB cos 30◦ =√3FAB

=

√3Q2

4πε0a2[N]

頂点 B，Cの電荷にはたらく力 FB，FC も同様にして求めることができる．力の大きさは FAと同じで，FB，FCの力の向きは，図のようにそれぞれ対辺CA，ABに垂直である．

基礎問題1.2 水素原子は陽子と電子からなり，水素原子の大きさは 0.5 A程度である．陽子と電子

の平均距離を 0.5 Aとしたとき，陽子と電子の間に仮にクーロン力がはたらくとしたら，その大きさはいくらか．ただし，Aはオングストロームとよばれ，1 A = 10−10 m

である．1.3 等量の 2個の点電荷が，ある間隔で置かれているときのクーロン力の大きさが 0.054 N

であった．間隔が 4倍になったとき，同じ大きさのクーロン力となるためには，等量の 2個の点電荷の電気量はもとの電気量の何倍にすればよいか．

応用問題 3

静電誘導1.3

正に帯電したガラス棒を帯電していない金属の導体に近づけると，金属導体中の自由電子がガラス棒に近い端の近くに集まる．また，集まった分だけ導体の他端近くの自由電子が少なくなって正に帯電し，正負の電荷が図 1.2のように導体に現れる．このような現象を静電誘導という．ここで，導体の両端に現れた正負の電荷を誘導電荷という．

図 1.2 静電誘導

例題 1.4 Qg [C]に帯電したガラス棒を，図 1.2のように導体に近づけた状態とガラス棒を近づける前の状態で，帯電したガラス棒と金属導体電荷の系において電荷の保存則を確かめよ．解答まず，帯電したガラス棒を近づける前の状態では，金属導体は中性状態で帯電していないので電荷はゼロで，ガラス棒のみ電荷があり，電荷の総量はQg である．つぎに，ガラス棒を近づけた状態では，電荷の総量はQg +Q+ (−Q) =Qg である．どちらの状態でも電荷の総量は同じで，電荷の総量は保存されている．

基礎問題1.4 図 1.2に示されている金属導体の前に絶縁された導体板を置いて，正に帯電したガラ

ス棒を近づけたとき，金属導体および導体板にはどのような誘導電荷が現れるか．

応用問題1.1 電子と陽子が 1 Aだけ離れているとき，両者間のクーロン力と万有引力を求めよ．また，

クーロン力は万有引力の何倍か．ただし，電子の電荷は−1.60× 10−19 C，その質量は9.11× 10−31 kgであり，万有引力定数は 6.67× 10−11 N ·m2 · kg−2である．また，陽子の質量は電子の質量の約 1840倍である．

1.2 図 1.3に示すように，3個の正の点電荷Q1，Q，Q2 [C]が間隔 a [m]および 2a [m]で一直線上に並んでいるとき，点電荷Qにはたらく力がゼロとなった．Q1 とQ2 の関係

4 第 1章 電 荷

図 1.3

を求めよ．1.3 1辺の長さが a [m]の正三角形の頂点にQ [C]の同じ点電荷がある場合，正三角形の重

心Oにどのような点電荷を置いたときに各頂点の電荷にはたらく力はゼロとなるか．1.4 帯電したまったく同じ二つの金属小球が，50 cm離れてたがいに 0.288 Nの力で引き

合っている．非常に細い導線で二つの小球を接続すると電荷は移動し，その後，0.036 N

の力で反発した．小球の最初の電荷はいくらか．1.5 それぞれの質量がm [kg]の 2個の金属小球が，同じ長さの重さが無視できる軽い絶縁糸

で同一の点からつるされている．接触している小球に電荷を与えたところ，小球は d [m]

離れて静止した．おのおのの金属小球がもつ電荷の大きさをQ [C]としたとき，糸の鉛直方向となす角 θはいくらか．

1.6 応用問題 1.5において，糸の鉛直方向とのなす角 θが小さい場合，角 θは金属小球に与えられた電荷の大きさQの 2乗に比例することを示せ．

46

第

章6 真空中の静磁界

磁 界6.1

電流が流れると，その周りには磁気を生じる．これを電流の磁気作用とよぶ．磁石による磁気もまた，磁石を構成する電子の運動がもとになっている．このように磁石と磁石，磁石と電流，電流と電流など，相互に磁気的な作用の行われる力の場（空間）を磁場あるいは磁界という．図 6.1に示すように，磁界B中を電荷 qが速度 vで運動するとき，電荷 qには

たらく力 F

F = qvB sin θ [N] (6.1)

によって磁界の強さ B を測ることができる．力 F の方向は，q > 0であるとき，図 6.1に示すように v と B の方向のそれぞれに垂直で，かつ v の方向から B の方向へ右ねじを回したとき，右ねじが進む方向を向く．式 (6.1)の力をローレンツ力という．ここで，B は磁界の強さを表す量で，磁

束密度とよばれる．磁束密度の単位にはテスラ [T]が用いられる．

図 6.1 磁界中を運動する電荷にはたらく力

例題 6.1 電子が一様な磁界の中に垂直に入射したとき，磁界中で電子は円運動をする．磁界の磁束密度の向きに対し，円運動の回転の向きはどのようになるか．また，正の電荷の場合にはどのようになるか．

6.1 磁 界 47

解答図 6.2に示すように，質量mの電子にはたらく遠心力とローレンツ力 F がつり合い，円運動（サイクロトロン運動）をする．電子の場合，電荷は負であるから，図に示すように磁束密度 B の向きに対して右回りとなる．正電荷の場合には逆に左回りとなる．

図 6.2 電子のサイクロトロン運動

例題 6.2 速度 106 m/sの電子が磁束密度 10−4 Tの一様な磁界の中に垂直に入射したとき，電子にはたらく力を求めよ．また，図 6.2に示した円運動の半径（ラーマー半径）と電子のサイクロトロン周波数はいくらか．解答電子にはたらく力 F はつぎのように求まる．

F = evB = 1.60× 10−19 × 106 × 10−4 = 1.6× 10−17 N

ラーマー半径を r [m]とすると，電子にはたらく遠心力とローレンツ力 F がつり合い，次式の関係が得られる．

evB =mv2

r

よって，ラーマー半径 rはつぎのように求まる．

r =mv

eB=

9.11× 10−31 × 106

1.60× 10−19 × 10−4= 0.0569 m= 5.69 cm

電子が 1回転するのに要する時間，すなわち周期 T [s]は

T =2πr

v

であるので，サイクロトロン周波数 fc はつぎのように求まる．

fc =1

T=

v

2πr=

eB

2πm[Hz]

∴ fc =1.60× 10−19 × 10−4

2π × 9.11× 10−31= 2.80× 106 Hz = 2.80 MHz

例題 6.3 電子が一様な磁界の中に磁力線に対して斜めに入射したとき，電子はどのような運動をするか．解答図 6.3に示すように，磁力線のまわりをらせん運動する．また，このとき図に示した p

を，らせん運動のピッチという．

48 第 6章 真空中の静磁界

図 6.3 電子のらせん運動

基礎問題6.1 テレビカメラの電子銃の電子が，85 mTの磁界中で，7.2× 106 m/sの速度で動いて

いる．電子が受ける最大のローレンツ力はいくらか．また，そのときの電子の加速度はいくらか．

6.2 速度 106 m/sの電子が，磁束密度 4× 10−5 Tの地球磁場の磁界中で，磁力線に対して 60◦ の角度で斜めに入射したとき，つぎの量を求めよ．（ 1）電子のラーマー半径（ 2）電子のサイクロトロン周波数（ 3）ピッチ

電流による磁界と磁束6.2

導線に電流が流れると，そのまわりに電流を取り囲むように磁界が生じる．電流の方向と磁界の方向はたがいに右ねじの関係にある．すなわち，電流を右ねじの進む方向とすれば，磁界は回転方向になる．この関係をアンペアの右ねじの法則という．磁界の磁束密度 B の様子を示す指力線は磁束である．磁束密度は磁束 Φ に垂

直な単位面積あたりの磁束数であり，次式で表される．

B =ΔΦ

ΔS[T] (6.2)

磁束の単位はウェーバ [Wb]である．磁束の特徴として，磁束は途中で切れたりすることはなく，いたるところで連続である．電束の発生消滅の源である電荷に相当した磁荷は実在しないので，磁束は発生したり消滅したりすることはなく，常に環状の閉じた線となる．任意の閉曲面 S 上の磁束密度 B について，次式が成り立つ．∮

S

Bn dS = 0 (6.3)

ここで，Bnは面積 dSに対する磁束密度Bの外向き法線成分である．式 (6.3)は，

92 演習問題解答

演習問題解答

第 1章■基礎問題

1.1 過剰な電子の数は，−10−16

−1.60× 10−19= 625個

となる．

1.2 F = 9× 109 × (1.60× 10−19)2

(0.5× 10−10)2= 9.22× 10−8 N

1.3 クーロン力は距離の 2乗に反比例するので，間隔が 4倍になると力は 1/16になる．また，クーロン力は 2個の電荷の大きさの積に比例するので，それぞれの電荷の大きさを

√16倍，すなわち，もとの 4倍にすればよい．

1.4 解図 1.1に示すように，導体板には静電誘導によってガラス棒に近いほうに負の誘導電荷，遠いほうに正の誘導電荷が現れる．また，金属導体には，導体板の正の誘導電荷によってさらに静電誘導が起こり，解図のような誘導電荷が現れる．

解図 1.1

■応用問題

1.1 クーロン力と万有引力の大きさをそれぞれ Fc，Fu とすると，つぎのように求まる．

Fc = 9× 109 × (1.60× 10−19)2

(10−10)2= 2.30× 10−8 N

Fu = 6.67× 10−11 × (9.11× 10−31)2 × 1840

(10−10)2= 1.02× 10−47 N

演習問題解答 93

FcFu

=2.30× 10−8

1.02× 10−47= 2.25× 1039 倍

1.2 Qに対して右のほうにはたらく力を正とすると，Qにはたらく力 F はつぎのように求まる．

F =Q1Q

4πε0a2− Q2Q

4πε0(2a)2= 0

∴ Q2 = 4Q1

あるいは，つぎのようにして簡単に考えることができる．すなわち，クーロン力はそれぞれの電荷の大きさに比例し，電荷間の距離の 2乗に反比例するので，Q2とQの距離はQ1とQの距離の 2倍であるから，距離が 2倍になっているほうの電荷の大きさが4倍になればよい．

1.3 解図 1.2に示すように，正三角形ABCの点Aの点電荷にはたらく力は，点B，Cにある点電荷からの力をそれぞれ FB，FC とすると，

FB = FC =Q2

4πε0a2

となる．したがって，点Aの点電荷にはたらく合力 F はつぎのようになる．

F = 2FB cos 30◦ =√3Q2

4πε0a2

一方，重心Oに点電荷 qを置いたとき，点Aの電荷Qにはたらく吸引力 F ′ は

解図 1.2

F ′ =− qQ

4πε0(a/√3 )2

となる．よって，F = F ′ より q =−Q/√3 [C]と求まる．

ほかの点 B，Cの点電荷についても，対称性からまったく同様である．1.4 小球の最初の電荷をそれぞれ q1 [C]と q2 [C]とする．最初の状態の吸引力の大きさは，

つぎのように求まる．

9× 109 × q1q20.52

=−0.288

∴ q1q2 =−8× 10−12

つぎに，導線で接続すると全体の電荷は q1 + q2となり，おのおのの小球には (q1 + q2)/2

の電荷が分離し，反発する．そのときの反発力の大きさは，つぎのように求まる．

9× 109 ×

(q1 + q22

)2

0.52= 0.036

∴ q1 + q2 =±2× 10−6 C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

94 演習問題解答

上の q1q2 と q1 + q2 との両式より，q1 = 4 —C，q2 = −2 —C，あるいは q1 = 2 —C，q2 =−4 —Cとなる．

1.5 解図 1.3に示すように，絶縁糸の張力を T とすると，張力の水平成分 T sin θがクーロン力 F と，また，鉛直成分 T cos θが重力 FGとつり合った状態で金属小球は静止する．したがって，角θはつぎのようにして求まる．

解図 1.3

T sin θ = F =Q2

4πε0d2, T cos θ = FG =mg

∴ tan θ =Q2

4πε0mgd2

∴ θ = tan−1

(Q2

4πε0mgd2

)[rad]

1.6 角 θが小さいときは tan θ� θと近似できるので，

θ� Q2

4πε0mgd2[rad]

となり，角度 θは電荷の大きさの 2乗に比例する．

第 2章■基礎問題

2.1 クーロン力 F = qE より，つぎのように求まる．

E =F

q=

2.36× 10−5

0.12× 10−6= 197 V/m

2.2 電子は負の電荷をもっているので，それにはたらく静電力は電界の向きと逆である．したがって，電気力線は点 P2 から点 P1 へ向かっている．

2.3 電荷が置かれていないほかの頂点を，解図 2.1に示すように P1，P2，P3 として，それぞれの頂点の電界の大きさを E1，E2，E3 とする．

E1 =E3 =Q

4πεa2[V/m]

E2 =Q

4πε(√2a)2

=Q

8πε0a2[V/m]

電界は，解図に示した矢印で表される．ただし，E2の矢印の大きさは，E1，E3 の半分である．

解図 2.1

2.4 移動するのに要した仕事をW とすると，W = eV から，電位差 V は

V =W

e=

2.16× 10−17

1.60× 10−19= 135 V

となる．また，電界の大きさ E はつぎのように求まる．

著 者 略 歴大貫 繁雄（おおぬき・しげお）1947年 神奈川県に生まれる1970年 山梨大学工学部卒業1972年 山梨大学大学院工学研究科修士課程修了1972年 東北大学工学部助手1983年 工学博士（東北大学）1983年 東京工業高等専門学校助教授1997年 東京工業高等専門学校教授2011年 東京工業高等専門学校名誉教授，現在に至る

安達 三郎（あだち・さぶろう）1930年 山形県に生まれる1953年 東北大学工学部通信工学科卒業1958年 東北大学大学院工学研究科博士課程修了（工学博士）1958年 東北大学工学部助手1961年 東北大学工学部助教授1970年 東北大学工学部教授1994年 東北大学名誉教授

東北工業大学教授1998年 東北工業大学客員教授2002年 退職，現在に至る

編集担当 藤原祐介（森北出版）編集責任 石田昇司（森北出版）組 版 プレイン印 刷 丸井工文社製 本 同

演習 電気磁気学（新装版） c© 大貫繁雄・安達三郎 2014

2000年 4 月20日 第 1 版第 1 刷発行 【本書の無断転載を禁ず】2012年 8 月 6 日 第 1 版第 7 刷発行2014年 9 月29日 新装版第 1 刷発行

著 者 大貫繁雄・安達三郎発 行 者 森北博巳発 行 所 森北出版株式会社

東京都千代田区富士見 1-4-11（〒102-0071）電話 03-3265-8341／FAX 03-3264-8709

http://www.morikita.co.jp/

日本書籍出版協会・自然科学書協会 会員＜（社）出版者著作権管理機構 委託出版物＞

落丁・乱丁本はお取替えいたします．

Printed in Japan／ISBN978-4-627-71132-7