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連立方程式 A−→x =−→b
「線形代数学」の 線形 とは
電通大数学：山田
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まとめ 連立方程式の解法 p.35, p.50
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2...
......
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm
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まとめ 連立方程式の解法 p.35, p.50
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2...
......
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm
係数行列、未知ベクトル、定数ベクトル
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.... . .
...
am1 am2 · · · amn
, −→x =
x1
x2
x3
...
...
xn
,
−→b =
b1
b2...
bm
を用いて A−→x =
−→b と表して考える
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まとめ 連立方程式の解法 p.35, p.50
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2...
......
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm
拡大係数行列 を行変形で簡約化して
[A
−→b]=
a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2...
. . ....
am1 am2 · · · amn bm
行変形
→ · · · −→
解 ⇑ 戻す
簡約行列
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⇑ 戻す ところ(1) 解が１つの場合
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
→
x = 1
y = 2
z = 3
(2) 解が存在しない場合 p.49 ∗ ∗ ∗
0 0 · · · 0 1
→ 解なし.
0x1 + 0x2 + · · · + 0xn = 1 は けして成り立たない.
（条件に含まれた矛盾）(3) 解がたくさんある場合 例で説明
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前に解いた 未知数は ５個解がたくさんある連立方程式： p.54 の連立方程式を参考に
x1 −x2 +3x3 +2x4 −3x5 = −1
−2x1 +2x2 −6x3 +x4 −4x5 = −8
x1 −x2 +3x3 −2x4 +5x5 = 7
3x1 −3x2 +9x3 +x4 +x5 = 7
↓
拡大 係数行列
1 −1 3 2 −3 | − 1
−2 2 −6 1 −4 | − 8
1 −1 3 −2 5 | 7
3 −3 9 1 1 | 7
→ · · ·
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行変形 → · · · →
1 −1 3 0 1 | 3
0 0 0 1 −2 | − 2
0 0 0 0 0 | 0
0 0 0 0 0 | 0
簡約化 rank = 2
ここからが問題！
式に戻す！定数を準備
x1 − x2 + 3x3 +x5 = 3
x4 − 2x5 = −2
？ とおく．ヒント：主成分 1 に対応して
x1 =, x4 = への式変形が簡単！
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式に戻す！定数を準備
x1 − x2 + 3x3 +x5 = 3
x4 − 2x5 = −2
x2 = a, x3 = b, x5 = c とおく. 解の自由度 ３
x1 = 3 + x2 − 3x3 − x5
= 3 + a − 3b − c
x4 = −2 + 2x5 = −2 + 2c
結論
x1
x2
x3
x4
x5
=
3
0
0
−2
0
+ a
1
1
0
0
0
+ b
−3
0
1
0
0
+ c
−1
0
0
2
1
（a, b, cは任意）
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解 x1
x2
x3
x4
x5
=
3
0
0
−2
0
+ a
1
1
0
0
0
+ b
−3
0
1
0
0
+ c
−1
0
0
2
1
の記述で （a, b, cは任意）
3
0
0
−2
0
,
4
1
0
−2
0
,
0
0
1
−2
0
, や
7
2
−1
0
1
などa = 0 1 0 2 b = 0 0 1 −1 c = 0 0 0 1
が解だとわかる．
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確認： この解法が標準！ p.55 の解と比べると...
思い出しておこう
定理： 連立方程式 と rank
連立方程式 A−→x =−→b について p.49
rank A ≦ rank[A b
]の下
解が存在 しない ⇔ rank A < rank[A b
] or する ⇔ rank A = rank
[A b
]解が存在するとき
解の自由度 =未知数の個数 − rank A
さっきの例では 3 = 5 − 2.
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A−→x =−→b と表す理由
再確認：解の様子
まず 解が１つだけの場合から
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連立方程式 A−→x =−→b について
A−→x =−→b の解が −→x = −→x0 ⇔ A−→x0 =
−→b
このとき
A−→x = c−→b の解は −→x = c−→x0
理由： A(c−→x0) = cA−→x0 = c−→b
等式の 右辺を c倍したら，左辺も c倍すれば等式になる． □
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連立方程式 A−→x =−→b について
A−→x =−→b1 の解が −→x = −→x1 ⇔ A−→x1 =
−→b1
A−→x =−→b2 の解が −→x = −→x2 ⇔ A−→x2 =
−→b2
このとき
A−→x =−→b1+
−→b2 の解は −→x = −→x1+
−→x2
理由： A(−→x1+−→x2) = A−→x1+A−→x2 =
−→b1+
−→b2
２つの等式を足す．分配法則も使う． □
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このことも指摘しておこう： 最も基本的な場合
未知数 n個，条件式も n個（同数）で解が１つ（⇔ rank A = n）自由度 0 の場合，
A−→x =−→b の解は −→x = A−1−→b
説明：両辺に 左から 逆行列A−1 をかけると
左辺 はA−1A−→x = E−→x = −→x 右辺 はA−1−→b □
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さらに応用して
A−→x =−→b1 の解が −→x = −→x1 ⇔ A−→x1 =
−→b1
A−→x =−→b2 の解が −→x = −→x2 ⇔ A−→x2 =
−→b2
A−→x =−→b3 の解が −→x = −→x3 ⇔ A−→x3 =
−→b3
このとき
A−→x = c1−→b1+c2
−→b2+c3
−→b3 の解は
−→x = c1−→x1+c2
−→x2+c3−→x3
理由は...
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理由：前の２つの組合せ． A−→x1 =−→b1
A−→x2 =−→b2
A−→x3 =−→b3
A(c1−→x1+c2
−→x2+c3−→x3) = Ac1
−→x1+Ac2−→x2+Ac3
−→x3
= c1A−→x1+c2A
−→x2+c3A−→x3
= c1−→b1+c2
−→b2+c3
−→b3 □
ここで一言．２つの演算
足し算+ と スカラー倍 の組合せに注目するのが 線形 代数 である．A−→x =
−→b という表示は，連立１次方程式の 線形性 と対応する
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集合
⟨−→a1,−→a2, · · · ,−→as⟩ =
{c1
−→a1 + c2−→a2 + · · · + cs
−→as | 各 ci ∈ R}
を「 −→a1,−→a2, · · · ,−→as の生成する空間 」という．
s = 1なら直線，s = 2なら平面，...
後日, 空間図形の話 詳しくは 線形第２で
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同次型 方程式 （A−→x =−→0）の解空間は
⟨−→a1,−→a2, · · · ,−→as⟩ sは 解の自由度
の形に表せる．
理由： A−→a1 =−→0 , A−→a2 =
−→0 , · · · , A−→as =
−→0 とすると
A(c1−→a1 + c2
−→a2 + · · · + cs−→as)
= Ac1−→a1 + Ac2
−→a2 + · · · + Acs−→as
= c1A−→a1 + c2A
−→a2 + · · · + csA−→as
= c1−→0 + c2
−→0 + · · · + cs
−→0
=−→0 □
名称： −→a1,−→a2, · · · ,−→as を（A−→x =
−→0 の）基本解 という (p.56)
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連立方程式の 解の様子解がたくさんある連立方程式の「解の様子」について．
プリント３
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“左辺が共通の” ３つの連立方程式 を比べてみる．
(1)
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 4z = 4
3x + 4y + 5z = 5
行列とベクトルを使って A−→x =−→b の形で表わすと
1 2 3
2 3 4
3 4 5
x
y
z
=
3
4
5
解は (1a)
x
y
z
=
−1
2
0
+ t
1
−2
1
（t は実数）
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“左辺が共通の” ３つの連立方程式 を比べてみる．
(2)
x + 2y + 3z = −3
2x + 3y + 4z = −6
3x + 4y + 5z = −9
行列とベクトルを使って A−→x =−→b の形で表わすと
1 2 3
2 3 4
3 4 5
x
y
z
=
−3
−6
−9
解は (2a)
x
y
z
=
−3
0
0
+ t
1
−2
1
（t は実数）
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“左辺が共通の” ３つの連立方程式 を比べてみる．
(0)
x + 2y + 3z = 0
2x + 3y + 4z = 0
3x + 4y + 5z = 0
同次化
行列とベクトルを使って A−→x =−→b の形で表わすと
1 2 3
2 3 4
3 4 5
x
y
z
=
0
0
0
解は (0a)
x
y
z
= t
1
−2
1
（t は実数）
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後半は共通になる． + t
1
−2
1
（t は実数）
左辺の同じ 連立方程式は，解をもつとき，右辺を変えても解の自由度 の部分（“任意の実数倍”のかかる部分）は共通になる．
実は，この部分 は 係数行列 A だけで定まり，右辺−→b には関係ない．
以下，それを考察する
連立方程式の解 とは...
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(1)
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 4z = 4
3x + 4y + 5z = 5
の解が (1a)
x
y
z
=
−1
2
0
+ t
1
−2
1
（t は実数）
もともと 連立方程式 (1) の解が (1a) である とは，
「(1a) のように表示できる３つの数 x, y, z は連立方程式 (1) をみたす．
逆に，方程式 (1) をみたす３つの数 x, y, z は すべて (1a) のように表示できる」
という意味．集合でいえば
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(1)
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 4z = 4
3x + 4y + 5z = 5
の解が (1a)
x
y
z
=
−1
2
0
+ t
1
−2
1
（t は実数）
つまり， 連立方程式 (1) の解が (1a) である とは，
x
y
z
∈ R3
∣∣∣∣∣∣∣∣連立方程式 (1)
=
−1
2
0
+ t
1
−2
1
∣∣∣∣∣∣∣∣ t ∈ R
ということ．この等式の両辺が（値やベクトルではなく）集合であること，等式も 集合として等しい という意味であることに注意.
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集合とは，元（要素）を集めたもの.
２つの集合 A,B が等しい ：A = B とはこれは
A ⊂ B かつ A ⊃ B
と同じ意味で
Aに属す任意の元（要素）はB にも属しなおかつ，逆に
B に属す任意の元（要素）はAにも属す記号で表すと
a ∈ A ⇒ a ∈ B かつ b ∈ B ⇒ b ∈ A
となる．
例： {１桁の素数 } = {2, 3, 5, 7}
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xyz空間で考えると
集合
−1
2
0
+ t
1
−2
1
∣∣∣∣∣∣∣ t ∈ R
は{−→p + t−→v
∣∣ t ∈ R}
直線のベクトル方程式の形
固定された −→p と t−→v の 方向 に分けて−1
2
0
+
⟨ 1
−2
1
⟩
つまり −→p + ⟨−→v ⟩と表すことがある．
(1), (2), (0)
の解の図 x
y
z
1
⟨
1
−2
1
⟩
=
t
1
−2
1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
t ∈ R
−1
2
0
−3
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集合
⟨−→a1,−→a2, · · · ,−→as⟩ =
{c1
−→a1 + c2−→a2 + · · · + cs
−→as | 各 ci ∈ R}
を「 −→a1,−→a2, · · · ,−→as の生成する空間 」という．
s = 1なら直線，s = 2なら平面，...
この集合（空間）が −→x0 だけ 丸ごと平行移動することを−→x0 + ⟨−→a1,
−→a2, · · · ,−→as⟩
と考えると便利．
−→
0
−→x0
ただし，試験などでは勝手な記号を使わないこと
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定理 A−→x =−→b に解が存在するとき，A−→x =
−→b の
解の集合
=
A−→x =−→b の
解の１つ −→x0
+
⟨A−→x =
−→0 の
解の集合
⟩
名称： この−→x0 を (A−→x =−→b の) 特殊解 という．
この定理は ぜひ理解してほしい→ 黒板へ
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ここで，特殊解 −→x0 は どの解でも良い．
例えば (1) の解 (1a) は
(1a2)
xyz
=
001
+ t
1
−2
1
（t は実数）
と表わしてもよい．なぜなら集合としては同じだから．(1a2) (1a)
001
+ t
1
−2
1
∣∣∣∣∣∣∣ t ∈ R
=
−1
2
0
+ t
1
−2
1
∣∣∣∣∣∣∣ t ∈ R
また，直線の 方向ベクトル は（0 以外の）定数倍をしてもよい．
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直線の図をもう一度見よう． 集合としては同じ 直線．
(1a2) (1a)001
+ t
1
−2
1
∣∣∣∣∣∣∣ t ∈ R
=
−1
2
0
+ t
1
−2
1
∣∣∣∣∣∣∣ t ∈ R
x
y
z
1
⟨
1
−2
1
⟩
=
t
1
−2
1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
t ∈ R
−1
2
0
−3
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・わかりやすい 解の表示 を心がけてほしい
(A)
3x + 1y + 2z = 5
4x + 2y + 3z = 7
5x + 3y + 4z = 9
の解は 普通に 解くと
x
y
z
=
3/2
1/2
0
+ t
−1/2
−1/2
1
だが，
(Aa)
xyz
=
101
+ t
1
1
−2
（t は実数）
の方が見やすいし，使い易いであろう．
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まとめ： 連立方程式 A−→x =−→b の解は，
その １つの解（特殊解）−→x0 と 同次化A−→x =
−→0 の 基本解 −→a1,
−→a2, · · · ,−→as
sが解の自由度を用いて
−→x = −→x0 + c1−→a1 + c2
−→a2 + · · · + cs−→as
（c1, · · · , cs は任意）の形で表わす．なるべくわかりやすい表示が良い．
「１次独立 p.53」「生成する」は線形代数（理論）の重要な概念・用語である．線形代数学第二 で本格的に学ぶ．覚悟！
ここまで