제8 장...
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신호 및 시스템0
제 8 장
z-변환과 디지털 시스템
신호 및 시스템1
8.1 z-변환
z-변환의 정의
이산신호 x[n]의 z-변환은 다음의 멱급수(power series)로 정의
혹은 로 표현
역으로 X(z)로 부터 x[n]을 구하는 과정을 z-역변환 이라고 한다.
수렴영역(Region of convergence : ROC)
X(z)가 유한한 값을 갖는 모든 z 값
(8.1)
)z(X]n[x Z
여기서, z는 복소변수
]}n[x{Z)z(X
신호 및 시스템2
8.1 z-변환
z-평면-평면
Im zIm zIm zIm zIm z}Im{z
zzzRe{ zz}z
212121212121
-평면z-평면2
1
Re{ zzzzz}z
Im zIm z}Im zIm zIm {zIm z
그림 8.1 [예제 8.3]의 X(z)와 수렴 영역
신호 및 시스템3
8.1 z-변환
z-변환의 수렴
복소변수 z를 극형식(polar form) 로 표현
수렴 영역에서 를 만족
jrez
n
njnrez
er]n[x)z(X j
n
n
n
njn
n
njn
r]n[xer]n[x
er]n[x)z(X
)z(X
(8.8)
의 절대값의 합이 수렴하면 도 유한한 값을 갖는다nr]n[x )z(X
신호 및 시스템4
8.1 z-변환
임의의 이산 신호 x[n]을 인과 신호(causal signal)과 반인과 신호(anticausal
signal)로 구분
식 (8.9) 를 식 (8.8)에 대입하여 정리
]1n[u]n[x]n[x]n[u]n[x]n[x
(8.9)
0nn
1n
n
1
n 0nn
n
r]n[xr]n[x
r]n[xr]n[x)z(X
(8.10)
신호 및 시스템5
8.1 z-변환
수렴영역 의
1n
nr]n[x 수렴영역 의
0nnr
]n[x
12 rrrX(z)
수렴영역 의
그림 8.2 X(z)의 수렴영역(ROC)과 대응하는
인과(causal), 반인과(anticausal) 부분의
수렴영역
신호 및 시스템6
8.1 z-변환
X(z)는
존재하지 않는다
|b|<|a|
X(z)의 수렴구역
|b|>|a|
그림 8.3 예제 8.4의 z-변환 수렴 영역
신호 및 시스템7
8.1 z-변환
유한 길이의 이산 신호
신호 및 시스템8
8.1 z-변환무한 길이의 이산 신호
그림 8.4 신호의 특성과 수렴 영역과의 관계
신호 및 시스템9
8.2 z-변환의 성질
선형성 (Linearity)
만약 와 라면,
시간 이동성 (Time shift)
만약 이면,
x[n]을 k만큼 시간 이동한 의 z-변환은
)z(X]n[x 1Z
1 )z(X]n[x 2Z
2
)z(Xa)z(Xa)z(X]n[xa]n[xa]n[x 2211Z
2211 (8.12)
)z(X]n[x Z
]kn[x
)z(Xz]kn[x kZ (8.15)
신호 및 시스템10
8.2 z-변환의 성질
z-영역에서의 척도 조절성 (Scaling Property)
만약 이면,
임의의 상수 a 에 대하여
z-영역에서의 미분
만약 이면,
21Z rzr:ROC)z(X]n[x
211Zn razra:ROC)za(X]n[xa
(8.16)
)z(X]n[x Z
dz)z(dXz]n[nx Z (8.17)
신호 및 시스템11
8.2 z-변환의 성질
두 신호의 컨벌루션
만약 이고 이면
Z-변환을 이용한 시스템 해석 과정
(i) 입 력 신 호
임펄스 응답
(ii)
(iii) 시스템의 출력신호
)z(X]n[x 1Z
1 )z(X]n[x 2Z
2
)z(X)z(X)z(X]n[x]n[x]n[x 21Z
21 (8.19)
]}n[x{Z)z(X
]}n[h{Z)z(H
)z(H)z(X)z(Y
)}z(Y{Z]n[y 1
: 전달함수(Transfer function)
신호 및 시스템12
8.3 z-역변환
적분에 의한 z-역변환
멱급수 전개에 의한 z-역변환
장제법(long division)을 이용한 멱급수 전개
부분 분수 전개에 의한 z-역변환
c
1n dzz)z(Xj2
1]n[x (8.24)
)z(Xa)z(Xa)z(Xa)z(X kk2211
]n[xa]n[xa]n[xa]n[x kk2211Z
(8.28)
(8.29)
NN
11
MM
110
zaza1zbzbb
)z(D)z(N)z(X
(8.30)
신호 및 시스템13
8.4 단방향 z-변환
인과(causal) 신호만 존재하는 경우 ( )
단방향 z-변환의 성질
인과 신호이므로 의 수렴 영역은 복소 평면에서 반드시 원의 외부
시간 이동성을 제외하고 양방향 z-변환의 성질과 거의 동일
0n
0n
nz]n[x)z(X : 단방향 z-변환 (8.34)
)z(X]n[x]}n[x{Z Z
로 표현또는
)z(X
신호 및 시스템14
8.4 단방향 z-변환
시간 이동성(Shifting Property)
(i) 시간 지연(Time Delay)
만약 이면
만약 x[n]이 인과 신호일 경우는
(ii) 시간 선행(Time Advance)
만약 이면
)z(X]n[x Z
0k]z]n[x)z(X[z]kn[xk
1n
nkZ
(8.35)
)z(Xz]kn[x kZ
)z(X]n[x Z
1k
0n
nkZ 0k]z]n[x)z(X[z]kn[x
신호 및 시스템15
8.4 단방향 z-변환
단방향 z-변환을 이용한 차분 방정식의 풀이
주어진 차분 방정식의 z-변환식을 구한다
구하고자 하는 출력의 z-변환을 찾아낸다
찾아낸 z-변환을 역변환하여 시간 영역에서의 출력을 구한다.
신호 및 시스템16
8.5 z-영역에서의 선형 시불변 시스템의 특징
이산 선형 시불변(LTI) 시스템에서
전달 함수는 임펄스 응답 h[n]의 z-변환
출력은 시스템의 임펄스 응답 h[n]과 입력 x[n]의 컨벌루션 합
식 (8.43)로부터 전달 함수는 입력과 출력 신호의 z-변환의 비
]n[h]n[x]n[y (8.42)
)z(H)z(X)z(Y (8.43)
)z(X)z(Y)z(H
신호 및 시스템17
8.5 z-영역에서의 선형 시불변 시스템의 특징
전달 함수와 차분 방정식과의 관계
입력 신호 과 출력 신호 을 갖는 선형 시불변 시스템의
입출력 관계식
시스템 초기 조건이 모두 0 이고 시간 이동성을 이용하면
따라서
]n[x ]n[y
N
1k
M
0kkk ]kn[xb]kn[ya]n[y
)z(Xzb)z(YzaM
0k
kk
N
0k
kk
M
0k
kk
N
0k
kk
za
zb)z(H (8.45)
신호 및 시스템18
8.5 z-영역에서의 선형 시불변 시스템의 특징
시스템의 안정도와 인과성
선형 시불변 시스템이 인과적이면 임펄스 응답은
시스템의 안정도
모든 n 에 대하여 유한한 와 가 존재하고
: 시스템은 BIBO 안정
0n0]n[h
yx MM
yx M]n[y,M]n[x (8.46)
신호 및 시스템19
8.5 z-영역에서의 선형 시불변 시스템의 특징
시스템의 입출력 관계를 컨벌루션 합의 형태로 표현하면
양변에 절대값을 취하면
선형 시불변 시스템이 BIBO 안정이기 위한 필요충분 조건
: H(z)가 단위 원을 수렴 영역 안에 포함
k
]kn[x]k[h]n[y
k
xkk
]k[hM]kn[x]k[h]kn[x]k[h]n[y
k
]k[h
신호 및 시스템20
8.5 z-영역에서의 선형 시불변 시스템의 특징
s-평면
s-평면
z-평면
단위원
z-평면
단위원
(a)
(b)
Im{z}
Re{z}
Im{z}
Re{z}
j
j
그림 8.5 연속 및 이산 시스템의
성질과 수렴 영역과의 관계
(a) 안정 인과적 시스템
(b) 비안정 인과적 시스템
수렴영역은 s-영역의 오른쪽 부분 또는 원의
외부이고 안정 시스템의 수렴 영역은
또는 단위 원을 포함함
js