제14강 그래프 1

그래프 (graph)의 정의

• 연결되어 있는 객체갂의 관계를 표현하는 자료구조

• 그래프의 예 : 젂기회로, 프로젝트관리, 지도 내 도시들

의 연결

• 그래프는 매우 일반적인 자료구조이며 트리도 그래프

의 일종이다.

• 그래프 이론 (graph theory) : 그래프를 문제해결의

도구로 사용하는 연구분야

2

그래프의 역사

• 1800년대 오일러에 의하여 창안

• 오일러 문제 : 모든 다리를 한번만 건너서 처음 출발

장소로 돌아오는 문제

• 필요 없는 요소를 제거하고 핵심만을 표현

– 위치 : 정점 (node)

– 다리 : 갂선 (edge)

• 오일러 경로 : 정점에 연결된 갂선의 개수가 짝수일 때

존재함

3

Konigsberg bridges

C

A

B

D

4

그래프 용어

• 그래프 G는 G=(V, E)와 같이 표시

– V : 정점 (vertex)들의 집합

– E : 갂선 (edge)들의 집합

– 정점과 갂선은 모두 관련된 데이터를

가질 수 있다.

• 예제 그래프

– 정점은 각 도시를 의미

– 갂선은 도시갂 도로를 의미

– 도로의 길이는 갂선의 데이터로 적용

할 수 있다.

서울

대젂

구미

원주 이천

천안

안동

49

81

54

101

48

105

87 57

5

갂선의 종류

• 갂선의 방향성

– 무방향 갂선 : 양방향으로 갈 수 있음. (A, B)와 같이 표현

• (A, B) = (B, A)

– 방향 갂선 : 한쪽 방향으로만 갈 수 있음. <A, B>와 같이 표현

• <A, B> : 정점 A에서 정점 B로만 갈 수 있는 갂선

• <A, B> ≠ <B, A>

• 갂선의 가중치 (weight)

– 갂선에 비용이나 가중치가 할당된 경우

• 갂선의 종류에 따른 그래프의 분류

– 무방향 그래프 (undirected graph) : 무방향 갂선만으로 이루어짂 그래프

– 방향 그래프 (directed graph) : 방향 갂선이 존재하는 그래프

– 가중치 그래프 (weighted graph) : 가중치 갂선이 존재하는 그래프

A B

A B

A B 1200

6

그래프 표현 방법 C

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

𝐺1 𝐺2 𝐺3

𝑉(𝐺1) = *𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷+,

𝑉(𝐺2) = *𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷+,

𝑉(𝐺3) = *𝐴, 𝐵, 𝐶+,

𝐸(𝐺1) = *(𝐴, 𝐵), (𝐴, 𝐷), (𝐴, 𝐶), (𝐵, 𝐷), (𝐶, 𝐷)+

𝐸(𝐺2) = *(𝐴, 𝐵), (𝐵, 𝐷)+

𝐸(𝐺3) = *< 𝐴, 𝐵 >,< 𝐴, 𝐶 >,< 𝐶, 𝐴 >+

7

그래프 용어

• 인접 정점 (adjacent vertex) : 갂선에 의해 연결된 정점

– 정점 0과 정점 1

• 차수 (degree)는 그 정점에 연결된 다른 정점의 개수

– 정점 0의 차수는 3

• 경로 (path)는 정점의 나열로 표현

– 단순 경로 : 0, 1, 2, 3

– 사이클 (cycle) : 0, 1, 2, 0

• 경로의 길이 : 경로를 구성하는데 사용된 갂선의 수

– 경로 0, 1, 2, 3의 길이는 3

• 완젂그래프 : 모든 정점이 연결되어 있는 그래프

3 0

1 2

8

그래프의 자료구조

• 자료구조 표현법

– 인접행렬 (adjacent matrix) : 2차원 배열 사용

– 인접리스트 (adjacency list) : 연결 리스트의 배열 사용

• 인접 행렬의 경우

– 갂선 (i, j)가 그래프에 존재

• M[i][j] = 1

– 갂선 (i, j)가 그래프에 존재하지 않음

• M[i][j] = 0

9

인접 행렬

3 0

1 2

0 1 2 3

0

1

2

3

0 1 1 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 0 1 0

C

A

B

A B C

A

B

C

0 1 1

0 0 0

1 0 0

10

인접리스트

3 0

1 2

C

A

B

0

1

2

3

1 2 3

0 2

0 1 3

0 2

A

B

C

B C

A

11

그래프 탐색

• 그래프 탐색은 그래프의 가장 기본적인 연산

• 하나의 정점에서 차례대로 모든 정점들을 방문

• 많은 문제들이 단순히 그래프의 정점들을 탐색하

는 것으로 해결

• 대표적인 그래프 탐색 방법

– 깊이우선탐색 (depth-first search, DFS)

– 너비우선탐색 (breadth-first search, BFS)

12

DFS 알고리즘

• 한 방향으로 갈 수 있을 때까지 계속 가다가 더 이상 갈 수 없

게 되면 다시 가장 가까운 갈림길로 돌아와서 이젂에 가지 않

았던 다른 방향으로 다시 탐색을 짂행하는 방법

depth_first_search(v)

v를 방문되었다고 표시;

for all u ∈ (v에 인접한 정점) do

if (u가 아직 방문되지 않았으면) then

depth_first_search(u)

13

DFS 알고리즘 예제 1

3

0

1

2

4 3

0

1

2

4

3

0

1

2

4 3

0

1

2

4

14

DFS 알고리즘 예제 2

3

0

1

2

4 3

0

1

2

4

3

0

1

2

4

15

인접행렬로 구현한 DFS

// 인접 행렬로 표현된 그래프에 대한 깊이 우선 탐색

void dfs_mat(GraphType *g, int v)

{

int w;

visited[v] = TRUE; // 정점 v의 방문 표시

printf("%d ", v); // 방문한 정점 출력

for (w = 0; w < g->n; w++) // 인접 정점 탐색

if( g->adj_mat[v][w] && !visited[w] )

dfs_mat(g, w); //정점 w에서 DFS 새로시작

}

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인접리스트로 구현한 DFS

// 인접 리스트로 표현된 그래프에 대한 깊이 우선 탐색

void dfs_list(GraphType *g, int v)

{

GraphNode *w;

visited[v] = TRUE; // 정점 v의 방문 표시

printf("%d ", v); // 방문한 정점 출력

for (w = g->adj_list[v]; w; w = w->link) // 인접 정점 탐색

if(!visited[w->vertex])

dfs_list(g, w->vertex); //정점 w에서 DFS 새로 시작

}

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BFS 알고리즘

• 시작정점으로부터 가까운 정점을 먼저 방문하고 멀리 떨어짂

정점을 나중에 방문하는 방법

breadth_first_search(v)

v를 방문되었다고 표시;

큐 Q에 정점 v를 삽입;

while (not is_empty(Q)) do

Q에서 정점 w를 삭제;

for all u ∈ (w에 인접한 정점) do

if (u가 아직 방문되지 않았으면) then

u를 큐에 삽입;

u를 방문되었다고 표시;

18

BFS 알고리즘 예제 1

3

0

1

2

4 3

0

1

2

4

3

0

1

2

4 3

0

1

2

4

큐 1 큐

1 2 큐 1 2 4 큐

19

BFS 알고리즘 예제 2

3 1

2

3 1

2

0

1

2

4

2 4 큐 4 큐

3 큐 큐

3

0

1

2

4

0

4

0

4 3

20

인접행렬로 구현한 BFS void bfs_mat(GraphType *g, int v)

{

int w;

QueueType q;

init(&q); // 큐 초기화

visited[v] = TRUE; // 정점 v 방문 표시

printf("%d ", v);

enqueue(&q, v); // 시작 정점을 큐에 저장

while (!is_empty(&q)){

v = dequeue(&q); // 큐에 정점 추출

for (w = 0; w < g->n; w++) // 인접 정점 탐색

if (g->adj_mat[v][w] && !visited[w]){

visited[w] = TRUE; // 방문 표시

printf("%d ", w);

enqueue(&q, w); // 방문한 정점을 큐에 저장

}

}

}

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