제11장 형식언어와오토메타의 - yonsei...
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제 11장. 형식언어와 오토메타의Hierarchy
학습목표
TM과 연관된 형식언어/문법에 대해 알아보고언어 사이의 포함관계를 총정리 해본다
개념적인 내용의 비중이 커집니다. 세부사항 보다도전체적인 관계와 흐름에 주의를 기울입시다.
개요
cf) valid only for L-{λ}
• Recursive and Recursively Enumerable Languages
• Unrestricted Grammars
• Context-Sensitive Grammars and Languages
• The Chomsky Hierarchy
CFL에서와 마찬가지로 편의상Empty string이 없는 언어를 가정
합니다
TM이 accept하는 언어와그 언어를 생성하는 문법
Linear Bounded Automata와연관된 문법과 언어
RecursiveRecursively Enumerable
• Def 1
210,L
it accepting TM a if
enumerabley recursivel : L
xqxwqw fM
*
├∈∀
∃
Languages
?L∉∀w
• Def 2+Σ
∃
in every on halting &L accepting TM a if recursive : L
walg.) membership(
비슷해 보이지만 그 차이를 명확히 이해할 것
Enumeration Procedure
orderproper in in strings all generating TM :M̂
Lin membershipgdetermininTM : M +Σ
⋅
Lin if tapeˆ,, 21
↓
→
M
Mww L
? Lin not L r.efor
jw"
순서 다르게
⎯→⎯
⎯→⎯
⎯→⎯2
1 move one ˆw
w MM
• 결론: enumeration procedure가 존재하는 언어는 recursively enumerable
• enumeration procedure for recursive language L
p. 277 처럼 M이 생성된 스트링을 한 스텝씩만 처리
Halt하지 않는 스트링 때문에 진전되지 않는 문제해결
r.e language를 위해서는열거하는 방법에 좀 신경을써야…
Thm S : infinite countable set → 2 s : not countable
diagonalization
(fewer TM than lang.r.e.하지 않은 언어가 존재)
Thm for Σ . ∃ lang. not r. e.
×→→Σ Σ
countablenot 2 ofsubset :lang.pf)
**
pf) t1 1t2 1t3 0
0...
① Recursively enumerable 하지 않은 언어의 존재여부
② Recursive enumerable 하지 않은 언어의 예
Thm ∃ a r.e. L whose complement is not r.e.
③ Recursive 이지만 recursively enumerable 하지는 않은 언어도 존재함
∋
실제 예들실제 보이기 어려운 개념적인 언어이므로수학의 힘을 빌려 개념적으로 이해합니다
Homework : Exercises 11.1
• 7 : 답은 Yes이고, 6번의 해답을 이용해볼 것.
• 10 : 이것도 답은 Yes인데… nondeterminism을 이해하면 쉽게 해결가능.
Unrestricted Grammars
• Def
vuPSTVG
→= if edunrestrict :),,,(
) no()(
λ
+∪TV *)( TV ∪
.R.E.L.U.G ←→
Thm 11.6 (→) systematic enumeration
S ⇒ w
S ⇒ x⇒ w
아무런 제약이 없는 문법
Recursively Enumerable언어를 생성하는 문법
Unrestricted Grammar로부터한 스텝에 얻어지는 스트링,두 스텝에 얻어지는 스트링,…결국 체계적으로 enumeration할 수 있으므로 r.e. 언어 생성가능
Unrestricted Grammars : 증명(1)
Thm 11.6-1 (←) T.M. by U.G.
produce G L(G) = L(M)
wyxqwqS f**
0* ⇒⇒⇒
? 2 copies of w by Vab & Vaib
∀ a, b, i
① S → V□□S | SV□□ | T
T → TVaa | Va0a ∀ a ∈ Σ
② VaicVpq → VadVpjq for δ(qi, c)=(qj, d, R)
VpqVaic → VpjqVad for δ(qi, c)=(qj, d, L)
∋
역으로 r.e. 언어를 생성하는 문법이 unrestricted grammar임을 보입시다
TM의 작동을 UG로 흉내내기
시작부터 w를 두개갖고 acceptance를따진다! 변수로
표현
일단 q0w를 만든다.
V의 처음 indices는 copy해둔 w임을 이해할 것.
Unrestricted Grammars : 증명(2)
③ Vajb → a
cVab → ca
Vabc → ac
□ → λ
□□□□□□□□
□□├ ├ ├
VVVVTVTVSVSaaqaaqaaqaaq
aaL
aaaaaa 0
1000
*)(
⇒⇒⇒⇒
예)
aaaaaVaVVVVVVVVVVVVVV
aaaa
aaaaaaaaaaaaaaaa
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒
□□□□
□□□□□□□□ 1000
Accept를 확인하면 복사해둔 w를 출력하기위해 변수의 처음 index를 출력한다.
①번 규칙을 사용하여 초기 스트링 q0aa□를 생성
②번 규칙을 사용하여 TM을 흉내내고 ③번 규칙으로원래 w를 출력 변수들의 첫 index는 초기 w를 기억!
)(grammaredunrestrictlanguageenumerableyrecursivelThm
GLLGL
=∋∃∀
ywqyewqe
yexeyx
*00 iff)()(
inductionbyshow
)()(pf
├
├
∗
⇒
⋅
⇒→
Unrestricted Grammars : 총정리
Unrestricted grammar로 생성되는 언어는 recursively enumerable언어!
Homework : Exercises 11.2
- 1 : 답도 있고 하니 잘~ 풀어볼 것.
- 6 : 좀 tedious한 맛은 있지만, 이 절에서 배운 constructive한 메커니즘을제대로 이해하기 위해서 한번 풀어볼 것.
Context-Sensitive G & L
|||| and )( re whe
are sproductionif sensitive-Context:),,,( Def.
yxTV x, y yx
PSTVG
≤∪∈
→=
+
• properties
– noncontracting
– why context-sensitive ?
xAy → xvy
UG와 CFG 사이의 다양한 문법 중에서 LBA와 연관된 문법에 대해 검토
A의 좌우에 x와 y가 있을때 A를 v로 규칙적용
CSL and Linear Bounded Automata
}{)(or)(grammarsensitivecontextifsensitivecontext: Def.
λ∪==∋−∃−
GLLGLLGL
?sensitivecontext:}1:{.ex −≥= ncbaL nnn
aaAaaaBBbbBBbccAcbAAb
aAbcabcS
|
|
→→→→→
aaabbbcccaaBbbbcccaabBbbccc
aabbBbcccaabbAccaabAbccaaAbbccaBbbcc
abBbccabAcaAbcS
⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒
⎯⎯←⎯→⎯B
Acbcaa
CFL는 CSL의 proper subset 이구나!
CSL and LBA : 증명
)(automatonboundedlinear},{CSL.Thm
MLLML
=∋∃∀ λ
pf. Show that derivations in CSG can be simulated by LBA
• two tracks : input string w + sentential forms derived using G
– possible sentential form | w |
– LBA is nondeterministic
≤
LML generateCSGLBAbyaccepted:.Thm ∃→
올바른 production을 늘 guess할 수 있다
Thm 11.6의 과정을 초기 w의 길이만큼만 사용해서 할 수 있다LBA로 할 수 있다!
Recursive 언어와 CSL의 관계
recursiveisCSLEvery.Thm L
pf. CSG : noncontracting → ∃membership algorithm
check all derivations of length up-to |w|m(|w|)
sensitivecontextnotisthatlanguagerecursive.Thm −∃
LBA가 TM보다 덜 강력하다!
Homework : Exercises 11.3
- 일반적으로 CF가 아닌 언어의 CSG를 구하는 것은 매우 어려운 문제
이기 때문에 대부분의 문제를 쉽게 해결할 수는 없다. 그 중에서 가장
쉬운 1 (a)와 1 (b)를 한번 시도해 볼 것.
Chomsky Hierarchy
LRE (Type 0)
LCS (Type 1)
LCF (Type 2)
LREG (Type 3)
LREC
LDCF
LCF
LLIN LDCFLREG
}{}{ 2nnnn baba ∪ )}()({ wnwn ba =
다양한 형식언어의 포함관계 이해
TM이 할 수 있는 능력에 대해서 알아보았는데, 다음 주에는 마지막으로 TM이할 수 없는 일은 무엇인지 살펴보고, 계산이론으로의 도입을 시도합니다.