UNIVERZITET ISTONO SARAJEVO ELEKTROTEHNIKI FAKULTET

redovni profesor dr Slavko Pokorni, dipl. in. el.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1

Vremenski konstantne elektrine struje

Istono Sarajevo, 2014.

2

Sadraj

1. OSNOVNI POJMOVI I PRVI KIRHOFOV ZAKON ..................................................................... 4 1.1. O obrazovanju elektrine struje u vrstim i tenim provodnicima .......................................... 4 1.2. Gustina struje i intenzitet struje ............................................................................................... 6 1.3. Prvi Kirhofov zakon ................................................................................................................... 9

2. SPECIFINA PROVODNOST I SPECIFINA OTPORNOST .................................................................. 13 2.1. Definicija specifine provodnosti i specifine otpornosti ....................................................... 13 2.2. Specifina otpornost metalnih provodnika ............................................................................ 13 2.3. Pokretljivost elektrona u metalima......................................................................................... 14 2.4. Superprovodnici ...................................................................................................................... 14 2.5. Elektrina provodnost dielektrika ........................................................................................... 15 2.6. Gustina snage transformacije elektrine energije u provodnicima u toplotnu ..................... 15

3. OTPORNICI I OMOV ZAKON. DULOV ZAKON ................................................................................ 17 3.1. Otpornici i Omov zakon ........................................................................................................... 17 3.2. Dogovor o raunanju napona izmeu krajeva otpornika ....................................................... 18 3.3. Zavisnost otpornosti od temperature ..................................................................................... 19 3.4. Dulov zakon ........................................................................................................................... 19 3.5. Redna, paralelna i meovita veza otpornika ........................................................................... 20 3.6. Uzemljivai i otpornost uzemljenja. Napon koraka ................................................................ 23

4. ELEKTRINI GENERATORI I DRUGI KIRHOFOV ZAKON ................................................................... 26 4.1. Elektromotorna sila i unutranja otpornost generatora ........................................................ 28 4.2. Odreivanje jaine struje u elektrinom kolu sa jednim generatorom i otpornikom ........... 29 4.3. Uslov prenosa maksimalne snage ........................................................................................... 31 4.4. Napon izmeu prikljuaka generatora.................................................................................... 32 4.5. Odreivanje jaine struje u elektrinom kolu sa vie generatora i otpornika ....................... 34 4.6. Potencijal i napon u elektrinom kolu .................................................................................... 35 4.7. Elektrine mree i drugi Kirhofov zakon ................................................................................. 38 4.8. Strujni generatori .................................................................................................................... 39 4.9. Ekvivalencija RSG i RNG ........................................................................................................... 40 4.10. Osnovne integralne jednaine stacionarnog strujnog polja ................................................. 42

5. METODE REAVANJA ELEKTRINIH MREA ................................................................................... 43 5.1. Graf elektrine mree .............................................................................................................. 43 5.2. Reavanje elektrinih mrea direktnom primenom Kirhofovih zakona ................................. 45 5.3. Metoda konturnih struja ......................................................................................................... 47 5.4. Metoda potencijala vorova ................................................................................................... 51 5.5. Ekvivalencija veze otpornika u zvezdu i trougao .................................................................... 54 5.6. Delitelj napona i strujni delitelj ............................................................................................... 55 5.7. Teoreme elektrinih mrea ..................................................................................................... 56

5.7.1. Teoreme linearnosti ......................................................................................................... 56 5.7.2. Teorema superpozicije ..................................................................................................... 58 5.7.3. Teoreme reciprociteta (uzajamnosti) .............................................................................. 60 5.7.4. Tevenenova i Nortonova teorema (teoreme ekvivalentnog generatora) ....................... 61 5.7.5. Teoreme kompenzacije .................................................................................................... 64 5.7.6. Teorema odranja snage u elektrinim mreama ........................................................... 67

5.8. Reavanje posebnih oblika elektrinih mrea......................................................................... 67 Metoda proporcionalnih veliina ............................................................................................... 67 Korienje simetrije sistema ...................................................................................................... 68

3

5.9. Elementi nelinearnih elektrinih mrea .................................................................................. 69 6. ELEKTRINE MREE SA KONDENZATORIMA .................................................................................. 72

6.1. Mree sa otpornicima i kondenzatorima ................................................................................ 73 6.2. Elektrostatske mree ............................................................................................................... 74 6.3. Bilans energije u kolima sa kondenzatorima .......................................................................... 77

LITERATURA ........................................................................................................................................ 80 PRILOZI ............................................................................................................................................... 81

SPISAK UPOTREBLJENIH SKRAENICA I OZNAKA ........................................................................... 81

4

VREMENSKI KONSTANTNE ELEKTRINE STRUJE

1. OSNOVNI POJMOVI I PRVI KIRHOFOV ZAKON

Do sada smo posmatrali elektrostatiko odnosno elektrino polje koje potie od makroskopski nepokretnih elektrinih optereenja. U ovom drugom delu semestra emo prouavati sluajeve kada se veliki broj elektrinih optereenja, pod dejstvom elektrinog polja, kree, na organizovan nain, tj. usmereno, to se naziva elektrina struja.

Elektrina struja moe biti vremenski nepromenjiva, koja se naziva i vremenski konstantna elektrina struja ili stalna struja1.

Elektrina struja moe da postoji u svim vrstama provodnika, poluprovodnika, realnih (nesavrenih) izolatora (dielektrika), gasova i vakuumu. Najjednostavnije za analizu su elektrine struje u vrstim i tenim provodnicima.

Iako veu tehniku primenu imaju vremenski promenjive struje, analiza vremenski konstantnih struja je jednostavnija, a metode analize se dobrim delom mogu koristiti i za vremenski promenjive struje, pa je vano dobro ih nauiti.

1.1. O obrazovanju elektrine struje u vrstim i tenim provodnicima

Posmatrajmo dva naelektrisana provodna tela koja se nalaze u vrstom ili tenom idealnom dielektriku. Dielektrik moe biti homogen ili nehomogen.

Optereenja na naelektrisanim provodnim telima stvaraju elektrino polje u svim takama dielektrika, pa je dielektrik polarizovan, ali kako u njemu nema slobodnih optereenja, nema ni optereenja koja se kreu pod dejstvom tog polja. Zamislimo da se jedno elementarno optereenje Q>0 pozitivno naelekrisanog tela I na neki nain udaljilo sa povri tela i nalo u taki M blizu povri provodnika (nalazi se u vakuumu izmeu molekula dielektrika), slika 1.1.

Slika 1.1. Kretanje jedne naelektrisane estice pod dejstvom elektrinog polja kroz vrst ili tean dielektrik

1 Uobiajen je i naziv jednosmerna struja, ali kao to emo videti u predmetu Osnovi elektrotehnike 2, u oblasti

vremenski promenjivih struja, jednosmerna struja nemora biti i vremenski konstantna.

5

Dalje kretanje tog optereenja e se odvijati pod dejstvom elektrinog polja2 koje stvaraju optereenja na naelektrisanim provodnim telima, ali i pod dejstvom elektrinog polja koje u svojoj okolini stvaraju elementarne estice atoma i molekula dielektrika u ijoj se blizini estica nalazi. Uproena analiza tog kretanja bila bi sledea: U taki M na Q deluje sila EQF = gde je E elektrino polje u toj taki. Pod dejstvom F optereenje Q se ubrzava u pravcu i smeru E . Kako se radi o vrstom ili tenom dielektriku, molekuli su vrlo blizu i posle kratkog puta Q e se ,,sudariti sa nekim neutralnim atomom (taka M) i ,,stati. Zatim e se opet ubrzati, ali u smeru E u taki M. Posle kratkog puta e se opet sudariti i stati u taki M. Makroskopski, Q e se kretati du jedne linije vektora E dok ne stigne do neke take N na telu II gdje e se neutralisati sa Q na telu II3. Pod ,,sudarom ne podrazumevamo neki stvarni sudar izmeu atoma i elektrona, jer do njega i ne moe da doe. Pod sudarom podrazumevamo da je u jednom kratkom vremenu elektron bio u sastavu atoma i predao mu tom prilikom dio svoje energije. Pod ,,zaustavljanjem se misli samo na komponentu brzine elektrona koju je stekao pod dejstvom elektrinog polja. Slian proces se odvija i u tenostima, samo to se tamo kreu joni. U poluprovodnicima su to elektroni i tzv. upljine. Ni u jednom sluaju ne dolazi do nagomilavanja optereenja, jer kad se jedno optereenje pomeri, na njegovo mesto dolazi susedno optereenje. Kako se slobodna optereenja kreu ka naelektrisanim telima, dolazi do postepene neutralizacije optereenja na naelektrisanim telima pa elektrino polje slabi i kretanje optereenja na kraju prestaje. Prema tome, ovo nije primer vremenski konstantne struje. Da bi se ostvarila vremenski konstantna struja (stalna struja), neophodno je da se naelektrisanje oba tela odrava stalnim i pored postepenog procesa neutralizacije, a to se moe izvesti na vie naina, ali se svi svode na to da se na primer sa tela II stalno uzima pozitivno naelektrisanje i prenosi na telo I, ime se formira strujno kolo4. Ako je ovaj proces stalan, uspostavlja se ravnotea, izmeu naelektrisanih tela tada postoji vremenski nepromenjivo elektrino polje, pa e i kretanje naelektrisanja biti vremenski nepromenjivo. Iz opisanog procesa se mogu izvesti tri vana zakljuka:

1) Prilikom sudara sa nekom nenaelektrisanom esticom kinetika energija se prenosi na tu esticu zbog ega termiko kretanje estica u provodniku postaje intenzivnije (provodnik se zagreva), pa u svakom provodniku, u kome postoji elektrina struja, dolazi do pretvaranja elektrine energije u toplotnu. To se naziva Dulova pojava (efekat).

2) Za odravanje vremenski nepromenjive struje neophodno je elektrina optereenja na telima odravati konstantnim. To se moe ostvariti posredstvom neelektrinih (stranih) sila. Naprave unutar kojih postoje strane sile na elektrina optereenja nazivaju se izvori elektrine energije ili elektrini generator5 (slika 1.2)

2 U provodnim telima slobodni nosioci naelektrisanja mogu se kretati pod razliitim dejstvima (na primer difuzno kretanje). 3 Opisani model je jednostavan, ali uproen, pa i netaan, premda ipak dovoljan za dalju analizu. Za stvarni opis

potrebna je kvantna teorija. Mikroskopski gledano, u provodnicima v u v odnosno dv ili u celom provodniku nije nula, kad nema spoljnjeg polja, i to se manifestuje, makroskopski, kao termiki um. 4 Strujno kolo ili elektrino kolo je put kojim se zatvaraju strujnice, tj. linije vektora gustine struje, koji emo definisati u podpoglavlju 1.2. Dio prostora u kome postoji elektrina struja zove se strujno polje. Strujno polje postoji samo u strujnom kolu, a elektrino polje i u strujnom kolu i izvan njega. 5 Delovi strujnog kola gde su lokalizovane strane sile, nazivaju se generatorima.

6

3) Vri se ne samo pretvaranje energije generatora u drugi oblik, ve i prenoenje energije u sve take provodnika. Elektrino polje igra ulogu posrednika pri prenoenju energije od generatora do mesta gdje se elektrina energija pretvara u neki drugi vid energije, odnosno ono ima ulogu rezervoara energije. Energija sadrana u tom polju se stalno troi na mestu prijema, ali se istovremeno stalno dopunjava od strane generatora i to veoma velikom brzinom.

Slika1.2. Proces prenoenja energije posredstvom elektrinog polja u sluaju stalne struje

U sluaju vremenski kontantne struje kroz neko provodno telo, raspodela optereenja na povrima provodnika ukljuenih u strujno kolo ostaje makroskopski nepromenjena u toku vremena (optereenja se kreu, ali na mesto onog koje je otilo dolazi drugo, pa njihova makroskopska gustina ostaje konstantna). Zbog toga je elektrino polje vremenski konstantnih struja isto kao elektrostatiko polje na isti nain raspodeljenih naelektrisanja. Zbog toga pojmovi iz elektrostatike vae i ovde (E,U,V). Jedina, ali vana razlika je da kod vremenski konstantnih struja elekrino polje postoji i u unutranjosti provodnika. Zbog toga povri provodnika sa vremenski konstantnim strujama nisu ekvipotencijalne. Elektrino polje igra ulogu posrednika pri prenoenju energije od generatora do mesta gde se elektrina energija pretvara u neki drugi vid energije, odnosno ono ima ulogu rezervoara energije. Energija sadrana u elektrinom polju se stalno troi na mestu prijema, ali se istovremeno stalno dopunjava od strane generatora, i to brzinom koja moe biti ogromna. Sutina je u tome da je elektrino polje mali rezervoar energije, ali se praktino trenutno dopunjava, a brzina prenosa energije se moe menjati praktino trenutno na velikim rastojanjima. To nije sluaj ni sa jednim drugim sistemom za prenos energije (na primer, mehaniki, hidrauliki).

1.2. Gustina struje i intenzitet struje

Elektrina struja, odnosno organizovano kretanje velikog broja elektrinih optereenja karakterie se pomou dve fizike veliine: - gustina struje, koja je vektorska veliina i opisuje usmereno kretanje elektrinog optereenja u nekoj taki. - intenzitet ili jaina struje, koja je skalarna veliina i opisuje kretanje elektrinog optereenja kroz neku makroskopsku povr. Posmatrajmo jednu taku u nekom vremenski konstantnom strujnom polju (slika 1.3). Neka su slobodni nosioci naelektrisanja svi jednaki i neka je naelektrisanje jednog slobodnog nosioca Q (pozitivno ili negativno, Q je algebarska veliina). Odnos broja slobodnih nosilaca naelektrisanja i zapremine V jednak je N (naziva se i koncentracija slobodnih nosilaca naelektrisanja)6. Neka je v

6 NQ = zapreminska gustina slobodnih naelektrisanja.

7

srednja brzina slobodnih naelektrisanja u posmatranoj taki zbog delovanja elektrinog polja. Tada je gustina elektrine struje u nekoj taki

vNQJ = (vai za jednu vrstu slobodnih naelektrisanja)7

Po ovoj definiciji strujanje pozitivnih naelektrisanja u jednom smeru i strujanje istih ali negativnih u suprotnom smeru, daje istu gustinu struje

vNQvQN = ))((

U metalima su slobodni nosioci naelektrisanja elektroni pa je smer vektora J suprotan smeru vektora v .

Slika 1.3. Vektor gustine struje i smer stvarnog kretanja elektrona

Vektor gustine struje J , opisuje lokalno kretanje slobodnih nosilaca naelektrisanja. Analogno, vektoru polarizacije P uvedenom u elektrostatici, opisuje kako je lokalno dielektrik polarizovan.

Ako ima vie razliitih slobodnih nosilaca naelektrisanja, na primer rastvor sa vie katjona i anjona, tada je

=

=

n

kkkk vQNJ

1

gde je n - broj razliitih slobodnih nosilaca. Posmatrajmo malu ravnu povr povrine S u provodniku u kome postoji elekrina struja (slika 1.4).

Slika 1.4. Mala povr kroz koju postoji kretanje naelektrisanja u smeru v

Oznake na slici imaju sledea znaenja: -

v je srednja brzina slobodnih naelektrisanja u takama povri,

- n je jedinina normal na povr, - Q je naelektrisanje jednog slobodnog nosioca, - N je koncentracija nosioca, - je ugao izmeu vektora n i v .

7 Vektor gustine struje J se moe smatrati analognim vektoru polarizacije P u dielektricima. Proizvod vQ karakterie

naelektrisanu esticu.

8

Slobodni nosioci za vreme t preu put tv (u pravcu vektora v ). Sva optereenja koja su se u trenutku t nalazila ispod povri S na odstojanju tv proi e kroz povr S u intervalu tt + (slika 1.5).

Slika 1.5. Izraunavanje jaine struje kroz povr S

Kako zapreminu kosog paralelopipeda predstavlja proizvod osnovice S i visine ( costv ), tj. costSv , to za vreme t kroz element povri S proe koliina naelektrisanja

coscosdt za s kroz tSJtSvNQNQVQ pedaparalelopi === Jaina ili intenzitet struje kroz S se definie kao kolinik

tQI

= t za S krozS kroz (*)

odakle je SJI = S kroz (**)

Posmatrajmo sada neku veu povr S (slika 1.6).

Slika 1.6. Izraunavanje jaine struje kroz povr S

Povr S izdelimo na male povri s. Jaina struje se moe izraunati pomou relacija (*) i (**). Prema tome koliina elektriciteta koja u odnosu na normalu proe kroz povr S za vreme t je

== SS

tsJQQ t za S krozt za S kroz

Jaina struje kroz povr S se definie kao:

=

=

SsJ

t

QI t za S krozS kroz

Ako se J menja od take do take povri S, onda je jaina struje I kroz povr S

9

=S

krozS sdJI

Iz definicije jaine struje proizilazi da je jaina struje kroz neku povr jednaka je brzini proticanja naelektrisanja kroz tu povr, tj,

dtdqI =

Jedinica za intenzitet struje je s

C, a ta je jedinica nazvana A (amper).

Ako je strujno polje homogeno ( .constJ = ), povr S ravna, a J normalan na povr, onda je JSsdJsdJI

SS

=== , odakle je SIJ = .

Jedinica za gustinu struje je 2

m

A to je mala jedinica pa se ee koristi

26

2 10 mA

mm

A= .

Treba uoiti da su struje koje smo do sada posmatrali struje raspodeljene po zapremini provodnika, tj. zapreminske struje, iako je gustina struje koja ih opisuje povrinska (

2m

A ), tj.

SIJ = (ako je povr normalna na J ).

Postoje, i povrinske struje (naelektrisanja koja se kreu po povri), ali se opisuju gustinom struje koja je linijska (

m

A ). Struje kroz tanke provodnike nazivaju se linijske struje, i opisuju se jainom struje I

(jedinica A, amper). Ako se setimo linijski, povrinski i zapreminski raspodeljenih naelektrisanja, treba uoiti da

za razliku od povrinskih naelektrisanja koja se opisuju povrinskom gustinom ija je jedninica 2m

C,

povrinske struje se opisuju podunom (linijskom) gustinom struje (m

A ), zapreminske struje se

opisuju povrinskom gustinom struje ( 2m

A ), a linijske struje jainom struje I (jedinica A, amper). Umesto jaina struje esto se kae samo struja.

1.3. Prvi Kirhofov zakon

Zamislimo neku zatvorenu povr S u provodniku sa vremenski konstantnom strujom. Povr S moe i da iseca iz provodnika jedan njegov deo. Definicija za intenzitet struje vai i u tom sluaju. S obzirom da se makroskopsko kretanje i raspodela optereenja ne menjaju, odatle sledi da tano onoliko pozitivnih ili negativnih optereenja koje ue u povr S za vreme t mora iz nje i da izae. Ako to nebi bilo tako, dolo bi do stalnog porasta koliine pozitivnih ili negativnih optereenja u zatvorenoj povri S, pa bi se raspodela optereenja menjala, zbog toga bi se menjalo i polje i onda ne bi struja bila vremenski konstantna. Iz toga zakljuujemo da u sluaju vremenski konstantnih struja intenzitet struje kroz svaku zatvorenu povr mora biti jednak nuli, tj.

10

0== S

sdJI

Prehodna relacija predstavlja jednainu kontinuiteta za stalne (stacionarne struje).

Gornja relacija predstavlja najoptiji iskaz prvog Kirhofovog zakona (I KZ) 8. Znak jaine struje kroz neki presek provodnika zavisi od proizvoljno odabranog smera normale na povr provodnika. Ilustrujmo to na primeru tanke metalne ice (slika 1.7): Oigledno da prikazanu povr, moemo orijentisati u jednu ili drugu stranu, pri emu jednu od te dve normale moemo smatrati za pozitivnu orijentaciju, pa za fluks vektora gustine struje moemo napisati dve relacije

00cosSJ

picosSJ

koje daju istu vrednost ali suprotan predznak.

Slika 1.7. Znak jaine struje zavisi od izabranog smera normale na povr poprenog preseka

Prema tome jaina struje kroz provodnik je algebarska veliina. Jaina struje kroz presek nekog provodnika ima smisla samo ako je poznata pozitivna normala na popreni presek provodnika. Smer te pozitivne normale naziva se referentni smer struje i obino se oznaava strelicom pored provodnika (slika 1.8), ili na provodniku, ili indeksima, pri emu struja polazi od kraja oznaenog prvim indeksom. Umesto strelice oznaavanje referentnog smera je mogue indeksima uz oznaku struje, pri emu prvi indeks oznaava kraj provodnika u koji ulazi struja, u drugi indeks kraj provodnika iz koga izlazi struja (odnosno pozitivna naelektrisanja).

Slika 1.8. Naini oznaavanja referentnog smera struje kroz provodnik

Posmatrajmo sada neku zatvorenu povr S koja preseca icu na mestima 1 i 2 (slika 1.9).

8 Postoji optiji oblik ove relacije, koji vai za bilo kakve struje, tj. idtdQ

sdJ uSS

== . Za stalne (stacionarne)

struje 0=dtdQuS

. Iz relacije 0=S

sdJ sledi da u unutranjosti homogenog provodnika nema vika slobodnih

nosilaca naelektrisanja, to se vidi iz 0===== SSSS

uS sdJsdJsdEsdDQ

, jer je 0=

S

sdJ.

11

Slika 1.9. Zatvorena povr koja preseca provodnik na dva mesta

Prema I KZ koliina naelektrisanja koja u nekom intervalu ue u zatvorenu povr S kroz presek 1 mora biti jednaka koliini elektriciteta koja mora da izae kroz presek 2 (povrine preseka mogu biti razliite). Na osnovu IKZ, tj. 21

21

S S 0 krozkrozSSS

IIsdJsdJsdJ +=+==

sledi

21 S krozS kroz II = pod uslovom da su obe strane raunate u odnosu na razliite normale. Poto su ova dva preseka ice proizvoljna (ne moraju biti ni iste veliine ni oblika), odatle sledi da je intenzitet struje kroz svaki presek isti. Ovo je tano samo ako je pozitivan smer normale na svaki presek provodnika, odnosno referentni smer isti du provodnika (ako nije, razlika bi bila samo u predznaku). Ovo vai i ako je ica promenjivog preseka. Zbog toga umesto o jaini (intenzitetu) struje kroz neki presek provodnika, moemo da govorimo o intenzitetu struje kroz provodnik. esto se govori o smeru struje kroz provodnik. Kako je jaina struje skalarna veliina, ona nema smer, meutim, ipak joj se pridruuje smer, pa se jaina struje I naziva usmerena skalarna veliina. Pod smerom struje se podrazumeva smer vektora gustine struje, tj. smer kretanja pozitivnog optereenja. Prvi KZ odnosi se obino na vie ianih provodnika iji su krajevi spojeni (slika 1.10a). To se na elektrinim emama prkazuje kao na slici 1.10b. Elektrina ema je pojednostavljen slikovni prikaz elektrinog kola, gde se elementi kola prikazuju svojim simbolima, a ne detaljima konstrukcije. Mesto gde su provodnici povezani naziva se vor, koji se na elektrinm emama oznaava takom (slika 1.10b).

a) b) Slika 1.10. Ilustracija I KZ: a) stvarni provodnici, b) elektrina ema

12

Primenimo I KZ na neku zatvorenu povr S koja obuhvata vor: Vektor gustine struje razliit je od nule ( 0J ) samo na mestima preseka povri S i provodnika (struja kroz vazduh ne tee, u normalnim uslovima). Ti preseci su u naem primeru (slika 1.10a) S1, S2, S3, S4. I KZ u ovom sluaju je:

+++==4321

43210SSSSS

sdJsdJsdJsdJsdJ

Svaki od ovih integrala predstavlja intenzitet struje kroz odgovarajui provodnik raunat u odnosu na spoljanju normalu (od vora), kao referentni smer. Poslednju jednainu sada moemo da piemo u obliku:

04321 =+ IIII Prema tome za vor u kome se stie n provodnika, zbir jaina struja, raunat za svaki vor u

odnosu na referentni smer od vora, mora biti nula, tj.

01

==

n

kkI

Ovo predstavlja I Kirhofov zakon9. Vai za svaku zatvorenu povr koja see provodnike. To je algebarski zbir struja. Ako struja izlazi iz vora, ima predznak +, u suprotnom -. Jedinica za intenzitet (jainu) struje je amper (za koji je oznaka A).

Jaina struje kroz provodnike meri se instrumentom koji se naziva ampermetar. Merenje se obavlja tako to se provodnik prekine i spoji ampermetar (videti upraktikumu za izvoenje laboratorijskih vebi iz elektrotehnike10. Smrtonosni intenzitet struje kroz telo oveka je oko (0,2 0,6) A, a zavisi i od prikljuenog napona. Kroz priljkuke tednjaka je struja od 10 do 20 A. Pri udaru groma je struja od 10 do 20 kA, a traje oko 50 s. U elektronici su struje reda mikro i nano ampera..

9 Osnovne jednaine za reavanje elektrinih kola su I i II Kirhofov zakon. II Kirhofov zakon emo definisati u

podpoglavlju 4.7. 10

Videti u popisu literature na kraju skripta.

13

2. SPECIFINA PROVODNOST I SPECIFINA OTPORNOST

2.1. Definicija specifine provodnosti i specifine otpornosti

Za odravanje elektrine struje neophodno je da u svakoj taki provodnika postoji elektrino polje. Merenjem se dolazi do zakljuka da je vektor J srazmeran vektoru E u toj taki, tj.

EJ = to je definicioni izraz za specifinu provodnost;

gde je specifina provodnost i razliita je za razliite provodnike (materijale). se moe menjati od take do take provodnika, pa je tada provodnik nehomogen ( .const ). Za homogen provodnik

.const= Materijali za koje vai relacija EJ = nazivaju se linearnim. Jedinica za je simens po metru, tj.

m

S,.gde S oznaava simens.

U praksi se koristi i obratna veza:

JJE

==

1

gde je

1= specifina otpornost.

Jedinica za je [ ]mA

Vm =

, to se ita om-metar.

2.2. Specifina otpornost metalnih provodnika

Metalni provodnici su najvanija klasa provodnika, na primer bakar (Cu), srebro (Ag), zlato (Au), aluminijum (Al). Za najvei broj provodnika, pa i metalnih, i ne zavise od E, osim ako je jaina polja izuzetno velika. Za takve provodnike se kae da su linearni. Meutim i u velikoj meri zavise od temperature provodnika. Ako opseg promene temperature nije veliki, t na nekoj temperaturi t (C)11 moe se priblino izraziti preko 0 istog provodnika na 0 C, i ako se to tako uradi onda je

( )tt += 10 gde su: t temperatura, - temperaruski koeficijent specifine otpornosti. Za vee opsege temperatura ili za odreivanje t sa veom tanou, tanija aproksimacija je ( )320 1 tttt +++= gde su , , - temperaturski koeficijenti i odreuju se eksperimentalno.

11

Temperatura se, prema meunardnom sistemu jedinica, izraava u kelvinima (K), a ranije se izraavala u stepenima Celzijusa (C).

14

Koeficijen uglavnom ima pozitivnu vrednost. Postoje metali sa

15

Slika 2.1. Zavisnost otpornosti od temperature kod superprovodnika

Dakle savreni provodnici su materijali kod kojih je =0, pa . U savrenom provodniku E=0, bez obzira da li postoji struja ili ne (jer je 0== JE , jer je =0 (vai ako je

J . Kod savrenog izolatora (dielektrika) je =0, pa . Kod savrenih provodnika i savrenih izolatora nema Dulovih gubitaka.

2.5. Elektrina provodnost dielektrika

U prirodi nema dielektrika (izolatora) koji su savreni. Svaki dielektrik ima neku konanu specifinu provodnost (obino malu), odnosno veoma veliku ali ne i beskonano veliku otpornost. to se tie mehanizma provoenja elektrine struje, postoje dve grupe dielektrika: - dielektrici koji imaju izvestan broj slobodnih elektrona, koji su se otrgnuli iz molekula dielektrika pod dejstvom nekog spoljanjeg uzroka (na primer, veoma jakog elektrinog polja), - dielektrici s molekulima raspadnutim na jone, kao na primer elektroliti. Jaine struje u dielektricima su male. Samo pri velikim poljima struje mogu biti znaajne. najveeg broja izotropnih dielektrika ne zavisi od E pa se se oni mogu smatrati loim, ali linearnim provodnicima. dielektrika, koji su, po mehanizmu provoenja struje, slini elektrolitima, bitno se smanjuje sa temperaturom. Pri jakim poljima u dielektriku moe doi do dovoljno velikih struja, da unutranjost dielektrika pone da se zagrijava. Kako su dielektrici loi toplotni provodnici, razvijena toplota se sporo odvodi, a zagrijani dielektrik ima manje , pa je zbog toga struja jo vea, pa se dielektrik jo vie zagrijava, pa na kraju moe doi do topljenja ili do hemijskog raspadanja, pri emu se izolatorska svojstva gube i dielektrik postaje dobar provodnik. Ta pojava se naziva toplotni proboj dielektrika. Osim temperature, na mnogo utie i prisustvo neistoe, nehomogenost strukture, vlanost itd. Zbog toga se definie povrinska specifina otpornost. Po vlanoj povri dielektrika mogu da postoje znatno vee struje nego kroz unutranjost.

2.6. Gustina snage transformacije elektrine energije u provodnicima u toplotnu

Posmatrajmo neki provodnik u kome je koncentracija slobodnih nosilaca N, i neka su svi isti, a naelektrisanje svakog je Q, a srednja brzina je v u taki gdje je elektrino polje E. E i v su istog pravca, ali mogu biti istog ili suprotnog smera, u zavisnosti da li je Q>0 ili je Q

16

Neka u toku intervala t, jedna od estica, pod dejstvom elektrine sile, pree put vt, pri emu su elektrine sile izvrile rad QEvt. U zapremini V ima Nv slobodnih nosilaca i svi se u toku intervala t pomere za isti put vt. Zbog toga je rad elektrinih sila pri pomeranju svih slobodnih nosilaca u zapremini v u intervalu t jednak:

vtNQEvA silael = . Kako je JNQv = , onda je

vtJEA silael = . Ovaj rad je izvren pri ubrzavanju slobodnih nosilaca naelektrisanja izmeu uzastopnih sudara. Prema zakonu odranja energije ovaj rad je jednak energiji koja se u zapremini v pretvorila u toplotu. To se moe napisati kao

PvJEA ==

tsila el.

pa je to snaga elektrinih sila u zapremini v. Deljenjem prethodnog izraza sa v, dobija se zapreminska gustina snage transformacije elektrine energije u toplotnu, tj.

2

vJJJJEP ===

Vidi se da se razvijena toplota menja sa kvadratom J. Ovaj izraz se ponekad naziva i Dulov zakon za take strujnog polja.

Primer 2.2. Provodnik nejednakog poprenog preseka S i S/n (slika 2.2)

Slika 2.2. Uz analizu gustine snage transformacije elektrine energije u toplotu: u taki B je n2 puta vea nego u taki A

U taki A provodnika 1 je SIJ =1 , a u taki B provodnika 2 je 12 /

nJSnI

nSIJ ===

.

U taki A je 21JVP

A

=

, a u taki B je ( ) 2122122 JnnJJVP

B

===

.

Oigledno da ako se struja I poveava, razvijena toplota po jedinici zapremine u delu 2 provodnika e uvek biti n2 puta vea nego u delu 1. Zbog toga e se deo 2 zagrevati mnogo jae od dela 1, i pri velikim strujama e se istopiti mnogo pre nego to se deo provodnika veeg preseka znatnije zagreje. Ovo se koristi za automatsko prekidanje strujnog kola u sluaju nedozvoljeno velikih struja. Tanki delovi provodnika se nazivaju topljivi osigurai.

17

3. OTPORNICI I OMOV ZAKON. DULOV ZAKON

3.1. Otpornici i Omov zakon

Posmatrajmo veoma dug, prav provodnik, konstantnog, iako proizvoljnog poprenog preseka povrine S. Neka je provodnik homogen13, specifine otpornosti i jaine struje I kroz njega (slika 3.1). Zbog pretpostavljene geometrije, linije vektora gustine struje moraju biti paralelne, a strujno polje homogeno, pa je i elektrino polje unutar ovakvog provodnika homogeno, a vektor elektrinog polja E paralelan osi provodnika. Zbog toga je svaki popreni presek provodnika jedna ekvipotencijalna povr (slika 3.1).

Slika 3.1. Prav homogen provodnik istog poprenog preseka sa strujom jaine I

Uoimo dva proizvoljna poprena preseka 1 i 2. Razlika potencijala (napon) izmeu njih je

EldlEEdlldEVVU ===== 2

1

2

1

02

12112 0cos

(integralimo du jedne linije vektora E ).

Koristei relaciju JE = i SIJ = , dolazimo do relacije S

IE = , a zatim i do relacije za napon

ISll

SIU ==12

Oigledno, ako su , l i konstante, napon izmeu bilo koje dve take provodnika srazmeran je jaini struje kroz nju, tj.

RIU =

gde je SlR = .

Izraz RIU = se naziva Omov zakon. Indeksi 1 i 2 su izostavljeni. Konstanta proporcionalnosti R naziva se elektrina otpornost. Otpornik za koji vai Omov zakon je linearan otpornik, odnosno zavisnost U od I je linearna funkcija (slika 3.2).

Slika 3.2. Veza izmeu napona na krajevima otpornika i struje kroz otpornik je linearna 13

= const., odnosno = const., tj, isto u svim takama.

18

Iako smo izraz izveli za prav homogen provodnik on vai i za daleko iru klasu provodnika. Om (Georg Ohm) je do njega doao eksperimentalno. Jedinica za elektrinu otpornost je

[ ] =

==

AV

IUR

to se ita om. Oznake otpornika na emama su kao na slici 3.3. Nova oznaka je na slici 3.3a. Oznaka na slici 3.3b se koristi za impedansu (uvest emo je kao pojam u Elektrotehnici 2), ali emo je ovde ipak koristiti za otpornik (to je est sluaj u starijim udbenicima). Oznaka koja se davno koristila je na slici 3.3c. Na slici 3.3d je otpornik ija se vrednost moe menjati (promenjivi otpornik), pa oznaka R ne oznaava vrednost otpornika. Za otpornik na slici 3.3a se kae otpornik otpornosti R.

Slika 3.3. Simboli oznaavanja otpornika na elektrinim emama

esto se umesto R za opisivanje otpornika koristi reciprona vrednost

RG 1=

ili 1=GR

pa se Omov zakon moe pisati u obliku

GUI = ili

GIU =

G se naziva se provodnost otpornika. Jedinica za provodnost je simens (S):

[ ] 1 SVA

=

=

3.2. Dogovor o raunanju napona izmeu krajeva otpornika

Za relaciju RIU =

se podrazumevaju tzv. usaglaeni referentni smerovi za napon na otporniku i struju kroz otpornik (slika 3.4a i b). Referentni kraj za napon (pozitivan kraj, +) je tamo gde struja ulazi u otpornik.

a) b) Slika 3.4. Usaglaeni smerovi napona i struje kod otpornika

19

Ukoliko referentni smerovi za napon i struju nisu usaglaeni, relacije za napon bi izgledale kao na slici 3.4c i d.

c) d) Slika 3.4. Neusaglaeni smerovi napona i struje kod otpornika

3.3. Zavisnost otpornosti od temperature

Posmatrajmo otpornik proizvoljnog oblika, ali od linearnog i homogenog otpornog materijala = const., za koji vai

SlR =

Videli smo da je funkcija temperature. Iako se dimenzije otpornika neto menjaju sa temperaturom to se moe zanemariti, pa se R otpornika nainjenog od homogenog, otpornog materijala menja na isti nain kao i tog istog materijala (podpoglavlje 2.2), tj.

( )tRRt += 10 Prethodni izraz vai za manji opseg temperatura.

Ako se radi o veem opsegu temperatura, moe se koristiti taniji izraz ( )320 1 tttRRt +++= R0 je otpornost na nekoj poetnoj temperaturi, 0 oC, a moe biti i na 20 oC, to treba biti naznaeno. Ako otpornik nije od homogenog materijala ove formule ne vae.

3.4. Dulov zakon

Pod Dulovim (James Prescott Joule) zakonom podrazumeva se izraz pomou koga moe da se izrauna energija pretvorena u nekom otporniku u toplotu u izvesnom intervalu vremena. Do ovog zakona se takoe dolo eksperimentalno. Posmatrajmo proizvoljan provodnik otpornosti R, struje I i napona izmeu prikljuaka U. U nekom vremenskom intervalu t kroz otpornik je protekla koliina elektriciteta14

ItQ =

To optereenje su kroz otpornik prenele elektrine sile, pri emu se izvesna energija elektrinog polja pretvorila u otporniku u toplotu.

14

Intenzite struje I se definie kao brzina proticanja naelektrisanja kroz povr S (povr poprenog preseka otpornika), tj.

t

QI

= , odnosno dtdQI =

(videti podpoglavlje 1.2). Odatle je ItdtIIdtQ === .

20

Prema definiciji napona elektrine sile, pri prenoenju koliine elektriciteta Q kroz otpornik, izvrile su rad

= ldEQA sila el.

UItQUA ==sila el.

Po zakonu odranja energije, energija brojno jednaka ovom radu pretvorila se u otporniku u toplotu, tj.

tR

UtRIRIItUItW

22

====

Poto je proces pretvaranja elektrine energije u toplotnu po pretpostavci vremenski konstantan, snaga te transformacije (brzina kojom otpornik prima enegiju od ostatka kola, zbog toga se otpornik esto naziva prijemnik) je

RURIUIP

22

===

To su varijante izraza za snagu otpornika (ili prijemnika). Izraz UIP = vai za usklaene referentne smerove za napon na krajevima otpornika i struju kroz otpornik ( 0>P ).

Snaga otpornika se moe pisati i u obliku

GIGUUIP

22

===

Snaga otpornika esto podrazumeva najveu snagu koja se u otporniku moe pretvoriti u toplotu bez oteenja otpornika.

Za vremenski konstantnu struju vai PtW = , jer je .constP = Jedinica za energiju je dul (J), a za snagu vat (W). Utroena elektrina energija u elektroenergetici se izraava u kilovatasovima (kWh). 1kWh=3,6 106 J. Ranije se za energiju koristila i jedinica koja se nazivala kalorija (cal). Odnos kalorije i dula je 1 cal = 4,186 J.

3.5. Redna, paralelna i meovita veza otpornika

Elektrina kola se prikazuju elektrinim emama. Elektrine eme su pojednostavljen slikovni prikaz kola, gde se elementi prikazuju svojim simbolima, a ne detaljima konstrukcije. U elektrinim kolima se elementi (na elektrinim emama njihovi simboli) povezuju provodnicima (na emama su to linije). Na provodniku nema pada napona u elektrinim emama, tj. napon izmeu krajeva provodnika jednak je nuli. Oblik i duina linija (provodnika za povezivanje) na elektrinim emama ne moraju odgovarati geometriji stvarnog provodnika u elektrinim kolima (realnog kola). Tamo gde se linije na emama presecaju, stavljamo taku, ukoliko na tom mestu postoji njihov spoj. Svaka veza otpornika koja ima dva kraja moe da se posmatra kao jedan ekvivalentni otpornik za datu grupu otpornika. Razlikujemo redne, paralelne i meovite veze (kombinacija rednih i paralenih veza) otpornika, i veze otpornika u zvezdu (trokraku) i trougao.

Redna ili serijska veza otpornika (ija elektrina ema je prikazana na slici 3.5). Referentni smer struje je oznaen strelicom, a referentni krajevi napona znakom +.

Prema I KZ jaina struje kroz sve otpornike redne veze je ista, pa je prema tome IRU R 11 = , IRU R 22 = , ., IRU nRn =

21

Slika 3.5. Redna veza otpornika

Napon izmeu krajeva (taaka) A i B jednak je zbiru napona nRRRAB

UUUU +++= ....21

IRIRIRU nAB +++= ....21 ( )IRRRU nAB +++= ....21

U skladu sa slikom 3.6, gde je grupa otpornika u rednoj vezi sa slike 3.5 zamenjena sa jednim ekvivalentnim otpornikom, dolazi se relacije za ekvivalentnu otpornost redne veze otpornika

IRU ekvAB = gde je

=

=+++=n

iinekv RRRRR

121 ....

Oigledno, vai iekv RR > , i=1 n

Slika 3.6. Ekvivalentni otpornik

Ovo moemo da napiemo i preko provodnosti

nekv GGGG1

...

11121

+++=

Paralelna veza otpornika (slika 3.7). Napon UAB izmeu krajeva svih otpornika je isti, pa je

11 R

UI AB= , 2

2 RUI AB=

n

ABn R

UI =

Po I KZ ukupna struja I kroz prikljuke jednaka je zbiru struja kroz provodnike

odnosno

+++=

n

AB RRRUI 1...11

21

nIIII +++= ....21

22

Slika 3.7. Paralelna veza otpornika

Kako je

ekv

AB

RUI =

jer i ovde vai slika 3.6, to je

nekv RRRR1

...

11121

+++=

odnosno

n

ekv

RRR

R 1...

111

21

+++=

ili preko provodnosti

=

=+++=n

iinekv GGGGG

121 ....

Meovita veza otpornika (primer na slici 3.8a sa postupkom ekvivalentiranja slika 3.8c-d). Postupak ekvivalentiranja (nalaenja ekvivalenne otpornosti) se odvija tako da se postepeno reavaju veze koje su isto redne ili paralelne, dok se na kraju ne doe do ekvivalentnog otpornika

4RRekv = . Do ovog rezultata bi trebalo da moete da doete samostalno. Daemo samo

meurezultate: 4

31

RRekv = , 47

2RRekv = , 32

73

RRekv = .

a) b)

23

c) c) d) Slika 3.8 a) meovita veza otpornika, b, c i d) postupak ekvivalentiranja

3.6. Uzemljivai i otpornost uzemljenja. Napon koraka

Najvei broj prijemnika se uzemljuje tj. vezuje jednim provodnikom za zemlju. Jedan od razloga je bezbednost. Na primer, kod metalnog oklopa poreta ako doe do neeljenog spoja sa vodom pod visokim naponom, uzemljenje spreava da on bude na tom visokom potencijalu opasnom po ivot. Uzemljenje se izvodi tako to se u zemlju zakopa ili zabije dobar provodnik relativno velike povrine (debeo metalni tap koji se zabije u zemlju). To se naziva uzemljiva. Neka je radi jednostavnosti, oblika polulopte, poluprenika a. Ureaj koji elimo da uzemljimo vezuje se za njega provodnikom (slika 3.10).

Zemlju sa uzemljivaima prijemnika i generatora moemo da posmatramo kao neki otpornik. Njegova otpornost se naziva otpornost uzemljenja. Uzemljiva generatora je obino bolje izveden od uzemljivaa prijemnika. Neka je i on oblika polulopte, poluprenika b (b>>a). Vai da je

zemljeuzemlj

24

22 rIE

pi=

Slika 3.11. Idealizovani prikaz uzemljivaa sa slike 3.10

Razlika potencijala izmeu velike i male polulopte (slika 3.11) je

==== r

Ir

drIdrr

IldEVVb

a

b

a

b

a

ba1

222 22 pi

pi

pi

odnosno

=

baIVV ba

112pi

Uz uslov ab >> , tj. ba11

>> , dobija se a

IVV ba pi

2 , pa je otpornost polusfernog

uzemljivaa

aIU

IVVR abbauz pi

2

==

=

gde je specifina otpornost zemlje. Prilikom udara groma kroz uzemljiva postoji struja i vie hiljada ampera. Ako je sredina u

kojoj je uzemljiva relativno slab provodnik, elektrino polje u takama blizu uzemljivaa moe imati velike vrednosti. To vai i za take na povri zemlje. Taj napon moe biti opasan po ivot. Napon na povri zemlje u okolini uzemljivaa izmeu dve take na rastojanju ovejeg koraka naziva se napon koraka za dati uzemljiva (slika 3.12), i dobija se relacijom.

( )daaId

daaIUkoraka +

=

+=

pi

pi

2

112

Napon koraka zavisi od vrste uzemljivaa, jaine struje kroz njega i zemlje. Ovaj napon moe biti i nekoliko hiljada volti.

Primer 3.1. Neka je: specifina otpornost zemlje mz = 210 , poluprenik uzemljivaa a = 1m. Odrediti otpornost uzemljenja. Za otpornost uzemljenja dobija se

=== 92,152 aI

VVR bauz pi

25

Slika 3.12. Napon koraka

Primer 3.2. Odrediti jainu struje kroz uzemljiva pri zemljospoju kunog aparata, za uzemljiva iz primera 3.1.

Za jainu struje se dobija AV

RUI

uz

82,13 92,15 220

=

==

Osigura, koji je obino 16 A, verovatno ne bi pregorio, pa uzemljenje nije uvek garancija sigurnosti od elektrinog udara.

Primer 3.3. Odrediti napon koraka pri jaini struje kroz uzemljiva, iz primera 3.1, I = 1250A (na primer pri zemljspoju provodnika na potencijalu 20 kV).

Napon koraka je

VU koraka 852675,011

11

21250102

=

+

=

pi

26

4. ELEKTRINI GENERATORI I DRUGI KIRHOFOV ZAKON

Do sada smo smatrali da na slobodne elektrone deluje samo elektrina sila, koja je posledica postojanja elektrinog polja u provodniku (polje vika naelektrisanja), osim kda smo govorili o generatorima. Meutim na slobodne nosioce mogu, u pojedinim delovima strujnog polja, delovati i druge sile. Od posebnog tehnikog znaaja su sile koje deluju u generatorima (koji se nazivaju i izvorima struje, ili izvorima napajanja), jer se u njima jedna vrsta energije (hemijske, mehanike, svetlosne) pretvara u elektrini rad. Na primer akumulatori, baterije, obrtni generatori.

Te sile, koje deluju u generatorima, nisu u relaciji sa elektrinim poljem i nazivaju se i stranim ili pobudnim silama.

Bez generatora ne bi mogla postojati struja, jer mora postojati izvor energije koji nadoknauje Dulove gubitke, a koji neminovno postoje kad god postoji struja.

U hemijskim izvorima struje (baterijama ili akumulatorima) na slobodne nosioce naelektrisanja deluju elektrohemijske sile. U elektrodinamikim generatorima (obrtni generatori) na nosioce deluju sile koje nastaju usled elektromagnetske indukcije (pri promeni magnetske indukcije u funkciji vremena, ili pri kretanju provodnika u magnetskom polju)15.

Dakle, to smo i ranije pokazali, za odravanje vremenski konstantne elektrine struje u provodnicima neophodno je prisustvo stranih sila (neelektrinih) posredstvom kojih se elektrina optereenja mogu pomerati u smeru suprotnom od smera delovanja elektrinih sila. Stranu silu koja deluje na jedno naelektrisanje oznaiemo sa strF . Strane sile se ukljuuju u analizu strujnog polja na sledei nain: U prostoru u kome postoje strane sile, postoji u optem sluaju i elektrino polje ( E ) usled vika naelektrisanja (slika 1.2). Zbog toga na jedan slobodni nosilac naelektrisanja Q deluje i strF i EQF e = . Rezultanta sila koje deluje na naelektrisanje Q je

strstre FEQFF +=+

Da bi se strane sile ukljuile u jednaine, formalno na isti nain kao i elektrine sile, uvodi se (matematiki) veliina koja se naziva stranim (pobudnim) poljem. Oznaava se sa strE , a definie relacijom

strstr EQF = , odnosno QFE strstr =

Definicija je analogna definiciji vektora jaine elektrinog polja, uvedenog u elektrostatici

QFE e=

.

Sada je ( )strstre EEQFF +=+

U prostoru gde postoji samo elektrino polje vika naelektrisanja, sila koja deluje na jedan nosilac je EQ . U prostoru u kome postoje i strane sile (u generatoru), sila je ( )strEEQ + . Dakle, kod generatora se formalno javlja zbir strEE + , umesto samo E . Zbog toga kod linearnih materijala, u domenu u kome postoje strane sile, mora se pisati ( )strEEJ += , koja sada predstavlja konstitutivnu relaciju. 15

O elektromagnetskoj indukciji emo govoriti u predmetu Osnovi elektrotehnike 2, u prvom delu koji nosi naziv elektromagnetizam.

27

Ako je sredina u kojoj postoje strane sile savreno provodna (tj. ), pri konanoj jaini struje, mora biti 0=+ strEE . Ako je sredina konano velike provodnosti, ali je 0=J (u generatoru nema struje, odnosno generator je u praznom hodu), i tada je u generatoru 0=+ strEE , odnosno strEE = .

U optem sluaju je 0+ strEE . Kao primer generatora posmatrajmo elektronsku cev (diodu), slika 4.1a. Usled zagrevanja katode (K) neki elektroni dobijaju toliku srednju kinetiku energiju da mogu savladati elektrine sile koje ih dre i izau iz povri metala (termojonska emisija). Deo elektrona koji su napustili katodu koja se zagreva dospevaju na drugu elektrodu, anodu (A, koja se ne zagreva). Zbog toga anoda postaje negativno naelektrisana, a izmeu anode i katode nastaje elektrino polje koje tei da sprei elektrone da dou na anodu (kaemo da ih koi). Proces prelaenja elektrona prestaje kada rad koji treba da se izvri protiv elektrinih sila postane vei od poetne kinetike enegije elektrona, tj. kada napon izmeu A i K dostigne vrednost datu jednainom

eUmv =2021

a) b) Slika 4.1. Pretvara toplotne energije u elektrinu (a), ematski prikaz elektrinog generatora (b)

Ako bi A i K povezali provodnikom, kroz njega bi poela da tee struja. Ali tada, bi se smanjilo naelektrisanje A i K, pa bi se smanjilo i poetno elektrino polje izmeu njih, pa bi poetna brzina elektrona v0 opet postala dovoljna da elektroni mogu da stignu do anode A i pored koee elektrine sile. Na kraju bi se uspostavilo stacionarno stanje u kome onoliko elektrona koliko u nekom vremenskom intervalu dospe sa K na A kroz vakuum (unutar cevi), napusti A kroz provodnik i vrati se na K.

Neelektrine sile koje u ovom sluaju pomeraju elektrina optereenja nasuprot delovanju elektrinih sila su sile inercije elektrona. U ovom generatoru te sile deluju na celom putu od jedne do druge elektrode generatora. To nije uvek sluaj. U naem primeru je elektrina sila EeF e = , a strana sila amF str = , gde je a ubrzanje elektrona u posmatranom trenutku, a m masa elektrona. Slino, i dve eletrode od odgovarajueg razliitog materijala, koje se nalaze u odgovarajuem rastvoru) se ponaaju kao elektrini generator (akumulator, baterija). Neelektrine sile, u ovom sluaju, su hemijske sile, koje deluju samo na dodirnoj povrini elektroda i rastvora, i tee da spoje jone iz rastvora i atome materijala elektroda u neko novo jedinjenje.

28

4.1. Elektromotorna sila i unutranja otpornost generatora

Ponaanje elektrinih generatora u odnosu na njihove prikljuke, bez obzira na prirodu stranih sila, opisuje se sa dve veliine: - elektromotorna sila i - unutranja otpornost. Posmatrajmo generator ematski prikazan na slici 4.1b. Prikljuci N i P nisu vezani provodnikom pa kroz generator nema struje tj. kaemo da je generator otvoren ili u praznom hodu. Pod dejstvom strE pozitivna optereenja e se nagomilavati na elektrodi P a negativna na elektrodi N. Time se stvara elektrino polje koje se suprotstavlja daljem naelektrisanju prikljuaka generatora. Proces naelektrisanja prestaje kada je ukupna sila na naelektrisanje jednaka nuli, tj.

00 =+== estruk FFF

Kako je po definiciji EQF e = , a strstr EQF =

odatle sledi

0=+ strEE

u svim takama otvorenog generatora gde deluju strane sile.

Elektromotorna sila (ems) nekog generatora se definie kao kolinik rada koji izvre strane sile u generatoru pri prenoenju kroz generator naelektrisanja Q sa negativne na pozitivnu elektrodu.

Rad stranih sila je

===P

N

str

P

N

str

P

N

str ldEQldEQldFA

Integracija se obavlja kroz proizvoljnu putanju kroz generator. Elektromotorna sila (ems), koju emo oznaiti velikim slovom E (ne treba meati sa intenzitetom vektora elektronog polja) se definie na sledei nain

==P

N

str ldEQAE

Ova jednaina vai za bilo koji reim rada generatora. U sluaju praznog hoda vai 0=+ strEE a to znai EE str = , pa je

NP

N

P

P

N

VVldEldEE === Dakle konano je

phNP UVVE == Ovo vai za generator u praznom hodu, pa se naziva i napon praznog hoda Uph.

Ems je skalarna veliina. Ipak se uvodi pojam smera ems, pri emu se podrazumeva smer delovanja stranih sila u generatoru na pozitivna optereenja tj. od N ka P. Kako je rad stranih sila u generatoru pri prenoenju Q sa N na P po definiciji

29

QEAg = ako je jaina vremenski kostantne struje I a njen stvarni smer kroz generator od N ka P tada je

tIQ =

gde je t - vremenski interval za koji proe koliina naelektrisanja Q, pa je tIEAg =

Obino se, umesto rad stranih sila u generatoru, kae rad generatora. Snaga generatora (rad stranih sila) je tAg / , tj.

EIPg = Relacija vai pod pretpostavkom da je referentni smer struje takav da izlazi iz pozitivne

elektrode (slika 4.2a), tj. usaglaeni smerovi za generator, a desno, radi poreenja, za otpornik.

a) b) Slika 4.2. Usaglaeni smerovi za generator (a) i otpornik (b)

Kada kroz generator postoji struja I, u njemu samom dolazi do pretvaranja jednog dela energije elektrnog polja u toplotu pa je, kao kod otpornika, snaga Dulovih gubitaka srazmerna kvadratu struje (videti podpoglavlje 3.4).

2gen.u j IRP g=

Rg se esto ne moe izraunati, a naziva se unutranja otpornost generatora. Snaga Dulovih gubitaka, je uvek pozitivna.

4.2. Odreivanje jaine struje u elektrinom kolu sa jednim generatorom i otpornikom

Posmatrajmo generator ems E i unutranje otpornosti Rg. Neka je za prikljuke generatora vezan otpornik otpornosti R, (slika 4.3).

Slika 4.3. Elektrino kolo (prosto elektrino kolo)

30

Ovakva veza naziva se elektrino kolo16. Kroz kolo postoji jaina struje koju za sada ne znamo, a moe se odrediti na sledei nain: Pretpostavimo da je jaina struje kroz kolo I, pa je

EIPg = Snaga Dulovih gubitaka u generatoru i spoljanjem kolu (otporniku) jednaka je

2gen.u j IRP g= i

2Ru j RIP =

Po zakonu o odranju energije snaga generatora mora biti jednaka ukupnoj snazi gubitaka (u otporniku otpornosti R i u generatoru (na unutranjoj otpornosti generatora)), tj.

22 RIIREI g += Ako obe strane jednakosti podelimo strujom I, dobija se ( )RRIRIIRE gg +=+= odakle je

RREI

g +=

(*)

Iz ove jednaine slede dva vana zakljuka: 1) Ako stavimo R = 0 kaemo da je generator kratko spojen, onda je

gREI =sp. kr.

Ako se izmeri ems generatora kao napon praznog hoda E = Uph, i izmeri struja kratkog spoja Ikr.sp. onda se Rg moe, na osnovu tih merenja, izraunati relacijom

sp. kr.IERg = .

Ovo je najprostiji nain odreivanja Rg ali je esto praktino nemogue ostvariti uslove kratkog spoja dovoljno dugo za merenje struje kratkog spoja, a da se generator ne oteti. Zbog toga se za prikljuke generatora vee otpornik, tano poznate otpornosti R, pa se izmeri struja kroz kolo, a zatim se koristei relaciju (*) izrauna Rg.

IRIERg

=

2) Podruje u kome se u generatoru elektrina energija pretvara u toplotu, sigurno se bar delimino preklapa sa podrujem u kome deluju strane sile. To znai da se unutranja otpornost u stvarnosti nalazi u samom generatoru. Ali prema relaciji

RREI

g += elektrino kolo se moe shvatiti

i kao generator bez unutranje otpornosti, vezan na rednu vezu otpornika otpornosti gR i R . To znai da, formalno, svaki generator moemo predstaviti u vidu redne veze tzv. idealnog naponskog generatora (ING, generator ija je unutranja otpornost jednaka nuli), i otpornika ija je otpornost jednaka gR . Prema Omovom zakonu, ovako predstavljen generator u odnosu na svoje prikljuke ima iste osobine kao realni naponski generator (RNG). To se ematski predstavlja kao a slici 4.4.

16 Neki autori ovakvu vezu, bez grananja (jedna kontura, videti podpoglavlje 4.7, odnosno poglavlje 5), nazivaju prosto elektrino kolo, a sloenije veze, gde postoji grananje, nazivaju elektrino kolo. Ukoliko se za ovu vezu koristi naziv elektrino kolo, onda se za sloenije veze (sa grananjem) koristi naziv elektrina mrea.

31

Slika 4.4. Razni naini oznaavanja generatora na elektrinim emama

Desne dve slike, na slici 4.4, su stariji nain oznaavanja naponskog generatora na elektrinim emama. Crta kroz krug oznaava da generator nema unutranju otpornost. Znak + oznaava referentni kraj (elektrodu) generatora, koji je po pretpostavci na viem potencijalu (referentni smer je od neobeleenog ka obeleenom kraju). Kod starijeg naina oznaavanja se podrazumeva da dua crta predstavlja referentni kraj, pa znak + i nije neophodan.

4.3. Uslov prenosa maksimalne snage

Uslov prenosa maksimalne snage, ili uslov prilagoenja, daje odgovor na pitanje koliku otpornost treba da ima otpornik prikljuen izmeu krajeva generatora da bi snaga Dulovih gubitaka u otporniku bila maksimalna mogua. Posmatrajmo prosto kolo kao na slici 4.5.

Slika 4.5. Prosto elektrino kolo za izvoenje uslova prenosa maksimalne snage

Struja u kolu data je izrazom

xg RREI+

=

Snaga Dulovih gubitaka na otporniku je

( )222 xgx

xR RRREIRP

x +==

Oigledno da je za i , pa pretpostavljamo da negde izmeu moe da postoji maksimum (slika 4.6).

32

Slika 4.6. Zavisnost snage na otporniku od vrednosti otpornika u prostom kolu

Najvea snaga dobija se iz uslova

0=x

R

dRdP

x

odnosno ( ) ( )

( ) 02

4

2

=

+

++

xg

xxgxg

RRRRRRR

, odakle sledi

gx RR = , uz uslov da je Rx pozitivno. Odavde sledi da su pri prenosu maksimalne snage (prilagoenje po snazi) snage Dulovih gubitaka u generatoru i otporniku Rx iste. Ovo je nepovoljan uslov za prenos velikih snaga i tada se ne koristi. Najee se prilagoenje koristi pri prenosu malih snaga.

Koeficijent korisnog dejstva Definie se kao kolinik korisne snage (na otporniku otpornosti R) i uloene snage (snage koju ulae generator), tj.

ERI

EIRI

PP

g

R===

2

Kako je RREI

g += , to se dobija RR

R

g +=

.

Pri prilagoenju ( RRg = ), dobija se 5,021

2===

RR

pril , ili 50%. Uoite da je na slici 4.5 nepoznati otpornik prikljuen na realni naponski generator (RNG). Kako se bilo koji deo mree moe zameniti naponskim generatorom (to emo videti kada budemo radili Tevenenovu teoremu, odeljak 5.7.4), to umesto otpornika moemo posmatrati i granu neke mree, a ta grana moe biti i generator, i traiti prilagoenje takve grane na ostatak mree.

4.4. Napon izmeu prikljuaka generatora

Posmatramo prosto kolo kao na slici 4.5. Najprostiji je sluaj kad je Rg zanemarljivo, teorijski jednako nuli, tj. Rg = 0, (slika 4.7). Tada je struja u kolu

RE

RREI

g

=

+=

33

Slika 4.7. Uz definisanje pojma "idealni naponski generator"

U tom sluaju je napon izmeu krajeva otpornika i krajeva generatora ERIUU R ===

bez obzira na jainu struje kroz generator. Dakle napon izmeu krajeva ovakvog generatora uvek je isti i jednak elektromotornoj sili. Ovakvi generatori se nazivaju idealni naponski generatori (ING). ING mogu da se opiu karakteristikom kao na slici 4.8, a ematski kao na slici 4.9.

Slika 4.8. Karakteristika ING Slika 4.9. ema ING

Relacije za vezu napona izmeu krajeva ING i elektromotorne sile generatora su EEVVU BAAB =+==

EVVU ABBA == Na viem potencijalu je uvek kraj oznaen sa plus (+) bez obzira na smer struje. Posmatrajmo sada realni naponski generator (RNG) tj. generator kod koga je Rg 0. Izraunavanje napona izmeu prikljuaka generatora se svodi na algebarsko sabiranje napona na krajevima idealnog generatora i otpornika Rg . esto se grei jer se ne vodi rauna o referentnom smeru struje. Mogu biti dva sluaja:

1. Referentni smer struje je isti kao i referentni smer elektromotorne sile (slika 4.10a).

a) b) Slika 4.10. Izraunavanje napona izmeu prikljuaka realnog naponskog generatora

34

U tom sluaju za napon izmeu krajeva A i B moemo pisati ( ) ( ) EIRUUVVVVVVU gCBACBCCABAAB +=+=+==

( ) ( ) IREUUVVVVU gCABCACCBBA +=+=+=

2. Referentni smer struje je suprotan referentnom smeru elektromotorne sile (slika 4.10b). U sluaju na slici 4.10b, za napon izmeu krajeva realnog naponskog generatora je

EIRUUU gCBACAB +=+= IREUUU gCABCBA =+=

Treba uoiti razliku u predznacima u jednom i drugom sluaju. Relacija koja pokazuje zavisnost napona na krajevima RNG i struje kroz njega, grafiki je prikazana na slici 4.11. Na istoj slici je ucrtana i karakteristika ING i idealnog strujnog generatora (ISG) koji emo uvesti u podpoglavlju 4.8.

Slika 4.11. Karakteristike ING, RNG i ISG

4.5. Odreivanje jaine struje u elektrinom kolu sa vie generatora i otpornika

Neka elektrino kolo sadri proizvoljan broj generatora i otpornika vezanih u red (slika 4.12).

Slika 4.12. Elektrino kolo sa vie generatora i otpornika vezanih na red

35

U sluaju jednog generatora u kolu smer struje mora biti isti kao i smer elektromotorne sile. U sluaju kao na slici 4.12, nemoemo nita unapred rei o stvarnom smeru struje, jer on zavisi od smerova i vrednosti elektromotornih sila svih generatora. Zbog toga proizvoljno usvajamo jedan od dva mogua smera struje za referentni. Kako je elektrino polje vremenski konstantnih struja isto kao elektrostatiko polje onda za (prosto) elektrino kolo mora da vai

0=C

ldE

Neka kontura za cirkulaciju vektora elektrinog polja E bude crtkana linija na slici 4.12, pa je

faefdecdbcabC

UUUUUUldE +++++== 0 Kako je

22 EIRU gab += , IRUbc 1= i tako dalje, to za cirkulaciju vektora E moemo pisati

IREIRIREIRIREIR ggg 1133321220 ++++++= ( )3213211320 ggg RRRRRRIEEE ++++++= (1) odakle je

321321

321

ggg RRRRRREEEI

+++++

+=

odnosno, u optem obliku zapisano ( )

=

RE

I

Plus (+) za elektromotornu silu se uzima ako se smer elektromotorne sile poklapa sa referentnim smerom struje, u suprotnom se stavlja minus (-). Ako je u razmatranom kolu stvarni smer struje isti kao referentni, tada je smer struje kroz generatore E1 u E3 u smeru njihove elektromotorne sile, a u generatoru E2 suprotan. To znai da generator E2 ne radi kao generator, ve kao potroa, jer se u njemu optereenja pomeraju nasuprot smeru delovanja stranih sila (ako se radi o akumulatorima, oni bi se punili). Po zakonu o odranju energije (videti i odeljak 5.7.6), zbir snaga svih generatora koji rade kao generatori mora biti jednak zbiru Dulovih gubitaka u svim otpornicima i snaga uzetih sa predznakom plus (+) onih generatora koji rade kao prijemnici. Ako relaciju (1) pomnoimo sa strujom I, dobijamo, u stvari, ukupnu snagu generatora i otpornika, o emu emo govoriti kasnije (videti odeljak 5.7.6). ( ) 23213211320 IRRRRRRIEIEIE ggg ++++++=

4.6. Potencijal i napon u elektrinom kolu

Posmatrajmo sledee elektrino kolo (slika 4.13). Napon izmeu bilo koje dve take u kolu jednak je zbiru napona izmeu prikljuaka pojedinih otpornika i generatora koji se nalaze izmeu te dve take.

36

Slika 4.13. Primer odreivanja napona izmeu dve take u elektrinom kolu

Taj napon ne zavisi od putanje kojom ga raunamo (ovde vai kao u elektrostatici: razlika potencijala (napon) ne zavisi od putanje kojom se rauna). Na primer, odredimo napon izmeu taaka C i G sumirajui du putanje CDEFG, kao na slici 4.13 (sumiramo idui smerom CDEFG).

IREIRIREIRUUUUU ggFGEFDECDCG 433223 ++++=+++= Isti rezultat treba da se dobije za napon izmeu taaka C i G, ako ga raunamo du putanje CBAG (sumiramo idui smerom CBAG):

IRIREIRUUUU gAGBACBCG 1112 +=++= Ovaj postupak izraunavanja se moe ematizovati. Pri izraunavanju napona u kolu postoje 3 smera o kojima treba voditi rauna:

1. smer elektromotorne sile pojedinih generatora 2. referentni smer struje 3. smer du kola, kojim pri izraunavanju napona idemo od jedne do druge take u kolu.

Na osnovu dosadanjih primera zakljuujemo: - u sluaju kretanja od take A ka taki B je ( )

B kaA od = ERIU AB Ako se smer putanje od take A ka taki B i referentni smer struje kroz otpornik, odnosno smer elektromotorne sile (ems) generatora, poklapaju, sabirci RI odnosno E uzimaju se sa pozitivnim predznakom, imajui u vidu da minus (-) iz formule ostaje. U suprotnom se uzimaju sa negativnim predznakom, a - u sluaju kretanja od take B ka taki A je ( )

A ka B od = RIEU AB I ovde vai isto pravilo, ali ako se smer putanje od B do A poklapa sa referentim smerom struje, odnosno referentnim smerom ems generatora. Na primer, odredimo napon izmeu taaka C i G. Za referentni smer obilaska du kola usvojimo smer GFEDC, kao na slici 36.

( ) ( ) ( ) ( )IREIRIREIRUUUUU ggDCEDFEGFCG 322334 +=+++= Slino moemo izraziti i napon izmeu taaka C i G idui putanjom GABC i videti da dobijamo isti rezultat kao za putanju CBAG.

Napomena: ni jedna od ove dve relacije nemoe se primeniti ako putanja prelazi preko idealnog strujnog generatora (ISG).koji emo uvesti u podpoglavlju 4.8. Tada treba primeniti optu relaciju

= UU ab

37

gde vai pravilo da kada se ide od B ka A, uzima se - ako se prvo naie na referentni kraj otpornika ili generatora, i obrnuto. Osim napona izmeu bilo koje dve take, moe se definisati i potencijal neke take u kolu. Za to je potrebno, u skladu sa definicijom potencijala, odabrati jednu taku za referentnu taku potencijala (taka u kojoj je, po definiciji, potencijal jednak nuli). To moe biti bilo koja taka u samom kolu ili izvan njega. Najee se za referentnu taku uzima taka na povri zemlje, a jedna taka u kolu se vezuje provodnikom za zemlju. Tada se kae da je ta taka uzemljena, na primer taka G na slici 4.13. Uobiajene oznake za provodnik koji je uzemljen (vezan za zemlju) su na slici slici 4.14.

Slika 4.14. ematske oznake za uzemljenje

Izraunavanje potencijala se svodi na izraunavanje razlike potencijala izmeu posmatrane i referentne take i za to vai ve izloeni postupak. Ako referentnu taku oznaimo sa R onda je potencijal neke take A ( )

R doA od = ERIVA odnosno ( )

A do R od = RIEVA Za predznake vae ista pravila kao kod odreivanja napona. Ako za referentnu taku izaberemo taku G (slika 4.13.) onda je napon UCG istovremeno i potencijal take C. Zbog toga se ponekad govori o naponu neke take u kolu, podrazumevajui pri tome potencijal te take, odnosno napon izmeu te take i referentne take.

Ponekad se koristi i naziv pad potencijala ili pad napona, na primer na nekom otporniku, pri emu se misli na razliku potencijala izmeu njegovog pozitivnog i negativnog kraja. Posmatrajmo kolo na slici 4.15a. Dosta oigledna predstava o promeni potencijala du elektrinog kola (ili jednog njegovog dela) dobija se crtanjem tzv. potencijalnog dijagrama (slika 4.15b, c, d). To je dijagram u kome se, u odgovarajuoj razmeri, po vertikalnoj osi se nanosi potencijal taaka, a po horizontalnoj osi nanose take du kola srazmerno otpornostima, slika 4.15b, ili bez razmere (bez rastojanja izmeu krajeva ING, slika 4.15c, ili sa rastojanjem izmeu krajeva ING, slika 4.15d, po takama u kolu). Potencijali su proraunati i dijagrami crtani za sledee vrednosti elemenata: E1 = 10 V, E2 = 20 V, Rg1 = 1 , Rg2 = 1 , R1 = R3 = 2 , R2 = 4 . Ako je razmera na horizontalnoj osi proporcionalna otpornostima izmeu krajeva segmenata, tada nagib dui u dijagramu mora biti srazmeran jaini struje kroz posmatrani element.

a)

38

b) c)

d) Slika 4.15 a) elektrino kolo, b, c i d) varijante potencijalnog dijagrama tog kola

4.7. Elektrine mree i drugi Kirhofov zakon

U praksi se mnogo ee koriste sloene veze generatora i otpornika i nazivaju se elektrine mree ili sloena elektrina kola (slika 4.16).

Slika 4.16. Primer aktivne elektrine mree

Ako mrea sadri generator kae se da je aktivna mrea, a ako nema generator kae se da je pasivna. Mrea je linearna ako sadri samo linearne elemente, a nelinearna ako sadri bar jedan nelinearan element. Kod elektrinih mrea razlikujemo:

- vor - taka u kojoj se stiu dva ili vie provodnika, - grana mree - redna veza otpornika i generatora izmeu dva vora, izmeu kojih nema grananja.

39

Ako su struje u granama vremenski konstantne elektrino polje postoji unutar i u okolini elemenata od kojih je mrea nainjena i ima sve osobine elektrostatikog polja. Prema tome mora da vai

0=C

ldE

(ovo predstavlja drugi Kihofov zakon u najoptijem obliku)

U teoriji mrea je uobiajeno da se ovaj integral izraava preko napona, izmeu krajeva otpornika i generatora, koji se nalazi u granama i obrazuju konturu. Pa se predhodna jednaina moe pisati

0= RIE (drugi Kirhofov zakon, vai za svaku zatvorenu konturu)

Ispred E i RI se podrazumeva predznak plus (+) ako je smer elektromotorne sile, odnosno referentni smer struje isti kao smer obilaenja konture (uoite da minus (-) u formuli ostaje). U suprotnom je predznak minus (-).

I ovde, kao kod raunanja napona ili potencijala (podpoglavlje 4.6), ova relacija nemoe se primeniti ako putanja prelazi preko ISG, koji emo uvesti u podpoglavlju 4.8. Tada treba primeniti optu relaciju

= 0U gde vai pravilo: ako se, pri sumiranju, idui u smeru orijentacije konture, prvo naie na referentni kraj otpornika ili generatora, uzima se -, i obrnuto.

4.8. Strujni generatori

Generator koji ima osobinu da jaina struje kroz njega ne zavisi od otpornosti otpornika koji je prikljuen na njegove krajeve, pod uslovom da se ta otpornost kree u izvesnim granicama, ponaa se kao generator konstantne struje, i naziva se idealni strujni generator (ISG). Na primer, za generator na slici 4.17a, pretpostavimo da je Rg >>R, pa je tada

0IRE

RREI

gg

=

+=

Oigledno da struja ne zavisi od R, pa takav generator predstavljamo kao na slici 4.17b.

a) b) Slika 4.17 a) realni naponski generator sa Rg >>R, b) idealni strujni generator

40

U literaturi se sree vie oznaka za ISG, a mi emo koristiti oznaku kao na slici 4.18a. Realni strujni generator (RSG) se prikazuje kao paralelna veza ISG i unutranje otpornosti Rs (slika 4.18b).

a) b)

Slika 4.18. Elektrina ema: a) ISG. b) RSG

Strelica (slika 4.18) pokazuje referentni sme struje kroz generator u odnosu na koji se daje jaina struje sI generatora. Vano je uoiti da je u grani u kojoj deluje ISG, jaina struje uvek jednaka struji ISG, bez obzira na veliinu otpornosti otpornika ili ems naponskih generatora koji su, eventualno, vezani na red sa takvim ISG, pa je jaina struje u grani uvek unapred poznata. Snaga ISG jednaka je proizvodu jaine struje kroz njega i napona izmeu njegovih prikljuaka. Jaina struje kroz generator je data, ali napon zavisi od naina prikljuivanja generatora i mora se odrediti posebno za svaki sluaj. Radi toga se odabire neka kontura u kojoj su poznati naponi na krajevima svih elemenata osim posmatranog strujnog generatora, i taj napon se odredi pomou II Kirhofovog zakona (II KZ). Usklaeni referentni smerovi za napon i struju ISG su prikazani na slici 4.19 (+ napona je na kraju gde struja izlazi iz prikljuka generatora).

Slika 4.19. Usklaeni referentni smerovi za napon i struju ISG

4.9. Ekvivalencija RSG i RNG

Izmeu idealnog naponskog generatora (ING) i idealnog strujnog generator (ISG) nema i nemoe biti ekvivalentnosti, jer su oni po definiciji razliiti. ING odrava stalan napon izmeu prikljuaka bez obzira na struju kroz njega, a ISG odrava stalnu struju kroz sebe bez obzira na napon izmeu svojih prikljuaka (slika 4.20).

a) b) Slika 4.20. Karakteristike: a) ING, b) ISG

41

Ekvivalentnost postoji izmeu realnog naponskog generator (RNG) i realnog strujnog generatora (RSG). Ekvivalentnost znai da se ponaaju isto u odnosu na prijemnik proizvoljne otpornosti R (daju istu struju i isti napon u odnosu na prikljuke). To znai da se uvek moe nai RSG koji je ekvivalentan RNG i obrnuto (slika 4.21). Odredimo uslove ekvivalencije, na primer iz uslova jednakosti struja kroz otpornik otpornosti R). U sluaju RNG (slika 4.21a) struja kroz otpornik otpornosti R je

RREI

g +=

(1)

U sluaju RSG (slika 4.21b) napon izmeu prikljuaka generatora je

RRRR

IUs

ss +

=

pa je struja kroz otpornik otpornosti R

RRRI

RUI

s

ss +

== (2)

(Napomena: paralelna veza Rs i R se moe posmatrati kao strujni delitelj, koji emo objasniti u odeljku 5.6.)

a) b) Slika 4.21. Uz izvoenje ekvivalencije RNG (a) i RSG (b)

Da bi u oba sluaja jaina struje I bila ista (relacije (1) i (2)), mora biti ispunjen uslov: gs RR = i ERI ss =

Odatle sledi da je EG

REI g

gs ==

Dakle gs RR = i EGREI g

gs == su elementi RSG koji je ekvivalentan RNG iji su

elementi E i Rg. Ako su poznati elementi RSG (Is i Rs), elementi RNG se dobijaju relacijama sg RR = i ss IRE =

Ako Rg 0 (RNG se svodi na ING), onda i Rs 0, pa bi prikljuci strujnog generatora bili kratko spojeni, a to znai da, u takvom sluaju, ne postoji strujni generator koji je ekvivalentan naponskom.

Posmatrajui sliku 4.21, zakljuuje se da ako su prikljuci RSG otvoreni, kroz njegovu unutranju otpornost Rs postoji struja. To znai da bi u ovakvom generatoru teorijski dolazilo do

42

stalnog pretvaranja elektrine energije u toplotu. Ovo je ipak samo posledica usvojenog modela RSG, ali ne i njegova stvarna (fizika) osobina. Od vrste generatora u mrei donekle zavisi nain na koji se reava mrea, tj. odreivanje struje u njenim granama (to e se videti kod metode konturnih struja i metode potencijala vorova). Napomenimo da postoje neregularne (nedozvoljene) veze ING i ISG. Na primer ne mogu dva ili vie ISG biti u rednoj vezi (jer onda nije jasno koja je struja u toj rednoj vezi, slika 4.22b). ING se mogu nalaziti u paralenoj vezi samo ako su ems svih generatora iste (nije dozvoljena veza ako su ems razliite, jer opet nije jasno koji je onda napon na krajevima te veze, slika 4.23b). Nisu dozvoljene veze ni kratkospojeni krajevi ING (slika 4.23a) i otvoreni krajevi ISG (slika 4.22a).

a) b) Slika 4.22. Neregularne veze ISG: a) otvorena veza, b) redna veza razliitih ISG

Slika 4.23. Neregularne veze ING: a) kratak spoj, b) paralelna veza razliiti ING

4.10. Osnovne integralne jednaine stacionarnog strujnog polja

Sada moemo konstatovati i osnovne integralne jednaine stacionarnog strujnog polja: 1. 0=

S

sdJ (jednaina kontinuiteta za vremenski konstantne struje, odakle, kao to smo

videli, sledi I Kirhofov zakon za vremenski konstantne struje); 2. 0=

C

ldE (zakon o cirkulaciji vektora elektrinog polja, to smo izveli u elektrostatici, a

odakle sledi II Kirhofov zakon); 3. ( )EJJ = koja se naziva konstitutivnom relacijom. Za linearne sredine vai EJ = . Uopteni Gausov zakon takoe vai, ali nije od primarne vanosti, a moe se primeniti

ukoliko se, pored raspodele struja, eli odrediti raspodela naelektrisanja.

43

5. METODE REAVANJA ELEKTRINIH MREA

5.1. Graf elektrine mree

Za svaku elektrinu mreu postoje dve njene karakteristike: - vrsta elemenata u mrei, i - njena geometrijska struktura.

Kada se radi o geometrijskoj strukturi, od interesa je samo nain na koji su pojedini elementi meusobno povezani, a ne i dimenzije i oblik spojnih provodnika ili samih elemenata. Da bi se istakla geometrijska struktura mree, uobiajeno je da se mrea crta samo pomou linija koje predstavljaju njene grane, i taaka (ili kruia) koji oznaavaju vorove mree, tj. mesta gde su dva ili vie elemenata mree meusobno povezani. Takav ematski prikaz mree naziva se graf.

Primer mree i njenog grafa prikazan je na slici 5.1a i b. Na slici 5.1b su prikazana dva naina crtanja istog grafa. Graf se karakterie samo brojem grana i vorova i nainom kako su povezani, a ne i oblikom crtanja grana, to se moe uoiti sa slike 5.1b.

. a) b)

Slika 5.1: a) elektrina mrea, b) dva oblika grafa elektrine mree sa slike (a)

Graf je planaran ako se grane (linije) ne seku kada se graf crta u jednoj ravni. Graf je povezan ako izmeu bilo koja dva vora uvek postoji putanja. Na osnovu grafa elektrine mree moe se doi do optih informacija o mrei, koje nisu

vezane za tip elemenata. Pokazaemo, na osnovu grafa mree, koliko se nezavisnih jednaina moe postaviti po I

Kirhofovom zakonu (I KZ), a koliko po II Kirhofovom zakonu (II KZ). Ako mrea ima n vorova, za svaki vor se moe postaviti jednaina po I KZ. Pokazaemo

da je od njih n meusobno nezavisno (n -1) jednaina. Posmatrajmo graf mree na slici 5.2. Za pisanje I KZ treba uvesti referentne smerove struja

u granama. I KZ za vor 1, znai sabrati sve struje kroz zatvorenu povr S1. Isto vai za vor 2, itd. ta fiziki znai sabrati jednaine za vor 1 i vor 2?. Struje grana koje spajaju vorove 1 i 2

javie se u zbiru dva puta, jednom sa pozitivnim, a drugi put sa negativnim predznakom, pa e se ponititi. Prema tome sabiranje jednaina po I KZ za dva vora je ekvivalentno primeni I KZ na povr koja obuhvata istovremeno oba vora (povr S12 na slici 5.2).

Nastavljajui ovako dolazimo do toga da primena I KZ na povr 1nS , koja obuhvata sve vorove osim jednog (ntog), daje zbir jednaina dobijenih za svih (n-1) vorova unutar te povri. Sa slike 5.2 se vidi da taj zbir daje jednainu

0321 =+ III

44

Ako primenimo I KZ na preostali vor, dobijamo jednainu istu kao prethodna, ali sa izmenjenim predznacima, tj.

0321 =+ III a to znai da se jednaina za poslednji vor moe dobiti sabiranjem jednaina za prethodnih (n -1) vorova, tj. da je posledica svih prethodnih, te da nije nezavisna. Time je pokazano da se za mree sa n vorova moe primeniti samo (n -1) nezavisnih jednaina po I KZ.

Slika 5.2. Sabiranjem jednaina po I KZ za vor 1 i 2, dobija se jednaina po I KZ za povr koja obuhvata oba ova vora

Odredimo broj nezavisnih jednaina koji se moe postaviti po II KZ. U tu svrhu posmatrajmo graf na slici 5.3a.

a) b) Slika 5.3. a) graf elektrine mree, b) dva primera stabala mree na slici (a)

Grane u grafu, koje spajaju sve vorove, ali ne formiraju ni jednu zatvorenu konturu, nazivaju se grane stabla, a njihova struktura stablo. Svaka mrea ima vie stabala (na slici 5.3b su, punim linijama, prikazana dva od moguih stabala mree na slici 5.3a). Preostale grane u mrei (crtkane linije na slici 5.3b, nazivaju se spojnice ili spone (i ine kostablo) i neka je njihov broj nk.

Ako mrea ima n vorova, stablo ima tano (n -1) granu, jer se prva grana stabla zavrava u dva vora, a svaka sledea samo u jednom novom voru.

Neka je broj grana u mrei ng, pa imamo u mrei ukupno spojnica ( )1 g nn . Svaka spojnica dodata stablu obrazuje jednu zatvorenu konturu17 (ne sme se proi dva puta istim putem). Jednaine dobijene po II KZ za sve konture koje obrazuje jedna spojnica i odgovarajue grane stabla su sigurno meusobno nezavisne, jer takve konture sadre jednu granu (tu spojnicu) koja ne pripada

17

U planarnom grafu kontura sa osobinom da ravna povr oslonjena na nju ne sadri nijednu granu grafa naziva se okce.

45

ni jednoj drugoj konturi. Takve konture se nazivaju nezavisne konture ili petlje i njihov broj koji se, u mrei, moe odabrati je

( )1= gk nnn Pored ovakvih nk kontura, u svakoj mrei je mogue odabrati proizvoljan broj drugaijih

kontura, koje obrazuju dve ili vie spojnica i odgovarajue grane stabla, ali one nisu nezavisne, pa jednaine po II KZ slede iz jednaina za nezavisne konture.

Na kraju moemo zakljuiti: 1 za mreu koja ima n vorova moe se postaviti (n -1) nezavisnih jednaina po I KZ, 2 ako posmatrana mrea ima ng grana, po II KZ se moe postaviti ( )1= gk nnn

nezavisnih jednaina, 3 od ng jaina struja u ng grana nezavisno je nk struja, a struje preostalih (n -1) grana

mree moemo odrediti preko tih nk struja, 4 od ng napona izmeu krajeva ng grana mree nezavisno je (n -1) napona, tj. naponi

izmeu krajeva preostalih nk grana mogu se izraziti preko tih (n -1) napona.

5.2. Reavanje elektrinih mrea direktnom primenom Kirhofovih zakona

Pod reavanjem neke elektrine mree podrazumeva se odreivanje struja u svim njenim granama ili napona izmeu krajeva svih grana.

Postupak direktnom primenom I i II KZ je sledei. Na osnovu broja grana i vorova mree odredi se broj jednaina koje se mogu napisati po I i II KZ: I KZ: 1n II KZ: ( )1= gk nnn to ini ukupno ng jednaina, gde su nepoznate struje ng grana. Zatim se nacrta graf mree i odabere jedno stablo. Dodaje se jedna po jedna spojnica granama stabla i za svaku konturu, koja se pri tom dobije, napie jednaina po II KZ. Tako se dobija nk jednaina. Preostalih (n -1) jednaina, pie se po I KZ za bilo kojih (n -1) vorova mree. Zatim se taj sistem jednaina reava i nalaze jaine struja kroz sve grane mree. Nedostatak direktne primene I i II KZ je veliki broj jednaina koje treba reavati. Postoje i druge metode kojima se reava manji broj jednaina:

- metodom napona izmeu vorova (potencijala vorova) reava se 1n jednaina, i - metodom konturnih struja reava se ( )1= gk nnn jednaina.

Kod obe ove metode jednaine se piu na ematizovan nain, to emo pokazati kasnije. Reavanje elektrinih mrea direktnom primenom I i II KZ ilustrovaemo na primeru mree

sa slika 5.4a. Postupak reavanja:

1- obeleimo i usvojimo smerove struja grana (broj grana ng = 6), sa I1, I2, I3, I4, I5, i I6 (slika 5.4b),

2- obeleimo vorove (broj vorova n = 4), sa 1, 2, 3 i 4 (slika 5.4b), 3- odaberemo vorove za koje piemo I KZ, neka su to vorovi 1,2 i 3, 4- nacrtamo graf mree (slika 5.4c, i odaberemo jedno od moguih stabala18, zatim nezavisne

konture i orijentiemo ih (slika 5.4d), broj nezavisnih kontura je ( ) ( ) 31461 === gk nnn

18

Studenti nerado koriste ovaj metod, ve radije koriste tzv. heuristiki metod, tj. odoka odreuju nezavisne konture, ali taj nain ponekad ne dovodi do dobrog rezultata.

46

5- piu se jednaine po I i II KZ.

a) b)

c) d) Slika 5.4 a) primer elektrine mree bez strujnih generatora, b)obeleeni vorovi i referentni

smerovi struja grana, c) graf te mree, d) jedno od stabala sa oznaenim i orijentisanim konturama

Jednaine po I KZ: vor 1 0431 =+ III vor 2 0542 =+ III vor 3 0631 =++ III

Jednaine po II KZ19 su Kontura I 033111 = IRIRE Kontura II ( ) ( ) 0665544111 = IRIRIRIRE Kontura III ( ) 055222 = IRIRE

Dobijen je sistem od 6 linearnih jednaina sa 6 nepoznatih (I1, I2, I3, I4, I5, i I6). Ovaj sistem se moe napisati i u obliku

0000 431 =++++ III

0000 542 =++++ III 19 Jednaine se piu po modelu 0= RIE (nesme se pisati po ovom modelu za konturu koja prolazi kroz ISG), ili 0=U (ako se prvo naie na referentni kraj uzima se predznak -), objanjenom u odeljku 4.7. Ako imamo granu sa ISG onda ona mora da bude obuhvaena sa samo jednom konturom, tj. ta grana mora biti spojnica.

47

0000 631 =+++++ III 13311 0000 EIRIR =++++

16655441 00 EIRIRIRIR =+++ 25522 0000 EIRIR =++++

Sistem ovih jednaina je oblika

j

n

kkjk bIa

g

==1

, j = 1, 2, ... , ng Koeficijenti ajk i bj su poznati, a Ik nepoznate. Ovakav oblik sistema jednaina se dobija i

kod nekih drugih metoda. Reavanje ovog sistema jednaina se obavlja bilo kojom metodom (zamena, determinante).

5.3. Metoda konturnih struja

Primena I i II KZ za izraunavanje struja grana u elektrinoj mrei zahteva reavanje relativno velikog sistema jednaina Jednaine napisane po I KZ imaju prost oblik i dozvoljavaju da se pomou njih odmah eliminie (n -1) nepoznatih struja, ijom se zamenom u jednaine po II KZ sistem svodi na ( )1= gk nnn jednaina po isto toliko nepoznatih struja. Za prethodni primer (podpoglavlje 5.2), izvrimo eliminaciju struja I1, I5 i I6 koje nisu struje nezavisnih grana, a preostale struje nezavisnih grana obeleimo (u skladu sa oznakama kontura) sa

III =3 , IIII =4 i IIIII =2 Prema I KZ je

01 =+ III III odakle sledi III III =1 05 =+ III IIIII odakle sledi IIIII III =5 061 =++ III I odakle sledi IIIIII IIIII ==6

Posle zamene tako dobijenih relacija u jednaine po II KZ i sreivanja, dobija se ( ) 1131 0 EIRIRR III =++

( ) 1565411 EIRIRRRRIR IIIIII =++++ ( ) 25250 EIRRIR IIIII =++

Dobijeni sistem jednaina ima sledei opti oblik: 111131211 ... EIRIRIRIR nnIIIIII =++++

222232221 ... EIRIRIRIR nnIIIIII =++++

333333231 ... EIRIRIRIR nnIIIIII =++++ .

nnnnnIIInIInIn EIRIRIRIR =++++ ... 321 i nazivaju se jednaine konturnih struja. U ovim jednainama nepoznate struje II, ..., In su struje nezavisnih grana kontura (konturne struje), tj. struje nezavisnih kontura koje bi inile prosto kolo (slika 5.5a).

48

Slika 5.5a. Struje nezavisnih kontura koje bi inile prosta kola elektrine mree sa slike 5.4a

Kao to smo ranije napomenuli, metoda konturnih struja omoguuje da se na ematizovan nain napie ( )1= gk nnn jednaina u kojima su nepoznate konturne struje. Poreenjem opteg oblika jednaina sa jednainama izvedenim u primeru, dolazi se do sledeih pravila za direktno formiranje jednaina po metodi konturnih struja:

Ij jaina struje u konturi j, j=I, II, ..., n; Rjj zbir otpornosti grana koje ine konturu j; Rjk = Rkj (j k) algebarski zbir otpornosti grana koje su zajednike za konture j i k, k = I,

II, ..., n; o u zbiru se uzima predznak + ako su smerovi kontura j i k u grani isti, a u

suprotnom se uzima -; o ako dve konture nemaju zajedniku granu Rjk = 0;

Ejj - algebarski zbir ems grana koje ine konturu j; o u zbiru se uzima predznak + ako su smer ems i konture isti, a u suprotnom se

uzima -; o ako dve konture nemaju zajedniku granu Rjk = 0.

Ova metoda se naziva i metoda nezavisnih struja. Sistem jednaina je oblika

jj

n

kkjk EIR =

=1, j = 1, 2, ..., n = nk

Ako se ovaj sistem jednaina reava metodom determinanti, konturna struja II je

DDI I 1= , odnosno u konturi k D

DI kk = gde su:

- D determinanta sistema (obrazovana od konstanti uz nepoznate struje), - D1 determinanta gde su lanovi prve kolone zamenjeni sa slobodnim lanovima (u Dk su

lanovi k-te kolone zamenjeni slobodnim lanovima)

49

nnnn

n

n

RRR

RRRRRR

D

...

......

......

...

...

11

22221

11211

=

nnnnn

n

n

RRE

RRERRE

D

...

......

......

...

...

1

22222

11211

1 =

Razvojem determinante D1 po prvoj koloni dobija se 1212211111 , ... , nnn DEDEDED +++=

gde su Djk kofaktori ili algebarski komplementi determinante D (j-ta vrsta i k-ta kolona se izostavljaju), tj.

nnnn

n

n

RRR

RRRRRR

D

...

......

......

...

...

32

33332

22322

11 =

nnnn

n

n

RRR

RRRRRR

D

...

......

......

...

...

32

33332

11312

21 =

Determinanta D se pomou Dk razvija po obrazcu

=

=

n

kkjk DaD

1, gde je ( ) kjjka += 1

Posle zamene izraza za D1 u izraz za II, je

nn

I EDDE

DDE

DDI 122211111 , ... , +++=

Na slian nain konturna struja Ik dobija se relacijom

nnkkk

k EDDE

DDE

DDI +++= , ... ,222111 , k =1, 2, ..., n

Na osnovu izraunatih konturnih struja moe se izraunati struja bilo koje grane, kao algebarski zbir konturnih struja kontura kojima pripada posmatrana grana, tj.

konturag II = alg gde se u zbiru uzima predznak + ako su smer konturne struje poklapa sa smerom struje grane, a u suprotnom se uzima -.

Na primer, u posmatranom primeru, struja u grani I1 je III III =1

Izvedeni sistem jednain