完全 wkb 解析と multisummability...
TRANSCRIPT
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完全 WKB 解析と multisummability について小池 達也(神戸大学)
2016年 1月 7日超幾何方程式研究会 2016
この講演は R. Schäfke,大木谷佳昭 との共同研究をもとになっています.
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Outline
小さいパラメータ ε を含む二階線形常微分方程式(ε2
d2
dx2− Q(x , ε)
)ψ = 0 (ε > 0, small)
に対する WKB 解の Borel 総和可能性や multisummability について.
§1. 完全 WKB 解析と Borel 総和法
§2. ポテンシャルに ε が含まれる場合の総和可能性
§3. Multisummability
§4. WKB 解の multisummability への証明に向けて
§5. 未解決の事柄2/23
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§1. 完全 WKB 解析とBorel 総和法(ε2
d2
dx2− Q(x)
)ψ = 0
(⇐⇒ ε2
{dS
dx+ S2
}= Q(x)
)
WKB 解:
ψ(x , ε) = exp
[∫ xx0
S(x ′, ε)dx ′]
S(x , ε) =1
εS−1(x) + S0(x) + εS1(x) + · · ·
最初の数項は
S−1(x) = ±√
Q(x), S0(x) = −Q ′(x)
4Q(x), S1(x) = ±
[− 5 (Q
′)2
32Q5/2+
Q ′′
8Q3/2
],
この S(x , ε) は(多くの場合)発散級数.
▶ WKB 法 · · · 最初の数項を取り出して漸近解として扱う.(漸近的な関係式の導出)
▶ 完全WKB解析 · · · Borel 総和法により解析的な意味付けを行う.(exact な関係式の導出)
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Borel 総和法 (形式的)級数 f (ε) =∞∑n=1
fnεn = f1ε+ f2ε
2 + · · · に対して
Borel 変換 : (B1f )(y) = fB1(y) :=
∞∑n=1
fn(n − 1)!
yn−1,
Borel 和 : (S1f )(ε) = (L1 ◦ B1f )(ε) :=∫ ∞0
e−y/ε(B1f )(y)dy
▶ B1f が y = 0 近傍で収束するとき Borel 変換可能という.
▶ B1f が Borel 変換可能であり,正の実軸に沿って解析接続され,高々指数増大の場合(つまり Laplace 積分が収束する場合)Borel 総和可能という.
(注)
(n − 1)! =∫ ∞0
e−ttn−1dt = ε−n∫ ∞0
e−(y/ε)yn−1dy (y = s/ε)
=⇒ εn =∫ ∞0
e−(y/ε)yn−1
(n − 1)!dy
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Borel 総和法 (形式的)級数 f (ε) =∞∑n=1
fnεn = f1ε+ f2ε
2 + · · · に対して
Borel 変換 : (B1f )(y) = fB1(y) :=
∞∑n=1
fn(n − 1)!
yn−1,
Borel 和 : (S1f )(ε) = (L1 ◦ B1f )(ε) :=∫ ∞0
e−y/ε(B1f )(y)dy
▶ B1f が y = 0 近傍で収束するとき Borel 変換可能という.
▶ B1f が Borel 変換可能であり,正の実軸に沿って解析接続され,高々指数増大の場合(つまり Laplace 積分が収束する場合)Borel 総和可能という.
(例) f =∞∑n=1
(−1)n−1(n − 1)!εn に対して
Borel 変換 : (B1f )(y) =
∞∑n=1
(−1)n−1yn−1 = 1y + 1
Borel 和 : (S1f )(ε) =∫ ∞0
e−y/ε
y + 1dy
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WKB 解の Borel 総和可能性について述べるためには用語が必要.
▶ Q(x) の零点を変わり点という.
▶ Q(x) の零点 a に対して a を端点とする Stokes 曲線を Im∫ xa
√Q(x)dx = 0
で定義.
▶ 変わり点と Stokes 曲線の例
Q(x) = x Q(x) = x2 − 1
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(ε2
d2
dx2− Q(x)
)ψ = 0
(⇐⇒ ε2
{dS
dx+ S2
}= Q(x)
)
WKB 解:
ψ(x , ε) = exp
[∫ xx0
S(x ′, ε)dx ′]
S(x , ε) =1
εS−1(x) + S0(x) + εS1(x) + · · ·
Theorem 1
Q(x) が多項式のとき,Stokes 曲線上でない x に対して T (x , ε) := εS1(x) +ε2S2(x) + · · · は Borel 総和可能.
▶ x が Stokes 曲線上にあっても Borel 総和可能な時もある.
▶ Q(x) が有理関数のときでも多くの場合に成立.(例えば
Q(x) =1
(x − a1)(x − a2)(x − a3)
の時はわからない.)
▶ Stokes 曲線を横切る時 Stokes 現象が起きる.
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(証明の概要) T (x , ε) の Borel 変換 TB1(x , y) の満たす方程式
∂TB∂x
+ 2√
Q(x)∂TB∂y
+ 2S0(x)TB + TB ∗ TB = 0,
TB ∗ TB(x , y) =∫ y0
TB(x , y − t)TB(x , t)dt
を初期条件TB1(x , 0) = S1(x)
のもとで解く.この方程式の特性曲線は
y + 2
∫ x √Q(x) = (const).
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§2. ポテンシャルに ε が含まれる場合の総和可能性(ε2
d2
dx2− Q(x , ε)
)ψ = 0
Q(x , ε) = Q0(x) + εQ1(x) + εQ2(x) + · · · (finite sum)
(例えばクーロンポテンシャルの場合は ℏ = ε とすればQ(x) = −1x+ ε2
l(l + 1)
x2)
Theorem 2
Qj(x) が全て多項式でその次数を dj としたとき,「全ての j について dj ≤ d0」であれば,と同じ結果が成立.
▶ この定理で変わり点は Q0(x) の零点として,また,Stokes 曲線は
Im
∫ xa
√Q0(x)dx = 0 (a は変わり点)
として定義する.
▶ Qj(x , ε) が x について有理関数のときは,各特異点で 「(Qj(x) の位数) ≤(Q0(x) の位数)」という仮定になる.
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条件「全ての j について dj ≤ d0」が成立しない場合はどうなるか?
(1◦) Schäfke (2011): εdψ
dx= −(x − εx2)ψ + ε2 (ε: small)
点 x を固定し,arg ε を 0 から 2π に変化させたとき
ψ 7−→ ψ + C1eC2/εψ0,
ψ 7−→ ψ + C3eC4/ε3
ψ0.
といった二種類の Stokes 現象が起きる.このことを用いて形式級数解ψ = ψ0(x) + εψ1(x) + · · · が (3, 1)-summable であることを示した.
(2◦) Suzuki (2012), Takei (2015): ε2d2ψ
dx2= (x + ε2x2)ψ
この場合は
ψ+ 7−→ ψ+ + C1eC2/εψ−,
ψ+ 7−→ ψ+ + C3eC4/ε4
ψ−.
といった Stokes 現象が起き,WKB 解は (4, 1)-summable となる.
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問題
▶ Q(x , ε) = Q0(x) + ε2Q2(x) で各 Qj(x) は多項式であり,その次数を dj とし,d2 > d0 > 0 とすると Borel 総和法ではなく multisum を用いる必要があるらしい.Multisummability をどう証明するか?
▶ Multisummabile にならない条件はどう特徴付けられるか?(つまり, Stokes現象はどこで起きるか?)
▶ 接続公式はどのようになるか?
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§3. Multisummability
κ-sum (κ > 0) (形式的)級数 f (ε) =∞∑n=1
fnεn = f1ε+ f2ε
2 + · · · に対してκ-transf. : (Bκf )(y) = fBκ(y) :=
∞∑n=1
fnΓ(n/κ)
yn−1,
κ-sum : (Sκf )(ε) = (Lκ ◦ Bκf )(ε) :=∫ ∞0
e−(y/ε)κ
(Bκf )(y)d(yκ)
積分が収束するためには正の実軸に沿って (Bκf )(y) が解析接続され,∣∣(Bκf )(y)∣∣ ≤ C1 exp[C2|y |κ] ((Bκf )(y) の指数サイズが κ)(例: κ = 2) f =
∞∑n=1
(−1)n−1Γ(n/2)εn に対して
2-transf. : (B1f )(y) =
∞∑n=1
(−1)n−1yn−2 = 1y(y + 1)
2-sum : (S2f )(ε) =∫ ∞0
e−(y/ε)2
y(y + 1)· 2ydy = 2
∫ ∞0
e−(y/ε)2
y + 1dy
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f1 =
∞∑n=1
(−1)n−1Γ(n)εn : 1-summable
f2 =∞∑n=1
(−1)n−1Γ(n/2)εn : 2-summable
では,f = f1 + f2 の “和” は?
▶ (B1f2)(y) =∞∑n=1
(−1)n−1 Γ(n/2)Γ(n)
yn−2 =∞∑n=1
(−1)n−1 2√πyn−1
2nΓ((n + 1)/2)∼ eCy
2
故に L1 ◦ B1f2 は定義できない(積分が収束しない).
▶ (B2f1)(y) =∞∑n=1
(−1)n−1 Γ(n)Γ(n/2)
yn−1
収束しないので,L2 ◦ B2f1 は定義できない.
f の 1-sum も 2-sum も存在しない.f の和は S1f1 + S2f2 であって欲しい.
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Ecalle の trick: S1f1 + S2f2 = L1 ◦ B1f1 + L2 ◦ B2f2
L1 ◦ B1f1 = L2 ◦ B2 ◦ L1 ◦ B1f1 (OK)
L2 ◦ B2f2?= L2 ◦ B2 ◦ L1 ◦ B1f2= L2 ◦ A2,1 ◦ B1f2 (A2,1 = B2 ◦ L1)
B2 と L1 をそれぞれ積分作用素と考え,その積分順序を交換すると
(A2,1g)(z) =∫ ∞0
A2(ζ/z)g(ζ)dζ
Aα(ζ) :=1
2πi
∫γ
et−zt1/α
dt (α > 0).
この Aα(ζ) は ζ → +∞ のとき次の評価を持つ.
Aα(ζ) ∼ C1e−C2ζβ
(1
α+
1
β= 1, α = 2 の時は β = 2
B1f2 の指数サイズは 2 だったので A2,1B1f2 は well-defined.そこで (2, 1)-sum を S2,1 = L2 ◦ A2,1 ◦ B1f として定義する.
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一般に κ2 > κ1 > 0 に対して (κ2,κ1)-sum を
Sκ2,κ1 f = Lκ2 ◦ Aκ2,κ1 ◦ Bκ1 f
として定義する.ここで Aκ2,κ1 = Bκ2 ◦ Lκ1 は
(Aκ2,κ1g)(z) =∫ ∞0
Aκ2/κ1(ζ/z)g(ζ)dζ
の積分表示を持ち,
Aα(ζ) ∼ C1e−C2ζβ
(1
α+
1
β= 1, i.e., β =
κ2 − κ1κ1κ2
)
なので,Bκ1 f の指数サイズは高々
κ2 − κ1κ1κ2
(> κ1)
でなければならない.
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§4. WKB 解の multisummability への証明に向けて
Q(x , ε) = Q0(x) + ε2Q2(x) (= x + ε
2x2 : Suzuki-Takei)
各 Qj(x)は多項式で,その次数を dj とし,d2 > d0 > 0とする.この場合にはWKB解は ( d2 + 2
d2 − d0, 1)-summable となると予想される.
Theorem 3
x が Stokes 曲線上になければ B1T (x , y) は
{y ∈ C : dist(y ,R+) < δ}
に解析接続され,この領域で次が成立する.∣∣∣T (±)B (x , y)∣∣∣ ≤ C1 exp (C2|y |κ) with κ = d2 + 2d0 + 2.
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(証明の概要) T (x , ε) の Borel 変換 TB1(x , y) の満たす方程式
∂TB∂x
+ 2√Q0(x)
∂TB∂y
+ 2S0(x)TB + TB ∗ TB = 0,
TB ∗ TB(x , y) =∫ y0
TB(x , y − t)TB(x , t)dt
を初期条件TB1(x , 0) = S1(x)
のもとで解く.ただし
S0(x) = −Q ′04Q0
,
S1(x) = −5
32
(Q ′0)2
(Q0)5/2+
Q ′′0
8Q3/20
+Q2
2Q1/20
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▶ ( d2 + 2d2 − d0
, 1)-summable であることを示すには A(d2+2)/d2−d0,1TB1 の解析接続とその増大度を調べなければならない(未解決).
▶ ψ+ 7−→ ψ+ + C1eC2/εψ− といった Stokes 現象は Q0(x) から定まる Stokes 曲線上でしか起きない.
▶ Qj(x) が有理関数の場合,各極において
(Q2(x) の位数) > (Q0(x) の位数) ≥ 3
であれば定理は成立.それぞれの位数を d0, d2 とすると TB1(x , y) の指数サイズは d2 − d0
d0 − 2となり,( d2 − 2
d2 − d0, 1)-summable になると期待される.
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例えば
Q(x , η) =x4 − 1x3
+ η−2x2 (Q0(x) =x4 − 1x3
, Q2(x) = x2)
この場合は x = 0,∞ が特異点であり,
ordx=0Q2(x) < ordx=0Q0(x) (Theorem 1の場合),ordx=∞Q2(x) > ordx=∞Q0(x) (Theorem 3の場合).
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Q(x , η) =x4 − 1x3
+ η−2x2 の変わり点と Stokes 曲線
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Q(x , η) =x4 − 1x3
+ η−2x2
▶ 緑の点では TB1 の の指数サイズは 4/3.
▶ 青の点では TB1 の の指数サイズは 1.
▶ 赤の点では TB1 の の指数サイズは 1 か 4/3 となり,branch によっては Borel総和可能となり,branch によっては Borel 総和可能ではない.
結果として (4, 1)-summable と期待される.21/23
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§5. 未解決の事項
▶ Multisummability の証明の残り(Aκ,1TB1 の解析接続と増大度).
▶ Q0(x) と Q2(x) 以外の項がある場合.
▶ Q0(x) が位数 2 の極を持つ場合.
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Bibliography
▶ O. Costin, L. Dupaigne, and M. D. Kruskal: Borel summation of Adiabaticinvariants, Nonlinearity, 17 (2004), 1509–1519.
▶ T. M. Dunster, D. A. Lutz and R. Schäfke: Convergent Liouville-Green expan-sions for second-order linear differential equations, with an application to Bessel
functions, Proc. Roy. Soc. Lon, Ser. A, 440(1993), 37–54.
▶ 大谷佳昭: 二階線形常微分方程式に対する WKB 解の multisummability について,修士論文(神戸大学),2014.
▶ 鈴木克彦: ある特異摂動型の方程式の multisummable な WKB 解について,修士論文(京都大学),2012.
▶ Y. Takei: On the multisummability of WKB solutions of certain singularly per-turbed linear ordinary differential equations, Opuscula Math., 35(2015), 775–
802.
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