Міністерство освіти і науки України...

Міністерство освіти і науки України

Чернігівський національний технологічний університет

Луцький національний технічний університет

Кваліфікаційна наукова

праця на правах рукопису

САВЧЕНКО ОЛЕНА ВІТАЛІЇВНА

УДК 534.1:539.3

ДИСЕРТАЦІЯ

МОДЕЛІ І МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ ДЕФОРМІВНИХ ДИСИПАТИВНИХ

КОНСТРУКЦІЙ З КОМПОЗИЦІЙНИХ МАТЕРІАЛІВ ПРИ ДИНАМІЧНИХ

НАВАНТАЖЕННЯХ

01.02.04 – Механіка деформівного твердого тіла (технічні науки)

Подається на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Дисертація містить результати власних досліджень. Використання ідей,

результатів і текстів інших авторів мають посилання на відповідне джерело

О.В.Савченко

Науковий консультант: Зіньковський Анатолій Павлович, доктор технічних

наук, професор

Чернігів – Луцьк – 2018

2

АНОТАЦІЯ

Савченко О.В. Моделі і методи оптимізації деформівних дисипативних

конструкцій з композиційних матеріалів при динамічних навантаженнях.

Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеці-

альністю 01.02.04 – Механіка деформівного твердого тіла (технічні науки),

Чернігівський національний технологічний університет, Чернігів. Луцький наці-

ональний технічний університет, Луцьк, 2018.

Дисертація присвячена розробці комплексної методології проектування оп-

тимальних конструкцій, працюючих в умовах динамічних навантажень, зокрема,

розробці математичних моделей і методів проектування пластинчатих і оболон-

кових конструкцій з композиційних матеріалів зі спеціальними властивостями.

У рамках дослідження розроблено математичні моделі композиційних мате-

ріалів заданої структури з в'зкопружних і електров'язкопружних компонентів у

просторі інтегральних перетворень Фур'є. Проведено аналіз залежностей в'язко-

пружних, п'єзоелектричних, діелектричних та дисипативних характеристик

композиційних матеріалів від параметрів структури. Обґрунтовано доцільність

використання переходу у частотний простір для аналізу неідеально-пружних

властивостей композиційних матеріалів. Одержано узагальнений варіант матері-

альних залежностей для композиційних матеріалів з електров'язкопружними

властивостями, який надає можливість побудови коректної матриці демпфування

таких матеріалів.

Розроблено метод побудови визначальних рівнянь динаміки дисипативних

багатошарових пластин і оболонок з композиційних матеріалів у частотному

просторі. Запропоновано нові варіанти теорії багатошарових конструкцій, у яких

використовуються матеріали з особливими властивостями, і методику аналізу рі-

внянь у частотному просторі, що дозволяє розраховувати неідеально-пружні

характеристики, зокрема матриці демпфування, на етапі проектування. Запропо-

новано новий метод розв'язання задач динаміки неідеально-пружних

3

композитних конструкцій і визначення критеріїв оцінки побудованих моделей,

який базується на використанні варіаційних методів і чисельного методу інтегра-

льних перетворень Фур'є. Проведено порівняння одержаних результатів, зокрема

узагальнених характеристик КМ і декрементів коливань, з результатами, одер-

жаними при аналізі скінченно-елементних моделей аналогічних структур.

Обґрунтовано і узагальнено частотний метод скінченних елементів для за-

дач нестаціонарної динаміки неідеально-пружних композитних конструкцій,

який дає можливість урахування частотної залежності розсіювання енергії у ма-

теріалі та аналізу вільних і вимушених коливань при навантаженнях із довільним

спектральним складом. З використанням варіаційних методів у частотній області

побудовано математичні моделі композитних багатошарових пластин і оболонок

і розроблено методику визначення реакції композитних елементів структури на

дію динамічних навантажень довільної форми при вимушених коливаннях, а та-

кож декрементів, частот і форм коливань при вільних коливаннях та необхідних

параметрів оптимізації для конкретних композитних конструкцій.

Розроблено нові варіанти методів глобальної та багатокритеріальної опти-

мізації на основі класичних і дійсних генетичних алгоритмів, які дозволяють з

великою вірогідністю знаходити глобальний екстремум у багатоекстремальних

задачах.

За допомогою розроблених методів оптимізації на основі запропонованої

методики побудови математичних моделей динаміки композитних конструкцій

поставлено і розв'язано задачі глобальної оптимізації для багатошарових елемен-

тів конструкцій, зокрема, стрижнів, пластин, оболонок з шарами армованих

волокнами в'язкопружних матеріалів за критеріями максимального демпфування,

максимальної швидкості коливань, максимальної і мінімальної частот, а також

задачі мінімізації амплітуд при нестаціонарних коливаннях у заданому частот-

ному діапазоні. Проведено порівняння результатів розв'язання задач різними

методами, яке показало ефективність розробленого методу на основі ГА. Пока-

зано, що розроблені алгоритми можуть бути узагальнені з використанням

методів гібридизації і паралелізації.

4

Запропоновано методику постановки і розв'язання задач глобальної і бага-

токритеріальної топологічної оптимізації для багатошарових елементів

(стрижнів, пластин, оболонок) з використанням розроблених варіантів BGA і

RGA, зокрема, пошук оптимального пакета шарів багатошарової пластини шля-

хом розміщення шарів заданих матеріалів зі сталими характеристиками у

послідовності, яка забезпечує оптимальне значення вибраних критеріїв оптимі-

зації, а також одержано розв'язок задачі оптимального розміщення елементів

верхнього жорсткого шару для стрижня з двошаровим покриттям за критеріями

максимального декремента коливань та максимальної швидкості затухання коли-

вань при обмеженнях на масу стрижня і задачі вибору оптимальних проектів

стрижня з нерозрізним і розрізним покриттями за критеріями максимального де-

мпфування, які демонструють можливості еволюційних алгоритмів у задачах

топологічної оптимізації. Розроблено програмну реалізацію методу оптимізації,

яка є універсальною і може використовуватися для глобальної і багатокритеріа-

льної оптимізації.

Розроблено методику проектування багатошарових пластин і оболонок з п'є-

зоелементами, з'єднаними шунтами із зовнішньою мережею для збільшення

розсіювання енергії за рахунок перетворення енергії в тепло в електричному ко-

нтурі, а також показано перспективи досліджень у напрямі створення

оптимальних за критерієм максимального демпфірування багатошарових конс-

трукцій зі smart-матеріалів.

Ключові слова: композиційні матеріали, багатошарові конструкції, демп-

фування коливань, глобальна і багатокритерійна оптимізація, генетичні

алгоритми, частотний метод скінченних елементів, нестаціонарні коливання.

5

Savchenko O.V. Optimization models and methods for deformed dissipative

structures from composite materials under dynamic loads. Qualification scientific

thesis as a manuscript.

Thesis for a degree of Doctor of Sciences, speciality 01.02.04 “Mechanics of de-

formable solids” (Technical Sciences). Chernigiv National University of Technology,

Ministry of Education and Science of Ukraine, Chernihiv. Lutsk National Technical

University, Ministry of Education and Science of Ukraine, Lutsk. 2018.

The dissertation is devoted to the development of complex methodology for de-

sign of optimal structures that work under dynamic loads, including the development

of mathematical models and methods for design of plate and shell structures from

composite materials with special properties.

As part of the research, the mathematical models in Fourier integral transform

space were developed for composite materials of given composition of viscoelastic and

electroviscoelastic components. The analysis of dependences between viscoelastic,

piezoelectric, dielectric and dissipative characteristics of composite materials and

structural parameters was conducted. The appropriateness of using transform to fre-

quency space for analysis of non-ideally elastic properties of composite materials was

proven. A generalized variant of material dependences for composite materials with

electroviscoelastic properties was obtained, giving the capacity to build a correct

damping matrix for such materials.

The method of constructing definitive dynamics equations in frequency space for

dissipative multi-layered plates and shells from composite materials was developed.

New variants of multilayered structure theory, considering the materials with special

properties, were suggested, as was the technique of analyzing equations in frequency

space that allow to calculate non-ideally elastic characteristics, including damping ma-

trices, at the design stage. A new method of solving dynamics problems for non-ideally

elastic composite structures and determining the criteria for evaluating the constructed

models, based on using variation methods and numerical Fourier transform method,

was suggested. A comparison of obtained results, particularly the generalized CM

6

characteristics and vibration decrements, with results of analysis of finite element

models for the same structures was performed.

The frequency finite element method for problems of nonstationary dynamics of

non-ideally elastic composite structures was substantiated and generalized, giving the

opportunity to account for frequency dependence of energy dissipation in a material

and to analyze free and forced vibration under loads with arbitrary spectral composi-

tion. Using the variation methods in frequency space, the mathematical models of

composite multi-layered plates and shells were constructed, and the technique for

evaluating reaction of composite structural elements to the influence of dynamic loads

of arbitrary form under forced vibration was developed, as well as the technique for

evaluating vibration decrements, frequencies and forms under free vibration, and nec-

essary optimization parameters for specific composite structures.

New variants of global and multi-criteria optimization methods based both on

classic and real-valued genetic algorithms were developed that allow to find global ex-

trema in multiextremal problems.

Using the newly developed optimization methods, on the base of the suggested

techniques for constructing mathematical models of composite structure dynamics, the

global optimization problems were defined and solved for multi-layered structure ele-

ments, including beams, plates, shells with layers of fiber-reinforced viscoelastic

materials, with the criteria of maximum damping, maximum vibration speed, maxi-

mum and minimum frequencies, as well as the problem of minimizing the amplitudes

under nonstationary vibration in the given frequency range. A comparison of solution

results from different methods was performed, demonstrating the efficiency of the

newly developed GA-based method. It was shown that the developed algorithms can

be generalized using the hybridization and parallelization methods.

The technique for defining and solving the global and multicriteria topological

optimization problems for multi-layered elements (beams, plates, shells) using the de-

veloped BGA and RGA modifications was suggested, in particular the search method

for an optimal layer package of a multi-layered plate by placing the layers of given ma-

terials with constant characteristics in an order that guarantees the optimal value of the

7

chosen optimization criteria. A solution was obtained for the problem of optimal

placement of elements in an upper stiff layer for a bar with two-layered coating using

the criteria of maximal vibration decrement and maximal vibration fading speed, with

the restrictions on the bar weight. Another solution was obtained for the optimal bar

design with continuous or split coating using the criteria of maximal damping, thus

demonstrating the evolutionary algorithms’ capacity in problems of topological opti-

mization. A universal program implementation of the optimization method was

developed, which can be utilized for global and multi-criteria optimization.

A design technique was developed for multi-layered plates and shells with piezo-

elements, linked to the external network via shunts, with the purpose of increasing

energy dissipation by converting energy to heat in an electric circuit. The prospect of

further research in creating optimal by the maximal damping criterion multi-layered

structures from smart materials was presented.

Keywords: composite materials, multi-layered structures, vibration damping,

global and multicriteria optimization, genetic optimization algorithms, frequency finite

element method, nonstationary vibrations.

Список публікацій здобувача за темою дисертації

1. Савченко Е. В. Пассивное демпфирование колебаний композитных конс-

трукций: монографія // Нежин: ООО “Вид-тво “Аспект-Поліграф”. – 2006.

– 232 с.

2. Хильчевский В. В., Дубенец В. Г., Савченко Е. В. Оптимізація композитних

конструкцій з пасивним демпфіруванням // Пробл. прочности. – 2006. № 5.

– С. 128-134. (Індексується SCOPUS та Google Scholar).

3. Дубенець В. Г., Савченко О. В. Нестаціонарні коливання конструкцій із па-

сивним демпфіруванням // Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту. – 2006. –

№ 26. – С. 14-23.

8

4. Дубенець В. Г., Савченко О. В. Коливання циліндричної оболонки з в’язко-

пружних композиційних матеріалів // Вісн. Полтавської держ. аграрної

академії. – 2006. – С. 9-14.

5. Савченко О. В. Оптимальне проектування композитних пластин // Вісн.

Черніг. держ. технолог. ун-ту. – 2007. – №28. – С. 12-21.

6. Савченко Е. В. Методика оптимизации композитных пластин при динами-

ческих загрузках // Пробл. прочности. – 2008. – № 6. С. 91-99.

(Індексується SCOPUS та Google Scholar).

7. Савченко О. В., Савченко І. О. Метод пошуку глобального екстремуму в

задачах оптимізації конструкцій з композиційних матеріалів // Вісн. Черніг.

держ. технолог. ун-ту. – 2008. – № 36. – С. 72-81.

8. Дубенець В. Г., Савченко О. В., Ігнатенко А. С. Метод визначення реакції

в’язкопружних стрижнів на дію ударних навантажень // Проблеми обчис-

лювальної механіки і міцності конструкцій. – 2008. – № 12. – С. 74-81.

(Індексується Index Copernicus).

9. Савченко О. В. Максимізація демпфірування у пластинах // Вісн. Черніг.


10. Дубенець В. Г., Савченко О. В., Івашко Є. О. Нестаціонарні коливання еле-

ментів робототехнічних конструкцій з композиційних матеріалів // Пробл.

прочности. – 2009. – № 6. – С. 62-71. (Індексується SCOPUS та Google

Scholar).

11. Дубенец В. Г., Савченко О. В., Ігнатенко А. С. Нестационарные колебания

конструкций из композиционных материалов // Пробл. прочности. – 2010.

– № 2. – С. 77-82. (Індексується в SCOPUS та Google Scholar).

12. Дубенець В. Г., Савченко О. В. Оптимальне проектування пологих оболо-

нок з композиційних в'язкопружних матеріалів // Вісн. Черніг. держ.

технолог. ун-ту. – 2010. – № 45. – С. 21-29.

13. Дубенец В. Г., Савченко О. В. Задачи оптимального проектирования ком-

позитных конструкций, подверженных действию динамических загрузок //

Надійність і довговічність машин і споруд. – 2011. – № 34. – С. 117-123.

9

14. Дубенец В. Г., Савченко О. В. Задачі глобальної оптимізації багатошарових

оболонок із максимальним демпфуванням // Автоматизація виробничих

процесів у машинобудуванні та приладобудуванні. – 2011. – № 45. – С. 48-

55. (Індексується Google Scholar)

15. Савченко О. В. Еволюційні алгоритми глобальної оптимізації композитних

оболонок за критерієм максимального демпфірування // Вісн. Черніг. держ.

технолог. ун-ту. – 2006. – № 26. – С. 14-23.

16. Савченко Е. В. Многокритериальная оптимизация композитных оболочек

при ограничениях на параметры проекта и переменные состояния // Надій-

ність і довговічність машин і споруд. – 2012. – № 35. – С. 47-54.

17. Савченко О. В. Оптимальне проектування оболонок для роботи у заданому

частотному діапазоні // Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту. – 2012.– № 1

(55). – С. 39-45.

18. Савченко О. В. Задачі багатокритеріальної оптимізації елементів конструк-

цій з композиційних матеріалів // Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту. –

2012. – № 3 (59). – С. 29-36.

19. Савченко О. В. Задачі топологічної оптимізації композитних елементів

конструкцій з в'язкопружних матеріалів // Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-

ту. – 2012. – № 4 (61). – С. 26-34.

20. Савченко Е. В. Использование эволюционных алгоритмов в задачах опти-

мизации структуры композитных оболочек из вязкоупругих материалов //

Пробл. прочности. – 2013. – № 2. – С. 97-105. (Індексується SCOPUS та

Google Scholar).

21. Горбатко О. О., Савченко О. В. Оптимізація багатошарових елементів конс-

трукцій з композиційних матеріалів із різною структурою армуючих шарів

// Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту. Серія "Технічні науки". – 2013. – № 1

(63). – С. 20-27. (З 2013 р. індексується Google Scholar, eLIBRARY.RU).

22. Dubenets V. G., Savchenko O. V. Optimization of multilayered electro-

viscoelastic plates // Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту. Серія "Технічні на-

10

уки". – 2013. – № 2 (65). – С. 59-68. (Індексується Google Scholar,

eLIBRARY.RU).

23. Dubenets V. G., Savchenko O. V., Derkach O. L. Nonstationary vibrations of a

beam with electro-viscoelastic dissipative patches /// Вісн. Черніг. держ. тех-

нолог. ун-ту. Серія "Технічні науки". – 2013. – № 3 (67). – С. 53-61.

(Індексується Google Scholar, eLIBRARY.RU).

24. Dubenets V. G., Savchenko O. V., Derkach O. L. Аctive damping of nonstation-

ary vibrations in a beam with electro-viscoelastic patches // Вісн. Черніг. держ.

технолог. ун-ту. Серія "Технічні науки". – 2014. – № 1 (71). – С. 43-49. (Ін-

дексується Google Scholar, eLIBRARY.RU)

25. Савченко О. В. Оптимізація динамічних характеристик композитних бага-

тошарових оболонок //Вібрації в техніці та технологіях.– 2014.– № 4 (76). –

С. 34-43. (Індексується Google Scholar)

26. Дубенец В. Г., Савченко О. В. Задачи оптимального проектирования мно-

гослойных пластин из электровязкоупругих материалов // Вібрації в

техніці та технологіях. – 2015. – № 1 (77). – С. 90-96. (Індексується Google

Scholar).

27. Савченко О. В., Деркач О.Л., Ющенко С. М.: Визначення ефективних ди-

намічних характеристик електров’язкопружних композиційних матеріалів

// Технічні науки та технології. – 2015. – № 1 (1). – С. 14-23. (Індексується

Index Copernicus, Google Scholar, eLIBRARY.RU)

28. Савченко О. В., Деркач О. Л. Моделювання нестаціонарних коливань балки

з п’єзоелектричною накладкою при дії електричного навантаження // Віб-

рації в техніці та технологіях. – 2016. – № 1 (81). – С.67-74. (Індексується

Google Scholar).

29. Дубенець В. Г., Савченко О. В. Нестаціонарні коливання конструкцій при

випадковому кінематичному збудженні // Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-

ту. – 2005. – № 25. – С. 5-14.

30. Дубенець В. Г., Савченко О. В., Деркач О. Л. Нестаціонарні коливання

конструкцій з електров’язкопружними дисипативними накладками // Віб-

11

рації в техніці та технологіях. – 2015.– №1 (77). – С.15-21. (Індексується

Google Scholar).

31. Савченко Е. В., Савченко И. А. Проектирование композитных конструкций

с максимальным демпфированием // Прочность материалов и элементов

конструкций: Тр. Междунар. науч.-техн. конф. (Киев, 29-30 сентября 2011

г.). Отв. ред. В.Т. Трощенко. – Киев : Ин-т проблем прочности им.

Г. С. Писаренко НАН Украины, 2011. – С. 94-101.

32. Савченко Е. В. Демпфирование колебаний и оптимизация оболочек из ком-

позиционных материалов // Композиционные материалы в

промышленности : Матер. 25 Юбилейной междунар. конф. и выставки

(Ялта, 30 мая – 3 июня 2005 г.). – Киев : УИЦ «Наука. Техника. Техноло-

гия», 2005. – С. 171-173.

33. Хільчевський В. В., Дубенець В. Г., Савченко О. В. Оптимізація композит-

них конструкцій з пасивним демпфіруванням // Динаміка, міцність і ресурс

машин та конструкцій : Тези допов. Міжнар. наук.-тех. конф. (Київ, 1-4 ли-

стопада 2005 р.). Відп. ред. В. Т. Трощенко. В 2-х т. – Київ. Ін-т проблем

міцності ім. Г. С. Писаренка НАН України, 2005. – Т 2. – С. 357-358.

34. Дубенець В. Г., Савченко О. В. Коливання циліндричної оболонки з

в’язкопружних композиційних матеріалів // Проблеми та перспективи роз-

витку механізації агропромислового виробництва: Матер. міжнар. наук.-

практ. конф. (Полтава, 2-4 листопада 2006 р.). – Полтава: Полтавська дер-

жавна аграрна академія, 2006. – С. 22-23.

35. Савченко Е. В., Сластененко Е. С. Колебания пластин из композиционных

материалов при импульсных загрузках // Композиционные материалы в

промышленности : Матер. 26 Междунар. конф. (Ялта, 29 мая – 2 июня 2006

г.). – Киев : УИЦ «Наука. Техника. Технология», 2006. – С. 187-190.

36. Дубенец В. Г., Савченко Е. В. Нестационарные колебания конструкций из

композиционных материалов // Проблеми динаміки і міцності в газотурбо-

будуванні : Тез. допов. третьої міжнарод. наук.-техн. конф. (29-31 травня

12

2007 р., Київ). Під ред. В.Т.Трощенка і А.П.Зіньковського – Київ : Ін-т

проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України, 2007. – С. 63-64.

37. Савченко Е. В. Оптимальное проектирование композитных пластин // Про-

блеми динаміки і міцності в газотурбобудуванні : Тез. допов. третьої

міжнарод. наук.-техн. конф. (29-31 травня 2007 р., Київ). Під ред.

В.Т.Трощенка і А.П.Зіньковського – Київ : Ін-т проблем міцності ім.

Г.С.Писаренка НАН України, 2007. – С. 173-174.

38. Дубенец В. Г., Савченко Е. В., Ивашко Е. А. Нестационарные колебания

элементов робототехнических конструкций из композиционных материа-

лов // Проблеми динаміки і міцності в газотурбобудуванні : Тез. допов.

третьої міжнарод. наук.-техн. конф. (29-31 травня 2007 р., Київ). Під ред.



39. Савченко О. В. Проектування композитних конструкцій з максимальним

демпфуванням// Композиционные материалы в промышленности : Матер.

27 Междунар. конф. (Ялта, 28 мая – 1 июня 2006 г.). – Киев : УИЦ «Наука.

Техника. Технология», 2007. – С. 418-419.


ударних і кінематичних навантаженнях // Актуальні проблеми механіки

суцільного середовища і міцності конструкцій : Матер. міжнар. наук.-

практ. конф. пам’яті акад. В.І. Моссаковського (17-19 жовтня 2007 р.,

Дніпропетровськ). – Дніпропетровськ: ДНУ, 2007. – С. 249-251.

41. Дубенець В. Г., Савченко О. В., Ігнатенко А. С. Нестаціонарні коливання

циліндричних оболонок з композиційних в’язкопружних матеріалів при

імпульсних навантаженнях // Композиционные материалы в промышлен-

ности : Матер. 28 Междунар. конф. (Ялта, 26 - 30 мая 2008 г.). – Киев :

УИЦ «Наука. Техника. Технология», 2008. – С. 529-530.

42. Савченко Е. В. Проектирование композитных оболочек с максимальным

демпфированием. // Композиционные материалы в промышленности : Ма-

13

тер. 28 Междунар. конф. (Ялта, 26 - 30 мая 2008 г.). – Киев : УИЦ «Наука.


43. Савченко Е. В. Максимизация демпфирования в конструкциях из компози-

ционных материалов. // Композиционные материалы в промышленности :

Матер. 29 Междунар. конф. и семинара (Ялта, 1 – 5 июня 2009 г.). – Киев :


44. Савченко Е. В., Савченко И. А. Оптимальное проектирование цилин-

дрических оболочек из композиционных материалов с вязкоупругими

свойствами // Композиционные материалы в промышленности : Матер. 30

Междунар. конф. и семинара (Ялта, 7-11 июня 2010 г.). – Киев : УИЦ «На-

ука. Техника. Технология», 2010. – С. 519-522.


с максимальным демпфированием// Міцність матеріалів та елементів конс-

трукцій : Тез. допов. міжнарод. наук.- техн. конф. В 2 -х т.– Київ : Ін-т

проблем міцності ім.. Г.С.Писаренка НАН України, 2010. – Т. 2. - С. 89-90.

46. Дубенец В. Г., Савченко Е. В. Задачи оптимального проектирования компо-

зитных конструкций для динамических загрузок // Проблеми динаміки і

міцності в турбомашинобудуванні : Тези допов. 4-ї Міжнар. наук.-техн.

конф. (31 травня-02 червня 2011 р., Київ) / Під ред. В.Т.Трощенка і

А.П.Зіньковського – Київ : Ін-т проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН

України, 2011. – С. 73-74.

47. Дубенец В. Г., Савченко Е. В. Оптимальное проектирование многослойных

элементов конструкций из композиционных материалов // Композицион-

ные материалы в промышленности: Матер. 31 Междунар. конф. и семинара

(Ялта, 6-10 июня 2011 г.). – Киев: УИЦ «Наука. Техника. Технология»,

2011.– С. 281-282.

48. Савченко Е. В. Задачи оптимального проектирования элементов конструк-

ций из композиционных материалов // Композиционные материалы в

промышленности : Матер. 32 Междунар. конф. и семинара (Ялта, 4-8 июня

2012 г.). – Киев: УИЦ «Наука. Техника. Технология», 2012. – С. 364-369.

14

49. Савченко О. В. Оптимізація динамічних характеристик композитних конс-

трукцій // Зб. праць 3-ї Міжнар. наук.-техн. конф. "Теорія та практика

раціонального проектування, виготовлення і експлуатації машинобудівних

конструкцій" (7-12 листопада 2012 р., м. Львів). – 2012. – С.129-130.

50. Савченко Е. В. Топологическая оптимизация композитных конструкций,

работающих при динамических загрузках // Композиционные материалы в

промышленности : Матер. 33 Междунар. конф. и семинара (Ялта, 27-31

мая 2013 г.). – Киев : УИЦ «Наука. Техника. Технология», 2013. – С. 314-

318.

51. Савченко Е. В. Топологическая оптимизация многослойных пластин из эле-

ктровязкоупругих материалов // Математичне та імітаційне моделювання

систем. МОДС 2013: 8 Міжнар. наук.-практ. конф. Тези допов. (Чернігів-

Жукин, 24-28 червня 2013 р.). – Чернігів : Черніг. держ. технол. ун-т, 2013.

– С. 172-176.

52. Дубенец В. Г., Савченко Е. В. Задачи оптимального проектирования много-

слойных пластин из электровязкоупругих материалов // Проблеми

динаміки і міцності в турбомашинобудуванні : Тези допов. 5-ї Міжнар. на-

ук.-техн. конф. Під ред. А. П. Зіньковського – Київ : Ін-т проблем міцності

ім. Г.С.Писаренка НАН України, 2014. – С. 89-90.

53. Дубенец В. Г. Савченко Е. В., Деркач О. Л. Нестационарные колебания

конструкций с электровязкоупругими диссипативными накладками // Про-

блеми динаміки і міцності в турбомашинобудуванні : Тези допов. 5-ї

Міжнар. наук.-техн. конф. Під ред. А. П. Зіньковського – Київ : Ін-т про-

блем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України, 2014. – С. 91-92.

54. Savchenko O. Optimization of dynamic characteristics of composite shells by

using genetic algorithms. PCM-CMM-2015 // 3rd Polish Congress of Mechanics

& 21st Computer Methods in Mechanics, (Gdansk, Poland, September 8th-11th

2015) : Short Papers, 2015. – Vol.1. – Р. 659-660.


з п’єзоелектричною накладкою при дії електричного навантаження // Тези

15

доповідей 14 Міжнар. наук-техн. конф. «Вібрації в техніці та технологіях»

(Дніпропетровськ, 21-25 вересня 2015 р.). – Дніпропетровськ : Нац. гірн. ун-

т, 2015. – С. 27-28.

56. Дубенець В. Г., Савченко О. В., Деркач О. Л. Активне демпфування неста-

ціонарних коливань балки з електров’язкопружними накладками Тези

допов. 6 Міжнар. наук.-практ. конф. «Комплексне забезпечення якості тех-

нологічних процесів та систем» (Чернігів, 26-29 квітня 2016 р.). – Чернігів :

Чер-ніг. нац. технол. ун-т, 2016. – С. 90-92.

57. Дубенец В. Г., Савченко Е. В., Деркач О. Л. Расчет на прочность композит-

ных лопастей ветрогенератора при динамических загрузках // Тези допов. 7

Міжнар. наук.-практ. конф. «Комплексне забезпечення якості технологіч-

них процесів та систем» (Чернігів, 24-27 квітня 2017 р.). – Чернігів :

Черніг. нац. технол. ун-т, 2017. – С.100-102.

58. А.с. № 66274. Комп'ютерна програма "Генетичний алгоритм умовної оп-

тимізації з довільною кількістю критеріїв для задач проектування

конструкцій" [Савченко О. В., Савченко І. О.] заяв. 26.04.2016, реєстр.

24.06.2016. АС.

16

ЗМІСТ

ВСТУП…………………………………………………………………………….. 21

РОЗДІЛ 1 Аналіз стану досліджень проблеми проектування оптимальних

композитних конструкцій для динамічних навантажень …………………… 36

1.1 Матеріали для композитних конструкцій………………………………. 37

1.2 Математичні моделі композиційних матеріалів…………….…….......... 46

1.3 Математичні моделі композитних конструкцій з максимальним дем-

пфуванням………………………………………………………………… 51

1.4 Активне і пасивне демпфування за допомогою матеріалів з електро-

в'язкопружними властивостями…………………………………………. 62

1.5 Методи оптимізації………………………………………………………. 69

1.5.1 Класичні та метаевристичні методи оптимізації. Переваги і не-

доліки………………………………………………………………… 70

1.5.2 Методи оптимізації на основі еволюційних алгоритмів…………. 75

1.6 Проектування оптимальних композитних конструкцій з в'язкопруж-

них і електров'язкопружних матеріалів………………............................ 78

1.7 Актуальні задачі оптимізації, що потребують розв'язання………......... 85

РОЗДІЛ 2 Математичне моделювання властивостей композитних smart-

матеріалів ……………………………………………………………….... 88

2.1 Визначальні залежності для композиційних матеріалів………………. 88

2.2 Фізико-механічні залежності композиційних smart-матеріалів бага-

тошарової структури……………………………………………………... 97

2.2.1 Залежності елементів матриці комплексних модулів і декремен-

тів коливань електров'язкопружного КМ від коефіцієнтів

концентрації і кутів повороту осей координат……………………. 104

2.3 Розсіювання енергії в електров'язкопружних матеріалах……………… 112

2.4 Порівняння ефективних дисипативних параметрів з одержаними за

допомогою методу скінченних елементів (МСЕ)………………………. 117

17

Висновки і результати……………………………………………………......... 125

РОЗДІЛ 3 Математичні моделі багатошарових композитних дисипативних

конструкцій………………..……………………………………………… 126

3.1 Кінематичні залежності………………………………………………….. 128

3.2 Фізичні залежності для матеріалів……………………………….……… 130

3.3 Математичні моделі багатошарових елементів конструкцій з елект-

ров'язкопружних матеріалів ……………………....................................... 131

3.4 Синтез скінченних елементів багатошарової структури ……………… 138

3.5 Використання варіаційного принципу Хелінгера-Рейсснера у задачах

нестаціонарних коливань дисипативних конструкцій…………………. 142

3.6 Скінченно-елементні моделі циліндричних оболонок…………………. 152

3.6.1 Кільцевий 8-вузловий елемент……………………………………... 153

3.6.2 Кільцевий ізопараметричний елемент…………………………….. 157

3.7 Нестаціонарні коливання дисипативних тонкостінних пластин і обо-

лонок………………………………………………………………………. 161

3.7.1 Коливання композитної пластини при дії імпульсних наванта-

жень………………………………………………………………………. 162

3.7.2 Реакція циліндричної оболонки на дію імпульсних навантажень. 166

3.7.3 Нестаціонарні коливання конічної оболонки…………………….. 170

Висновки і результати………………………………………………………….... 176

РОЗДІЛ 4 Метод глобальної параметричної оптимізації на основі генетично-

го алгоритму……………………………………………..……………….. 178

4.1 Постановка задач однокритеріальної оптимізації з використанням

обмежень на проектні параметри у багатоекстремальних і багатопа-

раметричних задачах.................................................................................. 180

4.2 Обґрунтування використання методу оптимізації на основі генетич-

ного алгоритму…………………………………………………………… 181

4.3 Математичні моделі дисипативних багатошарових композитних кон-

струкцій з в'язкопружних матеріалів........................................................ 190

18

4.4 Задачі оптимізації за критерієм максимального демпфування коли-

вань багатошарових конструкцій з шарів армованих волокнами

матеріалів з в'язкопружними властивостями…………………………… 195

4.4.1 Максимізація демпфування в циліндричних оболонках…………. 196

4.4.2 Задачі глобальної оптимізації для багатошарової циліндричної

оболонки з шарів в'язкопружних матеріалів…..………………….......... 203

4.4.3 Задачі максимізації демпфування коливань для багатошарової

пластини з в'язкопружних матеріалів…………………………………… 211

4.4.4 Задачі максимізації демпфування коливань багатошарової поло-

гої оболонки………………………………………………………………. 221

4.4.5 Задачі максимізації демпфування коливань багатошарового

стрижня…………………………………………………………………… 232

4.5 Задачі оптимізації з обмеженнями на параметри стану……………….. 235

4.5.1 Максимізація демпфування у пластині з обмеженнями на часто-

ту коливань……………………………………………………………….. 235

4.6 Задачі максимізації швидкості затухання коливань багатошарових

конструкцій з в'язкопружних КМ………………………………………. 241

4.7 Задачі оптимізації за різними критеріями з урахуванням розсіювання

енергії……………………………………………………………………… 247

4.8 Задачі максимізації мінімального декремента коливань на декількох

формах (задачі мінімаксу)………………………………………………. 250

4.9 Мінімізація амплітуди при нестаціонарних навантаженнях багатоша-

рових циліндричних оболонок……………………………….................. 256

Висновки і результати………………………………………………………........ 262

РОЗДІЛ 5 Методи багатокритеріальної оптимізації…………………………... 263

5.1 Постановка задач оптимізації за декількома критеріями……………… 263

5.2 Методи багатокритеріальної оптимізації на основі RGA.…………… 264

5.3 Приклади розв'язання задач багатокритеріальної оптимізації для еле-

ментів конструкцій………………………………………………………. 268

5.3.1 Проектування багатошарового стрижня…………………………. 268

19

5.3.2 Багатокритеріальна оптимізація багатошарової оболонки з в'яз-

копружних матеріалів, армованих волокнами…………………………. 276

5.3.3 Багатокритеріальна оптимізація композитної пологої оболонки

при обмеженнях на параметри проекту та змінні стану……………...... 283

Висновки і результати……………………………………………………………. 287

РОЗДІЛ 6 Оптимізація форми композитних конструкцій……………………. 289

6.1 Топологічна оптимізація багатошарової пологої оболонки………….... 290

6.1.1 Метод топологічної оптимізації……………………………………. 290

6.1.2 Побудова математичної моделі коливань оболонки……………… 292

6.1.3 Приклади топологічної оптимізації оболонки ……………………. 294

6.2 Топологічна оптимізація стрижня з двошаровим покриттям………….. 319

6.2.1 Побудова математичної моделі коливань тришарового стриж-

ня………………………………………………..…………………………. 320

6.2.2 Приклади топологічної оптимізації стрижня………………….….. 322


РОЗДІЛ 7 Перспективи створення вібростійких, тонкостінних конструкцій зі

smart-матеріалів.………………………………………………………..... 332

7.1 Демпфування коливань балки з п’єзоелектричними накладками.…… 334

7.2 Нестаціонарні коливання балки з електров’язкопружними дисипати-

вними накладками.……………………………………………………….. 342

7.3 Оптимізація багатошарової пластини з RL-шунтами ………………….. 353

7.4 Перспективи проектування вібростійких тонкостінних елементів

конструкцій з електров'язкопружних матеріалів.………………………. 357

7.5 Задача оптимального проектування композиційних лопатей вітроге-

нератора при інерційних навантаженнях з урахуванням розсіювання

енергії в матеріалі………………………………………………………… 361

7.5.1 Задача визначення власних значень………………………………….. 366

7.5.2 Задача оптимального проектування лопаті вітрогенератора……….. 369


ВИСНОВКИ………………………………………………………………………. 374

20

ПЕРЕЛІК ЦИТОВАНИХ ПОСИЛАНЬ………………………………………… 378

ДОДАТОК А Свідоцтво про реєстрацію авторського права на комп'ютерну

програму "Генетичний алгоритм умовної оптимізації з довільною кількіс-

тю критеріїв для задач проектування конструкцій"…………………………. 417

ДОДАТОК Б Довідка про потенційно можливе впровадження методів нау-

кових досліджень від Інституту транспортних систем і технологій

"Трансмаг" НАНУ, м. Дніпро……………………………………………........ 419

ДОДАТОК В Довідка про впровадження результатів наукових досліджень у

навчальний процес ЧНТУ……………………………………………………... 421

ДОДАТОК Г Акт впровадження у проектну діяльність методів наукових до-

сліджень від ВАТ ""П'єзосенсор", Україна, м. Чернігів…………………..... 422

ДОДАТОК Д Список публікацій здобувача за темою дисертації……………. 423

21

ВСТУП

"В настоящее время теория оптимального

проектирования является одним из актуальных и развивающихся разделов в механике дефор-мируемого твердого тела, и число публикаций в этой области, число которых измеряется мно-гими сотнями, продолжает постоянно увеличиваться." *)

Проблема зменшення рівня вібрації є фундаментальною проблемою динамі-

ки конструкцій і машин. Низький рівень вібрації є одним із основних показників

якості нових виробів. У транспортному машинобудуванні це показник комфорт-

ності і безпеки, у турбобудуванні – фактор, який значною мірою визначає ресурс

роботи, у верстатобудуванні – основна умова забезпечення точності обробки та

позиціонування, в оборонній і космічній галузях низький рівень вібрації гарантує

життєздатність літаючих об'єктів, підводних і надводних суден, надійність робо-

ти управляючої апаратури.

Використанню засобів активного і пасивного розсіювання енергії для вирі-

шення проблеми зменшення рівня вібрації і, зокрема, амплітуд резонансних

коливань, яка привертає увагу конструкторів і науковців уже понад п'ятдесят

років, присвячено величезну кількість публікацій.

Історію розвитку напряму, пов'язаного з проблемою зменшення рівня вібра-

ції, можна розділити на декілька етапів. На першому (60-80-і роки минулого

століття) – активно вивчалася фізична сторона явища розсіювання енергії меха-

нічних коливань для однорідних матеріалів і конструкцій на їх основі. Глибокі

теоретичні дослідження розсіювання енергії у матеріалах і конструкціях пов'яза-

ні з роботами академіка Г. С. Писаренка і вчених його школи, зокрема академіка

В. В. Матвеєва, академіка М. В. Новикова, О. Є. Богініча, В. Г. Дубенця,

А. П. Зіньковського, В. В. Хільчевського, А. П. Яковлєва та інших, а також із ро-

ботами Ю. С. Воробйова, Є. С. Сорокіна, Я. Г. Пановка, В. А. Пальмова та інших.

*) Перельмутер А.В. Жили-были. Воспоминания и размышления. Издание третье, перерабо-танное, дополненное и представленное для свободного доступа в Интернете. Киев, 2017. С.144. [http://www.raasn.ru/academy/materials/memoirs.pdf].

22

Результатом цих фундаментальних досліджень були методи розрахунку констру-

кцій з урахуванням розсіювання енергії в матеріалі, опубліковані у монографіях,

статтях, збірниках конференцій тощо.

У той же час виявилося, що більшість конструкційних матеріалів і констру-

кцій з них має порівняно низький рівень розсіювання енергії, який не забезпечує

необхідне зменшення амплітуд коливань. В той же час проводилися дослідження

властивостей спеціальних сплавів і полімерів та полімерних композицій, які при

високій здатності розсіювати енергію коливань, але низьких механічних характе-

ристиках не могли використовуватися як конструкційні.

Ідею поєднання цих двох класів матеріалів було запропоновано Кервіном*),

що привело до появи напряму досліджень, присвячених проектуванню компози-

тних конструкцій, в яких несучі функції виконували конструкційні матеріали, а

демпфуючі – матеріали з високими дисипативними характеристиками. Цей на-

прям пізніше було названо пасивним демпфуванням коливань.

На перспективність використання пасивного демпфування коливань вказу-

валося у багатьох роботах. Ефективність і перспективність пасивних

демпфуючих пристроїв підтверджувалася численними дослідниками для аероко-

смічних апаратів, судових конструкцій, транспортних засобів,

сільськогосподарських машин, будівельних конструкцій, віброзахисту апарату-

ри, хімічного машинобудування, робототехнічних конструкцій тощо.

Необхідно зазначити, що застосування пасивних демпфуючих пристроїв має

й негативні риси, оскільки розглядається як своєрідне виправлення існуючої

конструкції, а отже зміну її запроектованих параметрів (ваги, власних частот то-

що). У зв'язку з цим було започатковано новий напрямок – створення

структурно-неоднорідних конструкцій, в яких неоднорідність структури цілесп-

рямовано використовується для надання конструкції високих характеристик

демпфування. Розглядаючи конструкцію з пасивним демпфуванням як структур-

но-неоднорідну вже на початковому етапі проектування, можна поставити задачу

*) Kerwin B.M. Damping of flexural waves by a constrained viscoelastic layer. Journal of Acous-

tical Society of America. 3 (7), 952-962 (1959).

23

оптимізації необхідних характеристик з урахуванням розсіювання енергії як рів-

ноправного параметра проектування.

Незалежно від проблеми демпфування проводилися фундаментальні дослі-

дження зі статики і динаміки багатошарових пластин і оболонок, що стало

основою для більш глибокого вивчення ефектів взаємодії матеріалів у композит-

них конструкціях і врешті становлення пасивного демпфування як основного

фактора зменшення рівня вібрації у конструкціях багатошарової структури. Це, у

першу чергу, роботи вчених Інституту механіки НАНУ, Інституту проблем міц-

ності ім. Г.С.Писаренка НАНУ, а також В. В. Болотіна, E. І. Григолюка,

В. Г. Дубенця, В. М. Москаленка, Ю. Н. Новичкова, В. Г. Піскунова,

О. О. Рассказова, В. В. Хільчевського та багатьох інших.

Бурхливий розвиток матеріалознавства у напрямку створення нових матері-

алів відкрив нові можливості і нові напрямки створення конструкцій з високим

рівнем розсіювання енергії. У першу чергу це стосується композиційних матері-

алів на полімерній основі, які відносять до в'язкопружних матеріалів, зокрема,

склопластиків, вуглепластиків, боропластиків, органопластиків, композитів з по-

лімерною матрицею і металевим наповнювачем та інших.

У процесі створення композитів забезпечується можливість поєднання

сприятливих характеристик різних матеріалів, причому часто досягаються якості,

яких жоден зі складових компонентів не має. Основні критерії в цілому – це жо-

рсткість, міцність, вага, демпфування, теплова та електрична провідність, а

також стійкість до впливу навколишнього середовища, зносу і втоми. Властивос-

ті композиційних матеріалів (КМ) суттєво залежать від структури, у зв'язку з чим

створення таких матеріалів і конструкцій пов'язане з формуванням оптимальних

структур, які забезпечують ефективну роботу конструкції. Численними дослі-

дженнями доведено, що для композитів можливою є оптимізація анізотропних,

механічних, термомеханічних і електромеханічних зв'язків.

Останнім часом у світі все більшого поширення набуває дослідження про-

блем, пов'язаних з адаптивним контролем статичної і динамічної поведінки

конструкцій за допомогою використання так званих "smart-матеріалів". Термін

24

"смарт-матеріали" (smart materials) – "розумні" або "інтелектуальні" матеріали, –

звичайно використовується для матеріалів, які змінюють одну або декілька своїх

властивостей у відповідь на зовнішній вплив. Найбільш розповсюдженими smart-

матеріалами є п'єзоматеріали, магнітострикційні матеріали, сплави з пам'яттю

форми, електрореологічні рідини, електрострикційні матеріали та оптичні волок-

на.

Область використання smart-матеріалів є багатодисциплінарною та міждис-

циплінарною, необхідно враховувати багато чинників – механічні та електричні

властивості матеріалів, керування, зчитування та обробку інформації, приведен-

ня в дію, демпфування – тобто інтеграцію на рівні системи.

Для вирішення задач керування поведінкою конструкцій найбільш широко

використовуються п'єзоматеріали завдяки їх властивостям: широкій смузі частот,

швидкій електромеханічній реакції, відносно низьким вимогам до електрожив-

лення та високому рівню генерованих сил (навантажень). Численні групи

п'єзоелектричних smart-матеріалів характеризуються здатністю активно реагува-

ти на змінні чинники як результат перетворення механічної енергії в електричну

і навпаки. П'єзоелектричні матеріали здатні виробляти електричний відгук при

механічній деформації (сенсори) і навпаки, забезпечувати високоточний рух (де-

формацію) шляхом прикладення електричного поля (актуатори).

Дослідження в області адаптивного керування коливаннями та формою

конструкцій за допомогою п'єзоелектричних матеріалів та створення композит-

них smart-конструкцій з використанням інтегрованих п'єзоелектричних сенсорів і

актуаторів надають потенційні переваги у широкому діапазоні інженерних галу-

зей, зокрема перевірці міцності конструкцій, зменшенні вібрації і шуму,

керуванні формою, точності позиціонування тощо.

Одним із нових класів п'єзоелектричних матеріалів є п'єзокомпозити з п'єзо-

активними елементами структури. Поведінка і властивості п'єзокомпозита

обумовлюються складною взаємодією великої кількості п'єзоактивних елементів,

які утворюють структуру за допомогою взаємозв'язаних полів різної фізичної

природи. Можливість керування структурою п'єзокомпозита та її оптимізація ві-

25

дкривають шлях для створення нових п'єзоматеріалів з наперед заданими елект-

ромеханічними властивостями.

Таким чином, широкі можливості у варіюванні структур композитних мате-

ріалів і конструкцій та необхідність розв'язання задач оптимізації конструкцій з

урахуванням демпфування у поєднанні з прогресом обчислювальної техніки

привели до нового бурхливого розвитку досліджень, пов'язаних з аналізом зале-

жностей механічних та електричних характеристик від структури КМ.

У результаті з початком нового, 21-го століття інтенсивно розвивається на-

ступний етап створення композитних конструкцій із заданими наперед

властивостями, у число яких входить і високий рівень розсіювання енергії. Роз-

виток цього напрямку тісно пов'язаний з розвитком методів оптимізації, зокрема

методів теорії нелінійного програмування і оптимального управління.

Проте проблема проектування композитних конструкцій з максимальним

демпфуванням ще не має глибокого теоретичного обґрунтування, що пов'язано, у

першу чергу, зі складністю задач, які виникають при цьому. Необхідно наголоси-

ти, що до недавнього часу широке використання засобів пасивного демпфування

було направлене на покращення існуючих конструкцій, між тим як методи опти-

мального проектування композитних конструкцій надають можливість

проектування конструкцій, в яких особливості структури цілеспрямовано вико-

ристовуються для забезпечення високих характеристик демпфування вже на

початковому етапі проектування, при цьому характеристики розсіювання енергії

використовуються як рівноправний параметр оптимізації.

Незважаючи на очевидну необхідність використання характеристик розсію-

вання енергії у процесі проектування оптимальних конструкцій, працюючих при

динамічних навантаженнях, наукові дослідження у цьому напрямку почали інте-

нсивно проводитися тільки останнім часом. Такий стан пояснюється складністю

проблеми оптимального синтезу, яка включає рад окремих питань, а саме побу-

дову коректних математичних моделей композиційних матеріалів і композитних

конструкцій, розробку ефективних методів оптимізації, врахування обмежень,

пов'язаних з особливостями структури, навантаження, форми конструкції тощо.

26

Більшість реальних задач оптимізації композитних конструкцій є багатоекс-

тремальними, що знижує ефективність традиційних методів оптимізації, зокрема

градієнтних методів, які у більшості випадків є неприйнятними для пошуку гло-

бального екстремуму. Крім того, проектування оптимальних композитних

конструкцій у більшості практично важливих задач потребує використання декі-

лькох критеріїв оптимальності і приводить до задач багатокритеріальної

оптимізації. Значні труднощі виникають і при обчисленні критеріїв оптимізації

та їх градієнтів, що пов'язано з необхідністю розв'язання крайових задач на кож-

ній ітерації, застосування чисельних методів і відповідного збільшення часу

пошуку оптимуму. Для підвищення ефективності методів оптимізації розгляда-

ється декілька підходів, серед яких методи оптимізації у просторі змінних стану

у поєднанні з методами аналізу чутливості цільової функції до зміни векторів

проектних параметрів, пошукові методи, використання методів прямого обчис-

лення градієнтів цільових функцій. На жаль, ці методи не вирішують проблеми

пошуку глобальних екстремумів і викликають труднощі при реалізації задач ба-

гатокритеріальної оптимізації. Прогресивним є використання сучасних

пошукових алгоритмів на основі еволюційних методів, серед яких найбільш пер-

спективними є генетичні алгоритми (ГА) і пошукові методи, які використовують

рівномірні послідовності точок. Незважаючи на меншу порівняно з градієнтними

швидкість пошуку оптимуму, методи, що базуються на пошукових алгоритмах,

дозволяють з великою вірогідністю знаходити глобальні екстремуми і мають ре-

зерви для прискорення роботи у майбутньому, зокрема за рахунок паралелізації

обчислень, гібридизації з градієнтними методами й удосконалення процесів по-

шуку оптимуму.

Таким чином, актуальність проблеми оптимального проектування компози-

тних конструкцій з високими експлуатаційними характеристиками, зокрема,

мінімальною масою, максимальною міцністю, жорсткістю, заданими частотними

параметрами, високим демпфуванням обумовлює необхідність розробки єдиної

методології, яка базується на коректних з фізичної і математичної точки зору мо-

делях композиційних матеріалів з в'язкопружними і електров'язкопружними

27

властивостями, які забезпечують високий рівень розсіювання енергії, математич-

них моделях композитних багатошарових конструкцій, ефективних методах

аналізу стаціонарних та нестаціонарних коливань та сучасних методах оптиміза-

ції.

Дисертаційна робота виконувалася у відповідності з тематикою науково-

дослідних робіт кафедри теоретичної і прикладної механіки Чернігівського наці-

онального технологічного університету (з 01.09.2015 р. кафедра ТПМ є секцією

кафедри зварювального виробництва та автоматизованого проектування будіве-

льних констукцій ЧНТУ). Базовими науково-дослідними роботами для

підготовки і подання дисертаційної роботи були держбюджетні теми, які викону-

валися за координаційними планами НДР Міністерства освіти і науки України:

– "Математичне моделювання динамічних процесів при силових і теплових

навантаженнях в'язкопружних композитних конструкцій" (№ д/р 0102U000701,

2005-2007 рр.).

– "Оптимізація неідеально-пружних композитних конструкцій, працюючих

при динамічних навантаженнях" (№ д/р 0108U000002, 2008-2010 рр.).

– "Еволюційні методи оптимізації в задачах динаміки композитних констру-

кцій з в'язкопружних і електров'язкопружних матеріалів" (№ д/р 0113U000502,

2013-2015 рр.).

Автор була безпосереднім і відповідальним виконавцем цих робіт.

Метою дисертаційної роботи є розробка математичних моделей і методів

оптимізації багатошарових деформівних дисипативних конструкцій з компози-

ційних матеріалів зі спеціальними властивостями у рамках єдиної аналітичної

концепції на основі розгляду динаміки систем у частотному просторі і викорис-

тання сучасних еволюційних методів оптимізації.

Для досягнення мети роботи виникла необхідність постановки і вирішення

сукупності таких фундаментальних задач дослідження:

– розробка математичних моделей КМ заданої структури з в'язкопружних та

п'єзоелектричних компонентів та дослідження залежностей в'язкопружних, п'єзо-

28

електричних, діелектричних та дисипативних характеристик таких матеріалів від

параметрів їх структури;

– обґрунтування методу побудови визначальних рівнянь динаміки компози-

тних дисипативних багатошарових пластин і оболонок у частотному просторі з

урахуванням фізико-механічних та п'єзоелектричних властивостей матеріалів,

особливостей їх структури і виду навантажень;

– розробка методів аналізу стаціонарних і нестаціонарних коливань і одер-

жання критеріїв оптимізації конструкцій, у першу чергу багатошарових

пластинчастих і оболонкових, як найбільш чутливих до динамічних наванта-

жень;

– встановлення закономірностей впливу спеціальних дисипативних матеріа-

лів і оптимальних структур на динамічні параметри композитних конструкцій,

зокрема на амплітуди коливань оболонок при імпульсних і випадкових коливан-

нях;

– розробка ефективних методів пошуку оптимуму на основі еволюційних

алгоритмів в задачах глобальної оптимізації деформівних дисипативних конс-

трукцій з в'язкопружних та електров'язкопружних КМ з урахуванням обмежень

на параметри оптимізації та змінні стану;

– розробка методів багатокритеріальної оптимізації на основі еволюційних

алгоритмів для одержання структур армування, які забезпечують максимально

ефективні динамічні характеристики композитних конструкцій за наявності декі-

лькох суперечливих критеріїв оптимальності;

– програмна реалізація алгоритмів аналізу нестаціонарних коливань, а також

алгоритмів глобальної та багатокритеріальної оптимізації, та розв'язання за їх

допомогою конкретних задач динаміки деформівних дисипативних систем.

Розв'язання вказаних задач складає в цілому теоретичні основи проектуван-

ня оптимальних композитних дисипативних конструкцій, які працюють в умовах

динамічних навантажень.

Об'єктом дослідження є динамічні процеси деформування оптимальних

конструкцій з дисипативних композиційних матеріалів.

29

Предметом дослідження є математичні моделі і методи оптимізації компо-

зитних конструкцій при функціонуванні в умовах динамічних навантажень та

закономірності розсіювання енергії у структурно-неоднорідних матеріалах і ба-

гатошарових структурах.

Методами досліджень є методи динаміки неідеально-пружного деформів-

ного твердого тіла, варіаційні методи, зокрема метод скінченних елементів

(МСЕ), метод інтегральних перетворень Фур'є, а також методи глобальної і бага-

токритеріальної оптимізації на основі еволюційних алгоритмів.

Наукова новизна одержаних результатів досліджень полягає у:

1) розробці нового методу визначення ефективних характеристик багатоша-

рових електров'язкопружних композиційних матеріалів з шарами в'язкопружних

і п'єзоелектричних матеріалів та встановленні залежностей ефективних характе-

ристик таких матеріалів від параметрів їх структури;

2) обґрунтуванні методики скінченно-елементного синтезу композитних

конструкцій у частотному просторі та розробці нових математичних моделей

композитних багатошарових пластинчатих і оболонкових конструкцій з неідеа-

льно-пружних матеріалів з урахуванням розсіювання енергії в матеріалах шарів і

умов нерозривності переміщень і напружень на міжшарових поверхнях;

3) розробці чисельних методів аналізу стаціонарних і нестаціонарних коли-

вань неідеально-пружних композитних конструкцій, які враховують особливості

фізико-механічних властивостей матеріалу, зокрема, залежність розсіювання

енергії від параметрів структури та зв'язок електричних, в'язких і пружних його

властивостей, які стали основою методики визначення критеріїв оптимізації і па-

раметрів стану таких конструкцій;

4) розробці нових варіантів пошукових методів глобальної і багато-

критеріальної параметричної оптимізації композитних конструкцій на основі

двійкових і неперервних генетичних алгоритмів (ГА) та їх програмної реалізації

за критеріями міцності, максимального демпфування коливань та мінімальної їх

амплітуди, мінімальної маси, максимальної швидкості затухання коливань та ін-

шими за відсутності або наявності обмежень на параметри стану, з

30

використанням яких запропоновано методи топологічної оптимізації в задачах з

одним і багатьма критеріями для багатошарових конструкцій з в'язкопружних

композиційних матеріалів;

5) розробці методики проектування оптимальних багатошарових композит-

них конструкцій з електров'язкопружними пасивними демпфуючими елементами

з п'єзоматеріалів, з'єднаними шунтами із зовнішньою мережею.

У сукупності розроблені математичні моделі, методи аналізу і результати

розрахунків складають теоретичні основи проектування оптимальних вібростій-

ких композитних тонкостінних конструкцій з в'язкопружних і

електров'язкопружних матеріалів для роботи в умовах динамічних навантажень

довільної природи.

Обґрунтованість і достовірність одержаних результатів базується на вико-

ристанні основних положень механіки деформівного твердого тіла, порівнянні

одержаних результатів із відомими з відкритих джерел результатами експери-

ментальних та теоретичних досліджень інших авторів, порівнянні результатів,

одержаних за допомогою різних методів, використанні засобів сучасного мате-

матичного апарату та програмного забезпечення, багаторазовій перевірці

чисельних алгоритмів та використанні тестових задач.

Практичне значення одержаних результатів. На основі розробленого сис-

темного підходу сформульовано рекомендації для проектування оптимальних

структурно-неоднорідних конструкцій з композиційних матеріалів з в'язко-

пружними та електров'язкопружними властивостями з урахуванням розсіювання

енергії, що дозволяє розв'язувати задачі глобальної та багатокритеріальної опти-

мізації багатошарових композитних пластин і оболонок із великою кількістю

проектних параметрів та наявністю обмежень, характерні для багатьох галузей

промисловості. Зокрема, на основі Угоди про співпрацю з Інститутом транспорт-

них систем і технологій "Трансмаг" НАН України (м. Дніпро) розроблено

рекомендації для проектування композитної лопаті вітрової турбіни. Матеріали

досліджень використано при аналізу параметрів вібрацій, а також розробці дос-

31

лідних зразків оптимальних арочних металодетекторів та п'єзоелектричних дат-

чиків для ТОВ "П''єзосенсор" (м. Чернігів).

Розроблено програмну реалізацію представлених методів оптимізації, сумі-

сну з математичними розрахунковими пакетами Matlab і Octave, на яку одержано

свідоцтво про авторські права.

Результати досліджень використовуються у навчальному процесі у Черні-

гівському національному технологічному університеті при викладанні дисциплін

"Обчислювальна механіка" та "Будівельна механіка" студентам механічних і бу-

дівельних спеціальностей. Крім того, розроблені та викладаються авторські

курси "Механіка руйнування", "Оптимізація конструкцій" та "Методи механіки

деформівного твердого тіла в розрахунках будівельних конструкцій" для магіст-

рів інженерних спеціальностей, а також їх електронні курси лекцій.

Матеріали дисертації доповідалися на міжнародних наукових конференціях:

"Композиційні матеріали у промисловості" Славполіком (м. Ялта, 2005-2013 рр.);

"Динаміка, міцність і ресурс машин та конструкцій" (м. Київ, 2005 р.); "Пробле-

ми та перспективи розвитку механізації агропромислового виробництва" (м.

Полтава, 2006 р.); "Проблеми динаміки і міцності у турбомашинобудуванні" (м.

Київ, 2007, 2011, 2014 рр.); "Актуальні проблеми механіки суцільного середови-

ща і міцності конструкцій" (м. Дніпропетровськ, 2007 р.); "Міцність матеріалів та

елементів конструкцій" (м. Київ, 2010 р.), "Вібрації в техніці та технологіях" (м.

Львів, 2011 та 2014 рр., м. Дніпропетровськ, 2015 р.); "Теорія та практика раціо-

нального проектування, виготовлення і експлуатації машинобудівних

конструкцій" (м. Львів, 2012 р.); "Математическое и имитационное моделирова-

ние систем" (Чернігів-Жукін, 2013 р.); "Комплексне забезпечення якості

технологічних процесів та систем" (м. Чернігів, 2016 та 2017 рр.); The 3rd Polish

Congress of Mechanics (PCM) and The 21st Conference on Computer Methods in

Mechanics (CMM) (Польща, Гданськ, 2015 р.), а також на семінарах Інституту

проблем міцності імені Г.С.Писаренка НАН України та науково-практичних

конференціях Чернігівського національного технологічного університету. В пов-

ному обсязі дисертація доповідалася на семінарі кафедри динаміки і міцності

32

машин та опору матеріалів механіко-машинобудівного інституту НТУУ "КПІ ім.

Ігоря Сікорського" (голова – чл.-кор. НАН України, д.т.н, проф. Бобир М.І.); мі-

жкафедральному семінарі Чернігівського національного технологічного

університету (голова – д.т.н., проф. Пилипенко О.І.) і науковому семінарі у Лу-

цькому національному технічному університеті (голова – д.т.н., проф.

Шваб'юк В.І.).

За тематикою роботи опубліковано 58 робіт, з них 1 монографія [168], 27

статей у провідних фахових наукових виданнях [27, 48, 49, 57, 59, 60, 62, 63, 66,

70, 163, 165, 166, 176-182, 186, 188, 189, 209, 270-272], з яких 15 статей у видан-

нях України, які внесені до міжнародних наукометричних баз даних (SCOPUS,

Google Scholar, INDEX COPERNICUS, eLIBRARY.RU та ін.). До праць, які дода-

тково відображають наукові результати дисертації, віднесено статті [63, 69, 173],

тези конференцій [47, 50. 51, 53-56, 61, 64, 68, 71, 72, 161, 162, 164, 167, 169-172,

174, 175,, 183, 185, 187, 208, 354] та авторське свідоцтво на комп'ютерну програ-

му [1]. Матеріали дисертації використано також у навчальному посібнику [73].

Основні теоретичні положення дисертації розроблені здобувачем самостій-

но, що знайшло відображення у 10 одноосібних основних працях [163, 165, 165,

176-182] та 10 тезах конференцій [161, 162, 164, 167, 169-172, 184, 185, 354], зок-

рема, розробка варіанту частотного методу скінченних елементів, одержання

розрахункових рівнянь електров'язкопружного тіла, розробка математичних мо-

делей і визначальних рівнянь пластин і оболонок на основі напіваналітичних

варіантів методу скінченних елементів, розробка методів однокритеріальної і ба-

гатокритеріальної оптимізації на основі генетичних алгоритмів для композитних

конструкцій при динамічних навантаженнях, розв'язання і аналіз задач оптиміза-

ції багатошарових пластин і оболонок за критеріями максимального

демпфування, максимальної швидкості затухання коливань, мінімальної маси,

необхідних частотних характеристик, задач топологічної оптимізації, методи

зменшення амплітуд коливань при нестаціонарних навантаженнях.

Постановку проблеми дисертації, формулювання її теми, мети та основних

задач виконано здобувачем спільно з керівниками д/б тем, що виконувалися на

33

кафедрі теоретичної і прикладної механіки ЧНТУ – завідувачем кафедри теоре-

тичної і прикладної механіки ЧНТУ, доктором технічних наук, професором

Дубенцем В.Г. та доктором технічних наук, професором Хільчевським В.В., які є

співавторами праць [47, 48, 49, 50-57, 59-73, 208, 209, 270-272], і яким здобувач

висловлює щиру подяку.

Співавтори праць [1, 27, 54-57, 68-72, 172-175, 186-189, 271, 272] брали

участь у проведенні розрахунків і чисельних експериментів, обробці даних, тес-

туванні програм.

У розробці програмної реалізації методів оптимізації за допомогою генетич-

них алгоритмів [1] особисто здобувачу належать загальні концепції методів і

алгоритмів комп'ютерних програм, а також тестування.

Дисертаційна робота складається з семи розділів загальним об'ємом 377

стор., списку літератури з 400 найменувань та додатків.

У першому розділі подано огляд досліджень із питань математичного мо-

делювання коливань багатошарових тонкостінних елементів конструкцій з

в'язкопружних та електров'язкопружних матеріалів при динамічних навантажен-

нях, а також методів оптимізації, які використовуються для проектування

оптимальних конструкцій з таких матеріалів з урахуванням демпфування коли-

вань, а також сформульовано задачі, які, на погляд автора, потребують

розв'язання.

У другому розділі представлено побудову математичних моделей в'язкоп-

ружних і електров'язкопружних матеріалів, розглянуто залежності елементів

матриці комплексних модулів електров'язкопружного матеріалу і декрементів

коливань композиційного матеріалу від коефіцієнтів армування і кутів повороту

осей координат, наведено приклади розрахунку параметрів матеріалів з неідеа-

льно-пружними властивостями та порівняння одержаних результатів з

опублікованими у відкритих джерелах.

У третьому розділі представлено побудову математичних моделей конс-

трукцій з неідеально-пружних композиційних матеріалів, метод аналізу власних

частот і декрементів коливань елементів конструкцій з в'язкопружних і електро-

34

в'язкопружних матеріалів, математичні моделі пластин і оболонок з демпфуючи-

ми активними і пасивними елементами, наведено приклади розрахунку реакції

елементів композитних конструкцій на короткочасне імпульсне навантаження.

У четвертому розділі представлено постановку задачі оптимізації однокри-

теріальної параметричної оптимізації при наявності багатьох екстремумів

цільової функції, а також методи умовної і безумовної глобальної оптимізації на

основі розроблених варіантів генетичних алгоритмів з дійсним кодуванням

(RGA) та класичних генетичних алгоритмів (BGA) з урахуванням демпфування

коливань як одного з критеріїв оптимізації, наведено приклади розв'язання задач

пошуку глобального екстремуму, а також порівняння з іншими методами оптимі-

зації. Представлено постановку задач глобальної оптимізації з наявністю

обмежень на параметри проектування та змінні стану, розглянуто приклади роз-

в'язання задач глобальної оптимізації для багатошарових пластин і оболонок з

в'язкопружних та електров'язкопружних композиційних матеріалів з урахуван-

ням розсіювання енергії за критеріями максимальної швидкості затухання

коливань, максимальної або мінімальної першої частоти, мінімальної амплітуди

коливань та задачі мінімаксу.

У п'ятому розділі представлено постановку і розв'язання задач оптимізації

композитних конструкцій з в'язкопружних матеріалів за багатьма суперечливими

критеріями, розглянуто методи безумовної та умовної багатокритерійної оптимі-

зації на основі розробленого варіанту генетичного алгоритму з дійсним

кодуванням, наведено приклади розв'язання задач багатоекстремальної оптимі-

зації для елементів конструкцій, проведено порівняння з іншими методами

оптимізації.

У шостому розділі представлено методи топологічної оптимізації компози-

тних конструкцій з шарами в'язкопружних матеріалів на основі розроблених

варіантів генетичного алгоритму, обґрунтування використаних скінченно-

елементних моделей, наведено приклади топологічної оптимізації для багатоша-

рових стрижнів та оболонок з композиційних в'язкопружних матеріалів.

35

У сьомому розділі представлено методику проектування багатошарових

пластин і оболонок з п'єзоелементами, з'єднаними шунтами із зовнішньою мере-

жею для збільшення розсіювання енергії за рахунок перетворення енергії в тепло

в електричному контурі, а також показано перспективи досліджень у напрямі

створення оптимальних за критерієм максимального демпфування багатошаро-

вих конструкцій зі smart-матеріалів

У додатках наведено довідки про впровадження запропонованих методів та

список публікацій здобувача за темою дисертації.

Автор висловлює щиру подяку науковому консультанту, доктору технічних

наук, професору Анатолію Павловичу Зіньковському за цінні поради і підтримку

в процесі підготовки дисертаційної роботи.

36

РОЗДІЛ 1

АНАЛІЗ СТАНУ ДОСЛІДЖЕНЬ ПРОБЛЕМИ ПРОЕКТУВАННЯ

ОПТИМАЛЬНИХ КОМПОЗИТНИХ КОНСТРУКЦІЙ ДЛЯ ДИНАМІЧНИХ

НАВАНТАЖЕНЬ

Вирішення проблеми проектування оптимальних конструкцій для динаміч-

них навантажень, пов'язане з моделюванням розсіювання енергії в матеріалах,

зокрема композиційних, і у конструкціях на їх основі, потребує необхідних дос-

ліджень як у напрямку побудови математичних моделей, які враховують фізичні,

геометричні, механічні, електромеханічні та інші особливості композитних конс-

трукцій, так і у напрямку розробки методів оптимального проектування

конструкцій з композиційних матеріалів (КМ) із високим рівнем демпфування.

Проектування оптимальної конструкції – це процес створення конструкції,

яка найбільш повно задовольняє прийняті для неї критерії оцінки якості її функ-

ціонування. Для конструкцій, призначених працювати в умовах динамічних

навантажень, такими критеріями є масові характеристики, жорсткість, міцність,

частотний діапазон роботи, вібростійкість, рівень розсіювання енергії. У бага-

тьох випадках прийняті критерії можуть суперечити один одному, а велика

кількість параметрів, від яких залежать ці критерії, не дає можливості реалізува-

ти прості методи перебору для виявлення найкращого проекту.

Для композитних конструкцій з в'язкопружних і електров'язкопружних ма-

теріалів процес проектування оптимальних вібростійких конструкцій складається

з декількох етапів:

– вибір матеріалів із необхідними фізико-механічними та електричними ха-

рактеристиками, які у складі композиту виконуватимуть задані функції, та

побудова математичних моделей КМ для реалізації можливості варіювання стру-

ктури і властивостей матеріалів – складових композита;

– побудова математичної моделі конструкції, проект якої необхідно реалізу-

вати, та розробка методів аналізу розрахункових рівнянь і методів визначення

критеріїв оптимізації;

37

– розробка і обґрунтування методів оптимізації композитних матеріалів і

конструкцій.

Розглянемо досягнення науковців та інженерів у розв'язанні цих задач, опу-

бліковані у відкритих джерелах.

1.1 Матеріали для композитних конструкцій

Для конструкцій, працюючих в умовах динамічних навантажень, найбільш

важливими параметрами, що визначають прийнятність того чи іншого матеріалу,

є питома вага, показники жорсткості і демпфування, а також характеристики мі-

цності. Оскільки відомі конструкційні матеріали мають невисоку здатність

розсіювати енергію механічних коливань, до складу конструкцій, призначених

для роботи в умовах динамічних навантажень, повинні входити матеріали з ви-

сокими характеристиками розсіювання енергії.

Одним із способів керування коливаннями і вібраціями у конструкціях є ви-

користання пасивних демпфуючих елементів із застосуванням спеціальних

демпфуючих в'язкопружних матеріалів [129].

Конструкції з включеннями у вигляді покриттів, накладок, вставок тощо

природно назвати композитними. У сучасних конструкціях композитні елементи

складають більшість, що нівелює різницю між композиційними матеріалами

(КМ) і композитними конструкціями (КК). Використання спеціальних демпфую-

чих матеріалів і композицій пов'язане, в першу чергу, з роботами вчених школи

акад. Г.С.Писаренка, галузевих інститутів суднобудування і літакобудування та

інших [27, 41, 45, 46, 82, 98, 109, 117, 118, 127, 137, 138, 224].

Перші застосування пасивного демпфування реалізовано у вигляді покрит-

тів шарами спеціальних матеріалів конструкцій з високим рівнем вібрації,

зокрема, кабін бурових машин, кожухів вентиляторів та інших. Для цього розро-

блено велику кількість мастик на основі високополімерів, зокрема мастики

“Антівібрит 1” і “Антівібрит 2”, ВМ-1, ВМ-2 і ВМ-3, ряд мастик на основі епок-

сидних смол, зокрема мастики ВПМ-2, ВД-17-58 і ВД-17-59, матеріал ВМЛ-25,

38

одержаний на основі полівінілхлориду і полівінілацетату, а також мастики СВМ-

51, СВМ-428 [25, 131]. Температурний діапазон ефективного застосування цих

матеріалів 0 90 C , частотний діапазон 50-10000 Гц. Одним із найбільш відомих

матеріалів для пасивного демпфування є пластмаса “Агат” [25] з температурним

діапазон ом C355 і частотним 50-10000 Гц.

Практика експлуатації демпфуючих матеріалів у вигляді однорідних пок-

риттів показала недостатню їх ефективність, у зв'язку з чим розпочалися роботи з

розробки композиційних матеріалів багатошарової структури. Прикладами таких

матеріалів є “Поліакрил-ВС”, “Випоніт” [25], які складаються з шарів алюмініє-

вої фольги і полімерних зв'язуючих шарів. Про властивості багатошарових

демпфуючих матеріалів можна довідатись із [25, 98, 99, 126, 127, 130, 131, 224].

Вимоги до конструкційних та спеціальних матеріалів, які найбільш повно

відповідають потребам сучасної техніки, зокрема авіакосмічної, робототехнічної,

автотранспортної тощо, стимулювали розробку і широке впровадження КМ – ба-

гатокомпонентних матеріалів, які складаються з полімерної (ПКМ), металевої

(МКМ), вуглецевої (ВКМ), керамічної (ККМ) або іншої основи (матриці), армо-

ваної включеннями з високоміцних наповнювачів у вигляді пластинчатих

елементів, волокон і локальних включень. Ці матеріали виконують як несучі, так

і демпфуючі функції, які відповідають вимогам динаміки конструкцій, але для

ефективного використання потребують вибору відповідної структури, тобто оп-

тимізації проектних параметрів з урахуванням демпфування як рівноправного

параметра оптимізації [168].

До КМ першого покоління відносять ізотропні іматеріали з заповнювачами

у вигляді дисперсних частинок, що дозволяє одержати властивості більш високо-

го рівня, а також КМ зі спеціальними властивостями, наприклад,

радіопоглинаючими, але таке заповнення не дає можливості реалізувати головну

перевагу КМ, армованих неперервними волокнами, а саме конструювати струк-

тури високоміцних і високомодульних матеріалів з необхідною анізотропією

властивостей, що забезпечує серед інших властивостей і високий рівень розсію-

вання енергії, тобто високі демпфучі характеристики. Удосконалення КМ

39

першого покоління пов'язане з використанням наукоємних технологій, зокрема з

використанням у вигляді наповнювачів дисперсних частинок нанорозмірів (10-9

м) керамічної (наноглини) та вуглецевої (фулерени, нанотрубки) природи [126,

127, 128].

До матеріалів другого покоління відносять анізотропні гетерофазні компо-

зиції на основі неперервних армуючих високомодульних волокон у вигляді

ниток, джгутів, ровінгів, стрічок, тканин та термореактивних або термопластич-

них матриць – так звані волокнисті ПКМ (ВПКМ), які широко використовуються

у різних галузях техніки, особливо в аерокосмічних конструкціях, ракетобуду-

ванні, суднобудуванні, транспортних та робототехнічних конструкціях,

військових технологіях [98, 99, 126, 127, 128, 136, 255]. З використанням сучас-

ного розрахункового апарату для в'язкопружного середовища структуру ВКМ

можна сконструювати і оптимізувати за необхідними критеріями, зокрема за

критерієм максимального демпфування зі збереженням міцнісних характеристик

матеріалу [360].

Найбільш поширеними КМ є матеріали з полімерною (ВПКМ) або метале-

вою (ВМКМ) матрицею, армовані вуглецевими, борними, скляними,

базальтовими, органічними, металевими волокнами тощо [7, 98, 99, 100, 126, 127,

128, 136, 323], переваги яких над традиційними матеріалами обумовлені унікаль-

ним поєднанням міцнісних, деформаційних, ударних, в'язкопружних,

демпфуючих та інших властивостей, можливістю керування властивостями ма-

теріалу шляхом зміни параметрів структури, та порівняно легкою обробкою.

Коротко зупинимося на властивостях основних складових компонентів во-

локнистих полімерних КМ.

Скляні волокна порівняно дешеві, технологічні, добре сумісні з полімерни-

ми матрицями. Діаметр волокон 6(5 20) 10d м , границя міцності

(1 6) ГПа , модуль пружності (50 130) ГПа , густина 3(2500 2600) кг м , дек-

ремент коливань 0,0036 [99]. Використання різних поєднань скляних волокон із

полімерами дозволяє у широкому діапазоні направлено регулювати властивості

40

матеріалів, що в результаті дає можливість ефективно використовувати скляні

волокна практично в усіх галузях машинобудування. Основними недоліками

скляних волокон є низький модуль пружності та відносно низька теплостійкість

[98, 99].

Вуглецеві волокна застосовують у вигляді джгутів, стрічок, тканин. Вони

мають велику жорсткість, зберігають механічні властивості при температурі до

450 С , використовуються як із полімерними, так і металевими матрицями. Гра-

ниця міцності волокон (2 3,5) ГПа , у високоміцних до 20 ГПа, модуль

пружності (220 730) ГПа , у високомодульних до 1000 ГПа, густина 1400-1900

кг/м3, діаметр окремого волокна 5-15 мкм. З композитів на основі вуглецевих во-

локон виготовляють практично весь комплекс обладнання в авіаційних

конструкціях, несучі елементи літаків та ракет, елементи космічної техніки, фер-

ми, деталі, які працюють при високих температурах, в автомобільній

промисловості – деталі автомобілів від кузовів до елементів підвіски та складо-

вих частин двигунів, в суднобудуванні – корпуси суден, гребні гвинти,

виготовлення глибоководних апаратів, у станкобудівництві – роботи і маніпуля-

тори та деталі з високими швидкостями обертання, а також елементи

конструкцій у фізико-хімічному машинобудуванні, залізничному транспорті,

електротехнічній промисловості, нафтогазовій промисловості, при виготовленні

спортивного інвентаря. Такий широкий спектр застосування обумовлений пере-

вагою вуглецевих волокон за питомим значенням механічних властивостей над

усіма відомими жаростійкими волокнистими матеріалами [98, 99, 126, 127, 128,

148, 323].

Борні волокна виготовляють шляхом напилення на вольфрамові нитки діа-

метром 6(11 12) 10d м , діаметр самого волокна 6(100 200) 10 м , границя

міцності (2 4) ГПа , модуль пружності (370 430) ГПа , густина

3(2500 2700) кг м . Композиційні матеріали з армуванням борними волокнами

застосовують для виготовлення панелей і стрижневих елементів для підвищення

їх міцності і жорсткості [99, 126].

41

Базальтові волокна – екологічно чистий матеріал, який одержують з приро-

дних мінералів шляхом їх розплавлення та подальшого перетворення у волокно

без використання хімічних добавок. Діаметр волокон варіюється від мікротонких

діаметром менше 0,6 мкм до товстих діаметром 25-150 мкм. Базальтові волона

застосовуються замість скляних у виробництві високоміцних конструкцій, пра-

цюючих при температурах вище за 250оС, зокрема в авіаційних та дуже широко у

транспортних конструкціях. Властивості волокон значно залежать від способу їх

одержання та діаметра волокна: границя міцності при розтягу (1,8 2,8) ГПа ,

модуль пружності (95 100) ГПа , густина 32750 кг м , теплостійкість 600оС. За

показниками теплостійкості, хімічної стійкості та величиною модуля пружності

базальтові волокна можна розглядати як замінник азбестового волокна [98, 99,

126, 127].

Ще одне покоління високомолекулярних волокон із модулем пружності на

рівні 400 ГПа розроблено на основі карбіду кремнію та інших карбідів і нітридів,

оксидів алюмінію, кремнію, цирконію, які є перспективними як наповнювач усіх

типів [7, 99, 127].

Високомодульні органічні волокна на основі ароматичних поліамідів – так

звані арамідні волокна вперше були випущені в 1975 р. під торговою маркою Ке-

влар, і зараз випускаються під різними торговими марками: Кевлар, Кевлар29,

Кевлар49, Кевлар149, Аренка 930, СВМ, Армос, Терлон, Номекс та інші, у бага-

тьох випадках вони можуть замінювати скляні, оскільки їх діаметр близький до

діаметра скляних волокон і складає 5-20 мкм. Густина їх досить низька –

3(1,43 1,47) г cм , границя міцності при розтягу (2,4 5,0) ГПа , модуль пруж-

ності (85 180) ГПа . Волокна зберігають свої властивості в діапазоні від –50 до

+ 200 С та мають високі демпфуючі властивості, стійксть до циклічних наванта-

жень та широкі можливості для обробки всіма методами, прийнятими в

текстильній промисловості, в той час як текстильна обробка вуглецевих, борних,

керамічних волокон можлива тільки при використанні ниток спеціальних марок

та спецобладнання. Унікальні волокна Spektra, одержані на основі надвисокомо-

42

лекулярного поліетилену, мають модуль пружності до 170 ГПа при густині 0,96

г/см3 та є перспективними для одержання корпусних деталей з епоксидно-

поліетиленових композиційних матеріалів та широко використовуються у війсь-

кових та космічних технологіях, зокрема для нового покоління полимерної броні

[7, 99, 127, 255, 323].

Матеріали матриць призначені, в першу чергу, для того, щоб створювати

монолітний армований матеріал. Матриця визначає рівень робочих температур,

теплофізичні і механічні властивості, а також здатність до демпфування коли-

вань. При виготовленні конструкції з КМ використовують поліефірні,

фенолформальдегідні, епоксидні, кремнійорганічні та поліамідні полімерні мате-

ріали [99]. Механічні властивості міцності і жорсткості матеріалів матриць

порівняно низькі, але рівень розсіювання енергії (демпфування), як правило, ви-

сокий, хоча суттєво залежить від температури і частоти коливань. Характерні

показники жорсткості і розсіювання енергії відповідно: 7 9(4 10 2 10 )Е Па ,

густина 3(1400 1800) кг м , діапазон робочих температур (0 100 )С [99] .

Широке застосування КМ обумовлене рядом властивостей, які вигідно від-

різняють їх від однорідних матеріалів, оскільки забезпечується можливість

поєднувати сприятливі характеристики різних матеріалів, при цьому часто дося-

гаються якості, яких жоден зі складових компонентів не має. Основні критерії в

цілому – це жорсткість, міцність, вага, демпфування, теплова та електрична про-

відність, а також стійкість до впливу навколишнього середовища, зносу і втоми.

Виготовляються також КМ зі спеціальними властивостями – корозійностійкі, ра-

діопрозорі, жаростійкі тощо [7, 98, 127, 255, 323].

Також для композитів є можливою оптимізація анізотропних, механічних,

термомеханічних і електромеханічних зв'язків. Широкі огляди сучасних компо-

зитів представлені у працях закордонних учених: Jones [299], Chawla [255],

Matthews and Rawlings [323], Brockmann T. H. [246].

Загальноприйнятою думкою є така, що КМ можуть забезпечити стабільний

високий рівень демпфування у конструкції, і саме КМ належить майбутнє у

створенні конструкцій із необхідним регульованим розсіюванням енергії. Підт-

43

вердженням цього є опубліковані результати досліджень декрементів коливань і

модулів пружності сучасних КМ. У [253, 355] одержано залежності декремента

коливань і модуля пружності від кута армування для композита з полімерною

матрицею і склопластиковими волокнами. У [99] наведено результати порівнян-

ня демпфуючих властивостей і границь витривалостей для декількох матеріалів,

зокрема титана ВТ-8, сталі ІХНВА, боропластика, вуглепластика, склопластика.

Виявилося, що демпфуючі властивості вуглепластика у 20 разів вищі, ніж у сталі,

і у 40 разів вищі, ніж у титана. Композити перевищували однорідні матеріали за

границею витривалості і величиною питомого модуля пружності. Також дослі-

джувалися модулі пружності і розсіювання енергії КМ зі скляними, вуглецевими

і борними волокнами на полімерній основі [99, 128, 255]. Наведені дані свідчать

про високі демпфуючі властивості у боропластиків і вуглепластиків. Відмічаєть-

ся залежність розсіювання енергії від температури і кута армування та вказується

на можливість регулювання властивостей матеріалу зміною кута армування. Про

можливість забезпечення високого рівня демпфування у КМ вказується також у

[43, 98, 99, 104, 136, 148, 224, 225, 227, 253, 254, 257, 299, 306].

Перспективним напрямком розвитку сучасної техніки є створення гібридних

композиційних матеріалів, які суміщають два або більше типів волокон, зокрема,

органосклопластики, вуглеборопластики, скловуглепластики тощо, що дає мож-

ливість за допомогою оптимального підбору компонентів значно підвищити

технологічні та експлуатаційні властивості гібридних КМ у порівнянні з двоком-

понентними та регулювати характеристики пружності та міцності при

статичному та динамічному навантаженні. Особливо цікавими напрямками є по-

єднання матеріалів різної хімічної природи (багатошарові супергібридні

металополімерні, керамополімерні матеріали), наприклад, алюмополімери, які

складаються з шарів тонких листів алюмінієвих сплавів та прошарків армованих

скляними або органічними волокнами полімерів. У порівнянні зі звичайними

алюмінієвими сплавами такі матеріали мають меншу на 15-20% густину, підви-

щені характеристики міцності та опору втомі, крім того, мають підвищені

демпфуючі властивості [126, 323].

44

Оптимізація структури ВПКМ надає матеріалу деякий рівень "інтелектуаль-

ності" – хоч і пасивної, але ефективної прогнозованої реакції матеріалу на

зовнішній вплив. Перехід до ПКМ третього покоління відбувається у напрямку

інтелектуалізації матеріалу за рахунок використання компонентів зі спеціальни-

ми властивостями – п'єзоелектричних, магніто- і електрострикційних матеріалів,

сплавів з пам'яттю форми, оптичних волокон тощо, що надає матеріалу здатність

до самодіагностики та самоадаптації та переводить його в разряд інтелектуаль-

них полімерних композиційних матеріалів (ІПКМ), які у дослідженнях

закордонних вчених-матеріалознавців у кінці ХХ ст. одержали назву смарт-

матеріали (smart materials), тобто "інтелектуальні" або "розумні" матеріали [202,

246, 356, 362].

Більшість дослідників визначають smart-матеріали як конструкційні матері-

али, здатні до самодіагностування та самоадаптації [246, 296, 356]. Ці матеріали

повинні вміти розпізнавати ситуацію, що виникає при експлуатації конструкції

(сенсорна функція), проводити аналіз та приймати рішення (процесорна функ-

ція), а також здійснювати необхідну реакцію (актуаторна функція). Серед

сучасних композитів не існує матеріалів, які б відповідали усім зазначеним ви-

могам, але частково ці задачі можуть бути вирішені, зокрема в області створення

автономних конструкційних smart-матеріалів і систем для авіакосмічної галузі на

основі біопідходу до інженерного проектування [246, 296]. Також пріоритетними

напрямками досліджень в області smart-матеріалів є створення матеріалів і пок-

риттів, здатних самовідновлюватися та самоорганізовуватися, сенсорних та

активних елементів з покращеними характеристиками, розробки smart-

матеріалів, здатних адаптуватися до змінних умов зовнішнього середовища з ме-

тою самозбереження, забезпечення можливості виконання своїх функціональних

можливостей та забезпечення працездатності всієї конструкції [126, 127, 202,

230, 246].

Не дивлячись на значний об'єм досліджень у напрямі створення smart-

матеріалів, багато питань у цій сфері досі залишаються недостатньо вивченими,

проте вже в теперішній час в США, Японії, Великій Британії, Канаді та інших

45

країнах проводяться інтенсивні науково-технічні роботи зі створення таких ма-

теріалів для сучасної техніки, в першу чергу, авіаційної, ракетно-космічної, а

також засобів масової комунікації [246, 286, 343]. Діючим принципом виконав-

чих або актуаторних (адаптаційних) механізмів є деформація, яка виникає в

результаті деяких фізичних явищ – нагрівання, подачі електричного сигналу то-

що. Для актуації найбільш прийнятні п'єзоелектричний ефект, електро- і

магнітострикція, ефект пам'яті форми – ці механізми забезпечують перетворення

електричного сигналу у деформацію, що важливо для модифікації форми або

жорсткості конструкції та особливо для демпфування коливань [202, 246].

Було встановлено, що найбільш універсальними матеріалами для інтеграції

приведення в дію і чутливих функцій у структурах є п'єзоелектричні матеріали

[89, 120, 245, 246, 260, 261, 314, 356, 361]. Щоб зменшити механічні недоліки цих

багатофункціональних матеріалів, їх можна вбудовувати у формі волокон у тра-

диційний матеріал матриці [297, 341, 346, 356], таким чином, анізотропні

властивості можуть бути адаптовані відповідно до вимог. Оскільки такі компози-

ти успадковують властивості швидкого відгуку на зовнішні впливи і однаково

добре підходять для пристроїв зчитування інформації (сенсорів) та приведення в

дію (актуаторів), такі адаптивні, армовані п'єзокерамічними волокнами компози-

ти добре підходять для зменшення шуму і вібрацій [230, 244, 245, 252, 253, 304,

308]. Для проектування таких матеріалів необхідно знати пружні (механічні) та

електричні поля у різних складових частинах п'єзокомпозита, а також його ефек-

тивні характеристики [246, 297, 334, 340, 374].

Узагальнюючи опубліковані дані, можна стверджувати, що переважна біль-

шість демпфуючих матеріалів є в'язкопружними матеріалами з явно вираженою

залежністю розсіювання енергії від частоти коливань і температури [90, 98, 99,

104, 128, 221]. Властивості КМ залежать від властивостей складових елементів

структури, геометричних параметрів і виду напруженого стану [168, 184], у зв'я-

зку з чим актуальними стають задачі оптимального проектування, тобто вибору

оптимальної структури, виходячи з різних потреб, зокрема міцності, жорсткості,

тепло- та електропровідності, а також високих демпфуючих властивостей.

46

Згідно із сучасною точкою зору, більшість конструкцій з високим рівнем ро-

зсіювання енергії є структурно-неоднорідними (композитними), таким чином,

проблема створення конструкцій для роботи в умовах динамічних навантажень

тісно пов'язана з розвитком методів синтезу складних неідеально-пружних конс-

трукцій. Як відмічалося в огляді [299], у розв'язку цієї задачі основна роль

повинна належати теоретичним методам, оскільки емпіричний перегляд усіх мо-

жливих варіантів структури і геометричних форм – заняття трудомістке й

безперспективне.

1.2 Математичні моделі композиційних матеріалів

Властивості КМ можна моделювати на декількох рівнях: нано- (10-9), мікро-

(10-3) і макрорівнях. На перших двох КМ розглядаються як конструкція складної

структури, характеристики якої можна описати шляхом побудови відповідних

математичних моделей, які базуються на припущеннях про взаємодію елементів.

Оскільки складність таких моделей не дозволяє безпосередньо використати їх на

макрорівні для моделювання макроконструкцій, основним завданням при побу-

дові мікромоделей є одержання так званих ефективних характеристик, тобто

перехід від дискретних структур до гомогенних із деякими ефективними параме-

трами, які можна використати у макромеханіці твердого деформівного тіла. У

відповідності з [104] при побудові моделей КМ використовують один із трьох

підходів:

а) розробки континуальних моделей, які наближено враховують взаємодію

між компонентами КМ;

б) використання моделей кусково-неперервного середовища з уведенням гі-

потез про взаємодію елементів із різними фізико-механічними

характеристиками;

в) використання кусково-неперервних моделей з урахуванням точних умов

взаємодії елементів і використанням рівнянь теорій пружності, пластичності, по-

взучості.

47

Перший підхід не враховує геометричних особливостей і точних умов взає-

модії складових КМ. Сюди відносяться так звані теорії ефективних модулів

[104]. Взаємодію елементів та їх геометричні особливості враховують у теоріях

ефективних жорсткостей [104]. Третій підхід використовується для елементів

простої геометрії, для яких можна коректно сформулювати і розв'язати задачі ви-

значення напружень, деформацій і переміщень. Зазначимо, що використання

результатів, одержаних на мікрорівні, у задачах розрахунку макроконструкції

можливе тільки після введення ефективних характеристик, адекватних характе-

ристикам, що використовують у механіці деформівного твердого тіла. Отже,

перехід до ефективних характеристик необхідно включати в усіх випадках моде-

лювання на якомусь із рівнів. Із розвитком комп'ютерної техніки рівень

поглиблюється, але при цьому збільшується кількість параметрів, які визначають

макрохарактеристики КМ, тобто ми приходимо до моделей суцільного середо-

вища з нано-, мезо-, мікроструктурою [236, 244, 297, 299, 374].

Основною задачею мікромеханіки КМ є побудова залежностей, які пов'язу-

ють фізико-механічні характеристики матеріалів – складових КМ в рамках

мікроструктури, з ефективними характеристиками гомогенного, у загальному

випадку анізотропного, матеріалу. Такий зв'язок можна одержати, використову-

ючи так званий принцип макроскопічної гомогенності [104, 236], згідно з яким у

гетерогенному середовищі можна виділити елемент об'єму (представницький

елемент), характеристики якого у середньому визначають поведінку неоднорід-

ного матеріалу.

Середні по об'єму напруження і деформації визначаються залежностями

1 1

( ) , ( )ij ij i ij ij iV V

x dV x dVV V

,

а ефективні модулі у фізичних залежностях ij ijkl klC описуються тензо-

ром четвертого рангу ijklC , якщо визначено середні значення компонент тензорів

напружень і деформацій.

48

Використовуються також енергетичні методи, згідно з якими ефективні мо-

дулі визначаються через рівність енергій деформування, які запасаються у

гетерогенному й еквівалентному гомогенному середовищі [98, 101, 104],

1 1

.2 2ij ij ijkl ij kl

V

dV CV

Для цього необхідно мати розв'язок відносно напружень і деформацій у не-

однорідному середовищі, що, у зв'язку зі складністю і нечіткістю геометричних

форм складових композиційного середовища, є дуже складною задачею. Точні

розв'язки одержано для невеликої кількості геометричних форм [98, 104], перс-

пективними є чисельні методи, зокрема метод скінченних елементів [129], однак

більш поширеними є наближені методи визначення ефективних модулів, що ба-

зуються на припущеннях щодо напруженого і деформованого стану компонентів

представницького об'єму. Очевидно, що реалістичність припущень залежить від

складності геометричної форми мікрооб'ємів.

Найбільш простими є припущення Фойхта і Рейсса [98, 104, 211]. Згідно з

гіпотезою Фойхта, деформації по об'єму матеріалу є сталими. Для двофазного

композиційного матеріалу це приводить до таких залежностей для модулів:

,GvGvG bbaa

де ,a bv v – об'ємні склади матеріалів у одиниці об'єму 1 ba vv .

Згідно з гіпотезою Рейсса сталими по об'єму вважаються напруження, що

приводить до залежностей між податливостями [98]

.1

b

b

a

a

G

v

G

vG

Очевидно, у випадку використання гіпотези Фойхта напруження не задово-

льняють умови рівноваги, а при використанні гіпотези Рейсса деформації не

задовольняють умови нерозривності. Однак для деяких конфігурацій КМ комбі-

новане використання цих гіпотез дозволяє одержати реалістичні результати для

ефективних компонентів тензора пружних модулів.

49

У роботах [46, 58] одержано ефективні характеристики для матеріалу бага-

тошарової структури і матеріалів, армованих волокнами, для випадку, коли

складові матеріали є неідеально-пружними з амплітудно-залежним розсіюванням

енергії. Вказано також на можливість моделювання КМ із в'язкопружними ком-

понентами. Для аналізу КМ із регулярною структурою запропоновано так звані

мікроструктурні теорії [18, 98, 99, 159, 299]. У першу чергу, це стосується компо-

зитів, армованих паралельними шарами і волокнами, що є, мабуть, найбільш

поширеними структурами.

У перших спробах розрахунку розсіювання енергії у КМ використовували

методи усереднення характеристик розсіювання енергії по представницькому

об'єму без намагання одержати відповідні фізичні залежності неідеально-

пружного матеріалу, які можна було б використовувати у розрахунках конструк-

цій [333]. Характерним для цих методів було штучне введення коефіцієнтів, які

відповідають за розсіювання енергії у матеріалі при частинних випадках напру-

жено-деформованого стану (розтяг-стиск, зсув, згин тощо) з подальшою

комбінацією цих величин у відповідності зі структурою КМ, зокрема, вводилися

деякі матриці коефіцієнтів розсіювання енергії, які, на думку авторів, повинні ві-

дображати розсіювання енергії у композиційному (в основному,

багатошаровому) матеріалі. Розсіювання енергії при цьому вважається частотно-

й амплітудно-незалежним. Роботою, що узагальнює цей напрямок, можна вважа-

ти статтю В.В.Болотіна [16], яка опублікована раніше. У ній пропонується

методика визначення коефіцієнтів розсіювання енергії у загальному випадку на-

пружено-деформованого стану для довільної структурно-неоднорідної

конструкції з в'язкопружних матеріалів. Демпфування у матеріалах вводиться за

допомогою комплексних модулів. Поля напружень і деформацій, необхідні при

визначенні коефіцієнтів відносного розсіювання енергії, пропонується визначати

з розв'язку відповідної ідеально-пружної задачі.

Більш перспективними є методики, направлені на побудову моделей фізич-

них залежностей для дисипативного КМ, які б дозволяли проаналізувати

залежності розсіювання енергії від структури композита, властивостей складових

50

матеріалів, напруженого стану і конфігурації конструкції, тобто були б придатні

для використання у сучасних чисельних методах розрахунку конструкцій, зокре-

ма у методі скінченних елементів. Так, у роботах В.В.Хільчевського і

В.Г.Дубенця [46, 58] запропоновано методику побудови фізичних рівнянь диси-

пативних КМ з амплітудно-залежним розсіювання енергії, у якій

використовуються гіпотези Фойхта-Рейсса [104], а також показано використання

одержаних нелінійних рівнянь для аналізу коливань тонкостінних конструкцій.

Стосовно розрахунків конструкцій з в'язкопружних матеріалів вказується на пер-

спективність використання частотно-залежних комплексних модулів при

переході до простору інтегральних перетворень Фур'є.

Критично оцінюючи розглянуті вище роботи, які стосуються динаміки ком-

позитних конструкцій, необхідно відмітити, що за останні 25-30 років

побудовано моделі структурно-неоднорідних конструкцій, які дозволили зрозу-

міти основні залежності розсіювання енергії від конструктивних і фізичних

параметрів, що привело до появи сучасних ефективних конструкцій. Разом із

тим, у більшості запропонованих моделей не враховувалася частотна залежність

розсіювання енергії, характерна для полімерних матеріалів і композитів на полі-

мерній основі, і розглядалися, в основному, моногармонічні коливання

конструкцій простої форми з традиційними умовами закріплення, що дозволило

використовувати комплексні модулі у рівняннях із дійсними коефіцієнтами.

Суттєвим, на наш погляд, прогресом у підході до аналізу пасивного демп-

фування у конструкціях є перехід від штучних, частинних моделей, що

відображають окрему конструкцію або її елементи, до загальних методів моде-

лювання композитних конструкцій. Необхідність використання саме таких

моделей, що базуються на реальних фізичних законах, була доведена роботами

Г.С.Писаренка та його учнів [58, 117, 137, 138] для тонкостінних конструкцій з

амплітудно-залежним розсіюванням енергії.

Оцінюючи досягнення механіки неідеально-пружних КМ, необхідно відмі-

тити, що найбільш перспективним напрямом одержання ефективних

характеристик КМ є використання методу скінченних елементів для характерно-

51

го мікрооб'єму КМ з наступним усередненням або енергетичним згладжуванням.

Послідовність одержання необхідних макрохарактеристик може бути такою:

а) визначення характерного представницького мікрооб'єму КМ;

б) чисельний аналіз напружено-деформівного стану мікрооб'єму з урахуван-

ням граничних умов і визначення пружної і дисипативної енергії мікрооб'єму;

в) використання умов рівності енергії для дискретного і квазіоднорідного

матеріалу для одержання ефективних фізико-механічних характеристик квазіод-

норідного матеріалу [39, 104, 253, 276].

Труднощі одержання ефективних фізико-механічних характеристик неідеа-

льно-пружних матеріалів, пов'язані з необхідністю усереднення функціональних

залежностей, для в'язкопружних матеріалів вирішуються при переході до аналізу

у просторі інтегральних перетворень Фур'є і використання у фізичних залежнос-

тях комплексних частотно-залежних модулів [58, 168, 220]. Визначення

ефективних характеристик КМ є першим кроком побудови моделей композитних

конструкцій. Урахування макронеоднорідності також потребує використання гі-

потез про взаємодію макроелементів.

1.3 Математичні моделі композитних конструкцій з максимальним де-

мпфуванням

Для задач динаміки неідеально-пружних конструкцій важливе значення ма-

ють роботи, де розглядаються задачі деформування багатошарових тонкостінних

конструкцій і аналізуються їх макрохарактеристики (частоти, декременти коли-

вань, напружений стан, прогини) у залежності від особливостей макроструктури,

яка описує взаємодію макроелементів (наприклад, моношарів), а також ефектив-

них механічних характеристик, які залежать від мікроструктури КМ. Вичерпні

огляди варіантів теорії структурно-неоднорідних пластин і оболонок подано в

[32, 85, 124, 125, 139, 150, 154].

Проблема проектування вібростійких конструкцій, зокрема конструкцій з

КМ, тісно пов'язана з розвитком одного з перспективних напрямків ХХ століття

52

– теорією багатошарових пластин і оболонок, оскільки структура сучасних ком-

позитних тонкостінних конструкцій у більшості випадків відповідає

багатошаровим пластинчато-оболонковим схемам, і найбільш ефективні демп-

фуючі структури мають теж багатошарову структуру.

Історично поява багатошарових пластин і оболонок була пов'язана з необ-

хідністю одержання конструкцій великої жорсткості із забезпеченням

мінімальної маси. Такими конструкціями виявилися тришарові пластини з несу-

чими зовнішніми шарами з конструкційних матеріалів і легким, порівняно

товщим, середнім шаром. Невелика жорсткість таких елементів на зсув привела

до необхідності розробки відповідних математичних моделей, які відрізнялися

від класичної моделі, побудованої на основі гіпотези Кірхгофа-Лява. Першим

уточненням була робота С.П.Тимошенка*), у якій при лінійній залежності пере-

міщень по товщині бруса кут нахилу нормалі до осі стрижня не пов'язувався з

похідною прогину. Узагальнення такого некласичного підходу на багатошарові

структури привело до появи і розвитку двох напрямів моделювання.

В одному з напрямів розглядали багатошарову конструкцію як набір окре-

мих шарів, для кожного з яких використовували методи, характерні для

однорідних пластин і оболонок (точні або наближені) з подальшим врахуванням

умов з'єднання цих шарів у багатошарову структуру. Другий напрям, де викорис-

товувалися гіпотези для всього пакета шарів, приводив до системи рівнянь,

порядок якої не залежав від кількості шарів. Згідно з класифікацією, запропоно-

ваною в роботах Л. П. Хорошуна [212] та В. Г. Піскунова і О. О. Рассказова

[139], моделі першого напряму, які використовували гіпотези для кожного шару,

називають "дискретно-структурними", а теорії другого напряму, в якому засто-

совується система гіпотез для багатошарового пакета у цілому, називають

"неперервно-структурними".

Найбільш докладний аналіз розвитку і сучасного стану цих теорій наведено

в наведеному вище огляді В.Г.Піскунова і О.О.Рассказова [139], де вказуються

*) Timoshenko, S. P., 1921, On the correction factor for shear of the differential equation for transverse vibrations of

bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 744.

53

фундаментальні роботи, присвячені проблемам механіки композитних конструк-

цій, які стали основою для подальших робіт із механіки композитних

конструкцій з неідеально-пружних композиційних матеріалів.

Зазначимо, що проблема врахування неідеальної пружності матеріалів для

описання розсіювання енергії в матеріалі багатошарових пластин і оболонок роз-

глядалася в роботах В. Г. Дубенця і В. В. Хільчевського [45, 46, 58], де

використовувалася система гіпотез В.В.Болотіна і О.Ф.Рябова [139].

Поява і розвиток варіантів методу скінченних елементів (МСЕ) у задачах

розрахунку тонкостінних елементів конструкцій значною мірою зменшили акту-

альність залежності порядку рівнянь від кількості шарів, вірніше, перевели цю

проблему у площину загального порядку систем алгебраїчних рівнянь, які опи-

сують напружено-деформований стан композитних конструкцій. Характерним

для сучасних методів використання МСЕ у задачах розрахунку пластин і оболо-

нок, як вказується у [139], є використання дискретно-континуальних схем (іноді

такі методи називають напіваналітичними [3]), при яких дискретизація прово-

диться не по всіх координатах.

Однією з перших робіт цього напрямку були робота В.Г.Корнєєва і

Л.А.Розіна [100], у якій дискретизація проводилася по поверхні пластини, а де-

формація одержаного елемента по товщині описувалася відповідним

диференційним рівнянням. Альтернативний варіант використовувався у так зва-

ному "методі смуг і шарів" [399, 400]. Фундаментальні роботи з цього напрямку,

безпосередньо не присвячені розгляду задач демпфування, вказано у згаданому

вище огляді [139].

Відмітимо деякі дослідження, безпосередньо пов'язані з проблемою динамі-

ки композитних конструкцій, зокрема проблемою проектування композитних

конструкцій з розсіюванням енергії. Зовсім коротко згадаємо перші роботи, при-

свячені питанню демпфування коливань для того, щоб показати нерозривний

зв'язок проблеми демпфування коливань з проблемою моделювання композит-

них конструкцій, зокрема конструкцій багатошарової структури.

54

Як показано у працях академіка Г.С.Писаренка [137, 138], розсіювання енер-

гії у матеріалі конструкції повинно враховуватися у рамках нелінійності

матеріалу. На основі цієї концепції було виконано ряд фундаментальних робіт,

присвячених коливанням однорідних конструкцій з урахуванням неідеальної

пружності матеріалів [117]. Фундаментальне положення про нерозривний зв'язок

розсіювання енергії з напружено-деформованим станом в об'ємах матеріалу

конструкції поступово привело проблему врахування розсіювання енергії, яка

початково базувалася на чисто експериментальних даних та їх обробці у вигляді

залежностей показників розсіювання енергії від різних факторів, до сучасного

стану, коли задачі демпфування коливань складають розділ теорії дисипативних

композитних конструкцій і конструкцій з КМ.

Початок вивчення елементів пасивного демпфування було покладено робо-

тою Оберста*), де розглядалися коливання стрижня з одношаровим покриттям. У

подальшому було запропоновано більш складні стрижневі і пластинчаті структу-

ри, зокрема тришарові з демпфуючими прокладками. Характерним для цих

моделей був пошук припущень, які б дозволяли одержати розв'язки задач коли-

вань дисипативних конструкцій доступними на той час технічними і

математичними методами [129]. Зазначимо, що розсіювання енергії для матеріа-

лу демпфуючого шару в усіх цих роботах враховувалося за допомогою введення

частотно-незалежного комплексного модуля, а характеристикою демпфуючих

властивостей виступала уявна частина комплексної жорсткості структури; дифе-

ренційні рівняння і відповідні крайові умови, що характеризують закріплення

окремих шарів, не розглядалися, основним об'єктом аналізу були багатошарові

стрижні. Використання комплексного модуля означало, що розглядалися тільки

гармонічні коливання. Основи механіки багатошарових композитів і теорію ба-

гатошарових конструкцій на сучасному рівні було розроблено у монографії

В. В. Болотіна і Ю. Н. Новичкова [18], де розглянуто статику, стійкість, динаміку

багатошарових конструкцій, основи механіки композиційних матеріалів і техно-

*) Oberst H. Uber die Dämping der Biegeschwinungen dünner Bleche durch test hattende Belage

// Acustics. – 1952. – № 4. – P. 181-194.

55

огічні задачі механіки композитів, і яка стала енциклопедією для наступних до-

сідників. Зокрема, у роботі В. В. Болотіна і А. Н. Литвинова [17] розроблено

наближений метод розрахунку параметрів демпфуючих покриттів, оснований на

теорії багатошарових оболонок і пластин, і проведено аналіз роботи багатошаро-

вого демпфуючого покриття з урахуванням умов закріплення на конструкції.

Залежність комплексного модуля від частоти не розглядалася. Подальші дослі-

дження привели до появи більш складних конструкцій багатошарової структури і

підвищення інтересу до конструктивно-неоднорідних елементів, зокрема триша-

рових балок і пластин, які уже давно використовувалися у конструкціях, але не у

зв'язку із задачею демпфування коливань. Виявилося, що, крім високих характе-

ристик жорсткості та міцності, тришарові конструкції можуть забезпечити

ефективне розсіювання енергії.

Результати аналізу коливань тришарових балок наведено у роботах [129,

350]. Розсіювання енергії враховувалося введенням комплексних частотно-

незалежних модулів безпосередньо у диференційні рівняння коливань. На неко-

ректність такого прийому вказано у роботі Крендола [265]. Більш реалістичний

підхід використано у роботах С.В. Берта зі співавт.*), И.В. Джонса зі співавт.**), а

також В.В. Болотіна [16], де властивості демпфуючого матеріалу середнього ша-

ру описувалися інтегральним рівнянням Больцмана-Вольтерра, хоча і з

нереалістичним експоненціальним ядром. Оригінальний підхід до побудови мо-

делей конструкцій із пасивним демпфуванням запропоновано в роботах

K. Cabanska-Placzkevicz [248, 249], де розроблено методику аналітично-

чисельного розрахунку рівнянь коливань комбінованих конструкцій, що склада-

ються з канатів, стрижнів, пластин і оболонок, з'єднаних проміжним шаром

умовного в'язкопружного матеріалу вінклеровського типу. В'язкопружні власти-

*) Берт С.В., Уилкинс Д.Д., Крисмэн В.С. Демпфирование в слоистых балках с заполните-

лями, податливыми по отношению к сдвигу // Конструирование и технология машиностроения. – 1969. – № 4. – С. 84-95.

**) Джонс И.В., Салерно В.Л., Саваччио А. Теоретическая и экспериментальная оценка демпфирующих свойств трехслойных стрижней с вязкоупругими заполнителями // Конструи-рование и технология машиностроения. – 1967. – № 3. – С. 68-74.

56

вості матеріалу описуються моделлю Фойхта, що суттєво звужує клас конструк-

цій, які відповідають таким умовам.

Докладний аналіз демпфуючої властивості багатошарових елементів плас-

тин і оболонок проведено у роботах В.В.Хільчевського і В.Г.Дубенця, де

використано нелінійні фізичні залежності гістерезисного типу [45, 58]. Загальні

фундаментальні положення про розрахунок багатошарових оболонок із в'язкоп-

ружними елементами наведено у монографії В.В.Болотіна і Ю.Н.Новичкова [18].

У цілому, достатньо повну уяву про стан досліджень розсіювання енергії у

багатошарових елементах конструкцій можна скласти з оглядів [41, 58, 129].

Особливо відзначимо монографії [41], де підбито підсумки робіт, в основному,

західних учених, і [129], де розглянуто загальні положення про пасивне демпфу-

вання у конструкціях і, зокрема, наведено характеристики демпфуючих

матеріалів і конструктивні елементи пасивних демпфуючих пристроїв, а також

роботи [58, 169], де сформульовано новий підхід до моделювання пасивно демп-

фованих конструкцій як структурно-неоднорідних, у яких структурна

неоднорідність цілеспрямовано використовується для збільшення демпфування.

З цієї точки зору особливої уваги заслуговує клас конструкцій з компози-

ційних матеріалів. Композиційні матеріали дають простий і ефективний засіб

пасивного демпфування коливань, який не потребує модифікації і є контрольо-

ваним від початку проектування конструкції.

Конструкціям із КМ приділяється величезна увага, і кількість публікацій на

цю тему відповідає цій увазі. Високі демпфуючі властивості КМ є відомими,

проте систематичне вивчення їх можливостей як елементів пасивного демпфу-

вання почалося не дуже давно [58, 169, 305] і є ще далеким від завершення.

Суттєвим, на наш погляд, прогресом у підході до аналізу пасивного демп-

фування у конструкціях є перехід від штучних, частинних моделей, які

відображають окрему конструкцію або її елементи, до загальних методів моде-

лювання композитних конструкцій. Необхідність використання саме таких

моделей, що базуються на реальних фізичних законах, була доведена роботами

57

Г.С.Писаренка та його учнів [117, 118, 137, 138] для тонкостінних конструкцій з

амплітудно-залежним розсіюванням енергії.

Аналогічний підхід розвивається стосовно структурно-неоднорідних конс-

трукцій з пасивним демпфуванням у роботах [58, 169]. У зв'язку з цим важливе

значення мають роботи, де розглядаються задачі динаміки багатошарових тонко-

стінних конструкцій і аналізуються ефекти, пов'язані з особливостями структури.

Огляд варіантів теорії структурно-неоднорідних пластин і оболонок подано у ро-

ботах [41, 58, 85, 98, 99, 124, 125, 139, 151, 154, 213, 216].

Суттєве пожвавлення досліджень демпфування коливань у новому столітті

обумовлено більш широкими можливостями композиційних матеріалів і компо-

зитних конструкцій, які з'явилися в останні 10-20 років, та сучасними

можливостями обчислювальної техніки.

Публікації останніх років, присвячені проблемі демпфування коливань, мо-

жна розділити на роботи, які продовжують тему пасивного демпфування за

рахунок доповнення конструкції спеціальними демпфуючими елементами – до-

датковими зосередженими або розподіленими по поверхні конструкції

накладками, покриттями та прошарками (PCLD Patch – Passive Constrained Layer

Damping) [82, 111, 235, 267, 273, 286, 324, 327, 375, 396], роботи, які узагальню-

ють тему багатошарових конструкцій з ідеально-пружних матеріалів на

неідеально-пружні матеріали [20, 21, 32, 41, 58, 221], і роботи, які об'єднують ці

два напрямки шляхом використання скінченно-елементних моделей [22, 42, 75,

139, 199].

У роботі [327] розглянуто підвищення ефективності демпфуючих властиво-

стей пасивних демпферів-покриттів за рахунок розробки нових демпфуючих

матеріалів і ускладнення структури демпфуючих елементів. При цьому у бага-

тьох випадках при виборі ефективних конструкцій керуються методом проб і

узагальнень проведених експериментів [273]. Результати досліджень коливань

конструкцій, частково вкритих демпфуючим шаром, наведено у роботі [111]. За-

гальною ознакою досліджень цього напрямку є використання концепції

частотно-незалежних комплексних модулів без вказівок на її обмеженість і вико-

58

ристання наближених форм коливань, що не враховують вплив демпфуючих

елементів, тобто використання форм коливань базової конструкції без демпфу-

вання.

Суттєвим досягненням виконаних робіт був висновок про необхідність ком-

плексного аналізу конструкцій із урахуванням структурної неоднорідності й

демпфування вже на початкових етапах проектування [58, 168].

Реалізація цього висновку потребувала нових підходів до аналізу конструк-

цій із демпфуванням, оскільки більшість із них є складними системами, що

складаються з пружних і непружних елементів із розподіленими параметрами.

Точне описання й аналіз динаміки таких систем потребують розробки математи-

чних моделей і методів синтезу конструкцій із підсистем, при яких конструкція

розділяється на окремі частини, які можна описати окремо, після чого ці частини

з'єднуються з урахуванням граничних умов, і проводиться аналіз одержаних рів-

нянь. Така послідовність характерна для варіантів МСЕ [3, 22, 123, 152, 336, 399,

400]. Застосування МСЕ потребує побудови матриць демпфування, для чого не-

обхідно мати відповідну модель матеріалу, тобто фізичні залежності.

Існуючі методики побудови матриць демпфування у більшості випадків ви-

користовують різні припущення про зв'язок матриці демпфування з матрицями

мас і жорсткості для конструкції в цілому, що, очевидно, не може бути прийнят-

ним. Ця ситуація нагадує широке розповсюдження концепції розсіювання

енергії, пропорційного швидкості, з уведенням відповідних членів у рівняння ру-

ху. Живучість таких нереальних припущень можна до деякої міри

виправдовувати тільки зручністю і прозорістю аналізу рівнянь, які одержуються

при цьому.

Скінченно-елементне моделювання демпфованих конструкцій ще не набуло

широкого розвитку. У роботі [195] повідомляється про розробку програми скін-

ченно-елементного аналізу для розрахунку реакції систем із розсіюванням

енергії на стаціонарні вхідні збурення. Програма дозволяє обчислювати декре-

менти, а також частоти і форми коливань відповідної пружної конструкції.

Оскільки розглядались стаціонарні гармонічні коливання, автори користувались

59

поняттям комплексного, незалежного від частоти модуля пружності, одержуючи

комплексні матриці жорсткості для кожного елемента як добуток коефіцієнта

втрат на матрицю жорсткості

ii DD

для кожного і-го елемента. Коефіцієнт втрат для конструкції визначався як сума

втрат енергії у кожному елементі

N

i

iii WW

1

.

Штучність такого підходу не викликає ніяких сумнівів, однак робота є, ма-

буть, першою спробою кваліфіковано побудувати і використати матриці

демпфування у скінченно-елементних моделях.

У роботі [42] розглянуто методику моделювання тришарових матеріалів із

в'язкопружним шаром. Коефіцієнти втрат, відповідні власним формам, визнача-

ються з використанням власних форм відповідної ідеально-пружної конструкції

за формулою

,

R

T

T

K

K

де – власні вектори (форми коливань) відповідної пружної системи;

RK – матриця жорсткості такої системи;

K – комплексна частина матриці жорсткості в'язкопружного шару;

– коефіцієнт невідомого походження.

До обмежень і недоліків роботи необхідно віднести наближеність формул

для визначення коефіцієнтів затухання коливань, оскільки застосування форм ко-

ливань ідеально-пружної системи може привести до неконтрольованих похибок

[206]. Дещо штучними виглядають перетворення для одержання очевидної фор-

мули коефіцієнтів затухання. На закінчення самі автори зазначають, що

постановка задачі не повністю відповідає фізичній реальності [206]. Однак робо-

та є відповідним етапом у розумінні методики скінченно-елементного аналізу

демпфованих систем.

60

Коментуючи розглянуту групу робіт, необхідно відмітити початок викорис-

тання МСЕ для розрахунку демпфованих конструкцій, хоча розглядалися поки

що простіші елементи конструкцій. Запропоновані методики стосуються стаціо-

нарних коливань і не є загальними.

Оскільки конструкції з КМ, призначені для роботи в умовах динамічних на-

вантажень, повинні мати високий рівень розсіювання енергії для демпфування

коливань, які виникають, при проектуванні оптимальних структур КМ необхідно

обов'язково враховувати демпфування як один із важливих параметрів проекту-

вання.

Оскільки демпфування коливань визначається, в основному, внутрішнім ро-

зсіюванням енергії у матеріалі, важливо якомога точніше описати напружений

стан КМ, що приводить до необхідності аналізу КМ на декількох рівнях.

На рівні композиційного матеріалу визначаються властивості деякого пред-

ставницького об'єму, який характеризує структуру КМ і враховує властивості

складових матеріалів. На цьому рівні важливо, враховуючи періодичність струк-

тури КМ, одержати ефективні характеристики умовного квазіоднорідного об'єму,

частіше всього, композитного шару, який далі використати для моделювання ма-

кроструктури, характерної для даної конструкції. Таким чином, процес

оптимального проектування виробів з КМ повинен одночасно забезпечити опти-

мальні властивості композиційного матеріалу і композитної конструкції.

Зазначимо, що складність геометрії конструкції з КМ ускладнює, а то і ро-

бить неможливим використання аналітичних розв'язків, у зв'язку з чим широкої

популярності набули чисельні методи і, зокрема, (МСЕ) [3, 22, 123, 152, 336].

Прості і зрозумілі схеми реалізації алгоритмів МСЕ складають враження легкого

застосування його до аналізу динаміки і демпфування у пластинах і оболонках з

КМ. Однак необхідність якомога більш точного описання полів напружень і де-

формацій в об'ємі конструкції, складність структури самого композиційного

матеріалу, фізична нелінійність компонентів вносять додаткові труднощі, які до-

даються до традиційних, характерних для оболонок середньої і великої товщини,

а саме: необхідності врахування переміщень елементів як жорсткого цілого, вра-

61

хування метрики, точне врахування граничних умов і переміщень по товщині,

апроксимація форми.

Ці проблеми стимулювали появу нових досліджень, направлених як на уто-

чнення, так і на спрощення моделей МСЕ [5, 31].

Один із напрямків – це застосування 3-D скінченних елементів для розраху-

нку тонкостінних конструкцій, обумовлене необхідністю достатньо точної

апроксимації напружено-деформованого стану. Така проблема є актуальною са-

ме для композиційних матеріалів [5].

З цієї точки зору цікавими є моделі скінченного елемента з дискретно змі-

нюваними властивостями по об'єму (скінченні елементи зі вставками інших

матеріалів, моделі, в яких використовуються методи енергетичної континуаліза-

ції [5, 18], а також спеціальні скінченні елементи для багатошарових пластин і

оболонок, які враховують внутрішню структуру композиційного матеріалу обо-

лонок [108, 336, 138].

Зазначимо, що у більшості публікацій, присвячених уточненням моделей

МСЕ, розглядаються ідеально-пружні залежності, що у задачах динаміки приво-

дить до ігнорування демпфування і неточності визначення частот і форм

коливань, тобто до похибок в основних динамічних параметрах, особливо при

нестаціонарних і резонансних режимах коливань.

Прогресивна ідея, яка дозволяє вирішити проблему скінченно-елементного

моделювання систем із розсіюванням енергії, подана у роботах [22, 58], де про-

понується будувати матриці жорсткості скінченних елементів і конструкцій у

цілому, базуючись на реальних фізичних залежностях для матеріалів. Зокрема,

для аплітудно-залежного розсіювання енергії – це нелінійні залежності гістере-

зисного типу [117, 118, 137], для в'язкопружного – рівняння Больцмана-

Вольтерра [105, 160].

Саме останній напрямок розвивається у представленій роботі.

62

1.4 Активне і пасивне демпфування за допомогою матеріалів з електро-

в'язкопружними властивостями

В останні роки у світі все більшого поширення набуває дослідження про-

блем, пов'язаних з адаптивним контролем статичної і динамічної поведінки

конструкцій за допомогою використання так званих "смарт-матеріалів". Не існує

загальноприйнятого визначення поняття "смарт-матеріали" – у різних випадках

використовуються терміни "розумні матеріали", "інтелектуальні матеріали",

"адаптивні матеріали", "активні пристрої", "розумні системи" тощо. Термін

"смарт-матеріали" (smart materials) звичайно використовується для матеріалів, які

змінюють одну або декілька своїх властивостей у відповідь на зовнішній вплив

[356]. Перспективність даного напряму досліджень підтверджується все більш

широким інтересом до цієї проблеми вчених в усьому світі і великою кількістю

статей, монографій, міжнародних конференцій, присвячених цій проблемі. З

1992 року випускається міжнародний науковий журнал Smart Materials and

Structures, в якому друкуються праці з дослідженнями у газузі smart-матеріалів,

систем, структур та інженерних пристроїв. Широкі огляди можливостей та перс-

пектив застосування smart-матеріалів і конструкцій представлено у [89, 90, 120,

202, 246, 260, 261, 296, 356, 371].

Область використання smart-матеріалів є багатодисциплінарною та міждис-

циплінарною, необхідно враховувати багато чинників – механічні та електричні

властивості матеріалів, зчитування та обробку інформації, приведення в дію, де-

мпфування – тобто інтеграцію на рівні системи [356].

Для вирішення задач керування поведінкою конструкцій найбільш широко

використовуються п'єзоматеріали завдяки їх властивостям: широкій смузі частот,

швидкій електромеханічній реакції, відносно низьким вимогам до електрожив-

лення та високому рівню генерованих сил (навантажень), а також здатністю

активно реагувати на змінні чинники як результат перетворення механічної енер-

гії в електричну і навпаки [89, 90, 221, 246, 260, 296, 343, 356, 397].

63

Як відомо, феномен п'єзоелектричності – це особливість деякого класу крис-

талічних матеріалів. П'єзоелектричний ефект являє собою лінійне перетворення

енергії між механічним і електричним полями, яке відбувається в обох напрям-

ках і визначається як прямий або обернений п'єзоелектричний ефект. При

прямому п'єзоелектричному ефекті генерується електричний потенціал шляхом

прикладання механічного навантаження, і навпаки, при оберненому п'єзоелект-

ричному ефекті механічні напруження і деформації виникають при дії

електричного поля. Ці два ефекти представляють зв'язок між механічним і елект-

ричним полями.

Перше застосування п'єзоелектричного ефекту було для ультразвукових да-

тчиків підводних човнів під час І Світової війни [246]. Значне зростання інтересу

відбулося після появи п'єзокераміки (цитронат-титанат свинцю – PZT) у кінці

першої половини ХХ століття. У 70-х роках Кавай*) описав інший вид п'єзомате-

ріалу – полівініліденфторид (PVDF) з високими сенсорними властивостями. За

декілька років інтерес до ефекту п'єзоелектрики зріс, оскільки стало можливим

застосувати п'єзоелектричні матеріали для активних адаптивних систем з власти-

востями самомоніторингу і самоадаптації. Огляди за цією темою до 2002 року

подано в [260, 345, 371].

В останні 15 років сфера використання п'єзоматеріалів значно розширилася.

Використання п'єзоматеріалів у так званих smart-структурах відкрило нову порс-

пективну область – системи сенсорів і актуаторів, вбудовані у конструкцію для

керування коливаннями та формою конструкцій. Огляд можливостей застосу-

вання таких адаптивних структур з акцентуванням на їх використанні в

аерокосмічних апаратах подано в [246, 317].

Розрахунок smart-структур, у складі яких є п'єзоелектричні матеріали, вклю-

чає в себе аналіз взаємодії між електричними і механічними полями. Як показано

в [245], класичні моделі аналізу балок, пластин і оболонок, які були запропоно-

вані для визначення напружень при механічному навантаженні, виявили деякі

*) Kawai, H. The piezoelectricity of polyvinydene fluoride. Japan Journal of Applied Physics, 8,

975-976, (1979)

64

труднощі і обмеження при аналізі smart-структур, які у більшості випадків є ба-

гатошаровими з шарами або накладками з п'єзоелектричних матеріалів, що

призводить до розривів у розподіленні по товщині механічних і електричних

властивостей. Електричне навантаження насправді є полем навантажень, що ви-

магає використання нових сучасних моделей розрахунку.

П'єзоелектричні властивості притаманні багатьом природним та штучним

кристалам з відсутністю центра інверсії, полімерам та іншим біологічним систе-

мам. Також п'єзоелектричні властивості можна надати деяким діелектрикам

некристалічної структури шляхом поляризації в сильному електричному полі

(п'єзокераміка). Особливо широко в якості п'єзоелектриків використовуються си-

стеми цирконату-титанату свинцю (PZT), які мають сталі властивості в

широкому температурному діапазоні, стійкість до дії вологи та атмосферних

впливів, проте є твердими і крихкими і, отже, придатні тільки для відносно неве-

ликих деформацій [356]. Щоб зменшити механічні недоліки цих

багатофункціональних матеріалів, їх можна вбудовувати у формі волокон у тра-

диційний матеріал матриці. Анізотропні властивості одержаного п'єзокомпозита

можуть бути адаптовані відповідно до необхідних вимог. Оскільки такі компози-

ти успадковують властивості швидкого відгуку на зовнішні впливи і однаково

добре підходять для пристроїв зчитування інформації (сенсорів) та приведення в

дію (актуаторів), такі адаптивні, армовані п'єзокерамічними волокнами компози-

ти добре підходять для зменшення шуму і вібрацій [246, 305, 324].

Таким чином, КМ з п'єзоактивними елементами структури є новим класом

п'єзоелектричних матеріалів. Поведінка і властивості п'єзокомпозита обумовлю-

ються складною взаємодією великої кількості п'єзоактивних елементів, які

утворюють структуру (за допомогою взаємозв'язаних полів різної фізичної при-

роди). П'єзоактивні композити використовуються, коли традиційні

п'єзоелектрики не забезпечують необхідного комплексу п'єзомеханічних харак-

теристик, наприклад, механічної міцності. Можливість керування структурою

п'єзокомпозита та її оптимізація відкривають шлях до створення нових п'єзома-

теріалів з наперед заданими електромеханічними властивостями [324] .

65

П'езокомпозити також мають покращені механічні характеристики, пов'язані

з ними електромеханічні характеристики і акустичний імпеданс порівняно з іс-

нуючими суцільними п'єзоелектричними матеріалами [346], тобто забезпечують

широкий діапазон ефективних характеристик матеріалів, яких не мають суцільні

PZT, і характеризуються хорошою сумісністю і міцністю. З декількох видів ПК

найбільш часто вивчаються і використовуються вертикально армовані 1-3 ПК,

які у промислових кількостях доступні у вигляді тонких пластинок [341, 346].

Однак до недавнього часу дуже мало уваги надавалося 1-3 ПК як розподіленим

актуаторам у smart-структурах. У [346] показано, що вертикальна актуація за до-

помогою 1-3-п'єзокомпозитів дозволяє одержати значне затухання у

багатошарових композитних smart-конструкціях – балках і пластинах. Також за-

мість вертикальних армуючих ПК волокон можна застосувати похилі у

вертикальній площині і одержати переваги в актуації за рахунок одночасного

впливу п'єзоелектричних ефективних коефіцієнтів е33 и е31. Автори [234] аналі-

зували 3D деформації багатошарової пластини з активними демпфуючими

зовнішніми шарами, приєднаними до зовнішніх поверхонь. П'єзоелектричні ма-

теріали в обмежувальному шарі розташовувалися під кутом до вертикального

напряму, так що обидва – і поперечне, і поздовжнє деформування у п'єзоелект-

ричних шарах індукували поперечну деформацію зсуву в обмежуючих

в'язкопружних шарах, де реакцію матеріалу моделювали спадковим інтегралом і

вважали, що функція релаксації плавно змінюється по товщині.

Наявність полімерних складових у п'єзоелектричних армованих композитах

може приводити до значних в'язкопружних особливостей поведінки, які вплива-

ють на поведінку п'єзокомпозита в цілому. Високий рівень механічних та

електричних збуджень спричинює підвищення температури у композиті, що, в

свою чергу для більшості матеріалів, особливо полімерів, дає нестаціонарну реа-

кцію [90]. Моделювання нестаціонарної поведінки дозволяє підвищити

надійність використання п'єзоелектричних композитів [90], але цей напрям поки

розглянутий недостатньо з причини складності математичного моделювання не-

стаціонарних коливань.

66

Керування коливаннями конструкції, у складі якої є шари, накладки, вклю-

чення з п'єзоелектричних матеріалів може бути активним, пасивним або

гібридним, пасивно-активним в залежності від електронних пристроїв, приєдна-

них до п'єзоелектричних перетворювачів [281].

Системи для активного керування коливаннями складаються з датчиків і ло-

кальних демпфуючих пристроїв, між якими забезпечується прямий і зворотній

зв'язки. При появі значних вібраційних амплітуд сигнали відповідних датчиків

сприймаються активними демпфуючими пристроями, які забезпечують зниження

вібрації. Такі схеми можуть бути дуже ефективними, але їх недоліком є те, що

вони вимагають потужної електроніки і, оскільки подають енергію на механічну

систему, можуть бути нестабільними, крім того, добре відомо, що активні керу-

ючі пристрої дуже чутливі до змін та невизначеності параметрів системи. Цей

напрямок знаходиться на початковому етапі розвитку, але фундаментальні осно-

ви, на яких може бути побудована теорія активного демпфування за допомогою

smart-матеріалів, розроблено в роботах учених Інституту механіки НАНУ [221], а

також в роботах [232, 234, 250, 322]. Теорію і концепцію smart-структур з актив-

ним керуванням вібраціями, різні типи керуючих стратегій для зменшення

коливань представлено в [232, 234, 340]. Приклади активних керуючих систем

можна знайти у [234, 396, 397, 372].

За останнє десятиліття багато досліджень проводилися у напрямку пасивно-

активного демпфування за допомогою в'язкопружних і п'єзоелектричних матері-

алів [90, 370, 231, 372, 373, 375]. Головними причинами для розгляду таких

гібридних механізмів демпфування є комбінація надійності, низької вартості і

стабільності в'язкопружних демпфуючих накладок та високої працездатності,

вибірковості щодо форм коливань та адаптивності п'єзоелектричних керуючих

пристроїв. У [359] традиційний обмежуючий шар (пасивного демпфування) був

замінений на п'єзоелектричний шар, і точкові датчики використовувалися для

вимірювання реакції коливань при зворотному зв'язку з контролером. У [230]

представлено методику ACLD (активного демпфування в обмежуючому шарі),

яка включає розподілені п'єзоелектричні датчики у вигляді додаткового шару,

67

пов'язаного з основною структурою. У роботах В.Г. Карнаухова [89, 90] вказано,

що для розширення діапазону частот ефективного контролю коливань необхідно

розвивати комбіновану технологію демпфування з використанням як пасивних

так і активних методів. Однак, як показано у [372], ефективність активно-

пасивного демпфування великою мірою залежить від відносного розташування

в'язкопружних і п'єзоелектричних матеріалів. У детальному огляді [235] наведе-

но останні досягнення в області активного/пасивного структурного керування

коливаннями. У [375] дано огляд відкритої літератури, яка стосується геометри-

чної конфігурації, підходів до моделювання та керуючих алгоритмів для

гібридних активних (п'єзоелектричних) та пасивних (в'язкопружних) демпфую-

чих елементів балок. На додачу з використанням уніфікованої СЕ моделі, здатної

описати багатошарові демпфoвані балки з п'єзоелектричними елементами та оп-

тимальні керуючі алгоритми, досліджується геометрична оптимізація чотирьох

гібридних елементів за допомогою параметричного аналізу, де параметрами є

довжина елемента та товщина в'язкопружного матеріалу. Виконується порівнян-

ня характеристик цих гібридних демпфуючих елементів та виявляються їх

переваги та недоліки. Проведений огляд більш як 80 джерел дозволяє вперше по-

казати детально параметричний та порівняльний аналіз для вже відомих

гібридних активних (п'єзоелектричних) та пасивних (в'язкопружних) демпфую-

чих конфігурацій.

Пасивне керування є особливо цікавим, оскільки немає необхідності вводи-

ти додаткову енергію у систему, отже дисипація механічної енергії обумовлена

тільки перетворенням в електричну енергію і тепло. Ідея використання шунтую-

чих п'єзоелектричних матеріалів базується на значному електромеханічному

зв'язку, який забезпечується при перетворенні частини вібраційної енергії в елек-

тричну енергію, яка потім розсіюється через контур з шунтом. [287, 349].

До пасивного демпфування коливань за допомогою приєднаних електрич-

них контурів (шунтів) існує два підходи – локальний і розподілений. Перший

використовує керуючі системи з оптимально розташованими п'єзоелектричними

накладками, приєднані до контурів, працюючих у вибраному частотному діапа-

68

зоні. По відношенню до розподілених керуючих систем ці схеми використову-

ють невелику кількість п'єзоелектричних елементів та, як правило, простіші

контури. Приклади можна знайти у [234, 263, 314, 325, 324, 325, 343, 377, 378,

386].

Інший підхід для вирішення цієї проблеми полягає у розподіленій п'єзоелек-

тричній мережі, з'єднаній з віртуальним пасивним модульованим контуром,

оптимізованим для збирання механічної енергії у пластині та розсіювання її у

контурі [242, 267, 281, 286, 287, 322, 349, 365]. Рівномірне просторове розподі-

лення датчиків і сенсорів дозволяє одержати разом з оптимальними електричним

параметрами деякий дуалізм між електричним контуром і механічною структу-

рою. Ця пасивна технологія забезпечує стабільність і оптимізоване керування у

широкому діапазоні частот, але потребує точних математичних моделей елект-

ромеханічного зв'язку та використання методів оптимізації для вибору

оптимальних структур композитного матеріалу, у складі якого є в'язкопружні та

п'єзоелектричні матеріали з електров'язкопружними властивостями, залежними

від частоти [373] .

П'єзоелектричні елементи, з'єднані електричним контуром (шунти) і прикрі-

плені до конструкції, і є пристроями, де відбувається дисипація енергії, і тим

самим здійснюється додаткове демпфування. Переваги шунтування – достатньо

проста реалізація зовнішніх електричних контурів, оскільки для них треба лише

декілька стандартних електронних компонентів, у деяких випадках не потрібно

додаткових джерел струму, а у ряді випадків не потрібні датчики зворотного

зв'язку [376, 228, 322, 365].

Пасивні методи забезпечують стабільність та оптимальне керування у ши-

рокій смузі частот але потребують оптимальних конфігурацій електричних

контурів та оптимізації структури композиту для максимізації демпфування ко-

ливань за допомогою електромеханічного зв'язку [229, 267].

Таким чином, велика кількість досліджень в останні роки в області компози-

тних smart-конструкцій з використанням інтегрованих п'єзоелектричних сенсорів

і актуаторів підтверджують перспективність та потенціальні переваги таких

69

конструкцій у широкому діапазоні інженерних галузей, для яких актиальним є

перевірка міцності, зменшення вібрації і шуму, керування формою, точність по-

зиціонування тощо [246]. Підтверджується, що технології пасивного керування

коливаннями дають хороші результати демпфування коливань у високочастотній

смузі не тільки з використанням в'язкопружних матеріалів, але і з використанням

додаткового розсіювання енергії у п'єзоелектричних елементах, з'єднаних елект-

ричними контурами (шунтах) за рахунок перетворення електричної енергії в

теплову. Методи активного керування за допомогою вбудованих п'єзоелектрич-

них пристроїв (сенсорів і актуаторів) дають хороші результати у низькочастотній

області. Для розширення діапазону частот ефективного контролю коливань не-

обхідно розвивати комбіновану технологію демпфування з використанням як

пасивних, так і активних методів [90].

Зазначається, що в існуючій на даний час літературі з керування коливанями

не враховується реальна в'язкопружна поведінка матеріалів, які широко викорис-

товуються для виготовлення як пасивних пластинчастих елементів, так і

активних елементів контролю коливань, зокрема, полімерних матеріалів з п'єзо-

ефектом які широко використовують для виготовлення сенсорів і актуаторів, а

також традиційних п'єзокерамічних матеріалів, які також мають в'язкопружні

властивості [90].

1.5 Методи оптимізації

Як уже зазначалося у попередніх підрозділах, створення ефективних струк-

турно-неоднорідних конструкцій з високим рівнем демпфування неможливе без

використання методів оптимізації.

Постійно зростаючі вимоги зниження виробничих витрат для протистояння

глобальній конкуренції змусило інженерів шукати строгих і точних методів при-

йняття рішень, зокрема ефективних та економічних методів оптимізації для

розробки і виробництва продукції та систем. Методи оптимізації, досягнувши

високого ступеня зрілості в останні роки, у нинішній час використовуються у

70

широкому спектрі галузей промисловості, у тому числі аерокосмічної, автомобі-

льної, хімічної, електротехнічної, енергетичної, будівельної, обробної

промисловості тощо. Швидко розвиваються обчислювальні технології, комп'ю-

тери стають все більш потужними і, відповідно, розмір і складність проблем, які

можуть бути вирішені з використанням методів оптимізації, також зростає. Ме-

тоди оптимізації у поєднанні із сучасними засобами автоматизованого

проектування використовуються також для удосконалення творчого процесу

концептуального і детального проектування інженерних систем [27, 135, 226,

278, 344].

Коротко розглянемо напрями та методи розв'язання сучасних задач оптимі-

зації інженерних конструкцій.

1.5.1 Класичні та метаевристичні методи оптимізації. Переваги і недолі-

ки

Існування методів оптимізації можна прослідкувати від часів Ньютона, Лаг-

ранжа та Коші [210, 122, 307]. Розвиток диференційних методів оптимізації став

можливим завдяки внескам Ньютона і Лейбніца до математичного аналізу. Ос-

нови варіаційного обчислення, яке займається мінімізацією функціоналів, були

закладені Бернуллі, Ейлером, Лагранжем, Weirstrass. Метод оптимізації для задач

з обмеженнями, який включає в себе додавання невідомих множників, став відо-

мим під ім'ям його винахідника, Лагранжа. Коші вперше застосував метод

найшвидшого спуску для вирішення задач безумовної мінімізації [122, 210].

Незважаючи на ці перші внески, до середини ХХ століття було досягнуто

дуже мало прогресу, лише поява високошвидкісних цифрових комп'ютерів нада-

ла можливість реалізувати оптимізаційні методики і стимулювала подальші

дослідження в напрямку створення і використання нових методів [344]. Були

зроблені грандіозні досягнення, що відображено у величезній кількості робіт,

присвячених методам оптимізації [122, 210, 240, 307, 344, 387, 382]. Цей прогрес

обумовив появу декількох чітко визначених нових областей в теорії оптимізації,

71

зокрема появу цілого класу евристичних методів оптимізації, заснованих на ви-

користанні стохастичних алгоритмів [240, 241, 318].

Достатньо повні огляди методів оптимізації, традиційних і сучасних, пред-

ставлено в літературі, зокрема, варто відзначити широко відомі роботи

Г. Реклейтиса та Д. Хіммельблау [155, 156, 210], де представлено детальний і по-

вний опис задач оптимізації як задач нелінійного математичного

програмуваання, а також огляди класичних градієнтних методів оптимізації [240,

262, 275, 279. 344, 382]. Класичним і пошуковим методам, зокрема методам Мон-

те-Карло і прямого пошуку, присвячено роботи [194, 122, 301].

До 70-х років сукупність розроблених математичних методів дозволила

сформувати розділ прикладної математики, відомий більшості інженерів під на-

звою "теорія оптимізації", а фахівцям з дослідження операцій в обчислювальній

техніці – як теорія математичного програмування. Термін "математичне програ-

мування" запропоновано Робертом Дорфманом у 1950 р. [210], зараз це поняття

включає лінійне програмування, цілочисельне програмування, нелінійне програ-

мування, програмування за наявності невизначеності, математичний аналіз,

варіаційне обчислення, геометричне програмування, квадратичне програмуван-

ня, інтегральне програмування, стохастичне програмування, багатокритерійне

програмування, мережеві методи, теорію ігор, а також сучасні та нетрадиційні

оптимізаційні методи на основі метаевристик: генетичні алгоритми, метод іміта-

ції відпалу, мурашині та бджолині алгоритми, метод рою частинок, штучні

нейронні мережі, методи нечіткої оптимізації тощо [344].

Методи математичного програмування, як правило, вивчаються як частина

дослідження операцій та є корисними при пошуку мінімуму функції декількох

змінних при заданому наборі обмежень. Дослідження операцій – це галузь, пов'я-

зана із застосуванням наукових методів і методик до задач прийняття рішень і

створення найкращих або оптимальних рішень [344].

Для більшості задач проектування конструкцій пошук розв'язку можливий

лише за допомогою нелінійних методів програмування, але є деякі інженерні до-

датки, для яких найбільш підходять інші методи оптимізації, зокрема, лінійні,

72

геометричні, динамічні, цілочисельні і стохастичні методи програмування [307,

344].

Стохастичні методи можуть бути використані для аналізу задач, що опису-

ються набором випадкових величин, які мають відомі розподілення

ймовірностей. До стохастичних методів відносять теорію рішень, процеси Мар-

кова, теорію масового обслуговування, теорію відновлення, теорію надійності

тощо [344].

Статистичні методи дозволяють проаналізувати експериментальні дані і по-

будувати емпіричні моделі для отримання найбільш точного уявлення про

фізичну ситуацію. В цій області відомі методи регресії, кластерний аналіз та роз-

пізнавання образів, планування експериментів, дискримінантний або факторний

аналіз [344].

В останні роки все більше розвиваються методи оптимізації, які концептуа-

льно відрізняються від традиційних методів математичного програмування.

Більшість із цих методів основано на деяких характеристиках і поведінці біологі-

чних, молекулярних, комашиних та нейробіологічних систем, а саме: генетичні

алгоритми, метод імітації відпалу, метод рою частинок, методи мурашиної або

бджолиної колонії, методи нечіткої оптимізації, методи на основі нейромереж

тощо [135, 198, 241, 278, 285, 298, 302, 318, 328, 329, 388, 392].

Ці методи віднесено до категорії метаевристик, і хоча деякі їх принципи і

були декларовані у 60-70-х роках минулого століття, але інтенсивно метаеврис-

тичні алгоритми для вирішення задач оптимізації почали розвивалися тільки в

останні 20 років, оскільки виявилися ефективними для розв'язання складних му-

льтидисциплінарних задач. Більшість із них потребують тільки значень цільової

функції (і не потребують визначення похідних, як традиційні ньютонівські, ква-

зіньютонівські та інші градієнтні методи) [318].

У минулому алгоритми зі стохастичними компонентами називали евристич-

ними алгоритмами, у сучасній літературі надають перевагу терміну

"метаевристики", який вперше ввів Фред Гловер [280]. Усі метаевристичні алго-

ритми використовують деякий компроміс між рандомізацією і локальним

73

пошуком. Якісне рішення може бути знайдене за помірний проміжок часу, але

немає гарантії, що буде досягнуто оптимального значення. Проте вірогідність

знаходження глобального оптимуму у більшості метаевристичних алгоритмів

дуже висока, що дозволяє використовувати їх для розв'язання задач глобальної

оптимізації. Детальний огляд з цього питання подано у [384].

У переважній більшості метаевристик використовуються деякі форми стоха-

стичної оптимізації, отже пошук результату залежить від набору генерованих

випадкових величин. При пошуку з великою кількістю допустимих значень ме-

таевристичні методи завжди знаходять хороший розв'язок з меншою затратою

обчислювальних засобів порівняно з традиційними оптимізаційними алгоритма-

ми, ітераційними методами та простими евристиками [240, 241, 280, 282, 318,

369].

Більшість досліджень, присвячених метаевристичним методам, у дійсності

має експериментальний характер і описує емпіричні результати, основані на

комп'ютерних експериментах з алгоритмами. Проте деякі формалізовані теоре-

тичні результати також є доступними, зокрема щодо збіжності та пошуку

глобального оптимуму [285, 364].

Першим знаковим явищем для розвитку метаевристичних алгоритмів опти-

мізації стала поява еволюційних алгоритмів. Генетичні алгоритми (ГА) як

комп'ютеризовані пошукові оптимізаційні алгоритми, в основі яких лежать меха-

нізми генетики і природного відбору, були запропоновані Голландом (J. Holland)

у 1960-1970-х роках, основна праця з цього питання була опублікована у 1975 р.

[293], а далі зі зростанням потужності комп'ютерної обчислювальної техніки ГА

одержали надзвичайне поширення для розв'язання величезного класу різномані-

тних задач оптимізації у різних галузях техніки, економіки, планування тощо.

У 1980-1990-і роки було запропоновано багато різних метаевристичних ал-

горитмів. Важливим кроком стала поява методу імітації відпалу, заснованого на

механіці процесу охолодження розплавлених металів через відпал, розробленого

S. Kirkpatrick et al. у 1983 р. [392]. Використання пам'яті у метаевристиках впер-

ше було запропоновано Glover у методі табу пошуку (Tabu search) [280], суть

74

якого полягає в тому, що кроки пошуку записуються в списку табу, і на наступ-

них кроках необхідно спробувати уникнути попередніх рішень.

Алгоритм оптимізації за допомогою методу рою частинок імітує поведінку

соціальних організмів, таких як колонії або рої комах (наприклад, мурашки, тер-

міти, бджоли, оси), зграй птахів і риб. Алгоритм був запропонований Кеннеді і

Еберхартом (Kennedy and Eberhart) у 1995 році [300]. Зокрема, мурашиний алго-

ритм оптимізації заснований на кооперативній поведінці колоній мурашок, які

здатні знайти найкоротший шлях від свого гнізда до джерела їжі. Метод був впе-

рше розроблений Marco Dorigo в 1992 році [269].

Нейромережеві методи засновані на величезній обчислювальній потужності

нервової системи для вирішення перцептивних задач (задач сприйняття та розпі-

знавання образів) за наявності величезної кількості сенсорних даних завдяки

можливості паралельних обчислень [198]. Нечіткі методи оптимізації були роз-

роблені для вирішення задач оптимізації, які включають проектні дані, цільову

функцію та обмеження, задані в неточному вигляді, з вечітким та лінгвістичним

описом. Нечіткі підходи до одно- і багатокритеріальної оптимізації в технічному

проектуванні були вперше представлені Рао у 1986 році [344].

За останні 20 років з'явилися нові метаевристичні методи оптимізації, зок-

рема, диференційна еволюція, метод пошуку гармонії, світлячковий метод,

інтелектуальні краплі води, зозулиний пошук тощо [135, 392].

У [240] подано загальну класифікацію (огляд) методів оптимізації та облас-

тей їх застосування в інженерних задачах, а також методів розв'язання основних

типів задач за останні 25 років.

Більшість дослідників сходяться на думці, що бажано розробляти такі мето-

ди оптимізації, які будуть ефективно працювати у стохастичних за своєю

природою реальних задачах проектування [298], зокрема, таким умовам відпові-

дають метаевристичні методи – найбільш загальні та перспективні алгоритми

стохастичної оптимізації, які в тій чи іншій мірі використовують випадковість

для досягнення оптимального рішення у складних задачах сучасних галузей нау-

ки і техніки. Як правило, в таких задачах дуже багато проектних параметрів,

75

доступно мало допоміжної інформації, не завжди відомо, який вигляд має опти-

мальне рішення, невідомо, яким способом необхідно шукати це рішення – таким

чином, наявної евристичної інформації явно недостатньо, а послідовний перебір

не підходить з причини великого простору пошуку [318, 387, 392].

1.5.2 Методи оптимізації на основі еволюційних алгоритмів

З усіх сучасних метаеристичних методів оптимізації саме еволюційне моде-

лювання зараз є одним із головних і найбільш досліджуваних напрямів

математичного моделювання, які швидко розвиваються. Воно об'єднує комп'ю-

терні методи моделювання еволюційних процесів у штучних і природних

системах [74]. Перевагами еволюційних обчислень є здатність до адаптації та на-

вчання, можливість паралелізму обчислень та побудови гібридних

інтелектуальних систем на основі комбінування з теоретико-методологічними

моделями штучних нейромереж і нечіткої логіки. Існує можливість створення

єдиної концепції еволюційних обчислень, яка включає в себе генетичні алгорит-

ми, генетичне програмування, еволюційні стратегії і еволюційне програмування

[107, 302]. Відмінності між різними формами еволюційних обчислень полягають

у формі представлення цільової функції та альтернативних розв'язків, операторів

кросинговера і мутації та вірогідності їх застосування, стратегії відбору кращих

точок, методів підвищення ефективності еволюційних обчислень шляхом адап-

тації [107].

Але всім видам еволюційних обчислень, незалежно від форми і моделі, при-

таманні універсальність і фундаментальність, що можна проілюструвати за

допомогою такого абстрактного еволюційного алгоритму:

– встановлення параметрів еволюції;

– ініціація початкової популяції особин (точок);

– визначення функції пристосованості (цільової функції, fitness) для кожної

особини популяції;

– селекція (відбір);

76

– рекомбінація (кросинговер, реплікація);

– мутація (варіація);

– оцінювання одаржаних нащадків (визначення функції пристосованості) на

кожному кроці ітерації;

– утворення нової популяції особин (точок);

– повторення алгоритму до виконаня умови для його зупинки.

Швидкість одержання результату, тобто час, необхідний для виконання за-

даної кількості ітерацій, та здатність до стійкого пошуку глобального

екстремуму є оцінкою результативності еволюційного алгоритму і придатності

для розв'язання конкретної оптимізаційної задачі [107, 290, 328, 329].

Перевагами еволюційних обчислень є: широка область застосування, мож-

ливість пошуку у складних просторах розв'язків великої розмірності; можливість

кодування розв'язків, підбору початкової популяції, комбінування з нееволюцій-

ними алгоритмами тощо; відсутність обмежень на вигляд цільової функції,

відносно прості для розуміння схеми і базові принципи еволюційних обчислень;

можливість інтегрування з теоретико-методологічними моделями штучного ро-

зуму, зокрема штучні нейромережі та нечітка логіка [198].

Основними недоліками є відносно висока трудомісткість обчислень, обумо-

влена необхідністю обчислення функції пристосованості для кожної точки на

кожному кроці ітерацій, і яку, проте, можна подолати шляхом паралелізації об-

числень [10], та відносно невисока швидкість пошуку екстремуму, особливо на

заключних фазах, що можна виправити шляхом комбінування з іншими метода-

ми оптимізації, тобто застосувати так звані гібридні методи [107, 344].

Крім того, евристичний характер еволюційних обчислень, власне кажучи, не

гарантує визначення глобального оптимуму, але на практиці часто важливіше

швидко одержати декілька субоптимальних розв'язків, тому цю особливість мо-

жна назвати недоліком умовно [107].

Порівняльний аналіз еволюційних алгоритмів дозволяє одержати такі ви-

сновки: по-перше, пошук еволюційного алгоритму, який переважає усі

конкуруючі з ним алгоритми, не має сенсу без точного опису конкретних задач і

77

цільових функцій, по-друге, необхідно спочатку визначити характеристичні осо-

бливості класу задач, які необхідно вирішувати, а потім на їх основі шукати

підходящий алгоритм, оскільки часто алгоритм, який успішно розв'язує одну за-

дачу, зовсім не підходить до іншої [107].

З усіх напрямів еволюційних обчислень найбільше поширення для вирішен-

ня сучасних задач оптимізацій набули генетичні алгоритми, які коцептуально

засновані на теорії еволюції Дарвіна – виживання найбільш пристосованих осо-

бин, тобто на принципах еволюції і природного відбору [28, 107, 278, 282, 290,

328, 329]. Основна заслуга Голланда як основоположника сучасної теорії генети-

чних алгоритмів в тому, що він усвідомив значення і перспективність

еволюційних принципів у здатності природних систем до адаптації і почав разом

із своїми студентами у Мічіганському університеті розвивати цей напрямок

[293]. Тоді ж один із студентів Голланда Кеннет Де Йонг (Kenneth А. De Jong)

захистив дисертацію на ступінь Доктора філософії на тему "An Analysis of the

Behavior of a Class of Genetic Adaptive Systems" [266], після чого генетичні алго-

ритми почали привертати все більше уваги серед науковців, які знаходять для

них нові області застосування. У перших роботах з ГА використовувався двійко-

вий код для представлення проектних змінних, [266, 282, 329]. Однак, як

виявилося, двійкове кодування має суттєві недоліки при пошуку у неперервних

просторах із необхідною точністю, що характерно саме для задач оптимізації

конструкцій. У зв'язку з цим для оптимізації у неперервних просторах останнім

часом використовуються алгоритми, побудовані на використанні набору дійсних

чисел. Такі алгоритми одержали назву неперервних генетичних алгоритмів RGA

(real-coded GA) або генетичних алгоритмів з дійсним кодуванням, на відміну від

двійкових BGA (binary-coded GA) [277]. У [283] проаналізовано переваги дійсно-

го кодування, зокрема, зручність природного представлення змінних у вигляді

дійсних чисел, уникнення бар'єрів Хемінга та інших проблем оперування з двій-

ковим представленням чисел, менша кількість поколінь до досягнення збіжності,

а також показано за допомогою теорії віртуальних алфавітів, що дійсне кодуван-

ня дає не гірші, а на практиці кращі результати, ніж двійкове.

78

Звичайно, не можна точно передбачити, в якому випадку ГА буде найбільш

ефективною процедурою пошуку, яка успішно буде конкурувати з іншими про-

цедурами. Ефективність ГА, як і інших метаевристичних методів, як показано у

[364], сильно залежить від налаштування параметрів, методу кодування розв'яз-

ків, видів операторів тощо. Матеріали досліджень, відображені в літературних

джерелах, присвячених ГА, не дають підстав говорити про які-небудь визначені

механізми для чітких передбачень, проте такі характеристики задач розрахунку

динаміки композитних конструкцій як багатоекстремальність, велика кількість

проектних параметрів, значна трудомісткість визначення похідних цільових фу-

нкцій, складний рельєф цільової функції, часто необхідність розв'язання

багатокритеріальних задач практично не дають можливості застосування класич-

них методів [328].

1.6 Проектування оптимальних композитних конструкцій з в'язкопру-

жних і електров'язкопружних матеріалів

Розробці й застосуванню методів оптимізації структурно-неоднорідних

конструкцій присвячена значна кількість робіт [6, 27, 39, 103, 106, 120, 192, 200,

205, 211, 256, 263, 278, 330, 332, 338, 393]. Значно менше публікацій присвячено

оптимізації конструкцій із розсіюванням енергії [4, 40, 111, 144, 227, 231, 313,

320, 358, 373]. Однією з перших робіт цього напрямку є робота Міда*), де пропо-

нуються критерії оптимізації для тришарового стрижня і використовується

модель частотно-незалежного (гістерезисного) розсіювання енергії. Показано, що

ефективність демпфування, досягнутого у результаті оптимізації, залежить від

критерію оптимізації [327]. На елементарному рівні оптимізація пасивних демп-

фуючих пристроїв розглядалася у роботі [144].

У [40] пропонується метод оптимізації частотних характеристик стрижневих

конструкцій із розсіюванням енергії. Для вибору оптимальної комбінації параме-

*) Mead D.J.: Criteria for comparing the effectiveness of damping treatment. Noise Control. 7 (3).

3-18 (1951).

79

трів, які мінімізують резонансні амплітуди на заданому інтервалі частот, викори-

стовується метод Флетчера-Ривса [210]. Розсіювання енергії, як і у попередній

роботі, враховувалося введенням комплексного модуля. У [313] наведено мето-

дику оптимізації коефіцієнта розсіювання енергії багатошарового

композиційного матеріалу, армованого волокнами, яка базується на використанні

методів нелінійного програмування. Показано, що для кожного набору шарів іс-

нують оптимальні значення товщин і кутів армування для досягнення

максимального демпфування.

У фундаментальних роботах [11, 191, 192] розглянуто можливість викорис-

тання принципу максимуму Понтрягіна для побудови оптимальних конструкцій

із розсіюванням енергії.

У роботі [227] отримано варіаційні рівняння у загальному вигляді для бага-

тошарової пластини з в'язкопружними і жорсткими шарами з ортотропного

матеріалу, які чергуються. Тут інерцію обертання включено в аналіз, що повинно

дати точні результати для відносно товстих пластин. Автори прийшли до висно-

вку, що демпфування на згинальних формах може бути оптимізоване за рахунок

правильного вибору відношення товщин в'язкопружного і підкріплюючого ша-

рів.

Автори [320] оптимізували коефіцієнт втрат для балок з незв'язаними в'яз-

копружними шарами. У їхньому дослідженні проектними змінними були розміри

та призначені місця розташування в'язкопружних накладок. Початкові розташу-

вання в'язкопружних накладок були вибрані на основі форм коливань

тришарової балки та енергії деформації зсуву у в'язкопружному шарі. Остаточ-

ний проект одержано у вигляді злегка зміщених і розширених в'язкопружних

накладок.

У роботі [111] авторами проаналізовано коливання та демпфуючі характе-

ристики прямокутних пластин з обмежуючими шарами, частково вкритими

демпфуючими покриттями. Часткове покриття представляє собою квадратні на-

кладки, і дослідження було проведене шляхом зміни номера форми коливань або

розташування накладки, як альтернативи. У статті було представлено вплив змі-

80

ни в'язкопружного модуля зсуву, розміру квадратних накладок, товщин обмежу-

ючого та в'язкопружного шарів.

Автори [259] представили МСЕ на основі теорії переміщень окремих шарів

пошарово для вивчення коливань і демпфуючих характеристик анізотропних ба-

гатошарових пластин з демпфуючими покриттями. В їхній роботі плоску

деформацію зсуву включено в аналіз через додаткові плоскі деформації зсуву в

анізотропній багатошаровій основі. Було досліджено вплив орієнтації волокон у

композитному покритті на власні частоти і коефіцієнт втрат системи.

З розвитком метаевристичних методів оптимізації, зокрема, еволюційних

методів, та сучасної потужної обчислювальної техніки разом із поширенням ви-

користання smart-матеріалів почався новий етап у проектуванні оптимальних


Більшість дослідників погоджуються з тим, що в'язкопружні матеріали ви-

користовуються для збільшення пасивного демпфування на високих частотах,

але не можуть забезпечити значного зменшення коливань на низьких частотах. І

якраз в області низькочастотних коливань, які можуть серйозно вплинути на

працездатність конструкції, варто віддати перевагу активному демпфуванню [90,

356].

Огляд досліджень з питань пасивного і активного демпфування коливань, а

такожь з топологічної оптимізації представлено у [256], де розглядається задача

пошуку структури активного і пасивного демпфуючого матеріалу за критерієм

максимального демпфування при заданих характеристиках матеріалу для балок і

пластин.

У [231] представлено оптимізацію активних, пасивних і гібридних накладок

у багатошарових пластинах із в'язкопружним середнім шаром, вкритим анізот-

ропними зовнішніми шарами і шарами з п'єзоелектричних сенсорів і актуаторів.

Задачі оптимізації пасивного демпфування та оптимального розташування зв'я-

заних сенсор-актуаторних пар полягають у максимізації модальних коефіцієнтів

втрат, проектними параметрами приймалися товщина середнього в'язкопружного

шару, товщини зовнішніх пружних шарів і кути армування. Задача оптимізації

81

для пасивного демпфування розв'язується за допомогою градієнтного методу, а

для розміщення сенсор-актуаторних пар – з використанням ГА.

Огляд математичних моделей керування формою конструкцій наведено у

[330], де представлено уточнені скінченно-елементні моделі на основі полів пе-

реміщень високого порядку для вивчення механічної та електричної поведінки

багатошарових композитних структур пластини з прошарками та/або покриттями

з п'єзоелектричних датчиків і актуаторів. Щоб максимізувати ефективність п'єзо-

актуаторів, поліпшити структурні характеристики та/або мінімізувати вагу

конструкції, застосовується аналіз чутливості і методи оптимізації. Також розг-

лядається застосування структурної оптимізації для керування статичною

формою адаптивних структур.

Задачі топологічної оптимізації широко представлені в літературі, оскільки

цей напрям є актуальним для керування формою великих аерокосмічних конс-

трукцій. Аерокосмічні конструкції зазнають впливу швидко і в широкому

діапазоні змінюваної температури під дією сонячного світла. Оптичні поверхні,

зокрема, дзеркала і лінзи, електромагнітні антени і рефлектори дуже чутливі до

теплових деформацій. Засобом усунення таких проблем може бути використання

адаптивних матеріалів, про що можна дізнатися з [245, 315].

У [256] представлено евристичний та інтуїтивний алгоритм для визначення

орієнтації накладок з п'єзоелектричних актуаторів у застосуванні керування фо-

рмою smart-конструкцій. Математична модель smart-конструкції базується на

полях переміщень вищого порядку, об'єднаних з пошаровим лінійним електрич-

ним потенціалом. Дана робота використовує скінченно-елементне

формулювання для керування формою.

Метою роботи [288] є запропонувати критерій оптимального розташування

п'єзоелектричних пар "актуатор-сенсор" на тонкій пружній пластині з викорис-

танням модальних і просторових параметрів керованості.

Оптимальне розташування накладок з п'єзоматеріалів є предметом дослі-

джень багатьох авторів, зокрема [247], де розглядається використання

генетичного алгоритму для визначення оптимального розташування актуаторів і

82

сенсорів для активного керування коливаннями шарнірно закріпленої пластини,

[112], де розглядається детальний огляд досліджень у літературі щодо запобіган-

ня флатера крила – використання накладок з п'єзоелектричних матеріалів та

використання методів оптимізації на основі генетичних алгоритмів для обчис-

лення контролюючих і оцінюючих параметрів для досягнення цільової зворотної

реакції – погашення флатера, [390], де представлено розв'язання задачі топологі-

чної оптимізації за допомогою класичного генетичного алгоритму – визначення

розташування і кількості п'єзоелектричних накладок для пластин з метою підви-

щення ефективності керування коливаннями. Активне керування вібраціями для

зменшення коливань у циліндричній smart-оболонці за допомогою оптимального

розташування композитнх актуаторів, армованих макроволокнами, розглядається

у [363], для пошуку оптимального розв'язку використовується класичний ГА.

Генетичні алгоритми останнім часом дуже широко використовуються для

розв'язання задач багатокритеріальної оптимізації конструкцій з п'єзоматеріала-

ми, зокрема [264], де використовужться спрощена модель для тонкої пластини з

шарів різних п'єзоелектричних матеріалів та прийнято припущення про незв'яза-

ність механічних та електричних змінних.

Інші метаевристичні методи оптимізації, зокрема метод рою частинок та

диференціальна еволюція, представлені у роботі [321], де розглядається проекту-

вання механізму керування вібраціями для балки з приєднаними

п'єзоелектричним зовнішніми шарами у вигляді сенсора і актуатора. Механічну

модель та апроксимацію МСЕ одержано з використанням класичних рівнянь ру-

ху на основі принципу Гамільтона зі спрощеним моделюванням

п'єзоелектричних пристроїв. Для вібраційного контролю балки використано один

з еволюційних методів оптимізації – метод рою частинок у трьох варіантах. Та ж

задача для порівняння була розв'язана двома іншими методами оптимізації – за

допомогою генетичного алгоритму та диференціальної еволюції.

Аналіз і оптимальне проектування багатошарових оболонок із вбудованими

та/або поверхневими шарами п'єзоелектричних актуаторів та сенсорів розглянуто

у [264]. Авторами представлено огляд літератури та дві моделі – циліндрична та

83

конічна оболонки з адаптивними і контрольними властивостями. Моделі базу-

ються на змішаній багатошаровій теорії, яка об'єднує формулювання деформації

вищого порядку для поля механічних переміщень і пошарове представлення лі-

нійними функціями електричного потенціалу по товщині кожного

п'єзоелектричного шару. Для одержання оптимального проекту використано ана-

ліз чутливості та методи оптимізації, основані на математичному нелінійному

програмуванні. У роботі [281] представлено аналіз багатошарових композитних

пластин з вбудованими п'єзоелектричними накладками, під'єднаними до активно-

пасивних резонансних контурів з шунтами. Розглядається СЕ модель, яка базу-

ється на еквівалентній одношаровій теорії та теорії деформації зсуву третього

порядку, що приводить до механічних (переміщення) та електричних (заряди на

електродах) ступенів свободи. Для графіт-епоксидної багатошарової композитної

пластини виконується параметричний аналіз для визначення оптимального роз-

ташування накладок у площині пластини та по її товщині, що максимізує

ефективний модальний коефіцієнт електромеханічного зв'язку. Потім ефектив-

ність пасивного контролю коливань обчислюється для мережі оптимально

розташованих шунтованих п'єзоелектричних накладок, вбудованих у пластину за

розрахованими значеннями опору та індуктивності для перших чотирьох форм

коливань. Зазначається, що комбіноване активно-пасивне керування коливання-

ми дозволяє кращу продуктивність з меншими затратами, ніж окреме пасивне і

активне керування, за умови оптимізованої одночасної дії. Детально задача оп-

тимізації активно-пасивного демпфування накладками з використанням

в'язкопружних і п'єзоелектричних матералів розглядається у [373].

Автори [288] зосереджуються на пасивному керуванні коливаннями. Розг-

лядаються два підходи – локальний і розподілений. Перший використовує

керуючі системи з оптимально розподіленими п'єзоелектричними накладками,

приєднані до контурів, працюючих у вибраному діапазоні частот. Порівняно з

розподіленим керуванням ця схема використовує меншу кількість п'єзоелектрич-

них елементів і, звичайно, простіший контур. Приклади такого підходу наведено

у [288, 310; 396, 398].

84

Інший підхід для вирішення цієї проблеми полягає у розподіленій п'єзоелек-

тричній мережі, з'єднаній з віртуальним пасивним модульованим контуром,

оптимізованим для збирання механічної енергії у пластині та розсіювання її у

контурі. Рівномірне просторове розподілення датчиків і сенсорів дозволяє одер-

жати разом з оптимальними електричними параметрами деякий дуалізм між

електричним контуром і механічною структурою, а пасивна технологія забезпе-

чує стабільність і оптимальне керування у широкому діапазоні. Застосування

цього методу представлено у [229, 267, 326]. Зазначається, що пошук розв'язку

проблеми звукопоглинання потребує складних обчислень, а іноді аналітичне рі-

шення задачі взагалі не існує.

Таким чином, підсумовуючи вищесказане, можна зробити висновок, що в

останні роки дослідження були направлені на одночасне використання п'єзоелек-

тричних і в'язкопружних матеріалів для забезпечення надійного, стабільного,

адаптивного та ефективного демпфування елементів конструкцій [235, 372, 374].

У залежності від відносних положень в'язкопружних шарів та п'єзоелектричних

актуаторів в'язкопружні пасивні та п'єзоелектричні активні дії можуть здійсню-

ватися окремо або одночасно. Однак більшість дослідників у цій області

зосереджувалися на одночасній дії [374]. Фактично, тільки недавно почали розг-

лядатися окремі активні і пасивні керуючі механізми.

Відносно велика кількість статей в області активного, пасивного та гібрид-

ного активно-пасивного демпфування обумовлена високим потенціалом

промислового застосування та міждисциплінарними питаннями, які виникають у

таких системах. Проте аналіз таких систем виявляє певні труднощі, зокрема, мо-

делювання багатошарових п'єзоелектричних структур у відповідності з

електромеханічним зв'язком, який виникає завдяки п'єзоелектричним сенсорам і

актуаторам, приєднаним або вбудованим у структуру [235; 353]; забезпечення

реалістичних моделей в'язкопружних та електров'язкопружних матеріалів, оскі-

льки їхні властивості змінюються в залежності від температури, частоти,

амплітуди та виду збудження [236, 327, 334], а також розвиток активних алгори-

тмів керування, добре пристосованих до демпфованих структур, і використання

85

переваг від пасивного механізму демпфування. У більшості робіт, згаданих у

цьому розділі, розгдядаються гармонічні коливання, які передбачають викорис-

тання комплексних модулів для описання пружних та в'язких властивостей

в'язкопружних матеріалів. Однак такий підхід не є повністю реалістичним. Крім

того, працездатність гібридних елементів суттєво залежить від поведінки в'язко-

пружного матеріалу, отже його реалістичне моделювання є дуже важливим [375].

1.7 Актуальні задачі оптимізації, що потребують розв'язання

Узагальнюючи висновки, які випливають з огляду опублікованих робіт, мо-

жна відмітити таке:

1. З початку нового століття спостерігається нова хвиля зростання інтересу

до проблеми розсіювання енергії в матеріалі, як основного чинника, який забез-

печує ефективну роботу конструкцій і машин, працюючих в умовах динамічних

навантажень. Такий стан пов'язаний зі зростанням потужностей комп'ютерної те-

хніки, яка забезпечує можливість розгляду все більш складних структур, а також

із бурхливим розвитком галузі проектування і виробництва композиційних мате-

ріалів із заданим комплексом характеристик.

2. Загальновизнаним є висновок про доцільність використання для в'язкоп-

ружних матеріалів залежностей лінійної теорії в'язкопружності, зокрема

комплексних модулів матеріалу, однак у більшості робіт використання комплек-

сних модулів не пов'язується з видом коливань, між тим, як коректне їх

використання можливе тільки у просторі інтегральних перетворень Фур'є і при

врахуванні залежності їх від частоти.

3. У більшості робіт при описанні структури використовується гіпотеза Ти-

мошенка, або лінійна апроксимація переміщень по товщині, що не дає

можливості реалізувати повністю здатність багатошарових структур до розсію-

вання енергії.

4. В усіх роботах використовувалась концепція частотно-незалежних ком-

плексних модулів у часовому просторі, що приводить до порушення принципу

86

причинності [265] і вносить похибку в результати розрахунку амплітуд коливань

при різних частотах збудження. Необхідність врахування частотної залежності

було показано в наших роботах на прикладах аналізу нестаціонарних коливань

[168].

5. При використанні МСЕ необхідно мати повну матрицю комплексних мо-

дулів, між тим як більшість методів визначення ефективних модулів

обмежується визначенням одиничних компонент.

6. При побудові моделей демпфування коливань КК використовуються шту-

чні методи, які не базуються на рівняннях динаміки неідеально-пружних тіл, що

звужує області застосування одержаних результатів.

7. Незважаючи на появу окремих робіт з оптимального проектування елеме-

нтів конструкцій з урахуванням розсіювання енергії, цей напрям знаходиться

поки що на початковому етапі розвитку.

8. Можливості сучасних програмних засобів дозволяють поставити питання

оптимального проектування КК з максимальним демпфуванням на рівень, який

відповідає рівню робіт з аналізу статики і динаміки КК з неідеально-пружних ма-

теріалів.

9. Задачі оптимізації КК є винятково трудомісткими з великою кількістю

проектних параметрів, багатоекстремальними і багатокритеріальними, що прак-

тично виключає можливість використання класичних методів пошуку

глобального оптимуму для їх розв'язання і змушує звернутися до пошукових ме-

тодів, що приводить до появи нових проблем, пов'язаних зі швидкістю, точністю,

достовірністю і однозначністю одержаних розв'язків.

Виходячи з проведеного аналізу результатів наукових досліджень, можна

зробити висновок, що проблема створення вібростійких, віброміцних і малошу-

мних елементів конструкцій і машин тісно пов'язана з розробкою методів

використання КМ і КК з максимальним демпфуванням і розробкою відповідних

конструктивних і математичних моделей, а також ефективних методів оптиміза-

ції. З урахуванням одержаних висновків сформульовано напрямки досліджень за

темою, а саме:

87

– розробити математичні моделі КМ заданої структури з в'язкопружних та

п'єзоелектричних компонентів та виконати аналіз залежностей в'язкопружних,

п'єзоелектричних, діелектричних та дисипативних характеристик КМ від параме-

трів структури;

– розробити метод побудови визначальних рівнянь динаміки композитних

дисипативних багатошарових пластин і оболонок у частотному просторі з ураху-

ванням фізико-механічних та п'єзоелектричних властивостей матеріалів,

особливостей їх структури і виду навантажень;

– побудовати методи аналізу стаціонарних і нестаціонарних коливань і оде-

ржання критеріїв оптимізації конструкцій, у першу чергу багатошарових

пластинчастих і оболонкових, як найбільш чутливих до динамічних наванта-

жень;

– розробити ефективні методи пошуку оптимуму на основі еволюційних ал-

горитмів в задачах глобальної оптимізації деформівних дисипативних

конструкцій з в'язкопружних КМ з урахуванням обмежень на параметри оптимі-

зації та змінні стану;

– розробити метод багатокритеріальної оптимізації на основі еволюційних

алгоритмів для одержання структур армування, які забезпечують максимально

ефективні динамічні характеристики КК при наявності декількох суперечливих

критеріїв оптимальності;

– розробити програмні реалізації алгоритмів нестаціонарних коливань, а та-

кож глобальної та багатокритеріальної оптимізації, та одержати за їх допомогою

розв'язки конкретних задач динаміки деформівних дисипативних систем;

– встановити закономірності впливу спеціальних дисипативних матеріалів і

оптимальних структур на динамічні параметри композитних конструкцій, зокре-

ма на амплітуди коливань оболонок при імпульсних і випадкових коливаннях.

Розв'язання вказаних задач складе в цілому теоретичні основи проектування

оптимальних дисипативних конструкцій з КМ, працюючих в умовах динамічних

навантажень.

88

РОЗДІЛ 2

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ КОМПОЗИТНИХ

SMART-МАТЕРІАЛІВ

Конструкції з композиційних матеріалів (КМ) використовуються у багатьох

галузях виробництва: в аерокосмічній техніці (блоки і корпуси ракет), літакобу-

дуванні (обшивки літальних апаратів), автомобільній галузі (стельові і бокові

панелі кузовів), залізничному транспорті (елементи вагонів), виробництві газоту-

рбінних двигунів (лопатки турбін), вітряків (лопаті), суднобудуванні (корпуси

яхт і суден) тощо. Найчастіше композитні елементи конструкцій являють собою

багатошарову структуру, кожний шар якої спроектовано у відповідності з необ-

хідними технологічними вимогами і, у свою чергу, складається з двох або більше

компонентів, що ускладнює розрахунки елементів конструкцій у зв'язку з необ-

хідністю врахування неоднорідностей як на мікро-, так і на макрорівнях.

До першого рівня неоднорідності (мікрорівня) приводить наявність двох

(або більше) фаз КМ із різними властивостями – основи (матриці) й армуючих

елементів (волокон або шарів). На цьому етапі розрахунків необхідні ефективні

характеристики можна визначити як усереднені властивості КМ за допомогою

аналітичних, чисельних або експериментальних методів. Другий рівень неодно-

рідності (макрорівень) пов’язаний з використанням багатошарових конструкцій з

шарами матеріалів із різною структурою. На цьому рівні властивості елементів

конструкцій визначаються за відповідними теоріями багатошарових конструкцій.

2.1 Визначальні залежності для композиційних матеріалів

Для побудови математичної моделі КМ необхідно описати фізико-механічні

та електричні характеристики матеріалів, які у складі композиту виконуватимуть

задані функції. На цей час більшість перспективних напрямів досліджень демп-

фування коливань композитних конструкцій пов'язана з використанням smart-

матеріалів.

89

Будемо називати "smart"-матеріалами або "розумними" (inteligence) такі ма-

теріали, які виявляють комплекс особливих властивостей, зокрема, здатність

запам'ятовувати історію деформування і поновлення початкової форми при нава-

нтаженні і знятті навантаження, здатність реагувати на електричні, теплові,

магнітні поля тощо. Термін "розумні" може бути реалізований при розумному

його використанні. Оскільки кожен з представників категорії "smart" має тільки

деякі з необхідних якостей, для одержання "розумного" матеріалу необхідне по-

єднання декількох компонентів, тобто створення КМ із заданим комплексом

властивостей є аналогічним побудові макроконструкції, але, на відміну від мак-

роконструкції, мікроструктура дозволяє розглядати композит як квазіоднорідну

структуру, яка має властивості гомогенного матеріалу, характерні для окремих-

компонентів – складових композита.

Історично першою smart-властивістю матеріалів, яка давно використовуєть-

ся в динаміці, є здатність запам'ятовувати історію деформування. Розвиток теорії

матеріалів із пам'яттю пов'язаний, у першу чергу, з розвитком теорії в'язкопруж-

ності [147, 159, 160]. Залежності між напруженнями і деформаціями для таких

матеріалів мають вигляд інтегральних рівнянь:

0

( ) ( )t

klij ijkl

dt R t d

d

, (2.1)

0

( ) ( )t

klij ijkl

dt П t d

d

, (2.2)

де ,ij ij – відповідно, тензори напружень і деформацій, ,ijkl ijklR П – відповід-

но, тензори функцій релаксації та повзучості, t – час.

В'язкопружне розсіювання енергії є характерним, у першу чергу, для полі-

мерів і неметалів та обумовлюється процесами релаксації і поновлення стану

полімерних волокон при деформуванні об'ємів полімерного матеріалу [128]. Фі-

зико-хімічні процеси, які відбуваються при деформуванні таких матеріалів,

складні і різноманітні і є предметом розгляду відповідних наукових напрямів. У

даному випадку обмежимося феноменологічним описанням властивостей в'язко-

90

пружних матеріалів, характерним для механічного підходу, з урахуванням явища

розсіювання енергії у матеріалі, яке є причиною демпфування коливань елемен-

тів конструкцій. Згідно з [21] найбільш перспективним для побудови

співвідношень між напруженнями і деформаціями у в'язкопружних матеріалах є

диференційне числення, яке використовує похідні дробового порядку. Переваги

цього підходу полягають у тому, що він потребує невеликої кількості емпіричних

параметрів для моделювання поведінки полімерного матеріалу і, як показано у

нашій роботі [168], ефективно вписується в методику аналізу коливань дисипа-

тивних конструкцій. Як наголошується у статті Беглі [21] і підтверджується у

роботі Крендола [265], використання комплексних модулів є коректним тільки

для випадків гармонічних коливань. Застосування моделі лінійного в'язкопруж-

ного тіла приводить до необхідності використання великої кількості емпіричних

коефіцієнтів і громіздких математичних викладок. Використання чисельних ме-

тодів та інтегральних перетворень автори статті [21] вважали теж "по меньшей

мере затруднительным" [21, стор. 741], пояснюючи це великими обчислюваль-

ними затратами на одержання прямих і обернених перетворень. Нижче

покажемо, що такий підхід має великі перспективи для використання, що пов'я-

зано з бурхливим розвитком сучасної обчислювальної техніки.

Зокрема, при застосуванні інтегрального перетворення Фур'є до залежності

між напруженнями і деформаціями (одновимірний випадок) для в'язкопружного

матеріалу

0

( ) ( )t

dt R t d

d

(2.3)

використання інтегрального перетворення Фур'є приводить до алгебраїчної за-

лежності з комплексним модулем

( ) ( ) ( ),i C i i (2.4)

де 0 0

( ) ( ) ( ); ( ) ( )sin( ) , ( ) ( )cos( )C i A iB A R d B R d

;

91

( ), ( )i i зображення наружень і деформацій у просторі перетворень

Фур'є.

У випадку гармонічних коливань залежність (2.4) описує у координатах

петлю гістерезису у вигляді еліпсу (рис. 2.1):

2 20A B . (2.5)

Площа петлі чисельно дорівнює розсіяній енергії за цикл коливань і визна-

чається формулою

20 ( )W B . (2.6)

Пружна енергія відповідає заштрихованій площі на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Петля гістерезису для системи з одним ступенем вільності і в'язким

демпфуванням

Характеристики розсіювання енергії можна визначити як відношення площі

петлі гістерезису до максимальної пружної енергії деформації:

2

2 , .W B B

tg tgW A A

(2.7)

Коефіцієнт розсіювання енергії може залежати або не залежати від часто-

ти коливань. Незалежність від частоти не означає незалежності розсіювання

енергії від частоти, як це видно з формули (2.7).

В'язкопружні матеріали у переважній більшості мають високу здатність до

поглинання енергії коливань, у зв'язку з чим використовуються для зменшення

92

вібронапруженості конструкцій, в тому числі й у складі КМ. Суттєво відмітити

принципову різницю між наведеним способом введення комплексних модулів у

фізико-механічні залежності і концепцією частотно-незалежного комплексного

модуля, при якій комплексний модуль (і комплексна частота) входять у рівняння,

записані у часовому просторі. При використанні інтегрального перетворення

Фур'є частотно залежні комплексні модулі у просторі перетворень можна вводи-

ти, не звертаючись до конкретної математичної моделі, а використовуючи дані

про залежність модулів від частоти, знайдену експериментально для конкретного

матеріалу у конкретному частотному діапазоні.

Як було зазначено в огляді літератури, у зв'язку з поставленими задачами

проектування демпфованих конструкцій з можливістю керування коливаннями,

перспективними виявилися п'єзоматеріали, здатні реагувати на зміну електрич-

них полів. Це привело до появи нового витка досліджень демпфування як

фактора активного керування коливаннями і вібрацією конструкцій, а також но-

вих способів пасивного демпфування коливань.

Розглянемо визначальні залежності для електров'язкопружних smart-

матералів з метою подальшого їх використання у моделях мікро- і макрокомпо-

зитів і конструкціях із високим рівнем розсіювання енергії. Беручи до уваги

направленість роботи, розглянемо необхідні для побудови моделей динаміки

композитних дисипативних конструкцій поняття феноменологічної теорії дефо-

рмування п'єзоелектричних матеріалів. Як показано у фундаментальній праці

[37] та у більшості робіт з механіки п'єзокерамічних середовищ, магнітними ефе-

ктами при вивченні електричних полів можна нехтувати і використовувати

рівняння електростатики, зокрема лінійну теорію електропружності [132, с.19].

Повна система рівнянь лінійної теорії електропружності складається з рів-

нянь руху суцільного середовища [132, 221]

TvA p u , (2.8)

рівнянь Коші

Au , (2.9)

співвідношень Фойхта

93

, ,TC e E D e E E (2.10)

і рівнянь електричного поля (рівнянь вимушеної електростатики в акустичному

наближенні)

0divD , (2.11)

де А – матриця операторів диференціювання; – напруження; – деформації;

vp – навантаження; – густина; u – переміщення; С – матриця пружних моду-

лів; е – матриця п'єзоконстант; – матриця діелектричних модулів; D – вектор

електричного зміщення; Е – вектор напруженості електричного поля; – потен-

ціал.

У зв'язку з обмеженістю конструктивних параметрів в'язкопружних і п'єзо-

електричних матеріалів у динаміці конструкцій споруд, механізмів і машин роз-

виваються методи їх використання шляхом створення композитних структур, а

це, у свою чергу, потребує побудови відповідних математичних моделей, які

враховують характеристики складових компонентів. Нові КМ, які мають п'єзо-

електричні, п'єзоелектромагнітні, п'єзопіроелектричні, електров'язкопружні влас-

тивості, об'єднано під назвою "гібридних композитів", і вони є новим напрямом у

теорії КМ, оскільки суттєво розширюють область технічного застосування і на-

дають додаткові можливості для оптимізації параметрів конструкції [203, 204].

Однак створення КМ і конструкцій із заданими властивостями є складною прак-

тичною і теоретичною задачею. Основним засобом вирішення цієї задачі є

математичне моделювання [204], яке складається з розробки конкретної моделі,

математичної постановки задачі, розробки методів її розв'язання, а також розро-

бки відповідних методів оптимізації та програмного забезпечення. Реалізація

такого конгломерату задач навіть для окремої моделі потребує великих розумо-

вих і матеріальних ресурсів.

У представленій роботі об'єктами для розробки теорії проектування оптима-

льних конструкцій для роботи в умовах динамічних навантажень вибрано

конструкції багатошарової структури, які при використанні гібридних КМ забез-

печують максимальний рівень демпфування коливань [132, 204].

94

Згідно з роботами [90, 221] визначальні рівняння динаміки електров'язкоп-

ружного матеріалу приймаємо у вигляді рівнянь в'язкопружного середовища (2.1,

2.2):

0 0

( ) ( )( ) ( ) ( )

t tekl k

ij ijkl kijE

t R t d R t d

, (2.12)

0 0

( ) ( )( ) ( ) ( )

t te kl k

i ikl ikE

D t R t d R t d

, (2.13)

де ijklR – тензор функцій релаксації напружень, e ekij kjiR R – тензор функцій

релаксації п'єзоконстант, ikR – тензор функцій релаксації діелектричних модулів,

,ij kl – тензори напружень і деформацій відповідно, ,i kD E – вектори електри-

чного зміщення і напруженості електричного поля відповідно, t – час.

Рівняння (2.12)-(2.13) можна записати у вигляді згорток, які визначаються за

правилом (у вигляді згорток Рімана):

1 2 1 20

( ) ( )t

f f f t f d .

Рівняння (2.3)-(2.4) у вигляді згорток будуть мати вигляд:

,

, ( ) .

eij ijkl kl kij k

ei ikl kl ik k

R R E

dD R R E

dt

(2.14)

З урахуванням властивостей згортки і симетричності тензорів (тензор

п’єзоконстант симетричний по двом останнім індексам) залежності (2.14) запи-

шемо у вигляді рівнянь із симетричою матрицею тензорів, вказаних у (2.12),

(2.13):

( )

*e T

e

σ R R ε

D ER R

, (2.15)

95

де , ,e R R R – матриці функцій релаксації, відповідні тензорам ijklR , eiklR , ikR

у (2.14); , , ,σ ε D E – матриці тензорів напружень і деформацій, векторів електри-

чного зміщення і напруженості електричного поля відповідно.

Зазначимо, що у більшості випадків аналізу задач динаміки інтегральні за-

лежності (2.12)-(2.13) використовуються у вигляді залежностей між

амплітудними значеннями механічних змінних – тензорів напружень і деформа-

цій та електричних – векторів електричного зміщення і напруженості

електричного поля, які можна одержати за умови, що процеси коливань є гармо-

нічними. При цьому коефіцієнти механічних і електричних залежностей

(елементи тензорів функцій релаксації) будуть комплексними елементами мат-

риць релаксації. Очевидно, припущення, введене таким чином, обмежує область

використання цих рівнянь виключно випадками гармонічних коливань.

У загальному випадку деформування необхідно використати інтегральні пе-

ретворення, зокрема інтегральне перетворення Фур'є. При цьому одержимо

алгебраїчні залежності між зображеннями механічних, п'єзоелектричних і діелек-

тричних величин із комплексними коефіцієнтами, які можна використовувати

при довільному детермінованому законі деформування, але у частотному прос-

торі.

Інтегральне перетворення Фур'є згортки двох функцій визначається як добу-

ток інтегральних перетворень цих функцій [84].

1 2 1 2ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ){ }f f f i f i .

Ця операція є комутативною, тобто справедливою є рівність

1 2 1 2ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )f i f i f t f t .

Застосуємо цю операцію до рівнянь (2.12-2.13), після чого залежності (2.15)

у просторі перетворень Фур'є матимуть вигляд

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

T

σ εC e

D Ee κ, (2.16)

96

де C – матриця комплексних модулів*), e – матриця комплексних п'єзоконс-

тант, κ – матриця комплексних діелектричних модулів, ˆ ˆˆ ˆ, , ,σ ε D E – відповідно

зображення Фур'є тензорів ( ), ( )t t і векторів ( ), ( )D t E t .

Компоненти матриць C , e , κ є зображеннями відповідних елементів тензо-

рів функцій релаксації ( ), ( ), ( )eijkl ikl ikR t R t R t .

Компоненти матриць C , e , κ визначаються експериментально, причому в

умовах гармонічного деформування (навантаження), оскільки статичні випробу-

вання не враховують особливостей роботи матеріалів із пам'яттю при

динамічних навантаженнях [221, 223].

Для матеріалів з однією площиною симетрії (хОу) і поляризацією вздовж осі

z матриці C , e , κ мають такий вигляд [132]:

11 12 13 16

21 22 23 26

31 32 33 36

44 45

54 55

61 62 63 64

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0ˆˆ ˆ0 0 0 0

ˆ ˆ0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

C C C C

C C C C

C C C C

C C

C C

C C C C

C ; (2.17)

14 15

24 24

31 32 33 36

ˆ ˆ0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

e e

e e

e e e e

e ; (2.18)

11 12

21 22

33

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ ˆ 0

ˆ0 0

κ ; (2.19)

елементами матриць C , e , κ є відповідні комплексні модулі [132].

*) Знак ^ (circumflex) означатиме приналежність величини до простору інтегральних перетво-рень Фур'є, далі – "частотного простору".

97

2.2 Фізико-механічні залежності композиційних smart-матеріалів бага-

тошарової структури

Для реалізації ефективного процесу використання smart-матеріалів необхід-

но побудувати математичні моделі, які б ураховували особливості структури,

деформування і демпфування компонентів – складових КМ.

Математична модель матеріалу будується шляхом аналізу деформування

компонентів, для яких відомі визначальні рівняння. При цьому аналіз може про-

водитися як на основі точного визначення полів напружень і деформацій, так і за

допомогою наближених методів, які використовують більш або менш достовірні

припущення про напружено-деформований стан і геометрію структури матеріа-

лу.

У представленій роботі використаємо узагальнений варіант гіпотези Фойх-

та-Рейсса, яка для багатошарового матеріалу з паралельними шарами різної

жорсткості приводить до точних результатів щодо ефективних характеристик

[212, 213, 214].

Задача побудови математичної моделі такого матеріалу полягає у визначенні

ефективних модулів за відомими модулями складових матеріалів.

Для матеріалу k -го шару багатошарового матеріалу фізичні залежності у

просторі інтегральних перетворень Фур’є (2.16) запишемо з урахуванням анало-

гії між механічними і електричними залежностями у вигляді одного

узагальненого рівняння [295]:

ˆˆ ˆk k kσ C ε , 1, ,k n , (2.20)

де ˆ kσ , ˆ kε – зображення векторів узагальнених напружень і деформацій в

точках k -го шару відповідно:

5 71 2 3 4 6 8 9ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆTk k k k k k k k kk σ , (2.21)

5 71 2 3 4 6 8 9ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆTk k k k k k k k kk ε ; (2.22)

98

( ) ( ) ( ) ( )1 6 1 6ˆ ˆˆ ˆ... , ...k k k k – компоненти векторів напружень і деформацій відпо-

відно;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 1 8 2 9 3

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, ,k k k k k kD D D – компоненти векторів електричної ін-

дукції (електричного зміщення);

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 1 8 2 9 3

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, ,k k k k k kE E E – компоненти векторів напруженості еле-

ктричного поля.

Матриця комплексних сталих матеріалу k-го шару матиме вигляд:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 12 13 16 31( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 22 23 26 32( ) ( ) ( ) ( ) ( )31 32 33 36 33

( ) ( ) ( ) ( )44 45 14 24( ) ( ) ( ) ( )

5554 15 25( ) (61 62

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0

ˆ ˆ

k k k k k

k k k k k

k k k k k

k k k k

k k k k k

k k

C C C C e

C C C C e

C C C C e

C C e e

C C e e

C C

C

) ( ) ( ) ( )63 66 36

( ) ( ) ( ) ( )14 15 11 12( ) ( ) ( ) ( )24 25 21 22

( ) ( ) ( ) ( ) ( )31 32 33 36 33

ˆ ˆ ˆ0 0 0 0

ˆ ˆˆ ˆ0 0 0 0 0

ˆ ˆˆ ˆ0 0 0 0 0

ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0

k k k

k k k k

k k k k

k k k k k

C C e

e e

e e

e e e e

. (2.23)

Елемент багатошарового КМ, який складається з n в'язкопружних і електро-

в'язкопружних шарів, представимо у вигляді об'єму квазіоднорідного матеріалу

із середніми по об'єму елемента узагальненими напруженнями і деформаціями

(рис. 2.2).

Згідно із системою гіпотез Фойхта-Рейсса, для такого представницького

об'єму V матеріалу багатошарової структури з шарами, паралельними площині

xOy (рис. 2.2, а), запишемо умови однорідності і неперервності відповідних уза-

гальнених напружень і деформацій (рис. 2.2, б):

1

ˆ ˆn

kr k r

k ,

1

ˆ ˆn

ks k s

k , ˆ ˆ k

s s , ˆ ˆ kr r , (2.24)

1, 2, 6, 7, 8; 3, 4, 5, 9r s ,

99

де ,k aV V – коефіцієнти об'ємного вкладу матеріалів – складових компози-

та*); aV , V – об’єми армуючого (конструкційного) матеріалу і представницького

елемента КМ відповідно.

а б

Рис. 2.2. Елемент об’єму багатошарової структури (а), напружений стан елемента

квазіоднорідного матеріалу (б): ( 1 6... – напруження, 1 3... – електричні по-

тенціали на електродах еквіпотенціальних граней представницького елемента).

Згідно з прийнятою нумерацією узагальнених напружень і деформацій

(2.21)-(2.22) та у відповідності з (2.24) матрицю комплексних сталих матеріалу k-

го шару (2.23) запишемо у вигляді блочних матриць:

5 5 5 4

4 5 4 4

( )( )

( )( ) ( )

ˆˆ

ˆˆ ˆ

kkrsrr

kk k

sr ss

CC

CC C

, 1, 2, 6, 7, 8; 3, 4, 5, 9r s , (2.25)

( ) ( ) ( )11 12 16( ) ( ) ( )21 22 26

( ) ( ) ( ) ( )61 62 66

( ) ( )11 12( ) ( )21 22

ˆ ˆ ˆ 0 0

ˆ ˆ ˆ 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0

ˆ ˆ0 0 0

ˆ ˆ0 0 0

k k k

k k k

k k k krr

k k

k k

C C C

C C C

C C C

C ,

( ) ( )13 31( ) ( )23 32

( ) ( ) ( )63 36

( ) ( )14 24( ) ( )15 25

ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ0 0

k k

k k

k k krs

k k

k k

C e

C e

C e

e e

e e

C ,

*) Коефіцієнт будемо називати коефіцієнтом концентрації або коефіцієнтом армування,

який показує концентрацію конструкційного матеріалу у складі КМ і є одним із визначальних параметрів структури КМ.

100

( ) ( ) ( )31 32 36

( ) ( )14 15( )( ) ( )24 25

( ) ( ) ( )31 32 36

ˆ ˆ ˆ 0 0

ˆ ˆ0 0 0ˆˆ ˆ0 0 0

ˆ ˆ ˆ 0 0

k k k

k kk

sr k k

k k k

C C C

e e

e e

e e e

C ,

( ) ( )33 33

( )( ) 44

( )55

( ) ( )33 33

ˆ ˆ0 0

ˆ0 0 0ˆˆ0 0 0

ˆˆ 0 0

k k

kk

ss k

k k

C e

C

C

e

C ,

після чого визначальні рівняння для матеріалу k-го шару запишемо у вигляді

ˆˆ ˆk k k σ C ε , (k = 1,2,3,...,n). (2.26)

де

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆ ˆˆˆ ˆ, , .ˆ ˆˆ ˆ

k k k kr rr rs rk k kk k k k

s sr ss s

σ C C εσ C ε

σ C C ε

Далі введемо середні по об'єму елемента багатошарового матеріалу напру-

ження ˆ σ і деформації ˆε згідно з (2.24) і припустимо, що фізичні залежності для

такого квазіоднорідного матеріалу (рис. 2.2, б) можна записати у вигляді рівнян-

ня, аналогічного рівнянню (2.26):

ˆˆ ˆ σ C ε , (2.27)

де

5 5 5 4

4 5 4 4

ˆˆ

ˆˆ ˆ

rsrr

sr ss

CC

CC C

, 1, 2, 6, 7, 8; 3, 4, 5, 9r s (2.28)

11 12 16

21 22 26

61 62 66

11 12

21 22

ˆ ˆ ˆ 0 0

ˆ ˆ ˆ 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0

ˆ ˆ0 0 0

ˆ ˆ0 0 0

rr

C C C

C C C

C C C

C ,

13 31

23 32

63 36

14 15

24 25

ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ0 0ˆ

ˆ ˆ0 0ˆ ˆ0 0ˆ ˆ0 0

rs

C e

C e

C e

e e

e e

C ,

101

31 32 36

14 15

24 25

31 32 36

ˆ ˆ ˆ 0 0ˆ ˆ0 0 0ˆˆ ˆ0 0 0

ˆ ˆ ˆ 0 0

sr

C C C

e e

e e

e e e

C ,

33 33

44

55

33 33

ˆ ˆ0 0

ˆ0 0 0ˆˆ0 0 0

ˆˆ 0 0

ss

C e

C

C

e

C ,

ˆ ˆ ˆ( ) ,Tr s σ σ σ 1 2 6 7 8 3 4 5 9

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) , ( )T Tr s σ σ ,

1 2 6 7 8 3 4 5 9ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ( ) , ( )

T T Tr s r s ε ε ε ε ε ,

7 1 8 2 9 3ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, ,D D D , 7 1 8 2 9 3

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, ,E E E .

Таким чином, одержані компоненти векторів ˆ ˆ, σ ε є середніми узагальне-

ними напруженнями і деформаціями квазіоднорідного КМ.

Задача побудови математичної моделі такого матеріалу полягає у визначенні

компонент матриці модулів ˆ C у рівнянні (2.27)-(2.28) за відомими компонента-

ми матриць ( )ˆ kC у (2.26). Прирівнюючи рівняння (2.26) і (2.27) з урахуванням

(2.24), після перетворень одержимо блочні компоненти матриці ˆ C (2.28) *):

1 1( ) ( ) ( )

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ,n n

k k krs k rs ss k ss

k k

C C C C

1( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 1( ) ( ) ( ) ( )

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ,

n nk k k k

rr k rr k rs ss srk k

n nk k k k

k rs ss k ss srk k

C C C C C

C C C C

(2.29)

1

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ,n n n

k k k ksr k ss k ss sr ss k ss

k k k

C C C C C C .

Одержані блочні матриці складають повну матрицю модулів квазіоднорід-

ного КМ ˆ C , фізичні залежності для якого мають вигляд:

*) Компоненти матриці модулів ˆ C визначаються чисельно після чисельного обчислення

матриць , , ,ˆ ˆ ˆ ˆ

rr rs sr ssC C C C ..

102

11 12 16 13 311

21 22 26 23 322

6 61 62 66 63 36

1 11 12 14 24

21 22 15 252

3 31 32 36 33

4

5

3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0 0 0ˆ

ˆ

ˆ

C C C C e

C C C C e

C C C C e

D e e

e eD

C C C C e

D

1

2

6

1

2

333

414 15 44 45

524 25 54 55

331 32 36 33 33

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ ˆˆ ˆ0 0 0 0 0

ˆ ˆˆ ˆ0 0 0 0 0ˆ

ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0

E

E

e e C C

e e C CEe e e e

, (2.30).

Традиційне розміщення компонент матриць ˆˆ ˆ, , σ C ε одержимо, помножив-

ши ці матриці на матрицю перестановок T :

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , ,T T T σ Tσ ε T ε C T C T

,

T

після чого одержимо залежність між середніми узагальненими напруженнями і

деформаціями у вигляді матричного виразу:

103

11 12 13 16 311

21 22 23 26 322

3 31 32 33 36 33

444 45 14 15

554 55 24 25

6

61 62 63 66 361

2

3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ 0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0ˆ

0 0 0ˆ

ˆ

C C C C e

C C C C e

C C C C e

C C e e

C C e e

C C C C eD

D

D

1

2

3

4

5

6

114 15 11 12

224 25 21 22

331 32 33 36 33

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ ˆˆ ˆ 0 0

ˆˆ ˆˆ ˆ0 0 0 0 0

ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0

Ee e

Ee e

Ee e e e

, (2.31)

ˆˆ ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ

T

σ εC e

D Ee κ, або ˆ ˆˆ ,

де ˆ ˆˆ ˆ, , ,σ ε D E – вектори усереднених напружень, деформацій, електричного

зміщення і напруженості електричного поля, ˆ ˆ ˆ, ,C e κ – матриці усереднених

комплексних модулів, комплексних п'єзоконстант і комплексних діелектричних

модулів для квазіоднорідного електров'язкопружного матеріалу, які одержано в

такому вигляді:

11 12 13 16

21 22 23 26

31 32 33 36

44 45

54 55

61 62 63 64

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0ˆˆ ˆ0 0 0 0

ˆ ˆ0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

C C C C

C C C C

C C C C

C C

C C

C C C C

C , 14 15

24 25

31 32 33 36

ˆ ˆ0 0 0 0ˆ ˆ ˆ0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

e e

e e

e e e e

e ,

11 12

21 22

33

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ ˆ 0

ˆ0 0

κ , (2.32)

і які приймаються ефективними характеристиками багатошарового КМ з елект-

ров'язкопружними властивостями.

104

2.2.1 Залежності елементів матриці комплексних модулів і декрементів

коливань електров'язкопружного КМ від коефіцієнтів концентрації і кутів

повороту осей координат

Для одержання матриці комплексних модулів КМ, який складається з шарів

матеріалів із різними характеристиками, при повороті осей координат необхідно

записати рівняння для електров'язкопружного КМ (2.31), виділивши блочні мат-

риці*) ˆ ˆ ˆ, ,C e κ (2.32):

ˆ ˆˆˆ ˆ ,

ˆ ˆˆ ˆˆ ,

T

σ Cε e E

D e ε κE (2.33)

і помножити їх на матриці повороту навколо осей , ,x y z відповідно на кути

, , (рис. 2.3), при цьому залежності (2.33) набувають вигляду

ˆ ˆˆˆ ˆ( , , ) ( , , ) ( , , ) ,

ˆ ˆˆ ˆˆ( , , ) ( , , ) ( , , ) ,

T

σ C ε e E

D e ε κ E (2.34)

де

ˆ ˆ ˆ ˆ( , , ) , ( , , ) ,

ˆ ˆ( , , ) ,

T T T T T Tx y z z y x x y z z y x

T T Tx y z z y x

C T T T CT T T e L L L eT T T

κ L L L κ L L L (2.35)

, ,

cos , sin ,

x x

m n mn

n m mnm n

mn mn m n n m

m n

n m

m n

T L (2.36)

*) У подальшому "риску", яка позначає усереднені по об'єму величини, опущено, оскільки

всі ефективні характеристики матеріалів приймаються усередненими.

105

, ,

cos , sin ,

y y

m n mn

m nn m mn

m nn m

mn mn m n

n m

m n

T L (2.37)

, ,

cos , sin .

z z

m n mn

n m mnm n

n mm n

n m

mn mn m n

m n

T L (2.38)

Виконуючи послідовний поворот навколо осей , ,x y z на кути , , відпо-

відно, одержимо моделі КМ з необхідним напрямом армуючих шарів (рис. 2.3).

а) б) в)

Рис. 2.3. Моделі армованого шарами матеріалу при: а) 0, 0, 0 ;

б) 2, 0, 0 ; в) 2, 0,

Якщо повернути елемент навколо осі х на 90 градусів (рис. 2.3, б) і розгля-

дати шар малої товщини, одержимо модель структури армованого волокнами

КМ 2-2 (рис. 2.4) [341]. Подальший поворот у площині xOy приводить до шару,

армованого волокнами під кутом навколо осі z (рис. 2.4, б).

106

а) б)

Рис. 2.4. Моделі тонкого шару КМ при :а) 2, 0, 0 ;

б) 2, 0,

Розглянемо залежності компонент матриць ˆ ˆ ˆC, e, κ від параметрів структу-

ри для КМ, характеристики складових якого задано в табл. 2.1.

Таблиця 2.1

Властивості складових компонентів КМ [379, 384]

Хар-ки матеріалів Graphit/Еpoxy PZT-5A

11C (ГПа) 183,443 (1 0,2)i 99,201 (1 0,05)i

22C (ГПа) 11,622 (1 0,2)i 99,201 (1 0,05)i

33C (ГПа) 11,622 (1 0,2)i 86,856 (1 0,05)i

12C (ГПа) 4,363 (1 0,2)i 54,016 (1 0,05)i

13C (ГПа) 4,363 (1 0,2)i 50,778 (1 0,05)i

23C (ГПа) 3,918 (1 0,2)i 50,778 1 0,05i

44C (ГПа) 2,870 (1 0,2)i 21,10 1 0,05i

55C (ГПа) 7,170 (1 0,2)i 21,10 (1 0,05)i

66C (ГПа) 7,170 (1 0,2)i 22,593 (1 0,05)i

31e (Кл/м2) 0 7,209 (1 0,05)i

32e (Кл/м2) 0 7,209 (1 0,05)i

33e (Кл/м2) 0 15,118 (1 0,05)i

24e (Кл/м2) 0 12,322 (1 0,05)i

15e (Кл/м2) 0 12,322 (1 0,05)i

11 (10–8 Ф/м) 1,53 (1 0,2)i 1,53 (1 0,01)i

22 (10–8 Ф/м) 1,53 (1 0,2)i 1,53 (1 0,01)i

33 (10–8 Ф/м) 1,53 (1 0,2)i 1,50 (1 0,01)i 3( / )кг м 31,590 10 37,750 10

107

На рис. 2.5-2.7 наведено графіки залежностей компонент матриць ˆ ˆ ˆC, e, κ

від параметрів структури – коефіцієнта армування (коефіцієнта концентрації ар-

муючого матеріалу) та кутів армування , , (кутів повороту осей координат)

для КМ з армуючими шарами з п'єзоматеріалу PZT-5A, поляризованого у напря-

мку осі z, та матрицею з в'язкопружного матеріалу Graphit/Еpoxy.

Рис. 2.5. Залежність в'язкопружної компоненти 11C матриці C від кута

армування = при = /2 для різних коефіцієнтів армування eta

108

Рис. 2.6. Залежність в'язкопружних ефективних характеристик – компонент

матриці C – від коефіцієнта армування

а

б

Рис. 2.7. Залежність п’єзоелектричних (а) та діелектричних (б) ефективних

характеристик КМ від коефіцієнта армування

109

На рис. 2.8 наведено результати порівняння дійсних величин модулів КМ,

визначених запропонованим методом та за допомогою методу, представленого у

роботі [214]. Розглядався КМ з такими вхідними даними:

Матриця – Reinforced Epoxy:

11 22 33ˆ ˆ ˆ 3,86 1 0,05С С С i ГПа ; 12 13 23

ˆ ˆ ˆ 2,57 1 0,05С С С i ГПа,

44 55 66ˆ ˆ ˆ 0,64 1 0,05С С С i ГПа;

11 0 22 0 33 0ˆ ˆ ˆ 9,0 1 0,025 ,i Ф м 120 8,85 10 Ф м .

П’єзоелектричний шар – PZT-7A:

11 22 12ˆ ˆ ˆ148,0 1 0,015 76,20 1 0,015С С i ГПа, С i ГПа, ;

13 23 33ˆ ˆ ˆ74,20 1 0,015 131,0 1 0,015С С i ГПа, С i ГПа,

44 55 66ˆ ˆ ˆ 25,40 1 0,015С С С i ГПа ; 11 0 22 0ˆ ˆ 460,0 1 0,025i ,

1233 0 0ˆ 235,0 1 0,025 ; 8,85 10 ;i Ф м

15 24 31 32ˆ ˆ ˆ ˆ9,20 1 0,005 , 2,10 1 0,022 2e e i Кл м e e i Кл м

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

50

100

150

Re

C11

, Г

Па

1

Л.П.ХорошунЗапропонований метод

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

20

40

60

80

Re

C12

, Г

Па

1


110

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

20

40

60

80

Re

C13

, Г

Па

1


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

20

40

60

80

100

120

140

Re

C33

, Г

Па

1


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Re

e31

, Кл

/ м

2

1


111

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

Re

e33

, Кл

/ м

2

1


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Re

33

, нФ

/м

1


Рис. 2.8. Порівняння результатів визначення ефективних модулів,

розрахованих запропонованим методом та методом з роботи [214]

Результати порівняння свідчать про працездатність одержаних залежностей.

Також було проведено порівняння (рис. 2.9) одержаних результатів з ре-

зультатами екпериментального визначення п'єзоелектричного коефіцієнта 33d ,

опублікованими в роботі [252]. Вихідні дані для п’єзокомпозита 1-3 наведено у

[252].

Матеріал матриці: Aradite D:

11 8,0 EС ГПа , 12 4,40 EС ГПа ; 12 0 4,0 ;

П’єзоелектричний матеріал: PZT 7A:

112

11 148,0 EС ГПа , 12 76,20 EС ГПа ; 13 74,20 EС ГПа ; 33 131,10 EС ГПа ;

233 9,50 e Кл м ; 2

33 2,10 e Кл м ;

31 60,0 d м В ; 33 150,0 d м В .

12 0 425,0 ; 120 8,85 10 Ф м

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

50

100

150

200

Re

d33

, 1

0-12 м

/В

1

Рис. 2.9. Порівняння п'єзоелектричного коефіцієнта 33k , визначеного

за допомогою запропонованого методу (суцільна крива), з результатами

експерименту [252] (маркери)

Порівняння показало хорошу відповідність результатів.

2.3 Розсіювання енергії в електров'язкопружних матеріалах

Для визначення розсіювання енергії необхідно враховувати електромеханіч-

ні зв'язки рівнянь квазіоднорідного п’єзоелектричного матеріалу*) у формі (2.31).

За умови невиродженості тензора діелектричних властивостей матеріалу ,

напруження з урахуванням п'єзоефекту ( 0D ) мають вигляд

1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )E H E H D σ C ε e κ eε C e κ e ε C ε , (2.39)

*) При розімкнутих електродах п'єзокомпозита 0D , при короткозамкнутих – 0E .

113

де EC – матриця в'язкопружних модулів, які визначаються при сталій напру-

женості електричного поля Е, ˆ κ – матриця діелектричних модулів при сталій

деформації , H – знак спряження комплексної матриці.

Для одержання характеристик розсіювання енергії в об'ємі КМ скористаємо-

ся фізичними рівняннями квазіоднорідного п’єзоелектричного тіла у формі

(2.27). Частотні зображення енергії деформування з урахуванням п'єзоефекту

( 0D ) і без нього ( 0E ) відповідно будуть мати вигляд:

11 1 1ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )2 2 2

D H H E H H D

V V V

U dV dV dV ε σ ε C e κ e ε ε C ε , (2.40)

1 1 ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2

E H H E

V V

U dV dV ε σ ε C ε . (2.41)

З використанням залежності (2.40) дійсне значення питомої потенціальної

енергії деформації п’єзоелектричного тіла визначимо за формулою

11 1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆRe Re Re ( ) Re2 2 2

D H D H E H H DU ε C ε ε C e κ e ε ε C ε , (2.42)

де 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )D E H C C e κ e .

За відсутності п’єзоелектричного ефекту ( 0E ) дійсна частина енергії

(2.41) матиме вигляд

1 ˆˆ ˆ ˆRe Re2

E H EU ε C ε . (2.43)

Середнє значення розсіяної енергії за цикл коливань в одиниці об’єму у

двох випадках визначається інтегралами

2 1

0 0 0 00

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆIm Im ImD H H E H H DdU dt

dt

ε σ ε C e κ e ε ε C ε , (2.44)

2

0 00

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆIm ImE H H EdU dt

dt

ε σ ε C ε , (2.45)

де 0ε – максимальна деформація циклу.

Повна енергія деформування одиничного об’єму п’єзоелектричного матері-

алу матиме вигляд

114

0 0ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆRe Im Re ImD D D H D DU U i U i ε C C ε , (2.46)

0 0ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆRe Im Re ImE E E H E EU U i U i ε C C ε . (2.47)

Декременти коливань у двох випадках визначаються за формулами

1

0 00 0

10 0

0 0

ˆ ˆ ˆ ˆˆ Îmˆˆ ˆ ÎmIm,

ˆˆ ˆ ˆ2Re Re ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆRe

H E HH DD

DD H D

H E H

U

U

ε C e κ e εε C ε

ε C ε ε C e κ e ε

(2.48)

0 0

0 0

ˆˆ ˆ ÎmImˆˆ ˆ ˆ2Re Re

H EEE

E H EU

U

ε C ε

ε C ε. (2.49)

На рис. 2.10-2.14 наведено залежності декремента коливань одиничного

об'єму заданого КМ (властивості матеріалу наведено вище у табл. 2.1) від кутів

армування в межах 0... при 2, 0 (рис. 2.3, в) та коефіцієнта ар-

мування при заданих векторах узагальнених деформацій.

Рис. 2.10. Залежність декремента коливань заданого КМ (Табл. 2.1) від кута

армування 0... при заданих коефіцієнтах армування (eta) для вектора

узагальнених деформацій 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 T

115

Рис. 2.11. Залежність декремента коливань заданого КМ (табл. 2.1) від кута

армування ( 0... ) при заданих коефіцієнтах армування (eta) для вектора

узагальнених деформацій 2 1 0,3 0,3 0 0 0 0 0 0 T

Рис. 2.12. Залежності декремента коливань від коефіцієнта армування (eta)

при = 0 для заданих векторів деформацій: 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 T ;

2 1 0,3 0,3 0 0 0 0 0 0 T ; 3 0 1 1 0 0 0 0 0 0 T ;

4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 T ; 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 T ;

6 0 0 0 1 1 1 0 0 0 T .

116

Рис. 2.14. Залежність декремента коливань від кута армування 0... / 2 при

фіксованому коефіцієнті армування 0,5 для заданих векторів деформацій:

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 T ; 2 1 0,3 0,3 0 0 0 0 0 0 T ;

3 0 1 1 0 0 0 0 0 0 T ; 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 T ;

5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 T ; 6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 T ;

7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 T .

117

Рис. 2.15. Залежність декремента коливань від коефіцієнта (eta) та кута армуван-

ня (fi) для вектора деформацій 1 0,3 0,3 0 0 0 0 0 0 T

Результати розрахунків підтверджують, що параметри структури КМ, зок-

рема кути та коефіцієни армування, суттєво впливають на величину декремента

коливань, що вказує на можливість постановки задачі пошуку параметрів струк-

тури, які забезпечать максимум розсіювання енергії.

2.4 Порівняння ефективних дисипативних параметрів з одержаними за

допомогою методу скінченних елементів (МСЕ)

Визначимо ефективні дисипативні характеристики, скориставшись методом

енергетичної континуалізації [18, 104]. Згідно з цим методом, в об'ємі матеріалу,

який складається з різних матеріалів, необхідно виділити мінімальний характер-

ний об'єм, який повністю відображає структуру КМ, так званий представницький

об'єм, розв'язати задачу визначення напружено-деформівного стану, який вини-

кає при дії характерних зміщень або зусиль, і визначити потенціальну енергію

деформації. Аналогічні дії необхідно провести з таким же об'ємом гомогенного

118

матеріалу з невідомими фізико-механічними параметрами. Енергетичні методи

визначення ефективних характеристик КМ базуються на визначенні відповідних

величин з умови рівності енергій неоднорідного (гетерогенного) і еквівалентного

йому однорідного (гомогенного) середовищ. Точність значень ефективних харак-

теристик залежить від точності знайдених усереднених тензорів напружень і

деформацій. Врахувати складні граничні умови, структурну неоднорідність і ре-

альний розподіл напружень і деформацій в матеріалі можна за допомогою

чисельних методів розрахунку [104]. Побудову математичних моделей представ-

ницького елемента об’єму проведемо за допомогою МСЕ у переміщеннях.

Представницький елемент (рис. 2.15, б) виділимо з КМ періодичної струк-

тури*) (рис. 2.15, а). В КМ з п’єзоелектричними шарами напрямок дії

електричного поля (напрямок силових ліній) переважно встановлюється розмі-

щенням електрода S і напрямком поляризації п’єзоелектричного елемента.

а б

Рис. 2.15. КМ періодичної структури (а); представницький елемент (б)

З метою визначення ефективних дисипативних властивостей КМ проведемо

процедуру усереднення енергії деформації елемента об’єму. Для визначення по-

тенціальної енергії деформації потрібно забезпечити виконання граничних умов

– переміщень поверхонь (бокових граней) представницького об’єму.

Сформулюємо граничні умови в такому вигляді:

*) Для детермінованої геометрії структури.

119

S u u ,

де TS S S S Su v w u ;

Su , Sv , Sw – переміщення поверхні S у напрямках осей X; Y, Z відповідно;

S – електричний потенціал на поверхні S .

Граничні умови для електричного поля (потенціали на поверхні) при забез-

печенні механічних граничних умов розглядаємо як природні граничні умови. І

навпаки – при визначенні енергії електричного поля потрібно забезпечити елект-

ричні граничні умови.

Дійсну й уявну частини потенціальної енергії деформації одиничного гете-

рогенного елемента об’єму запишемо таким чином:

1 1

11 0 01 ˆˆ ˆ ˆRe ,2

HU ε C ε (2.50)

1 1

11 0 0ˆˆ ˆ ˆIm

HU ε C ε , (2.51)

де ˆ ˆ, C C – дійсна та уявна частини матриці комплексних модулів.

Щоб прослідкувати вплив п’єзоелектричного ефекту на пружні і дисипатив-

ні властивості матеріалу, потенціальну енергію деформації визначимо за умови

0E або 0D [37]. Визначені за таких умов потенціальні енергії деформацій

(2.50), (2.51) будемо позначати відповідним індексом.

На рис. 2.16 показано представницький елемент КМ із шаром п'єзоматеріалу

і його скінченно-елементну модель.

Граничні умови враховано за допомогою МСЕ. Деякі варіанти характерних

граничних умов представницького елемента об’єму, ескіз якого зображено на

рис. 2.16, наведено в табл. 2.2.

При розрахунках неполяризованої кераміки враховували тільки механічні

граничні умови.

120

Рис. 2.16. Ескіз і скінченно-елементна модель представницького елемента

Деформівні стани для різних варіантів деформування показано на рис. 2.17.

Умови рівності потенціальної енергії деформації неоднорідного (гетероген-

ного) елемента потенціальній енергії однорідного (гомогенного) елемента об’єму

запишемо у вигляді

1 ˆˆRe Re ,

e

E E

eV

U U dVV

1 ˆÎm Im ,

e

E E

eV

U U dVV

(2.52)

1 ˆˆRe Re ,

e

D D

eV

U U dVV

1 ˆÎm Im ,

e

D D

eV

U U dVV

(2.53)

де ˆ EU , ˆ DU – енергії деформації гомогенного елемента об’єму, ˆ ˆ,E DU U енергії

деформації гетерогенного елемента об’єму.

Декременти коливань одержимо у вигляді:

– за умови 0E :

1 1

0 01 1 1

0 0

ˆˆ ˆ ÎmIm,

ˆ ˆ2Re ˆ ˆRe

H EEE

E H E

U

U

ε C ε

ε C ε (2.54)

– за умови 0D :

1 1

0 01 1 1

0 0

ˆˆ ˆ ÎmImˆ ˆ2Re ˆ ˆRe

H DDD

D H D

U

U

ε C ε

ε C ε. (2.55)

121

Таблиця 2.2

Деякі механічні і електричні граничні умови

Варіант деформування представницького об’єму

Граничні умови (рис. 2.16)

Лінійне переміщення у напрямку осі X

110ˆ 0 0 0 0 0 0 0 0

T ε

0ABCDu , 0ABCDv , 0ABCDw ; 0DCGHv , 0DCGHw ; 0AEHDv , 0AEHDw ;

1EFGHu

Лінійне переміщення у напрямку осі Y

220ˆ 0 0 0 0 0 0 0 0

T ε

0ABCDu , 0ABCDw ; 0DCGHu , 0DCGHv , 0DCGHw ;

0AEHDu , 0AEHDw ; 1AFBEv

Лінійне переміщення у напрямку осей X і Y

1,21 20ˆ 0 0 0 0 0 0 0 T ε

0ABCDu , 0ABCDw ; 0DCGHv , 0DCGHw ;

0AEHDw ; 1EFGHu , 1AFBEv

Зсув у площині XZ

550ˆ 0 0 0 0 0 0 0 0

T ε

0ABCDv , 0ABCDw ; 0DCGHv , 0DCGHw ;

0AEHDu , 0AEHDv , 0AEHDw ; 1BFGCu

Напруженість електричного поля вздовж осі X

710ˆ 0 0 0 0 0 0 0 0 TEε

0ABCD , 1EFGH

Напруженість електричного поля вздовж осі Y

820ˆ 0 0 0 0 0 0 0 0 TEε

0DCGH , 1ABFE

Напруженість електричного поля вздовж осі Z

930ˆ 0 0 0 0 0 0 0 0 T

Eε 0AEHD , 1BFGC

Напруженість електричного поля вздовж осей X і Y

7,81 20ˆ 0 0 0 0 0 0 0 TE Eε

0ABCD , 0DCGH ; 1EFGH , 1ABFE

122

а б

в г

Рис. 2.17. Деформівний стан для варіантів деформування:

а) 110ˆ 0 0 0 0 0 0 0 0

T ε ; б) 220ˆ 0 0 0 0 0 0 0 0

T ε ;

в) 1,21 20ˆ 0 0 0 0 0 0 0

T ε ;

г) 550ˆ 0 0 0 0 0 0 0 0

T ε

Результати порівняння декремента коливань для поляризованого та неполя-

ризованого п’єзоелектричного КМ (2.48)-(2.49), визначеного за допомогою

гіпотези Фойхта-Рейсса та енергетичного методу, показано на рис. 2.18. Власти-

вості матеріалу матриці та армуючого п'єзоелектричного матеріалу наведено у

табл. 2.3.

123

Таблиця 2.3

Характеристики матеріалів матриці і п’єзоелектричного матеріалу [12]

Параметр Матриця GrEp\0 П’єзоелемент PZT

11С 2183,0 1 5,0 10i 386,856 1 6,40 10i

22С 211,620 1 5,0 10i 399,201 1 6,90 10i

33С 211,620 1 5,0 10i 399,201 1 6,90 10i

12С 24,363 1 5,0 10i 350,778 1 9,80 10i

13С 24,363 1 5,0 10i 350,778 1 9,80 10i

23С 23,918 1 5,0 10i 354,016 1 5,0 10i

44С 22,870 1 5,0 10i 322,593 1 5,0 10i

55С 27,170 1 5,0 10i 321,10 1 1,40 10i

Пружні

сталі

, ГПа

66С 27,170 1 5,0 10i 321,10 1 1,40 10i

14

36

25

,

,

e

e

e

0 0

15

24

,e

e 0 512,322 1 2,10 10i

31

32

,e

e 0 57,209 1 8,30 10i

П’єзоелектричні

сталі

, Кл/м

33e 0 15,118

Діелект

-ричні

сталі,

Ф/м

11

22

33

,

,

9 2153,0 10 1 5,0 10i

10 2153,0 10 1 5,0 10i

Гус

-тина

, кг

/м3

31,850 10 36,850 10

Результати розрахунків ефективного декремента на першій формі коливань

показано на рис. 2.16. Розрахунки проведено з урахуванням граничних умов на

електроді п'єзоелектричного тіла: закорочені (індекс Е) або розімкнені (індекс D)

електроди. Як видно з графіка, ці умови впливають на рівень розсіювання енергії

124

– при замиканні електрода декремент збільшується (на графіку цій граничній

умові відповідає суцільна лінія 3).

Ефективний декремент визначено за допомогою методів, запропонованих у

представленій роботі: за допомогою системи гіпотез Фойхта-Рейса (наближений

метод), і за допомогою методу, який грунтується на скінченно-елементній

апроксимації полів напружень і переміщень – варіант методу енергетичної

континуалізації.

Рис. 2.18. Ефективний декремент коливань на першій формі за умови

розімкнених D і закорочених електродів Е

За результатами порівняння можна зробити такі висновки: по-перше, ре-

зультати, одержані двома методами, з яких енергетичний метод виступає як

точний, а запропонований метод за узагальненою гіпотезою Фойхта-Рейса як на-

ближений, є дуже близькими; по-друге, вплив електричного поля, що

проявляється при розімкнених електродах 1D , є незначним, і, по-третє, усі ре-

зультати спвпадають з точністю, яка відповідає точності розрахунку.

125

Висновки і результати

Представлено новий узагальнений варіант матеріальних рівнянь електров'я-

зкопружних матеріалів, який враховує особливості фізико-механічних

залежностей, зокрема, розсіювання енергії, зв'язок електричних, в'язких і пруж-

них властивостей, і може бути використаний при проектуванні композитних

конструкцій відповідного призначення. Порівняння ефективних характеристик

електров'язкопружного матеріалу, розрахованих запропонованим методом, з ре-

зультатами, одержаними іншими авторами, показало хорошу відповідність

результатів.

Порівняння результатів розрахунку дисипативних характеристик КМ, зок-

рема декремента коливань, одержаних двома методами, з яких скінченно-

елементний варіант вважався точним, показало хорошу відповідність і достатню

точність узагальненого методу Фойхта-Рейсса при суттєво меншій трудомісткос-

ті, що у задачах оптимізації при наявності ітераційних процесів надає перевагу

узагальненому методу, запропонованому у даній роботі.

Результати Розділу 2 представлено у [29, 186, 187, 188, 270, 271, 272].

126

РОЗДІЛ 3

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ БАГАТОШАРОВИХ КОМПОЗИТНИХ

ДИСИПАТИВНИХ КОНСТРУКЦІЙ

В умовах динамічних навантажень*) працює переважна більшість конструк-

цій, причому призначення для роботи в умовах нестаціонарних навантажень

накладає ряд вимог, серед яких однією з основних є здатність конструкції демп-

фувати коливання, тобто зменшувати рівень вібраційних амплітуд і напружень за

рахунок розсіювання енергії в матеріалі. Об'єктом для демонстрації розроблених

методів оптимального проектування композитних конструкцій, працюючих в

умовах динамічних навантажень, вибрано багатошарові пластини і оболонки.

Широке використання багатошарових конструкцій значною мірою пов'язане

із завданням зменшення динамічних навантажень у несучих елементах. Для су-

часних конструкцій характерним є використання матеріалів із різними

механічними параметрами, отже виникає необхідність окремого розгляду внеску

кожного шару у загальну оцінку вібростійкості і міцності конструкції. У зв'язку з

цим у роботі віддається перевага моделям, що базуються на гіпотезах щодо на-

пруженого або деформованого стану, введених окремо для кожного шару,

зокрема гіпотез щодо розподілення переміщень і напружень по товщині пласти-

ни (оболонки).

Другою особливістю моделей багатошарових конструкцій є необхідність

точного забезпечення умов з'єднання шарів, що є передумовою для точного мо-

делювання напруженого стану і розсіювання енергії. Крім того, оперування

параметрами кожного шару є необхідним для побудови проектів оптимальних

конструкцій. У зв'язку з цим разом із методом, де основними невідомими є пере-

міщення, розглядається і змішаний метод, де невідомими є переміщення і

частина компонент вектора узагальнених напружень.

*) Динамічними навантаженнями у представленій роботі будемо називати імпульсні, ударні,

сейсмічні, вибухові навантаження, особливістю яких є обмежений час дії і наявність більш або менш короткого часу затухання коливань внаслідок розсіювання енергії.

127

Саме ці аргументи були визначальними при розробці варіанту теорії компо-

зитних пластин і оболонок для розробки теоретичних основ проектування

оптимальних конструкцій, працюючих при динамічних навантаженнях.

До схеми багатошарових пластинчастих і оболонкових конструкцій можна

привести більшість конструкцій з КМ. На сьогодні багатошарові пластини і обо-

лонки широко використовуються в авіаційній, аерокосмічній, суднобудівельній,

транспортній, енергетичній, хімічній та інших галузях промисловості (корпуси

ракет, суден, літаків, двигунів, автомобілів, лопатки турбін, будівельні конструк-

ції, лопаті вітрових установок тощо). Перевагами композитних конструкцій є

практично необмежена можливість варіювання форми і сполучень складових ма-

теріалів, а також можливість застосування методів оптимізації. Разом із тим,

наявність макро- і мікроструктурних особливостей висуває жорсткі вимоги до

побудови й аналізу математичних моделей конструкцій. Як наголошувалося у

Розділі 1, незважаючи на величезну кількість публікацій, присвячених динаміці

багатошарових композитних конструкцій, проблема моделювання й оптимізації

елементів, працюючих в умовах динамічних навантажень, а також проблема по-

будови ефективних моделей демпфування і методів аналізу динамічних режимів

потребують на сучасному рівні розуміння процесів, які відбуваються у компози-

тних конструкціях з неідеально-пружних матеріалів і матеріалів зі спеціальними

властивостями, так званих smart-матеріалів.

З усього широкого спектру фізичних параметрів будемо враховувати пруж-

ні, в'язкопружні та електров'язкопружні властивості матеріалів. Перші дві

традиційно вважаються визначальними при аналізі динамічних режимів, а елект-

ров'язкопружність хоча і не є характерною для більшості матеріалів, проте є

перспективною для створення конструкцій з пасивним і активним демпфуванням

коливань, що підтверджується величезною увагою науковців у всьому світі до

цієї проблеми.

Традиційно для одержання визначальних рівнянь динаміки оболонок і плас-

тин розглянемо кінематичну, фізичну і статичну (динамічну) сторони задачі.

128

3.1 Кінематичні залежності

Віднесемо оболонку до ортогональної системи координат , , так, щоб

координатні лінії ,const const співпадали з лініями головних кривин ни-

жньої (внутрішньої) поверхні оболонки, а вісь була їй перпендикулярною

(рис. 3.1).

Рис. 3.1. Ортогональна система координат для оболонки

Положення довільної точки об'єму визначається координатами , , . Дов-

жина довільного лінійного елемента оболонки визначається формулою

2 2 2 2 2 2 21 2 3dl H d H d H d , (3.1)

де 1 2 3, ,H H H – параметри Ляме:

2 2 221

2 2 222

2 2 223

,

,

,

x y zH

x y zH

x y zH

(3.2)

, ,x y z – прямолінійні ортогональні декартові координати.

Положення довільної точки можна також визначити координатами ( , ,x y z ),

які пов'язані з , , функціональними залежностями

( , , ), ( , , ), ( , , )x x y y z z . (3.3)

Як правило, майже для всіх точок можна записати обернені залежності

129

( , , ), ( , , ), ( , , )x y z x y z x y z , (3.4)

які є координатами точки у глобальній системі координат.

Зокрема, для циліндричної системи (рис. 3.2, в) координатні осі , ,r пове-

рхні пов'язані з декартовими осями , ,x y z співвідношеннями

cos , sin ,x r y r z .

Параметри Ляме в цьому випадку набувають значень

1 2 3, , 1H r H r H .

Для пологих оболонок, прямокутних у плані (рис. 3.2, а), вважається, що ко-

ординати , , співпадають з координатами , ,x y z . Параметри Ляме для

пологої оболонки і пластини (рис. 3.2, а, б) однакові:

1 2 31, 1, 1H H H .

Залежності між узагальненими переміщеннями u та деформаціями ε для

довільного шару пологої оболонки запишемо з використанням матриці диферен-

ційних операторів A [36, 39]:

A uε , (3.5)

1 1

1 1 2 1 3 1

2 2

1 2 2 2 3 2

1 2

2 1 2 1 1 2

2

2 2

1

1 1

1

2

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 10 0

0 0 0

1 10 0

1 10 0

10 0 0

10 0 0

0 0 0

H HH H H H H H

H HH H H H H H

H HH H H H H H

HH H

HH H

H

H

A

, (3.6)

130

а б в

Рис. 3.2. Багатошарові конструкції: а) полога оболонка; б) пластина;

в) циліндрична оболонка

Більш конкретизований вид матриці A буде використано для конкретних

форм оболонок.

3.2 Фізичні залежності для матеріалів

У Розділі 2 було показано, що для описання неідеально-пружних властивос-

тей матеріалів багатошарових конструкцій доцільно використовувати модель

в'язкопружного матеріалу, яка описується інтегральними залежностями Больц-

мана-Вольтерра (2.15):

*

Te

e

R Rσ ε

D ER R

, (3.7)

або, при використанні понять узагальнених напружень T σ D і деформа-

цій T ε E (Розділ 2):

= R * , (3.8)

де Te

e

R RR

R R

– узагальнена матриця функцій релаксації.

Труднощі, які виникають при спробі використати залежності (3.8) у динамі-

ці конструкцій, пов'язані, у першу чергу, з неможливістю однозначного

визначення структури і динамічних параметрів функцій релаксації R з достат-

131

ньою точністю за допомогою статичних експериментальних досліджень [196,

197], по-друге, складністю реалізації інтегро-диференційних рівнянь, побудова-

них на основі цих залежностей. У зв'язку з цим у більшості досліджень динаміки

в'язкопружних конструкцій використовується концепція комплексних частотно-

незалежних модулів. На обмеженість такого підходу вказується у роботі Крендо-

лла [265], де наголошується, що така концепція може застосовуватися у часовому

просторі тільки до синусоїдальних коливань конструкцій, а використання часто-

тно-незалежних комплексних модулів у часовому просторі для довільного

випадку деформування приводить до порушення принципу причинності.

Перспективним варіантом для коректного описання в'язкопружного розсію-

вання енергії для розрахунку динамічних процесів виявився перехід у частотний

простір. У цьому випадку з'являється можливість використання емпіричних мо-

делей, зокрема частотно-залежних модулів з урахуванням обмеженості

досліджуваного частотного діапазону.

Зазначимо, що труднощі, пов'язані з необхідністю проведення операцій з

комплексними величинами і використанням інтегральних перетворень на завер-

шальному етапі динамічного аналізу при переході у часовий простір, практично

зникли зі збільшенням потужності обчислювальної техніки і наявністю програм,

працюючих з комплексними числами.

3.3 Математичні моделі багатошарових елементів конструкцій з елект-

ров'язкопружних матеріалів

Модель багатошарової конструкції (пластини або оболонки) одержимо, роз-

діляючи реальну конструкцію по товщині на шари, еквідистантні координатній

поверхні (рис. 3.3), при цьому контактні поверхні шарів та їх товщини можуть

бути умовними, пов'язаними з неоднорідністю конструкції по товщині, а кіль-

кість шарів визначається структурою, розумним компромісом між необхідною

точністю апроксимації переміщень по товщині конструкції і об'ємом обчислень

на кожній ітерації оптимізаційного процесу.

132

а

б

Рис. 3.3. Модель багатошарової оболонки (а) та схема переміщень

і потенціалів на контактних поверхнях (б)

Вважаємо, що для шарів на поверхнях контакту виконуються умови нероз-

ривності відповідних переміщень і напружень.

Для побудови розрахункових рівнянь динаміки електров'язкопружних конс-

трукцій у даній роботі використаємо варіаційні рівняння у згортках, зокрема

варіаційне рівняння Лагранжа [105, 157].

Функціонал Лагранжа у згортках має вигляд

1

1 1* ( ) ,

2 2T T T T

L sV V V S

Ф g dV dV dV g dS ε σ u f ρ u u u p (3.9)

Для додаткового визначення напружень на поверхнях розділу шарів викори-

стовується функціонал Хелінгера-Рейсснера з умовою для напружень, яка

133

встановлює незалежність узагальнених напружень sσ від узагальнених перемі-

щень u :

1

1 1* ( )

2 2

( ) .

T T THR

V V V

T Ts S S S

S V

Ф g dV dV dV

g dS g dV

ε σ u f ρ u u

u p σ ε A u (3.10)

У функціоналах (3.9), (3.10): Tu v w u – вектор узагальнених пе-

реміщень точок з координатами x, y, z; – електричний потенціал;

( )Ts x y z sp p p pp – узагальнене зовнішнє навантаження; Sp – зовнішні пове-

рхневі сили на поверхні S, пов'язані з електричним зарядом; ρ – густина;

0 0t tt f Mq Mq ; M – матриця мас, 0 0,t tq q – початкові вектори швидкості і пе-

реміщення, t – час; SA – матриця диференційних операторів, відповідна

узагальненим деформаціям Sε , g t .

Для функціоналів, представлених залежностями у згортках, Гуртіном [284]

доведено екстремальні теореми, згідно з якими функції, що забезпечують стаціо-

нарне значення функціоналів у згортках, є справжнім розв'язком задачі. Крім

цього, при використанні поняття згортки функцій забезпечується коректність пе-

реводу рівнянь динаміки з часового до частотного простору і можливість

одержати рівняння з коректно сформульованими початковими умовами, що сут-

тєво для нестаціонарних коливань.

При побудові розрахункових рівнянь будемо вважати матеріал шарів оболо-

нки у загальному випадку електров'язкопружним, причому для окремих шарів

оболонки характеристики матеріалу можуть спрощуватися у відповідності зі

структурою*). Розглянемо довільний шар пологої оболонки (рис. 3.4), не конкре-

тизуючи фізичні залежності матеріалів. Покажемо послідовність застосування

напіваналітичного методу скінченних елементів для аналізу коливань оболонки

[168].

*) Характеристики матеріалу можуть бути пружними, в'язкопружними, електропружними,

електров'язкопружними тощо.

134

Рис. 3.4. Шар оболонки з композиційного матеріалу (і, j, k – вузлові поверхні)

Запишемо варіаційне рівняння Лагранжа, відповідне функціоналу (3.9):

1

( ) * ( ) SV V V S

g dV dV dV g dS Au σ f u ρ u u p u 0 . (3.11)

Будемо розшукувати розв'язок рівняння (3.11) у формі

( , , , ) ( , ) ( ) ( )r s

mn mnm n

x y z t x y z t u N N q Nq , (3.12)

де ( , ), ( )mn x y zN N – матриці функцій апроксимації переміщень оболонки від-

носно осей ,x y і z відповідно, ( )mn tq – невідомі вузлові переміщення.

Функції апроксимації переміщень відносно осей ,x y приймаємо у вигляді

глобально означених на поверхні xOy , бажано взаємно ортогональних, функцій,

а для апроксимації переміщень по товщині використаємо поліноми Лагранжа

[80]:

, ,r s

Tmn z mn

m n

u v w u u = N N q Nq (3.13)

, , ,..., ,

, , , , , , , , .

i j kz z zmni j k

mn z z zmn z i j k

mn z z z

i j kmnz z z

ui vi wi i uj vj wj jmn mn mn mn mn mn mn mn mn

N N Nu

v N N Ndiag diag diag diag

w N N N

N N N

q q q q q q q q

N N

q .., , , , ,Tuk vk wk k

mn mn mn mnq q q q

(3.14)

135

2 4 2

1 1 , 1 , 1 .i j kz z z

z z z z z zN N N

h h h h h h

У випадку нульових граничних умов (0, ) (0, ) 0L B u u , глобальні функції

апроксимації можна прийняти у вигляді тригонометричних рядів:

cos / sin / , sin / cos / ,

sin / sin / , sin / sin / .

mn mn

mn mn

u m x L n y B v m x L n y B

w m x L n y B m x L n y B

Як правило, необхідність у більш складній апроксимації, ніж параболічна,

для тонких шарів не виникає, тим більше, що товщину шару можна вибрати у за-

лежності від конкретних обставин, тобто шар, який розглядається, є

розрахунковим і не обов’язково фізичним*).

Деякі переваги використання поліномів Лагранжа пов'язані зі спрощенням

умов з’єднання шарів у багатошарових структурах.

Напруження і деформації визначаються залежностями (3.5), (3.8)**)

= R * , Au , (3.15)

де для шару пологої оболонки в координатах x, y, z:

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

, .

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

T

x y

x y zu

vy x z

wk k

z y x

x y z

uA

Після підстановки (3.13), (3.15) у (3.11), одержимо

0 0 0t t t t t t t t t tg g t q K q q Mq q P q Mq Mq , (3.16)

*) Яккщо послатися на метод скінченних елементів, можна стверджувати для апроксимації

переміщень по товщині про перевагу використання поліномів більш високого порядку, зокре-ма, другого порядку над першим, третього над другим, однак необхідно брати до уваги також збільшення порядку розрахункових рівнянь і, відповідно, часу розрахунку, яке для ітераційних процесів оптимізації може виявитися неприйнятним.

**) На цьому етапі використано "прнцип нечутливості" рівняння Лагранжа у згортках до ви-ду фізичних залежностей.

136

де

, ,T T T

t t sV V S

dV dV dS K AN R AN M N ρN P N p , (3.17)

( 0 0,t tq q – початкові значення узагальнених переміщень і швидкостей, t – час).

З (3.16), враховуючи незалежність варіацій tq , одержуємо рівняння коли-

вань у згортках:

0 0t t t t t tg g t K q Mq P Mq Mq 0 . (3.18)

При нульових початкових умовах –

0t t t tg g K q Mq P . (3.19)

Методи розв'язання рівнянь у згортках розглядалися у роботах [26, 157]. З

урахуванням орієнтації роботи на аналіз короткочасних нестаціонарних коливань

застосуємо до (3.19) пряме перетворення Фур'є, після чого одержимо рівняння

відносно зображень узагальнених переміщень ˆ q :

ˆ ˆˆ( ) ( )i i Z q = F , (3.20)

де ˆ ( )iZ – комплексна матриця динамічної жорсткості:

2ˆ ˆ( ) ( ) ( )i i i Z K M , (3.21)

ˆ ( )iK – комплексна матриця жорсткості:

ˆˆ ( ) ,T

V

i i dV K AN AN (3.22)

ˆ ( )iF – зображення Фур’є вектора зовнішніх навантажень:

ˆ ˆ( ) Ts

S

i dS F N P , (3.23)

ˆsP – зображення Фур'є розподіленого узагальненого навантаження на пове-

рхню S;

ˆ ( )i – матриця комплексних модулів матеріалу (2.31).

Для багатошарової оболонки матрицю динамічної жорсткості одержано си-

нтезом окремих матриць кожного шару 2ˆ ˆ ( )k k ki ( ) ( ) ( )Z K M з урахуванням

137

умов з’єднання шарів. Якщо розділити вектор переміщень k -го шару ˆ kq на

блоки у відповідності з індексами mi,

ˆ ˆ ˆT

k k ki mq q q , (3.24)

то умови з’єднання шарів можна записати як умови рівності переміщень на по-

верхнях контакту шарів:

1ˆ ˆ , 1k km i k n q q . (3.25)

Таким чином, для одержання рівняння коливань у просторі перетворень Фу-

р'є необхідно побудувати матриці динамічної жорсткості і навантаження

ˆ ˆ,i i Z F . Побудова матриць проводиться аналогічно побудові матриць жор-

сткості й навантажень для ідеально-пружних конструкцій, але замість модулів

пружності використовуються відповідні комплексні частотно-залежні модулі.

Для вимушених коливань необхідно знайти розв'язок рівняння (3.20) відносно

зображень вектора переміщень

1ˆ ˆˆ ( )i i q Z F . (3.27)

Для одержання розв'язку відносно узагальнених переміщень у часовому

просторі використовується обернене перетворення Фур'є:

1ˆ ˆ ( )t i i q Z F . (3.28)

У випадку вільних коливань одержимо систему рівнянь

2ˆ ˆ ˆ( )i Kq Mq 0 або ˆ ˆi Z q 0 , (3.29)

яка описує задачу на власні значення

ˆ i Z 0 . (3.30)

Таким чином, алгоритм розв'язання задач нестаціонарних коливань конс-

трукцій з в'язкопружним розсіюванням енергії складається з таких етапів:

1) будується скінченно-елементна модель конструкції;

2) записується варіаційне рівняння коливань у згортках;

138

3) проводиться пряме перетворення Фур'є одержаного рівняння з урахуван-

ням властивості перетворення Фур'є згортки функцій;

4) розшукується розв'язок алгебраїчного рівняння з урахуванням залежності

між напруженнями і деформаціями у частотному просторі;

5) оскільки розв'язок знайдено у частотному просторі, подальше його вико-

ристання залежить від умови задачі.

Для вимушених коливань використовується швидке обернене перетворення

Фур'є*); для аналізу вільних коливань одержаний розв'язок можна використати

безпосередньо, зокрема для визначення власних частот і побудови амплітудно-

частотних характеристик. Усі вказані варіанти застосування розв'язків показано у

наступних розділах, зокрема при визначенні критеріїв оптимізації.

Зазначимо, що перші три етапи можна скоротити, побудувавши скінченно-

елементне рівняння безпосередньо у частотному просторі, враховуючи при цьо-

му, що одержані комплексні модулі залежать від частоти. Це зауваження

використовується далі при аналізі конкретних задач коливань і оптимізації еле-

ментів дисипативних конструкцій.

3.4 Синтез скінченних елементів багатошарової структури

З використанням одержаних матриць динамічної жорсткості одношарових

скінченних елементів розроблено методику і програмне забезпечення синтезу ба-

гатошарових пластин і оболонок з урахуванням неідеальної пружності матеріалу,

з довільним співвідношенням товщин шарів і різними умовами закріплення. У

багатьох випадках доцільно використати багатошарові скінченні елементи, що

суттєво зменшує розмірність задачі. Матриці динамічної жорсткості таких еле-

ментів можна одержати за допомогою процедури суперелементного синтезу у

просторі перетворень Фур’є.

Розглянемо багатошаровий елемент, кожний шар якого є однорідним скін-

ченним елементом. Нехай 1ˆ ˆ,k kZ Z – матриці динамічної жорсткості двох

*) Саме у цьому випадку важливою є умова короткочасності одержаної реалізації розв'язку.

139

сусідніх однорідних елементів. Для незв’язаних елементів сумарна матриця жор-

сткості буде квазідіагональною:

1

ˆ 0ˆ ,ˆ0

k

k

ZZ

Z (3.31)

а вектор узагальнених координат матиме вигляд

1ˆ ˆ ˆ .TT T

k kq q q (3.32)

Виділимо у кожному з векторів 1ˆ ˆ,k kq q переміщення вузлів, спільні для

обох елементів, позначивши їх індексом 2:

,1 , 2 1, 2 1,1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .TT T T T

k k k k q q q q q (3.33)

Умови з’єднання шарів матимуть вигляд

, 2 1, 2ˆ ˆk kq q . (3.34)

Вектор незалежних переміщень пов’язано з вектором (3.32) матрицею пере-

творень T, яку одержимо з умови

,1

,1, 2

,21, 2

1,11,1

0 0

0 0, ,

0 0

0 0

k

kk

kk

kk

q Iq

q IΤ q Τ

q Iq

Iq

(3.34)

(І – одинична матриця).

Розділяючи матриці кожного елемента на блоки у відповідності з розділен-

ням вектора узагальнених координат:

11 12

21 22

ˆ ˆˆ , 1 ,

ˆ ˆ

k k

k k kk k

Z ZZ

Z Z (3.35)

матрицю динамічної жорсткості двошарового елемента одержимо у вигляді

11 12

(2) 1 121 22 11 12

1 121 22

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .

ˆ ˆ0

k k

T k k k k

k k

Z Z

Z Τ ZΤ Z Z Z Z

Z Z

(3.36)

140

Аналогічно будуються матриці для елементів із більшою кількістю шарів.

Розмір матриць залежить від кількості шарів. Для зменшення розміру можна ви-

користати додаткові умови на поверхнях контакту, а також методи конденсації.

Зокрема, при статичній конденсації узагальнені переміщення необхідно розділи-

ти на основні і ті, що виключатимуться. Як правило, виключають координати, у

напрямку яких немає діючих зовнішніх сил. Розділивши матрицю ˆ ( )iZ на бло-

ки у відповідності з розділенням узагальнених переміщень:

11 12

21 22

ˆ ˆˆ ( ) ,

ˆ ˆi

Z ZZ

Z Z (3.37)

одержимо приведену матрицю

111 12 22 21

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,cond Z Z Z Z Z (3.38)

яка зберігає усі характеристики динамічної матриці жорсткості елемента до кон-

денсації. Обернена матриця 122

ˆ ( )i Z обчислюється для конкретного значення

частоти .

Матриці жорсткості і мас для багатошарової пластини одержуються з умов

нерозривності переміщень на поверхнях з'єднання шарів. Ці умови зручно реалі-

зувати програмно. Розрахункове рівняння має характерний для методу

скінченних елементів вигляд

ˆ ˆˆ( ) ( ),i i Z q F (3.39)

де матриці динамічної жорсткості 2ˆ ˆ( ) ( ) ( )i i i Z K M і зовнішніх збуджень

ˆ ( )iF є комплексними, залежними від частоти. При наявності ненульових почат-

кових умов рівняння матиме вигляд

0 0ˆˆ ˆˆ ˆ( ) ( )i i t Z q F Mq Mq , (3.40)

де 0 0ˆˆ ,q q – початкові переміщення і швидкості, t – час.

Для аналізу розсіювання енергії і визначення власних значень конструкції

розглянемо задачу на власні значення

ˆ ˆi Z q 0 . (3.41)

141

Власні числа і вектори симетричної матриці з комплексними елементами

визначалися з використанням відповідних алгоритмів [201] – функції eig матема-

тичного пакета Matlab з наступним уточненням за допомогою ітераційного

методу [168]. Для уточнення результатів за наявності частотної залежності у ви-

браному діапазоні використовувався метод послідовних наближень, розглянутий

у нашій роботі [168]. Декремент коливань, відповідний вибраній формі, визнача-

вся як відношення втраченої енергії до подвоєної потенціальної:

ˆ ˆ

2 ˆ ˆ

H

H

iW

W i

q Z q

q Z q, (3.42)

де q – власні вектори матриці ˆ iZ ,

,i i Z Z – дійсна й уявна частини матриці ˆ iZ ,

Н – знак спряження комплексних матриць.

Декремент коливань можна визначити також за відомими значеннями влас-

них значень (комплексних частот) матриці Z i :

2k kk

k k

arctg

, (3.43)

де k k ki – комплексна частота коливань, відповідна k -й формі.

Наближені значення окремих частот можна визначити, виходячи з таких мі-

ркувань: помножимо рівняння (3.39) зліва на спряжений вектор узагальнених

переміщень

ˆ ˆˆ ˆ ˆH Hi i q Z( )q q F( ) , (3.44)

далі, враховуючи симетричність матриці ˆ ( )iZ , при ˆ ( )i F 0 , одержимо

2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆH H Hi q K q q K q q M q 0 . (3.45)

За наявності розсіювання енергії частота коливань буде комплексним чис-

лом, тобто 2 2ˆ (1 )i . Після підстановки частоти у рівняння (3.45), і

прирівнювання окремо дісних і уявних членів, одержимо

2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, .

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

H H H

H H H

2

q K q q K q q K q

q M q ω q M q q K q (3.46)

142

Таким чином, для визначення частот і форм коливань, а також коефіцієнта,

що характеризує розсіювання енергії, необхідно визначити відповідну форму ко-

ливань.

Очевидно, для визначення розсіювання енергії необхідно знайти декремент,

який відповідає заданій формі і частоті коливань, тобто знайти параметри відпо-

відного одночастотного коливання, і, таким чином, необхідність

багаточастотного аналізу відпадає. Принципово можливо використати наближені

вирази форм коливань з урахуванням аналізу чутливості розсіювання енергії до

варіації форми [206].

Для в'язкопружних систем характерною властивістю є залежність в'язкоп-

ружних параметрів від частоти коливань. У цьому випадку частотне рівняння

(3.41) буде нелінійним і визначення частот і форм коливань суттєво ускладню-

ється. Докладний аналіз цієї проблеми подано у кандидатській дисертації автора

[184].

3.5 Використання варіаційного принципу Хелінгера-Рейсснера у зада-

чах нестаціонарних коливань дисипативних конструкцій

Згідно з принципом Вольтерра [147] розв'язок задач в'язкопружності можна

одержати, знайшовши розв'язок відповідної задачі теорії пружності, у якій в'яз-

копружні оператори замінено пружними константами, після чого в одержаному

розв'язку виконати зворотню заміну на в'язкопружні оператори і розшифрувати

одержані залежності. В інтерпретації Кристенсена [105] варіаційні теореми теорії

пружності можна розглядати як теореми в'язкопружності відносно змінних, до

яких застосовано інтегральне перетворення Фур'є, тобто змінних у частотному

просторі, і навпаки. У більшості випадків перехід до частотного простору відбу-

вається з використанням прямих перетворень Лапласа або Фур'є, а розшифровка

результату проводиться за допомогою обернених перетворень Лапласа або Фур'є,

що складає значні труднощі. У задачах динаміки прямі інтегральні перетворення

приводять до комплексного простору, при цьому подальші дії необхідно викону-

143

вати з урахуванням особливостей операцій у комплексному просторі. На жаль,

робота у комплексному просторі для більшості програм ЕОМ не є звичною, у

зв'язку з чим, окрім кінцевої операції оберненого інтегрального перетворення,

виникають проблеми щодо поточних операцій з комплексними числами. Єдине

коректне припущення про гармонічність динамічних процесів, яке приводить до

роботи у дискретному просторі амплітуд коливань, значно звужує діапазон існу-

ючих задач, зокрема задач нестаціонарних, багаточастотних, випадкових

коливань. У представленій роботі для переходу з частотного до часового просто-

ру пропонується використання швидкого оберненого перетворення Фур'є [168].

Розглянемо алгоритм застосування варіаційного рівняння Хелінгера-

Рейсснера для аналізу задач динаміки з довільною залежністю від часу. Варіа-

ційне рівняння змішаної задачі електров'язкопружності у просторі зображень

Фур'є для довільного шару матеріалу з усередненими характеристиками (рис.3.4)

одержимо, застосувавши пряме перетворення Фур'є до рівняння у згортках, від-

повідного функціоналу (3.10):

ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆˆ ˆ ˆ ,s

H H Hr r s s s s s

VH H

S V

dV

ds dV

f

A u σ A u σ σ ε A u

u P u u (3.47)

де ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , ,T

x y zu u u u – узагальнене переміщення,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,T

s x y z sp p p pP – узагальнене зовнішнє навантаження,

– густина;

0 0ˆ ˆ ˆt tt f Mq Mq , M – матриця мас, 0 0

ˆ ˆ,t tq q – початкові вектори швидкості і

переміщення, t – час,

ˆ ˆ ,r rA u ε ,ˆ ˆs sA u ε ,r sA A – матриці диференційних операторів, які за-

лежать від форми оболонки і розділення векторів напружень і деформацій на

основні і невідомі.

Зокрема, для пластин і пологих оболонок матриці ,r sA A мають вигляд

144

/ 0 00 0 / 0

0 / 0/ / 0 0

, ,/ 0 / 00 / / 0

0 0 0 /0 0 0 /

0 0 0 /

x

y

sr

x kz

y ky x

z xz y

xz

y

AA (3.48)

Залежності між напруженнями і деформаціями для КМ приймаємо у вигляді

(2.27):

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆr rr rs r

s ssr ss

σ C C ε

σ εC C, або ˆˆ ˆ σ = C ε , (3.49)

де

11 12 16

21 22 26

61 62 66

11 12

21 22

ˆ ˆ ˆ 0 0

ˆ ˆ ˆ 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0

ˆ ˆ0 0 0

ˆ ˆ0 0 0

rr

C C C

C C C

C C C

C ,

13 31

23 32

63 36

14 15

24 25

ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ0 0ˆ ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ0 0

rs

C e

C e

C e

e e

e e

C ,

31 32 36

14 24

15 25

31 32 36

ˆ ˆ ˆ 0 0

ˆ ˆ0 0 0ˆˆ ˆ0 0 0

ˆ ˆ ˆ 0 0

sr

C C C

e e

e e

e e e

C ,

33 33

44

55

33 33

ˆ ˆ0 0

ˆ0 0 0ˆˆ0 0 0

ˆˆ 0 0

ss

C e

C

C

e

C ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,T T

r r s sε ε ε σ σ σ

1 2 6 1 2 3 4 5 3

1 2 6 1 2 3 4 5 3

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) , ( ) ,

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) , ( ) .

T Tr s

T Tr s

D D D

E E E

σ σ

ε ε

Функції апроксимації переміщень по товщині шару мають вигляд:

2 1 4 2

1 1 , 1 , 1 .iz jz kzz z z z z z

N N Nh h h h h h

З рівнянь (3.49) послідовно визначимо ˆ ˆ ˆ, ,r s sσ σ ε :

1 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

r rr r rs s

s sr r ss s s ss s ss sr r

σ C ε C ε

σ C ε C ε ε C σ C C ε (3.50)

145

і підставимо у варіаційне рівняння (3.47) з урахуванням апроксимації узагальне-

них переміщень, напружень і деформацій ˆ ˆ ˆs su, σ , ε :

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,

ˆ ˆˆ ˆ, ,r r s s s s r r

s s ,

ε = A u ε A u u Nq A Nq B q A Nq B q

σ = Hp σ H p H N

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0,

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

i j k

i j k

i j k

i j k

N N N

N N N

N N N

N N N

N (3.51)

після чого одержимо

1 1

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .

T T T T Tr rr r r rs ss r rs ss sr r s

V

T T T T

V S

T T T T T Ts ss sr r ss

V V V

dV

dV dS

dV dV dV

q B C B q B C C Hp B C C C B q B Hp

q N ρNq q N q

p H B q p H C C B q p H C Hp 0

(3.52)

Враховуючи незалежність варіацій ˆ ˆ, q p , одержимо систему рівнянь відно-

сно переміщень q і напружень p :

1 1 2 2

3 4 3

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,

ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ,

s

2K q Q p K q Q p ω Mq F f

K q K q Q p 0 (3.53)

де

11 2 3

1 14 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ , , ,

T T Tr rr r r rs ss sr r s

V V V

T Tss sr r r rs ss s

V V V

dV dV dV

dV dV dV

K B C B K B C C C B K H B

K H C C B Q B C C H Q B H (3.54)

13 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , , ,T T Tss S s t t

V V S

dV dV dS i Q H C H M N ρN F N P f Mq Mq

1 2 3 4ˆ ˆ ˆ ˆ, ,K K , K K – матриці жорсткості, 1 2 3

ˆ ˆ ˆ, ,Q Q Q – матриці податливості, M

– матриця мас, f – початкові параметри.

Виключаючи змінну p з першого рівняння (3.53), одержимо рівняння відно-

сно переміщень

146

2 ˆˆ ˆˆ ˆ( ) ( )si i Z q Mq F f , (3.55)

де 11 2 1 2 3 3 4

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )i Z K K Q Q Q K K . (3.56)

Розв'язок рівняння при заданій правій частині має вигляд

2 1 ˆˆ ˆˆ ( ( ) ) ( ( ) ).si i q Z M F f (3.57)

Після знаходження розв'язку відносно переміщень, за необхідності можна

визначити напруження ˆ sp , діючі на поверхні контакту шарів, з другого рівняння

(3.53) у вигляді

13 3 4

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) p Q K q K q . (3.58)

Для одержання результату у часовому просторі необхідно виконати оберне-

не перетворення Фур'є, що реалізується за допомогою програм швидкого

перетворення Фур'є [58, 168].

Для демонстрації представленого напіваналітичного методу скінченних

елементів наведемо результати розрахунку напружень, власних частот і декреме-

нта коливань шарнірно закріплених тришарової і дев'ятишарової пластин

(рис. 3.5) з шарами пружних, в'язкопружних і електров'язкопружних матеріалів.

Розроблена програма передбачає можливість змінювати матеріали, товщини ша-

рів, кількість шарів і визначати частоту коливань, декремент коливань,

розподілення напружень по товщині, закріплення пластини. Послідовність роз-

міщення шарів і матеріалів по товщині може бути довільною і встановлюється

початковими умовами.

Тришарова пластина (рис. 3.5, а): товщина пластини – 5 мм, товщини зовні-

шніх шарів – 1 2h мм, а середнього – 2 1h мм; розміри пластини у площині хОу

– 0,2 0,2 м ; матеріали шарів: 1 і 3 – Graphit\Epoxy, середнього –

п’єзоелектричний матеріал PZT-7А, поляризований у напрямку осі z;

Фізико-механічні властивості матеріалів шарів:

Шари 1 і 3 – Graphit\Epoxy [378]:

11 183,443 (1 0,05)C i ГПа , 22 33ˆ ˆ 11,662 1 0,05 С С i ГПа ;

12 13ˆ ˆ 4,363 1 0,05 С С i ГПа ; 23

ˆ 3,918 1 0,05 С i ГПа ;

147

44 55ˆ ˆ 2,870 1 0,05 С С i ГПа ; 66

ˆ 7,170 1 0,05 С i ГПа ;

1011 22 33ˆ ˆ ˆ 153 10 1 0,025 k k k i Ф м ; 3 31,590 10 кг м .

П’єзоелектричний шар – PZT-7А, поляризований у напрямку осі z [268]:

11 22 13 23ˆ ˆ ˆ ˆ148,0 1 0,015 74,2 1 0,015С С i ГПа, С С i ГПа, ;

12 33ˆ ˆ76,20 1 0,015 131,0 1 0,015С i ГПа, С i ГПа,

44 55 66ˆ ˆ ˆ 25,4 1 0,015С С С i ГПа ; 33ˆ 9,5 1 0,005 2e i Кл м ,

31 32 15 24ˆ ˆ ˆ ˆ2,1,0 1 0,01 , 9,2 1 0,0052 2e e i Кл м e e i Кл м ,

11 0 22 0ˆ ˆ 460,0 1 0,025i , 1033ˆ 20,8 10 1 0,025i Ф м .

3 37,5 10 кг м .

Результати визначення напружень по товщині шарів для тришарової плас-

тини показано на рис. 3.6.

а б

Рис. 3.5. Структура тришарової пластини (а) та схема навантаження (б)

148

Рис. 3.6. Розподілення напружень , ,zx zy z по товщині шарів тришарової

пластини

9-шарова пластина (рис. 3.7): товщина пластини – 14 мм, товщини шарів –

1 3 7 9 2 4 6 81, 2h h h h h h h h мм, а середнього – 5 4h мм; розміри плас-

тини у площині хОу.

Шари 1, 3, 7, 9 – п’єзоелектричний матеріал – PZT-7А, поляризований у на-

прямку осі z [312]:

11 22 13 23ˆ ˆ ˆ ˆ148,0 1 0,015 74,2 1 0,015С С i ГПа, С С i ГПа, ;

12 33ˆ ˆ76,20 1 0,015 131,0 1 0,015С i ГПа, С i ГПа,

44 55 66ˆ ˆ ˆ 25,4 1 0,015С С С i ГПа ; 33ˆ 9,5 1 0,005 2e i Кл м

31 32 15 24ˆ ˆ ˆ ˆ2,1,0 1 0,01 , 9,2 1 0,0052 2e e i Кл м e e i Кл м

11 0 22 0ˆ ˆ 460,0 1 0,025i , 1033ˆ 20,8 10 1 0,025i Ф м .

3 37,5 10 кг м .

Шари 2, 4, 6, 8 – ізотропний гумоподібний матеріал:

66 10 , 0.47, 2(1 ),E Па G E параметр Ляме 2 (1 2 )G

11 22 33 12 13 23 44 55 662 , ,C C C G C C C C C C G ;

1011 22 33 12ˆ ˆ ˆ ˆ 8 10k k k k Ф м , 3 31,5 10 кг м .

Шар 5 – Graphit\Epoxy [334]:

11 22 12 13 23ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ243,7 1 0,05 6,7 1 0,05С С i ГПа, С С С i ГПа, ;

149

33ˆ 24,0 1 0,05 С i ГПа,

44 55 66ˆ ˆ ˆ11 1 0,05 27 1 0,05С i ГПа, С С i ГПа, ;

11 0 22 0 33 0ˆ ˆ ˆ 12 1 0,025i ,

1033ˆ 20,8 10 1 0,025i Ф м , 3 32 10 кг м .

Результати визначення напружень і зміщень по товщині шарів для дев'яти-

шарової пластини показано на рис. 3.8.

а б

Рис. 3.7. Структура 9-шарової пластини (а) та схема навантаження (б)

а б

в Рис. 3.8. Розподілення переміщень u (а), напружень z (б), напружень zy (в) по

товщині пластини

150

Для тришарової симетричної пластини з в’язкопружним середнім шаром бу-

ло проведено порівняння власних частот коливань на ,n m -й формі коливань та

коефіцієнтів розсіяння енергії з даними робіт Johnson C. D., Kienholz D. A.*) та

Cupial P., Niziol J.**), результати порівняння (табл. 3.1) свідчать про хорошу від-

повідність. Параметри пластини є такими: a = 0,3048 м, b = 0,3480 м,

h1 = h3 = 0,762 мм, h2 = 0,254 мм η2 = 0,5, E1 = E3 = 6,89·1010 Па, ν1 = ν3 = 0,3,

ρ1 = ρ3 = 2,74·103 кг/м3, G2 = 0,896·106 Па.

Таблиця 3.1

Результати порівняння частот коливань (гц) для тришарової пластини (рис.3.5, а)

на декількох формах

1 2 Дана робота Форма

(n, m) f, Гц η f, Гц η f, Гц η

(1, 1) 60.3 0.190 60.2 0.190 60.2354 0.1901

(1, 2) 115.4 0.203 115.2 0.203 115.2232 0.2034

(2, 1) 130.6 0.199 130.2 0.199 130.5252 0.1992

(2, 2) 178.7 0.181 178.5 0.181 178.460 0.1806

(1, 3) 195.7 0.174 195.4 0.174 195.4210 0.1737

Для тришарової прямокутної пластини з м’яким середнім шаром і зовнішні-

ми шарами з алюмінію було проведено порівняння власних частот з даними

експерименту з роботи Raville M. E., Ueng C. E. S.***) . Параметри пластини:

a = 1,829 м, b = 1,219 м, h1 = h3 = 0,406 мм, h2 = 0,635 мм, E1 = E3 = 70,23·ГПа,

ν1 = ν3 = 0,33, G1 = G3 = 26,4 ГПа, ρ1 = ρ3 = 2,82·103 кг/м3, Ex(2) = Ey

(2) = 137 МПа,

Gxz(2) = 137 МПа, Gyz

(2) = 52.7·МПа, ρ2 = 124.1 кг/м3. Результати порівняння наве-

дено в табл. 3.2.

*) 1. Johnson C. D., Kienholz D. A. Finite element prediction of damping in structures with con-

strained viscoelastic layers. AIAA J, 1982. Vol. 20. P. 1284-1290. **) 2. Cupial P., Niziol J. Vibration and damping analysis of a three-layered composite plate with a

viscoelastic mid-layer. J. of Sound and Vibration, 1995. Vol. 183, No.1, pp. 99-114. ***) 3. Raville M. E., Ueng C. E. S. Determination of natural frequencies of vibration of a sand-

wich plate // Experimental Mechanics. – 1967. – Vol. 7, No. 11. – P. 490-493.

151

Таблиця 3.2

Результати порівняння власних частот коливань для тришарової пластини з

м’яким середнім шаром і зовнішніми шарами з алюмінію

f, Гц f, Гц Форма (n, m) 3 (експе-

рим.) Дана робота

Форма (n, m) 3 (експе-

рим.) Дана робота

(1, 1) -- 23.3995 (5, 1) 188 191.0441

(1, 2) 69 70.6263 (5, 2) 235 234.2583

(1, 3) 152 145.6886 (5, 3) 303 303.1484

(1, 4) 246 243.7482 (5, 4) 403 393.8238

(1, 5) 381 360.0522 (5, 5) 518 502.0152

(1, 6) 509 489.8825 (6, 1) 269 265.1010

(2, 1) 45 44.8430 (6, 2) 318 306.6474

(2, 2) 92 91.5442 (6, 3) 371 373.0123

(2, 3) 169 165.7159 (6, 4) 471 460.5881

(2, 4) 262 262.8586 (6, 5) 576 565.3843

(2, 5) -- 378.0888 (7, 1) 357 350.5418

(3, 1) 78 80.2544 (7, 2) 402 390.2534

(3, 2) 129 126.0929 (7, 3) 455 453.8294

(3, 3) 199 198.9480 (7, 4) 554 537.9678

(3, 4) 305 294.4784 (8, 1) 462 446.4864

(3, 5) 420 407.9598 (8, 2) 488 484.2489

(4, 1) 133 129.1877 (8, 3) 557 544.8486

(4, 2) 177 173.8497 (9, 1) 559 552.0212

(4, 3) 243 244.9259 (9, 2) 610 587.7691

(4, 4) 343 338.2784 (10, 1) 688 666.2253

(4, 5) 445 449.3910 (10, 2) 808 788.1936

Для тришарової пластини з параметрами, наведеними вище (стор. 148), було

проведено порівняння визначених частот коливань на ,n m -й формі коливань з

152

даними роботи [268], результати порівняння (табл. 3.3) свідчать про хорошу від-

повідність.

Таблиця 3.3

Результати порівняння частот коливань (гц) тришарової пластини (рис. 3.5, а)

на декількох формах

Форма

n m MSSA, [268]

3D FE, [268]

Дана робота

1 1 13,492 13,524 13,965 1 2 19,770 19,794 20,254 1 3 31,733 31,772 32,211 2 1 40,678 40,994 45,102 2 2 44,442 44,688 48,907 1 4 47,810 47,895 48,294 2 3 52,325 52,480 56,679 2 4 64,566 64,645 68,676 1 5 66,565 66,708 67,057 1 6 87,064 87,245 87,559 1 7 108,727 108,884 109,213

3.6 Скінченно-елементні моделі циліндричних оболонок

Використання сучасних матеріалів приводить до необхідності розробки но-

вих математичних моделей, які у повній мірі відображають можливості цих

матеріалів. Особливо це стоcується моделей багатошарових оболонок, де класи-

чні підходи, характерні для динаміки тонкостінних оболонок з ідеально-

пружними шарами, виявляються неприйнятними. У даному підрозділі розгляда-

ються оболонки, у складі яких використовуються композиційні в'язкопружні і

електров'язкопружні матеріали, за допомогою яких можна забезпечити необхід-

ний рівень демпфування коливань, що виникають при нестаціонарних

навантаженнях, зокрема при ударних, сейсмічних, кінематичних навантаженнях.

153

Згідно із запропонованою вище методикою розрахунку елект-

ров’язкопружних систем, рівняння коливань довільної демпфованої конструкції

у просторі інтегральних перетворень Фур’є при нульових початкових умовах має

вигляд

ˆ ˆˆi i Z q F .

де 2ˆ ˆ( ) ( ) ( )i i i Z K M – матриця динамічної жорсткості.

Матриці жорсткості ˆ ( )iK , мас М і зовнішніх навантажень ˆ iF визнача-

ються інтегралами

ˆˆ ˆ( ) ( ) , , ( ) .T T T

tV V S

i i dV dV i dS K AN AN M N ρN F N F

У відповідності з алгоритмом застосування МСЕ матриця динамічної жорс-

ткості ˆ ( )iZ формується з матриць окремих елементів, що приводить до

необхідності одержання матриць динамічної жорсткості скінченних елементів

відповідної форми.

Для моделювання циліндричних оболонок побудовано матриці динамічної

жорсткості кільцевого елемента прямокутного перерізу, кільцевого ізопарамет-

ричного елемента, просторових ізопараметричних елементів, які дозволяють

побудувати скінченно-елементну модель довільної оболонки. Методику побудо-

ви матриць наведено у наступних підрозділах.

3.6.1 Кільцевий 8-вузловий елемент

Функції узагальнених переміщень мають вигляд:

1 1 1 1

1 1 1 1

cos sin sin cos

cos sin cos sin

, ,

, ,

r r r rs a s an n n n

n n n nr r r r

s a s an n n n

n n n n

v v

w n

U u n u n V n n

W w n Ф n n

(3.59)

де , ,s s sn n nu v w , – симетричні переміщення точок елемента, , ,a a a

n n nu v w – асимет-

ричні переміщення; ,s an n – відповідні потенціали.

154

Для апроксимації узагальнених переміщень у межах 8-вузлового елемента

використаємо пробні функції:

2

1 5

2

2 6

3

1 1( , ) 1 1 1 , ( , ) 1 1 ,

4 2

1 1( , ) 1 1 1 , ( , ) 1 1 ,

4 2

1( , ) 1 1 1

4

x z x z x zf x z f x z

a h a h a h


a h a h a h

x z x zf x z

a h a h

2

71

, ( , ) 1 1 ,2

x zf x z

a h

(3.60)

2

4 81 1

( , ) 1 1 1 , ( , ) 1 1 .4 2


a h a h a h

З урахуванням (3.59) симетричні і асиметричні узагальнені переміщення за-

пишемо у матричному вигляді

,s s s a a an xz n xz U = N N q , U = N N q (3.61)

де ,s an nU U – вектори, відповідно, симетричних і асиметричних n-х форм коли-

вань;

xz N матриця функцій апроксимації переміщень точок елемента (4х32):

1 0 0 0 2 0 0 0 8 0 0 0

0 1 0 0 0 2 0 0 0 8 0 0,

0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 8 0

0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 8

xz

N N N

N N N

N N N

N N N

N

cos 0 0 0

0 sin 0 0,

0 0 cos 0

0 0 0 cos

sin 0 0 0

0 cos 0 0,

0 0 sin 0

0 0 0 sin

s

a

n

n

n

n

n

n

n

n

N

N

(3.62)

1 1 1 1 8 8 8 8( , ..., ) ,s s s s s s s s s Tu v w u v wq q q q q q q q q

155

1 1 1 1 8 8 8 8( , ..., ) .a a a a a a a a a Tu v w u v wq q q q q q q q q (3.63)

Деформації мають вигляд

s a s s a axz xz ε ε ε A(N N )q A(N N )q , (3.64)

де A – матриця диференційних операторів для кільцевого елемента:

0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0

,1 1

0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0

T

x z r

rr z x

r z r x

x r z

A (3.65)

( r R z ).

Запишемо деформації у вигляді

,s s s s a a a an n n xz n n n xz ε L Α N q ε L Α N q , (3.66)

де

0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0

,1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

T

s a sn n n

n

x z rn

r z r xn

r z r xn

x r z

A A A , (3.67)

(cos cos cos sin cos sin cos cos cos ) ,

(sin sin sin cos sin cos sin sin sin ) ,

s Tn

a Tn

diag n n n n n n n n n

diag n n n n n n n n n

L

L (3.68)

З урахуванням ідентичності операторів a sn n n A A A матрицю жорсткості

елемента одержимо, підставивши значення деформацій (3.64) в інтеграл енергії

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆH Hn n n

V

dV ε ε q K q . (3.69)

156

Після перетворень одержимо матрицю жорсткості елемента при коливаннях

по n-й кільцевій формі:

2

0

ˆ ˆ ˆˆ ˆ, ,ˆ ˆ ˆ

n n sa hss sa

n nn n aa h as ss

Rd dzdx

K K qK q

K K q (3.70)

де

2 2

0 0

2 2

0 0

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,

ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,

ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

n T ss n T sa n T as n T aass sa as aa

T Tss s s sa s axz xz n n n n

T Tas a s aa a an n n n

d d

d d

K = B C B K = B C B K = B C B K = B C B

B = B N C = L L C = L L

C = L L C = L L

(3.71)

0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0

,1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

T

xz

n

x z rn

r z r xn

r z r xn

x r z

B (3.72)

Як видно з (3.72), різниця між симетричними і асиметричними коливаннями

має місце тільки за рахунок матриць ˆ ˆias saC C . Для ортотропного матеріалу вони

будуть однаковими, тому різниці між симетричними і асиметричними коливан-

нями у цьому випадку не буде.

Матриця мас визначається інтегралом

2

0

0( )

0

sa hns a

n n n aa h n

R z dzdxd

uM u u

u. (3.73)

(– густина матеріалу n-го шару).

Синтез оболонки проводиться за стандартною методикою МСЕ у варіанті

методу переміщень.

157

3.6.2 Кільцевий ізопараметричний елемент

Введемо циліндричну систему координат, пов’язану з елементом згідно з

рис. 3.9.

Рис. 3.9. Кільцевий ізопараметричний елемент

У загальному випадку зовнішнє навантаження можна подати у вигляді роз-

винення у ряд Фур’є за окружною координатою :

,s an n n

n

T N N F (3.74)

де , cos sin cos ,x

Tsn

r

T

T diag n n n

T

T N

sin cos sin ,

.

Tan

Ts s s a a an xn n rn xn n rn

n n n

F F F F F F

N

F

Індексами s і a позначено, відповідно, симетричні і асиметричні компонен-

ти складових навантаження у напрямку координатних осей x,, r.

Аналогічно (3.74) можна записати розвинення для переміщень:

158

, ,

.

s an n n x r

n

s s s a a an xn n rn xn n rn

Tu u u

Tu u u u u u

u N N u u

u

(3.75)

У свою чергу, виходячи з положень методу скінченних елементів, компоне-

нти переміщень ,nu які є функціями координат x, r, запишемо за допомогою

функцій інтерполяції N(x, r) через переміщення вузлів (точніше, вузлових кіл)

елемента.

Координати точок поперечного перерізу кільцевого елемента визначаються

за допомогою інтерполяційних поліномів з використанням локальної системи

координат (рис. 3.9):

, ,i

i

xx

rr

N (3.76)

де x, r – координати довільної точки перерізу кільця, ,i ix r – координати вузло-

вих точок перерізу; і = 1..4 при лінійній інтерполяції переміщень, і = 1..8 – при

параболічній; N( – матриця функцій інтерполяції

1 2

1 2

0 0 0, ,

0 0 0m

m

f f f

f f f

N

(3.77)

(m – кількість вузлових точок).

Для ізопараметричних елементів ті ж функції використовуються і для інтер-

поляції переміщень:

, , ,s an n n u N q N q (3.78)

де ,s an nq q – вектори симетричних і асиметричних складових переміщень вузлів

елемента:

1 1 1 2 2 2 , ( ),Ts s s s s s s s s s

n u v w u v w mu mv mwq q q q q q q q q s a q (3.79)

У відповідності з (3.75), переміщення точок елемента можна записати у ви-

гляді

159

0

( , , ),s s a an n n n

n

u N N q N N q (3.80)

1 2

1 2

1 2

0 0 0 0 0 0

, 0 0 0 0 0 0 .

0 0 0 0 0 0

m

m

m

f f f

f f f

f f f

N

Деформації у глобальній системі координат визначаються залежностями

Коші

,ε = Au (3.81)

де А – матричний диференційний оператор:

10 0 0

1 10 0 0 .

10 0 0

T

x r r

r r r x

r r x

A (3.82)

З урахуванням (3.80), (3.81), одержимо

0

, ,

, 0, .

0 ,

Ts a

n

s a

ε AN N q q q q

NN N N N

N

(3.83)

Фізичні залежності задаються у вигляді зображень інтегральних рівнянь

електров’язкопружного матеріалу у просторі перетворень Фур’є за методикою,

запропонованою у Розділі 2.

Матриці комплексної жорсткості і мас елемента визначаються інтегралами:

ˆˆ ( ) ( ) ,

.

T

V

T

V

i i dV

dV

K AN N AN N

M N N ρ N N

(3.84)

Інтеграли (3.84) доцільно обчислювати у локальних координатах. Для цього

необхідно врахувати залежності між похідними у локальних і глобальних коор-

динатах:

160

1 , .

x r

xx r

r

J J (3.85)

Матриця диференційних операторів А(x, r, ) у локальних координатах на-

буває вигляду

11 51 61

22 42 62

23 33 43 53

0 0 0

( , , ) 0 0 0 ,

0 0

T

l

a a a

a a a

a a a a

A (3.86)

де

11 1 2 22 23

33 1 2 42 33 43 22

1 1, , ,

1, , ,

a n n a ar r

a m m a a a ar

153 11 51 33 61 22 62 11 1, , , , ,i

Na a a a a a a a m x

J

1 1 1

1 2 2, , .i i iN N N

n r n r m x

J J J

Матриці комплексної жорсткості і мас елемента (3.84) визначатимуться ін-

тегралами

2 1 1

0 1 1

2 1 1

0 1 1

ˆˆ ( ) ( ) det ,

det .

T

l l

T

i i r d d d

r d d d

K A N N A N N J

M N N ρ N N J

(3.87)

Одержимо вираз для матриці зовнішніх навантажень. Якщо навантаження

задане проекціями на осі глобальної системи координат і діє на поверхнях еле-

мента = 1, матриця навантажень визначається інтегралом

1 2

1 2 1 2

1 21 0 1 0

, , 1 , , 1 .T Tl ldl rd dl rd

F N F N F (3.88)

161

Інтеграли (3.87), (3.88) обчислюються числовими методами, зокрема за до-

помогою квадратури Гауса [80].

Застосування розглянутих моделей для аналізу нестаціонарних коливань на-

ведено у наступних розділах.

3.7 Нестаціонарні коливання дисипативних тонкостінних пластин і

оболонок

Задачі аналізу реакції тонкостінних конструкцій на дію короткочасних на-

вантажень, зокрема, навантажень імпульсного типу, виникають при проектуванні

конструкцій авіаційної і космічної техніки, різних морських і сухопутних об'єк-

тів, при вивченні дії на конструкції вибухової хвилі або звукового удару. Подібні

задачі представляють інтерес також при аналізі реакції споруд на землетруси,

при вивченні руху транспортних засобів по нерівній поверхні тощо. При імпуль-

сному навантаженні тонкостінних конструкцій виникають нестаціонарні

коливання, амплітуда і тривалість яких може перевищувати допустимі межі. Су-

часні методи аналізу таких коливань орієнтовано на застосування чисельних

розв'язків у часовому просторі. Запропонований метод використання інтеграль-

ного перетворення Фур'є, орієнтований на використання швидкого оберненого

перетворення Фур'є, має ряд переваг, які продемонсnровано на численних прик-

ладах у наших публікаціях [58, 168]. Нижче наведено приклади аналізу

нестаціонарних коливань композитних пластин і оболонок з використанням роз-

роблених моделей, зокрема, розраховано реакції скінченно-елементних моделей

пластин і циліндричних оболонок із композиційних матеріалів на дію нестаціо-

нарних навантажень у вигляді імпульсів, ударів, детермінованих реалізацій

сейсмічних збуджень.

162

3.7.1 Коливання композитної пластини при дії імпульсних навантажень

Розглядалися коливання жорстко закріпленої по контуру пластини

(рис. 3.10, а), виготовленої з армованого волокнами КМ з в'язкопружними влас-

тивостями, при дії імпульсних навантажень різної форми в часі, рівномірно

розподілених по поверхні пластини. Аналізувалася реакція пластини при різних

кутах армування, коефіцієнтах армування і декрементах коливань матеріалу ос-

нови. Пластина моделювалася прямокутними скінченними елементами

(рис. 3.10, б) з КМ.

Одержано матриці жорсткості ˆ ( )iK і мас М для елемента з 16-ма узагаль-

неними координатами. Вибір елемента обумовлений двома причинами: елемент є

сумісним і забезпечує збіжність до точного результату при подрібненні сітки, а

оскільки розглядається тонка пластина, додаткове ускладнення елемента з метою

врахування деформацій зсуву і стиснення по товщині себе не виправдовує [3].

а

б

Рис. 3.10. Скінченно-елементна модель пластини (а) та скінченний елемент (б)

163

При розділенні пластини на скінченні елементи обмежувалися 16-ма елеме-

нтами, оскільки подальше збільшення кількості елементів приводило до

однакових результатів. Розміри пластини 1 1 0,01 м.

Характеристики матеріалів основи і армуючих волокон:

– комплексні модулі зсуву та об'ємної деформації для армуючого матеріалу:

10 91

ˆ 5,2 10 1,6 10G i Па ;

11 91

ˆ 2.6 10 8 10K i Па ;

– комплексні модулі зсуву та об'ємної деформації для матеріалу основи:

8 72

ˆ 4 10 8 10G i Па ;

9 82

ˆ 2 10 4 10K i Па .

Фізичні рівняння для матеріалів, які складають композит, описуються ліній-

ними інтегральними рівняннями (2.3). Розрахункова модель пластини будується

за допомогою МСЕ у просторі перетворень Фур'є, що дозволяє використовувати

комплексні модулі матеріалів – складових композита як фізичні параметри.

Ефективні характеристики КМ розраховувалися з урахуванням структури

матеріалу, відповідно до методики, наведеної у Розділі 2. Відповідні рівняння у

просторі перетворень Фур'є при плоскому напруженому стані спрощуються до

вигляду

11 12 13

21 22 23

31 32 33

ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ , ( , , )

ˆ ˆ ˆ ˆˆ

x x

y y ij ij

xy xy

C C C

C C C

C C C

σ C C , (3.89)

де компоненти 11 33ˆ ˆC C є функціями частоти і параметрів армування , –

кутів і коефіцієнтів армування.

Матриці динамічної жорсткості скінченного елемента і пластини в цілому

одержано з використанням традиційної методики скінченно-елементного синте-

зу:

2ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ,i i i Z K M (3.90)

де ˆ ( )iK – матриця жорсткості; M – матриця мас; – частота.

164

Рівняння коливань скінченно-елементної моделі пластини за нульових поча-

ткових умов має вигляд

ˆ ˆˆ( ) ( ),i i Z q F (3.91)

де q – зображення вектора узагальнених (вузлових) переміщень у просторі пе-

ретворень Фур'є; ˆ ( )iF – зображення Фур'є діючого навантаження.

Рівняння коливань у просторі перетворень Фур'є є лінійними алгебраїчними

рівняннями з комплексними коефіцієнтами. Після одержання розв'язку цієї сис-

теми рівнянь розв'язок у часовому просторі одержано за допомогою алгоритму

швидкого перетворення Фур'є:

1ˆ ˆˆ ( ) ( )i i q Z F , 1ˆ ˆ( ) ( )t i i q Z F (3.92)

Залежність переміщень серединної точки пластини від імпульсу, характер-

ного для звукового удару [112] для окремих значень кутів армування наведено на

рис. 3.11.

а б

в г

Рис. 3.11. Переміщення серединної точки пластини при дії імпульсу (а) для

різних значеннях кута і коефіцієнта армування (б-г)

165

Як видно, переміщення точок пластини залежать від форми імпульсу, кое-

фіцієнта і кута армування. Найбільш суттєвою є залежність від коефіцієнта

армування. На рис. 3.12, б наведено залежність максимальної амплітуди пере-

міщення серединної точки пластини від тривалості імпульсу синусоїдальної

форми (рис. 3.12, а).

Амплітуди переміщень є максимальними при деякому значенні тривалості

імпульсу. На величину і положення максимуму переміщення, окрім тривалості,

впливають параметри армування і геометричні параметри. На рис. 3.13, а, б на-

ведено графіки коливань серединної точки пластини (імпульс на рис. 3.12, а,

t = 0.03 с) при двох значеннях декрементів коливань матеріалу основи.

а б

Рис. 3.12. Імпульс синусоїдальної форми (а); залежність максимального

переміщення середньої точки пластини від тривалості імпульсу (б):

1) / 4, 0.5; 2) / 4, 0.2

а б

Рис. 3.13. Графіки коливань серединної точки пластини при значеннях

декремента коливань: а) 0,314 ; б) 0,628

166

Як видно, збільшення вдвічі декремента коливань привело до збільшення

швидкості затухання коливань, але практично не вплинуло на величину макси-

муму амплітуди переміщень.

3.7.2 Реакція циліндричної оболонки на дію імпульсних навантажень

На основі запропонованих вище моделей розглянемо реакцію циліндричної

оболонки (рис. 3.14, а) на дію імпульсних навантажень, імітуючих дію вибуху і

звукового удару та розподілених по поверхні оболонки. Скінченно-елементну

модель циліндричної оболонки та кільцевий 8-вузловий скінченний елемент по-

казано на рис. 3.14, б, в.

Рівняння коливань у частотному просторі при наявності зовнішніх сил, дію-

чих за довільним законом, і початкових збуджень у вигляді початкових

швидкості і переміщення, прикладених до заданих точок конструкції, має вигляд

20 0

ˆˆ) ( )ˆ ˆ ˆ( ( ) ( ) ( ) t tii i i M q MqK F Mq , (3.93)

де

ˆˆ ˆ ˆ( ) ( )( ) , ( ) ( ( )), ( ) ( ( )) T

V

i i dV i t i t K AN AN F P q q

Для визначення реакції на кінематичні збудження використовувався розв'я-

зок системи (3.93) за допомогою алгоритму швидкого перетворення Фур'є.

Рівняння коливань при нульових початкових умовах мають вигляд

2ˆ ˆˆ( ( ) ( ) ) ( ),i i q i K M F (3.94)

де ˆ ( )iK – матриця жорсткості, М – матриця мас, – частота коливань, ˆ ( )iF –

пряме перетворення Фур’є навантаження, q – зображення вектора переміщень

вузлових точок скінченно-елементної моделі оболонки.

Зображення переміщень вузлових точок оболонки визначено за формулою

2 1ˆ ˆˆ ( ( ) ( ) ) ( ),i i i q K M F (3.95)

після чого переміщення у часовому просторі знайдено за допомогою швидкого

перетворення Фур’є.

167

. а

б в

Рис. 3.14. Циліндрична оболонка, розділена на кільцеві скінченні елементи,

під дією торцевого та радіального навантаження (а); скінченно-елементна схема

оболонки (б), кільцевий 8-вузловий скінченний елемент (в)

На рис. 3.16, 3.17, 3.18 наведено результати розрахунку реакції оболонки на

дію короткочасного навантаження у вигляді -функції (рис. 3.15, а) по торцевій

площі консольно закріпленої оболонки*) (рис. 3.13, а), а також імпульсного нава-

нтаження звуковим ударом від літака і від ядерного вибуху [112] (рис. 3.15, б, в).

*) Імпульс розподілено по кільцевій площі початкового поперечного перерізу.

168

а б

в

Рис. 3.15. Імпульсні навантаження від: дельта-функції (а), вибухової хвилі (б),

звукового удару (в)

Рис. 3.16. Осьові переміщення торця оболонки при дії дельта-імпульсу

у радіальному напрямі 9

Рис. 3.17. Графік переміщень по 45-й координаті від вибухової хвилі

169

а

б

в Рис. 3.18. Графіки переміщень по 39-й координаті (рис. 3.14, б) при 0,1

для трьох варіантів кута армування:

) 0, ) / 4, ) / 2a б в

Як видно, змінюючи параметри армування, можна суттєво змінювати амплі-

туду переміщень. Звичайно, можливість варіювання структури оболонки

визначається не тільки декрементом коливань і параметрами армування – необ-

хідно враховувати й інші конструктивні параметри, тобто задача проектування

оболонки є багатопараметричною. Розроблені моделі і метод нестаціонарного

170

аналізу можуть бути основою для постановки задач оптимального проектування

композитних оболонок, які буде розглянуто у наступних розділах.

3.7.3 Нестаціонарні коливання конічної оболонки

Методика синтезу конструкцій з використанням матриць динамічної жорст-

кості співпадає із загальною методикою скінченно-елементного і

суперелементного синтезу, за виключенням того, що операції проводяться з ком-

плексними матрицями, і система рівнянь, що описує коливання конструкції,

розглядається у просторі перетворень Фур’є. Розв’язок одержуємо у вигляді век-

тора комплексних координат, обернене перетворення якого дає дійсну реакцію

системи на зовнішнє навантаження. Методику реалізовано у вигляді програм ро-

зрахунку оболонок з довільними умовами закріплення і довільною кількістю

шарів матеріалів, серед яких можуть бути конструкційні (несучі) і демпфуючі.

Розподілення навантаження по оболонці може бути довільним як по просторо-

вих, так і по часовій координатах. Синтез конструкцій у просторі перетворень

Фур’є дозволяє використати експериментальні дані щодо комплексних модулів

матеріалів, врахувати їх залежність від частоти коливань і одержати реакцію

конструкції на дію навантаження довільного спектрального складу. Методика

дозволяє без ускладнень врахувати анізотропію пружних і демпфуючих власти-

востей матеріалу, а також залежність їх від параметрів структури.

Розглянемо задачу коливань конічної оболонки з в’язкопружного армовано-

го матеріалу, на яку діє осесиметричне поздовжнє імпульсне навантаження. Для

побудови використано метод скінченно-елементного моделювання у просторі ін-

тегральних перетворень Фур’є, який було запропоновано у роботах [58, 168], і

який розвивається у дисертації.

Досліджено зміну реакції оболонки на дію імпульсного навантаження у за-

лежності від конструкційних параметрів і розсіювання енергії у матеріалі.

Залежність між напруженнями і деформаціями для в'язкопружного матеріа-

лу у частотній області має вигляд (Розділ 2):

171

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ),i i i σ C ε (3.96)

де ˆ ( )iC – матриця комплексних модулів для в'язкопружного КМ;

ˆ ˆ( ), ( )i i σ ε – зображення напружень та деформацій у просторі перетворень

Фур’є.

Компоненти матриці ˆ ( )iC визначаємо за методикою, запропонованою у

Розділі 2 для моношару армованого в'язкопружного матеріалу (рис. 3.19).

Рис. 3.19. Моношар композиційного армованого матеріалу: φ – кут армування

У цьому випадку композиційний матеріал є ортотропним, для якого матриця

ˆ ( )iC має вигляд

11 12 13

21 22 23

31 32 33

44

55

66

ˆ ˆ ˆ 0 0 0

ˆ ˆ ˆ 0 0 0

ˆ ˆ ˆ 0 0 0ˆ ( )ˆ0 0 0 0 0

ˆ0 0 0 0 0

ˆ0 0 0 0 0

C C C

C C C

C C Ci

C

C

C

C , (3.97)

де ˆijC – комплексні модулі двофазного композиційного матеріалу.

Для побудови моделі оболонки використано кільцевий скінченний елемент

конічної оболонки на основі шестивузлового ізопараметричного елемента

(рис. 3.20).

172

Рис. 3.20. Шестивузловий ізопараметричний кільцевий скінченний елемент:

R – радіус; a – довжина; h – товщина

Функції апроксимації переміщень вузлів елемента мають вигляд:

21

1(1 )(1 ) (1 )(1 )

4N , 2

21

(1 )(1 )2

N ,

23

1(1 )(1 ) (1 )(1 )

4N ,

24

1(1 )(1 ) (1 )(1 )

4N , (3.98)

25

1(1 )(1 )

2N , 2

61

(1 )(1 ) (1 )(1 )4

N .

При використанні такого елемента одержуємо лінійну апроксимацію пере-

міщень по товщині оболонки і квадратичну апроксимацію вздовж зовнішньої та

внутрішньої поверхонь. За необхідності точнішого врахування деформацій зсуву

можна замінити 6-вузловий елемент на 8- чи 12-вузловий.

Матриці жорсткості, мас і вектора зовнішніх навантажень одержано у ви-

гляді

1 1

1 1

ˆˆ ( ) ( ) ( ) det ,T Ti R d d

K AN Λ CΛ AN J (3.99)

1 1

1 1

det ,T R d d

M N ρN J ˆ ( ) Tt

S

i dS F N F ,

де А – матриця диференційних операторів, C – матриця комплексних модулів,

N – матриця функцій інтерполяції, R – радіус, Λ – матриця повороту локальної

173

системи координат до глобальної, ρ – густина матеріалу, tF – вектор наванта-

ження у часовому просторі, J – матриця Якобі.

Інтеграли (3.99) обчислюються чисельно за формулою [80]:

1 1

( , ),n n

i j i ji j

I H H f

(3.100)

де ( , )i jf – значення підінтегрального виразу для точки ξ = ξi, η = ηj;

Hi, Hj – вагові коефіцієнти, які залежать від способу обчислення інтеграла.

Скінченно-елементну модель оболонки було побудовано з десяти елементів

(рис. 3.21).

Рівняння скінченно-елементної моделі оболонки у просторі перетворень

Фур'є при нульових початкових умовах мають вигляд

ˆ ˆˆ( ) ( )i i Z q F , (3.101)

де ˆ ( )iZ – комплексна матриця динамічної жорсткості:

2ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ,i i i Z K M (3.102)

ˆ ( )iK – комплексна матриця жорсткості оболонки,

М – матриця мас оболонки,

ˆ ( )iF – зображення Фур’є вектора зовнішнього навантаження.

Рис. 3.21. Скінченно-елементна модель конічної оболонки: Р – імпульс

навантаження; L – довжина оболонки; α – кут нахилу оболонки;

φ – кут укладення волокон

174

Переміщення системи у частотному просторі знайдемо, розв’язавши рівнян-

ня (3.101)

1ˆ ˆˆ ( ) ( )i i q Z F (3.103)

Для знаходження розв’язку у часовому просторі використовується обернене

швидке перетворення Фур’є:

1ˆ ˆ( ) ( )t i i q Z F

Для прикладу розглянемо коливання конічної оболонки з різними парамет-

рами армування. Будемо вважати, що на торець конструкції діє осьовий імпульс

навантаження (рис. 3.22).

Рис. 3.22. Форма імпульсу зовнішнього навантаження

Розміри оболонки: довжина – L = 2 м; радіус торця – R = 0.5 м; товщина –

h = 0.01 м; кут нахилу оболонки – α = 30°; довжина скінченного елемента –

a = 0.2 м; кількість скінченних елементів – n = 10.

Параметри матеріалу оболонки:

– дійсні частини комплексних модулів матеріалу армуючих волокон

10 91 2,6 10 ; 1 5,2 10K Па G Па ;

– дійсні частини комплексних модулів матеріалу основи

8 72 2 10 ; 2 4 10K Па G Па ;

– декремент коливань матеріалу основи d2 = 0,628;

– декремент коливань армуючого матеріалу d1 = 0,097;

– коефіцієнт армування η = 0,5;.

175

Для перевірки працездатності моделі було визначено переміщення по коор-

динаті 4 (рис. 3.21) при значенні кута конусності α = 0° (циліндрична оболонка)

та проведено порівняння з відповідним переміщенням для аналогічної циліндри-

чної оболонки, побудованої за допомогою прямокутних 6-вузлових кільцевих

елементів, графіки коливань у двох випадках показано на рис. 3.23.

а

б

Рис. 3.23. Графіки поздовжніх коливань торця оболонки:

а) конічна оболонка при α = 0°; б) циліндрична оболонка

Максимальні значення переміщень для конічної та циліндричної оболонок

склали відповідно 41,189 10X м та 41,175 10X м. Різниця між значеннями

переміщень склала 1,17 %.

Визначимо залежність між поздовжніми переміщеннями торця оболонки та

кутом армування φ при різних значеннях коефіцієнта армування η. Розрахунок

будемо проводити для значень φ = 0, π/6, π/4, π/3, π/2 та η = 0,1; η = 0,3; η = 0,8.

Із графіків, наведених на рис. 3.24, видно, що при збільшенні кута армуван-

ня, а також при збільшенні коефіцієнта армування переміщення суттєво

176

зменшуються. Таким чином, можна сказати, що за допомогою зміни параметрів

армування можна впливати на динамічні характеристики конструкції.

Рис. 3.24. Графіки залежності переміщень Х від кута армування при

коефіцієнті армування: 1) η = 0,1; 2) η = 0,3; 3) η = 0,8


1. Запропоновано нові варіанти теорії багатошарових конструкцій, в яких

використовуються матеріали з електров'язкопружними параметрами, і методику

використання інтегрального перетворення Фур'є, що дозволяє розраховувати не-

ідеально-пружні характеристики композитних конструкцій на етапі їх

проектування і відкриває можливості побудови проектів конструкцій із заданими

параметрами, зокрема з максимальним демпфуванням.

2. Запропоновано нові конструктивні схеми і алгоритми визначення критері-

їв, їх прийнятності при використанні на етапі проектування оптимальних

композитних конструкцій., які забезпечують високий рівень розсіювання енергії.

3. Запропоновано новий метод розв'язання задач динаміки неідеально пруж-

них композитних конструкцій і визначення критеріїв оцінки якості побудованих

моделей, який базується на використанні варіаційних методів у згортках для за-

безпечення коректного переходу до частотного простору і методу інтегральних

177

перетворень Фур'є, а також чисельного методу переходу до часового простору за

допомогою швидкого перетврення Фур'є.

4. Розглануто приклади розрахунку і застосування розроблених моделей

конструкцій для оцінки можливості їх використанні у задачах оптимального про-

ектування композитних конструкцій із заданими параметрами.

Показано можливість коректного врахування розсіювання енергії у задачах

коливань конструкцій з неідеально пружних матеріалів з електров'язкопружними

властивостями на початковому етапі проектування.

Результати Розділу 3 представлено у [51, 56, 57, 60, 61, 62, 64, 70, 71, 72,

175].

178

РОЗДІЛ 4

МЕТОД ГЛОБАЛЬНОЇ ПАРАМЕТРИЧНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ

НА ОСНОВІ ГЕНЕТИЧНОГО АЛГОРИТМУ

Зростання вимог до сучасних машин і агрегатів, працюючих в умовах дина-

мічних навантажень, та необхідність забезпечення оптимальних значень таких

визначальних критеріїв у задачах динаміки, якими є маса, частотний спектр, рі-

вень демпфування коливань, час затухання виникаючих коливань, міцність,

жорсткість тощо, приводять до необхідності створення матеріалів і конструкцій

зі спеціальними властивостями, зокрема, композитних.

Армовані волокнами КМ відрізняються від однорідних матеріалів можливі-

стю широкого варіювання фізико-механічних характеристик для одержання

матеріалів із наперед заданими параметрами. Реалізація цієї властивості пов'яза-

на з використанням методів оптимізації, оскільки за великої кількості проектних

параметрів проста оцінка якості проекту втрачає сенс.

Очевидно, що реалізація переваг сучасних КМ є можливою тільки при вико-

ристанні методів оптимального проектування. Однак спроби використання

класичних методів оптимізації при проектуванні композитних конструкцій на-

штовхнулися на труднощі, пов'язані з їх неспроможністю знаходити розв'язок

задачі оптимізації реальної конструкції з великою кількістю проектних парамет-

рів [135].

Виявилося, що для ефективного проектування оптимальних конструкцій з

неідеально-пружних КМ потрібно, крім побудови адекватних математичних мо-

делей таких матеріалів і конструкцій із них, використання відповідних методів

оптимізації, які здатні "подолати" багатоекстремальність задач оптимізації і є не-

чутливими до кількості проектних параметрів.

Можна виділити дві істотно різні групи методів за критерієм використання

похідних цільової функції:

1. Прямі методи, що потребують обчислення значень цільової функції в точ-

ках;

179

2. Методи першого і другого порядку, що потребують обчислення похідних

цільової функції.

Методи з використанням похідних одержують інформацію про рельєф ці-

льової функції за допомогою обчислення градієнта або матриці Гессе і на основі

цих даних шукають екстремум. Ці методи давно відомі і достатньо детально дос-

ліджені в багатьох роботах [155, 156, 210, 240, 344], як було показано в Розділі 1.

Однак при складному рельєфі (багатоекстремальність, негладкість) і немож-

ливості аналітичного визначення похідних цільової функції використання таких

методів втрачає свої основні переваги, оскільки:

– потребує обчислення похідних за допомогою чисельних методів, що упо-

вільнює процес пошуку екстремуму, особливо у задачах великої розмірності;

– результатом пошуку часто стає локальний екстремум.

В таких умовах стають більш ефективними прямі пошукові методи, що не

використовують похідні і не потребують знання похідних цільової функції у яв-

ному вигляді. Серед цих методів можна виділити дві групи: детерміновані і

стохастичні методи.

До детермінованих методів відносяться методи направленого пошуку (по-

шук за зразком – методи Хука-Дживса, Розенброка, симплекс-методи – метод

Нелдера-Міда, метод спряжених напрямів Пауелла, метод ЛП-пошуку тощо. Ре-

зультат роботи таких методів залежить в основному від вибору початкової точки

[155, 156, 210].

Стохастичні методи використовують елемент випадковості для збільшення

ймовірності потрапляння до глобального екстремуму. Серед цих методів можна

виділити методи випадкового пошуку і еволюційні алгоритми. Еволюційні мето-

ди оперують великими масивами точок, які в результаті імітації деяких

природних стохастичних процесів рухаються в бік екстремуму.

З розвитком та зростанням потужності комп'ютерних технологій розмір і

складність проблем, які можуть бути вирішені з використанням методів оптимі-

зації, також зростає. У зв'язку з цим для вирішення багатопараметричних та

багатоекстремальних задач пошуку оптимальних рішень в галузі динаміки ком-

180

позитних конструкцій перспективними виявилися еволюційні методи, зокрема

генетичні, які використовуть принципи еволюційної теорії Дарвіна. Незважаючи

на однакову назву, варіанти генетичних алгоритмів суттєво відрізняються один

від одного, що потребує окремого підходу до кожного типу задач.

4.1 Постановка задач однокритеріальної оптимізації з використанням

обмежень на проектні параметри у багатоекстремальних і багатопарамет-

ричних задачах

Розглянемо задачі проектування оптимальних конструкцій з максимальним

демпфуванням при дії динамічних навантажень.

У загальному випадку задачу оптимізації сформульовано в такому вигляді:

Мінімізувати 1( ),... ( ),... ( )i nf x f x f x , 1( ,..., )dx x x ,

при ( ) 0, (1,2,..., )jh x j J , ( ) 0, (1,2,..., )kg x k K ,

де 1( ),... ( ),... ( )i nf x f x f x – критерії оптимізації (цільові функції),

( )jh x , ( )kg x – обмеження типу рівностей і нерівностей,

1( ,..., )dx x x – вектор параметрів оптимізації.

Якщо при 1n одержуємо задачу однокритеріальної оптимізації, то при

2n задача стає багатокритеріальною, методи розв'язання якої суттєво відріз-

няються від однокритеріальної задачі. У випадку лінійності функцій маємо

задачу лінійної оптимізації, яка розв'язується, наприклад, стандартним симплекс-

методом [210]. За відсутності обмежень це задача безумовної оптимізації.

Задачу оптимізації конструкцій за критерієм максимального демпфування

коливань сформулюємо у вигляді узагальненої задачі нелінійного програмуван-

ня:

Знайти вектор проектних параметрів optx ,

який забезпечує максимальне значення цільової функції

(характеристики демпфування) ( )оpt optx ,

при обмеженнях на параметри проекту:

181

0, ux (неявні обмеження), maxmin xxx (явні обмеження),

а також при умовах типу рівностей, якими є рівняння стану 0, uxZ .

Це так звана задача умовної глобальної оптимізації. Цільовими функціями,

як правило, вибираються маса, жорсткість, міцність, а для конструкцій, працюю-

чих при динамічних навантаженнях – амплітуди коливань, частоти, декременти

коливань, швидкість затухання нестаціонарних коливань тощо. Проектними па-

раметрами приймаються параметри структури матеріалу, геометричні розміри

конструкції, фізичні характеристики тощо.

Характерним для задач оптимізації композитних конструкцій є наявність ба-

гатьох екстремумів, що суттєво ускладнює пошук оптимальної конструкції. Тому

пошук оптимального або навіть субоптимального рішення для реальної задачі є

достатньо трудомістким завданням, оскільки не існує умов для глобального екс-

тремуму довільної функції, які можна було б легко перевірити. Більшість методів

оптимізації спрямовано на пошук локальних екстремумів, але, як показано вище

в огляді літератури, пошукові методи, основані на використанні метаевристич-

них алгоритмів, дозволяють суттєво збільшити ймовірність визначення

глобального екстремуму. Більшість із цих методів основані на характеристиках і

поведінці біологічних, молекулярних, комашиних та нейробіологічних систем,

зокрема, одним із найбільш універсальних, за свідченнями науковців, є методи

на основі еволюційних алгоритмів.

4.2 Обґрунтування використання методу оптимізації на основі генетич-

ного алгоритму

З усіх напрямів еволюційних обчислень найбільше поширення для вирішен-

ня сучасних задач оптимізації інженерних конструкцій набули генетичні

алгоритми (ГА), які концептуально засновані на теорії еволюції Дарвіна – вижи-

вання найбільш пристосованих особин, тобто на принципах еволюції і

природного відбору [107, 239, 275, 290]. Загальна ідея ГА полягає у представлен-

ні множини точок з області пошуку як "індивідів популяції", які за рахунок

182

операторів, аналогічних біологічним процесам "схрещування", "мутації" і "при-

родного відбору", пристосовуються до вибраного зовнішнього фактора, яким

виступає цільова функція ("fitness"). Значення цільової функції в точці визначає,

наскільки відповідний "індивід" є "пристосованим", тобто кращі значення цільо-

вої функції збільшують ймовірність відбору індивіда у наступні покоління і

участі його у схрещуванні. Популяція оновлюється з кожним поколінням за ра-

хунок генерації нових індивідів і видалення старих, у результаті кожна нова

популяція виявляється кращою з точки зору відповідності вимогам функції прис-

тосованості (цільової функції).

Генетичні алгоритми мають багато різних варіацій в залежності від вибору

форми представлення основних його елементів. Різні автори по-різному виділя-

ють основні структурні елементи генетичного алгоритму, які модифікуються у

відповідності з вирішуваною задачею [198, 290, 329]. Найбільш універсальним є

такий набір елементів:

1. Спосіб кодування точок області пошуку у вигляді індивідів популяції.

2. Спосіб вибору початкової популяції.

3. Алгоритм схрещування точок популяції.

4. Алгоритм мутації.

5. Спосіб відбору точок до наступного покоління.

6. Критерій завершення процесу.

Спосіб кодування точок – одна з найважливіших характеристик генетичного

алгоритму. Для генетичних операцій з точками необхідно співставити їм генети-

чний код. Історично першим способом такого кодування стало двійкове

кодування, запропоноване в роботах Голанда [293], з'явилися обґрунтування до-

цільності використання двійкового алфавіту для кодування хромосоми і

відповідні численні реалізації методу, які використовували попереднє кодування

і двійкові хромосоми, при цьому координати точки записуються у двійковому

форматі. Таке представлення дає змогу достатньо легко проводити операції з ін-

дивідами популяції в дискретному просторі та знаходити екстремум цільової

функції [290].

183

Однак, як виявилося, двійкове кодування має суттєві недоліки при пошуку у

неперервних просторах із необхідною точністю, що характерно саме для задач

оптимізації конструкцій. У зв'язку з цим для розв'язання задач оптимізації у дій-

сному (неперервному) просторі часто використовується інший розповсюджений

спосіб кодування точок за допомогою природного представлення у вигляді дійс-

них векторів, запропонований Голдбергом [282 283]. Таке представлення

ускладнює операції схрещування і мутації, однак сприяє більш якісному пошуку

екстремуму в ході еволюції. Такі алгоритми одержали назву дійсних генетичних

алгоритмів RGA (real-coded GA) на відміну від двійкових BGA (binary-coded GA)

[282].

Перевагами дійсного кодування є: зручність природного представлення

змінних у вигляді дійсних чисел; уникнення бар'єрів Хемінга та інших проблем

оперування з двійковим представленням чисел; менша кількість поколінь до до-

сягнення збіжності. Зокрема, у роботі Голдберга [283] за допомогою теорії

віртуальних алфавітів показано, що дійсне кодування у неперервних просторах

дає не гірші, а на практиці кращі результати, ніж двійкове.

ГА порівняно з традиційними методами оптимізації має такі переваги:

1. Замість однієї точки використовується популяція точок (множина векто-

рів проектних параметрів, які досліджуються). Якщо кількість проектних

параметрів п, розмір популяції звичайно приймається від 2п до 4п. Оскільки як

варіанти розв'язку використовується деяка кількість точок, то методи на основі

ГА менш імовірно зупиняються у локальному оптимумі.

2. ГА використовує тільки значення цільової функції, похідні в пошуковому

алгоритмі не використовуються.

3. У класичному двійковому ГА (Binary GA) проектні параметри представ-

ляються у вигляді рядків двійкових змінних, які відповідають хромосомам з

теорії еволюції. Тому цей пошуковий метод природно пристосований для розв'я-

зання дискретних і цілочисельних програмних задач. Для неперервних змінних

проектування (Real GA) довжина рядка може змінюватися для досягнення будь-

якого бажаного рішення.

184

4. Значення цільової функції, відповідне вектору проектних параметрів, грає

роль пристосованості у природній генетиці.

5. У кожній новій генерації замість старої популяції утворюється нова суку-

пність точок завдяки використанню випадково вибраних "батьків" і кросоверу.

Хоча тут і використовуються випадкові процеси, ГА не можна назвати повністю

стохастичним методом. ГА ефективно використовують нові комбінації з доступ-

ними відомостями для пошуку нової генерації з кращою пристосованістю або

значенням цільової функції [107, 329].

Генетичні алгоритми мають деякі недоліки порівняно з традиційними мето-

дами оптимізації. З одного боку, метод використовує лише прямі обчислення

цільової функції, не використовуючи похідні, але потребує істотно більшої кіль-

кості звернень до цільової функції. Для усунення цього недоліку можна

використовувати паралелізацію обчислень, яка достатньо легко проводиться для

генетичного алгоритму [10, 290]. Ще однією проблемою генетичних алгоритмів є

можливе виродження популяції, як правило, в області локального оптимуму.

Основні елементи еволюції – репродукція, кросинговер (кросовер) і мутація

– використовуються у стандартній процедурі пошуку. Вибір алгоритмів схрещу-

вання (кросоверу) і мутації залежить від способу кодування точок. Для

двійкового та дійсного кодування різні способи кросоверу і мутації розглядають-

ся в [290].

У представленій роботі розроблено варіант алгоритму RGA, який дозволяє

враховувати довільні обмеження як безпосередньо на проектні параметри, так і

на змінні стану.

Алгоритм розробленого генетичного методу глобальної оптимізації є таким:

1. Обирається початкова множина допустимих точок. Як початкову популя-

цію можна взяти множину випадкових точок, але бажано, щоб точки були

рівномірно розподілені по області визначення. Тому в роботі за початкову мно-

жину взято рівномірну послідовність Холтона [328].

Кількість точок у популяції є важливим параметром. При їх малій кількості

область визначення може бути недостатньо ними охоплена, і метод не зможе

185

знайти глобальний екстремум. Велика кількість точок призводить до збільшення

кількості обчислень, які можуть бути надлишковими, оскільки обчислення ці-

льової функції проводиться для кожної точки на кожному кроці ітерацій.

2. Серед точок популяції обираються пари для схрещування. Вибір таких

пар може проводитися різними способами, як правило, при цьому враховується

рівень їх пристосованості, тобто значення цільової функції в точках.

В роботі використано такий метод: популяція сортується за збільшенням ці-

льової функції; потім послідовно обираються випадкові точки, причому

ймовірність обрати точку ip , де і − її номер у відсортованій множині, пропор-

ційна 1N i , де N − кількість точок в популяції. Кожні дві послідовно обрані

точки формують пару для схрещування.

3. Для обраних пар виконується схрещування, в результаті якого генеруєть-

ся нова точка. Існують різні способи схрещування в дійсному просторі точок, у

даній роботі нові точки шукали так: кожна координата нової точки визначається

за формулою

( )i i i i iz x y x ,

де ,i ix y − відповідні координати "батьківських" точок X і Y;

21 3i ir , якщо X має менше значення цільової функції;

1 3i ir , якщо Y має менше значення цільової функції;

величина ir рівномірно розподілена на відрізку [0; 1] .

У випадку, якщо деяка координата точки виходить за межі допустимої обла-

сті, її значення прирівнюється до граничного значення цієї координати.

Розроблений спосіб кросоверу враховує пристосованість "батьківських" то-

чок, а також не дозволяє множині точок передчасно стискатися, що може

призвести до негативних наслідків.

4. Для деяких точок проводиться мутація − додавання випадкового вектора

нормально розподілених величин.

5. До нових точок, одержаних за допомогою схрещування і мутації, дода-

ються найкращі, "елітні", точки популяції. Всі ці точки формують нову

186

популяцію, для якої повторюються кроки 2-5. Існують різні критерії завершення

процесу: після фіксованої кількості поколінь або фіксованого часу обчислень; пі-

сля певної кількості поколінь без покращення цільової функції тощо. В роботі

використано критерій фіксованої кількості поколінь.

Розроблений метод дозволяє з достатньо великою ймовірністю одержувати

глобальний максимум цільової функції, оскільки розглядається рівномірно роз-

поділена по області визначення послідовність точок, таким чином, кінцевий

результат не залежить від вибору початкового значення вектора проектних пара-

метрів.

Схему алгоритму для оптимізації з обмеженнями на параметри оптимізації

наведено на рис. 4.1.

Для розробленого алгоритму реалізовано програмне представлення методу,

яке є універсальним і може використовуватися для глобальної і багатокритеріа-

льної оптимізації.

Процедура оптимізації на основі генетичних алгоритмів проводиться за до-

помогою розроблених програм-функцій genreal та genint, які сумісні з

розрахунковими математичними пакетами Matlab і Octave [1].

У залежності від розмірності задачі програми-функції дозволяють змінюва-

ти параметри пошуку, зокрема, вибирати розмір популяції, кількість ітерацій;

крім обмежень на значення аргументу у вигляді нижньої і верхньої меж дозволяє

вводити обмеження на значення деяких функцій від аргументу, регулювати кіль-

кість точок нової популяції, що утворюються за допомогою операторів кросоверу

і мутації, а також в режимі експериментування порівнювати роботу генетичного

алгоритму з різними параметрами та виводити результати розв'язання задачі оп-

тимізації у графічній формі [1].

187

Рис. 4.1. Алгоритм оптимізації з обмеженнями на параметри проектування

Синтаксис виклику програм-функцій у загальному випадку має вигляд:

genreal(FN, lb, ub, COND, MAXGEN, POPSIZE, PCTCROSS,

PCTMUT, GRAPH, INITPOP, WEIGHTS),

genint(FN, nel, arity, COND, MAXGEN, POPSIZE, PCTCROSS,

PCTMUT, GRAPH, INITPOP, WEIGHTS),

де

FN – цільова функція, яка буде мінімізуватися;

Генерування початкової популяції точок – послідовність Холтона

Обчислення функції пристосованості для кожної точки (цільова функція)

Сортування точок за цільовою функцією

Кросовер (повторюється NCROSS разів)

Вибір пари батьківських

точок

Одержання нащадка – результат

схрещування

Мутація (повторюється NMUT разів)

Вибір точки

Мутація – додавання вектора

нормально розподілених

величин

Вибір кращих точок із

попередньої популяції

Формування нової популяції

Найкраща точка

Кільк

ість поко

лінь – MAXGEN

Завершення процесу

188

lb, ub – вектори відповідно нижньої та верхньої границь області пошуку;

nel – кількість координат вектора аргументу, з яким працює цільова функ-

ція;

arity – кількість можливих значень компонентів вектора аргументу, з

яким працює цільова функція;

COND – масив посилань на функції, що задають обмеження на параметри

стану;

MAXGEN – кількість поколінь;

POPSIZE – розмір популяції;

PCTCROSS – процент точок нової популяції, які утворюються шляхом кро-

соверу;

PCTMUT – процент точок нової популяції, які утворюються шляхом мутації;

GRAPH – параметри побудови графіка: встановлюється значення 2, якщо ви-

конується багатокритеріальна оптимізація, і необхідно побудувати двовимірний

графік фронту Парето, у випадку тривимірного графіка значення аргументу

GRAPH дорівнює 3;

INITPOP – масив точок, які буде використано як початкову популяцію за

необхідності задати частково або повністю початкову популяцію вручну;

WEIGHTS – аргумент, який використовується для максимізації цільової фу-

нкції або окремих її елементів у випадку багатьох критеріїв. Довжина аргументу

WEIGHTS повинна відповідати довжині вектора значень цільової функції.

Програма-функція genreal працює з цільовими функціями, аргументом

яких є вектор дійсних чисел, genint працює з цільовими функціями, аргумен-

том яких є вектор цілих чисел у діапазоні [0; n]. Цільові функції можуть

повертати як єдине значення у випадку глобальної оптимізації, так і вектор зна-

чень у випадку багатокритерійної оптимізації, так звану множину Парето

недомінованих точок. Розмірність як аргументу, так і значення цільової функції,

може бути довільною.

189

У загальному випадку програми-функції розв'язують оптимізаційну задачу

вигляду:

– для genreal:

min ( )f x ,

1( ) 0, ..., ( ) 0kg x g x ,

i i il x u ,

– для genint:

min ( )f x ,

1( ) 0,..., ( ) 0kg x g x ,

[0; ],i ix n x ,

де ( )f x – цільова функція, ( )ig x – функції заданих обмежень, ,i il u – нижня та

верхня границі обмежень на проектні параметри, ix – вектор проектних парамет-

рів, – множина цілих чисел.

Функції ( ), ( )jf x g x можуть бути як математичними функціями, так і зада-

ними програмно.

Результатом роботи програми-функції genreal є оптимальна точка – век-

тор проектних параметрів (у випадку однокритеріальної оптимізації) або масив

знайдених точок-векторів множини Парето (у випадку багатокритеріальної оп-

тимізації);

Результатом роботи програми-функції genint є значення цільової функції

для оптимальної точки (у випадку однокритеріальної оптимізації) або для кожної

з масиву точок множини Парето (у випадку багатокритеріальної оптимізації).

Програми genreal та genint базуються на випадковому пошуку, оскіль-

ки генетичні алгоритми відносяться до пошукових методів, отже результати

запуску з однаковими аргументами можуть відрізнятися, тому у більшості випа-

дків рекомендується виконати декілька запусків програм для підвищення

вірогідності одержання точки глобального екстремуму [1].

190

4.3 Математичні моделі дисипативних багатошарових композитних

конструкцій з в'язкопружних матеріалів

Властивість матеріалу поглинати енергію коливань (демпфувати коливання)

є одним із найважливіших факторів у динаміці конструкцій, оскільки у більшості

випадків саме розсіювання енергії є визначальним чинником, який обмежує ре-

зонансні напруження і переміщення. Як зазначено в огляді наукових джерел, про

підвищену увагу до питань демпфування свідчить нова хвиля публікацій, прис-

вячених демпфуванню коливань конструкцій з КМ, пов'язана з появою нових

ефективних п'єзоелектричних матеріалів з електров'язкопружними властивостя-

ми, які на цей час широко використовуються у світі для активного, пасивного або

гібридного керування коливаннями.

В той же час моделювання демпфування коливань становить труднощі у

зв'язку з необхідністю врахування структурних і фізико-механічних особливос-

тей матеріалів, а також взаємодії їх з іншими матеріалами у складі конструкції.

Ситуація ускладнюється різноманіттям джерел демпфування та суттєвою неод-

норідністю КК.

Таким чином, основними проблемами при побудові методики аналізу розсі-

ювання енергії на етапі проектування конструкції є врахування реальних

фізичних залежностей дисипативних матеріалів, їх структурної неоднорідності та

особливостей напруженого стану в мікрооб'ємах.

У попередніх розділах показано, що існує залежність демпфуючих характе-

ристик матеріалу від параметрів структури, що свідчить про можливість

постановки задачі оптимізації за критерями максимального демпфування коли-

вань та пошук структури і геометричних параметрів шарів багатошарової

конструкції. Звичайно, можливість варіювання структури оболонки визначається

не тільки декрементом коливань і параметрами армування – необхідно врахову-

вати й інші конструктивні параметри, тобто задача проектування оптимальної

оболонки є багатопараметричною. Розроблені моделі і метод нестаціонарного

191

аналізу можуть бути основою для постановки задач оптимального проектування

композитних оболонок.

Послідовність етапів моделювання і розрахунку оптимальних конструкцій з

КМ наведено на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Схема методу розрахунку елементів конструкцій з КМ

192

Системний підхід до розв'язання задач оптимізації за критерієм максималь-

ного демпфування коливань багатошарових конструкцій з шарів армованих

волокнами матеріалів з в'язкопружними властивостями передбачає на третьому

етапі після одержання матриці ефективних модулів, яка адекватно відображає

властивості КМ при динамічних навантаженнях (Розділ 2), побудови математич-

них моделей коливань композитних конструкцій з використанням

напіваналітичних варіантів МСЕ у просторі інтегральних перетворень Фур’є та

алгоритмів визначення критеріїв оптимізації (Розділ 3) розробку алгоритму оп-

тимізації, який включає вибір вектора проектних параметрів, обмежень на

параметри оптимізації і критеріїв оптимальності проекту та побудову програми,

яка реалізує ітераційний процес оптимізації.

Формулювання концепції проектування композитних конструкцій з макси-

мальним демпфуванням стало можливим на основі методу скінченно-

елементного моделювання у частотному просторі (просторі інтегральних перет-

ворень Фур'є), який розвивається у представленій роботі.

Об'єктами для дослідження вибрано багатошарові тонкостінні циліндричні

та пологі оболонки, пластини та стрижні (рис. 4.3)

.а б

в г Рис. 4.3. Багатошарові тонкостінні конструкції: а) циліндрична оболонка;

б) полога оболонка; в) пластина; г) стрижень

193

У Розділі 3 детально описано процес побудови математичної моделі коли-

вань багатошарової конструкції з шарів КМ з в'язкопружними і

електров'язкопружними властивостями.

Після переходу до простору перетворень Фур'є [168] залежності між зобра-

женнями напружень і деформацій визначаються матрицею комплексних модулів

(Розділ 2):

ˆ ˆˆ ( )i (4.1)

де , − середні узагальнені зображення напружень і деформацій відповідно:

ˆ ( )i – узагальнена матриця комплексних модулів, компоненти якої зале-

жать від параметрів структури матеріалів, які складають композит, а саме

коефіцієнтів і кутів армування:

11 12 13 16 31

21 22 23 26 32

31 32 33 36 33

44 45 14 15

54 55 24 25

61 62 63 66 36

14 24 11 12

15 25 21 22

31 32

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0

ˆ ˆˆ ˆ0 0 0 0 0

ˆ ˆˆ ˆ0 0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ

C C C C e

C C C C e

C C C C e

C C e ei C C e e

C C C C e

e e

e e

e e e

33 36 33ˆˆ0 0 0 0e

. (4.2)

При нульових початкових умовах одержане рівняння коливань у просторі

перетворень Фур'є має вигляд (Розділ 3)

2ˆ ˆˆ( ) ( ) ( )i i i K M q F , або ˆ ˆˆ( ) ( )i i Z q F , (4.3)

де 2ˆ ˆ( ) ( ) ( )i i i Z K M – матриця динамічної жорсткості шару конструкції.

Матриці ˆ ˆ( ), ( )i i Z F можна одержати з використанням одного з методів

дискретизації (методів Рітца, скінченних елементів, зважених нев’язок).

Для багатошарової конструкції матрицю динамічної жорсткості одержано

шляхом синтезу окремих матриць шарів з урахуванням умов з'єднання шарів, які

194

можна записати як умови рівності переміщень на поверхнях контакту шарів

(рис. 4.4):

, 1,ˆ ˆ , 1k m k i k r q q . (4.4)

Шари вважаються жорстко зв’язаними, у кожному шарі враховуються дефо-

рмації зсуву і стиску по товщині [168].

Рис. 4.4. Умови з'єднання шарів у багатошаровій конструкції

Для аналізу розсіювання енергії розглядали нелінійну задачу на власні зна-

чення

ˆ ˆ( ) 0i Z q . (4.5)

Власні числа і вектори матриці Z i можна визначити за методикою, розг-

лянутою у [168].

Декремент коливань, відповідний вибраній формі, визначається як відно-

шення втраченої енергії до подвоєної потенціальної:

ˆˆ ˆ

ˆ2 ˆ ˆ

н

нW

W

q Z q

q Z q, (4.6)

де q – власні вектори матриці ˆ iZ ;

ˆ ˆ, Z Z – дійсна й уявна частини матриці ˆ iZ ;

н – знак ермітового транспонування.

195

Декремент коливань на заданій формі коливань може бути визначений і за

відомими власними значеннями (комплексними частотами) матриці ˆ iZ :

2k kk

k karctg

, (4.7)

де kkk i – комплексна частота коливань, відповідна k -й формі.

Побудована математична модель дозволяє визначити масу, частотні і диси-

пативні характеристики, амплітуду коливань при стаціонарних і нестаціонарних

коливаннях*) за заданими комплексними модулями матеріалів – складових КМ

кожного шару. Ці характеристики є залежними від проектних параметрів – стру-

ктури КМ, зокрема, кутів і коефіцієнтів армування, а також геометричних

параметрів шарів композитної конструкції, що дозволяє поставити і розв'язати

задачу проектування оптимальних за критерієм максимального демпфування

композитних конструкцій.

4.4 Задачі оптимізації за критерієм максимального демпфування коли-

вань багатошарових конструкцій з шарів армованих волокнами матеріалів

з в'язкопружними властивостями

Покажемо приклади використання розробленої методики для розв'язання

задач оптимізації багатошарових оболонкових конструкцій за критерієм макси-

мального демпфування коливань при виборі цільовою функцією декремента

коливань.

У випадку використання в'язкопружних матеріалів без врахування п'єзоеле-

ктричних і діелектричних властивостей з узагальненої матриці комплексних

модулів ˆ ( )i (4.2) виключаються п'єзоелектричні і діелектричні компоненти.

Задачу оптимізації за критерієм максимального демпфування коливань

сформульовано у термінах теорії нелінійного програмування [168]:

*) Термін "нестаціонарні" тут використано для короткочасних коливань, які ще не встано-

вилися.

196

Визначити вектор проектних параметрів х, який забезпечує максимальне

значення цільової функції − декремента коливань на заданій формі коливань:

( )оpt optx , (4.8)

при заданих обмеженнях на проектні параметри.

У найпростішому випадку обмеження мають вигляд

min maxx x x . (4.9)

Для розв'язку цієї задачі використано вищезгаданий метод оптимізації на

основі ГА з дійсним кодуванням (RGA), який дозволяє з достатньо великою ймо-

вірністю одержувати глобальний максимум цільової функції, оскільки

розглядається рівномірно розподілена по області визначення послідовність то-

чок, а отже кінцевий результат не залежить від вибору початкового значення

вектора проектних параметрів. Цільовою функцією приймали декремент коли-

вань на вибраній формі. Проектними параметрами вибирали товщини шарів, а

також параметри структури матеріалу шару – кути та коефіцієнти армування.

4.4.1 Максимізація демпфування у циліндричних оболонках

Розглянемо приклад оптимізації циліндричної одношарової оболонки з ар-

мованого волокнами в'язкопружного матеріалу за критерієм максимального

демпфування коливань (рис. 4.5-4.6).

Для одержання рівняння коливань використовувалася модель оболонки з

ортотропного в'язкопружного матеріалу з урахуванням зсуву по товщині шару

(рис. 4.6). Середні характеристики ортотропного матеріалу розраховувалися за

даними комплексними модулями вхідних матеріалів, значеннями коефіцієнта і

кута армування (Розділ 2).

Задачу оптимізації одношарової циліндричної оболонки сформульовано у

такому вигляді: знайти вектор проектних параметрів optx h , який за-

безпечує максимальне значення критерію оптимізації (декремента коливань

оболонки) maxx x , за наявності обмежень на проектні параметри:

197

min max min max min max, , h h h

де − коефіцієнт армування; – кут армування; h – товщина шару (м).

Рис. 4.5. Циліндрична оболонка з композиційних в'язкопружних матеріалів,

армованих волокнами

Рис. 4.6. Ортотропний шар оболонки з композиційного матеріалу

Обмеження на проектні параметри в усіх випадках приймалися такими:

min max0.1 0 0.003 , 0.9 / 2 0.01 .x x

Матеріал шару оболонки – вуглецеві волокна/епоксидна матриця. Значення

комплексних модулів складових матеріалів (об'ємного модуля K і модуля зсуву

G) приймалися такими:

– 111 1 12 10 1 0,001 , 0,4K i Па G K для матеріалу армуючих воло-

кон;

– 92 2 12 10 1 0,1 , 0,4K i Па G K для матеріалу основи.

Габаритні розміри оболонки: довжина 2L м , радіус 1R м .

198

Результати оптимізації для перших форм поздовжніх, крутильних і згинних

коливань наведено в табл. 4.1.

Таблиця 4.1

Оптимальні значення параметрів проектування optx і цільової функції opt

Форма коли-вань

Вектор проектних параметрів optx h

Декремент коливань

opt

Поздовжня 0,1391 0,6246 0,003optx 0,3120opt

Згинна 0,1 0,9111 0,01optx 0,0865opt

Крутильна 0,1 0 0,0032optx 0,3130opt

На рисунку 4.7, а-в наведено залежності декремента коливань від кута і кое-

фіцієнта армування для поздовжніх, згинних і крутильних коливань. З графіків

видно, що цільова функція є багатоекстремальною, і програма оптимізації в усіх

випадках дозволяє знайти глобальний максимум.

а

199

б

в

Рис. 4.7. Залежності декремента коливань від кута і коефіцієнта армування для

одношарової циліндричної оболонки з композиційного матеріалу:

а) поздовжні; б) згинні; в) крутильні коливання

200

На рис. 4.8, а-е показано залежності декремента коливань на першій формі

при поздовжніх коливаннях одношарової циліндричної оболонки при зміні дов-

жини оболонки. Оптимальні значення вектора проектних параметрів і цільової

функції наведено в табл. 4.2.

а

б

d

201

в

г

202

д

е

Рис. 4.8. Залежності декремента коливань для одношарової циліндричної

оболонки різної довжини:

а) 0,5L м ; б) 1L м ; в) 1,5L м ; г) 3L м ; д) 6L м ; е) 10L м

203

Таблиця 4.2

Значення вектора проектних параметрів optx h і цільової функції opt

для оболонок різної довжини ( 1R м )

Довжина оболонки L

Вектор проектних параметрів

optx Декремент коливань opt

0.5L м 0,1 0,5438 0,003optx 0,3094opt

1L м 0,1631 0,5484 0,003optx 0,3114opt

1.5L м 0,1612 0,5774 0,003optx 0,3117opt

3L м 0,1 0,7648 0,003optx 0,3130opt

4L м 0,1 0,8858 0,003optx 0,3125opt

6L м 0,1582 0,9819 0,003optx 0,3118opt

10L м 0,1757 1,0252 0,01optx 0,3115opt

З порівняння максимального значення декремента коливань на рис. 4.8, а-е і

в табл. 4.2 видно, що запропонований метод оптимізації в усіх випадках дозволив

знайти глобальний екстремум цільової функції.

Наведені приклади відносяться до порівняно простих. Ускладнення для

більш реалістичних задач пов'язані, у першу чергу, зі збільшенням розмірності і

додатковими обмеженнями на параметри жорсткості і міцності.

4.4.2 Задачі глобальної оптимізації для багатошарової циліндричної

оболонки з шарів в'язкопружних матеріалів

Розглядається приклад оптимізації за критерієм максимального демпфуван-

ня циліндричної тришарової оболонки, шари якої армовано волокнами

в'язкопружного матеріалу (рис. 4.9).

Припускали, що кожний шар армований двома сімействами волокон під ку-

тами і до осі оболонки, що дозволяє розглядати його як ортотропний з

матрицею комплексних модулів, які залежать від частоти коливань, кутів і кое-

204

фіцієнтів армування шарів. Ефективні комплексні модулі матеріалів обчислюва-

лися за методикою, опублікованою у Розділі 2.

Рис. 4.9. Оболонка з КМ (а) і структура матеріалу (б)

Матеріал оболонки – борні волокна/епоксидна матриця. Значення комплек-

сних модулів (об'ємного модуля і модуля зсуву) приймали такими:

– 111 1 14 10 1 0,001 , 0,4K i Па G K для матеріалу армуючих воло-

кон;

– 92 2 14 10 1 0,1 , 0,4K i Па G K для матеріалу основи;

– розміри оболонки: довжина 2L м , радіус 1R м .

За параметри оптимізації приймали кути армування матеріалу шарів і тов-

щини шарів.

Задачу оптимізації формулювали у такому вигляді:

знайти вектор проектних параметрів 1 2 3 1 2 3, , , , ,x h h h ( i – кути

армування, ih – товщини шарів), який забезпечує максимальне значення крите-

рію оптимізації (декремента коливань оболонки)

max,x x

при обмеженнях min max min max,h h h .

Для одержання рівняння коливань використовувалася модель оболонки з

ортотропного матеріалу з урахуванням зсуву по товщині кожного шару, запро-

понована у Розділі 3. Середні характеристики ортотропного матеріалу

205

розраховувалися за даними комплексними модулями вхідних матеріалів, значен-

нями коефіцієнта і кута армування.

Результати оптимізації, одержані за допомогою методу прямого пошуку, для

перших форм поздовжніх, крутильних і згинальних коливань при обмеженнях

на кути армування і товщини шарів наведено в табл. 4.3-4.4 [168].

Як видно максимальне значення декремента коливань, одержане методом

прямого пошуку, суттєво залежить від вибору початкової точки, що доводить не-

обхідність використання глобального методу оптимізації, зокрема, методу на

основі ГА.

Таблиця 4.3

Результати оптимізації параметрів проектування тришарової циліндричної обо-

лонки (поздовжні коливання)

Початкові значення

Оптимальні значення

0i 0ih 0 i , рад ih , м dekr

0,1 0,005 1,5637; 1,5708;

1,5708 0,001; 0,01; 0,01 0,2871

0,5 0,005 1,5708; 1,5708;

1,5708 0,001; 0,01; 0,01 0,2871

1 0,005

0,01

1,5452; 1,5708; 1,5708

0,001; 0,01; 0,01 0,2871

0,1 0,005 1,5708; 1,5708;

1,5602 0,01; 0,001; 0,001 0,3077

0,5 0,005 1,5708; 1,5708;

1,5708 0,001; 0,0032;

0,0091 0,3077

1 0,005

0,5

0,9995; 0,9984; 0,9971

0,0048; 0,0062; 0,0056

0,3002

0,1 0,005 1,5152; 1,5708;

1,5708 0,001; 0,0014; 0,01 0,1324

0,5 0,005 1,5708; 1,5708;

1,5708 0,01; 0,001; 0,01 0,1324

1 0,005

0,99

1,5708; 1,5697; 1,5680

0,0011; 0,00837; 0,01

0,1324

206

Таблиця 4.4


лонки (згинні коливання)



0i 0ih 0 i , рад ih , м dekr

0,1 0,005 0; 0,5381; 0,3141 0,001; 0,01; 0,01 0,3042

0,5 0,005 0,6231; 0,6137;

0,5960 0,001; 0,0098; 0,001 0,3103

1 0,005

0,01

0,6206; 0,6187; 0,6135

0,001; 0,0015; 0,0087 0,3103

0,1 0,005 0,1127; 0,1075;

0,0854 0,002; 0,001; 0,0014 0,3079

0,5 0,005 0,6192; 0,6177;

0,6152 0,001; 0,0021; 0,0016 0,3099

1 0,005

0,5

0,6311; 0,6240; 0,6183

0,0066; 0,006; 0,0035 0,3098

0,1 0,005 0,5210; 0; 0,0004 0,01; 0,001; 0,001 0,1483

0,5 0,005 0,6238; 0,6194;

0,6987 0,001; 0,01; 0,0094 0,1556

1 0,005

0,99

0,6225; 0,6148; 0,6101

0,0014; 0,0097; 0,0017 0,1556

207

Таблиця 4.5


лонки (крутильні коливання)



0i 0ih оптi , рад оптih , м оптdekr

0.1 0, 0, 0 0.001, 0.001, 0.1 0.3133

0.5 0, 0, 0 0.001, 0.0098, 0.001 0.3133

1

0.005 0.01 1.5708, 1.2649,

1.5749 0.0043, 0.0035, 0.01 0.3007

0.1 0, 0, 0 0.0051, 0.005, 0.0051 0.3103

0.5 0, 0, 0 0.001, 0.0047, 0.01 0.3103

1

0.005 0.5 1.5708, 1.5708,

1.5707 0.0023, 0.0029,

0.0025 0.3103

0.1 0, 0, 0 0.001, 0.0037, 0.01 0.1583

0.5 0, 0, 0 0.001, 0.01, 0.001 0.1583

1

0.005 0.99 1.5640, 0.9023,

1.5639 0.01, 0.001, 0.01 0.1496

На рис. 4.11-4.12 показано результати оптимізації тришарової циліндричної

оболонки з несучим внутрішнім шаром і демпфуючими зовнішніми шарами (рис.

4.10), одержані за допомогою розробленого варіанту генетичного алгоритму

RGA при 0,1 0,9 0,1 .

Рис. 4.10 Схема армування шарів оболонки

208

0

-1

-0,5

0

0,5

1,5

1

15050 100 а

0

-1

0

1

15050 100 б

Рис. 4.11 Графіки згинальних коливань оболонки на першій формі:

а) з початковими х0 = [/3 /3 /3 0,01 0,005 0,01], 0 = 0,1288;

б) з оптимальними хopt = [0 0,2870 0,0032 0,04 0,005 0,04], opt = 0,3103

параметрами проекту

0

-2

-1

0

1

2

15050 100 200 а

0

-1

0

1

15050 100 200 б

Рис. 4.12 Графіки крутильних коливань оболонки на першій формі:

а) з початковими х0 = [/3 /3 /3 0,01 0,001 0,01], 0 = 0,0402;

б) з оптимальними хopt = [0 0,9516 0 0,04 0,001 0,04], opt = 0,3133

параметрами проекту

Обмеження на проектні параметри приймались такими:

– при згинних коливаннях:

209

min

max

0 0 0 0.005 0.005 0.005 ,

0.04 0.005 0.04 ;2 2 2

x

x

– при крутильних коливаннях

min

max

0 0 0 0.01 0.001 0.01 ,

0.04 0.005 0.04 .2 2 2

x

x

Розглянемо декілька важливих підходів, які враховують розсіювання енергії

як критерій оптимальності на прикладі оптимізації циліндричної тришарової

оболонки з шарами з армованого волокнами в'язкопружного матеріалу, які мають

різні коефіцієнти та кути армування і товщини. Таким чином, вектор проектних

параметрів має дев'ять компонент.

Параметри оболонки:

– довжина – L = 2 м, мінімальний радіус – 1R м ,

– модулі пружності матеріалу основи (епоксидна смола):

9 8 9 82 4 10 4 10 , 2 0.8 10 0.8 10K i Па G i Па ,

– модулі пружності армуючого матеріалу (борні волокна):

11 8 11 81 4 10 4 10 , 1 0.8 10 0.8 10K Па G i Па .

Як і для попередньої задачі, лля одержання розрахункових рівнянь викори-

стано напіваналітичний варіант МСЕ і визначальні рівняння в'язкопружного

матеріалу, записані в частотному просторі (Розділи 2 і 3). Ефективні характерис-

тики КМ одержано за методикою, описаною у Розділі 2.

Задачу проектування оптимальної за демпфуючими властивостями оболон-

ки можна сформулювати декількома способами у залежності від задач,

поставлених проектом. Розглянемо задачу максимізації декремента коливань.

У термінах теорії нелінійного програмування постановка задачі максиміза-

ції декремента коливань оболонки на вибраній формі коливань є такою:

Визначити вектор проектних параметрів optx

1 2 3 1 2 3 1 2 3optx h h h ,

210

( ,i i – коефіцієнти і кути армування відповідно, ih – товщини шарів, м),

який забезпечує максимальне значення цільової функції – декремента коливань

на заданій формі коливань:

( )оpt optx ,

при заданих обмеженнях на проектні параметри, у найпростішому випадку –

min maxx x x .

Для розв'язання даної задачі використаємо розроблений метод оптимізації

RGA, що забезпечує пошук глобального максимуму цільової функції.

Для тришарової оболонки з прийнятими обмеженнями на проектні парамет-

ри

min

max

0,1 0,1 0,1 0 0 0 0,02 0,02 0,02 ,

0,9 0,9 0,9 / 2 / 2 / 2 0,05 0,05 0,05 ,

x

x

оптимальне значення вектора проектних параметрів для першої форми згиналь-

них коливань одержано таким:

0,1035 0,1152 0,1256 0,6496 0,6282 0,6050 0,02 0,02 0,02 .optx

Оптимальне значення декремента коливань – 0,3118оpt . Значення декре-

мента коливань для прийнятих початкових значень (обмежень) вектора х –

min max( ) 0,0014, ( ) 0,3055x x .

Оптимальний проект оболонки з максимальним демпфуванням на першій

формі поздовжніх коливань при тих же обмеженнях:

0,3260 0,2967 0,2705 1,5708 1,5708 1,5708 0,05 0,05 0,05оptx ;

максимальне значення декремента коливань – 0,3089оptd . Значення декремен-

та коливань для прийнятих обмежень вектора х – min( ) 0,0014,x

max( ) 0,3008x .

Оптимальний проект оболонки для першої форми крутильних коливань:

0,1 0,1 0,7056 0 0 1,5708 0,05 0,05 0,05оptx ,

максимальне значення декремента коливань 0,3129оptd .

211

Значення декремента коливань для прийнятих обмежень вектора х –

min( ) 0,0020,x max( ) 0,3102x .

Аналіз одержаних результатів показав, що розроблений метод оптимізації на

основі генетичних алгоритмів за критерієм максимального демпфування може

використовуватися для визначення оптимальних параметрів конструкцій з КМ.

Разом із тим, очевидно, що постановка задач оптимізації повинна будуватися на

попередньому аналізі залежностей розсіювання енергії в конструкції від окремих

параметрів для визначення діапазонів пошуку і правильної оцінки одержаних ре-

зультатів. Методика оптимізації з урахуванням окремих форм має сенс для

одночастотних коливань або коливань із декількома нижніми частотами. Зазна-

чимо, що такі випадки достатньо поширені завдяки фільтруючим властивостям

систем із в'язкопружним демпфуванням.

4.4.3 Задачі максимізації демпфування коливань для багатошарової

пластини з в'язкопружних матеріалів

Розглянемо задачу коливань пластини (рис. 4.3, в), що складається з трьох

шарів ортотропного КМ (рис. 4.13), ефективні характеристики якого визначені за

методикою, запропонованою в Розділі 2.

Рис. 4.13 Шар ортотропного матеріалу

Наведені нижче графіки для шарнірно закріпленої пластини з ортотропною

структурою шарів вказують на залежність декрементів також від номерів форм

коливань (рис. 4.13) [168]. Це накладає на пошук оптимальних параметрів ще од-

ну умову – оптимальною конструкція може бути для даної форми коливань.

212

Рис. 4.14. Залежність декремента коливань шарнірно закріпленої пластини від

коефіцієнта армування (eta) і кута армування (fi) для різних форм коливань

(m і n – кількість півхвиль вздовж координат x і y )

Розглянемо приклади оптимізації за критерієм максимального демпфування

коливань пластини з трьох ортотропних шарів із заданими комплексними моду-

лями матеріалів.

Задача формулювалася в такому вигляді:

Знайти вектор проектних параметрів

1 2 3 1 2 3, , , , ,x h h h

( i – кути армування, ih – товщини шарів),

який забезпечує максимальне значення критерію оптимізації –

декремента коливань пластини max, оптx x ,

при обмеженнях, накладених на параметри проектування:

213

min maxx x x .

Сталі параметри для пластини приймалися такими:

– габаритні розміри: 1 22 , 2L м L м ;

– середня густина матеріалу: 3 35 10 ;кг м

– матеріал пластини – бороепоксид; комплексні модулі (об'ємний модуль і

модуль зсуву) матеріалу армуючих волокон та матеріалу основи відповідно:

111 1 14 10 1 0,001 ; 0,4 ;K i G K

92 2 14 10 1 0,1 ; 0,4 ;K i Па G K Па

– коефіцієнти армування шарів 1 2 3 0,9 0,9 0,9 .

Середні характеристики ортотропного матеріалу розраховувалися за даними

комплексними модулями вхідних матеріалів, значеннями коефіцієнта і кута ар-

мування у відповідності із залежностями Розділу 2.

Обмеження в усіх випадках приймалися такими:

min max0 0 0 0,001 0,001 0,001 , 0,01 0,01 0,01 .2 2 2

x x

Результати розв'язання задачі оптимізації методом прямого пошуку наведе-

но в табл. 4.6. Для порівняння одержаних значень було використано

запропонований метод RGA. Результатом роботи програми є глобальний опти-

мум:

xopt = (0 0 1,5627 0,0091 0,001 0,01), opt = 0,1208.

Як видно, результат розв'язання задачі оптимізації пошуковим методом за-

лежить від вибору початкової точки, в той час як пошук глобального оптимуму

за допомогою RGA проводиться в усьому заданому просторі проектних парамет-

рів.

214

Таблиця 4.6

Початкові 0x , 0 і оптимальні optx , opt значення вектора параметрів проекту-

вання і цільової функції

Розглянемо задачу пошуку оптимальних за демпфуючими властивостями

тришарових пластин із різними варіантами армування шарів.

Габаритні розміри пластин і комплексні модулі складових матеріалів прий-

малися такими ж, як у попередньому прикладі.

Для двох варіантів структури пластини з коефіцієнтами армування

1 = (0,5 0,001 0,5) і 2 = (0,001 0,5 0,001) результати розв'язання задачі оп-

тимізації наведено в табл. 4.7.

Обмеження на проектні параметри приймалися такими:

xmin = (0 0 0 0,005 0,005 0,005);

xmax = (/2 /2 /2 0,01 0,01 0,01).

x0; 0 xopt; opt

x0 = (0 0 0 0,005 0,005 0,005) 0 = 0,0987

xopt = (1,5708 0,8327 1,5708 0,01 0,001 0,01) opt = 0,0992

x0 = (0,5 0,5 0,5 0,005 0,005 0,005) 0 = 0,0681

xopt = (1,5708 0,8327 1,5708 0,01 0,001 0,01) opt = 0,0992

x0 = (0,8 0,8 0,8 0,005 0,005 0,005) 0 = 0,0576

xopt = (1,5043 0,1609 0,2586 0,01 0,001 0,01) opt = 0,1157

x0 = (0,9 0,9 0,9 0,005 0,005 0,005) 0 = 0,0594

xopt = (0 0 1,5627 0,0091 0,001 0,01) opt = 0,1208

x0 = (1 1 1 0,005 0,005 0,005) 0 = 0,0637

xopt = (0 0 1,5627 0,0091 0,001 0,01) opt = 0,1208

x0 = (1,2 1,2 1,2 0,005 0,005 0,005) 0 = 0,0782

xopt = (0 0 1,5627 0,0091 0,001 0,01) opt = 0,1208

x0 = (1,4 1,4 1,4 0,005 0,005 0,005) 0 = 0,0983

xopt = (0 0 1,5627 0,0091 0,001 0,01) opt = 0,1208

215

Відповідні залежності амплітуди коливань від часу для довільного і оптима-

льного значень вектора проектних параметрів наведено на рис. 4.15-4.16.

Таблиця 4.7

Результати оптимізації пластин для двох варіантів армування

Як видно, програма оптимізації чітко розділила ці два випадки, врахувавши

значення коефіцієнтів армування шарів.

Рис. 4.15. Залежності амплітуди коливань від часу для початкового (а) і оптима-

льного (б) проектів тришарової пластини з демпфуючим середнім шаром з

коефіцієнтами армування = (0,5 0,001 0,5)

Початкові параметри Оптимальні параметри

1 = (0,5 0,001 0,5) x = (0,7 0,7 0,7 0,005 0,005 0,005)

= 0,0215

xopt = (1,3837 0,6972 0,0043 0,005 0,01 0,005) opt = 0,2230

2 = (0,001 0,5 0,001) x = (0,7 0,7 0,7 0,005 0,005 0,005)

= 0,1636

xopt = (1,5708 0,9938 1,5708 0,01 0,005 0,01) opt = 0,2606

216

Рис. 4.16. Залежності амплітуди коливань від часу для початкового (а)

і оптимального (б) проектів тришарової пластини з демпфуючими зовнішніми

шарами з коефіцієнтами армування = (0,001 0,5 0,001)

Розглянемо задачу оптимізації для тришарової пластини з шарами армова-

них волокнами в'язкопружних матеріалів за критерієм максимального

демпфування з іншими структурами армування шарів.

Сталі параметри для пластини приймалися такими ж, як і у попередній зада-

чі, коефіцієнти армування шарів: 1 2 3 .

Середні характеристики ортотропного матеріалу для кожного шару розрахо-

вувалися за заданими комплексними модулями початкових матеріалів,

значенням кута і коефіцієнта армування у відповідності з методикою, викладе-

ною у Розділі 2. Задача оптимізації з указаним вектором проектних параметрів є

багатоекстремальною.

Результати оптимізації методом прямого пошуку тришарової пластини для

трьох варіантів вектора коефіцієнтів армування наведено в табл. 4.8-4.10.


min max0 0 0 0,001 0,001 0,001 , 0,02 0,02 0,02 .2 2 2

x x

Розрахунки показують, що в усьому діапазоні початкових значень кутів ар-

мування вектор оптимальних параметрів виявився однаковим, що свідчить про

визначення глобального екстремуму для кожного з векторів коефіцієнтів арму-

вання.

217

Наведені приклади, незважаючи на достатньо складну програмну реаліза-

цію, відносяться до порівняно простих. Ускладнення для більш реалістичних

задач пов'язані, у першу чергу, зі збільшенням розмірності і додатковими обме-

женнями на параметри жорсткості і міцності.

Таблиця 4.8

Початкові 0x , 0 та оптимальні ,opt optx значення параметрів проектування і ці-

льової функції при 0,5 0,5 0,5 для пластини розміром 2 2 м

0 0,x ,opt optx

0

0,01 0,01 0,012,5 2,5 2,5

0,0566

0 0,7855 1,5708 0,0106 0,0078 0,0106

0,1927оpt

0

0,01 0,01 0,014 4 4

0,0196

0 0,7854 1,5708 0,0106 0,0078 0,0106

0,1927оpt

0

0,01 0,01 0,0116 16 16

0,0370

1,5708 0,7855 0 0,0106 0,0078 0,0106

0,1927оpt

Таблица 4.9

Початкові 0x , 0 та оптимальні ,opt optx значення параметрів проектування і

цільової функції при 0,1 0,9 0,1 для пластини розміром 2 2 м

0 0,x ,opt optx

0

0,01 0,01 0,012,5 2,5 2,5

0,0759

0 0,7851 1,5707 0,0142 0,0025 0,0142

0,2199оpt

0

0,01 0,01 0,014 4 4

0,0196

0 0,7854 1,5706 0,0142 0,0025 0,0142

0,2199оpt

0

0,01 0,01 0,0116 16 16

0,0370

1,5707 0,7856 0 0,0142 0,0025 0,0142

0,2199оpt

218

Таблиця 4.10

Початкові 0x , 0 та оптимальні ,opt optx значення параметрів проектування і

цільової функції при 0,9 0,1 0,9 для пластини розміром 2 2 м

0 0,x ,opt optx

0

0,01 0,01 0,012,5 2,5 2,5

0,0772

0 0,7853 1,5707 0,0075 0,0140 0,0075

0,2436оpt

0

0,01 0,01 0,014 4 4

0,0336

1,5708 0,7853 0 0,0075 0,0140 0,0075

0,2436оpt

0

0,01 0,01 0,0116 16 16

0,0673

1,5707 0,7854 0 0,0075 0,0140 0,0075

0,2436оpt

Для перевірки одержаних методом прямого пошуку значень використаємо

запропонований метод оптимізації на основі ГА. Розглядалися пластини з розмі-

рами 2 2 м і 2 1м .

Параметрами оптимізації приймалися кути армування і товщини шарів.

Задачу оптимізації формулювали в такому вигляді:

maxx x ,

min max min max, h h h ,

де 1 2 3 1 2 3x h h h − вектор проектних параметрів;

− кут армування (рад);

h − товщина шару (м).


min

max

0 0 0 0,001 0,001 0,001 ,

/ 2 / 2 / 2 0,01 0,01 0,01 .

x

x

Результати розрахунку для заданих коефіцієнтів армування показано в табл.

4.11 і 4.12.

219

Таблиця 4.11

Оптимальні значення параметрів проектування і цільової функції

optx , opt для квадратної пластини з розмірами 2 2 м

Коефіцієнти армування 1 2 2

Вектор проектних параметрів 1 2 3 1 2 3optx h h h

Частота

min

Декре-мент коли-вань

max

0,5 0,5 0,5 0 0,7855 1,5708 0,01 0,0073 0,01 72,954 0,1927

0,1 0,9 0,1 0 0,7857 1,5708 0,01 0,0017 0,01 39,3948 0,2199

0,9 0,1 0,9 0 0,7930 1,5708 0,0044 0,0082 0,0045 75,8142 0,2437

Таблиця 4.12


optx , opt для прямокутної пластини з розмірами 2 1 м

Коефіцієнти армування 1 2 2

Вектор проектних параметрів 1 2 3 1 2 3optx h h h

Частота

min


max

0,5 0,5 0,5 1,5708 0,5078 0 0,004 0,0048 0,01 133,05 0,2339

0,1 0,9 0,1 1,5708 1,5708 0 0,001 0,0012 0,01 64,9424 0,2625

0,9 0,1 0,9 1,5708 0 0 0,0022 0,01 0,001 118,27 0,2503

Як показало порівняння результатів розв'язання задачі оптимізації для плас-

тини розмірами 2 2 м, одержаних двома методами, значення максимального

декремента коливань, одержані методом RGA, в жодному разі не гірше, а в бага-

тьох випадках кращі, ніж одержані методом прямого пошуку. Суттєвою

перевагою методу RGA є значне зменшення часу обчислень.

Розглянемо врахування впливу також і коефіцієнта армування, тобто вектор

проектних параметрів для тришарової пластини мав 9 компонент:

220

1 2 3 1 2 3 1 2 3x h h h .


maxx x ,

min max min max min max, ,h h h .


min

max

0 0 0 0,001 0,001 0,001 0,1 0,1 0,1 ,

/ 2 / 2 / 2 0,01 0,01 0,01 0,9 0,9 0,9 .

x

x

Результати розрахунку показано в табл. 4.13.

Таблиця 4.13


optx , opt для пластин

Вектор проектних параметрів 1 2 3 1 2 3 1 2 3optx h h h

Частота

min


max

Пластина розміром 2 2 м

1,5708 0,7855 0 0,0046 0,0085 0,0045 0,8646 0,1 0,8664 69,4047 0,2458


1,5708 0,5097 0 0,001 0,0024 0,0052 0,8943 0,1 0,1 50,151 0,2693

Як видно з порівняння максимальних значень декремента коливань у табл.

4.11, 4.12 і 4.13, при врахуванні всіх проектних параметрів одержується макси-

мальне значення цільової функції – декремента коливань. Цікаво відзначити, що

для квадратної пластини оптимальною за критерієм максимального демпфування

при заданих обмеженнях виявилася конструкція з демпфуючим середнім шаром

(мінімальний коефіцієнт армування) і несучими зовнішніми, а для прямокутної −

з двома демпфуючими шарами і зовнішнім несучим шаром.

221

4.4.4 Задачі максимізації демпфування коливань багатошарової пологої

оболонки

Розглянемо задачу оптимізації структур багатошарових пологих оболонок із

довільно розташованими шарами армованих неідеально пружних матеріалів. Ма-

тематичну модель оболонки побудовано з використанням запропонованого

напіваналітичного варіанту частотного методу скінченних елементів [168]. Ефек-

тивні характеристики композиційних в'язкопружних матеріалів визначаються за

методикою, наведеною у Розділі 2.

З урахуванням прийнятої лінійної апроксимації переміщень в межах шару

визначено матрицю динамічної жорсткості шару, який розглядається як скінчен-

ний елемент:

2ˆ ˆ( ) ( ) ( )i i i Z K M ,

де ˆ ( )iK – матриця жорсткості шару, яка залежить від комплексних модулів ма-

теріалу; М – матриця мас; – частота коливань.

Синтез матриці динамічної жорсткості багатошарової оболонки з окремих

скінченних елементів-шарів здійснюється за традиційною методикою МСЕ [80]:

2ˆ ˆ( ) ( ) ( )i i i GZ GK GM . (4.9)

Для аналізу розсіювання енергії розглядається нелінійна задача на власні

значення:

ˆ ˆ 0i GZ q . (4.10)

Власні числа і вектори матриці ˆ iGZ визначаються за методикою, запро-

понованою у [168].

Декремент коливань визначається за відомими власними значеннями (ком-

плексними частотами) матриці ˆ iGZ :

2 ,k kk

k karctg

(4.11)

де k k ki – комплексна частота коливань, відповідна k-ій формі.

222

Побудована модель багатошарової пологої оболонки дозволяє одержати ро-

зв'язок загальної задачі проектування оптимального пакета п шарів для

отримання необхідних характеристик оболонки, зокрема екстремального значен-

ня декремента коливань, при прийнятих обмеженнях і змінних проектування. В

окремих випадках можна обмежитися варіюванням тільки деяких параметрів,

необхідних конструктору.

Далі розглядається одношарова оболонка для більш чіткого виявлення

впливу структури армування на параметри коливань (рис. 4.17).

Рис. 4.17. Полога оболонка

Параметри оболонки:

– габаритні розміри оболонки 2 , 2L м B м ,

– кривини: 1 20,001 1 , 0,001 1k м k м ;

– середня густина матеріалу 3 32.8 10 кг м ;

– комплексні модулі (матеріал оболонки – бороепоксид):

армуючого матеріалу – 11 8 11 81 14 10 4 10 , 0.8 10 0.8 10K i G i ,

основи – 9 8 9 82 24 10 4 10 , 0.8 10 0.8 10K i G i .

На рис. 4.15 наведено характерні залежності декрементів коливань для по-

логої оболонки з композиційного ортотропного матеріалу від конструктивних

параметрів, зокрема від кута і коефіцієнта армування, при коливаннях за двома

формами. Екстремальний характер залежностей свідчить про можливість вибору

оптимальних параметрів для досягнення максимального демпфування.

x

z y

Ry Rx

a

b

223

a

б

Рис. 4.15 Залежності декрементів коливань пологої оболонки з армованого

волокнами матеріалу ортотропної структури від кутів і коефіцієнтів армування

для двох форм коливань: а) m = 1, n = 1; b) m = 2, n = 4

На рис. 4.16 наведено графіки коливань оболонок з довільними (а) і оптима-

льними (б) значеннями кута і коефіцієнта армування, які забезпечують

максимальне значення декремента на першій формі коливань. Для визначення

оптимальних значень параметрів армування використано пошуковий метод на

основі програми Patternsearch математичного пакета Matlab, для якого максима-

льне значення цільової функції залежить від початкової точки, та

запропонований метод оптимізації RGA, який у всіх випадках повернув оптима-

льне значення.

224

а

б

Рис. 4.16. Осцилограми коливань оболонки по першій формі з декрементами

коливань: а) 0,042 ; б) 0,104

Нижче розглянуто приклади оптимізації за допомогою запропонованого ме-

тоду RGA для декількох найбільш характерних варіантів структури пологої

оболонки.

Початковими параметрами оболонки є:

– габаритні розміри 4 4 м;

– кривизни: k1 = 0.001 1/м, k2 = 0.001 1/м;

225

– комплексні модулі армуючого матеріалу (борні волокна):

об'ємний модуль 11 81 4 10 4 10K iПа , модуль зсуву

11 81 0.8 10 0.8 10G i Па ;

– комплексні модулі матеріалу основи (епоксидна смола):

9 82 4 10 4 10 ,K iПа 9 8

2 0.8 10 0.8 10G i Па відповідно;

– густина армуючого матеріалу 31 3

5 10кг

м ;

– густина матеріалу основи 32 3

2 10кг

м .

Компоненти матриці комплексних модулів матеріалу шарів визначалися за

методикою, наведеною у Розділі 2, густина – за правилом сумішей

1 2(1 )EФ ( – коефіцієнт армування).

Розглянуто такі приклади визначення оптимальних структур пологих обо-

лонок:

а) тришарова оболонка типу "сендвіч" (рис. 4.17, а) при обмеженнях на тов-

щини шарів:

1 2 3x h h h , ( ) maxx при min max , ( 1, 2, 3)i i ih h h i ;

б) п'ятишарова оболонка з двома демпфуючими шарами (рис. 4.17, б) при

обмеженнях на товщину:

1 2 3 4 5x h h h h h , при min max ( 1...5)i i ih h h i ;

в) семишарова оболонка з шарами, армованими волокнами, при обмеженнях

на товщину, коефіцієнти армування і кути армування (рис. 4.17, в):

1 2 7 1 2 7 1 2 7( , , ..., , , , ..., , , , .., )x h h h ,

при min max min max min max, , , ( 1, 2,...,7)i i i i i i i i ih h h i .

Результати розрахунку за критерієм максимального декремента коливань на

першій формі для трьох варіантів структури наведено у табл. 4.14.

226

Таблиця 4.14

Порівняння довільних і оптимальних структур пологої оболонки

Види структури Параметри пакета шарів

1 1 1[ , , , , , , , , ]n n nx h h ; x0 – довільне значення, xopt – оптимальне значення вектора

проектних параметрів ( – коефіцієнт армування, – кут армування, h – товщина

шару, м), частота коливань

Декремент коливань,

x0 = (0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,02 0,02 0,02)

0 144,6157 1/ c 0 0.0062

а xopt = (0,8583 0,1001 0,8633 1,5706 0,7795 0

0.0189 0.0345 0.0185)

62,4956 1 / c

opt = 0,2454

x0 = (1 0,5 1 0,5 1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

0,001 0,01 0,04 0,01 0,001)

0 105,738 1 / c

0 = 0,0101

б

xopt = (1,0000 0,9000 1,0000 0,9000 1,0000 1,5289 0,0000 1,1065 1,5708 0,5748 0,0010 0,0300 0,0400 0,0300 0,0010)

136,2536 1 / c

opt= 0,0767

x0 = (0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 1 1 1 1 1

0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001);

0 9,8388 1/ c

0 = 0,0344

в xopt = (0,8374 0,1016 0,1001 0,1016 0,1084 0,6309 0.8516 0 0,0078 0,0039 0,7773 0,9766 1,1875 1,5664 0,0012 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0012)

6,1908 1 / c

opt = 0,2561

227

а б в

Рис. 4.17. Варіанти багатошарових структур пологої оболонки:

а) тришаровий пакет; б) п'ятишаровий пакет; в) семишаровий пакет

На рис. 4.18-4.20 показано залежність амплітуди вільних коливань оболон-

ки від часу по першій формі згинних коливань для довільного і оптимального

варіантів трьох розглянутих структур.

Розглянемо задачу визначення проектних параметрів для 15-шарової пологої

оболонки з шарів армованих волокнами в'язкопружних матералів. Параметри

оболонки приймалися такими ж, як у попередньому прикладі. Задача оптимізації

формулюється так: визначити вектор проектних параметрів

1 2 15 1 2 15 1 2 15, , ..., , , , ..., , , , ...,x h h h ( i – коефіцієнти армування, i – ку-

ти армування, ih – товщини шарів), який відповідає максимальному значенню

цільової функції (в даному випадку декремента коливань) на ( , )m n -й формі:

, maxm n ,

при обмеженнях на значення параметрів проекту ix і змінні стану q

min maxx x x ,

2ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )i i i K q Mq F .

Для заданої пологої оболонки обмеження на проектні параметри приймали-

ся такими:

0,1 0,9 ; 0,1 2 ; 0,001 0,01h м .

228

а

б

Рис. 4.18. Залежність амплітуди коливань від часу для тришарової оболонки для

довільного (а) і оптимального (б) варіантів структури

229

а

б

Рис. 4.19. Залежність амплітуди коливань від часу для п'ятишарової оболонки

для довільного (а) і оптимального (б) варіантів структури

230

а

б

Рис. 4.20. Залежність амплітуди коливань від часу для семишарової оболонки для

довільного (а) і оптимального (б) варіантів структури

Проект оболонки з максимальним декрементом коливань на першій формі

коливань одержимо, приймаючи цільовою функцією відповідний декремент ко-

ливань.

Вектор проектних параметрів оптимальної оболонки:

231

optx = (0.1000 0.7902 0.8055 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000

0.1000 0.1000 0.1002 0.4792 0.6826 0.8491 0.1000

1.5708 1.5708 1.5708 1.5708 1.5708 1.5274 0.9632 0.7678

0.5673 0.3477 0.1003 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000

0.0056 0.0010 0.0094 0.0010 0.0100 0.0010 0.0100 0.0100

0.0100 0.0010 0.0061 0.0010 0.0010 0.0076 0.0093),

0,2571 – максимальний декремент коливань; 25,1574 1/с – частота.

На рис. 4.21-4.22 показано залежності амплітуди коливань для довільного та

оптимального за критерієм максимального декремента коливань векторів проек-

тних параметрів.

Рис. 4.21. Залежність амплітуди коливань від часу для довільного вектора

проектних параметрів: x = (0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001

0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001), 0.0424

232

Рис. 4.22. Залежність амплітуди коливань від часу для оптимального проекту

15-шарової оболонки

Зазначимо, що для класичних градієнтних методів задача оптимізації уже

для семишарової оболонки (21 параметр проектування) виявилася занадто склад-

ною. Розроблена програма генетичного алгоритму досить легко знаходить проект

оболонки з 15 шарами (45 проектних параметрів).

4.4.5 Задачі максимізації демпфування коливань багатошарового стри-

жня

Розглянемо використання запропонованої методики оптимізації за допомо-

гою розробленого варіанту генетичного алгоритму RGA для визначення

оптимальних динамічних характеристик багатошарового стрижня з КМ, армова-

них волокнами. Проектними змінними є характеристики кожного моношару:

коефіцієнти армування і концентрації, геометричні параметри структури, товщи-

ни шарів, властивості матеріалів – складових композита.

Математичну модель багатошарового матеріалу побудовано за допомогою

запропонованого у Розділі 3 напіваналітичного варіанту МСЕ. Для апроксимації

переміщень по товщині пакета шарів використовуються поліноми Лагранжа. Ап-

233

роксимація переміщень по двох інших осях координат проводиться за допомо-

гою глобальних функцій, які враховують умови закріплення на торцях.

Побудована математична модель дозволяє визначити масу, частоту і декре-

мент коливань, амплітуду коливань при стаціонарних і нестаціонарних

коливаннях за заданими комплексними модулями матеріалів – складових компо-

зиційного матеріалу кожного шару.

Розглянемо задачу глобальної оптимізації багатошарового стрижня з шара-

ми армованих волокнами в'язкопружних матеріалів (рис. 4.3, г) з урахуванням

розсіювання енергії. Значення комплексних модулів (модуля об'ємної деформації

і модуля зсуву) складових матеріалів приймалися такими:

– для матеріалу армуючих волокон 11 81 4 10 4 10K i Па, 1 10,4G K ;

– для матеріалу основи 9 82 4 10 4 10K i Па, 2 20,4G K .

Розглядали 7-шаровий стрижень довжиною 2L м.

Задачу оптимізації конструкцій за критерієм максимального демпфування

сформулюємо у вигляді узагальненої задачі нелінійного програмування: знайти

вектор проектних параметрів optx , який забезпечує максимальне значення цільо-

вої функції (характеристики демпфування) ( )оpt optx при заданих

обмеженнях на проектні параметри і умовах типу рівностей, якими є рівняння

стану.

Вектор проектних параметрів у всіх задачах приймали таким:

1 2 7 1 2 7 1 2 7, ,..., , , ,..., , , ,...,x h h h ,

де ,i i – відповідно коефіцієнти і кути армування, ih – товщини шарів.


0,1 0,9; 0 ; 0,001 0,0052

h

.

Результати оптимізації за критерієм максимального демпфування, одержані

за допомогою запропонованого методу RGA:

0,3107 – максимальний декремент коливань, 8,1916 – частота на пе-

ршій формі,

234

0,2151 0,5104 0,2193 0,2491 0,2790 0,2651 0,2213

1,5249 1,5264 1,5618 1,5708 1,5708 1,5580 1,5707

0,0050 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,001

optx

0 0,0010

– вектор проектних параметрів.

Для порівняння декремент коливань при граничних значеннях проектних

параметрів: 0,0310lb – на нижній границі, 0,2841ub – на верхній границі.

На рис. 4.23 показано графік коливань оптимального стрижня.

Рис. 4.23. Графік коливань стрижня с максимальним демпфуванням,

час t графіка складає 5 с

Таким чином, аналізуючи одержані результати, можна зробити висновки,

що розроблена методика дозволяє розглянути задачі оптимального проектування

у найзагальнішому вигляді, у залежності від вибору цільових функцій і обме-

жень, причому використання генетичних алгоритмів дозволяє зберегти єдину

форму розв’язання, змінюючи тільки спосіб вибору точок популяції. Порівняння

результатів, одержаних різними методами, показало, що метод RGA повертає ре-

зультати в жодному разі не гірше, а в багатьох випадках кращі, ніж одержані

методами прямого пошуку та Patternsearch. Суттєвою перевагою методу RGA є

значне зменшення часу обчислень.

235

Аналіз результатів розв'язання задач оптимізації за критерієм максимально-

го декремента коливань показали, що розроблений метод RGA дозволяє знайти

оптимальний проект незалежно від кількості проектних параметрів, але для оде-

ржання працездатної та надійної конструкції необхідно додатково задавати

обмеження на жорсткість, міцність, масу конструкції.

4.5 Задачі оптимізаці з обмеженнями на параметри стану

Як показали результати розв'язання задач оптимізації, представлені у попе-

редніх підрозділах, для одержання працездатної та надійної конструкції

необхідно додатково задавати обмеження на жорсткість, міцність, масу констру-

кції тощо. Для задач оптимізації з обмеженнями на параметри стану

використовується запропонований метод RGA. Модифікований алгоритм працює

з множиною допустимих точок, у зв'язку з чим при генерації початкової популя-

ції для кожної випадково генерованої точки перевіряються умови оптимізації.

Для точок, які не задовольняють умови, відбувається повторна випадкова гене-

рація, доки нова точка не опиниться у допустимій області. При проведенні

подальших процедур генетичного алгоритму популяція точок залишається у до-

пустимій області. Якщо в результаті схрещування або мутації нова точка

виходить за межі допустимої області, ці процедури повторюються до одержання

нової точки, яка задовольнятиме умови оптимізації. Схему алгоритму з обме-

женнями на змінні стану наведено на рис. 4.24.

4.5.1 Максимізація демпфування у пластині з обмеженнями на частоту

коливань

При розв'язку задач оптимізації, крім явних обмежень min maxx x x , часто

виникає необхідність врахування обмежень довільного типу (неявних) ( ) 0G x ,

де ( )G x − довільна функція, причому таких обмежень може бути декілька.

236

Рис. 4.24. Алгоритм оптимізації з обмеженнями на параметри проекту

Так

Сортування популяції за функцією пристосованості

Кросовер (повто‐рюється

NCROSS разів)


точок

Одержання нащадка

Мутація (повторю‐ється

NMUT разів)


Мутація

Вибір кращих точок із попе‐

редньої популяції


Краща точка

Кільк

ість поко

лінь MAXGEN

Завершення про‐цесу

Перевірка задоволення

умови

Ні

Так

Перевірка за‐доволення

умови

Ні НіТак

Обчислення функції пристосо‐ваності для кожної точки

(цільова функція)

Генерування початкової популяції точок

Вибір випадкової точки

Занесення точки до початкової популяції

Перевірка за‐доволення

умови

237

При проектуванні конструкції, яка працює в області низьких частот, доціль-

но розширити інтервал робочих частот за рахунок збільшення частоти власних

коливань. Визначимо оптимальний проект тришарової пластини (рис. 4.3, б) при

обмеженнях на найменшу частоту власних коливань.


Знайти вектор проектних параметрів

1 2 3 1 2 3 1 2 3x h h h ,

який забезпечує максимум критерію оптимізації

maxx x ,

при обмеженнях на проектні параметри

min max min max min max, , h h h ,

та частоту коливань min 0 , 0 100 1/c.

Обмеження вектора проектних параметрів приймалися такими:

min

max

0 0 0 0,001 0,001 0,001 0,1 0,1 0,1 ,

/ 2 / 2 / 2 0,01 0,01 0,01 0,9 0,9 0,9 .

x

x

Сталі параметри для пластини приймалися такими ж, як у задачі максиміза-

ції декремента коливань (підрозділ 4.4.3). Результати показано в табл. 4.15.

Таблиця 4.15


optx , opt для пластин з обмеженнями на мінімальну частоту

Вектор проектних параметрів 1 2 3 1 2 3 1 2 3optx h h h

Частота

min


max


1,5708 0,7783 0 0,0069 0,01 0,0061 0,8837 0,1004 0,9 100,78 0,2434


1,5708 0,4922 0 0,0020 0,0052 0,01 0,9 0,1 0,1 100,02 0,2692

238

Залежності амплітули коливань від часу для оптимальних пластин показано

на рис. 4.25 і 4.26.

а б

Рис. 4.25. Залежності амплітули коливань від часу для оптимальної за критерієм

максимального демпфування коливань квадратної пластини:

а) без обмежень на частоту; б) з обмеженнями на частоту min 100

а б

Рис. 4.26. Залежності амплітули коливань від часу для оптимальної за критерієм

максимального демпфування коливань прямокутної пластини:

а) без обмежень на частоту; б) з обмеженнями на частоту min 100 1/c

У багатьох випадках при проектуванні конструкцій виникає необхідність

забезпечити діапазон частот, у якому відсутні резонансні частоти, і забезпечити

максимум розсіювання енергії для одержаного проекту. Зокрема, це може бути

0,25 0,5 0,75 1, с 0,25 0,5 0,75 1, с

0,25 0,5 0,75 1, с 0,25 0,5 0,75 1, с

239

діапазон, у якому працюють механізми – збудники коливань. Для розв'язання цієї

задачі необхідно задавати обмеження на параметри стану у вигляді програми –

це задача умовної оптимізації, для розв'язання якої використовувався розробле-

ний генетичний алгоритм RGA з використанням функції обмежень на параметри

стану [1].

Далі наведено результати оптимізації пологої оболонки (рис. 4.3, в) з 15-ма

шарами композитних, армованих волокнами матеріалів із різними коефіцієнтами,

кутами армування і товщинами за критерієм максимального демпфування коли-

вань з обмеженнями на граничні значення параметрів проекту і власні частоти

оболонки:

1 min 2 maxmax, при , .

Обмеження на проектні параметри 15-шарової оболонки наведено вище

(підрозділ 4.4.4). Заданий діапазон частот, в якому повинні бути відсутні резона-

нсні частоти: = 15-30 1/c.

Цільовою функцією є декремент коливань.

Для оптимального проекту одержано такі значення:

– коефіцієнти армування: = ( 0.8990 0.9000 0.9000 0.1000 0.1000

0.1000 0.1000 0.1000 0.1017 0.1000 0.1000 0.7860 0.1000 0.9000

0.9000);

– кути армування: = ( 1.5708 1.5708 1.5699 1.5112 0.1000 0.2818

0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000);

– товщини шарів: h = ( 0.0010 0.0005 0.0010 0.0005 0.0006 0.0010

0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0008 0.0009 0.0005 0.0005 0.0009).

Одержане значення декремента коливань: opt = 0.2458. Перша і друга часто-

ти оптимальної оболонки: 1 = 12.2585 1/c; 2 = 30.0850 1/c.

Для порівняння нижче наведено значення декрементів і частот коливань ві-

дповідно для нижніх і верхніх обмежень на проектні параметри, а також

залежності амплітуд вільних коливань від часу для оболонок відповідно для ни-

жніх, верхніх і оптимальних значень проектних параметрів (рис. 4.27):

240

lb = 0.1089; 1 = 4.9851 1/c; 2 = 8.4045 1/c;

ub = 0.0796; 1 = 19.3515 1/c; 2 = 68.4975 1/c.

Як видно, для оптимального проекту (в) заданий діапазон частот забезпече-

но, і декремент коливань суттєво вищий, ніж для граничних значень проектних

параметрів.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-5

а

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10

-7

б

241

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

-6

в

Рис. 4.27. Графіки вільних коливань для трьох проектів оболонки для нижніх (а),

верхніх (б) і оптимальних (в) значень проектних параметрів

Одержані результати дозволяють зробити висновок, що запропонований ме-

тод оптимізації на основі генетичного алгоритму може використовуватися для

пошуку глобального екстремуму цільової функції при розв'язанні задач оптима-

льного проектування конструкцій з в'язкопружних КМ за критерієм

максимального демпфування з урахуванням обмежень довільного виду.

4.6 Задачі максимізації швидкості затухання коливань багатошарових

конструкцій з в'язкопружних КМ

Як відомо, високий рівень демпфування коливань дозволяє зменшити резо-

нансні амплітуди коливань, проте для деяких конструкцій, зокрема

робототехнічних, істотним чинником є саме час затухання виникаючих нестаціо-

нарних коливань. Оптимізація за критерієм максимального декремента коливань,

не завжди приводить до конструкції, оптимальної за критерієм швидкості зату-

хання коливань, і не повністю враховує параметри жорсткості оболонки.

242

Як відомо, декремент коливань пов’язаний зі швидкістю затухання коли-

вань залежністю

2 da

a dt

, (4.12)

де – частота, а – амплітуда коливань, t – час.

З (4.12) одержимо

2

da a

dt

, (4.13)

тобто швидкість затухання коливань пропорційна добутку частоти і декремента

коливань при даній величині амплітуди коливань.

Очевидно, добуток можна використати як критерій швидкості затухання

коливань та як параметр, що визначає час затухання вільних коливань на заданій

формі коливань. У зв’язку з цим можна поставити задачу мінімізації часу зату-

хання коливань на одній або декількох частотах. В останньому випадку задачу

оптимізації можна сформулювати як задачу мінімаксу [189].

На рис. 4.28 наведено залежності добутку від параметрів армування од-

ношарової пологої оболонки (підрозділ 4.4.4) для двох форм коливань, що

свідчить про можливість визначення оптимальних значень цього параметра.

На рис. 4.29 наведено залежності амплітуди коливань від часу для довільно-

го і оптимального за швидкістю затухання коливань проектів одношарової

пологої оболонки проектів, які свідчать про доцільність використання комплекс-

ного критерію для побудови оболонок із максимальною швидкістю затухання

коливань. Порівняння з оптимальним за критерієм максимального демпфування

проектом оболонки (рис. 4.16, б) показало, що при виборі критерієм оптимізації

добутку декремента коливань і частоти час затухання коливань є меншим.

243

а

б

Рис. 4.28. Залежності добутку від кутів та коефіцієнтів армування

для двох форм коливань: а) m = 1, n = 1; б) m = 2, n = 4

244

а

б

Рис. 4.29. Графіки коливань оболонки з довільним (а) і оптимальним opt (б)

параметрами армування

Розв'яжемо задачу оптимізації за критерієм максимальної швидкості зату-

хання коливань для 15-шарової пологої оболонки, розглянутої вище (підрозділ

4.4.4). Задача оптимізації формулюється аналогічно попереднім, але цільовою

функцією вибрано добуток декремента коливань і частоти на відповідній формі

коливань:

,( ) maxm n .

Вектор проектних параметрів має 45 компонент:

1 2 15 1 2 15 1 2 15, ,..., , , ,..., , , ,...,x h h h

( i – коефіцієнти армування, i – кути армування, ih – товщини шарів, м).

245

Результати визначення оптимальної структури 15-шарової пологої оболон-

ки, яка відповідає максимуму вибраного критерію на першій формі:

optx = (0,9000 0,9000 0,9000 0,1027 0,1000 0,1000 0,1000 0,1000

0,1000 0,1000 0,1303 0,5482 0,9000 0,9000 0,9000

1,5708 1,5708 1,5708 1,5707 1,5707 1,5708 1,5707 1,0808

0,9849 0,9147 0,8570 0,8035 0,7454 0,6934 0,6378

0,0010 0,0020 0,0010 0,0020 0,0010 0,0020 0,0010 0,0020

0,0010 0,0020 0,0010 0,0020 0,0010 0,0020 0,0010);

1

519,7278c

; 0,1467 ; 73,2105 .

На рис. 4.30 наведено залежність амплітуди коливань від часу для оптима-

льної за критерієм максимальної швидкості затухання коливань 15-шарової

пологої оболонки.

Рис. 4.30. Залежність амплітуди коливань від часу для оптимальної за критерієм

максимальної швидкості затухання коливань 15-шарової пологої оболонки

Розглянемо задачу оптимізації багатошарового стрижня (рис. 4.3, г) з армо-

ваних волокнами шарів в'язкопружних матеріалів за критерієм максимальної

швидкості затухання коливань.

Значення комплексних модулів (модуля об'ємної деформації і модуля зсуву)

складових матеріалів приймалися такими:

246




Як уже було сказано, швидкість затухання коливань пропорційна добутку

частоти і декремента коливань при даній величині амплітуди коливань. Отже до-

буток використаємо як критерій швидкості затухання коливань.

Вектор проектних параметрів у всіх задачах приймали таким:

1 2 7 1 2 7 1 2 7, ,..., , , ,..., , , ,...,x h h h ,

де ,i i –коефіцієнти і кути армування відповідно, ih – товщини шарів.


0,1 0,9; 0 ; 0,001 0,0052

h

м

Результати оптимізації: 21,9172 – цільова функція; 0,2185 – дек-

ремент коливань; 100,3055 1/с – частота на першій формі;

(0,9000 0,9000 0,9000 0,7330 0,1000 0,9000 0,9000

1,5708 1,5708 1,5708 1,5708 1,5708 0 0,0000

0,0050 0,0050 0,0050 0,0050 0,0050 0,0050

optx

0,0050)

– вектор проектних параметрів.

На рис. 4.31 представлено графік коливань оптимального стрижня.

Рис. 4.31. Графік коливань стрижня з максимальною швидкістю затухання

коливань, час t графіка складає 2 с.

247

Одержані результати свідчать про ефективність використання методики

аналізу і оптимізації багатошарових конструкій з КМ, яку побудовано на частот-

ному варіанті напіваналітичного методу скінченних елементів (ЧМСЕ) і

розробленому методі оптимізації RGA, та про ефективність вибору критерієм

оптимізації добутку частоти і декремента коливань на вибраній формі. Проте не-

обхідно також зазначити про необхідність комплексного підходу до вибору

критеріїв оптимізації, які б ураховували, окрім демпфування, також параметри

жорсткості, міцності і маси.

4.7 Задачі оптимізації за різними критеріями з урахуванням розсіюван-

ня енергії

У багатьох випадках умови експлуатації конструкції вимагають максимізації

або мінімізації першої частоти, максимізації відстані між першою і подальшими

частотами та інших умов і критеріїв ефективної експлуатації. Розглянемо задачі

оптимізації багатошарових конструкцій з шарів армованих волокнами матеріалів

з в'язкопружними властивостями з різними цільовими функціями з урахуванням

розсіювання енергії.

Задачі оптимізації було розв'язано для 15-шарової пологої оболонки з боро-

епоксиду, яка вже розглядалася у попередніх підрозділах.

Вектор проектних параметрів –

1 2 15 1 2 15 1 2 15, ,..., , , ,..., , , ,...,x h h h ,

де ,i i – коефіцієнти і кути армування відповідно, ih – товщини шарів.


0,1 0,9; 0 ; 0,001 0,0052

h

м

1. Задача оптимізації за критерієм максимальної частоти на першій формі

коливань.

Цільова функція: 1 ,( ) maxm n .

248

Результати визначення оптимальної структури 15-шарової пологої оболон-

ки, яка відповідає максимуму частоти на першій формі:

optx ( 0,9000 0,9000 0,9000 0,8999 0,1006 0,1001 0,1001 0,1001

0,1002 0,1000 0,1001 0,9000 0,8999 0,9000 0,9000

0,7892 0,7838 0,7857 0,7918 0,7845 0,7910 0,8061 0.7740

0.7917 0,7481 0,7913 0,7827 0,7859 0,7858 0,7891

0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010

0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010);

1

27,7814opt c , 0,0335 .

2. Задача оптимізації за критерієм мінімальної частоти на першій формі ко-

ливань.

Цільова функція: ,( 1) minm n .

Структура пакета шарів оболонки з мінімальною першою частотою:

optx = (0,1167 0,1150 0,1064 0,1616 0,2451 0,3020 0,2378 0,1060

0,1172 0,1028 0,5005 0,4546 0,1002 0,1086 0,1006

1,5615 1,5706 1,5488 1,5659 1,5613 1,5537 1,5371 0,2109

0,1262 0,1865 0,1406 0,1475 0,1221 0,1074 0,1250

0,0001 0,0003 0,0001 0,0003 0,0003 0,0001 0,0001 0,0003

0,0001 0,0003 0,0001 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003);

1

1,8719opt c ; 0,2604 .

3. Задача оптимізації за критерієм максимальної відстані між першою і по-

дальшими частотами.

Цільова функція: 1,2 1,1( ) max .

Результати оптимізації за критерієм максимальної відстані між першою 1,1

і другою 1,2 частотами для оболонки з прийнятими вище граничними значен-

нями проектних параметрів:

optx = (0,9000 0,8999 0,8999 0,8989 0,1001 0,1000 0,1000 0,1001

249

0,1001 0,1003 0,1001 0,8999 0,8999 0,9000 0,9000

1,5695 1,5694 1,5702 1,5664 1,5697 1,5692 1,5440 1,5439

1,5268 1,5668 1,5673 1,5701 1,5679 1,5708 1,5705

0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010

0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010);

1,11

21,1008c

; 1,21

74,8316c

; 1,2 1,11

53,7308c

.

З використанням представленої методики розглянули задачі проектування

пологих оболонок із заданими частотою або декрементом коливань. У табл. 4.16

наведено результати проектування 15-шарової пологої оболонки із заданою час-

тотою 01

10c

на заданій формі коливань. Паралельно представлено значення

відповідних декрементів коливань.

Таблиця 4.16

Результати проектування оболонки із заданою частотою на заданій формі коливань

Критерій 1,1 ; 1,1 1,2 ; 1,2 2,1 ; 2,1 2,2 ; 2,2

1,1 0 min 10,000; 0,0425

32,980; 0,0201

16,630; 0,0989

39,104; 0,0463

1,2 0 min 4,8485; 0,1480

10,000; 0,2032

12,918; 0,1187

16,259; 0,1865

2,1 0 min 6,5330; 0,0805

23,366; 0,0305

10,000; 0,2013

25,554; 0,0711

2,2 0 min 3.4090; 0,147

7,620; 0,1631

7,027; 0,1691

10,000; 0,2154

У табл. 4.17 наведено результати визначення структури пакету шарів обо-

лонки із заданим декрементом 0 0,1000 для перших чотирьох форм

згинальних коливань. Паралельно наведено значення частот коливань.

250

Таблиця 4.17

Результати проектування оболонки із заданим декрементом коливань на заданій

формі коливань

Критерій 1,1 1,1, 1,2 1,2, 2,1 2,1, 2,2 2,2,

1,1 0 min 0,1000; 8,7401

0,0540; 23,063

0,1007; 18,6127

0,0898; 32,8375

1,2 0 min 0,1102; 7,2060

0,1000; 16,8314

0,1233; 15,8296

0,1294; 25,0347

2,1 0 min 0,0446; 8,4112

0,0229; 26,7001

0,1000; 14,2472

0,0499; 32,3006

2,2 0 min 0,1056; 8,8209

0,0724; 21,8681

0,1040; 19,5172

0,1000; 30,0586

Результати розрахунків свідчать про широкі можливості розробленої мето-

дики для глобального проектування. Можливість одержання глобальних

результатів істотно знижує трудомісткість задач оптимізації, особливо для бага-

тоекстремальних задач, якими є задачі оптимального проектування композитних


4.8 Задачі максимізації мінімального декремента коливань на декількох

формах (задачі мінімаксу)

У композитних конструкціях, зокрема в оболонках, часто виникає необхід-

ність максимізувати мінімальний декремент коливань декількох форм, що

виникають. Задача максимізації мінімального значення декількох функцій у за-

даному діапазоні аргументів відома як задача мінімаксу (максиміну). На рис. 4.32

показано залежність декремента коливань, одержаного при розв'язку мінімаксної

задачі, від кута і коефіцієнта армування при заданій товщині шару одношарової

циліндричної оболонки (h = 0,01 м). Параметри матеріалів для одношарової ци-

ліндричної оболонки наведено вище (підрозділ 4.1.1). За допомогою

запропонованого методу оптимізації знайдено вектор проектних параметрів,

який забезпечує максимальне значення найменшого декремента коливань з пер-

ших трьох форм –

251

0,1 1,1310 0,01 , 0,0672.opt optx

Рис. 4.32. Залежність мінімального декремента з трьох форм від кута

і коефіцієнта армування

Алгоритми розв'язку мінімаксної задачі, по суті, вирішують багатокритеріа-

льну задачу оптимізації.

У композитних конструкціях, зокрема у багатошарових пластинах, при ко-

ливаннях за однією зі згинальних форм збуджуються коливання, обумовлені

взаємним переміщенням шарів. При цьому декременти коливань, відповідні цим

формам, можуть бути менше декремента коливань основної згинальної форми,

тому необхідно максимізувати мінімальні декременти коливань виникаючих

форм.

На рис. 4.33 наведено результати використання мінімаксного алгоритму для

визначення оптимальних параметрів (кута і коефіцієнта армування) пластини,

армованої волокнами, при заданій товщині (h = 0,03 м). Параметри матеріалів

наведено вище. Максимізували значення найменшого декремента коливань з пе-

рших п'яти форм.

252

а б

в

Рис. 4.33. Значення мінімального декремента коливань пластини при заданих

(––––) і оптимальних (- - - -) параметрах при фіксованому коефіцієнті армування:

а) min0,9; 0,0298; 0,7854opt ; б) min0,5; 0,0177; 0,7854opt ;

в) min0,1; 0,0552; 0,7854opt

Як видно, програма оптимізації дозволяє одержати однакові результати для

кута і коефіцієнта армування в широкому діапазоні початкових значень вектора

проектних параметрів. Зауважимо, що, у зв'язку з великим декрементом коливань

матеріалу основи, результати відносно впливу коефіцієнта армування очевидні:

максимальні значення декремента відповідали мінімальним коефіцієнтам арму-

вання. Це свідчить про можливість фіксації коефіцієнта армування при

постановці задач оптимізації (рис. 4.33).

Розглянемо задачу максимізації мінімального значення декремента з декіль-

кох вибраних для тришарової циліндричної оболонки, розглянутої в підрозділі

4.4.2.

У даному випадку максимізувався мінімальний декремент з трьох декремен-

тів на перших згинній, поздовжній і крутильній формах. Вектор проектних

253

параметрів і обмеження були аналогічними вибраним у першій задачі. Результа-

ти оптимізації наведено на рис. 4.34.

Рис. 4.34. Результат оптимізації декрементів коливань перших форм

поздовжніх (1), згинних (2), крутильних (3) коливань тришарової оболонки

(φ – кут армування)

Як видно, програма мінімаксу знайшла розв'язок, однаковий для всіх трьох

декрементів коливань в усіх розглянутих випадках початкового значення х.

Для тришарової циліндричної оболонки розглянемо задачу мінімізації часу

затухання коливань на декількох формах коливань.

Час затухання коливань залежить (при однакових амплітудах) від добутку

частоти та декремента коливань, тобто критерієм оптимізації приймаємо вектор

добутків . У даному випадку розглядали поздовжні та згинальні коливання на

перших формах, тобто цільову функцію приймали у вигляді 1 2 .

Використовували ту ж програму мінімаксу, що і в попередній задачі. При

усіх заданих початкових значеннях вектора параметрів проекту і прийнятих ви-

ще обмеженнях для поздовжніх та згинальних коливань одержано близькі

значення оптимального вектора оpt , тобто досягнуто рівність часу затухання

коливань. У табл. 4.18 наведено значення частот поздовжніх 1 та згинальних

254

2 коливань і відповідні їм декременти коливань для заданих початкових зна-

чень кута армування .

Таблиця 4.18

Частоти поздовжніх та згинних коливань і відповідні їм декременти коливань

для заданих початкових значень кута армування .

1 , 1/c 1 1 2 , 1/c 2 2

0 37,1573 10 0,0157 112,37 33,3475 10 0,0335 112,141

0,1 37,0524 10 0.0162 114,249 33,3253 10 0,0343 114,058

0,5 37,1110 10 0,0158 112,354 33,3659 10 0,0334 112,421

1,0 37,1045 10 0,0158 112,251 33,3625 10 0,0334 112,307

/ 2 37,1057 10 0,0158 112,27 33,3629 10 0,0334 112,321

Розглянемо задачу мінімізації декремента коливань на декількох частотах

для тришарової оболонки з шарами армованого волокнами в'язкопружного мате-

ріалу (вуглецеві волокна/епоксидна матриця) (рис. 4.35).

Параметри оболонки: довжина 2L м , радіус 1R м , комплексний модуль

матеріалу армуючих волокон 11 81 2 10 2 10E i Па , 1R м , комплексний мо-

дуль матеріалу основи 9 82 2 10 2 10E i Па , густина матеріалу

3 32,85 10 кг м , форми коливань 1, 0m n (рис. 4.35). Шари приймали жо-

рстко зв'язаними, у кожному шарі враховували деформації зсуву і стиску по

товщині [168].

а б

Рис. 4.35. Структура тришарової оболонки (а), форми коливань (б)

255

Задачу оптимізації формулювали як задачу мінімаксу – знайти вектор прое-

ктних параметрів, який забезпечує максимізацію мінімального декремента на

трьох перших частотах: 1 2 3max min , ,opt .

Вектор проектних параметрів для тришарової оболонки приймали у вигляді

1 2 3 1 2 3x h h h , розглядали модель оболонки з несучими зовнішніми

шарами і демпфуючим середнім шаром, коефіцієнти армування приймали у ви-

гляді 0,8 0,2 0,8 . Обмеження на проектні параметри в усіх випадках

приймали такими: 0 2, 0,001 0,01i ih м. Результати розрахунків

представлено в табл. 4.19.

Для порівняння при тих же значеннях модуля демпфуючого матеріалу було

розв'язано аналогічну мінімаксну задачу для вектора з дев'яти проектних пара-

метрів 1 2 3 1 2 3 1 2 3x h h h , який максимізує мінімальний

декремент коливань на перших трьох частотах, при обмеженнях на проектні па-

раметри min maxx x x .

Таблиця 4.19

Оптимальні значення параметрів проектування і цільової функції optx , opt

при деяких значеннях модуля демпфуючого шару

Обмеження в усіх випадках приймали такими:

2E opt Вектор проектних параметрів 1 2 3 1 2 3x h h h

10 910 10i 0,1473 0,6876 1,2896 1,5708 0,001 0,01 0,001 9 85 10 5 10i 0,0974 1,5708 0,7018 1,5708 0,001 0,01 0,0023

9 810 10i 0,0290 1,5708 0,6249 1,5700 0,001 0,01 0,0015 8 75 10 5 10i 0,0183 1,0100 1,5708 0,0000 0,0099 0,01 0,01

8 710 10i 0,0291 1,5708 1,5708 0,0000 0,01 0,01 0,0059 7 65 10 5 10i 0,0550 1,5708 1,5708 0,0000 0,01 0,01 0,0072

7 610 10i 0,3112 1,5708 1,5708 1,5708 0,0076 0,01 0,0075 6 55 10 5 10i 0,3115 1,5708 1,5708 1,5708 0,0047 0,0076 0,0047

256

0 2; 0,001 0,01; 0,2 0,8i i ih .

Розрахунки показали, що в діапазоні значень модуля демпфируючого шару

6 5 8 72 10 10 ... 10 10E i i програма оптимізації знаходить ту ж або дуже

близьку точку, що і у першій постановці – для вектора з шести проектних пара-

метрів. Структура оболонки залишається такою ж – с демпфуючим середнім

шаром, коефіцієнт армування в оптимальному проекті 0,8 0,2 0,8 . При збі-

льшенні модуля чутливість до значень коефіцієнта армування знижується – при

значеннях Е2 до 8 75 10 5 10i коефіцієнт армування складає 0,2 0,2 0,8 ,

тобто несучим залишається зовнішній шар оболонки, при подальшому збільшен-

ні модуля коефіцієнт армування набуває мінімального значення для всіх трьох

шарів.

Виходячи з одержаних результатів, можна зробити висновок, що метод скі-

нченно-елементного моделювання у просторі перетворень Фур'є (ЧМСЕ) та

запропоновані постановки задач оптимізації з використанням розробленого варі-

анту RGA можна використовувати для одержання конструкцій з високою

демпфуючою здатністю.

4.9 Мінімізація амплітуди при нестаціонарних навантаженнях багато-

шарових циліндричних оболонок

Характерним для наведеної вище методики був вибір цільовою функцією

декремента коливань, відповідного заданій формі коливань. Таким чином, від-

шукували оптимальні параметри, які забезпечували максимальне демпфування

саме на вибраній формі. При цьому не гарантувалося, що на іншій формі коли-

вань розсіювання енергії також буде забезпечуватися на необхідному рівні.

У багатьох випадках така постановка задачі є виправданою, оскільки, як

правило, найбільші амплітуди коливань мають місце при перших декількох фор-

мах, які можна розглянути окремо, а при навантаженнях, близьких до

моногармонічних, коливання відбуваються в основному по одній із форм коли-

257

вань. Разом із тим при навантаженнях із широким спектральним складом, зокре-

ма імпульсних і випадкових, можуть збуджуватися декілька форм, і тоді постає

задача мінімізації амплітуд коливань у заданому частотному діапазоні [168].

Суть запропонованого нижче методу полягає в одержанні оптимальних про-

ектних параметрів, які забезпечують мінімальне значення амплітуд коливань у

заданому діапазоні частот при обмеженнях на вибрані параметри проектування.

Запишемо розв’язок рівняння дискретної моделі конструкції (4.4) у просторі

перетворень Фур'є:

1ˆ ˆˆ i i q Z F . (4.14)

Для одержання амплітудно-частотних характеристик, які визначають зобра-

ження переміщень вузлів конструкції, необхідно знайти розв'язки для вектора q

у заданому частотному діапазоні при навантаженні на задану координату у ви-

гляді дельта-імпульсу (у просторі перетворень Фур'є дельта-функція є

одиницею):

11 12 1

21 22 2

1 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ

ˆ ˆ ˆ

N

N

n n nN

q q q

q q q

q q q

q

. (4.15)

В одержаній таким чином матриці переміщень кожний рядок дає залежність

зображень переміщень по і-й координаті від частоти. Відповідна амплітудно-

частотна характеристика визначається як залежність абсолютних значень ком-

плексних амплітуд від частоти.

Задача мінімізації амплітуд коливань і-ї узагальненої координати у заданому

частотному діапазоні формулюється так:

Мінімізувати ,ˆmax 1, 2, ,i kq k N

при обмеженнях min max , 0x x x G x ,

де ,ˆi kq – амплітуди коливань і-го узагальненого переміщення;

x – вектор параметрів проекту;

258

G x – функція неявних обмежень;

min max,x x – граничні значення параметрів проекту.

Перевагами такої постановки задачі оптимізації є: можливість забезпечення

необхідного демпфування коливань у заданому частотному діапазоні; достатньо

простий спосіб обчислення критерію оптимізації, який полягає у визначенні мак-

симальної компоненти і-го рядка матриці q ; можливість контролю амплітуд

коливань у напрямку всіх узагальнених переміщень.

В останньому випадку критерієм оптимізації буде максимальне значення

компонент матриці q .

Для ілюстрації методу було знайдено оптимальні значення параметрів оп-

тимізації розглянутої вище циліндричної оболонки з КМ. На рис. 4.36 наведено

результати порівняння резонансних кривих згинальних коливань оболонки на

першій формі до і після оптимізації.

0

1

2

3

4

м 10 -8

а

0

0,2

0,4

0,6

0,8

б

Рис. 4.36. Амплітудно-частотні характеристики тришарової оболонки

для початкового (штрихові лінії) і оптимального (суцільні лінії) варіантів:

а – коефіцієнти армування шарів (0,9 0 0,9), оптимальні значення проектних

параметрів (0 0,1 0 0,01 0,01 0,01);

б – коефіцієнти армування шарів (0 0,9 0), оптимальні значення проектних

параметрів (0,1 0 0,1 0,01 0,01 0,01);

початкові значення проектних параметрів (0,1 0,1 0,1 0,005 0,005 0,005)

259

Розглянемо задачу мінімізації амплітуд у заданому частотному діапазоні для

15-шарової пологої оболонки з шарами армованих волокнами матеріалів з таки-

ми параметрами:

– габаритні розміри оболонки 4 4 м;

– кривини k1 = 0,001 1/м, k2 = 0,001 1/м;

– комплексні модулі армуючого матеріалу: об'ємний модуль

11 81 4 10 4 10K iПа , модуль зсуву 11 8

1 0,8 10 0,8 10G i Па ;

– комплексні модулі матеріалу основи відповідно: 9 82 4 10 4 10 ,K iПа

9 82 0,8 10 0,8 10G i Па ;

– густина армуючого матеріалу 3 31 2,8 10 кг м ;

– густина матеріалу основи 3 32 1,2 10 кг м .

1. Оптимальний проект оболонки з обмеженнями на величини проектних

параметрів.

Цільовою функцією є амплітуда коливань характерних точок оболонки у ча-

стотному діапазоні, який включає чотири перші форми коливань.

Звернення до програми оптимізації має такий вигляд:

lb = ( 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005

0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005);

ub = (0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 pi/2 pi/2 pi/2 pi/2

pi/2 pi/2 pi/2 pi/2 pi/2 pi/2 pi/2 pi/2 pi/2 pi/2 pi/2 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001

0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001);

genreal(@AmplOptShell15_2forms, lb, ub),

де 1min 15min 1min 15min 1min 15min, ..., , , ..., , , ...,lb h h – нижні обмеження про-

ектних параметрів;

1max 15max 1max 15max 1max 15max, ..., , , ..., , , ...,ub h h – верхні обмеження

проектних параметрів,

i – коефіцієнт армування, i – кут армування, ih – товщина шару,

260

genreal – програма оптимізації, AmplOptShell15_2forms – програма обчис-

лення цільової функції.

Графіки амплітудно-частотних характеристик оболонки з оптимальними і

довільними значеннями проектних параметрів наведено на рис. 4.37, а, б.

0 20 40 60 80 100 1200

2

4

6

8x 10

-4

частота, 1/c

амплітуда

, м

а

0 20 40 60 80 100 1200

1

2

3

4x 10

-3

частота, 1/c

амплітуда

, м

б

Рис. 4.37. Амплітудно-частотні характеристики для оболонки з оптимальними (а)

і довільними (б) проектними параметрами

Як видно з порівняння рисунків, для оптимального проекту амплітуда коли-

вань на першій частоті у 5 разів менша, ніж для довільного варіанту оболонки.

Для оболонок з параметрами проекту, що дорівнюють граничним значенням

261

(х = lb i x = ub) амплітуда коливань на нижній частоті перевищує оптимальну бі-

льше, ніж у 20 разів.

2. Оптимальний проект оболонки з обмеженнями на проектні параметри і

змінні стану.

Визначаються параметри оболонки з обмеженнями на масу 20m кг/м2, які

забезпечують мінімальне значення максимальної амплітуди коливань оболонки у

діапазоні частот 10-120 рад/c, який охоплює перші чотири форми коливань.

Для даної задачі використовується розроблений генетичний метод RGA

урахуванням обмежень на змінні стану (рис. 4.18). Звернення до програми опти-

мізації у системі Matlab при тих же обмеженнях на проектні параметри, що і в

попередній задачі, має вигляд:

genreal(@AmplOptShell15_2forms, , lb, ub, {@DekrOptShell15_2_condmas}),

де {@DekrOptShell15_2_condmas} – функція звертання до програми, яка задає

обмеження.

Оптимальну амплітудно-частотну характеристику наведено на рис. 4.38.

0 20 40 60 80 100 1200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

-3

частота, 1/c

амплітуда

, м

Рис. 4.38. Амплітудно-частотна характеристика при обмеженнях на масу

262

Як видно, з урахуванням обмежень на масу максимальна амплітуда трохи

більша, ніж для оболонки без обмежень, але набагато менша, ніж для оболонок з

початковими параметрами (х = lb i x = ub).


1. Одержані результати оптимізації свідчать про ефективність математичних

моделей композитних конструкцій з в’язкопружних матеріалів і алгоритмів, що

пропонуються для глобального оптимального проектування. Відзначимо, що від-

сутність змін у підсумкових результатах оптимізації, яка мала місце в усіх

розрахунках, свідчить про велику вірогідність вважати одержані оптимуми гло-

бальними і дозволяє стверджувати, що розроблено методику глобальної

оптимізації оболонкових конструкцій і ефективні глобальні алгоритми оптима-

льного проектування композитних конструкцій. В розглянутих прикладах

порівняння з пошуковими програмами пакету Matlab Global Optimization Toolbox

показало таке ж або більш точне визначення оптимуму.

2. Розроблені математичні моделі багатошарових оболонок із композицій-

них в'язкопружних матеріалів, які базуються на напіваналітичному варіанті

методу скінченних елементів у частотній області (ЧМСЕ) і еволюційних методах

оптимального проектування, зокрема генетичних алгоритмах, складають основу

методики проектування конструкцій з максимальним демпфуванням. Узагаль-

нення методики на задачі з більш складними обмеженнями, задачі

багатокритеріальної оптимізації, топологічної оптимізації задачі пошуку оптима-

льної форми демпфуючих пристроїв з використання електров'язкопружних

матеріалів буде представлено у наступних розділах.

Матеріали Розділу 4 опубліковано у [29, 47, 48, 52, 53, 59, 66, 162-165, 167,

168, 172-174, 176, 179-183, 185].

263

РОЗДІЛ 5

МЕТОДИ БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ

5.1 Постановка задач оптимізації за декількома критеріями

Ефективність композитних конструкцій, виготовлених із сучасних компози-

ційних матеріалів, які широко застосовуються у несучих тонкостінних елементах

оболонкових конструкцій, зокрема корпусів літальних апаратів, суднових конс-

трукцій, корпусів двигунів, лопаток вітрових генераторів енергії, тобто

конструкцій, де потрібні одночасно високі характеристики міцності, жорсткості,

демпфування при малій масі, залежить від вибору параметрів структури: коефі-

цієнтів армування, концентрації, топології, тобто розподілення матеріалу в

об'ємі. Необхідність вибору оптимального рішення при проектуванні таких конс-

трукцій обумовлює необхідність використання методів оптимізації.

Задача проектування оптимальної конструкції полягає у визначенні параме-

трів армування та структури з метою одержання оптимального проекту, який

забезпечує задані умови оптимальності. Зазначимо, що поняття "оптимальний

проект" при багатокритеріальній оптимізації є до деякої міри некоректним, оскі-

льки одержати розв'язок, який задовольняє умови екстремальності одночасно

всіх заданих критеріїв, неможливо, і необхідно розглядати компромісні варіанти.

У результаті приходимо до необхідності врахування точки зору проектувальника

для вибору з множини оптимальних розв'язків, які не можна поліпшити за жод-

ним із критеріїв, не погіршивши інших – такого, який буде його влаштовувати.

Багатокритеріальна або векторна оптимізація полягає у визначенні множини

векторів параметрів оптимізації 1 2 nx x x x X , які задовольняють

прийняті обмеження 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0ng x g x g x g x і оптимізують вектор-

функцію критеріїв оптимізації 1 2( ) ( ) ( ) ( )ny f x f x f x f x Y , де Х – у

даному випадку простір розв'язків, а Y – критеріальний простір. Допустима мно-

264

жина розв'язків D визначається як множина векторів розв'язків х, які задоволь-

няють обмеження ( ) 0g x :

( ) 0D x X g x ,

а допустима область у критеріальному просторі –

( )DY f D .

У більшості випадків критерії оптимізації ( )if x є суперечливими, тобто по-

кращення одного приводить до погіршення інших. У цьому випадку визначення

оптимальних рішень можливе тільки на основі принципу Парето, відповідно до

якого розв'язок kx D називається непокращуваним, якщо в допустимій множи-

ні розв'язків не існує іншого розв'язку, який за усіма критеріями не гірше, а хоч

би за одним критерієм строго краще, ніж kx . Множину таких точок-розв'язків на-

зивають множиною Парето, а їх відображення в критеріальному просторі –

фронтом Парето. Таким чином, першим етапом розв'язання задачі багатокритері-

альної оптимізації є визначення множини і фронту Парето.

5.2 Методи багатокритеріальної оптимізації на основі RGA

Задачі оптимізації для конструкцій, які працюють в умовах динамічних на-

вантажень, у більшості випадків формулюються як багатокритеріальні, оскільки

при проектуванні таких конструкцій необхідно забезпечити декілька умов опти-

мальності, які часто суперечать одна одній. До таких умов, як правило, відносять

високі демпфуючі властивості, мінімум амплітуд коливань, задане розподілення

частот, швидкість затухання коливань, мінімальну масу тощо. До особливостей

проектування композитних конструкцій слід також віднести велику кількість

проектних параметрів і багатоекстремальність задач оптимізації, необхідність

програмного обчислення цільових функцій і градієнтів, що часто призводить до

неможливості використання класичних методів оптимізації. Стосовно задач ди-

наміки в'язкопружних конструкцій з'являються додаткові труднощі, пов'язані з

вибором методів розв'язання рівнянь динаміки. До проектних параметрів та

265

змінних стану можуть пред'являтися обмеження на діапазон прийнятних рішень.

Як відомо, врахування обмежень суттєво ускладнює одержання розв'язку у кла-

сичних методах оптимізації, у зв'язку з чим необхідно віддати перевагу методам,

які є нечутливими до характеру зміни критеріїв оптимізації і принципово не

ускладнюються при наявності обмежень. Такі методи розробляються на основі

еволюційних, зокрема генетичних, алгоритмів [107]. Ефективність застосування

еволюційних методів при визначенні глобальних екстремумів у задачах оптимі-

зації багатошарових конструкцій з шарів в'язкопружних матеріалів, армованих

волокнами, було показано, зокрема, у Розділі 4.

Відомо декілька найбільш поширених генетичних алгоритмів векторної оп-

тимізації, які відрізняються один від одного способами реалізації основних

операцій генетичного алгоритму і способами визначення множини непокращу-

ваних рішень [318]. Для визначення оптимальних динамічних характеристик

багатошарових конструкцій з композиційних в'язкопружних матеріалів, армова-

них волокнами, у представленій роботі застосовано варіант генетичного

алгоритму з дійсним кодуванням RGA (Розділ 4), який використовує основану на

Парето-домінуванні процедуру ранжирування розв'язків, де ранг кожного розв'я-

зку (індивіда) визначається числом домінуючих його індивідів.

Проектними змінними є характеристики кожного моношару: коефіцієнти

армування і концентрації, геометричні параметри структури, товщини шарів,

властивості матеріалів, що складають композит.

Критеріями оптимізації вибиралися максимальний декремент коливань, мі-

німальна маса, максимальна швидкість затухання коливань, максимальна або

мінімальна перша частота, максимальна відстань між першою і подальшими час-

тотами,

Схему алгоритму безумовної багатокритеріальної оптимізації показано на

рис. 5.1. Врахування обмежень на змінні стану, на відміну від класичних методів,

органічно вписується у послідовність реалізації алгоритму оптимізації. Схему

алгоритму умовної багатокритеріальної оптимізації показано на рис. 5.2.

266

Рис. 5.1. Схема алгоритму безумовної багатокритеріальної оптимізації

* Функція пристосованості (fitness) у багатокритеріальній оптимізації – кількість

точок, які домінують дану точку

Обчислення вектора критеріїв для кожної точки




точок


Мутація (повторюється

NMUT разів)

Вибір то-чки

Мутація




Множина Парето

Кількість

поколінь

MA

XG

EN

Завершення

процесу

Прирівнювання функції пристосованості* для кожної точки до 0

Перевірка домінування для кожної пари точок, і для кожної домінованої точки збільшення значення функції пристосованості на 1

Генерування початкової популяції точок –

послідовність Холтона

267

Рис. 5.2. Схема алгоритму умовної багатокритеріальної оптимізації

Обчислення вектора критеріїв для кожної точки



Множина Парето

Кількість

поколінь

– M

AX

GE

N

Завершення процесу

Прирівнювання функції пристосованості для кожної точки до 0

Перевірка домінування для кожної пари точок, і для кожної домінованої точки збільшення значення

функції пристосованості на 1

Перевірка задоволення умови

Ні

Так

Генерування початкової популяції точок

Вибір випадкової точки

Занесення точки до початкової популяції

Так


Вибір пари батьківських точок


Мутація (повторюється NMUT разів)


Мутація



Перевірка задоволення

умови

Ні Перевірка задоволення

умови

Ні Так

268

Критеріями оптимізації вибиралися максимальний декремент коливань, мі-

німальна маса, максимальна швидкість затухання коливань, максимальна або

мінімальна перша частота, максимальна відстань між першою і подальшими час-

тотами.

У результаті виконання програми визначається множина недомінованих ро-

зв'язків, апроксимуючих множину Парето для даної задачі, і відповідний

недомінований фронт. Для одержання єдиного розв'язку далі необхідно залучити

додаткові міркування про відносну важливість критеріїв [113], тобто необхідно

використовувати умови, за якими серед критеріїв оптимізації вибираються більш

і менш прийнятні. Ця функція виконується проектувальником.

5.3 Приклади розв'язання задач багатоекритеріальної оптимізації для

елементів конструкцій

5.3.1 Проектування багатошарового стрижня

Композитні конструкції, як правило, проектуються на декількох рівнях. По-

чаткова структура утворюється з гомогенних матеріалів з використанням

вибраної і технологічно можливої схеми армування. На цьому етапі розглядаєть-

ся характерний об'єм композиційного матеріалу, і визначаються його ефективні

характеристики, які враховують особливості армування і властивості матеріалів,

які складають композит. На відміну від однорідного, такий квазіоднорідний ма-

теріал має ряд додаткових внутрішніх параметрів, які істотно розширюють

можливості варіювання властивостей отриманого КМ.

Наступним етапом є отримання моношару з такого матеріалу з урахуванням

виду напруженого стану і фізичних та кінематичних гіпотез. Побудова матема-

тичної моделі багатошарової конструкції з моношарів композитного матеріалу,

яка враховує особливості сумісної роботи шарів, приводить до появи додаткових

параметрів, які можуть використовуватися як параметри оптимізації.

269

Далі одержуються розв'язки для вільних і вимушених коливань відносно па-

раметрів стану для подальшого обчислення критеріїв оптимізації.

На останньому етапі відбувається вибір і застосування методів оптимізації

для розв'язання конкретних задач.

Використаємо розроблений варіант генетичного алгоритму з дійсним коду-

ванням RGA [1] для визначення оптимальних динамічних характеристик

багатошарових конструкцій з композиційних в'язкопружних матеріалів, армова-

них волокнами. Проектними змінними є характеристики кожного моношару:

коефіцієнти армування і концентрації, геометричні параметри структури, товщи-

ни шарів, властивості матеріалів, що складають композит.

Математичну модель конструкції побудовано за допомогою напіваналітич-

ного варіанту МСЕ, при якому для апроксимації переміщень по товщині пакета

шарів використовуються многочлени Лагранжа. а по двох інших осях координат

переміщення описуються за допомогою глобальних функцій, що враховують

умови закріплення на торцях (Розділ 3).

Побудована математична модель дозволяє визначити масу, частоту і декре-

мент коливань, амплітуду коливань при стаціонарних і нестаціонарних

коливаннях за заданими комплексними модулями матеріалів, які складають ком-

позиційний матеріал кожного шару.

У представленій роботі з використанням побудованої математичної моделі

розглянуто задачі багатокритеріальної оптимізації багатошарового стрижня з

шарами армованих волокнами в'язкопружних матеріалів (рис. 5.3) з урахуванням

розсіювання енергії. Значення комплексних модулів (модуля об'ємної деформації

і модуля зсуву) матеріалів приймали такими:




270

Рис. 5.3. Багатошаровий стрижень з композиційних матеріалів

Вектор проектних параметрів в усіх задачах приймався таким:

1 2 7 1 2 7 1 2 7, ,..., , , ,..., , , ,...,x h h h ,

де ,i i – відповідно коефіцієнти і кути армування, ih – товщини шарів.


0,1 0,9; 0 ; 0,001 0,0052

h

м.

Оскільки швидкість затухання пропорційна добутку декремента коливань і

частоти при заданій величині амплітуди коливань, цей добуток можна викорис-

тати як критерій швидкості затухання коливань (Розділ 4). Врахування частоти

непрямим чином впливає на жорсткість конструкції і не допускає істотного зни-

ження коефіцієнта армування.

1. Багатошаровий стрижень з мінімальною масою і максимальною швидкіс-

тю затухання коливань.

Критерій оптимальності приймали у вигляді

1 1( ) , minx mass .

Результати розрахунку показано на рис. 5.4 у вигляді множини оптимальних

розв'язків (фронту Парето). Будь-яка точка множини Парето є оптимальною (не-

покращуваною) – її неможливо покращити за жодним із критеріїв оптимальності,

не погіршуючи інші критерії. Для двокритеріальної задачі фронт Парето визна-

чається точками, що лежать у просторі критеріїв оптимальності на деякій кривій.

271

При максимальній швидкості затухання 1 1 19,0212 і масі

89,0646mass кг вектор проектних параметрів є таким:

х = (0,9000 0,9000 0,1094 0,1031 0,1863 0,9000 0,9000

1,5495 1,5215 1,5708 1,5554 1,5708 1,5632 0,0262

0,0050 0,0048 0,0050 0,0050 0,0050 0,0015 0,0050).

При мінімальній масі 42,9153mass кг і швидкості затухання

1 1 8,5061 вектор проектних параметрів є таким:

х = (0,9000 0,5827 0,1000 0,3966 0,2548 0,1000 0,6300

1,5065 1,5708 1,1951 1,5683 1,5708 1,5128 0

0,0050 0,0010 0,0011 0,0010 0,0010 0,0010 0,0050).

Рис. 5.4. Фронт Парето при оптимізації 7-шарового стрижня за критеріями

максимальної швидкості затухання коливань і мінімальної маси

2. Багатошаровий стрижень з мінімальною першою і максимальною другою

частотою.


272

( ) 1, 2 minx .

Результати розрахунку у вигляді фронту Парето показано на рис. 5.5.


мінімальної першої і максимальної другої частоти

Як видно з графіка, характер кривої є складним. При мінімальній першій ча-

стоті 1 8,6094 1/ c і другій 2 6976,1843 1/ c вектор проектних параметрів

має вигляд:

х = (0,1000 0,1959 0,8999 0,9000 0,9000 0,1000 0,1035

1,5708 1,3944 0,0746 0 1,5708 1,5081 1,5708

0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010).

При максимальній другій частоті 2 10767,92 1 / c і першій

1 40,3415 1 / c вектор проектних параметрів має вигляд:

х = (0,1047 0,8697 0,9000 0,9000 0,8997 0,9000 0,1051

1,2656 0 0,0004 0,0001 0 1,4791 1,3583

0,0010 0,0010 0,0010 0,0050 0,0010 0,0010 0,0010).

273

3. Багатошаровий стрижень з максимальним декрементом, максимальною

першою частотою і мінімальною масою.


1 1( ) , , minx mass .

Результати розрахунку показано на рис. 5.6. Для трьохкритеріальної задачі

точки фронту Парето розташовані на деякій площині.

Рис. 5.6. Фронт Парето при оптимізації 7-шарового стрижня за критеріями мак-

симального декремента коливань, максимальної частоти і мінімальної маси

При максимальному декременті 0,2194 , першій частоті 1 65,0959 1 / c

і масі 65,2997mass кг вектор проектних параметрів є таким:

х = (0,9000 0,8945 0,8772 0,1000 0,8146 0,6769 0,9000

1,5708 1,5708 1,5708 1,5708 0,0475 0 0,0718

0,0041 0,0048 0,0038 0,0011 0,0050 0,0039 0,0045).

274

При максимальній першій частоті 1 163,6266 1/ c , декременті 0,0147

і масі 91,2645mass кг вектор проектних параметрів є таким:

х = (0,8969 0,9000 0,9000 0,6797 0,9000 0,8841 0,9000

0 1,5006 0 0 1,5667 0,4314 0,0496

0,0050 0,0050 0,0046 0,0028 0,0050 0,0046 0,0050).

При мінімальній масі 29,5191mass кг, першій частоті 1 56,1504 1 / c і

декременті 0,0074 вектор проектних параметрів є таким:

х = (0,8984 0,8643 0,9000 0,8692 0,8794 0,1000 0,9000

0 0,2765 1,5708 0 1,5708 0,1662 0,0801

0,0015 0,0021 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0027).

4. Багатошаровий стрижень з максимальним декрементом, максимальною

швидкістю затухання коливань і мінімальною масою.


1 1 1( ) , , minx mass .

Результати розрахунку показано на рис. 5.7.

При максимальному декременті 0,3049 , швидкості затухання

1 1 7,1286 і масі 64,9725mass кг вектор проектних параметрів є таким:

х = (0,6385 0,2078 0,3101 0,6722 0,7980 0,9000 0,4528

1,5685 1,5708 1,5708 1,4666 1,5708 1,5516 1,5708

0,0047 0,0011 0,0050 0,0050 0,0010 0,0010 0,0050).

При максимальній швидкості затухання коливань 1 1 16,7840 , декреме-

нті 1 0,2840 і масі 86,9889mass кг вектор проектних параметрів є таким:

x = (0,9000 0,9000 0,1139 0,9000 0,9000 0,9000 0,8984

1,5708 1,5708 1,5708 1,3552 1,2629 1,4419 1,5708

0,0038 0,0050 0,0028 0,0050 0,0039 0,0050 0,0050).

При мінімальній масі 24,5517mass кг, швидкості затухання

1 1 4,0745 і декременті 1 0,2923 вектор проектних параметрів є таким:

275

x = (0,8390 0,7618 0,1000 0,5833 0,9000 0,1020 0,9000

1,4993 1,5488 1,5416 1,5133 1,5708 1,4430 1,4782

0,0010 0,0014 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0022).

Як видно з наведених рисунків 5.4-5.7, розроблена методика оптимізації до-

зволяє отримувати множину непокращуваних розв'язків (точок Парето) і

відповідний фронт Парето в задачах оптимального проектування багатошарових

конструкцій з в'язкопружних матеріалів за великої кількості параметрів проекту-

вання.


максимального декремента, максимальної швидкості затухання коливань

і мінімальної маси

Для вибору єдиного оптимального проекту з множини розв'язків Парето не-

обхідно вибрати варіант, прийнятний для проектувальника або особи, що

приймає рішення (ОПР) [113].

276

З метою зменшення суб'єктивного чинника при виборі найбільш прийнятно-

го варіанту відомими є ряд методів, зокрема методів, які ґрунтуються на

приведенні задачі багатокритеріальної оптимізації до задачі однокритеріальної

оптимізації [78, 79, 113]. Отримувані при цьому проекти, як правило, можна по-

ліпшити за одним або декількома окремими критеріями, тобто, власне кажучи,

вони не є оптимальними. У зв'язку з цим для вибору прийнятного оптимального

проекту доцільно спочатку визначити множину точок Парето і вже потім, за не-

обхідності, використовувати формалізовані процедури вибору [78, 79].

5.3.2 Багатокритеріальна оптимізація багатошарової оболонки з в'язко-

пружних матеріалів, армованих волокнами

Побудову математичної моделі конструкції покажемо на прикладі цилінд-

ричної багатошарової оболонки з великою кількістю шарів, армованих

волокнами з більш міцного і жорсткого матеріалу (рис 4.8).

Матеріали основи і армуючих волокон є в'язкопружними і можуть бути ані-

зотропними (монотропними). Ефективні параметри композитних матеріалів

визначаються з використанням методики, представленої у Розділі 2, і залежать

від коефіцієнтів і кутів армування, а також фізико-механічних параметрів матері-

алів – складових композита.

а) б)

Рис. 5.8. Циліндрична оболонка (а); структура матеріалу (б)

277

Модель багатошарової оболонки побудовано з використанням апроксимації

переміщень по товщині оболонки за допомогою інтерполяційних поліномів Лаг-

ранжа. Переміщення у напрямку двох інших координат апроксимуються рядами

Фур'є з координатними функціями, відповідними умовам закріплення на торцях

оболонки.

Синтез багатошарової оболонки здійснювався шляхом об'єднання розрахун-

кових шарів у багатошаровий пакет у припущенні про відсутність переміщень на

границях контакту.

Рівняння коливань відносно у просторі зображень Фур'є одержано у вигляді

(Розділ 3):

ˆ ˆˆ( ) ( ) ( )i i i K M q F

Для одержання рівняння коливань багатошарової оболонки необхідно об'єд-

нати шари у відповідності з умовами з'єднання, які для прийнятої лінійної

апроксимації мають вигляд (рис. 5.9):

( ... )k ki jq q k n , ( )k k k k

j xj yj zjq q q q j i

Рис. 5.9. Умови з'єднання шарів для лінійної апроксимації переміщень

по товщині шару

Для аналізу вільних коливань становлять інтерес частоти коливань і па-

раметри, що характеризують затухання коливань, зокрема декремент коливань

або швидкість затухання коливань.

Постановку задачі багатокритеріальної векторної оптимізації представлено

у підрозділі 5.1.

278

Для розв'язання задачі використаємо розроблений варіант генетичного алго-

ритму RGA.

У результаті виконання програми визначається множина недомінованих ро-

зв'язків, які апроксимують множину Парето задачі, яка розглядається, і

відповідний недомінований фронт.

Для одержання єдиного розв'язку далі необхідно застосувати додаткові мір-

кування про відносну важливість критеріїв [113].

Розглянемо багатошарову циліндричну оболонку з шарами армованого во-

локнами матеріалу. Матеріали основи і армуючих волокон мають в'язкопружні

властивості.

Кожний шар є квазіоднорідним з ефективними характеристиками, які зале-

жать від коефіцієнта і кута армування, а також від комплексних модулів

матеріалів, які складають композит. Кількість шарів в оболонці n .

Характеристики матеріалу основи:

– модуль зсуву 9 80,8 10 0,8 10мG i Па , модуль об'ємної деформації

9 84 10 4 10мK i Па , густина 3 32 10м кг м .

Характеристики матеріалу армуючих волокон:

– модуль зсуву 11 80,8 10 0,8 10вG i Па , модуль об'ємної деформації

9 84 10 4 10вK i Па , густина 3 35 10в кг м .

Довжина оболонки 4L м, радіус внутрішньої поверхні оболонки

0,5R м, товщини шарів змінюються у заданих границях, у даному випадку

(0,0002 0,0008)ih м, ( )i .

Вектор проектних параметрів приймемо у вигляді

1 2 15 1 2 15 1 2 15, , , , , , , , , , ,x h h h ,

де , ,i i ih – відповідно коефіцієнти армування, кути армування, товщини шарів.

Граничні умови приймемо у вигляді:

min max0 1, 0 ,2i i ih h h

.

Форми коливань:

279

sin cos ,

cos sin ,

sin sin .

umn

m n

vmn

m n

wmn

m n

m xu q n

L

m xv q n

L

m xw q n

L

В усіх задачах приймали 1, 1m n .

Далі представлено результати оптимізації циліндричної оболонки за декіль-

кома векторними критеріями.

1. Оболонка з максимальним декрементом і мінімальною масою.

Критерій оптимальності приймали у вигляді:

( ) , minx mass .

Результати представлено на рис. 5.10 у вигляді множини оптимальних роз-

в'язаків (фронту Парето).

Рис. 5.10. Фронт Парето при оптимізації 15-шарової циліндричної оболонки за

критеріями максимального декремента і мінімальної маси

280

Будь-яка точка множини Парето є оптимальною (непокращуваною) – її не-

можливо покращити з одним із критеріїв, не погіршивши інші критерії.

Для двокритеріальної задачі фронт Парето представляє собою точки, що ле-

жать на деякій кривій.

2. Оболонка с максимальним добутком декремента коливань і частоти та мі-

німальною масою.

Декремент коливань при всій важливості розсіювання енергії у динаміці

конструкцій не є єдиним параметром, який визначає затухання коливань. У бага-

тьох випадках більш важливим є швидкість затухання коливань, яку можна

визначити як добуток "декремент*частота" на даній формі (Розділ 4). Врахуван-

ня частоти непрямим чином впливає на жорсткість оболонки і не допускає

суттєвого зниження коефіцієнта армування.

У другій задачі критерій оптимізації приймали у вигляді:

( ) * , minx mass .

Фронт Парето для оптимальної оболонки показано на рис. 5.11.

Рис. 5.11. Фронт Парето при оптимізації 15-шарової циліндричної оболонки за

критеріями максимального добутку декремента на частоту і мінімальної маси

281

3. Оболонка з максимальними декрементом коливань і першою частотою та

мінімальною масою.

Критерій оптимізації приймали у вигляді

( ) , , minx mass .

Результати оптимізації показано на рис. 5.12. Для трьохкритеріальної задачі

точки фронту Парето лежать на деякій поверхні.

Рис. 5.12. Фронт Парето при оптимізації 15-шарової циліндричної оболонки

за критеріями максимальними декрементом коливань і частотою та мінімальною

масою

4. Оболонка з мінімальною першою частотою та максимальною різницею

(відстанню) між першою і подальшими частотами.

Критерій оптимізації приймали у вигляді

1 2 3( ) , , minx .

282

Масив оптимальних розв'язків, відповідних фронту Парето, представлено на

рис. 5.13.

Рис. 5.13. Фронт Парето при оптимізації 15-шарової циліндричної оболонки

за трьома критеріями: мінімальною першою і максимальними другою та третьою

частотами

У наведених задачах розглянуто комплексну методику багатокритеріальної

оптимізації оболонок з в'язкопружних композиційних амтеріалів, яка базується

на методиці визначення ефективних властивостей армованого матеріалу, методі

скінченно-елементного моделювання багатошарових оболонок у просторі перет-

ворень Фур'є та еволюційних методах оптимізації. Методика дозволяє визначати

оптимальні параметри композитних конструкцій, працюючих при динамічних

навантаженнях при наявності великої кількості параметрів оптимізації, декількох

конкуруючих критеріях оптимізації та алгоритмічному визначенні функцій оп-

тимізації.

283

5.3.3 Багатокритеріальна оптимізація композитної пологої оболонки

при обмеженнях на параметри проекту та змінні стану

Розглянемо 15-шарову пологу оболонку з шарами армованого волокнами

матеріалу (рис. 5.14). Матриця основи і армуючі волокна є в'язкопружними мате-

ріалами. Кожний шар виготовлено з армованого волокнами композиційного

матеріалу з ефективними характеристиками, які залежать від коефіцієнтів і кутів

армування, а також від комплексних модулів матеріалів – складових композита

(Розділ 2).

Рис. 5.14. Багатошарова полога оболонка з шарами армованих волокнами

в'язкопружних матеріалів

Характеристики матеріалу основи:

– модуль зсуву 9 80,8 10 0,8 10мG i Па ,

– модуль об'ємної деформації 9 84 10 4 10мK i Па ,

– густина 3 31,2 10м кг м .

Характеристики матеріалу армуючих волокон:

– модуль зсуву 11 80,8 10 0,8 10вG i Па ,

– модуль об'ємної деформації 11 84 10 4 10вK i Па ,

– густина 3 32,8 10в кг м .

284

Габаритні розміри оболонки 4 , 4l м b м , товщини шарів змінюються в

заданих межах. Радіуси кривини у зв'язку з пологістю оболонки приймалися од-

наковими для усіх шарів 31 2 10 .R R м

Вектор проектних параметрів:

, , , , , , , , , , ,x h h h ,

де , ,i i ih – відповідно коефіцієнти армування, кути армування, товщини ша-

рів.

Обмеження на параметри проекту:

min max0 1, 0 ,2i i ih h h

, (i =1÷15).

В усіх представлених далі задачах розглядалися коливання на першій формі

( ,m n ).

Далі наведено результати оптимізації оболонки за декількома векторними

критеріями.

1. Оболонка з максимальним декрементом коливань і мінімальною масою.

Векторний критерій оптимальності:

( ) , minx mass ,

де 1 – декремент коливань, відповідний прийнятій формі, mass – маса елемен-

та оболонки розмірами H м (Н – товщина оболонки).

Крім обмежень на параметри проектування lb x ub , (підрозділ 4.4.4),

вводилися обмеження на нижню частоту коливань 0 0(1,1) , 30 1 c .

Результати визначення оптимальних значень вектора параметрів проекту-

вання представлено на рис. 5.15 у вигляді множини оптимальних розв'язків

(фронту Парето).

2. Оболонка з максимальними декрементом і частотою коливань на першій

формі при мінімальній масі.

Критерій оптимізації приймали у вигляді:

( ) , max.x

285

Крім вказаних вище обмежень на проектні параметри оболонки lb x ub ,

враховувалися також обмеження на масу ,mass m m кг .

Фронт Парето для оптимальних проектів оболонки показано на рис. 5.16.

Рис. 5.15. Фронт Парето при оптимізації 15-шарової пологої оболонки

за критеріями максимального декремента коливань і мінімальної маси

при обмеженнях знизу на першу частоту коливань

Рис. 5.16 Фронт Парето при оптимізації 15-шарової пологої оболонки за крите-

ріями максимального декремента і частоти коливань при обмеженнях на масу

286

3. Оболонка с максимальною першою частотою, мінімальною масою і з об-

меженням знизу на величину декремента коливань.


( ) , minx mass , обмеження – lb x ub , 1 0 0, 0,08 .

Фронт Парето для оптимальних варіантів оболонки показано на рис. 5.17.

Рис. 5.17. Фронт Парето при оптимізації 15-шарової пологої оболонки за

критеріями максимальної частоти коливань на першій формі і мінімальної маси

при обмеженнях на декремент коливань

Як видно з наведених рис. 5.15-5.17, розроблена методика оптимізації до-

зволяє одержати множину непокращуваних розв'язків (точок Парето) і

відповідний фронт Парето у задачах оптимального проектування багатошарових

оболонок з в'язкопружних матеріалів при великій кількості параметрів проекту-

вання та обмеженнях на значення параметрів і змінні стану.

Для розв'язання задачі єдиного оптимального проекту з множини розв'язків

Парето необхідно вибрати варіант, прийнятний для проектувальника або особи,

яка приймає рішення (ОПР) [113]. З метою зменшення суб'єктивного фактора

при виборі найбільш прийнятного варіанту запропоновано ряд методів, зокрема

287

методів, заснованих на зведенні задачі багатокритеріальної оптимізації до задачі

однокритеріальної оптимізації [78, 79, 113].

Одним із таких методів є метод справедливого компромісу (МСК) [78, 79].

Як додаткова інформація у МСК використовується припущення про однакову

важливість усіх частинних критеріїв, а також положення про справедливий ком-

проміс, яке визначається відношенням переваги розв'язків. У відповідності з цим

положенням розв'язок х1, вибраний з множини розв'язків Парето, переважає роз-

в'язок х2 з цієї ж множини, якщо максимальне відносне підвищення якості

розв'язку х1 за сукупністю частинних критеріїв оптимальності перевищує віднос-

не зниження якості розв'язку х2.

Відносна зміна якості розв'язку за кожним з k критеріїв для двох вибраних

розв'язків визначається виразом

1 21 2

1 2

( ) ( )( , ) , 1, ,

max ( ) , ( )k k

kk k

x xx x k S

x x

де ( 1)k x – значення k -го частинного критерію оптимальності для розв'язку x1.

Перевага одного з двох вибраних розв'язків визначається максимальним і

мінімальним значенням вектора

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ), ( , ), , ( , ) .Sx x x x x x x x

При max ( , ) min ( , )x x x x розв'язок x2 переважає розв'язок x1,

при max ( , ) min ( , )x x x x – навпаки, розв'язок x1 переважає розв'язок

x2 в указаному вище сенсі.

Точки, відповідні вибраним компромісним варіантам розв'язків для трьох

розглянутих задач, виділено кружками на рис. 5.15-5.17.


1. Представлено комплексну методику багатокритеріальної векторної опти-

мізації оболонок з в'язкопружних композиційних матеріалів, яка базується на

методі визначення ефективних властивостей армованого матеріалу, скінченно-

288

елементному моделюванні багатошарових оболонок у просторі перетворень Фу-

р'є і еволюційних методах оптимізації.

2. Використання розробленого методу оптимізації RGA дозволяє визначити

оптимальні параметри композитних конструкцій, працюючих при динамічних

навантаженнях при наявності великої кількості параметрів оптимізації, декількох

суперечливих критеріїв оптимізації з використанням алгоритмічно визначуваних

функцій оптимізації, обмежень на проектні параметри і параметри стану.

3. Показано, що для одержання єдиного найбільш прийнятного варіанту ро-

зв'язку необхідно використати додаткові міркування.

Матеріали розділу опубліковано в роботах [163, 164, 165, 166, 176, 177, 178].

289

РОЗДІЛ 6

ОПТИМІЗАЦІЯ ФОРМИ КОМПОЗИТНИХ КОНСТРУКЦІЙ

У процесі проектування машинобудівних конструкцій для роботи в умовах

динамічних навантажень виникає проблема оптимального вибору матеріалів і їх

розміщення у конструкції, наприклад, при плануванні розміщення демпфуючих і

несучих елементів з метою підвищення ефективності їх функціонування. Метою

оптимізації може бути зміна частотного спектра, збільшення декрементів коли-

вань, підвищення характеристик міцності тощо.

Для розв'язання таких задач у більшості випадків використовують алгорит-

ми теорії нелінійного програмування (ТНП). З ускладненням конструкцій і

появою нових матеріалів класичні алгоритми ТНП виявилися неефективними у

зв'язку з суттєвим збільшенням кількості проектних параметрів, ускладненням

обмежень і критеріїв оптимізації, які часто визначаються програмними засобами.

Суттєвим недоліком класичних градієнтних алгоритмів ТНП є складність визна-

чення похідних цільових функцій і обмежень, а також принципова

налаштованість на визначення локальних екстремумів. Саме ці особливості за-

важали і продовжують заважати широкому впровадженню класичних алгоритмів

ТНП у практику проектування оптимальних конструкцій.

У зв'язку з цим в роботі розроблено метод оптимізації RGA на основі гене-

тичних алгоритмів, які мають суттєві переваги перед класичними пошуковими

методами, не кажучи вже про методи простого перебору, і дозволяють з великою

долею вірогідності знаходити глобальні екстремуми [104, 290].

У процесі проектування багатошарових конструкцій можна використати два

шляхи одержання оптимального проекту: модифікація матеріалу і модифікація

конструкції. Приклади першого підходу наведено в Розділах 4 і 5. Другий підхід

називають топологічною оптимізацією або оптимізацією форми. Як показано в

Розділі 4, ефективний процес оптимального проектування можна побудувати на

основі еволюційних методів оптимізації, зокрема генетичних алгоритмів.

290

Задача топологічної оптимізації полягає у визначенні оптимального розмі-

щення елементів покриття у багатошаровій конструкції або вибору послідовності

укладки шарів матеріалів із заданими параметрами, зокрема кутами і коефіцієн-

тами армування з метою забезпечення оптимуму критерію оптимізації, яким

може бути декремент коливань, перша частота, швидкість затухання коливань

тощо. За наявності великої кількості елементів такі задачі не можна розв'язати

простим перебором, наприклад, для 15-шарового пакета необхідно розглянути

понад 121,308 10 варіантів.

Для багатокритеріальної оптимізації задача ще більш ускладнюється, оскі-

льки необхідно задовольнити декілька критеріїв оптимальності, які часто є

суперечливими, тому поняття "оптимальний проект" при багатокритеріальній

оптимізації є до деякої міри некоректним, оскільки одержати розв'язок, який за-

довольняє умови екстремальності одночасно всіх заданих критеріїв, неможливо, і

необхідно розглядати компромісні варіанти. У цьому випадку визначення опти-

мальних рішень можливе тільки на основі принципу Парето [113], відповідно до

якого розв'язок називається непокращуваним, якщо у допустимій множині роз-

в'язків не існує іншого розв'язку, який за усіма критеріями не гірше, а хоч би за

одним критерієм строго краще, ніж цей розв'язок. Множина таких точок-

розв'язків є множиною Парето, а їх відображення в критеріальному просторі –

фронтом Парето.

Для визначення векторів проектних параметрів, які забезпечують задані

умови оптимальності, у роботі використано розроблені варіанти класичного ГА

та ГА з дійсним кодуванням RGA [1].

6.1 Топологічна оптимізація багатошарової пологої оболонки

6.1.1 Метод топологічної оптимізації

Процес топологічної оптимізації розглянемо на прикладі проектування бага-

тошарової оболонки з шарами в'язкопружних матеріалів, армованих волокнами.

291

Задачу оптимізації сформулюємо як вибір порядку розташування шарів ма-

теріалів із заданими властивостями, зокрема коефіцієнтами та кутами армування,

у 15-шаровому пакеті. Оскільки задача вибору формулюється в області цілих чи-

сел, для розв'язання задачі скористаємося розробленим варіантом класичного

генетичного алгоритму BGA [1]. Детально метод описано вище у Розділі 4.

У застосованому в роботі варіанті класичного ГА розглядається популяція

індивідів – векторів, що описують конструкцію.

Варіанти побудови конструкції кодуються векторами з N елементів, які від-

повідають шарам конструкції. Кожний з цих елементів містить значення в

діапазоні ; k вибору матеріалу для відповідного шару. Для кожного матеріалу

задано кут і коефіцієнт армування.

Для генерації кожного покоління популяції здійснюється схрещування на-

бору пар особин, обраних за допомогою рулеткового алгоритму, тобто

ймовірність вибору деякого індивіда для схрещування обернено пропорційна йо-

го позиції в рейтингу за значенням цільової функції. Для схрещування

використовується оператор двоточкового кросинговеру. Крім того, для деяких

індивідів здійснюється мутація, у випадку якої один із генів індивіда змінюється

на нове випадкове число в заданому діапазоні ; k . Нова популяція складається

з індивідів, одержаних шляхом схрещування і мутації, а також частини найбільш

пристосованих точок попередньої популяції, тобто точок із найкращим значен-

ням цільової функції. Ця процедура повторюється протягом фіксованої кількості

поколінь.

Результатом розв'язання задачі глобальної оптимізації є порядок шарів ма-

теріалів із заданими властивостями, який забезпечує мінімум або максимум

вибраного критерію оптимізації. Для задачі багатокритеріальної оптимізації у ре-

зультаті виконання програми визначається множина недомінованих розв'язків,

апроксимуючих множину Парето для даної задачі, і відповідний недомінований

фронт Парето. Для одержання єдиного розв'язку далі необхідно залучити додат-

кові міркування про відносну важливість критеріїв [113], тобто необхідно

292

використовувати умови, за якими серед критеріїв оптимізації вибираються більш

і менш прийнятні. Ця функція виконується проектувальником.

6.1.2 Побудова математичної моделі коливань оболонки

Розглянемо пологу оболонку, виготовлену з шарів армованого волокнами

матеріалу з в'язкопружними властивостями. Для побудови математичної моделі

композитних конструкцій, яка враховує особливості взаємодії складових елемен-

тів (для оболонки − шарів) і в'язкопружні властивості матеріалів, у Розділі 3

запропоновано напіваналітичний метод скінченно-елементного моделювання у

просторі інтегральних перетворень Фур'є. При цьому для опису розсіювання ене-

ргії у матеріалі виявилося можливим коректно використати комплексні модулі,

зв'язати розсіювання енергії з напружено-деформованим станом матеріалу, вра-

хувати частотну та температурну залежність розсіювання енергії, поставити і

розв'язати задачі проектування конструкцій з максимальними демпфуючими вла-

стивостями та задачі оптимального розміщення елементів пасивного

демпфування, зокрема для оболонок, частково вкритих демпфуючим матеріалом.

Згідно із запропонованим методом на першому етапі розглядається моношар

оболонки, після чого проводиться синтез багатошарової оболонки у відповіднос-

ті з умовами з'єднання шарів.

Для побудови скінченно-елементної моделі моношару використовується ап-

роксимація переміщень по товщині у вигляді поліномів Лагранжа, а у двох інших

напрямках (осі х, у) – у вигляді ортогональних рядів.

Розглянемо приклади синтезу багатошарової пологої оболонки з шарами в'я-

зкопружних композиційних матеріалів (рис. 6.1).

Приймаємо кусково-лінійну апроксимацію переміщень по товщині оболон-

ки і глобальну (з урахуванням граничних умов) по координатах ,x y . Зокрема,

при шарнірному закріпленні −

cos sinxyNu x y , sin cosxyNv x y , sin sinxyNw x y , (6.1)

293

, , , 1, 2, .m n

m nl b

Рис. 6.1. Розрахункова схема пологої оболонки

З урахуванням прийнятої апроксимації визначимо матрицю динамічної жор-

сткості шару, розглядаючи його як скінченний елемент,

ˆ ˆi i i Z K M , (6.2)

де ˆ iK – матриця жорсткості шару, яка залежить від комплексних модулів

матеріалу, М – матриця мас, – частота коливань, i .

Для багатошарової оболонки матриці динамічної жорсткості шарів об'єдну-

ються у глобальну матрицю

ˆ ˆi i i GZ GK GM (6.3)

у відповідності з кінематичними умовами з'єднання шарів шляхом прирівнюван-

ня відповідних переміщень контактуючих вузлових поверхонь (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Елемент шару оболонки

294

Для аналізу розсіювання енергії розглядається нелінійна задача на власні

значення

ˆ ˆi GZ q 0 . (6.4)

Власні числа і вектори матриці ˆ iGZ можна визначити за методикою, за-

пропонованою у Розділі 3.

Декремент коливань можна визначити за відомими власними значеннями

(комплексними частотами) матриці ˆ iGZ :

,k kk

k karctg

(6.5)

де k k ki – комплексна частота коливань, відповідна k-й формі.

6.1.3 Приклади топологічної оптимізації оболонки

Нижче наведено результати розв'язання задачі оптимізації − вибору послі-

довності розташування матеріалів із заданими характеристиками у пакеті шарів

оболонки. Розглядалася 15-шарова полога оболонка (рис. 6.3) з такими початко-

вими параметрами:

− габаритні розміри оболонки: 4 4 м;

− кривини: k1 = 0,001 1/м, k2 = 0,001 1/м;

− властивості армуючого матеріалу: об'ємний модуль і модуль зсуву –

11 81 4 10 4 10K iПа ,– 11 8

1 0,8 10 0,8 10G i Па , густина – 31 3

5 10кг

м ;

− властивості матеріалу основи: об'ємний модуль – 9 82 4 10 4 10K i Па ,

модуль зсуву – 9 82 0,8 10 0,8 10G i Па , густина –

кг

м

.

Компоненти матриці комплексних модулів композиційного матеріалу шарів

визначалися за методикою, наведеною у Розділі 2.

295

Рис. 6.3. Багатошарова полога оболонка

Початково вибір матеріалів проводився із заданого набору, наведеного в

табл. 6.1.

Таблиця 6.1

Початковий перелік заданих параметрів структури матеріалів

№ матері-алу

Кут армування

Коефіцієнт армування

№ матері-алу

Кут армування

Коефіцієнт армування

0 0 0,25 8 /3 0,75 1 /12 0,25 9 /4 0,75 2 /10 0,25 10 /6 0,75 3 /8 0,25 11 /8 0,75 4 /6 0,25 12 /10 0,75 5 /4 0,25 13 /12 0,75 6 /3 0,25 14 0 0,75 7 /2 0,5

Товщини шарів приймалися однаковими − ,h м.

Форми коливань − ,n m .

При виборі цільовою функцією декремента коливань одержано оптималь-

ний пакет шарів, який забезпечує максимум декремента на першій згинальній

формі:

7, 7, 7, 7, 7, 6, 6, 5, 5, 4, 4,1,14,14,14optx , 0,2265opt .

Для порівняння визначено декремент для довільних наборів шарів:

296

, , , , , , , , , , , , , ,x , , ;

, , , , , , , , , , , , , ,x , , .

Графік вільних коливань оболонки на першій формі згинальних коливань

для оптимального набору шарів наведено на рис. 6.4.

Рис. 6.4. Графік вільних коливань оболонки при оптимізації за декрементом

коливань: 7, 7, 7, 7, 7, 6, 6, 5, 5, 4, 4,1,14,14,14optx , 0,2265opt

При виборі критерієм оптимізації мінімальної частоти одержано такий пакет

шарів:

, , , , , , , , , , , , , ,optx , min 8,4693 1 c .

Для порівняння наведемо мінімальну частоту для інших варіантів:

, , , , , , , , , , , , , ,x , , c ;

, , , , , , , , , , , , , ,x , , c .

Осцилограму вільних коливань оболонки на першій формі згинальних коли-

вань для оптимального набору шарів показано на рис. 6.5.

297

Рис. 6.5. Осцилограма вільних коливань оболонки при оптимізації за мінімаль-

ною частотою 7, 7, 7, 7, 7, 6, 5, 5,10, 3, 0, 0, 0, 0, 0optx , min 8,4693 1 c

Декремент коливань у динаміці конструкцій не є єдиним параметром, який

визначає затухання коливань. У багатьох випадках більш суттєвим є швидкість

затухання коливань, яка є пропорційною добутку декремента і частоти на даній

формі. Врахування частоти побічно впливає на жорсткість оболонки і не допус-

кає значного зниження коефіцієнта армування.

При виборі критерієм оптимізації добутку декремента коливань на частоту

одержано такі результати:

, , , , , , , , , , , , , ,optx ,

max , , 0,1911 , 15,8 1 c .

Осцилограму вільних коливань оболонки на першій формі згинальних коли-

вань для оптимального набору шарів наведено на рис. 6.6.

298

Рис. 6.6. Осцилограма вільних коливань оболонки при оптимізації за швидкістю

затухання коливань: 9, 9, 9, 5, 4, 4, 4, 3,1, 0, 0,14,14,14,14optx , max 3,0180

Для порівняння швидкість затухання коливань для довільного набору шарів:

, , , , , , , , , , , , , ,x , , ;

, , , , , , , , , , , , , ,x , , .

Нижче показано осцилограми коливань для довільних пакетів шарів

(рис. 6.7, а, б). Як видно, для оптимальних оболонок початкова амплітуда є мен-

шою і швидкість затухання коливань є більшою.

Необхідно зазначити, що при виборі критерієм оптимізації максимального

декремента коливань, максимальної частоти і швидкості затухання (добутку дек-

ремента на частоту) одержано структуру оптимальних проектів оболонок, схожа

на тришарову, з більшим коефіцієнтом армування у зовнішніх шарах і меншим у

внутрішніх, при виборі критерієм мінімальної частоти – навпаки, коефіцієнт ар-

мування середнього шару більший, ніж зовнішніх.

299

а)

б)

Рис. 6.7. Графіки вільних коливань оболонки для довільних пакетів шарів:

а) , , , , , , , , , , , , , ,x ;

б) , , , , , , , , , , , , , ,x

Для перевірки одержаної закономірності виберемо інші набори матеріалів,

наведені в табл.6.2.

300

Таблиця 6.2

Перелік заданих параметрів для трьох наборів матеріалів

Результати оптимізації для трьох наборів матеріалів показано у табл.6.3

Таблиця 6.3

Результати оптимізації для трьох наборів матеріалів (з табл. 6.2)

Критерій оптимізації

Набір ма-теріалів


Швидкість зату-хання коливань

Частота, 1/с

Маса, кг

№ 1 0,2265 2,2168 9,9880 49,5 № 2 0,2382 2,5389 10,6577 50,25 max

№ 3 0,2408 2,5710 10,6773 50,25 № 1 0,1911 3,0180 15,7953 51,75 № 2 0,1868 2,9625 15,8575 51,75 max

№ 3 0,1903 3,0102 15,8204 51,75 № 1 0,2079 1,7606 8,4693 46,50 № 2 0,2027 1,6240 8,0132 44,25 min № 3 0,2059 1,6436 7,9817 42,75 № 1 0,0214 0,5397 25,1845 53,25 № 2 0,0214 0,5397 25,1845 53,25 max № 3 0,0214 0,5397 25,1845 53,25

Набір №1 Набір №2 Набір №3 №

матеріа-лу

Кут ар-мування

Коеф. ар-мування


Коеф. арму-вання


Коеф. армуван-

ня 0 0 0,25 0 0,25 0 0,25 1 /12 0,25 /8 0,25 /12 0,25 2 /10 0,25 /4 0,25 /6 0,25 3 /8 0,25 3/8 0,25 /4 0,25 4 /6 0,25 /2 0,25 /3 0,25 5 /4 0,25 0 0,5 5/12 0,25 6 /3 0,25 /8 0,5 /2 0,25 7 /2 0,5 /4 0,5 /2 0,5 8 /3 0,75 3/8 0,5 0 0,75 9 /4 0,75 /2 0,5 /12 0,75

10 /6 0,75 0 0,75 /6 0,75 11 /8 0,75 /8 0,75 /4 0,75 12 /10 0,75 /4 0,75 /3 0,75 13 /12 0,75 3/8 0,75 5/12 0,75 14 0 0,75 /2 0,75 /2 0,75

301

Яв видно з табл. 6.3, максимальний декремент коливань виявився при вико-

ристанні набору № 3, максимальна швидкість затухання – при використанні

набору № 1, мінімальна перша частота коливань – при використанні набору № 3.

При виборі критерієм оптимізації максимальної першої частоти всі три варіанти

пакетів матеріалів виявилися рівноцінними.

В табл. 6.4-6.7 наведено одержані структури оптимальних пакетів матеріалів

при виборі різних критеріїв оптимізації для трьох наборів матеріалів.

Таблиця 6.4

Оптимальна структура пакета шарів для трьох варіантів наборів матеріалів при

виборі критерієм оптимізації декремента коливань max

Набір № 1 Набір № 2 Набір № 3

Номер шару*

п мате- ріалу


Кут арму-вання







15 14 0,75 0 10 0,75 0 8 0,75 0

14 14 0,75 0 10 0,75 0 8 0,75 0

13 14 0,75 0 10 0,75 0 8 0,75 0

12 1 0,25 12 0 0,25 0 1 0,25 12

11 4 0,25 6 1 0,25 8 2 0,25 6

10 4 0,25 6 1 0,25 8 2 0,25 6

9 5 0,25 4 2 0,25 4 3 0,25 4

8 5 0,25 4 2 0,25 4 3 0,25 4

7 6 0,25 3 2 0,25 4 3 0,25 4

6 6 0,25 3 3 0,25 3 8 4 0,25 3

5 7 0,5 2 4 0,25 2 6 0,25 2

4 7 0,5 2 4 0,25 2 6 0,25 2

3 7 0,5 2 14 0,75 2 14 0,75 2

2 7 0,5 2 14 0,75 2 14 0,75 2

1 7 0,5 2 14 0,75 2 14 0,75 2

* Нумерація шарів у пластині від нижнього шару до верхнього.

302

Таблиця 6.5


виборі критерієм оптимізації швидкості затухання коливань max


Номер шару










15 14 0,75 0 10 0,75 0 8 0,75 0

14 14 0,75 0 10 0,75 0 8 0,75 0

13 14 0,75 0 10 0,75 0 8 0,75 0

12 14 0,75 0 10 0,75 0 8 0,75 0

11 0 0,25 0 0 0,25 0 0 0,25 0

10 0 0,25 0 0 0,25 0 0 0,25 0

9 1 0,25 12 0 0,25 0 0 0,25 0

8 3 0,25 8 1 0,25 8 1 0,25 12

7 4 0,25 6 1 0,25 8 2 0,25 6

6 4 0,25 6 1 0,25 8 2 0,25 6

5 4 0,25 6 2 0,25 4 2 0,25 6

4 5 0,25 4 2 0,25 4 3 0,25 4

3 9 0,75 4 12 0,75 4 11 0,75 4

2 9 0,75 4 12 0,75 4 11 0,75 4

1 9 0,75 4 12 0,75 4 11 0,75 4

303

Таблиця 6.6


виборі критерієм оптимізації мінімальної першої частоти min


Номер шару

п ма-те

ріалу



п ма-те

ріалу



п ма-те

ріалу



15 0 0,25 0 0 0,25 0 0 0,25 0

14 0 0,25 0 0 0,25 0 0 0,25 0

13 0 0,25 0 0 0,25 0 0 0,25 0

12 0 0,25 0 5 0,5 0 0 0,25 0

11 0 0,25 0 5 0,5 0 7 0,5

10 3 0,25 6 0,5 2 0,25

9 10 0,75 7 0,5 10 0,75

8 5 0,25 2 0,25 3 0,25

7 5 0,25 3 0,25 4 0,25

6 6 0,25 4 0,25 6 0,25

5 7 0,5 4 0,25 6 0,25

4 7 0,5 4 0,25 6 0,25

3 7 0,5 4 0,25 6 0,25

2 7 0,5 4 0,25 6 0,25

1 7 0,5 4 0,25 6 0,25

304

Таблиця 6.7


виборі критерієм оптимізації максимальної першої частоти max


Номер

шару

п ма-

те

ріалу

Коеф.

арму-

вання

Кут

арму-

вання

п ма-

те

ріалу

Коеф.

арму-

вання

Кут

арму-

вання

п ма-

те

ріалу

Коеф.

арму-

вання

Кут

арму-

вання

15 9 0,75 11 0,75 12 0,75

14 9 0,75 11 0,75 12 0,75

13 9 0,75 11 0,75 12 0,75

12 9 0,75 11 0,75 12 0,75

11 5 0,25 3 0,25 2 0,25

10 5 0,25 3 0,25 2 0,25

9 5 0,25 3 0,25 2 0,25

8 5 0,25 3 0,25 2 0,25

7 5 0,25 3 0,25 2 0,25

6 5 0,25 3 0,25 2 0,25

5 5 0,25 3 0,25 2 0,25

4 9 0,75 11 0,75 12 0,75

3 9 0,75 11 0,75 12 0,75

2 9 0,75 11 0,75 12 0,75

1 9 0,75 11 0,75 12 0,75

Як видно з результатів розрахунків, програма оптимізації на основі ГА до-

зволяє знаходити глобальний екстремум – оптимальні структури пакетів шарів

для різних наборів матеріалів виявляються дуже схожими, а якщо матеріали, з

яких будуються оптимальні структури, присутні в усіх трьох наборах, то пакети

305

шарів є однаковими, як у випадку оптимізації за критерієм максимальної першої

частоти. Цікавим виявився факт, що оптимальні пакети шарів складаються у

тришарову структуру з більшим коефіцієнтом армування у зовнішніх (несучих)

шарах і меншим коефіцієнтом армування у внутрішньому (демпфуючому) шарі.

Єдина задача, де ця закономірність не справджується – це задача оптимізації за

критерієм мінімальної першої частоти – тут структура оптимального пакета має

вигляд тришарового пакета з несучим тонким середнім шаром і зовнішніми дем-

пфуючими шарами.

На рис. 6.8-6.11 показано осцилограми коливань оболонок з оптимальними

за різними критеріями оптимізації проектами структури.

Рис. 6.8. Осцилограма вільних коливань оболонки при оптимізації за

декрементом коливань (набір № 3): , , , , , , , , , , , , , ,optx ,

,opt

306

Рис. 6.9. Осцилограма вільних коливань оболонки при оптимізації за критерієм

швидкості затухання коливань (набір № 1):

, , , , , , , , , , , , , ,optx , max ,


мінімальної першої частоти (набір № 3):

, , , , , , , , , , , , , ,optx , min , c

307


максимальної першої частоти max , c

Реальні задачі оптимізації оболонкових конструкцій, працюючих в умовах

динамічних навантажень, є багатокритеріальними, одним із критеріїв є мінімаль-

на маса конструкції.

Далі наведено результати оптимізації оболонки за декількома векторними

критеріями з урахуванням демпфування.

1. Оболонка з максимальним декрементом коливань і мінімальною масою.

Векторний критерій оптимальності:

( ) , minx mass ,

де 1 – декремент коливань, відповідний першій формі згинальних коливань,

mass – маса елемента оболонки розмірами 1 1 H м (Н – товщина оболонки).

Результати визначення оптимальних значень вектора параметрів проекту-

вання представлено на рис. 6.12 у вигляді множини оптимальних розв'язків

(фронту Парето).

308

Рис. 6.12. Фронт Парето при оптимізації 15-шарової пологої оболонки

за критеріями максимального декремента і мінімальної маси

Кожній точці на рис. 6.12 відповідає вектор проектних параметрів, який

являє собою порядок номерів матеріалів із заданого набору матеріалів. Результа-

ти розрахунку наведено в табл. 6.8-6.9.

Таблиця 6.8

Результати оптимізації 15-шарової пологої оболонки за критеріями максималь-

ного декремента і мінімальної маси з використанням набору № 1

№ точки

, mass optx

1 0,2110 46,5000 (7 7 7 6 6 5 5 4 4 3 0 14 14 0 0) 2 0,2071 45,0000 (7 7 7 6 6 5 5 4 4 3 0 0 14 0 0) 3 0,2003 43,5000 (7 7 7 6 6 5 5 4 4 3 0 0 0 0 0) 4 0,1872 42,7500 (7 7 6 6 5 5 5 4 4 2 0 0 0 0 0) 5 0,1694 42,0000 (7 6 6 6 6 5 5 4 4 3 0 0 0 0 0)

Роботу програми багатокритеріальної оптимізації з використанням набору

№ 3 показано на рис. 6.13, а, б.

309

а

б

Рис. 6.13. Фронт Парето при багатокритеріальній оптимізації оболонки за крите-

ріями декремента коливань і мінімальної маси для набору матеріалів № 3:

а) наближення до фронту Парето у процесі роботи програми оптимізації;

б) одержаний фронт Парето

310

В табл. 6.9 показано результати оптимізації 15-шарової оболонки за критері-

ями максимального декремента коливань і мінімальної маси.

Таблиця 6.9

Результати оптимізації 15-шарової пологої оболонки за критеріями максималь-

ного декремента і мінімальної маси з використанням набору № 3

№ точки


Маса Вектор проектних параметрів

1 0.2154 41,25 ( 0 0 0 0 0 0 2 3 3 4 4 6 6 6 6) 2 0,2186 42,00 ( 6 6 6 6 6 6 4 3 3 2 2 1 0 7 0) 3 0,2238 42,75 ( 6 6 6 6 6 6 4 3 3 2 2 1 0 8 0) 4 0,2255 43,5 ( 6 14 6 6 6 4 3 3 2 2 1 0 7 0 0) 5 0,2303 44,25 ( 6 6 14 6 6 6 4 3 3 2 2 1 0 8 0) 6 0,2311 45,00 ( 6 6 14 6 6 5 4 3 3 2 2 1 7 8 0) 7 0,2344 45,75 ( 6 6 14 6 6 6 4 3 3 2 2 1 8 8 0) 8 0,2348 46,5 (14 14 6 6 6 4 3 3 2 2 1 0 8 7 0) 9 0,2370 47,25 ( 8 8 0 0 0 2 3 3 4 4 4 6 14 14 6) 10 0,2376 48,00 (14 14 6 6 6 4 3 3 3 2 2 1 7 8 8) 11 0,2391 48,75 ( 0 8 8 0 0 1 2 3 3 4 4 6 14 14 14) 12 0,2391 49,5 (14 14 14 6 6 4 3 3 2 2 1 7 8 8 0) 13 0,2408 50,25 (14 14 14 6 6 4 3 3 3 2 2 1 8 8 8)

2. Оболонка с максимальним добутком декремента коливань і частоти та мі-

німальною масою.

Добуток декремента коливань і частоти на даній формі визначає швидкість

затухання коливань.


1 1( ) , minx mass .

Фронт Парето для оптимальної оболонки для набору матеріалів № 1 показа-

но на рис. 6.14.

Результати розрахунку наведено в табл. 6.10.

311

Рис. 6.14. Фронт Парето при оптимізації 15-шарової пологої оболонки за крите-

ріями максимальної швидкості затухання коливань і мінімальної маси

Таблиця 6.10

Результати оптимізації 15-шарової пологої оболонки за критеріями макси-

мальної швидкості затухання коливань і мінімальної маси з використанням

набору № 1

№ точки

,dekr mass optx

1 2,6556 45,7500 [9 5 5 5 4 4 4 3 0 0 0 0 0 14 14] 2 2,8154 47,2500 [9 9 5 5 4 4 4 3 1 0 0 0 0 14 14] 3 2,5008 44,2500 [9 5 5 5 4 4 4 3 0 0 0 0 0 0 14] 4 2,9760 50,2500 [9 9 9 5 4 4 4 3 0 0 0 0 14 14 14] 5 2,9083 48,7500 [9 9 5 5 4 4 4 3 1 0 0 0 14 14 14]

3. Оболонка с мінімальною першою частотою коливань і мінімальною ма-

сою.


( ) , minx mass .

При використанні наборів матеріалів № 2 і № 3 одержано точки, показані в

табл. 6.11.

312

Таблиця 6.11

Результати оптимізації 15-шарової пологої оболонки за критеріями мінімальної

частоти коливань і мінімальної маси з використанням наборів № 2 і № 3

№ точки

Частота Маса Вектор

Набір № 2 1 8.0388 41,25 (0 0 0 0 0 0 2 2 2 3 4 4 4 4 4) 2 8.0209 42,00 (0 0 0 0 0 0 2 2 2 8 4 4 4 4 4) 3 8.0163 42,75 (0 0 0 0 0 0 2 2 2 8 9 4 4 4 4)

Набір № 3 1 7.9888 41.25 (0 0 0 0 0 0 2 3 4 4 5 6 6 6 6) 2 7.9864 42.75 (0 0 0 0 0 0 2 3 4 12 5 6 6 6 6)

Як видно, у даному випадку більш вигідним є набір № 3.

4. Оболонка с максимальною першою частотою коливань і мінімальною

масою.


( ) , minx mass ,

Результатів розрахунків показали, що з двох наборів матеріалів №№ 2 і 3

більш вигідним є набір № 2, результати оптимізації показано в табл. 6.12. Одер-

жані оптимальні точки фронту Парето показано на рис. 6.15.

Рис. 6.15. Фронт Парето при оптимізації 15-шарової пологої оболонки за крите-

ріями максимальної частоти коливань і мінімальної маси

313

Таблиця 6.12

Результати оптимізації 15-шарової пологої оболонки за критеріями максимальної

частоти і мінімальної маси з використанням набору № 3

№ то-чки Частота Маса Вектор

1 17.4050 41,25 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)

2 18.4965 42,00 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7)

3 19.4309 42,75 (12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)

4 20.6096 43,5 ( 7 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 12)

5 21.6303 44,25 (12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12) 6 22.1684 45,00 (12 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12) 7 22.6446 45,75 (12 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12) 8 23.2539 46,5 (12 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 12) 9 23.8006 47,25 (12 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 12) 10 24.0499 48,00 (12 12 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 12) 11 24.2755 48,75 (12 12 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 12) 12 24.5669 49,5 (12 12 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 12 12) 13 24.8426 50,25 (12 12 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 12 12)

5. Оболонка з максимальним декрементом коливань, максимальною швид-

кістю затухання коливань і мінімальною масою.


( ) , , minx mass .

При розв'язанні задачі оптимізації з трьома критеріями точки множини Па-

рето лежать на деякій поверхні.

Результати розв'язання задачі оптимізації для наборів № 2 і 3 наведено в

табл. 6.13. На рис. 6.16 показано побудовані шляхом інтерполяції поверхні, які

проходять через недоміновані точки фронту Парето .

314

Таблиця.6.13

Точки фронту Парето, одержані з розв'язання задачі оптимізації пологої 15-

шарової оболонки за критеріями максимального декремента коливань, максима-

льної швидкості затухання коливань і мінімальної маси

, , mass

Набір № 2 Набір № 3 0.2117 1.7126 41.2500 0.2125 1.7740 42.0000 0.2135 1.7601 42.0000 0.2164 1.9829 43.5000 0.2176 1.9363 42.7500 0.2183 1.9280 42.7500 0.2194 1.9779 43.5000 0.2199 1.8923 42.7500 0.2205 1.9725 43.5000 0.2221 2.1508 44.2500 0.2227 1.9280 43.5000 0.2237 2.1185 44.2500 0.2238 2.2918 45.7500 0.2242 2.1847 45.0000 0.2249 2.1105 44.2500 0.2251 2.1354 45.0000 0.2263 2.1082 45.0000 0.2264 2.3252 46.5000 0.2269 2.0656 44.2500 0.2276 2.2843 45.7500 0.2280 2.0827 45.0000 0.2293 2.3032 46.5000 0.2302 2.2434 45.7500 0.2306 2.1560 45.7500 0.2306 2.2500 46.5000 0.2324 2.1780 46.5000 0.2328 2.1718 46.5000 0.2333 2.4152 47.2500 0.2343 2.4250 48.0000 0.2350 2.4764 48.7500 0.2354 2.2453 47.2500 0.2356 2.3807 48.7500 0.2357 2.3436 48.0000 0.2362 2.4879 49.5000 0.2366 2.4821 49.5000 0.2382 2.5389 50.2500

0.2092 1.7244 41.2500 0.2095 1.7205 41.2500 0.2160 1.7872 42.0000 0.2175 2.0175 43.5000 0.2179 1.9597 42.7500 0.2187 1.9555 42.7500 0.2204 1.9191 42.7500 0.2210 2.0152 43.5000 0.2212 2.0092 43.5000 0.2229 1.8999 42.7500 0.2231 2.0002 43.5000 0.2233 2.1728 44.2500 0.2233 1.9877 43.5000 0.2239 2.1967 45.0000 0.2247 2.1925 45.0000 0.2249 1.9526 43.5000 0.2263 2.1392 44.2500 0.2263 2.0992 44.2500 0.2279 2.1580 45.0000 0.2289 2.1160 45.0000 0.2293 2.2505 45.7500 0.2294 2.0903 44.2500 0.2300 2.2434 45.7500 0.2301 2.3074 46.5000 0.2308 2.3043 46.5000 0.2317 2.2112 45.7500 0.2325 2.2087 45.7500 0.2327 2.2045 45.7500 0.2334 2.2822 46.5000 0.2339 2.2784 46.5000 0.2343 2.3998 48.7500 0.2358 2.3660 47.2500 0.2364 2.3623 47.2500

315

а

б

Рис. 6.16. Поверхні, побудовані через недоміновані точки фронту Парето при

оптимізації 15-шарової пологої оболонки за критеріями максимального

декремента коливань, максимальної швидкості затухання коливань і мінімальної

маси для наборів матеріалів: а) № 2; б) № 3

316

6. Оболонка з максимальним декрементом коливань, мінімальною часто-

тою коливань і мінімальною масою.


( ) , , minx mass

Результати оптимізації наведено в табл. 6.14 і на рис. 6.17.

Таблиця 6.14

Точки фронту Парето, одержані з розв'язання задачі оптимізації пологої 15-

шарової оболонки за критеріями максимального декремента коливань, мінімаль-

ної частоти коливань і мінімальної маси

, ,dekr om mass

Набір № 2 Набір № 3 0.2089 8.0388 41.2500 0.2089 8.0225 42.7500 0.2103 8.0406 42.0000 0.2110 8.0524 41.2500 0.2114 8.0755 42.0000 0.2117 8.0901 41.2500 0.2126 8.0944 42.0000 0.2133 8.1153 42.0000 0.2139 8.1247 42.7500 0.2141 8.1429 42.0000 0.2144 8.2207 42.0000 0.2153 8.1469 42.7500 0.2160 8.3607 42.7500 0.2168 8.3696 42.7500 0.2171 8.2659 43.5000 0.2188 8.3697 42.7500 0.2200 8.5733 43.5000 0.2201 8.4181 44.2500 0.2210 8.4381 44.2500 0.2220 8.5101 44.2500 0.2220 8.6633 45.0000 0.2248 8.6651 45.0000 0.2250 9.1635 44.2500 0.2264 8.7674 45.7500 0.2270 9.2342 45.0000 0.2283 9.3857 45.7500 0.2296 9.5733 45.7500 0.2315 9.6428 46.5000 0.2332 9.7924 47.2500

0.2122 8.0039 41.2500 0.2131 8.0163 41.2500 0.2145 8.0208 42.0000 0.2152 8.0343 41.2500 0.2154 8.0612 42.0000 0.2161 8.0644 42.0000 0.2164 8.0800 42.7500 0.2166 8.1185 42.0000 0.2176 8.1254 42.7500 0.2217 8.2389 44.2500 0.2226 8.2569 42.7500 0.2235 8.4638 42.7500 0.2236 8.2853 43.5000 0.2238 8.4792 42.7500 0.2244 8.5857 43.5000 0.2258 8.5905 44.2500 0.2274 8.6282 44.2500 0.2290 8.6330 44.2500 0.2298 8.8348 44.2500 0.2311 8.9561 45.7500 0.2318 8.9566 45.7500 0.2342 8.9976 45.7500

317

а

б

Рис. 6.17. Поверхні, побудовані через недоміновані точки фронту Парето при оп-

тимізації 15-шарової пологої оболонки за критеріями максимального

декремента коливань, мінімальної частоти коливань і мінімальної маси

для наборів матеріалів: а) № 2; б) № 3

318

7. Оболонка з максимальним декрементом коливань, максимальною часто-

тою коливань і мінімальною масою.


( ) , , minx mass

Результати оптимізації представлено на рис. 6.18.

а

б

Рис. 6.18 Поверхні, побудовані через недоміновані точки фронту Парето при

оптимізації 15-шарової пологої оболонки за критеріями максимального

декремента коливань, максимальної частоти коливань і мінімальної маси

для наборів матеріалів: а) № 2; б) № 3

319

Як видно, результати розв'язання задач оптимізації для різни наборів дуже

близькі – розроблений алгоритм оптимізації на основі ГА в усіх випадках дозво-

ляє знайти оптимальну комбінацію матеріалів із переліку заданих.

Підсумовуючи вищесказане, можна стверджувати, що для багатошарових

елементів (стрижнів, пластин, оболонок) можна знаходити оптимальний проект,

розміщуючи шари заданих матеріалів зі сталими характеристиками у послідов-

ності, яка забезпечує оптимальне значення вибраних критеріїв оптимізації. У

більшості випадків оптимальним розв'язком задачі оптимізації є проект 3-

шарової конструкції з несучими зовнішніми шарами і демпфуючим середнім ша-

ром. Оскільки товщину математичних шарів було задано однаковою для всіх

шарів, до результатів розв'язання задачі оптимізації можна віднести також визна-

чення товщин фізичних шарів – зовнішніх несучих і демпфуючого, які

складаються із математичних шарів заданих матеріалів.

Необхідність використання представленого методу може бути обумовле-

ною технологічним процесом створення пологих оболонок і пластин. Розроблену

методику можна узагальнити на більшу кількість елементів, а також використати

для визначення оптимального розміщення пасивних демпфуючих елементів у ба-

гатошарових конструкціях.

Таким чином, з результатів проведених досліджень можна зробити висно-

вок, що розроблений метод оптимізації на основі ГА дозволяє ефективно

визначити оптимальні структури пакетів шарів із заданих наборів довільної кіль-

кості матеріалів.

6.2 Топологічна оптимізація стрижня з двошаровим покриттям

Розглянемо проектування стрижня з двошаровим покриттям, у якому в'язко-

пружний матеріал працює переважно на зсув, а верхній жорсткий шар забезпечує

наявність деформацій зсуву.

Поставимо дві задачі оптимізації тришарового стрижня для роботи в умовах

вібраційних навантажень:

320

1. Задача оптимального розміщення елементів верхнього жорсткого шару за

критеріями максимального декремента коливань та максимальної швидкості за-

тухання коливань при обмеженнях на масу стрижня;

2. Задача вибору оптимальних проектів стрижня з нерозрізним і розрізним

покриттям за критеріями максимального демпфування.

6.2.1 Побудова математичної моделі коливань тришарового стрижня

Скінченно-елементні моделі тришарового стрижня (рис. 6.19) побудовано з

використанням шестивузлових елементів (рис. 6.20).

Рис. 6.19. Стрижень з двошаровим покриттям

Рис. 6.20. Шестивузловий скінченний елемент

Фізичні залежності для плоского напруженого стану записані у просторі пе-

ретворень Фур'є (Розділ 2):

ˆˆ ˆi σ ε . (6.6)

321

де ˆ Tx y xy σ – зображення вектора напружень у просторі перетво-

рень Фур'є;

ˆ Tx y xy ε – зображення вектора деформацій;

ˆ i – матриця комплексних модулів:

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

C C C

i C C C

C C C

. (6.7)

Компоненти ˆijC матриці ˆ i для ізотропного в'язкопружного матеріалу

можна визначити, маючи експериментальні дані щодо комплексних модулів при

розтягу-стиску E і зсуві G :

2 2 2

11 22 11 12 21

33 13 31 23 32

ˆ ˆ ˆˆ4 2 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,ˆ ˆˆ ˆ4 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 0.

G EG GC C C C C

G E G E

C G C C C C

(6.8)

Оскільки модулі G і E залежать від частоти, коефіцієнти ˆijC також є функ-

ціями частоти.

Матриці мас, жорсткості та демпфування визначаються за формулами:

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

, ,

,

a b a b

TT

a b a b

a b

T

a b

h dydx h dydx

h dydx

M N N K AN C AN

K AN C AN

(6.9)

де h – товщина елемента;

, C C – дійсна й уявна частини матриці ˆ i ;

N − функції інтерполяції, які для шестивузлового елемента мають вигляд:

322

2 2

1 22 2

2 2

3 42 2

2 2

5 62 2

1 1 3 2 , 1 3 2 ,

1 4 4 , 4 4 ,

1 2 , 2 .

y x x y x xN N

h l h ll l

y x x y x xN N

h l h ll l

y x x y x xN N

h l h ll l

(6.10)

Матриця динамічної жорсткості елемента:

ˆ i i i Z M K K . (6.11)

Для синтезу динамічної матриці жорсткості балки використовувалася стан-

дартна методика [80] з урахуванням комплексних значень компонент матриць.

Скінченно-елементна модель стрижня у просторі перетворень Фур'є опису-

ється рівнянням (Розділ 3):

ˆ ˆˆi i Z q F , (6.12)

Після розв'язання задачі на власні значення

ˆ i Z (6.13)

декремент визначається за формулою

k

k

, (6.14)

де ,k k − відповідно дійсна й уявна частота на k-й формі коливань.

Побудована скінченно-елементна модель дозволяє розглянути різні варіанти

розміщення демпфуючого матеріалу. Зокрема, це може бути балка із середнім

демпфуючим шаром, балка з окремими демпфуючими елементами тощо.

6.2.2 Приклади топологічної оптимізації стрижня

1. Розглянемо задачу топологічної оптимізації стрижня з двошаровим пок-

риттям з розділенням на 15 скінченних елементів по довжині стрижня (рис. 6.19).

Скінченно-елементну модель стрижня показано на рис. 6.21.

323

Рис. 6.21. Скінченно-елементна модель жорстко закріпленого стрижня

з двошаровим покриттям

Вважаємо, що товщину несучого шару і товщини шарів покриття задано,

необхідно знайти оптимальне розміщення елементів жорсткого верхнього шару.

Відомо, що максимальні деформації зсуву виникають поблизу торців елементів

верхнього шару, тобто максимального демпфування можна досягнути, моделю-

ючи суцільне покриття кусково-неперервним.

Значення комплексних модулів матеріалів приймали такими:

– для матеріалу несучого шару 101

0,01ˆ 6,71 10 1E i Па;

– для матеріалу прошарку 62

0,46,71 10 1E i

Па;

– густини матеріалів: для матеріалу несучого шару 31 2,9 10 і для матері-

алу прошарку 32 1,2 10 кг м ;

– коефіцієнти Пуассона: 1 20,3; 0,4 ;

– довжина скінченого елемента 1 0,1a м;

– товщини шарів: 1 2 30,001 , 0,005 , 0,02b м b м b м .

Наявність або відсутність елемента покриття з прошарком позначали відпо-

відно 1 або 0.

При аналізі граничних значень структури стрижня − при відсутності пок-

риття x та наявності всіх елементів

x − одержали такі результати: у першому випадку

324

декремент коливань 1 0,0114 і швидкість затухання коливань (добуток декре-

мента коливань і частоти) 0,5460 , у другому 1 0,0584 та 2,7700 .

На рис. 6.22, а, б показано осцилограми коливань стрижня при граничних

варіантах структури.

а

б

Рис. 6.22. Осцилограми коливань тришарового стрижня при варіантах

структури: а) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0x ; б) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1x

325

Задача оптимізації полягає у виборі розміщення елементів покриття з демп-

фуючим прошарком за критеріями максимального демпфування та максимальної

швидкості затухання коливань з урахуванням обмежень на масу. У даному випа-

дку використано розроблений варіант класичного алгоритму генетичного методу

з двійковим кодуванням – програма-функція genint (Розділ 4).

Результати оптимізації наведено в табл. 6.15.

Для перевірки розв'язано задачу оптимального розміщення шарів без ураху-

вання обмежень на масу. Результат розв'язання задачі оптимізації ,

співпадає з одержаним результатом при обмеженнях на масу покриття до

9b

p

mask

mas ( bmas – маса балки, pmas – маса покриття). Структуру оптималь-

ного стрижня та осцилограму коливань показано на рис. 6.23, а. б.

Таблиця 6.15

Результати оптимізації стрижня з двошаровим покриттям за критерієм максима-

льної швидкості затухання коливань з урахуванням обмежень на масу

Обмеження на масу покриття

/p bmas mas k *

Швидкість затухання коливань


Перша частота

Вектор проектних параметрів х

1 9k 3,1166 0,0625 49,8270 (0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1)

10k 3,0679 0,0616 49,8413 (0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1)

12k 2,9174 0,0587 49,7144 (0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1)

13k 2,6480 0,0535 49,4741 (0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1)

15k 2,2641 0,0461 49,1596 (0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1)

18k 1,7995 0,0367 48,8184 (0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1)

* pmas і bmas – маса покриття і маса стрижня відповідно.

326

а

б

Рис. 6.23. Структура оптимального жорстко закріпленого стрижня з двошаровим

покриттям за критерієм максимальної швидкості затухання (а); графік коливань

для оптимального стрижня (б)

Аналогічну задачу оптимізації за критерієм максимальної швидкості зату-

хання коливань розв'язано для шарнірно закріпленого стрижня. Скінченно-

елементну модель показано на рис. 6.24.

Оптимальну структуру шарнірно закріпленого стрижня і графік коливань

показано на рис. 6.25, а, б. Швидкість затухання коливань для оптимального про-

екту складає * = 12,8852, декремент коливань = 0,0651, перша частота

= 198,0732 1/с.

327

Рис. 6.24. Скінченно-елементна модель шарнірно закріпленого стрижня

з двошаровим покриттям

а

б

Рис. 6.25. Структура оптимального шарнірно закріпленого стрижня

з двошаровим покриттям за критерієм максимальної швидкості затухання (а);

графік коливань для оптимального стрижня (б)

328

Як видно з розв'язання задачі, програма оптимізації з використанням класи-

чного ГА дає можливість одержати оптимальний проект структури стрижня і

таким чином забезпечити екстремальне значення критерію оптимізації.

2. Розглянемо порівняння оптимальних за критерієм максимального декре-

мента коливань проектів стрижня з нерозрізним (рис. 6.21) і розрізним (рис. 6.26)

покриттями. Проектними параметрами вибиралися товщини двох шарів розріз-

ного покриття і дійсні та уявні частини комплексних модулів матеріалів

жорсткого і демпфуючого матеріалів.

Скінченно-елементну модель стрижня з розрізним покриттям показано на

рис. 6.76.

Рис. 6.76. Скінченно-елементна схема стрижня з розрізним покриттям

Початкові характеристики стрижня приймалися такими:

Значення комплексних модулів матеріалів:

– для матеріалу несучого шару 10 11 16,71 10 1

dE i e

Па;

– для матеріалу прошарку 6 22 26,71 10 1

dE i e

Па,

де 1 1 2 2, , ,d e d e − компоненти вектора проектних параметрів, які визначають

демпфуючі властивості матеріалів.

Густини матеріалів: 3 31 2,9 10 кг м – для матеріалу несучого шару і

3 32 1,2 10 кг м – для матеріалу прошарку.

Коефіцієнти Пуассона: 1 20,3; 0,4 .

Довжина скінченого елемента: 1 0,1a м .

329

Вектор проектних параметрів прийнято у вигляді 1 2 1 1 2 2x b b e d e d , де

1 2,b b − товщини відповідно верхнього підкріплюючого і середнього демпфую-

чого шару, 1 1 2 2, , ,d e d e − характеристики матеріалів шарів.

Обмеження на проектні параметри приймалися такими:

lb = (0,0001 0,005 0,001 0,01 0,001 0,1);

ub = (0,005 0,01 1 0,1 1 0,4).

Для розв'язання задачі оптимізації використано розроблений алгоритм RGA

(Розділ 4).

Результати оптимізації показано в табл. 6.16.

Таблиця 6.16

Результати розв'язання задачі оптимізації для стрижня з нерозрізним і роз-

різним покриттями

Вид пок-риття

Вектор проектних параметрів 1 2 1 1 2 2x b b e d e d

Декре-мент ко-ливань

Швид-кість за-тухання коливань

Нероз-різне

0,0050 0,01 0,1316 0,10 1,00 0,40 0,1670 3,3016

Розрізне 0,0050 0,01 0,3219 0,10 1,00 0,40 0,2615 10,4798

Графіки коливань для двох видів покриття показано на рис. 6.27.

а

330

б

Рис. 6.27. Осцилограми коливань для стрижнів:

а) з нерозрізним покриттям; б) з розрізним покриттям

Результати розрахунків показали, що розрізне покриття, яке складається з

окремих накладок, може бути більш вигідним з точки зору демпфування коли-

вань, ніж нерозрізне.


1. За допомогою розроблених методів оптимізації на основі запропонованої


було поставлено і розв'язано задачі глобальної і багатокритерійної топологічної

оптимізації для багатошарової оболонки і багатошарового стрижня з шарів мате-

ріалів із в'язкопружними властивостями,

2. Для багатошарової пологої оболонки розв'язано задачі пошуку оптималь-

ного пакета шарів шляхом розміщення шарів заданих матеріалів зі сталими

характеристиками у послідовності, яка забезпечує оптимальне значення вибра-

них критеріїв оптимізації. Оскільки товщину математичних шарів було задано

однаковою для всіх шарів, до результатів розв'язання задачі оптимізації можна

331

віднести також визначення товщин фізичних шарів – зовнішніх несучих і серед-

нього демпфуючого, які складаються із математичних шарів заданих матеріалів.

Необхідність використання представленого методу може бути обумовленою

технологічним процесом створення пологих оболонок і пластин.

2. Розв'язано задачі оптимального розміщення елементів верхнього жорст-

кого шару для стрижня з двошаровим покриттям за критеріями максимального

декремента коливань та максимальної швидкості затухання коливань при обме-

женнях на масу стрижня і задача вибору оптимальних проектів стрижня з

нерозрізним і розрізним покриттями за критеріями максимального демпфування,

які показують можливості еволюційних алгоритмів у задачах топологічної опти-

мізації.

Матеріали Розділу 6 представлено у [162, 170, 171, 178, 183, 354].

332

РОЗДІЛ 7

ПЕРСПЕКТИВИ СТВОРЕННЯ ВІБРОСТІЙКИХ, ТОНКОСТІННИХ

КОНСТРУКЦІЙ ЗІ SMART-МАТЕРІАЛІВ

Дослідження, присвячені проектуванню вібростійких тонкостінних констру-

кцій, до недавнього часу розвивалися в напрямку використання дисипативних

в'язкопужних демпфуючих матеріалів у вигляді накладок, вставок, прошарків,

композиційних шарів [168]. З початку нинішнього сторіччя інтенсивно вивча-

ються можливості використання матеріалів зі спеціальними властивостями, так

званих smart-матеріалів, які мають здатність змінювати свої властивості зі змі-

ною зовнішніх умов [260, 261, 345, 371].

"Інтелектуальність" адаптивних систем виявляється у здатності реагувати на

зміни зовнішнього середовища, наприклад, зміну навантаження або форми конс-

трукції, та внутрішнього, як, наприклад, пошкодження або збій у роботі. Для

реалізації адаптивних функцій структурної системи її структурні властивості по-

винні бути доповнені сенсорними можливостями, засобами контролю і

пристроями приведення в дію (актуаторами). Таку різноманітність функцій мож-

на реалізувати за допомогою дискретних підсистем, наприклад, структури

основної конструкції, тензодатчиків, блоку управління і гідравлічних приводів.

Більш високого ступеня інтеграції можна досягти за рахунок використання бага-

тофункціональних матеріалів – smart-матеріалів, які на додаток до їх

структурних властивостей, здатні забезпечити функції приведення в дію і сенсо-

рні можливості, зокрема, п'єзоматеріалів, які все більш широко

використовуються у вигляді актуаторів та сенсорів, а також у складі п'єзокомпо-

зитів з п'єзоактивними елементами структури. Поведінка і властивості

п'єзокомпозита обумовлюються складною взаємодією великої кількості п'єзоак-

тивних елементів, які утворюють структуру за допомогою взаємозв'язаних полів

різної фізичної природи. П'єзокомпозити приваблюють дослідників можливістю

керування структурою і, таким чином, перспективою створення нових п'єзомате-

ріалів з наперед заданими електромеханічними властивостями.

333

Як було зазначено в огляді літератури, останнім часом все більше дослі-

джень проводяться у галузі пасивно-активного демпфування за допомогою

в'язкопружних і п'єзоелектричних матеріалів. Головними причинами для розгля-

ду таких гібридних механізмів демпфування є комбінація надійності, низької

вартості і стабільності в'язкопружних демпфуючих накладок та високої працез-

датності, вибірковості щодо форм коливань та адаптивності п'єзоелектричних

керуючих пристроїв. Однак ефективність активно-пасивного демпфування дуже

залежить від відносного розташування в'язкопружних і п'єзоелектричних матері-

алів [356].

Ідея пасивного демпфування за допомогою шунтуючих п'єзоелектричних

матеріалів базується на значному електромеханічному зв'язку, який забезпечу-

ється при перетворенні частини вібраційної енергії в електричну енергію, яка

потім розсіюється через контур з шунтом. Перевагою пасивного керування віб-

раціями є відсутність введення додаткової енергії у систему, отже дисипація

механічної енергії обумовлена тільки перетворенням в електричну енергію і теп-

ло. Крім того, пасивні методи забезпечують стабільність та оптимальне

керування коливаннями у широкій смузі частот, але в той же час потребують оп-

тимальних конфігурацій електричних контурів та оптимізації структури

композиту для максимізації демпфування коливань за допомогою електромеха-

нічного зв'язку, оскільки самі по собі п'єзоматеріали не мають високих

демпфуючих властивостей.

Використання таких матеріалів відкрило широкі можливості керування ко-

ливаннями і формою конструкції, однак при цьому збільшилася кількість

параметрів, які визначають ефективність конструкції, що потребувало викорис-

тання адекватних методів оптимізації, відмінних від класичних, де кількість

оптимізаційних параметрів обмежена. Такими методами можуть бути пошукові

еволюційні методи оптимізації, зокрема, генетичні алгоритми.

Далі розглянуто декілька прикладів аналізу використання п'єзоматеріалів

для активного демпфування коливань, зокрема визначення реакції конструкції

при дії електричних навантажень, та пасивного шляхом генерації електричної

334

енергії і перетворення її у теплову у розгалуджених електричних мережах. Як

свідчать дослідження останніх років, це є найбільш перспективним напрямом

демпфування коливань конструкцій при відповідному раціональному виборі

проектних параметрів.

7.1 Демпфування коливань балки з п’єзоелектричними накладками

Використання п’єзоелектричних матеріалів як активних елементів, так зва-

них актуаторів, для збудження коливань або зменшення їх амплітуд в елементах

конструкцій потребує вивчення явища оберненого п’єзоелектричного ефекту –

виникнення деформацій при прикладенні до тіла електричного навантаження.

Тому на етапі проектування “інтелектуальних” композитних конструкцій для

аналізу силових впливів актуатора на елементи конструкцій важливою задачею є

розрахунок коливань при дії електричних навантажень, які збуджують коливання

або зменшують їх амплітуду (при активному демпфуванні).

З огляду на широкий спектр технічних застосувань, розв’язання задачі збу-

дження коливань елементів конструкцій за допомогою п’єзоелектричних

елементів становить окремий інтерес [222].

У представленій роботі в рамках лінійної фізичної моделі матеріалів розгля-

даються нестаціонарні електричні збудження коливань балки з поляризованою

по товщині п’єзоелектричною накладкою (рис. 7.1).

Рис. 7.1.Розрахункова схема шарнірно-закріпленої балки з п’єзоелектричною

накладкою

335

Імпульс різниці потенціалів прикладається до еквіпотенціальної поверхні

актуатора Stop, а потенціал нижнього електрода Sbot дорівнює нулю. В розрахун-

ках приймалося припущення, що контакт між п’єзоелектричною накладкою та

основною конструкцією є ідеальним.

Складність задач механіки взаємодії полів різного походження у матеріалах

і елементах конструкцій обумовлює необхідність використання наближених ме-

тодів, зокрема, методу скінченних елементів. Згідно зі стандартною процедурою

МСЕ конструкція розбивається на трикутні скінченні елементи (рис. 7.2, а), при-

чому скінченні елементи, на які розділено п’єзоелектричну накладку, мають

додаткові (електричні) ступені вільності (рис. 7.2, б).

а б

Рис. 7.2. Скінченно-елементна модель конструкції (а); скінченний елемент

накладки з механічними і електричними ступенями вільності (б)

У трикутному елементі (рис. 7.2, б) невідомими є вузлові механічні перемі-

щення 1 1 2 2 3 3T

u v u v u vu і потенціали 1 2 3T φ . Матриці

функцій апроксимації механічних переміщень uN і електричного потенціалу N

мають вигляд:

1 2 3

1 2 3

0 0 0

0 0 0u

N N N

N N N

N , 1 2 3N N N N , (7.1)

де

1,

2j j j jN x y a b x c yS

, 1, 2, 3j ;

336

а площі елементів S та коефіцієнти a , b , c визначаються за відомими залежнос-

тями [80].

Деформації скінченних елементів визначаються за переміщеннями вузлових

точок згідно із залежностями Коші для плоского напруженого стану:

ε = Au , 0

0

Tx y

y x

A ; (7.2)

вектор напруженості електричного поля Е – за допомогою диференційного опе-

ратора :

E φ , Tx y . (7.3)

Згідно з (7.1)-(7.3), деформації і напруженість електричного поля визнача-

ються за формулами

uε B u , E B φ , (7.4)

де

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

0 0 01

0 0 02u

b b b

c c cS

c b c b c b

B , 1 2 3

1 2 3

0 0 010 0 02

b b b

c c cS

B .

Фізичні залежності для п’єзоелектричних матеріалів можна записати за до-

помогою інтегральних операторів лінійної теорії спадкового середовища – як для

лінійного в’язкопружного тіла [221].

Рівняння динаміки електров’язкопружного тіла запишемо у частотному про-

сторі інтегральних перетворень Фур’є (Розділ 3). Ця методика дозволяє коректно

ввести комплексні пружні, п’єзоелектричні та діелектричні сталі без додаткових

перетворень експериментальних даних при коливаннях, відмінних від гармоніч-

них. Скінченно-елементний варіант системи рівнянь динаміки і електростатики

композитної конструкції (рис. 7.1) відносно зображень переміщень u і електри-

чного потенціалу φ у частотному просторі інтегральних перетворень Фур’є при

нульових початкових умовах має вигляд:

2 ˆ ˆ ˆˆ ˆuu ui Mu K u K φ ;

337

ˆ ˆ ˆˆ 0u K u K φ , (7.5)

де M – матриця мас; ûuK – матриця жорсткості з частотно-залежними ком-

плексними модулями; ˆK – комплексна матриця електричної «жорсткості»;

ûK , ˆ

uK – комплексні п’єзоелектричні матриці:

Tu u

A

dA M N N , ˆˆ Tuu u ui i K B C B , (7.6)

ˆ ˆ TTu ui i K В e B , ˆ ˆTi i K B κ B , ˆ ˆ T

u u K K ;

ˆ i i C C C – матриця частотно-залежних комплексних модулів;

ˆ 'i i e e e , ˆ i i κ κ κ – відповідно матриці комплексних

п’єзоелектричних та діелектричних модулів; – густина матеріалу; 1i .

Систему рівнянь (7.5) записано для конструкції, вільної від зовнішніх елект-

ричних контурів і механічних навантажень. Електричний вплив на п’єзоелемент

задається безпосередньо вектором електричних потенціалів φ у правій частині

першого рівняння системи (7.5) із забезпеченням при цьому механічних та елек-

тричних граничних умов.

Різниця потенціалів на електродах п’єзоелемента забезпечується чисельною

реалізацією граничних умов для електричного потенціалу. Для цього потенціал

на нижній поверхні п’єзоелемента Sbot (рис. 7.1) прирівнюємо до нуля. У МСЕ ця

процедура реалізується шляхом редукції відповідних електричних ступенів віль-

ності глобальних матриць ûK , ˆ

uK та ˆK . Електрична напруга top , яка

прикладається до еквіпотенціальної поверхні Stop (рис. 7.1), задається зображен-

ням Фур’є дельта-функції відповідного глобального вектора електричних

потенціалів у першому рівнянні системи (7.5):

ˆ ,Ttop topt S t φ N . (7.7)

Коливання конструкції, збудженої електричним дельта-імпульсом (7.7), ви-

значаємо у частотному просторі з першого рівняння системи (7.5):

338

12ˆ ˆ ˆˆ uu u

u K M K φ . (7.8)

Перехід у часовий простір проводиться на останньому кроці розрахунків за

допомогою алгоритму оберненого перетворення Фур’є, яке застосовуємо до час-

тотного зображення переміщень (7.8):

ˆt u u . (7.9)

Визначимо реакцію конструкції (рис. 7.1) і картину еквівалентних напру-

жень, що виникають внаслідок електричного удару амплітудою 150top В на

електроді п’єзоелектричної накладки.

В розрахунках приймали такі властивості матеріалу несучої конструкції: гу-

стина 31 1,85 10 кг/м3; комплексний модуль 10

1ˆ 6,71 10 1 0,01E i Па;

коефіцієнт Пуассона 0,3 .

Властивості матеріалу п’єзоелектричної накладки: густина

32 6,85 10 кг/м3; комплексний модуль 10

2ˆ 10,7 10 1 0,0014E i Па; компо-

ненти матриці п’єзоелектричних коефіцієнтів:

415ˆ 12,32 1 0,21 10e i Кл/м2; 4

31ˆ 7,21 1 0,83 10e i Кл/м2,

33ˆ 15,12e Кл/м2;

компоненти матриці діелектричних модулів:

10 311 33ˆ ˆ 153 10 1 4,7 10i Ф/м*).

Параметри швидкого перетворення Фур’є: кількість точок 132N ; інтервал

часу 40T с.

Розміри конструкції: балка довжиною 10l см і товщиною 1h см; довжи-

на п’єзоелектричної накладки 5pl см, товщина 0,5ph см.

Переміщення (7.9) серединної точки конструкції (рис. 7.1) від дії електрич-

ного удару (7.7) показано на рис. 7.3.

*) Cheng J., Wu X., Li G., Taheri F., Su-Seng Pang: Development of a smart composite pipe joint in-

tegrated with piezoelectric layers under tensile loading. Int. J. of Solid and Struct. 2006. Vol. 43. P. 5370-5385

339

а

б

Рис. 7.3. Переміщення серединної точки конструкції внаслідок дії

електричного удару амплітудою 150 В при відношенні товщини накладки ph

до товщини несучої конструкції h : а) 0,25ph h ; б) 0,5ph h

Як відомо, найбільших переміщень п’єзоелектричний перетворювач досягає

у резонансних режимах роботи. Тому для композитної конструкції виникає не-

обхідність аналізу її амплітудно-частотної характеристики (АЧХ). На рис. 7.4

показано АЧХ розглянутої вище конструкції для пікових значень нестаціонарних

навантажень 30, 60, 90,120,150top В.

340

Рис. 7.4. АЧХ конструкції для ряду пікових значень електричного удару

Для визначення еквівалентних напружень у композитній конструкції, які

виникають від дії електричного удару, за відомим вектором переміщень ˆ u ро-

зраховуємо вектор напружень ˆT

x y xy σ у кожному вузлі скінченного

елемента:

ˆˆ ˆui σ C B u , (7.10)

де

2

1 0ˆˆ 1 0

10 0 1 2

E ii

C .

За відомим глобальним вектором напружень (7.10), можемо визначити екві-

валентні напруження для всього процесу нестаціонарних коливань, що

відповідає точкам розрахунку 1, ,n N (рис. 7.5):

2 24ekv x y xyn .

341

а

б

Рис. 7.5. Форма коливань конструкції з картою ефективних еквівалентних

напружень: а) в момент електричного навантаження 4,69 мс; б) після

електричного удару – вільні коливання 37,5 мс;

масштаб зображених переміщень 52 10 :1

Напруження, які виникають в активному п’єзоелектричному елементі, мо-

жуть стати причиною часткової або повної втрати п’єзоелектричних

властивостей. Тому набувають актуальності задачі аналізу сил, деформацій і на-

пружень у з’єднанні п’єзоелемента з основою, а також задачі мінімізації цих

напружень.

342

7.2 Нестаціонарні коливання балки з електров’язкопружними дисипа-

тивними накладками

Як вже було сказано, методи демпфування коливань засобами

п’єзоелектричного перетворення енергії поділяють на активні та пасивні. Актив-

ні керуючі пристрої складні в реалізації і дуже чутливі до змін та невизначеності

параметрів системи, через що мають певні обмеження в застосуванні. Натомість

пасивні методи більш прості і полягають у розсіянні енергії коливань у спеціаль-

них електричних контурах або так званих шунтах, які підключаються до

електродованих поверхонь п’єзоелектричного елемента [324, 325]. Шунт із

п’єзоелектричним елементом утворюють своєрідний коливальний контур, в яко-

му розсіюється енергія. Дисипація енергії коливань відбувається за рахунок

електромагнітного і теплового випромінювання в елементах шунта, а також у

в'язких прошарках і накладках основної конструкції.

У даній роботі розглядається пасивне демпфірування коливань конструкції,

виготовленої з алюмінієвого сплаву, за допомогою накладок з в’язкопружних

поляризованих по товщині п’єзоелектричних елементів з PVDF (рис. 7.6). Розсі-

ювання електричної енергії, в основному, відбувається у приєднаних до

п’єзоелементів електричних контурах з опорів R та котушок L, які утворюють

RL-шунт.

Рис. 7.6. Конструкція з приєднаними шунтами

При ударних або імпульсних навантаженнях тонкостінних конструкцій ви-

никають нестаціонарні коливання, амплітуда і тривалість яких можуть

перевищувати допустимі межі. Рівень наукових робіт з нестаціонарних коливань

343

п’єзоелектричних конструкцій можна оцінювати як початковий. Найчастіше в

дослідженнях обмежуються випадком моногармонічних коливань, що для такого

типу конструкцій не завжди справедливо. Не з’ясовано, наскільки ефективним є

застосування п’єзоелектричних матеріалів для зменшення амплітуд коливань при

імпульсних та ударних навантаженнях. Ідея використання таких матеріалів вида-

ється привабливою, виходячи з того, що поширення електромагнітних полів

відбувається значно швидше порівняно з полями механічних деформацій [375,

376]. Отже проблема нестаціонарних коливань smart-конструкцій потребує дета-

льного вивчення та розробки адекватних методів побудови математичної моделі

п’єзоелектричних матеріалів з підключеними елементами розсіювання електрич-

ної енергії.

Складність задач обумовлює використання наближених методів. Найбільш

поширеним методом синтезу складних композитних конструкцій є метод скін-

ченних елементів, однак застосування методу для розв'язання задач динаміки

неідеально-пружних конструкцій потребує вибору відповідних фізичних залеж-

ностей. У попередніх розділах показано, що для аналізу нестаціонарних коливань

неідеально-пружних конструкцій можна ефективно використати частотний метод

скінченних елементів ЧМСЕ (FFEM) [168], при якому синтез конструкції і аналіз

коливань проводяться у просторі інтегральних перетворень Фур'є. Перевагами

використання цього методу є можливість врахування залежностей лінійної теорії

спадкових середовищ, зокрема коректного введення частотно-залежних компле-

ксних модулів, а також можливість аналізу нестаціонарних коливань із заданими

початковими умовами. При переході до частотного простору також суттєво по-

легшується синтез конструкцій з п'єзоматеріалів.

Відповідно до стандартного алгоритму методу скінченних елементів [80],

виконаємо дискретизацію конструкції (рис. 7.6) шестивузловими плоскими скін-

ченними елементами (рис. 7.7) з відповідними функціями інтерполяції.

Апроксимація вузлових "переміщень" для електропружного скінченного елемен-

та, який моделює п’єзоелектричний матеріал, здійснюється за механічними і

електричними ступенями свободи. Тому такий скінченний елемент (рис. 7.7, б)

344

має шість додаткових ступенів свободи – електричних потенціалів в кожному ву-

злі, порівняно з механічним скінченним елементом (рис. 7.7, а), що апроксимує

тільки механічні переміщення.

а б

Рис. 7.7. Шестивузловий скінченний механічний (а) і електропружний (б)

елементи

Функції інтерполяції для шестивузлового механічного та електропружного

скінченних елементів приймемо однаковими:

2

1 21 1 3 2

y x xN

b a a

, 2

2 21 3 2

y x xN

b a a

,

2

3 21 4 4

y x xN

b a a

, 2

4 24 4

y x xN

b a a

, (7.11)

2

5 21 2

y x xN

b a a

, 2

6 22

y x xN

b a a

.

Вектор деформацій ε скінченного елемента визначається за переміщеннями

вузлових точок 1–6:

uε AN u , (7.12)

де A – матриця диференційних операторів, uN – матриця функцій інтерполяції

механічних переміщень:

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0u

N N N N N N

N N N N N N

N ,

345

0

0

x

y

y x

A , (7.13)

Для п’єзоелектричного матеріалу, згідно з напрямком поляризації, розподіл

потенціалів по товщині приймаємо лінійним. Вектор напруженості електричного

поля E пов'язаний з потенціалом відомим співвідношенням, яке в скінченно-

елементному варіанті матиме вигляд:

E N , (7.14)

де і N – відповідно диференційний оператор і матриця функцій інтерполя-

ції електричного потенціалу:

T

x y

, 1 2 3 4 5 6 .N N N N N N N (7.15)

Систему лінійних диференційних рівнянь рівноваги та квазістатичних рів-

нянь лінійної електропружності для п’єзоелектричного тіла без урахування

температури, відносно механічних переміщень і електричного потенціалу під ді-

єю зовнішніх та об’ємних механічних сил та електричних зарядів, докладно

розглянуто у [221]. Лінійні фізичні залежності для плоского напруженого стану

п’єзоелектричного тіла при сталому електричному полі мають вигляд:

T σ Сε e E ,

D eε κE , (7.16)

де 11 13

31 33

55

0

0

0 0

С С

С С

С

С – тензор пружних модулів, x z xz σ – вектор

механічних напружень; 15

31 33

0 0

0

e

e e

e – тензор п’єзоелектричних модулів;

346

Tx zE EE – вектор напруженості електричного поля; 11

33

0

0

κ – ма-

триця діелектричних властивостей матеріалу; Tx zD DD – вектор

електричного зміщення.

Диференційне рівняння електричного шунта з паралельним з'єднанням еле-

ментів можна записати у вигляді:

1 1

QR L

, (7.17)

де 1 R – електрична провідність; 1 L – інверсна індуктивність котушки; точка-

ми позначено диференціювання за часом.

У скінченно-елементному варіанті матриця електричної "жорсткості" для

RL-шунта (рис. 7.8, а) матиме вигляд:

R L Q K K , (7.18)

де

1 11

1 1R R

K , 1 11

1 1L L

K , (7.19)

Q – вектор вузлових зарядів, записаний з урахуванням закону збереження

заряду:

0 0

a bT qdydx Q N , (7.20)

q – густина зарядів на електродованій поверхні п'єзоелемента.

Синтез скінченного елемента з RL-шунтами (рис. 7.8) виконується згідно зі

стандартною процедурою методу скінченних елементів [80]. Граничні умови в

контакті "металева основа/п’єзоелемент" (метал/діелектрик) забезпечуються ви-

користанням функцій апроксимації (7.13), (7.15). Умова заземлення одного з

виводів шунта враховується шляхом присвоєння нульових рядків і стовпців від-

повідним "заземленим" вузлам шунта.

347

Рис. 7.8. Скінченні елементи шунта

При малих динамічних деформаціях фізичні залежності для

п’єзоелектричних матеріалів можна записати за допомогою інтегральних опера-

торів лінійної теорії спадкового середовища – як для лінійного в’язкопружного

тіла. Однак безпосереднє використання інтегральних залежностей у задачах ди-

наміки викликає значні труднощі, пов'язані з експериментальним визначенням

фізичних параметрів [196] і розв'язком систем інтегродиференційних рівнянь.

Згідно з прийнятою концепцією, запишемо скінченно-елементний варіант

диференційних рівнянь (7.16) в частотному просторі. Рівняння динаміки, одер-

жані з використанням варіаційного принципу Лагранжа у згортках (3.11), після

інтегрального перетворення Фур'є матимуть вигляд рівнянь лінійної теорії пруж-

ності з комплексними модулями:

2 ˆˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ( )u ui i Mu K u K F f

ˆˆ ˆ ˆˆ ( )Tu i K u K φ Q , (7.21)

де матриці мас M , електричної «жорсткості» ˆK , а також матриці, що відпові-

дають прямому ûK та зворотному ˆ

uK п’єзоелектричному ефекту, мають

вигляд:

0 0

a bT

u uh dydx M N N , 0 0

ˆâ b

Tu u ui h i dydx K AN C AN ,

0 0

ˆ ˆ ˆˆ , ,a b

T T Tu u u ui h i dydx i i K AN e N K K

0 0

ˆ â b

Ti h i dydx K N κ N , (7.22)

348

0 0 0

0 0 0

ˆ ( ) ( , , )exp( ) ,

ˆ ( ) ( , , )exp( ) ,

a bTu

a bT

i x y t i t dydxdt

i x y t i t dydxdt

F N p

Q N q

де ˆ i i С С С – матриця частотно-залежних комплексних пружних

модулів; ˆ i e e e , ˆ i κ κ κ – відповідно матриці ком-

плексних п’єзоелектричних та діелектричних модулів; – густина матеріалу; h

– ширина скінченного елемента; ( , , )T

x yx y t p pp – вектор зовнішнього наван-

таження; ˆ ( , )x yF – зображення Фур’є зовнішнього механічного навантаження;

ˆ ( , )x yQ – зображення вектора вузлових зарядів; ˆ ˆ ˆ(0) (0)i f Mu Mu ,

ˆ ˆ(0), (0)u u – зображення початкових швидкостей і переміщень вузлових точок ві-

дповідно.

Для того, щоб знайти розв’язок системи лінійних рівнянь (7.21) відносно

переміщень, виключимо електричний потенціал φ . Із другого рівняння системи

визначаємо зображення Фур’є вузлових значень потенціалу

1ˆ ˆ ˆˆ ˆTu

φ Q K K u . (7.23)

Знайдене значення зображення потенціалу (7.23) підставимо у перше рів-

няння системи (7.21), враховуючи при цьому комплексні складові матеріальних

тензорів. Отримаємо рівняння відносно зображень механічних переміщень:

ˆ ˆˆi i Z u F , (7.24)

де ˆ iZ – матриця динамічної жорсткості:

1 2ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Tu u ui

Z K K Q K K M . (7.25)

Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь (7.21) відносно перемі-

щень у частотному просторі має вигляд

1ˆ ˆˆ i u Z F . (7.26)

349

Після визначення переміщень повернення в часовий простір відбувається за

допомогою чисельного (дискретного) оберненого перетворення Фур’є, а саме за

алгоритмом швидкого перетворення Фур’є (FFT):

11 ˆ ˆFFT i u Z F . (7.27)

Для аналізу розсіювання енергії коливань в конструкції потрібно визначити

власні вектори і числа матриці динамічної жорсткості з умови

ˆ 0i Z . (7.28)

Згідно з [168] для визначення власних векторів і чисел можна використати

чисельний варіант методу простої ітерації.

Розглянемо приклад розрахунку нестаціонарних коливань стрижня (рис. 7.6)

з в’язкопружними п’єзоелектричними накладками.

Параметри стрижня:

– довжина 0,7l м;

– ширина 320 10b м;

– товщина основної несучої конструкції 32 10s м;

– густина матеріалу 32,7 10 3

кг

м;

– модуль пружності матеріалу несучого шару 106,71 10 1 0,025E i Па.

Параметри накладок з в’язкопружного п’єзокомпозиційного матеріалу на

основі PVDF і ЦТСтБС-2 [267]:

– довжина накладки 0,1pl м;

– ширина 320 10pb м;

– товщина 32 10ps м;

– густина матеріалу 31,75 10p 3кг м ;

– дійсні й уявні компоненти матриці пружних модулів п’єзоелектричного

матеріалу: 911

ˆ 15,7 10 1 0,064С i Па, 931

ˆ 9,30 10 1 0,098С i Па,

933

ˆ 13,6 10 1 0,069С i Па, 955 2,52 10 1 0,014С i Па;

350

– п’єзоелектричні модулі:

331 1,0 1 8,3 10e i 2Кл м , 33 1,5e 2Кл м , 3

15 1,13 1 2,1 10e i 2Кл м ;

– компоненти матриці діелектричних властивостей:

311 0 12,7 1 4,7 10i , 3

11 0 11,8 1 1,2 10i , 120 8,85 10 Ф м .

Параметри швидкого перетворення Фур’є: кількість точок 122N на інтер-

валі часу 4T с; максимальний спектр частот max 6432f Гц.

Імпульсне і ударне навантаження прикладається у напрямі узагальненої ко-

ординати 4.

Рис. 7.9. Скінченно-елементна модель конструкції з RL-шунтами

Розв’язок задачі проведено для трьох випадків:

1) при підключеному паралельному шунті (7.18), матриця динамічної елект-

ромеханічної жорсткості у цьому випадку записується таким чином:

1

22

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Tsh u u R L ui

i

Z K K K K K K M ; (7.29)

2) при відключеному шунті – з відкритими електродами ( ˆ 0Q ):

1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Topen u u ui

Z K K K K M ; (7.30)

3) розв’язок механічної задачі – без урахування електричної складової:

2ˆ ˆui Z K M . (7.31)

Результати визначення реакції стрижня на імпульсне навантаження (рис.

7.11) для трьох випадків наведено на рис. 7.10.

351

Рис. 7.10. Реакція стрижня на імпульсне навантаження у напрямку координати 4:

І) з підключеним шунтом (7.29); ІІ) без шунтів (7.31);

ІІІ) з відкритими електродами (7.30)

0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F s( )

0

s

Рис. 7.11. Форма імпульсу навантаження у напрямі узагальненої координати 4

Амплітудно-частотні характеристики (АЧХ) для першої, другої і третьої

форм коливань наведено на рис. 7.12 а, б.

а

352

а

250 336.25 422.5 508.75 595 681.25 767.5 853.75 9400

2 105

4 105

6 105

8 105

1 104

1.2 104

1.4 104

1.6 104

Shuntk

Mechk

Openk

0

f k б

Рис. 7.12. АЧХ для першої, другої та третьої частот: І) з підключеним шун-

том (7.29); ІІ) без шунтів (7.31); ІІІ) з відкритими електродами (7.30)

Таким чином, кінченно-елементний аналіз у просторі перетворень Фур’є

може використовуватись для розрахунків п’єзоелектричних конструкцій і компо-

зитів на їх основі при імпульсному навантаженні. Згідно з результатами

розрахунків застосування п’єзоелектричних елементів із приєднаним RL-шунтом,

зменшує величину реакції конструкції даного типу при нестаціонарних наванта-

женнях. Найбільший декремент і найменша амплітуда переміщення від дії

імпульсного та ударного навантаження спостерігаються у конструкції з шунтами.

Регулюванням електричного опору та індуктивності шунта можна значно підви-

щити декремент коливань конструкції. Перевагами використання методики є

можливість визначення реакцій від дії зовнішнього навантаження довільного

спектрального складу й врахування залежності фізичних характеристик матеріа-

лу від частоти. Повернення до часового простору проводиться тільки на

останньому кроці обчислень.

353

7.3 Оптимізація багатошарової пластини з RL-шунтами

Розгянемо методику вибору оптимальних параметрів багатошарової пласти-

ни з шарами електров'язкопружних матеріалів з модифікованими демпфуючими

властивостями за рахунок зовнішніх демпфіруючих електричних контурів (шун-

тів) [287, 330].

Для побудови математичної моделі динаміки пластини з електров'язкопру-

жного матеріалу скористаємося варіаційним рівнянням [221] динаміки

електров'язкопружного тіла об'ємом V, обмеженого площею S, на одній частині

якої 1S заданo зовнішні сили Sp , а на другій 2S – електричні заряди Sq :

1 2

2

20T T T T T

S SV V S V S

ddV dV dS dV dS

dt

uu ε σ u p E D φ q , (7.32)

де u, ε, σ – переміщення, деформації і напруження відповідно, Е – вектор на-

пруженості електричного поля, D – вектор електричної індукції, φ – потенціал.

Розділимо пластину по товщині на n шарів (рис. 7.13) і одержимо розрахун-

кові рівняння для і-го шару.

а б

Рис. 7.13. Багатошарова пластина з електров'язкопружного матеріалу: а) вузлові

площини; б) вузлові переміщення і потенціали при лінійній апроксимації пере-

міщень по товщині

Для апроксимації переміщень і потенціалів по товщині пластини використа-

ємо лінійний поліном Лагранжа, а по координатах у площині xOy – глобально

означені функції у відповідності з умовами закріплення.

354

При лінійній апроксимації по товщині шару переміщення u і потенціал φ

запишемо у вигляді:

, ,u k k u N u φ N φ (7.33)

де ,u N N – матриці функцій апроксимації, ,k ku φ – вектори вузлових перемі-

щень і потенціалів (рис. 7.6, б):

1 1 1

2 2 2

1 2 1 2

1 2 3 4 5 6 1 2

0 0 0,

0 0 0

, 1 , .

, , , , , , , .

u v wz xy z xy z xy

u u v wz xy z xy z xy

z xy z xy z z

T T

N N N N N N

N N N N N N

z zN N N N N N

h h

u u u u u u

N

N

u φ

(7.34)

Функції , , ,u v wxy xy xy xyN N N N вибираються у відповідності з умовами закріп-

лення шару.

Використаємо залежності рівняння електров'язкопружного матеріалу у згор-

тках (Розділ 2):

* * ,

* * ,C e

e

σ R ε R E

D R ε R E

. (7.35)

Після підстановки фізичних залежностей (7.35) у рівняння (7.32), одержимо

варіаційне рівняння динаміки електров'язкопружного шару:

1

2

( ) * *

* * 0.

T TTC e S

V V S

T Te

V S

dV dV dS

dV dS

u u ε R ε R E u p

E R ε R E φ q

(7.36)

Використаємо далі введені вище апроксимації переміщень і потенціалу

(7.33)-(7.34), винесемо за знак інтегралів варіації векторів переміщень і потенціа-

лу і прирівняємо нулю множники при варіаціях. У результаті одержимо систему

інтегродиференційних рівнянь відносно потенціалу і вектора переміщень:

* * ,

* * ,

uu k uu k u k

u k k

M u K u K φ F

K u K φ Q

(7.37)

355

, , ,

, , ,

.

T T Tuu u u uu u C u u u e

V V V

T T Tu e u u

V V S

T

S

dV dV dV

dV dV dSs

dSS

M N N K B R B K B R B

K B R B K B R B F N p

Q N q

(7.38)

Застосуємо до (7.37) пряме перетворення Фур'є (Розділ 3), після чого одер-

жимо систему рівнянь відносно зображень Фур'є переміщень u і потенціалу φ *):

2 ˆˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ,uu u Mu K u K φ F f ˆˆ ˆ ˆˆ ,u K u K φ Q (7.39)

де ˆ ˆ ˆ(0) (0); 1;i i f Mu Mu ˆˆ (0), (0)u u – вектори початкового переміщення

і початкової швидкості вузлових точок шару.

Як відомо [90, 221], використання п'єзоматеріалів обумовлено не стільки їх

здатністю демпфувати коливання, яка є невисокою порівняно зі спеціальними

в'язкопружними матеріалами, а саме можливістю збільшення пасивного демпфу-

вання за рахунок перетворення механічної енергії в електричну, а потім у

теплову (використання сенсорів), а також за рахунок створення зусиль, протиді-

ючих деформуванню конструкції (використання актуаторів).

Не вдаючись до аналізу недоліків і переваг цих двох способів, у представле-

ній роботі обмежимося аналізом пасивного демпфування і одержимо рівняння

коливань п'єзошару, в якому збільшення демпфування обумовлене використан-

ням спеціальних пристроїв (шунтів) і методів теорії параметричної оптиізації

(Розділ 4).

Зазначимо, що використання електричних шунтів відкриває можливості

створення спеціальних матеріалів, здатних реагувати на дію електричного стру-

му суттєвим підвищенням демпфуючих властивостей [287, 324].

Повертаючись до рівнянь (7.39), розглянемо коливання пластини з приєдна-

ним RL-шунтом (рис. 7.14).

*) Рівняння (7.39) відрізняється від (7.37) обґрунтованою можливістю використання частот-

но-залежних модулів при аналізі нестаціонарних і багаточастотних коливань, а також можливістю врахування початкових умов.

356

Рис. 7.14. Шар пластини з приєднаним RL-шунтом

Як показано в [90], рівняння коливань пластини з п'єзоелектричних матеріа-

лів можна використати для аналізу декількох випадків використання

властивостей п'єзоелектричного матеріалу.

Зокрема, при підведенні до електродів напруги (задано потенціал ) можна

створити електромеханічне навантаження, при якому п'єзоелемент працює у ре-

жимі збудження коливань (актуатор):

2 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆuu u Mu K u F K φ . (7.40)

При розімкнутих електродах ˆ 0Q одержимо рівняння для аналізу власних

частот і вимушених коливань:

2 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆuu u u

Mu K K K K u F . (7.41)

Для врахування приєднаних зовнішніх пасивних елементів можна викорис-

тати рівняння (7.41), доповнивши в ньому матрицю ˆK матрицею або сумою

матриць, які описують приєднані зовнішні елементи.

Зокрема, для паралельного RL-шунта матриця ˆK доповнюється матриця-

ми ˆLK і ˆ

RK :

2 1 ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ( ) )uu u R L u

Mu K K K K K K u F f , (7.42)

2

1 1 1 11 1ˆ ˆ, .1 1 1 1L R i RL

K K

(7.43)

Рівняння для аналізу вільних коливань з урахуванням додаткового демпфу-

вання і початкових умов одержимо з (7.43) при ˆ 0F .

2 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ( ) ) (0) (0).i uu u j R L uMu K K K K + K K u Mu Mu (7.44)

357

У наступних підрозділах представлено використання одержаних залежнос-

тей для розв'язання задач оптимізації багатошарових конструкцій з шарів

електров'язкопружних матеріалів.

7.4 Перспективи проектування вібростійких тонкостінних елементів

конструкцій з електров'язкопружних матеріалів

Розглянемо приклад розрахунку і оптимізації параметрів тришарової плас-

тини, зовнішні шари якої виготовлено з електров'язкопружного матеріалу, а

внутрішній – з пасивного матеріалу (рис. 7.15).

Рис. 7.15. Схема тришарової пластини з паралельними RL-шунтами

Для побудови моделі тришарової пластини скористаємось одержаними ви-

ще залежностями для одного шару, умовами рівності переміщень на суміжних

площинах, а також умовами рівності потенціалів у вузлах приєднання зовнішніх

демпфуючих елементів.

Запишемо функції апроксимації переміщень і потенціалу у вигляді:

1 1 1 1

1 1 1 1

sin cos , sin sin ,

cos sin . sin sin .

u wxy xy

m n m n

vxy xy

m n m n

m x n y m x n yN N

l b l b

m x n y m x n yN N

l b l b

Вхідними параметрами пластини є габаритні розміри, фізико-механічні ха-

рактеристики матеріалів, електричні параметри шунтів.

Принципово всі вхідні параметри підлягають оптимізації, однак частіше об-

межуються найбільш суттєвими, зокрема параметрами шунтів, товщинами шарів,

358

характеристиками матеріалів. Для багатошарових конструкцій кількість параме-

трів оптимізації може суттєво зростати.

У даній роботі використовується розроблений алгоритм RGA, особливості

якого описуються в Розділі 4.

Розглядали тришарову пластину з такими вхідними параметрами:

– габаритні розміри пластини 0,4 , 0,4мb l м;

– товщини зовнішніх шарів 0,001h м.

Електров'язкопружні властивості матеріалів наведено в табл. 7.1.

Таблиця 7.1

Властивості матеріалів

Коефіціє-нти

Матеріал зовнішніх шарів PZT-5

В'язкопружний матеріал середнього шару

911 (1 0.001) 99.201 10c i 911 (1 0.01) 183.443 10c i 922 (1 0.001) 99.201 10c i 922 (1 0.01) 11.662 10c i 933 (1 0.001) 86.856 10c i 933 (1 0.01) 11.662 10c i 912 (1 0.001) 54.016 10c i 912 (1 0.01) 4.363 10c i 913 (1 0.001) 50.778 10c i 913 (1 0.01) 4.363 10c i 923 (1 0.001) 50.778 10c i 923 (1 0.01) 3.918 10c i 944 (1 0.001) 21.100 10c i 944 (1 0.01) 2.870 10c i 955 (1 0.001) 21.100 10c i 955 (1 0.01) 7.170 10c i

Пружні модулі

966 (1 0.001) 22.593 10c i 966 (1 0.01) 7.170 10c i 31 7.209 (1 0.001)e i 31 0.0e 32 7.209 (1 0.001)e i 32 0.0e 33 15.118 (1 0.001)e i 33 0.0e 24 12.322 (1 0.001)e i 24 0.0e

П'єзоеле-ктричні константи

15 12.322 (1 0.001)e i 15 0.0e

1011 (1 0.001) 153.0 10i 911 153.0 10 1022 (1 0.001) 153.0 10i 922 153,0 10

Діелект-ричні модулі

1033 (1 0.001) 153.0 10i 933 153.0 10

Густина 36.85 10g 31.85 10g

359

Для визначення оптимальних параметрів пластини за критерієм максималь-

ного демпфування скористаємося методом оптимізації на основі розробленого

генетичного алгоритму RGA. Вектор проектних параметрів приймемо у вигляді

2h R Lx ,

де 2h – товщина середнього в'язкопружного шару (м), R – опір (Ом), L – інду-

ктивність RL-шунта (генрі).

Обмеження на проектні параметри:

0,001 10 0,01lb , 0,01 500 1ub .

Результати розрахунку: цільова функція (декремент коливань на першій фо-

рмі) 0,5328 , частота 11

1893,2c

, максимальна амплітуда 61,0921 10a м.

Вектор оптимальних проектних параметрів:

0,0100 500,0000 0,3 2x 64opt .

На рис. 7.16-7.17 наведено деякі результати розрахунку і оптимізації триша-

рової пластини.

Рис. 7.6. Залежність максимальної амплітуди на першій формі коливань пластини

від частоти (АЧХ – характеристика при нульовому L) і різних R:

1) R=1 Ом; 2) R=5 Ом; 3) R=10 Ом; 4) R=25 Ом; 5) R=50 Ом; 6) R=100 Ом

360

На рис. 7.17 показано амплітудно-частотні характеристики для оптимально-

го проекту і довільного вектора проектних параметрів 0,005 500,0000 0,5x ,

для якого декремент коливань, перша частота і максимальна амплітуда склада-

ють відповідно 0,3075 , 1 995,8709 , 69,6087 10a м .

Рис. 7.17. АЧХ при оптимальних (суцільна крива) і довільних (штрихова крива)

значеннях проектних параметрів

На рис. 7.18 наведено графіки затухання коливань для двох значень вектора

проектних параметрів – довільного і оптимального.

а

361

б

Рис. 7.17. Графіки затухання коливань для двох значень вектора проектних

параметрів: а) для довільного; б) для оптимального

Таким чином, розроблено методику проектування багатошарових пластин і

оболонок з п'єзоелементами, з'єднаними шунтами із зовнішньою мережею для

збільшення розсіювання енергії за рахунок перетворення енергії в тепло в елект-

ричному контурі. Розрахункові рівняння коливань багатошарових конструкцій з

шарів в'язкопружних і електров'язкопружних матеріалів одержано з використан-

ням інтегрального перетворення Фур'є.

7.5 Задача оптимального проектування композиційних лопатей вітро-

генератора при інерційних навантаженнях з урахуванням розсіювання

енергії в матеріалі

Розглянемо методику одержання спектра власних частот Н-ротора вітроге-

нератора з композитними лопатями еліптичного поперечного перерізу з

урахуванням зв'язаності власних значень зі швидкістю обертання ротора турбіни

а також власних форм коливань у площині обертання і відповідні осьові напру-

ження. Розроблена модель дозволяє знайти оптимальні значення товщини

362

обшивки лопатей або інших проектних параметрів для заданої частоти або робо-

чого діапазону частот обертання ротора вітрогенератора.

Розглянемо плоский згин лопатей в площині обертання ротора при дії інер-

ційних навантажень. Для цього в початковий профіль NACA 0020 вписуємо

еліпс з півосями 0,233 ( )a м і 0,067 ( )b м (рис. 7.18). Товщину обшивки h за-

даємо, вписуючи ще один еліпс з півосями ha a h , hb b h (рис. 7.19). Тоді

площа поперечного перерізу і осьовий момент інерції матимуть вигляд:

h hA a b a b ; (7.45)

3 3

4y h hJ a b a b

. (7.46)

Рис. 7.18. Моделювання форми поперечного перерізу

Рис. 7.19. Поперечний переріз лопаті у вигляді еліпсу

Побудуємо матрицю жорсткості скінченного елемента, працюючого на пло-

ский згин. Для умов роботи лопаті апроксимуємо лінійні і кутові переміщення.

363

Відповідні функції скінченного елемента (рис. 7.20, а), що працює на згин з роз-

тягом-стиском мають вигляд

2 3

3 1 3 2x x

Nl l

, 2 3

4 2x x x

N ll l l

, (7.47)

2 3

5 3 2x x

Nl l

, 2 3

6x x

N ll l

,

де x – координата вздовж стрижня довжиною l .

а б

Рис. 7.20. Скінченний елемент лопаті (а); структура КМ (б)

Матриця функцій апроксимації має вигляд:

1 2

3 4 5 6

0 0 0 0

0 0

N N

N N N N

N . (7.48)

Вілповідний вектор вузлових переміщень елемента (рис. 7.20, а):

1 2 1 3 4 2T

u u u u q . (7.49)

Деформації стрижня знаходимо, застосовуючи гіпотезу плоских перерізів.

Тоді для скінченного елемента, працюючого на згин з розтягом-стиском, дефор-

мації будуть пов'язані з вузловими переміщеннями таким чином:

ε BUq , (7.50)

364

де

1 2

2 2 2 23 4 5 6

0 0 0 0

0 0

x x

x x x x

N N

N N N N

BU , (7.51)

1 1x

Nl

, 2x

Nl

.

де x , 2x – перша і друга похідні за координатою x відповідно.

Рівняння динаміки запишемо з використанням розроблених методів скін-

ченно-елементного моделювання у просторі перетворень Фур'є (Розділ 3).

Матрица мас має вигляд:

0

lTA dx M N N (7.52)

де – густина матеріалу, а для композиційного матеріалу – ефективна густина,

яка визначається за правилом сумішей.

Матриця жорсткості стрижня має вигляд:

0

l

TA dx KU BU S BU , (7.53)

де

0

0 y

E A

E J

S (7.54)

*E – ефективний динамічний (комплексний) модуль пружності КМ

E E iE (7.55)

де E , E – дійсні й уявні частини модулів прудності; 1i .

Таким чином, одержана комплексна матриця жорсткості

i KU KU KU (7.56)

дозволяє врахувати експериментально визначені дисипативні властивості одно-

рідного або композиційного матеріалу при моделюванні динамічної поведінки

конструкцій без уведення так званих матриць демпфування.

365

У роботі моделюється двокомпонентний багатошаровий композиційний ма-

теріал с в'язкопружною матрицею і жорсткими армуючими шарами (рис. 7.20, б).

За методикою, розглянутою у Розділі 2, знайдено ефективні пружні і дисипативні

характеристики квазіоднорідного матеріалу.

Розрахунки проведено для значень коефіцієнта армування 0.7 при куті

армування 45 . Ці параметри також можуть бути визначені шляхом розв'я-

зання задачі оптимізації.

Побудуємо матрицю «відцентрової жорсткості» та матрицю аеродинамічно-

го демпфування. При обертанні ротора турбіни вітрогенератора на лопать діють

відцентрові сили, які залежать від швидкості обертання турбіни і довжини траве-

рси TR . У нашому випадку при побудові матриці «відцентрової жорсткості» не

враховувалися сили розтягу, оскільки вісь обертання ротора розташована пара-

лельно осі лопаті (або головній осі лопаті) на відстані TR . Тому враховували

відцентрові згинальні моменти і поперечні сили. У цьому випадку матриця «від-

центрової жорсткості» має вигляд:

2 2

0

TR

TTR dx KC BC BC (7.57)

де – швидкість обертання ротора турбіни;

3 4 5 6

0 0 0 0 0 0

0 0x x x xN N N N

BC . (7.58)

Проінтегрувавши наведені вище вирази і виконавши стандартні перетворен-

ня згідно з методикою МСЕ, одержимо систему рівнянь у глобальній системі

координат, яка описує вільні коливання ротора при дії інерційних сил:

0 Mq Cq KU KC q . (7.59)

Скінченно-елементна модель лопаті ротора складається з 17-ти стрижневих

елементів та має 54 ступені свободи (рис. 7.21).

366

Рис. 7.21. Скінченно-елементна модель лопаті вітрогенератора

7.5.1 Задача визначення власних значень

Розглянемо визначення власних значень системи. При врахуванні частотно-

залежного розсіювання енергії та аеродинамічного демпфування приходимо до

нелінійної задачі визначення власних значень, тому для спрощення аеродинаміч-

ним демпфуванням по можливості нехтують [383], розсіювання енергії у

матеріалі приймається частотно-незалежним і враховується шляхом уведення

комплексних модулів пружності, відповідно, при дискретизації одержимо ком-

плексну матрицю пружності KU . Визначимо власні форми і частоти ротора

вітрогенератора при дії інерційних сил:

2 0 Mλ KU KC λ . (7.60)

Власні форми і частоти шукаємо за стандартною процедурою:

10 eigenvalues M KU KC , (7.61)

0 0 0i .

367

Результати розрахунку власних форм і відповідних напружень x при згині

лопатей показано на рис. 7.22-7.25. Власні частоти визначено при 0 . Інші па-

раметри вибрано такими: товщина обшивки 10 ( )h мм ; осьовий момент інерції

5 42.26 10 ( )yJ м ; площа поперечного перерізу 3 29.10 10 ( )A м ; ефектив-

ний комплексний модуль пружності 4 24.78 10 2.78 10 E i МПа при

коефіцієнті армування 0.7 ; кут армування 45 , довжина півлопаті

2.5ЛL (м); довжина траверси 4 ( )TR м .

Рис. 7.22. Згин лопаті на першій формі коливань

Рис. 7.23. Друга форма коливань

368

Рис. 7.24. Третя форма коливань

Рис. 7.25. Четверта форма коливань

Як видно, елементи матриці "відцентрової жорсткості" і, як наслідок, власні

частоти залежать від частоти обертання ротора турбіни. На рис. 7.26 можна про-

слідкувати зв'язаність власних частот зі швидкістю обертання ротора 0 .

Декремент коливань на заданій частоті одержимо як співвідношення уявної

до дійсної частини власної частоти за період коливань:

369

0

0

2dekr

. (7.62)

Рис. 7.26. Зв'язок власних частот зі швидкістю обертання ротора (діаграми непа-

рних і парних частот)

7.5.2 Задача оптимального проектування лопаті вітрогенератора

Дискретну модель конструкції можна використати для пошуку оптимально-

го значення довільного параметра при заданих обмеженнях на параметри

проекту.

Сформулюємо задачу визначення оптимальної товщини обшивки лопаті h ,

коефіцієнта и кута армування для заданого робочого діапазону кутових

швидкостей обертання ротора min max за умови максимізації декремента

коливань з урахуванням умови міцності. Постановка задачі оптимізації також мі-

стить обмеження на параметри проектування, пов'язані з особливостями

370

структури матеріалу (коефіцієнт і кут армування), режимами роботи конструкції,

технологіями виготовлення тощо.

Задачу сформулюємо у вигляді узагальненої задачі нелінійного програму-

вання: знайти вектор проектних параметрів

, , T

x h , (7.63)

який забезпечує максимальне або мінімальне значення цільової функції при об-

меженнях на параметри проекту.

Цільову функцію можна вибрати з таких міркувань: при малих швидкостях

обертання ротора потрібно демпфувати нижні частоти коливань, тому будемо

шукати параметри, при яких декремент на першій власній частоті буде мати мак-

симальне значення. Інші частоти, які збуджуються при поривах вітру або

перехідних процесах, на діаграмі (рис. 7.27) повинні бути якомога вищими. Як

видно з діаграми, на деякій власній частоті утворюється лінія по горизонталі, по-

будована з декількох власних частот, частково незалежних від швидкості

обертання ротора турбіни. При зміні параметрів конструкції ця лінія переміщу-

ється вгору або вниз. Для оптимальної конструкції ця лінія повинна відповідати

якомога вищому значенню власної частоти.

Для заданої товщини обшивки 310 10 h м і коефіцієнта армування

0.5 визначимо, при якому значенні кута армування "горизонтальна лінія час-

тот", відповідна четвертій власній частоті 0,4 при 0 , розташовується

якомога вище, тобто:

x ,

0,4 minx . (7.64)

Розв'язавши задачу оптимізації, одержимо 90opt ; значення цільової фу-

нкції 225,6 Гц . Зміну діаграми показано на рис. 7.27. При зміні кута армування

армування "горизонтальна лінія частот" змістилася вгору.

371

Рис. 7.27. Зміна діаграми Кемпбелла у залежності від кута армування:

штрихова лінія відповідає 45 , суцільна – 90opt

Аналогічно можна розглянути таку задачу – при якому значенні товщини

обшивки при заданих коефіцієнті і куті армування декремент коливань на першій

формі коливань буде максимальным:

x h ,

372

1 minx dekr . (7.65)

За необхідності можна поставити задачу мінімізації маси лопаті. Оптималь-

не значення проектних параметрів для задач (7.64), (7.65) одержуються за умови,

що на конструкцію не діють сили інерції. Якщо потрібно визначити оптимальні

значення для діапазону частот, то приходимо до багатокритерійної задачі опти-

мізації:

0, , minn nx dekr mass . (7.66)

Для таких задач використовують пошукові методи, зокрема, на основі гене-

тичних алгоритмів, які дозволяють визначити глобальний екстремум і є

нечутливими до кількості проектних параметрів.

У відповідності з Угодою про наукове співробітництво між Інститутом тра-

нспортних систем і технологій НАН України "Трансмаг" та Чернігівським

національним технологічним університетом від 30.05.2016 р. з метою впрова-

дження наукомістких технологій в галузі вітроенергетики поставлено задачу

розробки ефективної методики оптимального проектування композитних лопа-

ток вітрових турбін.

Аналіз представлених результатів показав, що актуальним напрямом пода-

льших досліджень в області створення ефективних конструкцій лопаток

вітрогенераторів в рамках Угоди є розробка комплексної методики розрахунку

оптимальних композитних конструкцій, яка включає декілька етапів: побудову

математичної моделі армованого волокнами КМ з в'язкопружними властивостя-

ми для реалізації можливості варіювання структури і властивостей матеріалів –

складових композита; побудову математичної моделі коливань конструкції; роз-

робку методів аналізу розрахункових рівнянь і методів визначення критеріїв

оптимізації; розробку і обґрунтування методів оптимізації композитних матеріа-

лів і конструкцій. Довідку Інституту транспортних систем і технологій НАН

України "Трансмаг" про потенційно можливе впровадження і використання

представлених методів наведено у Додатку 2.

373


Таким чином, розглянуто перспективи проектування оптимальних компози-

тних конструкцій з шарів матеріалів зі спеціальними, зокрема,

електров'язкопружними та в'язкопружними властивостями.

1. Для розрахунків п’єзоелектричних конструкцій і композитів на їх основі

при імпульсному навантаженні використано скінченно-елементний аналіз у про-

сторі перетворень Фур’є. Згідно з результатами розрахунків застосування

п’єзоелектричних елементів із приєднаним RL-шунтом, зменшує величину реак-

ції конструкції даного типу при нестаціонарних навантаженнях. Найбільший

декремент і найменша амплітуда переміщення від дії імпульсного та ударного

навантаження спостерігаються у конструкції з шунтами. Регулюванням електри-

чного опору та індуктивності шунта можна значно підвищити декремент

коливань конструкції. Перевагами використання методики є можливість визна-

чення реакцій від дії зовнішнього навантаження довільного спектрального

складу й коректне врахування залежності фізичних характеристик матеріалу від

частоти. Повернення до часового простору проводиться тільки на останньому

кроці обчислень.

2. Для проектування композитних конструкцій, працюючих в умовах наван-

тажень довільного спектрального складу, зокрема, лопатей вітрогенераторів

ефективними виявилися методи скінченно-елементного моделювання у просторі

перетворень Фур'є. Ефективність і довговічність функціонування лопатей вітро-

вих турбін і загалом конструкцій вітрогенераторів у значній мірі залежить від

вибору оптимальної конструкції, для чого необхідно застосування ефективних

методів розрахунку параметрів і критеріїв ефективності та працездатності конс-

трукцій, а також використання сучасних методів оптимізації.

Результати досліджень Розділу 7 представлено у роботах [49, 50, 54, 55, 68,

69, 186,187, 270, 271, 272].

374

ВИСНОВКИ

У результаті системного підходу до вирішення проблеми проектування оп-

тимальних вібростійких композитних тонкостінних конструкцій з в'язкопружних

і електров'язкопружних матеріалів для роботи в умовах динамічних навантажень

довільної природи в дисертації одержано такі нові наукові та практичні результа-

ти:

1. Розроблено метод визначення і застосування ефективних параметрів ком-

позиційного матеріалу з шарами пружних, в'язкопружних і

електров'язкопружних матеріалів у частотному просторі інтегральних перетво-

рень Фур'є при моделюванні оптимальних вібростійких багатошарових

тонкостінних елементів конструкцій. При цьому критерієм оцінки прийнятності

моделі є правильне відображення експериментальних залежностей від частоти

коливань, температури та інших факторів. Проведено порівняння одержаних ре-

зультатів, зокрема узагальнених характеристик КМ і декрементів коливань, з

результатами, одержаними при аналізі скінченно-елементних моделей аналогіч-

них структур та результатами, одержаними іншими методами, опублікованими у

відкритих джерелах.

2. Обґрунтовано і узагальнено частотний метод скінченних елементів для

задач нестаціонарної динаміки неідеально-пружних композитних конструкцій,

який дає можливість урахування частотної залежності розсіювання енергії у ма-

теріалі та аналізу вільних і вимушених коливань при навантаженнях із довільним

спектральним складом.

3. З використанням варіаційних методів у частотній області побудовано ма-

тематичні моделі композитних багатошарових пластин і оболонок і розроблено

методику визначення реакції композитних елементів структури на дію динаміч-

них навантажень довільної форми при вимушених коливаннях, а також

декрементів, частот і форм коливань при вільних коливаннях та необхідних па-

раметрів оптимізації для конкретних композитних конструкцій.

375

4. Вперше запропонована послідовна методологія проектування дисипатив-

них композитних конструкцій з використанням сучасних методів глобальної та

багатокритеріальної оптимізації на основі класичних і дійсних генетичних алго-

ритмів, які дозволяють з великою вірогідністю знаходити глобальний екстремум

у багатоекстремальних задачах з довільною кількістю проектних параметрів, а

також дозволяють урахувати обмеження на змінні стану, що органічно впису-

ються у послідовність реалізації алгоритму оптимізації.

Розроблено програмну реалізацію методу, яка є універсальною і може вико-

ристовуватися для глобальної і багатокритеріальної оптимізації, причому цільова

функція може задаватися як математична функція або програмно. У залежності

від розмірності задачі програма дозволяє змінювати параметри пошуку, зокрема,

вибирати розмір початкової множини точок, кількість ітерацій; крім обмежень на

значення аргументу у вигляді нижньої і верхньої меж дозволяє вводити обме-

ження на значення деяких функцій від аргументу, регулювати кількість точок

нової популяції, що утворюються за допомогою операторів кросинговеру і мута-

ції, а також в режимі експериментування порівнювати роботу ГА з різними

параметрами.

За допомогою розроблених методів оптимізації на основі запропонованої


було поставлено і розв'язано задачі глобальної оптимізації для багатошарових

елементів конструкцій, зокрема, стрижнів, пластин, оболонок з шарами армова-

них волокнами в'язкопружних матеріалів за критеріями максимального

демпфування, максимальної швидкості коливань, максимальної і мінімальної ча-

стот, а також задачі мінімізації амплітуд при нестаціонарних коливаннях у

заданому частотному діапазоні. Проведено порівняння результатів розв'язання

задач різними методами, яке показало ефективність розробленого методу на ос-

нові ГА. Показано, що розроблені алгоритми можуть бути узагальнені з

використанням методів гібридизації і паралелізації.

5. Представлено комплексну методику багатокритеріальної оптимізації

конструкцій з в'язкопружних композиційних матеріалів, яка базується на методі

376

визначення ефективних властивостей армованого матеріалу, скінченно-

елементному моделюванні багатошарових оболонок у просторі перетворень Фу-

р'є і запропонованому варіанті RGA. Методика дозволяє визначити оптимальні

параметри композитних конструкцій, працюючих при динамічних навантажен-

нях при наявності великої кількості параметрів оптимізації, декількох

суперечливих критеріїв оптимізації, з використанням алгоритмічно визначуваних

функцій оптимізації, обмежень на проектні параметри і параметри стану. Пока-

зано, що для одержання єдиного найбільш прийнятного варіанту розв'язку

необхідно використати додаткові міркування.

6. Запропоновано методику постановки і розв'язання задач глобальної і ба-

гатокритеріальної топологічної оптимізації для багатошарових елементів

(стрижнів, пластин, оболонок) з використанням розроблених варіантів BGA і

RGA, зокрема, пошук оптимального пакета шарів багатошарової пластини шля-

хом розміщення шарів заданих матеріалів зі сталими характеристиками у

послідовності, яка забезпечує оптимальне значення вибраних критеріїв оптимі-

зації. Оскільки товщину математичних шарів було задано однаковою для всіх

шарів, до результатів розв'язання задачі оптимізації можна віднести також визна-

чення товщин фізичних шарів – зовнішніх несучих і середнього демпфуючого,

які складаються із математичних шарів заданих матеріалів. Необхідність викори-

стання представленого методу може бути обумовленою технологічним процесом

створення пологих оболонок і пластин.

7. Розв'язано задачі оптимального розміщення елементів верхнього жорст-

кого шару для стрижня з двошаровим покриттям за критеріями максимального

декремента коливань та максимальної швидкості затухання коливань при обме-

женнях на масу стрижня і задача вибору оптимальних проектів стрижня з

нерозрізним і розрізним покриттями за критеріями максимального демпфування,

які показують можливості еволюційних алгоритмів у задачах топологічної опти-

мізації.

8. Розроблено методику проектування оптимальних багатошарових пластин

і оболонок з п'єзоелементами, з'єднаними шунтами із зовнішньою мережею для

377

збільшення розсіювання енергії за рахунок перетворення енергії в тепло в елект-

ричному контурі.

Представлено рекомендації для проектування композитних лопатей вітроге-

нератора у рамках Угоди про наукове співробітництво між Інститутом

транспортних систем і технологій НАН України "Трансмаг" та Чернігівським на-

ціональним технологічним університетом з метою впровадження наукомістких

технологій в галузі вітроенергетики та поставлено задачу розробки ефективної

методики оптимального проектування композитних лопатей вітрових турбін.

9. Представлено програмну реалізацію розроблених нових варіантів методу

оптимізації на основі BGA і RGA для розв'язання задач проектування оптималь-

них вібростійких конструкцій, одержано розв'язки ряду задач оптимізації

композитних конструкцій з в'язкопружних і електров'язкопружних матеріалів і

проведено обґрунтування запропонованих методів та порівняння з іншими мето-

дами та результатами, опублікованими у відкритих літературних джерелах.

У сукупності розроблені математичні моделі, методи аналізу, результати ро-

зрахунків, які підтверджують дієздатність розроблених методів, складають

теоретичні основи проектування оптимальних вібростійких багатошарових тон-

костінних конструкцій із в'язкопружних і електров'язкопружних матеріалів для

роботи в умовах динамічних навантажень довільної природи і форми.

378

ПЕРЕЛІК ЦИТОВАНИХ ПОСИЛАНЬ


тимізації з довільною кількістю критеріїв для задач проектування конструкцій"

[Савченко О. В., Савченко І. О.] заяв. 26.04.2016, реєстр. 24.06.2016. АС.

2. Абросимов Н. А., Баженов В. Г. Нелинейные задачи динамики композит-

ных конструкций. Н. Новгород: ННГУ, 2002. 400 с.

3. Баженов В. А., Гуляр О. І., Сахаров О. С., Солодей І. І. Напіваналітичний

метод скінчених елементів в задачах динаміки просторових тіл. Київ, 2012.

248 с.

4. Баженов В. А., Кошкин В. Л. Оптимальное гашение нестационарных ко-

лебаний упругих систем // Рассеяние энергии при колебаниях механических

систем. К.: Наукова думка, 1989. № 3. С. 4-9.

5. Бакулин В. Н., Репинский В. В. Конечно-элементные модели деформации

однослойных и трехслойных конических оболочек, Матем. моделирование,

2001, том 13, № 6, 39–46.

6. Баничук Н. В., Кобелев В. В., Рикардс Р. Б. Оптимизация элементов конс-

трукций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 222 с.

7. Барашков Н. Н. Полимерные композиты: получение, свойства, примене-

ние. М.: Наука, 1984. 128 с.

8. Батищев Д. И., Шапошников Д. Е. Многокритериальный выбор с учетом

индивидуальных предпочтений. ИПФ РАН, Нижний Новгород, 1994. 92 с.

9. Белоконь А. В., Наседкин А. В., Даниленко А. С. Симметричные схемы

конечно-элементного анализа пьезоэлектрических устройств с учетом внеш-

них электрических цепей и акустических нагрузок. // Вестник СамГУ.

Естественнонаучная серия. 2007. № 4(54). С. 56-65.

10. Бидюк П. И. Литвиненко В. И., Токарь А. А. Параллельные генетические

алгоритмы // Системні дослідження та інформаційні технології, 2002. № 4.

С. 7-16.

379

11. Богомолов С. И., Симсон Э. А. Оптимизация механических систем в резо-

нансных режимах. Харьков: Вища школа, 1983. 153 с.

12. Болкисев А. М., Ефимова Т. Л., Шульга Н. А. Колебания пьезокерамиче-

ского полого цилиндра при механическом нагружении. // Прикл. механика,

1985. Т. 21. № 9. С. 109-112.

13. Болкисев А. М., Рудницкий С. И., Шульга Н. А. Сравнительный анализ

вынужденных колебаний электроупругих оболочек по прикладной и трехмер-

ной теориям. // Прикл. механика, 1985. Т. 21. № 4. С. 19-24.

14. Болкисев А. М., Рудницкий С. И., Шульга Н. А. Электроакустическая чув-

ствительность пьезокерамического цилиндра при гармоническом нагружении.

// Прикл. механика, 1988. Т. 25. № 12. С. 68-73.

15. Болкисев А. М., Шульга Н. А. Вынужденные колебания пьезокера-

мического полого цилиндра (радиальная поляризация) // Прикл. механика,

1985. T. 21, № 5. С. 118-121.

16. Болотин В. В. О рассеянии энергии при колебаниях конструкций из арми-

рованных полимеров // Динамика и прочность машин: Труды МЭИ. М., 1967.

С. 9-25.

17. Болотин В. В., Литвинов Р. Н. К теории вибродемпфированных полимер-

ных покрытий // Механика полимеров. 1978. № 2. С. 269-276.

18. Болотин В. В., Новичков Ю. И. Механика многослойных конструкций.

М.: Машиностроение, 1980. 375 с.

19. Бондаренко А. А., Карась Н. И., Улитко А. Ф. Методы определения харак-

теристик диссипации при колебаниях пьезокерамических элементов

конструкций // Прикладная механика, 1982. Том XVIII. № 2. С. 104-108.

20. Бухаривала, Дж., Хансен, Дж. С. Динамика вязкоупругих конструкций //

Аэрокосмическая техника. 1989. № 1. С. 102-109.

21. Бэгли, Р. Л., Торвик, П. Дж. Дифференциальное исчисление, основанное

на производных дробного порядка – новый подход к расчету конструкций с

вязкоупругим демпфированием // AIAA Journal. 21(5) 741-748 (1983). Перевод

В. М. Рябого.

380

22. Василенко Н. В. Учет несовершенной упругости материала при использо-

вании метода конечных элементов для исследования резонансных колебаний

деформируемого твердого тела произвольной формы // Проблемы прочности.

1980. № 10. С. 25-27.

23. Василенко А. Т., Григоренко А. М., Панкратова Н. Д. Напряженное состо-

яние неоднородного ортотропного конуса // Прикладная механика. 1983. № 7.

С. 12-18.

24. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. М.: Машиностроение, 1978 /

Т.1. Колебания линейных систем. Под ред. В. В. Болотина. 352 с.

25. Вибропоглощающие материалы и покрытия и их применение в промыш-

ленности. Л.: ЛДНТП, 1976. 110 с.

26. Винокуров О. А. Смешанная вариационная постановка динамической за-

дачи теории упругости и ее применение. Метод конечных элементов и

строительная механика // Л.: Изд-во ЛПИ, 1979. С. 16-21.

27. Гайдачук В. Е., Кондратьев А. В., Кириченко В. В., Сливинский В. И. Оп-

тимальное проектирование композитных сотовых конструкций

авиакосмической техники. Х.: Нац. аэрокосм. ун-т им. Н. Е. Жуковского

"Харьк. авиац. ин-т", 2011. 172 с.

28. Гладков Л. А., Курейчик В. В., Курейчик В. М. Генетические алгоритмы. /

Под ред. В.М. Курейчика. 2-е изд., испр. и доп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 320

с.

29. Горбатко О. О., Савченко О. В. Оптимізація багатошарових елементів

конструкцій з композиційних матеріалів із різною структурою армуючих ша-

рів. Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту: серія "Технічні науки": зб. Чернігів:

ЧДТУ. 1 (63), 20-27 (2013).

30. Горик О. В., Піскунов В. Г., Чередніков В. М.. Механіка деформування

композитних брусів; монографія. Полтава-Київ: Полтавська державна аграрна

академія, Національний транспортний університет, 2008. 404 с.

381

31. Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных

элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 392 с

32. Григоренко Я. М., Беспалова Е. И., Китайгородский А. Б. Динамическое

деформирование слоистых оболочек из вязкоупругих материалов // Прикл. ме-

ханика. Том 35. № 1. С.58-62.

33. Григоренко Я. М., Василенко А.Т., Панкратова Н. Д. Задачи теории упру-

гости неоднородных тел. К.: Наук. думка, 1991. 216 с.

34. Григоренко Я. М., Василенко А.Т., Панкратова Н. Д. К оценке допущений

теории трехслойных оболочек с заполнителем // Прикладная механика. 1984.

№. 10. С. 86-93.

35. Григоренко Я. М., Зверев О. А., Кокошин С. С. О вариационной форму-

лировке нестационарных задач теории тонких оболочек // Прикладная

механика. 1986. Т. 22. № 9. С. 23-27.

36. Григоренко Я. М., Кокошин С. С. Численный анализ напряженного состо-

яния слоистых анизотропных оболочек на базе смешанной модели МКЭ //

Прикладная механика, 1982. № 2. С. 3-6.

37. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А. Механика связанных полей

в элементах конструкций. (В пяти томах). Т.5. Электроупругость. Т.5. 1989.

280 с.

38. Гупта В. Р. Расчет микромеханических свойств композитных материалов

с податливой матрицей // Конструирование и технология машиностроения.

1987. № 1. С. 42–48.

39. Гусев Е. Л. Численный расчет и оптимальное проектирование композит-

ных структур с заданным комплексом свойств // Математическое

моделирование. 2006. Том 18. № 8. С. 123-128.

40. Дейл, Коэн. Многопараметрическая оптимизация линейных распределен-

ных систем с рассеянием энергии // Конструирование и технология

машиностроения. 1972. № 1. С. 1-8.

382

41. Динамика и устойчивость слоистых композитных материалов / Под ред.

А. Н. Гузя. К.: Наукова думка, 1991. 368 с.

42. Джонсон К. Д., Кинхольц Д. А. Расчет демпфирования колебаний в конс-

трукциях, содержащих вязкоупругие слои, методом конечных элементов //

Аэрокосмическая техника. – 1983. – № 4. – С. 124-133.

43. Дзенис Ю. А., Максимов Р. Д. Влияние параметров распределения длины

и ориентации коротких волокон на характеристики динамической вязкоупру-

гости полимерного композита. МКМ, 1990. № 1. С.13-17.

44. Доетри Д., Фриман М. Э., Кумар Р. Оптимизация с использованием

MATLAB и Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox

http://matlab.exponenta.ru/genalg/07.php (дата звернення 01.08.2017).

45. Дубенец В.Г. Моделирование несовершенно-упругих свойств композит-

ных материалов // Проблемы прочности. 1988. № 12. С. 81-86.

46. Дубенец В.Г. Рассеяние энергии в слоистых композиционных материалах

// Рассеяние энергии при колебаниях механических систем: сб. Киев: Наукова

думка, 1982. С. 40-46.

47. Дубенец В. Г., Савченко Е. В.: Задачи оптимального проектирования ком-

позитных конструкций для динамических нагрузок. Проблеми динаміки і

міцності в газотурбобудуванні: тези 4-ї Міжнар. наук.-техн. конф. (31 травня-

02 червня 2011 р., Київ) / Під ред. В.Т.Трощенка і А.П.Зіньковського. К.: Ін-т

проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України. 73-74 (2011).

48. Дубенец В. Г., Савченко О. В.: Задачи оптимального проектирования

композитных конструкций, подверженных действию динамических нагрузок.

Надійність і довговічність машин і споруд. (34), 117-123 (2011).

49. Дубенец В. Г., Савченко О. В.: Задачи оптимального проектирова-ния

многослойных пластин из электровязкоупругих материалов. Вібрації в техніці

та технологіях. 1 (77), 90-96 (2015).

50. Дубенец В. Г., Савченко Е. В. Задачи оптимального проектирования мно-

гослойных пластин из электровязкоупругих материалов. Проблеми динаміки і

міцності в газотурбобудуванні : тези допов. 5-ї Міжнародної науково-технічної

383

конференції / Під ред. А. П. Зіньковського. К.: Ін-т проблем міцності ім.

Г.С.Писаренка НАН України. 89-90 (2014).

51. Дубенец В. Г., Савченко Е. В.: Нестационарные колебания конструкций

из композиционных материалов. Проблеми динаміки і міцності в газотурбобу-

дуванні: тези 3-ї Міжнар. наук.-техн. конф. (29-31 травня 2007 р., Київ) / Під

ред. В.Т.Трощенка і А.П.Зіньковського. К.: Ін-т проблем міцності ім. Г.С.Писа-

ренка НАН України. 63-64 (2007).

52. Дубенец В. Г., Савченко Е. В. Оптимальное проектирование конструкций

из вязкоупругих композиционных материалов // Материалы XXIII ежегодной

междунар. научно-практ. конф. «Композиционные материалы в промышлен-

ности» (Славполиком-2003), Ялта, 2-6 июня. 135 (2003) .

53. Дубенец В. Г., Савченко Е. В.: Оптимальное проектирование многослой-

ных элементов конструкций из композиционных материалов.

Композиционные материалы в промышленности: материалы 31-й междунар.

конф. (6-10 июня 2011 г., Ялта). К.: УИЦ «Наука. Техника. Технология». 281-

282 (2011).

54. Дубенец В. Г. Савченко Е. В., Деркач О. Л.: Нестационарные колебания

конструкций с электровязкоупругими диссипативными накладками. Проблеми

динаміки і міцності в газотурбобудуванні: тези допов. 5-ї Міжнародної науко-

во-технічної конференції / Під ред. А. П. Зіньковського. К.: Ін-т проблем

міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України. 91-92 (2014).

55. Дубенец В. Г., Савченко Е. В., Деркач О. Л.: Расчет на прочность компо-

зитных лопастей ветрогенератора при динамических нагрузках. Тези

доповідей сьомої міжнародної науково-практичної конференції «Комплексне

забезпечення якості технологічних процесів та систем», м. Чернігів, 24-27 кві-

тня 2017 р. Чернігів: Чер-ніг. нац. технол. ун-т. 100-102 (2017).

56. Дубенец В. Г., Савченко Е. В., Ивашко Е. А.: Нестационарные колебания

элементов робототехнических конструкций из композиционных материалов.

Проблеми динаміки і міцності в газотурбобудуванні: тези 3-ї Міжнар. наук.-

техн. конф. (29-31 травня 2007 р., Київ) / Під ред. В.Т.Трощенка і

384

А.П.Зіньковського. К.: Ін-т проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України.

65-66 (2007).

57. Дубенец В. Г., Савченко О. В., Ігнатенко А. С.: Нестационарные колеба-

ния конструкций из композиционных материалов. Проблемы прочности. (2),

77-82 (2010).

58. Дубенец В. Г., Хильчевский В. В. Колебания демпфированных композит-

ных конструкций. К.: Вища школа, 1995. Т. 1. 210 с.

59. Дубенец В. Г., Савченко О. В.: Задачі глобальної оптимізації багатошаро-

вих оболонок із максимальним демпфуванням. Автоматизація виробничих

процесів у машинобудуванні та приладобудуванні: зб. наук. праць. Львів: Вид-

во Львівської політехніки, (45), 48-55 (2011).

60. Дубенець В. Г., Савченко О. В.: Коливання циліндричної оболонки з

в’язкопружних композиційних матеріалів. Вісн. Полтавської держ. аграрної

академії: зб. Полтава: ПДАА. 9-14 (2006).

61. Дубенець В. Г., Савченко О. В.: Коливання циліндричної оболонки з

в’язкопружних композиційних матеріалів. Проблеми та перспективи розвитку

механізації агропромислового виробництва: матеріали міжн. наук.-практ.

конф. (2-4 листопада 2006 р., Полтава). Полтава: Полтавська державна аграрна

академія. 22-23 (2006).

62. Дубенець В. Г., Савченко О. В.: Нестаціонарні коливання конструкцій із

пасивним демпфіруванням. Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту: Зб. Чернігів:

ЧДТУ. (26), 14-23, (2006).

63. Дубенець В. Г., Савченко О. В.: Нестаціонарні коливання конструкцій при

випадковому кінематичному збудженні. Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту:

Зб. Чернігів: ЧДТУ. (25), 5-14 (2005).

64. Дубенець В. Г., Савченко О. В.: Нестаціонарні коливання конструкцій при

ударних і кінематичних навантаженнях. Актуальні проблеми механіки суціль-

ного середовища і міцності конструкцій: матеріали міжнар. наук.-практ. конф.

пам’яті акад. В.І. Моссаковського (17-19 жовтня 2007 р., Дніпропетровськ).

Дніпропетровськ: ДНУ. 249-251 (2007).

385

65. Дубенець В. Г., Савченко О. В. Оптимальне проектування композитних

конструкцій: монографія. Чернігів: Черніг. нац. технол. ун-т. 296 с. Здано до

друку.

66. Дубенець В. Г., Савченко О. В.: Оптимальне проектування пологих обо-

лонок з композиційних в'язкопружних матеріалів. Вісн. Черніг. держ. техноло-

г. ун-ту: зб. Чернігів: ЧДТУ. (45), 21-29 (2010).

67. Дубенець В. Г., Савченко О. В. Розрахунки демпфіруваних конструкцій з

частотно-залежним розсіюванням енергії на дію навантаження довільного спе-

ктрального складу. Вісн. Черніг. держ. технол. ун-ту: зб Чернігів: ЧДТУ., (13)

10-15 (2002).

68. Дубенець В. Г., Савченко О. В., Деркач О. Л.: Активне демпфірування не-

стаціонарних коливань балки з електров’язкопружними накладками. Тези

доповідей шостої міжнародної науково-практичної конференції «Комплексне

забезпечення якості технологічних процесів та систем», м. Чернігів, 26-29 кві-

тня 2016 р. Чернігів: Черніг. нац.. технол. ун-т. 90-92 (2016).

69. Дубенець В. Г., Савченко О. В., Деркач О. Л.: Нестаціонарні коливання

конструкцій з електров’язкопружними дисипативними накладками. Вібрації в

техніці та технологіях. 1 (77), 15-21 (2015).

70. Дубенець В. Г., Савченко О. В., Івашко Є. О.: Нестаціонарні коливання

елементів робототехнічних конструкцій з композиційних матеріалів. Пробле-

мы прочности. (6), 62-71 (2009).

71. Дубенець В. Г., Савченко О. В., Ігнатенко А. С.: Метод визначення реакції

в’язкопружних стрижнів на дію ударних навантажень. Проблеми обчислюва-

льної механіки і міцності конструкцій: зб. наук. праць. Дніпропетровськ: ДНУ.

(12), 74-81 (2008).

72. Дубенець В. Г., Савченко О. В., Ігнатенко А. С.: Нестаціонарні коливання

циліндричних оболонок з композиційних в’язкопружних матеріалів при імпу-

льсних навантаженнях. Композиционные материалы в промышленности:

материалы Двадцать восьмой междунар. конф. (26-30 мая 2008 г., Ялта). К.:

УИЦ «Наука. Техника. Технология». 529-530 (2008).

386

73. Дубенець В. Г., Хільчевський В. В., Савченко О. В. Основи методу скін-

ченних елементів: навч. посібник. Чернігів: ЧДТУ, 2007. 288 с.

74. Емельянов В. В., Курейчик В. В., Курейчик В. М. Теория и практика эво-

люционного моделирования. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 232 с.

75. Ершов Н. Ф., Шахверди Г. Г. Метод конечных элементов в задачах гидро-

динамики и гидроупругости. Л.: Судостроение. 1984. 240 с.

76. Жарий О. Ю., Улитко А. Ф. Введение в механику нестационарных коле-

баний и волн: Учеб. пособие. К.: Выща шк, 1989. 184 с.

77. Жук Я. А. Решение задачи о колебаниях балки с пьезоактивными слоями

при механическом или электрическом нагружении // Теоретическая и прикла-

дная механика. 2009. №. 45. С. 131-138.

78. Згуровський М.З., Панкратова Н.Д. Основи системного аналізу. К.: Вида-

внича група BHV, 2007. 544 с.

79. Згуровский Н.З., Панкратова Н.Д. Системный анализ. Проблемы. Мето-

дология. Приложения. К : Наукова думка, 2005. 742 с.

80. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. Пер. с

англ. М.: Мир, 1986. 313 с.

81. Зіньковський А.П. Актуальні проблеми динаміки та міцності в сучасному

авіаційному двигунобудуванні. Стенограма наукової доповіді на засіданні

Президії НАН України 15 березня 2017 року. Вісн. НАН України. 2017. № 6.

С. 23-30.

82. Зиньковский А.П., Токарь И.Г. Демпфирующая способность конструкти-

вных элементов с наноструктурированными покрытиями // Вестник

двигателестроения. № 2. 2009. С. 36-41.

83. Зиньковский А.П., Токарь И.Г., Круц В.А., Круглий Я.Д. Влияние рассея-

ния энергии в материале на колебания лопаток с неоднородностями

//Авиационно-космическая техника и технология. 2012. № 9 (96). С. 132-137.

84. Иванов В.А. и др. Математические основы теории автоматического регу-

лирования. М.: Высшая школа, 1971. 808 с.

387

85. Капанья Р.К., Рачити С. Последние достижения в исследованиях слоистых

балок и пластин. Часть II: Колебания и распространение волн // Аэрокосмиче-

ская техника. 1990. № 5. С. 58-73.

86. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Связанные задачи теории вязкоупругих

пластин и оболочек: монография. Киев: Наук. думка, 1986. 224 с.

87. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Карнаухова Т.В. Моделювання вимушених

резонансних коливань і дисипативного розігріву гнучких в'язкопружних плас-

тин із розподіленими актуаторами // Фізико-математичне моделювання та

інформаційні технології. 2008. вип. 8. С. 48-68.

88. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Пятецкая Е.В. Демпирование колебаний вя-

зкоупругих пластин с помощью распределенных пьезоэлектрических

включений // Акустичний вісник. 2002. Том 5, № 4. С. 15-32.

89. Карнаухов В.Г., Михайленко В.В. Демпфирование колебаний тонкостен-

ных элементов конструкций с помощью распределенных пьезоэлектрических

включений // Процеси механічної обробки в машинобудуванні. 2005. ВИП. 2,

С. 19-34.

90. Карнаухов В.Г., Михайленко В.В. Нелинейная термомеханика пьезоэлек-

трических неупругих тел при моногармоническом нагружении: Моногр. Ин-т

механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины, Житомир. гос. технол. ун-т. Жи-

томир, 2005. 426 с.

91. Карнаухов В.Г., Ткаченко Я.В. Влияние деформаций сдвига на демпфиро-

вание колебаний прямоугольной пластины пьезоэлектрическими актуаторами

// Прикл. механика, 2009. Том 45. № 12. С. 124-132.

92. Карнаухова Т.В.. Активное демпфирование вынужденных резонансных

колебаний пологой вязкоупругой цилиндрической панели при действии на нее

неизвестной механической нагрузки // Акустичний Вісник, 2008. Том 11. № 4.

С. 24-30.

93. Карнаухова Т.В. Активное демпфирование вынужденных резонансных

изгибных колебаний изотропных вязкоупругих пластин при действии на них

388

неизвестной механической нагрузки // Прикл. проблеми мех. і мат., 2008.

Вип. 6. С. 154–166.

94. Карнаухова Т.В. Влияние граничных условий на активное демпфирование

колебаний пластины при использовании показателей сенсоров // Прикладная

механика, 2010. Том 46, № 9. С. 71-74.

95. Карнаухова Т. В., Пятецкая Е. В. Основные соотношения теории вязкоуп-

ругих пластин с распределенными актуаторами при моногармоническм

нагружении // Прикл. механика, 2009. Т. 45. № 2. С. 107-123.

96. Карнаухова Т. В., Пятецкая Е. В. Резонансные колебания жестко защем-

леннй прямоугольной термовязкоупругой пластины с сенсорами и

актуаторами // Прикл. механика, 2010. Том 46. № 3. С. 61-69.

97. Козлов В. И., Кучер М. К. Динамическое поведение многослойных цили-

ндрических конструкций при нестационарных нагрузках // Проблемы

прочности. 1980. № 5. С. 97-103.

98. Композиционные материалы: В 8 т. / Под общ. ред. Л.Браутмана, Р.Крока.

– М.: Мир, Машиностроение, 1977 -1978. – Т. 2. – 563 с.

99. Композиционные материалы: Справочник. М.: Машиностроение, 1990.

810 с.

100. Корнеев В.Г., Розин Л.А.: О видоизменении метода конечных элементов в

форме дифференциального метода. Изв. ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева, 1973, 101,

41-47.

101. Коровицький А.М., Горбатко О.О., Коменда Т.І. Оптичні дослідження та

морфометричний аналіз матеріалів. Луцьк: ЛНТУ, 2012. 124 с.

102. Кравчук А.С., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и

композиционных материалов. М.: Наука, 1985. 303 с.

103. Крегерс А.Ф., Мелбардис Ю.Г., Ректиньш М.Ф. Многоцелевая оптимиза-

ция упругих и теплофизических свойств волокнистых композитов. Механика

композитных материалов. 1990. № 1. С. 37-47.

104. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. 333 с.

105. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. 338 с.

389

106. Кузін М. О. Визначення оптимальних параметрів структури поверхневих

шарів деталей з урахуванням умов експлуатації. Поліграфія і видавнича спра-

ва. 2013. № 3-4. С. 55-64. Режим доступу: http://nbuv.gov.ua/UJRN/Pivs_2013_3-

4_11.

107. Курейчик В.М., Родзин С.И. Эволюционные вычисления: генетическое и

эволюционное программирование: Обзор // Известия РАН. Теория и системы

управления, 2002. No. 1. С. 127-137.

108. Кучер Н.К. Применение вырожденных конечных элементов для расчета

оболочечных конструкций // Проблемы прочности, 1984. № 5. С. 98-106.

109. Кучер Н. К., Земцов М. П., Заразовский М. Н. Деформирование слоистых

эпоксидных композитов, армированных высокопрочными волокнами // Про-

блемы прочности, 2006. № 1. С. 41-57.

110. Кучер Н.К., Карнаухов В.Г., Козлов В.И. О применении вариационных

методов для решения динамических задач вязкоупругости // Проблемы проч-

ности, 1977. № 7. С. 7-12.

111. Лалл, Аснани, Накра. Исследование демпфирования колебаний прямоуго-

льной пластины, частично покрытой стеснённым вязкоупругим слоем //

Конструирование и технология машиностроения. 1988. № 2. С. 245-255.

112. Либреску Л., Ноузьер А. Реакция плоских слоистых композитных панелей

на нагрузку звуковым ударом и взрывной волной. AIAA Journal. 2. 345-352

(1990). Пер. А.Б. Джерелиевского.

113. Лотов А. В., Поспелова И. И. Многокритериальные задачи принятия ре-

шений. М.: МГУ. 2008. 197 с.

114. Луговой П.З. Динамика тонкостенных конструкций при нестационарных

нагрузках // Прикл. механика. 2001. Т. 37. № 5. С. 44-72.

115. Максимович О.В., Оробей В.Ф., Сурьянинов Н.Г.: Определение фундаме-

нтальных функций в задаче изгиба ортотропной пластины. Авиационно-

космическая техника и технология. (3) 37-42 (2011).

390

116. Маслов Б.П. Исследование стохастических композитов с нелинейными и

анизотропными свойствами компонентов. Дисс. на соискание ученого звания

докт.техн. наук, 1983. 424 с.

117. Матвеев В.В. Демпфирование колебаний деформируемых тел. Киев: Нау-

кова думка, 1985. 263 с.

118. Матвеев В.В. Повышение вибрационной надежности элементов констру-

кций за счет демпфирования их колебаний // Проблемы прочности, 1980. № 10.

С. 6-16.

119. Матвеев, В.В., Зиньковский А.П., Смертюк М.В. О границах применимос-

ти модели парных форм при исследовании колебаний поворотно-

симметричных систем // Пробл. прочности. 1990. № 5. C. 106-109.

120. Матвеенко В.П., Клигман Е.П., Юрлов М.А., Юрлова Н.А. Моделирова-

ние и оптимизация динамических характеристик smart-структур с

пьезоматериалами // Физ. мезомех. 2012. Т. 15. № 1. С. 75-85.

121. Мейш В. Ф., Хамренко Ю. А. Сравнительный анализ динамического по-

ведения трехслойных оболочек в рамках прикладных теорий при

нестационарных нагружениях // Прикл. мех. 2003. Т. 39, № 7. С. 123–130.

122. Медынский М.М., Антоний Е.В. Численные методы нелинейной оптими-

зации: алгоритмы и программы. М: МАИ, 2003. 192 с.

123. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под общ. ред.

А.С.Сахарова, И.Альтенбаха. К.: Вища школа, 1982. 479 с.

124. Методы расчета слоистых оболочек. Обзор // Современное машинострое-

ние, 1989. Сер. В. № 12. С.1-11.

125. Механика композитных материалов и элементов конструкций: В 3-х т. /

Под ред. А.Н.Гузя. Киев: Наукова думка, 1982. Т. 1-3.

126. Михайлин Ю.А. Конструкционные полимерные композиционные матери-

алы. 2008. 822 с.

127. Михайлин Ю.А. Специальные полимерные композиционные материалы.

СПб.: Научные основы и технологии, 2008. 660 стр.

391

128. Мэттьюз Ф., Ролингс Р. Композитные материалы. Механика и технология.

Москва: Техносфера, 2004. 408 с.

129. Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфирование колебаний. М.:

Мир, 1988. 440 с.

130. Неупругие свойства композиционных материалов / Под ред.

К.Гераковича. М.: Мир, 1978. 295 с.

131. Никифоров А.С. Вибропоглощение на судах. Л.: Судостроение, 1979. 184

с.

132. Новацкий В. И Электромагнитные эффекты в твердых телах. Пер. с

польск. М.: Мир, 1986. 160 с.

133. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количест-

венный подход. 2-е изд., испр. и доп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 176 с.

134. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. М: Мир, 1982.

428 с.

135. Пелешко І., Іванейко В. Огляд сучасних методів оптимізації будівельних

конструкцій // GEODESY, ARCHITECTURE & CONSTRUCTION 2011” (GAC-

2011), 24-26 November 96 2011, Lviv, Ukraine. Lviv Polytechnic National

University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua. Р. 96-99.

136. Перепелкин К.Е. Волокна и волокнистые материалы для армирования

композитов с экстремальными характеристиками // Механика композитных

материалов. 1992. № 3. С. 291-306.

137. Писаренко Г.С. Колебания механических систем с учетом несовершенной

упругости материала. Киев: Наукова думка, 1970. 377 с.

138. Писаренко Г.С., Богинич О.Е. Колебания кинематически возбужденных

механических систем с учетом диссипации энергии. Киев: Наукова думка,

1981. 218 с.

139. Пискунов В.Г., Рассказов А.О. Развитие теории слоистых пластин и обо-

лочек // Прикладная механика. 2002. № 2. С. 22-56.

140. Плотникова С.В., Куликов М.Г. Управление формой композитных плас-

тин с пьезоэлектрическими накладками, подверженных термомеханическому

392

воздействию // Вопросы современной науки и практики: ун-т им. В.И. Вернад-

ского, 2011. № 3 (34). С. 72-80.

141. Победря Б.Е. О точности эффективных характеристик в механике компо-

зитов // Механика композитных материалов. 1990. № 3. С. 408-413.

142. Победря Б.Е. Принципы вычислительной механики композитов // МКМ,

1996. Т. 32. № 6. С. 729-746.

143. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокри-

териальных задач. М.: Наука, Главная редакция физико-математической

литературы, 1982. 256 с.

144. Прац Дж. Аналитическая модель для оптимального проектирования пас-

сивно демпфированных соединений // Аэрокосмическая техника. 1987. № 7. С.

122-132.

145. Присяжнюк В.К., Пискунов В.Г. Модель пологих оболочек и пластин из

сломстых композитных материалов для решения задач статики, динамики и

контактного взаимодействия. МКМ, 1987. № 6. С.1014-1021.

146. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник: В 3 т. / Под общ. ред.

И.А.Биргера и Я.Г.Пановко. – М.: Машиностроение, 1968. – Т. 3. – 568 с.

147. Работнов Ю.Н. Элементы наслественной механики твердых тел. Главная

редакция физико-математической литературы издательства "Наука", М.: 1977.

– 384 с.

148. Работнов Ю.Н., Туполев А.А., Кутьянов В.Ф. и др. Применение углеплас-

тиков в конструкции летательных аппаратов // Механика композитных

материалов, 1981. № 4. С. 657-667.

149. Рассказов А.О., Козлов А.В. Неосесимметричные колебания оболочек

вращения из вязкоупругого материала при нестационарных нагружениях //

Проблемы прочности, 1999. № 3. С.54-62.

150. Рассказов А.О., Соколовская И.И. Экспериментальное исследование ста-

тики и динамики многослойных пластин // Прикладная механика, 1981, Том

XVII. № 2. С. 65-70.

393

151. Рассказов А.О., Соколовская И.И., Шульга Н.А. Сравнительный анализ

некоторых вариантов сдвиговых моделей в задачах равновесия и колебаний

многослойных пластин // Прикладная механика, 1983. Том XIX. № 7. С. 84-90.

152. Расчет неоднородных пологих оболочек и пластин методом конечных

элементов: монография / Руководитель авт. кол. В.Г.Пискунов. К.: Изд-во при

Киев. ун-те ИО " Вища школа", 1987. 200 с.

153. Редди Дж. Н. Смешанные конечно-элементные модели пластин из компо-

зиционных материалов. КТМ, 1987. № 4. С. 56-67.

154. Редди Дж.Н., Хдейр А.А. Применение различных теорий пластин к выпу-

чиванию и колебаниям слоистых композиционных пластин //

Аэрокосмическая техника. 1990. № 5. С. 24-34.

155. Реклейтис Г. Рейвиндран А. Рэгсдел К. Оптимизация в технике. В двух

книгах. Книга 1. М.: Мир, 1986. 349 с.

156. Реклейтис Г. Рейвиндран А. Рэгсдел К. Оптимизация в технике. В двух

книгах. Книга 2. М.: Мир, 1986. 320 с.

157. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-

во Ленингр. ун-та, 1978. 224 с.

158. Рудаков К.М. Чисельні методи аналізу в динаміці та міцності конструк-

цій: навч. посібник. К.: НТУУ "КПІ", 2007, 379 с.

159. Рущицкий Я.Я. Микроструктурные теории в механике композитных ма-

териалов // Научно-технический прогресс в машиностроении.

Композиционные материалы. М., 1987. Вып. 1. С. 83-98.

160. Савін Г.М., Рущицький Я.Я. Елементи механіки спадкових середовищ. –

Київ: Вища школа, 1976. 248 с.

161. Савченко Е. В.: Демпфирование колебаний и оптимизация оболочек из

композиционных материалов. Композиционные материалы в промышленнос-

ти: Материалы Двадцать пятой Юбилейной международной конференции и

выставки (30, 31 мая – 1, 2, 3 июня 2005 г., Ялта). К.: УИЦ «Наука. Техника.

Технология». 171-173 (2005).

394

162. Савченко Е. В. Задачи оптимального проектирования элементов констру-

кций из композиционных материалов. Композиционные материалы в

промышленности: материалы 32-й междунар. конф. (4-8 июня 2012 г., Ялта).

К.: УИЦ «Наука. Техника. Технология». 364-369 (2012).

163. Савченко Е. В.: Использование эволюционных алгоритмов в задачах оп-

тимизации структуры композитных оболочек из вязкоупругих материалов.

Проблемы прочности. (2), 97-105 (2013).

164. Савченко Е. В.: Максимизация демпфирования в конструкциях из компо-

зиционных материалов. Композиционные материалы в промышленности:

материалы Двадцать девятой междунар. конф. и семинара (1-5 июня 2009 г.,

Ялта). К.: УИЦ «Наука. Техника. Технология». 378-380 (2009).

165. Савченко Е. В.: Методика оптимизации композитных пластин при дина-

мических нагрузках. Проблемы прочности. (6), 91-99 (2008).

166. Савченко Е. В.: Многокритериальная оптимизация композитных оболочек

при ограничениях на параметры проекта и переменные состояния. Надійність і

довговічність машин і споруд. (35), 47-54 (2012).

167. Савченко Е. В.: Оптимальное проектирование композитных пластин. Про-

блеми динаміки і міцності в газотурбобудуванні: тези 3-ї Міжнар. наук.-техн.

конф. (29-31 травня 2007 р., Київ) / Під ред. В.Т.Трощенка і

А.П.Зіньковського. К.: Ін-т проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України.

173-174 (2007).

168. Савченко Е.В. Пассивное демпфирование колебаний композитных конс-

трукций: монография. Нежин: ООО “Видавництво “Аспект-Поліграф”. (2006)

232 с.

169. Савченко Е. В.: Проектирование композитных оболочек с максимальным

демпфированием. Композиционные материалы в промышленности: материалы

Двадцать восьмой междунар. конф. (26-30 мая 2008 г., Ялта). К.: УИЦ «Наука.

Техника. Технология». 537-538 (2008).

170. Савченко Е. В.: Топологическая оптимизация композитных конструкций,

работающих при динамических нагрузках. Композиционные материалы в

395

промышленности: материалы 33-й междунар. конф. (27-31 мая 2013 г., Ялта).

К.: УИЦ «Наука. Техника. Технология». 314-318 (2013).

171. Савченко Е. В.: Топологическая оптимизация многослойных пластин из

электровязкоупругих материалов. Математичне та імітаційне моделювання си-

стем. МОДС 2013: Восьма міжнародна науково-практична конференція. Тези

доповідей (Чернігів-Жукин, 24-28 червня 2013 р.). Чернігів, Черніг. держ. тех-

нол. ун-т. 172-176 (2013).

172. Савченко Е. В., Савченко И. А.: Оптимальное проектирование цилин-

дрических оболочек из композиционных материалов с вязкоупругими свойст-

вами. Композиционные материалы в промышленности: материалы Тридцатой

Юбилейной междунар. конф. и семинара (7-11 июня 2010 г., Ялта). К.: УИЦ

«Наука. Техника. Технология». 519-522 (2010).

173. Савченко Е. В., Савченко И. А.: Проектирование композитных конструк-

ций с максимальным демпфированием. В кн. Прочность материалов и

элементов конструкций: Труды Международной научно-технической конфе-

ренции "Прочность материалов и элементов конструкций" (Киев, 29-30

сентября 2011 г.) / Отв. ред. В.Т. Трощенко. Киев: Ин-т проблем прочности им.

Г. С. Писаренко НАН Украины. 94-101 (2011).

174. Савченко Е. В., Савченко И. А.: Проектирование композитных конструк-

ций с максимальным демпфированием. Міцність матеріалів та елементів

конструкцій: Тези допов. Міжнар. наук.-техн. конф. (28-30 вересня 2010 р.,

Київ) / Відп. ред. В.Т.Трощенко: в 2 т. Київ: Ін-т проблем міцності ім.

Г.С.Писаренка НАН України. 2. 89-90, (2010).

175. Савченко Е. В., Сластененко Е. С.: Колебания пластин из композицион-

ных материалов при импульсных нагрузках. Композиционные материалы в

промышленности: материалы Двадцать шестой междунар. конф. (29 мая–2

июня 2006 г., Ялта). К.: УИЦ «Наука. Техника. Технология».187-190 (2006).

176. Савченко О. В.: Еволюційні алгоритми глобальної оптимізації композит-

них оболонок за критерієм максимального демпфування. Вісн. Черніг. держ.

технолог. ун-ту: зб. Чернігів: ЧДТУ. (54), 6-12 (2011).

396

177. Савченко О. В.: Задачі багатокритеріальної оптимізації елементів конс-

трукцій з композиційних матеріалів. Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту: зб.

Чернігів: ЧДТУ. 3 (59), 29-36 (2012).

178. Савченко О. В.: Задачі топологічної оптимізації композитних елементів

конструкцій з в'язкопружних матеріалів. Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту:

зб. Чернігів: ЧДТУ. 4 (61), 26-34 (2012).

179. Савченко О. В.: Максимізація демпфування у пластинах. Вісн. Черніг.

держ. технолог. ун-ту: зб. Чернігів: ЧДТУ. (37), 5-12, (2009).

180. Савченко О. В.: Оптимальне проектування композитних пластин. Вісн.

Черніг. держ. технолог. ун-ту: зб. Чернігів: ЧДТУ. (28), 12-21, (2007).

181. Савченко О. В.: Оптимальне проектування оболонок для роботи у зада-

ному частотному діапазоні. Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту: зб. Чернігів:

ЧДТУ. 1 (55), 39-45 (2012).

182. Савченко О. В.: Оптимізація динамічних характеристик композитних ба-

гатошарових оболонок. Вібрації в техніці та технологіях. 4 (76), 34-43 (2014).

183. Савченко О. В.: Оптимізація динамічних характеристик композитних

конструкцій. Збірник праць 3-ї Міжнародної науково-технічної конференції

"Теорія та практика раціонального проектування, виготовлення і експлуатації

машинобудівних конструкцій" (7-12 листопада 2012 р., м. Львів). 129-130

(2012).

184. Савченко О. В. Пасивне демпфування коливань композитних конструкцій

дисс… канд. техн. наук. ЧНТУ. (2004).

185. Савченко О. В.: Проектування композитних конструкцій з максимальним

демпфуванням. Композиционные материалы в промышленности: материалы

Двадцать седьмой междунар. конф. (28 мая – 1 июня 2007 г., Ялта). – К.: УИЦ

«Наука. Техника. Технология». 418-419 (2007).

186. Савченко О. В., Деркач О. Л.: Моделювання нестаціонарних коливань ба-

лки з п’єзоелектричною накладкою при дії електричного навантаження.

Вібрації в техніці та технологіях. 1 (81), 67-74 (2016).

397

187. Савченко О. В., Деркач О. Л. Моделювання нестаціонарних коливань бал-

ки з п’єзоелектричною накладкою при дії електричного навантаження. Тези

доповідей чотирнадцятої міжнародної науково-технічної конференції «Вібра-

ції в техніці та технологіях», м. Дніпропетровськ, 21-25 вересня 2015 р.

Дніпропетровськ: Нац. гірн. ун-т. 27-28 (2015).

188. Савченко О. В., Деркач О. Л., Ющенко С. М.: Визначення ефективних ди-

намічних характеристик електров’язкопружних композиційних матеріалів.

Технічні науки та технології. Чернігів: ЧНТУ. 1 (1), 14-23 (2015).

189. Савченко О. В., Савченко І. О.: Метод пошуку глобального екстремуму в

задачах оптимізації конструкцій з композиційних матеріалів Вісн. Черніг.

держ. технолог. ун-ту: зб. Чернігів: ЧДТУ. (36), 72-81, (2008).

190. Селиванов М. Ф. Об эффективных свойствах линейно-вязкоупругого ком-

позита. // Прикладная механика. 2009. Том 45, № 10. С. 62-70.

191. Симсон Э.А. Использование конечноэлементных моделей для оптимиза-

ции конструкций при динамических воздействиях. Численные методы //

Динамика и прочность машин. Харьков, 1986. № 44. С. 69-80.

192. Симсон Э.А. Использование конечноэлементных моделей для оптимиза-

ции конструкций при динамических воздействиях. Анализ чувствительности.

Условия оптимальности // Динамика и прочность машин. Харьков, 1986. № 43.

С. 86-91.

193. Снитюк В.Е. Аспекты эволюционного моделирования в задачах оптими-

зации / Донецк: Искусственный интеллект, 2004. № 4. С.284-291.

194. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. 312 с.

195. Сони М.Л., Богнер Ф.К. Расчет колебаний демпфированных конструкций

методом конечных элементов // Ракетная техника и космонавтика. 1982. № 5.

С. 91-100.

196. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих сис-

тем. М: Госстройиздат, 1960. 129 с.

398

197. Сорокин Е.С., Муравский Г.Н. Об учете упругих несовершенств материа-

лов методами теории наследственной упругости // Строительная механика и

расчет сооружений. 1975. № 4. С. 52-58.

198. Субботін С.О., Олійник А.О., Олійник О.О. Неітеративні, еволюційні та

мультиагентні методи синтезу нечіткологічних і нейромережних моделей:

Монографія / За заг. ред. С.О.Субботіна. Запоріжжя: ЗНТУ, 2009. 375 с.

199. Терпугов В.Н. О возможности построения конечно-элементных алгорит-

мов для динамических задач теории упругости // Вестник Пермского ун-та.

Серия: Математика. Механика. Информатика. 2007. №7(12).

200. Тетерс Г.А., Крегерс А.Ф. Многоцелевое оптимальное проектирование

композитных конструкций. Обзор // Механика композитных материалов. 1996.

№ 3. том 32. С. 363-376.

201. Уилкинсон Дж.Х., Райнш С. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Ли-

нейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. 390 с.

202. Уорден К. Новые интеллектуальные материалы и конструкции. Свойства

и применение / Пер. с англ. М.: Техносфера, 2006. 224 с.

203. Устинов Ю.А. Электроупругость. Основы теории и некоторые приложе-

ния Соросовский образовательный журнал. № 3. 1996. С. 122-127.

204. Устинов Ю.А. Электроупругость. Некоторые вопросы математического

моделирования. Соросовский образовательный журнал. № 9. 1996. С. 122-127.

205. Фукунага Х., Вандерплаатс Г.Н. Оптимизация жесткости ортотропных

слоистых композитов с использованием параметров структуры // Аэрокосми-

ческая техника. 1991. № 12. С. 77–84.

206. Хагуд Н.В., Кроли Э.Ф. Приближенный анализ линейно демпфированных

космических конструкций в частотной области // Аэрокосмическая техника.

1991. № 10. С. 14-25.

207. Харрис С.М., Крид Ч.И. Справочник по ударным нагрузкам / Сокр. пер. с

англ. Н.А.Пэдуре. Л.: Судостроение, 1980. 124 с.

208. Хільчевський В. В., Дубенець В. Г., Савченко О. В.: Оптимізація компо-

зитних конструкцій з пасивним демпфуванням. Динаміка, міцність і ресурс

399

машин та конструкцій: тези допов. Міжнар. наук.-тех. конф. (1-4 листопада

2005 р., Київ) / Відп. ред. В. Т. Трощенко: в 2.т. К.: Ін-т проблем міцності

ім. Г. С. Писаренка НАН України. 2, 357-358 (2005).

209. Хильчевский В. В., Дубенец В. Г., Савченко Е. В.: Оптимізація композит-

них конструкцій з пасивним демпфуванням. Проблемы прочности. (5). 128-134

(2006).

210. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир,

1975. 534 с.

211. Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование. М.: Мир,

1983. 480 с.

212. Хорошун Л.П. О построении уравнений слоистых пластин и оболочек //

Прикладная механика. 1978. Том XIV. № 10. С. 3-21.

213. Хорошун Л.П., Козлов С.В., Иванов Ю.А., Кошевой И.К. Обобщенная те-

ория неоднородных по толщине пластин и оболочек. Киев: Наукова думка,

1988. 152 с.

214. Хорошун Л. П., Маслов Б. П., Лещенко П. В. Прогнозирование эффекти-

вных свойств пьезоактивных композитных материалов. / Отв. ред.

Н. А. Шульга. АН УССР. Ин-т механики. Киев: Наук. думка, 1989. 208 с.

215. Цыбенко А.С., Крищук Н.Г., Конюхов С.А. Математическое моделирова-

ние электротермомеханических процессов при индукционном нагреве

проводящих тел: Монография. Киев: НТУУ "КПИ", 2007. 200 с.

216. Шваб’юк В.І. Варіант узагальненої теорії непологих ортотропних оболо-

нок. Машинознавство. 1998. № 7. С.2-8.

217. Шваб’юк В.І.. Комплексне подання уточнених рівнянь згину ортотропних

пластин з тріщинами. Машинознавство. 1999. № 4. С.51-55.

218. Шваб’юк В.И. Учет эффекта сжимаемости нормали в контактных задачах

для трансверсально изотропных плит. Прикл. механика. К.: 1980. Т.16. №4.

С.71-77.

400

219. Шваб’юк В. І., Ротко С. В. Лінійне деформування, міцність і стійкість

композитних оболонок середньої товщини: монографія. Луцьк: РВВ Луцького

НТУ, 2015. 268 с.

220. Шейпери Р. Анализ деформирования и разрушения вязкоупругих компо-

зитов. В кн. Вязкоупругие свойства композиционных материалов. М.: Мир,

1978. 294 с. С.180-221.

221. Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезоэлектрических тел / Отв.

ред. Б.П.Маслов; АН УССР. Ин-т механики. К.: Наукова думка, 1990. 228 с.

222. Шульга Н.А., Григорьева Л.О. Радиальные упругоэлектрические нестаци-

онарные колебания пьезокерамического цилиндра при механическом

нагружении // Прикладная механика. 2009. Том. 45, № 4. С. 66-71.

223. Щульга Н.А., Карлаш В.Л. Резонансні електромеханічні коливання п'єзо-

електричних пластин. К.: Наукова думка, 2008. 271 с.

224. Яковлев А.П. Диссипативные свойства неоднородных материалов и сис-

тем. Киев: Наукова думка, 1985. 248 с.

225. Aboudi J.: Effective behavior of inelastic fiber-reinforced composites.

International Journal of Engineering Science. 22 (4), 439-449 (1984).

226. Al-Ajmi, M. A.: Homogenization аnd structural topology optimization оf

constrained layer damping treatments. Dissertation submitted to the Faculty of the

Graduate School of the University of Maryland, College Park in partial fulfillment

of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy (2004).

227. Alam, N., Asnani, N. T.: Vibration аnd Damping Analyses оf Fibre Reinforced

Composite Material Cylindrical Shell. Journal of Composite Materials. 21 (4), 348-

361 (1987).

228. Aldraihem, O. J., Baz, A., Turki S.: Al-Saud Hybrid Composites with Shunted

Piezoelectric Particles for Vibration Damping. Mechanics of Advanced Materials

and Structures. 14, 413-426 (2007).

229. Alessandroni, S., Dell'Isola, F., Frezza, F.: Optimal piezo-electro-mechanical

coupling to control plate vibrations. International Journal of Applied

Electromagnetics and Mechanics. 13 (1-4) 113-120 (2001).

401

230. Arafa, M., and Baz, A.: Dynamics of Active Piezoelectric Damping Compos-

ites. Composites: Part B. 31, 255-264 (2000).

231. Araujoa, A. L., Mota Soares, C. M., Mota Soares, C. A.: Optimal design of

active, passive, and hybrid sandwich structures. Modeling, Signal Processing, and

Control for Smart Structures. 6926. 69260T (2008).

232. Bandyopadhyay, B., Manjunath, T.C., Umapathy, M.: Modeling, Control and

Implementation of Smart Structures: A FEM-State Space Approach. Springer-

Verlag. Berlin. Heidelberg (2007) 282 р.

233. Batra, R. C, Liang X. Q.: Finite dynamic deformations of smart structures.

Computat Mech. 20, 427-438 (1997).

234. Batra, R. C. and Geng, T. S. Comparison of active constrained layer damping

by using extension and shear mode actuators. J. Intell. Mater. Syst. Struct. 13. 249-

367 (2002).

235. Benjeddou, A.: Advances in Hybrid Active-Passive Vibration and Noise

Control via Piezoelectric and Viscoelastic Constrained Layer Treatments. Journal of

Vibration and Control. 7 (4), 565-602 (2001).

236. Berger, H., Kari, S., Gabbert, U., Rodriguez-Ramos, R., Bravo-Castillero, J.,

Guinovart-Diaz, R.: Calculation of effective coefficients for piezoelectric fiber

composites based on a general numerical homogenization technique. Composite

Structures. 71, 397-400 (2005).


Guinovart-Diaz, R.: A comprehensive numerical homogenisation technique for cal-

culating effective coefficients of uniaxial piezoelectric fiber composites. Materials

Science and Engineering. A 412, 53-60 (2005).


Guinovart-Diaz, R., Otero, J.A., Maugin, G.A.: Finite element and asymptotic

homogenization methods applied to smart composite materials. Computational Me-

chanics. 33, 61-67 (2003).

402

239. Bianchi, L., Dorigo, M., Gambardella, L. M., Gutjahr, W. J.: A survey on

metaheuristics for stochastic combinatorial optimization. Natural Computing: an

international journal. 8 (2), 239–287 (2009).

240. Biegler, L. T. and Grossmann, I. E.: Retrospective on Optimization.

Department of Chemical Engineering, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA

15213-3890, USA, Computers & Chemical Engineering (2004);

DOI: 10.1016/j.compchemeng.2003.11.003.

241. Blum, C. and Roli, A.: Metaheuristics in combinatorial optimization: Overview

and conceptual comparison. ACM Comput. Surv. 35, 268-308 (2003).

242. Bowen, C. R., Nelson, L. J., Stevens, R., Cain, M. G., Stewart, M.:

Optimization of interdigitated electrodes for piezoelectric actuators and active fibre

composites. J Electroceram. 16, 263–269 (2006).

243. Brilla, J.: Laplace Transform and New Mathematical Theory of Viscoelasticity.

Meccanica. 32, 187-195 (1997). Kluwer Academic Publishers. Printed in the

Netherlands.

244. Brinson, L. C., & Lin, W. S.: Comparison of micromechanics methods for

effective properties of multiphase viscoelastic Composite Structures. 41 (3-4), 353-

367 (1998).

245. Вrischetto, S.: Classical and mixed multilayered plate/shell models for

multifield problems analysis. Ph.D. Dissertation. Politecnico Di Torino (2009)

285 р.

246. Brockmann T. H.: Theory of Adaptive Fiber Composites. From Piezoelectric

Material Behavior to Dynamics of Rotating Structures Springer Science+Business

Media B.V. (2009) 230 p.

247. Bruant, I., Gallimard, L., Nikoukar, S.: Optimal piezoelectric actuator and

sensor location for active vibration control, using genetic algorithm. Journal of

Sound and Vibration. 329 (10), 1615-1635 (2010).

248. Cabanska-Placzkevicz, K.: Vibrations of a complex systems with a viscoelastic

inertial interlayer // Проблемы прочности, 2001. № 6. С. 103-115.

403

249. Cabanska-Placzkevicz, K.: Vibrations of a complex systems with damping

under dynamic loading // Проблемы прочности, 2001. № 2. С. 82-101.

250. Carrera, E., Brischetto, S., Nali P.: Plates and shells for smart structures:

classical and advanced theories for modeling and analysis. John Wiley & Sons, Ltd

(2011) 316 р.

251. Censor, Y.: Pareto Optimality in Multiobjective Problems. Appl. Math.

Optimiz. 4, 41-59 (1977).

252. Chan, H. L. W., Unsworth, J.: Simple model for piezoelectric ceramic/polymer

1-3 composites used in ultrasonic transducer application. IEEE Transactions on Ul-

trasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 36 (4), 434-441 (1989).

253. Chandra R., Singh S., Gupta K.: A Study of Damping in Fiber-Reinforced

Composites. Journal of Sound and Vibration. 62 (3), 475–496 (2003).

254. Chandra, R., Singh, S. P., Gupta, K.: Damping studies in fiber-reinforced

composites – a review. Composite Structures. 46 (1), 41-51 (1999).

255. Chawla, K.K.. Composite Materials. Science and Engineering Springer, New

York (1998).

256. Chee, C., Tong, L., Steven, G. P.: Piezoelectric actuator orientation

optimization for static shape control of composite plates. Composite Structures. 55

(2), 169-184 (2002).

257. Chen, C.P., Lakes, R.S.: Analysis of high-loss viscoelastic composites. J. of

Materials Science, 28, 4299-4304 (1993).

258. Chen Wanji and Wu Zhen: A Selective Review on Recent Development of

Displacement-Based Laminated Plate Theories. Recent Patents on Mechanical

Engineering. 1, 29-44 (2008).

259. Cho, K., Han, J., and Lee, I.: Vibration and Damping Analysis of Laminated

Plates with Fully and Partially Covered Damping Layers. Journal of Reinforced

Plastics and Composites. 19 (15), 1176-2000 (2000).

260. Chopra, I.: Smart Structures. According to Review of State of Art of Smart

Structures and Integrated Systems: Part I – Piezoelectricity. AIAA JOURNAL. 40

(11), 2145-2187 (2002).

404

261. Chopra, I., Sirohi, J.: Smart Structures Theory. Cambridge University Press

(2013) 926 р.

262. Coleman, T. F., Li, Y.: On the Convergence of Reflective Newton Methods for

Large-Scale Nonlinear Minimization Subject to Bounds. Mathematical

Programming. 67 (2), 189-224 (1994).

263. Correia, I. F. P., Mota Soares, C. M., Mota Soares, C. A., Herskovits, J.:

Developments in Modelling and Optimal Design of Laminated Cylindrical and

Conical Shells with Integrated Sensors and Actuators. Variational Formulations In

Mechanics: Theory And Applications. CIMNE. Barcelona, Spain (2006).

264. Costa L., Figueiredo, I., Leal, R., Oliveira, P., Stadler G.: Modeling and

numerical study of actuator and sensor effects for a laminated piezoelectric plate.

Computers & Structures. 85 (7–8), 385–403 (2007).

265. Crandall S. H.: The role of damping in vibration theory. Journal of Sound and

Vibration. 11 (1), 3-18 (1970).

266. De Jong, K.A.: Evolutionary Computation: A Unified Approach/ A Bradford

Book. The MIT Press. Cambridge, Massachusetts (2006). 255 p.

https://deepblue.lib.umich.edu/documents (Accessed 03/05/2017).

267. Dell’Isola, F., Maurini, C., Porfiri, M.: Passive damping of beam vibrations

through distributed electric networks and piezoelectric transducers: prototype design

and experimental validation. Smart Materials and Structures. 13, 299-308 (2004).

268. Deu, J.-F., Benjeddou, A.: Free-vibration analysis of laminated plates with

embedded shear-mode piezoceramic layers. International Journal of Solids and

Structures. 42, 2059–2088 (2005).

269. Dorigo, M., Stützle, T.: Ant Colony Optimization. "A Bradford book." The

MIT Press Cambridge, Massachusetts. London, England (2004) 305 p.

270. Dubenets V. G., Savchenko O. V.: Optimization of multilayered electro-

viscoelastic plates. Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту: серія "Технічні науки":

зб. Чернігів: ЧДТУ. 2 (65), 59-68 (2013).

271. Dubenets V. G., Savchenko O. V., Derkach O. L.: Аctive damping of nonsta-

tionary vibrations in a beam with electro-viscoelastic patches. Вісн. Черніг. держ.

405

технолог. ун-ту: серія "Технічні науки": зб. Чернігів: ЧДТУ. 1 (71), 43-49

(2014).

272. Dubenets V. G., Savchenko O. V., Derkach O. L.: Nonstationary vibrations of a

beam with electro-viscoelastic dissipative patches. Вісн. Черніг. держ. технолог.

ун-ту: серія "Технічні науки": зб. Чернігів: ЧДТУ. 3 (67), 53-61 (2013).

273. El Rahed, M., Wagner, P.: Damped response of shells by a constrained

viscoelastic layer. Journal of Appl. Mechanics. 53 (12), 902-908 (1986).

274. Fleming, P. J.: Computer-Aided Control System Design of Regulators using a

Multiobjective Optimization Approach. Proc. IFAC Control Applications of

Nonlinear Porg. and Optim. Capri, Italy. PP. 47-52. (1985).

275. Fletcher, R.: Practical Methods of Optimization. Vol. 1, Unconstrained

Optimization, and Vol. 2, Constrained Optimization. John Wiley and Sons (1980).

276. Foye, R. L.: Theoretical Post-Yielding Behavior of Composite Laminates. Part

II – Inelastic Macromechanics. J. Composite Materials.7, 310-319 (1973).

277. Gaffney, J., Green, D. A., Pearce, C. E.: Binary versus real coding for genetic

algirithms: A false dichotomy? ANZIAM J. 51 (EMAC2009). PP. C347-C369,

(2010).

278. Gen, M. & Cheng, R.: Genetic Algorithms and Engineering Optimization. New

York: John Wiley & Sons (1997) 495 p.

279. Gill, P. E., Murray, W., and Wright, M. H.: Practical Optimization. Academic

Press, London (1981).

280. Glover, F., Kochenberger, G. A.: Handbook of metaheuristics. 57. Springer,

International Series in Operations Research & Management Science (2003).

281. Godoy, T. C. de, Trindade, M. A.: Modeling and analysis of laminate

composite plates with embedded active-passive piezoelectric networks. Journal of

Sound and Vibration. 330 (2), 194-216 (2011).

282. Goldberg, D. E. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine

Learning. Kluwer Academic Publishers (1989).

283. Goldberg, D.: Real-Coded Genetic Algorithms, Virtual Alphabets, and Block-

ing. Complex Systems. 5, 139-167 (1991).

406

284. Gurtin, M. E.: Variational Principles in the Linear Theory of Viscoelasticity.

Archive for Rational Mechanics and Anaysis. 3, 179-193 (1963).

285. Gutjahr, Walter J.: A survey on metaheuristics for stochastic combinatorial

optimization. Natural Computing: an international journal. 8 (2), 239-287 (2009).

286. Hagood, N. W., Aldrich, J. B., Von Flotow, A. H. Design of Passive Piezo-

electric Damping for Space Structures. National Aeronautics and Space

Administration. Langley Research Center. Hampton, Virginia 23681-0001,

September 1994.

287. Hagood, N. W., Von Flotow, А. H.: Damping of structural vibrations with

piezoelectric materials and passive electrical networks. Space Engineering Research

Center, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts 02139,

U.S.A. Journal of Sound and Vibration. 146 (2), 243-268 (1991).

288. Halim, D., Moheimani, S. O. R.: An optimization approach to optimal

placement of collocated piezoelectric actuators and sensors on a thin plate.

Mechatronics. 13 (1), 27-47 (2003)

289. Han, X., Liu, G.R., Ohyoshi, T.: Dispersion and characteristic surfaces of

waves in hybrid multilayered piezoelectric circular cylinders. The Journal of the

Acoustical Society of America. 108, 2179 (2000).

290. Haupt, Randy L., Haupt, Sue Ellen: Practical Genetic Algorithms: second edition

Wiley-Interscience, J. Wiley & Sons (2004) 253 p.

291. Heyliger, P., Brooks, S.: Exact solutions for laminated piezoelectric plates in

cylindrical bending. J Appl Mech. 63, 903-10 (1996).

292. Heyliger, P., Ramirez, G, Saravanos, D.: Coupled discrete-layer finite elements

for laminated piezoelectric plates. Commun Numer Meth Engng. 10, 971-81 (1994).

293. Holland, J. Adaptation in Natural and Artificial Systems, University of

Michigan Press, Ann Arbor (1975).

294. Huang, J. H., Wu, T. L.: Analysis of hybrid multilayered piezoelectric plates.

Int J Engng Sci. 34(2), 171-81 (1996).

295. IEEE Standard on piezoelectricity. ANSI/IEEE Std. 176–1987. The Institute of

Electrical and Electronics Engineers, Ink. (1988).

407

296. Janocha, H.: Adaptronics and Smart Structures. Basics, Materials, Design and

Applications. Second, Revised Edition (2007). In: Springer-Verlag Berlin

Heidelberg (1999) 554 р.

297. Jiang, B., Batra, R.C.: Effective Electroelastic Properties of a Piezocomposite

with Viscoelastic and Dielectric Relaxing Matrix. Journal of Intelligent Material

Systems and Structures. 12, 847-866 (2001).

298. Johnson, G.E.: Future Trends in Optimization. J. of Mecanical Design. 103 (4),

677-682 (1981).

299. Jones, R.M.: Mechanics of composite materials. 2nd ed. Taylor&Fransis Inc.

(1999).

300. Kennedy, J., Eberhart, R. C.: Particle swarm optimization. In: Proceedings of

IEEE International Conference on Neural Networks, Piscataway, NJ. pp. 1942-1948,

(1995).

301. Kolda T.G., Lewis R.M., Torczon, V.: Optimization by Direct Search: New

Perspectives on Some Classical and Modern Methods. SIAM Review. 45 (3) 385-

482 (2003).

302. Koza, John R.: Genetic programming: on the programming of computers by

means of natural selection. MIT Press, Cambridge, MA, USA (1992).

303. Kucher N.K., Karnaukhov V.G.: Thermomechanical behavior of a viscoelastic

prizm subjected to cyclic loading. Institute of Strength Problems. Translated from

Problemy Prochnosti. 8, 58-62 (1981).

304. Kulikov G.M., Plotnikova S.V. Cylindrical bending of angle-ply composite

plates. Вестник ТГТУ. 18 (2) 432-440 (2012).

305. Kurtz, S. K. Yoshikawa, S.: Passive Vibration Damping Materials: Piezo-

electric Ceramic Composites For Vibration Damping Application. Annual Report.

Materials Research Laboratory Pennsylvania State University (1992).

306. Lakes, R. S.: High Damping Composite Materials: Effect of Structural

Hierarchy. Journal of Composite Materials. 36, (03) (2002).

307. Lange, K.: Optimization. Springer-Verlag NY, LLC (2004).

408

308. Latheswary, S., Valsarajan, K. V. et al.: Free Vibration Analysis of Laminated

Plates Using Higher-Order Shear Deformation Theory. IE(I) Journal-AS. 85, 18-24

(2004).

309. Law, H.H., Rossiter, P.L., Koss, L.L., Simon, G.P.: Mechanisms in damping of

mechanical vibration by piezoelectric ceramic-polymer composite materials. Journal

of Materials Science. 30 (10), 2648-2655 (1995).

310. Lee, C.K.: Theory of laminated piezoelectric plates for the design of distributed

sensors/actuators. Part 1: governing equations and reciprocal relationships. J Acoust

Soc Am. 87, 1144–58 (1990).

311. Lee, U.: Specral Element Method in Structural Dynamics. John Wiley & Sons

(Asia) (2009). Pte Ltd. ISBN: 978-0-470-82374-3.

312. Li, JiangYu and Dunn, M. L.: Viscoelectroelastic behavior of heterogeneous

piezoelectric solids. Journal Of Applied Physics. 89 (5), 2893-2903 (2001).

313. Liao, D.X., Sung, C.K.,Thompson, R.S.: The optimal design of symmetric

laminated beams considering damping. Journal of Composite Materials. 20, 485-501

(1986).

314. Lin, Chien-Chang, Huang-Nan Huang: Vibration control of beam–plates with

bonded piezoelectric sensors and actuators. Computers & Structures. 73 (1–5), 239-

248 (1999).

315. Lin, J.-C., Nien, M.H.: Adaptive modeling and shape control of laminated

plates using piezoelectric actuators. Journal of Materials Processing Technology,

189 (1–3), 231-236 (2007).

316. Liu G P, Yang J B, Whidborne J.F. Multiobjektive Optimization and Control.

Research Studies Press LTD (2003)

317. Loewy, R.G.: Recent developments in smart structures with aeronautical

applications. Smart Materials and Structures, 6, 11-42 (1997).

318. Luke S.: Essentials of Metaheuristics. Online Version 1.2. – July, 2011. URL:

http://cs.gmu.edu/~sean/book/metaheuristics/Essentials.pdf (Accessed 20/08/2017).

409

319. Madhusudhana Rao, C.V., Prasad, G.: Characterisation of 1-3 piezoelectric

polymer composites – a numerical and analytical evaluation procedure for thickness

mode vibrations. Condensed Matter Physics. 13 (1), 13703: 1-10 (2010)

320. Marcelin, Ph. T., and Smati, A.: Optimal Constrained Layer Damping with

Partial Coverage. Finite Elements in Analysis and Design. 12: 273-280 (1992)

321. Marinaki, M.; Marinakis, Y.; Stavroulakis, G. E.: Vibration control of beams

with piezoelectric sensors and actuators using particle swarm optimization. Expert

Systems with Applications. 38 (6), 6872–6883 (2011).

322. Marneffe, Bruno de.: Active and Passive Vibration Isolation and Damping via

Shunted Transducers. Thesis submitted in candidature for the degree of Doctor in

Engineering Sciences. Active Structures Laboratory, Department of Mechanical

Engineering and Robotics (2007).

323. Matthews F.L., Rawlings, R.D.: Composite Materials. Engineering and Sci-

ence. CRC Press, Boca Raton (1999).

324. Maurini C.: Piezoelectric composites for distributed passive electric control:

beam modelling, modal analysis, and experimental implementation. Tesi di

Dottorato in Cotutela presentata per ottenere il titolo di DOTTORE DI RICERCA in

Meccanica Teorica e Applicata (2005).

325. Maurini, C., Dell'Isola, F., Del Vescovo, D.: Comparison of piezoelectronic

networks acting as distributed vibration absorbers. Mechanical system and signal

processing. 18 (5), 1243-1271 (2004).

326. Maurini C., Pouget, J., Vidoli, S. Distributed piezoelectric actuation of a

bistable buckled beam. European Journal of Mechanics – A/Solids 26 (5), 837-853

(2007).

327. Mead, D.J. Passive Vibration Control, John Wiley & Sons, New York (1999).

328. Michalewicz Z. Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs.

Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag (1996)

329. Mitchell M.: Introdution to Genetic Algorithms. Cambridge, MA: The MIT

Press (1996). URL: http://www.boente.eti.br/fuzzy/ebook-fuzzy-mitchell.pdf (Ac-

cessed 19/08/2017).

410

330. Mota Soares C. M., Mota Soares C. A., Franco Correia V. M.: Optimal design

of piezolaminated structures. Composite Structures. 47, 625-634 (1999).

331. Nakra, B.C.: Structural dynamic modification using additive damping.

Sådhanå, 25, Part 3, pp. 277-289 (2000).

332. Nguyen, Q., Tong, L., Gu, Y.: Evolutionary piezoelectric actuators design

optimisation for static shape control of smart plates. Computer Methods in Applied

Mechanics and Engineering. 197 (1-4), 47-60 (2007).

333. Ni, R. G., Adams R. D.: The damping and dynamic moduli of symmetric

laminated composite beams. Theoretical and experimental results. J. Composite

Materials. 18, 104-121 (1984).

334. Odegard, G.M.: Constitutive Modeling of Piezoelectric Polymer Composites.

Acta Materialia. 52 (18), 5315-5330 (2004).

335. Qian, D. Substructure synthesis methods for viscoelastic structures. Institute for

Aerospace Studies, University of Toronto. (1993).

336. Owen, D. R. J., Li, Z. H.: A refined analysis of laminated plates by finite

element displacement methods. I. Fundamentals and static analysis. Computers &

Structures. 26 (6), 907-914 (1987).

337. Panda, S., Ray, M. C.: Active control of geometrically nonlinear vibrations of

functionally graded laminated composite plates using piezoelectric fiber reinforced

composites. J. of Science and Vibration. 325, 186-205 (2009).

338. Pankratova N. D.: System Optimization of Complex Constructive Elements of

Modern Technology. Cybernetics and Systems Analysis. 37 (3), 398-407 (2001).

339. Perry, M. A., Bates, R. A., Atherton, M. A., Wynn, H. P.: A finite element based

formulation for sensitivity studies of piezoelectric systems. Journal of Smart Materi-

als & Structures, 17(1), (2008) http://mucm.ac.uk/Pages/Downloads/Other_Papers

_Reports/HW%20A%20finite%20element%20based%20formulation%20for%20sen

sitivity%20studies%20of%20piezoelectric%20systems.pdf. (Accessed 03/06/2017).

340. Piefort, V. Finite Element Modelling of Piezoelectric Active Structures. Thesis

submitted in candidature for the degree of Doctor in Applied Sciences. Active

411

Structures Laboratory Department of Mechanical Engineering and Robotics.

Universit´e Libre de Bruxelles, Academic Year 2000-2001.

341. Piezocomposites. Materials Systems Inc., 543 Great Road, Littleton, MA

01460, USA. URL: http://www.matsysinc.com/products/materials/ (Accessed

03/06/2017).

342. Poli, R., Kennedy, J., Blackwell, T.: Particle swarm optimization, an overview.

Swarm intelligence. 1. 33–57 (2007).

343. Ramadan, K. S., Sameoto, D. and Evoy, S.: A review of piezoelectric polymers

as functional materials for electromechanical transducers. Smart Mater. Struct. 23,

033001, 1-26 (2014)

344. Rao, S.S.: Engineering optimization : theory and practice. 4th ed., John Wiley

& Sons (2009).

345. Rao, S.S., Sunar, M.: Piezoelectricity and its use in disturbance sensing and

control of flexible structures: a survey. Applied Mechanics Reviews. 47 (4), 113-

123, (1994).

346. Ray, M. C., Batra R. C.: Smart constrained layer damping of functionally

graded shells using vertically/obliquely reinforced 1–3 piezocomposite under a

thermal environment. Smart Mater. Struct. 17, 055007 (13 pp) (2008)

347. Ray, M.C, Rao, K.M, Samanta B.: Exact analysis of coupled electroelastic

behavior of piezoelectric plate under cylindrical bending. Comput. Struct. 45 (4),

667–77 (1992).

348. Reddy, J. N.: On laminated composite plates with integrated sensors and actua-

tors. Engineering Structures. 21, 568-593 (1999)

349. Rosi G.: Control of sound radiation and transmission by means of passive

piezoelectric networks: modelling, optimization and experimental implementation.

Рour obtenir le grade de (per ottenere il titolo di) Docteur De L’universite Paris

(Dottore Di Ricerca in Meccanica Teorica e Applicata), (2010). PDF:

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00815038/document (Accessed 19/08/2017).

412

350. Sadasiva Rao Y.V., Nakra B.C. Vibrations of unsymmetrical sandwich beams

and plates with viscoelastic cores. Journal of Sound and Vibration. 34. (3)., 309-

326 (1974).

351. Samanta, B., Ray, M.C., Bhattacharyyn, R.: Finite Element Model for Active

Control of Intelligent Structures. AIAA Journal. 34 (9), 1885-1893 (1996).

352. Saravanos, D. A., Varelis, D., Plagianakos, N.S., Chrysochoidis, N.: A shear

beam finite element for the damping analysis of tubular laminated composite beams.

Journal of Sound and Vibration. 291, 802-823 (2006).

353. Saravanos, D. A. Mixed Laminate Theory and Finite Element for Smart

Piezoelectric Composite Shell Structures. AIAA Journal. 35 (8), 1327-1333 (1997).


using genetic algorithms. PCM-CMM-2015 – 3rd Polish Congress of Mechanics &

21st Computer Methods in Mechanics, September 8th-11th 2015, Gdansk, Poland.

Short Papers. 1, 659-660 (2015).

355. Schults A.B., Tsai S.W.: Dynamic moduli and damping ratios in fiber-

reinforced composites. J. Comp. Mater. 3 (3), 360-379 (1968).

356. Schwartz M. (ed.): Encyclopedia of smart materials. A Wiley-Interscience

publication (2002) 1190 р.

357. Senchenkov I. K., Karnaukhov V. G.: Variational Principles of the Linearised

Theory of Viscoelasticity. Institute of Mechanics, Academy of Sciences of the

Ukrainian SSR, Kiev. Translated from Prikladnaya Mechanika. 14 (3), 14-20

(1978).

358. Serabatir, D. A., Bayraktar, F., and Sanliturk, K. Y.: Structural damping

optimization using viscoelastic materials. In: Inter-Noise 2007 28-31 August 2007

Istanbul, Turkey.

359. Shen, I. Y.: Hybrid Damping Through Intelligent Constrained Layer

Treatments. Journal of Vibration and Acoustics. 116. 341-349 (1994).

360. Sigmund, O.: Materials with prescribed constitutive parameters: An inverse

homogenization problem. International Journal of Solids and Structures. 31(17),

2313-2329 (1994).

413

361. Simões, J. M., Herskovits, M. J., Mota Soares, C. M., Mota Soares, C.A.:

Design оf Laminated Structures Using Piezoelectric Materials. In: Proceedings of

the XXVII Iberian Latin American Congress on Computational Methods in

Engineering, September 3 to 6, 2006. Belem, Para – Brazil.

362. Shenoi A., Waddams, A., Sinha, A.: Smart Materials in the Marine

Environment. A State of the Art Review. Smart Materials, Surfaces and Srtuctures

Network Version 2: 49 p. (2009).

363. Sohn, Jung Woo, Choi, Seung-Bok, Kim, Heung Soo.: Vibration control of

smart hull structure with optimally placed piezoelectric composite actuators.

International Journal of Mechanical Sciences. 53 (8), 647-659 (2011).

364. Sörensen, K.: Metaheuristics – the metaphor exposed (PDF). International

Transactions in Operational Research. doi:10.1111/itor.12001.

365. Spadoni A., Ruzzene, M. and Cunefare, K.: Vibration and Wave Propagation

Control of Plates with Periodic Arrays of Shunted Piezoelectric Patches. Journal of

Intelligent Material Systems and Structures,. 20, 979-990 (2009)

366. Srinivas, N., Deb, K.: Multiobjective Optimization Using Nondominated

Sorting in Genetic Algorithms. J. of Evolutionary Computation, 2 (3), 221-248

(2016) https://web.njit.edu/~horacio/Math451H/download/SrinivasDeb_GA.pdf.

Accessed 19 Aug 2017.

367. Staworko, M.; Uhl, T.: Modeling and simulation of piezoelectric elements –

comparison of available methods and tools. Mechanics. 27 (4), 161-171 (2008).

368. Sun C.T., Lion W.J.: A three-dimensional hybrid-stress finite element

formulation for free vibrations of laminated composite plates. J. of Sound and

Vibration. 119 (1), 1-14 (1997).

369. Talbi, E-G.: Metaheuristics: from design to implementation. Wiley (2009).

ISBN 0-470-27858-7.

370. Tang J., Liu, Y., Wang, K.: Semiactive and active-passive hybrid structural

damping treatments via piezoelectric materials. The Shock and Vibration Digest, 32

(3), 189-200 (2000).

414

371. Tani, J., Takagi, T., Qiu, J.: Intelligent materials systems: application of

functional materials. Applied Mechanics Reviews, 51 (8), 505-521 (1998)

372. Trindade, M. A.: Experimental Analysis of Active-Passive Vibration Control

using Viscoelastic Materials and Extension and Shear Piezoelectric Actuators.

Journal of Vibration and Control. 17, 917-929 (2011).

373. Trindade, M. A.: Optimization of active-passive damping treatments using

piezoelectric and viscoelastic materials. Smart Materials & Structures. 16 (6), 2159-

2168 (2007).

374. Trindade M. A., Benjeddou, A.: Evaluation of effective material properties of

thickness-shear piezoelectric macro-fiber composites. In: 21st International Congress

of Mechanical Engineering “Proceedings of COBEM 2011”, October 24-28, 2011,

Natal, RN, Brazil.

375. Trindade M.A., Benjeddou, A.: Hybrid active-passive damping treatments

using viscoelastic and piezoelectric materials: Review and assessment. Journal of

Vibration and Control. 8, 699–745 (2002).

376. Tsai, M., Wang, K.: On the structural damping characteristics of active

piezoelectric actuators with passive shunt. Journal of Sound and Vibration. 221 (1),

1-22 (1999).

377. Vel, S. S., Batra, R. C.: Analysis of piezoelectric bimorphs and plates with

segmented actuators. Thin-Walled Structures. 39, 23–44 (2001)

378. Vel, S. S., Batra, R. C.: Cylindrical bending of laminated plates with distributed

and segmented piezoelectric actuators/sensors. AIAA J. 38, 857–67 (2000)

379. Vel, S. S., Batra, R. C.: Generalised Plane Strain Thermopiezoelectric Analysis

of Multilayered Plates. J. of Thermal Stresses, 26, 353-377, (2003)

380. Vel S.S., Batra R.C.: Three-dimensional analytical solution for hybrid

multilayered piezo electric plates. J Appl Mech. 67, 558–67 (2000)

381. Vel, S. S., Mewer, R. C., Batra, R. C.: Analytical solution for the cylindrical

bending vibration of piezoelectric composite plates. International Journal of Solids

and Structures. 41, 1625–1643 (2004).

415

382. Venter, G.: Review of Optimization Techniques. In: Encyclopedia of

Aerospace Engineering. Edited by Richard Blockley and Wei Shyy. John Wiley &

Sons, Ltd. pp. 1-12 (2010).

383. Vollan, A., Komzsik L.: Computitional techniques of rotor dynamics with the

finite element method. CRC Press. (2012) 272 p.

384. Voss, S.: Meta-heuristics: the state of the art, in: Local Search for Planning and

Scheduling (Ed. A. Nareyek), LNAI 2148, pp. 1-23 (2001).

385. Wang, J., Ostergaard, D. A.: finite element-electric circuit simulation method

for piezoelectric transducer. In: Proceedings of IEEE utrasonics symposium, Vol. 2,

pp. 1105-1108 (1999).

386. Wanji, C., Zhen, Wu.: A selective Review on Recent Development of Dis-

placement-Based Laminated Plate Theories. Recent Patents of Mechanical

Engineering. 1, 29-44 (2008)

387. Weise, Thomas. Global Optimization Algorithms – Theory and Application.

Germany: it-weise.de (self-published), (2009). Accessed 03 May 2017

388. Wetter, M. and Wright, J.: Comparison of a generalized pattern search and a

genetic algorithm optimization method. Paper presented at the Eighth International

IBPSA Conference Eindhoven, Netherlands, August 11-14, 2003.

389. Woo, Sohn Jung, Choi, Seung-Bok, Kim, Heung Soo.: Vibration control of

smart hull structure with optimally placed piezoelectric composite actuators.

International Journal of Mechanical Sciences. 53(8), 647-659 (2011)

390. Xu, B.; Ou, J.P.; Jiang, J.S.: Integrated optimization of structural topology and

control for piezoelectric smart plate based on genetic algorithm. Finite Elements in

Analysis and Design. 64. 1-12 (2013).

391. Yang, J.S.; Batra, R.C., Liang, X.Q.: The cylindrical bending vibration of a

laminated elastic plate due to piezoelectric actuators. Smart Mater Struct. 3, 485–93

(1994).

392. Yang, Xin-She: Metaheuristic Optimization. Cambridge University, UK.

doi:10.4249/scholarpedia.11472. Accessed 03 May 2017

416

393. Yi, Y.-M., Park, S.-H. and Youn, S.-K.: Optimal design of viscoelastic

composites with periodic microstructures. Available online at

https://www.researchgate.net/publication/266032879_OPTIMAL_DESIGN_OF_VI

SCOELASTIC_COMPOSITES_WITH_PERIODIC_MICROSTRUCTURES (Ac-

cessed 03 May 2017)

394. Yoshikawa, S., Selvaraj, U.; Brooks, K.G.; Kurtz, S.K.: Piezoelectric PZT

tubes and fibers for passive vibrational damping. Applications of Ferroelectrics.

(1992). In: ISAF '92, Proceedings of the Eighth IEEE International Symposium on

Applications of Ferroelectrics, 30 Aug-2 Sep 1992. pp. 269- 272.

395. Zheng, H., Cai, C. Minimization of sound radiation from baffled beams

through optimization of partial constrained layer damping treatment. Applied

Acoustics. 65, 501-520 (2004). Available online at www.sciencedirect.com.

Accessed 19 Aug 2017.

396. Zheng, H., Cai, C., Pau, G.S.H., Liu, G.R.: Minimizing vibration response of

cylindrical shells through layout optimization of passive constrained layer damping

treatments. Journal of Sound and Vibration 279, 739-756 (2005) Online publication

date: 1-Jan-2005.

397. Zhang, J., He, L. and Wang E.: Active Vibration Control of Piezoelectric

Intelligent Structures. Journal of Computers. 5(3), 401-409 (2010)

398. Zheng, H.; Pau, G.S.H.; Liu, G.: Optimization of Passive Constrained Layer

Damping Treatments for Vibration Control of Cylindrical Shells. Singapore-MIT

Alliance (SMA). 01, 7 (2003) http://hdl.handle.net/1721.1/3705. Accessed 21 Aug

2017.

399. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L. The finite Element Method. Volume 1. The

Basis. Oxford, B.H. (2000) 708 р.

400. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L. The finite Element Method. Volume 2. Solid

mechanics . Oxford, B.H. (2000) 476 р.

417

ДОДАТОК А

419

ДОДАТОК Б

421

ДОДАТОК В

422

ДОДАТОК Г

ПЬЕЗОСЕНСОР

ООО "Пьезосенсор", Украина,

г. Чернигов, 14021, ул. Любечская 78,

Тел./факс: +38 (0462) 644-212,

Тел.: +38 (096) 842-42-42,

e-mail: [email protected]

www.piezosensor.com.ua Код ЕГРПОУ: 14247566

«____»____________ 2017 г. № _____________

На № ___________________ от _____________

А К Т впровадження у проектну діяльність ВАТ матеріалів дисертаційної роботи Сав-

ченко О.В. "Моделі і методи оптимізації деформівних дисипативних конструкцій з композиційних матеріалів при динамічних навантаженнях"

У відповідності з угодою про наукове співробітництво ВАТ "П'єзосенсор" і Чернігівського національного технологічного університету, отримані у ході ви-конання робіт результати досліджень, виконаних у рамках дисертаційної роботи Савченко О.В., знайшли застосування при проектуванні і виготовленні дослідних зразків продукції підприємства, зокрема, оптимальних конструкцій арочних металодетекторів, п'єзоелектричних сенсорів, силових актуаторів, а та-кож розробці і сертифікації сучасних засобів виміру і аналізу параметрів вібрації. Директор ООО "П'єзосенсор, кандидат технічних наук Ю.Г. Задорожний

423

ДОДАТОК Д

СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Савченко Е. В. Пассивное демпфирование колебаний композитных конс-

трукций: монографія // Нежин: ООО “Вид-тво “Аспект-Поліграф”. – 2006.

– 232 с.

2. Хильчевский В. В., Дубенец В. Г., Савченко Е. В. Оптимізація композитних

конструкцій з пасивним демпфіруванням // Пробл. прочности. – 2006. № 5.

– С. 128-134. (Індексується SCOPUS та Google Scholar).

3. Дубенець В. Г., Савченко О. В. Нестаціонарні коливання конструкцій із па-

сивним демпфіруванням // Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту. – 2006. –

№ 26. – С. 14-23.

4. Дубенець В. Г., Савченко О. В. Коливання циліндричної оболонки з в’язко-

пружних композиційних матеріалів // Вісн. Полтавської держ. аграрної

академії. – 2006. – С. 9-14.

5. Савченко О. В. Оптимальне проектування композитних пластин // Вісн.

Черніг. держ. технолог. ун-ту. – 2007. – №28. – С. 12-21.

6. Савченко Е. В. Методика оптимизации композитных пластин при динами-

ческих загрузках // Пробл. прочности. – 2008. – № 6. С. 91-99.

(Індексується SCOPUS та Google Scholar).

7. Савченко О. В., Савченко І. О. Метод пошуку глобального екстремуму в

задачах оптимізації конструкцій з композиційних матеріалів // Вісн. Черніг.


8. Дубенець В. Г., Савченко О. В., Ігнатенко А. С. Метод визначення реакції

в’язкопружних стрижнів на дію ударних навантажень // Проблеми обчис-

лювальної механіки і міцності конструкцій. – 2008. – № 12. – С. 74-81.

(Індексується Index Copernicus).

9. Савченко О. В. Максимізація демпфірування у пластинах // Вісн. Черніг.


424

10. Дубенець В. Г., Савченко О. В., Івашко Є. О. Нестаціонарні коливання еле-

ментів робототехнічних конструкцій з композиційних матеріалів // Пробл.

прочности. – 2009. – № 6. – С. 62-71. (Індексується SCOPUS та Google

Scholar).

11. Дубенец В. Г., Савченко О. В., Ігнатенко А. С. Нестационарные колебания

конструкций из композиционных материалов // Пробл. прочности. – 2010.

– № 2. – С. 77-82. (Індексується в SCOPUS та Google Scholar).

12. Дубенець В. Г., Савченко О. В. Оптимальне проектування пологих оболо-

нок з композиційних в'язкопружних матеріалів // Вісн. Черніг. держ.

технолог. ун-ту. – 2010. – № 45. – С. 21-29.

13. Дубенец В. Г., Савченко О. В. Задачи оптимального проектирования ком-

позитных конструкций, подверженных действию динамических загрузок //

Надійність і довговічність машин і споруд. – 2011. – № 34. – С. 117-123.

14. Дубенец В. Г., Савченко О. В. Задачі глобальної оптимізації багатошарових

оболонок із максимальним демпфуванням // Автоматизація виробничих

процесів у машинобудуванні та приладобудуванні. – 2011. – № 45. – С. 48-

55. (Індексується Google Scholar)

15. Савченко О. В. Еволюційні алгоритми глобальної оптимізації композитних

оболонок за критерієм максимального демпфірування // Вісн. Черніг. держ.

технолог. ун-ту. – 2006. – № 26. – С. 14-23.

16. Савченко Е. В. Многокритериальная оптимизация композитных оболочек

при ограничениях на параметры проекта и переменные состояния // Надій-

ність і довговічність машин і споруд. – 2012. – № 35. – С. 47-54.

17. Савченко О. В. Оптимальне проектування оболонок для роботи у заданому

частотному діапазоні // Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту. – 2012.– № 1

(55). – С. 39-45.

18. Савченко О. В. Задачі багатокритеріальної оптимізації елементів конструк-

цій з композиційних матеріалів // Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту. –

2012. – № 3 (59). – С. 29-36.

425

19. Савченко О. В. Задачі топологічної оптимізації композитних елементів

конструкцій з в'язкопружних матеріалів // Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-

ту. – 2012. – № 4 (61). – С. 26-34.

20. Савченко Е. В. Использование эволюционных алгоритмов в задачах опти-

мизации структуры композитных оболочек из вязкоупругих материалов //

Пробл. прочности. – 2013. – № 2. – С. 97-105. (Індексується SCOPUS та

Google Scholar).

21. Горбатко О. О., Савченко О. В. Оптимізація багатошарових елементів конс-

трукцій з композиційних матеріалів із різною структурою армуючих шарів

// Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту. Серія "Технічні науки". – 2013. – № 1

(63). – С. 20-27. (З 2013 р. індексується Google Scholar, eLIBRARY.RU).

22. Dubenets V. G., Savchenko O. V. Optimization of multilayered electro-

viscoelastic plates // Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-ту. Серія "Технічні на-

уки". – 2013. – № 2 (65). – С. 59-68. (Індексується Google Scholar,

eLIBRARY.RU).

23. Dubenets V. G., Savchenko O. V., Derkach O. L. Nonstationary vibrations of a

beam with electro-viscoelastic dissipative patches /// Вісн. Черніг. держ. тех-

нолог. ун-ту. Серія "Технічні науки". – 2013. – № 3 (67). – С. 53-61.

(Індексується Google Scholar, eLIBRARY.RU).

24. Dubenets V. G., Savchenko O. V., Derkach O. L. Аctive damping of nonstation-

ary vibrations in a beam with electro-viscoelastic patches // Вісн. Черніг. держ.

технолог. ун-ту. Серія "Технічні науки". – 2014. – № 1 (71). – С. 43-49. (Ін-

дексується Google Scholar, eLIBRARY.RU)

25. Савченко О. В. Оптимізація динамічних характеристик композитних бага-

тошарових оболонок //Вібрації в техніці та технологіях.– 2014.– № 4 (76). –

С. 34-43. (Індексується Google Scholar)

26. Дубенец В. Г., Савченко О. В. Задачи оптимального проектирования мно-

гослойных пластин из электровязкоупругих материалов // Вібрації в техніці

та технологіях. – 2015. – № 1 (77). – С. 90-96. (Індексується Google

Scholar).

426

27. Савченко О. В., Деркач О.Л., Ющенко С. М.: Визначення ефективних ди-

намічних характеристик електров’язкопружних композиційних матеріалів

// Технічні науки та технології. – 2015. – № 1 (1). – С. 14-23. (Індексується

Index Copernicus, Google Scholar, eLIBRARY.RU)


з п’єзоелектричною накладкою при дії електричного навантаження // Віб-

рації в техніці та технологіях. – 2016. – № 1 (81). – С.67-74. (Індексується

Google Scholar).


випадковому кінематичному збудженні // Вісн. Черніг. держ. технолог. ун-

ту. – 2005. – № 25. – С. 5-14.

30. Дубенець В. Г., Савченко О. В., Деркач О. Л. Нестаціонарні коливання

конструкцій з електров’язкопружними дисипативними накладками // Віб-

рації в техніці та технологіях. – 2015.– №1 (77). – С.15-21. (Індексується

Google Scholar).


с максимальным демпфированием // Прочность материалов и элементов

конструкций: Тр. Междунар. науч.-техн. конф. (Киев, 29-30 сентября 2011

г.). Отв. ред. В.Т. Трощенко. – Киев : Ин-т проблем прочности им.

Г. С. Писаренко НАН Украины, 2011. – С. 94-101.

32. Савченко Е. В. Демпфирование колебаний и оптимизация оболочек из ком-

позиционных материалов // Композиционные материалы в

промышленности : Матер. 25 Юбилейной междунар. конф. и выставки

(Ялта, 30 мая – 3 июня 2005 г.). – Киев : УИЦ «Наука. Техника. Техноло-

гия», 2005. – С. 171-173.

33. Хільчевський В. В., Дубенець В. Г., Савченко О. В. Оптимізація композит-

них конструкцій з пасивним демпфіруванням // Динаміка, міцність і ресурс

машин та конструкцій : Тези допов. Міжнар. наук.-тех. конф. (Київ, 1-4 ли-

стопада 2005 р.). Відп. ред. В. Т. Трощенко. В 2-х т. – Київ. Ін-т проблем

міцності ім. Г. С. Писаренка НАН України, 2005. – Т 2. – С. 357-358.

427

34. Дубенець В. Г., Савченко О. В. Коливання циліндричної оболонки з

в’язкопружних композиційних матеріалів // Проблеми та перспективи роз-

витку механізації агропромислового виробництва: Матер. міжнар. наук.-

практ. конф. (Полтава, 2-4 листопада 2006 р.). – Полтава: Полтавська дер-

жавна аграрна академія, 2006. – С. 22-23.

35. Савченко Е. В., Сластененко Е. С. Колебания пластин из композиционных

материалов при импульсных загрузках // Композиционные материалы в

промышленности : Матер. 26 Междунар. конф. (Ялта, 29 мая – 2 июня 2006

г.). – Киев : УИЦ «Наука. Техника. Технология», 2006. – С. 187-190.

36. Дубенец В. Г., Савченко Е. В. Нестационарные колебания конструкций из

композиционных материалов // Проблеми динаміки і міцності в газотурбо-

будуванні : Тез. допов. третьої міжнарод. наук.-техн. конф. (29-31 травня

2007 р., Київ). Під ред. В.Т.Трощенка і А.П.Зіньковського – Київ : Ін-т

проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України, 2007. – С. 63-64.

37. Савченко Е. В. Оптимальное проектирование композитных пластин // Про-

блеми динаміки і міцності в газотурбобудуванні : Тез. допов. третьої

міжнарод. наук.-техн. конф. (29-31 травня 2007 р., Київ). Під ред.



38. Дубенец В. Г., Савченко Е. В., Ивашко Е. А. Нестационарные колебания

элементов робототехнических конструкций из композиционных материа-

лов // Проблеми динаміки і міцності в газотурбобудуванні : Тез. допов.

третьої міжнарод. наук.-техн. конф. (29-31 травня 2007 р., Київ). Під ред.



39. Савченко О. В. Проектування композитних конструкцій з максимальним

демпфуванням// Композиционные материалы в промышленности : Матер.

27 Междунар. конф. (Ялта, 28 мая – 1 июня 2006 г.). – Киев : УИЦ «Наука.


428


ударних і кінематичних навантаженнях // Актуальні проблеми механіки

суцільного середовища і міцності конструкцій : Матер. міжнар. наук.-

практ. конф. пам’яті акад. В.І. Моссаковського (17-19 жовтня 2007 р.,

Дніпропетровськ). – Дніпропетровськ: ДНУ, 2007. – С. 249-251.

41. Дубенець В. Г., Савченко О. В., Ігнатенко А. С. Нестаціонарні коливання

циліндричних оболонок з композиційних в’язкопружних матеріалів при

імпульсних навантаженнях // Композиционные материалы в промышлен-

ности : Матер. 28 Междунар. конф. (Ялта, 26 - 30 мая 2008 г.). – Киев :


42. Савченко Е. В. Проектирование композитных оболочек с максимальным

демпфированием. // Композиционные материалы в промышленности : Ма-

тер. 28 Междунар. конф. (Ялта, 26 - 30 мая 2008 г.). – Киев : УИЦ «Наука.


43. Савченко Е. В. Максимизация демпфирования в конструкциях из компози-

ционных материалов. // Композиционные материалы в промышленности :

Матер. 29 Междунар. конф. и семинара (Ялта, 1 – 5 июня 2009 г.). – Киев :


44. Савченко Е. В., Савченко И. А. Оптимальное проектирование цилин-

дрических оболочек из композиционных материалов с вязкоупругими

свойствами // Композиционные материалы в промышленности : Матер. 30

Междунар. конф. и семинара (Ялта, 7-11 июня 2010 г.). – Киев : УИЦ «На-

ука. Техника. Технология», 2010. – С. 519-522.


с максимальным демпфированием// Міцність матеріалів та елементів конс-

трукцій : Тез. допов. міжнарод. наук.- техн. конф. В 2 -х т.– Київ : Ін-т

проблем міцності ім.. Г.С.Писаренка НАН України, 2010. – Т. 2. - С. 89-90.

46. Дубенец В. Г., Савченко Е. В. Задачи оптимального проектирования компо-

зитных конструкций для динамических загрузок // Проблеми динаміки і

міцності в турбомашинобудуванні : Тези допов. 4-ї Міжнар. наук.-техн.

429

конф. (31 травня-02 червня 2011 р., Київ) / Під ред. В.Т.Трощенка і

А.П.Зіньковського – Київ : Ін-т проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН

України, 2011. – С. 73-74.

47. Дубенец В. Г., Савченко Е. В. Оптимальное проектирование многослойных

элементов конструкций из композиционных материалов // Композицион-

ные материалы в промышленности: Матер. 31 Междунар. конф. и семинара

(Ялта, 6-10 июня 2011 г.). – Киев: УИЦ «Наука. Техника. Технология»,

2011.– С. 281-282.

48. Савченко Е. В. Задачи оптимального проектирования элементов конструк-

ций из композиционных материалов // Композиционные материалы в

промышленности : Матер. 32 Междунар. конф. и семинара (Ялта, 4-8 июня

2012 г.). – Киев: УИЦ «Наука. Техника. Технология», 2012. – С. 364-369.

49. Савченко О. В. Оптимізація динамічних характеристик композитних конс-

трукцій // Зб. праць 3-ї Міжнар. наук.-техн. конф. "Теорія та практика

раціонального проектування, виготовлення і експлуатації машинобудівних

конструкцій" (7-12 листопада 2012 р., м. Львів). – 2012. – С.129-130.

50. Савченко Е. В. Топологическая оптимизация композитных конструкций,

работающих при динамических загрузках // Композиционные материалы в

промышленности : Матер. 33 Междунар. конф. и семинара (Ялта, 27-31

мая 2013 г.). – Киев : УИЦ «Наука. Техника. Технология», 2013. – С. 314-

318.

51. Савченко Е. В. Топологическая оптимизация многослойных пластин из

электровязкоупругих материалов // Математичне та імітаційне моделюван-

ня систем. МОДС 2013: 8 Міжнар. наук.-практ. конф. Тези допов.

(Чернігів-Жукин, 24-28 червня 2013 р.). – Чернігів : Черніг. держ. технол.

ун-т, 2013. – С. 172-176.

52. Дубенец В. Г., Савченко Е. В. Задачи оптимального проектирования много-

слойных пластин из электровязкоупругих материалов // Проблеми

динаміки і міцності в турбомашинобудуванні : Тези допов. 5-ї Міжнар. на-

430

ук.-техн. конф. Під ред. А. П. Зіньковського – Київ : Ін-т проблем міцності

ім. Г.С.Писаренка НАН України, 2014. – С. 89-90.

53. Дубенец В. Г. Савченко Е. В., Деркач О. Л. Нестационарные колебания

конструкций с электровязкоупругими диссипативными накладками // Про-

блеми динаміки і міцності в турбомашинобудуванні : Тези допов. 5-ї

Міжнар. наук.-техн. конф. Під ред. А. П. Зіньковського – Київ : Ін-т про-

блем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України, 2014. – С. 91-92.


using genetic algorithms. PCM-CMM-2015 // 3rd Polish Congress of Mechanics

& 21st Computer Methods in Mechanics, (Gdansk, Poland, September 8th-11th

2015) : Short Papers, 2015. – Vol.1. – Р. 659-660.


з п’єзоелектричною накладкою при дії електричного навантаження // Тези

доповідей 14 Міжнар. наук-техн. конф. «Вібрації в техніці та технологіях»

(Дніпропетровськ, 21-25 вересня 2015 р.). – Дніпропетровськ : Нац. гірн. ун-

т, 2015. – С. 27-28.

56. Дубенець В. Г., Савченко О. В., Деркач О. Л. Активне демпфування неста-

ціонарних коливань балки з електров’язкопружними накладками Тези

допов. 6 Міжнар. наук.-практ. конф. «Комплексне забезпечення якості тех-

нологічних процесів та систем» (Чернігів, 26-29 квітня 2016 р.). – Чернігів :

Чер-ніг. нац. технол. ун-т, 2016. – С. 90-92.

57. Дубенец В. Г., Савченко Е. В., Деркач О. Л. Расчет на прочность композит-

ных лопастей ветрогенератора при динамических загрузках // Тези допов. 7

Міжнар. наук.-практ. конф. «Комплексне забезпечення якості технологіч-

них процесів та систем» (Чернігів, 24-27 квітня 2017 р.). – Чернігів :

Черніг. нац. технол. ун-т, 2017. – С.100-102.


тимізації з довільною кількістю критеріїв для задач проектування

конструкцій" [Савченко О. В., Савченко І. О.] заяв. 26.04.2016, реєстр.

24.06.2016. АС.

Міністерство освіти і науки України...

Documents