Θετικό σηµειακό φορτίο q βρισκεται σε απόσταση D από το κέντρο µιας κοίλης µεταλλικής σφαίρας ακτίνας R (R<D), η οποία είναι προσγειωµένη. i) Nα δείξετε ότι το µεταξύ του φορτίου q και της σφαίρας δηµιουρ γούµενο ηλεκτροστατικό πεδίο είναι ισοδύναµο µε το πεδίο που δηµι ουργεί το φορτίο q και ένα άλλο φορτίο q’=-qR/D το οποίο βρίσκεται στο εσωτερικό της σφαίρας µεταξύ του q και του κέντρου της O, σε απόσταση R2/D από αυτό. ii) Nα βρείτε την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο φορτίο q, ώστε αυτό να αποµακρυνθεί σε άπειρη απόσταση από τη σφαίρα. ΛYΣH: i) Tο θετικό φορτίο q δηµιουργεί εξ’ επαγωγής πάνω στην εξωτερική επιφάνεια της µεταλλικής σφαίρας αρνητικό φορτίο, µε αποτέλεσµα να σχηµα τίζεται µεταξύ της σφαίρας και του φορτίου q ένα ηλεκτροστατικό πεδίο. Oι δυναµικές γραµµές του πεδίου αυτού παρουσιάζουν συµµετρία ως προς την ευθεία OA (σχήµα 1) πού σηµαίνει ότι αυτές που καταλήγουν στην εξωτερική επιφάνεια της σφαίρας, προεκτεινόµενες νοερά, τεµνονται σ’ ένα σηµείο A’ της OA. Στο σηµείο αυτό µπορούµε να θεωρήσουµε κατάλληλο ηλεκτρικό φορτίο

Σχήµα 1 q’,το οποίο µαζί µε το q να δηµιουργεί στον εξωτερικό χώρο της σφαίρας ηλεκ τρικό πεδίο ταυτιζόµενο µε εκείνο που υπάρχει στον χώρο αυτόν. Eίναι προ φανές ότι στο πεδίο αυτό, η σφαίρα αποτελεί ισοδυναµική επιφάνεια µε µηδε νικό δυναµικό. Έτσι εάν θεωρήσουµε ένα τυχαίο σηµείο M της εξωτερικής επιφάνειας της σφαίρας, του οποίου η θέση καθορίζεται από την γωνία φ, θα έχουµε την σχέση:

VM= 0 !

1

4!"0

q

r+

1

4!"0

q'

r'= 0 !

q

r+

q'

r'= 0 (1)

όπου r, r’ οι αποστάσεις του σηµείου M από τα φορτία q και q’ αντιστοίχως. Eφαρµόζοντας το νόµο του συνηµιτόνου στα τρίγωνα AOM και A’OM αντιστοί

χως, παίρνουµε τις σχέσεις:

�

r2

= D2+ R

2- 2RD!"#$

r'2= x

2+ R

2- 2Rx!"#$

!

"

#

!

�

r = D2+ R

2- 2RD!"#$

r'= x2+ R

2- 2Rx!"#$

!

" #

$ # (2)

όπου x η απόσταση OA’. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε:

q

D2 +R2 - 2RD!"#$

+q'

x2 +R2 - 2Rx!"#$= 0 !

q2

D2+R

2- 2RD!"#$

=q'2

x2+R

2- 2Rx!"#$

!

q

2(x

2+R

2)- 2q

2xR!"#$ = q'

2(D

2+R

2)- 2q'

2DR!"#$ (3)

Για να ισχύει η (3) δια κάθε σηµείο της εξωτερικής επιφάνειας της σφαίρας, δηλαδή για 0 ≤ φ ≤2π, πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:

q2(x

2+R

2) = q'

2(D

2+R

2) !

q2

q'2 =

D2 +R2

x2+R

2 (4)

και

2q2xR = 2q'

2DR !

q2

q'2 =

D

x (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε την σχέση:

D2+R

2

x2+R

2=

D

x ! (D

2+R

2)x = Dx

2+DR

2 !

x

2- (D+R

2/D)x +R

2= 0 (6)

H (6) αποτελεί εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς x, της οποίας οι ρίζες είναι D και R2/D, από τις οποίες η πρώτη απορρίπτεται διότι το σηµείο A’ είναι διά φορο του A. Άρα για την απόσταση x ισχύει η σχέση: x = R

2/D (7)

Θέτοντας την τιµή του x στην σχέση (5) έχουµε:

q2

q'2 =

D2

R2 !

q'

2=

q2R2

D2 !

q'= ±

qR

D (8)

Eπειδή το φορτίο q’ είναι ετερόσηµο του q, η σχέση (8) είναι δεκτή µόνο µε το πρόσηµο µείον, δηλαδη θα έχουµε:

�

q'= -qR/D (9)

ii) H δύναµη

!

F q που δέχεται το σηµειακό φορτίο q από το επαγωγικό φορτίο που υπάρχει στην εξωτερική επιφάνεια της σφαίρας, είναι ίδια µε την δύναµη Coulomb που δέχεται το q από το q’, δηλαδή ισχύει η σχέση:

Fq =1

4!"0

q q'

#2 =

q2R

4!"0D

1

#2 (10)

όπου ψ η εκάστοτε απόσταση του q από το q’. Tο έργο της

!

F q που αντιστοιχεί σε µετατόπιση του q από τη θέση A στο άπειρο είναι:

W!

F q= (Fq

D-x

+!

" d!"#$%) = - (Fq

D-x

+!

" d!) !(10)

W!

F q= -

q2R

4!"0DD-x

+!

"d#

#2 = -

q2R

4!"0D

d#

#2

D-x

+!

" !

W!

F q= -

q2R

4!"0D-1

#

!

" #

$

% &

D'x

+(

= -q2R

4!"0D

1

D-#

)

* +

,

- . !

W!

F q= -

q2R

4!"0D

1

D-R2/D

!

" #

$

% & = -

q2R

4!"0

1

D2-R

2( ) (11)

Eίναι προφανές ότι η ενέργεια W που πρέπει να προσφερθεί στο φορτίο q, ώστε αυτό να αποµακρυνθεί σε άπειρη απόσταση από την σφαίρα, είναι ίσο µε την απόλυτη τιµή του

W!

F q, δηλαδή ισχύει:

W = W!

F q=

q2

4!"0

R

D2-R

2

!

" #

$

% &

P.M. fysikos

Ένα σωµατίδιο άλφα βάλλεται από µεγάλη απόστα ση εναντίον ακίνητου βαρέως πυρήνα, µε ταχύτητα

! v

0 της οποίας ο

φορέας απέχει απόσταση b από τον πυρήνα. i) Nα δείξετε ότι η τροχιά του σωµατιδίου είναι υπερβολή, της οποίας η εξωτερική εστία ταυτίζεται µε τον ακίνητο πυρήνα. ii) Eάν φ είναι η γωνία εκτροπής του σωµατιδίου από την αρχική του διεύθυνση (γωνία σκέδασης), να δείξετε την σχέση:

�

!""

2

!

" #

$

% & =

2#$0mv0

2

Zqe

2'b

όπου m η µάζα ηρεµίας του σωµατιδίου άλφα, Z ο ατοµικός αριθµός

του πυρήνα, qe το ηλεκτρικό φορτίο του ηλεκτρονίου και ε0 η απόλυ τη διηλεκτρική σταθερά του κενού. Nα δεχθείτε ότι η αρχική ταχύτη τα του σωµατιδίου άλφα δεν µας αναγκάζει να το θεωρούµε ως σχετι κιστικό σωµατίδιο. ΛYΣH: i) Tο σωµατίδιο άλφα δέχεται σε κάθε θέση M της τροχιάς του δύναµη Coulomb

!

F c από τον ακίνητο πυρήνα Π της οποίας ο φορέας διέρχεται από τον

πυρήνα, δηλαδή η

!

F c είναι κεντρική δύναµη, γεγονός που εξασφαλίζει ότι η

τροχιά του σωµατιδίου είναι επίπεδη και µάλιστα βρίσκεται στο επίπεδο που καθορίζει ο φορέας της

! v

0 και ο πυρήνας Π. Eξάλλου το µέτρο της

!

F c δίνεται

από τον νόµο του Coulomb, δηλαδή από την σχέση:

Fc =1

4!"0

Z qe !2 qe

r2 =

Zqe

2

2!"0

1

r2 =

K

r2 (1)

µε K = Zqe

2/2!"0 , ενώ r είναι η εκάστοτε απόσταση του σωµατιδίου από τον πυ

ρήνα. Λόγω της

!

F c το σωµατίδιο έχει δυναµική ενέργεια U(r), για την οποία

ισχύει η σχέση: U(r) = K/r (2)

Σχήµα 2 Όµως η δύναµη

!

F c είναι συντηρητική, οπότε η µηχανική ενέργεια E του σωµα

τιδίου διατηρείται σταθερή και ίση µε την αρχική του κινητική ενέργεια m v0

2/2, αφού η αρχική του δυναµική ενέργεια είναι µηδενική, λόγω της µεγά λης αρχικής του απόστασης από τον πυρήνα. Έτσι αν

! v είναι η ταχύτητα του

σωµατιδίου στην θέση M, θα ισχύει:

1

2mv

2+

K

r=

1

2mv

0

2= E (3)

Aκόµη η στροφορµή

�

! L του σωµατιδίου περί τον πυρήνα Π διατηρείται σταθερή

και στην περίπτωσή µας έχει µέτρο που δίνεται από την σχέση:

�

L = mv0b (4)

Όµως εάν

! v

! είναι η κάθετη στην επιβατική ακτίνα συνιστώσα της ταχύτητας

! v , θα ισχύει για το µέτρο της στροφορµής και η σχέση:

�

L = mrv!

= mrrd!

dt

!

" #

$

% & = mr

2d!

dt

!

" #

$

% & !

�

d!

dt=

L

mr2 (5)

όπου θ η γωνία της επιβατικής ακτίνας

! r µε τον πολικό άξονα Πx. Eξάλλου,

εάν

! v

r είναι η ακτινική συνιστωσα της

! v θα ισχύει:

v2= v

r

2+v

!

2=

dr

dt

!

" #

$

% &

2

+r2 d!

dt

!

" #

$

% &

2

!(5)

�

v2=

dr

dt

!

" #

$

% &

2

+r

2L

2

m2r

4=

dr

dt

!

" #

$

% &

2

+L

2

m2r

2 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (6) παίρνουµε την σχέση:

�

m

2

dr

dt

!

" #

$

% &

2

+L

2

2mr2

+K

r= E (7)

H στιγµιαία επιτάχυνση

! a του σωµατιδίου έχει µόνο ακτινική συνιστώσα και

σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα θα ισχύει:

ma = Fc !

md

2r

dt2- r

d!

dt

!

" #

$

% &

2'

(

) )

*

+

, , =

K

r2 !

(5)

�

d2r

dt2

- rL

2

m2r

4

!

" #

$

% & =

K

mr2 !

�

d2r

dt2

-L

2

m2r

3=

K

mr2 (8)

H (8) αποτελεί µια διαφορική εξίσωση για την λύση της οποίας χρησιµοποιούµε τον µετασχηµατισµό u=1/r, από τον οποίο µε διαφόριση προκύπτει:

du = -

dr

r2 !

dr

dt= -r

2 du

dt !

dr

dt= -r

2 du

d!

d!

dt

!

" #

$

% & !

(5)

�

dr

dt= -r

2du

d!

L

mr2

!

" #

$

% & = -

L

m

du

d!

!

" #

$

% & !

�

d

dt

dr

dt

!

" #

$

% & = -

L

m

d

dt

du

d!

!

" #

$

% & !

�

d2r

dt2

= -L

m

d

d!

du

d!

!

" #

$

% &

d!

dt

!

" #

$

% & !

(5)

�

d2r

dt2

= -L

m

d2u

d!2

!

" #

$

% &

L

mr2

!

" #

$

% & !

�

d2r

dt2

= -L

2

m2u

2d

2u

d!2

!

" #

$

% & (9)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) παίρνουµε:

�

-L

2

m2u

2d

2u

d!2

!

" #

$

% & -

L2u

3

m2

=Ku

2

m !

�

d2u

d!2

+ u = -Km

L2 (10)

H διαφορική εξίσωση (10) είναι µια τυπική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής:

�

u =1

r= A!"#($ - $0) -

Km

L2 (11)

όπου θ0, A σταθερές ολοκλήρωσης. Eπιλέγοντας κατάλληλα τον πολικό άξονα Πx µπορούµε να πετύχουµε θ0=0, ενώ η σταθερά A θα προκύψει από το γεγο νός ότι, όταν το σωµατίδιο άλφα βρίσκεται στην εγγύτερη προς τον πυρήνα θέση του η απόστασή του r θα λάβει τη µικρότερη τιµή της rmin και την στιγµή αυτή θα ισχύει (dr/dt)=0, οπότε η (7) δίνει:

�

0 +L

2

2mrmin

2+

K

rmin

= E !

�

1

rmin

2+

2Km

L2

!

" #

$

% &

1

rmin

-2Em

L2

= 0 (12)

H (12) είναι εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς 1/rmin µε ρίζες ετερόσηµες, οπότε δεκτή είναι η θετική ρίζα:

�

1

rmin

= -Km

L2

+Km

L2

!

" #

$

% &

2

+2Em

L2 (13)

Eξάλλου για θ=0 έχουµε από την (11) ότι r=rmin, δηλαδή ισχύει:

�

1

rmin

= A -Km

L2 (14)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (13) και (14) έχουµε:

�

A -Km

L2

= -Km

L2

+Km

L2

!

" #

$

% &

2

+2Em

L2 !

�

A =Km

L2

!

" #

$

% &

2

+2Em

L2

=m

L

K

L

!

" #

$

% &

2

+2E

m (15)

H σχέση (11) µπορεί να µετασχηµατιστεί σε µια πιο απλή µορφή ως εξης:

�

1

r=

Km

L2

AL2

Km!"#$ - 1

!

" #

$

% & !

�

r =AL

2/m

AL2!"#$ /Km - 1

=%

e!"#$ - 1 (16)

µε α=(L2/Km)>0 και e=(AL2/Km)>0. H σχέση (16) αποτελεί την εξίσωση σε πολι κές συντεταγµένες, µιας κωνικής τοµής µε εκκεντροτητα e, η οποία µε βάση την (15) γράφεται:

�

e =m

L

K

L

!

" #

$

% &

2

+2E

m

L2

Km

!

" #

$

% & =

L

K

K

L

!

" #

$

% &

2

+2E

m !

�

e = 1+2EL

2

K2m

> 1 (17)

δηλαδή η τροχιά του σωµατιδίου άλφα είναι υπερβολή, µε εξωτερική εστία τον πυρήνα Π. ii) Aπό την εξίσωση της τροχιάς (σχέση 16) προκύπτει ότι, για συνθ=1/e η απόσταση r απειρίζεται, που σηµαίνει ότι η υπερβολή που διαγράφει το σωµατί διο άλφα παρουσιάζει δύο πλάγιες ασύµπτωτες, οι οποίες είναι συµµετρικές µεταξύ τους ως προς τον πολικό άξονα Πx. Oι ασύµτωτες αυτές τέµνονται στο σηµείο O του πολικού άξονα και σχηµατίζουν µε αυτόν γωνία θ0, η οπoία απο τελεί την οριακή τιµή της γωνίας θ, όταν r→+∞, δηλαδή η γωνία θ0 ικανοποιεί την σχέση:

�

1

!"#2$

0

= 1+2EL

2

K2m

!

�

1 -!"#2$

0

!"#2$

0

=2EL

2

K2m

!

�

!"2#0

=2EL

2

K2m

!

�

!"#0

=L

K

2E

m (18)

Όµως η γωνία σκεδάσεως φ του σωµατιδίου άλφα αποτελεί την εκτροπή του από την αρχική του κατεύθυνση και συνδέεται µε την γωνία θ0 µέσω της σχέσε ως:

! ="-2#0 ! !0 = ("/2) - (#/2) ! !"#0 = !" ($/2) - ("/2)[ ] !

!"#0=$"("/2) !(18)

�

!"("/2) =L

K

2E

m=

mv0b(2#$0v0)

Zqe

2 !

!""

2

!

" #

$

% & =

2#$0mv0

2

Zqe

2 'b (19)

Παρατήρηση: H απόσταση b ονοµάζεται παράµετρος κρούσεως του σωµατιδίου άλφα µε τον πυρήνα και η αύξησή της προκαλεί ελάττωση της γωνίας σκεδάσεως, όπως γίνεται φανερό από την σχέση (19).

P.M. fysikos