МЕТОДЫ РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ...

Томский политехнический университет

Ю.В. Хрущев

МЕТОДЫ РАСЧЕТАУСТОЙЧИВОСТИЭНЕРГОСИCТЕМ

Учебное пособие

Томск 2005

Хрущев Ю.В. Методы расчета устойчивости энергоси#стем. Учебное пособие. – Томск: STT, 2005. – 176 с.

ISBN 5�93629�182�0

Рассматривается цикл вопросов, связанных с анализом устойчи�

вости работы энергосистем: общая методология решения систем диф�

ференциальных уравнений; элементы операционного исчисления и те�

ории автоматического регулирования; математические методы иссле�

дования устойчивости линейных систем; математические модели энер�

госистем; практические методы расчета апериодической статической

устойчивости энергосистем; методы численного решения дифферен�

циальных уравнений.

Учебное пособие предназначается для студентов электроэнергети�

ческих специальностей. Может быть полезным для магистрантов и ас�

пирантов этих специальностей.

УДК 621.311

Рецензенты:

П.И. Бартоломей,

доктор технических наук, профессор (УГТУ–УПИ);

Б.В. Лукутин,

доктор технических наук, профессор (ТПУ);

А.Г. Фишов,

доктор технических наук, профессор (НГТУ).

УДК 621.311

ISBN 5�93629�182�0

Х95

© Ю.В. Хрущев, 2004

© Томский политехнический университет, 2004

ВВЕДЕНИЕ

3

ВВЕДЕНИЕ

В1. Цель и объект изучения дисциплины

Целью преподавания и изучения дисциплины «Методы рас�

чета устойчивости энергосистем» является подготовка студен�

тов к осмысленному восприятию и применению обширного

профессионального математического обеспечения расчетов

статической и динамической устойчивости энергосистем. Пре�

дусматривается, что в результате изучения дисциплины студен�

ты овладеют математическими методами исследования ус�

тойчивости энергосистем, научатся грамотно формулировать

задачи расчетов и определять необходимые уровни упроще�

ния при разработке соответствующих математических моде�

лей энергосистем.

Многолетний опыт преподавательской работы показывает,

что после изучения разделов высшей математики, электротех�

ники и электромеханических переходных процессов у студен�

тов формируются фрагментарные представления о взаимосвя�

зи между математическими методами анализа и практически�

ми приемами расчета устойчивости энергосистем. Поэтому

важной задачей дисциплины является развитие комплексного

представления о математических основах теории устойчивос�

ти, математических моделях энергосистем, практических ме�

тодах анализа их апериодической статической устойчивости.

Соответственно, во взаимосвязи рассматривается вся после�

довательность действий инженера от постановки задачи до

получения результата. При этом большое внимание уделя�

ется задачам моделирования процессов при анализе устой�

чивости энергосистем.

МЕТОДЫ РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ ЭНЕРГОСИCТЕМ

4

Основу учебного пособия составляет конспект лекционно�

го курса, подготовленного с использованием известных учеб�

ников и монографий [1...12].

Содержание учебного пособия полностью соответствует ра�

бочей программе одноимённой дисциплины [13], преподавае�

мой студентам специальности 100200 – Электроэнергетичес�

кие системы и сети – в Томском политехническом универси�

тете. Закрепление теоретических знаний у студентов осуществ�

ляется посредством самостоятельного решения комплекса за�

дач [13] и выполнения двух лабораторных работ [14].

В2. Модели объектов и явлений

В науке и технике используется большое количество моде�

лей, отражающих те или иные стороны объектов и явлений.

Модели эти разнообразны, и для того, чтобы сформулировать

некоторое обобщенное понятие, необходимо выделить то об�

щее, что присуще всем моделям. Это общее заключается в на�

личии некой структуры (статической или динамической), ко�

торая действительно подобна или рассматривается в качестве

подобной структуре другой системы.

Модель, таким образом, – это естественный или искусствен�

ный объект, находящийся в соответствии с изучаемым объек�

том или, точнее, с какой�либо из его сторон [1].

В процессе изучения модель служит относительно самосто�

ятельным «квазиобъектом», позволяющим получить при иссле�

довании некоторые знания о нем самом.

В каждом явлении, в частности, в каждом режиме электри�

ческой системы содержится бесконечное количество различ�

ных процессов. Инженер должен выделить из этого множества

те конкретные процессы, которые в данной постановке задачи

для достижения поставленной цели его интересуют. При этом

во всяком явлении остается множество еще скрытых для ис�

следователя пока не ясных процессов.

Для того, чтобы перейти далее к количественным исследова�

ниям, необходимо, прежде всего, составить общую описательную

модель (рис. В1), в которую войдут только определенным образом

5

ВВЕДЕНИЕ

Рисунок В1


6

отобранные, существенные для данной задачи процессы, охарак�

теризованные с рядом принятых допущений. Общая описатель�

ная модель составляется в форме текста, в котором могут со�

держаться какие�либо количественные или качественные оцен�

ки.

Общая описательная модель позволяет после дальнейших

допущений перейти к математическому описанию явления в

виде алгебраических, дифференциальных или интегральных

уравнений и соотношений, отражающих связи между отдель�

ными переменными, участвующими в общей описательной мо�

дели [2].

После получения математического описания можно соста�

вить математическую модель интересующего явления. Она бу�

дет отражать исследуемое явление в удобной для математичес�

кого изучения форме, но при еще большей стилизации, кото�

рая кроме допущений, сделанных на предыдущих этапах,

предусматривает новые допущения. Они связаны с тем, что ма�

тематическую модель должны составить не все соотношения

математического описания, а только те их модификации (урав�

нения, схемы замещения и т.д.), которые будут пригодны для

количественного исследования.

Математическая модель со сформулированными операци�

онными и функциональными задачами является основой для

последующей разработки алгоритмов.

Количественное решение, проводимое или как аналитичес�

кое решение (решение в квадратурах), или как численное ре�

шение на ЦВМ, или как исследование на какой�либо модели

– физической, натурной, аналоговой, кибернетического типа

и т.д., в свою очередь обязательно сопровождается рядом до�

пущений. Эти допущения, прежде всего, вызваны необходи�

мостью конкретизации расчетных условий и соответствующе�

го упрощения математической модели. При решении в квад�

ратурах на ее основе получают аналитические зависимости, а

при численном решении вводятся конечные интервалы для рас�

смотрения непрерывного процесса. При построении аналого�

вых моделей также требуется некоторая стилизация исходных

уравнений, достигаемая вводом тех или иных допущений.

Физическая модель представляет собой уменьшенную ко�

7

ВВЕДЕНИЕ

пию объекта. В качестве натурных моделей объектов исполь�

зуются аналогичные объекты. Следует отметить, что физичес�

кая и натурная модели могут быть построены и на основе об�

щей описательной модели. После проведения соответствующих

экспериментов такие модели дадут окончательное решение, но

без математического решения.

Каким бы путем не было получено решение (см. рис. В1)

оно нуждается в апробации, без которой ценность его ничтож�

на. Апробация заключается в обосновании соответствия резуль�

татов решения с действительным явлением или, в крайних слу�

чаях, в сопоставлении между собой решений, полученных раз�

личными способами [2].

8

МЕТОДЫ РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ ЭНЕРГОСИСТЕМ

Глава 1

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫМОДЕЛИРОВАНИЯ ПЕРЕХОДНЫХПРОЦЕССОВ В ЭНЕРГОСИСТЕМАХ

1.1. Нормальная системадифференциальных уравнений

В настоящее время теория переходных процессов и управ�

ления ими охватывает широкий круг математических методов.

Используются алгебраические, дифференциальные, интеграль�

ные и разностные уравнения для исследования систем управ�

ления с обратной связью, логические соотношения для иссле�

дования переключающих автоматических устройств, вариаци�

онные методы для решения задач оптимизации параметров

процессов и устройств.

Однако собственно переходные процессы описываются с

помощью дифференциальных уравнений, которые дают воз�

можность изображать математически не только состояния, но

и процессы.

В связи с высокой сложностью электроэнергетических объек�

тов для исследования переходных процессов в них используются

как отдельные дифференциальные уравнения, так и их системы.

Системой дифференциальных уравнений называется совокуп�

ность уравнений, в каждое из которых входит независимая пе�

ременная, искомые функции и их производные [3].

Будем далее независимую переменную обозначать буквой t, а не�

известные функции этой переменной (то есть зависимые пере�

менные) или через x1(t), x2(t), …, xn(t), или, если их не больше трех,

9

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ...

через x(t), y(t), z(t). Производные будем обозначать точками над бук�

вами.

Всегда предполагается, что число уравнений равно числу

неизвестных функций, например:

+−=+++=

;tyxy;tyxx

52312

&&

(1.1)

=++=−+=++

.txxx;txxx;xxxxt

0202202

213

132

3121

&&&

&&&

(1.2)

Решением системы дифференциальных уравнений называется

совокупность функций

х1 = х1(t), х2 = х2(t), …, хn = xn(t),

которая при подстановке в каждое из уравнений системы пре�

вращает его в тождество.

При изучении переходных процессов в электрических систе�

мах приходится иметь дело как с произвольными системами диф�

ференциальных уравнений, так и с нормальными системами.

Нормальной системой дифференциальных уравнений называ�

ется система уравнений вида [3]:

( , , ,..., );( , , ,..., );

...................................( , , ,..., ).

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2

n

n

n n n

x f t x x x

x f t x x x

x f t x x x

= = =

&

&

&

(1.3)

Например, нормальной является первая из приведенных

выше систем.

1.2. Приведение систем дифференциальныхуравнений к нормальной форме

Важность изучения именно нормальных систем следует из

того, что для таких систем хорошо разработаны аналитические

и численные методы решения. Во многих случаях произволь�

10


но заданную систему дифференциальных уравнений удается

привести к нормальной. Так, например, система

=+−=−+

tyyx;xyx

&&&&

302

(1.4)

приводится к нормальной, если разрешить данные уравнения

относительно производных:

( );

( ).

13 2 2

5

1

5

x x y t

y x y t

= − + = + −

&

&(1.5)

Система уравнений

;,

1 2

2 1 2

0

2 0

x tx

x x x

+ = + − =

&&

&& & (1.6)

содержащая производные второго порядка, приводится к нор�

мальной при помощи введения новых вспомогательных неиз�

вестных функций ,1 3 2 4

x x x x= =& & .

Тогда и заданная система заменяется следующей нормаль�

ной системой

;;

;.

1 3

2 4

3 2

4 2 32

x x

x x

x tx

x x x

= = = − = −

&

&

& (1.7)

Одно дифференциальное уравнение n�го порядка, разре�

шенное относительно старшей производной, с помощью вве�

дения новых вспомогательных функций всегда можно свести к

нормальной системе дифференциальных уравнений [3].

Введем, например, для уравнения третьего порядка

)x,x,x,t(fx &&&&&& = (1.8)

две новые вспомогательные функции ,y x y x= = =& &&&z .

Тогда заданное уравнение (1.8) заменяется системой трех

уравнений

11


===

),z,y,x,t(fz;zy;yx

&&&

(1.9)

которая является случаем нормальной системы (1.3).

Для уравнения n�го порядка число вспомогательных функ�

ций будет равно n#1. В обычно встречающихся случаях верно и

обратное утверждение: нормальная система уравнений может

быть заменена одним дифференциальным уравнением, порядок

которого равен числу уравнений системы [3].

Рассмотрим, например, систему уравнений

;;

.

x yy zz x y z

= = = − +

&

&

&

(1.10)

Продифференцируем первое уравнение по переменной t и

заменим производную y& ее выражением из второго уравнения:

zyx == &&& . Продифференцируем еще раз это уравнение и заме�

ним производную z& ее выражением из третьего уравнения:

zyxzx +−== &&&& . Так как xy &= , а xz &&= , то xxxx &&&&&& +−= . Окон�

чательно получим

0=−+− xxxx &&&&&& , (1.11)

то есть линейное дифференциальное уравнение третьего по�

рядка с постоянными коэффициентами.

1.3. Решения систем дифференциальных уравнений

Отметим, что в процессе исключения функций y и z в (1.10)

мы выразили их через функцию х и ее производные. Найдя об�

щее решение полученного дифференциального уравнения

(1.11) третьего порядка, получим выражение для функции х,

зависящее от трех произвольных постоянных. Неизвестные

функции y и z находятся уже не при помощи интегрирования,

а из их выражений через найденную функцию. Таким образом,

общее количество произвольных постоянных не изменяется и

составляет величину, равную порядку системы.

.

12


Решим полученное уравнение (1.11). Соответствующее ему

характеристическое уравнение

р3 – p2 + p – 1 = (р2 + 1)(р – 1) = 0 (1.12)

имеет корни: р1 = 1, р2,3 = ±j. Следовательно [2],

х = С1 et + С2 cost + C3 sint.

Поскольку xz;xy &&& == , то

y = С1et – С2 sint + C3 cost;

z = С1 et – С2 cost – C3 sint.

Такое же решение можно получить непосредственно для си�

стемы (1.10).

Рассмотрим общую процедуру поиска решений нормальных

систем дифференциальных уравнений. Общее решение нор�

мальной системы

( , , ,..., );( , , ,..., );

...................................( , , ,..., )

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2

n

n

n n n

x f t x x x

x f t x x x

x f t x x x

= = =

&

&

(1.13)

имеет вид

=

==

),C,...,C,C,t(x...................................

);C,....,C,C,t(x);C,...,C,C,t(x

nn

n

n

214

2122

2111

ϕ

ϕϕ

(1.14)

где С1, С2, …, Сn – произвольные постоянные.

Начальные условия, при помощи которых из общего реше�

ния выделяется частное, задаются следующим образом:

x1/t = to = x10, x2/ t = to = x20, …, xn/ t = t0= xno .

Подставив эти значения переменных в общее решение

(1.14), получим систему уравнений для определения произволь�

ных постоянных:

13


( , , ,..., ) ;( , , ,...., ) ;

...................................( , , ,..., ) .

1 0 1 2 10

2 0 1 2 20

0 1 2 0

n

n

n n n

t C C C x

t C C C x

t C C C x

ϕϕ

ϕ

= = =

(1.15)

Для нормальных систем дифференциальных уравнений

имеет место теорема, гарантирующая существование и един�

ственность частного решения.

Теорема. Если правые части нормальной системы непрерывны

вместе со своими частными производными в окрестности значе#

ний t0, x10, x20, …, xn0, то существует единственная система

функций x1(t), x2(t), …, xn(t), являющаяся решением системы и

удовлетворяющая заданным начальным условиям [3].

Следует отметить, что решение вида (1.14, 1.15) для систем

нелинейных дифференциальных уравнений в аналитической

форме, как правило, недостижимо. Для них используются чис�

ленные методы решения.

1.4. Матричная форма записи системылинейных дифференциальных уравнений и

ее решение

В технической литературе широко применяется удобная

матричная форма записи линейных дифференциальных урав�

нений.

Пусть дана нормальная система однородных линейных диф�

ференциальных уравнений [3]

... ;... ;

................................................ .

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn n

x a x a x a x

x a x a x a x

x a x a x a x

= + + + = + + + = + + +

&

&

&

(1.16)

Коэффициенты n1,ji,,aij = могут быть функциями от t

(непрерывными); в частном случае просто постоянными. Вве�

дем в рассмотрение матрицу коэффициентов системы

.

14


=

nnnn

n

n

a...aa.................

a...aaa...aa

A

21

22221

11211

и матрицу�столбец X(t), элементами которой являются неиз�

вестные функции хi(t), n1,i = , а также матрицу�столбец )t(X& ,

составленную из производных ( )txi& , n1,i = :

=

)t(x........

)t(x)t(x

)t(X

n

2

1

;

=

)t(x........

)t(x)t(x

)t(X

n&

&&

& 2

1

.

Говорят также, что X(t) есть векторная функция (вектор#фун#

кция) скалярного аргумента t с координатами x1(t), x2(t), …, xn(t).

В дальнейшем матрицы�столбцы X(t) и (t)X& будем обозначать

коротко через Х и X& .

Произведение матрицы А на вектор�функцию Х есть снова

вектор�функция [3].

+++

++++++

=

=

nnnnn

nn

nn

nnnnn

n

n

xa...xaxa......................................

xa...xaxaxa...xaxa

x...xx

a...aa.................

a...aaa...aa

AX

2211

2222121

1212111

2

1

21

22221

11211

(1.17)

Элементы вектор�функции в правой части (1.17) представ�

ляют собой правые части системы уравнений (1.16); поэтому

ее кратко можно записать в виде одного матричного диффе�

ренциального уравнения

AXX =& . (1.18)

Общее решение системы линейных дифференциальных урав�

нений (1.16, 1.18) в развернутой (координатной) форме выгля�

дит так:

15


x1(t) = С1х11(t) + C2x12(t) + … + Cnx1n(t);

x2(t) = С1х21(t) + C2x22(t) + … + Cnx2n(t);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1.19)

xn(t) = С1хn1(t) + C2xn2(t) + … + Cnxnn(t).

В компактной матричной форме это решение можно запи�

сать следующим образом:

Х = W·C, (1.20)

где

=

=

nnnnn

n

n

C....CC

C;

)t(x...)t(x)t(x...............................

)t(x...)t(x)t(x)t(x...)t(x)t(x

W 2

1

21

22221

11211

.

Рассматривая каждый столбец матрицы W как некоторое ре�

шение системы уравнений (1.16), которое действительно при

подстановке в эту систему обращает ее в тождество, общее ре�

шение (1.19) можно выразить в виде линейной комбинации из

решений, то есть

Х = С1X1 + С2X2 + … + СnXn, (1.21)

где .n,i,

)t(x.........

)t(x)t(x

X

ni

i

i

i 12

1

=

=

Формульные выражения компонент вектор�функций (ре�

шений) Хi, n,i 1= определяются видом корней характеристи�

ческого уравнения системы (1.16, 1.18). В общем случае эти

компоненты представляют собой экспоненциальные зависи�

мости

.n,iKe

k.....kk

e

ek...........

ekek

X itp

ni

i

i

tp

tpni

tpi

tpi

iii

i

i

i

12

1

2

1

==

=

= (1.22)

16


Здесь kji, j n1,= , являются компонентами собственных век#

торов Ki, n1,i = [3] матрицы А, а величины pi, n1,i = – ее соб#

ственными числами, которые одновременно являются корнями

характеристического уравнения системы (1.16, 1.18).

Собственные числа и соответствующие этим числам соб�

ственные векторы матрицы А являются ее числовыми показа�

телями. С матрицей А собственные числа и собственные век�

торы связаны соотношениями:

АКi = piKi, n1,i = . (1.23)

Для вычисления таких показателей разработано несколько

математических методов [4].

1.5. Характеристическое уравнение системылинейных дифференциальных уравнений

Для получения характеристического уравнения системы

(1.16, 1.18) заменим в (1.16) символ дифференцирования d/dt

оператором р, то есть примем, что

iii px/dtdxx ==& , n1,i = .

Далее сформируем из повторяющегося в каждом уравнении

оператора р диагональную матрицу Р и запишем полученную

систему в компактной матричной форме

РХ = АХ, (1.24)

где

=

p...oo.........

o...poo...op

P . (1.25)

Правила действий с матрицами позволяют преобразовать

матричное уравнение (1.24) к виду

(А–Р) Х = 0, (1.26)

где

17


. (1.27)

Определитель (детерминант) матрицы (А–Р) называется ха#

рактеристическим определителем. В отличие от матрицы опре�

делитель обозначается другими (обычно одинарными прямы�

ми) скобками. Приравняв характеристический определитель к

нулю, получим характеристическое уравнение в форме опреде#

лителя:

(1.28)

Развернув характеристический определитель в общем виде

и сгруппировав его члены по степеням оператора р, получим

характеристическое уравнение в полиномиальной форме:

D(p) = a0pn + a1pn�1 + … + an�1p + an = 0. (1.29)

Полином в левой части уравнения (1.29) называется харак#

теристическим полиномом.

Следует отметить, что характеристическое уравнение в поли�

номиальной форме можно получить, используя предварительное

приведение нормальной системы уравнений (1.16) к одному диф�

ференциальному уравнению n�го порядка. В общем случае этот

способ получения характеристического уравнения является бо�

лее громоздким по сравнению с рассмотренным выше способом.

1.6. Операторная форма записи линейныхдифференциальных уравнений

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами удобно записывать в операторной форме.

При рассмотрении сложных электрических схем обычно со�

ставляют системы дифференциальных уравнений, в состав ко�

18


торых входит несколько неизвестных функций. Во многих слу�

чаях требуется исключить из этих уравнений часть неизвест�

ных и получить новую систему с уменьшенным количеством

уравнений, либо одно дифференциальное уравнение с одной

неизвестной функцией.

Процедура исключения неизвестных может производиться

классическими методами и, будучи принципиально неслож�

ной, требует громоздких и утомительных выкладок. Для того,

чтобы сделать исключение неизвестных и решение системы

уравнений (линейных с постоянными коэффициентами) бо�

лее простыми, применяется метод, основанный на использо�

вании введенного выше оператора дифференцирования p = d/dt.

Возникает вопрос о связи этого оператора с известным пере�

водом функции ϕ(t) в область операторных изображений функ�

ций с помощью преобразования Лапласа [5]

∫∞

− =0

pt (p)dte(t) ϕϕ . (1.30)

Как известно, если в качестве преобразуемой выступает про�

изводная некоторой функции, например, производная dϕ/dt,

то в результате преобразования получается выражение

( ) ( )0

ptde dt p p o

dt

ϕϕ ϕ

∞− = −∫ , (1.31)

где ϕ(о) – значение функции ϕ(t) при t = 0.

Очевидно, что когда при t = 0 значение ϕ(о) = 0, то есть ког�

да выполняются нулевые начальные условия, замена символа

дифференцирования d/dt оператором р одновременно означа�

ет перевод исходных линейных дифференциальных уравнений

в область изображений по Лапласу и к ним становятся приме�

нимыми все теоремы операционного исчисления [5]. В част�

ности, при исключении переменных в уравнениях и других пре�

образованиях оператор р выступает как некоторый алгебраи�

ческий коэффициент, что, следовательно, позволяет исполь�

зовать алгебраические методы преобразований. Это же спра�

ведливо и при наличии в уравнениях производных более высо�

кого порядка. Так, производная произвольного k�го порядка

19


при нулевых начальных условиях в операторной форме имеет

вид

),p(xpdt

xd kk

k= (1.32)

что позволяет в преобразованиях считать рk алгебраическим

коэффициентом.

Операция дифференцирования является линейной опера�

цией, поэтому для двух функций x(t) и y(t) и постоянного ко�

эффициента а справедливы равенства:

;ypxp)yxp( +=+ ,xapxpa = (1.33)

где )p(yy);p(xx == .

Рассмотрим возможности, доставляемые операторным ме�

тодом для исследования решений однородных линейных диф�

ференциальных уравнений вида

011

1

10 =++++ −−

−xa

dtdxa

dtxda

dtxda nnn

n

n

nK (1.34)

при нулевых начальных условиях.

В операторной форме уравнение (1.34) имеет следующий

вид:

--

--( ) ( ) .

1

0 1 1

1

0 1 1 0

n n

n n

n n

n n

a p x a p x a px a x

a p a p a p a x L p x

+ +… + + =

= + +… + + = = (1.35)

Здесь операторное выражение

--( ) 1

0 1 1

n n

n nL p a p a p a p a= + +… + +можно рассматривать как некоторый дифференциальный опера#

тор, который ставит в соответствие операторному изображе�

нию функции –х линейную комбинацию производных этой

функции во времени [6]

xadtdxa

dtxda

dtxdax)p(L nnn

n

n

n++++= −−

−

11

1

10 K . (1.36)

Дифференциальный оператор L(p) является линейным опе�

20


ратором, то есть для операторных изображений функций x , yи постоянного коэффициента а справедливы равенства [6]:

( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) .L p x y L p x L p y L p ax aL p x+ = + = (1.37)

Пусть L1(p) и L2(p) – два дифференциальных оператора. Тог�

да справедливы следующие свойства:

[ ( ) ( )] ( ) ( ) ;1 2 1 2

L p L p x L p x L p x+ = + (1.38)

( ) [ ( ) ] ( ) ( )1 2 1 2

L p L p x L p L p x= . (1.39)

Свойства дифференциальных операторов (1.37…1.39) позво�

ляют получать характеристические уравнения систем линей�

ных дифференциальных уравнений произвольного вида, не

проводя их преобразование к нормальной форме.

Линейная однородная система дифференциальных уравне�

ний произвольного вида при нулевых начальных условиях в

операторной форме записывается как

( ) ( ) ;

( ) ( ) ,

111 1

11

0

0

nn

nn nn

L p x L p x

L p x L p x

+… + =… … … … … … … … …

+… + =(1.40)

где Lik(p), n1,ki, = – многочлены (дифференциальные опера�

торы) от р с постоянными коэффициентами.

В матричной форме система (1.40) имеет вид:

( ) ( ). .

( ) ( )

111 1

1

0

n

nn nn

L p L p x

L p L p x

… ……………… = …

M (1.41)

Определитель операторной матрицы системы (1.41) явля�

ется характеристическим определителем этой системы. Соот�

ветственно, характеристическое уравнение в форме определи�

теля записываются как

( ) ( )( ) . .

( ) ( )

11 1

1

0

n

n nn

L p L p

D p

L p L p

∆

…= ……………… =

…(1.42)

21


В результате развертывания определителя в (1.42) будет по�

лучено характеристическое уравнение вида (1.30) в полиноми�

альной форме.

1.7. Примеры к первому разделу

Пример 1.1. Нормальную систему дифференциальных урав�

нений третьего порядка

++=++=

++=

3332321313

3232221212

3132121111

xaxaxax;xaxaxax

;xaxaxax

&&&

записать в координатной матричной форме и построить для нее

характеристическое уравнение в форме определителя и в

полиномиальной форме.

Решение. В координатной матричной форме данная систе�

ма уравнений имеет вид

11 12 131 1

2 21 22 23 2

3 331 32 33

a a ax x

x a a a x

x xa a a

=

&

&

&.

В результате замены d/dt = p получаем

=

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

xxx

aaaaaaaaa

xxx

pooopooop

или, после несложных преобразований

.xxx

paaaapaaaapa

03

2

1

333231

232221

131211=

−−

−

Характеристическое уравнение в форме определителя запи�

сывается как

22


.paaa

apaaaapa

)p(D 0333231

232221

131211=

−−

−=∆

В полиномиальной форме это характеристическое уравне�

ние имеет вид

D (p) = а0р3 + а1р2 = а2р + а3 = 0

где а0 = –1; а1 = а11 + а22 + а33;

а2 = а11а33 – а22а33 – а11а22 + а13а31 + а12а21 + а23а32;

а3 = а11а22а33 + а12а23а31 + а13а21а32 –

– а13а22а31 – а12а21а33 – а11а23а32.

Пример 1.2. Записать систему уравнений

;0

2 0

x y x y

x y y x

+ + + = + + + =

&& &&

& && &

в операторной форме при начальных условиях t0 = 0, x0 = 0,

y0 = 0 и построить её характеристическое уравнение.

Решение. В операторной форме имеем

;2 2

2

0

2 0

p x p y x y

px p y py x

+ + + =

+ + + =или

( ) ( ) ;

( ) ( ) .

2 2

2

1 1 0

1 2 0

p x p y

p x p p y

+ + + =

+ + + =В форме определителя и в полиномиальной форме характе�

ристическое уравнение этой системы определится как:

0pp2

1p1p1p( )pD

2

22

∆ =+

+

++= ;

D(p) = 2p4 + p2 – 1 = 0.

23

Глава 2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТКИ...

Глава 2

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ИЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТКИ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Операторный способ записи дифференциальных уравне�

ний широко используется в электротехнике и теории автома�

тического регулирования. При использовании операторного

способа легко исключаются промежуточные переменные и ус�

танавливаются операторные соотношения между операторны�

ми изображениями входных и выходных переменных пара�

метров сигналов устройств, как правило, в виде передаточ#

ных функций.

В общем случае связь между операторными изображения�

ми входной x и выходной y переменными определяется опе�

раторным уравнением

x)p(Wy = , (2.1)

где W(p) – передаточная функция.

Очевидно, что для получения уравнения вида (2.1) должна

рассматриваться незамкнутая исходная подсистема линейных

дифференциальных уравнений, в которой количество уравне�

ний на единицу меньше количества переменных. После пере�

вода этих уравнений в область операторных изображений и

исключения всех переменных за исключением x и y обра�

зуется итоговое уравнение (2.1), содержащее передаточную

функцию.

Подсистемы уравнений, по которым строятся передаточные

функции, как правило, представляют собой математические

модели некоторых звеньев в структурной схеме рассматривае�

мой линейной системы. Сложность звеньев может быть раз�

24


личной, однако среди них выделяют так называемые типо#

вые звенья, которые описываются подсистемами линейных

дифференциальных и алгебраических уравнений не выше

второго порядка.

Технические устройства, описываемые с помощью переда�

точных функций, могут быть составлены из электротехничес�

ких, механических, гидравлических, пневматических и друго�

го типа элементов. Далее в качестве примеров рассматривают�

ся устройства электротехнического типа как наиболее часто ис�

пользуемые в электроэнергетике.

2.1. Формирование передаточнойфункции линейной системы (на примере

дифференцирующего звена)

Пусть для электрической схемы (рис. 2.1) требуется опреде�

лить взаимосвязь между операторными изображениями обозна�

ченных входного и выходного напряжений. В соответствии со

вторым законом Кирхгофа запишем подсистему из двух уравне�

ний:

( ) ( ) ( ) ;

( ).0

1t

вх

вых

u t Ri t i t dtC

u Ri t

= +

=

∫(2.2)

Чтобы освободиться от интеграла, продифференцируем пер�

вое из этих уравнений, а второе оставим без изменения:

i(t) C

R u t)вых(u t)вх(

Рисунок 2.1

25


( )( )( );

( ) ( ).

1вх

вых

di tdu tR i t

dt dt C

u t Ri t

= +

=

(2.3)

Перейдем к операторным изображениям и запишем подси�

стему (2.3) в операторной форме при нулевых начальных усло�

виях:

;

.

1вх

вых

pu Rpi iC

u Ri

= + =

(2.4)

Поскольку полученная подсистема состоит теперь из алгеб�

раических уравнений, то методом подстановки легко исклю�

чить переменную i в первом уравнении (2.4) с помощью вто�

рого уравнения. В результате будет получено уравнение

,1вых вхp u pu

RC

+ = (2.5)

откуда

,1

вых вхp

u u

pRC

=+

или

( ) ,1

вых вх вхkp

u u W p uTp

= =+

(2.6)

где T = k = RC; T – постоянная времени; k – коэффициент

усиления.

В целом операторное выражение

1+= Tp

kp)p(W

является искомой передаточной функцией. В данном случае

это передаточная функция дифференцирующего звена с замедле#

нием, или, как его еще называют, реального дифференцирующего

звена.

26


2.2. Передаточные функции типовых звеньевлинейных технических систем

Любая автоматическая система может быть разбита на струк�

турные звенья, каждое из которых описывается дифференци�

альным уравнением не выше второго порядка. Ограничиваясь

вторым порядком дифференциальных уравнений, получаем не�

большое число возможных звеньев, которые относятся к типо�

вым [6]. Названия, передаточные функции и электрические

аналоги наиболее употребляемых типовых динамических зве�

ньев приведены в табл. 2.1.

2.3. Обобщённая форма передаточной функции

Поскольку в качестве входных и выходных могут выступать

электрические и неэлектрические сигналы, то обозначим для

общности через x входной, а через y – выходной параметры.

Тогда по аналогии с (2.5) можно записать следующее опера�

торное уравнение:

x)p(My)p(D = , (2.7)

где D(p) = a0pn + … + an�1p + an, M(p) = b0pm +…+ bm�1p + bm,

(m ≤n) – операторные полиномы, или, как выше принято –

дифференциальные операторы. Назовем многочлен D(p) соб#

ственным дифференциальным оператором, а многочлен М(р)

– входным дифференциальным оператором. Название «собствен�

ный оператор» обусловлено тем, что многочлен D(p) характе�

ризует собственное движение системы, то есть ее движение при

отсутствии внешних возмущающих и управляющих воздей�

ствий.

Отношение входного оператора М(р) к собственному опе�

ратору D(p) является передаточной функцией W(p) линейной

системы в обобщенной форме:

)p(D)p(M)p(W = . (2.8)

Из уравнения (2.1) следует, что передаточная функция сис�

темы определяется также через отношение операторных изоб�

27


Таблица 2.1

Типовые звенья

п/п Наименование Передаточная Один из электрических(тип) звена функция W(p) аналогов (х – вход, y – выход)

1 Безынерционное

(пропорциональное,

усилительное)

2 Инерционное(апериодическое)

3 Колебательноепри 0 ≤ ε < 1

4 Интегрирующееидеальное

5 Интегрирующеес замедлением

6 Дифференцирующееидеальное

7 Дифференцирующеес замедлением

8 Суммирующееуравнение связи

1+Tpk

k

2 22 1

k

T p Tpε+ +

pk

( )1

k

p Tp +

kp

1+Tpkp

y = x1 + x

2 + … + x

m

28


ражений по Лапласу выходной и входной переменных при ну�

левых начальных условиях:

xy)p(W = . (2.9)

Таким образом, передаточная функция полностью опреде�

ляется дифференциальным уравнением линейной системы,

связывающей выходную и входную переменные. И наоборот,

по передаточной функции всегда может быть построено диф�

ференциальное уравнение связи между этими переменными.

Для этого необходимо по уравнению (2.1) и выражению (2.8)

построить уравнение (2.7) и заменить оператор p символом

d/dt в соответствующей степени.

2.4. Передаточные функции сложных систем

При объединении звеньев с известными передаточными

функциями в более сложные системы можно получить экви�

валентные передаточные функции систем. В общем случае эта

операция сводится к процедуре исключения промежуточных

переменных величин, которая для последовательного и парал�

лельного соединения звеньев легко формализуется к простей�

шим правилам сложения.

Последовательным соединением звеньев называется такое, при

котором выходная переменная (выходной сигнал) предшеству�

ющего звена является входной переменной (входным сигна�

лом) последующего звена (рис. 2.2):

nnn x)p(Wx...;;x)p(Wx;x)p(Wx === +1223112 .

Подставим в последнее уравнение переменную nx из пред�

Рисунок 2.2

x1 W (p)1 W (p)2 W (p)nx2 x3 xn xn+1

29


последнего, а затем переменную 1−nx , и так далее до первого

уравнения. В результате получим

1211 x)p(W)...p(W)p(Wx nn =+ ,откуда следует, что передаточная функция последовательно со#

единенных звеньев равна произведению передаточных функций

отдельных звеньев [2]:

)p(W)p(W)p(Wx

x)p(W nn K211

1 == +. (2.10)

Параллельным соединением звеньев называется такое, при ко�

тором входной переменной всех звеньев является одна и та же

переменная, а выходные переменные суммируются. Поэтому

для схемы на рис. 2.3 справедливы уравнения:

1123112 x)p(Wx...;;x)p(Wx;x)p(Wx nn === ;

1322 ++ +++= nn xxxx K .

Или [ ] 1212 x)p(W)p(W)p(Wx nn +++=+ K .

Рисунок 2.3

W (p)1

W (p)2

W (p)n

x1 xn+2

x2

x3

xn+1

Следовательно, передаточная функция параллельно соединен#

ных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных зве#

ньев [2]:

30


)p(W)p(W)p(Wx

x)p(W nn +++== + K21

1

2. (2.11)

При наличии звена в цепи обратной связи (рис.2.4) эквива�

лентная передаточная функция связывает входную 4x и вы�

ходную 2x переменные по уравнению 42 x)p(Wx = .

Рисунок 2.4

x4 x1 W (p)1x2

x3±

W (p)2

Чтобы получить эту передаточную функцию, запишем со�

отношения между переменными на выходе и входе отдельных

звеньев:

;x)p(Wx 12 1= ;x)p(Wx 223 = ,xxx 341 ±=где знак «+» соответствует положительной обратной связи, а знак

«–» – отрицательной обратной связи.

Учитывая эти соотношения, последовательно получим [2]:

,x)p(W)p(W

)p(Wx

;

;

x)p(W)p(W)p(Wx;x)p(Wx)p(Wx

)xx)(p(Wx

421

12

41212

2242

3412

1

11

=

=

±=±=

m

откуда )p(W)p(W)p(W

)p(W21

1

1m= . (2.11)

Здесь знак «–» соответствует положительной, а знак «+» –

отрицательной обратной связи.

31


Следует отметить, что звенья обратных связей вводятся для

изменения статических и динамических характеристик систе�

мы. Эти изменения зависят от типа звена, включенного в цепи

обратной связи. Если на вход первого звена (см. рис. 2.4) пода�

ется переменная с выхода второго звена с положительным зна�

ком, то обратная связь считается положительной, если с отри�

цательным – то отрицательной.

Изменение знака сигнала на выходе звена обратной связи

по отношению к сигналу на его входе называется инвертирова#

нием сигнала. Факт инвертирования может быть отражен в

структурной схеме системы посредством зачернения сектора

суммирующего звена СЗ (рис. 2.5), к которому направлена

стрелка сигнала с обратным знаком. При этом знак поступаю�

щего на СЗ сигнала не указывается.

Рисунок 2.5

x4

W (p)1

W (p)2

Cз

x3

x1 x2

Зачернение сектора суммирующего звена (сумматора) ис�

пользуется и в других случаях, когда требуется показать, что

сигнал поступает или суммируется с обратным знаком.

Обратная связь считается жесткой (ж.о.с.), если второе зве�

но является безынерционным, или гибкой (г.о.с.), если второе

звено является дифференцирующим.

Обратные связи играют важную роль в системах автомати�

ческого регулирования. При этом, как правило, используются

отрицательные обратные связи.

2.5. Замкнутая и разомкнутая системы

При решении вопросов устойчивости часто используются

понятия передаточных функций замкнутой и разомкнутой сис#

32


тем. При этом под замкнутой понимается система, в обратной

связи которой производится только инвертирование сигнала,

то есть когда (см. рис. 2.4)

W2(p) = –1. (2.12)

В соответствующей разомкнутой системе эта обратная связь

отключена. Следует отметить, что реальные системы автома�

тического регулирования всегда работают с замкнутой обрат�

ной связью. При этом звеном в обратной связи производится

не только изменение знака сигнала, но и другие преобразова�

ния: изменение уровня, дифференцирование и пр. Поэтому

рассмотрение системы с единичной обратной связью, замкну�

той или разомкнутой, используется как математический при�

ем, с помощью которого удобно проводить некоторые иссле�

дования, в частности, исследования устойчивости систем. Пу�

тем преобразований любая реальная замкнутая система при�

водится к формальной одноконтурной системе с единичной

обратной связью.

Выразим сначала передаточную функцию Wз(р) замкнутой

системы через передаточную функцию Wp(p) разомкнутой си�

стемы. Для этого воспользуемся формулой (2.11), для которой

примем:

W(p) = Wз(р); W1(p) = Wp(p); W2(p) = –1.

Соответственно, из (2.11) получим

( )pW1( )pW

( )pWp

pЗ +

= . (2.13)

Из (2.13) следует

( )W p1( )pW( )pWЗ

Зp −

= . (2.14)

Поскольку W(p) = Wз(р), выражение (2.14) позволяет для

передаточной функции реальной системы определить переда�

точную функцию разомкнутой формальной одноконтурной си�

стемы, то есть системы с разомкнутой единичной обратной свя�

зью.

33


Представим передаточную функцию разомкнутой системы

в виде отношения входного М(р) и собственного Dp(p) диффе�

ренциальных операторов:

Wp(p) = M(p)/Dp(p). (2.15)

Тогда для замкнутой системы в соответствии с (2.13) и (2.8)

получим

( ) / ( ) ( ) ( )( )( ) / ( ) ( ) ( ) ( )1

p

Зp p

M p D p M p M pW p

M p D p M p D p D p= = =

+ +. (2.16)

Из (2.16) следует, что входным для разомкнутой и замкну�

той систем является один и тот же дифференциальный опера�

тор М(р). Собственный дифференциальный оператор замкну�

той системы D(p) может быть определен как сумма входного и

собственного дифференциальных операторов разомкнутой си�

стемы:

D(p) = M(p) + Dp(p). (2.17)

Собственный дифференциальный оператор замкнутой си�

стемы является характеристическим полиномом этой системы.

Поэтому характеристическое уравнение системы можно запи�

сать как

D(p) = M(p) + Dp(p) = 0. (2.18)

Из уравнения (2.18) также следует, что знаменателем пере�

даточной функции замкнутой системы в обобщенной форме

(2.7) является характеристический многочлен соответствующей

системы дифференциальных уравнений.

2.6. Комплексные коэффициенты усиления ичастотные характеристики систем

Если на вход линейной устойчивой системы длительно дей�

ствует гармонически изменяющийся сигнал (возмущение), то

после достаточно большого промежутка времени (после зату�

хания переходных процессов) на выходе установятся гармони�

ческие колебания сигнала с такой же частотой (рис. 2.6). Од�

нако амплитуда и начальная фаза их будут зависеть от динами�

ческих свойств системы.

34


Запишем уравнение, связывающее входную х1 и выходную

х2 величины [2]:

.1 1

2 2 1 1

0 1 2 0 1 11 1

n n m m

n mn n m m

d x d x d x d xa a a x b b b x

dt dt dt dt

− −

− −+ + + = + + +K K

(2.19)

Гармонический сигнал на входе системы x1(t,ω) = A1sin(ωt + ϕ1)

в векторной форме записывается как )+

= 1t(ωj11 eA(t,ω)x

ϕ.

При фиксированной частоте входного сигнала на выходе ус�

тановится гармонический сигнал )](t[je)(A)t,(x ωϕωωω 2

22+= .

Подставив входной 1(t,ω)x и выходной )t,(x ω2 сигналы в

уравнение (2.19), получим

] ]( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) .

2 2

1 1

0 2 2

0 1 1

j t j tn

n

j t j tm

m

a j A e a A e

b j A e b A e

ω ϕ ω ω ϕ ω

ω ϕ ω ϕ

ω ω ω

ω

+ +

+ +

+ … + =

= + … + (2.20)

Или[ ]( )

( )

( ) [ ( ) ]

[ ( ) ],

2

1

2 0

1 0

m

j t n

n

j t

m

A e a j a

A e b j b

ω ϕ ω

ω ϕ

ω ω

ω

+

+

+ + =

= + +

K

K

Рисунок 2.6

T=2π ⁄ ω

ϕ

x

x (t)1

x (t)2

t

35


откуда

[ ]( )

( )

( )( )( )

2

1

02

1 0

j t m

m

j t n

n

b j bA e

A e a j a

ω ϕ ω

ω ϕ

ωωω

+

+

+ +=

+ +K

K. (2.21)

Обозначим[ ]( ) ( )

( )

[ ( ) ] ( )

( ) ( )

( ) ( ) .

2 2

1 1

2 1

2

1

j t j

j t j

j j

A e eA

A e e

A e A e

ω ϕ ω ϕ ω

ω ϕ ϕ

ϕ ω ϕ ϕ ω

ω ω

ω ω

+

+

−

= =

= =(2.22)

где ϕ(ω) = ϕ2(ω)–ϕ1 – разность фазовых сдвигов сигналов

x2(t,ω) и x1(t,ω).

Отметим также, что правую часть равенства (2.21) состав�

ляет отношение двух полиномов, которые можно получить из

полиномов передаточной функции W(p) системы, если в этих

полиномах принять р = jω. С учетом этого замечания из (2.9,

2.21, 2.22) следует

nn

mm

)(

a)j(ab)j(b

e)(A),t(x),t(x

)j(W++++

===K

K

ωω

ωωω

ω ωϕ

0

0

1

2 . (2.23)

Функция W(jω) называется комплексным коэффициентом

усиления [2]. Формально комплексный коэффициент усиления

получается из передаточной функции W(p) при подстановке

p = jω и является отношением выходного гармонического сиг�

нала к входному гармоническому сигналу.

Подчеркнем, что амплитуда А(ω) и аргумент ϕ(ω) комплек�

сного коэффициента усиления являются функциями частоты

при неизменной амплитуде А1 входного сигнала:

А(ω) = |W(jω)|; ϕ(ω) = argW(jω).

Комплексную функцию W(jω) можно представить через ве�

щественную переменную ω в виде

W(jω) = P(ω) + jQ(ω),

где Р(ω) = ReW(jω); Q(ω) = ImW(jω).

36


Рисунок 2.7

Im

Q( )ωA( )ω

W j( )ω

ϕ ω( )

P( )ω Re

При каждом фиксированном ω = ωi значение W(jω) одно�

значно определяет точку на комплексной плоскости с декар�

товыми координатами Р(ω), Q (ω) или полярными координа�

тами А(ω), ϕ(ω) (рис. 2.7, а).

а)

I Wm j( )ω

ω→∞ ReW( )jω

ω=0

б)

Следовательно, можно записать формулы перехода от по�

лярных к декартовым координатам и наоборот:

( ) ( ) ( )P Aω = ω ϕ ωcos ; ( ) ( ) ( )Q Aω = ω ϕ ωsin ;

(ω)Q(ω)PA(ω) 22 += ;

37


( ) ( ) ( )arctgQ Pϕ ω = ω ω/ .

Зависимости А(ω), ϕ(ω), Р(ω), Q(ω) называются частотны#

ми характеристиками системы – амплитудной, фазовой, ве�

щественной и мнимой, соответственно.

Вектор�годограф комплексного коэффициента усиления

W(jω), построенный на комплексной плоскости (рис. 2.7, б) при

изменении частоты от ω = 0 до ω → ∞ называется амплитудно#

фазовой частотной характеристикой системы [2].

Комплексный коэффициент усиления и частотные харате�

ристики звена или системы позволяют исследовать устойчи�

вость и характер протекания переходных процессов. По ним

можно определить реакцию линейной системы не только на

синусоидальный входной сигнал, но и на любой другой вне�

шний сигнал, представленный в виде интеграла Фурье, то есть

в виде бесконечной суммы синусоидальных колебаний всех

частот.

Частотные характеристики системы могут быть получены

экспериментально.

2.7. Примеры ко второму разделу

Пример 2.1. Определить передаточную функцию линейной

системы (рис. 2.8), содержащей несколько последовательно и

параллельно соединенных типовых звеньев:

Решение. Пользуясь правилами последовательного и парал�

лельного объединения передаточных функций звеньев, запи�

шем передаточную функцию рассматриваемой системы:

W(p) = W1(p)[W2(p) + W3(p) + W4(p) W5(p)] W6(p).

По условию (рис. 2.8):

) 1

1

1

( ;1

kW p

T p=

+2

2

2

( ) ;1

kW p

T p=

+3

3

3

( ) ;1

k pW p

T p=

+

4

4

4

( ) ;1

k pW p

T p=

+5

5

5

( ) ;1

k pW p

T p=

+ 6 6( )W p k= .

38


Рисунок 2.8. 1 и 2 – инерционные, 3, 4, 5 – дифференцирующие (с за�медлением), 6 – безынерционное

Поэтому

( )( )( )

2

1 6 3 4 52

1 2 3 4 51 1 1 1 1

k k k p k k pkW p

T p T p T p T p T p

= + + + + + + +

.

Если привести правую часть полученного выражения к об�

щему знаменателю и сделать преобразования, то передаточная

функция будет представлена в виде отношения двух многочле�

нов:

( )( )( )

5 4

0 1 4 5

5 4

0 1 4 5

b p b p b p bM pW p

D p a p a p a p a

+ +… + += =

+ +… + +,

где коэффициенты bi, ai, ,1 5i = определяются через коэффи�

циенты усиления и постоянные времени звеньев.

Пример 2.2. Получить передаточные функции разомкнутой

и замкнутой (по главной единичной обратной связи) системы

(рис. 2.9, а), упростив сложную структурную схему с одной внут�

ренней отрицательной обратной связью.

Решение. Объединение W2(p), W3(p), W4(p) (рис. 2.9, а) в

одну передаточную функцию W234 (p) (рис. 2.9, б) приводит к

выражению

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )2 3

234

2 3 41

W p W pW p

W p W p W p=

+ .

x1 W(p)1 W (p)2 W (p)6

W (p)3

W (p)4 W (p)5

x3 x7 x8

x2x4

x5 x6

39


Передаточная функция разомкнутой системы (рис. 2.9, в)

будет

Wp(p) = W1(p)W234(p)W5(p).

При замкнутой главной обратной связи в соответствии с

(2.13) получаем передаточную функцию

( )( )

( )1

p

Зp

W pW p

W p=

+.

Пример 2.3. Построить аналитические выражения для рас�

чета вещественной, мнимой, амплитудной и фазовой частот�

ных характеристик колебательного звена.

Решение. По передаточной функции колебательного звена

(см. табл. 2.1)

( )2 2 2 1

kW p

T p Tp=

+ ε +при подстановке р = jω получаем комплексный коэффициент

усиления

Рисунок 2.9

a)

W (p)1 W (p)2 W (p)3 W (p)5

W (p)4

-1

W (p)5

-1

W (p)p

-1

б) в)

W (p)1 W234( )p

40


( )( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 1 1 2

k kW j

T j T j T j Tω = =

ω + ε ω + − ω + ε ω.

Умножением числителя и знаменателя на комплексно�со�

пряженное выражение знаменателя выделяем вещественную и

мнимую части этого коэффициента:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

1 2 1 2

W j P jQ

k T j k T

T T T T

ω = ω + ω =− ω ε ω

= −− ω + ε ω − ω + ε ω

.

Амплитудная и фазовая частотные характеристики опреде�

ляются, соответственно, выражениями:

( ) ( ) ( );2 2A P Qω = ω + ω

)(P)(

arctgQ)(

ωωωϕ = .

41

Глава 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭНЕРГОСИСТЕМЫ

Глава 3

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗАСТАТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

3.1. Устойчивость в смысле Ляпунова

Под устойчивостью технической системы обычно понима�

ют свойство системы возвращаться к первоначальному состо�

янию после прекращения внешнего возмущающего воздей�

ствия. Требование устойчивости является одним из основных

требований, предъявляемых к технической (в том числе элект�

роэнергетической) системе и определяет, как правило, рабо�

тоспособность этой системы.

Поскольку движение технической системы описывается си�

стемой дифференциальных уравнений, то исследование про�

блемы устойчивости ее движения сводится к исследованию ус�

тойчивости решений дифференциальных уравнений.

Пусть поведение технической системы описывается нор�

мальной системой дифференциальных уравнений [6]:

n,i)x...,,x,x,t(fdt

dxni

i 121 == (3.1)

где , ,1ix i n= – переменные, характеризующие состояние сис�

темы.

Введем в рассмотрение (n + 1)�мерное евклидово простран�

ство E n + 1, координатами которого являются t, x1, …, xn. Будем

рассматривать только такие системы, правые части которых не�

прерывны по всем аргументам и имеют непрерывные частные

производные по зависимым переменным х1, ..., хn. В этом слу�

, ,

42


чае выполняются условия теоремы существования и единствен�

ности, то есть для любых начальных значений t0, x10, …, xn0 су�

ществует и притом единственное решение

( , ) ,0

1i i ix t x i n= η = , (3.3)

удовлетворяющее начальным условиям

( , ) ,0 0 0

1i i it x x i nη = = . (3.4)

Потребуем бесконечной продолжаемости решения (3.3), то

есть будем считать функции ηi(t) определенными для t0 ≤ t < ∞,

причем t0 можем считать равным –∞ .Рассмотрим некоторое решение системы (3.2) xi = ηi(t),

,1i n= , определенное на интервале [t0, ∞), причем ηi(t0) = xi0,

,1i n= .

Введем важные определения [6].

Решение ηi(t), ,1i n= называется устойчивым по Ляпунову при

t→∞, если для любого ε> 0 существует такое δ > 0, зависящее от

ε и t0, что любое решение xi = ϕi (t), для которого при t = t0 выпол#

няется неравенство |ϕi (t0)–ηi (t0)| < δ, удовлетворяет неравен#

ству |ϕi (t)–ηi (t)| < ε при t0 ≤ t < ∞ для всех ,1i n= .

Из этого определения следует, что вместе с основным ре�

шением ηi (t), рассматривается некоторое дополнительное реше�

ние ϕi (t), отражающее возмущения и достаточно близкое к ос�

новному в начальной точке. По отклонению дополнительного ре�

шения от основного при возрастании независимой переменной t

и проводится суждение об устойчивости решения согласно опре�

делению.

Для геометрической интерпретации определения устойчи�

вости по Ляпунову рассмотрим трехмерный фрагмент (сече�

ние) рассматриваемого (n+1)�мерного пространства с коорди�

натами t, x1, xn. В трехмерном сечении, как и в (n+1)�мерном

пространстве совокупности зависимых переменных (коорди�

нат пространства), представляющих основное и дополнитель�

ное решения, изображаются в виде интегральных кривых η(t)

и ϕ(t) (рис. 3.1). При этом кривая η(t) начинается в точке (t0,

x10, xn0), а кривая ϕ(t) в δ�окрестности этой точки.

Геометрически устойчивость системы (3.1) означает, что все

,

,,

43


решения, которые при t = t0 начинаются в δ�окрестности точ�

ки с координатами (x10, x20, …, xn0), никогда не покинут ε�труб�

ку решения η(t) (рис. 3.1).

Решение ηi(t), ,1i n= называется неустойчивым, если суще�

ствует ε > 0 такое, что для любого δ> 0 найдется такой момент

времени t = t1, что для некоторого значения i = k при t = t1 бу�

дет выполняться неравенство |ϕk(t1)–ηk(t1)| ≥ ε, несмотря на то,

что |ϕi(t0) – ηi(t0)|< δ для всех ,1i n= .

Решение ηi(t), ,1i n= называется асимптотически устойчи#

вым, если:

1) решение ηi(t), ,1i n= устойчиво по Ляпунову при t→∞;

2) существует такое число H > 0, что для любого решения

ϕi(t), ,1i n= , удовлетворяющего при t = t0 неравенству

| ϕi(t0) – ηi(t0)|< Н, ,1i n= будет справедливо равенство

→ ∞tlim |ϕi(t0) – ηi(t0)| = 0.

Если Н = ∞, то динамическая система называется устойчи#

вой в целом.

Приведенные выше определения устойчивости, неустойчи�

вости и асимптотической устойчивости являются основными

определениями первого метода Ляпунова, широко применяе�

Рисунок 3.1

x1x10

t00 ε

xn

xn0

ϕi( )t

tηi ( )t

δ

44


мого для исследования статической устойчивости электроэнер�

гетических систем.

3.2. Необходимые и достаточные условияустойчивости линейных систем

Рассмотрим устойчивость нормальной линейной однород�

ной системы дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами

,AXX =& (3.2)

где А – квадратная матрица коэффициентов; Х и X& – соответ�

ственно, вектор�функции зависимых переменных и их произ�

водных. Как показано в разделе 1.2, общее решение этой сис�

темы есть линейная комбинация векторных функций

X(t) = C1X1(t) + C2X2(t) + … + CnXn(t), (3.3)

где Сi, ,1i n= – постоянные (вещественные или комплексные)

коэффициенты, определяемые из начальных условий; Xi(t),

,1i n= – вектор�функции решений:

k

kk

e

ek

ekek

)t(X

ni

i

itp

tpni

tpi

tpi

ii

i

i

i

=

=MM

2

1

2

1

, ,1i n= .

При этом числа pi, ,1i n= являются корнями характерис�

тического уравнения

D∆(p) = det (A–P) = 0. (3.4)

где P – диагональная матрица.

По виду корни характеристического уравнения (3.4) делят�

ся на простые:

– вещественные (положительные или отрицательные) pi = αi;

– мнимые pi,i+1 = ± jωi (существуют попарно);

– нулевые pi = 0 ;

– комплексные pi,i+1 = αi ± jω (существуют попарно),

45


и кратные, когда несколько корней имеют одно и то же зна�

чение.

Очевидно, что различным по виду корням характеристичес�

кого уравнения (3.4) будут соответствовать и различные состав�

ляющие в общем решении (3.3) рассматриваемой системы диф�

ференциальных уравнений. Так, например, положительному

вещественному корню αi > 0 будет соответствовать возрастаю�

щая экспонента tieα

, в то время как для отрицательного веще�

ственного корня соответствующая составляющая в решении

(3.3) будет иметь вид убывающей экспоненты. Пара мнимых

корней дает синусоидальную зависимость с постоянной амп�

литудой. Для пары комплексно�сопряженных корней синусои�

дальная зависимость будет либо возрастать (при αi >0), либо убы�

вать (при αi <0).

Взаимосвязь между корнями характеристического уравне�

ния и решениями системы дифференциальных уравнений по�

казана в таблице 3.1 [7].

Из табл. 3.1 следует, что если все вещественные корни и ве�

щественные части всех комплексных корней отрицательны

(случаи 3, 4), то все составляющие переходного процесса по

модулю экспоненциально затухают (у гармонических состав�

ляющих экспоненциально затухают огибающие). Рассматри�

ваемый режим системы в этом случае статически устойчив.

Если среди вещественных корней появляется один αi >0

(случай 7), то составляющая решения, определяемая этим кор�

нем, неограниченно возрастает (по модулю). Исследуемый ре�

жим системы в этом случае статически неустойчив, происхо�

дит апериодическое нарушение устойчивости (сползание).

Если среди комплексно�сопряженных корней присутству�

ет пара, имеющая αi >0 (случай 2), то составляющая решения,

определяемая этой парой, имеет вид экспоненциально нарас�

тающих во времени колебаний. Исследуемый режим системы

в этом случае статически неустойчив, происходит колебатель#

ное нарушение устойчивости.

Случаи, когда характеристическое уравнение имеет корни

с нулевой вещественной частью (нулевые или мнимые), отно�

Табл

ица

3.1

Сл

уч

ай

К

ор

ни

Расп

ол

ож

ен

ие к

ор

ней

Ви

д п

ер

ехо

дн

ого

пр

оц

есса

αjω

x =

f(t

)о

пи

са

ни

е

Во

зра

ста

ющ

ая

эк

сп

о�

нен

та

с п

ос

то

ян

но

й

Т =

1/α

Эк

сп

он

ен

ци

ал

ьн

о

на

ра

ста

ющ

ие г

ар

�

мо

ни

че

ск

ие

ко

ле

ба

ни

я

За

ту

ха

ющ

ая

эк

сп

о�

нен

та

с п

ос

то

ян

но

й

Т =

–1

/α

4

–±

За

ту

ха

ющ

ие

га

рм

о�

ни

чес

ки

е к

ол

еб

ан

ия

jω

α

jω

α

jω

α

jω

α

1+

0

2+

±

3–

0

46


50

0

Со

хр

ан

ен

ие

по

сто

ян

�

но

го з

на

че

ни

я х

= х

0

Гар

мо

ни

чес

ки

е к

ол

е�

60

±б

ан

ия

с п

ос

то

ян

но

й

ам

пл

иту

до

й

7

00

Ли

ней

но

на

ра

ста

ю�

дв

ук

ра

тн

ый

ща

я з

ав

ис

им

ос

ть

н

ул

ев

ой

x =

f(t

)

ко

рен

ь

8

0±

Ли

ней

но

дв

ук

ра

тн

ая

на

ра

ста

ющ

ие

па

ра

мн

и�

ко

леб

ан

ия

м

ых

ко

рн

ей

jω

α

jω

α

jω

α

jω

α


47

48


сятся к особым случаям. Режим может быть устойчив, когда та�

кие корни простые (случаи 5, 6), либо неустойчив, когда корни

кратные (случаи 7, 8).

В практических исследованиях при появлении любых кор�

ней на мнимой оси плоскости корней обычно считают, что си�

стема находится на границе статической устойчивости (апери�

одической или колебательной).

Необходимые и достаточные условия устойчивости решения

линейной однородной системы (3.2) в соответствии с изложен�

ным формулируются так:

Для устойчивости решения линейной однородной системы диф#

ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами необ#

ходимо и достаточно, чтобы корни характеристического урав#

нения системы имели неположительные вещественные части,

причем корни с нулевой вещественной частью были бы просты#

ми [6].

Проще можно сказать, что система будет

устойчива, если все корни характеристическо�

го уравнения будут расположены в левой по�

луплоскости на плоскости корней, а если име�

ются корни на мнимой оси, то они должны

быть простыми (рис. 3.3).

Поскольку от системы дифференциальных

уравнений n�го порядка можно перейти к од�

ному дифференциальному уравнению с харак�

теристическим уравнением

D(p) = a0pn + a1pn–1 + … + an–1p + an = 0. (3.5)

то справедлива также следующая формулировка:

Для устойчивости решения линейного дифференциального урав#

нения n#го порядка с постоянными коэффициентами необходимо

и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения име#

ли неположительные вещественные части, причем корни с ну#

левой вещественной частью были бы простыми [6].

Если все корни находятся в левой полуплоскости и при этом

отсутствуют корни на мнимой оси, то устойчивость является

асимптотической.

j

0

ω

α

Рисунок 3.3

49


3.3. Необходимые условия устойчивости

Если характеристическое уравнение задано (или получено)

в виде (3.5), то перед определением местоположения его кор�

ней на комплексной плоскости весьма полезно проверить вы�

полнение необходимых условий устойчивости, которые форму�

лируются следующим образом: если движение (или состояние

равновесия) системы асимптотически устойчиво, то все коэф#

фициенты характеристического уравнения положительны. То

есть для устойчивой системы обязательно должны выполнять�

ся неравенства (условия) [2]:

a0 > 0; a1 > 0; …; an > 0. (3.6)

Для доказательства разложим характеристический много�

член уравнения (3.5) на множители

D(p) = a0(p–p1)(p–p2)…(p–pn), (3.7)

где рi, ,1i n= – корни уравнения (3.5).

Если объединить попарно множители, соответствующие

комплексно�сопряженным корням, то правую часть (3.7) мож�

но представить в виде произведения линейных и квадратных

множителей:

(p–αi) – для вещественных корней;

[p–(αk–jωk)][p–(αk + jωk)] = [(p–αk) + jωk][(p–αk)–jωk] =

= (p–αk)2 + ω2k = p2–2pαk + (α2

k + ω2k) – для комплексно�

сопряженных пар.

Из последних выражений непосредственно вытекает, что

если все αi <0 и αk < 0, то все сомножители в (3.7) будут иметь

только положительные составляющие, перемножение которых

приведет к уравнению (3.5) только с положительными коэффи�

циентами.

Если положительность всех коэффициентов характеристи�

ческого уравнения не соблюдается, то есть не выполняются не�

обходимые условия устойчивости (3.6), то будет заведомо из�

вестно, что система неустойчива.

Характеристическое уравнение с положительными коэф�

50


фициентами обладает важным свойством – оно не имеет по�

ложительных вещественных корней. Действительно, каждый

корень должен превращать многочлен уравнения (3.5) в нуль,

а любое положительное вещественное число в нуль его пре�

вратить не может. Следовательно, выполнение положитель�

ности всех коэффициентов характеристического уравнения

есть выполнение необходимых и достаточных условий отсут#

ствия апериодической неустойчивости системы.

Таким образом, если коэффициенты характеристическо�

го уравнения системы не нулевые и положительны, то нару�

шение устойчивости может иметь только колебательный ха�

рактер [2].

Важно отметить, что если при изменении параметров устой�

чивой системы к неустойчивому состоянию в первую очередь

становится отрицательным свободный член характеристичес�

кого уравнения, то нарушение устойчивости имеет апериоди�

ческий характер [2].

Для доказательства этого утверждения положим р = 0 в урав�

нении (3.5) и уравнении (3.7). Получим, что свободный член

характеристического уравнения (3.5) выражается через его кор�

ни в виде

an = (–1)n a0 p1 p2 … pm pm+1 … pn. (3.8)

Здесь m – количество вещественных корней, (n–m) – коли�

чество комплексно�сопряженных корней. Очевидно, что (n–

m) – четное число, поэтому

(–1)n = (–1)m+(n–m) = (–1)m(–1)n–m = (–1)m,

an = (–1)ma0 p1 p2 … pm pm+1 … pn.

Произведение двух комплексно�сопряженных корней по�

ложительно при любых α и ω, так как

(α + jω)(α–jω) = α2 + ω2.

Поэтому произведение (pm+1 … pn) > 0. Следовательно, знак

(sign) an в (3.8) полностью определяется произведением m ве�

щественных корней

sign an = sign [(–1)ma1 a2 …am]. (3.9)

51


Если все вещественные корни в (3.9) отрицательны, то anположительно.

Если при изменении параметров системы один веществен�

ный корень перейдет из левой полуплоскости в правую, то anизменит знак, то есть станет отрицательным. Это обстоятель�

ство очень широко используется в электроэнергетике для оп�

ределения пределов статической апериодической устойчивос�

ти электроэнергетических систем.

3.4. Алгебраическиекритерии устойчивости

Точный ответ на вопрос об устойчивости (или неустойчи�

вости) системы можно получить, вычислив все корни харак�

теристического уравнения. Однако процедура вычисления

корней для уравнений высокого порядка относится к разря�

ду чрезвычайно трудоемких, поэтому разработан ряд специ�

альных математических условий, позволяющих без вычис�

ления корней характеристического уравнения определить их

местоположение на комплексной плоскости и таким обра�

зом точно ответить на вопрос об устойчивости или неустой�

чивости системы. Эти математические условия называются

критериями устойчивости. Различают алгебраические и ча�

стотные критерии устойчивости.

Алгебраические критерии содержат группу условий (группу

неравенств), составленных по определенным правилам из ко�

эффициентов характеристического уравнения (a0, a1, …, an),

при соблюдении которых имеет место устойчивость. Если же

хотя бы одно из них нарушено, то имеет место неустойчивость.

Для проведения анализа с помощью алгебраических крите�

риев необходимо, очевидно, предварительно вычислить ко�

эффициенты полинома в левой части характеристического

уравнения (3.5) [2].

Необходимые и достаточные условия устойчивости линей�

ной однородной системы дифференциальных уравнений в виде

алгебраических неравенств были установлены английским

ученым Раусом (1873) и швейцарским математиком Гурви�

цем (1895).

52


3.4.1. Критерий Гурвица

Система неравенств Гурвица строится следующим образом.

Из коэффициентов характеристического многочлена n�й сте�

пени

D(p) = a0pn + a1pn–1 +…+ an–1p + an (3.10)

составляется квадратная матрица Гурвица n�го порядка:

=

−

−000

0000

0000000

2

1

31

420

531

n n

n

a aa

..........aaaaaaaa

M

KK

KKK

. (3.11)

Правило составления (алгоритм) матрицы Гурвица следую�

щее. По главной диагонали располагают коэффициенты мно�

гочлена (3.10) в порядке их нумерации, начиная с a1 до an. В

строках помещают поочередно коэффициенты только с нечет�

ными или только с четными индексами (включая и коэффи�

циент а0), причем влево от диагонали с уменьшающимися,

вправо – с увеличивающимися индексами. Все недостающие

коэффициенты, то есть коэффициенты с индексами меньше

нуля или больше n, заменяются нулями.

Необходимые и достаточные условия устойчивости заключа#

ются в том, что все n диагональных миноров должны быть поло#

жительными. При этом под диагональными минорами пони�

маются определители диагональных подматриц, получаемых

отчеркиванием их в матрице Гурвица, как показано в (3.11) [2].

Таким образом, система будет устойчива, если будут выполне�

ны неравенства

∆1 = а1> 0, ,aaaa

020

312 >=∆ . . ., ∆n = detMГ >0, (3.12)

Заметим, что последний определитель ∆n, который часто

называют главным определителем Гурвица, вычисляется для всей

матрицы Гурвица.

53


С помощью определителей Гурвица в случае неустойчивос�

ти системы можно определить количество корней характерис�

тического уравнения, расположенных в правой полуплоскос�

ти. Для этого строится ряд из определителей

, , , , ,12

0 1

1 2 1

n n

n n

a −

− −

∆ ∆∆∆ …∆ ∆ ∆ (3.13)

и проверяются знаки в этом ряду. Количество перемен знаков

в ряду (3.13) равно количеству корней характеристического

уравнения, расположенных в правой полуплоскости на плос�

кости корней.

3.4.2. Оценка апериодической статическойустойчивости системы по знаку свободного члена

характеристического уравнения

Гурвиц показал, что если непрерывно изменять коэффици�

енты характеристического уравнения, ухудшая устойчивость

системы, то при потере устойчивости, прежде всего, обратится

в нуль главный определитель ∆n. При разложении этого опре�

делителя по элементам последнего столбца нетрудно получить,

что

∆n = an∆n–1. (3.14)

Поэтому переход определителя ∆n через нуль при ухудше�

нии устойчивости будет обусловлен обращением в нуль либо

предпоследнего определителя ∆n–1, либо свободного члена ха�

рактеристического уравнения an. Обращение в нуль определи�

теля ∆n–1 соответствует появлению на мнимой оси комплекс�

ной плоскости пары мнимых корней. Следовательно, система

будет находиться на границе колебательной устойчивости. Если

же станет an < 0, то, как показано в подразделе 3.3, один веще�

ственный корень перейдет в правую полуплоскость. Следова�

тельно, условие an = 0 соответствует границе апериодической

устойчивости. Если и дальше изменять коэффициенты харак�

теристического уравнения, то могут стать отрицательными и

другие определители Гурвица, а ∆n снова может стать поло�

54


жительным. Поэтому положительность an и ∆n–1 (а значит и

∆n) в общем случае еще не свидетельствует об устойчивости:

должны быть положительными также и остальные опреде�

лители Гурвица.

Первоочередной переход через нуль главного определителя

при утяжелении режима системы широко используется при

анализе апериодической статической устойчивости энергоси�

стем. С этой целью для энергосистемы задается некоторый за�

ведомо устойчивый режим. Затем в предположении, что коле�

бательная неустойчивость не возникает, производится утяже�

ление этого режима, то есть несколько параметров изменяют�

ся так, что система приближается к границе устойчивости. Од�

новременно с утяжелением режима проверяется знак свобод�

ного члена характеристического уравнения. Изменение знака

указывает на достижение границы (предела) апериодической

статической устойчивости энергосистемы.

3.4.3. Критерий Рауса

Критерий Рауса более удобен для систем высокого порядка

с численно заданными коэффициентами характеристического

уравнения.

Из коэффициентов характеристического многочлена (3.10)

составляется таблица Рауса (табл. 3.2), каждый элемент кото�

рой вычисляется через четыре элемента двух предшествующих

строк.

Алгоритм вычисления хорошо виден из таблицы. Всего в

таблице оказывается (n+1) строка.

Требования устойчивости по Раусу формулируются так: для

устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все ко#

эффициенты первого столбца были положительными [2]:

а0 >0, a1 > 0, a31 >0, …, an+1,1 > 0.

Количество перемен знака в первом столбце таблицы Рауса

указывает на количество корней характеристического уравнения,

расположенных в правой полуплоскости на плоскости корней.

Приведенное правило составления таблицы Рауса приме�

нимо в том случае, когда в первом столбце не встречаются чис�

55


Табл

ица

3.2

Табл

ица

Раус

а

Номе

рЗн

ачен

ия λ

iНо

мер

стол

бца

стро

кико

эффи

циен

тов

12

34

...

1–

α 0α 2

α 4α 6

...

2–

α 1α 3

α 5α 7

...

3λ 3 =

α0 /α

1α 31

= α

2– λ 3α 3

α 32 =

α4–

λ 3α 5α 33

= α

6–λ3α 7

α 34 =

α8–λ

3α 9..

.

4λ 4 =

α1 /α

31α 41

= α

3– λ 4α 32

α 42 =

α5–λ

4α 33α 43

= α

7– λ 4α 34

α 44 =

α9–λ

4α 35..

.

5λ 5 =

α31

/α41

α 51 =

α32

– λ 5α 42

α 52 =

α33

– λ 5α 43

α 53 =

α34

–λ5α 44

α 54 =

α35

–λ5α 45

...

...

...

...

...

...

...

...

n +

1λ n

+ 1 =

αn–

1,1

/αn1

α n +

1,1 =

αn�

1,2–

λ n +

1α n20

00

...

56


ла, равные нулю. Этот случай называется регулярным. При этом

характеристическое уравнение не имеет чисто мнимых корней.

Если же в результате вычислений появляется нулевое зна�

чение элемента в первом столбце, или все элементы какой�либо

строки становятся нулевыми, то процесс вычислений элемен�

тов таблицы Рауса несколько усложняется.

3.5. Частотные критерииустойчивости

В практике исследования устойчивости систем бывают слу�

чаи, когда трудно не только вычислить корни характеристи�

ческого уравнения, но и получить само уравнение в виде ха�

рактеристического полинома в левой части. В таких случаях

более удобными оказываются частотные критерии, которые,

как и алгебраические критерии, позволяют определить нали�

чие или отсутствие корней характеристического уравнения в

правой полуплоскости на плоскости корней. Частотные кри�

терии базируются на известном в высшей математике прин#

ципе аргумента.

3.5.1. Принцип аргумента

Как показано в разделе 3.3, характеристический многочлен

D(p) = a0pn + a1pn–1 + … + an–1pp + an

разлагается на простейшие множители

D(p) = a0(p–p1)(p–p2)…(p–pn),

где р1, р2,..., рn – корни характеристического уравнения D(p) = 0.

Каждому корню ,pi ,1i n= на плоскости корней соответ�

ствует точка. Геометрически корень рi можно представить век�

тором (рис. 3.4, а), соединяющим начало координат с точкой

pi, модуль которого равен | pi |, а фаза или аргумент – углу меж�

ду положительной полуосью α и вектором pi в положительном

направлении (против часовой стрелки). Разность (p–pi) также

57


Рисунок 3.4

представляет собой вектор, где переменная р, вообще говоря,

может принимать произвольные значения (рис. 3.4, б) [2].

Направим вектор р по мнимой оси jω, то есть положим

p= jω. Тогда конец вектора (jω–pi) будет расположен на мни�

мой оси. При изменении ω от –∞ до + ∞ аргумент вектора

(jω–pi) получает приращение +π, если αi < 0 (рис. 3.5, а), и –π,

если αi > 0 (рис. 3.5, б).

Математически приращения аргументов векторов (jω–pi) в

первом и втором случаях можно выразить так [2]:

Рисунок 3.5

p p pi i| |pi

jω

arg pi

α0

a)

jω

0 α

б)

ω→+ ∞ ω→+ ∞

π -π

jω jω

α

p pi i

ω→ −∞ ω→ −∞0 0

a) б)

α

58


( ) ,

( ) .

при 0

при 0

i i

i i

j p

j p

−∞ < ω < + ∞

−∞ < ω < + ∞

∆ ω − = π α <

∆ ω − = −π α >

arg

arg

Аргумент характеристического вектора

D(jω) = a0(jω–p1)(jω–p2)…(jω–pn)

складывается из аргументов его сомножителей:

argD(jω) = arg(jω–p1)+ arg(jω–p2)+ … + arg(jω–pn). (3.14)

Если среди n корней характеристического уравнения име�

ется m корней с положительной вещественной частью, то при

изменении ω от –∞ до +∞ аргумент характеристического век�

тора D(jω) получит приращение

( ) ( ) ( ) .2D j n m m n m−∞ < ω < + ∞

∆ ω = − π − π = − πarg (3.15)

Принцип аргумента формулируется так [2]: приращение ар#

гумента характеристического вектора D(jω) при изменении ча#

стоты ω от –∞ до +∞ равно разности между числом (n–m) кор#

ней характеристического уравнения D(p) = 0, расположенных в

левой полуплоскости, и числом m корней, лежащих в правой полу#

плоскости, помноженной на π .

Очевидно, если в правой полуплоскости не окажется ни од�

ного корня, то приращение аргумента характеристического

вектора составит

( ) .D j n−∞ < ω < + ∞

∆ ω = πarg (3.16)

Это равенство трактуется как необходимое и достаточное ус#

ловие устойчивости системы.

3.5.2. Критерий Михайлова(первая формулировка)

Советский ученый А.В. Михайлов сформулировал в 1938

году критерий устойчивости системы, который является гео�

метрической интерпретацией принципа аргумента. После под�

становки p = jω характеристический полином (3.10) становит�

59


ся характеристическим вектором, состоящим из вещественной

и мнимой составляющих:

D(jω) = U(ω) + jV(ω), (3.17)

где

U(ω) = an + an–2(jω)2 + an–4(jω)4 + … =

= an – an–2ω2 + an–4ω4–…;

jV(ω) = an–1(jω) + an–3(jω)3 + an–5(jω)5 + … =

= j(an–1ω – an–2ω3 + an–5ω5 –…).

При этом вещественная часть U(ω) является четной функ�

цией относительно ω, то есть U(ω) = U(–ω), а мнимая часть V(ω)

является нечетной, так как V(ω) = –V(–ω).

При изменении ω конец характеристического вектора D(jω)

будет перемещаться по комплексной плоскости (U(ω), jV(ω)) и

описывать кривую, которая называется характеристической

кривой или годографом характеристического вектора (рис. 3.6).

Рисунок 3.6

jV( )ωω

ωω

ω

+

− 2

2

ω

a

1

nω 0=

-ω1

U( )ω

В силу четности U(ω) и нечетности V(ω) годограф характе�

ристического вектора получается в виде двух ветвей, симмет�

рично расположенных относительно оси U(ω). Поэтому в прак�

тических расчетах нет необходимости строить обе ветви. Одна

ветвь, построенная при 0 ≤ ω < + ∞, сохраняет то же название,

60


как и вся кривая. Дополнительно еще характеристическая кри�

вая называется кривой (или годографом) Михайлова.

При ω = 0 получаем U(0) = an, V(0) = 0, то есть обе ветви

годографа Михайлова начинаются в точке, расположенной на

положительной вещественной полуоси на расстоянии an от на�

чала координат.

При изменении ω от 0 до ∞ для устойчивой системы го�

дограф Михайлова в соответствии с принципом аргумента

повернется против часовой стрелки на угол nπ/2, поочеред�

но обходя n квадрантов комплексной плоскости, где n – сте�

пень характеристического уравнения системы.

Сообразно отмеченным особенностям критерий Михайло�

ва формулируется следующим образом: линейная система n#го

порядка устойчива, если при изменении ω от 0 до ∞ годограф Ми#

хайлова последовательно обходит n квадрантов комплексной

плоскости против часовой стрелки, начинаясь в точке (an, j0) на

положительной вещественной полуоси и нигде не проходя через

начало координат [2].

Примеры годографов Михайлова для устойчивых систем

показаны на рис. 3.7, а. Если годограф Михайлова проходит

через начало координат, то система находится на границе ко�

лебательной устойчивости (кривая при n = 5 на рис. 3.7, б).

Если годограф обходит меньше, чем n квадрантов, или при обхо�

де нарушается последовательность перехода его из квадранта в

квадрант, то система неустойчива (кривая при n = 7 на рис. 3.7,б).

Определим приращение аргумента характеристического

вектора для последнего годографа. Приращение аргумента в

первом квадранте при увеличении ω от 0 до ω1 составляет

( ) /1

10

2D j≤ω < ω

∆ ω = πarg .

Суммарное приращение аргумента во втором квадранте рав�

но нулю, то есть

( )1 2

20D j

ω ≤ω < ω∆ ω =arg ,

так как сначала аргумент несколько увеличивается, а потом на

столько же уменьшается. Приращение аргумента в первом

61


U( )ω0 ω=0

n 1=

n 2=

n 3=

n 4=

n 5=

n=7

n=5

an

ω→∞

ω→

∞

U( )ωω=0ω3

0 an ω4ω2

ω1

ω5

ω6

jV( )ω

jV( )ω

Рисунок 3.7

62


квадранте при втором его прохождении в диапазоне частот

ω2 ≤ ω < ω3 составляет величину

( ) /2 3

32D j

ω ≤ω < ω∆ ω = −πarg .

В четвертом квадранте приращение аргумента

( )3 4

40D j

ω ≤ ω < ω∆ ω =arg

и, наконец, при повторном прохождении первого и второго

квадрантов, а также при прохождении третьего квадранта при�

ращение аргумента составляет по π/2, то есть

( ) ( ) ( ) /64 5 5 6

5 6 7 2D j D j D jω ≤ ω < ∞ω ≤ ω < ω ω ≤ ω < ω

∆ ω =∆ ω = ∆ ω = πarg arg arg .

Складывая все приращения, получаем

( ) / / / / / / .0

2 0 2 0 2 2 2 3 2D j≤ω < ∞

∆ ω = π + − π + + π + π + π = πarg

Количество корней, попавших в правую полуплоскость

можно определить на основе формулы

( ) ( ) /0

2 2D j n m≤ω < ∞

∆ ω = − πarg .

В нашем примере

(7–2m)π/2 = 3 π/2,

откуда m = 2.

Таким образом, по годографу Михайлова, построенному для

неустойчивой системы, можно определить количество корней

характеристического уравнения, расположенных в правой по�

луплоскости на плоскости корней.

3.5.3. Критерий Михайлова (вторая формулировка)

В некоторых практических расчетах бывает удобнее исполь�

зовать критерий Михайлова во второй формулировке, которая

тесно связана с первой формулировкой. Для устойчивых сис�

тем, как можно заметить по рис. 3.7, а, годограф Михайлова,

начинаясь на вещественной положительной полуоси в точке

63


U(0) = an > 0, в окрестности этой точки проходит в положи�

тельном направлении, что можно математически выразить че�

рез производную

( ) 10 0nV a −= >′ ,

где ( )( ) dVV

d

ωω =′ω

.

Далее годограф попеременно пересекает то мнимую, то ве�

щественную оси комплексной плоскости, то есть поперемен�

но получают нулевые значения то вещественная, то мнимая

части характеристического вектора D(jω) = U(ω) + jV(ω). Эти

свойства годографа позволяют сформулировать критерий Ми�

хайлова в следующем виде.

Для обеспечения устойчивости системы необходимо и доста#

точно выполнение следующих условий:

1) U(0) = an>0;

2) V ′(0) = an–1>0, где V ′(ω) = dV(ω)/αω;

3) все корни уравнений U(ω) = 0 и V(ω) = 0 являются веществен#

ными и перемежающимися, то есть между двумя соседними

корнями уравнения V(ω) = 0 лежит один корень уравнения

U(ω) = 0 (рис. 3.8) [2].

Существование комплексных корней уравнений U(ω) = 0

Рисунок 3.8

U,V

ω1=0

V( )

U( )

ω

ω

ω2

ω3

ω4

ω5ω

64


или V(ω) = 0, либо отсутствие перемежаемости корней этих

уравнений свидетельствует о неустойчивости системы. По�

скольку для анализа устойчивости достаточно рассмотреть

свойства годографа при 0 ≤ ω < ∞, то следует ограничиться

определением неотрицательных корней уравнений U(ω) = 0 и

V(ω) = 0.

3.5.4. Критерий Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста основан на применении

принципа аргумента к вектору�годографу комплексного коэф�

фициента усиления Wp(jω) разомкнутой системы [2].

Пусть Wp(p) – передаточная функция разомкнутой систе�

мы:

Wp(p) = M(p)/Dp(p).

Соответственно, передаточная функция (2.16) замкнутой

системы

( ) ( )( )( ) ( ) ( )?

p

M p M pW p

D p M p D p= =

+ .

Таким образом, D(p) = M(p) + Dp(p).

Рассмотрим функцию

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

1 1p

p

p p p

M p D pM p D pW p

D p D p D p

++ = + = = . (3.18)

Очевидно, что функция 1+Wp(p) представляет собой отно�

шение характеристических полиномов замкнутой и разомкну�

той систем. Эти полиномы имеют одинаковую степень n. При�

ращение аргумента вектора�годографа 1+Wp(jω) при измене�

нии ω от 0 до ∞ в соответствии с (3.18) составляет

∆arg[1 + Wp(jω)] = ∆argD(jω) – ∆argDp(jω), (3.19)

то есть определяется как разность приращений аргументов кри�

вых Михайлова для замкнутой и разомкнутой систем.

Приращение аргумента кривой Михайлова устойчивой зам�

кнутой системы однозначно определяется как

65


( ) , .0

0 5D j n≤ω < ∞

∆ ω = πarg

Приращение аргумента кривой Михайлова разомкнутой си�

стемы определяется ее состоянием (устойчива, неустойчива) и

числом m корней уравнения Dp(p) = 0 в правой полуплоскости

для неустойчивого состояния. Следовательно, зная состояние

разомкнутой системы и применяя правило аргумента для кри�

вой Михайлова замкнутой и разомкнутой систем, по уравне�

нию (3.19) можно определить устойчивость замкнутой систе�

мы.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Разомкнутая система устойчива. Тогда

( ) , .0

0 5pD j n≤ω < ∞

∆ ω = πarg

и правая часть (3.19) при устойчивой замкнутой системе пре�

вращается в нуль:

( ) ( ) , , .0 0

0 5 0 5 0pD j D j n n≤ω < ∞ ≤ω < ∞

∆ ω − ∆ ω = π − π =arg arg

В этом случае необходимое и достаточное условие устойчи�

вости замкнутой системы – критерий Найквиста – запишется

как

[ ( )] .0

1 0pW j≤ω < ∞

∆ + ω =arg (3.20)

Если это условие не выполняется, то замкнутая система не�

устойчива.

Допустим, что годограф характеристического вектора Wp(jω)

построен (рис. 3.9). Тогда, чтобы получить амплитудно�фазо�

вую частотную характеристику (АФЧХ) функции [1 + Wp(jω)],

достаточно перенести начало мнимой координатной оси Im в

точку С с координатами (�1, j0) и относительно этой точки оце�

нивать приращение аргумента рассматриваемой функции.

Очевидно, на рис. 3.9 приведена АФЧХ для устойчивой си�

стемы, так как приращение аргумента функции [1 + Wp(jω)]

отвечает условию (3.20). В то же время можно заметить, что

АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку С. Поэтому в

66


случае устойчивой разомкнутой системы критерий Найквиста

можно сформулировать так: для устойчивости замкнутой сис#

темы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ устойчивой ра#

зомкнутой системы Wp(jω) не охватывала точку (–1, j0) [2].

2. Разомкнутая система неустойчива, причем ее характери�

стическое уравнение из n корней имеет m корней в правой по�

луплоскости. Тогда согласно правилу аргумента ∆argDp(jω) =

=0,5π(n–2m) и правая часть уравнения (3.19) при устойчивой

замкнутой системы равна:

.m)mn(,n,)j(Dparg)j(Darg πππωωωω

=−−=∆−∆∞<≤∞<≤

2505000

В этом случае необходимое и достаточное условие устойчи�

вости – критерий Найквиста – запишется как

.mπ( jω)]W[1arg∆ pω0

1 =+∞<≤

(3.21)

Если это условие не выполняется, то замкнутая система не�

устойчива.

Пример кривой [1 + Wp(jω)] для устойчивой замкнутой си�

стемы при неустойчивой разомкнутой системе при m = 4 по�

казан на рис. 3.10. Как видно из этого рисунка, АФЧХ разомк�

нутой системы Wp(jω) охватывает точку С с координатами

(–1, j0) 0,5m раз, то есть при m = 4 приращение функции

[1 + Wp(jω)] = 4π.

Следовательно, для устойчивости замкнутой системы необ#

ходимо и достаточно чтобы АФЧХ неустойчивой разомкнутой

Рисунок 3.9

Im' ImW j( )p ω

C−1

ω=0Reω ∞0

67


системы Wp(jω) охватывала 0,5m раз точку (–1, j0) в положи#

тельном направлении, где m – число корней характеристическо#

го уравнения Dp(p) = 0 разомкнутой системы в правой полуплос#

кости на плоскости корней [2].

В особых случаях, то есть когда система находится на гра�

нице устойчивости, АФЧХ разомкнутой системы проходит че�

рез точку С.

Критерий Найквиста целесообразно применять:

1) если система уже сконструирована и имеет единственную

отрицательную обратную связь. При этом для разомкнутой

системы надо экспериментально снять и построить АФЧХ

разомкнутой системы, подавая на вход гармонический сиг�

нал постоянной амплитуды и переменной частоты;

2) если в системе ряд звеньев задан лишь амплитудно�фазо�

выми частотными характеристиками;

3) если размыкание системы, работающей в действующем кон�

туре автоматического управления, может в случае наруше�

ния устойчивости привести к аварии, а АФЧХ разомкнутой

системы уже известна.

При анализе устойчивости электроэнергетических систем

критерий Найквиста используется редко. Он в основном при�

Рисунок 3.10

0

1 (+Wp jω)

Im

Wp j( ω)

ω=0Re

C-1

ω→∞

68


меняется при конструировании компактных регулирующих си�

стем.

3.6. Выделение областей устойчивости(DFразбиение)

3.6.1. Понятие о D#разбиении

В технических задачах часто важно знать, в каких пределах

можно изменять те или иные параметры системы, не нарушая

ее устойчивости. Это определенным образом характеризует за�

пасы устойчивости системы и надежность ее работы, дает воз�

можность определить необходимую точность, или «остроту» на�

стройки автоматических регуляторов. Целью исследования в

этом случае является отыскание всех значений исследуемых па�

раметров, при которых система устойчива. Это особенно важ�

но при конструировании новых систем, например, устройств

автоматического регулирования.

При решении таких задач удобно выделять области устой�

чивости, так как это было предложено Ю.И. Неймарком.

Рассмотрим характеристическое уравнение n�й степени

D(p) = a0pn + a1pn–1 + … + an–1p + an = 0.

Пусть в этом уравнении численно заданы все коэффициен�

ты за исключением двух – ai и ak. Будем задавать ряд значений

коэффициентам ai и ak и фиксировать количество корней, по�

павших в правую полуплоскость. При этом на плоскости ко�

эффициентов (ai, ak) будем ставить точки с указанием количе�

ства корней в правой полуплоскости (рис. 3.11). Ограничим те�

перь кривыми точки с одинаковыми числами и обозначим по�

лученные области буквой D: D(0), D(2), D(4), … D(m), …

Полученные области называются областями D�разбиения,

а соответствующие кривые – границами областей D�разбие�

ния.

При последовательном изменении коэффициентов ai, ak все

корни характеристического уравнения будут перемещаться на

комплексной плоскости и их пути можно отметить в виде тра�

екторий перемещения (рис. 3.12). Если при этом изображаю�

69


p4(1) p4(2)

p1(1)p1(2)

p5(1)p5(2)

p2(2)p1(2)

p1(1)

jω

α

щая точка М на плоскости коэффициентов пересекает грани�

цу D�разбиения и переходит в область с б 'ольшим числом m на

две единицы, то, следовательно, пара комплексно�сопряжен�

ных корней на комплексной плоскости корней переходит че�

рез ось jω из левой полуплоскости в правую. Если же m увели�

чивается на одну единицу, то это означает, что один веществен�

Рисунок 3.11

4. 4. 2. 2. 0. 0. 0. 0.4. 4. 2. 2. 0. 0. 0. 0.4. 4. 2. 2. 0. 0. 0. 0.4. 4. 2. 2. 0. 0. 0. 0.5. 4. 2. 2. 2. 0. 0. 0.5. 5. 4. 2. 2. 2. 2. 0.5. 5. 5. 4. 2. 2. 2. 2.5. 5. 5. 4. 2. 2. 2. 2.

D(4) M2 M1

D(0)

D(2)D(5)

ak

ai

Рисунок 3.12

70


ный корень переходит через мнимую ось в правую полуплос�

кость.

Таким образом, и мнимая ось плоскости корней, и каждая

из кривых D�разбиения разделяют свои плоскости на области

с равным количеством кор�

ней. Поэтому можно считать,

что границы D�разбиения

являются отображениями

мнимой оси на плоскости

коэффициентов характерис�

тического уравнения. Если

бы вместо двух были неизве�

стны три коэффициента (ai,

ak, aj), то тогда границы об�

ластей D�разбиения имели

бы вид поверхностей в трех�

мерном пространстве. Часть

такой поверхности показана

на рис. 3.13 [2].

Построение областей D�разбиения по точкам является очень

трудоемкой задачей и на практике почти не используется. По�

скольку границы этих областей являются отображениями мни�

мой оси плоскости корней, то можно задать эту ось непосредствен�

но в характеристическом уравнении, то есть принять p = jω. В ре�

зультате характеристическое уравнение приобретает вид

D(jω) = 0. (3.22)

Если теперь подобрать ai и ak для каждого из значений ωтаким образом, чтобы выполнялось последнее равенство, то по�

лученные точки и образуют границу D�разбиения.

При подстановке р = jω характеристическое уравнение рас�

падается на вещественную и мнимые части [2]:

D(jω) = U(ω) + jV(ω) = 0, (3.23)

откуда следуют два уравнения

==

.)(V;)(U

00

ωω

(3.24)

aj D(m)M1

ak

MD

M2

ai

Рисунок 3.13

71


Чтобы найти одну точку на границе области D�разбиения,

нужно задать численное значение частоте ω = ωr и решить по�

лученную систему уравнений относительно ai и ak. Последова�

тельно задавая различные значения ω от �∞ до + ∞, можно по�

строить всю границу D�разбиения.

Следует заметить, что любая из полученных таким образом

областей D�разбиения заведомо не может быть принята в ка�

честве области устойчивости. Чтобы убедиться, что какая�либо

из областей действительно является областью D(0), то есть об�

ластью устойчивости, нужно рассмотреть одну из точек в этой

области и доказать с помощью строгих критериев (Гурвица, Ра�

уса, Михайлова, Найквиста) отсутствие корней в правой полу�

плоскости. Может оказаться, что ни одна из претендующих на

устойчивость областей не является областью D(0).

3.6.2. D#разбиение по двум параметрам

Обычно представляют интерес области D�разбиения, пост�

роенные в пространстве каких�либо технических или режим�

ных параметров системы, которые входят в виде составных ча�

стей или сомножителей в состав коэффициентов характерис�

тического уравнения.

Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда два

параметра П1 и П2 входят в состав коэффициентов характери�

стического полинома линейно (то есть ни в одном из коэффи�

циентов многочлена нет ни произведений, ни высших степе�

ней этих параметров) [2]. Характеристическое уравнение в этом

случае системы легко преобразуется к виду

D(p) = D0(p) + П1D1(p) + П2D2(p) = 0. (3.24)

Определим значения П1 и П2, при которых характеристи�

ческое уравнение имеет пару чисто мнимых корней pi,i +1 = ±jωi.

Для этого подставим p = jωi в характеристическое уравнение

(3.24), в результате получим:

D(jω) = П2D2(jωi) + П1D1(jωi) + D0(jωi) = 0. (3.25)

Это уравнение распадается на два:

72


( ) ( ) ( );( ) ( ) ( ).

2 1 1 1 1

2 2 1 2 2

i i i

i i i

П Р ПQ R

П P П Q R

ω + ω = − ω ω + ω = − ω

(3.26)

Заметим, что в полученных уравнениях первыми стоят чле�

ны с параметром П2, и именно этот параметр должен отклады�

ваться по горизонтальной оси (рис. 3.14).

Рисунок 3.14

П1

П2

ω→0

ω→

ω ω+ −

0

Буквами P, Q, R обозначены вещественные и мнимые со�

ставляющие многочленов D2(jωi), D1(jωi), D0(jωi):

DImR; .DReRDImQ; ;DReQDImP; ;DReP i i

i i

i i

i i

i i

i i

( )ω ( )ω ( )ω ( )ω ( )ω ( )ω

( )jω ( )jω ( )jω ( )jω ( )jω ( )jω 0201

1211

2221

======

Решив систему (3.26) относительно П2 и П1 по правилу Кра�

мера, получим:

,П;П∆∆

=∆

∆= 1

12

2

где

( ) ( ) ( ) ( ); ;

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ).

( ) ( )

1 1 1 1

22 2 2 2

1 1

1

2 2

i i i i

i i i i

i i

i i

P Q R Q

P Q R Q

P R

P R

ω ω − ω ω∆ = ∆ =

ω ω − ω ω

ω − ω∆ =

ω − ω

73


Параметры П2 и П1 найдены при некотором фиксирован�

ном ωi. Приняв другие значения ω в пределах от #∞ до + ∞ , по�

лучим кривые D�разбиения в плоскости параметров П2 и П1.

Нетрудно показать, что определители ∆, ∆2, ∆1 являются

нечетными функциями от ω, то есть:

∆(–ω) = –∆(ω); ∆2(–ω) = –∆2(ω); ∆1(–ω) = –∆(ω),

а параметры П2 и П1, полученные как частные от деления не�

четных функций, являются четными, то есть

П2(–ω) = П2(ω); П1(–ω) = П1(ω).

Это означает, что при некоторых значениях П2i и П1i, взя�

тых на границе D�разбиения, характеристическое уравнение

обязательно будет иметь два комплексно�сопряженных корня

pi, i+1 = ± jωi, расположенных на мнимой оси плоскости кор�

ней. Следовательно, и в плоскости параметров П2 и П1 грани�

цы областей D�разбиения являются отображениями мнимой

оси плоскости корней. Кроме того, последние равенства озна�

чают, что при изменении ω от 0 до + ∞ кривая D�разбиения

пойдет по тем же точкам, что и при изменении ω от #∞ до 0, то

есть в плоскости (П2, П1) граница должна прочерчиваться дваж�

ды (см. рис. 3.14). Это обстоятельство дает возможность рас�

сматривать значения ω только на одной полуоси jω, например,

в пределах от ω = 0 до ω→ + ∞.При решении системы (3.26) для некоторых значений ω

главный определитель ∆ может обратиться в нуль. При этом

возможны два случая:

1) ∆ = 0, ∆2≠0, ∆1≠0, тогда П2 и П1 обращаются в бесконеч�

ность и интереса не представляют;

2) ∆ = 0, ∆2 = 0, ∆1 = 0, тогда П2 и П1 становятся неопределен�

ными. Такой случай возникает, если коэффициенты перво�

го и второго уравнений (3.26) пропорциональны:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1

2 2 2

i i i

i i i

P Q R

P Q R

ω ω ω= =

ω ω ω .

При этом одно уравнение системы (3.26) является следстви�

ем другого и вместо двух уравнений можно рассматривать одно,

например,

74


П2Р1(ωi) + П1Q1(ωi) = –R1(ωi). (3.27)

Последнее уравнение для некоторого фиксированного зна�

чения ω = ωi определяет положение линии, называемой особой

прямой. Определение таких линий является обязательным. Что�

бы найти особые прямые, надо определить все значения ω, при

которых ∆= ∆2 = ∆1 = 0.

Следует отметить, что при ω = 0 все коэффициенты второ�

го уравнения системы (3.26) тождественно обращаются в нуль,

а в первом уравнении ненулевым останется лишь свободный

член характеристического уравнения.

Таким образом, при ω = 0 получаем одно уравнение

U(0) = an = 0. (3.28)

Уравнение (3.28) также является уравнением особой прямой

и оно имеет какой�либо математический или физический

смысл, если коэффициент аn является функцией от парамет�

ров П1, П2, то есть, если

аn(П2, П1) = 0. (3.29)

Следующей особой прямой является прямая, получаемая

при значении ω→∞. В этом случае параметры П2 и П1, опреде�

ленные из уравнений системы (3.26), также являются неопре�

деленными, причем

;2 1

П П∞ ∞= =∞ ∞ .

Эти соотношения можно привести к неопределенности

вида 0

0, если в характеристическом уравнении сделать замену

1p

q= . В этом случае получается уравнение с такими же ко�

эффициентами, но расположенными в обратном порядке, то

есть

D(q) = anqn + an–1qn–1 + … + a1q + a0 = 0. (3.30)

Как видно, старший коэффициент а0 исходного характери�

стического уравнения стал свободным членом нового уравне�

ния.

75


Очевидно, что условию р→∞ соответствует условие q→0 и

поэтому уравнением второй особой прямой будет равенство

а0 (П2, П1) = 0. (3.31)

При других значениях ω равенство ∆ = ∆ 2 = ∆ 1 = 0 выпол�

няется довольно редко. Особые прямые в таких случаях опре�

деляются по уравнению (3.27).

3.6.3. Штриховка границ областей D#разбиения

После построения границ областей D�разбиения и особых

прямых необходимо определить область, соответствующую ми�

нимальному количеству корней в правой полуплоскости. С этой

целью производится специальная штриховка границ D�разби�

ения и особых прямых. Поскольку границы областей D�разби�

ения являются отображениями мнимой оси плоскости корней,

то целесообразно установить соответствие между, например,

левой стороной мнимой оси плоскости корней (рис. 3.15, а) и от�

вечающей ей стороной границы области D�разбиения (рис. 3.15,

б). Это соответствие устанавливается с помощью простого пра�

вила штриховки кривых D�разбиения [2]:

если ∆>0, слева

если ∆<0, справа при возрастании ω.

Рисунок 3.15

x xx xx xx xxxx

xxxxxxx x x x x

jωpi (1) pi (2)

p i+1 (2)p i+1 (1)

α

П1 M

M

2

1

ω→0

0

0

ω→∞- П2

a) б)

76


Рисунок 3.16

П1

П2

a)

D(m+2)

D(m)

oc.np.

б)

ω→∞

∆<0

∆>0

ω

ω ω ≠= 0i

D(m+1)

oc.np. П1

П2

x xx x x

xx

xxxxx

x

xx x

x xx x xxxxxxxx

в)

ω→∞ω

oc.np.

П2

П1

По этому правилу, кривые D�разбиения оказываются зашт�

рихованными дважды с одной стороны. И, если рассматривать

переход некоторой точки через границу D�разбиения со сто�

роны двойной штриховки (из положения М1 в положение М2

на рис. 3.15, б), то это будет соответствовать переходу пары ком�

плексно�сопряженных корней в правую полуплоскость.

Особые прямые также должны быть заштрихованы. Направ�

ление их штриховки увязывается с направлением штриховки

границы D�разбиения в той точке ωi, для которой построена

особая прямая (рис. 3.16).

Если ωi≠0 и ∆ меняет знак, то направление двойной штри�

ховки кривой D�разбиения и особой прямой изменяется (рис.

77


3.16, а). Причем особая прямая в этом случае имеет двойную

штриховку.

Если особая прямая проводится при ωi = 0 (по уравнению

an(П2, П1) = 0) или при ωi→∞ (по уравнению а0(П2, П1) = 0),

то она имеет одинарную штриховку, обращенную в сторону

штриховки кривой D�разбиения для соответствующего значе�

ния ω. После пересечения с кривой D�разбиения направле�

ние штриховки особой прямой изменяется и далее остается

неизменным независимо от наличия еще каких�либо точек

пересечения (рис. 3.16, в).

Заштрихованные по изложенным правилам границы на�

правлением своей штриховки указывают на области, имеющие

наименьшее количество корней в правой полуплоскости, то

есть на области, претендующие на устойчивость. Чтобы убе�

диться, что претендующая область в действительности являет�

ся областью устойчивости, необходимо для одной точки (Пi2,

Пi1) внутри этой области сделать строгую проверку устойчиво�

сти по известным математическим критериям [2].

Следует также отметить, что имея заштрихованные грани�

цы областей D�разбиения и определив каким�либо образом ко�

личество корней в правой полуплоскости для одной точки в

любой из областей, легко найти количество корней в правой

полуплоскости для всех остальных областей. Для этого доста�

точно передвигать изображающую точку из одной области в

другую и увеличивать количество корней в правой полуплос�

кости на два, если эта точка пересекает границу со стороны

двойной штриховки или на один (вещественный) корень, если

пересекается особая прямая со стороны одинарной штрихов�

ки. При пересечении кривых D�разбиения и особых прямых с

незаштрихованной стороны соответственно на два или на один

уменьшается количество корней в правой полуплоскости. Этот

же прием используется для отыскания области�претендента на

устойчивость в сложных случаях D�разбиения. Задают из ин�

туитивных соображений или произвольно количество m кор�

ней в правой полуплоскости для некоторой области, а затем

из этой области перемещают изображающую точку по сосед�

ним областям, соответственно прибавляя или убавляя от m по

78


одному�два корня. Получается ряд: ..., D(m–2), D(m–1), D(m),

D(m+1), ..., в котором первый член отвечает области�претен�

денту на устойчивость.

3.6.4. D#разбиение по одному параметру

Запишем характеристическое уравнение в виде [2]

D(p) = П1D1(p) + D0(p) = 0. (3.32)

и подставим p = j ω:

D(jω) = П1D1(jω) + D0(jω) = 0. (3.33)

Из (3.33) следует:

D(j ω) = П1[P1(ω) + jP2(ω)] + R1(ω) + jR2(ω) = 0. (3.34)

Приравняв по отдельности вещественную и мнимую части

уравнения (3.33) к нулю, получим систему

1 1 1

1 2 2

( ) ( ) 0;( ) ( ) 0.ω ωω ω

+ = + =

ПP RП P R (3.35)

Эта система удовлетворяется только в том случае, когда одно

уравнение является следствием другого, то есть выполняется

условие( ) ( )( ) ( )

1 1

2 2

P R

P R

ω ω=

ω ω. (3.36)

Для отыскания значений ωi, при которых последнее усло�

вие выполняется, будем условно считать, что параметр П1 яв�

ляется величиной комплексной, то есть

П1= a + jb. (3.37)

Тогда уравнение (3.34) превращается в уравнение с комп�

лексными коэффициентами, которое может иметь комплекс�

ные, не сопряженные корни (например, один чисто мнимый

корень). При подстановке (3.37) в (3.34) получаем

D(j ω)=(a + jb)[P1(ω) + jP2(ω)]+ R1(ω) + jR2(ω)=0, (3.38)

откуда

79


−=+−=−+

).(R)](bP)(a P

);(R)](P[b)(a P

ωωωωωω

212

121(3.39)

Согласно методу Крамера, решение системы (3.39) имеет вид:

∆∆

b;∆

∆a ba == ,

где 0(ω)P(ω)P∆ 22

21 четная функция ω;−≥+=

ω.нечетная функцияRP

RP

ω;четная функцияPR

P(

(

(

(

(

(

(

(ω)

ω)

ω)

ω)

ω)

ω)

ω)

ω)R∆

∆22

11b

12

21a

−−−

=

−−

−−

−=

Следовательно, а(ω) = а(–ω); b(ω) = –b(–ω), то есть на плос�

кости (a, jb) кривые D�разбиения при изменении ω от 0 до + ∞и от 0 до –∞ не накладываются, а являются взаимно зеркаль�

ными отображениями друг друга.

Граница D�разбиения штрихуется однократно слева при

уменьшении ω от #∞ до +∞ (рис. 3.17) [2].

Физический смысл имеют вещественное значения парамет�

ра П1, то есть значения на оси а. На рис. 3.17 претендентами на

устойчивость являются отрезки (а1, а2) и (а3, ∞). Если D(m) –

Рисунок 3.17

1

D(m)

D(m) D(m+2)

/ / / / ///

/ / / / / /

/

/// / /

/ / /

/ / /

/ /

// / / /

/ / / / /

/

///

// /

/ /jb ω→−∞

ω→∞

a0

80


область устойчивости, то при П1 < а1 будет наблюдаться апе�

риодическая неустойчивость (один вещественный корень в

правой полуплоскости), а при а2<П1<а3 будет происходить ко�

лебательное нарушение устойчивости (пара комплексно�сопря�

женных корней в правой полуплоскости).

Возможны случаи, когда уравнения вещественной и мни�

мой частей взаимно независимы при всех значениях ω, то есть

условие (3.36) не выполняется ни при одном значении ω. Тогда

при всех значениях П1 система либо устойчива, либо неустой�

чива. Достаточно сделать проверку при П1 = 0, чтобы решить

этот вопрос.

3.6.5. D#разбиение по трем параметрам

Запишем характеристическое уравнение в виде [2]

D(p) = D0(p) + П1D1(p) + П2D2(p) + П3D3(p) = 0. (3.40)

После подстановки p = jω для вещественной и мнимой час�

тей получим систему с тремя неизвестными:

=+++=+++

.)(R)(NП)(QП)(PП

)(R)(NП)(QП)(PП

00;

2232122

1131112

ωωωωωωωω

(3.41)

Принимаем в (3.41) П3(1) = а1, то есть рассматриваем плос�

кость, параллельную плоскости (П2,П1), и на ней производим

D�разбиение по двум параметрам известным способом. При

различных значениях П3 получаем серию сечений, по которым

можно построить область в трехмерном пространстве (рис.

3.18, а).

Чаще строят проекции сечений в двухмерном пространстве

(рис. 3.18, б). К техническому осуществлению принимают об�

щий для всех П3 участок областей устойчивости в двумерном

пространстве (заштрихован на рис. 3.18, б).

3.7. Примеры к третьему разделу

Пример 3.1. Определить условия устойчивости Гурвица для

характеристического уравнения третьего порядка

81


а0р3 + а1р2 + а2р + а3 = 0.

Решение. Прежде всего проверяется выполнение необходи�

мых условий устойчивости. Должно быть

а0 > 0; a1 > 0; a2 > 0; a3 > 0.

Если эти условия не выполняются, то система заведомо не�

устойчива, и ее дальнейшее исследование может не иметь прак�

тического смысла. При выполнении необходимых условий

строим матрицу Гурвица:

aa

aa

aa

M r

=

31

20

31

000

.

Необходимые и достаточные условия устойчивости Гурвица:

∆1 = а1 > 0; ∆2 = a1a2 – a0a3 > 0; ∆3 = a3∆2 > 0.

Поскольку из необходимых условий a1 > 0; a3 > 0, то опре�

деляющим условием будет неравенство ∆2 = а1а2 – а0а3 > 0.

Выполнение этого неравенства доставит необходимые и дос�

Рисунок 3.18

П3

П1П2

П3(1)

П3(3)П3(2)

П1

a)

б)

82


таточные условия устойчивости системы при положительных

коэффициентах характеристического уравнения.

Пример 3.2. Проверить по критерию Рауса систему на ус�

тойчивость и определить количество корней в правой полуплос�

кости (в случае неустойчивости) этой системы с характеристи�

ческим уравнением

D(p) = p5 + p4 + 2p3 + 3p2 + 2p + 4 = 0.

Решение. Запишем коэффициенты характеристического

уравнения:

а0 = 1; а1 = 1; а2 = 2; а3 = 3; а4 = 2; а5 = 4.

Все коэффициенты положительны, так что необходимые ус�

ловия устойчивости выполняются. Составим таблицу Рауса:

Система неустойчива. В правой полуплоскости расположе�

ны два корня характеристического уравнения.

Пример 3.3. Определить по годографам Михайлова количе�

ство корней, попавших в правую полуплоскость для характе�

ристического уравнения 5�й степени (рис. 3.19).

Решение. Воспользуемся формулой (3.15) с учетом того, что

рассматривается лишь одна ветвь характеристической кривой

в диапазоне 0 ≤ ω < ∞ . Поэтому

( ) , ( ) . 0

0 5 2D j n m< ω < + ∞

∆ ω = − πarg

По годографам на рис. 3.19 определяем приращения аргу�

Номер Значения Номер столбцастроки коэффициентов λ 1 2 31 – α0 = 1 α2 = 2 α4 = 2

2 – α1 = 1 α3 = 3 α5 = 4

3 λ3 = 1 α31 = 2 – 3 = –1 α32 = 2 – 4 = –2 0

4 λ4 = –1 α41 = 3 – 2 = 1 α42 = 4 + 0 = 4 0

5 λ5 = –1 α51 = –2 + 4 = 2 0 0

6 λ6 = 0,5 α61 = 4 + 0 = 4 0 0

83


мента характеристического вектора и составляем уравнения в

численном выражении:

по рис. 3.15, а: ( ) , , ( ) ;0

0 5 1 0 5 5 2D j m< ω < + ∞

∆ ω = ⋅ ⋅ π = − πarg

по рис. 3.15, б: ( ) , , ( ) ;0

0 5 3 0 5 5 2D j m< ω < + ∞

∆ ω =− ⋅ ⋅ π = − πarg

по рис. 3.15, в: ( ) , , ( ) ;0

0 5 3 0 5 5 2D j m< ω < + ∞

∆ ω = ⋅ ⋅ π = − πarg

D(j )ωD(j )ω

jV

0 U 0 U

б)a)

jV

0 U

jV

D(j )ω

jV

0 U

г )в)

D(j )ω

Рисунок 3.19

84


по рис. 3.15, г: ( ) , , ( ) .0

0 5 1 0 5 5 2D j m<ω<+∞

∆ ω = ⋅ ⋅ π = − πarg

При решении этих уравнений получаем ответы:

а) m = 2; б) m = 4; в) m = 1; г) m = 3.

Пример 3.4. Определить, устойчива ли система, с помощью

второй формулировки критерия Михайлова. Характеристичес�

кое уравнение системы [2]:

D(p) = p5 + 9p4 + 10p3 + 50p2 + 12p + 10 = 0.

Решение. При подстановке p = jω в характеристическое урав�

нение получаем вещественную и мнимую части, которые по

отдельности рассматриваем как уравнения с неизвестной ω:

U(ω) = 9ω4–50ω2+10 = 0;

V(ω) = ω5–10ω3+12ω = ω(ω4–10ω2+12) = 0.

Рассматриваем только корни при ω ≥ 0.

Корни уравнения V(ω) = 0: ω1 = 0; ω3 = 1,18; ω5 = 2,92.

Корни уравнения U(ω) = 0: ω2 = 0,46; ω4 = 2,32.

Корни этих уравнений перемежаются. Порядок их распо�

ложения на числовой оси ω соответствует рис. 3.8. Система ус�

тойчива.

Пример 3.5. Построить область статической устойчивости в

координатах K2, K1 электрической системы, заданной харак�

теристическим уравнением [2]

D(p) = a0p5 + a1p4 + a2p3 + (a′3 + a′′3 K2)p2 +

+(a′4 + a′′4 K1)p + a5 = 0

или в числовом выражении

D(p) = p5+9p4+10p3+(10 + 10K2)p2 + (3 + 3K1)p + 10 = 0.

Решение. Представим характеристическое уравнение в виде

D(p) = K2D2(p) + K1D1(p) + D0(p) = 0,

где

D2(p) = 10p2; D1(p) = 3p;

D0(p) = p5 + 9p4 + 10p3 + 10p2 + 3p + 10.

85


Заменим р = jω в этих многочленах и составим уравнения,

соответственно, по вещественным и мнимым их частям:

;

.

2 4 2

2

5 3

1

10 0 9 10 10

0 3 10 3

K

K

− ω + = − ω + ω −

+ ω = −ω + ω − ωРешение полученной системы уравнений записываем в виде

K2 = ∆2/∆; K1 = ∆1/∆,

где

;3030

0ωω

ω10∆ 32

−=−=

;3030273310

01010ω

ω ω ω ωω ω ω

ω9∆ 35

35

24

2 −+−=−+−

−+−=

;30100103100

10109ω ω

ω ω ωω ω ω

ω10∆ 357

35

242

1 +−=−+−

−+−−=

, ; .2 4 2

2 12

1 1 100 9 1 1

3 3K K= ω − + = − ω + ω −

ω

Вычисляем:

коэффициент K1

ω2 0 1 2 6 9 12

10ω2/3 0 3,3 6,6 20 30 40

�ω4/3 0 �0,3 1,3 �12 �27 �48

K1 �1 2 4,3 7 2 �9

коэффициент K2

ω2 0 1 2 6 9 12

1/ω2 +∞ 1 0,5 0,17 0,1 0,08

0,9ω2 0 0,9 1,8 5,4 8,1 11

K2 +∞ 0,9 1,3 4,6 7,2 10

86


По численным значениям коэффициентов K1, K2 на рис.

3.20 построена граница областей D�разбиения. Поскольку

an ≠ f (П2, П1); a0 ≠ f (П2, П1), особые прямые отсутствуют.

Рисунок 3.20

xxx

xx

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xxxxxxxxxxx

xx

xx x x x x x x x x x x xx x x x x x

K

K

1

2

6

4

2

0

-2

D(m+2)=D(2)

4 6 8 10 12 14

D(m)==D(0)

D(m+4)=D(4)ω→±∞

ω→0

Штриховка границ D�разбиения на рис. 3.20 проведена по

правилу:

�∞< ω ≤ 0, ∆ > 0 – слева; 0 ≤ ω < ∞ , ∆ < 0 – справа.

Получилась двойная штриховка.

Областью�претендентом на устойчивость является область

D(m). Поскольку n=5 нечетно, то один корень является ве�

щественным. Он находится в левой полуплоскости, так как

an= a5 =10 >0. Из четырех остальных корней только 4 могут

находиться в области D(m + 4). Следовательно, D(m) = D(0).

Проводить проверку области�претендента на устойчивость

по строгим критериям в данном случае не потребовалось.

Пример 3.6. Построить область статической устойчивости

по параметру K2 электрической системы, заданной характери�

стическим уравнением [2]:

87


( ) ( )3 4 3 2

29 10 10 10 3 10 0D p p p p K p p= + + + + + + = .

Решение. Здесь в качестве параметра П1 (см. раздел 3.6.4) вы�

ступает коэффициент K2. Представим характеристическое

уравнение в виде

D(p) = K2D1(p) + D0(p) = 0,

где

D1(p) = 10p2; D0(p) = p5 + 9p4 + 10p3 + 10p2 + 3p + 10.

При p = jω из D1(j ω) и D0(j ω) получаем:

ReD1(jω) = P1(ω) = –10ω2; ImD1(jω) = P2(ω) = 0;

ReD0(jω) = R1(ω) = 9ω4–10ω2 +10;

ImD0(jω)= R2(ω) = ω5–10ω3+3ω.

При подстановке K2 = a + jb в уравнение D(jω) = 0 система

уравнений относительно составляющих а и b будет:

( ) ;( ) ,

2 4 2

2 5 3

10 0 9 10 10

0 10 10 3

a b

a b

− ω + ⋅ = − ω + ω −

⋅ + − ω = −ω + ω − ωа ее решение определится как

; ,a ba b∆ ∆

= =∆ ∆

где

.1001009010310

010109

;30100103100

1010910

;100)10((P(ω) ω) ω

ω

ω

ω ω

ω

ω

ω ω ω

ω

ω

ω ω

ωω

ω ω

ω

ωP∆

∆

∆ 246235

24

a

35735

342

b

42222

21

+−=−−+−

−+−=

+−=−+−

−+−−=

=−=+=

Следовательно,

, , , , .2 3

2

1 10 9 1 0 1 0 3a b= ω − + = ω − ω +

ω ω

88


составляющая а

ω2 0 0,16 0,36 0,64 1 2 6 9 12

1/ω2 ∞ 6,25 2,78 1,57 1 0,5 0,17 0,1 0,08

0,9ω2 0 0,14 0,32 0,57 0,9 1,8 5,4 8,1 11

а ∞ 5,39 2,10 1,14 0,9 1,3 4,6 7,2 10

составляющая b

ω2 0 0,16 0,36 0,64 1 2 6 9 12

–ω 0 –0,4 –0,6 –0,8 –1 –1,42 –2,45 –3 –3,47

0,1ω3 0 0,01 0,02 0,05 0,1 0,28 1,47 2,7 4,16

0,3/ω ∞ 0,75 0,5 0,37 0,3 0,21 0,12 0,1 0,09

b ∞ 0,36 –0,08 –0,38 –0,6 –0,93 –0,86 –0,2 0,78

Вычисляем:

Рисунок 3.21

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\

\\\

\\\\\\

\\\\\///// / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / // / / / / / /

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \ \ \ \/ / / / / // /

/ // // /// // /// // // // /

/ // // // /b

0,8

0,4

-0,4

-0,8

2 4 6 10 12

0

D(m+2)

D(2) a(K )2

-∞

ω

+∞

a1

a2D(0)

D(m)

ω

0

Согласно результатам расчета и, соответственно, штрихов�

ке построенной границы D�разбиения (рис. 3.21), областью�

89


претендентом на устойчивость является отрезок вещественной

оси между точками а1 и а2. Уточняющий расчет не проводим, а

используем результаты D�разбиения по двум параметрам из

примера 3.6, где этот же отрезок лежит в устойчивой области.

90


Глава 4

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬРЕГУЛИРУЕМОЙ ОДНОМАШИННОЙ

ЭНЕРГОСИСТЕМЫ

Для проведения расчетов статической устойчивости энер�

госистемы необходимо составить систему дифференциальных

уравнений переходных процессов, провести линеаризацию

этих уравнений и получить характеристическое уравнение си�

стемы линеаризованных уравнений. В совокупности эти урав�

нения составляют математическую модель энергосистемы.

К наиболее сложным задачам, для решения которых требу�

ется проведение расчетов статической устойчивости при эксп�

луатации энергосистем, относится задача настройки систем ав�

томатического регулирования элементов энергосистем. Слож�

ность обусловлена тем, что для решения этой задачи требуется

использовать наиболее полное математическое описание си�

ловых и управляющих элементов энергосистемы. К этому до�

бавляются широкая номенклатура и большое количество эле�

ментов, действующих в энергосистемах. В результате требует�

ся рассматривать системы нелинейных дифференциально�ал�

гебраических уравнений очень высокого порядка.

Линеаризация уравнений переходных процессов в энерго�

системах представляет собой относительно простую, но весь�

ма громоздкую процедуру. При этом получение характеристи�

ческого уравнения в лучшем случае достигается в форме харак�

теристического определителя. Вывод характеристического

уравнения в полиномиальной форме для сложных энергосис�

тем, как правило, не производится из�за чрезмерной сложнос�

ти математических преобразований.

91

Глава 4. ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ...

В силу отмеченных причин рассматриваемая далее матема�

тическая модель имеет лишь иллюстративный характер. Для

иллюстрации принята одномашинная энергосистема, синхрон�

ный генератор которой оборудован автоматическим регулято�

ром возбуждения сильного действия (АРВ СД). Математичес�

кое описание элементов этой системы представлено упрощен�

ными уравнениями, приемлемыми для рассмотрения задач рас�

чета статической устойчивости в учебных целях. Одна из таких

задач – задача выбора коэффициентов усиления АРВ СД од�

номашинной энергосистемы исследуется в форме лаборатор�

ной работы, основное содержание которой изложено в При�

ложении 1.

4.1. Система уравнений переходных процессов

Основные уравнения переходных процессов одномашинной

энергосистемы с АРВ СД (рис. 4.1; 4.2) имеют вид [1]:

2j

T

c

Tp P Pδ = −

ω; (4.1)

qcвqeq E ;EE += (4.2)

qdqcв E ,PTE ′−= 0 (4.3)

∑ −

++

++

+++=

∂∂jjj

RjRjRj

peqeqe

),RR(*)pT(

KppTpK

K*

*)pT)(pT(EE

022

21

0

0

11

111

(4.4)

где ωс – синхронная угловая скорость, 1/с;

Tj – постоянная инерции ротора и турбины, с;

Td0 – постоянная времени обмотки возбуждения при разомк�

нутой обмотке статора генератора, с;

Те – постоянная времени силового элемента (возбудителя)

системы возбуждения, с;


92

ГU

ГT

1В

ЛT 2

Uc

C

P0

Рису

нок

4.1

Рису

нок

4.2

Roj

Rj

KO

Rj

pT +

1p

pT +

1c

11

Eqe

o

Eqe

pT

+1

pT

+1pT

+1

pKO

Rj

pK2R

jp

93


Тр – эквивалентная постоянная времени регулятора, характе�

ризующая запаздывание в его элементах (измерительных,

усилительном и др.), с;

Тд –постоянная времени дифференцирующего звена АРВ, с;

К0Rj – коэффициент усиления АРВ по отклонению параметра

Rj, ед.возб. хх/ед Rj;

K1Rj – коэффициент усиления АРВ по первой производной

параметра Rj, ед. возб. хх*с/ед. Rj;

K2Rj – коэффициент усиления АРВ по второй производной па�

раметра Rj, ед. возб. хх*с2/ед. Rj;

РТ – мощность турбины, отн. ед.;

Р –электрическая (внутренняя) мощность генератора, отн. ед.;

Eq – синхронная ЭДС, отн. ед.;

Eqe – вынужденная составляющая синхронной ЭДС, обуслов�

ленная действием АРВ, отн. ед. ;

Eqe0 – заданное (установочное) значение вынужденной состав�

ляющей синхронной ЭДС, отн. ед.;

Еqcв – свободная составляющая синхронной ЭДС, обусловлен�

ная магнитным потоком реакции статора, отн. ед.;

qE ′ – поперечная составляющая переходной ЭДС, отн. ед.;

δ – угол вылета ротора генератора, рад.;

Rj – параметр регулирования, то есть один из режимных пара�

метров энергосистемы, по которому осуществляется АРВ ге�

нератора, отн. ед.;

R0j – заданное (установочное) значение параметра регулиро�

вания, отн. ед.

Операторное выражение в правой части уравнения (4.4) яв�

ляется обобщенной (эквивалентной) передаточной функцией

АРВ СД. Структурная схема АРВ СД по параметру Rj, соответ�

ствующая уравнению (4.4), приведена на рис. 4.2.

Суммирование по j требуется в тех случаях, когда АРВ воз�

действует на ток возбуждения в функции от нескольких пара�

метров режима, что часто выполняется в современных АРВ СД

(например, используются напряжение и ток, напряжение и ча�

стота, напряжение и угол и т.д).

Примем для определенности в качестве параметров регули�

94


рования модуль UГ вектора генераторного напряжения UГ и

частоту f вращения ротора генератора.

В уравнении для вынужденной ЭДС в форме (4.4) коэффи�

циенты усиления по отклонению и первой производной гене�

раторного напряжения должны быть отрицательными, по�

скольку при снижении напряжения генератора регулятор дей�

ствует на повышение тока возбуждения и, соответственно, на

увеличение синхронной ЭДС. На практике в математических

моделях АРВ генераторов отрицательный знак этих коэффи�

циентов относят к отклонению генераторного напряжения, то

есть записывают его как

–(UГ –UГ 0) = UГ 0 –UГ. (4.5)

С учетом равенства (4.5) уравнение (4.4) при Тд = 0 для при�

нятого закона АРВ СД приобретает вид

.)ff()pKK()UU)(pKK(*

*)pT)(pT(EE

ffГГUU

peqeqe

010010

0 111

−⋅++−+

+++=

(4.6)

Исключив в уравнении (4.2) свободную Еqсв и вынужден�

ную Еqe составляющие синхронной ЭДС, определяемые по (4.3,

4.6), получим

.EpT)f( f)pK(K)U)(UpK(K*

*1)1)(pT(pT1EE

q0d0f1f0Г0ГU1U0

pe0qeq

′−−⋅++−+

+++=

В двух уравнениях (4.1, 4.7) насчитывается шесть перемен�

ных величин. Три из недостающих четырех уравнений являют�

ся уравнениями связи между параметрами режима электропе�

редачи. В соответствии с [7, 8] без вывода запишем эти уравне�

ния в общепринятых обозначениях для идеализированной схемы

замещения электропередачи, выполненной по схеме на рис. 4.1:

sinδX

UEP

dΣ

cq= ; (4.8)

(4.7)

95


d d dq q c

d d

X X XE E U

X X

∑

∑ ∑

′ − ′= + δ′ cos , (4.9)

(

1

22 2 2 2

2

12Г q Гc c d q c d Гc

d

U E X U X E U X XX ∑

= + + δ

cos ; (4.10)

где ХГс = ХТ 1 + ХВЛ + ХТ 2 ;

Хd Σ = Xd + XГс ;

X'd Σ= X'd + XГс .

Уравнения (4.1, 4.7...4.10) составляют незамкнутую (коли�

чество неизвестных больше количества уравнений) дифферен�

циально�алгебраическую систему уравнений. Недостающее

уравнение будет далее введено в виде связи между линейными

приращениями параметров режима.

4.2. Система линеаризованных уравнений

Линеаризация функций одной или нескольких переменных

формально сводится к определению полного дифференциала

этой функции. Линеаризация производной функции незави�

симой переменной приводит к производной малого прираще�

ния этой функции. Поэтому в результате линеаризации урав�

нений (4.1, 4.7...4.10) получаем линейную систему вида

2j

c

Tp P∆δ = −∆

ω; (4.11)

*( )( )

1

1 1q

e p

EpT pT

∆ =+ +

(4.12)

q0df1f0ГU1U0 p∆E'T∆f)pK(K)∆U)(pK(K* −++−+ ;

qq

EEPPP ∆

∂∂+∆

∂∂=∆ δδ

;

(4.13)

96


q q

q q

q

E EE E

E

∂ ∂′ ′∆ = ∆δ + ∆′

∂δ ∂; (4.14)

Г ГГ q

q

U UU E

E

∂ ∂∆ = ∆δ + ∆∂δ ∂ . (4.15)

Последнее, замыкающее систему (4.11...4.15) уравнение от�

ражает связь между приращениями угла и частоты вращения

ротора генератора:

∆f = p∆δ. (4.16)

Частные производные в уравнениях (4.13...4.15) подсчиты�

ваются для исследуемого установившегося режима энергосис�

темы по формулам:

;c

q d

UP

E X Σ

∂ = δ∂

sin

;q d dc

d

E X XU

X Σ

∂ − ′= − δ∂δ

sin

;q d

q d

E X

E XΣ

Σ

∂ ′ ′=∂

;2

1 q c d ГcГ

Г d

E U X XU

U X Σ

∂ = − ⋅ δ∂δ

sin

( ).2

1 ГcГq Гc c d

q Г d

XUE X U X

E U X Σ

∂ = − ⋅ + δ∂

cos

4.3. Характеристическое уравнение

Для получения характеристического уравнения системы ли�

неаризованных уравнений (4.11...4.16) в полиномиальной фор�

ме исключим в уравнениях (4.11, 4.12) переменные ∆Р, ∆Е'q,

97

Глава 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА...

∆UГ, ∆f с помощью уравнений связи (4.13...4.15) и уравнения

(4.16). После несложных преобразований получим систему двух

линеаризованных уравнений в виде

( ) ( ) ;( ) ( )

11 12

21 22

0

0

q

q

a p a p E

a p a p E

∆δ + ∆ = ∆δ + ∆ = ,

(4.17)

где ( ) ; ( ) ;2

11 12

j

c q

T P Pa p p a p

E

∂ ∂= + =ω ∂δ ∂

( ) ( () )

( () ) ;E

pTKppKUГpKK

pTpTpa

qdffUU

pe

δδ ∂′∂

+++∂

∂+∗

∗++−=

012

010

21 111

( ) ( () )

( ) .EE

pTEUГpKK

pTpTpa

q

qd

qUU

pe

∂′∂

+∂∂+−∗

∗++

−=

010

22 1111

Главный определитель D∆(p) системы линеаризованных

уравнений (4.17) является характеристическим определителем.

Приравнивание этого определителя к нулю дает характерис�

тическое уравнение

0.( )pa( )pa( )pa( )pa

D p( )2221

1211 ==∆ (4.18)

В результате раскрытия характеристического определителя

и последующих преобразований получим характеристическое

уравнение в полиномиальной форме:

D(p) = a0p5 + a1p4 + a2p3 + a3p2 + a4p + a5 = 0. (4.19)

Если выделить добавки, обусловленные коэффициентами

усиления АРВ СД, то характеристическое уравнение (4.19) при�

обретает более удобный для анализа и расчета вид:

98


,K(aKK(a

) p) pKK(a

pK(apapa( )p )

)

D

UU1U1Uff

UUff

1U1U

0500544004

23003113

322

41

50

=∆+′+∆+∆+′+

+∆+∆+′+

+∆+′++=

(4.20)

где

;0 0

j q

e p d

c q

T Ea T T T

E

∂ ′=

ω ∂

( ) ;1 0

j q

e p e p d

c q

T Ea T T T T T

E

∂ ′= + + ω ∂

;2 0 0

j q q q

e p d e p d

c q q q

T E E EP Pa T T T T T T

E E E

∂ ∂ ∂′ ′ ′∂ ∂= + + + ⋅ − ⋅′ ω ∂ ∂δ ∂ ∂ ∂δ

( ) ;

3 0

j q q

e p e p d

c q q

T E EP P Pa T T T T T

E E

∂ ∂′ ′∂ ∂ ∂= + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅′ ω ∂δ ∂δ ∂ ∂ ∂δ

( ) ;4 0

q q

e p d

q q

E EP P Pa T T T

E E

∂ ∂′ ′∂ ∂ ∂= + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅′ ∂δ ∂δ ∂ ∂ ∂δ

;5

Pa

∂=′∂δ

;31 40f f

q

P

E

∂∆ = ∆ =∂

;21 30

j ГU U

c q

T U

E

∂∆ = ∆ = ⋅ω ∂

.41 50

Г ГU U

q q

U UP P

E E

∂ ∂∂ ∂∆ = ∆ = ⋅ − ⋅∂δ ∂ ∂ ∂δ

99


Из (4.19, 4.20) следует, что

а2 = а′2 + К1U∆21U; (4.21)

а3 = а′3 + K1f ∆31f + K0U ∆30U; (4.22)

a4 = a′4 + K0f ∆40f + K1U ∆41U; (4.23)

a5 = a′5 + K0U ∆50U. (4.24)

Из (4.21...4.24) видно, что коэффициенты усиления АРВ СД

по всем каналам регулирования входят в состав коэффициен�

тов характеристического уравнения линейно, и, следователь�

но, для решения задачи настройки АРВ СД может использо�

ваться метод D�разбиения, изложенный в третьем разделе.

100


Глава 5

ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТААПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТАТИЧЕСКОЙУСТОЙЧИВОСТИ ЭНЕРГОСИСТЕМ

5.1. Общие условия расчета

Высокая размерность энергосистем не позволяет использо�

вать в расчетах статической устойчивости полные, и даже не�

которые упрощенные математические модели ее силовых эле�

ментов и управляющих систем. Поэтому в проектных и эксп�

луатационных задачах часто используется упрощенный подход

к определению статических пределов энергосистем, предпола�

гая, что регуляторы возбуждения синхронных машин справля�

ются с задачей подавления самораскачивания роторов генера�

торов и двигателей, и процесс нарушения статической устой�

чивости имеет апериодический характер. При хорошей на�

стройке автоматических регуляторов возбуждения генераторов

и двигателей это допущение вносит погрешность в определе�

ние пределов статической устойчивости энергосистем, состав�

ляющую несколько процентов. Однако если надлежащая на�

стройка регуляторов возбуждения в энергосистеме не прове�

дена, то неучет самораскачивания будет приводить к чрезмер�

но оптимистическим результатам определения ее предельных

по статической устойчивости режимов. Регуляторы возбужде�

ния в действующей энергосистеме должны быть тщательно

настроены. Как правило, эту сложную задачу решают специа�

лизированные наладочные организации, либо научно�иссле�

довательские институты. Однажды настроенная система обыч�

но действует длительное время, и ее перенастройка произво�

дится при вводе в работу достаточно крупных новых объектов

101


– линий электропередачи, энергоблоков и др. Неучет саморас�

качивания роторов синхронных машин резко снижает слож�

ность задачи расчета пределов статической устойчивости энер�

госистем, поскольку нарушение апериодической статической

устойчивости можно зафиксировать по изменению знака сво�

бодного члена характеристического уравнения при утяжелении

режима энергосистемы из заведомо устойчивого состояния. Это

обстоятельство очень широко используется при расчетах устой�

чивости энергосистем. Хотя и в таком виде задача остается до�

статочно сложной.

Дальнейшее упрощение задачи достигается тем, что при оп�

ределенных дополнительных допущениях регулируемая энер�

госистема сводится к нерегулируемой, для которой свободный

член характеристического уравнения может быть получен не�

посредственно из уравнений установившегося режима. Одна�

ко и в этом случае нужно проявлять внимательность и осто�

рожность как при получении свободного члена характеристи�

ческого уравнения, так и при его исследовании.

Расчет пределов статической устойчивости энергосистем яв�

ляется лишь частью более общей задачи определения допусти�

мой области изменения ее параметров режима. При определе�

нии такой области рассматриваются такие факторы, как обес�

печение запасов по статической устойчивости, ограничения по

динамической устойчивости, технические ограничения элект�

рооборудования и систем автоматического управления, а так�

же ряд других факторов, обусловленных конкретными услови�

ями эксплуатации энергосистемы.

5.2. Характеристическое уравнениенерегулируемой двухмашинной

энергосистемы

Некоторые особенности вывода характеристического урав�

нения сложной энергосистемы и получения свободного члена

этого уравнения рассмотрим на примере двухмашинной энер�

госистемы, генераторы которой не оборудованы автоматичес�

кими регуляторами возбуждения.

102


Для условной схемы замещения двухмашинной энергосис�

темы (рис. 5.1) справедливы уравнения [9]:

Рисунок 5.2

Рисунок 5.1

Eq1 P1 P2 Eq2

;

;

( );

( ).

2

1

1 01 12

2

2

2 02 22

2

1 1 11 11 1 2 12 1 2 12

2

2 2 22 22 2 1 21 2 1 21

0

0

i

j

q q q

q q q

dT P P

dt

dT P P

dt

P E y E E y

P E y E E y

δ − + =

δ − + =

= α + δ − δ − α = α + δ − δ − α

sin sin

sin sin

(5.1)

Углы δ1, δ2 в уравнениях (5.1) отсчитываются от некоторой

синхронно вращающейся оси (СО) и называются абсолют#

ными (рис. 5.2). Поэтому в целом уравнения (5.1) дают описа�

ние абсолютного движения роторов генераторов по отношению

к синхронно вращающейся оси. После линеаризации уравне�

Eq1 Eq2

ωc

δ2

δ1

0

103


ний (5.1) и исключения приращений ∆Р1, ∆Р2 получаем систе�

му

;

,

2

1 1 1

1 1 22

1 2

2

2 2 2

2 1 22

1 2

0

0

j

j

d P PT

dt

d P PT

dt

∆δ ∂ ∂+ ∆δ + ∆δ = ∂δ ∂δ

∆δ ∂ ∂ + ∆δ + ∆δ = ∂δ ∂δ

(5.2)

где

( );1

1 2 12 1 2 12

1

q q

PE E y

∂ = δ − δ − α∂δ

cos

( );1

1 2 12 1 2 12

2

q q

PE E y

∂ = − δ − δ − α∂δ

cos

( );2

2 1 21 2 1 21

1

q q

PE E y

∂= − δ − δ − α

∂δcos

( ).2

2 1 21 2 1 21

2

q q

PE E y

∂ = δ − δ − α∂δ

cos

В результате объединения членов с одинаковыми сомножи�

телями и подстановки р = d/dt уравнения (5.2) преобразуются

к виду

;

0.

2 1 1

1 1 2

1 2

22 2

1 2 2

1 2

0j

j

P PT p

P PT p

∂ ∂+ ∆δ + ∆δ = ∂δ ∂δ

∂ ∂ ∆δ + + ∆δ = ∂δ ∂δ

( 5.3)

Характеристическое уравнение для системы дифференци�

альных уравнений (5.3) легко получить в полиномиальной фор�

ме путем развертывания характеристического определителя

104


( )

.

2 1 1

1

1 2 4

1 2

22 2

2

1 2

22 1 1 2 1 2

1 2

2 1 1 2 2 1

0

j

j j

j

j j

P PT p

D p T T pP P

T p

P P P P P PT T p

∂ ∂+

∂δ ∂δ= = +

∂ ∂+∂δ ∂δ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + ⋅ − ⋅ = ∂δ ∂δ ∂δ ∂δ ∂δ ∂δ

Подстановкой полученных выше выражений для частных

производных легко показать, что последний (свободный) член

характеристического уравнения тождественно равен нулю, то

есть:

1 2 1 2

1 2 2 1

0P P P P∂ ∂ ∂ ∂⋅ − ⋅ ≡

∂δ ∂δ ∂δ ∂δ. (5.5)

С учетом этого замечания характеристическое уравнение

(4.4) можно записать как

( ) 2 2 2 1

1 2 1 2

2 1

0j j j j

P PD p p T T p T T

∂ ∂= + + = ∂δ ∂δ . (5.6)

Следовательно, из четырех корней характеристического

уравнения два корня представляют собой двукратный нулевой

корень. Поэтому в общем случае р1 ≠ 0; р2 ≠ 0; р3 = р4 = 0.

Двукратный нулевой корень указывает на наличие линейно

возрастающей слагающей (см. табл. 3.1) в составе функций

∆δ1(t) и ∆δ2(t). Поскольку эта составляющая присутствует в при�

ращениях абсолютных углов обоих генераторов, то прираще�

ние относительного угла ∆δ12(t) = ∆δ1(t) – ∆δ2(t) от нее не за�

висит. Следовательно, от этой составляющей не зависит и ус�

тойчивость энергосистемы в целом, а двукратный нулевой ко�

рень в данной ситуации можно считать лишним. Этот лишний

корень появился вследствие того, что в исходных уравнениях

(5.1, 5.2) отражено абсолютное, а не относительное движение

роторов генераторов.

От двукратного нулевого корня освобождаются обычно еще

(5.4)

105


до раскрытия характеристического определителя, записывая

характеристическое уравнение в виде

0.

дP

pTдP

дP

дPpT

p1D p( )

2

222j

1

2

2

1

1

121j

2=

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂+

=∆ (5.7)

Частные производные элементов первого и второго столб�

цов характеристического определителя в (5.7) различаются

только по знаку:

;1 1 2 2

1 2 1 2

P P P P∂ ∂ ∂ ∂= − = −∂δ ∂δ ∂δ ∂δ

. (5.8)

Поэтому, если к элементам второго столбца прибавить эле�

менты первого столбца, что, как известно, не изменит величи�

ны определителя, то уравнение (5.7) может быть представлено

как

0.T

дP

TдPpT

pTдP

pTдPpT

p1D p( )∆

2j1

2

1j1

121j

22j

1

2

21j

1

121j

2=

∂∂

∂∂+

=

∂∂

∂∂+

= (5.9)

Свободный член характеристического уравнения можно по�

лучить из (5.9), приняв p = 0.

5.3. Свободный членхарактеристического уравнения сложной

нерегулируемой энергосистемы

Рассмотрим сначала некоторые особенности свободного чле�

на характеристического уравнения двухмашинной энергосисте�

мы, который, как отмечено, можно получить путем подстановки

р = 0 в характеристическом определителе уравнения (5.9):

106


1

1

1 1 2

2 1

2 1 1

2

1

j

n j j

j

PT

P Pa T T

PT

∂∂δ ∂ ∂

= = −∂ ∂δ ∂δ∂δ

. (5.10)

Замечаем, что постоянные инерции Tj1, Tj2 в составе сво�

бодного члена характеристического уравнения играют роль ве�

совых коэффициентов при частных производных дP1/дδ1 и

дP2/дδ1. При Tj2>>Tj1 определяющую роль играет производная

дP1/дδ1 и из двухмашинной энергосистемы образуется одно�

машинная с ШБМ в точке приложения ЭДС _Еq2. Напротив,

при Tj1>>Tj2 ШБМ располагаются в точке приложения ЭДС

_Eq1, а статическая апериодическая устойчивость энергосисте�

мы определяется знаком производной дP2/дδ1.

По аналогии с двухмашинной для m�машинной энергосис�

темы (рис. 5.3) свободный член характеристического уравне�

ния получается в виде

1 1

1

1 1

1 1

1

1 1

1 1

j

m

n m mjm

m mjm

m

P PT

a P PT

P PT

−

− −−

−

∂ ∂…∂δ ∂δ

………………………………= ∂ ∂

…∂δ ∂δ∂ ∂

…∂δ ∂δ

. (5.11)

Частные производные в составе определителя (5.11) берут�

ся по известным выражениям узловых мощностей

( ), , .2

1

1m

i qi ii ii qi qk ik i k ik

kk i

P E y E E y i mα δ δ α=≠

= + − − =∑sin sin

(5.12)

107


Определение собственных и взаимных проводимостей слож�

ной энергосистемы является отдельной задачей. Разложив оп�

ределитель (5.11) по элементам последнего столбца, получаем

an = TjmMm – Tjm–1Mm–1 + …– Tj1M1, (5.13)

где Мi, ,1i m= – алгебраические дополнения определителя

(5.11) к элементам последнего столбца.

Из (5.13) следует, что постоянные инерции генераторов иг�

рают роль весовых коэффициентов при составляющих свобод�

ного члена характеристического уравнения.

Допустим, для определенности, что наиболее мощной яв�

ляется электростанция с номером m, причем Tjm>>Tji,

,1 1i m= − . Тогда приближенно

.

1 1

1 1

1 1

1 1

m

n jm

m m

m

P P

a T

P P

δ δ

δ δ

−

− −

−

∂ ∂∂ ∂

≈∂ ∂∂ ∂

L

LLLLLLLLL

L

(5.14)

Поскольку всегда Tjm > 0, то знаки коэффициента характе�

ристического уравнения an (5.14) и алгебраического дополне�

ния Mm совпадают. Следовательно, при Tjm >> Tji, ,1 1i m= −

Рисунок 5.3

Eq2

Eqi

E2m-1Eqm

Eq1

Y12

108


об устойчивости энергосистемы можно судить по переходу че�

рез нуль определителя (5.14) при утяжелении режима из заве�

домо устойчивого состояния.

5.4. Свободный член характеристическогоуравнения сложной регулируемой энергосистемы

при наличии шин бесконечной мощности

Рассмотренные в четвертом разделе упрощенные дифферен�

циальные уравнения регулируемого генератора остаются дос�

таточно сложными для практических расчетов статической

устойчивости сложных регулируемых энергосистем. В таких

расчетах используются более сильные допущения, позволяю�

щие учитывать генераторы математической моделью (E ′ = const,

x ′d) при АРВ ПД, либо моделью (UГ = const, xГ = 0) при АРВ

СД.

Учитывая, что АРВ ПД на современных электростанциях

встречаются редко, обычно используется модель (UГ = const,

xГ = 0). При этом, поскольку коэффициенты усиления АРВ СД

по отклонению напряжения имеют высокие значения

(k0U = 150…300 ед. возб. xх/ед. напряж.), то равенство UГ = const

выдерживается весьма точно. Однако при использовании ма�

тематической модели (UГ = const, xГ = 0) при расчетах аперио�

дической статической устойчивости энергосистем следует

иметь в виду, что в исходной системе дифференциальных урав�

нений точные уравнения движения роторов генераторов

m1,ki,),δ,δ,E,(EPPdt

δdT kiqkiqioi2

i2

ji =−= (5.15)

заменяются приближенными уравнениями

m,k,i),,(PPdt

dT U kГ U iГ ioi

UГ iji 12

2=−= δδ

δ, (5.16)

в которых вместо механических координат – абсолютных уг�

лов δi, δk, , ,1i k m= выступают электромагнитные координаты

δUГi, δUГk, , ,1i k m= , и поэтому требуется дополнительное обо�

снование соответствия получаемых результатов.

109


Для качественной оценки влияния принимаемого упроще�

ния на погрешность определения предельных по апериодичес�

кой статической устойчивости режимов энергосистем рассмот�

рим одномашинную энергосистему, представленную схемой за�

мещения на рис. 5.4, а.

Из рис. 5.4, б видно, что угловые характеристики P(δ) и

P(δUГ), построенные для одномашинной энергосистемы при ус�

ловии UГ = const, значительно отличаются друг от друга. По�

этому замена точного уравнения движения ротора регулируе�

мого генератора приближенным уравнением, строго говоря, не�

корректна.

Однако в предельном по апериодической статической ус�

тойчивости режиме производные dP/dδUГ и dP/dδ одновре�

менно обращаются в нуль, что говорит о близости получаемых

результатов при определении предельных режимов энергосис�

темы. По мере увеличения коэффициента усиления kOU точ�

ность определения предельного режима по условию dP/dδUГ = 0

будет возрастать.

Рисунок 5.4

P Pm

( )E ,P δ

( )P δUГ

б)δ δ, UГ

Eq

q

xd UГ xГ c Uc

ШБМ

a)

110


Следует отметить, что на действующих электростанциях

иногда в качестве регулируемого параметра принимается выс�

шее напряжение трансформатора. Поэтому в дальнейших вык�

ладках индекс принадлежности к генераторному напряжению

будем опускать, понимая необходимость его ввода в конкрет�

ных условиях. Аналогично поступим и с генераторами, осна�

щенными АРВ ПД, для которых обычно принимается модель

(E' = const, xГ = 0). В целях упрощения индексации параметров

и математических выкладок для всех m генераторов далее

принимаются единые обозначения напряжений Ui, ,1i m= .

Перевод шин какого�либо из эквивалентных генераторов в

разряд шин бесконечной мощности означает, что аргумент век�

тора напряжения этого генератора фиксируется по отношению

к синхронно вращающейся оси в переходных режимах. Если,

для определенности, в разряд ШБМ нужно перевести m�й ге�

нератор, то для него следует принять δUm = const. Уравнение

движения ротора для этого генератора теряет физический

смысл и в системе исходных дифференциальных уравнений не

записывается. Характеристическое уравнение такой системы

не имеет тривиальных нулевых корней, так как теряется сово�

купное движение всех роторов генераторов по отношению к

синхронно вращающейся оси. Вследствие этого отпадает не�

обходимость в сомножителе 1/р2 при записи характеристичес�

кого уравнения в виде (5.7).

С учетом всех предварительных замечаний упрощенное ха�

рактеристическое уравнение сложной регулируемой энергоси�

стемы при наличии ШБМ (рис. 5.5) имеет вид:

0.

δP

pTδP

δP

δPpT

D p( )∆

1um

1m21jm

1u

1m

1um

1

1u

121j

=

∂∂

+∂

∂

∂∂

∂∂

+

=

−−

−

−

K

KKKKKKKKKKKK

K

(5.19)

Принимая р = 0, из (5.19) получаем свободный член харак�

теристического уравнения

111


.

δP

δP

δP

δP

a

1Um

1m

1U

1m

1Um

1

1U

1

n

−

−−

−

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

L

LLLLLLLLL

L

(5.20)

Для получения частных производных в (5.20) нужно про�

дифференцировать m–1 функцию сетевых мощностей:

1.m1,i

),αδsin (δyUUαsinyEP ikkUiUikki

m

ik1k

iiii2ii

−=

′−−′+′′= ∑≠=

(5.21)

Отметим, что свободный член характеристического уравне�

ния (5.20) не содержит постоянных инерции эквивалентных

генераторов. Наличие ШБМ, для которых можно считать

Tjm→∞, привело к тому, что влияние постоянных инерции ос�

тальных генераторов в пределе оказалось нулевым и не отра�

зилось в конечной форме представления этого члена.

Рисунок 5.5

Eq1 Uixd1

U2 EY'

q2

12

Ui Eqi

Um−1Eqm−1

Um

ШБМ

112


5.5. Связь между свободным членомхарактеристического уравнения и якобианомсистемы уравнений установившихся режимов

Если все нагрузки энергосистемы представить в виде посто�

янных сопротивлений или проводимостей, то тогда относитель�

но узлов примыкания эквивалентных генераторов могут быть

определены собственные и взаимные проводимости, представ�

ляющие в совокупности схему полного многоугольника (см.

рис. 5.5). Считая, что в узлах схемы заданы модули напряже�

ний и значения активных мощностей электростанций, систе�

ма уравнений баланса мощностей энергосистемы может быть

записана следующим образом:

( , , ) sin

sin( )

2

1 1

1

0

i U Um i i ii ii

m

i k ik Ui Uk ik

kk i

w P U y

U U y

δ δ α

δ δ α

−

=≠

… = − +′ ′

+ − − =′ ′∑(5.22)

где wi (δU1, ..., δUm–1), ,1 1i m= − – небалансы мощностей в уз�

лах.

В системе уравнений (5.22) в качестве базисного и баланси�

рующего принят m�й узел.

В матричной форме система (5.22) имеет вид

W(δU) = 0, (5.23)

где

1Um

1U

U

1Um1U1m

1Um1U1

U

δ

δδ; .

)δ,,(δw

)δ,,(δw)(δW

−−−

−

== LL

K

LLLLLLLL

K

Процесс расчета установившегося режима методом Ньюто�

на строится по итерационной формуле

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1

1j j j j

U U U U

U

WWδ δ δ δ

δ

−

+ ∂= − ∂ , (5.24)

где j – номер итерации.

,

113


В этом выражении матрица частных производных

( )( )j

U

U

W δδ

∂∂

называется матрицей Якоби и имеет следующую

структуру:

( )

1 1

1 1

1 1

1 1

U Um

U

U

m m

U Um

w w

W

w w

δ δδ

δ

δ δ

−

− −

−

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂

∂ ∂

L

LLLLLLL

L

. (5.25)

Определитель J этой матрицы называется якобианом:

1 1

1 1

1 1

1 1

U Um

m m

U Um

w w

J

w w

δ δ

δ δ

−

− −

−

∂ ∂∂ ∂

=∂ ∂∂ ∂

L

LLLLLLLLL

L. (5.26)

Нетрудно установить, что частные производные в составе

свободного члена характеристического уравнения an (5.20) и

якобиана J (5.26) поэлементно совпадают, то есть

, , ,1 1i i

Uk Uk

P wi k m

δ δ∂ ∂= = −

∂ ∂. (5.27)

Поэтому между an и J существует равенство

an = J. (5.28)

Отметим, что равенство (5.28) получено для случая, когда в

качестве ШБМ в уравнениях переходного режима и за балан�

сирующий узел в уравнениях установившегося режима принят

один и тот же узел с номером m.

114


5.6. Расчет свободного членахарактеристического уравнения

при учете нагрузокстатическими характеристиками

При учете нагрузок статическими характеристиками Pn(U),

Qn(U) эквивалентные собственные и взаимные проводимости

определяются относительно генераторных и нагрузочных уз�

лов, либо не определяются вовсе. Во втором случае в качестве

собственных и взаимных выступают естественные проводимо�

сти сетевых элементов. В том и другом случаях при исследова�

нии электромеханических переходных процессов уравнения

движения роторов генераторов должны быть дополнены под�

системами уравнений балансов активной и реактивной мощ�

ностей в свободных от генераторов узлах. В эквивалентирован�

ной системе свободными от генераторов являются только на�

грузочные узлы, поэтому система уравнений движения энер�

госистемы при принятых допущениях записывается как:

1.n1,mk

m,1,i

0)U,δ,(δQ( )UQ0;)U,δ,(δP( )UP

0;)U,δ,(δPPdt

δdT

kUkUik

kUkUikHk

Hk

kUkUiioi2Ui

2

ji

+==

=+=+

=+−(5.29)

где Pi, – сетевые мощности генераторных узлов;

n – общее количество узлов;

m – количество генераторных узлов;

Pk, Qk, k = m+1, n–1 – сетевые мощности нагрузочных узлов;

PHk, QHk, m+1, n–1 – мощности нагрузок, учитываемых стати�

ческими характеристиками.

Сетевые мощности генераторных и нагрузочных узлов, а

также аппроксимирующие выражения для статических харак�

теристик нагрузок в уравнениях (5.29) имеют следующий вид:

( ), , ;2

1

1n

i i ii ii i r ir i r ir

rr i

P U y U U y i mα δ δ α=≠

= + − − =∑sin sin (5.30)

115


( ),

, ;

2

1

1 1

n

k k kk kk k r kr Uk Ur kr

rr k

P U y U U y

k m n

α δ δ α=≠

= + − −

= + −

∑sin sin (5.31)

( ),

, ;

2

1

1 1

n

k k kk kk k r kr Uk Ur kr

rr k

Q U y U U y

k m n

α δ δ α=≠

= − − −

= + −

∑cos cos (5.32)

, , ;2

0 1 21 1Hk k k k k kP Q Q U Q U k m n= + + = + − (5.33)

, , .2

0 11 1Hk k k k rk kQ b b U b U k m n= + + = + − (5.34)

В результате перехода от уравнений (5.29…5.34) к свобод�

ному члену характеристического уравнения в обобщающей

форме получаем

HUHCQ

HdU( )UHdQ

UHδHCQ

UГδHCQ

HUHCP

HdU( )UHdP

UHδHCP

UГδHCP

HUГCP

UHδГCP

UГδГCP

na .

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= (5.35)

Определитель (5.35) имеет блочную структуру. Каждый из

элементов этого определителя представляет собой блок из част�

ных производных сетевых мощностей с индексом «Н». К част�

ным производным сетевых мощностей нагрузочных узлов до�

бавлены полные производные мощностей нагрузок по напря�

жению, что следует из (5.29) при линеаризации второго и тре�

тьего уравнений этой группы.

Непосредственной проверкой нетрудно установить, что если

при расчетах установившихся режимов энергосистемы нагру�

зочные элементы учитывать статическими характеристиками

116


(5.33, 5.34), то при прочих равных условиях численные значе�

ния якобиана и свободного члена характеристического урав�

нения будут совпадать.

5.7. Условия совпадения якобиана исвободного члена характеристического

уравнения

Обобщая результаты анализа свободного члена характери�

стического уравнения и определителя матрицы Якоби, исполь�

зуемой при расчетах установившихся режимов энергосистемы

методом Ньютона, можно отметить следующие четыре усло�

вия их совпадения [10]:

1) в расчетной схеме должен быть узел, рассматриваемый как

шины бесконечной мощности, причем этот узел должен

быть принят балансирующим;

2) при определении апериодической статической устойчиво�

сти нужно пренебрегать статизмом АРВ, то есть считать, что

АРВ поддерживает напряжение в генераторном узле в точ�

ности неизменным;

3) генераторы в расчете режима должны быть заданы значе�

ниями PГ, UГ, но не PГ, QГ ;

4) в расчете режима и при проверке его апериодической ста�

тической устойчивости должны фигурировать одни и те же

статические характеристики нагрузки.

Первое и второе условия всегда выполнимы. Третье условие

для режимов, близких к предельным, часто невыполнимо, так

как приходится вводить ограничение QГ = QГ max. При этом АРВ

работает, но со сниженной уставкой по напряжению. Если же

оказывается QГ = QГ min из�за вступления в действие ограничи�

теля минимального возбуждения, то при этом АРВ фактичес�

ки выводится из работы, что соответствует току возбуждения

if = const, а следовательно, и Eq = const. При ограничении

QГ = QГ max из якобиана можно получить свободный член ха�

рактеристического уравнения путем несложной перекодиров�

ки информации. Во втором же случае, то есть при наступле�

117


нии ограничения QГ = QГ min, коэффициент an качественно от�

личается от J, поэтому проверка апериодической статической

устойчивости по знаку якобиана будет несостоятельной. Не�

обходимо формирование коэффициента an, соответствующе�

го этому ограничению.

Четвертое условие выполнимо, если в энергосистеме отсут�

ствуют или не работают устройства автоматического регули�

рования напряжения трансформаторов (АРНТ). Иначе провер�

ка по знаку якобиана не является проверкой апериодической

статической устойчивости, так как статические характеристи�

ки нагрузки с учетом действия АРНТ, по которым рассчитыва�

ется режим, не совпадают с естественными статическими ха�

рактеристиками, которые должны использоваться при провер�

ке устойчивости.

Из изложенного следует, что использование якобиана вме�

сто свободного члена характеристического уравнения при рас�

четах статической устойчивости требует определенной осмот�

рительности, пренебрежение которой может привести к невер�

ным результатам.

5.8. Построение областей статическойустойчивости сложных энергосистем

Областью статической устойчивости энергосистемы назы�

вается множество ее режимов, в которых обеспечивается ста�

тическая устойчивость при определенном составе генераторов

и фиксированной схеме электрической сети. Поверхность, ог�

раничивающую множество устойчивых режимов, называют гра#

ницей области статической устойчивости [10].

Построение областей статической устойчивости сложных

энергосистем обычно производится в предположении, что са�

мораскачивание роторов генераторов (колебательная неустой�

чивость) подавляется системами АРВ, и что эти же системы

обеспечивают неизменность генераторных напряжений. При

этих допущениях граничная поверхность области апериодичес�

кой статической устойчивости определяется уравнением

an = 0. (5.36)

118


Области статической устойчивости строятся в координатах

параметров режима, влияющих на устойчивость энергосисте�

мы. Такими параметрами могут быть активные мощности ге�

нераторов, углы генераторных напряжений, активные мощно�

сти нагрузки, перетоки мощностей по линиям электропереда�

чи в сечениях энергосистем. При этом под сечением энергосис#

темы понимается совокупность всех сетевых элементов (ли�

ний электропередачи, трансформаторов), связывающих меж�

ду собой две части энергосистемы или электростанцию с энер�

госистемой. В сечения могут попадать как одиночные линии

электропередачи, так и группы линий и трансформаторов [10].

Примеры сечений энергосистемы показаны на рис. 5.6 (се�

чения I …VI).

Рисунок 5.6

Г1

Cечение I

Г2

Г3

Г4

II

IIIVIV

VI

Пользоваться областями устойчивости в многомерном про�

странстве практически невозможно. Поэтому следует стремить�

ся к уменьшению количества координат.

Некоторое представление о строении областей устойчивос�

ти дает их математическая аппроксимация с помощью квадра�

тичных функций�квадрик. Например, в пространстве активных

мощностей генераторов аппроксимирующее уравнение грани�

цы области устойчивости имеет вид

1 1 1

2 0m m m

ik i k i i

i k i

b P P c P d= = =

+ + =∑∑ ∑ . (5.37)

Коэффициенты bik, ci, d в уравнении (5.37) вычисляются ана�

119


литически, в частности, по точкам на аппроксимируемой гра�

нице устойчивости.

Поскольку изобразить граничную поверхность (5.37) в мно�

гомерном пространстве невозможно, обычно довольствуются

двумерным сечением пространства (рис. 5.7). Такое сечение по�

лучают посредством закрепления всех координат (переменных)

уравнения (5.37) за исключением двух наиболее существенных.

В частности, если не закреплены переменные P1 и P2, то из урав�

нения (5.37) следует уравнение сечения области устойчивости

в пространстве этих параметров:

b11P21 + b12P1P2 + b22P2

2 + 2с′1P1 + 2с′2P2 + d ′ = 0, (5.38)

где коэффициенты c′1, c′2, d ′ определяются из (5.37) с учетом

того, что Pi = const, ,3i m= .

Рисунок 5.7

P2

P10

точная граница

аппрокcимирующаяграница

Сечения области устойчивости в двумерном пространстве

имеют форму овальных плоских объектов. Аппроксимирующие

квадрики описывают границы сечений с погрешностью в не�

сколько процентов.

Как видно из рис. 5.7, граничные значения мощностей име�

ют отрицательные и положительные знаки. В тех случаях, ког�

да генераторные узлы содержат только генераторы (без мест�

120


ной нагрузки), физический смысл имеет лишь часть границы,

расположенная в первом квадранте. При наличии мощной ме�

стной нагрузки, соизмеримой с мощностью эквивалентных ге�

нераторов, физический смысл имеет вся граница сечения.

Смещение центра сечения области устойчивости относитель�

но начала координатных осей зависит от состава и характеристик

генераторов, нагрузок и элементов электрической сети.

Технически вычисление координат точек на границе обла�

сти устойчивости может производится по специализированным

программам расчета устойчивости, либо по программам рас�

чета установившихся режимов энергосистем при соблюдении

перечисленных выше условий соответствия между аn и J.

Наиболее распространенный способ получения предельного

режима заключается в последовательном расчете ряда устано�

вившихся режимов при изменении одного или нескольких па�

раметров в направлении от заведомо устойчивого состояния к

неустойчивому. Эта процедура называется утяжелением режи#

ма. Контроль перехода в неустойчивое состояние осуществля�

ется по изменению знака аn, J или по нарушению сходимости

итерационного процесса.

5.9. Связь между практическими критериямистатической устойчивости и свободным членом

характеристического уравнения

Известные практические критерии статической устойчиво�

сти энергосистем типа dP/dδ ≥ 0, d∆Q/dU ≥ 0 и т.п. вполне при�

менимы для оценки статической устойчивости сложных элек�

троэнергетических систем. Существует однозначная функци�

ональная связь между полными производными независимых

переменных по зависимым параметрам режима и свободным

членом характеристического уравнения энергосистемы.

Установим для примера такую связь между полной произ�

водной dP/dδ и свободным членом характеристического урав�

нения четырехмашинной энергосистемы, одна из машин ко�

торой представлена шинами бесконечной мощности (рис. 5.8).

Для этого зададим некоторое конечное приращение активной

121


мощности первого генератора ∆P1 и определим линейное прира�

щение угла вектора напряжения ∆δU1. С учетом принятых допу�

щений (см. раздел 5.4) система линеаризованных уравнений рас�

сматриваемой энергосистемы в этом случае имеет следующий вид:

.

P

PpT

PP

PPpT

P

PPPpT

U

U

U

Uj

UU

UUj

U

UUUj

∆

=

∆

∆

∆

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+

0

0

1

3

2

1

3

323

2

3

1

1

3

2

2

222

1

2

3

1

2

1

1

121

δ

δ

δ

δδδ

δδδ

δδδ

(5.39)

Решение этой системы относительно ∆δU1 представим как

)p(D)p(DP

U 111

1 =∆∆δ . (5.40)

где D(p) – характеристический определитель системы (5.39);

−

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂+

=

3U

323j

2U

3

3U

2

2U

222j

11

дP

pTдP

дP

дPpT

( )pD

Рисунок 5.8

Г 2 U2

U4 ШБМ

Г 3 U3

Г 1

U1

122


– алгебраическое дополнение к элементу первой строки и пер�

вого столбца характеристического определителя.

Переходя к бесконечно малым приращениям мощности и

угла и принимая в (5.40) р = 0, получаем

111

1

n

n

U aa

ddP

=δ

. (5.41)

Из (5.41) видно, что полная производная dP1/dδU1 и свобод�

ный член характеристического уравнения an одновременно

принимают нулевое значение. Несложно показать, что и дру�

гие полные производные первого и остальных генераторов

имеют числителем коэффициент an и, следовательно, одно�

временно с ним принимают нулевое значение. Поэтому эк�

стремальные значения зависимостей генераторных мощно�

стей от углов генераторных напряжений соответствуют пре�

дельным режимам энергосистемы по апериодической стати�

ческой устойчивости.

5.10. Коэффициенты запаса статическойустойчивости энергосистем и их нормирование

В практике эксплуатации энергосистем используются ко#

эффициенты запаса статической устойчивости по напряже#

нию [11]

UUU

K êкрU

−= (5.42)

и по активной мощности

P

PPK пр

P−

= (5.43)

где U – длительно поддерживаемое напряжение в узловой точ�

ке системы;

Uкр – критическое напряжение в этой же точке;

Рпр – предельная по условиям статической устойчивости мощ�

ность;

Р – передаваемая мощность.

123


Запас статической устойчивости по напряжению вводится

для обеспечения статической устойчивости нагрузки. Контроль

за соблюдением нормативных запасов устойчивости по напря�

жению может проводиться по значениям напряжения в любом

узле энергосистемы при условии, что изменение напряжения

в этом узле в достаточной степени характеризует изменение на�

пряжения на подстанции потребителей.

Расчеты критических напряжений в узлах нагрузки целесо�

образны в основном в тех случаях, когда в распределительной

сети имеются значительные потери напряжения. В таких сетях

небольшое понижение напряжения на главной подстанции мо�

жет вызвать значительное снижение напряжения на шинах

электроустановок и, следовательно, Uкр может оказаться близ�

ким к нормальному уровню напряжения [10].

Коэффициент запаса по активной мощности в виде (5.43)

определяется для электростанций, связанных линиями элект�

ропередачи с энергосистемой.

Выбор обоснованных запасов статической устойчивости

представляет собой сложную технико�экономическую задачу.

Увеличение запаса позволяет снизить количество нарушений

устойчивости и связанных с ними аварий в энергосистеме. В

то же время увеличение запасов устойчивости ведет к недоис�

пользованию пропускной способности эксплуатируемых элек�

трических сетей и увеличению затрат на строительство новых

электропередач. Поэтому строгое нормирование запасов устой�

чивости должно базироваться на результатах технико�эконо�

мичесих сопоставительных расчетов. Реализации такого под�

хода препятствуют трудности двух типов [10].

Во�первых, это трудности прогноза масштабов аварий, выз�

ванных нарушением устойчивости: объемы отключений мощ�

ности на электростанциях, у потребителей, размеры недоот�

пуска электроэнергии, время ликвидации аварий и др.

Вторая трудность выполнения технико�экономических рас�

четов обусловлена отсутствием достоверных статистических

данных об экономическом ущербе вследствие разницы в дли�

тельности перерывов электроснабжения потребителей в раз�

личных отраслях промышленности.

124


В связи с этим нормативные величины запасов статической

устойчивости основываются в настоящее время на опыте экс�

плуатации. Согласно [11], нормируемыми показателями устой�

чивости являются коэффициенты запаса по активной мощно�

сти и по напряжению.

В нормальных режимах должны обеспечиваться запасы: КP≥ 20%, КU ≥ 15%.

В наиболее тяжелых режимах, при которых увеличение пе�

ретоков по линиям позволяет уменьшить размер ограничений

и отключений потребителей или потери гидроресурсов, допус�

кается снижение запасов до КP ≥ 8%, КU ≥ 10%.

В кратковременных послеаварийных режимах должно обес�

печиваться КP ≥ 8%, КU ≥ 10%. При этом под кратковременны�

ми понимаются послеаварийные режимы длительностью до 40

минут, пока диспетчер предпринимает меры для снижения пе�

ретоков мощности до значений, соответствующих запасам ус�

тойчивости в нормальном режиме.

При определении коэффициента запаса статической устой�

чивости по активной мощности для межсистемных связей и се�

чений схемы необходимо учитывать нерегулярные колебания об�

менной мощности

P

PPPК

прp

−∆−= . (5.44)

где ∆Р – амплитуда нерегулярных колебаний мощности.

Нерегулярные колебания обменной мощности между энер�

госистемами вызываются колебаниями нагрузки и, как след�

ствие, частоты в энергосистемах и носят случайных характер.

В их составе заметно выделяются высокочастотная (с перио�

дом до нескольких секунд) и низкочастотная (с периодом до

нескольких минут) составляющие. Более опасны низкочастот�

ные составляющие. Амплитуда нерегулярных колебаний пред�

ставляет собой сумму амплитуд низкочастотной и высокочас�

тотной составляющих.

В основу решения задачи о расчетном определении ампли�

туды нерегулярных колебаний мощности положен вероятнос�

тный подход. Применяемые расчетные формулы и количе�

ственные оценки базируются на обширном эксперименталь�

125


ном материале и практическом эксплуатационном опыте ве�

дения режимов слабых связей.

Амплитуда нерегулярных колебаний перетока мощности по

связи может быть вычислена по эмпирической формуле [11]

21

21

нн

нн

PPPPkP

+⋅=∆ . (5.45)

где Рн1, Рн2 – нагрузки объединенных межсистемной связью

энергосистем;

k – некоторый коэффициент, имеющий размерность МВт0,5 и

определяемый из ряда натурных измерений.

Учет нерегулярных колебаний мощности по формуле (5.44)

не увеличивает и не уменьшает нормативных значений коэф�

фициента запаса статической устойчивости энергосистем по

активной мощности.

Согласно [11], в случае отключения одной из линий выс�

шего для данного сечения класса напряжения устойчивость мо�

жет не сохраняться, если:

– предел статической устойчивости в рассматриваемом сече�

нии уменьшается более, чем на 70%;

– предел статической устойчивости по оставшимся в сечении

связям не превышает утроенной расчетной амплитуды не�

регулярных колебаний в этом сечении.

Первое из этих условий определяется трудностями органи�

зации строго дозированной разгрузки связей на большую ве�

личину для обеспечения статической устойчивости в послеава�

рийном режиме, характеризующемся глубоким снижением

предела статической устойчивости. Второе условие диктуется

технической невозможностью или нецелесообразностью сохра�

нения параллельной работы энергосистемы по весьма слабой

связи, создающейся в результате отключения одной из линий

электропередачи. Даже если устойчивость по оставшимся в

работе линиям электропередачи сохранится в первый момент

или будет обеспечена с помощью противоаварийной автома�

тики, дальнейшая параллельная работа может быть сопряжена

с большими трудностями.

126


5.11. Построение областей допустимых режимовэнергосистем по статической устойчивости

Область допустимых режимов работы энергосистемы дол�

жна задаваться с некоторым запасом по отношению к рассчи�

танной области устойчивости. Запас устойчивости режима

энергосистемы характеризуется удаленностью отображающей

его точки от границы области устойчивости. Несмотря на яс�

ность такой геометрической трактовки запаса устойчивости,

процедура его вычисления для сложных схем весьма не проста

и может быть реализована по�разному. Возникает вопрос о вы�

боре показателей запаса статической устойчивости.

Показатели запаса устойчивости должны быть универсаль�

ными в применении для энергосистем любой степени сложно�

сти и удобными для задания диспетчерских ограничений на ре�

жим энергосистем. Такими общепринятыми показателями в

настоящее время являются коэффициенты запаса по активной

мощности на электрических связях энергосистем, что хорошо

согласуется с практикой ведения и планирования режимов.

Для оценки запаса устойчивости в узлах нагрузки энерго�

систем используются коэффициенты запаса по напряжению,

что также достаточно удобно, так как напряжение на шинах

является основным контролируемым параметром для питаю�

щих распределительных подстанций.

По заданному нормативному значению коэффициента за�

паса статической устойчивости КP норм из (5.43) для случая, ког�

да ∆Р = 0, можно определить максимально допустимый пере�

ток активной мощности Рм.∂ по формуле [10]

нормP

пр.м K

PP

+=∂ 1 . (5.46)

При расчете Рм.∂ по (5.46) предполагается, что Рпр>0, Рм.∂>0,

Рпр>Рм.∂. Однако в общем случае для каждой из координат дву�

мерной области устойчивости подлежат определению верхний

и нижний пределы статической устойчивости (точки РВпр1 и РН

пр1

на рис. 5.9). Соответственно определяются и два значения мак�

симально допустимой мощности: верхнее ВPм. ∂ и нижнее Н.мP ∂ .

127


Возможны три варианта расположения этих пределов на

плоскости (рис. 5.9):

1) сечение а–а (по линии а–а оба предела отрицательны);

2) сечение b–b (верхний предел положительный, а нижний –

отрицательный);

3) сечение с–с (оба предела положительны).

Рисунок 5.9

P

P

P

P

P

P

Н

Н

Н

В

В

В

пр

пр

пр

пр

пр

пр

1

1

1

1

1

1

P2

a a

bb P1

cc

Поскольку КР.норм>0, формулы для определения BP м.∂ и

Hм.P ∂ имеют вид:

нормP

BпрB

.м K1P

P±

=∂ ; (5.47)

нормP

HпрH

K

PP

±=м. ∂ 1

. (5.48)

Знак («плюс» или «минус») перед КР.норм в формулах (5.47;

5.48) принимается в зависимости от расположения сечений

области устойчивости на координатной плоскости. Предель�

ные значения мощностей вводятся в эти формулы с учетом сво�

их знаков. В соответствии с расположением пределов мощно�

сти на числовой оси из (5.47; 5.48) следует:

128


для первого варианта (сечение а–а):

.1 −

В

прВ

м

P норм

РР

Кд =

;

. д1 −

Н

прН

м

P норм

РР

К =

; (5.49)

для второго варианта (сечение b–b):

.1

В

прВ

м

P норм

РР

Кд =

− ;

. д1

Н

прН

м

P норм

РР

К = −

; (5.50)

для третьего варианта (сечение с–с):

.1

В

прВ

м

P норм

РР

К д = −

;

.1

Н

прН

м

P норм

РР

К д =

− . (5.51)

При построении областей допустимых по статической ус�

тойчивости режимов энергосистем по формулам (5.49…5.51) в

плоскости двух перетоков активной мощности определяются

максимально допустимые перетоки как по координате Р1, так

и по координате Р2 (рис. 5.10). В результате формируются че�

тыре отрезка границы области допустимых режимов. В точках

пересечения 1, 2, 3, 4 этих отрезков значения коэффициента

запаса статической устойчивости по координатам Р1, Р2 оди�

наковы. В других точках величина коэффициента запаса по од�

ной из координат отличается от нормативного значения. Для

выделения области допустимых по статической устойчивости

режимов выбираются такие части граничных отрезков, для ко�

129


торых по одной из координат коэффициент запаса равен нор�

мативному значению, а по другой он выше этого значения.

При учете нерегулярных колебаний обменной мощности об�

щая методика построения границ областей допустимых режимов

энергосистем по статической устойчивости сохраняется. Однако

расчетные формулы при этом несколько усложняются.

Помимо условий сохранения статической устойчивости при

построении областей допустимых режимов учитываются и дру�

гие ограничения на параметры режима энергосистем. В совокуп�

ности эти ограничения уменьшают область допустимых режимов.

Анализ и учет таких ограничений при планировании и ведении

режимов является задачей служб режимов и диспетчерских служб

энергосистем.

В учебных целях построение границ областей допустимых

по статической устойчивости режимов трехмашинной энерго�

системы входит в состав задач лабораторной работы (Прило�

жение 2).

Рисунок 5.10

12

0

43

P2

P1

130


Глава 6

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКОЙУСТОЙЧИВОСТИ ЭНЕРГОСИСТЕМ

При проектировании и эксплуатации электроэнергетичес�

ких систем решается некоторый круг задач, связанных с ана�

лизом электромеханических переходных процессов, происхо�

дящих при больших возмущениях в этих системах. Большин�

ство из задач этой группы направлено на решение проблемы

обеспечения динамической устойчивости энергосистем. В ча�

стности, такие задачи решаются при выборе средств противо�

аварийного управления, устройств противоаварийной автома�

тики, при анализе работы и настройке этих устрройств, при мо�

делировании аварийных ситуаций, имевших место в энерго�

системах, а также в научно�исследовательских и других целях.

При решении перечисленных задач часто приходится ре�

шать системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и не имеют

аналитического решения. В таких случаях решение достигает�

ся численными методами, то есть проводится численное интег#

рирование систем дифференциальных уравнений. При больших

возмущениях в электрических системах и сопровождающих их

электромеханических переходных процессах численное интег�

рирование является наиболее общим методом решения диф�

ференциальных уравнений, так как эти уравнения нелинейны.

В то же время дифференциальные уравнения электромехани�

ческих переходных процессов приводимы к виду нормальной

системы, вследствие чего методам решения нормальных сис�

тем нелинейных дифференциальных уравнений в электроэнер�

гетике уделяется большое внимание.

131

Глава 6. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ...

Из широкого круга разработанных методов численного ре�

шения систем дифференциальных уравнений далеко не все ис�

пользуются для решения задач расчета динамической устой�

чивости энергосистем. Для этих целей выбираются обычно наи�

более точные методы. Однако в целях ознакомления с общей

методологией численного интегрирования дифференциальных

уравнений полезно рассмотреть разные, в том числе и неис�

пользуемые в электроэнергетике методы.

6.1. Понятие о численном интегрированиидифференциальных уравнений. Метод Эйлера

Рассмотрим общий подход к численному решению диффе�

ренциальных уравнений на примере уравнения первого поряд�

ка:

( , )x f t x=& . (6.1)

Рассмотрение одного уравнения первого порядка не умень�

шает общности получения результатов, так как все методы чис�

ленного решения, применимые для уравнения (6.1), легко обоб�

щаются на системы таких уравнений. Кроме того, как показа�

но в разделе 1.2, уравнения более высокого порядка в большин�

стве случаев сводятся к системам уравнений первого порядка.

Как известно, общим решением диференциального уравне�

ния называется решение, зависящее от произвольных посто�

янных интегрирования и содержащее все частные решения

исследуемого уравнения. Очевидно, что общие решения диф�

ференциальных уравнений получить численными методами

нельзя. Они используются для нахождения частных решений

уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям.

Для уравнения (6.1) эти условия записываются как

t = t0; x(t0) = x0. (6.2)

Заменим в уравнении (6.1) производную x& отношением ко#

нечных приращений

( , ),xf t x

t

∆=

∆откуда

132


( , )x f t x t∆ = ⋅ ∆ , (6.3)

где ∆t – шаг интегрирования.

В начале первого шага в соответствии с начальными усло�

виями (6.2) функция f (t0, x0) в правой части (6.3) может быть

подсчитана. Следовательно, к концу первого шага будет полу�

чено приращение ∆х1 и значения t1, х1 по формулам:

∆х1 = f (t0, x0)∆;

t1 = t0 + ∆t; x1 = x0 + ∆x1.

Зная t1, х1, можно подсчитать значение функции f (t1, x1) в

конце первого – начале второго шага и далее определить ∆х2,

t2 и х2 по формулам:

∆x2 = f(t1, x1)·∆t;

t2 = t1 + ∆t; x2 = x1 + ∆x2.

Отмечая нижним индексом “k” значения переменных в кон�

це k�го шага интегрирования, представим (6.3) как

∆xk+1 = f(tk, xk)·∆t,

или, поскольку ∆xk+1 = xk+1 – xk,

xk+1 = xk+ hf(tk, xk), (6.4)

где h = ∆t – шаг интегрирования.

Рассмотренный простейший численный метод интегриро�

вания известен как метод Эйлера. Проиллюстрируем геомет#

рический смысл этого метода на примере численного решения

уравнения

xx =& .

Общее (аналитическое) решение этого уравнения хорошо

известно:

x = a ·et,

где а – произвольная постоянная интегрирования.

Зададим начальные условия: t0 = 0, x (t0) = x0 = 1. Тогда по�

стоянная интегрирования а определится из уравнения 1 = а ·e0,

откуда а = 1.

133


Кривые точного и численного определения частного реше�

ния показаны на рис. 6.1.

Как видим, они существенно различаются между собой.

Наличие больших погрешностей в определении зависимой пе�

ременной х численным методом обусловлено прежде всего тем,

что мы пытаемся выразить плавную кривую отрезками прямых,

что с самого начала должно приводить к ошибкам. Углы на�

клона этих отрезков в соответствии с геометрическим смыс�

лом производной определяются наклоном касательных к кри�

вой, что и приводит к отклонениям от точных значений иско�

мого решения. Возникающие при этом ошибки подразделяют

на два вида [12]:

ошибка ограничения – локальная ошибка интегрирования в пре�

делах одного шага интегрирования – отрезок Eh на рис. 6.1;

ошибка интегральная – накапливается за весь интервал интег�

рирования – отрезок Е на рис. 6.1.

Наличие отмеченных ошибок интегрирования может в не�

которых случаях приводить к совершенно неприемлемым ре�

зультатам. Для их уменьшения в методе Эйлера есть только один

путь – уменьшение шага интегрирования, что ведет к удлине�

нию счета.

Рисунок 6.1

xxk+1

xk1

x = et Eh E

h

tk tk+1 t

134


В любом методе численного интегрирования проблема воз�

никающих ошибок называется проблемой устойчивости метода

и ей всегда уделяется большое внимание. Совершенно ясно,

что нужно каким�то образом учесть кривизну искомого реше�

ния, а не просто искать приближение в виде отрезков прямых,

как это делается в методе Эйлера. В зависимости от способа

решения этого вопроса все методы разделяются на два широ�

ких класса.

1) Одношаговые методы, в которых используется информа�

ция об искомой кривой только в пределах одного шага и не про�

изводятся итерации. Одним из таких методов является метод

решения дифференциальных уравнений с помощью разложе�

ния зависимых переменных в ряд Тейлора. Обширную группу

в составе одношаговых методов образуют методы Рунге#Кут#

та. Эти методы являются одношаговыми прямыми (без итера�

ций), однако требуют многократных повторных вычислений

функции (правой части дифференциального уравнения). Кро�

ме того, эти методы имеют тот недостаток, что при их исполь�

зовании трудно оценивать допускаемую ошибку.

2) Многошаговые методы, в которых используется инфор�

мация о функции на предшествующих шагах. Следующую точ�

ку кривой можно найти в этих методах, не производя так мно�

го повторных вычислений функции, как при использовании

одношаговых методов, однако для достижения достаточной

точности требуются итерации. Большинство методов этого

класса называются методами прогноза и коррекции. Хотя и име�

ются трудности, связанные с использованием итерационной

процедуры и с получением нескольких начальных точек реше�

ния, но они уравновешиваются тем фактом, что оценку ошиб�

ки при использовании этих методов легко получить в качестве

побочного продукта вычислений.

6.2. Решение с помощью рядов Тейлора

Если функция x (t) в окрестности точки t достаточное число

раз дифференцируема, то для нахождения ее значения при t+h

можно воспользоваться разложением в ряд Тейлора [12]:

135


( )

( ),!

1

1

1

0mn

m n

k k

m

xx x h h

m

++

=

= + +∑ (6.5)

где все производные x (m) вычислены в исходной k�той точке.

Составляющая O (hn+1) означает, что в следующие не учи�

тываемые члены ряда величина h входит в степени не ниже n+1,

то есть ошибка ограничения в первом приближении может быть

определена как

Eh = Khn+1,

где К – некоторая константа.

Очевидно, что при n=1 мы получим уже рассмотренную

формулу Эйлера

( , )!1

1k k k k k

xx x h x f t x h+ = + = + ⋅

&.

Ошибка ограничения при этом будет Kh2.

При n = 2 необходимо подсчитать вторую производную

( , ) ( , ) ,f t x f t x dxx

t x dt

∂ ∂= + ⋅∂ ∂

&&

или, в краткой записи

fffx xt ′+′=&& .

Расчет зависимой переменной в конце (k+1)#го шага ин�

тегрирования при n = 2 проводится по формуле

,2

12

tk xk kk k k

f f fx x f h h+

+′ ′= + + (6.6)

а ошибка ограничения составляет Kh3.

Точность рассматриваемого метода зависит от количества

принимаемых во внимание членов ряда Тейлора и может быть

сколь угодно высокой. Однако следует отметить сложность вы�

числения членов ряда с производной третьего и более высоко�

го порядка, вследствие чего весьма ограничено практическое

применение этого метода. В то же время он используется в ка�

честве эталона для оценки точности других методов расчета.

Точность какого�либо метода оценивается величиной порядка

точности этого метода. В частности, метод Эйлера является ме�

136


тодом первого порядка точности, так как его расчетная фор�

мула согласуется с разложением в ряд Тейлора до членов с пер�

вой степенью h. Однако существуют одношаговые методы вто�

рого, третьего и более высокого порядка, не требующие вычис�

ления производных функций f (t, x). Все они, как и метод

Эйлера, входят в группу методов Рунге�Кутта. Их отличают

следующие свойства:

1) являются одношаговыми прямыми (без итераций);

2) согласуются, то есть позволяют получить примерно одина�

ковые результаты с разложением Тейлора до членов поряд�

ка hp, где р имеет различное значение для каждого метода и

называется его порядком точности;

3) не требуют вычисления производных от f (t, x).

6.3. Исправленный метод Эйлера

Причина значительных погрешностей метода Эйлера зак�

лючается в том, что для экстраполирования искомой функ�

ции на шаге интегрирования используется наклон касатель�

ной только в точке (tk, xk). В методах Рунге�Кутта второго

порядка точности для экстраполяции используется опреде�

ленным образом усредненный наклон касательных на шаге

интегрирования.

В исправленном методе Эйлера усреднение производится

по значениям производной в начальной и конечной точках шага

интегрирования (рис. 6.2).

С помощью метода Эйлера определяется точка , лежащая

на прямой L1. В этой точке вновь вычисляется тангенс угла на�

клона касательной (прямая L2) . Усреднение тангенсов двух ка�

сательных дает прямую –L. Через точку (tk, xk) проводится пря�

мая L, параллельная –L, и определяется искомая точка (tk+1,

xk+1). Соответствующие расчетные выражения имеют вид [12]:

)));x,hf t(xh,

h.

f t()x,h f t( (

t = t

0,5x))xhxh,f t()x,h f( (t0,5xx

kkkk

k

kk

k+1

k

kkkkkk1k

++

+

++==++++=+ &

(6.7)

137


По своим свойствам исправленный метод Эйлера относит�

ся к методам Рунге�Кутта второго порядка точности.

6.4. Модифицированныйметод Эйлера

При усреднении тангенса угла наклона экстраполирующей

прямой можно поступить иначе, чем в исправленном методе

Эйлера, приняв в качестве среднего значения тангенс угла на�

клона касательной в середине интервала h (рис. 6.3).

В этом случае [12]:

tk+1 = tk + h, ( , , , );1

0 5 0 5k k k k kx x hf t h x hx+ = + + + & (6.8)

где ( , )k k kx f t x=& .

По своим свойствам модифицированный метод Эйлера от�

носится к методам Рунге�Кутта второго порядка.

Рисунок 6.2

x L1L

L2

L x(t)

(t , x )k+1 k+1

(t +h, x +hx )k k k

tk tk+1 t

138


6.5. Метод РунгеFКуттачетвертого порядка

Без вывода приведем формулы, описывающие метод чет�

вертого порядка точности. Это один из самих употребитель�

ных методов численного интегрирования дифференциальных

уравнений, применяемый настолько широко, что в литературе

по вычислениям на ЦВМ он часто называется просто «метод

Рунге�Кутта» без указаний на тип или порядок точности. Этот

классический метод описывается системой следующих соот�

ношений [12]:

( );1 1 2 3 42 26

k k

hx x k k k k+ = + + + + (6.9)

k1 = f (tk,xk);

k2= f (tk+0,5h, xk+0,5hk1);

k3 = f (tk+0,5h, xk+0,5hk2);

k4 = f (tk+h, xk+hk3).

Рисунок 6.3

x

(t +0,5h,x +0,5hx )

k

k k

(t ,x )k+1 k+1

x(t)LLL1

0,5hh

tk tk+1 t

139


Заметим, что при использовании этого метода функцию не�

обходимо вычислять четыре раза на шаге. Данный метод само�

начинающийся. Один из его недостатков – сложность оценки

локальной ошибки (ошибки ограничения) интегрирования –

является недостатком всех методов Рунге�Кутта. Поэтому при

реализации метода с автоматическим выбором шага интегри�

рования поступают следующим образом. Вычисляют значения

искомой функции в каждой точке с полным и половинным ша�

гом и сравнивают два полученных результата. Если модуль раз�

ности между ними окажется меньше некоторого заданного по�

ложительного числа, то считается, что интегрировать с данным

шагом можно, если же это не так, то шаг делится пополам. Этот

метод выбора шага интегрирования приводит к увеличению

времени счета как минимум в три раза по сравнению с мето�

дом постоянного шага.

При интегрировании с постоянным шагом трудно выбрать

величину шага h без какой�либо оценки ошибки ограничения.

Грубое оценочное правило предложил Л. Коллатц (Германия).

Если

2 3 2

2 1

10k k

k k

−−≥

−, (6.10)

то шаг интегрирования необходимо уменьшить.

6.6. Метод прогноза и коррекции

На примере рассмотрим математические основы группы ме�

тодов численного решения дифференциальных уравнений, из�

вестных под общим названием методов прогноза и коррекции.

Как следует из названия, вначале «предсказывается» значение

xk+1, а затем используется тот или иной метод «корректиров�

ки» этого значения. Естественно, после первой корректиров�

ки можно использовать ту же самую формулу для повторной

корректировки значения xk+1, то есть осуществить итерацион�

ный процесс. Количество итераций следует разумно ограни�

чивать, выбирая должным образом шаг интегрирования.

140


В качестве примера используем для прогноза формулу вто�

рого порядка [12]:

( ) ( , )0

1 12k k k kx x hf t x+ −= + , (6.11)

где верхний индекс (0) означает исходное приближение к xk+1,

то есть предсказанное значение (рис. 6.4).

Рисунок 6.4

x

x(t)

L

L1

(t )k+1, x(0)k+1

hh

tk-1 tk tk+1 t

Предсказанное значение ( )0

1kx + можно скорректировать, если

использовать усредненный тангенс угла наклона экстраполи�

рующей прямой –

L′ (рис. 6.5), приняв среднюю его величину из

значений производной для точек tk и tk+1. Так как нам известна

приближенная величина ( )0

1kx + , то ее можно использовать для

получения производной при tk+1 и среднего значения тангенса

угла наклона экстраполирующей прямой –

L′, задающей направ�

ление к искомой точке (tk+1, ( )1

1kx + ).

Скорректированное значение ( )1

1kx + можно найти по форму�

ле [12]:

( ) ( ), ( ( , ) ( , ))1 0

1 1 10 5k k k k k kx x h f t x f t x+ + += + + . (6.12)

141


Можно попытаться найти новое, по�видимому, еще луч�

шее приближение к точному значению xk+1, используя зна�

чение ( )1

1kx + и корректируя снова. В общем случае i�тое при�

ближение ( )

1

i

kx + вычисляется по формуле

( ) ( ), ( ( , ) ( , ))1

1 1 10 5

i i

k k k k k kx x h f t x f t x−

+ + += + + . (6.13)

Итерационный процесс прекращается, когда

( ) ( )1

1 1

i i

k kx x ε−+ +− < , (6.14)

для некоторого положительного ε.

При оптимальном выборе шага интегрирования и значения

ε итерационный процесс коррекции сходится за две�три ите�

рации.

Разумеется, что как для прогноза, так и для коррекции мо�

гут использоваться другие, более точные формулы. Кроме того

отметим, что в рассмотренном случае необходимо первый шаг

интегрирования для получения х1 выполнить каким�либо од�

ношаговым методом.

По поводу применения многошаговых методов численного

Рисунок 6.5

xx(t) L' L1

L'L2

(tk+1,

(tk,

x

x

(1)k

k

+1 )

)

x

h

(0)k+1

tk tk+1 t

142


интегрирования дифференциальных уравнений сделаем не�

сколько замечаний.

Замечание 1. При внимательном рассмотрении метода про�

гноза и коррекции можно заметить его сходство с модифици�

рованным методом Эйлера на стадии прогноза и с исправлен�

ным методом Эйлера на стадии коррекции. Однако следует осо�

бо отметить, что на стадии прогноза (формула 6.11) одновре�

менно используется информация предшествующего и расчет�

ного шагов, а именно значения xk–1 и xk. Значение xk на пер�

вом шаге должно быть получено каким�либо из одношаговых

методов, чтобы осуществить «запуск» расчета, а основная часть

осуществляется многошаговыми методами.

Замечание 2. Возникает вопрос о сходимости итерационно�

го процесса. Без доказательства отметим, что итерационный

процесс будет сходиться, если величину шага выбрать из усло�

вия [12]

h < 2/M, (6.15)

где

( , )f t xM

x

∂≥

∂ . (6.16)

Из (6.16) следует, что частная производная ∂(t, x)/∂x должна

быть величиной ограниченной.

Замечание 3. Тот факт, что итерационный процесс коррек�

ции сходится, совсем не означает, что он сходится к точному

значению искомой функции. Процесс сходится лишь к наи�

лучшему приближению функции для принятого метода кор�

рекции. При коррекции по формуле (6.13) возникающая ошиб�

ка ограничения легко оценивается по выражению

( ) ( )( ) ( )0

1 1 1

1

5

i

h k k kE x x+ + += − (6.17)

на каждом шаге интегрирования. Это является большим дос�

тоинством метода. Более того, оценку (6.17) можно использо�

вать, как это рекомендуют Д. Мак�Кракен и У. Дорн [12], в ка�

честве поправки для уточнения полученного решения на шаге

по формуле

143


( ) ( ) ( )( )0

1 1 1 1

1

5

i i

k k k kx x x x+ + + += + − . (6.18)

6.7. Численное решение системдифференциальных уравнений

Полученные соотношения для численного решения отдель�

ных дифференциальных уравнений первого порядка легко рас�

пространяются на системы дифференциальных уравнений в

нормальной форме. При этом вместо зависимых переменных

и функций в полученных выражениях следует понимать век�

тор�функции. Запишем в векторной (матричной) форме основ�

ные соотношения, которые используются при численном ре�

шении системы дифференциальных уравнений

( ),X F t X=& . (6.19)

Метод Эйлера:

Xk+1 = Xk + hF(t, X). (6.20)

Исправленный метод Эйлера:

, ( ( , ) ( , ( , )))1 0 5k k k k k k k kX X h F t X F t h X hF t X+ = + + + + .

(6.21)

Модифицированный метод Эйлера:

( , , , ( , ))1

0 5 0 5k k k k k kX X hF t h X hF t X+ = + + + . (6.22)

Метод Рунге�Кутта четвертого порядка:

( );1 1 2 3 4

2 26

k k

hX X K K K K+ = + + + + (6.23)

( , )1 k kK F t X= ;

( , , , );2 1

0 5 0 5k kK F t h X hK= + +

( , , , );3 2

0 5 0 5k kK F t h X hK= + +

( , )4 3k kK F t h X hK= + + .

144


Метод прогноза и коррекции:

Прогноз( ) ( , )0

1 12k k k kX X hF t X+ −= + . (6.24)

Коррекция

( ) ( ), ( ( , ) ( , )))1

1 1 10 5

i i

k k k k k kX X h F t X F t X −+ + += + + . (6.25)

Ошибка ограничения

( ) ( ), ( 0

1 10 5

i

h k kE X X+ += − ). (6.26)

Во всех этих формулах прописная буква означает вектор�

функцию.

Проиллюстрируем расчетные формулы в развернутой (по

координатной) форме на примере решения системы двух диф�

ференциальных уравнений методом Рунге�Кутта четвертого

порядка:

( , , );( , , ).

1 1 1 2

2 2 1 2

x f t x x

x f t x x

= =

&

&

В развернутой форме расчетное выражение (6.23) для этой

системы выглядит так:

.kk

kk

kk

kkh

xx

x

x

k

k

k

k

+

+

+

+

=

+

+

24

14

23

13

22

12

21

11

2

1

12

1122

6

Здесь первым индексом при коэффициентах обозначен по�

рядковый номер функции в правой части уравнения, вторым

– порядковый номер коэффициента в расчетном выражении

(6.23). При этом:

k11 = f1(tk, x1k, x2k);

k21 = f2(tk, x1k, x2k);

k12 = f1(tk+0,5h, x1k+0,5h·k11, x2k+0,5h·k21);

k22 = f2(tk+0,5h, x1k+0,5h·k11, x2k+0,5h·k21);

k13 = f1(tk+0,5h, x1k+0,5h·k12, x2k+0,5h·k22);

145


k23 = f2(tk+0,5h, x1k+0,5h·k12, x2k+0,5h·k22);

k14 = f1(tk+h, x1k+h·k13, x2k+h·k23);

k24 = f2(tk+h, x1k+h·k13, x2k+h·k23).

Современные пакеты математического программного обес�

печения, как правило, содержат стандартные программы ре�

шения нормальных систем дифференциальных уравнений ме�

тодом Рунге�Кутта четвертого порядка точности.

6.8. Примеры к шестому разделу

Пример 6.1. Проинтегрировать методом Эйлера дифферен�

циальное уравнение

2x t x= +&

в пределах 1 ≤ t ≤ 3 с шагом h =1, при t0 = 1, x0 = 1.

Решение. Требуется выполнить два шага интегрирования.

На первом шаге

x1 = x0+h·f(t0, x0) = x0+h(2t0+x0) = 1+1·(2·1+1) = 4;

t1 = t0+h = 1+1 = 2.

На втором шаге

x2 = x1+h·f(t1, x1) = x1+h·(2t1+x1) = 4+1·(2·2+4) = 12;

t2 = t1+h = 2+1 = 3.

Пример 6.2. Проинтегрировать с помощью рядов Тейлора

до второго порядка точности дифференциальное уравнение

2x t x= +&

в пределах 1 ≤ t ≤ 3 с шагом h = 1 при t0 = 1, x0 = 1.


Находим частные производные:

1.222 =∂

+∂=∂∂=′=

∂+∂=

∂∂=′

x)xt(

xff;

t)xt(

tff xt

146


Частные производные неизменны на всем интервале интег�

рирования.


5;6523112

11212

111212

212

22

2

200

0002

01

,,)(

)(h)xt(

h)xt(xhfff

hfxx xt

=++=⋅+⋅⋅++

+⋅+⋅+=+⋅+

+

+⋅++=⋅′+′

+⋅+=

t2 = t1+h = 1+1 = 2.


3.12

252325651056

12

5622121562256

2212

2

12

2

2111112

=+=+=

=++=

=⋅+⋅⋅++⋅+⋅+=

=+⋅+

+⋅++=

htt

;,,,,

),(),(,

h)xt(

h)xt(xx

Пример 6.3. Проинтегрировать исправленным методом Эй�

лера дифференциальное уравнение

2x t x= +&




x1 = x0+0,5h(f(t0, x0)+f(t0+h, x0+hf(t0, x0)))=

= x0+0,5h((2t0+x0)+(2(t0+h)+x0+h(2t0+x0)))=

=1+0,5·1·((2·1+1)+(2(1+1)+1+1·(2·1+1)))= 6,5;

t1 = t0+h = 1+1 = 2.


147


x2 = x1+0,5h(f(t1, x1)+ f(t1+h, x1+hf(t1, x1))) =

= x1+0,5h((2t1+x1)+(2(t1+h)+x1+h(2t1+x1))) =

= 6,5+0,5·1·((2·2+6,5)+(2(2+1)+6,5+1·(2·2+6,5)))=23,25;

t2 = t1+h = 2+1 = 3.

Пример 6.4. Проинтегрировать модифицированным мето�

дом Эйлера дифференциальное уравнение

xtx += 2&




x1 = x0+h·f(t0+0,5h, x0+0,5h·f(t0,x0)) =

= x0+h(2(t0+0,5h)+x0+0,5h(2t0+x0)) =

= 1+1·(2(1+0,5·1)+1+0,5·1·(2·1+1)) = 6,5;

t1= t0+h = 1+1 = 2.


x2 = x1+h·f(t1+0,5h, x1+0,5h·f(t1,x1)) =

= x1+h(2(t1+0,5h)+x1+0,5h(2t1+x1)) =

= 6,5+1·(2(2+0,5·1)+6,5+0,5·1·(2·2+6,5)) = 23,25;

t2 = t1+h = 2+1 = 3.

Пример 6.5. Проинтегрировать методом Рунге�Кутта четвер�

того порядка дифференциальное уравнение

2x t x= +&


Решение. Общей формулой для вычислений зависимой пе�

ременной является

( )1 1 2 3 4

2 26

k k

hx x k k k k+ = + + + + .

148


Коэффициенты k1, k2, k3, k4 вычисляются на каждом шаге

интегрирования. По условию задачи требуется выполнить два

шага интегрирования.


k1 = f(t0, x0) = 2t0+ x0 = 2·1+1 = 3;

k2 = f(t0+0,5h, x0+0,5hk1) =

= 2(t0+0,5h)+x0+0,5hk1 = 2(1+0,5·1)+1+0,5·1·3 = 5,5;

k3 = f(t0+0,5h, x0+0,5hk2) =

= 2(t0+0,5h)+x0+0,5hk2 = 2(1+0,5·1)+1+0,5·1·5,5 = 6,75;

k4 = f(t0+h, x0+hk3) = 2(1+1)+1+1·6,75 = 11,75;

( )

( ) 7,54;11,756,7525,523611

kk2k2k6hxx 432101

=+⋅+⋅++

=

=

++++=

t1 = t0+h = 1+1 = 2.

Оценим правильность выбора используемого шага интег�

рирования по Коллатцу:

−2

12

32 10 .0,52,5

1,2535,5

6,755,5kkkk

>>==−

−=

−−

Используемый шаг интегрирования слишком велик. Не

уменьшая шага продолжим расчет.


k1 = f(t1, x1) = 2t1+x1 = 2·2+7,54 = 11,54;

k2 = f(t1+0,5h, x1+0,5hk1) =

= 2(2+0,5·1)+7,5·4 + 0,5·1·11,5·4 = 18,31;

k3 = f(t1+0,5h, x1+0,5hk2) =

= 2(2+0,5·1)+7,5·4+0,5·1·18,31 = 21,7;

k4 = f(t1+h1, x1+hk3) = 2(2+1)+7,54+1·21,7 = 35,24;

149


28,67;21,137,54

35,24)2·21,72·18,31·4 (11,54617,5x2

=+

=

=

++++=

t2 = t1+ h = 2+1 = 3.

Пример 6.6. Проинтегрировать методом прогноза и коррек�

ции дифференциальное уравнение

2x t x= +&


Решение. Проверим условия сходимости итерационного про�

цесса коррекции при выбранном шаге интегрирования. По ус�

ловию сходимости (6.15) следует принять h < 2/M, где

( , ) ( )21

f t x t xM

x x

∂ ∂ +≥ = =

∂ ∂при всех t и x.

Принимаем М = 1, h = 1. Тогда h = 1<2/1 и, следовательно,

процесс коррекции будет сходиться.

Выполняем прогноз значения х в конце второго шага по

формуле

x2(0) = x0 + 2h·f (t1, x1).

Значение х1 получим модифицированным методом Эйлера:

x1 = x0+hf(t+0,5h, x0+0,5hf(t0, x0)) =

= 1+1·(2(1+0,5·1)+1+0,5·1·(2+1)) = 6,5;

t1 = t0+h = 1+1 = 2.

Теперь вычисляем

( ) ( ) ( , )0

2 0 1 12 2 1 2 1 2 2 6 5 22x x h t x= + + = + ⋅ ⋅ ⋅ + = .

Выполняем коррекцию значения х в конце второго шага ин�

тегрирования. Итерационный процесс прекратим по условию

( )( ) ,1

1 1 0 2ii

k kx x ε−+ +− ≤ = .

Первая итерация

150


Результаты расчета сводим в таблицу

i 0 1 2 3 4 5 6

(i)2? 22 25,75 27,62 28,56 29,03 29,26 29,38

( ) ( )

( )

, ( ( , ) ( , )), (( ) ( ))

, , ( , ) ( )) , .

1 0

2 1 1 1 2 2

0

1 1 1 2 2

0 5

0 5 2 2

6 5 0 5 1 2 2 6 5 2 3 22 25 75

x x h f t x f t x

x h t x t x

= + + =

= + + + + == + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + =

Вторая итерация

.,)),(),((,,

))xt(f)x,t(f(h,xx )()(

6227752532562215056

50 122111

22

=+⋅++⋅⋅⋅+=

=+++=

На шестой итерации получаем

( ) ( ) , , ,6 5

2 20 12 0 2x x ε− = < =

поэтому ограничиваемся шестью итерациями. Вычисляем

ошибку ограничения

( ) ( )( ) ( , ) ,0 6

2 2

1 122 29 38 1 48

5 5hE x x= − = − = − .

Уточняем результат в конце второго шага интегрирования:

x2 = x2(6)+Eh = 29,18 –1,48 = 27,9.

Пример 6.7. Проинтегрировать методом Рунге�Кутта четвер�

того порядка систему уравнений

;1 2

2 12

x x

x t x

= = +

&

&

в пределах 1 ≤ t ≤ 2 с шагом h = 1 при t0 = 1, x10 = 1, x20 = 1.

Решение. Здесь

151


.xt

x)x,xt(f)x,xt(f

)X,t(F,xx

X,xx

X

+

=

=

=

=

1

2

2112

2111

2

1

2

1

2&

&&

Общей формулой для вычисления зависимых переменных

на шаге является

)KKKK(hXX kk 43211 226

++++=+

или в развернутой форме для рассматриваемого примера

1 1 1 1311 12 14

2 1 2 21 22 23 24

2 26

k k

k k

x x kk k kh

x x k k k k

+

+

= + + + +

.

По условию примера требуется выполнить один шаг интег�

рирования. Вычисляем:

k11 = f1(t0, x10, x20) = x20 = 1;

k21 = f2(t0, x10, x20) = 2t0+x10 = 2·1+1=3;

k12 = f1(t0+0,5h, x10+0,5hk11, x20+0,5hk21) =

= x20+0,5hk21 = 1+0,5·1·3 = 2,5;

k22 = f2(t0+0,5h, x10+0,5hk11, x20+0,5hk21) =

= 2(t0+0,5h)+x10+0,5hk11 = 2(1+0,5·1)+1+0,5·1·1 = 4,5;

k13 = f1(t0+0,5h, x10+0,5hk12, x20+0,5hk22) =

= x20+0,5hk22 = 1+0,5·1·4,5 = 3,25;

k23 = f2(t0+0,5h, x10+0,5hk12, x20+0,5hk22) =

= 2(t0+0,5h)+x10+0,5hk12 =

= 2(1+0,5·1)+1+0,5·1·2,5 = 5,25;

k14 = f1(t0+h, x10+hk13, x20 +hk23) =

= x20+hk23 = 1+1·5,25 = 6,25;

152


k24 = f2(t0+h, x20+hk13, x20+ hk23) =

= 2(t0+h)+x10+hk13 = 2(1+1)+1+1·3,25 = 8,25.

В конце первого шага интегрирования получаем

, , , ,, , , ,

11

21

1 1 2 5 3 25 6 25 4 12512 2

1 3 4 5 5 25 8 25 6 1256

x

x

= + + + + =

.

Расчет закончен.

153

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Лабораторная работа №1

ВЫБОР КОЭФФИЦИЕНТОВ УСИЛЕНИЯАРВ СД ГЕНЕРАТОРА ОДНОМАШИННОЙ

ЭНЕРГОСИСТЕМЫ

П1.1. Цель работы

Освоить методологию выбора параметров регулируемых

энергосистем по условиям их устойчивости «в малом» с исполь�

зованием D�разбиения, частотных и алгебраических критери�

ев устойчивости [13].

П1.2. Задачи расчетов

Общая задача расчетов, связанных с настройкой автомати�

ческих регуляторов возбуждения, заключается в том, чтобы по�

средством подбора коэффициентов усиления получить харак�

теристическое уравнение, корни которого расположены в ле�

вой полуплоскости на плоскости корней. При решении этой

задачи используются метод D�разбиения, алгебраические и ча�

стотные критерии устойчивости.

Выбор коэффициентов усиления следует осуществлять та�

ким образом, чтобы устойчивость энергосистемы сохранялась

без перенастройки АРВ во всех возможных эксплуатационных

режимах. Поэтому при построении областей статической ус�

тойчивости вместе с коэффициентами усиления АРВ необ�

ходимо принимать к рассмотрению какие�либо наиболее ин�

формативные параметры режима, в наибольшей степени ха�

рактеризующие режимные состояния энергосистемы. К таким

154


параметрам относятся взаимные углы и активные мощности

электростанций, в пространстве которых часто строятся обла�

сти устойчивости.

Для рассматриваемой одномашинной энергосистемы в ка�

честве варьируемого параметра режима принимается переда�

ваемая активная мощность P0 эквивалентного генератора (см.

рис. 4.1).

Построение границ областей D�разбиения проводится для

двух режимов передачи активной мощности Р0(1) и Р0(2), кото�

рые задаются в долях от максимальной мощности Рmax угло�

вой характеристики, определяемой приближенно через номи�

нальное напряжение UГН генератора по выражению

??

c??max X

UUP = . (П1.1)

Все расчеты проводятся для одной схемы замещения энер�

госистемы. Вариантность обеспечивается за счет разных зна�

чений фиксируемых (задаваемых) коэффициентов усиления

АРВ СД. Расчеты проводятся для следующих сочетаний пара�

метров:

Численные значения фиксируемых коэффициентов усиле�

ния АРВ СД задаются далее повариантно.

Определители Гурвица и данные для построения годографа

Михайлова вычисляются для одной и той же произвольно выб�

ранной точки на плоскости (K0f, K1f ) коэффициентов усиле�

ния АРВ СД. Координаты этой точки следует выбрать так, что�

бы при обработке результатов расчета она не оказалась за пре�

делами рисунка.

Расчет определителей Гурвица производится для обоих ре�

жимов. Параметры годографа Михайлова определяются для

первого режима.

Координаты (коэффициенты) для постро> Фиксируемые коэффициентыения областей статической устойчивости усиления АРВ СД

(K0f, K1f) K0U, K1U

155


П1.3. Подготовка исходных данных ивыполнение расчетов

Для определения коэффициентов характеристического

уравнения вводятся исходные данные по табл. П1.1.

Для схемы, показанной на рис. 4.1, следует принять следу�

ющие типы электрооборудования и параметры:

Генератор Г является эквивалентом двух турбогенераторов

типа ТГВ�200�2УЗ с параметрами каждого из них:

РГН = 200 МВт; UГН = 15,75 кВ; cos ϕГН = 0,85; Хd = 1,84;

X’d = 0,295; TJ = 6 c; Td0 = 7 c; UГ = UГН.

Трансформатор Т1 является эквивалентом двух трансформа�

торов типа ТДЦ�250000/220 с параметрами каждого из них:

SТН = 250 МВА; UНВ = 242 кВ; UНН = 15,75 кВ; UК = 11%.

Трансформатор Т2 является эквивалентом двух групп одно�

фазных трансформаторов типа ОЦТГ�82500/220 с параметра�

ми на группу:

SТН = 247,5 МВА; UНВ = 230 кВ; UНС = 121 кВ; UНН = 10,5

кВ; UКВС = 22%, UКВН = 14%; UКСН = 8%.

Линия ВЛ – двухцепная, выполнена проводом марки АСО�

300 с параметрами:

Длина L = 200 км; Х0 = 0,429 Ом/км.

Возбудитель генератора: Те = 2 с.

Регулятор возбуждения: Тр = 0,1 с.

Система С: Uc=115 кВ.

Турбина эквивалентного генератора:

режим 1: Рт(1) = 0,5 Рmax;

режим 2: PТ(2) = 0,9 Рmax.

Варианты значений коэффициентов усиления К0U, К1U АРВ

СД задаются по табл. П1.2, двухзначным числом. Первой и вто�

рой цифрами варианта задаются номера столбцов с соответ�

ствующими заданными значениями коэффициентов усиления

в этой таблице.

На начальной стадии расчета программа осуществляет при�

ближенное приведение исходных данных к базисным услови�

ям, осуществляет расчет установившихся режимов, определя�

ет в относительных единицах параметры, необходимые для рас�

чета частных производных и выводит полученные данные на

экран по списку, представленному в табл. П1.3.

156


Таблица П1.1

Исходные данные для расчета

Базисная мощность, МВА Sб

Номинальная мощность одного генератора, МВА Sн

Постоянная инерции ротора и турбины эквивалентного турбо.генератора, приведенная к его номинальной мощности, c Тj

Синхронное реактивное сопротивление эквивалентногоXdгенератора, приведенное к его номинальной мощности, отн.ед.

Переходное реактивное сопротивление эквивалентногоX'dгенератора, приведенное к его номинальной мощности, отн.ед.

Напряжение короткого замыкания одного трансформатораUk1электростанции, %

Напряжение короткого замыкания одной группы однофазныхтрансформаторов приемной системы, %

Uk2

Номинальная мощность одного трансформатораSmн1электростанции, МВА

Номинальная мощность одной группы однофазныхтрансформаторов приемной системы, МВА

Smн2

Реактивное сопротивление двух цепей ВЛ, Ом Xл

Постоянная времени обмотки возбуждения при разомкнутойTd0обмотке статора, с

Постоянная времени возбудителя, с Те

Постоянная времени регулятора, с Тр

Коэффициент усиления АРВ по первой производнойнапряжения, ед. возб. хх /ед.напряж.

K1U

Коэффициент усиления АРВ по отклонению напряжения,K0Uед. возб. хх /ед. напряж.

Напряжение генератора, кВ Ur

Напряжение на шинах приемной системы, кВ Uc

Синхронная угловая скорость, рад/с ωc

Передаваемая активная мощность генератора в первомР0(1)/Рmaxрежиме, в долях от Pmax

Передаваемая активная мощность генератора во второмР0(2)/Рmaxрежиме, в долях от Рmax

157



Промежуточные результаты расчета

общие параметры

Синхронное реактивное сопротивлени е генератора Xd

Переходное реактивное сопротивление генератора X'd

Сопротивление связи между генератором и системой Х

Постоянная инерции турбоагрегата, с Tj

Напряжение генератора UГ

Напряжение системы Uc

параметры первого режима

Синхронная ЭДС генератора Eq(1)

Активная мощность генератора P0(1)

Угол электропередачи δ0(1)

параметры второго режима

Синхронная ЭДС генератора Eq(2)

Активная мощность генератора P0(2)

Угол электропередачи δ0(2)


Коэффициенты усиления АРВ

№ п/п 1 2 3 4 5 6

K1U , ед.возб. хх ⋅с /ед.напряж. 10 20 30 40 50 60

K0U ед.возб. хх / ед.напряж. 100 120 140 160 180 200

ВЫВОД РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА по параметрам первого

и второго режимов энергосистемы осуществляется в форме трех

таблиц. Табл. П1.4 содержит координаты точек на границах об�

ластей D�разбиения в принятых выше единицах измерения.

При этом для случая, когда значения коэффициента K1f от�

кладываются по оси абсцисс, указывается знак главного опре�

делителя системы линейных уравнений (∆> 0 или ∆ <0), по

158


которой вычисляются координаты точек границ D#разбиения.

Координаты точек годографа Михайлова (табл. П1.4), числен�

ные значения коэффициентов характеристического уравнения

(табл. П1.5) и численные значения определителей Гурвица

(табл. П1.6) определяются для принятого варианта значений

коэффициентов усиления K1f и K0f.

П1.4. Обработка результатов расчетов

1. По данным табл. П1.4 построить отдельно границы облас�

тей D�разбиения для первого и второго режимов.


Коэффициенты характеристического уравнения

Режим а0 а1 а2 а3 а4 а5

1

2


Определители Гурвица

Режим ∆1 ∆2 ∆3 ∆4 ∆5

1

2


Границы областей D�разбиения и годограф Михайлова

№ п/пЧастота ω ,

Режим 1 ∆<>0 Режим 2 ∆<

>0Годограф

рад/с Михайлова

K0f K1f K0f K1f ReD(ω) ReD(ω)

1

…

15

159


2. Провести штриховку границ областей D�разбиения.

3. Нанести на оба рисунка точку, координаты которой исполь�

зовались для расчета определителей Гурвица и параметров

годографа Михайлова. Определить по Гурвицу (табл. П1.4)

для этой точки количество корней, расположенных в пра�

вой полуплоскости на плоскости корней. Обозначить обла�

сти D#разбиения в соответствии с количеством корней в

правой полуплоскости.

4. По данным табл. П1.4 построить годограф Михайлова, оп�

ределить по годографу количество корней, расположенных

в правой полуплоскости и сравнить его с результатом рас�

чета по определителям Гурвица для этого же режима.

5. На одном рисунке построить области D�разбиения для пер�

вого и второго режимов (без штриховки границ), выделить

общую область устойчивости для этих режимов и дать пись�

менные рекомендации по выбору коэффициентов усиления

для настройки АРВ СД.

6. Ответить (письменно) на контрольные вопросы.

П1.5. Контрольные вопросы

1. Какой вид нарушения статической устойчивости имеет

энергосистема, если решение характеристического уравне�

ния содержит:

а) один вещественный положительный корень?

б) пару комплексно�сопряженных корней с положительной ве�

щественной частью?

2. Для чего и по каким правилам производится штриховка кри�

вых и особых прямых D�разбиения?

3. Что происходит с корнями характеристического уравнения,

если изображающая точка на плоскости параметров пере�

секает границу с одинарной или двойной штриховкой?

4. Почему для точки внутри одной из областей D�разбиения

обязательно производится дополнительный расчет устойчи�

вости по какому�либо критерию?

160


ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Лабораторная работа №2

ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТИ ДОПУСТИМЫХРЕЖИМОВ ПО АПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТАТИЧЕСКОЙ

УСТОЙЧИВОСТИ ТРЕХМАШИННОЙЭНЕРГОСИСТЕМЫ

П 2.1. Цель работы

Изучить методологию построения областей статической ус�

тойчивости энергосистем, а также овладеть навыками постро�

ения областей допустимых режимов по статической устойчи�

вости [13].

П2.2. Трехмашинная модель энергосистемы

Трехмашинная электрическая система представляет собой два

эквивалентных генератора (Г1, Г2), объединенных через элект�

рическую сеть с более мощным эквивалентным генератором ГЗ

(рис.П2.1). Системы АРВ пропорционального действия генера�

торов Г1, Г2 учитываются упрощенной моделью генератора

(ЕГ = Е ′ = const, хГ = х ′d). Для АРВ сильного действия генератора

ГЗ принимается модель (ЕГ = UГ = const, хГ = 0). Расчет парамет�

ров схемы замещения рассматриваемой системы (рис. П2.2)

производится с помощью программы при следующих исходных

данных:

Генератор Г1 является эквивалентом четырех гидрогенера�

торов типа СВ�1250/170�96 с параметрами каждого из них:

РГН = 55 МВт; UГН = 13,8 кВ; cosϕГН = 0,8; х′d = 0,274;

E′ = 1,19UГН.

161


Трансформатор Т1 является эквивалентом четырех трансфор�

маторов типа ТДЦ�80000/220 с параметрами каждого из них:

SТН = 80 MBA; UНН = 242 кВ; UНН = 13,8 кВ; UК = 11%;

хТ = 80,5 Ом.

Линия ВЛ1, двухцепная, выполнена проводом марки АСО�

300 с погонными сопротивлениями и емкостной проводимос�

тью на одну цепь:

r0 = 0,098 Ом/км; х0 = 0,429 Ом/км; b0 = 2,64·10�6 См/км.

Генератор Г2 является эквивалентом четырех турбогенера�

торов типа ТВФ�60�2 с параметрами каждого из них:

РГН = 60 МВт; UГН = 10,5 кВ;

cosϕГН = 0,8; х ′d = 0,28; E ′Н = 1,19UГН.

Трансформатор Т2 является эквивалентом четырех трансфор�


SТН = 80 MBA; UВН = 242 кВ; UНН = 10,5 кВ;

хТ = 80,5 Ом, rТ = 2,9 Ом.

Линия ВЛ2, двухцепная, выполнена проводом марки АСО�

300 с погонными сопротивлениями и емкостной проводимос�

тью на одну цепь:


Генератор ГЗ является эквивалентом восьми турбогенерато�

ров типа ТГВ�200 М с параметрами каждого их них:

Р ГН = 200 МВт; UГН = 15,75 кВ; cosϕГН = 0,85;

x ′d = 0,272; UГО = UГН.

Трансформатор ТЗ является эквивалентом восьми трансфор�


SТН = 250 МВА; UВН = 242 кВ; UНН = 15,75 кВ;

хТ = 25,7 Ом; rТ = 0,6 Ом.

Линия ВЛЗ, двухцепная, выполнена проводом марки АСО�

300 с двумя проводами в фазе с погонными сопротивлениями

и емкостной проводимостью на одну цепь:


П2.3. Задачи расчетов и анализа статическойустойчивости энергосистемы

Расчет областей апериодической статической устойчивос�

ти рассматриваемой энергосистемы проводится по экспери�

162


1

T1

1

3

T3

3

2 T2 2

Рисунок П2.1

163


Рисунок П2.2

H1

164


ментальной вычислительной программе «СТАРТ». Особенно�

стью программы является возможность в два приема вычис�

лить границу сечения области апериодической статической

устойчивости энергосистемы в плоскости активных мощнос�

тей двух узлов схемы. Плотность точек на границе области ус�

тойчивости задается в виде шага дискретизации по одной из

координат координатной плоскости.

В задачу расчетов входит вычисление координат точек гра�

ницы области статической устойчивости при учете и неучете

активных сопротивлений элементов электрической сети. За�

дачей анализа полученных результатов расчетов является срав�

нительная оценка искажения области устойчивости при не�

учете активных сопротивлений электрической сети.

Подробный анализ задачи построения допустимых по ста�

тической устойчивости режимов энергосистемы проводится

для случая, когда учитываются активные сопротивления элек�

трической сети. Для этого случая внутри области устойчивос�

ти строится область допустимых по условиям статической ус�

тойчивости режимов энергосистемы. Координаты точек на гра�

нице этой области вычисляются ручным расчетом по величи�

не нормативного запаса статической устойчивости при неуче�

те нерегулярных колебаний перетоков мощности. При анали�

зе полученной области допустимых режимов оценивается со�

ответствие располагаемых активных мощностей электростан�

ций Г1, Г2 и ограничений на передачу этих мощностей по ус�

ловиям статической устойчивости.

П2.4. Подготовка исходных данныхк выполнению расчетов

При подготовке к расчетам необходимо:

2.4.l. Выбрать параметры элементов в соответствии с задан�

ным вариантом по таблицам П2.1, П2.2, П2.3.

2.4.2. Составить расчетную схему замещения энергосисте�

мы (см. рис. П2.2).

2.4.3. Пронумеровать все узлы схемы замещения. При этом

номерами 1, 2, 3 обозначить точки присоединения постоян�

165


ных ЭДС (напряжений) генераторных станций в соответствии

с рис. П2.2, остальные узлы пронумеровать в произвольном

порядке.

2.4.4. Вычислить (в Омах) активные и реактивные сопро�

тивления эквивалентных трансформаторов с учетом указаний

п. 2.4.9.


тивления эквивалентных генераторов по выражению

,nSU

xxном

номo.вoм

2

⋅= П2.1

где Uном – номинальное напряжение генератора, кВ;Sном – номинальная мощность генератора, МВА.n – количество эквивалентируемых генераторов.


тивления эквивалентных линий электропередачи; для этих же

линий определить полные емкостные проводимости (в мкСм).

2.4.7. Составить и заполнить таблицы исходных данных и

условий расчета по прилагаемым формам: табл. П2.4 – массив

Таблица П2.3№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8

L3, км 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 2 0 0 2 1 0

Таблица П2.2№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8

L2, км 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0

Таблица П2.1№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8

L1, км 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 2 0 0

166


параметров узлов; табл. П2.5 – массив параметров ветвей; ус�

ловия расчета (макет).

При заполнении табл. П2.4 учесть и принять, что:

р – номер узла электрической сети;

UНОМ – номинальное напряжение ступени трансформации, к

которой относится узел р, кВ;

PН, QH – активная и реактивная мощности потребляемые на�

грузкой, МВт, МВар;

PГ, QГ – активная и реактивная мощности, генерируемые в

данный узел, МВт, МВАР;

/U/ – заданный модуль напряжения (или его начальное при�

ближение для генераторного узла), кВ.

2.4.9. При заполнении табл. П2.5 учесть и принять, что:

p, q – номера узлов, ограничивающих данную ветвь. Если в вет�

ви есть трансформатор, то на первом месте указывается узел, к

напряжению которого отнесено сопротивление трансформа�

тора;

rpq, xpq – активное и реактивное сопротивления ветви, приве�

денные к номинальному напряжению p#го узла, Ом;

b – полная емкостная проводимость ветви, мкСм;

kТ, δКТ – соответственно, модуль и аргумент комплексного ко�

эффициента трансформации трансформатора:

pqT U ./Uk = (П2.2)


Параметры узлов (массив 02)

02 01 p UНОМ PН QН PГ QГ /U/


Параметры ветвей (массив 03)

03 01 p Q rpq xpq b kТ δКТ

167


УСЛОВИЯ РАСЧЕТА (МАКЕТ)

N(A) = U(A) = . D(A) = .

N(B) = P(B) = . HP(B) = .

При составлении условий расчета следует принять:

N(A) – номер генерирующего узла, для которого вычисля�

ется предельная по статической устойчивости мощность;

U(A) – напряжение узла с номером N(A);

D(A) – вспомогательный угол для узла с номером N(A) ( для

вычисления предельной мощности задается D(A) = –90°, либо

D(A) = 90°);

N(B) – номер узла с фиксируемым значением активной

мощности;

Р(В) – значение фиксируемой мощности узла с номером

N(B) в начальной точке расчета границы статической устой�

чивости, МВт;

НР(В) – шаг изменения фиксируемой мощности узла с но�

мером N(B), МВт.

П2.5. Выполнение расчетов

2.5.1. С целью экономии времени по вводу исходных дан�

ных создан файл

dano.dan с шаблоном исходных данных.

Перед расчетом необходимо создать (с использованием фай�

ла dano.dan) четыре собственных файла исходных данных с ори�

гинальными именами (не более восьми символов) для прове�

дения серии из четырех расчетов.

В полученных файлах следует внести рассчитанные значе�

ния параметров узлов и ветвей в соответствии со своим вари�

антом. При этом следует учитывать, что в исходных данных для

проведения первого и второго расчетов активные сопротивле�

ния всех ветвей схемы не учитываются, а в исходных данных

для третьего и четвертого расчетов их следует учесть.

Условия расчета содержатся в собственных файлах исход�

ных данных и формируются следующим образом:

– для первого и третьего расчетов:

N(A) = 2 U(A) =12.5 D(A) = –90.0

N(B)=1 P(B)=0.0 HP(B) =100.0

168


– для второго и четвертого расчетов:

N(A)=1 U(A)=16.4 D(A)=–90.0

N(B)=2 P(B)=0.0 HP(B) =100.0

2.5.2. После подготовки файлов с исходными данными не�

обходимо произвести четыре расчета по программе 1аb2.ехе,

введя каждый раз по запросу имя файла с исходными данными

и номер соответствующего расчета (1,2,3,4).

В результате будут сформированы четыре файла расчетных

данных с именами 1,2,3,4.

внимание!В конце каждого из этих файлов обязательно должна быть

строка, содержащая два нуля: 00. Если такой строки нет, то ее

необходимо дописать, воспользовавшись экранным редакто�

ром, который вызывается клавишей F4.

2.6.3. Для компактного вывода информации вызывается

вспомогательная программа INFOR.EXE. Благодаря этой про�

грамме выходная информация распечатывается на одной стра�

нице. Программа INFOR.EXE работает, если все файлы расчет�

ных данных содержат в конце: 00.

П2.6. Обработка результатов расчетов

2.6.1. По результатам расчетов построить на одном рисунке

две области апериодической статической устойчивости Р2 (Р1)

энергосистемы: без учета активных сопротивлений (расчеты

1,2) и с их учетом (расчеты 3,4).

2.6.2. На отдельном рисунке построить область статической

устойчивости (при учете активных сопротивлений в ветвях схе�

мы) и область допустимых по условиям статической устойчи�

вости режимов энергосистемы (см. расчетные формулы

5.49...5.51).

2.6.3. По построениям п. 2.6.1 дать заключение о влиянии

упрощения в виде неучета активных сопротивлений на пара�

метры областей статической устойчивости энергосистемы.

2.6.4. По построению п. 2.6.2 дать заключение о возможно�

сти полной выдачи активной мощности электростанциями Г1,

Г2 в области допустимых режимов энергосистемы.

169


2.6.5. Оценить величину максимального потока активной

мощности по ВЛЗ в области допустимых режимов.

2.6.6. Ответить письменно на контрольные вопросы.

П2.7. Контрольные вопросы

2.7.1. При выполнении каких условий якобиан системы

уравнений установившегося режима и свободный член харак�

теристического уравнения энергосистемы одновременно пере�

ходят через нулевое значение при утяжелении режима из заве�

домо устойчивого состояния?

2.7.2. Из каких соображений выбирается балансирующий

узел при расчетах апериодической статической устойчивости с

помощью системы уравнений установившихся режимов?

2.7.З. В каких случаях рекомендуется использовать коэффи�

циенты запаса статической устойчивости по активной мощно�

сти или по напряжению?

2.7.4. Какие физические явления лежат в основе нерегуляр�

ных колебаний обменной мощности по электрическим связям

между энергосистемами?

2.7.5. Что понимается под термином «допустимая область

режимов» в общем случае?

170


ЛИТЕРАТУРА

1. Веников В.А. Теория подобия и моделирования (примени>тельно к задачам электроэнергетики). Изд. 2>е, доп. и пере>раб. – М.: Высшая школа, 1976. – 479 с.

2. Электрические системы. Математические задачи энерге>тики. Изд. 2>е, доп. и перераб. / В.А. Веников, Э.Н. Зуев,И.В. Литкенс и др. / Под ред. В.А. Веникова. – М.: Высшаяшкола, 1981. – 288 с.

3. Бермант А.Ф., Арамович И.Г. Краткий курс математичес>кого анализа. Изд. 7>е, стереотипное. – М.: Наука,1971. –736 с.

4. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численныеметоды анализа. Приближение функций, дифференциальныеи интегральные уравнения. Изд. 3>е, доп. и перераб. /Подред. Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1967. – 368 с.

5. Конторович М.В. Операционное исчисление и процессы вэлектрических цепях. Изд. 4>е, доп. и перераб. – М.: Советс>кое радио, 1975. – 320 с.

6. Математические основы теории автоматического регуFлирования / В.А. Иванов, В.С. Медведев, Б.К. Чемоданов идр. / Под ред. Б.К. Чемоданова. – М.: Высшая школа, 1971. –808 с.

7. Веников В.А. Переходные электромеханические процессыв электрических системах. Изд. 3>е, доп. и перераб. – М.:Высшая школа, 1978. – 415 с.

8. Электрические системы. Управление переходными реFжимами электроэнергетических систем / В.А. Веников,Э.Н. Зуев, М.Г. Портной и др. / Под ред. В.А. Веникова. – М.:Высшая школа, 1982. – 247 с.

9. Жданов П.С. Устойчивость электрических систем. – М.; Л.:Госэнергоиздат, 1948. – 399 с.

171

ЛИТЕРАТУРА

10. Гуревич Ю.Е., Либова Л.Е., Окин А.А. Расчеты устойчиво>сти и противоаварийной автоматики в энергосистемах. – М.:Энергоатомиздат, 1990. – 390 с.

11. Руководящие указания по устойчивости энергосистем.Минэнерго СССР. – М.: СПО Союзтехэнерго, 1984. – 11 с.

12. МакFКракен Д., Дорн У. Численные методы и программи>рование на фортране / Под ред. Б.М. Наймарка. – М.: Мир,1977. – 584 с.

13. Хрущев Ю.В., Мастерова О.А. Методы расчета устойчи>вости энергосистем. Лабораторный практикум. – Томск: ТПУ,2001. – 48 с.

14. Хрущев Ю.В. Методы расчета устойчивости энергосистем.Рабочая программа дисциплины и задачи к самостоятель>ной работе. – Томск: ТПУ, 2002. – 15 с.


172

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................ 3

В1. Цель и объект изучения дисциплины ........................................ 3

В2. Модели объектов и явлений ....................................................... 4

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫМОДЕЛИРОВАНИЯ ПЕРЕХОДНЫХПРОЦЕССОВ В ЭНЕРГОСИСТЕМАХ ..................................... 8

1.1. Нормальная система дифференциальных уравнений ............... 8

1.2. Приведение систем дифференциальных

уравнений к нормальной форме ................................................. 9

1.3. Решения систем дифференциальных уравнений..................... 11

1.4. Матричная форма записи системы линейных

дифференциальных уравнений и ее решение .......................... 13

1.5. Характеристическое уравнение системы

линейных дифференциальных уравнений ............................... 16

1.6. Операторная форма записи линейных

дифференциальных уравнений ................................................ 17

1.7. Примеры к первому разделу ..................................................... 20

Глава 2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ИЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТКИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ........................................................... 23

2.1. Формирование передаточной функции линейной

системы (на примере дифференцирующего звена) ................. 24

2.2. Передаточные функции типовых звеньев

линейных технических систем ................................................. 26

2.3. Обобщённая форма передаточной функции............................ 26

2.4. Передаточные функции сложных систем ................................ 28

2.5. Замкнутая и разомкнутая системы ........................................... 31

173

2.6. Комплексные коэффициенты усиления и

частотные характеристики систем............................................ 33

2.7. Примеры ко второму разделу ................................................... 37

Глава 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗАСТАТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ............................. 41

3.1. Устойчивость в смысле Ляпунова ............................................. 41

3.2. Необходимые и достаточные условия

устойчивости линейных систем ................................................ 44

3.3. Необходимые условия устойчивости ........................................ 49

3.4. Алгебраические критерии устойчивости ................................. 51

3.4.1. Критерий Гурвица ........................................................... 52

3.4.2. Оценка апериодической статической

устойчивости системы по знаку свободного

члена характеристического уравнения ........................... 53

3.4.3. Критерий Рауса ............................................................... 54

3.5. Частотные критерии устойчивости .......................................... 56

3.5.1. Принцип аргумента ........................................................ 56

3.5.2. Критерий Михайлова (первая формулировка) .............. 58

3.5.3. Критерий Михайлова (вторая формулировка) .............. 62

3.5.4. Критерий Найквиста ...................................................... 64

3.6. Выделение областей устойчивости (D�разбиение) .................. 68

3.6.1. Понятие о D�разбиении .................................................. 68

3.6.2. D�разбиение по двум параметрам .................................. 71

3.6.3. Штриховка границ областей D�разбиения .................... 75

3.6.4. D�разбиение по одному параметру ................................. 78

3.6.5. D�разбиение по трем параметрам ................................... 80

3.7. Примеры к третьему разделу .................................................... 80

Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬРЕГУЛИРУЕМОЙ ОДНОМАШИННОЙЭНЕРГОСИСТЕМЫ ................................................................ 90

4.1. Система уравнений переходных процессов ............................. 91

4.2. Система линеаризованных уравнений ..................................... 95

4.3. Характеристическое уравнение ................................................ 96


174

Глава 5. ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТААПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТАТИЧЕСКОЙУСТОЙЧИВОСТИ ЭНЕРГОСИСТЕМ .................................. 100

5.1. Общие условия расчета ........................................................... 100

5.2. Характеристическое уравнение нерегулируемой

двухмашинной энергосистемы .............................................. 101

5.3. Свободный член характеристического уравнения

сложной нерегулируемой энергосистемы ............................. 105

5.4. Свободный член характеристического уравнения

сложной регулируемой энергосистемы

при наличии шин бесконечной мощности ........................... 108

5.5. Связь между свободным членом

характеристического уравнения и якобианом

системы уравнений установившихся режимов ..................... 112

5.6. Расчет свободного члена характеристического

уравнения при учете нагрузок статическими

характеристиками .................................................................. 114

5.7. Условия совпадения якобиана и свободного

члена характеристического уравнения .................................. 116

5.8. Построение областей статической

устойчивости сложных энергосистем.................................... 117

5.9. Связь между практическими критериями

статической устойчивости и свободным

членом характеристического уравнения ............................... 120

5.10. Коэффициенты запаса статической устойчивости

энергосистем и их нормирование ......................................... 122

5.11. Построение областей допустимых режимов

энергосистем по статической устойчивости ......................... 126

Глава 6. МЕТОДЫ РАСЧЕТАДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИЭНЕРГОСИСТЕМ ................................................................. 130

6.1. Понятие о численном интегрировании

дифференциальных уравнений. Метод Эйлера .................... 131

6.2. Решение с помощью рядов Тейлора ...................................... 134

6.3. Исправленный метод Эйлера ................................................ 136

6.4. Модифицированный метод Эйлера ...................................... 137

6.5. Метод Рунге�Кутта четвертого порядка ................................ 138

6.6. Метод прогноза и коррекции ................................................ 139

175

6.7. Численное решение систем

дифференциальных уравнений .............................................. 143

6.8. Примеры к шестому разделу ................................................... 145

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Лабораторная работа №1.

Выбор коэффициентов усиления

АРВ СД генератора одномашинной

энергосистемы ........................................................................ 153

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Лабораторная работа №2.

Построение области допустимых

режимов по апериодической статической

устойчивости трехмашинной энергосистемы ........................ 160

ЛИТЕРАТУРА ................................................................................. 170

Издательство «STT»(Scientific & Technical Translations)

Россия, 634021, г. Томск, а/я 1747тел.: (3822) 206�857, факс: 244�688

e�mail: [email protected]

Формат 84х108/32. Усл. п.л. 9,24. Уч. изд. л. 6,9.Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 100 экз.

НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ

Юрий Васильевич Хрущев

МЕТОДЫ РАСЧЕТА

УСТОЙЧИВОСТИ ЭНЕРГОСИСТЕМ

МЕТОДЫ РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ...

Documents