Моисеев Сергей Игоревич · 2013-10-10 · 2 Составитель: С.И....

Автономная образовательная некоммерческая организация

высшего профессионального образования

«Институт менеджмента, маркетинга и финансов»

МЕ

ТО

ДИ

ЧЕ

СК

ИЕ

У

КА

ЗА

НИ

Я

Кафедра математики и математических методов экономики

МАТЕМАТИКА Часть 1

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

методические указания к выполнению контрольных работ

для студентов заочной формы обучения, 1 курс, 1 семестр

ВОРОНЕЖ АОНО ВПО «Институт менеджмента, маркетинга и финансов»

2012

2

Составитель: С.И. Моисеев Математика, часть 1. «Математический анализ»: методиче-

ские указания к выполнению контрольных работ для студентов заочной

формы обучения, 1 курс, 1 семестр / АОНО ВПО «Институт менеджмен-

та, маркетинга и финансов»; сост. С.И. Моисеев. — Воронеж: АОНО ВПО

«ИММиФ», 2012. - 51 с.

Методические указания предназначены для подготовки и выпол-

нения контрольных работ по дисциплине «Математика, часть 1» - «Ма-

тематический анализ» студентами заочной формы, обучающихся на ба-

калавриате по направлениям 080100 «Экономика» и 080200 «Ме-

неджмент».

Методические указания содержат краткие теоретические сведения,

примеры решения задач, ссылки на дополнительную литературу и зада-

ния на контрольную работу.

Ответственный за выпуск:

зав. кафедрой, д-р физ.-мат. наук, проф. В.В. Свиридов.

С.И. Моисеев

АОНО ВПО «Институт менеджмента,

маркетинга и финансов», 2012.

3

ВВЕДЕНИЕ

Уважаемые студенты! Если Вы обучаетесь на заочном отделении бака-

лавриата первого курса (первый семестр) Института менеджмента маркетинга и

финансов, по полной или сокращенной форме обучения, то данные методиче-

ские указания помогут выполнить обязательную контрольную работу по первой

части курса «Математики» дисциплине «Математическому анализу» и подгото-

виться к экзамену.

Указания содержат 9 основных тем, по каждой из которых предусмотрены

по одному заданию на контрольную работу:

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ;

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ;

ИНТЕРГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ);

ИНТЕРГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ);

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ;

РЯДЫ.

Для определения номера варианта Вам нужно посмотреть две последние

цифры числа, которое составляют номер Вашей зачетной книжки. По этим

цифрам NN выберите из таблицы Ваш вариант. Желаем Вам успехов!!!

NN Вар. NN Вар. NN Вар. NN Вар. NN Вар.

1 1 21 21 41 11 61 1 81 21 2 2 22 22 42 12 62 2 82 22 3 3 23 23 43 13 63 3 83 23 4 4 24 24 44 14 64 4 84 24 5 5 25 25 45 15 65 5 85 25 6 6 26 26 46 16 66 6 86 26 7 7 27 27 47 17 67 7 87 27 8 8 28 28 48 18 68 8 88 28 9 9 29 29 49 19 69 9 89 29

10 10 30 30 50 20 70 10 90 30 11 11 31 1 51 21 71 11 91 1 12 12 32 2 52 22 72 12 92 2 13 13 33 3 53 23 73 13 93 3 14 14 34 4 54 24 74 14 94 4 15 15 35 5 55 25 75 15 95 5 16 16 36 6 56 26 76 16 96 6 17 17 37 7 57 27 77 17 97 7 18 18 38 8 58 28 78 18 98 8 19 19 39 9 59 29 79 19 99 9 20 20 40 10 60 30 80 20 00 10

4

ТЕМА 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1.1. Понятие множества

Понятие множества является одним из основных первичных неопределяе-

мых понятий математики. Под множеством понимают совокупность некото-

рых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Будем считать множе-

ство заданным, если известен закон, по которому можно сказать принадлежит

некоторый объект данному множеству или нет. Объекты, из которых состоит

множество, называются его элементами. Множества принято обозначать за-

главными буквами алфавита A , B , , а их элементы – малыми a , b , . Если

элемент x принадлежит множеству X , то пишут Xx , запись Xx - означа-

ет, что элемент x не принадлежит множеству X .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обо-

значается символом . Элементы множества записываются в фигурных скоб-

ках, внутри которых они перечислены, либо указано общее свойство, которым

обладают все элементы данного множества. Например, 3,2,1A ,

20: xxA .

Множество A называется подмножеством множества B , если каждый

элемент множества A принадлежит множеству B , обозначается так BA .

Множества A и B называются равными, если BA и AB .

Для каждого множества X существует множество, элементами которого

являются различные подмножества множества X. Такое множество называется

семейством множества и обозначается p(X). Так как включено в любое

множество, то )( p .

ПРИМЕР 1.

Пусть 321 ,, xxx . Тогда

.,,,,,,,,,,,,)( 321323121321 xxxxxxxxxxxxp Если в рамках

некоторого рассуждения рассматриваются подмножества некоторого множе-

ства, то оно называется универсальным, или универсумом и обозначается E.

Множество может быть задано различными способами: перечислением

элементов в скобках (для конечных множеств) или указанием их свойств,

однозначно определяющих принадлежность элементов данному множеству,

при этом используется запись: X={ xx обладает свойством P(x)}.

Выражение в скобках читается: множество всех элементов x, которые об-

ладают свойством P(x). Так, множество натуральных чисел N={1,2,…} может

быть описано следующим образом:

N={ i если целое i ,N то 1,1 iNi }.

5

ПРИМЕР 2.

Пусть на универсуме E={a, b, c, d, e} определено множество X={a, c, d},

тогда

.0)(,1)(,1)(,0)(,1)( edcba XXXXX

Декартовым (прямым) произведением множеств X и Y называется множе-

ство упорядоченных пар вида

{(x,y) x и y }.

ПРИМЕР 3.

Пусть X= 21321 ,,,, yyxxx

Тогда ),(),,(),,(),,(),,(),( 23132212211,1 yxyxyxyxyxyx .

Две пары (x, y) и (u, v) считаются равными тогда и только тогда, когда x=u

и y =v.

1.2. Операции над множествами

Для получения новых множеств из уже существующих используют опера-

ции над множествами. Рассмотрим основные из них.

Суммой или объединением множеств X и Y называется множество

или YX , все элементы которого являются элементами множества X или Y:

={x x или Yx }.

Произведением или пересечением множеств X и Y называется множество

или YX , элементы которого являются элементами обоих множеств X

и Y:

={x | x X и yY}.

Дополнением множества X называется множество всех тех элементов x,

которые не принадлежат множеству X:

={x | x E и xX}.

Разностью множеств X и Y называется множество X\Y всех тех элементов

X, которые не принадлежат Y:

X\Y={x x и x }=XY .

Дополнение множества Х представляется с помощью операции разности

следующим образом: =E\X.

Симметричной разностью множества X и Y называется множество

YΔX всех элементов X и Y которые не входят одновременно в эти оба множе-

ства

Y)(X\Y)(X)\()\( .

6

ПРИМЕР 4. Даны множества }9,8,5,4,2{A , }9,7,6,4,3,0{B . Нахо-

дим }9,8,7,6,5,4,3,2,0{ BA , }9,4{ BA , }8,5,2{\ BA ,

}8,7,6,3,0{\ AB , }8,7,6,5,3,2,0{BA .

ПРИМЕР 5. Пусть на универсуме E={a, b, c, d, e, f, g} определены множе-

ства X={a, c, d, f} и Y={b, d, e, f}.

Тогда XY={ a, b, c, d, e, f}, XY={d, f}, ={b, e, g}, X\Y={a, c}, Y\X={b,

e}, XY={a, b, c, e}.

Свойства операций над множествами:

1. , (коммутативность);

2. ,)()(

)()( (ассоциативность);

3. )()()( (дистрибутивность);

4. ;,

5. ;,

6. , (комплиментарность);

7 . , (идемпотентность).

Наглядно графически представить операции над множествами позволяют

круги Эйлера (которые в литературе еще называются диаграммами Венна).

Внутри прямоугольной области, соответствующей универсальному множеству,

изображаются пересекающиеся окружности, каждая из которых соответствует

тому или иному множеству. Примеры изображения операций над множествами

с помощью кругов Эйлера:

BA

BA

A

B\A

A\B

BA

В математическом анализе в основном используют множества, состоящие

из чисел. Они называются числовыми множествами. Наиболее часто использу-

ются следующие числовые множества:

- ,,,3,2,1 nN - множество натуральных чисел;

А В

Е

А В

Е

А

Е

А В

Е

А В

Е

А В

Е

7

- ,,,2,1,0 nZ - множество целых чисел;

-

NZQ nmn

m,, - множество рациональных чисел;

- R - множество действительных чисел;

- QRI xxx ,: - множество иррациональных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

RQZN .

1.3. Определение функции

Пусть X и Y – произвольные множества действительных чисел. Если на

множестве X каждому числу x X соответствует действительное число y Y ,

то говорят, что на множестве X определена действительная функция y f x

действительной переменной x . Множество X называется областью определе-

ния, а множество Y - множеством значений числовой функции f x .

ПРИМЕР 5. Найти область определения функции

2

1 1

3 6 7 56

3 2

x xf xx x

.

Решение. Это выражение имеет числовое значение, если 3 6 0x ,

7 56 0x и 2 3 2 0x x . Иными словами, для нахождения области определения

надо исключить из R корни уравнений 3 6 0x , 7 56 0x и 2 3 2 0x x . Ре-

шая эти уравнения, получаем корни: -2, 8, 1, 2 и записываем область определе-

ния данной функции

, 2 2, 1 1, 2 2, 8 8,x .

В некоторых случаях функция задается на различных числовых множе-

ствах разными выражениями, например:

2

, если 0,

1, если 0,

x xf x

x x

На практике часто удобным оказывается табличный способ задания функ-

ций, например, при экспериментальных измерениях, социологических опросах,

при составлении отчетов банковской деятельности и т.д. На табличном способе

задания, хранения и обработки информации основаны базы данных. В общем

случае таблица имеет вид:

1x 2x 3x nx

1f x 2f x 3f x nf x

Она позволяет находить значения функции для выбранных значений аргу-

мента. Таким образом, таблица не задает функции, поскольку для задания

8

функции надо знать ее значения для всех x X , а не только для некоторых. Су-

ществуют методы, позволяющие по такой таблице подбирать выражение f x ,

разумеется, с определенной точностью.

При графическом способе соответствие между аргументом и функцией за-

дается посредством графика.

Графиком функции y f x называется множество пар ,x y из двух чисел,

которые могут быть изображены точкой ,M x y на координатной плоскости.

Следовательно, график числовой функции может быть наглядно изображен

множеством точек координатной плоскости.

ПРИМЕР 6. Построим график функции

2

1

0,5 0,1x .

Решение. Составляем таблицу значений функции для 3, 4x с шагом 1.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f x 0,10 0,16 0,42 2,86 2,86 0,42 0,16 0,10

Наносим полученные точки на плоскость и соединяем их плавной непрерывной

линией. Получаем график, изображенный на рис. а. Заметим, что этот график

значительно отличается от истинного (рис. б) в связи с большим значением ша-

га таблицы.

1.4. Свойства функций

1. Ограниченность. Функция f , заданная на множестве X , называется

ограниченной сверху (снизу) на этом множестве, если существует такое число

M , что для всех x X выполняется неравенство f x M ( f x M ).

ПРИМЕР 7. Докажем, что функция 2

21

x

x ограничена.

Решение. Так как 2

2 2

11

1 1

x

x x

, то для любого xR выполняются нера-

венства 2

20 1

1

x

x

. Значит функция

2

21

x

x ограничена на R .

y

y

xx 00а) б)

-3 -3-2 -2-1 -11

1

12

2 2

23

3

34

44

4

6

8

10

9

2. Монотонность. Функция f называется:

- возрастающей на X , если большим значениям аргумента x соответствуют

большие значения функции y.

- убывающей на X , если большим значениям аргумента x соответствуют мень-

шие значения функции y.

При движении вдоль оси абсцисс слева направо ордината графика возрас-

тающей функции увеличивается (рис. а), а ордината графика убывающей функ-

ции уменьшается (рис. б).

а) б)

3. Четность и нечетность. Функция f , заданная на множестве X , назы-

вается четной, если для любых аргументов х справедливо f(–x) = f(x). Функция

f , заданная на множестве X , называется нечетной, если для любых аргумен-

тов х справедливо f(–x) = –f(x).

Например, функция 2x четна, а функция 3x нечетна. Вообще, если число

nZ четно, то и функция nx четна, а если число n нечетно, то и функция nx

нечетна. График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис.

а), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат

(рис. б).

а) б)

4. Периодичность. Функция f , заданная на множестве X , называется пе-

риодической с периодом T , если для любых аргументов х выполняется равен-

ство f x f x T . Число 0T является периодом любой функции, а вместе с

T и T является периодом. Поэтому достаточно рассматривать лишь положи-

тельные периоды.

y y

x x0 0

y=f x( )

y=f x( )

x xx x2 21 1

y y

x x0 0

N x,f x(- ( ))

N x, f x(- - ( ))

M x,f x( ( ))M x,f x( ( ))

x x-x-x

10

ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ

2.1. Понятие и свойства пределов

Число А называется пределом функции у=f(x) в точке х0, если для всякого

числа ε>0 существует такое число δ>0, что как только |x–x0| < (x≠x0), то |f(x)–

A| < . Обозначение: Axfxx

)(lim0

. Другими словами, пределам называется зна-

чение функции у=f(x) в бесконечно-малой близости от точки х0.

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х0, если

)()(lim 00

xfxfxx

.

Из непрерывности основных элементарных функций и основных теорем о

непрерывных функциях следует, что любая элементарная функция непрерывна

во всякой точке, в которой она определена (при этом предполагается, конечно,

что функция определена и в окрестности этой точки).

Свойства предела функции.

1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е. CCax

lim .

2. ),(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax

если )(lim xfax

и )(lim xgax

существу-

ют.

3. )(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax

, если )(lim xfax

и )(lim xgax

существуют.

4. ,)(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

если )(lim xf

ax и )(lim xg

ax существуют и 0)(lim

xg

ax.

Под знаком предела можно производить тождественные преобразования

аналитического выражения, задающего функцию, не принимая во внимание по-

ведение функции в предельной точке. Особый интерес приобретает случай пре-

образования аналитического выражения, задающего функцию f(х), в выраже-

ние, задающее функцию φ(х), непрерывную в самой точке х0 и совпадающую с

f(х) в некоторой окрестности точки х0 без самой этой точки. Тогда очевидно,

)()(lim)(lim 000

xxxfxxхx

ПРИМЕР 1. Найти 294

253lim 2

2

0

xx

xx

xx

при:

а) х0=1; б) х0=2; в) х0= ∞.

Решение. а) 4)253(lim2

1

xxx

, 03)294(lim2

1

xxx

.

Так как предел знаменателя отличен от нуля, то можно функция непре-

рывна (т.к. определена) в точке х0=1 и

11

3

4

3

4

)294(lim

)253(lim

294

253lim 2

1

2

1

2

2

1

xx

xx

xx

xx

x

x

x

.

б) 294

253lim 2

2

2

xx

xx

x

.

Имеем неопределенность вида

0

0, следовательно, теорему о пределе

частного применить нельзя. Но в окрестности точки х=2 имеем 4х2 – 9х + 2 ≠ 0

(при х ≠ 2), и поэтому дробь можно сократить на х – 2. Для этого разложим чис-

литель и знаменатель на множители, воспользовавшись формулой ах2+bх+с=

а(х–х1)(х–х2), где х1 и х2 – корни уравнения ах2 + bх + с = 0. Тогда

14lim

13lim

14

13lim

4124

3123

lim294

253lim

2

2

222

2

2 x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

x

x

xxx

.17

7

124

123

в) 294

253lim

2

2

xx

xx

x.

Имеем неопределенность вида

. Чтобы найти предел, разделим числи-

тель и знаменатель на х2, получим:

.4

3

004

003

2lim9lim4lim

2lim5lim3lim

294

253lim

294

253lim

2

2

2

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xxx

xxx

xx

Ответ: .4

3);1);

3

4) вбa

ПРИМЕР 2. Найти xx

x

x

13

1lim

1.

Решение. 0221lim3lim13lim111

xxxxxxx

и

0)1(lim1

xx

. Имеем неопределенность вида

0

0, теорему о пределе частного

применять нельзя. Преобразуем данное выражение, помножив числитель и зна-

12

менатель на выражение, сопряженное знаменателю, получим:

)13)(13(

)13)(1(lim

13

1lim

11 xxxx

xxx

xx

x

xx

=

.2222

122

2

1

1lim3lim2

1

2

13lim

)1(2

)13)(1(lim

22

)13)(1(lim

13

)13)(1(lim

13

)13)(1(lim

111

11

1221

xxxx

x

xxx

x

xxx

xx

xxx

xx

xxx

xxx

xx

xx

Ответ: 2 .

2.2. Первый замечательный предел

Если угол х выражен в радианах, то 1sin

lim;1sin

lim00

x

x

x

x

xx.

Первый замечательный предел можно применять в ряде случаев для раскры-

тия неопределенностей вида

0

0.

ПРИМЕР 3. Найти предел функции x

x

x 3sin

12tglim

0.

Решение. Здесь неопределенность вида

0

0. Преобразуем данную функцию:

x

x

x

x

xxx

x

x

x

3sin

3

12

12sin

12cos

1

3

12

3sin

1

12cos

12sin

3sin

12tg .

Обозначим 12х=U, причем

,0012lim12)12(limlim000

xxUxxx

т.е. при х0 и U0. Следовательно,

1lim12

12sinlim

00

U

U

x

x

Ux.

Аналогично, положив 3x=U, получим

11

1

0cos

1

12cos

1lim;1

sinlim

3sin

3lim

000

xU

U

x

x

xUx.

Следовательно:

13

.41113

123sin

3lim12

12sinlim12cos

1lim3

12

3sin3

1212sin

12cos1

312lim

3sin12

lim

000

00

xx

xx

x

xx

xx

xxxtg

xxx

xx

Ответ: 4.

ПРИМЕР 4. Найти x

x

x 3

6arctglim

0. Имеем неопределенность вида

0

0.

Решение. Обозначим arctg 6x = U, тогда 6х=tgU и при х0 имеем U0.

Следовательно,

tgUU

tgU

U

tgU

U

x

x

UUUx 0000lim22lim

36

1lim

3

6arctglim

2112coslimsin

lim2cossin

lim2000

U

UUU

U

U

UUU.

Ответ: 2.

2.3. Второй замечательный предел

Он имеет вид: ex

x

x

1

01lim11lim ,

где е – иррациональное число, приблизительно равное 2,71828… . Лога-

рифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются logex=ln x. С

помощью этого предела раскрывают так же неопределенность вида {1∞}.

ПРИМЕР 5. Найти

13

24

34lim

n

n n

n. Здесь неопределенность вида {1

∞}.

Решение. Преобразуем выражение в скобках.

24

51

24

5

24

24

24

524

24

34

nnn

n

n

n

n

n.

Обозначим 24

5

n, тогда

524n , 2

54

n , ,

2

1

4

5

n

2

1

4

1513

n , причем при n∞, имеем α0. Следовательно,

.1)1(lim)1(lim

)1()1(lim)1(lim24

34lim

4 15415

415

0

415

1

0

2

1

4

15

0

21

415

0

13

eee

n

nn

n

Ответ: 4 15e .

14

ТЕМА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Производной функции у = f (x) в точке х называется предел

x

y

x

xfxxf

xx

00lim

)()(lim , если он существует и конечен.

Функция у = f (x) называется дифференцируемой в точке х. Она всегда будет

и непрерывной в этой точке.

Производная обозначается dx

xdfdx

dyxfy

)(,),(, // .

Имеем x

yy

x

0

/ lim . По определению предела функции

/yx

y, где

0 при 0x . Отсюда ∆y=y'·∆x+α·∆x.

При малых значениях ∆x и при 0y имеем xyy .

Главная часть y'∆x приращения ∆y функции, линейная относительно ∆x,

называется дифференциалом функции и обозначается dy=y'∆x.

Положив у=х, получим dx=(x) '∆x=1·∆x=∆x и поэтому dy=y'dx.

Эта формула верна и в том случае, если х есть функция новой переменной t.

Основные формулы дифференцирования

Пусть С – действительное число, U=U(x) и υ=υ(x) – дифференцируемые

функции.

1. (С)'=0;

2. (С∙υ)'=Сυ';

3. (U±υ)'=U '±υ '

4. (U·υ)'=U'υ+Uυ ';

5. 2

UUU .

Если )(ufy и )(xu , то у называется сложной функцией от х. Если

)(ufy и )(xu дифференцируемы, то dx

dudu

dydx

dy или

uufy )( .

Таблица производных

1. .(Un)'=n∙U

n–1∙U'. Следствие: (х)'=1.

2. (au)'=a

u∙lna∙U'. Следствие: (е

u) '=e

uu'.

3. UaU

Ua

ln

1log . Следствие: U

UU

1ln .

4. (sin U)' = cos U∙U'.

15

5. (cos U)' = –sin U∙U'.

6. UU

U

2cos1tg .

7. UU

U

2sin1ctg .

8. 21

arcsinU

UU

.

9. 21

arccosU

UU

.

10. 21

arctgU

UU

.

11. 21

tgarcU

UUc

.

ПРИМЕР 1. Найти производные заданных функций:

1)

3

3 2

4 22

4

1

xxy .

Решение. Применим формулу UUnU nn 1 , здесь n=3,

22

4

1

3 2

4 x

xU . Тогда

22

4

12

2

4

13

3 2

4

13

3 2

4

xx

xxy .

Найдем U /.

.3

4

3

4

3

224

4

12

4

1

24

122

4

12

2

4

1

3 5

33

5

31

3

2

143

2

4

3

2

43

2

4

3 2

4

xxxxxxxx

xxxxx

xU


3 5

3

2

3 2

4

3

42

2

4

13

xx

xxy .

2) 5

5

25

1ln

x

xy .

Решение. Преобразуем сначала данную функцию, а затем найдем произ-

водную этой функции:

)25ln()1ln(5

1

25

1ln

5

1

25

1ln

25

1ln 5

55

15

5

5

xx

x

x

x

x

x

xy .

16

Тогда

)25ln1ln

5

125ln1ln

5

1 55 xxxxy .

Для нахождения производных )1ln( 5x и )25ln( x применим форму-

лу: U

UU

ln .

Получим:

.)25)(1(

124

25

1

125

5

1

5

5

1

25

05

1

05

5

1

25

)2()(5

1

)1()(

5

1

25

)25(

1

)1(

5

1

5

45

5

4

5

4

5

4

5

5

5

5

xx

xx

xx

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

xy

3) xxy x 2cos6 2tg .

Решение. xxxxy xx 2cos62cos6 2tg2tg

.

Найдем: xtg6 по формуле (au)'=a

u∙lna∙U'.

Будем иметь x

x xxx

2

tgtgtg

cos

16ln6)(tg6ln66

.

Производную (х2cos2x)' найдем по формуле (U·υ)'=U'υ+Uυ ' и

(cosU)'=-sinUU'. Тогда

).2sin2(cos22sin22cos2

)2)(2sin(2cos2)2(cos2cos)()2cos

2

2222

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxx

Сле-

довательно, )2sin2(cos2cos

16ln6

2

tg xxxxx

y x .

ПРИМЕР 2. Найти дифференциал dy функции:

2arccos2

1arctg

x

xy .

Решение. Так как дифференциал определяется выражением dy=y'dx, то

найдем сначала производную y':

2arccos

2

1arctg2arccos

2

1arctg x

xx

xy .

Для нахождения производной 2

1arctg

xприменим формулу

21

arctgU

UU

. Здесь

)2(

1

xU . Тогда

17

2

11

2

1

2

2

11

)2)(1(

2

11

2

2

11

2

1

2

1arctg

x

x

x

x

x

x

x

.54

1

1)2(

1

)2(

1)2(

)2(

1

2

11

)2(

1

22

2

2

2

2

2

xxx

x

x

x

x

x

Для нахождения производной 2arccos x применим формулу

21

'rccos

U

UUa

. Тогда

21

2

)2(1

)'2(2arccos

2

1

2 x

x

x

xx

.

)2)(1(2

1

1

22

1

1

22

1 2

11

21

xxx

x

x

x

Следовательно, )2)(1(2

1

54

12

xxxx

y . Отсюда дифференци-

ал равен dy=y'dx= dxxxxx

)2)(1(2

1

54

12

.

ПРИМЕР 3. Вычислить приближенное значение 5 252 , заменив в точке

х=243 приращение функции 5 xy дифференциалом.

Решение. Имеем: 55т.е., xxxydyy .

В нашем примере х=243, х+∆х=252 , тогда ∆х=252–243=9,

dxx

dxxdxxdxxdxxdxydy5 4

541

51

51

5

5

1

5

1

5

1

.

Отсюда ,392432439243243252 55555 y

.

45

1

35

19

35

19

2435

1

2435

124455 4

xdy Поэтому

45

1243252 55 . Следовательно, 022,3

45

13

45

1243252 55 .

18

ТЕМА 4. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

4.1. Определение функции двух переменных

Переменная z называется функцией переменных х и у, если каждой паре

значений х и у в некоторой области их изменения поставлено в соответствие

одно значение z. Функциональную зависимость z от х и у записывают в виде:

z=f(x,у). Это уравнение определяет некоторую поверхность в пространстве R3.

Геометрическим образом функции z=x2+y

2 является параболоид. Пусть z=a,

тогда x2+y

2=a, т.е. линия пересечения плоскости z=a с поверхностью z=x

2+y

2

есть окружность x2+y

2=a радиуса aR . Пусть у=0, тогда z=x

2 и, следова-

тельно, при пересечении плоскости Oхz с поверхностью получается парабола.

Метод сечений дает возможность лучше представить себе геометрический об-

раз данной функции.

0 y

z

x

22 yxz

Число А называется пределом функции z=f(x,у) в точке М0(х0, у0), если для

каждого числа ε>0 найдется такое число β>0, что для всех точек М(х,у), для

которых выполняется неравенство |ММ0|<β, будет выполняться неравенство

|f(x,у)–A |<.

Обозначим Ayxf

yyxx

),(lim

0

0

.

Функция z=f(x,у) называется непрерывной в точке М0(х0, у0), если имеет

место равенство ),(),(lim 00

0

0

yxfyxf

yyxx

.

4.2. Частные производные и полный дифференциал 1-го порядка

Производная от функции z=f(x,у) по х, найденная в предложении, что у

остается постоянным, называется частной производной от z по х и обозначается

x

z

или f'x(x,у). Аналогично определяется и обозначается частная производная

19

z по у. Геометрически частные производные y

z

x

z

и имеют смысл тангенсов

наклона касательных к графику в точке вдоль осей Ох и Оy.

Если функция z=f(x,у) имеет в точке (х,у) непрерывные частные производ-

ные, то ее полное приращение может быть представлено в виде:

y

y

zx

x

zz , (1)

где 0 при 022 yx .

Выражение ydy

zx

dx

z

является главной частью полного приращения

z и называется полным дифференциалом функции z=f(x,у) и обозначается dz:

yy

zx

x

zdz

. (2)

Полагая в формуле (2) z равным х, найдем xdx , а при z=y ydy . Поэтому

dydy

zdx

dx

zdz

. (3)

Из (1) следует, что dzz .

Функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (х,у), если она имеет

в этой точке полный дифференциал.

ПРИМЕР 1. Найти полный дифференциал функции 322 365 yxyxz .

Решение. Сначала найдем частные производные

,61023010365 33322 xyxxyxyxyxx

zx

.963360365 2222322 yxyxyxyxy

zy

Производная x

z

найдена в предположении, что у постоянна, а

y

z

найдена

в предположении, что х постоянна. По формуле (3):

dyyxdxxyxdyy

zdx

x

zdz )69()610( 223

.

Ответ. dz=(10x–6xy3)dx+(9x

2y

2+6)dy.

20

4.3. Градиент функции. Производная по направлению

Функция z=f(x,у) дифференцируемая функция двух переменных. Тогда

вектор zgradz

с координатами

y

z

x

z; называется градиентом функции

z=f(x,у).

Он обладает следующими свойствами:

,)(

,,0

gradgradUUgrad

constcgradC

,)(

,,)(

UgradgradUUgrad

constCCgradUCUgrad

.2

UgradgradUUgrad

Градиент функции показывает направление, вдоль которого функция мак-

симально возрастает.

Ранее было сказано, что имеют смысл тангенсов наклона касательных к

графику в точке вдоль осей Ох и Оy. Если необходимо вычислить угол наклона

касательной к графику функции в точке в заданном направлении , где

);( yx - вектор с координатами );( yx , то нужно вычислять производную

по направлению

z. Это можно сделать по формуле:

22yx

yxy

z

x

z

z

.

ПРИМЕР 2. Найти градиент функции 3223 273 yxxyyxz в точке М(1,-

2) и производную по направлению )2;3( в этой же точке.

Решение. Сначала найдем частные производные

,47922733273 3223223223 xyyyxxyyyxyxxyyxx

zx

.614332273273 2222233223 yxxyxyxyxxyxxyyxy

zy

В точке М(1,-2): ,2)2(14)2(7)2(19 322

x

z

.13)2(16)2(11413 222

y

z

21

Следовательно, градиент в точке М: ).13;2()2;1(

Mzgrad Производная по

направлению в точке М:

13

32

2)3(

)2()13()3(2

)2;3(

)2;1(

22

z

.

4.4. Экстремум функции двух переменных

Функция z=f(x,у) имеет в точке М0(х0,у0) максимум, если в окрестности

этой точки выполняется равенство f(x,у)<f(x0,у0).

Аналогично определяется минимум функции z=f(x,у) в точке М0(х0, у0).

Необходимый признак экстремума

Если М(х0,у0) – точка экстремума дифференцируемой функции z=f(x,у),

то

,0),(

и0),( 0000

y

yxf

x

yxf то есть .0),( 00 yxdf

Достаточный признак экстремума

Пусть z=f(x ,у) – функция, для которой существуют производные первого

и второго порядка в точке М(х0,у0): ),,( 00 yxfA xx ),,( 00 yxfB xy

),( 00 yxfC yy . Составим выражение Δ=АС–В

2.

Если Δ>0, то М(х0, у0) – точка экстремума, а именно: точка максимума при

A<0 (если C<0), точка минимума при A>0 (или С>0). Если Δ<0, то в точке М нет

экстремума.

ТЕМА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Одним из важнейших приложений дифференцированного исчисления явля-

ется исследование функции с целью построения ее графика.

Определение. Функция у=f(x) называется возрастающей в интервале (a,b),

если при х2>х1, f(x2)>f(х1), и убывающей, если f(x2)<f(х1).

Достаточные признаки возрастания и убывания функции:

если функция f(x) в каждой точке интервала (a,b) имеет положительную

производную, то сама функция в этом интервале возрастает;

если функция f(x) в каждой точке интервала (a,b) имеет отрицательную

производную, то функция в этом интервале убывает.

Функция у=f(x) имеет экстремум (максимум или минимум) в точке х=х0,

если f(x0) является наибольшим или наименьшим значением функции в некото-

рой окрестности этой точки.

22

Необходимое условие экстремума функции

Если функция у=f(x) имеет экстремум в точке х=х0, то ее производная в

этой точке равна нулю, либо не существует.

Значения аргумента, при которых функция f(x) сохраняет непрерывность, а

ее производная f'(x) обращается в нуль или не существует, называются стацио-

нарными или критическими точками.

Первый достаточный признак экстремума функции

Если функция у=f(x) дифференцируема в окрестности стационарной точки

х0 и ее производная слева от этой точки положительная, а справа отрицатель-

ная, то в точке х0 функция достигает максимума; если производная слева от

стационарной точки х0 отрицательная, а справа – положительная, то в точке х0

функция достигает минимума; если производная слева и справа от стационар-

ной точки х0 имеет одинаковый знак, то в этой точке функция экстремума не

имеет.

Второй достаточный признак экстремума

Если в стационарной точке х0 вторая производная отлична от нулю, то в

этой точке функция у=f(x) имеет максимум при f''(x0)<0 и минимум при

f''(x0)>0.

Кривая у=f(x) называется выпуклой на интервале (a,b), если при a<x<b

она расположена ниже касательной, проведенной в любой точке интервала

(a,b).

Кривая у=f(x) называется вогнутой на интервале (a,b), если при a<x<b

она расположена выше касательной, проведенной в любой точке интервала

(a,b).

Точки, отделяющие выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой (или

наоборот), называются точками перегиба кривой.

Признаки выпуклости и вогнутости кривой.

Если вторая производная функции y''(x) положительна во всех точках ин-

тервала (a,b), то на этом интервале график функции является вогнутым.

Если вторая производная функции y''(x) отрицательная во всех точках ин-

тервала (a,b), то на этом интервале график функции является выпуклым.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно при-

ближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.

Если

)(lim xfax

или

)(lim xfax

, то прямая х=а является вертикаль-

ной асимптотой кривой у=f(x).

Прямая у=b является горизонтальной асимптотой кривой у=f(x), если су-

ществует предел bxfx

)(lim или bxfx

)(lim .

23

Если существуют пределы bKxxfkx

xf

xx

)(limи

)(lim , то прямая

у=kx+b есть наклонная асимптота кривой у=f(x).

Для построения графика функции ее можно исследовать по схеме:

1. Найти область определения функции, интервалы непрерывности и точки

разрыва функции. Найти вертикальные асимптоты, исследуя изменение функ-

ции при х, стремящемся к точкам разрыва функции.

2. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.

3. Найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функ-

ции. Вычислить значения экстремумов.

4. Определить интервалы выпуклости и вогнутости, найти точки перегиба.

5. Найти горизонтальные и наклонные асимптоты кривой (если они суще-

ствуют). Найти точки пересечения кривой с осями координат (если они суще-

ствуют).

ПРИМЕР 1. Исследовать функцию 233

23

xxx

y и построить ее

график.

Решение. Функция у(х) точек разрыва не имеет. Область определения –

вся числовая ось. Вертикальных асимптот нет. Горизонтальных и наклонных

асимптот нет.

Исследуем данную функцию на экстремум. Определим критические точки.

Для этого находим первую производную данной функции и приравниваем ее к

нулю: y'=x2–2x–3, x

2–2x–3=0.

Решая последнее уравнение, находим его корни: х1=–1, х2=3. Таким обра-

зом, х1=–1 и х2=3 – критические точки. Так как производная f'(x) существует

при любом значении х, то других критических точек не имеется.

Исследуем критическую точку х=–1. Производную y'(x) представим в ви-

де произведения двух сомножителей: y'=(x+1)(x–3). Из этого равенства видно,

что при x<–1 производная f'(x) положительная, а при –1<x<3 производная f'(x)

отрицательна. Следовательно, в интервале (–∞,–1) функция возрастает, в ин-

тервале (–1,3) – убывает, а в интервале

(3,∞) - возрастает. Так как производная

y' при переходе через критическую точ-

ку х=–1 меняет свой знак с плюса на ми-

минус, то в этой точке функция имеет

максимум.

Аналогично исследуем точку х2=3. и

убеждаемся, что в этой точке функция

имеет минимум. Найдем экстремум

–4 –2 2 4 6

–6

–4

–2

2

4

y

x

24

7,3

23 minmax yy . Из второй производной y''(x)=2x–2 найдем точку х=1,

подозрительную на точку перегиба. Так как при переходе через эту точку y''(x)

меняет знак, то точка х=1 является точкой перегиба. В интервале (–∞,1) график

функции является выпуклым, так как y''(x)<0; в интервале (1,+∞) – график во-

гнут, так как y''(x)>0. Строим график.

ПРИМЕР 2. Исследовать функцию 2

3 )4(

x

xy

и построить ее график.

Решение. Найдем производные: 43

324

;)8(

xy

x

xy

.

Область определения ),0()0,()( yD .

Свойствами четности, нечетности функция не обладает. График пересека-

ется с осью Ох в точке 3 4x . Критические точки: х=2, х=0. Последняя не вхо-

дит в область определения, поэтому ее не рассматриваем. Найдем у(2)=3 и

нанесем точку (2,3) на плоскость Оху.

Исследуем поведение у в окрестности точки х=2. При 0<х<2, y'<0, при

х>2, y'>0. Следовательно в точке х=2 функция имеет минимум. На промежутке

(–∞,0): y' >0, следовательно функция возрастает. Исследуем направление вы-

пуклости графика. Всюду y''>0, следовательно точек перегиба нет и кривая

всюду вогнута. Исследуем функцию вблизи точки разрыва непрерывности х=0

и при х→∞, х→–∞:

.4

lim,4

lim,4

lim,4

lim2

3

2

3

2

3

02

3

0

x

x

x

x

x

x

x

x

xxxx

Прямая х=0 – вертикальная асимптота.

Найдем наклонную асимптоту y=kx+b:

,14

lim2

3

xx

xk

x .0

4lim

4lim

4lim

22

33

2

3

xx

xxx

x

xb

xxx

Получим наклонную асимптоту у=х. Строим график функции.

-4 -2 0 2 4 6

3 4

2

4

6

8 y

x

25

ТЕМА 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

6.1. Неопределенный интеграл

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для

функции f(x), если производная ее F'(x)= f(x).

Определение. Совокупность всех первообразных функций F(x)+С для

функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозна-

чается CxFdxxf )()( .

Таблица основных интегралов:

1. cxdx1 .

2.

)1(1

1

cx

dxx .

3. cxdxx

ln1

.

4. )1,0(ln

aaca

adxa

xx . Следствие: cedxe xx .

5. cxxdx cossin .

6. cxxdx sincos .

7. cxdxx

tgcos

12

.

8. cxdxx

ctgsin

12

.

9.

.arccos

;arcsin

1

1

2 cx

cxdx

x

10.

.arcctg

;arctg

1

12 cx

cxdx

x

Основные свойства интегралов

1. ;)( dxUdxdxU

2. UdxccUdx

ПРИМЕР 1. Вычислить интегралы:

1.

cx

cx

dxx413

4133 .

Проверка. 3344

44

10

4

1)(

4xxxC

x

.

26

.ctgcos32ln

2ln

2sin

1sin3

21

sin

1sin32

1.2

2

2

2

Cxxxx

dxx

xdx

dxdxx

xdxdxx

xx

x

x

xx

6.2. Замена переменной в неопределенном интеграле

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью

подстановок двух видов:

а) )(tx , где )(t – монотонная, непрерывно дифференцируемая функ-

ция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае:

dtttfdxxf )()()( ;

б) )(xU , где U – новая переменная. Формула замены переменной при

такой подстановке: dUUfdxxxfdxxf )()()]([)( .

ПРИМЕР 2. 1. Найти интеграл

dx

x

x3

3ln2.

Решение. Перепишем данный интеграл в виде dxx

x1

3ln23

. Так как

производная выражения 3ln2 x равна 2/х, а второй множитель 1/х отличается

от этой производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно приме-

нить подстановку tx 3ln2 . Тогда dtx

dxdt

x

dx

2

1,2 . Следовательно,

CxCtdttdttdxx

x44333

3ln28

1

8

1

2

1

2

113ln2 .

2. Найти интеграл

dxe

ex

x

14

2

.

Решение. te x 2 , тогда dtdxe x

2

12 и

CeCtdtt

dxe

e x

x

x2

24

2

arctg2

1arctg

2

1

1

1

2

1

1.

6.3. Интегрирование по частям

Нахождение интеграла dU по формуле UdUdU называется

интегрированием по частям. Здесь U=U(х), υ=υ(x) непрерывно дифференцируе-

мые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к

отысканию другого интеграла Ud , ее применение целесообразно в тех случа-

ях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

27

При этом за υ берется такая функция, которая при дифференцировании

упрощается, а за dU – та часть подынтегрального выражения, интеграл от ко-

торой известен или может быть найден.

Так, например, для интегралов вида dxexP x)( , xdxxP sin)( ,

xdxxP cos)( , где P(x) – многочлен, за υ следует принять P(x), а за dU соот-

ветствует выражение dxe x , xdxxdx cos,sin . Для интегралов вида

xdxxPxdxxPxdxxP arccos)(,arcsin)(,ln)( за υ принимаются соответ-

ственно функции xxx arccos,arcsin,ln , а за dU – выражение P(x)dx.

ПРИМЕР 3. Найти интеграл xdxx sin .

Решение. Положим dxdUx sin, , тогда xUdxd cos, . Отсюда

Cxxxxdxxxxdxx sincoscoscossin .

6.4. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида )(

)(

xQ

xP, где P(x) и Q(x) – мно-

гочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена

P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется не-

правильной.

Пусть необходимо найти интеграл от неправильной рациональной дроби.

При помощи деления (по правилу деления многочленов) неправильную рацио-

нальную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции

и правильной рациональной дроби. Например, 12

432

12

622

3

xx

xx

xx

x.

Затем знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида )(и)( 2 qxxax , а правильная дробь разлагается на сумму элемен-

тарных дробей следующим образом:

.)(

...)(

)(...

)()()(

)(

222

22

2

11

2

21

2

qxx

NxM

qxx

NxM

qxx

NxM

ax

A

ax

A

ax

A

qxxax

xP

ПРИМЕР 4. Найти интеграл

dx

xx

xx

562

23

.

Решение. Выделим целую часть данной неправильной дроби:

56

35377

56 22

23

xx

xx

xx

xx.

28

Разложим знаменатель на линейные множители по формуле:

))(( 212 xxxxacbxax , где х1 и х2 – корни квадратного уравнения

,02 cbxax то есть )5)(1(562 xxxx .

,)5)(1(

5)(

)5)(1(

5

51)5)(1(

3537

56

35372

xx

BAxBA

xx

BBxAAx

x

B

x

A

xx

x

xx

x

откуда получаем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинако-

вых степенях слева и справа

.355

;37

BA

BA Решая ее, имеем:

,2

137

2

13737,

2

1,24 ABAA значит: 24 A ,

.5ln2

1371ln

2

17

2

5

2137

1

21

756

2

2

23

Cxxxx

dxxx

xdxxx

xx

6.5. Определенный интеграл

Формула Ньютона – Лейбница

)()(|)()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

,

где F(x) – первообразная для f(x), т.е. F'(x)= f(x).

ПРИМЕР 5.

1. Вычислить

4

6

2cos x

dx по формуле Ньютона – Лейбница.

Решение. Имеем

4

6

4

6

2 3

33

3

31

6tg

4tg|tg

cosx

x

dx.

2. Вычислить e

dxx

x

1

2ln.

Решение. Положим tx ln , тогда dtx

dx . Если х=1, то t=0, если х=е, то

t=1. Следовательно, 1

0

331

0

32

1

2

3

101

3

1|

3

1lntdttdx

x

xe

.

29

6.6. Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x), [f1(x)≤f2(x)] и пря-

мыми х=а и х=b, находится по формуле dxxfxfSb

a

)()( 12

ПРИМЕР 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными лини-

ями y=–x2, y=–x–2.

Решение. Сделаем чертеж.

Найдем абсциссы точек пересечения

данных линий:

–x2=–x–2 или x

2–x–2=0,

x1=–1, x2=2.

Значит,

2

1

2 )2( dxxxS

22

1

3

14

2

4

3

8

1

22

232

2

1

232 x

xxdxxx

=–3+1,5+4+2=4,5.

Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси

Ох; находится по формуле: b

a

dxxfV )(2 .

Длина кривой, заданной уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b, выражается следу-

ющим образом: b

a

dxxf2

)(1

ТЕМА 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнение вида

F(x, y, y', y'', …, y(n)

) = 0, (1)

связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется

дифференциальным уравнением (ДУ) n-го порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется

функция у = φ(х, С1, С2, …, Сn), которая зависит от аргумента х и n независимых

произвольных постоянных С1, С2, …, Сn , обращающая вместе со своими произ-

водными у/, у

//, …, у

(n) уравнение (1) в тождество.

Частным решением уравнения (1) называется решение, которое получается

из общего решения, если придавать постоянным С1, С2, …, Сn определенные

числовые значения.

–1 0 2 у

х

30

7.1. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения вида )()( 21 yfxfy называются уравнения-

ми с разделяющимися переменными. В таких уравнениях все выражение, кото-

рое не относится к производной функции y можно представить в виде произ-

ведения двух функций – одной зависящей только от х, а другое – только от y.

Для решения, представим dx

dyy , получим )()( 21 yfxf

dx

dy , или dxxf

yf

dy)(

)(1

2

.

Последнее равенство рассматривается как равенство дифференциалов,

следовательно неопределенный интеграл от обеих частей будут отличны лишь

константой: C. )()(

1

2

dxxfyf

dy

ПРИМЕР 1. Решить дифференциальное уравнение: x

y-y .

Решение:

x

Cy

x

CyCxy

x

dx

y

dy

x

y

dx

dy

x

y-y ;lnln;lnlnln;;; .

К уравнениям с разделяющийся переменной также относятся уравнения

вида

CdyyN

yNdx

xM

xM

dxyNxMdxyNxM

dyxNxMdxyNxM

)(

)(

)(

)(

)()()()(

0)()()()(

1

2

2

1

2211

2211

ПРИМЕР 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

0)1()1( xdyyydxx .

Решение:

dy

ydx

xdy

y

ydx

x

xxdyyydxx

111

1;

11;)1()1( ;

Cyyxx lnln - общий интеграл ДУ.

7.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида y'+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f (x) непрерывные функции,

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

ПРИМЕР 3. Найти общее решение уравнения y'+3y=e2x

и частное реше-

ние, удовлетворяющее начальным условиям х=0, у=1.

Решение. Данное уравнение является линейным.

Здесь ρ(x)=3 и f (x)=e2x

.

Решение ищем в виде y=U∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим

y'=U'υ+Uυ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем:

U'υ+Uυ '+3Uυ=e2x

или U'υ+U(υ '+3υ)=e2x

.

31

Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в

нуль: υ'+3υ=0 . Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его

получаем: ,03

dx

d ,3dxd

ln υ =–3x, υ=e

–3x.

Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравне-

ние, получаем уравнение с разделяющимися переменными:

CeUdxedUeUeeU xxxxx 55523

5

1,,, .

Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:

xx eCey 35

5

1

.

Найдем частное решение. Для этого подставим начальные условия в выра-

жение для общего решения и найдем С.

5

4,1

5

11,

5

11 0305

CCeCe .

Частное решение имеет вид: xx eey 35

5

4

5

1

.

7.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами

Уравнение вида y''+ρy'+qy=f(x), где и q – вещественные числа, f (x) –

непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с

постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:

y''+ρy'+qy=0, (2)

у которого правая часть f (x) равна нулю. Такое уравнение называется од-

нородным. Уравнение

K2+ρK+q=0 (3)

называется характеристическим уравнением данного уравнения (2).

Характеристическое уравнение (3) является квадратным уравнением, име-

ющим два корня. Обозначим их через К1 и К2.

Общее решение уравнения (2) может быть записано в зависимости от вели-

чины дискриминанта D=ρ2–4q уравнения (3) следующим образом:

1. При D>0 корни характеристического уравнения вещественные и раз-

личные (К1 ≠ К2), и общее решение имеет вид xKxK

eCeCy 21

21 .

2. При D=0 корни характеристического уравнения вещественные и равные

(К1 = К2 = К), и общее решение имеет вид: ).( 21 xCCey Kx

32

3. Если D<0, то корни характеристического уравнения комплексные:

iDiD

K

22

2,1 , где 1i – мнимая единица,

2,

2

D

и общее решение (К1=α+βi, К2=α–βi, β≠0), имеет вид

y = eαx

(C1cosβx+C2sinβx).

ПРИМЕР 4. Найти общее уравнение y''+y'–2y=0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид K2+K–2=0 , его корни

К1 = 1, К2 = –2 вещественные и различные. Общее решение уравнения имеет

вид y = C1ex+C2e

–2x.

ПРИМЕР 5. Найти общее решение уравнения y''–2y'+y=0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К2–2К+1=0 , его кор-

ни К1 = К2 = 1 – вещественные и равные. Общее решение уравнения имеет вид

y = ex(C1+C2x).

ПРИМЕР 6. Найти общее решение уравнения y''–4y'+13y=0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К2–4К+13=0 , его

корни К1 = 2+3i, К2 = 2–3i комплексные. Обще решение уравнения имеет вид

y = e2x

(C1cos3x+C2sin3x).

7.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение второго порядка:

y''+ρx+qy=f(x), (4)

где f(x) – непрерывная функция, отличная от нуля.

Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного ре-

шения y~ неоднородного уравнения (4) и общего решения yо соответствующего

однородного уравнения (2): yyy o~ .

Поскольку нахождение общего решения однородного уравнения мы уже рас-

смотрели, то остаются рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Рас-

смотрим различные виды правых частей уравнения (4).

1) Пусть правая часть имеет вид f(x)=ex

Pn(x), где Pn(x) – многочлен степени n.

Тогда частное решение y~ ищем в виде xr

n exxQy )(~ , где Qn(x) – многочлен той

же степени, что и Pn(x), а r – число, показывающее, сколько раз α является кор-

нем характеристического уравнения.

ПРИМЕР 7. Найти общее решение уравнения y''–2y'+y=x2+1.

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения име-

ет вид yo = ex(C1+C2x) (см. пример 5). Так как правая часть уравнения является

многочленом второй степени и ни один из корней характеристического уравне-

33

ния 0122 xx не равен нулю (К1=К2=1), то частное решение ищем в виде

CBxAxy 2~ , где А, В, С – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя

дважды y~ =Ax2+Bx+C и подставляя y~ =Ax

2+Bx+C, BAx'y 2~ , A''y 2~ в

данное уравнение находим 2A–4Ax–2B+Ax2+Bx+C=x

2+1, или

Ax2+(B–4A)x+2A–2B+C=x

2+1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях

равенства, имеем А=1, В-4А=0, 2А-2В+С=1, Находим А=1, В=4, С=7. Итак, част-

ное решение данного уравнения имеет вид 74~ 2 xxy , а общее решение -

74)( 2

21 xxxCCey x .

ПРИМЕР 8. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовле-

творяющее начальным условиям

,1,0,32 00

2 yxeyyy x 30 y .

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет

вид yo = C1ex+C2e

–2x (см. пример 4). В правой части данного уравнения стоит

произведение многочлена нулевой степени на показательную функцию eαx

при

α=2. Так как среди корней характеристического уравнения нет корней, равных

2, то частное решение данного уравнения ищем в виде y~ =A∙e2x

.

Дифференцируя и подставляя y~ в уравнение получаем:

xxxx eAeeAeA 2222 3224 и xx eeA 22 34 , откуда 34 A ,

4/3A .

Подставляя найденное значение А в выражение для y~ , найдем частное ре-

шение данного уравнения xey 2

4

3~ и общее решение запишется в виде

xxx

o eeCeCyyy 22

21 43~ . Найдем частное решение, удовлетворяющее

начальным условиям. Для этого продифференцируем у:

xxx eeCeCy 22

214

62 .

Подставляем начальные условия в у и у', находим С1 и С2:

,4

623

,4

31

21

21

CC

CC

3

2,

12

5,

4

53,

4

332 1222 CCCC .

Подставляя найденное значение С1 и С2 в выражение для у, найдем частное

решение данного уравнения

34

xxx eeey 22

4

3

12

5

3

2 .

2) Пусть правая часть имеет вид )sincos()( xbxaexf x и α+βi,

(α–βi) не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное ре-

шение ищем в виде )sincos(~ xBxAey x .

Если же α+βi, (α–βi) является корнем характеристического уравнения, то

частное решение находим в виде )sincos(~ xBxAxey x .

ПРИМЕР 9. Найти общее решение уравнения xyy 2sin .

Решение. Здесь характеристическое уравнение К2 + 1 = 0 имеет корни К1=i,

К2 = -i. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения бу-

дет y = C1cosx+C2sinx. В правой части стоит тригонометрическое функция

,2sin x то есть a=0, b=1, β=2. Так как β=2 не является корнем характеристиче-

ского уравнения, то частное решение надо искать в виде: xBxAy 2sin2cos~ .

Дифференцируя y~ и подставляя его в дифференциальное уравнение, по-

лучим xxBxA 2sin2sin32cos3 , откуда 3

1,0 BA , т.е. частное ре-

шение xy 2sin3

1~ , а общее решение уравнения:

xxCxCy 2sin3

1sincos 21 .

ТЕМА 8. РЯДЫ

Пусть задана бесконечная последовательность чисел nUUU ,, 21 . Тогда вы-

ражение

1

21n

nn UUUU (1)

называется числовым рядом. Здесь nU – общий член ряда.

Примеры:

1.

1

12 2

1

2

1

2

1

2

11

nnn

.

2.

1 114

3

2

2

2

1

n n

n

n

n .

3.

1

2222

11

3

1

2

11

n nn .

Суммы вида nSUUSUS ,,, 2121 nUUU 21 называются

частичными суммами ряда (1).

35

Определение. Если последовательность nSSS ,,, 21 частичных сумм име-

ет предел, то ряд (1) называется сходящимся. Этот предел называется суммой

ряда.

8.1. Признаки сходимости

Необходимый признак сходимости.

Если ряд (1) сходится, то 0lim

nn

U .

Следствие. Если n-й член ряда не стремится к нулю при n , то ряд

расходится.

ПРИМЕР 1. Ряд ...12

...7

3

5

2

3

1

n

n

расходится, так как 02

1

12limlim

n

nu

nn

n.

Подчеркнем, что рассмотренный признак является только необходимым,

но не является достаточным, т.е. из того, что n-й член стремится к нулю, еще не

следует, что ряд сходится, - ряд может и расходиться.

Например, так называемый гармонический ряд ...1

...4

1

3

1

2

11

n

расходится, хотя 01

limlim n

un

nn

.

Достаточные признаки сходимости

1. Признак сравнения .

Пусть имеем два ряда с положительными членами

...uuuu n321 , (2)

...n321 (3)

Для них справедливы следующие утверждения.

Если члены ряда (2) не больше соответствующих членов ряда (3), т.е.

nnu ...),2,1( n ,

и ряд (3) сходится, то сходится и ряд (2).

Если члены ряда (2) не меньше соответствующих членов ряда (3), т.е.

nnu ,

и ряд (3) расходится, то и ряд (2) расходится.


...3

1

2

11

n

расходится, так как его члены (начиная со второго) больше соответствующих

членов гармонического ряда

...1

...4

1

3

1

2

11

n,

36

который, как известно, расходится.

2 . Признак Даламбера

Если в ряде с положительными членами ...uuuu n321

отношение (n+1)-го члена к n-му при n имеет (конечный) предел l, т.е.

lu

u

n

n

n

1lim , то:

1) ряд сходится в случае l<1,

2) ряд расходится в случае l>1.

В случае l=1 ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда при-

знак не дает.

ПРИМЕР 2. Исследовать сходимость ряда

......321

1...

321

1

21

11

n

Решение. Здесь

!

1

...21

1

nnun

,

)!1(

1

)1(...21

11

nnnun ;

1

1

)!1(

!

1

nn

n

u

u

n

n .


101

1limlim 1

nu

u

nn

n

n.

Ряд сходится.

3 . Признак Коши

Если для ряда с положительными членами ...uuuu n321 вели-

чина nnu имеет конечный l предел при n , т.е. lun

nn

lim то:

1) ряд сходится в случае l<1,

2) ряд расходится в случае l>1.

ПРИМЕР 3. Исследовать сходимость ряда

...12

...7

3

5

2

3

132

n

n

n

Решение. Применим признак Коши:

12

1

12lim

)12(limlim

n

n

n

nu

n

n

n

n

nn

n.

Ряд сходится.

Замечание. Как и в признаке Даламбера, случай

37

1lim

lunn

n

требует дополнительного исследования.

4 . Интегральный признак сходимости ряда

Пусть члены ряда

...uuuu n321 (4)

положительны и не возрастают, т.е.

...,uuu 321

и пусть f(x) – такая непрерывная невозрастающая функция, что

1)1( uf , 2)2( uf , …, nunf )(

Тогда, справедливы следующие утверждения:

- если несобственный интеграл

1

)(f dxx сходится, то сходится и ряд (4);

- если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд (4).

8.2. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

До сих пор мы рассматривали ряды, члены которых положительны. В

этом параграфе будем рассматривать ряды, члены которых имеют чередующие-

ся знаки, т.е. ряды вида

...uuu 4321 u ,

где ,...u,,u,u n21 положительны.

Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде

...uuu 4321 u )0( nu (5)

члены таковы, что ...,uuu 321 и 0lim

nn

u , то ряд (1) сходится, его сум-

ма положительна и не превосходит первого члена.


1

3

1

2

11

сходится, так как

1) ...1 31

21 ;

2) 0limlim 1

nn

nn

u .

Сумма n первых членов ряда

ns n

n

1)1(...

4

1

3

1

2

11 1

отличается от суммы ряда s на величину, меньшую 11 n .

ПРИМЕР 5. Ряд ...!4

1

!3

1

!2

11

сходится в силу теоремы Лейбница.

38

8.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как

положительные, так и отрицательные.

Рассмотренные в предыдущем параграфе знакочередующиеся ряды яв-

ляются, очевидно, частным случаем знакопеременных рядов.

Если знакопеременный ряд

...uuu n21 (6)

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов,

...uuu n21 , (7)

сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

Если же знакопеременный ряд (6) сходится, а ряд (7), составленный из

абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд

(6) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.

ПРИМЕР 5. Знакопеременный ряд ...4

1

3

1

2

11 является условно

сходящимся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов,

есть гармонический ряд ...4

1

3

1

2

11 , который расходится. Сам же ряд

сходится, что легко проверить с помощью признака Лейбница.

8.4. Степенные ряды

Ряд вида

0

2210

n

nn

nn xaxaxaaxa называется степенным ря-

дом. Здесь постоянные величины a1, a2, …, ak ,… – коэффициенты ряда, a0 – сво-

бодный член. Степенные ряды являются одним из видов функциональных ря-

дов вида

0

10 )()()()(n

nn xUxUxUxU

Очевидно, любой степенной ряд сходится при х=0. Для любого степенного

ряда имеется интервал (–R, R), называемый интервалом сходимости, в каждой

точке которого ряд сходится, а вне интервала ряд расходится. На границах ин-

тервала ряд может либо сходится, либо расходится. Число R называется радиу-

сом сходимости степенного ряда, он находится по формуле:

1

lim

n

n

n a

aR .

39

Таким образом, поиск области сходимости степенного ряда заключается в

определении его радиуса сходимости R и исследования сходимости ряда на

границах интервала сходимости (при Rx ).

Разложение функции f(x) в ряд Маклорена имеет следующий вид:

...!

)0(...

!2

)0(

!1

)0()0()(

)(2

n

n

xn

fx

fx

ffxf

Наиболее употребительны разложения следующих функций:

)(!!2

12

xn

xxxe

nx ;

)()!12(

)1(!3

sin12

13

xn

xxxx

nn ;

)()!2(

)1(!2

1cos22

xn

xxx

nn ;

)11(1

)1(4321

)1ln(1432

xn

xxxxxx

nn ;

);11(

,!

))1(()1(

!2

)1(

!11)1( 2

x

xn

nmmmx

mmx

mx nm

)11(12

)1(53

arctg1253

xn

xxxxx

nn .

ПРИМЕР 6. Написать три первых члена степенного ряда по заданному

общему члену nnn xaU , найти область сходимости ряда

1

,n

nU если

45

6

n

xU

n

nn

n

.

Решение. Первые три члена ряда будут: ,5

61

xU ,

25

642

22

2

xU .

35

643

33

3

xU

Имеем 41

1

14 15

6,

5

6

n

an

an

n

nn

n

n .

Определяем радиус сходимости:

6

511lim

6

51lim

6

5

156

56

limlim 44

41

1

4

1

nn

n

n

n

a

aR

nn

n

n

n

n

nn

n

n.

Интервал сходимости имеет вид:

6

5;

6

5.

40

Пусть 6

5x . Получаем числовой ряд:

444

1 144

)1(

3

1

2

11

)1(

5

656

nnn

n

n n

n

n

nn

.

Применяем к этому знакочередующемуся ряду признак Лейбница:

444

13

12

11n

;

01lim4

nn

.

Оба условия выполняются, следовательно ряд при 6

5x сходится.

Пусть6

5x . Имеем числовой ряд:

1

4441

44

1

3

1

2

111

5

656

n nn

nn

nnn .

Сравнивая с расходящимся гармоническим рядом

1

,1

3

1

2

111

n nn видим, что, начиная с n=2, выполняется неравен-

ство nn

114

, поэтому по признаку сравнения ряд расходится (так как расходится

гармонический ряд). Область сходимости ряда

6

5;

6

5.

ПРИМЕР 7. Вычислить 4 17 с точностью до 0,0001, используя разложение

mxxf )1()( в ряд Маклорена.

Решение.

Преобразуем 41

44

1611211617

.00001,000037,001562,012

...16

1

!3

24

114

14

1

16

1

!2

14

14

1

16

1

4

112

32

Полученный ряд знакочередующийся и его члены убывают по абсолютной

величине, поэтому погрешность не превзойдет первого отброшенного члена.

Очевидно, что 2∙0,00001<0,0001.

Следовательно, 0305,2)00037,001562,01(2174 .

41

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

СТУДЕНТАМИ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

Задание 1.

Даны множества A и В. Найти BAABBABABA ,\,\,, .

Вариант Множество А Множество В

1. 2 4 6 8 11 12 14 15 1 2 5 7 9 11 12 14

2. 3 4 7 8 9 10 13 14 0 1 2 4 6 7 9 12

3. 0 1 3 4 5 8 9 11 1 3 4 6 7 9 13 14

4. 0 1 7 8 9 11 12 14 0 2 3 5 7 11 12 15

5. 1 2 3 4 5 7 9 10 1 5 6 7 8 10 11 13

6. 4 5 7 8 10 11 13 15 2 4 5 8 9 10 14 15

7. 3 6 7 9 10 12 13 14 3 5 6 8 11 13 14 15

8. 1 2 5 6 9 10 12 15 2 5 6 9 10 11 12 15

9. 2 3 4 7 10 12 14 15 4 5 6 8 9 10 11 12

10. 5 6 7 8 9 10 12 14 1 3 4 6 7 9 11 13

11. 1 2 5 7 9 11 12 14 4 5 7 8 10 11 13 15

12. 0 1 2 4 6 7 9 12 3 6 7 9 10 12 13 14

13. 1 3 4 6 7 9 13 14 1 2 5 6 9 10 12 15

14. 0 2 3 5 7 11 12 15 2 3 4 7 10 12 14 15

15. 1 5 6 7 8 10 11 13 5 6 7 8 9 10 12 14

16. 2 4 5 8 9 10 14 15 1 2 5 7 9 11 12 14

17. 3 5 6 8 11 13 14 15 0 1 2 4 6 7 9 12

18. 2 5 6 9 10 11 12 15 1 3 4 6 7 9 13 14

19. 4 5 6 8 9 10 11 12 0 2 3 5 7 11 12 15

20. 1 3 4 6 7 9 11 13 1 5 6 7 8 10 11 13

21. 1 2 5 7 9 11 12 14 4 5 7 8 10 11 13 15

22. 0 1 2 4 5 7 9 12 3 6 7 9 10 12 13 14

23. 1 3 4 8 9 9 13 14 1 2 4 6 9 10 12 15

24. 0 2 3 4 5 11 12 15 2 3 6 7 10 12 14 15

25. 1 5 6 8 9 10 11 13 2 3 5 7 9 10 12 14

26. 2 4 5 7 8 10 14 15 1 2 7 8 9 11 12 14

27. 3 5 6 8 11 13 14 15 0 1 3 5 6 7 9 12

28. 2 5 6 9 10 11 12 15 1 3 4 6 7 9 13 14

29. 4 5 6 8 9 10 11 12 0 2 3 5 7 11 12 15

30. 1 3 4 6 7 10 11 13 1 5 6 7 8 10 11 13

42

Задание 2.

Найти пределы функций.

Вариант 1,11,21.

1) ;),1),2)при352

132lim 0002

2

0

хвхбха

xx

xx

xx

2)24 16

13lim

x

х

x

; 3)

x

x

x 4

2arctglim

0; 4)

1

12

32lim

x

x x

x.


1) ;),5),1)при152

5143lim 0002

2

0

хвхбха

xx

xx

xx

2)1

23lim

1

x

х

x; 3)

x

xx

x 3sin

2ctglim

2

0; 4)

x

x x

x4

14

24lim

.


1) ;),1),2)при12

2lim 0002

2

0

хвхбха

xx

xx

xx

2) x

xх

x 4

11lim

0

; 3)

2ctglim

0

xx

x

; 4)

12

3

21lim

x

x x.


1) ;),2),1)при1092

107lim 0002

2

0

хвхбха

xx

xx

xx

2)21

3lim

3

x

x

x; 3)

x

x

x sin

2sinlim

0; 4)

1

23

13lim

x

x x

x.


1) ;),4),1)при20132

472lim 0002

2

0

хвхбха

xx

xx

xx

2) 6

33lim

6

x

х

x; 3)

x

x

x arcsin

sinlim

0; 4)

12

35

25lim

x

x x

x.


1) ;),3),1)при158

2110lim 0002

2

0

хвхбха

xx

xx

xx

2)3

21lim

3

x

х

x; 3)

x

x

x 6

3arcsinlim

0; 4)

x

x x

x

1

7

6lim .

43


1) ;),2),1)при2

102lim 0002

2

0

хвхбха

xx

xx

xx

2) 42

lim0 x

x

x; 3) xx

xctg2sinlim

0

; 4)

x

x x

x

19

49lim .


1) ;),4),1)при20132

472lim 0002

2

0

хвхбха

xx

xx

xx

2) x

x

x

1

1lim

2

1; 3)

xtg

x

x 5

3sinlim

0; 4)

12

2

3lim

x

x x

x.


1) ;),3),2)при372

214lim 0002

2

0

хвхбха

xx

xx

xx

2) x

х

x

11lim

0

; 3)

20

)cos1(2lim

x

x

x

; 4)

3

1lim

x

x x

x.


1) ;),5),3)при158

25lim 0002

2

0

хвхбха

xx

x

xx

2)x

x

x

11lim

0

; 3) xx

x5ctg3sinlim

0

; 4)

x

x x

x

21

23lim .

Задание 3.

Найти производные и дифференциалы функций.


а) xey x ln2

; б)2

arccosx

ey

x

; в) xxxy 2cossin .


а) )ln(22 aexy ; б) xy x 22arcsin ; в) xxxxy sin)2(cos2 3 .


а) x

xy

cos

21ln

; б) 1arctg xey ; в)

x

xy

ctgtg .


а) xeaxy 22ln ; б) 23

arctg

x

xy

x ; в)

x

xxxy

cossin .

44


а) xexy lnln ; б) x

yx4

arcctg ; в)4

3

4sin

4cos

xx

xy

.


а) xey x ln2sin ; б)

x

xy

3

3arccos ; в) tgxxxy 4sin2 .


а) xey

x

sinln2 ; б) xexy 4arctg ; в)3)2sin1(

1

xy

.


а) xey x lnsin ; б) xexy arctg)1( 2 ; в) 3 2cos1 xy .


а) xbx

eay

x

2ln ; б) 2arctg2

2xy ; в)2)3cos(

1

xxy

.


а) )5ln( 2 xexxy ; б) x

xyx

2

1arctg

; в)x

xxy1

23ctg3 .

Задание 4.

Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию:

а) с помощью первой производной найти интервалы возрастания и убыва-

ния, экстремумы функции;

б) найти интервалы выпуклости и вогнутости, перегибы функции;

в) найти асимптоты функции;

г) найти особые точки функции и, используя общие свойства функции и с

учетом ранее найденных характеристики, построить график.

Вариант Функция Вариант Функция Вариант Функция

1 5

2

x

xy 11

9

12

2

x

xy 21

22

3

xy

2 32

2 2

x

xy 12

3

32

2

x

xy 22 xey x

3 1

2

x

xy 13

1

42

2

x

xy 23

12

12

2

x

xy

4 x

ey x 1 14 2

122

x

xy

24 1

42

2

x

xy

45

Вариант Функция Вариант Функция Вариант Функция

5 21

1

xy

15

x

xy

1

2

2

25 2

2 3

x

xy

6 xxey 16 2

1

x

xy 26

4

12

2

x

xy

7 102

2

x

xy

17 2

12

x

xy 27

2

12

2

x

xy

8 52

2

x

xy 18

xxy

1 28

1

12

x

xy

9 2

1

x

xy

19 12

342

2

x

xy

29 x

xy

2

5

2

10 1

12

x

xy 20 xxey 30

xxy

22

Задание 5.

Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль век-

тора )2;1(l

.

Вариант Функция Вариант Функция

1. yxyxz 22 16. yxxyyxz 323

2. xyxz 2ln 22 17. xye

yx

yxz

3. xyxyxz ln 18. 33 xytgxxyz

4. 263 ctg xyyxz 19. xyxyz 2)3ln(

5. yxxex

yz y 20. yyxyz x sin

6. xyyz x 72 3 21. xxyxz 3ln 2

7. xyxxz ln 22. 2xyxez

8. yxyz 72/3 72 23. yxyz sin

9. yxyxz ln2 24. yxe

x

yz 3

10. yy

xz cos

3arcctg 25.

xx

yz

1arctg

11. ye

yx

yxz 2

4

3

26.

3lnx

x

yz

46

Вариант Функция Вариант Функция

12. xyxz y cos 27. yx

yyz x sin

13. xye

x

yz 28. yxyz ln

14. xy yxz 29. xyx

xyz sin

15. 22 yxez 30. y

x

yz cosarctg

Задание 6.

Найти неопределенные интегралы.

Вариант Интеграл

1, 3, 5. а) 3 4

3

1 x

dxx; б)

dx

x

x

7

)7(ln 5

; в) xdxx arctg .

2, 4, 6. а)

dx

x

x23

2

1; б)

dx

x

x2

3

161

4arctg; в) xdxx ln3 2 .

7, 9, 11. а) dxxx

dx

ln; б) xdxx 2cos2sin32 ; в)

dxex x6 .

8, 10, 12. а) xdxx cossin ; б) 4 6

7

23 x

dxx; в) xdxx 6cos .

13, 15, 17. а) xdxe x2

; б) xdxx 3sin3cos324

; в) xdxx ln3 .

14, 16, 18. а)

dxx

x

cos1

2sin; б)

9

8

34 x

dxx; в) xdxx 7cos .

19, 21, 23. а) xdxtg ; б) xdxx 6sin6cos4 ; в) dxxe x4 .

20, 22, 24. а) dxee xx 63 64 ; б)

dxx

x

3 7

6

1

8; в) xdxx 6arctg .

25, 27, 29. а) 41 x

xdx; б)

dx

x

x

7

)7(ln 4

; в) dxex x3 .

26, 28, 30. а) 3 4

3

41 x

dxx; б)

dx

x

x

2

4

41

2arcsin; в) xdxx 4sin .

47

Задание 7. Найти площадь фигуры, ограниченную линиями.

Вариант 1,2. y=x2–5x+6; y=x–2.

Вариант 3,4. y=–x2–7x–12; y=x+3.

Вариант 5,6. y=x2–3x+4; y=x+1.

Вариант 7,8. y=–x2–5x–1; y=x+7.

Вариант 9,10. y=x2–7x+12; y=x–3.

Вариант 11,12. y=x2–5x+7; y=x–1.

Вариант 13,14. y=x2–5x+8; y=x.

Вариант 15,16. y=–x2–11x–30; y=x+5.

Вариант 17,18. y=x2–5x+5; y=x–3.

Вариант 19,20. y=–x2–5x–6; y=x+2.

Вариант 21,22. y=2–x2; y=x

2.

Вариант 23,24. y=–2+x2; y=–x

2.

Вариант 25,26. y=x2; y=2+x.

Вариант 27,28. y=–x2; y=–2+x.

Вариант 29,30. y=x2; y= .x

Задание 8.

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Варианты № 1 и № 30: 2 21 1 0.x y yy x

Варианты № 2 и № 29: 2 24 .y dx ydy x ydy

Варианты № 3 и № 28: 2

2

11 0.

1

xy y

y

Варианты № 4 и № 27: 2 2e 5 e 0.x xdy y dx

Варианты № 5 и № 26: 2 23 2 0.x y y dy y dx

Варианты № 6 и № 25: 2 24 0.x y xy x

Варианты № 7 и № 24: e 8 e 0.x xdy y dx

Варианты № 8 и № 23: ln 0.y y xy

Варианты № 9 и № 22: 2 21 0.x y xy x

Варианты № 10 и № 21: 1 ln 0.y y xy

Варианты № 11 и № 20: 3 e e .x xyy

Варианты № 12 и № 19: 2 23 1 0.y x yy

Варианты № 13 и № 18: 2 24 0.x y xy x

Варианты № 14 и № 17: 2 25 4 0.y dx x y y dy

Варианты № 15 и № 16: 2 26 3 .xdx ydy yx dy xy dx

48

Задание 9.

Исследовать на сходимость ряды:

Вариант 1, 21: а) 2

1

1

3 1

n

nn

n

n

, б)

1

1

2 11

1

n

n

n

n n

.


1

1 11

4

n

nn n

, б)

1

2

1

ln 1

n

n n

.

Вариант 3, 23: а)

22

21

2 1

1

n

n

n

n

, б)

3

1

1 ln

n

n n n

.


1

2

3 5

n

n

nn

n

б)

3

1

ln 1

n

n n n

.


1

2 1

3 2

n

n

n

n

б)

1

41

1

2 3

n

n n n

.


1

2 21

3 1

n

n

nn

n

б)

1

1 cos6

n

n n

.


1

4 3

5 1

n

n

n

n

б)

3

1

ln 2

n

n n n

.


1 10 5

n

n

n

n

б)

1

11

n

n

tgn

.


arcsin4

n

n

nn

б)

1

21

1

1 2

n

nn n


1

2

3 1

n

n

n

n

б)

1

1

1

1 3 2

n

nn n

.


1

5

n

nn

n n

n

б) 1

2 11

3

n

n

n

n

.


2

1

2 3

1

n

n

n

n

б)

2 10

1

2 1 2

n

nn n

.


1

3 21

4 1

n

n

nn

n

б)

1

sin1

n

n

n n

n n

.


2

2

1

2 3

n

n

n

n

б)

2 21

1

sin

n

n n n

.

Вариант 15, 20: а) 2 1

1 3 1

n

n

n

n

б)

21

11 ln 1

n

n n

.

49

ЛИТЕРАТУРА

Основная литература

1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов,

обучающихся по экономическим специальностям / под ред. Н.Ш. Кремера. –

М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.

2. Высшая математика для экономистов: практикум / под ред. Н.Ш. Креме-

ра. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

3. Шипачев, В.С. Высшая математика: Учеб. для вузов / В.С. Шипачев.-М.:

Высш. шк., 2003.

Дополнительная литература

1. Астровский, А.И. Высшая математика. В 3-х частях / А. И. Астров-

ский, М. П. Дымков. - БГЭУ, 2009.

2. Атурин В. В., Годин В. В. Высшая математика. Задачи с решениями

для студентов экономических специальностей / В. В. Атурин, В. В. Годин. -

Академия, 2010.

3. Баврин, И.И. Высшая математика / И.И. Барвин.- Академия, 2010.

4. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике /М.Я. Выгод-

ский. - АСТ, 2010.

5. Гриба, А. А. Математика. Математический анализ для экономистов /

А.А. Гриба. - М: Филинъ, 2001.

6. Гусак, А. А. Высшая математика в 2-х томах / А.А. Гусак. - М.: Тетра-

Системс, 2003.

7. Демидович, Б.П. Краткий курс высшей математики / Б.П. Демидович,

В.А. Кудрявцев. - АСТ, 2004 г.

8. Ильин, В.А. Высшая математика / В.А. Ильин, А.В. Куркина. - Про-

спект, 2009.

9. Кастрица, О. А. Высшая математика / О.А. Кастрица. - М:ЮНИТИ-

ДАНА, 2003.

10. Клюшин, В. Л. Высшая математика для экономистов / В.Л. Клюшкин. -

Инфра-М, 2009.

11. Лакерник, А. Р. Высшая математика. Краткий курс / Н.А. Лакерник. -

Логос, Университетская книга, 2008.

12. Мышкис, А.Д. Лекции по высшей математике / А.Д. Мышкис. - Лань,

2007.

13. Натансон, И. П. Краткий курс высшей математики / И.П. Натансон. -

Лань, 2009.

14. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред.

В.И. Ермакова.-М.:ИНФРА-М, 2000.

15. Сборник задач по высшей математике для экономистов/ Под ред. В.И.

Ермакова.- М.: ИНФРА-М, 2002.

16. Шамолин, М. В. Высшая математика / М.В. Шамолин. - Экзамен, 2008.

http://www.ozon.ru/context/detail/id/5168310/#persons


http://www.ozon.ru/context/detail/id/857608/
























50

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ………………………………………………………………………….…3

ТЕМА 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ………………….… 4

1.1. Понятие множества …………………………………………………….. 4

1.2. Операции над множествами …………………………………………… 5

1.3. Определение функции ……………………………………………….…. 7

1.4. Свойства функций ……………………………………………………… 8

ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ ………………………………… 10

2.1. Понятие и свойства пределов …………………………………………. 10

2.2. Первый замечательный предел ……………………………………….. 12

2.3. Второй замечательный предел ……………………………………....... 13

ТЕМА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ………………………….. 14

ТЕМА 4. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ……………………… 18

4.1. Определение функции двух переменных ……………………………. 18

4.2. Частные производные и полный дифференциал 1-го порядка …....... 18

4.3. Градиент функции. Производная по направлению …………………. 20

4.4. Экстремум функции двух переменных ………………………………. 21

ТЕМА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ………………………………………. 21

ТЕМА 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ …………………………………... 25

6.1. Неопределенный интеграл ……………………………………………. 25

6.2. Замена переменной в неопределенном интеграле …………………… 26

6.3. Интегрирование по частям ……………………………………………. 26

6.4. Интегрирование рациональных дробей ………………………………. 27

6.5. Определенный интеграл ……………………………………………… 28

6.6. Геометрические приложения определенного интеграла …………… 29

ТЕМА 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ …………………………… 29

7.1. Уравнения с разделяющимися переменными …………………………30

7.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка ………… 30

7.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами ……………………… 31

7.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами ……………………… 32

ТЕМА 8. РЯДЫ ………………………………………………………………….. 34

8.1. Признаки сходимости ………………………………………………… 35

8.2. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница ……………………… 37

8.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ……… 38

8.4. Степенные ряды ……………………………………………………….. 38

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ………………. 41

ЛИТЕРАТУРА ……………………………………………………………………. 49

51

Математика

Часть 1

«Математический анализ»

Методические указания к выполнению контрольных работ

для студентов заочной формы обучения, 1 курс, 1 семестр

Составитель:

МОИСЕЕВ Сергей Игоревич

В авторской редакции

Подписано в печать 20.09.2012. Формат 60×84/16

Усл печ. л. 3,2. Тираж 300 экз.

АОНО ВПО «Институт менеджмента, маркетинга и финансов»

394030, Воронеж, ул. Карла Маркса, 67

www.immf.ru

Отпечатано в ООО ИПЦ «Научная книга»

г. Воронеж, ул. 303 Стрелковой дивизии, д. 1а.

тел. (4732) 205-715, 29-79-69

http:// www.n-kniga.ru

Е-mail: [email protected]

http://www.immf.ru/

http://www.n-kniga.ru/

mailto:[email protected]

Моисеев Сергей Игоревич · 2013-10-10 · 2 Составитель: С.И....

Documents