热传导方程和对流方程

卢朓

Parabolic

equation

对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

Reference

热传导方程和对流方程

卢朓

Department of Science and Engineering Computing

School of Mathematics School

Peking University

October 9, 2007

热传导方程和对流方程

卢朓

Parabolic

equation

对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

Reference

热传导方程和对流方程

卢朓

Department of Science and Engineering Computing

School of Mathematics School

Peking University

October 9, 2007

热传导方程和对流方程

卢朓

Parabolic

equation

对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

Reference

框架

1 Parabolic equation

2 对流方程

3 MPI的时间函数

4 MPI 的聚合通信函数

5 Homework

6 Reference

热传导方程和对流方程

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Parabolic

equation

对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

Reference

Parabolic equation

One dimensional Parabolic Equatino: 一个例子

@u

@t= �

@2u

@x2x 2 [0; 1]; t 2 (0;+1);

u(0; t) = u(1; t) = 0

u(x; 0) = u0(x) = sin�x

精确解

u(x; t) = e��2t sin�x

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Parabolic

equation

对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

Reference

三种格式

Euler Forward, O(�t;�x2)

un+1i � uni�t

= �uni+1 � 2uni + uni�1

�x2

Euler backward, O(�t;�x2)

un+1i � uni�t

= �un+1i+1 � 2un+1i + un+1i�1

�x2

Crank-Nicolson, O(�t2;�x2)

un+1i � uni�t

=�

2

uni+1 � 2uni + uni�1�x2

+

�

2

un+1i+1 � 2un+1i + un+1i�1

�x2

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Parabolic

equation

对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

Reference

差分格式的稳定性

定义D = ��t�x2

Euler Forward , 要求D � 12

Euler Backward, Unconditionally stable

Crank-Nicolson, Unconditionally stable

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Parabolic

equation

对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

Reference

两种不consisitent的格式

Dufort-Frankel scheme, Unconditionally stable

un+1i � un�1i

2�t= �

uni+1 ��un+1i + un�1i

�+ uni�1

�x2

Leap-frog scheme, Unconditionally stable

un+1i � un�1i

2�t= �

uni+1 � 2uni + uni�1�x2

热传导方程和对流方程

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Parabolic

equation

对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

Reference

框架

1 Parabolic equation

2 对流方程

3 MPI的时间函数

4 MPI 的聚合通信函数

5 Homework

6 Reference

热传导方程和对流方程

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Parabolic

equation

对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

Reference

对流方程

一维对流方程

@u

@t+@u

@x= 0; x 2 [0; 1]; t > 0

加上适当的初边值条件

周期初值函数+周期边界条件=简单情况

热传导方程和对流方程

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Parabolic

equation

对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

Reference

Euler-Forward/Center-Di�erence Scheme

EF/CD

un+1i � uni�t

+uni+1 � uni�1

2�x= 0

绝对不稳定

热传导方程和对流方程

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Parabolic

equation

对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

Reference

Euler-Forward/Upwind-Di�erence Scheme

EF/CD

un+1i � uni�t

=uni � uni�1

�x

条件稳定:�t

�x� 1

精度: O(�t;�x)

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对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

Reference

Lax-Friedrichs Scheme

Lax-Friedrichs

un+1j � 12

�unj+1 + unj�1

��t

=unj+1 � unj�1

2�x

Tadmor's correction, 引入C = �t�x

un+1j =

1

2

�unj+1 + u

nj�1

��

C

2

�unj+1 � u

nj�1

�+1� C2

4

�u0

j�1 � u0

j+1

�

whereu0j = MinMod

�unj+1 � unj ; u

nj � unj�1

�

MinMod[x; y] �1

2[sgn(x) + sgn(y)]Min[jxj; jyj]

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对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

Reference

Second-Order Upwind Scheme

EF/UD2

un+1j+1 = unj � C�unj � unj�1

�+

1

2C(C � 1)

�unj � 2unj�1 + unj�2

�

再次提示C � �t�x

另外，上面公式的推导要用到

ut + ux = 0) utt =@ut

@t=

@ux

@t

=@ut

@x=

ux

@x= uxx

For stability, we require that C � 2.

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对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

Reference

Lax-Wendro� Scheme (2nd order)

EF/LW

un+1j+1 = unj �C

2

�unj+1 � unj�1

�+

C2

2

�unj+1 � 2unj + unj�1

�

For stability we require that C � 1.

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MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

Reference

Adams-Bashforth/Center Di�erencingScheme(AB/CD)

2nd AB/CD

un+1j � unj

�t+

3

2�xu

nj �

1

2un�1j = 0

3rd AB/CD

un+1j � unj

�t+

23

12�xu

nj �

16

12un�1j +

5

12�xu

n�2j = 0

定义: �xunj =

unj+1�unj�12�x

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MPI 的聚合通信函数

Homework

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Burgers equation

Burgers equation: 非线性对流方程

@u

@t+ u

@u

@x= 0

假设周期边界条件，初值

u(x; 0) =

8<:�1; x � �1

31; �1

3 < x � 13

�1; x > 13

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MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

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the entropy solution

上面问题的熵解

u(x; 0) =

8>>><>>>:

�1; x+ t � �13

2 x�(�t�1=3)(t�1=3)�(�t�1=3) � 1; �t� 1

3 < x � t� 13

1; t� 13 < t < 1

3�1; x > 1

3

可以看解的动画演示burgers.gif .

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对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

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框架

1 Parabolic equation

2 对流方程

3 MPI的时间函数

4 MPI 的聚合通信函数

5 Homework

6 Reference

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MPI 的聚合通信函数

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MPI的时间函数

double MPI_Wtime(void)

返回当前墙钟时间，单位是秒。

double MPI_Wtick(void)

该函数给出MPI_Wtime 函数的时钟精度，以秒为单位。

和time.h 中的计时函数time_t clock(void) 的差别不大, 可参看我的博客。

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对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

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框架

1 Parabolic equation

2 对流方程

3 MPI的时间函数

4 MPI 的聚合通信函数

5 Homework

6 Reference

热传导方程和对流方程

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MPI 的聚合通信函数

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MPI 的聚合通信函数 I

int MPI_Bcast(void *buffer, int count,

MPI_Datatype datatype,

int root, MPI_Comm comm)

广播。通信器comm 中进程号为root 的进程（称为根进程）将自己bu�er 中的内容发送给通信器中所有的其他进程。

int MPI_Gather(void *sendbuf, int sendcnt,

MPI_Datatype sendtype, void * recvbuf,

int recvcnt, MPI_Datatype recvtype,

int root, MPI_Comm comm)

收集相同长度的数据块。以root为根进程，所有进程(包括根进程自己)将sendbuf中的数据块发送给根进程，根进程将这些数据块按进程号的顺序依次放到recvbuf 中。参数recvbuf,recvcnt 和recvtype 仅对根进程有意义。

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MPI 的聚合通信函数

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MPI 的聚合通信函数 II

int MPI_Allgather(void *sendbuf, int sendcnt,

MPI_Datatype sendtype, void * recvbuf,

int recvcnt, MPI_Datatype recvtype,

int root, MPI_Comm comm)

收集相同长度的数据块。相当于一个进程做了MPI_Gather后，把recvbuf 中的数据散发其他所有进程。

int MPI_Gatherv(void *sendbuf, int sendcnt,

MPI_Datatype sendtype, void * recvbuf,

int *recvcnts, int *displs,

MPI_Datatype recvtype,

int root, MPI_Comm comm)

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MPI 的聚合通信函数

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MPI 的聚合通信函数 III

收集不同长度的数据块。与MPI_Gather 类似，但允许每个进程发送的数据块长度不同，并且根进程可以任意排放数据块在recvbuf 中位置。数据recvcnts 和displs 的元素个数等于进程数，用于置顶从每个进程接收的数据块长度和它们在recvbuf 中的位移, 都以recvtype 为单位。

int MPI_Allgatherv(void *sendbuf, int sendcnt,

MPI_Datatype sendtype, void * recvbuf,

int *recvcnts, int *displs,

MPI_Datatype recvtype,

MPI_Comm comm)

不同长度的数据块全收集。相当于先在某个进程上进行MPI_Gatherv, 然后再广播。

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equation

对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

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框架

1 Parabolic equation

2 对流方程

3 MPI的时间函数

4 MPI 的聚合通信函数

5 Homework

6 Reference

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equation

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MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

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Homework I

1 求解二维Poisson方程

��

@2

@x2�

@2

@y2

�u(x; y) = f(x; y); (x; y) 2 = (0; 1)�(0; 1)

u(x; y) = 0; (x; y) 2 @

自己取定函数f(x; y),使得函数有精确解。使用均匀网格，使用二阶中心差分。N = Nx = Ny 表示在x 和y方向的差分点的个数，看你的机器上的N可以取道多大。比较计算时间和误差。编写并行程序，比较时间和结果的差别，数值验证收敛的阶。练习使用AztecOO的不同解法，比较不同解法的快慢。

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MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

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Homework II

2 讲义10中有这样一种情况。n个进程，进程Pi 需要向进程Pi+1 发送数据。第一个进程仅仅给第二个进程发送数据，最后一个进程仅仅接收数据，这种情况可以用MPI_Sendrecv 函数来实现吗？如果能请给出一个例子。当然可以增加一个最后一个进程向第一个进程发送消息，这样每个进程都需要Send 和Recv 。这里想知道的是第一个进程仅仅用Send, 最后一个进程仅仅Recv, 中间的进程用Sendrecv, 这样的程序会出错吗？

3 研究讲义10中给出的并行Thomas算法的代码，写出简洁高效率的代码。要求求解Ly = q和Ux = y的过程并行处理。

4 使用讲义10中给出的四阶隐式格式离散一维Poisson方程，验证数值收敛的阶数。

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对流方程

MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

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框架

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2 对流方程

3 MPI的时间函数

4 MPI 的聚合通信函数

5 Homework

6 Reference

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MPI的时间函数

MPI 的聚合通信函数

Homework

Reference

Reference

Parallel Scienti�c Computing in C++ and MPI, Chapter 7.

网上列出的例子