Geofísica, VOL. 52, NO. 3 (MARZO 1987): P 289-300, 6, Figs. 5 TABLAS

Occam "inversión: Un algoritmo práctico para generatlngs los modelos de datos de sondeos electromagnéticos

liso

Steven C. Constable *, Robert L. Parker *, y Catherine G. Constable *

RESUMEN

La inversión de los datos de resonancia electromagnética hace no dió una solución única, pero inevitablemente un solo se busca modelo para interpretar las observaciones. Nos re- encomiendo que este modelo sea lo más simple, o lisa, como posible, a fin de reducir la tentación de overinter- pret los datos y eliminar discontinuidades arbitrarias en los modelos de capas simples. Para obtener modelos lisos, el delantero no lineal problema se linealiza acerca de un modelo de partida en el forma habitual, pero entonces se resuelve de forma explícita para la deseada modelo más que para una corrección del modelo. Por parámetro terización modelo en términos de su primer o segundo derivado tiva con la profundidad, la solución de norma mínima se obtiene la más suave posible modelo. En lugar de ajuste de los datos experimentales, así como posible (que maximiza la rugosidad del modelo), el modelo más suave que se ajusta a los datos dentro de una se busca la tolerancia esperada. Un esquema práctico es de- desarrollado que optimiza el tamaño de paso en cada iteración y retiene la eficiencia computacional de capas modelos, resultando en un al- estable y rápidamente convergente goritmo. La inversión de tanto magnetotelúrico y Schlumberger datos de sondeo de campo, y una junta inversión magnetotelúrico resistividad, demostrar la método y mostrar que tenga aplicación práctica.

INTRODUCCIÓN

La inversión de los datos reales de campo de una geoelectrico sonar experimento (es decir, magnetotelúrico, dc resistividad o electromagnética-fuente controlada) no puede producir una solución única CIÓN a pesar de que se ha demostrado (por ejemplo, Langer, 1933) que observaciones ideales pueden producir una solución de este tipo. Sería injusto decir que los geofísicos no son conscientes de este hecho, pero por lo general se protegen de sus implicaciones por im- posando restricciones en los modelos que buscan, para estabilizar la

solución y darle la ilusión de uniqueness.A muy común ejemplo es la restricción de la solución a la clase de modelos que consiste en un pequeño número de capas (a menudo menos de cinco). Llamamos a estos "modelos en capas simples." Sin embargo, este apa- enfoque produce soluciones que dependen de la clase de modelos elegido. Por ejemplo, la selección de un pequeño número de capas tienta a uno a creer que realmente hay gran pantalla continuidades entre las capas en las profundidades descubiertos por el programa de ordenador. Incluso si el modelador ejerce cautela apropiada ción, los lectores de su obra no puede. Se puede argumentar que en algunas circunstancias es razonable capaz de representar a la tierra por un modelo estratificado simple, para ejemplo cuando se trata de establecer la profundidad de la capa freática o la sótano de una secuencia sedimentaria. Esto no altera el la dependencia de las soluciones de la parametrización, etc. antes de que la solución refleja la verdadera estructura de la tierra, la parametrización y el modelo de partida deben estar cerca de ser correcta. Por otra parte, si hay más de cuatro o cinco capas son rencias gerido por la información a priori (por un registro así, por ejemplo), un menos- cuadrados inversión es poco probable que restringir una muy pará- tales modelo eterized. No ha habido gran éxitoen la superación de la singularidad ness problema asociado con la práctica (que es incierto, in- completar los datos). El método de Monte Carlo, en la que un gran número de modelos generados aleatoriamente se ponen a prueba en contra de la de datos, se ha utilizado para la resistividad (Sternberg, 1979) y mag- netotelluric (MT) (Jones y Hutton, 1979b) sondeos en un tratar de caracterizar todos los modelos que están de acuerdo con la observación vaciones. Estos cálculos pueden nunca ser exhaustiva, e incluso cálculos que van sobre la clase de modelos en capas simples son computacionalmente extravagante a la luz de la visión obtenido a partir de ellos. En la ausencia de un universalmente válido Descripción del conjunto de modelos consistente con un geográfica dada conjunto de datos eléctrica, la mejor política puede ser la búsqueda de un modelo cuyo características son en algunas características esenciales de cualquier manera de la posibles soluciones, una de las cuales, presumiblemente, es la verdadera estructura tura. Nos proponemos encontrar el modelo más suave en un sentido especial de manera que sus características se apartan del caso más simple sólo hasta es necesario para ajustar los datos. Otros modelos, más emocionantes ser capaz de satisfacer las observaciones, pero muchos de ellos serán mucho

Manuscrito recibido por el Editor 28 de febrero 1986; revisado recibido el 30 de julio 1986. * ScrippsInstitutionof Oceanografía, Universityof Californiaat San Diego, Mail Code A030, La Jolla, CA 92093 NJ 1987Societyof ExplorationGeophysicists. rightsreserved.All

289

290 Alguacil et al.

más provocativa y atractiva que la realidad; nuestro enfoque garantiza que el perfil real debe ser al menos tan rica en estructura que el perfil encontrado pero nunca menos compleja en estructura tura. Parece técnicas iterativas que anteriores para encontrar incluso modelos simples todavía sufren de descubrimiento accidental de soluciones innecesariamente complejas. La búsqueda de soluciones simples es fundado. A principios Guillermo de Occam siglo XIV escribió que "es inútil hacer con más lo que puede hacerse con menos "(véase Russell, 1946, ch. 14). ¿Qué ha sido conocida como la navaja de Occam tiene alsos convertido en un principio fundamental de la ciencia moderna; hipótesis debe ser ni innecesariamente complicado ni innecesariamente numerosos. La motivación básica para la búsqueda de modelos lisos es que no quieren ser engañados por las características que aparecen en el modelo pero no son esenciales en la adecuación de las observaciones. Figura 1 muestra dos modelos que se ajustan a un conjunto de datos Schlumberger igualmente bien: un modelo de variación lenta obtenerse por los métodos describe aquí, y un modelo obtenido por el Mar- populares método quardt (Marquardt, 1963). La técnica Marquardt. también llamado regresión contraída, es estable y eficiente para parámetro ter apropiado y se ha utilizado ampliamente para interpretar geoelec- datos eléc- (por ejemplo, Inman, 197,5; Petrick et al., 1977). Sin embargo, permitiendo 27 capas las restricciones normales de una sencilla Layout modelo Ered se han perdido, lo que resulta en alta espuria zonas de conductividad 1 y 10 km de profundidad y una estructura fina en general tura que es completamente sin sentido, claro que para adjuntar cualquier importancia a las zonas de baja conductividad sería un error, porque a pesar de que no podemos descartar su existencia, No se exigen los datos. El otro modelo se ajusta a los datos igualmente bien sin ellos.

Por otro lado, sí tenemos alguna justificación para pensamiento ing que una característica que aparece en la solución más sin rasgos tiene algún significado. Por lo tanto, esperamos que la baja resistividad y las regiones de alta resistividad del modelo liso son una sim- representación-rablemente pero razonable de la tierra real. Otro manera de considerar la situación es darse cuenta de que electromagnética (EM) experimentos de resonancia no pueden resolver límites claros o capas delgadas; la naturaleza difusiva de la propagación de la energía "Unta a cabo" la estructura de tierra real. Creemos que es de Créditos adecuadas para la construcción de modelos que reflejan esta limitación de la experimento. Hacemos hincapié, sin embargo, que sobre la base de la Sch- datos Lumberger solo no hay ninguna razón para creer que el buen modelo de la Figura 1 para estar más cerca de la tierra real que la Modelo Marquardt. Si las medidas han de ser nuestra única guías, no hay nada que elegir entre los dos perfiles porque hacen un trabajo igualmente bueno de la predicción de los datos. Una de las ventajas de invertir para los modelos máximamente lisos es que se obtiene un modelo específico cuyas características tenemos elegido; la solución no depende de algunos arbitraria a partir conjetura o algún accidente del programa de ordenador.

MODELOS capas y MODELOS LISOS

Mínimos cuadrados convencional inversión para una simple capa modelo deriva su estabilidad de la suavidad esencial de la función de conductividad dentro de las capas. Así, una de cuatro capas modelo requiere la función de la conductividad para ser persona a trozos perfectamente lisa con tres discontinuidades. Esta restricción es re- laxed como el número de capas aumenta, y en algún punto de la espesor de la capa estará por debajo de las capacidades de resolución del datos. Este es el punto en el que el modelo comenzará a exhibir

Wauchope 5

[ 4

Schlumberger Modelos

- + , -;

F

r-1

YO- .YO YO -1 '

: _

3-P

MARQUARDT MODELO

-1SMOOTHEST ' : KfODEL

2-

1 -

O-

J -11 YO YO YO YO YO YO

100 10 ' 102 103 104 IO5

Profundidad (m)

La figura I. Dos modelos que se ajustan a un conjunto de datos de resistividad de Schlumberger (descrito por Constable et al., 1984) igualmente bien (Con un inadaptado rms de 1,0). La línea continua es un modelo obtenido por Marquardt inversión con un modelo de partida 27 capa, y la línea discontinua es el modelo más suave en el sentido de la segunda derivada, que se encuentra desde el mismo modelo de partida.

Liso Modelos Datos de EM 291

oscilaciones no requeridos por los datos de sondeo. Sencillo montaje Por lo tanto, los modelos de capas es un delicado equilibrio entre apoyo presionando estructura significativa mediante la inclusión de muy pocos parámetros en el modelo y la introducción de la estructura espuria mediante la inclusión demasiados parámetros. Nosotros afirmamos que es más satisfactoria para permitir que el modelo ser lo más flexible posible. pero para suprimir explícitamente complejidad. Podemos hacer esto por perfiles continuos mediante la definición de rugosidad, el inverso de la suavidad, como la plaza integrada del primera o segunda derivada con respecto a la profundidad:

R, =

mentos de nuestro modelo discreto a través de los funcionales Fj [m]. Nosotros evaluar la bondad de ajuste de las predicciones del modelo a la valores reales con el ponderado criterio habitual de mínimos cuadrados

X2 = g (CIJ - Fj [m]) 'CRJ, / J_ 1

(3)

(Dm / dz) 'dr

(1) o

R, = 1 (D2mld ~ 2) 2DZ,

donde m (z) puede ser resistividad o iniciar sesión resistividad. La estrategia es para encontrar la solución de acuerdo con la medición que tiene la más pequeña rugosidad posible. Esta idea es familiar desde el métodos modernos de interpolación de datos, porque, por ejemplo, interpolación spline cúbica es la curva que pasa por una determinada serie de puntos de medición con la más pequeña posible R, (ver de Boor, 197x). Ajuste exacto a menudo se supone, pero estrías permitiendo inadaptado también se emplean para el suavizado de datos. La idea original de una sanción por la complejidad parece deberse a Tikhonov, que dio nombre al procedimiento general "regulación revas-, "Introducción a que el fin de superar matemática dificultades en la teoría de los problemas de mal planteado (ver Tikhonov y Arsenin, 1977). Es nuestra opinión que la regularización tiene enormes benetits prácticos en la interpretación de la experiencia datos mentales. Aunque la ecuación (I) requiere una función que varía suavemente como el modelo, un algoritmo informático de realización es más fácilmente basado en un conjunto de capas constantes a trozos para realizar la cálculos del problema hacia adelante de manera más eficiente. Utilizamos la notación

donde oj es la incertidumbre en thejth datum (suponiendo estadís- independencia tica en el error). Ahora estamos listos para plantear el problema matemático para ser Resolvimos: para determinado dj de datos y las incertidumbres asociadas, que debe encontrar el modelo, RZI que hace R o R, tan pequeño como posible, mientras que X2 alcanza un valor aceptable. Este es un no problema de optimización lineal (en contraste con spline suavizado, por ejemplo, que es lineal). Debido a la no linealidad, hay hay ninguna garantía de cualquier NRI será capaz de hacer X2 lo suficientemente pequeño, y es prácticamente seguro que en todos los casos prácticos exacta es imposible apropiado (X '= 0). Sin embargo, se supone que la aproximaciones de unidimensionalidad, fuente de gran escala- campos, etc., son todos lo suficientemente bueno que un ajuste razonable a la observaciones es posible. El problema de encontrar la más pequeña X2 alcanzable asociado con un perfil arbitrario 1-D para MT o los datos de resistividad cc se ha resuelto por completo (Parker, 1980; Parker y Whaler, 1981; Parker, 1984), por lo que en estos casos podemos empezar por calcular un límite inferior a los valores considerado. Para explicar cómo se encuentra el modelo más suave en el no lineal CUT caso, es conveniente considerar primero el más fácil trata de un problema directo lineur. Compacidad Símbolos se gana con la adopción de la notación vectorial: nuestro modelo está escrito como m EE ", un vector en el espacio euclídeo de dimensión N. Del mismo modo, las mediciones que comprenden valores reales M será denotado por d E EM. En general, la solución de la problema directo siempre puede expresarse

d, = Fi [ml. , J = 1,2,. . . . M,

donde F, es el (normalmente no lineal) asociado adelante funcional ATED con THC, datum j; en notación vectorial,

donde z0 = 0 y en la práctica N cae típicamente en el rango de 20 a 100. Debido a la pérdida inevitable de la resolución con la profundidad, es razonable para organizar z, _, / z ~ ser una constante menos de la unidad. Un medio-espacio uniforme termina el sistema. En este punto podemos pensar; ni como una resistividad ~ o una conductividad. A-n rugosidad equivalente en la representación discreta se basa a diferencia de en lugar de operadores diferenciales. Digamos que

d = F [m].

Cuando el problema directo es lineal, esto puede ser sustituido por

d = Gm

R, = ; (Mi mi -,) '- i-2

donde G es una matriz de M x A 'cuyos elementos puede ser cal- lada de la teoría del problema hacia adelante. Para este sencillo caso lineal, el desajuste X2 se define en la ecuación (3) puede escribirse

X2 =) / Wd - WGrn / I *, (4) y

N-1 R, = c (m, _, - 2RN, + m,,) '.

i = *

(2) donde W es la matriz de M x M diagonal

\ Iv = diag {l / a ,, l / o ,, . . . . l / o,) Supongamos ahora que hay datos de M, d ,, d ,,, d ,. Estos pueden ser resistividades aparentes y fases en diferentes frecuencias, o AP- resistividades de padres en diferentes separaciones de electrodos, o cualquier com- combinación de estos en una inversión conjunta. Se supondrá que una DO estimación de error está asociado con cada dato. Adelante modelado permite la predicción de los valores de medición de estos

11 y 11- denota la norma euclidiana usual. Continuando este orden de ideas, podemos escribir la rugosidad en términos de matriz simple operaciones; por ejemplo, R, dada en la ecuación (2) es

R, = Ilam II * (5)

292 Alguacil et al.

donde $ es una matriz N x N dada por

lZIL; YO ,,, _: YO /.

Observe que R, en el caso discreto es sólo

R, = / l $ arn 11 '= 11 @ m l12.

Para el caso discreto lineal que ahora se examina, el problema de minimización matemática es la siguiente: Hay que mini-

mizar R, ofequation (5) con la condición de que el desajuste X2 en la ecuación (3) es igual a Xi (un valor considerado aceptable en vista de las incertidumbres). Si las incertidumbres se deben a una media cero, proceso de Gauss que es independiente en cada uno de las observaciones y DO son la desviación estándar asociada ciones, entonces X "es bien conocido para ser distribuido como x2. Esta es una gran cantidad de asumir por el ruido, pero a menudo el tidumbre incerti- son más bien poco conocidos y más refinado estadística modelos pueden no valer el considerable mano de obra adicional. Con el modelo de Gauss, el valor esperado de X2 es sólo M, el número de datos, y es equivalente a un inadaptado rms de 1. Es poco probable que cualquier otro tipo de función de distribución haría producir un valor para el X2 esperar que es ampliamente diferente. M es

4,0 -

3.5 -

3 3,0 -

e c; t 2.5 -

F 4

2,0 -

1,5 -

Yo Illllll l Yo lllllll YO Yo lllllll YO Yo IIIIIII YO Yo lllllu

rms rms rms

1.5

ii :: 7

10 ' 1 o2

AB / 2

103 1 o4 105

(M)

5.0

4.5

24.0 . Et 3.5

* 9 3.0 z '5 2.5

2 2,0

$ 1.5

1.0

0.5 100

c

Bicapa Modelo

1.5 1.0

0.87

10 ' 102 103 104 105

Profundidad (m)

FIG. 2. Tres modelos máximamente lisas (abajo), en un primer sentido derivado, y sus respuestas (arriba) durante tres diferentes rms inadaptados. Una mejora marginal en ajuste a los datos requiere un aumento sustancial en la estructura del modelo. La los datos son los mismos que para la Figura 1. También se muestra el modelo que mejor se ajusta 1-D (bicapa), que produce un desajuste de 0.75. Las resistividades del modelo bicapa superan el rango utilizado para esta parcela,

Modelos liso de EM Data

el número solemos adoptar para X2. En cualquier caso, Xi debe no ser elegido para ser demasiado cerca del valor más pequeño alcanzable. Modelos correspondientes a la más pequeña posible Xi son ásperas hasta el punto de ser físicamente razonable; son delta funciones en el caso de MT (Parker, 1980) y arbitrariamente delgados capas en el caso de la resistividad de sonido (Parker, 1984). Como uno enfoques valores pequeños de X2, un aumento sustancial de se requiere para lograr la rugosidad única mejora marginal en el ajuste. El grado de incremento es evidente en la Figura 2, que muestra los modelos y respuesta más suave funciones para tres niveles de inadaptado deseada, así como el ID de modelo de mejor ajuste. La optimización se realiza como sigue. Para minimizar una sujeto a una restricción funcional, utilizamos el método de La- multiplicadores Grange (véase Smith, 1974): la ecuación de restricción es reordenado para formar una expresión igual a cero; que ex- pression se multiplica por un parámetro, el multiplicador de Lagrange, y se añadió a la funcional para ser minimizado; el original funcional es mínima cuando el nuevo, variando con su parámetros originales y el multiplicador de Lagrange, es estacionaria sin restricción. Es conveniente llamar la Lagrange multi- alicates p 'I. Entonces el es- funcional sin restricciones

U = // (2m ~~ ~~ Z + 1 {d ~~~ ~ ?? / ~ m ~~ 2-X ~),

donde el primer término de la derecha es la rugosidad y la segundo el inadaptado, ponderado por el multiplicador de Lagrange. Para cualquier valor de p este funcional de m es estacionario cuando V, II, el gradiente de U con respecto a m, se desvanece. Después de un poco álgebra, encontramos

293

La teoría de la minimización restringida, sin embargo, nos instruye proceder de la misma manera: una U funcional sin restricciones es formado por medio de un multiplicador de Lagrange:

U = ild_m / I2 -t pm '11 Wd - wF [m] { II2 - Xi). (8)

Los valores extremales de R, se pueden encontrar en la estacionaria puntos de li como antes: tomando el gradiente, nos encontramos con los vectores m que causan U para ser obedecer estacionaria

p 'v.J)' J_m (W - P 'W. J) 7' d (W + (2 'm = 0,4 (9)

donde la matriz de M x N d es el jacobiano o matriz gradiente:

J = V, F.

Expresado como componentes

(Véase el Apéndice para obtener detalles de los cálculos.) Las filas

Reordenamiento da

m = [

p $ '+ (WG)' G $ I- W II -1

1

(WG)? 'Wd. (7)

La variación con respecto al p produce la restricción original de con- condición. Debido ~ 1 es no conocen, la ecuación (7) no com- completamente resolver el problema; p debe seleccionarse de manera que cuando la ecuación (7) se sustituye en la ecuación (4), el X2 deseado, es decir, se obtiene x ,,. Un problema surge en casi idéntico ' la construcción de los campos magnéticos de manera óptima suave después de abajo sala de continuación (Shure et al., 1982), pero diferimos discusión de esta búsqueda por la cuestión merece una atención especial en el problema no lineal real que analizaremos más adelante. Es útil para interpretar p como un tipo de parámetro de suavizado: cuando p es grande, lo vemos en la definición de U que la solución a la ecuación (7) no está influenciada tanto por el desajuste entre los datos; se trata de una función muy suave. Alternativamente, como se lo tiende a cero, el plazo rugosidad es de poca importancia en la minimización problema, y m satisfarán las limitaciones de los datos en lo que sea costo de la rugosidad.

EL NO LINEAL PROBLEMA

de d son los equivalentes discretos de los derivados en FrCchet el problema perfil continuo (Parker, 1977). En el lineal problema, G = J; lo que hace que la solución de la ecuación (9) mucho más difícil que la ecuación (6) es que, mientras que $ j es una matriz constante,,! depende de m. Así, en lugar de un sencillo conjunto de ecuaciones lineales similares a la ecuación (7), que debe resolver un sistema no lineal simultánea para m. Una forma de proceder es para atacar a la ecuación (9) directamente y resolver el sistema por El método de Newton; Por desgracia, esto requiere diferenciaciones de J para encontrar la segunda derivada de F, una pieza muy tedioso de álgebra. Una alternativa sencilla es volver a la ecuación (8) y ejem- ine el problema de minimización creado por linealización de una modelo en particular. La mayoría de sdlutions de sistemas no lineales requieren una aproximación inicial para la respuesta, es decir, un modelo de partida, a partir de que un proceso iterativo comienza un procedimiento de refinamiento; aquí postulamos un modelo inicial m ,. Cálculo elemental dice que si F es diferenciable en m, (como siempre supondremos que es) para vectores suficientemente pequeño A

F [m, + A] = F [m], + Y A + E,

donde E es un vector cuya magnitud es o IIA y II d1 está: Cm,], la matriz Jacobiana evaluada en el vector m ,. Support Pose aproximamos F dejando caer el plazo restante E hormiga ' escribir

A = m2 -ml.

Si esta expresión aproximada se sustituye en la ecuación (S), hemos vuelto a un problema lineal en m2:

U = IIi! M, II '

+ Pm1 IIW (d - FCm, l +,, mA - WJ, m, II2- Xi I I1

donde la expresión entre paréntesis en el segundo término es un tipo de vector de datos que llamaremos un ,. Ahora definimos m, como el modelo que minimiza U bajo esta aproximación; entonces nos encontramos de la teoría lineal que

Cuando el problema no lineal completo se considera, la funcionalidad al que se minimice todavía es R, dada por la ecuación (5), pero el expresión para el desajuste entre los datos, la ecuación (4), se convierte

X2 = // Wd - WF [m] 11 '.

294 Consiable et al.

Si seleccionamos u para dar el desajuste entre los datos deseado como calculada por la aproximación lineal, tenemos una base obvia para un esquema iterativo: m, se utiliza como el próximo miembro de una secuencia m ,, m ,, m3, ..., en la que cada vector anterior se utiliza como la a partir aproximación para el siguiente. Se puede demostrar que este sistema, si converge, resuelve el minimización 'f no lineal funcional, y no-o original, tanto la respuesta final debe ser independiente de la partida adivinar (siempre que el mínimo es única). El resultado será la modelo de la rugosidad más pequeño con el desajuste especificado. Este esquema de minimización está en contraste con el enfoque general adoptado en la literatura geofísicos, en la que el funcional debe ser minimizado es simplemente la propia inadaptado. Debido a la

no linealidad del problema, una minimización sencillo esquema es más probable a divergir, y esta tendencia debe ser contrarrestado por el proceso de amortiguación de alguna manera. Amortiguación consiste en reducir sistemáticamente la magnitud del cambio en el modelo de una iteración a la siguiente. El método de Marquardt modifica la matriz Jr ?! mediante la adición de un valor constante a la diagonal. disminuyendo así el tamaño de la pertur- computarizada bación; la constante se elige para disminuir el desajuste en cada iteración, para un Jacobiano fijo. Iteración continúa hasta que el inadaptado se ha reducido a un nivel aceptable, no el valor mínimo posible. La solución final está cerca la estimación inicial, debido a que el Jacobiano modificada mantiene la Pequeños cambios en cada paso del proceso; por tanto, la resultante

Misfit (p) para 5 Iteraciones Tabla 1. Parámetros para la iteración mostrados en las Figuras 3 y 4. Los valores de p son los elegidos para dar el intermedio modelos.

No.

0

X * 20 - rms

63.0 6.16 2.22 1,404 1.11I 1,007 1,001

P

571 273 106 55.2 46.1 52.6

II R, 11 '

0.0 0.75 1.04 1.31 1.48 1.50 1.50

II A II2

309 5.01 0,921 0,660 0.07 1 0,005

q 0.4 2

$

15 -

IO-

YO 2 3 4 5 6

I1 250 1 062 138.5 56.0 34.4 29.4 28.9

n YO

IO0 102 IO4

P

10 " 108 YO

Mesa 2. Datos utilizado para el ejemplo de Schlumberger de resonancia, de Constable et al. (1984).

FE. 3. El inadaptado rms como una función del multiplicador de Lagrange p en cinco iteraciones de una inversión. Los valores de u y desadaptado elegido para cada iteración están marcadas por símbolos y también dada en la Tabla 1. Los modelos intermedios correspondientes son se muestra en la Figura 4.

Schlumberger

---------__ ~ --- comienzo

, _QTER.

modd

# 5 Y # 6

Modelo Convergencia

AB / 2 (M)

5.0 7.0 10.0 14.0 20.0 28.0 40.0 55.0 80.0 100.0 150.0 200.0 500.0 1 000,0 1 500,0 2 000,0 3 000,0 4 000,0 5 733,0 6 000,0 7 705,0 8 000,0 10 000,0 I 1 660,0 32 979,9 47 780,0 67 369,9 95 360,0

2,923 2,539 2,017 1,546 1,354 ! 0.235 1,170 1,184 1,281 1,326 1,413 1,505 1,873 2,158 2,345 2,476 2,661 2,804 3.01 I 2,997 3,126 3,116 3,231 3,317 3,479 3,601 3,538 3,521

(;; 1 '$

0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,110

5

# 2

Profundidad (m)

FIG. 4. Los modelos intermedios producidos durante la inversión de los datos de Schlumberger (Figura 2) para un modelo liso (primera sentido derivado) ajustando los datos a rms inadaptado de 1,0. La comenzando modelo era un haIFspace de lo5 0. m.

Modelos liso de EM Data

modelo está fuertemente influenciada por la elección inicial. Esto es Clearing Ly visto en la Figura 1 donde la gran discontinuidad en 80 m de profundidad es una reliquia de la original m ,. Cuando un pequeño número de parámetro tros se emplea, por ejemplo, en el modelo de capas simple, la que mejor se ajusta solución en la clase limitada se busca y se sim- complicidad se ve obligado por el pequeño número de parámetros libres. Alguien veces el desajuste no puede reducirse lo suficiente, así que más pará- etros pueden tener que ser introducido. Oscilaciones de gran amplitud pueden desarrollar, y no hay medios rápidos de controlarlos en el esquema de Marquardt. Hemos sugerido que la sucesiva i y cervezas de nuestro esquema, mk + 1, se encuentran eligiendo p de tal manera que la aproximación lineal para el desajuste estaría dispuesto para que coincida con la tolerancia deseada. A menos que uno está cerca de una solución ción, es poco probable que sea una precisa la aproximación lineal reflejo de la verdadera inadaptado, y, puesto que se deriva una solución valiéndose de aproximaciones lineales requiere un número de iteración pasos vos, parece que este enfoque es innecesariamente tiempo- consumir. De hecho, la experiencia con este enfoque directo rencias giere que rara vez converge en su forma original, porque las aproximaciones de partida no son lo suficientemente cerca de una solución ción. Del WC proponer un esquema alternativo que ha demostrado ser muy elrcctive en la práctica. Supongamos que la iteración k-ésima ha sido com- computari-: definir el vector

295

X ,. Una manera obvia de proceder es elegir p para minimizar X, (p). que se consigue fácilmente con una búsqueda de línea 1-D. Aunque no hay garantía de que la X, modelo -minimizing encaja mejor que mk, hemos encontrado el esquema que ser muy satisfactoria. Después de un número de iteraciones, p puede ser seleccionado para hacer X, partido X, exactamente. De hecho, es probable que haya más de uno de tales valor; si hay más de un valor de la mayor éxito IJ es correcta, ya que causa la aspereza ser menos.

Tabiit 4: datos Scbiilmberger inversión utilizado-injoint, desde Constable (1985).

ABI2 (M)

3.0 5.0 7.0 10.0 14.0 20.0 28.0 40.0 55.0 80.0 100.0 150.0 200.0 300.0 400.0 500.0 1 000,0 1 500,0 2 000,0 3 000,0 4 000,0 6 000,0 8 000,0 ! O oa0.o

log ,, P,

1,528 1,093 0,944 0,919 0,903 0,869 0,826 0,819 0,838 0,857 0,851 0,934 0,959 0,944 0,982 1,049 1,356 1,502 1,622 1,761 1,902 2,089 2,192 2.!? 4

ologP

0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,082 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,043 0,086

mk + 1 (p) = w !! "'?! + (WJK) "w $! K -1

YO

(? LYdk) TWdk. (Lo)

Barremos a través de los valores de p de computación el verdadero desajuste de la modelo mk, 1W

xk + l (d = 11 - Hemos m, +, (P) 11.Wd L 1 En la fase inicial del cálculo, la tarea principal es la de reducir el desajuste, debido a que la estimación inicial por lo general se encuentra muy lejos de cualquier modelo que tiene un acuerdo adecuado con la observación ciones, y lo que se selecciona el valor de p, X, (p) es mayor que Tabla 5. Datos MT utilizados en inversión conjunta, de Cull (1985).

Período (S)

0,020 0,050 0,079 0. I26 0,199 0,316 0,501 0,794 I.258 1,995 3,162 5.01 I 7,943 12.580 19.950 31.620 50.1 10 79.430 125.800 199.500 794.299 1 258.000 1 995.000

log ,, P,

0,712 0,813 0,964 1,148 1,030 1,238 1,503 1,520 1,675 1,944 I.844 1,737 1,614 1,592 1,336 1,358 1,345 0,935 0.82 1 0,535 0,312 -0.107 0,390

(JlogP

0,043 4 0.140 6 0,113 8 0.160 9 0,304 6 0,488 ~ u 0,324 4 0,477 2 0.430 6 0,441 2 0,408 1 0,523 6 0.199 5 0.478 0 0,222 8 0,447 1 0,352 4 0,104 1 0,096 1 0.400 0 0.400 0 0,556 1 0.861 2

- Fase

20.50 22.00 19.28 20.14 35.65 34.44 39.71 41.90 47.28 42.78 48.50 56.87 58.80 58.88 61.44 61.90 51.48 65.50 58.20 54.00 86.00 41.00 58.66

- Qase

4.50 19.98 16.08 11.03 23.57 2ci.66 16.60 23.40 16.60 16.77 18.41 18.05 17.63 18.10 18.31 16.58 25.52 10.51 23.53 20.00 30.00 32.00 21.63

Tabla 3. El conjunto de datos COPROD utilizado para el ejemplo de MT, de Jones y Hutton (1979a).

Período (S)

28.5 38.5 52.0 70.5 95.5 129,0 174.6 236.2 319.6 432.5 585.1 791.7 1 071,1 1 449,2 I 960,7

Fase (grados)

57.19 58.19 61.39 59.09 59.89 51.19 46.89 42.79 36.89 32.00 44.00 32.00 37.59 45.29 50.09

0 fase w ,, ' P " OlogP

0,072 0,042 0,024 0,021 0,016 0,017 0,028 0,032 0,019 0,027 0,059 0,050 0,082 0,123 0,092

1 5 4 0 4 3 7 8 3 0 YO 6 5 3 7

(grados)

22.95 22.95 4.96 4.46 5.96 22.95 22.95 2.46 1.65 22.95 6.37 2.46 22.95 4.15 22.95

2,315 2,254 2,229 2,188 2,180 2,162 2,151 2,208 2,194 2,299 2,338 2,420 2,405 2,308 2,397

296 Alguacil et al.

Figura 3 muestra rms inadaptado, que es (Xi / M) * ,! en sucesivas iteraciones en la inversión de los datos Schlumberger. La figura también muestra la ubicación de la p elegido en cada iteración ación; los mínimos fueron encontrados mediante una búsqueda sección áurea, y las intercepciones se encontraron con el método de bisección (ver, roarexample, Gill et al .. 198 I).

CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD

EJEMPLOS

Presentamos algunos ejemplos de la aplicación de nuestro inversus técnica sión. En estos ejemplos, el modelo era parámetro racterizado como log ,, (resistividades capa), con el espesor de la capa constante retenida en el dominio de registro. Todos los datos, excepto para MT fases, también fueron parametrizados en log ,, de dominio, por lo que los rms tolerancias se refieren a la inadaptado en el espacio de registro. Los datos reales utilizados en estas inversiones se dan en las Tablas 2 a 5. Los datos de Schlumberger ya presentados son de Con- estable et al. (1984). Estos datos ARR de un con- profunda sonar canalizado en el escudo de Australia central que emplea exceso las líneas telefónicas de la tierra para lograr una separación máxima de electrodos de 200 km. Constable et al. (1984) presentaron un modelo de seis capas obtenido por un método de Marquardt que se ajusta a los datos a una rms tolerancia de 0,81 cuando se calcula de la manera recién de- descrito. El mejor ajuste 1-D a estos datos se obtiene con una modelo de bicapa (Parker, 1984), que predice los datos dentro de un inadaptado rms de 0.75 (Figura 2). El modelo de bicapa es físico camente poco realista, siendo sólo IO m de espesor y una capa que contiene resistividades de lo- 'Cl. ma lo9 R. m, pero sí más destacado el problema de no unicidad de inversión de sonido eléctrica. Mlodels que fitsthe datos Schlumhergcr a un inadaptado rms de 1 y que son máximamente liso en una segunda derivada (Figura 1) y la primera derivada se muestran (Figura 2) sentido. La conclusiones extraídas por Constable et al. (1984) de su Mar-

Porque buscamos un modelo específico bien definido (es decir, la más suave posible modelo), nuestro esquema iterativo es muy estable. Es decir, los modelos que se encuentran en cada iteración no contendrá conductividades muy grandes o muy pequeñas a no ser que sean absoluta- lutely requerido con el fin de ajustar los datos. La convergencia de nuestro esquema es también impresionante. Figura 4 muestra el modelo de partida y los modelos para cada uno de los cinco iteraciones necesarias para ajustar los datos de Schlumberger con un maxi- modelo suave Mally. Tabla I da los valores de X2, rms error. pk, 11 11 'y 11 11' (el tamaño de paso) en cada iteration.R,, A El modelo de partida fue un medio espacio de IO5 0. m, y la modelo suave (en un primer sentido derivado) ajustando los datos a Se buscó una tolerancia de un error rms de I. Este modelo fue encontrado sólo en F & iteraciones. Una sexta iteración verificó que la procedimiento había convergido y el algoritmo se detiene en el criterios que 1) / I * <0,01) y rms error - requerido RMSA error de I <0,05.

COPROD

TT

M.T., rms 1.0 -3-V.s

COPROD Modelo, rms 1.0

2.E \ - JONES Y HLJlTON "3" (1979) MODELO

---------------_-

2.E h -

2.5 -

3 2.4 - e

.a! 2,3 - 1.8

$ 2.2-

2,1 - I I I ,,,,,

102 YO I I I I I III

103 YO ,

1 0,6 YO , 111 YO YO 1111111 YO I1 IIll ,, YO YO YO ,,,,,, 1 , YO ,,,,, YO , , ,

102 103 104 Profundidad (m)

105 106 Periodo (s)

FIG. 5. Los datos COPROD descritos por Jones y Hutton (1979a), y el más pequeño primer modelo derivado de ajuste de estos datos a una tolerancia rms de 1,0. Las grandes barras de error en fase representan valores donde fue error de fase indeterminado. También se muestra un modelo de capas sencilla dada en Jones y Hutton (1979a) para los mismos datos. La terminación de media espacial del modelo de Jones y Hutton tiene una resistividad de 1 Q. m.

Liso

quardt

Modelos Datos de EM 297

modelo también habría sido extraída de la lisa modelos. En particular, la caída de resistividad a 2-10 km AP peras en ail pero el modelo con rms inadaptado de 1.5. Si los datos errores han sido bien evaluados y la tierra es verdaderamente uno dimensional, entonces la probabilidad de la generación de la tierra verdadera tales datos no ajusta bien sólo 0.025. Por lo tanto, interpretamos la caída en la resistividad en la profundidad como significativas. Como ejemplo de MT inversión, presentamos el COPROD los datos difundidos por el Dr. Alan Jones, recogidos en un sitio cerca Newcastleton en Gran Bretaña y se describe en Jones y Hutton (1979a). El modelo que es suave en un primer sentido derivado y que se ajusta a los datos a un inadaptado rms de 1,0 se muestra en la figura 5, junto con un modelo en capas sencilla de Jones y Hutton (1979a). El modelo liso contiene todas las características de su modelo de capas, pero tiene una resistividad más conservador para el región conductora de profundidad. Parker (1982) muestra que la maxi- profundidad madre a la que cualquier modelo está limitado por estos datos es a unos 300 kilómetros. Nuestro modelo lisa tiene poca estructura por debajo 400 kilometros y hay una estructura por debajo de 700 km, en acuerdo general con result.s Parker ' Como último ejemplo de la versatilidad de nuestro inversión algo- rithm. La Figura 6 muestra el resultado de la inversión de Schlumberger y los datos de MT al mismo tiempo. Los datos son de un sitio en centro-sur de Australia donde tanto un 20 kilometros distancia entre electrodos Schlumberger sonando (Constable, 1985) y una amplia banda MT sonido (Cull, 1985) se realizaron. La inversión conjunta

de resistividad y los datos MT no es una idea nueva (ver Vozoff y Jupp, 1975); sólo queremos demostrar la tolerancia de nuestra rutina inversión a la naturaleza del problema directo y los resultados consistentes que pueden obtenerse a partir de datos de tipo mixto. La Figura 6 muestra el modelo de articulación y las respuestas el montaje de los diversos datos que suenan a un error rms combinado de 1. Para la comparación, los modelos lisos con rms errores de 1 observador obtiene cuando se invierten los dos conjuntos de datos son, independientemente, También se muestra (las respuestas no se dan aquí). La única significativa diferencia signifi entre los ataques conjuntos y ajustes individuales se produce en la fase de MT. que tiene un ajuste ligeramente más pobre por debajo de una período de 1 s ror el modelo conjunto. Sin embargo, los errores en el Datos de MT son probablemente demasiado grande, lo que resulta en un ajuste preferencial a los datos de Schlumberger. Tenga en cuenta que no hay razón para cree la estructura en este sitio es unidimensional; el inversus sión se hizo como un ejercicio para probar el algoritmo de modelado. Sin embargo. un modelo de I-D se ajusta tanto a datos y s + y y II_ (19R5) inferirse la presencia de la capa conductora de profundidad sobre la base de varias estaciones de MT adicionales al este del sitio repre- tantes aquí.

CONCLlJSlONS

Aunque la no unicidad en invertir electromagnética datos de sondeo es bien conocido, por lo general requiere un preferíamos modelo para representar e interpretar nuestros datos. Es más deseable para evitar la inclusión de características de ese modelo que no son real-

Schlumberger Datos M.T. Fase Datos

80 -

7 2,0 - F E un 1.6- Q

e s

0,8 -

01 YO YO YO YO

1.2-

10 ' AB / 2

102 Espaciado, m

103 1o-2 10-l

M.T.

100 10 '

Datos

102 103

Resistividad 2.5

2.0

$ E d

e s

l.O-

r

t

T TT

1,5 -

0,5 -

0,0 -

0.01 ' YO YO YO YO YO YO -0,5 1 1 o-2

YO 10-l

1 100

YO 10 '

1 102

II L 103 10-l 100 10 ' 102

Profundidad (m) 103 104 105

Periodo (s)

FIG. 6. La inversión conjunta de Schlumberger (Constable, 1985) y MT de datos (Cull, 1985). Las respuestas de los modelos son todos para el modelo conjunto (liso en un primer sentido derivado), pero los modelos obtenidos mediante la instalación de los conjuntos de datos por separado son también se muestra. Los pasos de los modelos debido a la estratificación se han suavizado para mayor claridad.

298 Alguacil et al.

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aliado requerido por los datos, y para el modelo no depender de el número de capas utilizado o el modelo de partida elegido. Nosotros han mostrado cómo lograr estos objetivos mediante la búsqueda de la modelo suave que se ajusta los datos a una tolerancia prescrita. Si los errores de datos han sido bien estimado, tienen media cero, y son al menos aproximadamente gaussiana, entonces el esperado la tolerancia es equivalente a un inadaptado rms de 1,0. Dado que el modelo encontrado que será, en gran medida, depende de los datos errores, así como los propios datos, todos los esfuerzos deben ser hecho en el campo para recoger estimaciones precisas de error. De Por supuesto, este es el caso para cualquier método razonable de datos interpretación. Nuestro esquema de inversión es estable y por lo general converge en cinco o seis iteraciones para resistividad o MT problemas. Tenemos demostrado su uso con resistividad, MT, y combinado datos de resistividad-MT. Sin embargo, nuestro algoritmo depende poco en la naturaleza de la función de avance, y podría ser utilizado para cualquier problema cuando se requiere una solución de 1-D suave.

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo fue financiado en parte por un consorcio de petróleo com- empresas que incluye Amoco, ARCO, y Elf Aquitane. Philip Stark leer críticamente el manuscrito.

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ANEXO

CÁLCULO Del Jacobiano MATRIX

El esquema de inversión desarrollado aquí, y otra inversión métodos basados en la linealización de funciones no lineales, dependerá fundamentalmente de la capacidad de calcular el Jacobiano matriz. La forma más aplicable en general de la estimación de la derivadas parciales requeridos es utilizar una diferencia finita tecno- nique. Gill et al. (1981) presentan una discusión útil de finitos métodos de diferencias. En particular, cabe destacar que la diferencia central de cia

F (m, 8 +) - F (m, - F)

es precisa sólo a primera orden. Sin embargo, ya que F (m) se requiere de todos modos y es común a todos los i; F, / am, (.... i = 1, 2, N), cálculo de los parciales matriz utilizando la ecuación (Al) re-

requiere el doble de el cálculo

evaluaciones del delantero función como

26 = E + O (S2) ? RNI

(A-1)

tiene una precisión de segundo orden, mientras que la diferencia hacia adelante

i + Ni + 6) -

6

F (mJ =

dF IR, + om (A-2)

(A-2). Los errores en la estimación de 8F / i; mi conducen a inestabilidades durante la inversión, por lo que siempre que sea posible ex- analítica compresiones deben utilizarse en lugar de los esquemas en diferencias finitas. Derivados analíticos para modelos en capas tienen el añadido bono de frecuencia son mucho más baratos para calcular, porque no baja de ? aliado k - / (7m, puede ser calculado a partir de los resultados intermedios de evaluar AF / c! mi +,. Mostramos este cálculo para el Schlumberger y MT problemas. Como un ejemplo de la com- posibles ahorros computacionales, los parciales matrices para el 45- capa inversiones de Schlumberger presentados aquí se llevaron a 3t s

utilizando la ecuación

Modelos liso de EM Data

completa, donde t es el tiempo necesario para hacer el cálculo hacia adelante la F (m). Si se utiliza un algoritmo de diferencia finita, la par- PODERES matriz tomaría por lo menos 451 s.

La recursión se puede iniciar por señalar que

299

Los derivados para el problema de Schlumberger

El cálculo hacia adelante para Schlumberger aparente re- resistivitiesover un modelo en capas puede ser escrito

Claramente, cuando se evalúa? T, / Zp, utilizando la ecuación (A-7), el intermedio resulta ST, / 2T2, c ~ T, / ST ,,, 6T, _, / ZT, puede ser utilizado para calcular? T, posición de inversión internacional, + ,, c? T, /? p, _,, .., aT, / ap, con poco esfuerzo computacional extra. Esto resulta en gran efhciency cuando filas enteras de la matriz parciales se calculan a la vez.

donde J, es el de primer orden la función de Bessel de primera especie, A8 / 2 es la distancia media-electrodo, y T, (h) es la Koefoed resistividad transformar (Koefoed, 1970). T, (I) se puede calcular a partir de la relación de recurrencia

T =

Los derivados para el problema MT

El problema directo para el caso MT está dada por otra relación de recurrencia:

T + 1 + tanh pi (h,)

T + f + 1 tanh (ht,) / p, ' (A-4)

donde pi y la fi son las resistividades de capa y espesor empre- y T es la transformada evaluados en la parte superior de la i-ésima capa. A partir de T ,, = p, en la parte superior de la media de terminación el espacio, la ecuación (A-4) puede ser evaluada repetidamente para obtener T, (h). Es común para evaluar la ecuación (A-3) usando el filtro nethod (Ghosh, 1971) volver a escribir la ecuación como

(A-8)

(A-5)

donde thef, son coeficientes de un filtro de media móvil. Ya Está han sido por lo menos una docena de conjuntos de coeficientes de filtro publicados, y muchos de ellos realizan muy mal. El filtro de 141 puntos de Johansen (1975) y los filtros más cortos de Guptasarma (1982) se recomiendan. Los derivados; i? P, / p, se puede obtener diferenciando la ecuación (A-5) para obtener

donde kj = (i2 ~ i + / p ~) r ~~ yf es la frecuencia de interés. La c cantidad se le da el nombre poco imaginativo de "c compleja valor "y es una forma natural para presentar los datos MT. Sin embargo, la mayoría de los trabajadores en este campo prefieren utilizar la resistividad aparente y fase, que se dan por

P, = 277 y x2> Q = tan ' [-1m (C) '

~ Re (4

YO

donde Re (c) y Im (c) son las partes real e imaginaria de c. Antes de la diferenciación de la ecuación (AS), simplificamos la notación definiendo

r? p, _

-; F y +

+, A evaiuate ZiT, /? Pj, escribimos

? T, - =

aT,? T, ('XT

('-6) 4 donde, f (k ,, x) = l / k, coth [kit, + coth (kix)] '. sea c -cr y escribir la ecuación (A8) ~ como

Podemos ahora YO

"Tj-l un ?; "7; EPJ ' (A-7)

& YO% - l = - L - 3 ...__ r: C YO% o ^ cjpl 2cj

Pj ' CT2oT3 oT4- T- T- c: kj

Ahora

(! C, c! C, cc, dcj ZKJ ' (A-9)

Diferenciando la ecuación (A-4) da expresiones para 6q / a7; + 1 y "7; /" pj:

I = ST. L

(;? I +, 1 - tanh '(costilla,)

L, y

YO / " "C "I + l

dC- = coth ' ki ti + coth-r (kici, r) 1

arccoth '(kici + 1)

y

A = _ JC. i? 7 -L = Tanh (TIH), 1 + 7; t, / pf c? Pi L

donde

+ 27; +, tanh (tih,) / p, c ,, dk,

+;

$ Coth YO

coth ' J [

kjtj + coth- ' (Kjcj + J YO

1 + tanh (tr h,) Tr +, / pi 2

1

.

kjtj + coth- ' (Kjcj + J

x tj + arccoth '(kjcj +,) cj + 1,

1

1

300 Alguacil et al.

donde

acothz leva = ----- = - dz

y

arccoth ' =

f2 \ ' ___ \ Cz_e-z / '

zf @

Como en el caso Schlumberger, los valores intermedios utilizados para cálculo y J8pN se pueden usar para calcular cJ ~ + ~ _ ,, d ~ Jt? p, ~ ~~~~. datos de resistividad y fase aparentes son beingetc. Si invertida, uno tendrá que saber que

== ACOTH '(1 - -

T3Z q-1, z # 1.

y Tenga en cuenta también que Y, / Gk, = - l / k :. Los derivados con respeto a la capa de resistividad son simplemente