o teorema de pitágoras - geogebra
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Objeto de aprendizagem que demonstra o Terema de Pitágoras através do software educativo GeoGebra.TRANSCRIPT
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PITÁGORAS E SEU TEOREMA
INFORMÁTICA EDUCATIVA I – UFF – Suelen Sant’ Ana
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No Egito, os antigos egípcios utilizavam uma corda com 13 nós igualmente espaçados que era dividida em 12 partes iguais para marcação das áreas dos territórios na agricultura, mas com a cheia anual do Rio Nilo, estas marcações eram desfeitas e eles novamente remarcavam. Os egípcios já sabiam que um triângulo de unidades (3, 4 e 5) tem ângulo reto, porém foi Pitágoras que conquistou o domínio da geometria referente às relações do triangulo retângulo.
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QUEM FOI PITÁGORAS?
Pitágoras (580-497 a.C.) foi matemático grego. Autor do Teorema de Pitágoras: "num triangulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos". Desenvolveu trabalhos na área da filosofia, música, moral, geografia e medicina.
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Um dos conteúdos mais utilizados na Matemática é o Teorema de Pitágoras, que pode ser representado através da geometria e da álgebra. São conhecidas cerca de mais de 300 demonstrações distintas. Qual foi a demonstração dada por Pitágoras? Não se sabe ao certo, pois ele não deixou trabalhos escritos. A maioria dos historiadores acredita que foi uma demonstração geométrica, baseada na comparação de áreas.
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Com auxílio da informática utilizando o software educativo GeoGebra, segue a demonstração do Teorema de Pitágoras a partir das ferramentas deste recurso tecnológico:
PASSOS PARA A CONSTRUÇÃO:Apresentação da interface I - do Geogebra:
II- Construção de dois segmentos de retas quaisquer. Que serão os catetos do triângulo retângulo.
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III- Construir uma reta dado dois pontos.
IV- Construir uma reta perpendicular a reta “c” no ponto “E”. V- Construir uma circunferência com centro no ponto “E” e raio “a”. VI- Marcar a interseção entre a circunferência e a reta “c”.
VII- Utilizar a Ferramenta (exibir e esconder eixo) para ocultar as construções que não são úteis, a partir deste momento esse passo é necessário para melhor visualização da construção desejada.
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VIII- Construir um segmento entre o Ponto “E” e o ponto “H” fazendo uma observação que este segmento possui o mesmo comprimento do segmento “a”. Caso necessário utilizar a ferramenta (Distância ou Comprimento) para melhor visualização.
IX- Construir uma circunferência com centro no ponto “E” e raio “b”. X- Marcar a intercessão entre a circunferência e a reta “d”.
XI- Construir um segmento entre o ponto “E” e o ponto “J”, fazer a mesma observação do item VIII. Em seguida construir um segmento entre o Ponto “J” e o ponto “H”. Obtendo assim um triângulo. Utilizando a ferramenta é (Ângulo) para medir o ângulo e verificar sese é retângulo.
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XII- O próximo passo é a construção de quadrados em cada lado do triângulo, utilizando a ferramenta (Polígono regular). Em seguida utilizar a ferramenta (Área), para medirmedir a área de cada polígono.
Então, temos a comprovação do Teorema de Pitágoras.
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Para refletir sobre a comprovação do Teorema de Pitágoras a partir da comparação das áreas dos quadrados construídas sobre os lados do triângulo retângulo:
* Com o movimentação dos pontos E e F com auxílio da ferramenta mover ponto verifique o que acontece com as áreas dos quadrados?
* Com o auxilio de uma calculadora, some as áreas dos quadrados menores, qual foi o valor encontrado?
* Movimente novamente os pontos E e F com o auxílio da ferramenta mover ponto e some as áreas dos quadrados menores, qual foi o valor encontrado?
* Podemos afirmar que a soma das áreas dos quadrados menores, é igual a área do quadrado maior?
* Utilizando um triângulo qualquer, movimente os pontos A e C com a ferramenta mover ponto, verifique se é possível supor a mesma coisa para todos os tipos triângulos?
* Baseados nas observações acima, é possível afirmar que “o quadrado da hipotenusaé igual a soma dos quadrados dos catetos se e somente se o triângulo forretângulo”?
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Outra demonstração, Relação Métrica e o Teorema de Pitágoras:
Passo 1: Inicie o aplicativo GeoGebra, aparecerá a seguinte tela:Passo 2: No menu “Exibir”, desmarque a opção “Eixos”;
Passo 3: No segundo botão da barra de botões, selecione a ferramenta “Novo ponto” e clique em dois pontos na área de trabalho e teremos os pontos A e B.
Passo 4: No terceiro botão da barra de botões, selecione a opção “Segmento definido por dois pontos”, e em seguida, clique nos pontos A e B. Observe que no lado esquerdo da tela aparece uma lista de objetos dependentes. Neste caso, temos agora um segmento “a” e o valor de sua medida em centímetros. Peça aos alunos que selecione, no primeiro botão da barra de botões, a opção “Mover”; clique no ponto A e mova-o; e observe o valor da medida do segmento “a”.
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Passo 5: No quarto botão da barra de botões, selecione a opção “Reta perpendicular”, e em seguida, clique no segmento “a” e em depois no ponto A. Será criada uma reta “b” que é perpendicular ao segmento “a” e passa pelo ponto A.
Passo 6: No segundo botão da barra de botões, selecione a ferramenta “Novo ponto” e clique em um ponto sobre a reta “b”. Será criado um ponto C sobre a reta “b”.
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Passo 7: No terceiro botão da barra de botões, selecione a opção “Segmento definido por dois pontos”, e em seguida, clique nos pontos A e C, e depois nos pontos B e C.
Passo 8: No quarto botão da barra de botões, selecione a opção “Reta perpendicular”, e em seguida, clique no segmento “d” e em depois no ponto A. Será criada uma reta “e” que é perpendicular ao segmento “d” e passa pelo ponto A. Com isto temos um triângulo retângulo.
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Passo 9: No segundo botão da barra de botões, selecione a ferramenta “Interseção de Dois Objetos” e clique sobre a reta “e” e o segmento “d”. Será criado um ponto “D”.
Passo 10: No último botão da barra de botões, selecione a ferramenta “Exibir/Esconder objetos” clique nas retas “b” e “e”. Teremos uma figura com menos poluição visual.
Com estes descritos até o momento, temos um triângulo ABC, retângulo em A.
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Passo 11: No terceiro botão da barra de botões, selecione a opção “Segmento definido por dois pontos”, e em seguida, clique nos pontos A e D. Será criado o segmento “f”, correspondente à altura referente ao lado BC do triângulo.
Selecione, no primeiro botão da barra de botões, a opção “Mover”; clique no ponto A e mova-o; e observe o valor da medida do segmento “a”. Faça o mesmo com os pontos B e C.
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Passo 12: No terceiro botão da barra de botões, selecione a opção “Segmento definido por dois pontos”, e em seguida, clique nos pontos B e D; e nos pontos C e D. Serão criados, respectivamente, os segmentos “g” e “h”.
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Criar uma variável “i” que terá como conteúdo o valor (medida do cateto)2, e outra variável “j” que terá como conteúdo o valor do produto (medida da sua projeção) X (medida da hipotenusa). Proceda da seguinte forma:
Passo 13: Na parte de baixo do aplicativo, existe uma caixa de texto destinada a entrada de dados e de fórmulas,
Digite:• i = a ^ 2• j = g * d
Observe os valores de “i” e de “j” em “Objetos dependentes”. São iguais? O que significa isto? Selecione, no primeiro botão da barra de botões, a opção “Mover”; clique no ponto A e mova-o; e observe os valores das medidas dos “Objetos dependentes.” Faça o mesmo procedimento com as outras relações métricas.
Estas atividades auxiliam a compreensão de conceitos geométricos que são analisados e lembrados esclarecendo eventuais dúvidas quanto a ângulos, retas, semi-retas, entre outros.
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Para atividades com o Teorema de Pitágoras, o jogo online é um excelente recurso visando o entusiasmo e proporcionando divertimento durante a aprendizagem. No jogo o Teorema de Pitágoras, contém questões com graus de dificuldade diferentes com no máximo quatro questões para cada grau, com o objetivo de responder a dez questões e obter o maior número de pontos possíveis. Para desempate, teremos o tempo. Essas questões envolvem a biografia de Pitágoras e exercícios usando sua fórmula.
OUTROS RECURSOS EDUCATIVOS
JOGO
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VÍDEO
- Apresentação do vídeo “O Teorema de Pitágoras”: Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=Pxs0pnWLJu8
- Apresentação do vídeo “Triangular é Preciso” Disponível em:http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1185
O vídeo é utilizado em diversas escolas, como recurso didático e auxílio na aprendizagem. Estes em destaque, abordam o tema relatado.
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VIEIRA, Josilei Passos; ANTONOW, Liliane Martinez. Trabalhando as Relações do Teorema de Pitágoras no Software GeoGebra. Disponível em: < http://sbem.esquiro.kinghost.net/anais/XIENEM/pdf > Acesso em 20 set. 2014.
2000, Programa Prof. Disponível em: < http://www.prof2000.pt.users/hjco/pitagora > Acesso em 20 set. 2014.
REFERÊNCIAS:
http://conhecendopitagoras.blogspot.com.br/2010/04/atividade-teorema-de-pitagoras-no.html > Acesso em 21 set. 2014.
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=4374 > Acesso em 21 set. 2014.