o informatyce kwantowej - zksi.iitis.plgawron:ptm-gliwice-2009.pdf · wstęp motywacja motywacja...

O informatyce kwantowej

Piotr Gawron

Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN

Posiedzenie PTM Gliwice

Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 2009 1 / 33

Plan wystąpienia1 Wstęp

Motywacja2 Opis formalny obliczeń kwantowych

JęzykQubitDwa qubity

3 Operacje kwantoweBramki unitarneBramki jednoqubitoweBramki dwuqubitoweObwody kwantowe

SplątaniePomiar

4 Algorytm Deustsch’a5 Model macierzy gęstości

Macierz gęstościOperacje kwantowe na macierzach gęstościEwolucja unitarnaRozszerzenie macierzy gęstościUsunięcie podsystemuDowolna ewolucja układu kwantowegoPomiar macierzy gęstości

Zastosowanie rachunku operatorów gęstości do analizy odporności algorytmuDeutsch’a na szum.

6 Zastosowania informatyki kwantowejInne zastosowania informatyki kwantowej

7 Literatura


Wstęp Motywacja

Motywacja

Informatyka kwantowa jest to dziedzina wiedzy zajmująca się zastosowaniem prawmechaniki kwantowej do przesyłania i przetwarzania informacji.Poza czysto utylitarnym podejściem do badań w tej dziedzinie ważne są również (amoże przede wszystkim) fundamentalne zagadnienia takie jak:

czym jest informacja,

jaka jest relacja informacji z materią,

jakie są granice fizyczne możliwości przetwarzania i transmisji informacji.


Wstęp Motywacja

Zakres badań informatyki kwantowej

Kwantowa teoria informacji:zagadnienia fundamentalne: entropia, splątanie,pojemność kanałów kwantowych,kwantowa korekcja błędów,protokoły kwantowe,kryptografia kwantowa,

obliczenia kwantowe:modele obliczeń kwantowych,obwody kwantowe,algorytmy kwantowe,kwantowe języki programowania.


Opis formalny obliczeń kwantowych Język

Podstawowe definicje

Przez |ψ〉 oznaczamy wektor ket z d wymiarowej przestrzeni Hilberta Hd.ψ jest etykietą wektora.

Przez 〈ψ| oznaczamy wektor dualny bra do wektora |ψ〉.Iloczyn skalarny wektorów oznaczamy przez tzw. braket 〈ψ|φ〉 =

∑i ψ∗i φi.

〈ψ|A|φ〉 oznacza iloczyn skalarny między 〈ψ| a A|φ〉.Operatory liniowe działające na przestrzeni Hd będziemy czasem oznaczaćprzez ket-bra (|x〉〈y|)|ψ〉 = |x〉〈y|ψ〉 = 〈y|ψ〉|x〉.Znakiem „⊗” będziemy oznaczać iloczyn tensorowy. Zapisy |ψ〉 ⊗ |φ〉skracamy do |ψ〉|φ〉 lub nawet |ψφ〉.Znak AT transpozycję, A∗ sprzężenie zespolone a A† oznacza sprzężeniehermitowskie macierzy.


Opis formalny obliczeń kwantowych Qubit

Qubit

Podstawową jednostką w informatyce kwantowej jest qubit, o którym mówimy, żejest to elementarny układ kwantowy mający dwa stany podstawowe.

Definicja

Qubit jest to zbiór wektorów o długości jeden w H2. Mówimy, że dwa qubity są wtym samym stanie gdy różnią się o skalar zespolony o module 1 (czynnikufazowmym).

W celu opisania stanu qubitu wybieramy bazę ortonormalną w dwu-wymiarowejprzestrzeni Hilberta.Następujące wektory tworzą tzw. bazę obliczeniową:

|0〉 =[

10

], |1〉 =

[01

], (1)

jest ona standardowa w obliczeniach kwantowych.Stan ψ qubitu jest zadany liniową kombinację wektorów bazowych

|ψ〉 = α|0〉+ β|1〉, (2)

gdzie |α|2 + |β|2 = 1 oraz α, β ∈ C.Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 2009 6 / 33


Zatem stan qubitu może być sparametryzowany przez trzy liczby rzeczywiste.

|ψ〉 = eiγ(

cosθ

2|0〉+ eiφ sin

θ

2|1〉), (3)

gdzie γ, θ, φ ∈ R, a eiγ stanowi czynnik fażowy.Liczby rzeczywiste θ i φ mogą być interpretowane jako współrzędna punktu natrójwymiarowej sferze Blocha o promieniu jeden.



Sfera Blocha

Sfera Blocha jest wygodną reprezentacją graficzną qubitu.

Rysunek: Sfera Blocha


Opis formalny obliczeń kwantowych Dwa qubity

Dwa qubity

Operacją matematyczną, która odpowiada złączeniu dwóch qubitów jest iloczyntensorowy.Mając dane stany dwóch qubitów |ψ〉 i |φ〉:

|ψ〉 =[αβ

]= α|0〉+ β|1〉, |φ〉 =

[γδ

]= γ|0〉+ δ|1〉, (4)

ich łączny stan zapisujemy w taki sposób:

|ψ〉 ⊗ |φ〉 =

αγαδβγβδ

= αγ|0〉 ⊗ |0〉+ αδ|0〉 ⊗ |1〉+ βγ|1〉 ⊗ |0〉+ βδ|1〉 ⊗ |1〉, (5)

bądź w skrócie:αγ|00〉+ αδ|01〉+ βγ|10〉+ βδ|11〉. (6)


Opis formalny obliczeń kwantowych Rejestry kwantowe

Rejestry kwantowe

N -qubitowy rejestr kwantowy jest opisywany przez wektory w przestrzeni

H⊗N2 = C2 ⊗ C2 ⊗ . . .⊗ C2. (7)

Zazwyczaj wybieramy w tej przestrzeni naturalną bazę ortonormalną(obliczeniową) {|xi〉}2N−1

i=0 , gdzie xi są ciągami binarnymi o długości N .Stan |ψ〉 rejestru jest zatem opisany przez wektor w bazie obliczeniowej:

|ψ〉 =2N−1∑i=0

ai|xi〉, (8)

gdzie współczynniki ai spełnianiają równanie:

2N−1∑i=0

|ai|2 = 1. (9)

Zatem odrzucając globalną fazę, stan N -qubitowego rejestru kwantowego jestopisany przez 2N − 1 liczb zespolonych.Możemy to porównać do N -bitowego rejestru klasycznego, który jest opisany 2N

liczbami naturalnymi.Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 2009 10 / 33

Operacje kwantowe Bramki kwantowe

Bramki kwantowe

Stany kwantowe (czyste) to wektory zespolone o długości jeden.

Operacje, które przeprowadzają stany w stany nazywamy bramkamikwantowymi.

Są one reprezentowane przez macierze unitarne t.j. UU† = I.

Przejścia między stanami są obliczane poprzez pomnożenie stanu z lewejstrony przez macierz unitarną:

|ψ1〉 = U |ψ0〉. (10)

Łatwo zauważyć, że obliczenia kwantowe są odwracalne



Bramki jednoqubitowe

Istnieją cztery bramki jednobitowe

Identyczność 0→ 0 1→ 1,Negacja 0→ 1 1→ 0,Reset 0→ 0 1→ 0,Set 0→ 1 1→ 1.

Bramek jednoqubitowych istnieje nieskończenie wiele. Stanowią one nadzbiórbramek klasycznych.Możemy zapisać bramki klasyczne w języku macierzy.Identyczność (I) i negacja (Not) są prawidłowymi operacjami kwantowymi:

I =[

1 00 1

], Not =

[0 11 0

]. (11)

Reset (P0) i set (P1) mogą być zapisane jako macierze rzutowe:

P0 =[

1 00 0

], P1 =

[0 00 1

], (12)

jednakże nie są one operacjami unitarnymi i zatem nie mogą być stosowanewprost w informatyce kwantowej.



Pierwszą bramką, którą wprowadzimy, która nie ma odpowiednika klasycznego jestbramka Hadamarda:

H =1√2

[1 11 −1

]. (13)

Ta bramka przekształca stan |0〉 w 1√2(|0〉+ |1〉) oraz stan |1〉 w 1√

2(|0〉 − |1〉).

Inna bramka w informatyce kwantowej, to:

Z =[

1 00 −1

], (14)

która przekształca |0〉 w siebie samego, a |1〉 w −|1〉.Zbiór wszystkich bramek jednoqubitowych może być sparametryzowany czteremaliczbami rzeczywistymi α, β, γ, δ w następujący sposób:

U(α, β, γ, δ) = eiα

[e−iβ2 0

0 eiβ2

] [cos(γ2 ) − sin(γ2 )sin(γ2 ) cos(γ2 )

] [e−iδ2 0

0 eiδ2

]. (15)



Bramka CNOT

Najbardziej popularną bramką dwuqubitową jest bramka CNot. Pierwszy qubitnazywamy kontrolnym, drugi docelowym.Jeżeli qubit kontrolny jest w stanie |1〉 to wyjście qubitu docelowego jestnegowane.Zachowanie tej bramki można podać przez poniższe równanie:

CNot|x, y〉 = |x, x⊕ y〉, (16)

gdzie ⊕ oznacza dodawanie modulo 2.W zapisie macierzowym bramka CNot wygląda następująco:

CNot =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

. (17)

CNot jest odpowiednikiem bramki XOR z tą różnicą, że drugi bit jest kopiowanyna drugie wyjście.



Splątanie

Stan kwantowy, który opisuje pojedynczy qubit nie jest zbytnio interesujący.Ciekawe zjawiska pojawiają się gdy mamy do dyspozycji dwa qubity.Weźmy stan dwuqubitowy |00〉. Wpierw aplikujemy bramkę Hadamarda H napierwszym qubicie:

H ⊗ I|00〉 =1√2

(|00〉+ |10〉). (18)

bramkami kwantowymi Potem aplikujemy bramkę CNot:

CNot1√2

(|00〉+ |10〉) =1√2

(|00〉+ |11〉) = |Φ+〉. (19)

Teraz weźmy oba qubity α|0〉+ β|1〉 i γ|0〉+ δ|1〉, ich iloczyn Kroneckera wynosi:

(α|0〉+ β|1〉)⊗ (γ|0〉+ δ|1〉) = αγ|00〉+ αδ|01〉+ βγ|10〉+ βδ|11〉. (20)

Jeżeli będziemy chcieli zapisać stan |Φ+〉 w następujący sposób:

|00〉+ |11〉 = αγ|00〉+ αδ|01〉+ βγ|10〉+ βδ|11〉, (21)

to otrzymamy układ równań αγ = 1, αδ = 0, βγ = 0 i βδ = 1.

Ten układ równań nie ma rozwiązań!



Splątanie cd.

Stan |Φ+〉 nie może zostać zapisany jako iloczyn tensorowy stanówrozłącznych qubitów. Takie stany nazywamy splątanymi.

Stany splątane nie mogą być rozpatrywane jako kombinacje podsystemów,muszą być traktowane jako całość.

Splątanie jest bardzo ważną cechą systemów kwantowych.


Operacje kwantowe Obserwable

Obserwable

Dotychczas mówiliśmy o reprezentacji stanów kwantowych. Jednakże stanykwantowe nie mogą zostać zaobserwowane bezpośrednio w wyniku eksprymentu.Wielkości fizyczne, które mogą być zmierzone nazywamy obserwablami.

Obserwabla

Obserwablą nazywamy mierzalną wielkość fizyczną. Reprezentowana jest ona przezoperator hermitowski M = M†

Jednocześnie mamy użyteczne twierdzenie: jeżeli M = M†, to

M =∑n

anPn, (22)

gdzie PnPm = Pnδnm,∑Pn = I oraz an ∈ σ(M).


Operacje kwantowe Pomiar

Pomiar

Mając dany operator rzutowy Pn = |ψn〉〈ψn|, który odpowiada wynikowi pomiaruan i stan |φ〉, prawdopodobieństwo p uzyskania wartości an w wyniku pomiaru |φ〉może zostać policzone w następujący sposób:

p(an) = 〈φ|(|ψn〉〈ψn|)|φ〉 = 〈φ|ψn〉〈ψn|φ〉 = |Pn|φ〉|2 (23)

Po pomiarze rzutowym, system będzie w stanie:

|φ1〉 =Pn|φ〉√〈φ|Pn|φ〉

. (24)

Oznacza to, że pomiar dają wynik losowy i że pomiar zmienia stan układu.


Przykłady zastosowań Algorytm Deustsch’a

Algorytm Deustsch’a 1/4

Załóżmy, że mamy czarną skrzynkę nazywaną zwyczajowo wyrocznią. Ta skrzynkaoblicza funkcję f : {0, 1} → {0, 1}.Nie wiemy czy ta funkcja jest

stała tzn. f(0) = f(1),

czy różnowartościowa tzn. f(0) = f(1).

W przypadku klasycznym musimy zapytać wyroczni dwa razy ażeby zbadać, doktórej z powyższych klas f należy. W przypadku klasycznym możemy rozwiązaćten problem zapytując wyrocznię tylko raz.




Bramka Uf jest rewersyjną implementacją funkcji f , symbol oznacza pomiar.

|0〉 Hx

Uf

xH FE

|1〉 Hy y ⊕ f(x)

Rysunek: Obwód kwantowy opisujący działanie algorytmu Deutsch’a.




Algorytm jest następujący:

Przygotuj stan: |Ψ〉 = |0〉 ⊗ |1〉,

zasotsouj bramkę Hadamarda H⊗2 na stanie |Ψ〉, uzyskasz

|Ψ1〉 =|0〉+ |1〉√

2⊗ |0〉 − |1〉√

2=

12

(|00〉 − |01〉+ |10〉 − |11〉). (25)

zastosuj bramkę Uf : |x〉 ⊗ |y〉 → |x〉 ⊗ |f(x)⊕ y)〉:

|Ψ2〉 =12

(|0〉|f(0)⊕ 0〉 − |0〉|f(0)⊕ 1〉+ |1〉|f(1)⊕ 0〉 − |1〉|f(1)⊕ 1〉)

=

{± |0〉+|1〉√

2⊗ |0〉−|1〉√

2dla f stałej,

± |0〉−|1〉√2⊗ |0〉−|1〉√

2dla f różnowartościowej.

(26)




Algorytm jest następujący:

Przygotuj stan: |Ψ〉 = |0〉 ⊗ |1〉,zasotsouj bramkę Hadamarda H⊗2 na stanie |Ψ〉, uzyskasz

|Ψ1〉 =|0〉+ |1〉√

2⊗ |0〉 − |1〉√

2=

12

(|00〉 − |01〉+ |10〉 − |11〉). (25)

zastosuj bramkę Uf : |x〉 ⊗ |y〉 → |x〉 ⊗ |f(x)⊕ y)〉:

|Ψ2〉 =12

(|0〉|f(0)⊕ 0〉 − |0〉|f(0)⊕ 1〉+ |1〉|f(1)⊕ 0〉 − |1〉|f(1)⊕ 1〉)

=

{± |0〉+|1〉√

2⊗ |0〉−|1〉√

2dla f stałej,

± |0〉−|1〉√2⊗ |0〉−|1〉√

2dla f różnowartościowej.

(26)




Zastosuj H ⊗ I na stanie |Ψ2〉; uzyskasz:

|Ψ3〉 =

{±|0〉 ⊗ |0〉−|1〉√

2dla f stałej,

±|1〉 ⊗ |0〉−|1〉√2

dla f różnowartościowej.(27)

Zmierz stan pierwszego qubitu, dostaniesz:|0〉 w przypadku funkcji stałej,|1〉 w przypadku funkcji różnowartościowej.


Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa

Teleportacja kwantowa 1/3

Teleportacja kwantowa, to protokół mający na celu przesłanie stanu qubitu zwykorzystaniem splątanej pary qubitów i dwóch bitów informacji.

|qA〉 • HLL�� ________

��

_ _ _ _ _ _ _ _

��

•

|qB〉 H • ⊕LL�� ________

��

_ _ _ _ _ _ _ _

��

•

|qC〉 ⊕ Z X

Rysunek: Obwód teleportacji kwantowej

Niech|φA〉 = α|0〉+ β|1〉 (28)

jest pewny dowolnym stanem qubitu.Chcemy go przenieść z qubitu A na C.




|ψABC0 〉 = |φA〉(|0B0C〉) (29)

|ψABC1 〉 =1√2

(α|0A〉+ β|1A〉)(|0B〉+ |1B〉)|0C〉 (30)

|ψABC2 〉 =1√2

(α|0A〉+ β|1A〉)(|0B0C〉+ |1B1C〉) (31)

=1√2

(α|0A0B0C〉+ α|0A1B1C〉+ β|1A0B0C〉+ β|1A1B1C〉)

|ψABC3 〉 =1√2

(α|0A0B0C〉+ α|0A1B1C〉+ β|1A1B0C〉+ β|1A0B1C〉) (32)

|ψABC4 〉 =12

(α|0A0B0C〉+ α|1A0B0C〉+ α|0A1B1C〉+ α|1A1B1C〉 (33)

+β|0A1B0C〉 − β|1A1B0C〉+ β|0A0B1C〉 − β|1A0B1C〉) (34)




Jeżeli Alicja w wyniku pomiaru zmierzy 00 to przeprowadzi swój stan w |0A0B〉 iquibt C będzie w stanie α|0C〉+ β|1C〉 czyli będzie, to pierwotny stan qubitu A.W pozostałych przypadkach mamy:

wynik pomiaru stan Alicji stan Boba korekcja01 |0A1B〉 α|1C〉+ β|0C〉 X10 |1A0B〉 α|0C〉 − β|1C〉 Z11 |1A1B〉 α|1C〉 − β|0C〉 XZ

W ten sposób przy użyciu 2 bitów informacji i stanu splątanego można przesłaćstan qubitu.



Teleportacja kwantowa – realizacja

Rysunek: Układ teleportacji stanu jonów 70Yb. [P. Maunz, S. Olmschenk, D. Hayes,D.N. Matsukevich, L.-M. Duan, and C. Monroe. „Heralded Quantum Gate betweenRemote Quantum Memories.” Physical Review Letters 102, 250502 (2009).]


Przykłady zastosowań Inne zastosowania informatyki kwantowej

Zastosowania informatyki kwantowej

Kwantowa dystrybucja klucza,

gęste kodowanie,

wyszukiwanie w nieuporządkowanym zbiorze,

znajdowanie dzielników liczby,

rozwiązywanie układów równań liniowych,

sprawdzanie czy element znajduje się w zbiorze,

. . .


Literatura

Literatura

Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, Quantum Computation and QuantumInformation, Cambridge University Press, 2000

Krzysztof Giaro, Marcin Kamiński, Wprowadzenie do algorytmówkwantowych, Exit, 2003

Hirvensalo Mika, Algorytmy kwantowe, WSiP, 2004

arxiv.org/archive/quant-ph – baza preprintów artykułów

www.quantiki.org – wiki i vortal o informatyce kwantowej


Literatura

Dziękuję za uwagę.

http://zksi.iitis.pl


o informatyce kwantowej - zksi.iitis.plgawron:ptm-gliwice-2009.pdf · wstęp motywacja motywacja...

Documents