o efeito do uso de um applet na aprendizagem de equações do 1.º

O efeito do uso de um applet na aprendizagem de equações do 1.º grau

com denominadores numa turma do 7.º ano de escolaridade do Ensino

Básico

Ana Paula Gandra1, Ana Paula Aires2, Paula Catarino3 1Escola Básica e Secundária Fontes Pereira de Melo – Porto, [email protected]

2Departamento de Matemática da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, UTAD. Lab_DCT do CIDTFF da Universidade de Aveiro, [email protected]

3Departamento de Matemática da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, UTAD. Lab_DCT do CIDTFF da Universidade de Aveiro e CMAT-UTAD, polo do

CMAT da Universidade do Minho, [email protected]

Resumo. Vários estudos sugerem que as dificuldades na aprendizagem da álgebra devem-se, em parte, ao modo como os alunos fazem a transição da aritmética para a álgebra. Atualmente existe uma grande diversidade de recursos tecnológicos ao nosso dispor, em particular, na Internet, tornando-se imprescindível a reflexão sobre o seu contributo para o ensino e aprendizagem da álgebra. Este estudo pretende analisar de que forma é que a exploração do applet Algebra Calculator pode contribuir para o ensino e aprendizagem das equações do 1.º grau com denominadores. Especificamente, pretende-se analisar a forma como os vinte alunos de uma turma de 7.º ano de escolaridade do Ensino Básico, sem nunca terem resolvido equações com frações, utilizam procedimentos aritméticos na resolução deste tipo de equações. Interessa-nos também perceber se existe influência do uso do applet nas resoluções dos alunos. Este trabalho é realizado no quadro de uma experiência de ensino, durante a lecionação dos princípios de equivalência na resolução das equações. A análise de dados incide na observação das aulas e nas produções escritas dos alunos, antes e após o estudo do tópico. Os resultados mostram que, ao longo do estudo do tópico, a maioria dos alunos aprendeu a fazer a redução de todos os termos da equação ao mesmo denominador e, de seguida, a eliminação dos denominadores, na resolução de equações do 1.º grau com denominadores, mesmo aqueles que tinham fraco rendimento a Matemática. Palavras-chave: álgebra; applet; equações; denominadores.

Abstract. Several studies suggest that the difficulties in learning algebra are due, sometimes, to the way students make the transition from arithmetic to algebra. Now there is a great diversity of technological resources everywhere, particularly on the Internet, making it essential to reflect on their contribution to teaching and learning of algebra. The aim of this study is to investigate how the applet Algebra Calculator can contribute to the teaching and learning of a 1st degree equations containing fractions. Specifically, we intend to analyse how twenty students of a 7th grade class of basic school, without ever having solved equations with denominators, using arithmetic procedures in solving equations with fractions. Also we are interested in to know if there is influence of the use of the applet in the

Martinho, M. H., Tomas Ferreira, R. A., Vale, I., & Guimaraes, H. (Eds.) (2016).Atas Provisorias do XXVII Sem. Investigacao em Educacao Matematica. Porto: APM, pp.281–292

resolutions of the students. This work is conducted within the framework of an educational experience for the teaching of equivalence of equations principles. Data analysis focuses on observation of the classes and the written productions of students before and after the study of the topic. The results show that, over the topic of study, most students learned to make the reduction of all terms to the same denominator, and then the elimination of the denominators in the 1st degree solving equations with denominators, even those who had poor performance in mathematics. Keywords: algebra; applet; equations; denominators.

Introdução

O ensino da álgebra recebe particular atenção no 3.º ciclo do Ensino Básico (MEC,

2013), altura em que, formalmente, existe um primeiro contacto com o tópico das

equações. A adaptação dos alunos a novas regras, símbolos e sua interpretação nem

sempre é simples, existindo “alunos que conseguem um nível de desempenho razoável

no trabalho com números e operações numéricas, mas que se deparam depois com

grandes dificuldades na Álgebra” (Ponte, 2005, p.39), em particular na inclusão de

letras em expressões matemáticas.

O modo como os alunos constroem as suas noções algébricas, normalmente à custa da

sua experiência em aritmética (Matz, 1980; Booth, 1984, 1988) terá certamente

implicações na sua aprendizagem. Booth (1988) e Kieran (1988, 1992) alegam que as

dificuldades dos alunos na álgebra devem-se, em parte, à falta de entendimento de

factos aritméticos elementares. Enquanto Booth (1984, 1988) considera que os erros na

álgebra são o reflexo de uma má formação na aritmética, Matz (1980) sugere que não

precisamos de sair da álgebra para justificar os erros dos alunos, isto é, os obstáculos

encontrados no ensino e aprendizagem da álgebra não refletem, necessariamente, uma

má formação em aritmética, ou, de outro modo, os erros em álgebra são, provavelmente,

uma questão puramente algébrica.

A natureza interativa e dinâmica da tecnologia, a par das múltiplas representações que

oferece, tem vindo a mudar as perspetivas sobre a aprendizagem de alguns conceitos

algébricos (Ferrara, Pratt, & Robutti, 2006). Existem pequenas aplicações digitais,

normalmente dirigidas a tópicos específicos do currículo, os applets, muitos dos quais

disponíveis na Internet, que podem constituir ferramentas importantes para a

aprendizagem (Heck, Boon, Bokhove, & Koolstra, 2007). Os applets, em particular, os

applets algébricos, são aplicações dinâmicas e interativas, focadas em tópicos

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específicos, que podem servir para mostrar, visualizar, explorar e ensinar diferentes

conceitos, apoiadas em submodelos emergentes que ligam a simbolização com o

significado e dão constante feedback (Heck et al., 2007; Gravemeijer, Doorman, &

Drijvers, 2010).

Nesta investigação pretendemos descrever o trabalho desenvolvido com uma turma de

7.º ano de escolaridade, durante a lecionação das equações do 1.º grau com

denominadores, bem como analisar e compreender de que forma a aplicação de um

applet, o Algebra Calculator, poderá ser considerado um recurso pedagógico no ensino

das equações do 1.º grau com frações no 7.º ano de escolaridade do Ensino Básico. Os

alunos que nunca resolveram equações com denominadores e apenas têm conhecimento

dos princípios de equivalência da adição e da multiplicação na resolução de equações

vão realizar trabalho algébrico, no que diz respeito à resolução de equações com

denominadores, utilizando regras aprendidas anteriormente na Aritmética. Por fim, são

tecidas algumas considerações sobre o desempenho dos alunos na resolução de

equações com denominadores, no final da unidade das “Equações”.

Este texto está estruturado do seguinte modo: nas duas secções seguintes apresentamos

uma breve contextualização teórica que serve de suporte ao estudo, seguindo-se uma

caracterização da turma envolvida no estudo e descrição da experiência implementada.

Por fim apresentamos os resultados dessa experiência e terminamos o texto com

algumas conclusões pertinentes em relação ao estudo apresentado.

O ensino e a aprendizagem das equações

Ao longo dos tempos o ensino das equações do 1.º grau tem sofrido mudanças que, em

Portugal, podem ser analisadas em vários documentos, nomeadamente, nos manuais

escolares. Ponte (2004) analisou quatro manuais escolares portugueses, de diferentes

épocas, e constatou que existe uma grande evolução em diversos aspetos na forma como

são abordadas as equações do 1.º grau. Apesar da evolução, quando este tema é tratado

sobressaem diversas dificuldades na sua aprendizagem em alguns alunos, como é

referenciado pelo autor.

A aprendizagem das equações, conceito central da Álgebra, representa para os alunos o início de uma nova etapa no seu estudo da Matemática. Ao lado das expressões numéricas, envolvendo números e operações com que contactaram anteriormente, surgem agora outras expressões, envolvendo novos símbolos e novas regras de manipulação, que remetem para outro


nível de abstração. O início desta etapa revela-se particularmente problemático para muitos alunos, sendo neste ponto que se decide em grande medida quais suas possibilidades de sucesso futuro na aprendizagem escolar desta disciplina. (Ponte, 2004, pp.149-150)

Estudos recentes têm contribuído para ajudar a perceber melhor as dificuldades e os

erros mais comuns que os alunos cometem na resolução de equações do 1.º grau (Ponte,

Branco, & Matos, 2009). Estas dificuldades estão relacionadas com a forma como os

mesmos efetuam a passagem da aritmética para a álgebra, como adquirem o conceito de

equação e de incógnita, como resolvem as equações e os problemas algébricos.

Kieran (2006) refere três abordagens para a resolução de equações, no início do estudo

da álgebra, que podem ajudar no entendimento e resolução das equações: abordagem

intuitiva, que inclui a estratégia relativa às propriedades dos números; abordagem de

substituição por tentativa-erro, e abordagem formal.

Os applets no ensino e a aprendizagem das equações

A investigação mostra que a perspetiva de álgebra como aritmética generalizada é

insuficiente para desenvolver nos alunos um pensamento algébrico adequado (Socas,

2011). Este autor sugere que o uso de novas fontes de significado, como as novas

tecnologias, oferecem oportunidades para construir a compreensão concetual dos

processos matemáticos no ensino da álgebra. Esta ideia é reiterada por Ponte, Branco e

Matos (2009) que consideram ser fundamental integrar a tecnologia e estudar o seu uso

com vista à promoção da aprendizagem.

Diversas investigações mostram que o uso da folha de cálculo ajuda os alunos a

interiorizar a noção de variável e a desenvolver a sua capacidade de resolver certos tipos

de problemas. No entanto, para alguns aspetos da aprendizagem da álgebra, como a

resolução de equações, a folha de cálculo não parece ter um efeito visível (Ponte,

Branco & Matos, 2009).

A interatividade e o dinamismo, características da tecnologia, particularmente visíveis

nos applets, mudaram as perspetivas sobre a forma como o ensino e a aprendizagem de

alguns conceitos matemáticos podem ser aprendidos, chamando a atenção para a

construção de significados, mais do que os aspetos manipulativos (Ferrara, Pratt &

Robutti, 2006; Duarte, 2011).


Existem applets direcionados para o ensino e aprendizagem da matemática que se

podem encontrar em diversos sites, como por exemplo, no site Mathpapa, onde

encontramos o Algebra Calculator, applet direcionado para o ensino e aprendizagem

das equações do 1.º grau. O Algebra Calculator pretende ser uma calculadora que

resolve equações passo a passo.

Documentos de orientação curricular e de investigação reconhecem que a aprendizagem

dos alunos pode beneficiar muito da tecnologia, através da visualização de noções

matemáticas sob múltiplas perspetivas e representações interligadas e serem capazes de

passar informação de uma forma de representação para outra (MEC, 2013; NCTM,

2007; Ferrara et al., 2006).

Uma experiência com alunos portugueses do 7.º ano de escolaridade

Seguindo os trabalhos de Duarte (2011) e Oliveira (2014), e tendo como foco a

aprendizagem da resolução de equações do 1.º grau através da utilização de applets,

utilizamos o Algebra Calculator para tentar perceber como é que este applet pode

funcionar como um instrumento mediador da aprendizagem, contribuindo para que os

alunos do 7.º ano de escolaridade que nunca resolveram equações com denominadores e

apenas têm conhecimento dos princípios de equivalência da adição e da multiplicação

na resolução de equações, possam resolver equações com frações, utilizando estratégias

aritméticas.

Este episódio foi dinamizado no terceiro período do ano letivo de 2014/2015, numa

turma da primeira autora, do 7.º ano de escolaridade constituída por vinte alunos, onze

raparigas (55%) e nove rapazes (45%), com idades entre os 12 e 13 anos numa aula de

cinquenta minutos. Relativamente à avaliação final, numa escala de zero a cinco, no

primeiro período todos os alunos tiveram nível superior ou igual a três e no segundo

período, cinco alunos (25%) tiveram nível dois.

O tema que estava a ser lecionado era o referente às Equações e ainda não tinha sido

iniciado o subtema “Equações do 1.º grau com denominadores”. As equações que os

alunos já sabiam resolver com a regra da adição, com a regra da multiplicação e até

mesmo, agrupando termos semelhantes, eram do tipo « ; a x b a b x± = = ± ;

; ; ; ax b a bx x a b a x b= = ÷ = = ÷ ; ; ax b c a bx c± = = ± ; ; ax bx c ax bx c d± = ± + = ;


ax b cx d+ = + ». Os alunos costumavam utilizar o Algebra Calculator para tirar as suas

dúvidas, em casa e nas aulas.

Durante a primeira parte da aula (30 minutos), a professora começou por pedir aos

alunos que resolvessem exercícios do manual escolar adotado (Marques & Ferreira,

2014) no âmbito das equações, incluindo equações com frações. Os alunos tiveram a

possibilidade de comunicar oralmente, fazer conjeturas, refutar e/ou discutir ideias em

par, podendo consultar a professora e o Algebra Calculator, sempre que tivessem

necessidade. Quando terminaram os exercícios propostos, os alunos mostraram as

resoluções à professora que as corrigiu.

Na segunda parte da aula (20 minutos), os alunos resolveram individualmente sem

auxílio do Algebra Calculator, uma questão aula constituída por seis equações, sendo

duas equações com frações. A professora funcionou como mera observadora. Foi

solicitado aos alunos que registassem tudo o que faziam, que indicassem todos os

cálculos efetuados, que não apagassem o que tinham feito e que, quando se enganassem,

passassem um traço por cima e continuassem. Os dados foram recolhidos pela primeira

autora que era a professora da turma, fazendo uso das técnicas seguintes: observação

presencial; recolha de elementos escritos produzidos pelos alunos no âmbito da questão

aula, permitindo obter informação sobre os conhecimentos e capacidades dos alunos;

realização de registos, o mais pormenorizado possível, imediatamente a seguir à aula,

com observações e impressões do modo como os alunos reagiram e se envolveram nas

tarefas, além de alguns episódios significativos.

Resultados da experiência

Os coeficientes de sucesso obtidos, foram globalmente satisfatórios e alguns superaram

as expectativas. Assim, na sua maioria (90%), os alunos sabem resolver uma equação

usando o princípio de equivalência da adição, o princípio de equivalência da

multiplicação e agrupam termos semelhantes.

Em relação à primeira equação com frações, 2 43b− = , que aparecia na QA1 (questão

aula 1), a percentagem de sucesso é a mesma e os erros verificados são sobretudo de

natureza aritmética, tendo-se constatado algumas dificuldades por parte dos alunos na

multiplicação e na divisão. A figura 1 apresenta exemplos de resoluções desta primeira

equação com frações.


Figura 1. Exemplos de resoluções da primeira equação com frações da QA1.

No que diz respeito à segunda equação com frações, 4 102x+ = , que aparecia também

na QA1, a percentagem de sucesso é ligeiramente inferior (80%) e os erros advêm dos

alunos não compreenderem os princípios de equivalência, quando têm de utilizar as

regras da adição e da multiplicação e/ou de natureza aritmética. A figura 2 apresenta

exemplos de resoluções desta segunda equação com frações, onde na última resposta se

observa uma exceção, o aluno experimenta um valor e obtém a solução pretendida.

Figura 2. Exemplos de resoluções da segunda equação com frações da QA1


A figura 3 apresenta os erros verificados nas resoluções da segunda equação 4 102x+ =

da QA1, a mudança do termo independente de um membro para o outro não é

acompanhada da mudança de sinal, o que advém do aluno não compreender os

princípios de equivalência, quando tem de utilizar a regra da adição.

Figura 3. Erro verificado nas resoluções da segunda equação com frações da QA1.

Após a lecionação das equações do 1.º grau com denominadores, os alunos foram

sujeitos a outra questão aula (QA2) onde apareciam duas equações análogas às

anteriores. O sucesso manteve-se (90%) e na análise dos procedimentos empregues na

resolução das equações do 1.º grau com denominadores, notou-se uma preferência

significativa dos alunos de diferentes níveis de aproveitamento, em reduzir todos os

termos da equação ao mesmo denominador e de seguida, desembaraçar de

denominadores. A figura 4 apresenta exemplos de resoluções da equação com frações,

2 85x− = da QA2.

Figura 4. Exemplos de resoluções da primeira equação com frações da QA2.


A figura 5 apresenta o erro verificado nas resoluções da primeira equação 2 85x− = da

QA2 que advém dos alunos não compreenderem os princípios de equivalência quando

têm de utilizar a regra da multiplicação ou do significado do termo com incógnita.

Figura 5. Erros verificado nas resoluções da primeira equação com frações da QA2.

Em relação à resolução da equação 1 63x+ = da QA2, o sucesso melhorou ligeiramente

(85%) apesar de ser ligeiramente inferior ao registado na resolução da primeira equação.

Da análise dos procedimentos empregues na resolução das equações do 1.º grau com

denominadores, podemos concluir que os alunos reduziram todos os termos da equação

ao mesmo denominador e de seguida, desembaraçaram de denominadores. A figura 6

apresenta um exemplo de resoluções da equação 1 63x+ = da QA2.

Figura 6. Exemplo de resoluções da segunda equação com frações da QA2.

Os erros verificados na equação 1 63x+ = da QA2 devem-se às razões já apontadas

anteriormente, isto é, os alunos não compreenderam as condições da equivalência


quando têm de utilizar as regras da adição e da multiplicação. A figura 7 ilustra um

exemplo dos erros verificados nas resoluções da equação 1 63x+ = da QA2.

Figura 7. Erros verificados nas resoluções da segunda equação com frações da QA2.

Nas aulas seguintes à resolução das QA1 e QA2, respetivamente, as mesmas foram

entregues aos alunos corrigidas. Durante a correção da QA1 e QA2, que foi feita no

quadro pelos alunos sob a orientação da professora, todos os erros detetados foram alvo

de reflexão e diálogo com a turma. Constatou-se que os erros de natureza aritmética

verificados foram consequência da falta de compreensão dos princípios de equivalência.

Durante a correção, ao verem a resolução correta das equações, os alunos de viva voz,

reconheceram que a precipitação e a falta de concentração contribuíram para os

resultados obtidos e perceberam que necessitavam de estar mais atentos nas aulas.

Conclusões

Os processos de observação levados a cabo nas aulas durante a lecionação da unidade

das “Equações” permitem afirmar que o uso do computador, em particular do Algebra

Calculator que resolve as equações apresentando os passos de resolução, facilitou a

aprendizagem da resolução analítica das equações do 1.º grau e motivou os alunos, uma

vez que sem a ajuda da professora, os alunos conseguiram resolver as equações

propostas.

As classificações dos alunos neste tópico foram iguais ou superiores às classificações

obtidas anteriormente. No entanto um grupo de alunos (20%) de aproveitamento

bastante satisfatório, apesar de reconhecerem vantagens na aplicação desta metodologia

de trabalho, tiveram dificuldades com ela, uma vez que na aula, ao construírem a sua

própria aprendizagem auxiliados pelo Algebra Calculator e pela professora, não houve

lugar às habituais idas ao quadro para poderem apreciar o trabalho desenvolvido. O


feedback construtivo habitual por parte da professora, que normalmente elogia o

trabalho bem feito e corrige os erros dos alunos, foi feito individualmente e não em

grande grupo, o que despertou a necessidade de uma permanente solicitação da mesma

por parte dos alunos envolvidos e conduziu a um ambiente de alguma indisciplina.

De um modo geral, os alunos conseguiram resolver equações do 1.º grau com frações

antes do ensino formal das equações com denominadores. Foi agradável constatar que

os alunos participantes deste estudo dominam as operações básicas e utilizaram os

princípios de equivalência antes do ensino formal dos mesmos.

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