números complexos 3
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PARFORPARFOR
ELEMENTOS DE MATEMÁTICAELEMENTOS DE MATEMÁTICA
Números ComplexosNúmeros Complexos
i 1
042 x42 x
4x
No conjunto dos números No conjunto dos números Reais não tem soluçãoReais não tem solução
ImagináriosImaginários
14 x14 xix 2
Números ComplexosNúmeros Complexos
NN ZZ QQII
RR
CC
Números ComplexosNúmeros Complexos
biabaz , biaz Rba ,
Forma algébricaForma algébrica
ab
realparte imagináriaparte
0 0 bea0b
puroimaginário puroreal
iz 2 2z
Números ComplexosNúmeros Complexos
10 iPotências de Potências de ii
?39 i
39
339 ii
ii 1
1122 i
iiiii 123
Para expoentes maior ou igual a 4, Para expoentes maior ou igual a 4, dividimos o expoente por 4 e dividimos o expoente por 4 e utilizamos o resto da divisão.utilizamos o resto da divisão.
493
ii 39
Números ComplexosNúmeros Complexos
biaz
Igualdade de números complexosIgualdade de números complexos
dicw
wz ca dbe
Números ComplexosNúmeros Complexos
biaz Conjugado de um número complexoConjugado de um número complexo
biaz iz 34 iz 34
Oposto de um número complexoOposto de um número complexo
biaz biaz
iz 34 iz 34
Números ComplexosNúmeros Complexos
biaz Simétrico de um número complexoSimétrico de um número complexo
biasz
iz 34 isz 34
Módulo de um número complexoMódulo de um número complexo22 baz z
222bazz
Norma de um número Norma de um número complexo.complexo.
Números ComplexosNúmeros Complexos
biaz
Operações com números complexos Operações com números complexos (FORMA ALGÉBRICA)(FORMA ALGÉBRICA)
dicw
AdiçãoAdição
++
idbcawz dicbiawz
Números ComplexosNúmeros Complexos
iz 42
Operações com números complexos Operações com números complexos (FORMA ALGÉBRICA)(FORMA ALGÉBRICA)
iw 83
AdiçãoAdição
++
iwz 41
iiwz 8342
Números ComplexosNúmeros Complexos
zwwz
Operações com números complexos Operações com números complexos (FORMA ALGÉBRICA)(FORMA ALGÉBRICA)
twztwz
Propriedades da SomaPropriedades da Soma
wzwz zzz 00
0 zz
Comutativa Comutativa
Associativa Associativa
Elemento neutroElemento neutro
Números ComplexosNúmeros Complexos
iz 42
Operações com números complexos Operações com números complexos (FORMA ALGÉBRICA)(FORMA ALGÉBRICA)
iw 83
SubtraçãoSubtração
– –
iwz 125
wzwz
Números ComplexosNúmeros Complexos
iz 42
Operações com números complexos Operações com números complexos (FORMA ALGÉBRICA)(FORMA ALGÉBRICA)
iw 83MultiplicaçãoMultiplicação
23212166 iiiwz
iiwz 8342
iwz 2826
Números ComplexosNúmeros Complexos
zwwz
Operações com números complexos Operações com números complexos (FORMA ALGÉBRICA)(FORMA ALGÉBRICA)
twztwz
Propriedades da multiplicaçãoPropriedades da multiplicação
wzwz
tzwztwz zzz 11
Comutativa Comutativa
Associativa Associativa
DistributivaDistributiva
Elemento neutroElemento neutro
Números ComplexosNúmeros Complexos
22 bazz
Operações com números complexos Operações com números complexos (FORMA ALGÉBRICA)(FORMA ALGÉBRICA)
Observação.:Observação.:
12 i
biabiazz
22 biazz 222 ibazz
Números ComplexosNúmeros Complexos
iz 42
Operações com números complexos Operações com números complexos (FORMA ALGÉBRICA)(FORMA ALGÉBRICA)
iw 83DivisãoDivisão
÷÷
i
i
i
i
w
z
83
83
83
42
w
w
w
z
w
z
Números ComplexosNúmeros Complexos
iz 42
Operações com números complexos Operações com números complexos (FORMA ALGÉBRICA)(FORMA ALGÉBRICA)
iw 83DivisãoDivisão
÷÷
ii
ii
w
z
8383
8342
w
w
w
z
w
z
Números ComplexosNúmeros Complexos
iz 42
Operações com números complexos Operações com números complexos (FORMA ALGÉBRICA)(FORMA ALGÉBRICA)
iw 83DivisãoDivisão
÷÷
2
2
6424249
3212166
iii
iii
w
z
w
w
w
z
w
z
Números ComplexosNúmeros Complexos
iz 42
Operações com números complexos Operações com números complexos (FORMA ALGÉBRICA)(FORMA ALGÉBRICA)
iw 83DivisãoDivisão
÷÷
73
438 i
w
z
w
w
w
z
w
z
Números ComplexosNúmeros Complexos
iz 42
Operações com números complexos Operações com números complexos (FORMA ALGÉBRICA)(FORMA ALGÉBRICA)
iw 83DivisãoDivisão
÷÷
73
4
73
38 i
w
z
w
w
w
z
w
z
701416 2
70162 yy
280256 24
16 yx 70yxyx 16 7016 yy
070162 yy
03) Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.03) Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.
03) Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.03) Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.
12
2416
y
2
2416 y
070162 yy
16 yx 70yxyx 16 7016 yy
2
6216 iy
iy 68
03) Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.03) Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.
16 yx 70yxyx 16 7016 yy
iy 68
iy 681 iy 682
ix 68161
ix 681 ix 682
ix 68162
i 68
i 68ee
04) Determine x e y para que o numero complexo 04) Determine x e y para que o numero complexo z = (x + 6) – (yz = (x + 6) – (y2 2 – – 16)16)··ii seja: seja:
a) real;a) real;
162 y
0162 y 16y
4y
4y
iyxz 166 2
0
a) Imaginário puro.a) Imaginário puro.
162 y0162 y
16y4y
6x06 x
4
6
y
x
4
6
y
xouou
04) Determine x e y para que o numero complexo 04) Determine x e y para que o numero complexo z = (x + 6) – (yz = (x + 6) – (y2 2 – – 16)16)··ii seja: seja:
iyxz 166 2
00
08) Se , calcule x e y.08) Se , calcule x e y.
62
5
y
x yyx 23
5126 yx
03 yx
yiiyxy
x263
2
5
yiiyxy
x263
2
5
1265 yx
176 yx
01763 yy
05118 yy5117 y3y
1736 x1x
09) Assinale a alternativa correta.09) Assinale a alternativa correta.
1...40 ii
mniia mn )
iii ...73
FALSOFALSO
iii ...51
1...62 ii
12842 ) iib FALSOFALSO
42
242 ii
4102
128
0128 ii
4320
12 i 10 i12842 ii
09) Assinale a alternativa correta.09) Assinale a alternativa correta.
m
m
m
n
i
i
i
i
.4 ) demúltiploémniic mn VERDADEIROVERDADEIRO
1m
n
i
i
1 mni
1...24201612840 iiiiiii
09) Assinale a alternativa correta.09) Assinale a alternativa correta.199 ) iid
FALSOFALSO1 ) 2 ie
FALSOFALSO
9
19 ii
421
19
319 ii
443
ii 1 ii 3
199 ii
12 i
15) O número complexo 15) O número complexo z = a + bi, {a,b} z = a + bi, {a,b} R R, tem módulo 10. , tem módulo 10. sabemos que sabemos que a + b = 14a + b = 14. Calcule . Calcule zz..
22 baz 10z10022 ba1022 ba
14baba 14 10014 22 bb
10028196 22 bbb 2096282 2 bb
048142 bb
;61 b 82 b
61 b6141 a
81 a
82 b8142 a
62 a
iz 681 iz 862
31) (UFSC) Se determine 31) (UFSC) Se determine
222baz
2
2
21
10
ii
iiiz
,1
102
503
i
iiiz
2z
121
10 22
i
iiiz
i
iiz
2
210 2
i
iz
2
210
i
i
i
iz
2
2
2
210
2
2
4
420
i
iiz
4
420 iz
iz 5
1252 z
262 z
35) (UFSC) Dada a expressão sendo 35) (UFSC) Dada a expressão sendo zz um um número complexo, determinenúmero complexo, determine
222baz
biabiaibiabia 22
zzizz 222z
biabiaibiabia 22222biabaibia 223
ibababia 223baa 23 bab 2
35) (UFSC) Dada a expressão sendo 35) (UFSC) Dada a expressão sendo zz
um número complexo, determineum número complexo, determine
222baz
zzizz 222z
baa 23 bab 2
024 ba
022 ba ++
0//6 a0a
02 b0b
02 z
222baz
Números ComplexosNúmeros ComplexosForma Polar ou Trigonométrica Forma Polar ou Trigonométrica
(PLANO ARGAND–GAUSS)(PLANO ARGAND–GAUSS)
R (Real) R (Real)
Im (Imaginário) Im (Imaginário)
(a, b) = a + b(a, b) = a + bii
aa
bb
Números ComplexosNúmeros ComplexosForma Polar ou Trigonométrica Forma Polar ou Trigonométrica
(PLANO ARGAND–GAUSS)(PLANO ARGAND–GAUSS)
R (Real) R (Real)
Im (Imaginário) Im (Imaginário)
afixoafixo
33
22
iz 23
Números ComplexosNúmeros ComplexosMódulo de um número complexo Módulo de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)(PLANO ARGAND–GAUSS)
R (Real) R (Real)
Im (Imaginário) Im (Imaginário)
(a, b)(a, b)
aa
bb
00
z
z
Números ComplexosNúmeros ComplexosMódulo de um número complexo Módulo de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)(PLANO ARGAND–GAUSS)
R (Real) R (Real)
Im (Imaginário) Im (Imaginário)
(a, b)(a, b)
aa
bb
00
z
z
Números ComplexosNúmeros ComplexosMódulo de um número complexo Módulo de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)(PLANO ARGAND–GAUSS)
R (Real) R (Real)
Im (Imaginário) Im (Imaginário)
(a, b)(a, b)
aa
bb
00
z
z
a
b
PitágorasPitágoras222 ba 22 ba
Números ComplexosNúmeros ComplexosArgumento de um número complexo Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)(PLANO ARGAND–GAUSS)
ReRe
ImIm
00
P(a, b)P(a, b)
aa
bb
a
b
TrignometriaTrignometria
b
sen
acos
Números ComplexosNúmeros ComplexosArgumento de um número complexo Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)(PLANO ARGAND–GAUSS)Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-Gauss o número complexo Gauss o número complexo iz 3
ImIm 1,3
3 12 10 ReRe
1
Números ComplexosNúmeros ComplexosArgumento de um número complexo Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)(PLANO ARGAND–GAUSS)Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-Gauss o número complexo Gauss o número complexo iz 3
ImIm 1,3
3 12 10 ReRe
1
2213
13 2
Números ComplexosNúmeros ComplexosArgumento de um número complexo Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)(PLANO ARGAND–GAUSS)Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-Gauss o número complexo Gauss o número complexo iz 3
ImIm 1,3
3 12 10 ReRe
1
2
2
1sen
2
3cos
Números ComplexosNúmeros ComplexosArgumento de um número complexo Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)(PLANO ARGAND–GAUSS)Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-Gauss o número complexo Gauss o número complexo iz 3
2
1sen
2
3cos
CosCos
SenoSeno
++––
++++
––––
––++
CosCos
SenoSeno
FF180º180º
Números ComplexosNúmeros ComplexosArgumento de um número complexo Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)(PLANO ARGAND–GAUSS)Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-Gauss o número complexo Gauss o número complexo iz 3
2
1sen
2
3cos
CosCos
SenoSeno
FF180º180º
º30º180 º30º180
º150
Números ComplexosNúmeros ComplexosForma Polar ou TrigonométricaForma Polar ou Trigonométrica
b
sen
acos
biaz
senb cosa seniz cos
seniz cos
Módulo de zMódulo de z
37) (UFSC) Sendo o argumento principal do número 37) (UFSC) Sendo o argumento principal do número
complexo , então o valor de , em graus, écomplexo , então o valor de , em graus, é
22 ba
22 i
a
cos5
422 2
2
2cos
b
sen
2
2sen
º45º180 º45º180
º135 5
º135
5
º27
5
49) (Vunesp) Considerando o número complexo49) (Vunesp) Considerando o número complexo
i2
1
2
3 1i
, em que , em que , encontre o número, encontre o número
complexo complexo vv cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo do cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo do argumento de .argumento de .
a
cos
2
3cos
22 ba
14
1
4
3
1
b
sen
2
1sen
º30 3v
º90v
49) (Vunesp) Considerando o número complexo49) (Vunesp) Considerando o número complexo
i2
1
2
3 1i
, em que , em que , encontre o número, encontre o número
complexo complexo vv cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo do cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo do argumento de .argumento de .
º90v seniv cos
º90º90cos2 seniv
102 iv
iv 2
Números ComplexosNúmeros ComplexosOperações com números complexos na forma trigonométricaOperações com números complexos na forma trigonométrica
21212121 cos senizzMultiplicaçãoMultiplicação
DivisãoDivisão
21212
1
2
1 cos
seniz
z
PotenciaçãoPotenciação
nseninz nn cos
58) (UCMG) O produto dos três números complexos:58) (UCMG) O produto dos três números complexos: º40º40cos21 seniz
é:é:
º135º135cos32 seniz º125º125cos13 seniz
321321321321 cos senizzz
º125º135º40º125º135º40cos132321 senizzz
º300º300cos6321 senizzz
º60º60cos6321 senizzz
2
3
2
16321 izzz
58) (UCMG) O produto dos três números complexos:58) (UCMG) O produto dos três números complexos: º40º40cos21 seniz
é:é:
º135º135cos32 seniz º125º125cos13 seniz
2
3
2
16321 izzz
2
36
2
6321
izzz
izzz 333321 BB
61) (ITA) Seja z um número complexo de módulo 1 e de 61) (ITA) Seja z um número complexo de módulo 1 e de
argumento argumento , então , então é:é:n
n
zz
1*
Zn
nisennz nn cos
nseninz n cos
11
nisennz nn cos1
nseninz n cos
nsenin
nsenin
cos
cos
22cos
cos1
nsenin
nsenin
z n
61) (ITA) Seja z um número complexo de módulo 1 e de 61) (ITA) Seja z um número complexo de módulo 1 e de
argumento argumento , então , então é:é:n
n
zz
1*
Zn
22cos
cos1
nsenin
nsenin
z n
nsenin
nsenin
z n 222cos
cos1
nsenn
nsenin22cos
cos
1
cos1 nsenin
z n nsenincos
61) (ITA) Seja z um número complexo de módulo 1 e de 61) (ITA) Seja z um número complexo de módulo 1 e de
argumento argumento , então , então é:é:n
n
zz
1*
Zn
nseninzn
cos1 nseninz n cos ee
nseninnseninz
zn
n coscos1
nz
zn
n cos21
BB
61) (Acafe) Dado , o valor de61) (Acafe) Dado , o valor deé:é:
6z
66cos2
seniz
66
66cos2
66 seniz
AA
seniz cos646
0186 z
86 z