numeriČna simulacija ohlajanja ulitka · univerza v mariboru – fakulteta za strojništvo...

Fakulteta za strojništvo

NUMERIČNA SIMULACIJA OHLAJANJA

ULITKA

Diplomsko delo

Študent: Mitja IVANČIČ

Študijski program: univerzitetni študijski program 1. stopnje – strojništvo

Smer: energetika in procesno strojništvo

Mentor: doc. dr. Jure RAVNIK

Somentor: red. prof. dr. Leopold ŠKERGET

Maribor, september 2012

Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo

- II -

Vložen original

sklepa o potrjeni

temi diplomskega

dela


- III -

I Z J A V A

Podpisani Mitja IVANČIČ izjavljam, da:

je bilo predloženo diplomsko delo opravljeno samostojno pod mentorstvom doc. dr.

Jureta RAVNIKA in somentorstvom red. prof. dr. Leopolda ŠKERGETA;

predloženo diplomsko delo v celoti ali v delih ni bilo predloženo za pridobitev

kakršnekoli izobrazbe na drugi fakulteti ali univerzi;

soglašam z javno dostopnostjo diplomskega dela v Knjižnici tehniških fakultet

Univerze v Mariboru.

Maribor, 14. 9. 2012 Podpis: ___________________________


- IV -

ZAHVALA

Zahvaljujem se mentorju doc. dr. Juretu RAVNIKU in

somentorju red. prof. dr. Leopoldu ŠKERGETU za

pomoč in vodenje pri opravljanju diplomskega dela.

Zahvaljujem se tudi podjetju Talum d. d., ki me je

tekom študija štipendiralo.

Posebna zahvala velja staršem, ki so mi omogočili

študij.


- V -

NUMERIČNA SIMULACIJA OHLAJANJA ULITKA

Ključne besede: prenos toplote, ohlajanje, turbulentni modeli, numerična simulacija.

UDK: 621.74:536.332(043.2)

POVZETEK

Diplomska naloga predstavlja numerični izračun ohlajanja ulitka. Analiza je bila narejena s

programskim paketom ANSYS CFX – 13.0. Izračunali sta se dve stanji, in sicer časovno

neodvisno ter časovno odvisno stanje. Za hladilni medij se je uporabil zrak. Namen je bil

teoretično in s pomočjo numerične simulacije izračunati potreben čas za ohlajanje ulitka.

Rezultati pokažejo, da analitični izračun poda pregrobo oceno potrebnega časa

ohlajanja ulitka. Časovno odvisna numerična simulacija pokaže, da je čas ohlajanja daljši od

izračunanega. Ugotovimo, da se volumen ulitka ohlaja enakomerno, in ne opazimo kritičnih

točk.


- VI -

NUMERICAL SIMULATION OF COOLING OF A CAST

Key words: heat transfer, cooling, turbulent models, numerical simulation.

UDK: 621.74:536.332(043.2)

ABSTRACT

The diploma thesis presents the numerical simulation of cooling of a cast. The calculation

was performed with ANSYS CFX – 13.0.The calculation was performed for two states, first

for a steady state and second for a transient state. The cooling fluid was air. The purpose of

the analysis was to determine the theoretical time for cooling of the cast and to determine the

cooling time with the help of the numerical simulation.

Results show, that the analytical calculation results are not accurate enough. The

transient numerical simulation results show, that the cooling time of the cast is longer than in

the analytical calculation. The simulation also shows that the cooling of the cast through the

volume is even and we don’t encounter any critical points.


- VII -

KAZALO

1 UVOD ................................................................................................................................. - 1 -

1.1 OPIS PODROČJA IN OPREDELITEV PROBLEMA ............................................................... - 2 -

1.2 CILJI DIPLOMSKE NALOGE ............................................................................................ - 2 -

1.3 PREDPOSTAVKE IN OMEJITVE DIPLOMSKEGA DELA ..................................................... - 3 -

1.4 METODE DELA............................................................................................................... - 3 -

2 VODILNE ENAČBE PRENOSA TOPLOTE ............................................................. - 4 -

2.1 PREVOD TOPLOTE.......................................................................................................... - 4 -

2.2 PRESTOP TOPLOTE......................................................................................................... - 7 -

2.3 PODOBNOSTNA TEORIJA PRESTOPA TOPLOTE ............................................................... - 8 -

2.3.1 Prisilna konvekcija .............................................................................................. - 8 -

2.3.2 Naravna konvekcija........................................................................................... - 10 -

3 OSNOVNE ENAČBE TOKA TEKOČIN .................................................................. - 12 -

3.1 OHRANITVENI ZAKONI ................................................................................................ - 12 -

3.1.1 Zakon ohranitve mase ....................................................................................... - 12 -

3.1.2 Zakon ohranitve gibalne količine ..................................................................... - 12 -

3.1.3 Zakon ohranitve energije .................................................................................. - 13 -

3.2 NAVIER-STOKESOVE ENAČBE..................................................................................... - 14 -

4 NUMERIČNO MODELIRANJE TOKA TEKOČIN .............................................. - 16 -

4.1 TURBULENTNI MODELI ............................................................................................... - 16 -

4.1.1 Modeli na osnovi turbulentne viskoznosti ....................................................... - 17 -

4.1.2 Turbulentni model k + ε .................................................................................... - 18 -

4.1.3 Wilcoxov k - ω model ....................................................................................... - 19 -

4.1.4 SST model ......................................................................................................... - 20 -

5 NUMERIČNA SIMULACIJA OHLAJANJA ULITKA.......................................... - 22 -

5.1 PROGRAMSKA OPREMA ............................................................................................... - 22 -

5.2 ANALITIČNI IZRAČUN.................................................................................................. - 22 -

5.3 NUMERIČNI IZRAČUN STACIONARNEGA STANJA ........................................................ - 24 -

5.3.1 Izdelava modela................................................................................................. - 24 -

5.3.2 Računsko območje in robni pogoji .................................................................. - 25 -


- VIII -

5.3.3 Računska mreža................................................................................................. - 28 -

5.4 ČASOVNO ODVISNA SIMULACIJA ................................................................................ - 31 -

5.4.1 Računska mreža................................................................................................. - 32 -

5.4.2 Računsko območje in robni pogoji .................................................................. - 33 -

6 ANALIZA REZULTATOV .......................................................................................... - 34 -

6.1 REZULTATI ANALITIČNEGA IZRAČUNA....................................................................... - 34 -

6.2 REZULTATI RAČUNALNIŠKE DINAMIKE TEKOČIN ....................................................... - 34 -

6.2.1 Stacionarno stanje ............................................................................................. - 37 -

6.2.2 Rezultati časovno odvisne simulacije .............................................................. - 43 -

7 SKLEP .............................................................................................................................. - 50 -

8 LITERATURA................................................................................................................ - 51 -


- IX -

GRŠKE ČRKE

p – gostota

λ – toplotna prevodnost

δ – debelina stene

α – toplotna prestopnost, faza ena

ν – kinematična viskoznost,

ε – emisivnost

ζ – Stefan-Boltzmannova konstanta

αs – sevalna prestopnost

β – faza dve

γ – izvor

γA – površinski izvor

γV – volumski izvor

Гi – rob končnega volumna

δij – Kroneckerjeva delta funkcija

εij – časovno povprečen tenzor napetosti

νT – turbulentna kinematična viskoznost

ψ – koeficient specifične energije

ζij – napetostni tenzor

ηij – r viskoznih napetosti

ηijV – časovno povprečna vrednost viskoznih napetosti

ηijT – časovno povprečna vrednost Reynoldsovih turbulentnih napetosti

ω – turbulentna frekvenca

Ωi – notranjost končnega volumna

LATINSKE ČRKE

T – temperatura

t – čas

n – enotski vektor

Q – toplota

q – toplotni tok

c – specifična toplota

I – toplotni izvori, ponori


- X -

a – toplotna difuzivnost/absorbativnost, spremenljivka

v – hitrost

p – tlak

A – površina

E – gostota izsevanega toka

A – časovno povprečna vrednost veličine A

A– oscilirajoča vrednost veličine A

Ak – kontrolna površina

KRITERIALNA ŠTEVILA

Re – Reynoldsovo število

Ra – Rayleighovo število

Pe – Pecletovo število

Nu – Nusseltovo število

Gr – Grasshoffovo število

Bi – Biotovo število

OPERATORJI

2 – Laplacov operator

D/Dt – Stokesov snovski odvod

UPORABLJENE KRATICE

CFD – računalniška dinamika tekočin

MKE – metoda končnih elementov

MKV – metoda končnih volumnov

SST – prenos strižnih napetosti (Shear Stress Transport)

CAD – Computer Aided Design

CAM – Computer Aided Manufacturing

CAE – Computer Aided Engeneering


- - 1 - -

Poglavje 1

1 UVOD

Smo v času, ko podjetja s svojimi štipendisti želijo sodelovati že tekom študija. Cilj podjetij

je, da štipendisti delovno okolje in zaposlene spoznajo že pred koncem študijske poti. Sam

sem prejemal štipendijo podjetja Talum d. d. V okviru podjetja znotraj skupine Talum, Talum

Ulitki d. o. o., mi je bila dodeljena naloga raziskave in svetovanja pri izdelavi hladilnega

tunela za ohlajanje ulitkov.

Začetki tovarne aluminija Talum segajo v leto 1942. Takrat je nemški trust

VEREINIGTE ALUMINIUM WERKE na območju Strnišča (sedaj Kidričevo) začel graditi

tovarno glinice. Tovarno so pred koncem druge svetovne vojne zapustili nemški strokovnjaki

in s seboj odnesli večino tehnične opreme in dokumentacije ter opremo tovarne preselili v

Nemčijo. Leta 1947 je zvezno ministrstvo za gospodarstvo ustanovilo Tovarno glinice in

aluminija Strnišče. Leta 1953 se je tovarna preimenovala v Tovarno glinice in aluminija Boris

Kidrič Kidričevo.

Uradno je začela tovarna obratovati leta 1954. Takrat so proizvedli prve kilograme

aluminija v elektrolizi. Tovarna je bila takrat tehnološko zaostala in je precej vplivala na

onesnaženost okolja. Leta 1985 so pričeli s tehnološko in ekološko sanacijo tovarne ter z

gradnjo nove elektrolize s sodobno tehnologijo pridelave aluminija. Med leti 2001 in 2003 so

izvedli projekt modernizacije proizvodnje primarnega aluminija s ciljem povečanja

proizvodnje primarnega aluminija iz 75.000 ton na 117.000 ton letno in s povečanjem celotne

proizvodnje izdelkov aluminija iz 10.000 ton na 155.000 ton na leto. Hkrati so znižali

proizvodne stroške in zmanjšali onesnaževanje. V letu 2001 je podjetje pričelo z izgradnjo

nove elektrolize (interno imenovane Elektroliza C), ki bi naj dvignila proizvodnjo primarnega

aluminija do leta 2003 na 155.000 ton. Februarja 2002 so elektrolizo poizkusno zagnali, v

celoti pa je elektroliza delovala aprila 2002. Tehnologijo in opremo je družba Talum kupila,

montažo pa so opravili z lastnim znanjem in delovno močjo.

V letu 2002 se je Talum po produktivnosti in kadrovski zasedbi že lahko primerjal z

večjimi družbami iz tujine. V podjetju Talum je bilo zaposlenih 945 ljudi, v hčerinskih

podjetjih pa še dodatnih 250.


- - 2 - -

V letu 2011 je bilo podjetje Talum reorganizirano. Znotraj skupine Talum so

organizirane službe in delovne enote povezali v odvisne družbe. Tako sedaj skupino Talum

sestavlja 13 odvisnih družb in 8 služb.

Ena izmed odvisnih družb je podjetje Talum Ulitki d. o. o. Podjetje proizvaja ulitke v

moderni livarni s sodobno tehnološko opremo. Podjetje je specializirano za gravitacijsko

kokilno in nizkotlačno litje. Podjetje posveča veliko pozornost lastnemu razvoju. Pri svojem

delu za modeliranje ulitkov uporabljajo program CATIA, za simulacijo litja pa program

ProCast. Podjetje za izdelavo ulitkov uporablja primarni aluminij, ki ga v lastnih pečeh

pripravi in obdela. Pripravo taline izvedejo z naplinjevanjem s pomočjo impelerja in z

modificiranjem s stroncijem (Sr) ter titanom – borom (TiB). Izdelujejo lahko ulitke z jedri ali

brez njih, težke do 30 kilogramov. Po končanem litju podjetje izvede tudi čiščenje ulitkov

(odstranjevanje peščenih jeder, odstranjevanje nalitkov in srhov, strojno brušenje, peskanje).

Če ulitek zahteva določene mehanske lastnosti, izvedejo tudi termično obdelavo. Večina

procesov poteka avtomatizirano v sodobnih obdelovalnih centrih.

1.1 Opis področja in opredelitev problema

Diplomsko delo obravnava numerično simulacijo ohlajanja. V podjetju Talum Ulitki d. d. teče

proizvodnja ohišja črpalk za uporabo v avtomobilski industriji. Ker podjetje stremi k

zagotavljanju vitke proizvodnje, želijo izdelati hladilni kanal za ohlajanje ulitkov. Z

diplomskim delom bomo pomagali, da bo podjetje lažje prišlo do pravilne odločitve za

izvedbo hladilnega kanala.

Diplomsko delo bo obravnavalo numerično simulacijo ohlajanja s hladilnim medijem –

zrak. Uporabili bomo več gostot mrež in opazovali hitrost ohlajanja ulitka, računali prestop

toplote s stene na medij in po prerezih opazovali temperaturno porazdelitev za odkrivanje

kritičnih točk.

1.2 Cilji diplomske naloge

Pri proizvodnji ulitkov se srečujemo s težavo, da se po končanem litju izdelek dolgo časa

ohlaja. Namen je ulitek ohladiti na temperaturo, primerno za končno obdelavo, in to v čim

krajšem času. Ohlajanje poteka iz T1 = 380 °C na T2 = 30 °C, končati pa se mora v tmax = 60

min. Namen je z numerično simulacijo ugotoviti, kako dolgo se ulitek ohlaja, in tako

pomagati podjetju, da izbere pravilne vrednosti masnega pretoka zraka.


- - 3 - -

1.3 Predpostavke in omejitve diplomskega dela

V diplomskem delu se bomo omejili le na del hladilnega kanala. Ker nam ni dovoljeno

uporabiti originalni 3d model ulitka, bomo morali izdelati svojega, ki ga bomo nekoliko

poenostavili. Mere ulitka bodo v grobem ostale iste, nekateri detajli bodo izpuščeni.

Predpostavili bomo, da ti izpuščeni detajli v veliki meri ne vplivajo na potek ohlajanja. Za

material bomo predpisali lastnosti aluminija, čeprav se v realnosti uporablja zlitina aluminija.

Omejiti se bomo morali samo na določen časovni interval in dokazati, da se znotraj tega

intervala ulitek dovolj ohladi, da bomo lahko sklepali, da celoten potek ohlajanja ne preseže

maksimalno zastavljenega časa.

1.4 Metode dela

Uporabljene metode dela, s katerimi bomo prišli do ciljev in rezultatov v diplomskem delu,

bodo temeljile na raziskavi dela hladilnega kanala. Numerične in analitične metode bodo

ključne raziskovalne metode. Numerične metode bomo izvedli s programskim paketom Ansys

CFX. Izračune bomo izvedli z razpoložljivo strojno opremo.


- - 4 - -

Poglavje 2

2 VODILNE ENAČBE PRENOSA TOPLOTE

2.1 Prevod toplote

Prevod toplote [5], [6] poteka le, če se temperatura v telesu spreminja od točke do točke.

Pojav je pogojen s krajevnim in/ali časovnim spreminjanjem temperature. Določiti moramo

skalarno, časovno odvisno temperaturno polje

( , , , ),T T x y z t (2.1)

ki pomeni neustaljeno temperaturno porazdelitev. Če je temperatura krajevno odvisna,

govorimo o ustaljenem (stacionarnem) temperaturnem polju

( , , ), 0.T

T T x y zt

(2.2)

Če v kartezičnem koordinatnem sistemu zanemarimo spreminjanje temperature v eni smeri

(npr. v smeri osi z)

( , ), 0,T

T T x yz

(2.3)

govorimo o ravninskem (dvodimenzionalnem) temperaturnem polju. Obravnavamo lahko tudi

enodimenzionalno temperaturno polje

( ), 0.T T

T T xy z

(2.4)

V telesu lahko povežemo med seboj točke, ki imajo isto temperaturo. Tako dobimo množico

izotermnih ploskev.

Največja sprememba temperature na enoto dolžine se dogaja pravokotno na izotermno

ploskev. To spremembo imenujemo gradient temperature, ki je vektor, normalen na izotermno

ploskev in pozitiven v smeri porasta temperature. Gradient temperature je enak odvodu

temperature po normali na izotermni ploskvi

, , .T T T

gradT Tx y z

(2.5)


- - 5 - -

Vzdolž izotermnih ploskev ni toplotnega toka. To lahko dokažemo tako, da pomnožimo

temperaturni gradient z vektorjem pomika vzdolž izotermne ploskve

.T T T

T dr dx dy dz dTx y z

(2.6)

Vektorja T in dr morata biti med seboj ortogonalna, ker vzdolž izoterme ni prirastka

temperature.

Fourirjev1 zakon pravi, da je toplotni tok dQ skozi element izotermne površine dA

sorazmeren s temperaturnim gradientom

.T

dQ q dA dAn

(2.7)

Faktor λ je toplotna prevodnost. Negativen predznak je potreben, da je toplotni tok v smeri

negativnega temperaturnega gradienta (padanje temperature) pozitiven. Iz enačbe (2.7) sledi,

da je gostota toplotnega toka

q T (2.8)

vektor, ki je normalen na izotermno ploskev in ima komponente

, , (i=1, 2, 3)x y z

i

Tq q q q

x

(2.9)

q in T ležita na isti premici, a kažeta v nasprotni smeri.

Toplotna prevodnost je fizikalna lastnost snovi in je funkcija tlaka, temperature in vrste snovi.

Vrednosti toplotne prevodnosti se določajo eksperimentalno iz relacije

.q

T

(2.10)

Enačbo prevajanja toplote dobimo tako, da zapišemo zakon ohranitve energije v poljubnem

telesu prostornine V, ki je omejena s površino A

.V A V

Tc dV q dA IdV

t

(2.11)

1 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), francoski matematik in fizik.


- - 6 - -

Sprememba notranje energije je posledica časovnega spreminjanja temperature. I so notranji

ponori ali izvori v telesu dQ/dV.

Enačbo (2.12) transformiramo z Gaussovim2 divergenčnim stavkom v volumskega, tako da

dobimo

.V V V

Tc dV qdV IdV

t

(2.12)

Enačbo združimo

( ) 0.V

Tc q I dV

t

(2.13)

Enačba sedaj predstavlja integralsko obliko zakona o ohranitvi energije telesa. Za poljuben dV

je enačba enaka 0, zato mora biti tudi integrand enak 0

.T

c q It

(2.14)

Sedaj izrazimo toplotni tok s Fourirjevim zakonom prevajanja toplote (2.8) in izpeljemo

diferencialno obliko zakona ohranitve energije

.T

c T It

(2.15)

Če je toplotna prevodnost konstantna, postane enačba (2.15) linearna

2 ,T I

a Tt c

(2.16)

kjer a = λ/cρ predstavlja toplotno difuzivnost (hitrost širjenja temperaturnih sprememb v

telesu). Laplaceov3 operator v kartezičnem koordinatnem sistemu je podan z

2 22

2 2 2.

x y z

(2.17)

Ugotovimo, da je toplotni tok skozi snov premo sorazmeren z razliko temperatur (T1 – T1) in

ploščino A ter obratno sorazmeren z debelino ravne stene δ

2 Carl Friedrich Gauss (1777–1855), nemški matematik in fizik.

3Pierre-Simon, marquis de Laplace (1749–1827), francoski matematik in astronom.


- - 7 - -

1 2 .Q

q T T At

(2.18)

Slika 2.1: Enodimenzionalni prevod toplote skozi (a) ravno ploščo z (b) α = konst. in (c)

linearno zvezo α(T) [6].

2.2 Prestop toplote

Za uspešen prenos toplote iz trdne stene na fluid se mora fluid gibati relativno glede na

površino stene. Gibanje fluida lahko žene razlika v gostoti, ki je posledica temperaturnih

razlik med površino in fluidom. To gibanje imenujemo naravna konvekcija. Če gibanje

povzroča črpalka, ventilator ipd., imamo opravka s prisilno konvekcijo.

Toplotni tok med trdno površino, ki ima temperaturo Ts, in fluidom, ki ima temperaturo

Tf, podamo z Newtonovim4 zakonom prestopa toplote

.s fq A T T (2.19)

Faktor α je toplotna prestopnost. Toplotno prestopnost lahko analitično določimo samo pri

zelo enostavnih primerih. V splošnem pa jo določimo iz eksperimentalnih obrazcev. Za

določanje toplotnega toka pri naravni in prisilni konvekciji si pomagamo s podobnostno

teorijo prestopa toplote.

4 Sir Isaac Newton (1642–1727), angleški fizik, matematik, astronom, kemik in teolog.


- - 8 - -

Slika 2.2: Prehod toplote skozi ravno ploščo [6].

2.3 Podobnostna teorija prestopa toplote

Prestop toplote je odvisen od temperature, tlaka in hitrosti plina, pare ali tekočine, ki oddaja

toploto trdni steni ali jo od nje prejema. Nadalje je toplotna prestopnost odvisna od oblike in

kakovosti površine stene.

Kljub zelo obširnemu raziskovalnemu delu je toplotna prestopnost v splošnem tudi še

zdaj čisto izkustvena vrednost, ki se da izračunati samo v nekaterih primerih. Nusselt 5 je v

letih med 1910–1915 objavil teorijo podobnosti prestopa toplote dveh modelnih preizkusov,

pri čemer je razlikoval prisilno in naravno konvekcijo.

2.3.1 Prisilna konvekcija

Za izračun toplotnega toka pri prisilni konvekciji moramo zadostiti nekaterim kriterijem. Te

kriterije lahko izpeljemo iz gibalne, kontinuitetne in energijske enačbe.

2 2 2

2 2 2

1x x x x x xx y z

v v v v v vpv v v v

x y z x x y z

(2.20)

0yx z

vv v

x y z

(2.21)

5 Ernst Kraft Wilhelm Nusselt (1882–1957), nemški inženir.


- - 9 - -

2 2 2

2 2 2x y z

T T T T T Tv v v a

x x x x y z

(2.22)

Iz zgoraj navednih enačb dobimo osnovne brezdimenzijske enačbe podobnostne teorije

Re Reynoldsovo število,vL

(2.23)

Pe Pecletovo število,vL

a 6 (2.24)

Nu Nusseltovo število.L

(2.25)

Kot dodatna kriterialna števila so se uveljavile tudi kombinacije zgoraj navedenih števil

PePr Prandtlovo število,

Re a

7 (2.26)

NuSt Stantonovo število.

Pe pv c

8 (2.27)

Karakteristična dolžina: L

Hitrost: v

Gostota: ρ

Viskoznost: ν

Temperatura: T

Difuzivnost: a

Prestopnost: α

Prevodnost: λ

6 Jean Claude Eugene Peclet (1793–1857), francoski fizik.

7 Ludwig Prandtl (1871–1953), nemški znanstvenik.

8 Thomas Edward Stanton (1865–1931), angleški inženir.


- - 10 - -

Slika 2.3: Prikaz pojava prisilne konvekcije [7].

2.3.2 Naravna konvekcija

V mnogih praktičnih problemih lahko vzgonske sile upoštevamo v Navier-Stokesovih

enačbah z Boussinesqovo aproksimacijo (kadar so padci tlaka in hitrosti manjši). Osnova te

aproksimacije je, da spremembo gostote zanemarimo pri vztrajnostnem členu, pri viskoznem

členu pa upoštevamo spremenljivost gostote le v členu volumskih sil. Temperaturno odvisnost

gostote podamo z obrazcem

0 01 ,T T (2.28)

kjer z β označimo volumski razteznostni koeficient. Z uporabo Navier-Stokesove enačbe

pridemo do kriterialnih števil za naravno konvekcijo

3

2Gr Grashofovo število,

g TL

9 (2.29)

Ra = Gr Pr Rayleighevo število. 10 (2.30)

9 Franz Grashof (1826–1893), nemški inženir.

10 John Strutt, 3. Baron Rayleigh (1842–1919), angleški fizik.


- - 11 - -

Slika 2.4: Prikaz pojava naravne konvekcije [7].


- - 12 - -

Poglavje 3

3 OSNOVNE ENAČBE TOKA TEKOČIN

Numerična simulacija nam bo pomagala določiti posamezne parametre ohlajanja in toka

tekočin. Na tržišču je prisotnih več proizvajalcev programske opreme, ki so specializirani za

računalniško dinamiko tekočin (CFD – Computational Fluid Dynamics). Uporabili smo

programsko opremo proizvajalca Ansys.

Zaradi enostavne diskretizacije računskega območja in splošnega tridimenzionalnega

pristopa se za popis tokov v računskem območju najpogosteje uporabljata metoda končnih

elementov (MKE) in metoda končnih volumnov (MKV). Vodilne enačbe, ki jih rešujejo CFD

programi, izhajajo iz zakonov o ohranitvi mase gibalne količine in energije [3], [8].

3.1 Ohranitveni zakoni

3.1.1 Zakon ohranitve mase

Iz zakona sledi, da je nestisljiva tekočina (ρ = konst.) definirana z enačbo volumskega pretoka

0.

kA

v dA (3.1)

Enačba velja za stacionarne in nestacionarne računske primere, pri čemer je Ak kontrolna

površina, vektor hitrosti in površina. V osnovni obliki aproksimacije dotoka in iztoka

je volumski tok podan z izrazom , enačbo pa lahko zapišemo kot

( ) ( ) .iI iD

i i

vA vA (3.2)

Enačbo za ohranitev mase lahko zapišemo tudi v diferencialni obliki. Tok lahko v

stacionarnih in nestacionarnih z nestisljivo tekočino zapišemo kot

( ) 0.v (3.3)

3.1.2 Zakon ohranitve gibalne količine

Osnova izpeljave diferencialne oblike zakona ohranitve gibalne tekočine za tekočinski sistem

je snovska oblika diferencialne enačbe ohranitve

v dA

V vA


- - 13 - -

,j

j

Df f fv

Dt t x

(3.4)

ki jo zapišemo za gibalno količino f v

,V A

Dv

Dt (3.5)

kjer so volumske sile, npr. gravitacija

.V mf g (3.6)

Površinske sile podamo s tenzorjem

.

xx yx zx

A xy yy zy ji

xz yz zz

(3.7)

S pomočjo enačb z volumskimi (3.6) in površinskimi (3.7) silami lahko sedaj zapišemo

enačbo (3.5) v vektorski obliki

( ) .m

Dv vv v f p

Dt t

(3.8)

Enačba nam sedaj podaja zakon ohranitve gibalne količine.

3.1.3 Zakon ohranitve energije

Prvi zakon termodinamike za zaprti – masni sistem pravi, da je razlika med dovedeno toploto

Q12 in dobljeno ter dobljenim delom W12 enaka razliki notranje energije končnega (2) in

začetnega (1) stanja sistema. Razlika ni odvisna od vrste preobrazbe, ampak samo od

končnega in začetnega stanja sistema

12 12 2 1.Q W E E (3.9)

»S pomočjo Reynoldsovega11 prenosnega teorema zapišemo

11 Osborne Reynolds (1842–1912), angleški fizik.


- - 14 - -

( ).

Vm Vk AkVm

DE D ee dV Q W dV e v dA

Dt Dt t

(3.10)

Enačba predstavlja zakon ohranitve energije za mirujoči kontrolni volumen.« Škerget

Leopold. Mehanika tekočin: univerzitetni učbenik. Maribor: Tehniška fakulteta, 1994.

3.2 Navier-Stokesove enačbe

S pomočjo splošne gibalne enačbe (3.8) in zakona tečenja nestisljive viskozne tekočine

2ij ij ij ij ijp p (3.11)

izpeljemo Navier12-Stokesovo13 enačbo gibanja newtonske viskozne nestisljive tekočine v

komponentni obliki

2 ,

2 ,

yx x x xzmx

y y y yzmy

z

vDv v v vvpf

Dt x x x y y x z x z

Dv v v vvp vxf

Dt y y y z z y x y x

Dv

Dt

2 .yxz z z

mz

vvv v vpf

z z z x x z y z y

(3.12)

Zgornja enačba tvori s kontinuitetno enačbo

( ) 0v (3.13)

sklenjen nelinearen sistem enačb z dvema neznankama ( v , p).

Navier-Stokesove enačbe si predstavljamo kot celotni nelinearni sistem parcialno

diferencialnih enačb osnovnih zakonov ohranitve mase in gibalne količine Newtonske

viskozne tekočine. Izpeljava Navier-Stokesovih enačb za zakon o ohranitvi mase pri toku

nestisljive tekočine je podana z naslednjo enačbo

0.i

i

v

x

(3.14)

12 Claude-Louis Navier (1785–1836), francoski inženir in fizik.

13 Sir George Stokes (1819–1903), irski matematik in fizik.


- - 15 - -

Uporabimo zakon o ohranitvi gibalne količine za nestisljivo tekočino s konstantno gostoto ρ0

in kinematično viskoznostjo v0. Tako dobimo Navier-Stokesove enačbe

2

0

0

1.

ji i imi

j i j j

v vDv v vpf v

Dt t x x x x

(3.15)


- - 16 - -

Poglavje 4

4 NUMERIČNO MODELIRANJE TOKA TEKOČIN

4.1 Turbulentni modeli

Ločimo laminaren in turbulenten tok tekočin. Pri izračunih s turbulentnim tokom si

pomagamo z Reynoldsovimi enačbami [3], [8], [9]. Za turbulenten tok veljajo tudi Navier-

Stokesove enačbe. Pri reševanju problematike turbulentnega toka se moramo velikokrat

zadovoljiti z rešitvami, ki smo jih dobili za časovno povprečne vrednosti tekočin.

Matematično opišemo turbulentni tok tako, da vsako veličino toka predstavimo kot vsoto

njene povprečne vrednosti in odmike od te povprečne vrednosti

.A A A (4.1)

Vrednost A predstavlja oscilirajoča vrednost veličine A . A je časovno povprečna vrednost in

jo zapišemo z integralom

0

0

1, .

t t

tA A r t dt

t

(4.2)

Če opazujemo časovno skalo turbulentnih oscilacij, opazimo, da je časovni korak velik. Če pa

ga primerjamo s časovno skalo globalnih sprememb v toku, pa opazimo, da je majhen.

Oscilirajoči del popišemo s sistemom Navier-Stokesovih enačb

2

0

0

0,

1.

i

i

j i i ji i imi

t j i j j j

v

x

v v v vDv v vpf v

D t x x x x x

(4.3)

Zgoraj zapisane enačbe so Reynoldsove enačbe turbulentnega toka Newtonske nestisljive

tekočine za povprečne vrednosti veličin toka. Opazimo, da se zadnja enačba od Navier-

Stokesovih enačb razlikuje za en člen. Ta člen se imenuje člen Reynoldsovih (turbulentnih)

napetosti in ga označimo z ijT . Definiramo ga z

0 .ijT i jv v (4.4)


- - 17 - -

Napetostni tenzor ij oziroma

ij je sestavljen iz vsote viskoznih napetosti ijV , časovno

povprečne količine toka in Reynoldsovih turbulentnih napetosti ijT

, .ij ij ijV ijT ij ijV ijTp (4.5)

Isti tenzor napetosti lahko podamo tudi kot

0 02 ,ij ij ij i jp v v (4.6)

kjer tenzor časovno povprečne deformacijske hitrosti definiramo z

1.

2

jiij

j i

vv

x x

(4.7)

V Reynoldsovih enačbah turbulentnega toka tekočine najdemo osnovne veličine tokovnega

polja , , ,x y zv v v p , , , , , , .x y x z y z x x y y z zv v v v v v v v v v v v do nove neznanke. V nadaljevanju bodo

predstavljeni turbulentni modeli, ki vsebujejo empirične konstante, ki so odvisne od

tokovnega problema.

4.1.1 Modeli na osnovi turbulentne viskoznosti

Z Boussinesquevo14 aproksimacijo bomo zapisali turbulentne napetosti

0 0

2.

3

jii j T ij

j i

vvv v v k

x x

(4.8)

Povprečno turbulentno kinetično energijo fluktuacij zapišemo s

1,

2i jk v v (4.9)

turbulentno kinematično viskoznost pa z

.TT

(4.10)

V enačbi (4.8) se zadnji člen obnaša kot tlak. Ta člen dodamo k statičnemu tlaku. Če

upoštevamo enačbi (4.3) in (4.8), lahko zapišemo sistem Reynoldsovih enačb

14 Joseph Valentin Boussinesq (1842–1929), francoski matematik in fizik.


- - 18 - -

0,iv

x

(4.11)

0

1.

j i ji i imi e

j i j j i

v v vDv v vPf v

Dt t x x x x x

(4.12)

Modificiran tlak je v zgornji enačbi izražen z vsoto

0

2.

3P p k (4.13)

Dejanska viskoznost je izražena kot vsota kinematične in turbulentne viskoznosti.

0e T (4.14)

Model se uporablja le, kadar je turbulenca izotropna, ker je turbulenca podana s skalarno

veličino ηT. Če obravnavamo primer, kjer je turbulenca anizotropna, ta model ni primeren.

4.1.2 Turbulentni model k + ε

Najbolj razširjen model, ki uporablja dve enačbi, je k-ε model. Veličina k je definirana kot

turbulentna kinetična energija, veličina ε pa je definirana kot disipacijska hitrost turbulentne

kinetične energije. Ta model uporabljamo pri tokovih, kjer je turbulenca že polno razvita in se

tokovi ne nahajajo v neposredni bližini sten. Podajmo karakteristično hitrost

ˆ ,v k (4.15)

karakteristično dolžino pa definirajmo z

3

2

.k

L C

(4.16)

Za turbulentno viskoznost uporabimo izraz

2

.T

kC

(4.17)

Disipacijsko hitrost turbulentne kinetične energije zapišemo z izrazom

0 .i i

j j

v vv

x x

(4.18)


- - 19 - -

Z dodatnimi parcialnimi diferencialnimi enačbami izrazimo turbulentno kinetično energijo kot

0 .Ti k

i i k i

k k kv v P P

t x x x

(4.19)

Disipacijsko hitrost turbulentne kinetične energije izrazimo na podoben način

2

0 1 2 1 .Ti

i i i

kv v C P C C P

t x x x k k k

(4.20)

S spodnjim izrazom bomo definirali izvor turbulentne kinetične energije

ji iT

j i j

vv vP

x x x

(4.21)

in izrazili še vpliv vzgonskih sil

.i

t

i

vPk g

p r

(4.22)

Pri k-ε modelu se uporabljajo naslednje konstante:

Cμ = 0.09,

ζk = 1.0,

ζε = 1.3,

ζp = 1.0,

C1ε = 1.44,

C2ε = 1.92,

Pε = ,

C3 = 1.

4.1.3 Wilcoxov k - ω model

Wilcoxov k-ω model je dvoenačben model, ki omogoča natančnejšo analizo toka v bližini

gladkih sten. Veličina k predstavlja turbulentno kinetično energijo in jo izrazimo z

0 * .Tk

i i k i

vk k kv v P k P

t x x x

(4.23)

Turbulentno frekvenco ω zapišemo z enačbo

3 max(0, )KC P


- - 20 - -

2

0 .Ti

i i i

vv v P P

t x x x k

(4.24)

Pω iz zgornje enačbe definiramo kot dodaten vzgonski izraz

31 max ,0 .k kP a C P Pk

(4.25)

Pri k-ω se uporabljajo naslednje konstante:

β* = 0.09,

α = 5/9,

β = 3/40,

ζk = 2,

ζω = 2,

C3 = 1.

4.1.4 SST model

Wilcoxov k-ω model je izredno občutljiv na vstopne pogoje ω. Model SST zato ohranja

prednosti obeh dvoenačbenih modelov k-ω in k-ε. Pri SST modelu je člen F1 definiran tako,

da model k-ε opiše tok zunaj mejne plasti, ko se približamo steni, pa preide na k-ω model. S

prenosno enačbo zapišemo turbulentno kinetično energijo

0

3

* ,Ti k

i i k i

vk k k kv v P k P

t x x x t

(4.26)

turbulentno frekvenco pa zapišemo na podoben način

2

0 1 3 3

3 2

11 2 .T

i

i i i i j

v kv v F P P

t x x x x x k

(4.27)

Opisan model ne upošteva prenosa strižnih napetosti, zato je njegova napoved odlepljanja

toka na gladkih površinah nenatančna. SST model se od prejšnjega razlikuje v tem, da znotraj

mejne plasti ob steni doda omejitev za turbulentno viskoznost in tako upošteva prenos

turbulentnih strižnih napetosti. SST model je primeren tako za odlepljanje toka kot tudi za

tokove, kjer je turbulenca popolnoma razvita. Turbulentno kinematično viskoznost nam poda

naslednji izraz


- - 21 - -

1

1 2

.max ,

T

a k

a SF

(4.28)

Obravnavanemu turbulentnemu modelu pripadajo še naslednje neznanke:

3 1 1 1 2

3 1 1 1 2

3 1 1 1 2

4

1 1

1 2 2

2

10

2

2

2 2

2 2

1

1

1

tanh arg

500 4arg min max , ,

*

1max 2 ,1.0 10

tanh arg

2 500arg max , .

*

k k k

k

k

j j

F F

F F

F F

F

k v k

y y CD y

kCD

x x

F

k v

y y

Konstante SST modela so:

β* = 0.09,

α1 = 5/9,

β1 = 3/40,

ζk1 = 2,

ζω1 = 2,

α2 = 0.44,

β2 = 0.0828,

ζk2 = 1,

ζω2 = 0.856.

Opisani model smo uporabili pri obeh numeričnih simulacijah.


- - 22 - -

Poglavje 5

5 NUMERIČNA SIMULACIJA OHLAJANJA ULITKA

5.1 Programska oprema

Za izdelavo modela ulitka in komore smo uporabili programski paket, ki ga ponuja podjetje

Dassault Systemes, CATIA V5R19. Programski paket CATIA je eden izmed vodilnih

programskih paketov za računalniško oblikovanje, načrtovanje in proizvodnjo

CAD/CAM/CAE.

Pri numerični simulaciji smo si pomagali s programsko opremo ANSYS 13.0. ANSYS CFX

je visoko zmogljivo programsko orodje za simulacijo toka fluidov. Odlikujejo ga splošnost,

robustnost in enostavna uporaba preko modernega in prilagodljivega uporabniškega

vmesnika. Na voljo ima vrsto fizikalnih modelov, s katerimi lahko simuliramo skoraj vse

hidrodinamske probleme:

turbulentne tokove,

tokove v turbinskih strojih, večfazne tokove,

prenos toplote in sevanje,

procese zgorevanja, interakcijo fluida in trdne snovi (FSI),

sprotno prilagajanje računske mreže (remeshing, immersed solids).

Glavne komponente programskega paketa so predprocesor (cfxpre), solver (cfxsolve) in

postprocesor (cfxpost). Vse komponente lahko izvajamo skriptno oz. iz ukazne vrstice ali pa

interaktivno z grafičnim vmesnikom. Vse operacije je možno posneti in avtomatizirati.

Geometrijo toka in računsko mrežo je potrebno izdelati v drugih programih, na primer v

ANSYS DesignModeler in Meshing aplikaciji, ICEM CFD, TGrid ipd.

5.2 Analitični izračun

Osnovne veličine za izračun smo pridobili s pomočjo programskega paketa CATIA, preostale

podatke pa smo prepisali iz Strojniškega priročnika [2]. Izračun bomo opravili za en medij

ohlajanja, to je zrak. Zanima nas, v kolikšnem času bi se teoretično moral ohladiti ulitek na

končno temperaturo.


- - 23 - -

V Strojniškem priročniku smo poiskali toplotne lastnosti aluminija. Izpisali smo gostoto

ρ = 2700 [kg/m3], specifično toploto cp = 896 [J/kgK] in toplotno prevodnost λ = 229 [W/mK].

Oceno razmerja med toplotno upornostjo za prevod in prestop bomo podali s pomočjo

Biotovega15 kriterialnega števila

.L

Bi

(5.1)

Faktor L imenujemo karakteristična dolžina in jo podamo kot razmerje med prostornino in

površino ulitka

.V

LA

(5.2)

Sedaj združimo obe enačbi, da dobimo končno formulo za izračun Biotovega števila

.V

BiA

(5.3)

Sedaj smo prišli do faze, kjer moramo za nadaljevanje izračuna sprejeti kompromis.

Predpostaviti moramo, da je Biotovo število manjše od 1 (Bi << 1). Ob tej predpostavki lahko

zapišemo enačbo za prenos toplote

.p

dTc V A T T

dt (5.4)

Enačbo prenosa toplote bomo sedaj integrirali po temperaturi in času. Spremenljivke

preuredimo na levo in desno stran ter integriramo

0 0,

T t

Tp

dT Adt

T T c V

(5.5)

kjer smo zanemarili temperaturno odvisnost snovnih lastnosti in jih postavili pred integral.

Sedaj izračunamo integrala

0

lnp

T T At

T T c V

(5.6)

ter izrazimo čas

15 Jean-Baptiste Biot (1774–1862), francoski fizik in matematik.


- - 24 - -

0ln .pc L T T

tT T

(5.7)

Ker nam manjka podatek za temperaturno prestopnost α, bomo izračun lahko opravili komaj

po zagonu stacionarnega izračuna. Rezultate bom predstavil v poglavju 6.

5.3 Numerični izračun stacionarnega stanja

5.3.1 Izdelava modela

Model ulitka smo dobili od tehnologov, zaposlenih v Talum Ulitki d. o. o. Ker je podjetje

podpisalo pogodbo o varovanju podatkov, nam ni bilo dovoljeno, da bi model ulitka uporabili

za izvajanje numeričnih simulacij, zato smo se odločili, da izdelamo svoj model s pomočjo

programskega paketa CATIA.

Slika 5.1: Originalni model ulitka.

Za izdelavo modela smo uporabili ohlajeno ohišje iz poizkusnega litja. Model smo premerili s

pomočjo pomičnega merila in ga v tridimenzionalnem pogledu sproti izrisovali v razmerju

1:1. Model ulitka smo v primerjavi z originalnim poenostavili, zmanjšali smo število

zaobljenih delov, nekatere manjše detajle pa smo izpustili. Ti detajli ne prispevajo bistveno k

poteku ohlajanja, a bi zahtevali gostejšo računsko mrežo in s tem daljši računski čas.

Model smo poenostavili tudi zato, ker bi se lahko zaradi komplicirane geometrije in

velikega števila zaobljenih robov pojavile težave pri izdelavi računske mreže v programskem

paketu ANSYS.


- - 25 - -

Slika 5.2: Poenostavljen model ulitka.

Ko smo dokončali ulitek, smo se morali odločiti še za obliko kanala. Izbirali smo med

cevno izvedbo kanala in med izvedbo kanala kot kvadra. Odločili smo se za izvedbo v obliki

kvadra z istimi merami stranic, in sicer d x š x v = 800 x 800 x 800 [mm]. Omeniti velja, da

so odločitev o zunanjih merah hladilnega kanala podali tehnologi podjetja Talum Ulitki d. o.

o.

Slika 5.3: Končni izgled modela hladilnega tunela.

5.3.2 Računsko območje in robni pogoji

Osnovni program programskega paketa ANSYS se imenuje »Workbench«. Tukaj iz menija na

levi strani izbiramo različne podprograme. Potek priprave simulacije je takšen, da prvo

izdelamo geometrijo, geometrijo omrežimo in nato predpostavimo robne pogoje.


- - 26 - -

Slika 5.4: Prikaz poteka priprave simulacije.

Predstavili smo že izdelavo modela hladilnega kanala. Sedaj bomo predstavili računsko

območje in pripadajoče robne pogoje. ANSYS ima podprogram, ki se imenuje

DesignModeler, kjer lahko sami skiciramo dvodimenzionalne in tridimenzionalne objekte.

Kot smo omenili, smo za izdelavo hladilnega kanala uporabili program CATIA.

DesignModelerja nismo uporabili, ker je za izris zahtevne geometrije nekoliko zahteven in

časovno potraten.

Z ukazom »Import« smo uvozili model hladilnega kanala. Predhodno smo hladilni

kanal pretvorili v datotečni zapis, ki ga DesignModeler prepozna (.igs). Za simuliranje

stacionarnega stanja smo morali iz hladilnega kanala odstraniti volumen ulitka. To smo storili

s funkcijo »boolean operation«. Cilj operacije je bil, da dobimo volumen, kjer smo lahko

predpisali lastnosti tekočine in površino ter lastnosti trdnine.

Naslednji korak je mreženje modela. Izdelamo vsaj dve različni mreži, ki morata biti

različno gosti, da izločimo napake pri rezultatih, ki bi lahko nastali zaradi različne gostote

mreže. Mreženje bomo predstavili v naslednjem podpoglavju.

Sedaj zaženemo podprogram z imenom »CFX-Pre«. S pomočjo tega programa

definiramo območje računanja in določimo robne pogoje.


- - 27 - -

Slika 5.5: Območje računanja.

Predpisali smo, da se znotraj računskega območja nahaja zrak pri temperaturi T = 25

[°C] in pri relativnem tlaku p = 1 [atm]. Dejanski tlak je enak vsoti referenčnega in

relativnega tlaka. Za model prenosa toplote smo izbrali temperaturno energijo, za modeliranje

turbulence pa smo izbrali SST turbulentni model. SST turbulentni model smo izbrali zato, ker

imamo zahtevno območje računanja, ki vsebuje veliko površin na ulitku kakor tudi velik

volumen zraka. Če bi izbrali enega izmed dvoenačbenih modelov, rezultati ne bi bili dovolj

natančni.

Model sestavlja veliko število ploskev. Največ jih je na območju, kjer bi se naj nahajal

ulitek. Te površine združimo na območje, imenovano Ulitek. Vstopno območje na ohišju

poimenujemo Inlet, območje nasproti Inleta pa Opening. Preostale štiri ploskve ohišja

poimenujemo Stena 1, Stena 2, Stena 3 in Stena 4.

Ploskve, imenovane Stena 1, Stena 2, Stena 3 in Stena 4, definiramo kot gladka stena

(smooth wall), na kateri ne prihaja do zdrsa (no slip wall) in je adiabatno izolirana. Na vstopu

tekočine v območje računanja (Inlet) predpišemo masni pretok 15m kgs , ki teče

normalno na omenjeno ploskev. Podatek o masnem pretoku zraka smo dobili s strani

tehnologov podjetja Talum Ulitki d. o. o. Predpišemo 5 % intenziteto turbulence in statično

temperaturo 25 [°C]. Na območju, kjer zrak izstopa (Opening), smo predpisali relativni tlak p

= 0 [Pa]. Predpisali smo tudi temperaturo na tej ploskvi, in sicer T = 25 [°C]. Na površinah, ki

smo jih združili v območje, imenovano Ulitek, smo predpisali, da je to gladka stena, na kateri

ni zdrsa in ima določeno temperaturo. Vrednost temperature se je spreminjala od simulacije

do simulacije.


- - 28 - -

Slika 5.6: Ploskve, ki sestavljajo območje računanja, in predpisani robni pogoji.

Na sliki 5.6 lahko vidimo vse ploskve, ki omejujejo območje računanja, obarvane z različnimi

barvami. Področje vstopa zraka (Inlet) je obarvano rumeno, območje odprtine, kjer zrak

izstopa, pa je obarvano rdeče. Izolirane stene so na sliki prozorne in jih vidimo s pomočjo črt

na njenih robovih. Področje, kjer bi se naj nahajal ulitek, je obarvano črno.

5.3.3 Računska mreža

Računska mreža je skupek volumskih elementov in vozlišč v območju računanja. Izdelamo

lahko mreže poljubne gostote. Velja, da se sorazmerno z večanjem števila elementov mreža

zgoščuje in natančnost numeričnega izračuna povečuje.

Mreženje opravimo v podprogramu programa ANSYS, imenovanem »Meshing«. Za

začetek opravimo poimenovanje ploskev, ki omejujejo območje računanja. Vstopno ploskev

poimenujemo Inlet, izstopno Opening, preostale štiri ploskve pa Stena. Sedaj programu

podamo volumen, kjer bo opravljal mreženje (slika 5.5). Nastaviti moramo nastavitve fizike

na CFD in nastavitve solverja na CFX. Mreža je sestavljena iz heksaedrov, tetraedrov in

piramid. Ročno lahko nastavimo maksimalno in minimalno velikost sestavnih ploskev

omenjenih volumnov. Velikosti teh ploskev smo spreminjali, da smo dobili željeno mrežo.

Naslednja pomembna funkcija je »Insert inflation«. Zaradi viskoznih sil molekule

tekočine, ki so najbližje steni, mirujejo. Da ne pride do kasnejših težav pri izračunih, dodamo

dve inflation področji. Prvo dodamo na izolirane stene (Stena 1, Stena 2, Stena 3, Stena 4).

Funkcija inflation vzdolž stene postavi kvadre enega nad drugega. Število kvadrov,

postavljenih eden nad drugim, lahko poljubno nastavimo. Mi smo vedno uporabili pet plasti

kvadrov. Velikost kvadrov določimo z minimalno in maksimalno velikostjo osnovne


- - 29 - -

površine. Navadno so najmanjši kvadri takoj ob steni, nad njimi pa kvadri naraščajo. Vrednost

naraščanja je bila pri vsaki mreži različna.

Slika 5.7: Inflation na robovih ulitka.

Ko opravimo vse te korake, lahko ustvarimo mrežo. Za stacionarni izračun smo naredili tri

mreže. Spodnja tabela podaja število vozlišč in število elementov računske mreže. Omeniti je

potrebno, da je računski čas pojava odvisen od števila elementov in vozlišč. Velja, da se

računski čas podaljšuje z naraščanjem števila le-teh. Računski čas je odvisen tudi od števila

iteracij – več jih je, daljši je računski čas.

Tabela 1: Število vozlišč in elementov za posamezno računsko mrežo.

Število vozlišč Število elementov

Fina mreža 1.111.605 4.840.908

Srednje gosta mreža 1.021.624 3.911.682

Groba mreža 212.689 921.702


- - 30 - -

5.8: Fina mreža.

5.9: Srednje gosta mreža.


- - 31 - -

5.10: Groba mreža.

5.4 Časovno odvisna simulacija

Za časovno odvisno simulacijo uporabimo isti osnovni model hladilnega kanala. Izdelavo

kanala smo opisali že v podpoglavju 5.3.1. Omeniti je potrebno, da imata modela samo eno

razliko, ki pa je izrednega pomena. Sedaj uporabljamo volumen ulitka in ne več samo

površine le-tega.

Model smo uvozili na enak način kot pri časovno neodvisni simulaciji. Nismo pa

uporabili funkcije boolean, kajti za časovno simulacijo potrebujemo popoln volumen modela

ulitka in ne samo zunanjo površino le-tega, zato smo ustvarili dve telesi (volumna). Prvo je

ohišje brez ulitka, drugo telo pa je model ulitka.


- - 32 - -

Slika 5.11: Model ulitka in ohišja.

Na sliki 5.10 je z rumeno viden model ulitka, s sivo pa je označeno ohišje.

5.4.1 Računska mreža

Izdelava računske mreže je podrobno opisana v poglavju 5.3.3. Razlika med mrežo iz časovno

neodvisne simulacije in mrežo časovno odvisne simulacije je ta, da sedaj mrežimo tudi

volumen ulitka. Podobno uporabimo tudi funkcijo inflation. Funkcija inflation je uporabljena

na izoliranih stenah in na površini ulitka. Uporabimo pet plasti kvadrov, ki vedno naraščajo z

enakim koeficientom, to je 1.15.

Mreža, ki smo jo izdelali, je vsebovala 1.700.825 elementov in 360.953 vozlišč.

Odločiti smo se morali za kompromis, kajti omejevala nas je zmogljivost strojne opreme. Če

bi izdelali gostejšo mrežo, bi se izračun simulacije preveč zavlekel.

Slika 5.12: Mreža za časovno odvisno simulacijo.


- - 33 - -

5.4.2 Računsko območje in robni pogoji

Ko smo določili mrežo, zaženemo podprogram CFX-Pre, kjer bomo določili naše računsko

območje in robne pogoje. Začeli smo s predpisom pogojev na ploskvi, kjer vstopa zrak.

Poimenovali smo jo Inlet in predpisali masni pretok zraka 15 /m kg s , srednjo vrednost

turbulence 5 % in temperaturo zraka T = 25 [°C]. Smer pretoka je normalna na ploskev Inlet.

Nadaljevali smo s predpisovanjem robnih pogojev na ploskvi, kjer zrak izstopa iz modela

hladilne komore. To ploskev smo poimenovali Opening. Predpisali smo, da je relativni tlak na

ploskvi p = 0 [Pa] in da je temperatura fluida na ploskvi Opening T = 25 [°C]. Na preostalih

štirih stenah (Stena 1, Stena 2, Stena 3, Stena 4) smo predpisali, da so stene adiabatno

izolirane, gladke in da na njih ni zdrsa.

V časovno odvisni simulaciji imamo dva volumna. Prvi volumen je področje znotraj

hladilne komore. Ta volumen zaseda zrak, ki ima temperaturo T = 25 [°C]. Referenčni tlak je

nastavljen na p = 1 [atm], vzgon smo izklopili, tokovno polje pa je stacionarno. Za model

prenosa toplote smo uporabili Thermal Energy, za izračun turbulence pa SST model.

Drugi volumen je volumen ulitka, kateremu smo predpisali material aluminij, ki ima

začetno temperaturo T = 380 [°C] in je stacionaren.

Omeniti je potrebno, da imamo sedaj površino, kjer se stikata zrak in aluminij. V CFX-

Pre jo označimo s funkcijo interface. Funkcija v bistvu doda dve površini, in sicer eno na

ulitek, drugo pa na zrak. Funkcija se uporablja pri vseh stikih med različnimi

tekočinami/trdninami.

Na koncu nastavimo še vrsto analize. Podtip analize nastavimo na Transient. Ker je

izračun časovno odvisen, nastavimo, da naj simulacija teče, dokler ne izračuna stanja po stotih

sekundah. Nastavimo tudi, da nam naj izpisuje podatke na disk za vsako sekundo izračuna. Po

izračunu prvih 1000 [s] smo nastavitve spremenili. Nastavili smo, da naj zapisuje podatke na

disk vsako četrto sekundo.


- - 34 - -

Poglavje 6

6 ANALIZA REZULTATOV

6.1 Rezultati analitičnega izračuna

Da lahko izvedemo izračun, smo morali dobiti vrednost koeficienta prestopa temperature α.

Vrednost smo pridobili z izvedbo časovno neodvisnih simulacij. Vrednost koeficienta znaša

α = 111,637 [Wm-2K-1]. Preostale potrebne podatke smo izpisali iz Strojniškega priročnika.

Sedaj izračunamo Biotovo število 32 1

1 1 2

0,0030,00

111,606

37.

229 0,23938

Wm KV mBi

A Wm K m

(6.1)

Biotovo število je manjše od (Bi≪1), zato lahko telo obravnavamo kot telo idealne

prevodnosti. Uporabimo še enačbo za teoretični čas ohlajanja, ki smo jo izpeljali v 5. poglavju

0

3

0

2 1

ln ,

2.700 896 0,012552380 25

ln ln ,30 25111,637

1.160 .

p

p v

k v

c L T Tt

T T

kg Jm

c L m kgKT T C Ct

T T C CWm K

t s

(6.2)

Sedaj smo dobili povprečen čas ohlajanja ulitka t = 1.160 [s].

6.2 Rezultati računalniške dinamike tekočin

Podrobneje bomo predstavili rezultate za časovno neodvisno simulacijo in časovno odvisno

simulacijo. Prikazal bom slike grafov toplotnega toka iz stene na fluid, graf koeficienta

prestopa toplote. Predstavljeni bodo temperaturni prerezi skozi ulitek ipd.

Utemeljiti je še potrebno izbiro gostote mreže za stacionarno in časovno odvisno stanje.

V 5. poglavju so za časovno neodvisno stanje predstavljene tri gostote mreže. Izvedli smo tri

kontrolne preračune in rezultate med seboj primerjali. Med rezultati z najgostejšo in srednje

gosto mrežo so bile razlike zanemarljive. Rezultati izračuna z redko mrežo so pokazali


- - 35 - -

odstopanje od vrednosti srednje in goste mreže, zato smo se za stacionarne izračune odločili

uporabiti najgostejšo računsko mrežo.

Spodnje slike so dokaz, da groba mreža ne daje dovolj dobrih rezultatov. Ustvarili smo

ravnino xy in jo obarvali z vrednostmi temperature zraka, ki obdaja ulitek. Največjo razliko

med mrežami vidimo znotraj prikazanih lukenj. Fina in srednja mreža pokažeta podobno

razporeditev temperature, groba pa z vrednostmi precej odstopa.

6.1: Temperaturna porazdelitev po ravnini xy znotraj lukenj – fina mreža.

6.2. Temperaturna porazdelitev po ravnini xy znotraj lukenj – srednje gosta mreža.


- - 36 - -

6.3: Temperaturna porazdelitev po ravnini xy znotraj lukenj – groba mreža.

Omenili smo že, da nas je za izdelavo natančnejše simulacije omejevala strojna oprema, zato

smo se s pomočjo rezultatov iz stacionarne simulacije odločili sprejeti kompromis in načrtno

izdelati mrežo, ki je zadostovala našim potrebam.

Izvedli smo tudi dva časovno neodvisna preračuna s hladilnim medijem zrak kot

idealnim plinom in vklopom vzgona z gravitacijskim pospeškom g = 9,81 [m/s2]. Temperaturi

ulitka sta znašali T1 = 380 [°C] in T2 = 70 [°C]. Robni pogoji na vstopu in izstopu idealnega

plina so ostali nespremenjeni. Izračuna sta veljala kot verifikacija našega dela. Izračuna sta

podala, da znaša prestopnostni koeficient pri temperaturi T1 = 380 [°C] α = 103,161

[Wm-2K-1]. Pri temperaturi T2 = 70 [°C] pa α = 111,637 [Wm-2K-1]. Toplotni tok pri T1 = 380

[°C] je znašal Q = 11.564 [W/m2], pri T2 = 70 [°C] pa Q = 604 [W/m2] . Vrednost toplotnega

toka in vrednost prestopnostnega koeficienta sta pokazala manjše vrednosti.

Pojav razložimo s pomočjo znanja iz prenosa toplote, izračunamo Prandtlovo število za

temperaturi T1 = 380 [°C] in T2 = 70 [°C].

Pr .pc

(6.3)

Podatke, ki jih potrebujemo za izračun, smo izpisali iz Strojniškega priročnika. Ker točnih

podatkov lastnosti zraka za temperaturi T1 = 380 [°C] in T2 = 70 [°C] ni, smo s pomočjo

interpolacije podatke izračunali. Dobljeni vrednosti Prandtlovega števila sta Pr380 = 0,072186

in Pr70 = 0,072607. Vidimo, da se lastnosti zraka bistveno ne spreminjajo, zato je tudi α zelo

podoben vrednosti, ki smo jo izračunali v časovno neodvisni simulaciji, kjer smo upoštevali


- - 37 - -

konstantne lastnosti zraka. Vpliv vzgona je zanemarljiv, saj poteka prestop toplote s prisilno

konvekcijo.

6.2.1 Stacionarno stanje

Za predstavitev rezultatov bomo uporabili podprogram paketa ANSYS, CFX Post. Program

omogoča izdelavo grafov, tabel, ima integrirano računalo, ki nam omogoča izračun

poljubnega parametra. Mi smo ga uporabili za izračun toplotnega toka in koeficienta prestopa

toplote.

Slika 6.4: Na sliki je prikaz graf toplotnega toka v odvisnosti od temperature ulitka.

Na grafu, kjer je prikazana vrednost toplotnega toka, opazimo, da je funkcija, ki povezuje vse

točke, linearna. Razlago bomo podali v nadaljevanju.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

11000

12000

13000

14000

380 350 320 290 255 220 190 160 130 100 70 40

Top

lotn

i to

k [W

m^-

2]

Temperatura [°C]

Toplotni tokQ - zrak pri25[°C]


- - 38 - -

Slika 6.5: Na sliki je prikazan graf odvisnosti koeficienta prestopa toplote od temperature

ulitka.

Na sliki, kjer je prikazana vrednost koeficienta prestopa toplote α v odvisnosti od temperature

T, opazimo, da je vedno konstanten. Oba pojava lahko razložimo s pomočjo enačbe za

toplotni tok

.Q A T T (6.4)

Toplotni tok se izračuna s faktorjem prestopa toplote α, ki ga pomnožimo s površino A, kjer

toplota prestopa na fluid, in temperaturno razliko ∆T. Opazimo, da je površina vedno

konstantna, konstanten pa je tudi prestopnostni koeficient. Edini variabilni del enačbe je

temperaturna razlika ∆T. Ker razlika temperatur linearno pada od največje do najmanjše, pada

linearno tudi vrednost toplotnega toka.

Spodnja slika prikazuje porazdelitev tlakov po prerezu v ravnini xy in xz. Z rdečo barvo

je obarvana najvišja tlačna vrednost. Opazimo, da je tlak najvišji na strani, kjer zrak

vpihavamo v hladilni tunel. V mehaniki tekočin ga imenujemo zastojni tlak. Do pojava pride

zaradi ovire v toku tekočine; v našem primeru je to ulitek. Zastojni tlak se izračuna z enačbo

2

.2

vp

(6.5)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

380 350 320 290 250 220 190 160 130 100 70 40

Ko

efi

cie

nt

pre

sto

pa

top

lote

α [

Wm

-2K

-1]

Temperatura [°C]

Koeficient prestopa toplote α [Wm^-2K^-1]


- - 39 - -

Slika 6.6: Porazdelitev tlaka po prerezih.

S tlačnim poljem so povezane hitrosti tekočine. Kjer so hitrosti nizke, so tlačni gradienti

veliki. Spodnja slika prikazuje porazdelitev hitrosti v [m/s] po prerezih ravnin yz in xz.

Slika 6.7: Prikaz porazdelite hitrosti.

Spodnje slike prikazujejo porazdelitev temperature zraka v prerezu ravnine xy. Temperature

ulitka so a) 380 [°C], b) 320 [°C], c) 255 [°C], d) 190 [°C], e ) 130 [°C], f) 70 [°C]. Lepo

vidimo razliko temperatur ob stenah ulitka in ob robovih hladilne komore. Lepo vidimo tudi

pojav prisilne konvekcije.

a) b)


- - 40 - -

c) d)

e) f)

Slika 6.8: Porazdelitev temperature v ravnini xy pri temperaturi ulitka a) 380 [°C], b) 320

[°C], c) 255 [°C], d) 190 [°C], e) 130 [°C], f)70 [°C].

Na spodnjih slikah je predstavljena vrednost toplotnega toka po površini ulitka. Vidimo lahko,

da na čelni strani ulitka pride do največjega toplotnega toka. Najmanjši toplotni tok se pojavi

na delih, ki so v zavetrju. Omeniti moramo, da smo imeli težave z vrednostmi toplotnega toka

na robovih ulitka. Velike vrednosti so posledica računske mreže, ki zaradi omejitve strojne

opreme ni bila zelo gosta.


- - 41 - -

a) b)

c) d)

e) f)

Slika 6.9: Prikaz porazdelitve toplotnega toka po površini ulitka za različne vrednosti

temperature ulitka a) 380 [°C], b) 320 [°C], c) 255 [°C], d) 190 [°C], e) 130 [°C], f) 70 [°C].

Spodnje slike prikazujejo temperaturno porazdelitev izhodnega zraka. Lepo se vidi postopno

padanje temperature zraka s temperaturo ulitka.


- - 42 - -

a) b)

c) d)

e) f)

Slika 6.10: Porazdelitev temperature zraka na izhodu iz komore za temperature ulitka a) 380

[°C], b) 320 [°C], c) 255 [°C], d) 190 [°C], e) 130 [°C], f) 70 [°C].


- - 43 - -

6.2.2 Rezultati časovno odvisne simulacije

Na začetku tega poglavja smo že utemeljili izbiro računske mreže za simulacijo časovno

odvisnega pojava, zato ne bomo izgubljali besed.

Slik tlačnega in hitrostnega polja ne bomo prikazali, ker sta hitrostno in tlačno polje

odvisna od robnih pogojev. Robni pogoji se med stacionarnim in časovno odvisnim

izračunom niso spremenili, zato bi sliki bili identični slikama 6.1 in 6.2.

Časovno odvisno simulacijo smo izvajali za čas t = 2000 [s]. Prvih tisoč sekund smo

shranjevali podatke za vsako sekundo ohlajanja. Ker se je nabrala prevelika količina

podatkov, smo se odločili, da naslednjih tisoč sekund zapisujemo stanje samo vsako četrto

sekundo.

V tabeli 2 smo prikazali temperature po volumnu ulitka. Prikazali smo tudi vrednosti

toplotnega toka in faktorja koeficienta prestopa toplote iz stene ulitka na hladilni medij. Vse

vrednosti so v odvisnosti od časa ohlajanja.

Dobljene podatke smo dobili s pomočjo programa CFX-Post, kjer smo za izračun

posameznih vrednosti uporabili funkcijski kalkulator.

Čas [s] Temperatura [K] Toplotni tok

[Wm^-2]

Koeficient prestopa toplote α

[Wm^-2K^-1]

0 652,56 13042 90,5006

167 565,473 9954 90,6226

333 503,53 7629 90,5933

499 454,73 5814 90,6105

665 417,54 4422 90,6168

831 389,187 3373 90,6266

997 367,568 2575 90,6097

1164 351,119 1971 90,5473

1328 338,653 1506 90,5876

1496 328,919 1142 90,641

1660 321,678 872 90,6352


- - 44 - -

1828 316,024 662 90,6439

2000 311,552 499 90,6063

Na spodnji sliki smo predstavili vrednosti iz tabele. Na sliki 6.8 smo predstavili padec

temperature po volumnu ulitka v odvisnosti od časa ohlajanja. Vidimo, da vrednosti

eksponentno padajo. Takšne padce smo tudi pričakovali in sedaj lahko utemeljimo, zakaj smo

simulacijo izvedli do časa t = 2000 [s]. Povprečna temperatura ulitka pri 2000 sekundah je

T = 311,522 [K], kar pomeni, da je ulitek za 8 [K] prevroč. Na grafu vidimo, da se

eksponentno približujemo spodnji meji pri T = 303 [K]. Naklon premice pri času t = 2000 [s]

je že tako majhen, da bi preračun, da se celotni volumen ulitka ohladi na željeno končno

temperaturo, zahteval preveč računskega časa.

Slika 6.11: Padec povprečne temperature po volumnu ulitka v odvisnosti od časa ohlajanja.

Na spodnji sliki vidimo porazdelitev vrednosti toplotnega toka v odvisnosti od časa ohlajanja.

Vrednosti toplotnega toka v odvisnosti od časa ohlajanja padajo s podobnim naklonom kot na

sliki 6.11.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

0 167 333 499 665 831 997 1164 1328 1496 1660 1828 2000

Tem

pe

ratu

ra [

K]

Čas [s]

Temperatura[K]


- - 45 - -

Slika 6.12: Vrednosti toplotnega toka v odvisnosti od časa ohlajanja.

Na sliki 6.14 so prikazane vrednosti koeficienta prestopa toplote α v odvisnosti od časa

ohlajanja. Zanimivo je, da so razlike med vrednostjo koeficienta prestopa zelo majhne.

Neurejeno nihajo med vrednostjo αmin = 90,5006 [Wm-2K-1] in αmax = 90,6439 [Wm-2K-1].

Slika 6.13: Vrednosti koeficienta prestopa temperature v odvisnosti od časa ohlajanja.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 167 333 499 665 831 997 116413281496166018282000

Top

lotn

i to

k [W

m^-

2]

Čas [s]

Toplotni tok[Wm^-2]

90,4

90,45

90,5

90,55

90,6

90,65

90,7

Ko

efi

cie

nt

pre

sto

pa

top

lote

α [

Wm

^-2

K^-

1]

Čas [s]

Koeficient prestopa toplote α [Wm^-2K^-1]


- - 46 - -

Na spodnjih slikah smo prikazali vrednosti porazdelitve temperature po prerezu v ravnini xy

in zx. Temperaturna skala je bila ročno nastavljena, in sicer na Tmax = 380 [°C] in Tmin = 30

[°C]. Lepo vidimo, da se ulitek po celotnem volumnu ohlaja enakomerno.

a) b)

c) d)

e) f)

Slika 6.14: Temperaturni prerez ulitka po ravnini xy za časovne vrednosti a) 10 [s], b) 333 [s],

c) 665 [s], d) 997 [s], e) 1327 [s], f) 1828 [s].


- - 47 - -

a) b)

c) d)

e) f)

Slika 6.15: Temperaturni prerez ulitka po ravnini zx za časovne vrednosti a) 10 [s], b) 333 [s],

c) 665 [s], d) 997 [s], e) 1327 [s], f) 1828 [s].

Ugotovimo, da zaradi enakomernega ohlajanja ulitka ne pride do pojava kritičnih točk. Kot

kritične točke mislimo dele ulitka, kjer bi bila ohlajevalna hitrost prevelika ali premajhna. Na

sliki 6.16 je prikazana temperaturna porazdelitev po prerezu ulitka v ravnini xy.

Temperaturno skalo smo nastavili na avtomatsko lokalno zaznavanje maksimalne in

minimalne temperature. Opazimo, da je razlika med tema dvema temperaturama ∆T = 2 [K].


- - 48 - -

Slika 6.16: Temperaturna porazdelitev po prerezu ulitka po ravnini xy pri času ohlajanja t =

2000 [s].

Na spodnji sliki je prikazana razporeditev toplotnega toka po površini ulitka za različne

vrednosti časa ohlajanja. Vrednosti Q max in Q min smo ročno omejili na vrednosti Q max =

13.500 [Wm-2] in Q min = 0 [Wm-2]. Opazimo, da so vrednosti na robovih največje. Pojav smo

pričakovali, ker se je pojavil že pri časovno neodvisni simulaciji. Napako lahko odpravimo z

izdelavo gostejše mreže.

a) b)


- - 49 - -

c) d)

e) f)

Slika 6.17 : Slika 6.12: Prikaz toplotnega toka po površini ulitka za časovne vrednosti a) 10

[s], b) 333 [s], c) 665 [s], d) 997 [s], e) 1327 [s], f) 1828 [s].


- - 50 - -

Poglavje 7

7 SKLEP

Cilj in namen sta bila s pomočjo analitičnega izračuna in numerične simulacije izračunati čim

bolj točen rezultat potrebnega časa ohlajanja ulitka iz Tmax = 380 [°C] na Tmin = 30 [°C] ter

opazovati porazdelitev temperature po prerezih in iskanje kritičnih točk. Izračunali smo

toplotni tok in vrednost toplotnega prestopnostnega koeficienta. Podali smo tudi teoretične

osnove in smernice za uporabo numeričnega programa ANSYS.

Ugotovili smo, da analitični izračun prinaša pregrobo oceno potrebnega časa ohlajanja,

zato je za reševanje problematike nujna uporaba moderne programske opreme za izvedbo

numeričnih preračunov.

Pri izračunu stacionarnega stanja je bil naš cilj izračunati prestopnostni koeficient, kar

nam je uspelo. Dokazali smo, da vpliv gostote mreže v veliki meri vpliva na rezultate

simulacije. Ugotovili smo tudi, da moramo za natančnejše rezultate vklopiti vzgon. Omeniti

moramo, da se večina toplote prenaša s prisilno konvekcijo, zato bi bilo potrebno upoštevati

tudi sevanje ulitka v prostor.

Pri izračunu časovno odvisnega stanja smo ugotovili, da se ulitek ohlaja enakomerno

skozi celotni volumen in da do kritičnih točk ne prihaja. Za dosego boljših rezultatov bi

morali izdelati veliko gostejšo mrežo in podobno kot pri stacionarnem preračunu upoštevati

vpliv vzgona, nenazadnje bi bilo potrebno upoštevati tudi spreminjanje snovskih lastnosti

aluminija v odvisnosti od temperature. Omeniti še moramo, da bi morali spremeniti tudi

nastavljen časovni korak. Na vstopu je namreč hitrost zraka v = 6,5 [ms-1], kar pomeni, da

molekula zraka vstopi in izstopi v komoro v manj kot t = 0,154 [s]. Torej bi morali časovno

korak nastaviti na vsaj eno desetinko sekunde.

Spoznali smo, da je za dobre rezultate ključnega pomena razpoložljivost primerne

strojne opreme.

Podatki, ki smo jih dobili, so pomembni za nadaljnje izračune. Posebej zanimivo bi bilo

kombinirati podatke z opremo za izračunavanje temperaturnih skrčkov in predvidevanje

lokacije le-teh.


- - 51 - -

8 LITERATURA

[1] Hriberšek Matjaž, Škerget Leopold. Uvod v računalniško dinamiko tekočin. Maribor:

Fakulteta za strojništvo, 2005.

[2] Kraut Bojan, Krautov strojniški priročnik, 14. slovenska izdaja / izdajo popravila Jože

Puhar, Jože Stropnik. Ljubljana: Littera picta, 2003.

[3] Škerget Leopold. Mehanika tekočin: univerzitetni učbenik. Maribor: Tehniška fakulteta,

1994.

[4] Škerget Leopold. Computational fluid dynamics, The Boundary Element Method.

Maribor: Fakulteta za strojništvo, 2006.

[5] Alujevič Andro, Škerget Polde. Prenos toplote. Maribor: Tehniška fakulteta, 1990.

[6] Goričanec Darko, Črepinšek - Lipuš Lucija. Prenos toplote. Maribor: Fakulteta za

kemijo in kemijsko tehnologijo, 2008.

[7] Charles Xie, The Concord Consortium. Energy2d [svetovni splet]. Dostopno na

http://energy.concord.org/energy2d/convection.html [12. 9.2011].

[8] Kopun Rok. Numerični izračun toka v vstopnem delu Peltonove turbine. Maribor:

Fakulteta za strojništvo, 2010.

[9] Ansys CFX, Release 13.0. ANSYS CFX-Solver Theory Guide, ANSYS Inc., 2010.

numeriČna simulacija ohlajanja ulitka · univerza v mariboru – fakulteta za strojništvo...

Documents