numeri figurati renato betti politecnico di milano 26 novembre 2008
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NUMERI FIGURATI
Renato BettiPolitecnico di Milano26 novembre 2008
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“La teoria elementare dei numeri dovrebbe essere uno dei migliori argomenti per la prima educazione matematica.Richiede poche conoscenze preliminari ed è una materia tangibilee familiare; i processi logici che utilizza sono semplici, generali e in numero limitato, ed è unica fra le scienze matematiche per il suo richiamo alla naturale curiosità umana”(G.H. Hardy, 1929)
I numeri figurati “sbucano” inaspettatamente in risultati moderni:
Il teorema dei numeri poligonali (Fermat – Cauchy)Il teorema pentagonale (Eulero)
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I numeri figurati non sono questi….
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I numeri figurati sono disposizioni di unità in maniera ordinata, secondo figure geometriche….
(numeri poligonali)
(oblunghi)
(generalizzati)(tetractys)
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(cubici) (piramidali)
1 1
3 5 8
7 9 11 27
13 15 17 19 64
21 23 25 27 29 125
… … … … … … … … … … …
Nicomaco di Gerasa(II aC)
23333 )...321(....321 nn
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2)12(...531 nn
)1(2...642 nnn
nNnn 32)1(
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18 312
4 nn NN
nNN nn 23
125 3
144
144
nnnn NNNN
n-1
n
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Numeri poligonali
...97531
quadrati
...1310741
pentagonali
...1713951
esagonali
……………………
....11111 numeri
...54321 triangolari
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numeri…5,4,3,2,1, n
triangolari…15,10,6,3,1,2
)1( nn
quadrati…25,16,9,4,1, 2n
pentagonali…35,22,12,5,1,2
3 2 nn
esagonali…45,28,15,6,1, nn 22
….……………… ….
Problema: nelle sequenze di numeri poligonali il terzo numero è sempre divisibile per 3 e il quinto numero è sempre divisibile per 5. Questa proprietà è vera anche per gli altri numeri poligonali (ettagono, ottagono etc)? E perché il quarto numero triangolare non è divisibile per 4? Vale la proprietà per il settimo? E in generale quando vale?
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133
nn NnN
13
1334 2 nnnn NnNNN
qnqq )1(1...)21()1(1 )2( mq
nm
nm
N nm 2
4
2
2 2
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13
1356 4 nnnn NnNNN
13
131 )2(
nnnm
nm NmnNNN
2)1(1
3nnnN n
mn
mN n
m 2
4
2
2 2
13
1345 3 nnnn NnNNN
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Il teorema dei numeri poligonali
(Fermat, 1636)“Ho trovato della massima importanza la proposizione che ogni numero è composto da uno, da due o da tre triangolari; da uno o da due o da tre o da quattro quadrati; da uno o da due o da tre o da quattro o da cinque pentagonali; da uno o da due o da tre o da quattro o da cinque o da sei esagonali, e così via ad infinitum.Per dimostrare questa proposizione devo dimostrare che ogni primo che supera di un’unità un multiplo di 4, come 5, 13, 17, 29, 37, e così via, è composto da due quadrati.”
22)4(mod1 yxpp
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Eulero: 1751
Lagrange: 1770
Se TZYX ,,,
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Ancora Eulero, 1773:
Gauss, 1796:
numero!
7 (mod 8) u
uzyx a 4222L’equazione ha soluzioni intere
Teorema (Legendre):
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Cauchy, 1813-15:
Ogni numero intero è uguale alla somma di 4 pentagonali o una somma simile aumentata di una unità; alla somma di 4 esagonali o ad una somma simile aumentata di una o didue unità; alla somma di 4 ettagonali o ad una somma simileaumentata di una o due o tre unità... e cosi via.
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Lemma di Cauchy: Siano k ed s due interi negativi disparitali che e . Allora esistono interinon negativi a, b, c e d tali che:
ks 42 423 2 ssk
dcbas
dcbak
2222
k’ = k +2 ……..
n = Ak+Bs+r (0 r < m – 4) è somma di m numeri m-gonali
k >121, ksk 4133
n = Ak+Bs+r (0 r < m – 4)
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Il teorema pentagonale (Eulero, 1750)
“In quanti modi si può scrivere il numero 50 come somma di 7diversi numeri?”(Ph. Naudé il giovane, 1740)
Hardy & Ramanujan, 1918:
Rademacher, 1937:
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...75321)(1
1 543
0
2
1
xxxxxxnpx n
n
kk
...)....1...)....(1...)(1(1
1 2422
1
kk
kk
xxxxxxx
1)()(
....)(
....)(2
210
2210
xBxA
xbxbbxB
xaxaaxA
.................
0
0
1
021120
0110
00
bababa
baba
ba
11
1)1(
11
rk
k
k
xx
01
)()1(n
n
k
k xnqx
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....1
)....1)...(1)(1()1(
3526221512752
2
1
xxxxxxxxx
xxxx k
k
k
Teorema pentagonale (Eulero):
2
3
1
2
)1()1(nn
n
k
k xx
kkk No
altrimenti
Nnsenq 55
0
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Casi eccezionali:
nnNNN nnn
2
1
2
3 25
134
nnNNN nnn
2
1
2
3 2534
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La formula ricorsiva di Eulero per il calcolo delle partizioni
)()()1(
...)7()5()2()1()(
55kkk NnpNnp
npnpnpnpnp
0)()0(....)1()1()0()( nqpqnpqnp
)....7()5()2()1()( nnnnn
La formula ricorsiva di Eulero per la somma dei divisori di n
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Eulero, De partitionenumerorum, 1750
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Bibliografia
E. Delucchi, M.D. Froidcoeur, +& C., Bollettino dei docenti di Matematica della Svizzera italiana, n. 55 (2007)
G.A. Andrews, Euler’s Pentagonal Number Theorem, Mathematics Magazine 56, n. 5 (1983)
M.B. Nathanson, A short Proof of Cauchy’s Polygonal Number Theorem, Proc. AMS 99, n.1 (1987)
P. Bussotti, A. Scimone, Tutto è poligonale, I. L’antefatto, II. Verso la meta, Lettera Mat. Pristem, in corso di stampa
J. Conway, R. Guy, Numbers, Springer 1996
J. Bell, Euler and the Pentagonal Number Theorem, ArXiv: math/051005v2 [math HO]
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