8/18/2019 nsu118

1/257

8/18/2019 nsu118

2/257

8/18/2019 nsu118

3/257

8/18/2019 nsu118

4/257

8/18/2019 nsu118

5/257

8/18/2019 nsu118

6/257

8/18/2019 nsu118

7/257

8/18/2019 nsu118

8/257

8/18/2019 nsu118

9/257

8/18/2019 nsu118

10/257

8/18/2019 nsu118

11/257

8/18/2019 nsu118

12/257

8/18/2019 nsu118

13/257

8/18/2019 nsu118

14/257

8/18/2019 nsu118

15/257

8/18/2019 nsu118

16/257

8/18/2019 nsu118

17/257

8/18/2019 nsu118

18/257

8/18/2019 nsu118

19/257

8/18/2019 nsu118

20/257

8/18/2019 nsu118

21/257

8/18/2019 nsu118

22/257

8/18/2019 nsu118

23/257

8/18/2019 nsu118

24/257

8/18/2019 nsu118

25/257

8/18/2019 nsu118

26/257

8/18/2019 nsu118

27/257

8/18/2019 nsu118

28/257

8/18/2019 nsu118

29/257

8/18/2019 nsu118

30/257

8/18/2019 nsu118

31/257

8/18/2019 nsu118

32/257

8/18/2019 nsu118

33/257

8/18/2019 nsu118

34/257

8/18/2019 nsu118

35/257

8/18/2019 nsu118

36/257

8/18/2019 nsu118

37/257

8/18/2019 nsu118

38/257

8/18/2019 nsu118

39/257

8/18/2019 nsu118

40/257

8/18/2019 nsu118

41/257

8/18/2019 nsu118

42/257

8/18/2019 nsu118

43/257

8/18/2019 nsu118

44/257

8/18/2019 nsu118

45/257

8/18/2019 nsu118

46/257

8/18/2019 nsu118

47/257

8/18/2019 nsu118

48/257

8/18/2019 nsu118

49/257

8/18/2019 nsu118

50/257

8/18/2019 nsu118

51/257

8/18/2019 nsu118

52/257

8/18/2019 nsu118

53/257

8/18/2019 nsu118

54/257

8/18/2019 nsu118

55/257

8/18/2019 nsu118

56/257

8/18/2019 nsu118

57/257

8/18/2019 nsu118

58/257

8/18/2019 nsu118

59/257

8/18/2019 nsu118

60/257

8/18/2019 nsu118

61/257

8/18/2019 nsu118

62/257

8/18/2019 nsu118

63/257

8/18/2019 nsu118

64/257

8/18/2019 nsu118

65/257

8/18/2019 nsu118

66/257

8/18/2019 nsu118

67/257

8/18/2019 nsu118

68/257

8/18/2019 nsu118

69/257

8/18/2019 nsu118

70/257

8/18/2019 nsu118

71/257

8/18/2019 nsu118

72/257

8/18/2019 nsu118

73/257

8/18/2019 nsu118

74/257

8/18/2019 nsu118

75/257

8/18/2019 nsu118

76/257

8/18/2019 nsu118

77/257

8/18/2019 nsu118

78/257

8/18/2019 nsu118

79/257

8/18/2019 nsu118

80/257

8/18/2019 nsu118

81/257

8/18/2019 nsu118

82/257

8/18/2019 nsu118

83/257

8/18/2019 nsu118

84/257

8/18/2019 nsu118

85/257

8/18/2019 nsu118

86/257

8/18/2019 nsu118

87/257

8/18/2019 nsu118

88/257

8/18/2019 nsu118

89/257

8/18/2019 nsu118

90/257

8/18/2019 nsu118

91/257

Из этих соотношений видно, что плотность энергии магнитного и элек-трического полей не равны между собой в любой точке внутри волно-вода.

В то же время можно показать, что запасы электрической и магнит-ной энергии на единицу длины волновода (т. е. в среднем по сечению)равны друг другу. Действительно,

W e =

S ε|E |2

2 dS =

ε

2 ·(ωµ)2

S (gradψ)2 dS = ε

2 (ωµ)2

·g2m

S ψ2 dS,

W h = S µ|H |2

2 dS =

µ2

g4m S ψ2 dS + µ2 ·β

2 S (gradψ)2 dS ==

µ2

g4m S ψ2 dS + µ2

β 2g2m S ψ2 dS = µ

2 g2m (g

2m + β

2) S ψ2 dS.В то же время

g2m = k2 + γ 2 = k2 − β 2 = ω2µε − β 2 .

Подставляя это в выражения для W h , получаем

W h = µ

2 g2m ω

2µε S ψ2 dS = ε2

(ωµ)2 ·g2m S ψ2 dS.Сравнение показывает, что действительно W h = W e .

Для нераспространяющихся мод γ вещественная величина, поэто-му преобладает магнитная (для H-мод) или электрическая (для E-мод)энергия, и входное сопротивление оказывается реактивным.

3.6. Фазовая и групповая скоростиИз полученных ранее соотношений можно найти фазовую скорость

(зная длину волны):

vф = Λf = λf

1 − λλкр 2=

c

1 − λλкр 2> c.

Таким образом, фазовая скорость больше скорости света, что, одна-ко, не противоречит теории относительности.

91

8/18/2019 nsu118

92/257

Найдем групповую скорость. Она может быть определена как ско-рость перемещения максимума биений волн двух близких частот.

Пусть мы имеем сумму двух волн близких частот

e j (ω1 t − β 1 z ) + ej (ω2 t − β 2 z ) = ej (ω1 t − β 1 z ) · 1 + ej [(ω2 − ω1 ) t − (β 2 − β 1 )z ] .Максимум соответствует условию

(ω2 − ω1) t − (β 2 − β 1) z = 0 .Отсюда, сближая ω и β и беря малые интервалы t и z, получаем впределе

∆ ω ·∆ t = ∆ β ·∆ z = 0 ,откуда

vгр = dz

dt =

dωdβ

в отличие от фазовой скорости vф = ωβ .

Найдем групповую скорость для волновода:

vгр = dωdβ

= 1dβ/dω

.

β = 2π

Λ =

2πλ 1 − λλкр

2

= 2πλкр λкрλ

2

− 1 =

= 2πλ кр ωωкр

2

− 1 .dβ dω

= 2πλкр

2ω/ω 2кр

2 ωωкр2

− 1=

2πωλкр ω2

кр

1

ωωкр2

− 1=

= 2πλкр ωкр ·

1

1 − ωкрω 2=

1c ·

1

1 − λλкр 2.

Отсюда

92

8/18/2019 nsu118

93/257

vгр = c 1 − λλкр2

< c.

Для волновода получаем простое соотношение, связывающее фазо-вую и групповую скорости (рис. 3.29):

c

λ

Φv

Γ v p

kp

Рис. 3.29

vгр ·vф = c2 .Иногда употребляют другое опре-

деление групповой скорости:

vгр = P W

,

где P мощность в волноводе,W средний запас энергии наединицу длины волновода.

Используя полученные ранеесоотношения, имеем (для H-волн)

P = 12

ωµβg2m S ψ2 dS,W =

ε2

(ωµ)2 ·g2m S ψ2 dS.Отсюда

vгр = P W

= β ωµε

.

Фазовая скорость, как было определено выше,

vф = ωβ .

Подставляя ω/β в выражение для vгр , находим

vгр ·vф = 1εµ

= c2 .

Сравнивая с найденным ранее соотношением, находим, что оба опре-деления групповой скорости дают одинаковый результат.

93

8/18/2019 nsu118

94/257

3.7. Волны БриллюэнаВолны в волноводе можно рассмотреть еще в одном аспекте.Бриллюэном было отмечено, что существует связь между однород-

ными плоскими волнами и волнами в прямоугольном волноводе. Этасвязь может быть обнаружена также в волноводах другой формы.

Например, для моды H 10 в прямоугольном волноводе

E y = − jωµπ

a sin

πxa ·e

− jβz = − jωµπ

2ae

j πxa − βz ! − e

− j πxa + βz ! ,

т. е. является суммой двух плоских волн.Рассмотрим волну H 10 в пря-

z

x

θπ

θ

2

Λ

Λ

λ

θ

Рис. 3.30

моугольном волноводе. В этомслучае поле можно представить ввиде двух плоских волн, распро-страняющихся под углом друг кдругу между двумя плоскостями(образованными широкими стен-ками) (рис. 3.30).

Чтобы это показать, рассмот-рим две плоские волны, распро-страняющиеся между параллель-ными проводящими плоскостямипод углами ±θ к оси z. Тогда не-трудно видеть, что λΛпрод = cos θ,

λΛпоп

= sin θ.

В то же время две волны в поперечном к z сечении дают стоячую волну,причем расстояние между минимумами равно Λпоп2 . Если угол θ выбран

так, чтобы расстояние между минимумами было равно a, то на линииминимума можно поместить проводящие стенки, не нарушая картинуполя. Таким образом, получаем

Λпоп2

= a, или sin θ = λ2a

.

Очевидно, что такое соотношение можно выполнить лишь при усло-вии, что

94

8/18/2019 nsu118

95/257

λ < 2a, т. е. λкр = 2a.Теперь можно определить длину волны в направлении оси z:

Λпрод = λcos θ

= λ

1 − sin2 θ=

λ

1 − λλкр 2.

Кроме того, следует отметить, что при приближении к критическойволне угол θ приближается к π2 , т. е. вблизи критической волны рас-пространение в основном поперечно.

Полученные соотношения позволяют найти также и групповую ско-рость

vгр = c ·cos θ = c · 1 − sin2 θ = c · 1 − λλкр

2

.

Для волн H mn и E mn в прямоугольном волноводе поле в общем слу-чае может быть получено в виде суммы четырех плоских волн, распро-страняющихся под одинаковым углом к оси z.В случае более сложных волноводов поле может быть получено сум-мированием бесконечного числа плоских волн, направление распростра-нения которых образуют конус с углом θ при вершине. Если заранееискать решение в виде суммы плоских волн, то можно получить инте-гральное уравнение для функций ψ и φ.

3.8. Затухание в волноводахВ волноводе с металлическими, неидеально проводящими стенками

часть мощности теряется в стенках. Это приводит к затуханию распро-страняющихся волн. Формально это выражается в том, что для частотвыше критической величина постоянной распространения оказываетсяуже не чисто мнимой, а появляется вещественная часть, обусловливаю-щая затухание. Изменяется также и мнимая часть вследствие проник-новения поля в стенку на толщину скин-слоя.

Изменение постоянной распространения γ вследствие потерь можетбыть вычислено приближенно в рамках теории возмущений. Предполо-жим, что некоторая мода при отсутствии потерь описывается вектор-ными функциями E m ·e− γ 0 z , H m ·e− γ 0 z . При появлении малых потерь

95

8/18/2019 nsu118

96/257

векторные функции несколько изменяются: E · e− γz , H · e− γz . Пред-положим, что при малом затухании эти функции мало отличаются отневозмущенных. Во всяком случае, это имеет место при отсутствии вы-рождения.

Для вычисления γ воспользуемся тем, что векторные функции удо-влетворяют уравнениям Максвелла:

rot ( E m

·e− γ 0 z ) =

− jωµ0 H m e− γ 0 z ,

rot ( H m ·e− γ 0 z ) = jωε0 E m e− γ 0 z ,rot ( E ·e− γz ) = − jωµ0 H e− γz ,rot ( H ·e− γz ) = jωε0 E e− γz ,

Пользуясь тождеством

rot (Φ · F ) = Φ ·rot F + gradΦ × F ,после сокращения экспонент получаем

rot E ∗m + γ 0 · z0 × E ∗m = jωµ0 H ∗m ,rot H ∗m + γ 0 · z0 × H ∗m = − jωε0 E ∗m ,

rot E − γ · z0 × E = − jωµ0 H,rot H − γ · z0 × H = jωε0 E.

Здесь γ ∗0 = −γ 0 , так как γ 0 мнимая величина.Составим выражениеdiv( E ∗m × H ) + div( E × H ∗m ) =

= H ·rot E ∗m − E ∗m ·rot H + H ∗m ·rot E − E ·rot H ∗m == H

·( jωµ0 H ∗m

− γ 0 z0

× E ∗m ) + E

∗

m

·( jωε0 E + γ z0

× H )

−+ H ∗m ·(− jωµ0 H + γ z0 × E ) − E ·(− jωε0 E ∗m − γ 0 · z0 × H ∗m ) == −γ 0· H ·( z0× E ∗m ) −γ · E ∗m ·( z0× H ) + γ · H ∗m ·( z0× E ) + γ 0· E ·( z0× H ∗m ) == −γ 0·z0·( E ∗m × H ) + γ ·z0·( E ∗m × H ) + γ ·z0·( E × H ∗m ) −γ 0·z0·( E × H ∗m ) =

= ( γ − γ 0) ·( E ∗m × H + E × H ∗m ) · z0 .Проинтегрируем полученное равенство по сечению волновода:

96

8/18/2019 nsu118

97/257

C ( E ∗m × H + E × H ∗m ) ·n dC = ( γ − γ 0) S ( E ∗m × H + E × H ∗m ) · z0 dS,откуда

γ = γ 0 +

C

( E ∗m × H + E × H ∗m ) · n dC

S ( E ∗m × H + E × H ∗m ) · z0 dS .

Здесь n единичный вектор нормали, направленный в стенку; C контур сечения волновода, S сечение волновода.

Интеграл

C

( E ∗m × H ) n dC = 0

вследствие граничных условий для E ∗m . Далее, согласно условию Леонтовича,

E t = ζ ·(

H ×n) ≈ζ ·(

H m ×n)на контуре поперечного сечения C . Последнее приближенное равенство

связано с предположением, что наличие потерь мало изменяет поле.Второй интеграл в числителе равен

C ( E × H ∗m ) n dC = C ζ · ( H m ×n) × H ∗m n dC = ζ · C | H m |2 dC.В знаменателе E и H могут быть приближенно заменены на E m и

H m :

S ( E ∗m × H + E × H ∗m ) · z0 dS ≈ S ( E ∗m × H m + E m × H ∗m ) · z0 dS == 2 Re S ( E m × H ∗m ) · z0 dS .

Итак, окончательно имеем

97

8/18/2019 nsu118

98/257

γ ≈ γ 0 +ζ · C | H m |

2 dC

2 Re S ( E m × H ∗m ) · z0 dS .

В результате мы можем вычислить мнимую и вещественную добавкик γ вследствие потерь в стенках волновода:

α = 1

2Reζ C | H m |

2dC

Re S ( E m × H ∗m ) · z0 dS ,

∆ β = 1

2

Imζ C | H m |2 dC

Re S ( E m × H ∗m ) · z0 dS .

Учитывая, что

ζ = 1 + j

δσ ,

а также, что

P 1потерь = 12δσ C | H m |2 dC

мощность потерь на единицу длины волновода и

P = 12 ·Re S ( E m × H ∗m ) · z0 dS

мощность волны в волноводе, окончательно получаем

α = ∆ β = P 1пот

2P .

Затухание может быть также представлено в виде

α = P 1пот

2P =

P 1пот2vгр W

,

где

W = µ0

2 S | H m |2 dS 98

8/18/2019 nsu118

99/257

запас энергии на единицу длины в волноводе;

vгр = c · 1 − λ2λ2кр групповая скорость в волноводе.

Подставляя эти соотношения в выражение для α , получаем

α =12δσ C | H m |2 dC

2µ02 S | H m |2 dSc 1 − λ2λ2кр

= 12δσµ0c

1

1 − λ2λ2кр C | H m |2 dC S | H m |2 dS

.

Однако

σ = 1µм ωδ 2

.

Подставляя σ в последнее выражение для α , получаем

α = ∆ β = π2 δ λ µмµ0 1 1 − λ2λ2кр C

| H m |2 dC

S | H m |2 dS .

Напомним условия, при которых получена эта формула. Предпола-гается, что в волноводе появление потерь мало изменяет поле. Это усло-вие может быть нарушено в следующих случаях:

а) близость к критической волне,б) наличие вырождения.Легко получить формулу, которая остается корректной в окрестно-

сти критической частоты. Для этого рассмотрим полученную ранее точ-ную формулу

γ = γ 0 + C ( E ∗m × H + E × H ∗m ) · n dC S ( E ∗m × H + E × H ∗m ) · z0 dS

.

Для определенности рассмотрим случай магнитных мод. В этом слу-чае поперечная часть магнитного поля и электрическое поле связанысоотношением

99

8/18/2019 nsu118

100/257

H попm = γ 0 jωµ0

z0 × E m . Для критической частоты γ 0 обращается в нуль. Поэтому при замене

согласно теории возмущений в знаменателе H поп на H m знаменательобращается в нуль, что и приводит к некорректности. Это можно из-менить, выразив первоначально в знаменателе H через E по формуле,аналогичной приведенной выше:

H поп = γ jω ·µ0

z0 × E.После этого заменим E на E m в соответствии с теорией возмущений:

γ − γ 0 = jω ·µ0 C ( E

∗m × H + E × H ∗m ) · n dC

S (γ | E m |2 + γ 0| E m |2) dS =

= jω ·µ0 C ( E

∗m × H + E × H ∗m ) · n dC

(γ + γ 0)

S |

E m |2 dS .

Умножая обе стороны равенства на γ + γ 0 , получаем

γ 2 − γ 20 = jω ·µ0 C ( E

∗m × H + E × H ∗m ) · n dC

S | E m |2 dS .

Данное соотношение остается корректным и для критической часто-ты. На критической частоте γ 0 = 0 . Поэтому постоянная распростра-нения получается путем извлечения корня квадратного. В результатезатухание на этой частоте резко увеличивается, но остается конечным.Аналогично решается задача и для электрических мод.

Вычислим затухание для некоторых случаев.

Прямоугольный волновод. Мода H 10

Компоненты магнитного поля этой моды равны

100

8/18/2019 nsu118

101/257

H z =πa

2cos

πxa

,

H x = jπβ

a sin

πxa

,

H y = 0 .

Отсюда

|H |2 =πa

4cos2

πxa

+πβ a

2

sin2 πx

a .

Интеграл по сечению волновода равен

S |H |2 dS = ba2

πa

4+

a2

πβ a

2

= ab

2πa

2 πa

2+ β 2 =

= ab

2πa

2 4π2

λ2 ,

так какπa

2+ β 2 = g2 + β 2 = k2 =

4π2

λ2 .

Интеграл по контуру сечения

C |H |2 dC = 2πa

4b + 2 ·

a2

πa

4+

πβ a

2

=πa

42b +

4a3

λ2 =

=πa

42b + a

λ2крλ2

.

Подставляя эти интегралы в выражение для α , получаем

α = π

2 · δ λ ·

µмµ0

1

1 − λ2λ2крπa

4

2b + a λ2кр

λ2

ab2

πa

24π2λ2

=

101

8/18/2019 nsu118

102/257

= πδ λb

µмµ0

1 + 2baλ2

λ2кр

1 − λ2λ2кр.

Пример Прямоугольный волновод 10×23мм2 , медь;λ = 3 см,µм = µ0 ,b = 1 см, a = 2 .3 см, λ кр = 4 .6 см, δ ≈0.64 ·10− 4 см, f = 10 10 Гц.

α = π ·0.64 ·10− 4

1 ·3 · 1 + 22.3 · 34.6

2

1 − 34.6 2 ≈ 1.14 ·10− 4 неп/см =

= 9 .9 ·10− 4 дБ/см = 9 .9 ·10− 2 дБ/м .Изменение затухания α в зависимости от частоты представлено на

рис. 3.31.

α

ω kp

ω

Рис. 3.31

Круглый волновод. Мода H 01

H z = g012

·J 0(g01 r ),H r = jβg 01 ·J 1(g01 r ),E ϕ = − jωµg01 ·J 1(g01 r ).

102

8/18/2019 nsu118

103/257

На поверхности стенки магнитное поле имеет только z-ю компоненту(H z = 0 ), поэтому

C |H |2 dC = 2πa ·g014 J 20 (g01 a).

Далее, вычисление S |H |2 dS удобно заменить вычислением интегра-

ла

S |E

|2 dS , так как E имеет только одну составляющую:

S |H |2 dS = ε0µ0 S |E |2 dS =

ε0µ0

ω2µ20g012 S J 21 (g01 r )2πrdr =

= 2πω2

c2 g01

2a

0 J 21 (g01 r )r dr.Интеграл может быть вычислен и оказывается равным

a

0J 21 (g01 r )r dr =

a2

2 J 20 (g01 a).

Подставляя эти интегралы в выражение для α , получаем

S |H |2 dS = πω2

c2 g01

2a2 J 20 (g01 a).

Теперь можно вычислить α (при µм = µ0):

α = πδ 2λ

1

2c 1 − λ2λ2кр2πa ·g01

4 J 20 (g01 a)πω2c2 g01

2a2 J 20 (g01 a)=

= πδ λa

λ2λ2кр

1 − λ2λ2кр.

Из данного соотношения следует, что с уменьшением длины волнызатухание убывает как λ3/ 2 (так как δ ∼λ1/ 2). Это убывание является

103

8/18/2019 nsu118

104/257

следствием того, что отсутствуют продольные токи в стенках, а попе-речные токи убывают с ростом частоты.

Коротко остановимся еще на потерях в среде, заполняющей волно-вод, предполагая, что потери малы.

Как и прежде,

α = P пот 12vгр W

.

При этом

P пот 1 = σ

2 S |E |2 dS,где σ проводимость среды. В то же время

W = ε2 S E 2dS,

поэтому

α = σ2vгр ε

= ωtan θ

2c 1 − λ2

λ2кр

= πλ

tan θ

1 − λ2

λ2кр

,

где σωε = tan θ.Аналогичные вычисления могут быть проделаны и для других мод

как в прямоугольном, так и в круглом волноводе.

4. ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ В РАСЧЕТАХВОЛНОВОДОВ4.1. Волноводная линия передачи До сих пор нас интересовала лишь структура полей различных мод

и критические длины волн. Исследуем теперь распространение волн вволноводе.

Рассмотрим волновод, работающий в области частот, где может рас-пространяться лишь одна основная мода. Высшие моды предполагают-ся нераспространяющимися и быстро затухающими.

104

8/18/2019 nsu118

105/257

Как сказано ранее, решение состоит из двух волн, распространяю-щихся в противоположных направлениях и отличающихся множителя-ми e± jβz .

Существование той или иной из этих волн определяется условия-ми возбуждения (условие излучения). Если полубесконечный волноводвозбуждается в начале генератором, то в нем существует лишь однаволна, распространяющаяся в направлении от генератора (рис. 4.1).

Предположим, что в волново-

Рис. 4.1

де существует неоднородность, на-пример проводник поперек вол-новода. Тогда вблизи проводникаосновной моды недостаточно дляудовлетворения граничным условиям, так как добавляется еще условиена проводнике. В общем случае граничным условиям можно удовле-творить, если записать решение в виде суммы прямой и обратной волносновной моды и высших мод с соответственно подобранными коэффи-циентами.

Так как поля высших мод быстро затухают, то на некотором расстоя-нии от неоднородности волна вновь будет представлять собой основнуюмоду. Но при этом слева от неоднородности теперь будет две волны:прямая и отраженная, а справа по-прежнему только прошедшая па-дающая волна. Таким образом, обратная волна возникает вследствиеотражения от неоднородностей в волноводе.

Отражение можно характеризовать коэффициентом отражения Γ,равным отношению комплексных амплитуд отраженной и падающейволн:

Γ = ba

,

где a и b амплитуды падающей и отраженной волн. Комбинация па-дающей и отраженных волн дает стоячую волну, характеризуемую ко-эффициентом стоячей волны напряжения (КСВН):

ρ = |a

| +

|b

||a| − |b|.Рассмотрим неоднородность, образуемую металлической пластиной,

закрывающей все сечение волновода. На этой пластине поперечное элек-трическое поле равно нулю. Такому граничному условию можно удовле-творить с помощью суммы падающей и отраженной волн одинаковойамплитуды, взятых с обратным знаком для поперечного электрического

105

8/18/2019 nsu118

106/257

поля. Нетрудно видеть, что поперечные составляющие магнитного по-ля при этом на пластине складываются (E y = − jωµ

∂ψ∂x , H x = − jβ

∂ψ∂y ).

При этом коэффициент отражения равен −1.Такую неоднородность естественно назвать “коротким замыканием”волновода.

Разомкнутый волновод получить достаточно трудно, так как откры-тый конец волновода сильно излучает в пространство. Идеальный холо-стой ход можно было бы получить, замыкая конец волновода пластинойиз идеального магнетика с µ = ∞. Того же можно достичь, закорачиваяволновод пластиной на расстоянии Λ/ 4 от того сечения, где необходимополучить условие холостого хода.

Анализируя волны в волноводе, мы встретимся с понятиями, кото-рые прежде были введены для TEM-линий, описываемых телеграф-ными уравнениями. Эта аналогия может быть проведена значительнодальше. Проведение такой аналогии позволяет использовать для рас-четов характеристик волноводных устройств результаты, полученные втеории цепей и TEM-линий.

4.2. Телеграфные уравнения для H-волнв волноводеПоля в волноводе удовлетворяют уравнениям Максвелла

rot E = − jωµ H,rot H = jωε E.

Путем разделения переменных из этих уравнений можно получить теле-графные уравнения. Для этого запишем поля H-мод в виде (учитывая,что E z = 0 для H волн)

E = E поп = V (z) · e(x, y), H = H поп + H z = I (z) · h(x, y ) + H z ,причем векторные функции e и h имеют только поперечные составля-

ющие и зависят только от поперечных координат.Подставляя эти поля в первое уравнение Максвелла и выделяя по-

перечные составляющие, получаем

[rot (V · e)]поп = − jωµ ·I · h.106

8/18/2019 nsu118

107/257

8/18/2019 nsu118

108/257

P = 12 Re S ( E × H ∗) · z0 dS =

12 ReV I ∗ S ( e× h) z0 dS.

Исходя из последнего выражения для мощности, естественно при-нять нормировку e и h такой, чтобы

S ( e× h) z0 dS = 1.

Далее,

12 |V |

2 S εe2 dS = W e = C 1|V |2

2

электрическая энергия на единицу длины волновода. Здесь

C 1 = S

εe2 dS

эквивалентная емкость на единицу длины линии. Аналогично

W попh = 12 |I |2 S µ h2 dS = L

прод1 |I |22

магнитная энергия на единицу длины волновода, связанная с попе-речными компонентами магнитного поля; здесь

Lпрод1 = S

µ h2 dS

продольная индуктивность на единицу длины. Подставляя C 1 и Lпрод1в соответствующие уравнения, получаем

dV

dz =

− jωLпрод

1 I,

dI

dz =

− jωC

1V

− V

jωµε/g 2m C 1.

Но

µεg2m C 1

= 1ω2m C 1

= Lпоп1

поперечная индуктивность на единицу длины.В этих обозначениях уравнения приобретают форму

108

8/18/2019 nsu118

109/257

dV dz

= − jωLпрод1 I,

dI dz

= −( jωC 1 + 1

jωLпоп1) V.

Это телеграфные уравнения для волн H-типа в однородном волноводе.

Аналогичным образом можно получить уравнения для E-волн (вместоLпоп1 нужно ввести C прод1 ).

Из полученных уравнений следует, что

Z 1 = jωLпрод1 , Y 1 = jωC 1 +

1 jωL поп1

.

Необходимо отметить, что приведенное выше определение тока инапряжения в волноводе не определяет их однозначно. В самом де-ле, умножим напряжение на произвольный постоянный множитель, аток разделим на такой же множитель. Тогда нормировка по мощностисохраняется. В телеграфных уравнениях Z 1 и Y 1 изменятся так, чтоих произведение остается прежним (т. е. постоянная распространения

сохраняется), а отношение, т. е. волновое сопротивление, изменяется.Следовательно, волновое сопротивление определено неоднозначно. На-пример, для прямоугольного волновода (с модой H 10 ) волновое сопро-тивление определяют следующими способами.

Определим ток I как интеграл от продольной составляющей плот-ности тока на широкой стенке. Тогда волновое сопротивление опреде-ляется следующей формулой:

P = 12 |I |

2 ·Z I .Мощность равна

P = 12 S E x ·H ∗y dxdy = 12 S Aωµ sin πxa ·Aβ sin πxa dxdy ==

ab4

A2ωµβ.

Ток равен

109

8/18/2019 nsu118

110/257

I =a

0 H x dx =a

0 Aβ sin πx

a dx =

2aπ

Aβ.

Отсюда волновое сопротивление равно

Z I = 2P

|I |2 =

π2

8ba

ωµβ

= π2

8ba µ/ε

1

− λ2 /λ 2кр

.

Аналогично можно ввести волновое сопротивление через напряжение вцентре волновода:

Z U = |U |2

2P = 2

ba µ/ε 1 − λ2 /λ 2кр

.

4.3. Оконечное устройство (двухполюсник)Предположим, что к концу волново-

Рис. 4.2

да присоединено замкнутое электроди-намическое устройство (рис. 4.2). Для

замкнутой поверхности, окружающейоконечное устройство, справедлива тео-рема Пойнтинга

12 S ( E H ∗) n dS = P + 2 jω (W h − W e ).

Так как поля везде, кроме сечения волновода, равны нулю, то по-верхностный интеграл обращается в интеграл по сечению волновода.Подставляя E и H и учитывая условие нормировки, получим

1

2U ·I ∗

= P + 2 jω (W h − W e ). Данное соотношение аналогично полученному в теории цепей и позво-ляет ввести полное сопротивление и проводимость.

4.3.1. Полное сопротивление и проводимость

Введем полное сопротивление и полную проводимость следующимобразом:

110

8/18/2019 nsu118

111/257

8/18/2019 nsu118

112/257

Γ = ba

.

При этом мощности падающей и отраженной волн равны

P пад = 12 |a|

2 , P отр = 12 |b|

2 .

Так как электрические поля падающей и отраженной волн склады-

ваются, а магнитные вычитаются, то

U = p(a + b) = p a(1 + Γ) ,

I = 1 p

(a − b) = 1 p

a(1 − Γ).

Множители p и 1/p обратны в силу нормировки по отношению к мощ-ности. Отсюда сопротивление оконечного устройства равно

Z = U

I = p2

1 + Γ1 − Γ

.

При Γ = 0 должно быть Z = Z 0 , откуда p2

= Z 0 .Решая относительно Γ, получаем

Γ = Z − Z 0Z + Z 0

.

Как указано выше, выбор волнового сопротивления неоднозначен.В ряде случаев удобно выбирать ток и напряжение так, чтобы волно-вое сопротивление было равно единице, т. е., по существу, нормироватьсопротивление нагрузки на волновое сопротивление. Тогда

z = 1 + Γ1 − Γ

, Γ = z − 1z + 1

.

Аналогично для проводимости.При любом p, подставляя напряжение и ток в выражение для U ·I ∗,получаем

(1 + Γ)(1 − Γ∗) 12 |a|

2 = P + 2 jω (W e − W h ),откуда

112

8/18/2019 nsu118

113/257

(1 + Γ)(1 − Γ∗) = P + 2 jω (W e − W h )

12 |a|2

.

Разделяя вещественные и мнимые части, получаем

1

− Γ

·Γ∗ =

P 12 |a|2

,

(Γ − Γ∗) = 2 jω (W e − W h )

12 |a|2

.

Так как P 0, то Γ·Γ∗ 1 и |Γ| 1. Полученные выше соотношенияпозволяют найти Γ:

Γ = √ 1 − P ·e jϕ ,причем

sin ϕ = ImΓ

|Γ| , P =

P 12 |a|2

.

Полученные результаты могут быть обобщены на случай, когда со-единены несколько волноводных линий передачи, причем в общем слу-чае волноводы могут иметь различные сечения.

4.4. Соединение нескольких волноводовПусть дано соединение N волноводов. Это соединение поместим в за-

мкнутую поверхность S , пересекающую все волноводы по плоскостям,

перпендикулярным их осям (рис. 4.3). Использование комплексной тео-ремы Пойнтинга с учетом нормировки поперечных векторных функцийдает в этом случае

12 n

U n ·I ∗n = P + 2 jω (W h − W e ),

113

8/18/2019 nsu118

114/257

S

Рис. 4.3

где P средняя рассеиваемая в соединении мощность; W h и W e средние запасы энергии магнитного и электрического полей; n номервхода.

4.4.1. Матрицы сопротивления и проводимости

Из линейности уравнений Максвелла следует линейная зависимостьнапряжений от токов

U n =m

Z nm I m .

Коэффициенты Z nm образуют матрицу

Z = {Z nm },называемую матрицей полного входного сопротивления многополюсни-ка.

Указанное выше соотношение может быть записано в матричнойформе

U = Z I ,

где U (U 1 , U 2 , . . . , U N ) и I (I 1 , I 2 , . . . , I N ) совокупности напряжений итоков входов. Это соотношение может быть обращено:

I = Y U,где Y = {Y nm } матрица полной проводимости. Очевидно, чтоY = Z − 1 .

Полученное выше соотношение может быть записано в виде

12

U I ∗ = P + 2 jω (W h − W e )или, подставляя U = Z I ,

114

8/18/2019 nsu118

115/257

8/18/2019 nsu118

116/257

8/18/2019 nsu118

117/257

8/18/2019 nsu118

118/257

Для вычисления их вариации будем исходить из соотношения

I ∗ZI = 4 jω (W h − W e ) = jω V (µ|H |2 − ε|E |2) dV,где

W h = 12

V µ|H |2

2 dV, W e =

12

V ε|E |2

2 dV.

Здесь интеграл берется по объему V , ограниченному поверхностьюS , совпадающей с внутренней поверхностью сочленения и пересекаю-щей волноводы по плоскостям, перпендикулярным осям волноводов.

Предположим, что варьируется только магнитное поле, а электри-ческое изменяется в зависимости от магнитного согласно второму урав-нению Максвелла

E = 1 jωε

rot H.

Подставим это в приведенное выше соотношение

I ∗

ZI = jω V µ| H |2

− εω2ε2 |rot H |

2 dV =

= jωε

V

k2| H |2 − |rot H |2 dV = jωε

V

k2 H H ∗ − rot H ·rot H ∗ dV.

Возьмем теперь вариацию правой и левой частей:

δI ∗ZI + I ∗δZI + I ∗ZδI = jωε V k2 H ·δ H ∗ + k2δ H · H ∗−

− rot δ H

·rot H ∗

− rot H

·rot δ H ∗ dV.

Воспользуемся векторным тождеством

div(rot H ×δ H ∗) = δ H ∗·rotrot H − rot H ·rot δ H ∗,из которого следует, что

−rot H ·rot δ H ∗ = div(rot H ×δ H ∗) − δ H ∗ ·rotrot H,118

8/18/2019 nsu118

119/257

8/18/2019 nsu118

120/257

I ∗δZI = 0 .

Вследствие произвольности токов отсюда следует δZ = 0 .Итак, вариация матрицы сопротивления обращается в нуль при сле-

дующих условиях:1. Поле H удовлетворяет уравнению Гельмгольца

k2 H

− rotrot H = 0.

2. Тангенциальная составляющая rot H или, что равносильно, тан-генциальная составляющая электрического поля E равна нулю.

Но это значит, что H является решением уравнений Максвелла пристандартных граничных условиях. Следовательно, решение электроди-намической задачи сообщает матрице сопротивления Z , рассматривае-мой как функционал, стационарное значение. Заметим, что электроди-намические граничные условия в данном случае являются естественны-ми граничными условиями соответствующей вариационной задачи.

Аналогично может быть рассмотрен случай вариации электрическо-го поля. При этом получается соотношение, которое определяет вариа-цию матрицы сопротивлений:

δI ∗ZI + I ∗δZI + I ∗ZδI = jωµ V (k2 E − rotrot E ) ·δ E ∗+

+ ( k2 E ∗ − rotrot E ) ·δ E ∗ dV + S H ×δ E ∗ + H ∗×δ E n dS. Для того чтобы в этом случае вариация δZ обратилась в нуль, элек-

трическое поле E должно удовлетворять уравнению Гельмгольца. Кро-ме того, тангенциальная составляющая вариации δ E должна обращать-ся в нуль на поверхности сочленения. При этом, как видим, не накла-дывается граничное условие на само поле E . Этому условию функция

E должна удовлетворять в силу требований электродинамики, но необращения в нуль вариации матрицы сопротивления. В этом состоитразличие с предыдущим случаем.

Далее процедура та же, что и в предыдущем случае.Итак, в данном случае вариация матрицы сопротивления обращает-

ся в нуль при следующих условиях:1. Электрическое поле E удовлетворяет уравнению Гельмгольца.

120

8/18/2019 nsu118

121/257

2. Вариация δ E имеет равную нулю на внутренней поверхности S сочленения тангенциальную составляющую.

Таким образом, удовлетворение граничным условиям функцией E не входит в число условий, необходимых для обращения в нуль вари-ации матрицы сопротивления. В данном случае электродинамическиеграничные условия не являются естественными граничными условиямивариационной задачи (а являются так называемыми главными гранич-ными условиями).

4.4.5. Обобщение на случай волноводов, по которыммогут распространяться волны нескольких мод

До сих пор рассмотрение ограничивалось волноводами, по которымраспространяется лишь одна (основная) мода. Возможно обобщение наслучай любого числа распространяющихся мод.

Данное обобщение производится путем введения напряжений и то-ков, соответствующих каждой распространяющейся моде. При этом ос-новные соотношения не изменяются благодаря тому, что поля различ-ных мод в волноводе ортогональны, что приводит к исчезновению пе-рекрестных интегралов типа

S ( E m × H k ) z0 dS при m = k,где S поперечное сечение волновода; z0 единичный вектор в на-правлении оси z.

Волновод, по которому может распространяться N различных мод,эквивалентен N парам зажимов.

4.4.6. Матрица рассеяния

Кроме описания поля в многополюснике с помощью напряжений итоков, возможно также волновое описание, т. е. описание с помощьюамплитуд входящих и выходящих волн.

Напряжения и токи могут быть выражены через сумму и разностьамплитуд входящей и выходящей волн:

U n = pn (an + bn ),

I n = 1 pn

(an − bn ).

121

8/18/2019 nsu118

122/257

Величина pn связана с волновым сопротивлением волновода. Дей-ствительно, как показано ранее,

p2n = Z 0n ,

откуда pn = √ Z 0n . В дальнейшем мы будем предполагать, что все вол-новые сопротивления выбраны равными единице. Тогда

U n = an + bn ,I n = an − bn ,

откуда

an = 1

2 (U n + I n ),

bn = 1

2 (U n − I n ).

Между напряжениями и токами имеет место соотношение

U n =m

Z nm I m .

Подставляя это в выражения для an и bn , находим

an = 1

2 mZ nm I m + I n =

12 m

(Z nm + δ nm ) I m ,

bn = 1

2 mZ nm I m − I n =

12 m

(Z nm − δ nm ) I m ,где

δ nm = 0 при n = m,1 при n = m.

В матричной форме эти соотношения записываются следующим об-разом:

a = 1

2 (Z + 1) I,

b = 1

2 (Z − 1) I.

122

8/18/2019 nsu118

123/257

Найдем из первого соотношения ток I :

I = 2( Z + 1) − 1a.

Подставляя это в выражение для b, получаем

b = ( Z − 1)(Z + 1) − 1a.Матрица

S = ( Z − 1)(Z + 1) − 1 ,связывающая выходящие волны с входящими, называется матрицейрассеяния. Можно показать, что матрица рассеяния может быть вы-ражена также через матрицу проводимости:

S = (1 − Y )(1 + Y )− 1 . Диагональные элементы матрицы рассеяния это коэффициенты

отражения при отсутствии входящих волн во всех волноводах, кромеданного, т. е. когда все волноводы, кроме питаемого, нагружены на со-гласованные нагрузки. Недиагональные элементы это коэффициентыпередачи при тех же условиях.

4.4.7. Свойства матрицы рассеяния

Симметрия

Умножим матрицу рассеяния слева на (Z + 1) :

(Z + 1) ·S = ( Z + 1)( Z − 1)(Z + 1) − 1 .Нетрудно видеть, что матрицы Z + 1 и Z −1 коммутативны. Этоможно проверить умножением. Переставляя сомножители в правой ча-

сти равенства, получаем

(Z + 1) S = ( Z − 1)(Z + 1)( Z + 1) − 1или, объединяя два последних множителя,

(Z + 1) S = Z − 1.Умножая теперь слева на (Z + 1) − 1, находим

S = ( Z + 1) − 1(Z − 1).123

8/18/2019 nsu118

124/257

Таким образом, матрицы Z −1 и (Z + 1) − 1 коммутативны. Отметим,что эти матрицы симметричны. Из теории матриц известно, что матри-ца, являющаяся произведением двух симметричных матриц, коммути-рующих между собой, симметрична. Следовательно, матрица рассеяниятакже симметрична, что записывается в виде соотношения

S T = S,

где S T транспонированная матрица.Симметрия матрицы рассеяния является следствием симметрии мат-

рицы сопротивления (или матрицы проводимости).

4.4.8. Энергетические соотношения

Подставляя в найденное ранее соотношение выражения напряженийи токов через амплитуды волн, получаем

12 n

(an + bn )(a∗n − b∗n ) = P + 2 jω (W h − W e )или, раскрывая скобки,

12 n

(an a∗n −bn b∗n + a∗n bn −an b∗n ) = P + 2 jω (W h − W e ).

Разделяя вещественную и мнимую части, получаем

n(an a∗n − bn b∗n ) = 2 P,

n(a∗n bn − an b∗n ) = 4 jω (W h − W e ).

Данные соотношения могут быть записаны в матричной форме:

a ·a∗ − b·b∗ = 2 P,a∗·b − a ·b∗ = 4 jω (W h − W e ).

Если в сочленении отсутствуют потери, т. е. P = 0 , то первое соот-ношение может быть записано в виде

|a|2 = |b|2 ,124

8/18/2019 nsu118

125/257

8/18/2019 nsu118

126/257

Второе соотношение дает

a∗·Sa − a ·S ∗a∗ = 4 jω (W h − W e )или после перестановки во втором слагаемом в правой части

a∗·(S − S ∗T )a = 4 jω (W h − W e ).В частности, если S симметричная матрица, то получим

a∗·(S − S ∗)a = 4 jω (W h − W e ).Матрица S −S ∗ чисто мнимая.

4.4.9. Преобразование матрицы рассеяния при переносеотсчетных плоскостей

Рассмотрим перенос отсчетных , ,n n n n

n

a b a b

l

Рис. 4.4

плоскостей во всех волноводах на рас-стояния ln в сторону от сочленения кгенератору (рис. 4.4). До переноса мыимеем соотношение b = Sa . Для новыхплоскостей отсчета аналогичное соот-ношение примет вид b = S a . Для an ,bn , an , bn имеем

an = an e jβ n l n , bn = bn e− jβ n l n ,откуда

an = an e jβ n l n , bn = bn e jβ n l n .Введем диагональную матрицу L:

L =e jβ 1 l 1 0

· · ·0 e

jβ n l n.

С помощью этой матрицы запишем приведенные выше соотношения:

a = La, b = Lb ,

или

a = L− 1a , b = Lb .

126

8/18/2019 nsu118

127/257

Подставляя это в соотношение, связывающее амплитуды входящихи выходящих волн, получаем

Lb = S ·L− 1a или b = L− 1S ·L− 1a .Отсюда следует, что

S = L− 1SL − 1 .

Данная формула дает преобразование матрицы рассеяния при пере-носе отсчетных плоскостей.

4.4.10. Двойной тройник

В измерительной технике часто при-

3

1

42

Рис. 4.5

меняется двойной тройник, составлен-ный из прямоугольных волноводов сосновной модой H 10 (рис. 4.5). Такойтройник обладает некоторыми инте-ресными свойствами.

Для выяснения этих свойств вос-пользуемся матрицей рассеяния с уче-

том свойств симметрии двойного трой-ника. Двойной тройник является вось-миполюсником и имеет, следователь-но, матрицу рассеяния четвертого порядка. Так как предполагается, чтостенки волноводов идеально проводящие, то матрица рассеяния двой-ного тройника унитарна.

Из симметрии двойного тройника следует

S 11 = S 22 , S 13 = S 23 ,

S 14 = −S 24 , S 34 = S 43 = 0 .Кроме того, из симметрии матрицы рассеяния следует, что

S 12 = S 21 , S 13 = S 31 , S 14 = −S 41 , S 23 = S 32 , S 24 = S 42 , S 34 = −S 43 .Таким образом, матрица рассеяния имеет вид

S 11 S 12 S 13 S 14S 12 S 11 S 13 −S 14S 13 S 13 S 33 0S 14 −S 14 0 S 44

.

127

8/18/2019 nsu118

128/257

8/18/2019 nsu118

129/257

2. Возьмем теперь суммы квадратов модулей третьей и четвертойстрок матрицы рассеяния (при условии S 33 = S 44 = 0):

|S 13 |2 + |S 13 |2 = 1 ,|S 14 |2 + |S 14 |2 = 1 .

Отсюда получаем

|S 13 | = |S 14 | = 1√ 2.Этот результат можно сформулировать следующим образом: при

условии S 33 = S 44 = 0 в двойном тройнике мощность волны, подан-ной в боковое плечо, делится поровну между плечами 3 и 4.

Двойной тройник, у которогоS 33 = S 44 = 0 и, следовательно,S 11 = 0 ,S 22 = 0 и S 12 = S 21 = 0 , называют согласованным. В этом случае мат-рица рассеяния имеет особенно простой вид, так как

S 11 = S 22 = S 33 = S 44 = S 34 = S 43 = 0

и

S 13 = 1√ 2 , S 14 = 1√ 2 .Тогда имеем

S = 1√ 2

0 0 1 10 0 1 −11 1 0 01 −1 0 0

.

Согласованный двойной тройник находит применение в измеритель-ной технике, так как позволяет производить измерение коэффициентаотражения оконечных устройств.

Предположим, что волна амплитуды a3 подается в плечо 3. К плечу2 присоединим согласованную нагрузку, а к плечу 1 измеряемую.Найдем амплитуду волны, поступающей в плечо 4:

b4 = 1√ 2(a1 − a2).

В то же время a2 = 0 , так как к плечу 2 присоединена согласован-ная нагрузка. Величина a1 определяется коэффициентом отражения отнагрузки Γ:

129

8/18/2019 nsu118

130/257

a1 = Γ b1 .

Но

b1 = 1√ 2(a3 − a4).

Предположим, что в плече 4 установлен согласованный индикатор.Тогда a4 = 0 и

b1 = 1√ 1 a3 .

Подставляя это в выражение для a1 , получаем

a1 = Γ 1√ 2 a3 , и b4 =

12

Γ a3 .

Таким образом, амплитуда волны на выходе 4-го плеча пропорцио-нальна коэффициенту отражения в плече 1.

Можно показать, что если к плечам 1 и 2 присоединены одинако-вые (хотя бы и не согласованные) нагрузки, то волна на выходе плеча4 равна нулю. Это свойство используется для измерения полных сопро-

тивлений.4.5. Частотные свойства4.5.1. Частотная зависимость матрицы сопротивления(проводимости) сочленения без потерь

Для сочленения без потерь уравнения Максвелла имеют вид

rot E = − jωµ H, rot H = jωε E.Предполагается, что µ и ε не зависят от частоты. Продифференци-

руем эти уравнения по частоте:

rot ∂ E ∂ω

= − jµ H − jωµ ∂ H ∂ω ,rot ∂

H ∂ω

= jε E + jωε∂ E ∂ω

.

Умножим первое равенство скалярно на H ∗, а второе на E ∗и вычтемпервое из второго. Тогда (предполагая µ и ε скалярами или симметрич-ными тензорами) получим

130

8/18/2019 nsu118

131/257

H ∗·rot ∂ E ∂ω − E

∗·rot ∂ H ∂ω

= − j (µ| H |2 + ε| E |2) −

− rot E ∗∂ H ∂ω

+ rot H ∗∂ E

∂ω.

Далее, перенося последние два слагаемых из правой части в левую,получаем

div ∂ E

∂ω × H ∗ + div E ∗×

∂ H ∂ω

= − j (µ| H |2 + ε| E |2).

Проинтегрируем теперь это равенство по объему внутри поверхности,охватывающей все сочленение и пересекающей волноводы по плоско-стям, перпендикулярным их осям. При этом объемный интеграл отдивергенции переходит в поверхностный. Меняя внешнюю нормаль навнутреннюю, получаем

S ∂ E

∂ω × H ∗ + E ∗

× ∂ H

∂ω ·n dS =

V j (µ

| H

|2 + ε

| E

|2) dV.

Здесь n внутренняя нормаль. Если теперь выразить поля через на-пряжения и токи, то найдем, что

∂U ∂ω

I ∗ + U ∗∂I ∂ω

= 4 j (W H + W E ).

Здесь U и I совокупности напряжений и токов во всех волноводах,W H =

12 V

µ|H |22 dV и W E = 12 V

ε|E |22 dV средние запасы магнитнойи электрической энергии в объеме сочленения. Напряжения выражают-ся через токи с помощью матрицы сопротивления

U = Z I ,

откуда

∂U ∂ω

= ∂Z ∂ω

I + Z ∂I ∂ω

.

Подставляя это в записанные выше уравнения, получаем

131

8/18/2019 nsu118

132/257

I ∗∂Z ∂ω

I + I ∗Z ∂I ∂ω

+ ∂I ∂ω

Z ∗I ∗ = 4 j (W H + W E )

или, учитывая что Z ∗= −Z для сочленения без потерь,I ∗

∂Z ∂ω

I + I ∗Z ∂I ∂ω −

∂I ∂ω

ZI ∗ = 4 j (W H + W E ).

С учетом симметрии матрицы сопротивлений два последние слагае-мые в левой части равенства взаимно уничтожаются, в результате чегополучаем

I ∗∂Z ∂ω

I = 4 j (W H + W E ).

Аналогичное соотношение можно получить для матрицы проводи-мостей:

U ∗∂Y ∂ω

U = 4 j (W H + W E ).

Заметим, что матрицы ∂Z ∂ω и ∂Y ∂ω составлены из элементов

∂Z mn∂ω и

∂Y mn∂ω .

4.5.2. Частотная зависимость матрицы рассеяния

Будем исходить из полученного выше соотношения:

∂U ∂ω

I ∗ + U ∗ ∂I ∂ω

= 4 j (W H + W E ).

Так как U = a + b, I = a −b, то, подставляя это, получаем

∂a∂ω

+ ∂b∂ω

(a∗ − b∗) + ( a∗ + b∗)∂a∂ω −

∂b∂ω

= 4 j (W H + W E ).

Раскрывая скобки и сокращая, находим

a∗∂a∂ω − b

∗ ∂b∂ω

= 2 j (W H + W E ).

Далее, b∗= S ∗a∗, ∂b∂ω = ∂S ∂ω a + S

∂a∂ω . Подставляя это, получаем

a∗∂a∂ω − S

∗a∗∂S ∂ω

a + S ∂a∂ω

= a∗∂a∂ω −

∂S ∂ω

a S ∗a∗ − S ∗a∗S ∂a∂ω

.

132

8/18/2019 nsu118

133/257

Так как S и ∂S ∂ω симметричные матрицы, то в последних двухслагаемых в правой части можно совершить перестановку:

a∗∂a∂ω − a

∗S ∗∂S ∂ω

a − ∂a∂ω

SS ∗a∗ = −a∗S ∗∂S ∂ω

a,

так как S ·S ∗= 1 для сочленения без потерь.Итак, для сочленения без потерь имеем соотношение, определяющеечастотную зависимость матрицы рассеяния:

−a∗S ∗∂S ∂ω

a = 2 j (W H + W E ).

Как и в предыдущем случае, матрицы ∂Z ∂ω и ∂Y ∂ω составлены из эле-

ментов ∂Z mn∂ω и ∂Y mn

∂ω .

4.5.3. Оконечное устройство

Для оконечного устройства (двухполюсника) из предыдущего нахо-дим

∂Z ∂ω

= 2 j W 12 I I

∗

, ∂Y ∂ω

= 2 j W 12 U U

∗

.

Соотношения для матрицы рассеяния переходят в следующие:

S = Γ = ejϕ , если оконечное устройство без потерь,

−a∗S ∗∂S ∂ω

a = −a∗Γ∗∂ Γ∂ω

a = −a∗e− jϕ je jϕdϕdω

a = 2 j (W H + W E ).

Отсюда имеем

dϕdω = −

W P ,

где P = 12 aa∗ мощность падающей волны.

Последнее соотношение имеет простой физический смысл. Предпо-ложим, что на вход оконечного устройства подана сумма двух волнблизких частот ejω 1 t и ejω 2 t . Тогда отраженная волна также будет со-стоять из двух волн этих частот, но с различными сдвигами фазы:

133

8/18/2019 nsu118

134/257

8/18/2019 nsu118

135/257

8/18/2019 nsu118

136/257

8/18/2019 nsu118

137/257

8/18/2019 nsu118

138/257

8/18/2019 nsu118

139/257

(1 + Γ) E 1 +∞

n =2An E n = T E 1 +

∞

n =2Bn E =

E (x, y) на отверстии,0 на диафрагме.

Здесь E (x, y ) неизвестная векторная функция, имеющая только по-перечные компоненты. Эта функция может быть разложена по попе-речным собственным функциям волновода:

E =∞

n =1

E n S

E · E ∗n dS,

причем функции E n нормированы так, что

S E n · E ∗n dS = 1 .Здесь и выше интеграл берется по сечению волновода.

Сравнивая коэффициенты слева и справа, получаем

1 + Γ = T =

S 2 E

· E ∗

1 dS,

An = Bn = S 2 E · E ∗n dS.Здесь интегралы взяты по отверстию, так как вне отверстия функция

E (x, y ) ≡0. Далее следует приравнять магнитные поля слева и справа с учетомтого, что 1+Γ = T и An = Bn . Заметим, что приравнивание справедливотолько на отверстии (S 2):

(1 − Γ)z0 ×

E 1Z 1 +

∞

n =2 −Anz0 ×

E nZ n = (1 + Γ)

z0 ×

E 1Z 1 +

∞

n =2An

z0 ×

E nZ n .

Если теперь умножить левую и правую части векторно на z0 и со-брать все слагаемые слева, то получим уравнение

Γ E 1

Z 1+

∞

n =2An

E nZ n

= 0 .

139

8/18/2019 nsu118

140/257

8/18/2019 nsu118

141/257

уравнение обладает лишь одним собственным значением (как это сле-дует из физического смысла задачи).

Можно получить явное выражение для B. Для этого умножим ска-лярно последнее уравнение на E ∗(x, y ) и проинтегрируем по S 2 . Тогда

∞

n =2

2Z 1 jZ n

S 2

E ∗· E n dS S 2

E · E ∗n dS − B S 2

E ∗· E 1 dS S 2

E · E ∗1 dS = 0.

Решая это равенство относительно B , получаем

B =∞

n =2

2Z 1 jZ n

S 2 E ∗· E n dS

2

S 2 E ∗· E 1 dS 2 .

Отметим, что для электрических мод Z E n = γ n /jωε , для магнитныхмод Z H n = jωµ/γ n , Z 1 вещественная положительная величина. По-этому слагаемые в последней сумме, соответствующие электрическиммодам, дают положительный (емкостной) вклад в B , а члены, соответ-ствующие магнитным модам, отрицательный (индуктивный).В большинстве случаев точное решение полученных уравнений по-лучить невозможно, поэтому используют те или иные приближенныеметоды или искусственные приемы для решения задачи.

4.6.4. Вариационные методы

Полученное ранее выражение для B

B =∞

n =2

2Z 1 jZ n

S 2 E ∗· E n dS

2

S 2 E ∗

· E 1 dS 2

обладает некоторым вариационным свойством. Будем рассматриватьэто соотношение как функционал от функции E (x, y ). Покажем, чтофункция E (x, y ), удовлетворяющая найденному в разделе 4.6.3 инте-гральному уравнению, обращает в нуль вариацию B, т. е. сообщает Bстационарное значение. Для этого перепишем приведенное выше выра-жение в виде

141

8/18/2019 nsu118

142/257

∞

n =2

2Z 1 jZ n

S 2

E ∗· E n dS S 2

E · E ∗n dS − B S 2

E ∗· E 1 dS S 2

E · E ∗1 dS = 0

и будем варьировать функцию E :

∞

n =22Z 1 jZ n S 2 δ E ∗· E n dS S 2 E · E ∗n dS +

∞

n =22Z 1 jZ n S 2 E ∗· E n dS S 2 δ E · E ∗n dS −

− δB S 2 E · E ∗1 dS 2

− B S 2 δ E ∗· E 1 dS S 2 E · E ∗1 dS ++ S 2 E ∗· E 1 dS · S 2 δ E · E ∗1 dS = 0 .

Перегруппируя слагаемые, полученное равенство можно переписатьследующим образом:

S 2 dS δ E ·∞

n =2

2Z 1 jZ n

E ∗n S 2 E ∗· E n dS − B E ∗1 S 2 E ∗· E 1 dS ++ S 2 dS δ E ∗·

∞

n =2

2Z 1 jZ n

E n S 2 E · E ∗n dS − B E 1 S 2 E · E ∗1 dS −− δB

S 2

E · E ∗1 dS 2

= 0 .

Для того чтобы вариация δB была равна нулю при произвольнойвариации δ E , необходимо и достаточно, чтобы выражения в фигурныхскобках были равны нулю. Заметим, что при вещественном B (как этоследует из физического смысла B ) скобки комплексно сопряжены однадругой и обращаются в нуль одновременно. Итак, условием стационар-ности B является уравнение, которому должна удовлетворять функция

E :

142

8/18/2019 nsu118

143/257

∞

n =2

2Z 1 jZ n

E n S 2 E · E ∗n dS − B E 1 S 2 E · E ∗1 dS = 0 .Это уравнение в точности совпадает с полученным выше (из условийсшивания полей на диафрагме) уравнением, что и требовалось дока-зать.

Нужно отметить при этом, что векторная функция E должна допол-

нительно удовлетворять указанным выше граничным условиям (так какграничные условия не входят в условия стационарности). Это наклады-вает ограничения на выбор пробных функций при решении вариацион-ной задачи.

4.6.5. Приближенное вычисление проводимости

Стационарность функционала B в окрестности решения позволяетиспользовать для вычисления B не только точное решение, котороеобычно заранее неизвестно, но и некоторое приближение, выбранноеиз тех или иных соображений. Благодаря стационарности функциона-ла это дает малую ошибку.

Пример. Индуктивная диафрагма в прямоугольном волноводе(рис. 4.9).

В этом случае, для того чтобы удо-

0000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000111111111111111111111111d y

x

a

0 x

z

Рис. 4.9

влетворить граничным условиям, всилу условий симметрии, достаточ-но использовать только высшие мо-ды типа H n 0 . Для этих мод отличнаот нуля только y-я компонента элек-трического поля E :

E ny = 2ab sin nπxa нормированная функция. Для вычисления B в первом при-ближении можно аппроксимировать функцию E y (x) полупериодом си-

нусоиды:

E y = cos π(x −x0)d на отверстии,0 вне отверстия.

Для дальнейшего нужно вычислить интеграл

143

8/18/2019 nsu118

144/257

8/18/2019 nsu118

145/257

так, чтобы функция B имела стационарное значение. Для этого прирав-нивают нулю производные от B по коэффициентам. Полученная систе-ма уравнений позволяет найти коэффициенты разложения.

Полной ортогональной системой функций, удовлетворяющей гра-ничным условиям на границах отверстия, является система собствен-ных поперечных векторных функций волновода, сечение которого сов-падает с отверстием диафрагмы.

Обозначим эти функции через en (x, y ). Тогда

E ≈N

m =1am em .

Вычислим интеграл

I n = S 2 E · E ∗dS =N

m =1am S 2 em E ∗n dS =

N

m =1am bmn ,

где

bmn = S 2

em E ∗n dS.

Подставляя в выражение для B , получаем

B =

∞

n =2

2Z 1 jZ n

N

m =1am bmn

2

N

m =1am bm 1

2 .

Перепишем это равенство в следующем виде:

BN

m =1am bm 1

N

s =1a∗s b

∗

s 1 =∞

n =2

2Z 1 jZ n

N

m =1am bmn

N

s =1a∗s b

∗

sn .

Теперь будем варьировать коэффициенты am , a∗

s (в предположенииδB = 0):

B N

m =1δam bm 1

N

s =1a∗s b

∗

s 1 +N

m =1am bm 1

N

s =1δa∗s b

∗

s 1 =

=∞

n =2

2Z 1 jZ n

N

m =1δam bmn

N

s =1a∗s b

∗

sn +N

m =1am bmn

N

s =1δa∗s b

∗

sn ,

145

8/18/2019 nsu118

146/257

или, иначе

N

m =1δam B bm 1

N

s =1a∗s b

∗

s 1 −∞

n =2

2Z 1 jZ n

bmnN

s =1a∗s b

∗

sn +

+N

s =1δa∗s B b

∗

s 1

N

m =1am bm 1 −

∞

n =2

2Z 1 jZ n

b∗sn ·N

m =1am bmn = 0 .

Вследствие произвольности вариаций δam и δa∗

s это равенство можетвыполняться, лишь если равны нулю выражения в фигурных скобках.Так как Z 1 вещественно, а Z n чисто мнимые величины (n > 1), товыражения в фигурных скобках комплексно сопряжены друг другу идостаточно, чтобы в нуль обращалось одно из них, например,

B b∗s 1N

m =1am bm 1 −

∞

n =2

2Z 1 jZ n

b∗snN

m =1am bmn = 0 для s = 1 , 2, . . . , N.

Данные равенства могут быть переписаны в виде (при перестановкепорядка суммирования)

N

m =1am

∞

n =2

2Z 1 jZ n

b∗sn bmn − B b∗s 1bm 1 = 0 при s = 1 , 2, . . . , N.

Мы получили систему из N однородных линейных алгебраическихуравнений для N неизвестных коэффициентов am . Эта система имеетнетривиальное решение, если ее определитель равен нулю. Приравниваянулю определитель, получаем алгебраическое уравнение для определе-ния неизвестной пока проводимости B . По смыслу задачи эта величинадолжна быть вещественной, а решение единственным. Можно пока-зать, что это действительно так. Для этого вначале предположим, чтони один из коэффициентов b∗s 1 не равен нулю. Разделим каждое из урав-

нений системы на соответствующее b∗

s 1 . Тогда получим систему

N

m =1am

∞

n =2

2Z 1 jZ n

b∗sn bmnb∗s 1 − B bm 1 = 0 при s = 1, 2, . . . , N .

Уравнение для B в этом случае приобретает вид

146

8/18/2019 nsu118

147/257

8/18/2019 nsu118

148/257

Согласно методу Галеркина, коэффициенты am выбирают так, чтобы∆ была ортогональна всем функциям es (s = 1 , 2, . . . , N ) на S 2:

S 2∞

n =1

E nZ n

N

m =1am S 2 em · E ∗n dS −

E 1Z 1 ·es

∗·dS = 0, s = 1 , 2, . . . , N.

Обозначим

bmn = S 2 em E ∗n dS и bsn = S 2 es E ∗n dS.Тогда уравнения приобретают вид

∞

n =1

b∗snZ n

N

m =1am bmn =

b∗s 1Z 1

,

или

N

m =1

am∞

n =1

b∗sn bmnZ n

= b∗s 1

Z 1, s = 1 , 2, . . . , N.

Мы получили систему N линейных уравнений относительно N ко-эффи�