notions mecanique-des-fluides
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NOTIONS DEMECANIQUE DES FLUIDES
Cours et Exercices Corrigés
Riadh BEN HAMOUDA
Centre de Publication Universitaire
AVANT-PROPOS
L’étude de la
mécanique des
fluides remonte au
moins à l’époque
de la Grèce
antique avec le
célèbre savon
Archimède, connu
par son principe
qui fut à l’origine
de la statique des
fluides.
Aujourd’hui, la
dynamique des
fluides est un
domaine actif de la
recherche avec de
nombreux
problèmes non
résolus ou
partiellement
résolus.
Dans cet
ouvrage se trouve
exposé l’essentiel
de ce qu’un
étudiant des
Instituts Supérieurs
des Etudes
Technologiques
doit savoir. Les
automatismes
hydrauliques et
pneumatiques sont
actuellement très
utilisés en
industrie. Donc, un
technicien quelque
soit sa spécialité
doit acquérir les
notions
fondamentales en
mécanique des
fluides. Nous
avons cherché à
éviter les
développements
mathématiques
trop abondants et
pas toujours
correctement
maîtrisés par la
plupart des
techniciens
supérieurs et
insisté très
largement sur les
applications
industrielles et les
problèmes de
dimensionnement.
Ainsi, l’étude de la
mécanique des
fluides sera limitée
dans cet ouvrage à
celle des fluides
homogènes. Les
lois et modèles
simplifiés seront
utilisés pour des
fluides continus
dans une
description
macroscopique.
Egalement, nous
limiterons notre
étude à celle des
fluides parfaits et
réels. Dans l’étude
dynamique nous
serons amenés à
distinguer les
fluides
incompressibles et
les fluides
compressibles.
Le chapitre 1
constitue une
introduction à la
mécanique des
fluides dans
laquelle on classe
les fluides parfaits,
les fluides réels,
les fluides
incompressibles et
les fluides
compressibles et
on définit les
principales
propriétés qui
seront utilisées
ultérieurement.
Le chapitre 2 est
consacré à l’étude
des fluides au
repos. Les lois et
théorèmes
fondamentaux en
statique des fluides
y sont énoncés. La
notion de pression,
le théorème de
Pascal, le principe
d’Archimède et la
relation
fondamentale de
l’hydrostatique sont
expliqués.
Dans le chapitre
3 sont traitées les
équations
fondamentales qui
régissent la
dynamique des
fluides
incompressibles
parfaits, en
particulier,
l’équation de
continuité et le
théorème de
Bernoulli. Elles
sont considérées
très importantes
dans plusieurs applications industrielles, entre autres dans la plupart des
instruments de mesures de pressions et de débits qu’on peut rencontrer dans
beaucoup de processus industriels de fabrication chimique surtout.
Dans le chapitre 4 sont démontrés les équations et les théorèmes relatifs à la
dynamique des fluides incompressibles réels. Une méthode simplifiée de calcul
des pertes de charge basée sur ces équations est proposée. Elle est indispensable
pour le dimensionnement des diverses installations hydrauliques (problèmes de
pompage, de turbines, de machines hydrauliques, et thermiques dans lesquelles
est véhiculé un fluide etc.)
Le chapitre 5 est consacré à l’étude des fluides compressibles. Les lois et les
équations fondamentales de la dynamique ainsi que le théorème de Saint-Venant
nécessaires pour traiter un problème d’écoulement de gaz sont démontrés.
Certaines notions de thermodynamique, jugées indispensables pour introduire
quelques paramètres, sont ajoutées.
La dernière partie de chaque chapitre est consacrée à des exercices corrigés.
Ils sont extraits, pour la plupart, des examens et devoirs surveillés que j’ai proposé
à l’Institut Supérieur des Etudes Technologique de Djerba. Ils sont choisis pour
leur intérêt pratique et pour leur diversité. Chaque exercice traite un domaine
particulier d’application qu’un technicien supérieur pourrait rencontrer aussi bien
dans le cadre des travaux pratiques à l’ISET qu’en industrie dans sa vie active. Les
solutions avec beaucoup de détail, devraient permettre à l’étudiant d’acquérir, en
peu de temps, la maîtrise nécessaire des concepts utilisés. Ces exercices
permettront également de tester l’avancement de leurs connaissances.
En ce qui concerne la typographie, il a paru opportun de garder les mêmes
notations dans la partie exercices corrigés et dans la partie cours. Les points
importants sont écrits en caractère gras et les résultats sont encadrés.
Cet ouvrage constitue une première version. Il sera certainement révisé. Les
critiques, les remarques et les conseils de tous les compétents du domaine qui
veulent nous aider et encourager seront accueillis avec beaucoup de respect et
remerciement.
Riadh BEN HAMOUDA, Octobre 2008
TABLE DES MATIERES
Chapitre 1 : Introduction à la Mécanique des Fluides ......................................... 11 Introduction ........................................................................................................... 12 Définitions ............................................................................................................. 1
2.1 Fluide parfait .................................................................................................. 22.2 Fluide réel ...................................................................................................... 32.3 Fluide incompressible .................................................................................... 32.4 Fluide compressible....................................................................................... 3
3 Caractéristiques physiques ................................................................................... 43.1 Masse volumique........................................................................................... 43.2 Poids volumique ............................................................................................ 43.3 Densité .......................................................................................................... 43.4 Viscosité ........................................................................................................ 5
4 Conclusion ............................................................................................................ 75 Exercices d’application ......................................................................................... 8
Chapitre 2 : Statique des fluides ......................................................................... 101 Introduction ......................................................................................................... 102 Notion de pression en un point d’un fluide .......................................................... 103 Relation fondamentale de l’hydrostatique ........................................................... 124 Théorème de Pascal........................................................................................... 14
4.1 Enoncé ........................................................................................................ 144.2 Démonstration ............................................................................................. 14
5 Poussée d’un fluide sur une paroi verticale ........................................................ 155.1 Hypothèses.................................................................................................. 155.2 Eléments de réduction du torseur des forces de pression ........................... 15
5.2.1 Résultante ............................................................................................ 165.2.2 Moment................................................................................................. 16
5.3 Centre de poussée ...................................................................................... 176 Théorème d’Archimède ....................................................................................... 17
6.1 Énoncé ........................................................................................................ 176.2 Démonstration ............................................................................................. 18
7 Conclusion .......................................................................................................... 208 Exercices d’aplication ......................................................................................... 21
Chapitre 3 : Dynamique des Fluides Incompressibles Parfaits ........................ 521 Introduction ......................................................................................................... 522 Ecoulement Permanent ...................................................................................... 523 Equation de Continuité ........................................................................................ 524 Notion de Débit ................................................................................................... 54
4.1 Débit massique ............................................................................................ 544.2 Débit volumique ........................................................................................... 554.3 Relation entre débit massique et débit volumique ....................................... 55
5 Théorème de Bernoulli – Cas d’un écoulement sans échange de travail ........... 566 Théorème de Bernoulli – Cas d’un écoulement avec échange de travail .......... 57
7 Théorème d’Euler : ............................................................................................. 598 Conclusion .......................................................................................................... 619 Exercices d’application ....................................................................................... 61
Chapitre 4 : Dynamique des Fluides Incompressibles Reels ............................ 881 Introduction ......................................................................................................... 882 Fluide Réel.......................................................................................................... 883 Régimes d’écoulement - nombre de Reynolds ................................................... 884 Pertes de charges............................................................................................... 90
4.1 Définition...................................................................................................... 904.2 Pertes de charge singulières ....................................................................... 944.3 Pertes de charges linéaires : ....................................................................... 94
5 Théorème de Bernoulli appliqué à un fluide reel ................................................. 956 Conclusion .......................................................................................................... 967 Exercices d’application ....................................................................................... 96
Chapitre 5 : Dynamique des Fluides Compressibles ........................................ 1201 Introduction ....................................................................................................... 1202 Equations d’etat d’un gaz parfait....................................................................... 120
2.1 Lois des gaz parfaits.................................................................................. 1202.2 Transformations thermodynamiques ......................................................... 120
3 Classification des écoulements......................................................................... 1223.1 Célérité du son ........................................................................................... 1223.2 Nombre de Mach ....................................................................................... 1223.3 Ecoulement subsonique ............................................................................ 1223.4 Ecoulement supersonique ......................................................................... 122
4 Equation de continuite ...................................................................................... 1225 Equation de Saint-Venant ................................................................................. 1236 Etat générateur : ............................................................................................... 1247 Conclusion ........................................................................................................ 1258 Exercices d’application ..................................................................................... 125
Chapitre 1 : INTRODUCTION A LA MECANIQUE DESFLUIDES
1 INTRODUCTION
La mécanique des fluides est la science des lois de I'écoulement des fluides. Elle
est la base du dimensionnement des conduites de fluides et des mécanismes de
transfert des fluides. C’est une branche de la physique qui étudie les écoulements
de fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces
ou des contraintes. Elle comprend deux grandes sous branches:
- la statique des fluides, ou hydrostatique qui étudie les fluides au repos. C'est
historiquement le début de la mécanique des fluides, avec la poussée d'Archimède
et l'étude de la pression.
- la dynamique des fluides qui étudie les fluides en mouvement. Comme autres
branches de la mécanique des fluides.
On distingue également d’autres branches liées à la mécanique des fluides :
l'hydraulique, l'hydrodynamique, l'aérodynamique, …Une nouvelle approche a vu
le jour depuis quelques décennies: la mécanique des fluides numérique (CFD ou
Computational Fluid Dynamics en anglais), qui simule l'écoulement des fluides en
résolvant les équations qui les régissent à l'aide d'ordinateurs très puissants : les
supercalculateurs.
La mécanique des fluides a de nombreuses applications dans divers domaines
comme l'ingénierie navale, l'aéronautique, mais aussi la météorologie, la
climatologie ou encore l'océanographie.
2 DEFINITIONS
Un fluide peut être considéré comme étant une substance formé d'un grand
nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par
rapport aux autres. C’est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité
et qui peut s'écouler. Les forces de cohésion entres particules élémentaires sont
1
Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides
très faibles de sorte que le fluide est
un corps sans forme propre qui
prend la forme du récipient qui le
contient, par exemple: les métaux
en fusion sont des fluides qui
permettent par moulage d'obtenir
des pièces brutes de formes
complexes.
On insiste sur le fait qu’un fluide est
supposé être un milieu continu :
même si l'on choisit un très petit
élément de volume, il sera toujours
beaucoup plus grand que la
dimension des molécules qui le
constitue. Par exemple, une
gouttelette de brouillard, aussi petite
soit-elle à notre échelle, est toujours
immense à l'échelle moléculaire.
Elle sera toujours considérée
comme un milieu continu. Parmi les
fluides, on fait souvent la distinction
entre liquides et gaz.
Les fluides peuvent aussi se classer
en deux familles relativement par
leur viscosité. La viscosité est une
de leur caractéristique physico-
chimique qui sera définie dans la
suite du cours et qui définit le
frottement interne des fluides. Les
fluides peuvent être classés en
deux grande familles : La famille
des fluides "newtoniens" (comme
l'eau, l'air et la plupart des gaz) et
celle des fluides "non newtoniens"
(quasiment tout le reste... le sang,
les gels, les boues, les pâtes, les
suspensions, les émulsions...). Les
fluides "newtoniens" ont une
viscosité constante ou qui ne peut
varier qu'en fonction de la
température. La deuxième famille
est constituée par les fluides "non
newtoniens" qui ont la particularité
d'avoir leur viscosité qui varie en
fonction de la vitesse et des
contraintes qu'ils subissent lorsque
ceux-ci s'écoulent. Ce cours est
limité uniquement à des fluides
newtoniens qui seront classés
comme suit.
2.1 Fluide parfait
Soit un système fluide, c'est-à-dire un volume délimité par une surface fermée Σ
fictive ou non.n
ΣdF
N
dFr
dS
dFT
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides
Considérons dFr la force
d’interaction au niveau de la surface
élémentaire dS de normale nr entre
le fluide et le milieu extérieur.On peut toujours décomposer dF en deux composantes:
- une composante dFT tangentielle à dS.
- une composante dFr
N normale à dS.
En mécanique des fluides, un fluide
est dit parfait s'il est possible de
décrire son mouvement sans
prendre en compte les effets de
frottement. C’est à dire quand la
composante dFT est nulle.
Autrement dit, la force dF est
normale à l'élément de surface dS.
2.2 Fluide réel
Contrairement à un fluide parfait,
qui n’est qu’un modèle pour
simplifier les calculs, pratiquement
inexistant dans la nature, dans un
fluide réel les forces tangentielles
de frottement interne qui s’opposent
au glissement relatif des couches
fluides sont prise en considération.
Ce phénomène de frottement
visqueux apparaît lors du
mouvement du fluide.
C’est uniquement au repos, qu’on
admettra que le fluide réel se
comporte comme un fluide parfait,
et on suppose que les forces de
contact sont perpendiculaires aux
éléments de surface sur lesquels
elles s’exercent. La statique des
fluides réels se confond avec la
statique des fluides parfaits.
2.3 Fluide incompressible
Un fluide est dit incompressible
lorsque le volume occupé par une
masse donné ne varie pas en
fonction de la pression extérieure.
Les liquides peuvent être
considérés comme des fluides
incompressibles (eau, huile, etc.)
2.4 Fluide compressible
Un fluide est dit compressible
lorsque le volume occupé par une
masse donnée varie en fonction de
la pression extérieure. Les gaz sont
des fluides compressibles. Par
exemple, l’air, l’hydrogène, le
méthane à l’état gazeux, sont
considérés comme des fluides
compressibles.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides
3 CARACTERISTIQUES PHYSIQUES
3.1 Masse volumique
ρ
=
V
m
o
ù
:
ρ : Masse volumique en (kg/m3),
m : masse en (kg),
V : volume en (m3).
Exemples :
Fluide Masse volumique ρ (kg/m3)Benzène 0,880. 103
Chloroforme 1,489. 103
Eau 103
Huile d’olive 0,918. 103
Mercure 13,546. 103
Air 0,001205. 103
Hydrogène 0,000085. 103
Méthane 0,000717. 103
3.2 Poids volumique
ϖ = m
V.g
= ρ.g
ϖ
:
P
o
i
d
s
v
o
l
u
m
i
q
u
e
e
n
(
N
/
m3
)
.
m
:
m
a
s
s
e
e
n
(
k
g
)
,
g : accélération de la pesanteur en
(m/s2),
V : volume en (m3).
3.3 Densité
d =masse volumique du fluide
=ρ
masse volumique d' un fluide de référenceρ
ref
Dans le cas des liquides en prendra
l’eau comme fluide de référence.
Dans le cas des gaz on prendra l’air
comme fluide de référence.
1 Ces valeurs sont prise à titre indicatif dans les conditions normales de pression et de température.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides
3.4 Viscosité
C’est une grandeur qui caractérise les frottements internes du fluide, autrement dit
sa capacité à s’écouler. Elle caractérise la résistance d'un fluide à son écoulement
lorsqu'il est soumis à l'application d'une force. C’est à dire, les fluides de grande
viscosité résistent à l'écoulement et les fluides de faible viscosité s'écoulent
facilement. Elle peut être mesurée par un viscosimètre à chute de bille, dans lequel
en mesure le temps écoulé pour la chute d’une bille dans le fluide. Elle peut
également être mesurée par un récipient dont le fond comporte un orifice de taille
standardisée. La vitesse à laquelle le fluide s'écoule par cet orifice permet de
déterminer la viscosité du fluide.
La viscosité est déterminée par la capacité d'entraînement que possède une
couche en mouvement sur les autres couches adjacentes.
Par exemple, si on considère un fluide visqueux placé entre deux plaques P1 et P2,
tel que la plaque P1 est fixe et la plaque P2 est animée d’une vitesseV2 .
Z V2
Plaque P2
ZV + V F
V
Plaque P1 fixe
Si on représente par un vecteur, la vitesse de chaque particule située dans une
section droite perpendiculaire à l'écoulement, la courbe lieu des extrémités de ces
vecteurs représente le profil de vitesse. Le mouvement du fluide peut être
considéré comme résultant du glissement des couches de fluide les unes sur les
autres. La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance Z. On
distingue la viscosité dynamique et la viscosité cinématique.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 5Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides
• Viscosité dynamique
La viscosité dynamique exprime la
proportionnalité entre la force qu'il
faut exercer sur une plaque
lorsqu'elle est plongée dans un
courant et la variation de vitesse
des veines de fluide entre les 2
faces de la plaque. ...Elle est
exprimée par un coefficient
représentant la contrainte de
cisaillement nécessaire pour
produire un gradient de vitesse
d'écoulement d'une unité dans la
matière.
Considérons deux couches de
fluide adjacentes distantes de z. La
force de frottement F qui s'exerce à
la surface de séparation de ces
deux couches s'oppose au
glissement d'une couche sur l'autre.
Elle est proportionnelle à la
différence de
vitesse des couches soit v, à leur surface S et inversement proportionnelle à z :
Le facteur de proportionnalité μ est le coefficient de viscosité dynamique du fluide.
F = μ.S.V
*Z
où :
F
:
f
o
r
c
e
d
e
g
li
s
s
e
m
e
n
t
e
n
tr
e
l
e
s
c
o
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s
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n
(
N
),
μ
:
V
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s
it
é
d
y
n
a
m
i
q
u
e
e
n
(
k
g
/
m
.
s
),
S : surface de contact entre deux
couches en (m2),
V :
Éc
art
de
vit
es
se
en
tre
de
ux
co
uc
he
s
en
(m
/s)
, Z
:
Di
st
an
ce
en
tre
de
ux
co
uc
he
s
en
(m
).
Remarque : Dans le système
international (SI), l'unité de la
viscosité dynamique est le Pascal
seconde (Pa⋅s) ou Poiseuille (Pl) : 1
Pa⋅s = 1 Pl = 1 kg/m⋅s
Exemple :
Fluide μ (Pa·s)eau (0 °C) 1,787·10–3
eau (20 °C) 1,002·10–3
eau (100 °C) 0,2818·10–3
Huile d'olive (20 °C) ≈ 100·10–3
glycérol (20 °C) ≈ 1000·10–3
Hydrogène (20 °C) 0,86·10–5
Oxygène (20 °C) 1,95·10–5
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Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides
• Viscosité cinématique
υ = μρ
L'unité de la viscosité cinématique
est le (m2/s).
Remarque 1 (unité):
On utilise souvent le Stokes (St)
comme unité de mesure de la
viscosité cinématique.
1 St= 10-4 m2/sRemarque 2 (Influence de la température) :
Lorsque la température augmente,
la viscosité d'un fluide décroît car sa
densité diminue.
Remarque 3 (différence entre viscosité dynamique et viscosité cinématique)
La viscosité cinématique caractérise
le temps d'écoulement d’un liquide.
Par contre, la viscosité dynamique
correspond à la réalité physique du
comportement d’un fluide soumis à
une sollicitation (effort). En d’autre
terme, cette dernière exprime la «
rigidité » d’un fluide à une vitesse
de déformation en cisaillement (voir
la relation * à la page 6).
4 CONCLUSION
Les fluides peuvent être classés en
fluides parfaits (sans frottement),
fluides réels (avec frottement),
fluides incompressibles (liquides)
et fluides compressibles (gaz).
Les fluides sont caractérisés par les
propriétés suivantes: la masse
volumique, le poids volumique, la
densité et la viscosité. Ces
propriétés seront utilisées
ultérieurement.
Le comportement mécanique et les
propriétés physiques des fluides
compressibles et ceux des fluides
incompressibles sont différents. En
effet, les lois de la mécanique des
fluides ne sont pas universelles.
Elles sont applicables uniquement
pour une classe de fluides donnée.
Conformément à la classification qui
a été faite, les lois relatives à
chaque type de fluides seront
exposées dans la suite du cours
d’une façon indépendante.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides
5 EXERCICES D’APPLICATION
Exercice N°1:
1 E NONCE
Déterminer le poids volumique de l’essence sachant que sa densité d=0,7.
On donne :
- l’accélération de la pesanteur g=9,81 m/s2
- la masse volumique de l’eau ρ =1000 kg / m3
2 R EPONSE
ϖ = d.ρ.g A.N. ϖ = 0,7.1000.9,81 = 6867 N / m3
Exercice N°2:
1 E NONCE
Calculer le poids P0 d’un volume V=3 litres d’huile d’olive ayant une densité
d=0,918.
2 R EPONSE
Po = d.ρ.V .g A.N. Po = 0,918.1000.3.10−3.9,81 = 27 N
Exercice N°3: EXTRAIT DE L’EXAMEN DU 23-06-2003
1 E NONCE
Quelle est l’influence de la température sur la viscosité ?
2 R EPONSE
Si la température augmente la viscosité diminue, et inversement.
Exercice N°4: EXTRAIT DE L’EXAMEN DU 15-01-2004
1 E NONCE
Convertir le stockes en m2/s.
2 R EPONSE
Conversion du stockes : 1 Stockes =10−4 m2 / s
Exercice N°5: EXTRAIT DE L’EXAMEN DU 24-06-2004
1 E NONCE
Expliquer le principe de mesure d'un viscosimètre à chute de bille.
2 R EPONSE
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 8Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides
La viscosité cinématique est proportionnelle au temps mis par une bille sphérique
en chute pour descendre au fond d’un tube contenant un fluide de viscosité
inconnue.
Exercice N°6: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 21-04-2003
1 E NONCE
Déterminer la viscosité dynamique de l’huile d’olive sachant que sa densité est
0,918 et sa viscosité cinématique est 1,089 Stockes.
2 R EPONSE
μ = ρ.υ A.N. μ = 918.1,089.10−4 = 0,1 Pa.s
Exercice N°7:
1 E NONCE
Du fuel porté à une température T=20°C a une viscosité
dynamique μ = 95.10−3 Pa.s . Calculer sa viscosité cinématique υ en stockes
sachant que sa densité est d=0,95.
On donne la masse volumique de l’eau est ρeau =1000 kg / m3
2 R EPONSE
ν =μ
A.N. ν =95.10−3
=1.10−4 m2 / s =1 stockesρeau .d 1000.0,95
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.
Page: 9Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : STATIQUE DES FLUIDES
1 INTRODUCTION
Lors d’une plongée sous marine, on constate que la
pression de l’eau augmente avec la profondeur. La
pression d’eau exercée sur un sous-marin au fond de
l’océan est considérable. De même, la pression de
l’eau au fond d’un barrage est nettement plus grande
qu’au voisinage de la surface. Les effets de la pression
doivent être pris en considération lors du
dimensionnement des structures tels que les barrages,
les sous marins, les réservoirs… etc. Les ingénieurs
doivent calculer les forces exercées par les fluides
avant de concevoir de telles structures.
Ce chapitre est consacré à l’étude des fluides au
repos. Les lois et théorèmes fondamentaux en statique
des fluides y sont énoncés. La notion de pression, le
théorème de Pascal, le principe d’Archimède et la
relation fondamentale de l’hydrostatique y sont
expliqués.
Le calcul des presses hydrauliques, la détermination
de la distribution de la pression dans un réservoir…
etc., sont basés sur les lois et théorèmes
fondamentaux de la statique des fluides.
2 NOTION DE PRESSION EN UN POINT D’UN FLUIDE
La pression est une grandeur scalaire. C’est l’intensité
de la composante normale de la force qu’exerce le
fluide sur l’unité de surface.
Elle est définie en un point A d’un fluide par l’expression suivante :
dFr
N
dS
A n
10
Chapitre 2 : Statique des fluides
dFN
PA =
dSoù :
dS : Surface élémentaire de la facette de centre A (en mètre carré),
n : Vecteur unitaire en A de la normale extérieure à la surface,
dFN : Composante
normale de la force
élémentaire de pression
qui s’exerce sur la
surface (en Newton),
PA : pression en A (en Pascal),
Sur la surface de centre A, d’aire dS, orientée par sa normale extérieure n , la force
de pression élémentaire dF s’exprime par :
dFN = −PA.dS.n
Exemple : Chaque cm2
de surface de notre peau
supporte environ 1 kg
(force) représentant le
poids de l'atmosphère.
C'est la pression
atmosphérique au niveau
de la mer. Nous ne la
ressentons pas car notre
corps est incompressible
et ses cavités (estomac,
poumons, etc. )
contiennent de l'air à la
même pression.
Si on s'élève de 5 000 m,
la pression
atmosphérique est deux
fois plus faible qu'au
niveau de la mer car la
masse d'air au-dessus de
notre tête est alors moitié
moindre. D’où la
nécessité d’une
pressurisation des
avions.
En plongée sous-marine,
pour mesurer la pression,
on utilise le plus souvent
le bar: 1 bar = 1 kg / cm2.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
Plus on descend en
profondeur, plus la
pression est élevée
car il faut tenir
compte du poids de
l'eau au-dessus de
nous : à 10 mètres
de profondeur,
chaque cm2 de
notre peau
supportera un poids
égal à :
1 cm2 X 10 m
(profondeur) = 1
cm2 X 100 cm =
1000 cm3 =
l’équivalent du poids
d’1 litre d’eau. Le
poids d’un litre
d’eau douce est
égal à 1kg. Le poids
d’un litre d’eau de
mer est un plus
important (à cause
du sel qu’elle
contient) : 1,026 kg.
En négligeant cette
différence, on
considérera que de
manière générale
un litre d'eau pèse 1
kg.
Par conséquent, la
pression due à l'eau
à 10 m de
profondeur est donc
de 1 kg / cm2, c'est-
à-dire 1 bar. Si on
descend à nouveau
de -10 m, la pression
augmentera
ànouveau de 1 bar. C’est ce qu’on appelle la pression hydrostatique (pression due
àl'eau). On l'appelle
aussi pression
relative car c'est
une pression par
rapport à la surface.
La pression
hydrostatique
(comme la pression
atmosphérique)
s’exerce dans
toutes les directions
(et pas simplement
de haut en bas).
Remarque :
L’unité
internationale de
pression est le
Pascal : 1 Pa = 1
N/m². Cette unité
est très petite. On
utilise le plus
souvent ses
multiples. En
construction
mécanique,
résistance des
matériaux ,
etc.,l’unité utilisée
est le méga pascal :
1 MPa= 1
N/mm2=106 Pa
En mécanique des
fluides on utilise
encore très souvent
le bar. Le bar est
égal à peu près à la
pression
atmosphérique
moyenne :
1 bar = 105 Pa.
3 RELATION FONDAMENTALE DE L’HYDROSTATIQUE
Considérons un
élément de volume
d’un fluide
incompressible
(liquide homogène
de poids
volumiqueϖ ). Cet
élément de volume
a la forme d’un
cylindre d’axe (G,
u ) qui fait un angle
α avec l’axe vertical
(O, Z ) d’un repère
R(O, X ,Y , Z ). Soit l
la longueur du
cylindre et soit dS
sa section droite.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
Z
u
dF2
Z2G
2
ldS
αdF
ri
G
G1
Z1
dF1 dPo
Soit G1 d’altitude Z1 et G2 d’altitude Z2, les centres des
sections droites extrêmes. Etudions l’équilibre du cylindre
élémentaire, celui-ci est soumis aux :
- actions à distance : son poids : dPO = −ϖ l dS Z
- actions de contact : forces de pression s’exerçant sur :
o la surface latérale : ΣdFi .
o les deux surfaces planes extrêmes : dF1 = −P1.dS.(−u) = P1.dS.u et
dF2 = −P2 .dS.u .avec P1 et P2 les pressions du fluide
respectivement en G1 et en G2.
Le cylindre élémentaire étant en équilibre dans le fluide,
écrivons que la résultante des forces extérieures qui lui sont
appliquées est nulle :
dPO + ΣdFi + dF1 + dF2 = 0
En projection sur l’axe de symétrie (G, u ) du cylindre,
−ϖ.l.dS.cosα + P1.dS − P2 .dS = 0
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 13Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
Exprimons la
différence de
pression P1 – P2
après avoir divisé
par dS et remarqué
que l ⋅cosα = Z2 − Z1
P1 − P2 =ϖ.(Z2 − Z1 ) = ρg(Z2 − Z1 ) : Relation fondamentale de l’hydrostatique.
Autre forme plus générale :
En divisant les deux membres de la relation précédente par ϖ :
P1 + Z1
= P2 + Z2
. Ou encore P1
ϖ ϖ ρg
Comme G1 et G2
ont été choisis de
façon arbitraire à
l’intérieur d’un fluide
de poids
volumiqueϖ , on
peut écrire en un
point quelconque
d’altitude Z, ou
règne la pression p :
ϖP
+ Z = ρP
g + Z = Cte
4 THEOREME DE PASCAL
4.1 Enoncé
Dans un fluide
incompressible
en équilibre,
toute variation
de pression en
un point
entraîne la
même variation
de pression en
tout autre point.
4.2 DémonstrationSupposons qu’au
point G1 intervienne une variation de pression telle que celle-ci
devienne P1 + P1 . P1 étant un nombre algébrique. Calculons la variation de
pression P2 qui en
résulte en G1.
Appliquons la relation fondamentale de l’hydrostatique entre
G1 et G2 pour le fluide
o à l’état initial: P1 − P2 = ϖ(Z2 −
Z1 ) (1)
o à l’état final : (P1 + P1 ) − (P2 +
P2 ) = ϖ.(Z2 − Z1
) (2)
En faisant la différence entre les équations (2) et (1) on obtient :
P1 − P2 = 0 .
D’où P1 = P2
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Chapitre 2 : Statique des fluides
5 POUSSEE D’UN FLUIDE SUR UNE PAROI VERTICALE
5.1 Hypothèses
La paroi verticale
possède un axe de
symétrie (G,Y ). G
est son centre de
surface. D’un coté
de la paroi il y a un
fluide de poids
volumiqueϖ , de
l’autre coté, il y a de
l’air à la pression
atmosphérique Patm.
On désigne par PG
la pression au
centre de surface G
du coté fluide.
Y
dF
5.2 Eléments de réduction du torseur des forces de
pression
Connaissant la
pression PG au
point G, la pression
PM au point M est
déterminée en
appliquant la
relation
fondamentale de
l’hydrostatique : PM
− PG = ϖ.(YG −YM )
Dans le repère (G, X , Y , Z ) défini sur la figure : yG=0 et yM =y, donc
PM = PG −ϖ.y
Exprimons la force
de pression en M :
dF = (PG
−ϖ.y).dS.Xr
Soit {τ poussée } le torseur associé aux forces de pression relative :
R = ∫dF
{τ poussée }= ( S )
M G = ∫GM ∧ dF
s G
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
5.2.1 Résultante
R = ∫(PG −ϖ.y).dS.Xr
( S )
que l’on peut écrire en mettant en facteur les termes constants :
rR = PG . ∫dS −ϖ. ∫y.dS .X
( S ) ( S )
On note que ∫dS = S (aire de la paroi),( S )
∫y.dS = yG .S = 0 :
Moment statique
de la surface S par
rapport à l’axe (G,
Z ), donc( s)
R = PG .S.X
5.2.2 Moment
MG = ∫GM ∧ dF
Dans le repère (G, X , Y , Z ) on peut écrire:
G
M
=
y
.
Y
r
e
t
d
F
=
(
P
G
−
ϖ
.
y
)
.
d
S
.
X
,
d
o
n
c
M
G
=
∫[y
.
Y
r
∧
(
P
G
−
ϖ
.
y
)
.
d
S
.
X
]( S )
X = −Z donc MGSachant que Y ∧
On sait que ∫y.dS = yG .S = 0 et( S )
surface S par rapport à l’axe (G, Z
M G
=ϖ.I(G,Z
r) .Z
En résumé :
P .S.XG
{τ poussee }=ϖ.I r .Z
(G,Z ) G
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Chapitre 2 : Statique des fluides
5.3 Centre de poussée
On cherche à déterminer un point G0 où le moment résultant des forces de
pression est nul.
Compte tenu de l’hypothèse de symétrie, si ce point existe il appartient à l’axe
(G,Y ) et il est tel que :
M G0 = M G + G0G ∧ R = 0 .
Ecrivons alors que : GG0 ∧ R = MG
Avec les résultats précédents, on obtient : y0 .Y ∧ PG .S.X =ϖ.I(G, Zs) .Z ,
ce qui conduit à
y0 = −ϖ.I
(G,Zr)
Go existe, il s’appelle le centre de poussée de la paroi.
Remarque : Le centre de poussée est toujours au-dessous du centre de surface G.
6 THEOREME D’ARCHIMEDE
6.1 Énoncé
Tout corps plongé dans un fluide reçoit de la part de ce fluide une force
(poussée) verticale, vers le haut dont l'intensité est égale au poids du volume
de fluide déplacé (ce volume est donc égal au volume immergé du corps).
PARCH=ρfluide.Vimm.g
Pr
ARCH
Solide immergé S
Fluide
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 17Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
PG .S
Chapitre 2 : Statique des fluides
6.2 Démonstration
Dans un fluide (E)
de poids volumique
ϖ , imaginons un
certain volume de
fluide (E1) délimité
par un contour
fermé (S) :
dFr
Fluide
Volume (E2)extérieur au contour S
Poids de
(E1)
Si le fluide est au repos, il
est évident que (E1) est
en équilibre sous l’effet
des actions mécaniques
extérieures suivantes :
- Action de la pesanteur, modélisable par le
torseur : {τ( pes → E1 )} - Action des forces de
pression dF du fluide
(E2) qui entoure (E1) modélisable par
le torseur :{τ ( E2 → E1 )}On peut donc écrire l’équation d’équilibre de
(E1) :{τ( pes → E1 )} + {τ ( E2
→ E1 )}= {}0
Nous savons qu’en G, centre de gravité du
fluide (E1) le torseur des forces de
pesanteur se réduit à un glisseur :{τ ( pes
Il est donc évident qu’au
même point G le torseur
des forces de pression
dF se réduira lui aussi à
un glisseur :
{τ ( E2∫dF
→ E1 )}= ( S )
0 GL’équation d’équilibre de la portion de fluide (E1) s’écrit :
∫dF + P = 0( S )
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
(E1) est ici une portion de fluide et P est le poids du fluide occupant le volume (E1).
Si le volume (E1) est occupé par un solide immergé ayant le même contour S, les
forces de poussée sur ce contours (S) sont les mêmes , ce qui revient à dire que la
force de poussée ne dépend que du volume du fluide déplacé et non pas de la
nature du solide immergé (plomb, acier, etc).
Conclusion :
Tout corps solide immergé dans un fluide en équilibre est soumis de la part de
celui-ci à des forces de pression dF dont les actions mécaniques sont
modélisables au centre de gravité du fluide déplacé par un glisseur dont la
résultante est directement opposée au poids du fluide déplacé.
{τ ( E → E )}= − P2 1
0 G
Remarques :
- 1 er cas : Si le solide immergé est homogène alors le centre de poussée G, point
d’application de la poussée d’Archimède sera confondu avec le centre de gravité
du solide. L’équilibre du solide est indifférent.
Pr
ARCH
Solide immergé S
G
Fluide
Poids du solide
- 2 ième cas : Si le solide immergé est hétérogène alors le centre de poussée G,
point d’application de la poussée d’Archimède n’est pas confondu avec le centre
de gravité Gs du solide. L’équilibre du solide est stable si G est au dessus de GS.
L’équilibre du solide est instable si G est au dessous de GS.
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Pr
A
RC
H
Solide immergé S
G
G
S
Fluide
Poids du solide
Position stable
7 CONCLUSION
La statique des fluides est basée principalement sur les résultats suivants:
a) La différence de pression entre deux points est proportionnelle à leur différence
d
e
p
r
o
f
o
n
d
e
u
r
:
P
1
−
P
2
=
ϖ
.
(
Z
2
−
Z
1
)
=
ρ
g
(
Z
2
−
Z
1
)
:
C
’
e
s
t
l
a
r
e
l
a
t
i
o
n
f
o
n
d
a
m
e
n
t
a
l
e
d
e
l
’
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
q
u
e
,
b) Toute variation
de pression en un
point engendre la
même variation de
pression en tout
autre point d’après
le théorème de
Pascal.
c) Le torseur associé aux forces de pression
{τ poussee
P .S.Xverticale est :
G
}=ϖ.I r
(G,Z )
d) La position du centre de poussée. est
e) Tout corps
plongé dans un
fluide subit une
force verticale,
orientée vers le haut
c’est la poussée
d’Archimède et
dont l'intensité est
égale au poids du
volume de fluide
déplacé.
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Chapitre 2 : Statique des fluides
8 EXERCICES D’APLICATION
Exercice N°1: Extrait du devoir surveillé du 30-10-2006
1 E NONCE
La figure ci-dessous représente un cric hydraulique formé de deux pistons (1) et
(2) de section circulaire.
Sous l’effet d’une action sur le levier, le piston (1) agit, au point (A), par une force de
pression FP1 / h sur l’huile. L’huile agit, au point (B) sur le piston (2) par une force
Fh / p2
On donne :
- les diamètres de chacun des pistons : D1 = 10 mm; D2 = 100 mm.
- l’intensité de la force de pression en A : Fp1/h = 150 N.
Z
ZA=ZB
Travail demandé :
1) Déterminer la pression PA de l’huile au point A.
2) Quelle est la pression PB ?
3) En déduire l’intensité de la force de pression Fh/p2.
2 R EPONSE
1) Pression PA de l’huile au point A: PA =4.F
P1/ h A.N PA = 4.150 =19.105 Pa2π.D 2
π.0,011
2) RFH entre A et B: PA − PB =ϖ.(ZB − Z A ) , or ZA = ZB donc PB = PA =19.105 Pascal .
3) Force de pression en B :F
h / P2 =
P
B . π . D 2
.N. Fh / P2 =19.105.π .0,1 2
=14922,56 N2
44
Commentaire: On constate que la force Fp1/h = 150 N est relativement faible par
rapport à Fh/P2=14922,56 N. Avec ce système nous avons atteint un rapport de
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Chapitre 2 : Statique des fluides
réduction de force de presque 100. Ce rapport correspond au rapport des
diamètres des cylindres. On utilise souvent le même principe de réduction d’effort
dans plusieurs applications hydrauliques (exemple: presse hydraulique).
Exercice N°2: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 13-12-2004
1 E NONCE
La figure ci-dessous représente un réservoir ouvert, équipé de deux tubes
piézométriques et rempli avec deux liquides non miscibles :
- de l'huile de masse volumique ρ1=850 kg/m3 sur une hauteur h1=6 m,
- de l'eau de masse volumique ρ1=1000 kg/m3 sur une hauteur h2=5 m.
Z
Tubes piézométriques
EA
D
h1 huile
B
h2 eau
C
On désigne par:
- A un point de la surface libre de l'huile,
- B un point sur l'interface entre les deux liquides,
- C un point appartenant au fond du réservoir
- D et E les points représentants les niveaux dans les tubes piézimétriques,
- (O, Z ) est un axe vertical tel que ZC=O.
Appliquer la relation fondamentale de l'hydrostatique (RFH) entre les points:
1) B et A. En déduire la pression PB (en bar) au point B.
2) A et E. En déduire le niveau de l'huile ZE dans le tube piézométrique.
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Chapitre 2 : Statique des fluides
3) C et B. En déduire la pression PC (en bar) au point C.
4) C et D. En déduire le niveau de l'eau ZD dans le tube piézométrique.
2 R EPONSE
1) RFH entre B et A : PB − PA = ρ1 g(Z A − ZB ) Or PA=Patm et ZA-ZB=h1
Donc PB = Patm + ρ1 g.h1 A.N. PB =105 +850.9,81.6 =150031 Pa =1,5 bar
2) RFH entre A et E : PA − PE = ρ1 g(ZE − Z A ) Or
PA=PE=Patm Donc ZE = Z A = h1 + h2 A.N. ZE = 6 +5 =11 m
3) RFH entre C et B : PC − PB = ρ2 g(ZB − ZC ) Or ZB-ZC=h2
Donc PC = PB + ρ2 g.h2 A.N. PC =150031+1000.9,81.5 =199081 Pa = 2 bar
4) RFH entre C et D : PC − PD = ρ2 g(ZD − ZC ) Or PD=Patm et ZC=0
ZD =P − P
ZD =199081 − 10 5
=10,1 mDoncC atm
A.N.ρ2 .g 1000.9,81
Exercice N°3: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 13-12-2007
1 E NONCE
Soit un tube en U fermé à une extrémité qui contient deux liquides non miscibles.
Z
Z1(1)
Z3
h’(3) Essence h
Z2(2)
Mercure
Entre les surfaces :
- (1) et (2) il s’agit de l’essence de masse volumique ρessence=700 kg/m3.
- (2) et (3), il s’agit du mercure de masse volumique ρmercure=13600 kg/m3.
La pression au-dessus de la surface libre (1) est P1=Patm=1 bar.
L’accélération de la pesanteur est g=9,8 m/s2.
La branche fermée emprisonne un gaz à une pression P3 qu’on cherche à calculer.
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Chapitre 2 : Statique des fluides
1) En appliquant la RFH (Relation Fondamentale de l’Hydrostatique) pour
l’essence, calculer la pression P2 (en mbar) au niveau de la surface de séparation
(2) sachant que h= (Z1-Z2)= 728 mm.
2) De même, pour le mercure, calculer la pression P3 (en mbar) au niveau de la
surface (3) sachant que h’= (Z3-Z2)= 15 mm.
2 R EPONSE
1) RFH pour l’essence : P2 − P1 = ρessence .g.(Z1 − Z2 )
P2 = P1 + ρessence .g.h A.N. P2 =105 +700.9,8.0,728 =1,05.105 pascal =1050 mbar
2) RFH pour le mercure : P2 − P3 = ρmercure .g.(Z3 − Z2 )
P3 = P2 − ρmercure .g.h' A.N. P3 =1050.103 −13600.9,8.0,15 =1,03.105 pascal =1030 mbar
Exercice N°4: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 21-04-2003
1 E NONCE
Z
(1)
(4)
Alcooles h1Eau h2
(2) (3)
Mercure
Un tube en U contient du mercure sur une hauteur de quelques centimètres. On
verse dans l’une des branches un mélange d’eau - alcool éthylique qui forme une
colonne de liquide de hauteur h1=30 cm. Dans l’autre branche, on verse de l’eau
pure de masse volumique 1000 kg/m3, jusqu’à ce que les deux surfaces du
mercure reviennent dans un même plan horizontal. On mesure alors la hauteur de
la colonne d’eau h2=24 cm.
1) Appliquer la relation fondamentale de l’hydrostatique pour les trois fluides.
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Chapitre 2 : Statique des fluides
2) En déduire la masse volumique du mélange eau – alcool éthylique.
2 R EPONSE
1) Relation fondamentale de l’hydrostatique :
Alcool : P2 − P1 = ρalcool .g.h1
Mercure : P2 − P3 = 0
Eau : P3 − P4 = ρeau .g.h2
2) On sait que P1=P2=Patm et P2=P3 donc ρalcool .g.h1 = ρeau .g.h2
Doncρ
alcool =
ρ
eau . h2
A.N. ρalcool =1000.24
= 800 kg / m3h 301
Exercice N°5:
1 E NONCE
On considère un tube en U contenant trois liquides:
Z
Z0
eauessence
Z3
Z2
Z1
mercure
- de l’eau ayant une masse volumique ρ1 = 1000 kg/m3,
- du mercure ayant une masse volumique ρ2 = 13600 kg/m3,
- de l’essence ayant une masse volumique ρ3 = 700 kg/m3.
On donne :
Z0 – Z1 = 0,2 m
Z3 – Z2 = 0,1 m
Z1 + Z2 = 1,0 m
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Chapitre 2 : Statique des fluides
On demande de calculer Z0, Z1, Z2 et Z3.
2 R EPONSE
D’après (RFH), chapitre 2, on peut
écrire: P1 – P0 = ρ1.g.( Z0 – Z1)
P2 – P1 = ρ2.g.( Z1 – Z2)
P3 – P2 = ρ3.g.( Z2 – Z3)
Puisque que P0 = P3 = Patm, en faisant la somme de ces trois équations on obtient :
ρ1.( Z0 – Z1) + ρ2.( Z1 – Z2) + ρ3.( Z2 – Z3) = 0
⇒ (Z2
− Z ) = ρ1 .(Z0
− Z ) − ρ3 .(Z3
− Z2
)A.N: (Z2 – Z1) = 0,0096 m1 ρ
2 1 ρ 2
or (Z1 + Z2) = 1,0 m donc etZ2 = 0,5048 m Z1 = 0,4952 m
(Z3 – Z2) = 0,1 m donc Z3 = 0,6048 m
(Z0 – Z1) = 0,2 m donc Z0 = 0,6952 m
Exercice N°6:
1 E NONCE
Yr
(S)
h=60G
yo
Zr
Go
b = 200 m
La figure ci-dessus représente un barrage ayant les dimensions suivantes :
longueur b=200 m, hauteur h=60 m
Le barrage est soumis aux actions de pression de l’eau.
Le poids volumique de l’eau est :ϖ = 9,81.103 N / m3 .
On demande de :
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 26Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
1) Calculer l’intensité de la résultante R des actions de pression de l’eau.
2) Calculer la position y0 du centre de poussée G0.
2 R EPONSE
1) Calcul de R :
R = PG .S ,
On applique la RFH entre le point G et un point A à la surface de l’eau on obtient :
PG =ϖ. h
2 + PA
En A, sommet du barrage, la pression de l’eau est supposé égale à la pression
atmosphérique.
La surface du barrage est : S = b.h , donc :
R = (P +ϖ. h
).b.h R = (105 +9810. 60
).200.60 = 4,73.109 Natm
2 A.N. 2. .
2) Calcul de y0 :
y0 = −
ϖ.I(G,Z
r)
rR
Le moment quadratique I r = b . h 3 , donc(G,Z ) 12
ϖ. bh39810. 200.603
y0 r12 y0 = − 12 = −7,46 m= − A.N.4,73.109R
Commentaire: On remarque que le centre de poussée est très au dessous du
centre de surface. Dans le calcul de stabilité du barrage il est hors de question de
confondre ces deux points.
Exercice N°7:
1 E NONCE
Un piston de vérin a un diamètre d=60 mm. Il règne au centre de surface G du
piston une pression de 40 bar, soit environ PG=4 MPa.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 27Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
Y
Ø d = 60
G Zyo
o
L’huile contenue dans le vérin a un poids volumiqueϖ = 9,81.0,8.103 N / m3 .
On demande de :
1) Calculer l’intensité de la résultante R des actions de pression de l’huile.
2) Calculer la position y0 du centre de poussée G0.
2 R EPONSE
1) Calcul de R :
R = PG .S avec S =π.d 2
, donc R = PG .π.d 2
A.N. R = 11,3.103
N4 4
2) Calcul de y0 :
ϖ. Ir(G avec I (G, z) =
π.d 4
ϖ.π . d 4
y0 = − ,Zr) , donc y0 = − r64
R 64 R
9810.0,8.π .0,06 4 64 = 4,4.10−7 mA.N. y0 = −
11,3.103
Commentaire: On remarque que le centre de poussée est très voisin du centre de
surface. Dans le calcul de poussée du vérin il est, donc, tout à fait normal de les
confondre.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 28Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
Exercice N°8: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 21-04-2003
1 E NONCE
Un réservoir de forme parallélépipédique ayant les dimensions suivantes :
- hauteur h = 3m,
- longueur L1= 8 m,
- largeur L2 = 6 m.
est complètement remplie d’huile de masse volumique ρ = 900 kg / m3 .
hL2
L1
1) Calculer le module de la résultante des forces de pression sur chaque surface
du réservoir (les quatre faces latérale et le fond).
2) Déterminer pour les surfaces latérales la position du point d’application (centre
de poussée).
2 R EPONSE
1) R = PG .S
Sur les parois latérales :
R1 =ϖ. h
.h.L1 =1
.ρ.g.h2 .L1 A.N.R
1 =1
.900.9,81.32.8 = 317844 N2 2 2
R2 =ϖ. h
.h.L2 =1
.ρ.g.h2.L2 A.N. R2 =
1.900.9,81.32.6 = 238383 N
2 2 2
Sur le fond du réservoir :
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 29Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
R3 =ϖ.h.L1.L2 = ρ.g.h.L1 L2 A.N. R3 = 900.9,81.3.6.8 =1271376 N
2) Les points d’application sont àh
=1 m du fond pour les faces latérales.3
Exercice N°9: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 02-06-2008
1 E NONCE
On considère un récipient en forme de parallélépipède de largeur b=2 m, ouvert à
l’air libre et rempli jusqu’à une hauteur h=1,5 m avec du mercure de masse
volumique ρ=13600 kg/m3.
Y
G X
h
b
Z
On désigne par:
- G le centre de gravité de la surface mouille S.
-(G, X ,Y , Z ) un R.O.D. où X est orthogonal à S et Y est vertical. On donne l’accélération de la pesanteur g=9,81 m/s2.
1) En appliquant la RFH entre un point M de la surface libre et le point G, calculer
la pression PG.
2) Déterminer l’intensité de la résultante R des forces de pression agissant sur S.
3) Calculer le moment quadratique I(G,Zr) de la surface S.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 30Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
4) Calculer la position Y0 du centre de poussée.
2 R EPONSE
1) RFH entre G et M : PG − PM = ρ.g.(YM −YG ) or YM=h/2 , YG=0 et PM=Patm donc
PG = Patm + ρ.g. h2
A.N. PG =105 +13600.9,81.12,5
= 2.105 = 2 bar
2) Intensité de la résultante : R = PG .S = PG .bh
A.N. R = 2.105.2.1,5 = 6.105 N
3) Moment quadratique :I
(G,Zr) = bh 3
A.N. I (G,Zr) =
2.1,5 3 = 0,5625 m
4
12 12
4) Position du centre de poussée : Yo = −ϖ.I(G,Z
r)
r
R
A.N. Yo = −13600.9,81.0,5625
= −0,125 m6.10 5
Exercice N°10: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 23-05-2003
1 E NONCE
On considère un aquarium géant utilisé dans les parcs d’attraction représenté par
la figure suivante :
O X
ZR
H r vitre
a=2 mR
G0
Z1 m
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 31Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
Il est rempli d’eau à une hauteur H= 6m, et équipé d’une partie vitrée de forme
rectangulaire de dimensions (2m x 3m) qui permet de visualiser l’intérieur.
Travail demandé :
1) Représenter le champ de pression qui s’exerce sur la partie vitrée.
2) Déterminer le module de la résultante R des forces de pression.
3) Calculer la profondeur ZR du centre de poussée.
4) Reprendre les questions 2. et 3. en changeant la forme rectangulaire de la
partie vitrée par une forme circulaire de diamètre d= 2m.
2 R EPONSE
1) Le champ de pression agissant sur le vitrage a l’allure suivante :
O X
H 2 m
Z1 m
2) Si on néglige la pression atmosphérique, la résultante des forces de pressions :
R = PG .S.X avec S = a.b donc R = ρ.g.S.Z g A.N. R =1000.9,81.6.4 = 235440 N
3) La profondeur ZR du centre de poussée est donnée par l’expression suivante :
ZR =I (G,Y
r)+ ZG
I(G,Y
r)
2 3 .3 = 2 m
4ou = A.N. ZR = 4,0833 m
ZG .S 12
4) Cas d’une partie vitrée de forme circulaire de diamètre d= 2 m :
S =π.d 2
= 3,141 m2
,I
(G,Yr) = π.d 4
= 0,785 m4
4 64
R = ρ.g.S.Z g A.N. R =123252 N
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 32Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
ZR =I (G,Y
r)+ ZG A.N. ZR =
0,785+ 4= 4,0625 m
ZG .S 4.3,14
Exercice N°11: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 30-10-2006
1 E NONCE
Une vanne de vidange est constituée par un disque de diamètre d pivotant autour
d’un axe horizontal (G, Z ). Le centre G du disque est positionné à une hauteur
h=15,3 m par rapport au niveau d’eau.
Y
h
eau
G X
On donne :
- le diamètre de la vanne : d = 1 m,
- la pression atmosphérique Patm = 1 bar,
- l’accélération de la pesanteur g=9,81 m/s2,
- la masse volumique de l’eau ρ=1000 kg/m3.
Travail demandé :
1) Déterminer le poids volumique de l’eau.
2) Déterminer la pression PG de l’eau au point G.
3) Calculer l’intensité de la poussée R sur le disque.
4) Calculer le moment quadratique I(G,Zr) du disque par rapport à l’axe (G, Z ).
5) Calculer le moment Mr
G des forces de pression agissant sur le disque.
6) Déterminer la position du centre de poussée y0.
2 R EPONSE
1) Poids volumique ϖ = ρ.g
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 33Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
A.N. ϖ =1000.9,81 = 9810 N / m3
2) Pression au point G PG = Patm +ϖ.h .
A.N. PG =105 +9810.15,3 = 2,5 .105 Pascal
3) Intensité de la poussée Rs = PG . π.d 2
4
A.N. Rs = 2,5.105.π.12
=196349,5 N4
4) Moment quadratiqueI
(G,Zr) = π.d 4
64
A.N. I(G,Zr) = π.14 = 0,049 m4
64
5) Moment des forces de pressionM
G =ϖ.I
(G,Zr) .Z
A.N. M G = 9810.0,049 = 480,6 N.m
6) Position centre de poussée : yc = −ϖ.I
(G ,Zr)
r
R
A.N. yc = −9810.0,049
= 2,44.10−3 m 196349,5
Exercice N°12: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 13-12-2004
1 E NONCE
Une conduite AB de longueur L =646 mm est soudée sur un réservoir cylindrique
de diamètre D = 3 m. Le réservoir est rempli jusqu'au point A avec du pétrole brut
de densité d = 0,95.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 34Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
Yr
A
B
rZ G
y0
G0
Le repère (G, X ,Y ,
Z ) a été choisit tel
que G est le centre
de la surface
circulaire S (fond de
réservoir). (G, X )
est l'axe de
révolution du
réservoir et (G,Y )
est vertical. On
donne:
- la masse volumique de
l'eau ρeau=1000
kg/m3 ,
- l'accélération de la pesanteur g=9,81
m.s-2, - la pression
PA=Patm=1bar.
Travail demandé :
1) Quelle est la masse volumique ρ du pétrole?
2) En déduire son poids volumique ϖ .
3) En appliquant la RFH entre G et A, déterminer la
pression PG au point G.
4) Calculer le
module de la
résultante R des
forces de pression
du pétrole sur le
fond du réservoir.
5) Calculer le moment quadratique I(G,Z
r)
de la surface circulaire S par rapport à
l'axe (G, Z ).6) Déterminer la
position y0 du centre de poussée
G0.
2 R EPONSE
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
1) Masse volumique du pétrole: ρ = d.ρeau A.N. ρ = 0,95.9,81 = 950 kg / m3
2) Poids volumique : A.N. ϖ = 950.9,81 = 9319,5 N / m3ϖ = ρ.g
3) RFH entre G et A : PG − PA = ρ.g(YA −YG ) Or PA=Patm et YG=0
Donc PG = Patm + ρ.g.(L + D
2 )
A.N. PG =105 +950.9,81.(0,646 +1,5) =119999,64 Pa =1,2 bar
4) Intensité de la résultante : Rr = PG .π . D 2 4
A.N. Rr
=119999,64.π.32= 848227,47 N
4
5) Moment quadratique: I(G,Zr) = π.D4
A.N. I (G,Zr) = π .3 4 = 3,976 m4
64 64
6) Position du centre de poussée : y0 = −ϖ.I (G,Z
r)
r
R
A.N. y0 = −9319,5.3,976
= −0,04368 m848227,47
Exercice N°13: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 13-12-2007
1 E NONCE
Suite au naufrage d’un pétrolier, on envoie un sous-marin pour inspecter l’épave et
repérer d’éventuelles fuites. L’épave repose à une profondeur h= 1981 m.
On donne :
- l’accélération de la pesanteur g= 9,8 m/s2,
- la pression atmosphérique Patm= 1 bar,
- la masse volumique de l’eau de mer est ρ = 1025 kg/m3,
Le sous marin est équipé d’un hublot vitré de diamètre d= 310 mm., de centre de
gravité G, et de normale ( (G, X ) est situé dans un plan vertical (G,Y , Z ) . L’axe
(G, Z ) est vertical.
Travail demandé :
1) Calculez la pression PG de l’eau à cette profondeur au point G.
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Chapitre 2 : Statique des fluides
2) Quelle est l’intensité ( R ) de la résultante des actions de pression de l’eau sur
le hublot ?
3) Calculer le moment quadratique I(G,Zr) du hublot.
4) Quelle est l’intensité ( M G ) du moment des actions de pression de l’eau sur le
hublot ?
2 R EPONSE
1) RFH entre le point G et un point M à la surface : PG − PM = ρ.g.( Z M − ZG )= ρ.g.h
PG = Patm + ρ.g.h
A.N. PG =105 +1025.9,8.1981 = 200.105 pascal = 200 bar
2) Intensité de la résultante : Rr = PG .S = PG .
π.4
d 2
A.N. Rr
= 200.105. π .0,310 2 =15.105 N4
3) Moment quadratique : I(G,Yr) =
π64
.d4
A.N I(G,Yr) = π.0
64,3104 = 4,533.10−4 m4
4) Intensité du moment : M G =ϖ.I(G,Yr)
A.N M G =1025.9,8.4,533.10−' = 4,5 Nm
Exercice N°14: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 11-11-2003
1 E NONCE
La figure ci-dessous représente une vanne de sécurité de forme rectangulaire
destinée à un barrage. Elle permet d’évacuer l’eau stockée dans le barrage surtout
lorsque le niveau du fluide devient élevé.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Les dimensions de la
vanne sont : b=4 m et h=
2 m. Sa partie supérieure
affleure la surface du
plan d’eau.
Un repère (G, X ,Y , Z )
est représenté sur la
figure tel que : G est le
centre de surface de la
vanne.
On donne : la masse
volumique de l’eau ρ
=1000 kg/m3 et
l’accélération de la
pesanteur g=9,81 m/s2,
y
h
Travail demandé :1) En négligeant la
pression atmosphérique,
calculer la pression PG
de l’eau au centre de
gravité.
2) Déterminer la résultante R des forces de pression.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
3) Déterminer le moment Mr
G des forces de pression.
4) Calculer l’ordonnée y0 du centre de poussée.
2 R EPONSE
1) RFH entre G et A: PG − PA = ρ.g.( yA − yG
) Or yG=0, yA=h/2, PA=Patm (négligée)
Donc PG = ρ.g. h2
A.N. PG =1000.9,81.1 = 9819 Pa
2) Rr = PG .S.x
r
avec S = b.h donc Rr = PG .bh.x
r
A.N. R = 9810.4.2 = 78480 N
bh3r
3) MG = ρ.g.I(G, zr) .z Avec
I(G, z
r) =
12
Donc Mr
G = ρ.g.bh3
.zr
12
A.N. Mr
G =1000.9,81. 4.8 = 26160 N12
4) y0 = −M
rG
rR
A.N. y0 = − 7848026160
= −0,33 m
Exercice N°15: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 29-10-2002
1 E NONCE
On considère un réservoir d’eau équipé au niveau de sa base d’une plaque
rectangulaire qui peut tourner d’un angle (θ⟨0 ) autour d’un axe (A, Z ).
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Y Y
Patm
O Vue suivant X
de la plaque
Patm
a
heau
θ
bX G Z
dAxe de rotation A
D’un coté, la plaque est soumise aux forces de pression de l’eau et de l’autre coté,
elle est soumise à la pression atmosphérique (Patm). Sous l’effet des forces de
pression hydrostatique variables fonction du niveau h, la plaque assure d’une
façon naturelle la fermeture étanche (θ = 0 ) ou l’ouverture (θ⟨0 ) du réservoir.
L’objectif de cet exercice est de déterminer la valeur h0 du niveau d’eau à partir de
laquelle le réservoir s’ouvre automatiquement.
On donne :
- le poids volumique de l’eau :ϖ = 9,81.103 N / m3
- les dimensions de la plaque : a=0,75 m (selon l’axe Z ) , b=1,500 (selon l’axe
Y )
- la distance entre le centre de surface G et l’axe de rotation (A, Z ) est : d=50 mm
- la pression au point O est Po=Patm
Travail demandé :
1) En appliquant le principe fondamental de l’hydrostatique, donner l’expression de
la pression de l’eau PG au centre de surface G en fonction de la hauteur h.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 40Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
2) Déterminer les expressions de la résultante R et du moment MG associés au
torseur des forces de pression hydrostatique dans le repère (G, X ,Y , Z ).
3) En déduire l’expression du moment M A des forces de pression de l’eau, par
rapport à l’axe de rotation (A, Z ).
4) Donner l’expression du moment M 'A des forces de pression atmosphérique
agissant sur la plaque, par rapport à l’axe de rotation (A, Z ).
5) A partir de quelle valeur h0 du niveau d’eau la plaque pivote (θ⟨0 ) ?
2 R EPONSE
1) Principe fondamental de l’hydrostatique : P − P =ϖ.(Y −Y ) or Y = h − b ;G 0 0 G 0 2
bYG = 0 et P0 = Patm Donc PG = Patm +ϖ. h −
2
b2) R = P .S.X avec S = a.b donc R = P
atm +ϖ. h − .a.b.XG
2
MG =ϖ.I (G, z).Z3) avec I = a.b3
donc MG =ϖ. ab3
.Z12
12
a.b3 bM A =MG + AG ∧ R avec AG = d.Y donc M A = ϖ. − d. P +ϖ . h − .a.b .Z
12atm
2
4) M A ' = Patm .a.b.d.Z
La plaque pivote (θ < 0 ) si (M A + M A ').Z < 0b2 b
5) ou encore ϖ .a.b. − d. h − < 0
212
b b 2 1 bEquivaut à h > + h = b. + A.N. h = 4,5 m
2 ddonc 0
2 12.d0
Exercice N°16:
1 E NONCE
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 41Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
On considère une sphère pleine en bois de rayon r=20 cm et une sphère creuse
en acier de rayon r=20 cm et d’épaisseur e=8 mm.
On suppose que le volume compris entre 0 et (r-e) est vide.
On donne :
-la masse volumique du bois : ρbois = 700 kg/m3
-la masse volumique de l’acier : ρacier = 7800 kg/m3
-la masse volumique de l’eau : ρeau = 1000 kg/m3 1)
Déterminer le poids d’une chaque sphère.
2) Déterminer la poussé d’Archimède qui s’exercerait sur chacune de ces sphères
si elles étaient totalement immergées dans l’eau.
3) Ces sphères pourraient-elles flotter à la surface de l’eau ?
4) Si oui quelle est la fraction du volume immergé ?
2 R EPONSE
1) Poids de chaque sphère: poidsρ poids
bois
= ρbois
.g.(4
.π.r3 )A.N.= .g.V 3
poidsacier = ρaciers .g.[( 4.π.r3 ) −( 4.π.(r −e)3 )]poidsbois = 700 ×9,8×0,0335 = 230 N3 3
A. N. poidsacier = 7800 ×9,8 ×0,00386 = 295 N
2) Poussée d’Archimède :
La poussé d’Archimède est égale au poids du volume déplacé. Or lorsqu’elles sont
totalement immergées, ces deux sphères vont déplacer le même volume e volume
donc: PARCH = ρeau .g.( 43 .π.r 3 ) A.N. PARCH =1000 ×9,8 ×0,0335 = 328 N
3) Ces deux sphères peuvent toutes les deux flotter car leurs poids sont inférieurs
à la poussé d’Archimède.
4) A l’équilibre la poussé d’Archimède est égale au poids :
5)
230 = 1000.9,8.Vbois immergé⇒Vbois immergé = 0,0234 m3 soit F=70%.
295 = 1000.9,8.Vacier immergé ⇒ Vacier immergé = 0,0301 m3soit F=90%.
Exercice N°17: EXTRAIT DE L’EXAMEN DU 15-01-2007
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 42Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
1 E NONCE
Une sphère de rayon R=10 cm flotte à moitié (fraction du volume immergé F1=50
%) à la surface de l’eau de mer (masse volumique ρmer=1025 kg/m3).
1) Déterminer son poids P.
2) Quelle sera la fraction du volume immergé F2 si cette sphère flottait à la surface
de l’huile (masse volumique ρhuile=800 kg/m3) ?
2 R EPONSE
1) Equation d’équilibre : Poids = PARCH = F1 .V.ρmer .g = F1. 43 π.R3 .ρmer .g
A.N. Poids = 1
2 4
3 π0,13.1025.9,81 = 21 N
2) Poids = PARCH ⇔ F2 .V.ρhuile .g = Poids
Équivaut à F2 =1
ρmer
AN. F2 =1 1025
= 64%2 ρ
huile 2 800
Exercice N°18: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 13-12-2007
1 E NONCE
La glace à -10°C a une masse volumique ρglace= 995 kg/m3. Un iceberg sphérique
de 1000 tonnes flotte à la surface de l'eau. L'eau de mer a une masse volumique
ρeau = 1025 kg/m3.
glace
Eau de mer
Travail demandé :
1) Déterminer la fraction F du volume immergée ?
2) Quelle sera F si la glace avait une forme cubique ?
2 R EPONSE
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 43Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
1) Equation d’équilibre : Parch=Poids ⇒ ρglace .g.Vtotal = ρeau .g.Vimmergé
donc F =V
immergé .100 =ρ
glace .100V
totalρ
eau
A.N. F = 1025995
.100 = 97%
2) La fraction F ne dépend que du rapport des masses volumiques. Elle est
indépendante de la forme. Donc F=97% si la forme était cubique.
Exercice N°19: EXTRAIT DE L’EXAMEN DU 20-06-2005
1 E NONCE
Un cube en acier de coté a=50 cm flotte sur du mercure.
h
a
On donne les masses volumiques :
- de l’acier ρ1= 7800 kg/m3
- du mercure ρ2= 13600 kg/m3
1) Appliquer le théorème d’Archimède,
2) Déterminer la hauteur h immergée.
2 R EPONSE
1) Théorème d’Archimède : la poussée d’Archimède est égal au poids du volume
déplacé: PARCH = a2 .h.ρ2 .g .
2) Equation d’équilibre : PARCH = Poids
Donc a2 .h.ρ2 .g = a3 .ρ1.g
équivaut à h = ρ1 .a
ρ2
A.N. h = 136007800
.50 = 28,676 cm
Exercice N°20: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 21-04-2003
1 E NONCE
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 44Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
On considère une plate-forme composée d’une plaque plane et de trois poutres
cylindriques en bois qui flottent à la surface de la mer.
Plaque
Bois d
Eau de mer
On donne:
- les dimensions d’une poutre: diamètre d=0,5 m et longueur L=4 m,
- la masse volumique du bois : ρbois = 700 kg / m3 ,
- la masse volumique de l’eau de mer: ρmer =1027 kg / m3 ,
- la masse de la plaque Mc = 350 kg,
- l’accélération de la pesanteur g=9,81 m/s2.
Travail demandé:
1) Calculer le poids total P0 de la plate-forme.
2) Ecrire l’équation d’équilibre de la plate-forme.
3) En déduire la fraction F(%) du volume immergé des poutres.
4) Déterminer la masse Mc maximale qu’on peut placer sur la plate-forme sans
l’immerger.
2 R EPONSE
1) Poids total de la plate-forme : P0 = (M p +3.M b ).g = (M p +3.ρbois .π.
4d
2 .L)
π .0,5 2
A.N. P0 350 +3.700. .4 =19613,49 N
=
4.9,81
2) Equation d’équilibre : P0 = Poussée d’Archimède
3) PARCH= poids du volume d’eau déplacé
PARCH
= 3.ρ
eau .V
immerge.g
=
P
o ⇒ V
immerg = P0
3.ρeau .g
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 45Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 2 : Statique des fluides
F (%) =
Vimmerge
.100 =P
.100La fraction du volume immergé :0
Vpoutre
3.ρeau
.g.Vpoutre
A.N. F(%) =19613,49
.100 = 82,62 %π .0,5 2
.43.1027.9,81.
4
4) Poutre complètement immergée : F(%)=100 % c'est-à-dire Vimmergé=Vpoutre
P0 + MC .g =Vpoutre . On obtient : M c =1 .(3.ρeau g.Vpoutre − Po )g3.ρeau .g
A.N. 1 3.1027.9,81.π.0,5 2
Mc
= . .4 −19613,49 = 420,47 kg
9,81 4
Exercice N°21: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 31-05-2004
1 E NONCE
La figure ci-dessous représente un montage destiné pour la pêche à la ligne.
(2)
(3) Eau de mer
(1)
Il est composé d’une sphère pleine (1) de rayon R1 =10 mm en plomb suspendu,
par l’intermédiaire d’un fil souple et léger (3), à un flotteur (2) en forme de sphère
creuse en matière plastique de rayon R2=35 mm et d’épaisseur e=5 mm.
On donne :
- la masse volumique de l’eau de mer : ρ =1027 kg/m3,
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Chapitre 2 : Statique des fluides
- la masse volumique du plomb : ρ1
=11340 kg/m3 ,
- la masse volumique du matériau du flotteur : ρ2 =500
kg/m3,
- l’accélération de la pesanteur
g=9,81m.s-2.
Travail demandé:1) Calculer le poids
P1 de la sphère (1).
2) Déterminer la poussée d’Archimède
PARCH1 qui agit sur la sphère (1).
3) Ecrire l’équation d’équilibre de la sphère (1). En déduire la tension T du fil.
4) Calculer le poids
P2 du flotteur (2).
5) Ecrire l’équation
d’équilibre du
flotteur. En déduire
la poussée
d’Archimède PARCH2
agissant sur la
sphère (2).
6) En déduire la fraction F% du volume immergé du flotteur.
2 R EPONSE
1) Poids de la sphère (1) : P1 =4πR
3
2) Poussée d’Archimède sur la sphère (1) :
A.N. P
ARCH1=43π.0,013.1027.9
,81=0,0422 N
3) Equation
d’équilibre : Tr + P1 +
PARCH = O
Tension du fil :
T=P1-PARCH1 A.N. T=0,4659-0,0422=0,4237 N
4) Poids du flotteur (2)
: P2 =4
3π[R23 −(R2 −e)3
].ρ2.g
A.N. P2 =4
3π.[0,0353
−0,0303
].500.9,81=0,3262 N
5) Equation d’équilibre du flotteur (2) : T + P2 + PARCH 2 = O
Poussée d’Archimède agissant sur la sphère (2) :
PARCH2=P2+T
A.N. P
ARCH2=0,3262+0,4237=0 ,7499 N
6) Fraction du volume immergé : F
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Chapitre 2 : Statique des fluides
PARCH 2
A.N. F =ρg
.100 = 41,4449 %4
π.0,0353
3
Exercice N°22: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 29-10-2002
1 E NONCE
On considère un densimètre formé d’un cylindrique creux de longueur L=400 mm
et de diamètre d, dans lequel est placée une masse de plomb au niveau de sa
partie inférieure. Le centre de gravité G du densimètre est situé à une distance a
=10 mm par rapport au fond. Le densimètre flotte à la surface d’un liquide de
masse volumique ρ inconnu. Il est immergé jusqu'à une hauteur h.
Lorsque le densimètre est placé dans de l’eau de masse volumique
ρ0 =1000 kg / m3 , la hauteur immergée est h0 = 200 mm.
d
hL
aG
Travail demandé :
1) Quel est la masse volumique ρ du liquide si la hauteur immergée h=250 mm?
2) Quel est la masse volumique ρmin qu’on peut mesurer avec ce densimètre ?
3) Jusqu’à quelle valeur de la masse volumique ρ du liquide le densimètre reste
dans une position d’équilibre verticale stable?
4) Donner un exemple de liquide dans lequel on risque d’avoir un problème de
stabilité.
2 R EPONSE
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Chapitre 2 : Statique des fluides
1) Le densimètre est soumis à son poids propre d’intensité m.g et à la poussée
d’Archimède dirigée vers le haut et d’intensité ρ.g.Vliquide deplace = ρ.g.π.
4d
2 .h .
L’équation d’équilibre est : m.g = ρ.g.π.d 2
.h équivalente à m = ρ.π .d 2
.h (1)4 4
De même si le liquide était de l’eau on a : m = ρ .π.d 2 .h (2)0 4 0
h0(1) et (2) entraîne ρ.h = ρ0 .h0 donc ρ = .ρ0 A.N. ρ = 800 kg / m3
h
2) La masse volumique ρmin correspond à une hauteur immergée h=400 mm.
ρmin = hh
0 .ρ0
A.N. ρ = 500 kg / m3
3) Le densimètre reste en position d’équilibre stable si le centre de gravité du
liquide déplacé (situé à une distance h/2 de la base) est au dessus du centre de
gravité (situé à une distance a de la base).
Donc, il faut que h
2 > a
pour assurer la stabilité du densimètre.
ρ 1 h
Or h= 0
.h0 donc il faut queρ < . 0 .ρ
0ρ 2 a
A.N. ρ <10000 kg / m3
4) Le mercure a une masse volumique ρ =13600 kg / m3 >10000
Exercice N°23: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 11-11-2003
1 E NONCE
On considère un cylindre (1) en acier, de rayon R et de hauteur H. Ce cylindre est
suspendu par un fil (3) à l’intérieur d’un récipient contenant de l’huile (2).
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Z
(3)
ZAA
H (2)
ZB(1)
B
On donne :
- l’accélération de la pesanteur g=9,81 m/s2,
- la masse volumique de l’huile ρhuile =824 kg/m3,
- la masse volumique de l’acier ρacier =7800 kg/m3,
Travail demandé :
1) Déterminer l’expression de la tension T du fil en appliquant le théorème
d’Archimède.
2) Retrouver la même expression en utilisant la RFH (Relation Fondamentale de
l’Hydrostatique).
3) Faire une application numérique pour R=0,1 m et H=0,2 m.
2 R EPONSE
1) Equation d’équilibre : Tr + P + PARCH = 0
T : tension du fil ; P : poids du cylindre et PARCH :poussée d’Archimède.
Projection selon Z :T − mg + P = 0 (m : masse du cylindre : m = ρacier
.π.R2 .H )ARCH
Th. d’Archimède : PARCH= ρ π 2 .H donc T = (ρ
acier− ρ
huile).π.R2 .H.g
huile . .R
2) Equation d’équilibre : T + P + FA + FB + ΣFL = 0
T : tension du fil, P : poids du cylindre , FA : force de pression agissant sur la
surface supérieure, FB : force de pression agissant sur la surface inférieure, ΣFL :
forces de pression agissant sur la surface latérale (perpendiculaire à l’axe Z ).
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Projection selon Z : T − mg − PA.S + PB .S = 0
Où m : masse du cylindre ;
PA , PB :pressions respectivement au point A et au point
B et S : section.
RFH : PB − PA = ρhuile .g.H donc T = (ρacier − ρhuile
).π.R2 .H.g
3) T = (7800 − 824).π.0,12.0,2.9,81 = 429,5 N
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Chapitre 3 : DYNAMIQUE DES FLUIDESINCOMPRESSIBLES PARFAITS
1 INTRODUCTION
Dans ce chapitre, nous allons étudier les fluides en mouvement. Contrairement
aux solides, les éléments d’un fluide en mouvement peuvent se déplacer à des
vitesses différentes. L’écoulement des fluides est un phénomène complexe.
On s’intéresse aux équations fondamentales qui régissent la dynamique des
fluides incompressibles parfaits, en particulier :
- l’équation de continuité (conservation de la masse),
- le théorème de Bernoulli (conservation de l’énergie) et,
- le théorème d’Euler (conservation de la quantité de mouvement) à partir duquel
on établit les équations donnant la force dynamique exercée par les fluides en
mouvement (exemple les jets d’eau).
2 ECOULEMENT PERMANENT
L’écoulement d’un fluide est dit permanent si le champ des vecteurs vitesse des
particules fluides est constant dans le temps. Notons cependant que cela ne veut
pas dire que le champ des vecteurs vitesse est uniforme dans l’espace.
L’écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible est le seul que nous
aurons à considérer dans ce cours. Un écoulement non permanent conduirait à
considérer les effets d’inertie des masses fluides.
3 EQUATION DE CONTINUITE
Considérons une veine d’un fluide incompressible de masse volumique ρ animée
d’un écoulement permanent.
52
Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
S1 dm1
S’1
dx1
V1
M
dm2
S2
S’2
dx2 V2
On désigne par :
- S1 et S2 respectivement la section d’entrée et la section de sortie du fluide à
l’instant t,
- S’1 et S’2 respectivement les sections d’entrée et de sortie du fluide à l’instant
t’=(t+dt),
- V1 et V2 les vecteurs vitesse d’écoulement respectivement à travers les sections
S1 et S2 de la veine.
- dx1 et dx2 respectivement les déplacements des sections S1 et S2 pendant
l’intervalle de temps dt,
- dm1 : masse élémentaire entrante comprise entre les sections S1 et S’1,
- dm2 : masse élémentaire sortante comprise entre les sections S2 et S’2,
- M : masse comprise entre S1 et S2,
- dV1 : volume élémentaire entrant compris entre les sections S1 et S’1,
- dV2 : volume élémentaire sortant compris entre les sections S2 et S’2,
A l’instant t : le fluide compris entre S1 et S2 a une masse égale à (dm1+ M)
A l’instant t+dt : le fluide compris entre S’1 et S’2 a une masse égale à (M+ dm2).
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Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
Par conservation de la masse: dm1 +
M = M + dm2 en simplifiant par M on
aura dm1 = dm2 Donc ρ1.dV1 = ρ2 .dV2
ou encore ρ1.S1.dx1 = ρ2 .S2 .dx2 ,
En divisant par dt on abouti à :
ρ .S .dx1 = ρ .S . dx2 ⇔ ρ .S .V = ρ .S .Vdt dt1 1 2 2 1 1 1 2 2 2
Puisque le fluide est incompressible : ρ1 =
ρ2 = ρ On peut simplifier et aboutir à
l’équation de continuité suivante :
S1 .V 1= S2 .V2 (1)
4 NOTION DE DEBIT
4.1 Débit massique
Le débit massique d’une veine fluide est la
limite du rapport dm
dt quand dt tend vers
0.
qm = dm
dt
où :
- qm est la masse de fluide par unité de
temps qui traverse une section droite
quelconque de la conduite.
- dm : masse élémentaire en (kg) qui
traverse la section pendant un intervalle de
temps dt .
- dt : intervalle de temps en (s)
en tenant compte des équations précédentes on obtient :
= ρ.S2 . dx
dt2 (2)
avec :
qm = dm
= ρ.S1. dx1 dt
dt
dxdt1 = V1 = V1 : Vitesse moyenne
d’écoulement de la veine fluide à travers S1,
dxdt2 = V2 = V2 : Vitesse moyenne
d’écoulement de la veine fluide à travers
S2
D’après (2) :
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Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
qm = ρ.S1.V1 = ρ.S2 .V2
Soit dans une section droite quelconque S de la veine fluide à travers laquelle le
fluide s’écoule à la vitesse moyenne v :
qm = ρ.S.V (3)
où :
qm : Débit massique en (kg/s)
ρ : Masse volumique en (kg/m3)
S : Section de la veine fluide en (m2)
V : Vitesse moyenne du fluide à travers (S) en (m/s)
4.2 Débit volumique
Le débit volumique d’une veine fluide est la limite du rapport
vers 0.
qv = dV
dt
Où :
dVdt quand dt tend
- qv : Volume de fluide par unité de temps qui traverse une section droite
quelconque de la conduite.
- dV : Volume élémentaire, en (m3), ayant traversé une surface S pendant un
intervalle de temps dt,
- dt : Intervalle de temps en secondes (s),
D’après la relation (3) et en notant que dV = dm
ρ on peut écrire également que
qv = qρm soit
qv = S.V
4.3 Relation entre débit massique et débit volumique
A partir des relations précédentes on peut déduire facilement la relation entre
le débit massique et le débit volumique :
qm = ρ.qv
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Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
5 THEOREME DE BERNOULLI – CAS D’UN ECOULEMENT SANS ECHANGE DE
TRAVAIL
Reprenons le schéma de la veine fluide du paragraphe 3 avec les mêmes
notations et les hypothèses suivantes:
- Le fluide est parfait et incompressible.
- L’écoulement est permanent.
- L’écoulement est dans une conduite parfaitement lisse.
On considère un axe Z vertical dirigé vers le haut.
On note Z1, Z2 et Z respectivement les altitudes des centres de gravité des masses
dm1, dm2 et M.
On désigne par F1 et F2 respectivement les normes des forces de pression du
fluide agissant au niveau des sections S1 et S2.
F
dm1
S1
S’1
G1 Z1
dx1
V1
M
dm2
G Z
S2
S’2
G2 F2 Z2
dx2 V2
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Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
A l’instant t le fluide de masse (dm1 + M) est compris entre S1 et S2. Son énergie
mécanique est : E = E + E = (dm .g.Z + MgZ) + 1 dm.V 2 + S2 dm . V 2 mec pot cin 1 ∫S '1
1 2 1 1 2A l’instant t’=(t+dt) le fluide de masse (M+dm2) est compris entre S’1 et S’2. Son
énergie mécanique est : E'mec = E' pot +E'cin = (MgZ + dm2 .g.Z2 ) +S2 dm . V 2
+1 2
∫S '1 2 2dm2 .V2
On applique le théorème de l’énergie mécanique au fluide
variation de l’énergie mécanique est égale à la somme des
extérieures. »
entre t et t’ : « La
travaux des forces
E'mec
−Emec
= W
Forces de pression = F1.dx1 − F2 .dx2 ⇔ E'mec −Emec = P1.S1.dx1 − P2 .S2 .dx2 = P1.dV1 − P2 .dV2
en simplifiant on obtient : dm .g.Z2
+1 dm .V 2 − dm .g.Z − 1 .dm .V 2 = P1 .dm − P2 .dm22 22 2 1 1 1 1 ρ 1 ρ
22
1
Par conservation de la masse : dm1 = dm2 = dm et puisque le fluide est
incompressible : ρ1 = ρ2 = ρ , On aboutie à l’équation de Bernoulli :
V22 −
2 V12 +
P2 ρ−
P1 + g(Z2 − Z1 ) = 0 (4)
L’unité de chaque terme de la relation (4) est le joule par
kilogramme (J/kg) D’après la relation (4) on peut alors écrire :
V 2
+P
+ g.z2 =V 2
+P
+ g.z12 2 1 1
2 ρ 2 ρ
6 THEOREME DE BERNOULLI – CAS D’UN ECOULEMENT AVEC ECHANGE DE
TRAVAIL
Reprenons le schéma de la veine fluide du paragraphe 4 avec les
mêmes notations et les mêmes hypothèses. On suppose en plus
qu’une machine hydraulique est placée entre les sections S1 et S2.
Cette machine est caractérisée par une puissance nette Pnet échangée
avec le fluide, une puissance sur l’arbre Pa et un certain rendement
η.Cette machine peut être soit une turbine soit une pompe.
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Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
- Dans le cas d’une pompe : le rendement est donné par l’expression suivante :
η = P
net
Pa
- Dans le cas d’une turbine : le rendement est donné par l’expression suivante :
η = P
a
Pnet
Entre les instant t et t’=(t+dt), le fluide a
échange un travail net Wnet = Pnet .dt avec la
machine hydraulique. Wnet est supposé positif
s’il s’agit d’une pompe et négatif s’il s’agit d’une
turbine.
On désigne par F1 et F2 respectivement les normes des forces de pression du fluide
agissant au niveau des sections S1 et S2.
A l’instant t le fluide de masse (dm1 + M) est
compris entre S1 et S2. Son énergie
mécanique est : E = E + E = (dm .g.Z + MgZ) + 1 dm.V 2 +mec pot cin 11 2 1 1
dm1
F1 S1
G1
S’
dx1
V1
M
G
PompeS2
Turbine F2
S’
G2
dx2
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Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
A l’instant t’=(t+dt) le fluide de masse (M+dm2) est compris entre S’1 et S’2. Son
énergie mécanique est : E'mec = E' pot +E'cin = (MgZ + dm2 .g.Z2 ) +S2 dm . V 2
+1 2
∫S '1 2 2dm2 .V2
On applique le théorème de l’énergie mécanique au fluide entre t et t’ :« La
variation de l’énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces
extérieures. »,en considérant cette fois ci le travail de la machine hydraulique
E'mec −Emec = F1.dx1 − F2 .dx2 + Pnet .dt
E'mec −Emec = P1 .S1 .dx1 − P2 .S2 .dx2 + Pnet. .dt = P1 .dV1 − P2 .dV2 + Pnet .dt en simplifiant on aura :
dm .g.Z2
+ 1 dm .V 2 − dm .g.Z − 1 .dm .V 2 = P1 .dm − P2 .dm + P .dt Par conservation2 2 ρ2 2 2 1 1 1 1 1 ρ
22 net
1
de la masse : dm1 = dm2 = dm et puisque le fluide est incompressible : ρ1 = ρ2 = ρ ,
V 2 −V 2 P − P+ g(Z2 − Z1 ) =
Pon aboutie à l’équation de Bernoulli :
2 1
+2 1 net
(5)2 ρ qm
7 THEOREME D’EULER :
Une application directe du théorème d’Euler est l’évaluation des forces exercées
par les jets d’eau. Celles-ci sont exploitées dans divers domaines : production de
l’énergie électrique à partir de l’énergie hydraulique grâce aux turbines, coupe des
matériaux, etc. Le théorème d’Euler résulte de l’application du théorème de
quantité de mouvement à l’écoulement d’un fluide :
∑Fext = ddtP ; avec P = mV G : quantité de mouvement.
Ce théorème permet de déterminer les efforts exercés par le fluide en mouvement
sur les objets qui les environnent.
Enoncé
La résultante ( ∑Fext ) des actions mécaniques extérieures exercées sur un
fluide isolé (fluide contenu dans l’enveloppe limitée par S1 et S2 ) est égale à la
variation de la quantité de mouvement du fluide qui entre en S1 à une vitesse
V1 et sort par S2 à une vitesse V2 .
∑Fext = qm (V2 −V1 )
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Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
Exemple :
Considérons un obstacle symétrique par rapport
à l’axe Z . Le jet d’un écoulement de débit
massique qm, de vitesse V1 et de direction
parallèle à l’axe Z , percute l’obstacle qui le
dévie d’un angle β . Le fluide quitte l’obstacle à
une vitesse V2 de direction faisant un angle β
par rapport à l’axe Z .
Z
V2
F
V1
La quantité de mouvement du fluide à l’entrée de l’obstacle est :
l’axe Z .
La quantité de mouvement du fluide à la sortie de l’obstacle est :
par l’axe Z .
La force opposée au jet étant égale à la variation de la quantité de mouvement :
R = qm .V2 .cos β − qm .V1
La force F exercée sur l’obstacle en direction de
Z est égale et opposée à celle-ci :
F = qm .(V1 −V2 .cos β)
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Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
8 CONCLUSION
Les lois et les équations établies dans ce chapitre en particulier l’équation de
Bernoulli ont un intérêt pratique considérable du moment ou elles permettent de
comprendre le principe de fonctionnement de beaucoup d’instruments de mesure
de débits tels que le tube de Pitot, le tube de Venturi et le diaphragme…etc.
Réservées aux fluides incompressibles, ces lois et équations peuvent être
employées dans certains cas particulier pour les fluides compressibles à faible
variation de pression. Une telle variation existe dans plusieurs cas pratiques.
Cependant, lorsqu’on veut prendre en considération la compressibilité dans les
calculs, il est nécessaire d’employer les formules appropriées.
9 EXERCICES D’APPLICATION
Exercice N°1:
1 E NONCE
On veut accélérer la circulation d’un fluide parfait dans une conduite de telle sorte
que sa vitesse soit multipliée par 4. Pour cela, la conduite comporte un convergent
caractérisé par l’angle α (schéma ci-dessus).
α
R1
V V2 R21
l
1) Calculer le rapport des rayons (R1/R2).
2) Calculer ( R1 - R2 ) en fonction de L et α. En déduire la longueur L. (R1 = 50 mm,
α = 15°).
2 R EPONSE
1) On applique l’équation de continuité :
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Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
S1 V2V .S = V .S2
ou encore = or S = π.R2 et S2
= π.R2 d’oùR
1 =V
2 = 21 1 2 S2 V1
1 1 2 R2 V1
R1 − R2 R1 R12) tgα = l = R1 − R2 or R = donc l =donc A.N.: L = 93,3 mm .l tgα
2
2 2.tgα
Exercice N°2: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 23-05-2003
1 E NONCE
On considère un réservoir remplie d’eau à une hauteur H= 3 m , muni d’un petit
orifice à sa base de diamètre d= 10 mm.
1) En précisant les hypotèses prises en comptes, appliquer le théorème de
Bernouilli pour calculer la vitesse V2 d’écoulement d’eau.
2) En déduire le débit volumique Qv en (l/s) en sortie de l’orifice.
On suppose que g=9,81 m/s.
eau
H
V2
2 R EPONSE
1) Vitesse d’écoulement V2 ?
On applique le théorème de Bernoulli avec les hypothèses suivantes : V1≈0 car le
niveau dans le réservoir varie lentement et P1=P2=Patm,
V22 −
2V12 +
P2 ρ−
P1 + g.(Z2 − Z1 ) = 0 On obtient :
V2 = 2.g.H A.N. V2 = 2.9,81.3 = 7,67 m / s
2) Débit volumique Qv ?
π . d 2 π .(10.10 − 3 ) 2 = 7,87.10−2 m2 A.N.QV =V2 .S or S = = QV = O,6 L / s4 4
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Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
Exercice N°3: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 11-11-2003
1 E NONCE
Un fluide parfait incompressible s’écoule d’un orifice circulaire situé sur le coté d’un
réservoir avec un débit volumique qv=0,4 L/s. Le diamètre de l’orifice est d=10 mm.
1) Déterminer la vitesse d’écoulement au niveau de l’orifice.
2) Enoncer le théorème de Bernoulli.
3) A quelle distance de la surface libre se trouve l’orifice ?
2 R EPONSE
V =q
v =4.q
V =4.0,4.10−3
= 5,1 m / s1) Vitesse d’écoulement : v A.N.π.d 2 π.0,012S
V 2+ Z1 +
P=
V 2+ Z2 +
P2) Théorème de Bernoulli : 1 1 2 2
2.g 2.g ϖϖ
h =
V 2
h =
5,12
=1,32 m3) On a Z1-Z2=h ; P1=P2=Patm ; V1=0 donc2
A.N.2.g 2.9,81
Exercice N°4: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 23-05-2005
1 E NONCE
On considère un réservoir cylindrique de diamètre intérieur D = 2 m rempli d’eau
jusqu’à une hauteur H = 3 m. Le fond du réservoir est muni d’un orifice de diamètre
d = 10 mm permettant de faire évacuer l’eau.
Z
∅DZ1
V1
H
Z2
∅d
V2
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Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
Si on laisse passer un temps très petit dt, le
niveau d’eau H du réservoir descend d’une
quantité dH. On note V1 = dH
dt la vitesse de
descente du niveau d’eau, et V2
la vitesse d’écoulement dans l’orifice. On
donne l’accélération de la pesanteur g =
9,81 m/s2.
1) Ecrire l’équation de continuité. En
déduire l’expression de V1 en fonction de
V2, D et d.
2) Ecrire l’équation de Bernoulli. On
suppose que le fluide est parfait et
incompressible.
3) A partir des réponses aux questions 1) et 2) établir l’expression de la vitesse
d’écoulement V2 en fonction de g, H, D et d.
4) Calculer la vitesse V2. On suppose que le diamètre d est négligeable devant D.
C'est-à-dire Dd
<<1.
5) En déduire le débit volumique qV.
2 R EPONSE
π . D 2 π . d 2 1) Equation de continuité :
4.V1 =
4.V2 donc la vitesse
2) Equation de Bernoulli : V22
−2V12 +
P2
ρ−
P1 + g.( Z 2 − Z1 )= 0
V 2−V 2
− g.H = 0Or P1=P2= Patm donc :2 1
(2)2
V 2 d
2
−
3) On substitue l’équation (1) dans (2) on obtient :
Donc la vitesse : V2 =2.g.H
d 41 −
D
d<<1 alors V2 = 2.g.H V2 = 2.9,81.3 = 7,674) Si A.N.
D
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
5) qv = π.d
2 .V2 A.N. qV = π .0,01 2 .7,67 = 6.10−4 m3 / s4 4
Exercice N°5: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 30-04-2007
1 E NONCE
Z
SAA
ZA
VA
H
SB BZB
VB
Le réservoir cylindrique représenté ci-dessus, ouvert à l’air libre, a une section SA
de diamètre DA = 2 m. Il est muni, à sa base, d’un orifice de vidage de section SB
et de diamètre DB = 14 mm. Le réservoir est plein jusqu’à une hauteur H=(ZA –
ZB)= 2,5 m de fioul, liquide considéré comme fluide parfait, de masse volumique ρ=
817 kg/m3.
On donne
- la pression atmosphérique Patm= 1 bar.
- l’accélération de la pesanteur g=9,8 m/s2.
On note α=(SB/SA)
Partie 1 : L’orifice est fermé par un bouchon.
1) En appliquant la RFH, déterminer la pression PB au point B.
2) En déduire la valeur de la force de pression FB qui s’exerce sur le bouchon.
Partie 2 : L’orifice est ouvert.
On procède à la vidange du réservoir.
Le fioul s’écoule du réservoir. Sa vitesse moyenne d’écoulement au point A est
notée VA, et sa vitesse d’écoulement au niveau de l’orifice est notée VB.
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Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
1) Ecrire l’équation de continuité. En déduire VA en fonction de VB et α.
2) En appliquant le théorème de Bernoulli entre A et B, établir l’expression littérale
de la vitesse VB en fonction de g, H et α.
3) Calculer la valeur de α. L’hypothèse de considérer un niveau H du fluide varie
lentement est elle vraie ? Justifier votre réponse.
4) Calculer VB en considérant l’hypothèse que α<<1.
5) Déterminer le débit volumique QV du fluide qui s’écoule à travers l’orifice. (en
litre par seconde)
6) Quelle serait la durée T du vidage si ce débit restait constant ?
2 R EPONSE
Partie 1
1) PB = PA + ρ.g.H A.N. PB =105 +817.9,8.2,5 =1,2 .105 pascal
2) FB = PB .SB = PB .π D 2
A.N. FB = 1,2.105.π .(14.10 − 3 )2
B4
=18,472 N4
Partie 2
1) Equation de continuité SA .VA = SB .VB VA = α.VB
V 2 −V 2 P − P
2) Equation de Bernoulli :B A
+B A
+ g(ZB − Z A ) = 02 ρ
or PA=PB=Patm, (ZB-ZA)=H, VA=αVB donc VB = 2. g . H 1−α 2
SB2
14.10− 3 2
−5DB
3) α = = A.N α = = 4,9.10
SA 2D
A
L’hypothèse de considérer un niveau quasi-contant est vraie car α<<1 donc VA≈0
4) VB = 2.g.H A.N VB = 2.9,8.2,5 = 7 m / s
5) Qv = SB .VB =π . D 2
.VB A.N Qv =π .(14.10 − 3 )2
4 B 4 .7 =1.10−3 m3 / s =1 L / s
T =V
=π D 2 . H
Qv =π.22
.2,5 = 7854 s =130 mn = 2 h 10 mn6) A A.NQ 4.103
4.Qv v
Exercice N°6: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 31-05-2004
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 66Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
1 E NONCE
On considère un siphon de diamètre d=10
mm alimenté par un réservoir d’essence
de grandes dimensions par rapport à d et
ouvert à l’atmosphère.
On suppose que :
- le fluide est parfait.
- le niveau du fluide dans le réservoir varie lentement.
- l’accélération de la pesanteur g=9.81
m.s-2.
- le poids volumique de l’essence:ϖ = 6896 N / m3 .
- H=ZA–ZS =2,5 m.
B
h
A
H
Réservoir
S
1) En appliquant le Théorème de Bernoulli entre les points A et S, calculer la vitesse
d’écoulement VS dans le siphon.
2) En déduire le débit volumique qV.
3) Donner l’expression de la pression PB
au point B en fonction de h, H, ϖ et Patm.
Faire une application numérique pour
h=0.4 m.
4) h peut elle prendre n’importe quelle valeur ? Justifier votre réponse.
2 R EPONSE
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
1) VS2 +Ps +Zs =
VA
2+ PA +ZA ona : Ps=PA = Patm , VA=0 et ZA-ZS=H
2g ϖ 2g ϖ
VS = 2gH A.N. VS = 2.9,81.2,5=7 m/s
2) Le débit volumique : qv =VS . π.d
2 A.N. qV =7.π.0,012=5,5.10−4 m3 /s=0,55l/s
4 4
V2
P V 2 P3) Théorème de Bernoulli entre B et S : B + B + Z B = S + S + Z S
ϖ2g ϖ 2g
Or Vs=VB, ZB-ZS= H+h et Ps= PatmB atm
A.N.PB =105 −6896.(2,5+0,4)=80001,6 Pa=0,8 bar
P =P −ϖ.(H +h)
4) Non. Il faut que PB>0 Equivaut à h< Patm −H A.N . h< 105−2,5=12 m
9,81.700ϖ
Exercice N°7: EXTRAIT DE L’EXAMEN DU 18-06-2007
1 E NONCE
La figure ci-dessous représente un piston qui se déplace sans frottement dans un
cylindre de section S1 et de diamètre d1=4 cm remplit d’un fluide parfait de masse
volumique ρ=1000 kg/m3. Le piston est poussé par une force F d’intensité 62,84
Newtons à une vitesse V1 constante. Le fluide peut s’échapper vers l’extérieur par
un cylindre de section S2 et de diamètre d2 = 1 cm à une vitesse V2 et une pression
P2= Patm =1 bar.
Zr
S1
S2
r vr
2
PatmP1
F
vr
1
Patm
Travail demandé:
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Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
1) En appliquant le principe fondamental de la dynamique au piston, déterminer la
pression P1 du fluide au niveau de la section S1 en fonction de F, Patm et d1.
2) Ecrire l’équation de continuité et déterminer l’expression de la vitesse V1 en
fonction de V2.
3) En appliquant l’équation de Bernoulli, déterminer la vitesse d’écoulement V2 en
fonction de P1, Patm et ρ.
(On suppose que les cylindres sont dans une position horizontale (Z1=Z2))
4) En déduire le débit volumique Qv.
2 R EPONSE
1) PFD: F + P .S = P .S ⇒ P1 =4.F +
P
atm
π.d12
atm 1 1 1
A.N. P1 = 4. −62,84 +105 =1,5 bar2
π.0,04
2) Equation de continuité:V1S1 =V2 .S2
2 2 1⇒ V
1 =V2 . S2 = d2 ⇒V1 = 1 .V2⇒ V = .VV
2 . 1
162
S1
d1 4
Equation de Bernoulli :V 2 −V 2 P − P
+ g( Z 2 − Z1 )= 0 or Z1=Z2 et P2=Patm3)2 1
+21
2 ρ
1
V2 =
512 (P1 − Patm )
et V1 = .V2 donc 255 .
16 ρ
A.N. V2 =512
.(1,5.10 5 − 10 5 )
=10 m / s255 1000
4) Q =π . d 2
2 .V2v 4
A.N. Qv = π.0,012.10 = 0,785.10−3 m3 / s
4
Exercice N°8: EXTRAIT DE L’EXAMEN DU 17-01-2005
1 E NONCE
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Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
La figure suivante représente une buse connectée à un tuyau dans lequel est
acheminée de l’eau à une pression P1=2,875 bar.
P1 P2
Ød1
V1
(eau)V
2 Ød2
(S1) (S2)
Le fluide subit un étranglement : sa section S1 de diamètre d1=20 mm est réduite à
une section de sortie S2 de diamètre d2=10 mm.
On suppose que le fluide est parfait et la buse est dans une position horizontale.
On donne la masse volumique de l’eau ρ =1000 kg / m3 et la pression de sortie
P2=Patm=1 bar.
1) Déterminer le rapport V2 .
V1
2) En appliquant l’équation de Bernoulli, calculer la vitesse d’écoulement V2.
2 R EPONSE
V2 S12
d1
1) Equation de continuité : V1.S1 =V2 .S2 donc = = = 4V S d
1 2 2
2) Equation de Bernoulli :V 2 −V 2
+P − P
+ g.(Z − Z ) = 0 Or Z1=Z2 et V =V
22 1 21
22 ρ 1 1 4
V2 =
32
.
P − PV2 =
32
.
2,875.105 −10 5
= 20 m / sDonc21
A.N.15 ρ 15 1000
Exercice N°9: EXTRAIT DE L’EXAMEN DU 15-01-2007
1 E NONCE
De l’huile est accélérée à travers une buse en forme de cône convergent.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.
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Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
Z
S1 buse S2
huile (1) V1 (2) V2 Z1=Z2
L (4)Z4
(3)
hZ3
mercure
La buse est équipée d’un manomètre en U qui contient du mercure.
Partie 1 : Etude de la buse
Un débit volumique qv= 0,4 L/s, l’huile traverse la section S1 de diamètre d1= 10
mm à une vitesse d’écoulement V1 , à une pression P1 et sort vers l’atmosphère
par la section S2 de diamètre d2 à une vitesse d’écoulement V2=4.V1 et une
pression P2=Patm=1 bar.
On suppose que :
- le fluide est parfait,
- la buse est maintenue horizontale (Z1=Z2).
On donne la masse volumique de l’huile : ρhuile
1) Calculer la vitesse d’écoulement V1. 2) Ecrire l’équation de continuité. En déduire le diamètre d2.
3) En appliquant le Théorème de Bernoulli entre le point (1) et le point (2)
déterminer la pression P1 en bar.
Partie 2 : Etude du manomètre (tube en U).Le manomètre, tube en U, contient du mercure de masse volumique
ρmercure=13600 kg/m3. Il permet de mesurer la pression P1 à partir d’une lecture de
la dénivellation : h = (Z4-Z3).
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 71Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
= 800 kg/m3.
Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
On donne :- (Z1-Z3)= L= 1274 mm.
- l’accélération de la pesanteur : g = 9,81 m/s2.
- la pression P4 = Patm= 1 bar,
1) En appliquant la RFH (Relation Fondamentale de l’hydrostatique) entre les
points (1) et (3), déterminer la pression P3.
2) De même, en appliquant la RFH entre les points (3) et (4), déterminer la
dénivellation h du mercure.
2 R EPONSE
Partie 1 : Etude de la buse
4.0,4.10−34.q1) Vitesse d’écoulement : V1 = v A.N. V1 = = 5 m / s2 2
π.d1 π.0,01
Equation de continuité : ⇒ d2 =V
1 .d1 A.N. d2 = 5.10 = 5 mm2) V1.S1 =V2 .S2V2 20
V 2 −V 2 P − PEquation de Bernoulli : + + g( Z 2 − Z1 )= 0 or Z1=Z2 et P2=Patm3) 2 1 2 1
2ρ
huile
Donc P1 = P2 + 1
2 .ρhuile .(V22 −V1
2 )
A.N. P1 =105 + 12 .800.(202 −51
2 )= 2,5.105 pascal = 2,5 bar
Partie 2 : Etude du manomètre (tube en U)
1) RFH entre (1) et (3) : P3 − P1 = ρhuile
P3 = P1 + ρhuile .g.L A.N. P3 = 2,5.105 +800.9,81.1,274 = 2,6.105 pascal = 2,6 bar
2) RFH entre (3) et (4) : P3 − P4 = ρmercure .g.(Z4 − Z3 ) or (Z4-Z3)=h
2,6.10 5 − 1.10 5
h =
P − P
Donc3 4
A.N.h
=
13600.9,81 =1,2
mρ
mercure .g
Exercice N°10:
1 E NONCE
On considère une conduite de diamètre intérieur d = 40 mm dans laquelle s’écoule
de l’eau à une vitesse V .
.g.(Z1 − Z3 )
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Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
z
A’
h
C B’
A
VB
B
Afin de mesurer le débit volumique, la
canalisation a été équipée de deux tubes
plongeant dans le liquide, l'un débouchant en A
face au courant et l'autre en B est le long des
lignes de courant,
En mesurant la dénivellation h du liquide dans
les deux tubes, on peut en déduire la vitesse v
On admet les hypothèses suivantes :
- L’écoulement est permanent.
- Le fluide est parfait et incompressible.
- Au point B, le liquide a la même vitesse V que
dans la canalisation (VB=V).
- Au point A (point d’arrêt) la vitesse
d’écoulement est nulle (VA=0).
- Les deux points A et B sont à la même hauteur
(ZA=ZB).
On donne :
- la masse volumique de l’eau ρ = 1000 kg / m3 ,
- l’accélération de la pesanteur g=9,81 m/s2.
Travail demandé :
1) Appliquer le théorème de Bernoulli entre les
points A et B. En déduire la pression PA au point
A en fonction de PB, ρ et V.
2) Ecrire la relation fondamentale de l’hydrostatique entre les points A et A’
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
3) Ecrire la relation fondamentale de l’hydrostatique entre les points B et B’
4) Donner l’expression de V en fonction de g et h.
5) En déduire le débit volumique qv. Faire une application numérique pour une
dénivellation h= 3,2 cm.
2 R EPONSE
1) Théorème de Bernoulli : P + ρ.g.Z + 1 ρ.V 2 = P + ρ.g.Z +1 .ρ.V 2A BA 2 A B 2 B
or ZA=ZB , VA=0 et VB=V donc PA = PB +1
.ρ.V 22
2) Relation fondamentale de l’hydrostatique entre A et A’: PA = PA' + ρ.g.(Z A' − Z A )
3) Relation fondamentale de l’hydrostatique entre B et B’: PB = PB'' + ρ.g.(Z B' − Z B )
4) En substituant PA et PB dans la relation de Bernoulli en obtient :
P + ρ.g.(Z − Z ) = P + ρ.g.(Z − Z ) + 1 ρ.V 2 or PA’ =PB’=Pa , ZA=ZB et ZA’-ZB’=hA' A B' BA' B' 2
donc 1 ρ.V 2 = ρ.g.(ZA' − ZB' )
2
ou encore, V = 2.g.h
5) q = S.V = π.d2 . 2.g.hv 4
A.N.: qv=1 l/s.
Commentaire : Les résultats de cet exercice permettent de donner une idée sur le
principe de mesure d’une vitesse ou d’un débit à partir de la pression différentielle.
Par exemple, on trouve sur les avion un instrument de mesure de la vitesse appelé
« tube de Pitot » qui basé sur le même principe.
Exercice N°11:
1 E NONCE
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 74Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
Une conduite de section principale SA et de diamètre d subit un étranglement en B
où sa section est SB. On désigne par α = SA le rapport des sections.
SB
Un fluide parfait incompressible de masse volumique ρ , s’écoule à l’intérieur de
cette conduite.
Deux tubes plongent dans la conduite ayant des extrémités respectivement A et B.
Par lecture directe de la dénivellation h, les deux tubes permettent de mesurer le
débit volumique qv qui traverse la conduite.
ZA’A’
hB’ZB’
ZA=ZB AVA
BVB
1) Ecrire l’équation de continuité. En déduire l’expression de la vitesse VB en
fonction de VA et α .
2) Ecrire la relation de Bernoulli entre les points A et B. En déduire l’expression de
la différence de pression (PA-PB) en fonction de ρ , VA et α .
3) Ecrire la relation fondamentale de l’hydrostatique entre les points A et A’.
4) Ecrire la relation fondamentale de l’hydrostatique entre les points B et B’.
5) En déduire l’expression de la vitesse d’écoulement VA en fonction de g, h, et α .
6) Donner l’expression du débit volumique qv en fonction de d, g, h, et α .
Faire une application numérique pour :
- un diamètre de la section principale d=50 mm,
- un rapport de section α = 2 ,
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 75Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
- une accélération de pesanteur : g= 9,81 m/s2,
- une dénivellation h=10 mm.
2 R EPONSE
SA1) Equation de continuité :V .S = V .S d’où V = V . donc V = V .α
A A B B B A SB
B A
2) P + ρ.g.Z + 1 ρ.V 2 = P + ρ.g.Z +1 ρ.V 2A BA 2 A B 2 B
Or ZA=ZB Donc P − P = 1 ρ.(α.V )2 −1 ρ.V 2AAB 2 2 A
ou encore,
PA − PB = 1 ρ.VA2 .(α2 −1) (1)
2
3) Relation fondamentale de l’hydrostatique entre les points A et A’ :
PA − PA' = ρ.g.(Z A' − Z A ) (2)
4) Relation fondamentale de l’hydrostatique entre les points B et B’ :
PB − PB' = ρ.g.(Z B' − Z B ) (3)
5) On sait que PA' = PB'
= P
atm et ZA=ZB
Donc
PA − PB = (PA − PA' ) − (PB − PB' ) = ρ.g.[(Z A' − ZA ) − (ZB' − ZB )]= ρ.g.(Z A' − ZB' ) = ρ.g.h
D’après la relation (1)
ρ =1 ρ 2 α2− V = 2.g.h
.g.h 2 .VA 1) Donc (α2 −1)( A
6) On sait que q = S .V qv = π . d 2 . 2.g.hou encore, A.N.: qv= 0,5 l/s.
v A A 4 (α2 −1)
Commentaire : Nous avons aboutit dans cet exercice à une relation entre le débit
qv et la dénivellation h. On peut exploiter ce résultat dans plusieurs applications
pratiques pour la mesure de débit. Par exemple en industrie chimique, on trouve
souvent des tubes de venturi comme instrument de mesure de cette grandeur.
Exercice N°12: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 05-06-2006
1 E NONCE
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 76Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
Dans une canalisation horizontale de diamètre D = 9 cm, on veut mesurer le débit
d’eau. On intercale un tube de Venturi (D = 9 cm, d = 3 cm). La dénivellation h du
mercure dans un tube en U peut être mesurée avec précision.
Z
ZA=ZBEau
ZB’ B’
ZA’A’
Mercure
On donne :
- la masse volumique de l’eau : ρeau = 1000 kg/m3,
- la masse volumique du mercure : ρmercure = 13600 kg/m3,
- l’accélération de la pesanteur : g = 9,81 m/s2.
Travail demandé :
1) Ecrire l’équation de continuité. En déduire la vitesse moyenne d’écoulement VB
au col dans la section SB en fonction de la vitesse VA dans la section SA.
2) En appliquant la relation fondamentale de l’hydrostatique (RFH) entre les points
A’ et B’ relative à l’équilibre du mercure, déterminer la différence de pression:
(PA’ - PB’) en fonction de g, ρmercure, ZA’ et ZB’.
3) De même, déterminer l’expression de la différence de pression (PA-PA’) en
fonction de g , ρeau, ZA’ et ZA.
4) De même, déterminer l’expression de la différence de pression (PB’-PB) en
fonction de g , ρeau, ZB’ et ZB.
5) En utilisant les équations établies dans les questions 2), 3) et 4), donner la
relation entre (PA-PB) en fonction de ρmercure, ρeau, g et h.
6) En faisant l’hypothèse que l’eau est un fluide parfait, et en appliquant le
théorème de Bernoulli entre A et B, donner l’expression de la vitesse d’écoulement
VA en fonction de la différence de pression (PA-PB), ρeau.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.Page: 77Auteur : Riadh BEN HAMOUDA