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7/24/2019 Notas Spong

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Notas de curso: Metodos

Algebraicos para el Analisis de

Robots

A. Luviano (Resumen de Robot Modelling

and Control, Spong, Hutchinson and

Vidyasagar)

September 20, 2015


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Traslaciones y rotaciones sobre los ejes x, y, z

La transformacion homogenea mas general se puede es-cribir como:

H01 =

nx sx ax dxny sy ay dynz sz az dz0 0 0 1

=

n s a d0 0 0 1

Donde:

n=

nx ny nzT

es la direccion de x1 en el marcoo0x0y0z0.

s =

sx sy szT

es la direccion de y1 en el marcoo0x0y0z0.

a =

ax ay azT

es la direccion de z1 en el marcoo0x0y0z0.

d =

dx dy dzT

representa el vector del origen o0a o1, en terminos de o0x0y0z0.

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Regla de composicion de matrices homogeneas

Dada una transformacion homogenea H01 , re-

lacionanfdo dos marcos, si un segundo movi-

miento rgido H se realiza relativo al marco

actual, se tiene:

H02 =H01 H

Si el segundo movimiento se hace respecto al

marco fijo

H02 =HH01

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Ejemplo: Sea H la transformacion que repre-

senta una rotacion de un angulo sobre el ejexactual, seguido de ua traslacion de bunidades

sobre ele ejexactual, seguido de una traslacion

de d unidades sobre el eje z actual, seguido de

una rotacion de un angulo sobre el eje z ac-

tual

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H=Rotx,Transx,bTransz,dRotz,

H=

c

s

0 bcs cc s dsss sc c dc

0 0 0 1

La transformacion H es un caso especial de

transformacion de coordenadas de la forma:

H=

Rotacion Traslacion

Perspectiva Factor de Escala

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Cinematica directa

Descripcion del movimiento sin considerar las

fuerzas o pares.

Problema: Dadas q variables de junta, encon-trar la posicion y orientacion del eslabon final.

Hipotesis: Cada junta tiene un grado de liber-

tad.

Objetivos: Determinar el efecto acumulativo

del conjunto de variables de junta.

Un robot de n juntas tiene n + 1 eslabones.

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Se enumeraran las juntas de 1 a n y eslabones

de 0 a n, empezando desde la base.

La junta i conecta los eslabones i1 con i. El

eslabon 0 es fijo.

Para cada junta i, se asocia una variable de

junta qi.

qi =

i si i es revolutadi si i es prismatica

Ahora, sea Ai la matriz de transformacion ho-

mogenea que expresa la posicion y orientacion

de oixiyizi respecto a oi1xi1yi1zi1. La ma-

triz Ai no es constante, sino funcion de la vari-

able de junta asociada qi.

Ai=Ai(qi)

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La transformacion homogenea que expresa la

posicion y orientacion de ojxjyjzj respecto aoixiyizi, se llama, por convencion, T

ij . Se tiene:

Tij =

Ai+1Ai+2 Aj1Aj i < j

I i=j

(Ti)1 i > j

Denote la posicion y oritentacion respect al

marco inercial por O0n R31 (coordenadas del

origen del marco asociado al eslabon final) y

R0n la matriz de rotacion, teniendo.

H=

R0n O

0n

0 1

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As, la posicion y orientacion del eslabon final

en el marco inercial estan dadas por:

H=T0n =A1(q1)A2(q2) An(qn)

Ai =Ri1i Oi1i

0 1

Tij =Ai+1Ai+2 Aj =

Rij O

ij

0 1

Rij =Rii+1 R

j1j

y Oij se obtiene por recursion:

Oij =Oi

j1+ Ri

j1Oj1j

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Convencion de Denavit Hartenberg Una con-

vencion comun para tener los marcos de refer-

encia en aplicaciones roboticas es la de DenavitHartenberg. En esta convencion, cada trans-

formacion homogenea Ai se representa por el

producto de cuatro transformaciones basicas:

Ai=Rotz,iTransz,diTransx,aiRotx,i

=

Ci SiCi SiSi aiCiSi CiCi CiSi aiSi0 Si Ci di0 0 01

Donde las cuatro cantidades i, ai, di, i, son

parametros asociados con el eslabon i y la jun-

ta i, nombrados como angulo de junta, longi-

tud del eslabon, offset del eslabon y giro del

eslabon.

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Para cada Ai, tres de cuatro parametros sonconstantes, siendo di variable si la junta esprismatica o i variable si la junta es revoluta.

Condiciones de existencia y unicidad de la rep-resentacion.

Sean dos marcos coordenados 0 y 1. Se tiene:

C1: El eje x1 es perpendicular al eje z0

C2: El eje x1 intersecta a z0

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Bajo estas condiciones, existen numeros unicos

a, d, , , tales que:

A=Rotz,Transz,dTransx,aRotx,

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Para mostrar que A se puede escribir de esa

forma, sea

A=

R01 O

01

0 1

si x1 es parpendicular a z0, x1 z0= 0.

Expresando esto respecto a O0x0y0z0 y us-

ando que la primera columna de R01 es la rep-

resentacion del vector unitario x1 respecto al

marco 0.

0 = x01 z00 =

r11 r21 r31

001

=r31

Es decir, r31= 0.

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Se necesita mostrar que existen angulos unicos

, tales que

R01 = Rz, Rx.=

C SC SSS CC CS

0 S C

(1)

Como cada fila y columna de R01 es un vector

unitario, as como que r31= 0, se tiene:

r2

11

+ r2

21

= 1

r232+ r233= 1

De esto, existen unicos , tales que

(r11, r21) = (C, S)

(r33, r32) = (C, S)

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De C2 se tiene que el desplazamiento entre O0y O1 se puede ver como una combinacion lineal

de los vectores z0, x1. Esto se puede escrbircomo:

O1=O0+ dz0+ ax1

Se puede expresar esta relacion en las coorde-

nadas O0x0y0z0 teniendo:

O1=O0+ dz0+ ax1

=

00

0

+ d

00

1

+ a

CS

0

=

aCaS

d

(2)

Combinando (1) y (2), se obtiene A1.

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Interpretacion fsica de los parametrosai Distancia entre zi1 y zi

medido a lo largo de xii Angulo entre zi1 y zi

medido en un plano normal a xidi Distancia entre el origen Oi1 a la

interseccion de xi con zi1 medidoa lo largo de zi1

i

Angulo entre xi1 y ximedido en un plano normal a zi1

Asignacion de los marcos coordenados:

1. Asignar z

0, z

1, . . . , z

n1, siendo z

i el eje deactuacion ara la junta i + 1. Si la junta

i + 1 es revoluta, zi es el eje de revolucion

de i +1. Si i + 1 es prismatica, zi es el eje

de traslacion de i +1. Junta i fija respecto

al marco i, por eso zi se asocia con i + 1.

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2. Una vez establecidos los ejesz, se establece

el marco base O0 en cualquier punto de z0,

y elegirx0, y0tales que se forme un sistema

de mano derecha.

3. Para los marcos 1 hasta n 1 se tiene:

i) zi1 y zi no son coplanares. La lnea

conteniendo la normal comun a zi, z

i

1define xi y la interseccion define Oi. Se

elige yi por regla de la mano derecha.

ii) zi1 paralela a zi. Se elige libremente Oisobre zi, xi desde Oi hacia zi1 sobre la

nomrla comun. yi se elege completando

la regla de la mano derecha.

iii) zi1 intersecta a zi. xi se elige normal al

plano formado por zi1 y zi. la direccion

positiva de xi es arbitraria, el origen Oies la interseccion entre zi1 con zi. yise elige por regla de la mano derecha.

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Para completar el procedimiento se debe es-pecificar el marco del efector final. El ori-

gen On se pone simetricamente entre los dedos

del manipulador, xn, yn, zn se nombran como n,

Normal,s, Deslizamiento, a, aproximacion.

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Ejemplo 1: Robot doble revoluta

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Ejemplo 2: Robot Cilndrico

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Ejemplo 3: Muneca Esferica

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Ejemplo 4: Robot Cilndrico con Muneca

Esferica

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Ejemplo 5: Robot SCARA

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