notas orientativas para la introducci´on al c´alculo...

Notas orientativas para la

Introduccion al Calculo Infinitesimal

Vıctor Alvarez SolanoPedro Reyes Colume

Septiembre de 2006

Estas notas pretenden aglutinar ciertos conceptos, resultados y ejemplos extraıdos de los manualesmas usados en la materia, potenciando las interpretaciones geometricas e intuitivas, a veces aun a costadel sacrificio de algo de rigurosidad; con el fin de que sirva de ayuda, guıa y complemento para aquellosalumnos que especıficamente cursen Introduccion al Calculo Infinitesimal en la Ingenierıa Tecnica enInformatica de Gestion de la Universidad de Sevilla en el curso 2006/07.

Los autores.

Captulo 1

Funciones de varias variables: lımitesy continuidad

1.1 Funcion: definicion, dominio e imagen

Se entiende por funcion toda regla o ley de correspondencia f : D ⊆ X → Y entre dos conjuntos queasigne un unico elemento y del conjunto de llegada Y a cada elemento x del dominio o campo de definicionD del conjunto inicial X ; que consiste precisamente en el subconjunto D ⊆ X formado por todos loselementos x ∈ X que tienen imagen (correspondencia) y = f(x) por la funcion f . El conjunto de imagenesf(x) se denomina recorrido o imagen de la funcion.

En nuestro caso, trataremos con espacios reales de dimension finita, IRn, cuyos elementos son n-uplaso vectores de n componentes, (x1, . . . , xn). Ası, una funcion f : D ⊆ IRn → IRm sera una ley que asigne acada vector (x1, . . . , xn) de D un unico vector (y1, . . . , ym) = f(x1, . . . , xn) de IRm. Las n variables de quedependen las coordenadas del conjunto inicial IRn se suelen denominar independientes, y las m variablesdel conjunto de llegada IRm dependientes, puesto que vienen dadas como funciones de las primeras.

Con normalidad, entenderemos que el dominio de una funcion es el conjunto total de uplas sobrelas que esta bien definida: como es natural, los denominadores de funciones racionales han de tomarvalores distintos de cero, las funciones radicales pares solo estan definidas para valores no negativos, loslogaritmos solo estan definidos para valores estrictamente positivos, etc.

Ejemplo 1.1.1 La funcion f : D ⊆ IR → IR dada por f(x) =x2 − 1x − 1

.

Tiene a D = IR−{1} por dominio y a IR−{2} por imagen. Notese que se trata de la recta y = x + 1a falta del punto (1, 2). Posteriormente veremos que esta funcion se puede extender de manera continua

hasta coincidir con la recta y = x+1, que en verdad resulta de efectuar el cocientex2 − 1x − 1

: de hecho, una

practica habitual con funciones racionales como la que nos lleva es la de simplificar antes de calcular losceros del denominador, porque en otro caso se puede excluir puntos del dominio de definicion de maneraindebida.

Ejemplo 1.1.2 La funcion f : IR → IR dada por f(x) =√

x2.

Tiene a todo IR como dominio de definicion, y al intervalo [0, +∞) como imagen. Notese que f(x) =|x|, de manera que

√x2 �= x en general.

De hecho,√

x2 ={

x, si x ≥ 0−x, si x < 0

Ejemplo 1.1.3 La funcion f : D ⊆ IR → IR definida segun f(x) =x

x2 − 2.

Tiene por dominio a D = IR − {−√2,√

2}, y por imagen a todo IR.

1

2 CAPTULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: LIMITES Y CONTINUIDAD

-2� -1�

1�

1� 2�

3�

2�

Figura 1.1: Se trata de la recta y = x + 1 menos un punto

-3 -2 -1 1 2 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 1.2: Grafica de la funcion dada por√

x2 = |x|

Ejemplo 1.1.4 La funcion f : D ⊆ IR → IR dada por f(x) =|x + 1| − |x − 1|

x.

Tiene a IR − {0} por dominio de definicion, y al intervalo (0, 2] por imagen.Es importante saber utilizar la funcion valor absoluto, tal que |x| = x si x ≥ 0 y |x| = −x si x < 0. De

este modo, para saber que valor asigna la funcion f(x) hay que estudiar como se comportan los valoresabsolutos |x + 1| y |x − 1| segun que intervalos. Ası, |x + 1| = x + 1 para x + 1 ≥ 0 (esto es, x ≥ −1)y |x + 1| = −(x + 1) = −x − 1 para x + 1 < 0 (i.e. x < −1). Del mismo modo, |x − 1| = x − 1 parax − 1 ≥ 0 (esto es, x ≥ 1), mientras que |x − 1| = −(x − 1) = 1 − x para x − 1 < 0 (i.e. x < 1).

Por tanto,

|x + 1| − |x − 1| =

x + 1 − (x − 1) = 2, si x ≥ 1,x + 1 − (1 − x) = 2x, si −1 ≤ x < 1,−x − 1 − (1 − x) = −2, si x < −1.

Luego la funcion f(x) resulta ser

f(x) =

2|x| , si |x| ≥ 1,

2, si |x| < 1, x �= 0.

Ahora es visible que la funcion se puede extender de manera natural en x = 0 definiendo f(0) = 2.

Ejemplo 1.1.5 La funcion f : D ⊆ IR → IR definida segun f(x) = tg x.

Tiene a IR − {2k + 12

π : k ∈ ZZ} por dominio, y a todo IR por imagen. Hay que tener en cuentaque los valores iniciales representan radianes y no grados: todas las funciones trigonometricas que seconsideren en el curso se han de entender dadas en radianes y no en grados. En caso necesario, se puederecurrir a la regla de equivalencia π radianes = 180 grados.

1.1. FUNCION: DEFINICION, DOMINIO E IMAGEN 3

-10 -5 5 10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

Figura 1.3: Representacion grafica de la funcion dada porx

x2 − 2

-2 -1 1 2

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Figura 1.4: Grafica de la funcion dada por|x + 1| − |x − 1|

x

Ejemplo 1.1.6 La funcion f : D ⊆ IR2 → IR dada por f(x, y) =√

ln(x2 + y2).

Tiene por dominio a todo el plano IR2 a excepcion del interior del cırculo centrado en el origen yde radio 1 (esto es, el campo de definicion coincide con el conjunto de puntos {(x, y) : x2 + y2 ≥ 1}),mientras que la imagen rellena el intervalo [0, +∞).

Ejemplo 1.1.7 La funcion f : D ⊆ IR2 → IR con f(x, y) =ln[(x2 + x − 2)(1 − y2)]

x

La imagen recorre todo IR, mientras que el dominio de definicion consiste en seis bandas, ((−2, 0) ∪(0, 1)) × ((−∞,−1) ∪ (1, +∞)) y ((−∞,−2) ∪ (1, +∞)) × (−1, 1).

En ocasiones, una funcion puede venir dada de manera implıcita, de modo que resulta difıcil (a vecesimposible) determinar su dominio. Por manera implıcita entendemos una funcion del tipo F (x) = 0,donde alguna(s) de las variables x = (x1, . . . , xn) queda(n) caracterizada(s) como funcion(es) de lasrestantes.

Ejemplo 1.1.8 Sea la circunferencia x2 + y2 − 4 = 0.

Determina y como dos funciones implıcitas de x, cuales son y1(x) =√

4 − x2 e y2(x) = −√4 − x2.

En lo que sigue, nos centraremos en funciones del tipo f : IRn → IR, incidiendo sobremanera enlos casos n = 1, 2; dado que el estudio de la continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad de funcionesg : IRn → IRm se reduce al estudio analogo de las m funciones componentes, gi : IRn → IR, 1 ≤ i ≤ m,con

g(x1, . . . , xn) = (g1(x1, . . . , xn), . . . , gm(x1, . . . , xn)).


-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-20

-10

10

20

Figura 1.5: Grafica de la funcion tg x

Figura 1.6: Dos vistas de la superficie dada por z =√

ln(x2 + y2)

1.2 Representacion de funciones: trazas y curvas de nivel

A la hora de estudiar el comportamiento de una funcion, puede resultar util el saber que disposicionpresentan en el espacio los puntos por los que pasa la funcion, lo que se conoce como grafica de lafuncion.

Es de comun conocimiento la representacion grafica (que incluimos a continuacion) de funciones tales

como ex, lnx, x2, ±√x,

1x

, senx, cosx, tg x, arccosx, . . . , y en general la de cualquier funcion real de

una variable (basta estudiar el dominio de definicion, la existencia de asıntotas o ramas parabolicas, loscortes con los ejes, las regiones en que es positiva o negativa, su crecimiento y la localizacion de extremosrelativos, el comportamiento en el infinito, etc.). Para un repaso conciso recomendamos ver el ApendiceB. Notese que las funciones que damos a continuacion por parejas son una la inversa de la otra. Estoes facil de reconocer porque han de ser necesariamente simetricas respecto de la bisectriz del primercuadrante.

y = ex

-5 -4 -3 -2 -1 1 2

1

2

3

4

5

6

7

1.2. REPRESENTACION DE FUNCIONES: TRAZAS Y CURVAS DE NIVEL 5

Figura 1.7: Vista de la superficie dada por z =ln[(x2 + x − 2)(1 − y2)]

x

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Figura 1.8: Representacion simultanea de las funciones y1(x) e y2(x)

y = lnx

1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

y = x2

-4 -2 2 4

2.5

5

7.5

10

12.5

15


y1 = +√

x

2.5 5 7.5 10 12.5 15

-4

-2

2

4

y2 = −√x

y =1x

-4 -2 2 4

-20

-15

-10

-5

5

10

15

y = sen x

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0.5

1

y = arcsenx

-1 -0.5 0.5 1

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

y = cosx

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1


y = arccosx

-1 -0.5 0.5 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y = tg x

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-75

-50

-25

25

50

75

arctg x

-100 -50 50 100

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Figura 1.9: Graficas de las funciones elementales y sus inversas

En el caso de funciones de varias variables la representacion grafica resulta en general bastante mascompleja. Por este motivo, una tactica que se suele emplear con frecuencia es la de analizar el compor-tamiento de la funcion z = f(x, y) segun distintas secciones (trazas) por planos del tipo x = c, y = c oz = c, para distintas constantes dadas c.

Tambien puede ayudar el estudio del mapa de contorno o de curvas de nivel, que consiste en eldibujo simultaneo en el plano de curvas del tipo f(x, y) = c para distintos valores constantes de c, apartir del cual es relativamente sencillo localizar extremos relativos y puntos de silla (a estudiar en elcapıtulo siguiente). Este tipo de representaciones es propio de mapas meteorologicos (isobaras de presionatmosferica) y topograficos (marcando los distintos accidentes del terreno, segun las alturas).

Otra variedad de representacion plana de una funcion, ıntimamente ligada a la anterior, es el mapade densidad, en el que se proyecta sobre el plano XY el valor de la funcion mediante grises de distintaintensidad, dependiendo del valor de la funcion en dicho punto. Este tipo de representacion suele serutil cuando se quiere analizar la intensidad de una cierta magnitud (impacto del sol por agujeros enla capa de ozono, temperaturas de una zona, ındice pluviometrico, etc.). En definitiva, consiste en elsombreado de la zonas intermedias entre curvas de nivel consecutivas de un mapa de contorno, siguiendola convencion de que zonas que correspondan a valores cada vez mas altos van sombreadas en un tonocada vez mas claro; y recıprocamente, zonas que correspondan a valores cada vez mas bajos de la funcionvan sombreadas en un tono cada vez mas oscuro.

Ejemplo 1.2.1 Sea z1 = e−xy.


Las curvas de nivel de z1 = e−xy son de la forma c = e−xy, para c > 0 (recuerdese que el recorridode la exponencial es el intervalo de numeros reales positivos). Es decir, las curvas de nivel de la funcionen el plano z = c vienen dadas por la ecuacion c = e−xy ⇔ − ln c = xy, que constituyen hiperbolas paraln c �= 0, y el par de rectas de ejes cartesianos para ln c = 0. Notese que ln c esta bien definido, por serc > 0.

Las hiperbolas del tipo xy = k con k > 0 tienen graficas similares a la funcion y =1x

(de hecho esta

es la hiperbola para k = 1), mas lejos o cerca del origen segun sea mayor o menor el valor de k respectode 1.

Las hiperbolas del tipo xy = k con k < 0 tienen graficas similares a la funcion y = − 1x

(de hecho esta

es la hiperbola para k = −1), mas lejos o cerca del origen segun sea menor o mayor el valor de k respectode −1.

De modo que cuando k = − ln c > 0, esto es, para 0 < c < 1, las curvas de nivel son hiperbolas deltipo xy = k en el primer y tercer cuadrante, en las que la funcion toma el valor 0 < e−k < 1, que tiendea 0 cuando k → ∞. Por otra parte, cuando k = − ln c < 0, esto es, para 1 < c, las curvas de nivel sonhiperbolas xy = k en el segundo y cuarto cuadrantes, en las que la funcion toma el valor 1 < e−k, quetiende a infinito cuando k → −∞.

Ya tenemos formada una idea clara de como ha de ser la superficie z = e−xy: en los ejes coordenadosla funcion vale 1, disminuye su valor por valores positivos hasta tender a 0 segun hiperbolas en loscuadrantes primero y tercero, y aumenta su valor a partir de 1 hasta infinito segun hiperbolas en loscuadrantes segundo y cuarto.

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

Figura 1.10: Mapas de contorno y de densidad de z1 = e−xy

Figura 1.11: Representacion grafica de la superficie z1 = e−xy

Ejemplo 1.2.2 Sea z2 = cos(x2 + y2).

Las curvas de nivel de z2 = cos(x2 + y2) son de la forma c = cos(x2 + y2), para −1 ≤ c ≤ 1 (elrecorrido del coseno oscila en el intervalo [−1, 1]). Es decir, las curvas de nivel de la funcion en el plano


z = c vienen dadas por la ecuacion x2 + y2 = arccos c, que constituyen circunferencias de centro el origende coordenadas y radio

√arccos c. Aquı abusamos al considerar x = arccos y como una funcion, dado que

como funcion inversa de la funcion periodica y = cosx, solo esta definida en un intervalo basico del tipo[kπ, (k + 1)π] para un entero k prefijado; fijemos nosotros como intervalo basico el [0, π]. Ası, arccos cda el unico angulo en radianes dentro de [0, π] cuyo coseno vale c; sin embargo hay infinitos angulos enradianes cuyo coseno tambien vale c (al menos, los de la forma (arccos c) + 2kπ, con k entero. Abusandode la notacion, para nosotros arccos c representa todos los angulos en radianes cuyo coseno vale c.

De este modo, para cada c entre −1 y 1, la curva de nivel arccos c = x2 + y2 consiste en realidad eninfinitas circunferencias de centro el origen y radio

√arccos c, una por cada radian positivo (debe ser de la

forma x2 +y2, por ende positivo) cuyo coseno sea c. En cada una de estas circunferencias la funcion tomael valor c. Como en el origen de coordenadas la funcion vale 1, la superficie se extendera desde este puntoen todas direcciones mediante ondas sinusoidales del tipo del coseno, expandiendose de manera radialpor circunferencias. Intuitivamente, deberıa consistir, pues, en la superficie de revolucion que engendrala grafica de y = cosx al girar sobre el eje z.

Incluimos mapas de contorno y densidad de la funcion, amen de la superficie real.

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 1.12: Mapas de contorno y de densidad de z2 = cos(x2 + y2)

Figura 1.13: Grafica de la superficie z2 = cos(x2 + y2)

Ejemplo 1.2.3 Sea z3 = cos(ex + ey).Las curvas de nivel de z3 = cos(ex + ey) son de la forma c = cos(ex + ey), para −1 ≤ c ≤ 1, de modo

que ex + ey = arccos c, donde nuevamente hemos de interpretar que arccos c representa todos los radianes(positivos, puesto que ex + ey > 0 para todo punto (x, y) del plano) cuyo coseno vale c. Para cada unode estos radianes, digamos k > 0, tenemos una curva del tipo ex + ey = k, esto es, y = ln(k − ex), cuyodominio es (−∞, ln k). En este intervalo, la funcion y = ln(k − ex) es estrictamente decreciente, presenta


una asıntota horizontal en y = ln k cuando x → −∞ y una asıntota vertical en x = ln k. Y la funcionf(x, y) toma el valor cos k en toda la curva. De modo que la superficie z3 oscila entre 1 y −1, segunondas del tipo y = ln(k − ex).

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

Figura 1.14: Mapas de contorno y de densidad de z3 = cos(ex + ey)

Figura 1.15: Grafica de la superficie z3 = cos(ex + ey)

Ejemplo 1.2.4 Sea z4 = ln(x2 + y2)Las curvas de nivel de z4 = ln(x2 + y2) son de la forma c = ln(x2 + y2), para c ∈ IR, de modo quex2 + y2 = ec; que constituyen circunferencias de centro el origen de coordenadas y radio r =

√ec. Como

c = ln r2, para r el radio de las circunferencias, cuando r → 0+, se tiene que c → −∞; por otra parte,cuando r se hace cada vez mayor, c se hace cada vez mayor. Ası, la superficie debe ser una especie deembudo, que se abre en forma de logaritmo neperiano hasta el infinito, y se cierra hacia menos infinitoen el origen de coordenadas, siempre segun circunferencias. Intuitivamente, ha de corresponder con lasuperficie de revolucion que se obtiene al girar la grafica de y = ln x alrededor del eje z.

1.3 Lımites de funciones en un punto

Antes de entrar en materia, hemos de hacer un alto en el camino para incidir brevemente en la funcionvalor absoluto y en el manejo elemental de desigualdades, que tan relevante rol juegan en el calculo delımites:

• La ecuacion |x−a| = c se puede traducir en dos maneras equivalentes: dado que c mide la distanciaentre x y a, se tiene que x = a ± c; de otro modo, si |x − a| = c entonces ±(x − a) = c, de dondex = a ± c.

1.3. LIMITES DE FUNCIONES EN UN PUNTO 11

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

Figura 1.16: Mapas de contorno y de densidad z4 = ln(x2 + y2)

Figura 1.17: Grafica de la superficie z4 = ln(x2 + y2)

• Se verifica la desigualdad triangular propia de cualquier aplicacion distancia: |x + y| ≤ |x| +|y|, ∀x, y ∈ IR.

• Por otra parte, |x − y| ≥ |x| − |y|, ∀x, y ∈ IR.

• Asimismo, |xy| = |x||y|, ∀x, y ∈ IR.

• En multitud de ocasiones, las funciones de variable real vienen definidas sobre intervalos, los cualesadmiten una representacion natural por medio de valores absolutos: los puntos x tales que |x−a| < cdeterminan el intervalo (a−c, a+c), dado que |x−a| < c equivale a 0 ≤ x−a < c y 0 ≤ −(x−a) < c,de donde x < a + c y a − c < x. El intervalo tendrıa sus extremos cerrados en el caso |x − a| ≤ c.A partir de aquı es inmediato deducir que |x − a| > c se traduce en x ∈ (−∞, a − c) ∪ (a + c,∞).

• a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c ∀a, b, c ∈ IR.

• a ≤ b ⇔ 1b≤ 1

a, ∀a, b ∈ IR con ab > 0.

• a ≤ b y c > 0 implican ac ≤ bc, ∀a, b, c ∈ IR.

• a ≤ b y c < 0 implican ac ≥ bc, ∀a, b, c ∈ IR.

• a ≤ b y c ≤ d implican ac ≤ bd y a + c ≤ b + d, ∀a, b, c, d ∈ IR.

Tengase en cuenta que resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de todos los numerosreales que hace que la desigualdad sea verdadera. En contraste con una ecuacion no lineal (cuyo conjuntosolucion por lo regular consiste en un numero o un conjunto finito de numeros), el conjunto solucion de


una desigualdad viene dado en general por todo un intervalo o la union de varios de ellos. Adjuntamosun resumen con las notaciones mas usuales.

Notación de conjuntos� Notación de intervalo� Representación gráfica�

Figura 1.18: Convenciones usuales para denotar los distintos intervalos

{x : a < x < b}{x : a ≤ x ≤ b}{x : a ≤ x < b}{x : a < x ≤ b}{x : x ≤ b}{x : x < b}{x : a ≤ x}{x : a < x}

IR

(a, b)[a, b][a, b)(a, b]

(−∞, b](−∞, b)[a,∞)(a,∞)

(−∞,∞)

Ejemplo 1.3.1 Resolver la desigualdad 4x2 − 5x − 6 > 0.

Los dos ceros reales del polinomio P (x) = 4x2−5x−6, caso de existir (pudiera tratarse de una parejade numeros complejos conjugados), son los unicos numeros reales que hacen nula la desigualdad, de modoque a derecha e izquierda de estos puntos la ecuacion toma un signo constante. Basta probar el signo enun punto de cada uno de los tres intervalos para determinar el signo que toma la desigualdad en cada

uno de dichos intervalos. Dado que los ceros del polinomio son x1 = 2 y x2 = −34, la solucion de la

desigualdad comprendera ninguno o varios de los intervalos (−∞,−34), (−3

4, 2) y (2,∞).

Como P (−1) = 3 > 0, P (0) = −6 < 0 y P (3) = 15 > 0, la solucion de la desigualdad consiste en la

union (−∞,−34) ∪ (2,∞).

Ejemplo 1.3.2 Resolver |x − 4| < 2.

Se tiene que |x − 4| < 2 ⇐⇒ −2 < x − 4 < 2 ⇐⇒ 2 < x < 6, de donde hablamos del intervalo (2, 6).Geometricamente, era facil de prever: |x − 4| < 2 caracteriza aquellos puntos x que distan a lo sumo 2de 4, por ende aquellos entre 2 y 6.

Ya estamos en condiciones de hablar sobre el concepto de lımite.La nocion de lımite de una funcion en un punto es bastante intuitiva: sea f(x) una funcion definida

para todos los valores de x proximos a un punto a, aunque no necesariamente en el propio punto a.Supongamos que existe un numero real l con la propiedad de que f(x) se acerca cada vez mas a l cuandox se acerca cada vez mas a a. En estas condiciones se dice que l es el lımite de f(x) cuando x tiende aa. Notese que en caso alguno hemos determinado la dimension de los puntos x y a: pueden ser numerosreales o puntos de IRn para n > 1.

El concepto de lımite envuelve pues las nociones de proximidad y cercanıa. En dimension 1 el conceptode distancia entre dos puntos es clara: la distancia entre dos numeros reales x y a, d(x, a), consiste en elvalor absoluto de su diferencia, |x − a|.

Para puntos x y a en el plano (o cualquier espacio IRn, n ≥ 1), la nocion usual de distancia d(x,a)viene dada por el modulo del vector de extremos x y a: si x = (x1, x2) y a = (a1, a2), entonces d(x, a) =√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2, conocida como distancia euclıdea.Sin embargo, existen infinitas formas distintas de medir la proximidad de dos puntos en IR2. Con

normalidad, aparte de la distancia euclıdea, nosotros nos serviremos de la que vamos a llamar distancia1, d1(x,a), que consiste en la suma de los valores absolutos de la diferencia de coordenadas homologas:d1(x,a) = |x1 − a1|+ |x2 − a2|. Es obvio que para un par de puntos x y a, el valor de la distancia que lossepara sera cuantitativamente distinto segun se utilice la distancia euclıdea o la distancia 1, aunque noası cualitativamente: si los dos puntos estan proximos, lo estan para cualquier distancia; analogamente, silos dos puntos estan separados, lo estan para cualquier distancia. Este hecho es crucial para que podamosutilizar indistintamente una distancia u otra a la hora de evaluar la existencia de un lımite doble en elplano.

Utilizaremos la notacion ||x−a|| para referirnos a la distancia entre a y x, sin distincion de la funcionmetrica (d o d1) que se utilice; por otra parte, ||a|| hara referencia a la distancia de a al origen decoordenadas. El conjunto de puntos que dista de a menos de δ se denomina bola de centro a y radio δ,y lo denotaremos por B(a, δ). En el caso de manejar la distancia euclıdea, B(a, δ) consiste en la esferan-dimensional (cırculo, en caso de que n = 2) de centro a y radio δ; mientras que para d1 esa bola consiste


en el cubo n-dimensional (cuadrado, en caso de que n = 2) de centro a y diagonal 2δ. Notese que en elcaso real, B(a, δ) consiste en el intervalo (a − δ, a + δ), independientemente de la metrica utilizada, d od1 en dimension 1.

� ��

��

��

Figura 1.19: Bolas en IR2 correspondientes a d y d1 respectivamente

La consideracion de bolas como las anteriores permite definir varios conceptos esenciales propios dela topologıa de los espacios IRn:

• En adelante, cuando hablemos de entorno de un punto a entenderemos una bola de centro a y radiopositivo.

• En ocasiones interesa eliminar del entorno el propio punto a. Se habla entonces de entorno reducido.

• Un conjunto sera abierto cuando contenga un entorno de todos sus puntos.

• Sera cerrado, cuando contenga a todos sus puntos frontera, que son aquellos puntos cuyos entornoscontienen simultaneamente puntos que estan dentro y fuera del conjunto (esto equivale a que sucomplementario sea un conjunto abierto).

• Sera conexo, cuando no pueda descomponerse como la union de dos subconjuntos disjuntos separa-dos por sendos abiertos.

• Sera compacto, cuando sea simultaneamente acotado (esto es, contenido en una bola de radio finito)y cerrado.

Una vez aclarada la nocion de distancia y superadas las definiciones elementales de topologıa, podemosformalizar el concepto de lımite:

• Se dice que limx→a

f(x) = l cuando para cada entorno de l, existe un entorno de a de modo que para

cualquier punto x �= a de dicho entorno se tiene que f(x) esta dentro del entorno prefijado de l.

• Utilizando la sintaxis de sımbolos matematicos, esto equivale a decir que limx→a

f(x) = l si, y solo

si, para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < ||x − a|| < δ (esto es, x ∈ B(a, δ)), entonces|f(x) − l| < ε (esto es, f(x) ∈ B(l, ε)).

Apelando al significado geometrico, el hecho de que limx→a

f(x) = l se traduce en que para cada banda

horizontal IRn × (l − ε, l + ε) (limitada por las rectas y = l + ε e y = l − ε en el caso n = 1, funcionesde una variable; y por los planos z = l + ε y z = l − ε en el caso n = 2, funciones de dos variables), porestrecha que esta sea, existe un cilindro vertical B(a, δ) × IR tal que si los puntos x �= a estan dentro deesa bola, entonces la parte correspondiente de la grafica de f(x) estara dentro de la banda horizontal, talcomo se muestra en la Figura 1.20 para los casos n = 1 y n = 2.

Hemos de resenar que la existencia del lımite de una funcion en un punto equivale a la existenciade todos los lımites segun cualquier trayectoria (curva) por la que nos aproximemos al punto: es decir,limx→a

f(x) = l si, y solo si, limx→a

y=g(x)

f(x) = l = limx→a

x=h(y)

f(x) para cualesquiera curvas y = g(x) o x = h(y) que

pasen por el punto a.En particular, para funciones reales de variable real f : IR → IR, la existencia del lımite lim

x→af(x) = l

equivale a la existencia de los lımites laterales limx→a−

f(x) = l y limx→a+

f(x) = l, cuando x se aproxima a a

por defecto (i.e. por valores mas pequenos que a) y por exceso (esto es, por valores mayores que el propioa), respectivamente.


��

�

ll + ε

l − εl

l + ε

l − ε

a ba �

(a, b)�

��

��

��

��

��

�

a − δ a + δ

��

��

Figura 1.20: Interpretacion grafica de la nocion de lımite en IR y IR2

Ejemplo 1.3.3 La siguiente funcion admite lımites en todos sus puntos menos en dos, aunque sı existentodos los unilaterales, con la sola excepcion de un punto. Por otra parte, la funcion esta definida en todoIR menos un punto.

Figura 1.21: Interpretacion grafica de la existencia o no de lımites en un punto

Para instruirse acerca del calculo de lımites de funciones de una variable recomendamos visitar elApendice A.

Como ilustracion del manejo de lımites laterales, se puede estudiar los lımites siguientes:

limx→0

x

|x| , limx→0

1x

, limx→0

1x2

, limx→1

x2 − 1x − 1

.

En el caso de funciones de varias variables, exista o no el lımite, puede resultar de mucha ayudavisualizar un mapa de contorno o de densidad en las proximidades del punto lımite.

Para probar que un lımite existe hay varias alternativas:

• Se puede utilizar la definicion ε : δ de lımite.

• Tambien es factible reducir el problema a la existencia de otro lımite conocido. Para demostrarque lim

x→af(x) = l es suficiente demostrar que |f(x)− l| ≤ g(x) para x en un entorno reducido de a,

siendo g una funcion tal que limx→a

g(x) = 0.

• Otra posibilidad, que engloba la anterior, es aplicar la regla del emparedado, de modo que silimx→a

g(x) = limx→a

h(x) = l y g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) en un entorno reducido de a, entonces existe

limx→a

f(x) y coincide con l.

• En ocasiones, tambien da buenos resultados realizar cambios de variables. Por ejemplo, en caso detrabajar en IR2, cambios a coordenadas polares, de manera que x = r cos θ, y = r sen θ, donde rmarca la distancia de (x, y) al origen, y θ el angulo que forma el vector director del punto (x, y)con respecto el eje de abscisas.

Tengase en cuenta que hay una diferencia fundamental en el caso de lımites de funciones de masvariables (en particular lımites dobles), dado que en el caso real solo hay dos posibles direcciones (porla derecha o por la izquierda), mientras que en el caso de n ≥ 2 variables hay infinitas direcciones(y−b) = m(x−a) para aproximarnos a un punto (a, b); mas aun, hay infinitas trayectorias (no tenemospor que aproximarnos segun rectas: podemos utilizar parabolas, curvas polinomiales de cualquier grado,espirales o cualquier otra curva, siempre que pase por el punto en cuestion).

Por su especial relevancia, destacamos dos tipos de trayectorias peculiares a la hora de aproximarnosa un punto (a, b):


• Los lımites segun rectas y − b = m(x − a) o x − a = n(y − b), llamados lımites direccionales,

lim(x,y)→(a,b)

y−b=m(x−a)

f(x, y) o lim(x,y)→(a,b)

x−a=n(y−b)

f(x, y)

• Los llamados lımites reiterados, que son aquellos lımites cuando nos acercamos al punto (a, b)siguiendo una trayectoria horizontal y despues una vertical, o viceversa:

limy→b

( limx→a

f(x, y)) o limx→a

(limy→b

f(x, y))

Ası como para que, en el caso de una variable, exista el lımite es necesario y suficiente que existanlos lımites laterales y coincida su valor; para probar con generalidad en IRn que un lımite dado no existe,basta encontrar dos trayectorias en las que los lımites resultantes difieran. Es usual utilizar para este finlımites direccionales, aunque en otras ocasiones son necesarias trayectorias segun curvas polinomiales.

Por otra parte, es una tentacion tratar de reducir el calculo de un lımite doble al de los lımitesreiterados, en el sentido de que intuitivamente parecen ciertas las relaciones

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = limx→a

(limy→b

f(x, y)) = limy→b

( limx→a

f(x, y)).

Nada mas lejos de la realidad: en verdad, esta relacion solo funciona en un sentido.Si f : D ⊆ IR2 → IR esta definida sobre un punto (a, b) interior de D (esto es, de modo que existe una

bola de radio suficientemente pequeno con centro en (a, b) y completamente contenida en D); se tieneque si existe lim

(x,y)→(a,b)f(x, y) = l y si, adicionalmente, en un entorno reducido de b existe lim

x→af(x, y)

entonces existe y vale l el lımite reiterado

limy→b

( limx→a

f(x, y)).

Del mismo modo, si existe lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = l y si, adicionalmente, en un entorno reducido de a existe

limy→b

f(x, y) entonces existe y vale l el lımite reiterado

limx→a

(limy→b

f(x, y)).

Es importante saber leer (entender, en definitiva) lo que se dice en el parrafo anterior, puesto que aveces se dan circunstancias que se prestan a ser malinterpretadas como contradicciones, como se analizanen los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.3.4 La funcion tiene lımite en un punto, pero no existe uno (o ninguno) de los lımitesreiterados.

Es el caso de la funcion g : D ⊆ IR2 → IR dada por g(x, y) = (x + y) · sen 1x· sen 1

y.

Ası, limx→0

g(x, y) = y · sen1y· lim

x→0sen

1x

, que no existe; de donde no tiene sentido el lımite reiterado

limy→0

limx→0

g(x, y). Del mismo modo ocurre con el otro lımite reiterado, por ser g(x, y) una funcion simetrica

respecto del plano y = x.

Sin embargo, lim(x,y)→(0,0)

g(x, y) = 0, puesto que lim(x,y)→(0,0)

(x + y) = 0 y la funcion sen1x· sen 1

yesta

acotada en un entorno del origen.En la Figura 1.22 se observa que la funcion tiene lımite en el origen, como se constata en el mapa de

densidad adjunto.

Ejemplo 1.3.5 Los lımites reiterados de una funcion existen en un punto y coinciden, pero la funcionno tiene lımite en dicho punto.


Figura 1.22: Graficamente se comprueba que existe lımite en el origen

Es el caso de la funcion f(x, y) =xy

x2 + y2en el punto (0, 0).

Efectivamente, limy→0

limx→0

f(x, y) = limx→0

limy→0

f(x, y) = 0, pero no existe el lımite de la funcion en el

origen: tomando como direcciones las rectas y = mx, m �= 0, (que pasan por el origen), se tiene que

lim(x,y)→(0,0)

y=mx

f(x, y) = limx→0

mx2

x2(1 + m2)=

m

1 + m2,

que depende de la direccion (parametro m) tomada.Este hecho se puede constatar de manera grafica, analizando la superficie y el mapa de densidad

correspondiente, adjuntos en la figura dada.

Figura 1.23: La informacion grafica es concluyente

Ejemplo 1.3.6 La funcion tiene en un punto sus dos lımites reiterados, aunque estos difieren (y portanto no existe lımite de la funcion en dicho punto).

Es el caso de la funcion f(x, y) =xy + y2

x2 + y2en el punto (0, 0).


Figura 1.24: Graficamente, se comprueba que la funcion no tiene lımite en el origen

En efecto, limy→0

limx→0

f(x, y) = limy→0

y2

y2= 1, pero lim

x→0limy→0

f(x, y) = limx→0

0x2

= 0.

Mucho cuidado con pensar que limx→0

0x2

= 0 es una indeterminacion del tipo00: la funcion

0x

, de

dominio IR − {0}, vale 0 en todos sus puntos del dominio de definicion; de modo que limx→0

0x

= 0.En general, el procedimiento a seguir a la hora de estudiar la existencia del lımite doble de una funcion

f(x, y) en un punto (a, b) es el siguiente:

1. Determinar los lımites unidimensionales limx→a

f(x, y) y limy→b

f(x, y). La no existencia de alguno de

estos lımites no indica nada en relacion con la existencia o no del lımite doble.

2. En caso de que proceda (i.e. si el lımite unidimensional correspondiente existe), determinar loslımites reiterados lim

y→b( limx→a

f(x, y)) y limx→a

(limy→b

f(x, y)).

Si existe un unidimensional pero no existe (o existe y es infinito) el reiterado asociado, entonces ellımite doble no existe. Por otra parte, si existen los dos reiterados pero valen distinto, entonces ellımite doble no existe.

En caso de que existan ambos lımites reiterados y valgan l, no podemos extraer otra conclusion masque el lımite doble, en caso de existir (lo puede hacer o no, no tenemos informacion al respecto),ha de valer necesariamente l.

3. Para demostrar que el lımite no existe, hay que encontrar dos trayectorias que pasen por (a, b)que determinen lımites distintos en (a, b), o bien una trayectoria para la que el lımite no exista.Recuerdese que el lımite doble existe y vale l si, y solo si, existe el lımite segun cualquier trayectoriay vale asimismo l.

4. Para demostrar que el lımite existe, primero hay que determinar cual es el candidato l a lımite (bienmediante los lımites reiterados, bien probando por una trayectoria cualquiera que pase por (a, b)).Despues, podemos seguir cualquiera de los pasos siguientes:

(a) Recurrir a la definicion ε : δ de lımite.

(b) Encontrar una funcion g(x, y) con lim(x,y)→(a,b)

g(x, y) = 0 tal que, en un entorno reducido de

(a, b), sea |f(x, y) − l| ≤ g(x, y).

(c) Demostrar que el lımite por cualquier trayectoria existe y vale l.

(d) Realizar un cambio de variable (por ejemplo coordenadas polares) y demostrar que el lımiteresultante existe y vale l.


A modo de ilustracion, probemos que los siguientes lımites no existen:

lim(x,y)→(0,0)

x2 + y2

x + y, lim

(x,y)→(0,0)

xy2

x2 + y4, lim

(x,y)→(1,0)

y

x + y − 1.

Ejemplo 1.3.7 Sea f(x, y) =x2 + y2

x + y.

Los lımites reiterados en el origen existen y valen (ambos, por ser la funcion simetrica en las variablesx e y) cero:

limy→0

limx→0

f(x, y) = limy→0

y2

y= 0.

Los lımites direccionales segun las rectas y = mx tambien valen 0:

lim(x,y)→(0,0)

y=mx

f(x, y) = limx→0

x2(1 + m2)x(1 + m)

= 0.

Incluso si probamos con direcciones del tipo y = cxn tambien saldra cero. Sin embargo, el lımite noexiste. En estos casos es cuando resulta de gran ayuda construir las curvas de nivel.

Las curvas de nivel (ver Figura 1.25) de la funcion son del tipo

c =x2 + y2

x + y≡ x2 + y2 − cx − cy = 0 ≡ (x − c

2)2 + (y − c

2)2 =

c2

2,

circunferencias de centro( c

2,c

2

)y radio

c√2, que pasan todas ellas por el origen de coordenadas: (0 −

c

2)2 + (0 − c

2)2 =

c2

2.

De modo que la funcion no puede tener lımite en (0, 0), puesto que por ese punto pasan infinitas curvasde nivel que corresponden a cortes de la superficie f(x, y) = 0 con distintos planos z = c. Es decir, loslımites segun las trayectorias que definen estas circunferencias valen distinto: lim

(x,y)→(0,0)

(x− c2 )2+(y− c

2 )2= c22

f(x, y) =

c.

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

Figura 1.25: La no existencia del lımite en el origen es clara

Ejemplo 1.3.8 El lımite lim(x,y)→(0,0)

xy2

x2 + y4no existe.


En efecto, si calculamos el lımite segun las parabolas x = my2, se tiene que

lim(x,y)→(0,0)

x=my2

f(x, y) = limy→0

my4

(m2 + 1)y4=

m

m2 + 1,

lo que nos hace concluir que el lımite propuesto lim(x,y)→(0,0)

xy2

x2 + y4no existe, pues segun las parabolas

propuestas se obtienen valores distintos (en funcion del parametro m).

Figura 1.26: Superficie y mapa de densidad asociados a z = f(x, y)

Ejemplo 1.3.9 El lımite lim(x,y)→(1,0)

y

x + y − 1tampoco existe.

Si tomamos la direccion y = x − 1, resulta que el lımite direccional correspondiente queda

lim(x,y)→(1,0)

y=x−1

y

x + y − 1= lim

x→1

x − 12(x − 1)

=12.

Por otra parte, si tomamos la direccion y = x2 − 1, se tiene que

lim(x,y)→(1,0)y=x2−1

y

x + y − 1= lim

x→1

x2 − 1x2 + x − 2

= limx→1

x + 1x + 2

=23,

que difiere del valor12

antes calculado.Luego el lımite en el origen no existe.

Ahora, probar la existencia de los siguientes lımites:

lim(x,y)→(0,0)

x2y

x2 + y2, lim

(x,y)→(1,0)

(x − 1)2 ln x

(x − 1)2 + y2, lim

(x,y)→(0,0)

sen(x2 + y2)x2 + y2

Ejemplo 1.3.10 Sea f(x, y) =x2y

x2 + y2.

Calculemos primero los lımites reiterados en el origen: limx→0

f(x, y) = 0, de modo que

limy→0

( limx→0

f(x, y)) = 0, por lo que el candidato a lımite es 0.

Como∣∣∣∣ x2y

x2 + y2− 0∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣x2y

x2

∣∣∣∣ = |y| y lim(x,y)→(0,0)

|y| = 0, se tiene que existe lim(x,y)→(0,0)

x2y

x2 + y2= 0.


Figura 1.27: La representacion grafica es concluyente

Figura 1.28: La convergencia de la funcion en el origen es incontestable

Ejemplo 1.3.11 Sea g(x, y) =(x − 1)2 ln x

(x − 1)2 + y2.

Se tiene que limy→0

g(x, y) = lnx, de modo que el reiterado correspondiente queda limx→1

( limy→0

g(x, y)) =

limx→1

ln x = 0. Ası, el candidato a lımite es l = 0.

De nuevo,∣∣∣∣ (x − 1)2 ln x

(x − 1)2 + y2− 0∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣(x − 1)2 ln x

(x − 1)2

∣∣∣∣ = |ln x|, siendo lim(x,y)→(1,0)

| ln x| = 0; de donde existe

lim(x,y)→(1,0)

(x − 1)2 ln x

(x − 1)2 + y2= 0.

1.4. CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN UN PUNTO 21

Figura 1.29: El mapa de densidad es clave: la funcion admite lımite en el origen

Ejemplo 1.3.12 Sea h(x, y) =sen(x2 + y2)

x2 + y2.

Estudiemos primero los lımites reiterados. Es claro que limy→0

h(x, y) =senx2

x2. De donde

limx→0

( limy→0

h(x, y)) = limx→0

sen x2

x2

x→0

senx2∼x2

= 1, luego el candidato a lımite es 1.

En esta ocasion, para demostrar que el lımite doble existe y vale 1, vamos a demostrar que existe ellımite segun cualquier trayectoria g(x, y) = c y que vale 1.

En efecto, sea g(x, y) = c una trayectoria cualquiera pasando por (0, 0). Si a lo largo de esa trayectoria

cambiamos de variable segun t = x2 + y2, resulta que lim(x,y)→(0,0)g(x,y)=c

g(x, y) = limg(x,y)=c

t→0

sen t

t= 1.

De modo que sea cual sea la trayectoria g(x, y) = c pasando por (0, 0), existe el lımite segun esatrayectoria y vale 1. De donde existe el lımite doble de h(x, y) cuando (x, y) → (0, 0) y vale 1.

Tambien podrıamos haber usado el cambio a coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sen θ. Ası,(x, y) → (0, 0) ⇔ (r, θ) → (0,−), de manera que

lim(x,y)→(0,0)

h(x, y) = limr→0

sen r2

r2= 1.

Como en el caso de funciones de una variable, es facil deducir la existencia de un algebra elemental delımites dobles, en el que el lımite de sumas/diferencias y productos/cocientes sea las sumas/diferencias yproductos/cocientes de los lımites correspondientes (en este ultimo caso, siempre que el denominador nose anule en las proximidades del punto lımite, en cuyo caso habrıa que hacer un estudio aparte).

1.4 Continuidad de funciones en un punto

La nocion de continuidad de una funcion esta ıntimamente ligada a la de lımite. Una funcion f es continuaen un punto no asilado a ∈ IRn cuando se dan las siguientes tres condiciones:

• La funcion esta definida en el punto a, ∃f(a).

• Existe el lımite de la funcion cuando x tiende a a, ∃ limx→a

f(x) = l.

• Este valor coincide con la imagen de f en el punto a, l = f(a).


Figura 1.30: Graficamente no hay lugar a dudas: el lımite en el origen existe

Se entiende que una funcion es continua en una region dada cuando lo es en cada uno de sus puntos.Se sobrentiende que una funcion es automaticamente continua en sus puntos aislados.

La definicion anterior requiere tres cosas: que la funcion este definida en el punto, que exista el lımitey que ambos valores coincidan. Se habla de discontinuidad en aquellos puntos en los que la funcion fallaen ser continua. Dicha discontinuidad se dice evitable o esencial dependiendo que exista o no el lımitede la funcion en el punto en cuestion. Las funciones que presentan discontinuidades exclusivamente deltipo evitable se pueden transformar en funciones continuas de pleno derecho, con tan solo modificarconvenientemente la definicion de la funcion en estos puntos por el valor de los lımites correspondientes.

El algebra de lımites se hereda para funciones continuas, de modo que lassumas/diferencias/productos/cocientes de funciones continuas definen funciones asimismo contin-uas. Mas aun, la composicion de funciones continuas tambien es continua: si f es continua en a y g escontinua en f(a) entonces g ◦ f es continua en a, siendo (g ◦ f)(a) = g(f(a)).

Las funciones continuas por excelencia, en sus dominios de definicion, son los polinomios (en una ovarias variables), las trigonometricas, las exponenciales, las logarıtmicas, las racionales (cuando no seanula el denominador),. . . , y sus composiciones y combinaciones aritmeticas.

A modo de ejemplo, determinar los puntos en los que son continuas las funciones siguientes:

g(x, y) =x

x2 − y, f(x, y) =

x4

x(x2 + y2), si (x, y) �= (0, 0),

0, si (x, y) = (0, 0),

h(x, y) ={

x2 + 2y − 1, si x ≥ 0,3x + y2, si x < 0.

Ejemplo 1.4.1 Sea g(x, y) =x

x2 − y

La funcion g : D ⊆ IR2 → IR dada por g(x, y) =x

x2 − yes continua en todo su domino de definicion,

D = IR2 − {(x, y) : y = x2}, por ser cociente de polinomios. Tenemos que estudiar si se puede extenderde manera continua en algun punto de la parabola y = x2.

En los puntos (c, c2) con c �= 0 desde luego no se puede extender de manera continua, dado quelim

(x,y)→(c,c2)

x

x2 − y=

c

0= ±∞, dependiendo de si nos acercamos a cero por la derecha o por la izquierda;

de modo que el lımite no existe, y aunque existiera serıa infinito, por lo que la funcion tampoco podrıadefinirse de manera continua en esos puntos.

En particular, entonces lim(x,y)→(0,0)

y=x2

g(x, y) tampoco existe, de donde no puede existir el lımite de la

funcion en el cero.

1.4. CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN UN PUNTO 23

Figura 1.31: La funcion tiene en {(x, y) : y = x2} discontinuidades del tipo esencial

Ejemplo 1.4.2 Sea ahora la funcion f(x, y) =

x4

x(x2 + y2), si (x, y) �= (0, 0),

0, si (x, y) = (0, 0),

La funcion es continua en IR − {0}, por ser cociente de polinomios.Ademas, tambien es continua en el origen, dado que

|f(x, y) − f(0, 0)| =∣∣∣∣ x4

x(x2 + y2)

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣x3

x2

∣∣∣∣ ≤ |x|,

que tiende a 0 cuando (x, y) tiende a (0, 0).De donde existe lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) = 0, por lo que la funcion se puede extender de manera continua

en el origen definiendo f(0, 0) = 0.

Figura 1.32: La continuidad es graficamente palpable

Ejemplo 1.4.3 Sea ahora h(x, y) ={

x2 + 2y − 1, si x ≥ 0,3x + y2, si x < 0.


Es obvio que la funcion es continua en todo IR − {(x, y) : x = 0}, por ser polinomica en esos puntos.Hay que estudiar si ademas es continua en la recta x = 0. Graficamente no lo parece, salvo eventualmenteen algun punto proximo a y = 1.

Figura 1.33: El unico punto de x = 0 donde la funcion es continua es (0, 1)

Dado que lim(x,y)→(0,b)

x→0+

h(x, y) = 2b − 1 y lim(x,y)→(0,b)

x→0−

h(x, y) = b2, para que pudiera ser continua habrıa de

ser b2 = 2b − 1; esto es, b = 1. Ası, el unico punto de x = 0 que podrıa optar a albergar continuidad es(0, 1). Y de hecho, la funcion es continua en este punto, puesto que las funciones en que se desglosa soncontinuas en dicho punto y toman en el el mismo valor.

A continuacion recopilamos algunos resultados clasicos que conciernen a las funciones continuas f :D ⊆ IRn → IR:

1. Si f es continua en a, entonces f esta acotada en un entorno de a.

2. Si f es continua en a y f(a) �= 0, entonces f tiene signo constante (igual al de f(a)) en un entornode a.

3. Si D es un conjunto compacto (cerrado y acotado) y f : D → IR es una funcion continua en D,entonces f(D) es un compacto de IR.

4. Si D es compacto y f : D → IR es continua en D, entonces f alcanza en D valores maximo ymınimo: existen x0 y x1 en D tales que f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1) para todo x ∈ D. Este resultado seconoce como Teorema de Weierstrass.

5. Si f : [a, b] → IR es continua y f(a) · f(b) < 0 entonces existe c ∈ (a, b) con f(c) = 0. Este resultadose conoce como Teorema de Bolzano.

6. Si f : D → IR es continua y D es conexo, dados a,b ∈ D y k ∈ IR con f(a) < k < f(b) existec ∈ D con f(c) = k. Esta propiedad se conoce con el nombre de Propiedad de Darboux o Teoremade los valores intermedios.

Ejemplo 1.4.4 Demostrar que toda funcion continua f : [0, 1] → [0, 1] tiene un punto fijo c (i.e. tal quef(c) = c).

Sea la funcion g(x) = x−f(x), continua, definida en [0, 1], con g(0) = −f(0) ≤ 0 y g(1) = 1−f(1) ≥ 0;de manera que segun el Teorema de los valores intermedios existe c ∈ [0, 1] con g(c) = 0, esto es,0 = g(c) = c − f(c), de donde f(c) = c.

Captulo 2

Diferenciabilidad de funciones devarias variables

2.1 Nocion de derivada. Interpretacion geometrica

Antes de comenzar nuestro estudio, ilustremos con un par de situaciones la aplicabilidad de las nocionesa tratar.

Cuando una bola de billar golpea a otra parada, en un punto P de su superficie, esta se mueve a lolargo de la recta de impacto, unıvocamente determinada por P y por el centro de la bola. El impactopuede suceder de dos formas.

Si la bola lanzada se mueve en la recta de impacto (lo cual requiere una precision mayuscula), esta separa en seco y cede todo su momento a la bola parada, como muestra la primera figura.

Figura 2.1: Situacion en que se transmite todo el momento

Sin embargo, lo normal es que la bola lanzada se desvıe a un lado u otro de la recta de impacto,reteniendo parte de su momento. No obstante, la parte de momento que se transmite a la bola paradasiempre se orienta sobre la lınea de impacto, con independencia de la direccion de la bola lanzada, comose indica en la segunda figura.

Figura 2.2: Ahora solo se transmite parte del momento

Las matematicas dan una explicacion a este hecho: la bola parada se mueve siempre segun la rectanormal a su superficie en el punto de impacto P . Hablar de la recta normal a la superficie es hablar delplano tangente a la superficie, lo que se traduce en hablar de la diferenciabilidad de la superficie.

25

26 CAPTULO 2. DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Cambiemos de problema. Supongamos que nos encontramos en plena sierra y pretendemos hacer unrecorrido cual alpinista, buscando siempre la trayectoria de maximo ascenso. Este problema tiene unatraduccion natural al ambito de las matematicas, y concierne al gradiente de la superficie que define lasierra. De hecho, este vector marca siempre la direccion de maximo crecimiento, ası como su opuestomarca la de mınimo crecimiento.

En esta seccion vamos a abordar las ideas de derivada y diferencial de una funcion, conceptos quese confunden en uno solo en funciones de IR en IR, pero que son claramente distinguibles en el caso defunciones de IRn en IR, para n ≥ 2.

Geometricamente, la derivada de una funcion f : D ⊆ IR → IR en un punto a indica la pendiente dela recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a, f(a)).

Analogamente, la derivada direccional de f : D ⊆ IR2 → IR en un punto (a, b) segun la direcciondel vector unitario u = (cos θ, sen θ) indica la pendiente de la recta tangente a la superficie en el punto(a, b, f(a, b)) segun la direccion del vector u.

Por otra parte, que f : D ⊆ IR2 → IR sea diferenciable en (a, b) se traduce geometricamente en queel plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto (a, b, f(a, b)) aproxima linealmente a la funcionf(x, y) en un entorno del punto (a, b).

A la vista esta que no es lo mismo calcular el valor de las pendientes de las rectas tangentes en(a, b, f(a, b)) a la superficie z = f(x, y) segun todas las direcciones posibles u (derivadas direccionalessegun dichos vectores), que el hecho de que el plano tangente aproxime bien a la funcion en un entornodel punto (a, b, f(a, b)). De aquı que las de derivabilidad y diferenciabilidad sean nociones diferentes enIRn, para n ≥ 2.

En lo que sigue daremos contenido a lo avanzado hasta ahora.Es de conocimiento general que una funcion f : D ⊆ IR → IR definida en un entorno del punto a ∈ D

es derivable en a si el siguiente lımite existe y es finito,

limh→0

f(a + h) − f(a)h

.

Este valor, que se denota por f ′(a), mide el ritmo de cambio de y = f(x) respecto de x en dichopunto; es decir, la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en (a, f(a)).

En terminos fısicos, f ′(a) representa la velocidad instantanea en el instante t = a de un movil querecorre una distancia de f(t) unidades en un tiempo t; y se corresponde con el valor lımite de la velocidadpromedio del movil en un entorno de a de amplitud h, cuando h se aproxima a 0:

f ′(a) = limh→0

f(a + h) − f(a)h

= limt→a

f(t) − f(a)t − a

Ejemplo 2.1.1 Un agente de trafico supervisa la posible evolucion de la velocidad de un automovil queha invertido aproximadamente hora y media para ir de Sevilla a Isla Canela (Ayamonte), poblaciones quedistan unos 150 kilometros entre sı. ¿Que conclusiones saca?

En una primera estimacion, se puede concluir que la velocidad promedio del viaje ha sido de1501.5

=

100km/h, que en principio no supera la barrera de los 120km/h.Evidentemente, esta cantidad no puede reflejar la velocidad mantenida a lo largo de todo el trayecto:

sin ir mas lejos, dentro de las poblaciones de salida y llegada (en las que el lımite maximo de velocidadpermitido es de 50km/h), la circulacion propia de las urbes impide mantener una velocidad de 100km/h(¡saliendo ileso!), por mucho que uno persista en no respetar las senalizaciones existentes.

Ası, la informacion que proporciona esta velocidad promedio resulta irrelevante para un agente de laGuardia Civil de Trafico que quiera discernir si el conductor infringio el lımite de velocidad permitidoen algun instante. Interesa averiguar la velocidad que llevaba en cada instante t una vez recorridosf(t) kilometros: es decir, el cumulo de velocidades instantaneas, el valor de f ′(t) para cada instante tcomprendido en la hora y media que duro el trayecto.

Esto le resultarıa posible al agente de tener a su alcance mediciones de patrullas provistas de radaresque hubieran estado sitas a lo largo del trayecto seguido por el vehıculo. Notese que los radares que sesituan en las carreteras miden, de hecho, velocidades instantaneas. Aun cuando todas las hipoteticasmediciones reflejen valores permisibles, esto no es obice para que el conductor no haya sobrepasado enalgun instante distinto las velocidades maximas permitidas.

2.1. NOCION DE DERIVADA. INTERPRETACION GEOMETRICA 27

Toda vez que esta informacion no esta disponible, lo maximo que puede hacer el agente es aventurarsi el conductor pudo realizar el trayecto sin infringir las normas vigentes.

Dado que el vehıculo hubo de recorrer 20 kilometros de vıa en poblacion (13 para salir de Sevilla yotros 7 para atravesar Ayamonte hasta Isla Canela) y 130 kilometros de autovıa (la A-49, en sentidoSevilla-Huelva-Portugal), manteniendo la marcha en cada vıa a la maxima velocidad permitida (50km en

vıa urbana y 120km en autovıa), resulta un tiempo de20 · 60

50+

130 · 60120

= 24 + 65 = 89 minutos; estoes, un minuto menos de lo que invirtio el conductor.

El agente de trafico concluye que hay indicios fundados de que el conductor supero el lımite develocidad permitido, puesto que no es razonable que el vehıculo mantenga en todo instante la velocidadmaxima permitida en cada vıa durante todo el trayecto, sin llegar a excederla, teniendo solo un margende un minuto a lo largo de todo el trayecto para pasar de una velocidad a otra (de 0km/h en la salida ollegada, hasta los 50km/h dentro de las poblaciones, y de aquı hasta los 120km/h de la autovıa).

No obstante, sabiendo que cualquier abogado buen conocedor del sistema llevarıa a todo juez a fallara favor del conductor (todos somos inocentes hasta que se demuestre sin paliativos ni fisuras lo contrario,y, por inverosımil que sea la posibilidad de no haber infringido el lımite de velocidad, dicha posibilidadexiste), el agente finalmente opta por archivar el caso.

Ejemplo 2.1.2 Consideremos ahora la curva y = f(x) = 6 − x2

Se tiene que f(x) es derivable en todo su dominio de definicion (D = IR), siendo f ′(x) = −2x.Si tomamos el punto a = −1, se tiene que f ′(−1) = 2, de modo que la recta tangente a la curva

y = 6 − x2 en el punto (−1, f(−1)) = (−1, 5) es

y − f(−1) = f ′(−1)(x − (−1)) ≡ y − 5 = 2(x + 1) ≡ y = 2x + 7.

-4 -2 2 4

-15

-10

-5

5

10

15

Figura 2.3: Tangente a y = 6 − x2 en x = −1

En general, si f(x) es derivable en el punto x = a, la recta tangente a y = f(x) en a tiene por ecuaciony − f(a) = f ′(a) · (x − a).

Ejemplo 2.1.3 Consideremos ahora la superficie z = f(x, y) = 6 − x2 − y2.

El corte de la superficie con cada plano del tipo u2x − u1y = c determina una curva de la superficieen la direccion del vector u = (u1, u2). En particular, consideremos el plano vertical en la direccionu = (1, 0) que pasa por el punto (1, 2, 1), el cual tiene por ecuacion y = 2.

La curva que determina la traza de z = 6 − x2 − y2 segun este plano y = 2 (ver Figura 2.4) viene

dada por la ecuacion{

z = 2 − x2

y = 2La pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto de coordenadas (1, 2, 1) consiste en la

derivada direccional de f(x, y) en dicho punto segun la direccion del vector u = (1, 0), que viene dadapor

∂f

∂u(1, 2) = Duf(1, 2) = lim

h→0

f(1 + h, 2)− f(1, 2)h

= limh→0

2 − (1 + h)2 − 1h

= −2


Figura 2.4: Seccion de z = 6 − x2 − y2 segun el plano y = 2

Si hubiesemos tomado la traza segun el plano vertical en la direccion u = (0, 1) que pasa por (1, 2, 1),

hubieramos obtenido la curva{

z = 5 − y2

x = 1La recta tangente a esta curva en (1, 2, 1) tiene por pendiente la derivada direccional de f(x, y) en

dicho punto segun la direccion del vector v = (0, 1),

∂f

∂v(1, 2) = Dvf(1, 2) = lim

h→0

f(1, 2 + h) − f(1, 2)h

= limh→0

5 − (2 + h)2 − 1h

= −4

Figura 2.5: Seccion de z = 6 − x2 − y2 segun el plano x = 1

Y con la traza segun el plano vertical en la direccion w = (1√2,

1√2) que pasa por (1, 2, 1) obtenemos

la curva{

z = 6 − x2 − y2

x − y = −1La recta tangente a esta curva en (1, 2, 1) tiene por pendiente la derivada direccional de f(x, y) en

dicho punto segun la direccion del vector w,

∂f

∂w(1, 2) = Dwf(1, 2) = lim

h→0

f(1 + h√2, 2 + h√

2) − f(1, 2)

h= lim

h→0

− 6√2h − h2

h= −3

√2

Figura 2.6: Seccion de z = 6 − x2 − y2 segun el plano x − y = 1

2.1. NOCION DE DERIVADA. INTERPRETACION GEOMETRICA 29

Aquı debemos hacer un alto. Es destacable el hecho de que hayamos exigido al vector u que daba ladireccion el ser unitario. Si escogemos otro vector v = λu, resulta que

∂f

∂v(1, 2) = lim

h→0

f(1 + λ√2h, 2 + λ√

2h) − f(1, 2)

h= lim

h→0

− 6λ√2h − λ2h2

h

de manera que Dvf(1, 2) = −3λ√

2 = λDuf(1, 2). Ası, aunque u y v determinan la misma direccion,las derivadas direccionales a ellos asociados difieren proporcionalmente segun la razon λ de sus modulos.Salta una duda inmediatamente: ¿por que de entre todos estos valores (o vectores) es −3

√2 (o u) el que

corresponde con la pendiente de la curva en el punto (1, 2, 1)? ¿Por que precisamente uno unitario?La respuesta la tenemos que buscar en las escalas o medidas en que viene representada la superficie,

y por tanto la curva segun la traza correspondiente a la direccion u. Efectivamente, si queremos calcularla ecuacion de la curva determinada por la traza x− y = −1 de la superficie z = 6− x2 − y2, necesitamos

considerar como nuevo eje de abscisas la recta OT

{z = 0x − y = −1 y como eje de ordenadas el eje OZ.

A la hora de preservar la escala que tenıamos en el espacio segun los ejes OX , OY y OZ, necesitamos un

vector de modulo 1 en la recta anterior, que precisamente viene dado por u = (1√2,

1√2). Si tomamos

como t la variable del eje OT , la relacion entre t y x sera x =t√2, puesto que para t = 1 se obtiene el

vector u, cuya primera coordenada (proyeccion sobre OX) es x =1√2.

��

��

��

��

�OY

OZ

OXOT

(1, 2) |u| = 1

OY

OX

1√2

1√2

��

��

Figura 2.7: Las direcciones deben ser unitarias para preservar la geometrıa

Como la ecuacion de la curva{

z = 6 − x2 − y2

x − y = −1 respecto x es

z(x) = 6 − x2 − (x + 1)2 = 5 − 2x2 − 2x,

se tiene que la ecuacion de la curva respecto de t sera z(t) = 5 − t2 −√2t. Ası, la pendiente de la curva

que da el corte de la superficie con la traza anterior en el punto (1, 2, 1) viene a ser la pendiente de lacurva z(t) en el punto t =

√2 (que corresponde a la abscisa x = 1): como z′(t) = −2t−√

2, se tiene quez′(

√2) = −3

√2, que es el valor que obtuvimos al considerar la derivada direccional de la funcion f(x, y)

en el punto (1, 2) segun el vector u.

Tengase en cuenta que el respetar la escala inicial lo es todo, de otro modo estarıamos cambiando defuncion.

Ejemplo 2.1.4 Considerese la funcion seno en radianes y grados.

La primera grafica de la Figura 2.8 representa el seno en funcion de los radianes r, y = sen r; mientrasque la segunda lo hace en funcion de los grados g, y = sen g.

Aunque la funcion seno esta unıvocamente determinada, si uno pretende calcular la derivada dela funcion en un punto, tiene que fijar que escala esta usando. Evidentemente en una misma altura


y = sen r

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5

1

y = sen g

-150 -100 -50 50 100 150

-1

-0.5

0.5

1

Figura 2.8: Graficas de sen x en radianes y grados, respectivamente

y = sen g

-30 -20 -10 10 20 30

-1

-0.5

0.5

1

y = sen r

Figura 2.9: La funcion sen r recorre muchos periodos en uno de sen g

y ∈ [−1, 1], ¡la pendiente de la tangente a y = sen r en general no coincide con la pendiente de la tangentea y = sen g! La Figura 2.9 refleja este hecho.

Mas aun, ¡¡la derivada de sen g no es cos g!! En efecto, nosotros sabemos que la derivada del senocomo funcion en radianes es el coseno como funcion en radianes, (sen r)′ = cos r. Como la relacion entregrados y radianes viene dada por g =

π

180r, se tiene que sen g = sen

π

180r; de modo que

(sen g)′ = (senπ

180r)′ =

π

180cos

π

180r =

π

180cos g �= cos g,

salvo en aquellos grados g en los que cos g = 0.

Es en este sentido que cuando calculemos una derivada direccional en un punto respecto de unadireccion u, para poder asegurar que el valor obtenido representa la pendiente de la curvaen el punto en cuestion es imprescindible que el vector u sea unitario.

Ası, en general, dada una superficie z = f(x, y) y una direccion segun el vector unitario u =(cos θ, sen θ), la derivada direccional de f(x, y) en el punto (a, b),

∂f

∂u(a, b) = lim

h→0

f(a + h cos θ, b + h sen θ) − f(a, b)h

,

representa la pendiente de la recta tangente a z = f(x, y) en el punto (a, b, f(a, b)) segun la direccion u.

En particular, cuando u = (1, 0) se habla de derivada parcial respecto de x, y se nota∂f

∂x(a, b) =

fx(a, b) = z′x(a, b) = D1f(a, b); y cuando u = (0, 1) se habla de derivada parcial respecto de y, y se nota∂f

∂y(a, b) = fy(a, b) = z′y(a, b) = D2f(a, b).

2.2. NOCION DE DIFERENCIAL. INTERPRETACION GEOMETRICA 31

Formalmente, para la derivacion parcial respecto de x o y son de aplicacion las reglas de derivacion delas funciones de una variable. Mas aun, el procedimiento operativo para el calculo de derivadas parcialeses el mismo que el que se sigue para hallar derivadas en el caso de una variable, considerando el resto devariables (si hubiere) como constantes.

En el caso anterior,∂f

∂x(1, 2) = −2x|(1,2) = −2.

Analogamente,∂f

∂y(1, 2) = −2y|(1,2) = −4.

Geometricamente, las derivadas parciales fx y fy tienen aun mas interpretacion, puesto que determi-nan el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en punto (a, b) dado.

El motivo no es otro que (0, 1, fy(a, b)) y (1, 0, fx(a, b)) son vectores presentes en el plano tangente encuestion:

• A lo largo de la recta r ≡ z − f(a, b) = fx(a, b) · (x − a) tangente a la superficie en (a, b, f(a, b))segun la traza y = b, un cambio ∆x de 1 unidad en x produce en z un cambio ∆z = fx(a, b), desuerte que el vector que va del punto (a, b, f(a, b)) al (a + 1, b, f(a + 1, b)) es (1, 0, fx(a, b)).

• Analogamente, a lo largo de la recta s ≡ z − f(a, b) = fy(a, b) · (y − b) tangente a la superficieen (a, b, f(a, b)) segun la traza x = a, un cambio ∆y de 1 unidad en y produce en z un cambio∆z = fy(a, b), de suerte que el vector que va del punto (a, b, f(a, b)) al (a, b + 1, f(a, b + 1)) es(0, 1, fy(a, b)).

De modo que el plano tangente a z = f(x, y) en (a, b, f(a, b)) queda unıvocamente determinado porel vector normal que resulta del producto vectorial

(0, 1, fy(a, b)) × (1, 0, fx(a, b)) = (fx, fy,−1).

La ecuacion de dicho plano tangente queda por tanto

fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) − (z − f(a, b)) = 0.

2.2 Nocion de diferencial. Interpretacion geometrica

Una funcion f : D ⊆ IR → IR se dice diferenciable en un punto a ∈ D cuando existe una constante α ∈ IRde modo que

lim∆x→0

f(a + ∆x) − f(a) − α · ∆x

∆x= 0.

Dicho de otro modo, cuando existe una aproximacion lineal en ∆x de la variacion de la funcion en unentorno suficientemente pequeno de a:

f(a + ∆x) − f(a) = ∆y = α∆x + ε(x)∆x,

donde ε(x) → 0 cuando ∆x → 0.En el caso de una funcion y = f(x), f : D ⊆ IR → IR, derivable en un punto a, con recta tangente en

el punto (a, f(a)) igual a r(x) ≡ y = f(a) + f ′(a) · (x − a), de pendiente f ′(a); resulta que la derivadaf ′(a) permite aproximar linealmente en ∆x el valor de la curva en un entorno suficientemente pequenode a.


1 2 3 4 5 6

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

∆x

dy

∆y

Figura 2.10: La variacion ∆y se puede aproximar por dy en las proximidades de a

En efecto, dado un punto a y un punto proximo a + ∆x, la variacion de la funcion viene dada por∆y = f(a + ∆x) − f(a), y una buena aproximacion de este valor es la variacion de la ordenada en larecta tangente, dy = r(a + ∆x) − r(a) = f ′(a) · ∆x.

Esto es ası porque, por definicion de derivada en un punto,

f ′(a) = lim∆x→0

f(a + ∆x) − f(a)∆x

= limx→0

∆y

∆x;

de modo que existe una funcion ε(x) que tiende a cero cuando ∆x → 0 tal que

∆y = f ′(a) · ∆x + ε(x)∆x ≡ ∆y = dy + ε(x)∆x � dy

cuando ∆x es suficientemente pequeno (esto es, en las proximidades de a).Ası, si una funcion f : D ⊆ IR → IR es derivable en a, entonces asimismo es diferenciable, tomando

α = f ′(a). De modo que para funciones de una variable las nociones de diferencial y derivada se confunden.De hecho,

lim∆x→0

f(a + ∆x) − f(a) − α · ∆x

∆x= 0 ⇔ lim

∆x→0

f(a + ∆x) − f(a)∆x

= α ⇔ α = f ′(a).

Ejemplo 2.2.1 Se sabe que la velocidad de la sangre a 0.002cm del centro de un vaso sanguıneo es de1.111cm/s, mientras que si se aumenta la distancia en 0.001cm la velocidad resulta ser de 1.037cm/s.Estimar la velocidad a 0.001cm del centro (asumimos presion y viscosidad de la sangre constantes).

Localmente, un vaso sanguıneo (ya sea en vena o arteria) se puede modelar como un tubo cilındricode radio R y longitud l, como muestra la Figura 2.11.

R�

l�

r�

Figura 2.11: Modelo de una vena en forma de cilindro

Segun el enunciado, v(0.002) = 1.111cm/s, y

dv

dr|r=0.002 ≈ ∆v

∆r=

1.037 − 1.1110.003 − 0.002

= −74cm/s,

de donde v′(0.002) ≈ −74cm/s. Ası, ∆v ≈ ∆r · v′(0.002), por lo que

v(0.001) ≈ v(0.002)− 0.001 · (−74) = 1.184cm/s.

Esta estimacion no resulta ser demasiado fiable en este caso, dado lo reducido de las dimensionesque se manejan. De hecho, la ley del flujo laminar, descubierta por el fısico frances Poiseuille en 1840,


expresa la relacion entre v y r en la forma v =P

4ηl(R2 − r2), donde η es la viscosidad de la sangre y P

la diferencia de presion entre los extremos del tubo. Para nuestros propositos, podemos asumir que η, Py l son constantes.

Debido a la friccion en las paredes del tubo, la velocidad v de la sangre es maxima a lo largo del ejecentral del propio tubo, y decrece conforme aumenta la distancia r del eje, hasta que v se vuelve 0 en lapared (de ahı que el colesterol, que se pega a las paredes internas de los conductos sanguıneos, sea nocivopara la salud en grandes concentraciones). Esto concuerda con el hecho de que v′(0) = 0.

Mas concretamente, se tiene quedv

dr= −Pr

2ηl.

Por tanto, en una vena humana pequena, con η = 0.027, R = 0.008cm, l = 2cm, P = 4000dinas/cm2,se tiene que v ≈ 1.85 × 104(6.4 · 10−5 − r2) cm/s.

Ası, en r = 0.002cm, la sangre fluye a una velocidad de 1.11cm/s y el gradiente de velocidad en ese

punto esdv

dr|r=0.002 ≈ −74(cm/s)/cm = −74s−1.

Pero v(0.001) = 1.166cm/s, que difiere del valor 1.184cm/s obtenido en la aproximacion primigenia,que en verdad es la velocidad maxima que se puede alcanzar, en el centro del vaso sanguıneo.

Analicemos el caso analogo para funciones de dos variables, tratando de aproximar el valor de lafuncion z = f(x, y) en un entorno de un punto (a, b) segun el plano tangente a la superficie en dichopunto.

Una funcion f : D ⊆ IR2 → IR se dice diferenciable en un punto (a, b) cuando existen constantesα, β ∈ IR de modo que

lim(x,y)→(0,0)

f(a + x, b + y) − f(a, b) − α · x − β · y||(x, y)|| = 0.

Aquı, ||(x, y)|| representa la distancia del punto (x, y) al origen de coordenadas, respecto de cualquieraplicacion distancia (por ejemplo, euclıdea,

√x2 + y2; o distancia uno, |x| + |y|).

Al igual que ocurriera en el caso de funciones de una variable, que una funcion f(x, y) sea diferenciableen un punto (a, b) significa que el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en dicho punto, p ≡ z =fx(a, b) · (x − a) + fy(a, b) · (y − b) + f(a, b), aproxima linealmente en ∆x y ∆y a la propia funcion:

f(a + ∆x, b + ∆y) � p(a + ∆x, b + ∆y).

Mas concretamente, dado un punto (a, b) y un punto proximo (a + ∆x, b + ∆y), la variacion de lafuncion viene dada por ∆z = f(a + ∆x, b + ∆y) − f(a, b), y un candidato a aproximar este valor es lavariacion de la ordenada en el plano tangente, dz = p(a+∆x, b+∆y)−p(a, b) = fx(a, b)·∆x+fy(a, b)·∆y.

∆x∆y

∆z

dz

Figura 2.12: Se tiene que dz aproxima a ∆z en un entorno de (a, b)

De hecho, si la funcion f(x, y) es diferenciable en (a, b), se tiene que existen constantes α y β talesque

lim(∆x,∆y)→(0,0)

f(a + ∆x, b + ∆y) − f(a, b) − α · ∆x − β · ∆y

||(∆x, ∆y)|| = 0.

Mas aun, se puede probar que estas constantes resultan ser α = fx(a, b) y β = fy(a, b).De modo que existen funciones ε1 y ε2 que tienden a cero cuando (∆x, ∆y) → (0, 0) que hacen que∆z = fx(a, b) · ∆x + fy(a, b) · ∆y + ε1∆x + ε2∆y, por lo que

∆z � dz = fx(a, b) · ∆x + fy(a, b) · ∆y.


Ası, aun sin conocer la formula explıcita de una funcion, se puede aproximar su valor en un puntoconocidas las derivadas parciales en dicho punto, mediante la aproximacion lineal que da el plano tangente.

Ejemplo 2.2.2 Supongamos que en una fabrica se preparan rollos de metal de un cierto grosor g(v, t)haciendo pasar el metal por unos rodillos muy grandes, de modo que el grosor final depende de la velocidadde giro v de los rodillos y de la temperatura t del metal; amen de la distancia de separacion de los rodillos,que suponemos constante igual a 4mm. Para un cierto metal se ha conseguido un espesor de 4mm conun giro de 10m/s y una temperatura de 900◦. Experimentalmente, se sabe que un incremento de 0.2m/sen la velocidad produce un aumento de 0.06mm en el espesor, mientras que un incremento de 10◦ en latemperatura disminuye el espesor en 0.04mm. Estimar el espesor para una velocidad de 10.1m/s y unatemperatura de 880◦.

Aun cuando no conocemos una expresion explıcita para la funcion g(v, t), sı tenemos estimaciones

acerca de las derivadas parciales de la funcion en el punto (10, 900): g′v(10, 900) � 0.060.2

= 0.3, dado que

una variacion de 0.2m/s en la velocidad de giro produce un aumento de 0.06mm en el espesor; por otra

parte, de manera analoga, se tiene que g′t(10, 900) � −0.0410

= −0.004, toda vez que un incremento de 10◦

en la temperatura disminuye el espesor en 0.04mm. Una aproximacion del valor de g(v, t) en un entornoproximo al punto (10, 900) viene dado, pues, por el plano p(v, t) tangente a g(v, t) en dicho punto, cuyaecuacion es p(v, t) = g(10, 900) + g′v(10, 900)(v − 10) + g′t(10, 900)(t− 900).

Ası, g(10.1, 880) � p(10.1, 880) � 4 + 0.3(10.1 − 10)− 0.004(880− 900) = 4.11mm.

Luego diferencial y derivadas parciales estan intrınsecamente relacionadas, aunque no son conceptosequivalentes en el caso de funciones de varias variables: si una funcion es diferenciable en un punto (a, b),veremos que posee en dicho punto las derivadas parciales (mas aun, las derivadas direccionales seguncualquier direccion u); sin embargo, el que una funcion posea en un punto todas las derivadas parciales(incluso todas las direccionales, segun cualquier direccion) no significa que sea diferenciable, como es el

caso de la extension continua de3x2y − 2x3

x2 + y4en el origen, que trataremos posteriormente.

A continuacion, vamos a detallar la relacion local (que no global, en todo el dominio de definicion)entre continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables en un punto (a, b)dado:

1. No hay ninguna relacion entre la existencia de las derivadas direccionales y la continuidad de lafuncion en el punto: hay funciones continuas que no admiten algunas (incluso ninguna) derivadasdireccionales; y, recıprocamente, hay funciones que tienen todas las derivadas direccionales y no soncontinuas.

2. Tampoco la hay entre la mera existencia de las derivadas parciales (ambas discontinuas, necesari-amente) y la existencia de las restantes derivadas direccionales. La cuestion cambia cuando todaslas derivadas parciales (exceptuando a lo sumo una) son continuas, como veremos mas tarde.

3. Sin embargo, si la funcion es diferenciable, entonces es asimismo continua. El recıproco es falso:hay funciones continuas que no son diferenciables.

4. Si la funcion es diferenciable, entonces admite derivadas direccionales segun cualquier direccion. Elrecıproco es falso: la existencia de todas las derivadas direccionales no implica la diferenciabilidadde la funcion.

5. No obstante, si existen las derivadas parciales y a lo sumo una de ellas es discontinua en el punto,entonces sı se puede garantizar que la funcion es diferenciable (y por tanto ademas admite derivadasdireccionales segun cualquier direccion).

6. En cualquier caso, que la funcion sea diferenciable no quiere decir que las derivadas parciales seancontinuas en el punto.

7. Las funciones f que admiten las derivadas parciales continuas se dicen de clase 1, y se nota f ∈ C1.En particular, son diferenciables (aunque no todas las diferenciables son de clase 1, como se hadicho previamente). En verdad, se trata de las funciones que son diferenciables, con diferencialcontinua.


Veamos contraejemplos que confirmen las situaciones anteriores.

Ejemplo 2.2.3 No hay ninguna relacion entre la existencia de las derivadas direccionales y la con-tinuidad de la funcion en el punto: hay funciones continuas que no admiten algunas (incluso ninguna)derivadas direccionales; y, recıprocamente, hay funciones que tienen todas las derivadas direccionales yno son continuas.

Por ejemplo, consideremos la funcion f(x, y) =

x3

y, si y �= 0

0, si y = 0

Figura 2.13: El mapa de densidad sugiere que no existe lımite a lo largo de y = x2

Esta funcion admite todas las derivadas direccionales en el origen, siendo todas ellas nulas: dadou = (cos θ, sen θ), se tiene que

limh→0

f(h cos θ, h sen θ)h

=

limh→0

h3 cos3 θ

h2 sen θ= 0, si sen θ �= 0

limh→0

0h

= 0, si sen θ = 0

Ello no conlleva que la funcion sea continua en el origen. De hecho, la funcion f(x, y) es discontinuaen toda la recta y = 0, tal como refleja la Figura 2.13:

• En los puntos (a, 0), con a �= 0, esto es claro, puesto que no existe lim(x,y)→(a,0)

f(x, y) (vale ±∞

dependiendo de quey

x→ 0− o

y

x→ 0+).

• En el origen, tampoco es continua: tomando las trayectorias y = mx3 para acercarnos al origen,

resulta que lim(x,y)→(0,0)

y=mx3

f(x, y) = limx→0

x3

mx3=

1m

, que depende del parametro m �= 0 (trayectoria

y = mx3) elegido.

Por otra parte, la funcion f(x, y) =√

x2 + y2 es continua en todo IR2 (en particular, en el origen), y

sin embargo no admite ninguna derivada direccional en el origen: limh→0


= limh→0

|h|h

, que

no existe (vale −1 por la izquierda, cuando h → 0−, y 1 por la derecha, cuando h → 0+).

Ejemplo 2.2.4 Tampoco hay relacion entre la mera existencia de las derivadas parciales (ambas discon-tinuas en el punto, necesariamente) y la existencia de las restantes derivadas direccionales.


Figura 2.14: La funcion√

x2 + y2 no admite derivadas direccionales en el origen

Sea la funcion f(x, y) =

{ xy

x2 + y2, si (x, y) �= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)Esta funcion es claramente discontinua en el origen:

lim(x,y)→(0,0)

y=mx

xy

x2 + y2= lim

x→0

mx2

x2(1 + m2)=

m

1 + m2,

que depende de la direccion y = mx tomada.No obstante, f(x, y) admite derivadas parciales en el origen, siendo

fx(0, 0) = limh→0

0h2

h= 0 = fy(0, 0).

Hagamos notar que f(x, y) tambien admite derivadas parciales en los restantes puntos (a, b) �= (0, 0)

de IR2, siendo fx(a, b) =b3 − a2b

(a2 + b2)2y fy(a, b) =

a3 − b2a

(a2 + b2)2; y que estas funciones (simetricas en las

variables a y b) no son continuas en el origen, dado que lim(a,b)→(0,0)

a=mb

fx(a, b) = limb→0

b3(1 − m2)b4(1 + m2)2

que no existe

al valer ±∞ (para m2 �= 1) segun tienda b a cero por la izquierda o por la derecha.Por otra parte, no existe ninguna otra derivada direccional, dado que para u = (cos θ, sen θ) con

cos θ · sen θ �= 0 se tiene que

limh→0


= limh→0

h2 cos θ sen θ

h3,

que no existe (vale ±∞, segun se tome h → 0− o h → 0+).

Posteriormente quedara patente que para que en un punto dado (a, b) existan fx y fy pero no ningunaotra derivada direccional es indispensable que ambas fx y fy sean discontinuas en (a, b).

Ejemplo 2.2.5 Sin embargo, si la funcion es diferenciable, entonces es asimismo continua. El recıprocoes falso: hay funciones continuas que no son diferenciables.

Basta tomar la funcion del apartado primero, f(x, y) =√

x2 + y2, que era continua en el origen yno tenıa ninguna derivada direccional en el origen (en particular, no admitıa derivadas parciales en elorigen); de modo que no es diferenciable en el origen.

Incluso hay funciones que son continuas, admiten todas las derivadas direccionales (en particular, lasparciales) y aun ası no son diferenciables en el punto.


Figura 2.15: Las unicas derivadas direccionales existentes son las parciales

Por ejemplo, sea f(x, y) =

3x2y − 2x3

x2 + y4si (x, y) �= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)Esta funcion es continua en todo IR2, por ser cociente de funciones continuas en IR2 − {(0, 0)}, y por

ser f(0, 0) = 0 = lim(x,y)→(0,0)

f(x, y), dado que

∣∣∣∣3x2y − 2x3

x2 + y4

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣3x2y − 2x3

x2

∣∣∣∣ ≤ |3y| + |2x| (x,y)→(0,0)−→ 0.

Por otra parte, tiene derivadas direccionales en (0, 0) segun cualquier vector unitario u = (cos θ, sen θ):

limh→0

f(0 + h cos θ, 0 + h sen θ) − f(0, 0)h

= limh→0

h3 cos2 θ(3 sen θ − 2 cos θ)h3(cos2 θ + h2 sen4 θ)

,

que vale{

3 sen θ − 2 cos θ si cos θ �= 0,0 si cos θ = 0.

De este modo, fx(0, 0) = −2 y fy(0, 0) = 0.Sin embargo la funcion no es diferenciable en (0, 0): para que ası lo fuera, habrıa de ser

0 = lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) − f(0, 0)− fx(0, 0) · x − fy(0, 0) · y||(x, y)|| ;

esto es, deberıa ocurrir que

0 = lim(x,y)→(0,0)

3x2y + 2xy4)(x2 + y4)||(x, y)|| .

Sin embargo, tomando ||(x, y)|| =√

x2 + y2 y la direccion y = mx se tiene que

limx→0

mx3(3 + 2m3x2)|x3|(1 + m4x2)

√1 + m2

= ± 3m√1 + m2

,

que no existe (lımites laterales en 0+ y 0− distintos, y aun cuando existiera, dependerıa de m). De modoque no existe el lımite original y la funcion no es diferenciable en el origen.

Ejemplo 2.2.6 Si la funcion es diferenciable, entonces admite derivadas direccionales segun cualquierdireccion. El recıproco es falso: la existencia de todas las derivadas direccionales no implica la diferen-ciabilidad de la funcion.


Figura 2.16: Se observa que la funcion no es diferenciable en el origen

Como contraejemplos podemos utilizar funciones que ya hemos considerado previamente, tales como la

del Ejemplo 2.2.4, f(x, y) =

{ xy

x2 + y2, si (x, y) �= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)(que no era continua en el origen, y por tanto

tampoco puede ser diferenciable en dicho punto, a pesar de admitir todas las derivadas direccionales en el

punto); o tambien la que se ha trabajado en el Ejemplo 2.2.5, g(x, y) =

3x2y − 2x3

x2 + y4si (x, y) �= (0, 0)

0, si (x, y) �= (0, 0)(que a pesar de ser continua y admitir todas las derivadas direccionales no era diferenciable en el origen).

No obstante, consideramos otra funcion, que no es continua en el origen (por lo que no es diferenciableen dicho punto) y sin embargo admite todas las derivadas direccionales:

f(x, y) =

x2y

x4 + y2, si (x, y) �= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)

La funcion no es continua en el origen, dado que

lim(x,y)→(0,0)

y=mx2

f(x, y) = limx→0

mx4

x4(1 + m2)=

m

1 + m2,

que depende de la trayectoria y = mx2 elegida. De modo que tampoco es diferenciable en el origen(recuerdese que la diferenciabilidad en un punto implica la continuidad en dicho punto).

Sin embargo, admite en el origen derivadas direccionales en cualquier direccion u = (cos θ, sen θ)

limh→0

h3 cos2 θ sen θ

h3(h2 cos4 θ + sen2 θ)=

cos2 θ

sen θ, si cos θ sen θ �= 0

0, si cos θ sen θ = 0

Ejemplo 2.2.7 No obstante, si existen las derivadas parciales y a lo sumo una de ellas es discontinuaen el punto, entonces sı se puede garantizar que la funcion es diferenciable (y por tanto ademas admitederivadas direccionales segun cualquier direccion).

Este es el caso, por ejemplo, de la funcion f(x, y) = ϕ(x) · y, tomando como ϕ(x) ={x, si x ∈ Q

−x, si x ∈ II = IR − QLa funcion admite derivadas parciales en el origen, toda vez que

fx(0, 0) = limh→0

f(h, 0) − f(0, 0)h

= limh→0

0h

= 0,


Figura 2.17: Aun cuando existen todas las derivadas direccionales, no es diferenciable

fy(0, 0) = limh→0

f(0, h) − f(0, 0)h

= limh→0

0h

= 0.

De ellas, fx no es continua, dado que fx solo esta definida en puntos (a, b) con b = 0, puesto que

limh→0

f(a + h, b) − f(a, b)h

= limh→0

(ϕ(a + h) − ϕ(a))bh

, que existe (y vale 0) solo cuando b = 0.

En cambio, fy(a, b) = limh→0

f(a, b + h) − f(a, b)h

= limh→0

ϕ(a) · hh

= ϕ(a), siendo continua en el origen,

dado quelim

(a,b)→(0,0)fy(a, b) = lim

(a,b)→(0,0)ϕ(a) = 0 = fy(0, 0).

Como al menos una de entre fx y fy es continua en el origen, la funcion f ha de ser diferenciable enel origen. Comprobemoslo.

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) − f(0, 0) − xfx(0, 0) − yfy(0, 0)||(x, y)|| = lim

(x,y)→(0,0)ϕ(x)

y

||(x, y)|| = 0,

dado que limx→0

ϕ(x) = 0 y∣∣∣∣ y

||(x, y)||∣∣∣∣ ≤ 1, independientemente de la eleccion de la distancia, ||(x, y)|| =√

x2 + y2 o ||(x, y)|| = |x| + |y|.

Ejemplo 2.2.8 En cualquier caso, que la funcion sea diferenciable no quiere decir que las derivadasparciales sean continuas en el punto.

Sea f(x, y) =

(x2 + y2) sen

1x2 + y2

, si (x, y) �= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)La funcion admite evidentemente derivadas parciales fx y fy en todos los puntos del plano distintos

del origen por derivacion formal,

fx(a, b) = 2x sen1

x2 + y2− 2x

x2 + y2cos

1x2 + y2

,

fy(a, b) = 2y sen1

x2 + y2− 2y

x2 + y2cos

1x2 + y2

.

Por otra parte,

fx(0, 0) = fy(0, 0) = limh→0

h2

hsen

1h2

= 0.


Ninguna de las funciones fx y fy es continua en el origen, a la vista del valor que toman en puntos

distintos al origen. Aunque lim(a,b)→(0,0)

2a sen1

a2 + b2= 0, el lımite lim

(a,b)→(0,0)

2a

a2 + b2cos

1a2 + b2

no ex-

iste: de una parte, lim(a,b)→(0,0)

cos1

a2 + b2no existe (oscila recorriendo todo el intervalo [−1, 1]); de otra,

lim(a,b)→(0,0)

2a

a2 + b2tampoco existe (por la direccion a = 0 vale 0, mientras que por la direccion b = 0 ni

siquiera existe, valiendo −∞ cuando a → 0− y +∞ cuando a → 0+).

Figura 2.18: La funcion derivada parcial fx(x, y) no es continua en el origen

Esto no supone un obstaculo para que la funcion sea diferenciable en el origen, puesto que existe

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) − f(0, 0) − xfx(0, 0) − yfy(0, 0)||(x, y)|| = lim

(x,y)→(0,0)

x2 + y2

||(x, y)|| sen1

x2 + y2= 0,

dado que la funcion seno esta acotada y tomando ||(x, y)|| =√

x2 + y2 es lim(x,y)→(0,0)

x2 + y2

||(x, y)|| =

lim(x,y)→(0,0)

√x2 + y2 = 0.

Figura 2.19: Pese a todo, la funcion es diferenciable en el origen

Las funciones de clase uno son las funciones diferenciables con diferencial continua, y consisten pre-cisamente en aquellas funciones que poseen todas sus derivadas parciales continuas.

Aun en el caso de funciones reales, f : D ⊆ IR → IR, las nociones de funcion diferenciable (derivable)y funcion de clase 1 (funcion con derivada continua) son distintas.

Ejemplo 2.2.9 Considerese la funcion f(x) =

{x2 sen

1x

, si x �= 00, si x = 0


Esta funcion es derivable en todo IR − {0} de manera evidente, pero tambien en el origen:

limh→0

f(0 + h) − f(0)h

= limh→0

h2 sen 1h

h= lim

h→0h sen

1h

= 0.

Ası, f ′(x) =

{2x sen

1x− cos

1x

, si x �= 0

0, si x = 0

-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

Figura 2.20: La funcion es derivable, incluso en el origen

La funcion derivada no es continua en x = 0, dado que

limx→0

(2x sen

1x− cos

1x

)= − lim

x→0cos

1x

,

que no existe (oscila recorriendo todo el intervalo [−1, 1]).

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

Figura 2.21: No existe limx→0

cos1x

En conclusion, la manera mas economica de estudiar el dominio de diferenciabilidad de una funcion dedos variables consiste en hallar los puntos en los que estan definidas ambas derivadas parciales, para dis-criminar posteriormente en cuales de ellos es continua al menos una de estas derivadas. Automaticamente,la funcion es diferenciable en estos puntos. En aquellos puntos en los que existen las derivadas parcialesy estas no son funciones continuas, hay que estudiar directamente la diferenciabilidad segun la definicion,pues carecemos de informacion (puede que la funcion sea diferenciable, puede que no).

Por otra parte, en los puntos en los que la funcion no es continua o no tiene todas las derivadasdireccionales, automaticamente tampoco es diferenciable.

Ejemplo 2.2.10 Estudiar la diferenciabilidad de la funcion dada por

f(x, y) =

x2 sen1x

+ y2 sen1y, si xy �= 0

y2 sen1y, si x = 0 e y �= 0

x2 sen1x

, si x �= 0 e y = 0

0, si (x, y) = (0, 0)


La funcion es continua en todo su dominio (el plano IR2), dado que cuando alguno de los senos noesta definido (i.e. cuando x → 0 o y → 0), aparece multiplicado por una cantidad que tiende a cero:

limt→0

t2 sen1t

= 0.

Luego, en principio, puede ser diferenciable en todo su dominio. Estudiemos las derivadas parcialesprimeras (posteriormente veremos que tiene sentido plantearse derivadas parciales de orden superior).

De un lado, fx(x, y) = 2x sen1x− cos

1x

cuando xy �= 0.

Si x = 0, entonces fx(0, y) = limh→0

h2 sen 1h + y2 sen 1

y − y2 sen 1y

h= 0.

Por otra parte, si y = 0, entonces fx(x, 0) = limh→0

(x + h)2 sen 1x+h − x2 sen 1

x

h, de modo que

fx(x, 0) = limh→0

x2(sen 1x+h − sen 1

x) + 2xh sen 1x+h + h2 sen 1

x+h

h.

Dado que sen u − sen v = 2 cosu + v

2sen

u − v

2, el lımite anterior queda

fx(x, 0) = 2x sen1x

+ limh→0

2x2(cos(1

x+h + 1x

2 ) sen(1

x+h− 1x

2 ))h

,

esto es,

fx(x, 0) = 2x sen1x

+ cos1x· lim

h→0

2x2 sen −h2x(x+h)

h

sen −h2x(x+h)

h→0∼ −h2x(x+h)

= 2x sen1x− cos

1x

En definitiva, fx(x, y) =

{2x sen

1x− cos

1x

, si x �= 00, si x = 0

Ası, fx es discontinua a lo largo de la recta x = 0, dado que no existe limx→0

fx(x, y), por no existir

limx→0

cos1x

.

Como el papel de y y de x es simetrico en la funcion f(x, y), no hay necesidad de repetir calculos, y

podemos asegurar que fy(x, y) =

2y sen

1y− cos

1y, si y �= 0

0, si y = 0Luego fy es discontinua a lo largo de la recta y = 0. En particular, fx y fy son discontinuas

simultaneamente tan solo en el punto (0, 0), de donde f(x, y) es automaticamente diferenciable en todoIR2 salvo eventualmente en el origen de coordenadas, singularidad que hemos de estudiar de maneraindependiente.

Como fx(0, 0) = 0 y fy(0, 0) = 0, para que f(x, y) sea diferenciable en (0, 0) hemos de probar

que lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) − f(0, 0)||(x, y)|| = 0. Y, en efecto, resulta que lim

(x,y)→(0,0)

x2 sen 1x + y2 sen 1

y

||(x, y)|| = 0, pues

tomando ||(x, y)|| = |x| + |y|, se tiene que

∣∣∣∣∣x2 sen 1

x + y2 sen 1y

|x| + |y| − 0

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣x2 sen 1

x

|x| + |y|∣∣∣∣+∣∣∣∣∣y2 sen 1

y

|x| + |y|

∣∣∣∣∣ ≤

≤∣∣∣∣x2 sen 1

x

|x|∣∣∣∣+∣∣∣∣∣y2 sen 1

y

|y|

∣∣∣∣∣ ≤ x2

|x| +y2

|y| = |x| + |y| (x,y)→(0,0)−→ 0

Luego la funcion tambien es diferenciable en (0, 0), luego en todo su dominio, IR2.

2.3. GRADIENTE 43

Figura 2.22: La funcion es diferenciable en IR2

2.3 Gradiente

Las derivadas parciales fx y fy de una funcion diferenciable f(x, y) desempenan un papel esencial, nosolo ya en la determinacion del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en cada punto, sino tambiena la hora de calcular derivadas direccionales y direcciones de maximo crecimiento o decrecimiento de lafuncion f(x, y). Por ello, la funcion ∇ : IR2 → IR2 que a un punto (a, b) le asocia el vector de derivadasparciales ∇f(a, b) = (fx(a, b), fy(a, b)) recibe un nombre especial, gradiente. Ası, el gradiente de lafuncion diferenciable f(x, y) en el punto (a, b) es el vector (fx(a, b), fy(a, b)).

Es importante recalcar que el gradiente de una funcion en un punto solo esta definido si la funciones diferenciable en dicho punto. La mera existencia del vector (fx(a, b), fy(a, b)) no basta para que sele otorgue el nombre de gradiente, dado que ya hemos visto que hay funciones que admiten todas lasderivadas direccionales en un punto y aun ası no son diferenciables en dicho punto. El motivo de estaparticular exigencia es que el vector (fx(a, b), fy(a, b)) verifica unas propiedades cuando la funcion esdiferenciable que de otro modo no verifica. Para poder distinguir una situacion de otra se reserva eltermino gradiente para los vectores (fx(a, b), fy(a, b)) asociados a funciones diferenciables en el punto(a, b) en cuestion.

Sea f(x, y) una funcion diferenciable. Las propiedades principales del gradiente ∇f(a, b) son:

1. La derivada direccional de f(x, y) en el punto (a, b) segun la direccion del vector u = (cos θ, sen θ)viene dada por el producto escalar ∇f(a, b) · u.

2. El maximo ritmo de cambio de f(x, y) en el punto (a, b) es |∇f(a, b)| y ocurre en la direccion del

gradiente, u =∇f(a, b)|∇f(a, b)| .

3. El ritmo de cambio mınimo de f(x, y) en el punto (a, b) es −|∇f(a, b)| y ocurre en la direccion

opuesta a la del gradiente, u = − ∇f(a, b)|∇f(a, b)| .

4. El gradiente ∇f(a, b) es ortogonal a la curva de nivel que pasa por el punto (a, b, f(a, b)),z = f(x, y)z = c

}≡ f(x, y) = c, para c = f(a, b).

En efecto:

1. La derivada direccional de f(x, y) en el punto (a, b) segun la direccion del vector u = (cos θ, sen θ)viene dada por el producto escalar ∇f(a, b) · u.

Esto es consecuencia de la regla de la cadena, a detallar posteriormente. En definitiva, estamosdiciendo que los vectores tangentes a las curvas que pasan por el punto (a, b, f(a, b)) son combina-ciones lineales de los vectores tangentes a la curva en ese punto segun las direcciones de los ejesOX y OY . Esto es evidente desde un punto de vista geometrico, desde el momento en que todoslos vectores estan situados sobre el plano tangente, y este viene dado por fx(a, b) y fy(a, b).


Ası, en las funciones diferenciables es inmediato calcular las derivadas direccionales, reduciendolasa un simple producto escalar de vectores.

Ejemplo 2.3.1 Determinar la derivada direccional de la funcion f(x, y) = x2 + y2 en el punto

(1,−1) segun la direccion u = (−35,45).

La derivada direccional viene dada por

∂f

∂u(1,−1) = lim

h→0

f(1 − 35h,−1 + 4

5h) − f(1,−1)h

= limh→0

h2 − 145 h

h= −14

5.

Mas facil hubiera sido efectuar el producto escalar

∇f(1,−1) · u = (2,−2) · (−35,45) = −14

5.

Hemos de hacer notar que la relacion∂f

∂u(a, b) = (fx(a, b), fy(a, b)) · u para toda direccion unitaria

u no es condicion suficiente para que una funcion sea diferenciable, aunque por supuesto sı esnecesaria.

Ejemplo 2.3.2 Considerar f(x, y) ={

1, si y �= x2 o (x, y) = (0, 0)0, si y = x2 y x �= 0

Se puede probar que esta funcion admite derivadas direccionales en el origen segun cualquier di-reccion unitaria u, siendo todas ellas nulas:

∂f

∂u(0, 0) = lim

h→0

f(hu1, hu2) − f(0, 0)h

= limh→0

0h

= 0,

dado que f(hu1, hu2) = f(0, 0) = 1, puesto que cualquier recta del tipo r ≡ (x, y) = (0, 0) + λ · ucorta a la parabola y = x2 en a lo sumo un punto distinto del origen, de modo que f(hu1, hu2) = 1para todo h salvo excepcionalmente un unico valor real de h.

Ası, en particular, (fx(0, 0), fy(0, 0)) · u = 0 =∂f

∂u(0, 0) para cualquier vector u. Y, sin embargo,

f(x, y) no es diferenciable en el origen, dado que ni siquiera es continua en el origen (segun latrayectoria y = x2 la funcion f(x, y) se acerca al origen tomando el valor 0, mientras que en losrestantes puntos se acerca al origen tomando el valor 1).

2. El maximo ritmo de cambio de f(x, y) en el punto (a, b) es |∇f(a, b)| y ocurre en la direccion del

gradiente, u =∇f(a, b)|∇f(a, b)| .

Debemos interpretar convenientemente el enunciado: nos referimos a la direccion en la que el valorde la funcion aumenta lo maximo posible, situados en el punto (a, b). Es decir, la direccion unitariau cuya derivada direccional en (a, b) es maxima entre todas las derivadas direccionales en dichopunto.

Como∂f

∂u(a, b) = ∇f(a, b)·u para toda direccion unitaria u, el valor de maximo cambio se producira

cuando el producto escalar ∇f(a, b) · u sea maximo. Dado que ∇f(a, b) · u = |∇f(a, b)| · |u| · cos θ,para θ el angulo que forman los dos vectores; el valor maximo se alcanzara cuando cos θ sea 1, esto

es, para θ = 0. Esto ocurre cuando u =∇f(a, b)|∇f(a, b)| , y el valor maximo coincide con |∇f(a, b)|.

Hay que saber interpretar esta relacion: el hecho de que la direccion de maximo crecimiento dela funcion f(x, y) en el punto (a, b) se produzca en el sentido del vector ∇f(a, b), no quiere decirque la funcion siempre tenga que crecer en ese sentido. En general, una vez que se llega al punto(a + ∆x, b + ∆y) la direccion de maximo crecimiento probablemente cambiara.

2.3. GRADIENTE 45

Esto tiene una clara interpretacion en el mundo real: cuando un alpinista trata de escalar una paredpor su vertiente mas abrupta, no siempre sigue la misma direccion, sino que en cada instante ha deredirigir su curso hacia la zona que en ese momento apunta la maxima pendiente.

Si uno estuviera interesado en calcular la trayectoria a seguir para disfrutar en cada instante de lapendiente maxima, habrıa de resolver una ecuacion diferencial, que no entra dentro de los objetivosdel presente curso.

Ejemplo 2.3.3 Notese que la direccion de maximo ascenso en un punto no tiene por que senalar,en general, hacia un maximo relativo o absoluto de la funcion.

Este es el caso de la funcion f(x, y) = 3x−x3−3xy2 en el punto P (0.6,−0.7), cuyo vector gradientees ∇f(P ) = (0.45, 2.52) y no apunta al maximo relativo situado en (1, 0).

Incluimos un mapa de curvas de nivel con el punto P y el gradiente de la funcion en dicho punto,ası como un campo vectorial generalizado del gradiente, con los vectores gradientes de la funcion endiversos puntos.

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

1

2

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

1

2

Figura 2.23: El gradiente no apunta al maximo local

Ejemplo 2.3.4 Supongamos que un alpinista quiere escalar una montana cuya altura z viene dadaen funcion de la posicion (x, y), z = f(x, y) = 20 − 4x2 − y2. Pretende seguir una trayectoriar(t) = (x(t), y(t)) que marque en cada instante la maxima pendiente, comenzando en el punto(2,−3).

Para que la trayectoria r(t) verifique que en cada instante la pendiente es maxima, es necesario queel vector tangente a la curva r(t) en cada instante, r′(t) = (x′(t), y′(t)), sea el correspondiente alde maximo crecimiento, ∇f(x(t), y(t)). Ası, ha de ser x′(t) = fx(x(t), y(t)) e y′(t) = fy(x(t), y(t)):

dx

dt= −8x y

dy

dt= −2y.

La solucion general de esta ecuacion diferencial viene dada por x(t) = C1e−8t e y(t) = C2e

−2t. Paraque esta curva pase por el punto (2,−3) = (x(0), y(0)) debe ser C1 = 2 y C2 = −3, de modo quela trayectoria buscada viene dada por r(t) = (2e−8t,−3e−2t). Equivalentemente, la curva, comofuncion implıcita de x e y, viene dada por la ecuacion 81x = 2y4, que se obtiene despejando t enfuncion de x e y e igualando. De hecho, por la rama negativa que define implıcitamente la ecuacion

anterior, y = −3(x

2

) 14.

3. El ritmo de cambio mınimo de f(x, y) en el punto (a, b) es −|∇f(a, b)| y ocurre en la direccion

opuesta a la del gradiente, u = − ∇f(a, b)|∇f(a, b)| .


Figura 2.24: Trayectoria de maxima pendiente hacia la cumbre

Hay que tener mucho cuidado con la forma en que se interpreta la frase “ritmo de cambio mınimo”:no significa que sea la direccion en la que la funcion permanece mas estable, con menos cambiosen sus valores; mas al contrario, significa precisamente la direccion en la que el valor de la funciondisminuye mas pronunciadamente (esto es, se hace lo mınimo posible), desde el punto (a, b). Estose traduce en encontrar la direccion unitaria cuya derivada direccional en (a, b) es mınima entretodas las derivadas direccionales en dicho punto.

Ahora, el valor de cambio mınimo se producira cuando el producto escalar ∇f(a, b) ·u = |∇f(a, b)| ·|u| · cos θ sea mınimo; esto es, para θ = π, de modo que cos θ = −1. Esto ocurre cuando u =

− ∇f(a, b)|∇f(a, b)| , y el valor mınimo coincide con −|∇f(a, b)|.

Nuevamente, la direccion de decrecimiento maximo no es constante, y puede cambiar en cada punto.Piensese, por ejemplo, en el recorrido a seguir por un esquiador intrepido en descenso libre por unamontana, que persigue tomar en todo instante la ruta mas rapida de bajada.

4. El gradiente ∇f(a, b) es ortogonal a la curva de nivel que pasa por el punto (a, b, f(a, b)),z = f(x, y)z = c

}≡ f(x, y) = c, para c = f(a, b).

En efecto, sea v el vector tangente a la curva de nivel f(x, y) = f(a, b) en el punto (a, b, f(a, b));el cual sera de la forma v = (u1, u2, 0), dado que la curva esta inmersa en el plano horizontal z =f(a, b). Como vector tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto (a, b, f(a, b)) que es, el vector ves perpendicular al vector normal n del plano tangente en dicho punto, n = (fx(a, b), fy(a, b),−1);de modo que 0 = v · n = fx(a, b)u1 + fy(a, b)u2.

De modo que la derivada direccional de la funcion en el punto (a, b) en la direccion del vectoru = (u1, u2) (que coincide en el espacio con el vector v, tangente a la curva de nivel) es nula, dadoque

∂f

∂u(a, b) = ∇f(a, b) · u = fx(a, b)u1 + fy(a, b)u2 = 0.

De donde el vector gradiente es perpendicular al vector u, luego a v; esto es, al vector tangente ala curva de nivel en (a, b, f(a, b)).

Graficamente, esto se puede comprobar en el dibujo que corresponde a la trayectoria a describir porel alpinista del ejemplo anterior.

2.4 Propiedades elementales de las funciones diferenciables

reales

En este apartado vamos a recopilar varios resultados clasicos concernientes a funciones derivables.Teorema de Rolle. Sea f(x) una funcion continua en [a, b], diferenciable en (a, b), con f(a) = f(b).

Entonces, existe c ∈ (a, b) con f ′(c) = 0.

2.4. PROPIEDADES ELEMENTALES DE LAS FUNCIONES DIFERENCIABLES REALES 47

Geometricamente, este resultado viene a decir que cualquier funcion diferenciable en un intervalo quetome en sus extremos el mismo valor, necesariamente posee una tangente horizontal en un punto interiordel intervalo.

1 2 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Figura 2.25: Este es el caso de 3 senx − 1 en [0, π]

Ejemplo 2.4.1 Sea la funcion f(x) = 3 senx − 1.

Necesariamente, esta funcion ha de tener un punto de tangencia horizontal en el intervalo (0, 3), puestoque la funcion se anula dos veces en dicho intervalo (cerca de los puntos 0.339837 y 2.80176). En estecaso, la tangencia horizontal se alcanza en el punto x =

π

2, puesto que f ′(

π

2) = 3 cos

π

2= 0.

Teorema de Lagrange (de los incrementos finitos o del Valor Medio). Sea f(x) una funcion continua

en [a, b], diferenciable en (a, b). Entonces, existe un c ∈ (a, b) de modo que f ′(c) =f(b) − f(a)

b − a.

Este resultado engloba al anterior, dado que cuando f(a) = f(b), la relacion f ′(c) =f(b) − f(a)

b − aqueda f ′(c) = 0.

Geometricamente, este resultado viene a decir que cualquier funcion diferenciable en un intervalotiene en un punto interior del intervalo una tangente paralela a la cuerda que une los extremos de dichointervalo.

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

Figura 2.26: La tangente no tiene por que ser unica

Ejemplo 2.4.2 Sea la funcion f(x) = x3, que pasa por los puntos (−1,−1), (0, 0) y (1, 1), que estanalineados en la recta y = x, de pendiente 1.

Al ser diferenciable la funcion f(x) en todo IR, debe haber un punto en cada uno de los intervalos(−1, 0) y (0, 1) donde la recta tangente a la funcion tenga por pendiente 1. En este caso, los puntos en

cuestion son x = ± 1√27

.


Ejemplo 2.4.3 A las 14:00 horas el velocımetro de un automovil indica 60km/h, mientras que diezminutos despues indica 100km/h. Demostrar que en algun instante durante esos 10 minutos el automoviltuvo una aceleracion de exactamente 240km/h2.

Asumamos que la velocidad del automovil es una funcion derivable en el transcurso de esos 10 minutos(lo cual es una realidad, si no media cambio brusco de la velocidad). Aplicando el teorema del valor medio,

se tiene que existe un instante c entre las 14:00 y las 14:10 de manera que v′(c) =100 − 60

1/6= 240km/h2,

toda vez que 10 minutos constituyen la sexta parte de una hora.

El Teorema del Valor Medio admite una facil generalizacion al caso de funciones de varias variables.Concretamente, si f : D ⊆ IR2 → IR es diferenciable en los puntos del segmento del plano de extremosa,b ∈ IR2, con a = (a1, a2) y b = (b1, b2); entonces existe un c = (c1, c2) interior en este segmento demodo que

f(b1, b2) − f(a1, a2) = fx(c1, c2)(b1 − a1) + fy(c1, c2)(b2 − a2).

La interpretacion geometrica sigue siendo igualmente valida.A continuacion tratamos una generalizacion del Teorema de Lagrange en el caso de una variable.Teorema de Cauchy (o del Valor Medio generalizado). Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas

en [a, b], derivables en (a, b). Entonces, existe c ∈ (a, b) conf ′(c)g′(c)

=f(b) − f(a)g(b) − g(a)

.

Este resultado engloba al anterior: tomando g(x) = x, se tiene que g(b) = b, g(a) = a y g′(x) = 1

para todo x; de modo que la relacionf ′(c)g′(c)

=f(b) − f(a)g(b) − g(a)

queda f ′(c) =f(b) − f(a)

b − a.

Geometricamente, este resultado se puede interpretar de la siguiente manera. Supongamos quef y g satisfacen las hipotesis del Teorema de Cauchy en el intervalo [a, b], y sea c ∈ (a, b) tal quef ′(c)g′(c)

=f(b) − f(a)g(b) − g(a)

. Consideremos la curva de IR2 cuyas ecuaciones parametricas son{

x = f(t)y = g(t) o

equivalentemente y = g(f−1(x)).El Teorema de Cauchy se traduce entonces en que esta curva tiene en un punto interior del intervalo

una recta tangente paralela a la cuerda que pasa por sus extremos.En verdad, la tangente a esta curva en el punto (f(c), g(c)) tiene por pendiente

dy

dx=

dg

dt(c) · df−1

dx(f(c)) = g′(c) · 1

f ′(c)=

g′(c)f ′(c)

.

Por tanto, la recta tangente en este punto es paralela a la cuerda que une los extremos de la curva en [a, b],(f(a), g(a)) y (f(b), g(b)); cuya pendiente viene dada por el cociente de los incrementos en la ordenada y

en la abscisa,g(b) − g(a)f(b) − f(a)

.

Todos estos resultados tienen aplicaciones que van mas alla de las meras interpretaciones geometricasque hemos apuntado anteriormente. Por ejemplo, pueden utilizarse para estudiar el crecimiento deuna funcion (signo de la derivada primera), para determinar el numero de ceros de una funcion y sumultiplicidad, o incluso para probar ciertas desigualdades entre funciones.

Ejemplo 2.4.4 Probar que | sen a| ≤ |a| para todo a ∈ IR.

De un lado, sen 0 = 0. Consideremos la funcion f(x) = senx, con f ′(x) = cosx. Para a �= 0, setiene que ha de existir un numero c real en el intervalo abierto que determinan 0 y a de modo que

f ′(c) =f(a) − f(0)

a − 0, esto es, cos c =

sen a

a. Como la funcion cosx esta acotada en valor absoluto por 1,

de la relacion anterior se desprende que∣∣∣ sena

a

∣∣∣ ≤ 1, de donde | sena| ≤ |a| tambien para a �= 0.

Regla de L’Hopital. Sean f : D ⊆ IR → IR y g :⊆ IR → IR dos funciones derivables en un entornoreducido de a (a finito o infinito), con f(a) = g(a) = 0, de modo que g′(x) �= 0 para todo x en dicho

entorno reducido. Si existe limx→a

f ′(x)g′(x)

= l finito o infinito, entonces existe limx→a

f(x)g(x)

y vale l.

2.5. JACOBIANO. REGLA DE LA CADENA. DERIVACION IMPLICITA 49

El enunciado tambien es valido si se sustituyen los lımites por lımites laterales. Recomendamos verel Apendice A acerca del calculo de lımites para una mejor comprension del uso y limitaciones de estaregla.

2.5 Jacobiano. Regla de la cadena. Derivacion implıcita

Para recoger todas las derivadas parciales de una funcion f : IRp → IRq (esto es, de sus q funciones com-ponentes, f = (f1, . . . , fq)), se suele utilizar una representacion matricial, denominada matriz jacobianade la funcion, de modo que

J(f(a)) =

∂f1

∂x1(a) · · · ∂f1

∂xp(a)

......

∂fq

∂x1(a) · · · ∂fq

∂xp(a)

El determinante de esta matriz se denomina jacobiano de la funcion.

Ejemplo 2.5.1 Sea la funcion f : IR3 → IR2 definida como

f(x, y, z) = (sen(x2 + y2), cos(xyz)).

Las funciones componentes son f1(x, y, z) = sen(x2 + y2) y f2(x, y, z) = cos(xyz), y sus derivadas

parciales son∂f1

∂x= 2x cos(x2 + y2),

∂f1

∂y= 2y cos(x2 + y2),

∂f1

∂z= 0,

∂f2

∂x= −yz sen(xyz),

∂f2

∂y=

−xz sen(xyz),∂f2

∂z= −xy sen(xyz). De modo que la matriz jacobiana viene dada por

J(f) =(

2x cos(x2 + y2) 2y cos(x2 + y2) 0−yz sen(xyz) −xz sen(xyz) −xy sen(xyz)

)

A veces, una funcion viene expresada mediante la composicion de otras. Este es el caso, por ejemplo,de los cambios de variables. En estas situaciones, a la hora de determinar las diferenciales de las funcionesimplicadas, es util recurrir a la regla de la cadena, que relaciona las derivadas parciales de las funcionesque se componen. Esta relacion es facil de describir en terminos de matrices jacobianas: en general,si h resulta de la composicion de las funciones f y g, h = g ◦ f , y denotamos y = f(x), entoncesJ(g ◦ f)(x) = J(g(y)) · J(f(x)).

A continuacion vamos a incidir en los casos mas relevantes.El caso de la composicion de funciones reales de variable real es bien conocido: dadas dos funciones

f, g : IR → IR que admiten ser compuestas en la forma g ◦ f , derivables en a y f(a), respectivamente; setiene que g ◦ f es derivable en a, siendo (g ◦ f)′(a) = g′(f(a)) · f ′(a).

Ejemplo 2.5.2 Sea f(x) = lnx y g(t) = sen t. Determinar (f ◦ g)′(t).

Se tiene que la derivada de h(t) = ln sen t es h′(t) = f ′(sen t) · g′(t) = cotg t.

Ejemplo 2.5.3 Analizar la influencia del cambio de radianes a grados en la funcion seno, f(x) = sen x.

La relacion de cambio de grados a radianes viene dada por la funcion g(t) =π

180t, de modo que t

grados sonπ

180radianes. Ası, la derivada del seno en grados viene dada por (f ◦ g)′(t) = f ′(g(t)) · g′(t) =

π

180cos

πt

180, ¡¡que no es exactamente igual al coseno de los grados de entrada, sino a un multiplo escalar

suyo!!

Ejemplo 2.5.4 Conforme el Sol se esconde tras un edificio de 40 metros de altura, crece la sombra queel mismo proyecta. ¿Cuan rapido crece la sombra (en metros por segundo) si los rayos del Sol forman unangulo de

π

4radianes con respecto la horizontal?


-200 -100 100 200

-1

-0.5

0.5

1

y = cosπt

180

y = senπt

180

y =πt

180cos

πt

180

Figura 2.27: El cambio de unidad influye en la funcion derivada

40�m�

q�

x�

Figura 2.28: ¿Como variara la sombra que proyecta el edificio?

Sea x la longitud de la sombra, en metros, que depende del angulo θ que forman los rayos del Solcon respecto la horizontal, el cual a su vez varıa en funcion del tiempo t transcurrido (que medimos ensegundos). El problema pide hallar la tasa de cambio de x respecto de t, Dtx. Dado que x es funcionde θ (x = 40 cotg θ), y θ lo es de t (la Tierra da una vuelta cada 24 horas, esto es, cada 86400 segundos,

a velocidad constante; de donde con una velocidad de Dtθ = − 2π

86400radianes por segundo, con signo

negativo puesto que el angulo θ disminuye conforme el Sol se oculta), se trata de aplicar la regla de lacadena:

Dtx = Dθx · Dtθ = 40(− cosec2 θ)(− 2π

86400

)=

π

360cosec2 θ

Cuando θ =π

4, tenemos que

Dtx =π

360cosec2 π

4≈ 0.0175m/s,

velocidad que consecuentemente ha de ser positiva, toda vez que la sombra crece al ocultarse el Sol (estoes, con el transcurrir de la puesta del Sol).

Ejemplo 2.5.5 Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferiorse resbala y aleja de la pared a una velocidad de 1 pie por segundo, ¿con que velocidad se desliza el extremosuperior por el muro cuando el extremo inferior esta a seis pies de la pared?

Sean x los pies que separan por el suelo el extremo inferior de la escalera con el muro, e y los pies queseparan por la vertical del muro el extremo superior de la escalera con el suelo. Ambas magnitudes sonfunciones del tiempo t, y satisfacen en todo instante x2 + y2 = 100 (segun el teorema de Pitagoras).

Ademas,dx

dt= 1pie/s. Dado que

d(100)dt

= 0, se tiene que 2xdx

dt= −2y

dy

dt, de donde

dy

dt|x=6 =

−x

y

dx

dt|x=6 = −6

8= −3

4pies/s.


En el caso de funciones f : IR2 → IR y g : IR → IR que se puedan componer (esto es, tales queIm(f) ⊆Dom(g), de modo que tiene sentido la expresion g(t) para t = f(x, y)), con f diferenciable en unpunto (a, b) y g diferenciable en c = f(a, b), se tiene que h = g ◦ f : IR2 → IR es diferenciable en (a, b),siendo

∂h

∂x(a, b) =

dg

dt(c) · ∂f

∂x(a, b) y

∂h

∂y(a, b) =

dg

dt(c) · ∂f

∂y(a, b);

es decir, hx(a, b) = g′(c) · fx(a, b) y hy(a, b) = g′(c) · fy(a, b).

Ejemplo 2.5.6 La superficie sinusoidal del tipo sen(x2 +y2) se puede recorrer a distinta velocidad, comoresultado de la composicion de f(x, y) = x2 + y2 con funciones gλ(t) = sen(λt).

Ası, las derivadas de las funciones gλ ◦ f son

(gλ ◦ f)x(a, b) = g′λ(f(a, b)) · fx(a, b) y (gλ ◦ f)y(a, b) = g′λ(f(a, b)) · fy(a, b);

esto es, (gλ ◦ f)x(a, b) = 2λx cos(λx2 + λy2) y (gλ ◦ f)y(a, b) = 2λy cos(λx2 + λy2).Graficamente, podemos observar como afectan los distintos valores del parametro (para λ = 1, 2, 3) a

la velocidad con que se recorre la superficie, tal como se analizara en los Ejemplos 2.1.4 y 2.5.3 para elcaso de funciones de una variable.

y = sen(x2 + y2)

Figura 2.29: Superficie segun el periodo natural


y = sen(2x2 + 2y2)

Figura 2.30: Superficie modificada por un factor de 2

y = sen(3x2 + 3y2)

Figura 2.31: Superficie modificada por un factor de 3

Analogamente, para funciones f : IR2 → IR2 y g : IR2 → IR que se puedan componer, con f(x, y) =(s(x, y), t(x, y)) diferenciable en un punto (a, b) y g(s, t) diferenciable en (c, d) = f(a, b), se tiene queh = g ◦ f : IR2 → IR es diferenciable en (a, b), siendo

∂h

∂x(a, b) =

∂g

∂s(c, d) · ∂s

∂x(a, b) +

∂g

∂t(c, d) · ∂t

∂x(a, b)

y∂h

∂y(a, b) =

∂g

∂s(c, d) · ∂s

∂y(a, b) +

∂g

∂t(c, d) · ∂t

∂y(a, b).

Es decir,hx(a, b) = gs(c, d) · sx(a, b) + gt(c, d) · tx(a, b),

hy(a, b) = gs(c, d) · sy(a, b) + gt(c, d) · ty(a, b).

Ejemplo 2.5.7 Considerar el cambio a coordenadas polares, f : IR2 → IR2, de modo que f : (r, θ) �→(x, y) = (r cos θ, r sen θ).


��

�y

x

r

θ

Figura 2.32: Relacion grafica entre las coordenadas cartesianas y polares

Ası, cualquier superficie z = g(x, y) admite una expresion en coordenadas polares z = h(r, θ) =(g ◦ f)(r, θ); de modo que en un punto (a, b), con (c, d) = f(a, b), se tiene que hr(a, b) = gx(c, d) ·xr(a, b)+gy(c, d) ·yr(a, b), mientras que por su parte hθ(a, b) = gx(c, d) ·xθ(a, b)+gy(c, d) ·yθ(a, b); siendoxr(a, b) = cos b, yr(a, b) = sen b, xθ(a, b) = −a sen b e yθ(a, b) = a cos b.

No es difıcil extender la regla de la cadena para la composicion de funciones del tipo IRp → IRq → IRr:basta trabajar componente a componente. La expresion general de la regla de la cadena se puede enunciarcomo sigue.

Sean f : IRp → IRq y g : IRq → IRr funciones susceptibles de ser compuestas, siendo f = (f1, . . . , fq)las funciones componentes de f , de modo que y = f(x) = (y1, . . . , yq), con yj = fj(x1, . . . , xp).

Supongamos que f es diferenciable en x y que g es diferenciable en y = f(x). Entonces, (g ◦ f) =((g ◦ f)1, . . . , (g ◦ f)r) es diferenciable en x, siendo

∂(g ◦ f)j

∂xi(x) =

∂gj

∂y1(y) · ∂f1

∂xi(x) + · · · + ∂gj

∂yq(y) · ∂fq

∂xi(x), 1 ≤ j ≤ r, 1 ≤ i ≤ p.

En definitiva, como avanzaramos con anterioridad, J(g ◦ f) = Jg · Jf .

Ejemplo 2.5.8 Calcular la derivada a lo largo de la curva que define la superficie z = f(x, y) = 6−x2−y2

en el punto (1, 2, 1) segun la direccion del vector unitario u = (1√2,

1√2).

La curva en cuestion queda definida como la composicion de la funcion f(x, y) con la funcion g : IR →IR2 dada por g(t) = (1, 2) + tu = (1 +

t√2, 2 +

t√2). Ası, la derivada de la funcion f ◦ g es

(f ◦ g)′(t) = fx(1 +t√2, 2 +

t√2) · dx(t)

dt+ fy(1 +

t√2, 2 +

t√2) · dy(t)

dt=

=1√2· fx(1 +

t√2, 2 +

t√2) +

1√2· fy(1 +

t√2, 2 +

t√2).

Notese que el resultado obtenido coincide, por definicion, con la derivada direccional de f(x, y) segun ladireccion u a lo largo de la curva senalada.

Ejemplo 2.5.9 El ejemplo anterior no es mas que un caso particular de la primera propiedad del gradi-

ente de una funcion diferenciable f : IR2 → IR, de modo que ∇f(a, b) · u =∂f

∂u(a, b).

En efecto, dada una funcion f : IR2 → IR diferenciable en un punto (a, b) y un vector horizontal unitariou = (u1, u2), consideremos la funcion g : IR → IR2 que a t asocia g(t) = (g1(t), g2(t)) = (a + tu1, b + tu2);y la composicion h = f ◦g : IR → IR, t �→ h(t) = f(a+ tu1, b+ tu2). Por definicion, la derivada direccionalde f en (a, b) segun la direccion u consiste en la derivada de la curva h(t) en t = 0.

Segun la regla de la cadena, se tiene que

dh

dt(0) =

∂f

∂x(a, b) · dg1

dt(0) +

∂f

∂y(a, b) · dg2

dt(0) = ∇f(a, b) · u.


Una ultima aplicacion de la regla de la cadena es la derivacion de funciones definidas de maneraimplıcita.

Supongamos que F (x, y) = 0 define implıcitamente y como funcion de x, en la forma y = f(x); demodo que F (x, y(x)) = 0.

Consideremos la funcion auxiliar h : IR → IR, que a t asocia h(t) = F (t, f(t)). Segun la regla de la

cadena,dh

dt=

∂F

∂x· ∂t

∂t+

∂F

∂y· ∂f(t)

∂t. Como h(t) = F (t, f(t)) = 0 para todo t, se tiene que

dh

dt= 0, de

donde f ′(t) = −Fx

Fy, y hemos encontrado la derivada de y respecto de x sin necesidad de conocer una

formula explıcita para f(x).De hecho, dada F : IR2 → IR, se tiene que si Fx y Fy son continuas en (a, b), F (a, b) = 0 y Fy(a, b) �= 0;

entonces se puede asegurar que F (x, y) = 0 define implıcitamente a y como funcion de x en un entorno

de (a, b), siendo en este caso, como acabamos de ver, y′(x) = −Fx

Fy.

Ejemplo 2.5.10 Sea la funcion F (x, y) = x2 + y2 − 4 y el punto (a, b) = (0, 2).

Resulta que F (0, 2) = 0, Fx = 2x y Fy = 2y son continuas en todo IR2 (en particular en el punto(0, 2)) y Fy(0, 2) = 4 �= 0, de modo que y queda definida como funcion de x, y = f(x), en un entorno del

punto (0, 2); ademas, f ′(x) = −Fx

Fy= −x

y.

De hecho, nosotros sabemos que en un entorno del punto (0, 2), la funcion F (x, y) = 0 define a y comofuncion de x en la forma y = f(x) =

√4 − x2. En verdad, f ′(x) = − x√

4 − x2= − x

f(x)= −x

y.

Sin embargo, sabemos que F (x, y) = 0 no es una funcion: define una circunferencia de centro el origeny radio 2, cuya grafica se corresponde con dos funciones distintas y1 =

√4 − x2 e y2 = −√

4 − x2. Estasdos funciones tienen dos puntos en comun, a saber, (±2, 0). En un entorno de estos puntos, y no puededefinirse como funcion de x de manera unıvoca en la curva F (x, y) = 0, puesto que a un punto x ∈ [−2, 2]le corresponderıan dos alturas distintas, y = ±√

4 − x2. Son los dos unicos puntos de la curva F (x, y) = 0que verifican esta propiedad.

El motivo no es otro que Fy(a, b) = 0 si, y solo si, y = 0, y los dos unicos puntos de la curva F (x, y) = 0que tienen ordenada nula son precisamente (±2, 0).

Ejemplo 2.5.11 Sea la funcion implıcita dada por x3 + y3 = 6xy.

1. Determinar la derivada de y.

2. Hallar la recta tangente a la curva en el punto (3, 3).

3. Hallar los puntos de la curva en los que la recta tangente es horizontal o vertical.

Figura 2.33: La ecuacion x3 + y3 = 6xy define una curva, que no una funcion


0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-5

-4

-3

-2

-1

-4 -3 -2 -1 1 2 3

0.5

1

1.5

2

Figura 2.34: Estas tres ramas sı constituyen otras tantas funciones por sı mismas

Aunque se conocen formulas explıcitas para estas tres funciones, son de una extrema complejidadcomo para incluirlas en estas lıneas. No obstante, es posible determinar una funcion derivada para y(x),

procediendo de manera implıcita con F (x, y) = x3 + y3 − 6xy: y′(x) = −Fx

Fy= −3x2 − 6y

3y2 − 6x= −x2 − 2y

y2 − 2x.

De este modo, en el punto (3, 3) se tiene que y′(3) = −1, de donde la recta tangente a la curva endicho punto viene dada por y−3 = −(x−3) ≡ x+ y = 6, como se puede comprobar en la grafica adjuntaen la Figura 2.35.

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

Figura 2.35: Tangente a la curva en x = 3

Por otra parte, las rectas tangentes horizontales se obtienen para y′ = 0, esto es, y =x2

2, de donde

x2 +x6

8= 3x3 ≡ x6 = 16x3 y es x = 0 o x = 2 3

√2, que dan origen a los puntos (0, 0) y (2 3

√2, 2 3

√4).

Dado que la funcion dada es simetrica respecto de las variables x e y (esto es, respecto de la bisectrizdel primer cuadrante, x = y), las tangentes verticales se encuentran en los simetricos respecto de y = xde las tangentes horizontales, a saber, (0, 0) y (2 3

√4, 2 3

√2). Notese que en el origen hay dos tangentes

distintas, dependiendo de la funcion que se tome.

Este comportamiento se puede extender para funciones de cualesquiera numero de variables definidasde manera implıcita. Por ejemplo, supongamos que F (x, y, z) = 0 define z como funcion implıcita de x ey, en la forma z = f(x, y). Consideremos la funcion h(x, y) = F (x, y, f(x, y)), que es constante igual a 0.

Segun la regla de la cadena,

0 = hx = Fx · 1 + Fy · 0 + Fz · ∂f

∂xy 0 = hy = Fy · 0 + Fy · 1 + Fz · ∂f

∂y;

de modo que∂z

∂x=

∂f

∂x= −Fx

Fzy

∂z

∂y=

∂f

∂y= −Fy

Fz.


Mas aun, dada F : IR3 → IR, se tiene que si Fx, Fy y Fz son continuas en (a, b, c), F (a, b, c) = 0 yFz(a, b, c) �= 0; entonces se puede asegurar que F (x, y, z) = 0 define implıcitamente a z como funcion de

x e y en un entorno de (a, b, c); siendo en este caso, como acabamos de ver, zx = −Fx

Fzy zy = −Fy

Fz.

2.6 Derivadas y diferenciales de orden superior

Dado que las derivadas parciales de una funcion son en sı mismas funciones en las mismas variables que lafuncion primigenia, tiene sentido plantearse a su vez su diferenciabilidad o derivabilidad respecto algunadireccion. Ası, surgen de manera natural los conceptos de derivadas y diferenciales de orden superior.

Utilizaremos la notacion fxy =∂f

∂x∂ypara denotar la derivada parcial (fx)y, esto es, de fx respecto

de y. Esta definicion se puede generalizar al caso de derivadas parciales de mayor orden; por ejemplo,

fx2y =∂f

∂x2∂yhace referencia a ((fx)x)y, derivada parcial respecto de y de la derivada parcial respecto

de x de la derivada parcial de f respecto de x.

En general, fxt1i1

...xtnin

hara referencia a∂f

∂xi1

t1· · · ∂xi1 · · · ∂xin

tn· · · ∂xin

.

Hay que tener cuidado con el orden en que se escriben los subındices, puesto que influye en el ordenen que se toman las derivadas parciales.

Ejemplo 2.6.1 Sea f(x, y) =

{x2 arctg

y

x− y2 arctg

x

y, si xy �= 0

0, si xy = 0

Esta funcion es claramente continua en todo su domino de definicion, puesto que cuando x → 0 oy → 0 el arcotangente que puede originar discontinuidad aparece multiplicado por una funcion que tiendea cero, y arctg t es una funcion acotada, de recorrido el intervalo

[−π

2,π

2

).

Mas aun, fx =

2x arctgy

x− yx2

x2 + y2− y3

y2 + x2= −y + 2x arctg

y

x, si xy �= 0

−y, si x = 00, si y = 0

y fy =

−2y arctgx

y+

xy2

y2 + x2+

x3

y2 + x2= x − 2y arctg

x

y, si xy �= 0

0, si x = 0x, si y = 0Ambas son continuas en todo IR2, de donde f(x, y) es diferenciable de clase 1.Aquı hemos utilizado que

fx(0, y) = limh→0

f(h, y) − f(0, y)h

= limh→0

h2 arctg yh − y2 arctg h

y

h= −y,

dado que limh→0

h arctgy

h= 0 y lim

h→0−y2

arctg hy

h

L′H= limh→0

−y2

y·

1

1+ h2

y2

1= −y.

Analogamente se prueba que fy(x, 0) = x. Los casos fx(x, 0) = 0 y fy(0, y) = 0 son inmediatos.Si calculamos ahora las derivadas cruzadas en el origen, se tiene que

fxy(0, 0) = limh→0

fx(0, h) − fx(0, 0)h

= − limh→0

h

h= −1

mientras que

fyx(0, 0) = limh→0

fy(h, 0) − fy(0, 0)h

= limh→0

h

h= 1.

De modo que fyx(0, 0) �= fxy(0, 0).Luego las derivadas cruzadas no siempre coinciden.

2.6. DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 57

De cualquier modo, en la mayorıa de los casos el orden en que se tomen las derivadas parciales esirrelevante, en tanto en cuanto las derivadas cruzadas (derivadas parciales con el mismo conjunto desubındices, eventualmente ordenados de manera distinta) coinciden casi siempre. El Teorema de Schwarzda entidad a este “casi siempre”.

Teorema de Schwarz. Sea f : D ⊆ IR2 → IR tal que existen fx(a, b), fy(a, b) y fxy(a, b), siendo fxy

continua en (a, b). Entonces, existe fyx(a, b) y coincide con fxy(a, b).Lo que ocurrıa en el Ejemplo 2.6.1 anterior es que ninguna de las derivadas cruzadas fxy y fyx era

continua en el origen. De hecho, para xy �= 0 se tiene que

fxy(x, y) = fyx(x, y) =x2 − y2

x2 + y2,

funcion que efectivamente no es continua en el origen (para trayectorias del tipo y = mx se tiene que ellımite cuando x → 0 es 1−m2

1+m2 ).En cualquier caso, la condicion que da Schwarz es suficiente, pero no necesaria.

Ejemplo 2.6.2 Considerese la funcion f(x, y) =

xy2 sen

1y, si y �= 0

0, si y = 0

De un lado, para y �= 0, es fx(x, y) = y2 sen1y; mientras que para y = 0, es fx(x, 0) = 0.

De otro, para y �= 0, es fy(x, y) = 2xy sen1yx − x cos

1y; mientras que para y = 0, es fy(x, 0) =

limh→0

xh sen1h

= 0.

En estas circunstancias, fxy(0, 0) = limh→0

fx(0, h) − fx(0, 0)h

= limh→0

h sen1h

= 0.

Mas aun, fyx(0, 0) = limh→0

fy(h, 0) − fy(0, 0)h

= limh→0

0 = 0.

Sin embargo, a pesar de que fxy(0, 0) = fyx(0, 0), ninguna de estas derivadas cruzadas es continua enel origen, dado que para y �= 0 es

fxy(x, y) = fyx(x, y) = 2y sen1y− cos

1y,

que no tiene lımite cuando (x, y) → (0, 0): aunque existe el unidimensional cuando x → 0, no existe el

reiterado cuando y → 0 del lımite cuando x → 0, puesto que no existe limy→0

cos1y

(oscila recorriendo todo

el intervalo [−1, 1]).

Es evidente que el estudio que aquı hemos concretado para derivadas cruzadas de segundo orden sepuede extender para derivadas cruzadas de cualquier orden n ≥ 2. Una condicion suficiente para queestas derivadas cruzadas coincidan es que la funcion sea de clase n, esto es, que admita todas las derivadashasta orden n, todas ellas siendo funciones continuas.

Por ultimo, abordemos la nocion de diferencial de orden superior. La idea es anadir terminos a ladiferencial usual de manera que la aproximacion de la funcion mejore.

La definicion que aquı hemos contemplado de funcion diferenciable era la siguiente: una funcionf(x, y) era diferenciable en (a, b) cuando

lim(x,y)→(0,0)

f(a + x, b + y) − f(a, b) − fx(a, b) · x − fy(a, b) · y||(x, y)|| = 0.

En este caso, se dice que la diferencial de la funcion f(x, y) en el punto (a, b) es la funcion df(a, b) : IR2 →IR que a (dx, dy) le asocia

df(a, b)(dx, dy) = fx(a, b)dx + fy(a, b)dy.

En general, para funciones f : IRp → IRq, si la funcion es diferenciable en un punto a = (a1, . . . , ap),entonces se dice que la diferencial de f en a es la funcion df(a) : IRp → IRq que a (dx1, . . . , dxp) le asocia


J(f(a)) · (dx1, . . . , dxp)T . Esto no es mas que el resultado de aglutinar las diferenciales de las q funcionescomponentes de f = (f1, . . . , fq).

Resulta que, como funcion, la diferencial df admite ser derivable o diferenciable, de modo que se abreun estudio recursivo. Si df es diferenciable, entonces se dice que f es doblemente diferenciable, y se hablade diferencial segunda d2f . Analogamente, diferencial tercera, d3f , o diferencial de orden n, dnf .

Se tiene que las funciones f : IRp → IRq de clase n en un punto a admiten hasta diferencial de ordenn, siendo dnf(a) : IRp → IRq la funcion dada por

(dx1, . . . , dxp) �→p∑

i1,...,in=1

fi1...in(a)dxi1 · · · dxin .

Utilizando la notacion de potencia simbolica, se suele notar

dnf(a)(dx1, . . . , dxn) = (fx1(a)dx1 + · · · + fxp(a)dxp)(n);

en particular, para f : IR2 → IRq, se tiene que

dnf(a)(dx, dy) =n∑

i=1

(ni

)fxiyn−i(a)dxidyn−i.

En la practica, es conveniente desglosar f en sus q funciones componentes fi de modo que dnf =(dnf1, . . . , d

nfq), y se determinan las diferenciales de funciones IRp → IR.

Ejemplo 2.6.3 Sea la funcion f : IR2 → IR2 dada por

f(x, y) = (e−x+2y, (x + 2)2 sen y).

Es evidente que la funcion admite derivadas parciales continuas de cualquier orden (se trata de derivarexponenciales, polinomios, senos y cosenos, todas ellas funciones derivables indefinidamente), de modoque es de clase infinito (y las derivadas cruzadas coinciden).

Las derivadas parciales hasta orden 3 son las siguientes (en la lista que sigue, aparece un representantede cada derivada cruzada, puesto que todas ellas coinciden):

• fx(x, y) = (−e−x+2y, 2(x + 2) sen y),fy(x, y) = (2e−x+2y, (x + 2)2 cos y).

• fx2(x, y) = (e−x+2y, 2 sen y),fxy(x, y) = (−2e−x+2y, 2(x + 2) cos y),fy2(x, y) = (4e−x+2y,−(x + 2)2 sen y).

• fx3(x, y) = (−e−x+2y, 0),fx2y(x, y) = (2e−x+2y, 2 cos y),fxy2(x, y) = (−4e−x+2y,−2(x + 2) sen y),fy3(x, y) = (8e−x+2y,−(x + 2)2 cos y).

Ası, en el origen queda fx(0, 0) = (−1, 0), fy(0, 0) = (2, 4), fx2(0, 0) = (1, 0), fxy(0, 0) = (−2, 4),fy2(0, 0) = (4, 0), fx3(0, 0) = (−1, 0), fx2y(0, 0) = (2, 2), fxy2(0, 0) = (−4, 0) y fy3(0, 0) = (8, 4).

Ası, las diferenciales primera, segunda y tercera de f en (0, 0) son las siguientes aplicaciones:

• df(0, 0) : IR2 → IR2, que a (dx, dy) le asocia df(0, 0)(dx, dy) =

= fx(0, 0)dx + fy(0, 0)dy =( −dx

0

)+(

2dy4dy

)=( −dx + 2dy

4dy

)

Equivalentemente, df(0, 0)(dx, dy) = Jf(0, 0) ·(

dxdy

), esto es,

(dxdy

)�→ (fx(0, 0) fy(0, 0)) ·

(dxdy

)=( −1 2

0 4

)·(

dxdy

)=( −dx + 2dy

4dy

)

2.6. DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 59

• d2f(0, 0) : IR2 → IR2, que a (dx, dy) le asocia d2f(0, 0)(dx, dy) =

= fx2(0, 0)dx2 + 2fxy(0, 0)dxdy + fy2dy2 =

=(

dx2

0

)+( −4dxdy

8dxdy

)+(

4dy2

0

)=(

dx2 − 4dxdy + 4dy2

8dxdy

)

• d3f(0, 0) : IR2 → IR2, que a (dx, dy) le asocia d3f(0, 0)(dx, dy) =

= fx3(0, 0)dx3 + 3fx2y(0, 0)dx2dy + 3fxy2(0, 0)dxdy2 + fy3dy3 =

=( −dx3

0

)+(

6dx2dy6dx2dy

)+( −12dxdy2

0

)+(

8dy3

4dy3

)=

=( −dx3 + 6dx2dy − 12dxdy2 + 8dy2

6dx2dy + 4dy3

)

Las diferenciales sucesivas dan una manera de mejorar la aproximacion de una funcion, anadiendo altermino lineal (df · dx), terminos cuadraticos (d2f · dxi1dxi2 ), terminos cubicos (d3f · dxi1dxi2dxi3 ) y asısucesivamente, hasta llegar a terminos de grado n (dnf · dxi1 · · · dxin). Este resultado se conoce comoTeorema de Taylor, y tiene innumerables aplicaciones.

En el capıtulo que se abre a continuacion, trataremos primero la aproximacion local de Taylor parafunciones de una variable, para despues extender el estudio al caso de funciones de varias variables.

Captulo 3

Aproximacion de funciones porpolinomios

3.1 Formula de Taylor para funciones de una variable

Como de todos es conocido, los polinomios son funciones muy faciles de estudiar -por ejemplo, son facilesde evaluar, de derivar, integrar, etc-. Por este motivo a lo largo de la historia ha sido grande el interespor tratar de “aproximar” algunas funciones por polinomios.

Supongamos por ejemplo que queremos obtener el valor aproximado de 10√

e = e0.1. Es decir tratamosde obtener el valor aproximado de la funcion f(x) = ex, en el punto x = 0.1, cercano al punto x = 0.Para ello trataremos de encontrar polinomios cuyo comportamiento, en las proximidades del origen, seasimilar a f(x) = ex. La Figura 3.1 muestra una representacion grafica de las funciones f(x) = ex y los

polinomios P0(x) = 1, P1(x) = 1 + x, P2(x) = 1 + x + x2

2 y P3(x) = 1 + x + x2

2 + x3

6 .

X�

Y�

y=1�

y=1+x�

y=1+x+x�2�/2�

y=e�x�

y=1+x+x�2�/2+x�3�/6�

Figura 3.1: La funcion f(x) = ex aproximada por polinomios.

El polinomio P0(x) = 1 esta representado por una recta horizontal que pasa por el punto P (0, 1), porlo tanto el polinomio P0(x) toma en x = 0 el mismo valor que la funcion y = f(x) y decimos que ambasfunciones tienen un contacto de orden 0 en el punto P (0, 1).

El polinomio P1(x) = 1 + x representa la recta tangente a la funcion en dicho punto y por tanto en elpunto P (0, 1) coinciden, ademas de los valores de las funciones f(x) y P1(x), los valores de sus derivadas.Por este motivo decimos que ambas funciones tienen en el punto P (0, 1) un contacto de orden 1.

El polinomio P2(x) = 1 + x + x2

2 representa una parabola que pasa tambien por dicho punto P (0, 1).Esta funcion P2(x) tiene, en el punto P (0, 1) el mismo valor que f(x), coincidiendo tambien sus dos

61

62 CAPTULO 3. APROXIMACION DE FUNCIONES POR POLINOMIOS

primeras derivadas con las de la funcion f(x) en dicho punto. Se trata entonces de un contacto de orden2.

Por el mismo motivo diremos que el polinomio P3(x) y la funcion f(x) tienen un contacto de orden 3en el punto P (0, 1).

Estos polinomios se conocen con el nombre de polinomios de Taylor de la funcion y = ex en el puntoP.

De una forma general, si una funcion es suficientemente regular en un punto a, en tanto en cuantoadmite varias derivadas sucesivas en el punto, se la va a poder aproximar en un entorno suficientementepequeno del punto mediante polinomios expresados en potencias de (x−a), llamados polinomios de Tayloro desarrollos limitados de Taylor, de manera que cuando aumenta el grado mejora la aproximacion.

Concretamente, si f(x) es una funcion n + 1 veces derivable en un entorno del punto a ∈ IR (osimplemente n + 2 veces derivable en el punto a), se llama polinomio de Taylor, o desarrollo limitado deTaylor, de orden n de f(x) en x = a y lo representaremos por Tn(f, a)(x) al unico polinomio Pn(x) degrado menor o igual que n, que verifica:

Pn(a) = f(a), P ′n(a) = f ′(a), P ′′

n (a) = f ′′(a), . . . , P (n)n (a) = f (n)(a)

1 Este polinomio viene dado por la expresion

Tn(f, a)(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)2!

(x − a)2 +f ′′′(a)

3!(x − a)3 + · · · + f (n)(a)

n!(x − a)n

Cuando no haya lugar a confusion lo denotaremos por Tn(x), en lugar de Tn(f, a)(x).En el caso particular en que el punto en cuestion sea el origen x = 0, el polinomio de Taylor recibe el

nombre de polinomio de MacLaurin. Por lo tanto el polinomio de MacLaurin de orden n de una funcionf(x) sera:

Tn(f, 0)(x) = f(0) +f ′(0)

1!x +

f ′′(0)2!

x2 +f ′′′(0)

3!x3 + · · · + f (n)(0)

n!xn

Ejemplo 3.1.1 Dada la funcion f(x) = ex, obtener su polinomio de Taylor de tercer grado en x = 0.

Las derivadas de la funcion f(x) = ex, ası como sus valores en el origen son:

f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex f(0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1

Por lo tanto el polinomio de Taylor pedido sera

T3(f, 0)(x) = 1 + x +x2

2!+

x3

3!= 1 + x +

x2

2+

x3

3

Dada una funcion f(x), su polinomio de Taylor en un punto a aproxima entonces a la funcion en lasproximidades de dicho punto. De hecho cuanto mayor es el grado del polinomio, mayor es el grado deaproximacion. Este hecho queda de manifiesto en el siguiente teorema:

Teorema. Dada una funcion f(x), n + 1 veces derivable en un entorno del punto x = a, y seaTn(f, a)(x) su polinomio de Taylor de orden n, entonces

limx→a

f(x) − Tn(f, a)(x)(x − a)n = 0

Este resultado nos permite afirmar que f(x) − Tn(f, a)(x) es un infinitesimo de orden al menosn + 1, en el punto a, es decir f(x) − Tn(f, a)(x) = O((x − a)n+1).

Por lo tanto podemos afirmar que el polinomio de Taylor aproxima a la funcion, en un entorno def(x), y cuanto mas pequeno es el entorno, mejor es la aproximacion:

f(x) ≈ f(a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)2!

(x − a)2 +f ′′′(a)

3!(x − a)3 + · · · + f (n)(a)

n!(x − a)n

1La existencia y unicidad del polinomio de Taylor de una funcion en un punto constituyen el Teorema de Taylor.

3.1. FORMULA DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE UNA VARIABLE 63

Si tomamos como valor de f(x) el valor dado por su polinomio de Taylor verdaderamente estamosobteniendo una aproximacion del valor verdadero de la funcion. El error cometido por dicha aproximacion,que tambien dependera de x, se conoce con el nombre de resto de Taylor de orden n de f(x) en x = a:

Rn(f, a)(x) = f(x) − Tn(f, a)(x)

Logicamente no existe una expresion elemental para este resto, independientemente de la funcionconsiderada. No obstante existen algunas expresiones que nos permitiran acotar este resto y por tantotener algun control sobre el error cometido cuando utilizamos polinomios de Taylor para aproximarfunciones. Una vez consideradas estas expresiones, la formula que permite expresar, de forma “exacta”,el valor de f(x) en funcion de su polinomio de Taylor con el correspondiente resto, recibe el nombre deformula de Taylor de la funcion:

f(x) = Tn(f, a)(x) + Rn(f, a)(x) =

= f(a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)2!

(x − a)2 + · · · + f (n)(a)n!

(x − a)n + Rn(f, a)(x)

o de una forma mas escueta (si no existiera ambiguedad)

f(x) = Tn(x) + Rn(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)2!

(x − a)2 + · · · + f (n)(a)n!

(x − a)n + Rn(x)

Una expresion del resto, llamada forma infinitesimal del resto, viene dada por el teorema previamentedemostrado: Rn(x) = O((x − a)n+1). Entonces

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)2!

(x − a)2 + · · · + f (n)(a)n!

(x − a)n + O((x − a)n+1)

Ejemplo 3.1.2 Los desarrollos de Mac Laurin mas usuales son:

a) Para x ∈ IR, ex = 1 + x + x2

2! + x3

3! + · · · + xn

n! + O(xn+1).

b) Para x ∈ IR, senx = x − x3

3! + x5

5! + · · · + (−1)n x2n+1

(2n + 1)! + O(x2n+2).

c) Para x ∈ IR, cosx = 1 − x2

2! + x4

4! + · · · + (−1)n x2n

(2n)! + O(x2n+1).

d) Para x > −1, ln(1 + x) = x − x2

2 + x3

3 − x4

4 + · · · + (−1)n+1 xn

n + O(xn+1).

e) Para x > −1, (1 + x)α = 1 + α1!x + α(α − 1)

2! x2 + · · · + α . . . (α − n + 1)n! xn + O(xn+1).

Queda resuelto en el boletın de problemas resueltos.

A la hora de determinar el desarrollo de Taylor (con resto en forma infinitesimal), con frecuenciaresulta util utilizar alguno de los desarrollos conocidos de algunas funciones. En particular, consideremossendas funciones f(x) y g(x), y los polinomios de Taylor de orden n en un punto a a ellas asociados,pn(x) y qn(x), respectivamente. Entonces:

• El polinomio de Taylor de orden n en a de λ f(x)+µ g(x), con λ, µ ∈ IR, resulta ser λ pn(x)+µ qn(x).

Ejemplo 3.1.3 Calcular los polinomios de Taylor sn(x) y cn(x) de orden n en x = 0 del seno y del

coseno hiperbolicos (funciones que vienen definidas como senh x = ex − e−x

2 y coshx = ex + e−x

2 ).

Estos polinomios los podemos calcular en funcion del polinomio de Taylor pn(x) = 1 + x1! + x2

2! +x3

3! + · · · + xn

n! correspondiente a ex = pn(x) + O(xn+1).


Ası, el polinomio de Taylor del seno hiperbolico resulta ser

sn(x) =pn(x)

2− pn(−x)

2=

12

n∑i=0

xi − (−x)i

i!=

12

�n − 12 �∑

i=0

2x2i+1

(2i + 1)!

Esto es, senhx = x + x3

3! + x5

5! + · · · + x2�n − 1

2 �+1

(2�n − 12 � + 1)!

+ O(xn+1).

Del mismo modo, el polinomio de Taylor del coseno hiperbolico resulta ser

cn(x) =pn(x)

2+

pn(−x)2

=12

n∑i=0

xi + (−x)i

i!=

12

�n2 �∑i=0

2x2i

(2i)!

Esto es, coshx = 1 + x2

2! + x4

4! + · · · + x2�n2 �

(2�n2 �)!

+ O(xn+1).

• El polinomio de Taylor de orden n en a de f(x) · g(x) coincide con el resultante de prescindir enpn(x) · qn(x) de los terminos de grado mayor que n.

Ejemplo 3.1.4 Calcular el polinomio de Taylor de grado 3, en x = 0, de ex cosx.

El polinomio de Taylor t3(x) de ex cosx en x = 0 queda determinado por los polinomios de Taylor

p3(x) = 1 + x1! + x2

2! + x3

3! y c3(x) = 1 − x2

2! de ex y cosx, respectivamente.

Ası, el desarrollo de Taylor de ex cosx de grado 3 en x = 0 es

t3(x) + O(x4) = (p3(x) + O(x4)) · (c3(x) + O(x4)) =

= 1 +x

1!+

x2

2!+

x3

3!− x2

2!− x3

2!+ O(x4) = 1 + x − x3

3+ O(x4)

• Si g(a) �= 0, el polinomio de Taylor de orden n en el punto a de la funcion f(x)g(x) viene dado por el

cociente que se obtiene al dividir pn(x) entre qn(x), segun las potencias crecientes, hasta el gradon inclusive.

Ejemplo 3.1.5 Calcular el desarrollo de Taylor de orden n de la funcion 11 − x en x = 0.

Este desarrollo se puede obtener a partir de los desarrollos de 1 = 1 + O(xn+1) y 1 − x = 1 − x +O(xn+1), para n > 1.

De hecho, 1/(1 − x) = 1 + x + x2 + · · · + xn + O(xn+1). Este desarrollo tambien se podrıa haberobtenido a partir del de (1 + x)α tomando −x en lugar de x y α = −1.

Ejemplo 3.1.6 Obtener el desarrollo de orden 7 de la funcion tg x.

Podemos considerar el desarrollo de tg x = sen xcos x de orden 7 en x = 0, en funcion de los desarrollos

de sen x = x− x3

3! + x5

5! −· · ·+(−1)n x2n+1

(2n + 1)! +O(x2n+2) y cosx = 1− x2

2! + x4

4! −· · ·+(−1)n x2n

(2n)! +

O(x2n+1).

Los desarrollos de orden 7 de senx y 1cosx son senx = x − x3

6 + x5

120 − x7

5040 + O(x8) y 1cosx =

1 + x2

2 + 5x4

24 + 61x6

720 + O(x8); de modo que el desarrollo de orden 7 de tg x queda senx · 1cosx =

x + x3

3 + 2x5

15 + 17x7

315 + O(x8).

3.1. FORMULA DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE UNA VARIABLE 65

• Supuesto que qn(x) es el desarrollo de g(x) en f(a), la funcion g ◦ f admite desarrollo limitado deorden n en a, dado por el polinomio que se obtiene al prescindir en g ◦ p de los terminos de gradomayor que n.

Ejemplo 3.1.7 Obtener el desarrollo de orden 5 de ecos x en x = 0.

Como el desarrollo que conocemos de ex es en x = 0, necesitamos que el exponente de ecosx sea0. Dado que en el punto a tomar el desarrollo (x = 0) es cosx = 1, tomamos ecos x = e1+cos x−1 =e · ecosx−1, de modo que cosx−1 vale 0 en x = 0. Ası, tomando f(x) = cosx−1 y g(x) = ex vamosa desarrollar en x = 0 la composicion g ◦ f(x) = ecos x−1. El desarrollo buscado sera el productodel anterior por e.

Como ex = 1 + x + x2

2 + x3

6 + x4

24 + x5

120 + O(x6) y cosx − 1 = −x2

2 + x4

24 + O(x6); se sigue demanera inmediata el desarrollo

ecos x−1 = 1 +(−x2

2+

x4

24+ O(x6)

)+

12

(−x2

2+

x4

24+ O(x6)

)2

+ O(x6) =

= 1 − x2

2+

x4

24+

x4

8+ O(x6) = 1 − x2

2+

x4

6+ O(x6);

de modo que el desarrollo buscado es ecos x = e − e2x2 + e

6x4 + O(x6).

Logicamente la forma infinitesimal del resto no nos permite tener una idea de su valor aproximado.No obstante existen otras expresiones para el resto de Taylor que si nos permiten aproximar su valor.Una de estas expresiones es la siguiente:

Formula de Taylor con resto de Lagrange: Si la funcion f(x), y sus primeras n derivadasf ′(x), . . . , f (n)(x), son continuas en un entorno E(a, δ) de a, y existe la derivada de orden n + 1, f (n+1),en dicho entorno, entonces para cada x ∈ E(a, δ) existe un valor intermedio ξ ∈ (a, x) (o ξ ∈ (x, a)dependiendo de que x > a o x < a, respectivamente), de forma que

f(x) = Tn(f, a)(x) + Rn(f, a)(x) =

= f(a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)2!

(x − a)2 + · · · + f (n)(a)n!

(x − a)n + Rn(f, a)(x)

siendo

Rn(f, a)(x) =f (n+1)(ξ

n!(x − a)n+1

Es decir, la formula de Taylor con resto de Lagrange sera:

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)2!

(x − a)2 + · · ·

· · · + f (n)(a)n!

(x − a)n +f (n+1)(ξ)

n!(x − a)n+1 , ξ ∈ (a, x) [o ξ ∈ (x, a) ]

En el caso particular en que el punto sea x = 0, obtendremos la formula de MacLaurin con resto deLagrange:

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!x +

f ′′(0)2!

x2 + · · · + f (n)(0)n!

xn +f (n+1)(ξ)

n!xn+1 , ξ ∈ (0, x)

Ejemplo 3.1.8 Los desarrollos de Mac Laurin, con restos de Lagrange, de las funciones mas usualesson:

a) Para x ∈ IR, ex = 1 + x + x2

2! + x3

3! + · · · + xn

n! + eξxn+1

(n + 1)! , siendo ξ ∈ (0, x).

b) Para x ∈ IR, senx = x− x3

3! + x5

5! +· · ·+(−1)n x2n+1

(2n + 1)! +(−1)n+1 cos ξ(2n + 2)!x

2n+2, siendo ξ ∈ (0, x).

c) Para x ∈ IR, cosx = 1 − x2

2! + x4

4! + · · · + (−1)n x2n

(2n)! + (−1)n+1 sen ξ(2n + 1)!x

2n+1, siendo ξ ∈ (0, x).


d) Para x > −1, ln(1 + x) = x − x2

2 + x3

3 − x4

4 + · · ·+ (−1)n+1 xn

n + (−1)n xn+1

(n + 1)(1 + ξ)n+1 , siendo

ξ ∈ (0, x).

e) Para x > −1, (1+x)α = 1+ α1!x+ α(α − 1)

2! x2 + · · ·+ α . . . (α − n + 1)n! xn +α(α−1) · · · (α−n)(ξ +

1)α−n−1 xn+1

(n + 1)! , siendo ξ ∈ (0, x).

Esta forma del resto es mas difıcil de obtener, no obstante nos permitira tener una idea del errorcometido cuando si tomamos como valor aproximado de la funcion f(x) en un punto, el valor Tn(f, a)(x)de su polinomio de Taylor en dicho punto. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 3.1.9 Obtener valores aproximados de cos 1 y de cos 5, utilizando polinomios de Taylor dedistinto grado en x = 0, acotando el error cometido con cada uno de ellos.

Recordemos que el desarrollo de MacLaurin de la funcion f(x) = cosx en el origen, con resto deLagrange, es:

cosx = 1 − x2

2!+

x4

4!+ · · · + (−1)n x2n

(2n)!+ (−1)n+1 sen c

(2n + 1)!x2n+1, siendo c ∈ (0, x)

Entonces si queremos obtener el valor de f(1) = cos 1, y para ello utilizamos el valor del polinomio deMacLaurin Tn(f, a)(1), el error cometido vendra dado por el resto de Taylor:

|ε| = |f(1) − Tn(f, a)(1)| = |Rn(1)|Veamos estos valores para polinomios de distinto grado:

1. Si utilizamos el polinomio de Taylor de orden 2 tendremos

f(1) = cos 1 = 1 − 12

+sen c

6, para c ∈ (0, 1)

de modo que cos 1 � 0.5, con un error ε = sen c6 , y por tanto acotado por |ε| ≤ sen 1

6 < 0.1402452,al ser | sen c| ≤ sen 1 para c ∈ (0, 1). De este modo, T2(1) no garantiza en principio ninguna cifradecimal exacta.

2. Si utilizamos el polinomio de Taylor de orden 2 tendremos

f(1) = cos 1 = 1 − 12

+124

− sen c

120, para c ∈ (0, 1)

de modo que cos 1 � 0.541666 . . ., con un error ε = − sen c120 , y por tanto acotado por |ε| ≤ sen 1

120 <

0.00701226, al ser | sen c| ≤ sen 1 para c ∈ (0, 1). Ası, T4(1) aproxima a cos 1 al menos con dos cifrasdecimales exactas.

3. Si el polinomio de Taylor es de orden 6:

f(1) = cos 1 = 1 − 12

+124

− 1720

+sen c

5040, para c ∈ (0, 1)

de modo que cos 1 � 0.5402777 . . ., con un error ε = sen c5040, y por tanto acotado por |ε| ≤ sen 1

5040 <

0.00016696, al ser | sen c| ≤ sen 1 para c ∈ (0, 1). En esta ocasion, T6(1) aproxima a cos 1 al menoscon 3 cifras decimales exactas.

4. Por ultimo, si el polinomio es de orden 8:

f(1) = cos 1 = 1 − 12

+124

− 1720

+1

40320− sen c

362880, para c ∈ (0, 1)

de modo que cos 1 � 0.540302579365079 . . ., con un error ε = − sen c362880 acotado por |ε| ≤ sen 1

362880 <

0.0000023189, al ser | sen c| ≤ sen 1 para c ∈ (0, 1). Finalmente, T8(1) aproxima a cos 1 al menoscon 5 cifras decimales exactas.

3.2. APLICACIONES DE LA FORMULA DE TAYLOR 67

De hecho, cos 1 = 0.5403023058681397174 . . ., y la aproximacion obtenida es buena.En cambio, si pretendemos aproximar el valor de cos 5 con los mismos polinomios, el resultado prob-

ablemente no sea igual de satisfactorio, dado que 5 no esta suficientemente proximo al punto en el queestamos desarrollando (a = 0).

1. f(5) = cos 5 = p2(5)+sen c6 53, para c ∈ (0, 5); de modo que cos 5 � −11.5, con un error ε = 125

6 sen c

acotado por |ε| ≤ 1256 < 20.84, al ser | sen c| ≤ 1 para c ∈ (0, 5). De este modo, la aproximacion no

es nada fiable.

2. f(5) = cos 5 = p4(5) − sen c120 55, para c ∈ (0, 5); de modo que ahora la aproximacion sera cos 5 �

14.541666 . . ., con un error ε = − sen c120 55 acotado por |ε| ≤ 31255

120 < 26.042, al ser | sen c| ≤ 1 parac ∈ (0, 5). De nuevo, la estimacion no es adecuada, por la incertidumbre que da la acotacion delerror.

3. f(5) = cos 5 = p6(5) + sen c504057, para c ∈ (0, 5); de modo que ahora la aproximacion sera cos 5 �

−7.1597222 . . ., con un error ε = sen c504057 acotado por |ε| ≤ 78125

5040 < 15.501, al ser | sen c| ≤ 1 parac ∈ (0, 5). En esta ocasion, la acotacion del error vuelve a exceder lo razonable.

4. f(5) = cos 5 = p8(5) − sen c36288059, para c ∈ (0, 5); y sera cos 5 � 2.5283978 . . ., con un error

ε = − sen c36288059 acotado por |ε| ≤ 1953125

362880 < 5.3823, al ser | sen c| ≤ 1 para c ∈ (0, 5). Esta ultimaes la menos mala de entre todas las aproximaciones realizadas, pero en ningun caso es satisfactoria,dado que por todos es sabido que el coseno oscila entre 1 y −1, y la aproximacion que se maneja esde 2.5283978 . . .

En verdad, cos 5 = 0.28366218546322626447 . . ., y lo que se tendrıa que haber hecho es desarrollar porTaylor la funcion coseno en un punto proximo a x = 5 (por ejemplo x = 3π

2 , para garantizar la bonanzade las aproximaciones.

3.2 Aplicaciones de la formula de Taylor

3.2.1 Aplicacion al calculo de valores aproximados

Hemos estudiado anteriormente como podemos utilizar la formula de Taylor para el calculo aproximadode valores de una funcion. No obstante veamos otro ejemplo:

Ejemplo 3.2.1 Utilizando desarrollos de MacLaurin, indicar el numero de terminos necesarios paraobtener el valor de

√e con un error menor que 10−3.

El desarrollo de MacLaurin de f(x) = ex de orden n, con resto de Lagrange, viene dado por

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ . . . +

xn

n!+

ec

(n + 1)!xn+1, c ∈ (0, x)

Si utilizamos un polinomio de MacLaurin Pn(x) de orden n, el error cometido al aproximar√

e = e1/2

por Pn(1/2) sera |Rn(1/2)|. Entonces

|Rn(1/2)| =∣∣∣∣ ec

2n+1 (n + 1)!

∣∣∣∣ , c ∈ (0,12)

Entonces

|Rn(1/2)| =∣∣∣∣ ec

2n+1 (n + 1)!

∣∣∣∣ < 32n+1 (n + 1)!

< 10−3

Hemos de encontrar el menor valor de n que hace 2n+1 (n + 1)! > 3000, es decir n = 4, ya que24 · 4! = 384 y 25 · 5! = 3840.

Por lo tanto el valor aproximado de√

e dado por P4(12), siendo

P4(x) = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!


comete un error menor que 10−3. Este valor sera

√e ≈ P4(

12) = 1 +

12

+18

+148

+1

384=

211128

= 1.6484375

3.2.2 Aplicacion al estudio local de una funcion

El desarrollo de Taylor de una funcion en un punto permite leer de manera inequıvoca cual es el compor-tamiento de la funcion en el punto (si es creciente, decreciente, tiene un extremo o un punto de inflexion),en funcion de la primera derivada no nula.

Es de comun conocimiento que el crecimiento de una funcion f(x) en un punto x = a depende delsigno que tome la derivada primera de la funcion en dicho punto: si f ′(a) > 0, entonces la funcion esestrictamente creciente en a, de modo que, si f ′(x) es continua, para todo x, w en un entorno suficien-temente pequeno (a − δ, a + δ) se tiene que x < w implica f(x) < f(w); por el contrario, si f ′(a) < 0,entonces la funcion es estrictamente decreciente en a, de modo que, si f ′(x) es continua, para todo x, w enun entorno suficientemente pequeno (a− δ, a + δ) se tiene que x < w implica f(x) > f(w). Si f ′(a) = 0 ono existe f ′(a), la funcion puede tener en a un extremo local (maximo o mınimo), un punto de inflexion,o un punto de crecimiento dudoso; para determinar el comportamiento en el punto en cuestion bastaestudiar como se comporta la funcion en sus alrededores.

Es en el caso f ′(a) = 0 en el que el desarrollo de Taylor desempena un relevante papel.El procedimiento general dice que si f ′(a) = 0 y la primera derivada no nula en a es de orden par,

digamos f ′(a) = · · · = f2n−1)(a) = 0, f2n)(a) �= 0, entonces la funcion tiene en a un maximo local sif2n)(a) < 0 y un mınimo local si f2n)(a) > 0. En caso de que f ′(a) = 0 y la primera derivada no nulaen a sea de orden impar, f ′(a) = · · · = f2n)(a) = 0, f2n+1)(a) �= 0, entonces la funcion tiene en a unpunto de inflexion, en el que la funcion cambia su caracter concavo/convexo. En caso de que todas lasderivadas sean nulas en a, este metodo no aporta informacion, y hay que estudiar el crecimiento de lafuncion en un entorno de a.

Veamos la explicacion de este hecho.Supongamos que k es el orden de la primera derivada no nula de f(x) en el punto a. Entonces, el

desarrollo de Taylor de f(x) en a de orden k resulta ser

f(x) = f(a) +fk)(a)

k!(x − a)k + O((x − a)k+1)

de modo que f(x) − f(a)(x − a)k = fk)(a)

k! + O((x − a)k+1); de donde

limx→a

f(x) − f(a)(x − a)k

=fk)(a)

k!

y por tanto f(x) − f(a)(x − a)k tiene el mismo signo que fk)(a)

k! en un entorno E suficientemente pequeno de a.

Ası, si k es par, digamos k = 2n, se tiene:

• Si f2n)(a) > 0, entonces f(x) − f(a)(x − a)2n > 0 en E, de donde f(x) − f(a) > 0 en dicho entorno; es

decir, f(x) > f(a) para todo x en E, por lo que la funcion tiene en a un mınimo local.

• Si f2n)(a) < 0, entonces f(x) − f(a)(x − a)2n < 0 en E, de donde f(x) − f(a) < 0 en dicho entorno; es

decir, f(x) < f(a) para todo x en E, por lo que la funcion tiene en a un maximo local.

Analogamente, si k es impar, digamos k = 2n + 1, se tiene:

• Si f2n+1)(a) > 0, entonces f(x) − f(a)(x − a)2n+1 > 0 en E, de donde en dicho intervalo es f(x) − f(a) > 0

si x − a > 0 y f(x) − f(a) < 0 si x − a < 0; es decir, en E es f(x) > f(a) si x > a, mientras quef(x) < f(a) si x < a, por lo que la funcion es estrictamente creciente en a.


• Si f2n+1)(a) < 0, entonces f(x) − f(a)(x − a)2n+1 < 0 en E, de donde en dicho intervalo es f(x) − f(a) < 0

si x − a > 0 y f(x) − f(a) > 0 si x − a < 0; es decir, en E es f(x) < f(a) si x > a, mientras quef(x) > f(a) si x < a, por lo que la funcion es estrictamente decreciente en a.

Ejemplo 3.2.2 Probar que la funcion f(x) = x4(x ex + 1) tiene un mınimo relativo en x = 0.

Sin necesidad de derivar, podemos hallar cual es su desarrollo de Mac Laurin, en funcion del desarrollode ex = 1 + x + x2

2 + · · · + xn

n! + O(xn+1), de modo que

f(x) = x4(xex + 1) = x4(x(1 + x +x2

2+ · · · + xn

n!+ O(xn+1) + 1) =

= x4 + x5 + x6 +x7

2+ · · · + xn

(n − 5)!+ O(xn+1) = x4 + O(x5)

Por lo tanto, para valores proximos a 0, f(x) > 0 = f(0), ∀x y la funcion tiene un mınimo relativo enx = 0.

El estudio general de los puntos de inflexion de y = f(x) concierne a las derivadas de orden superiora 2, y se reduce a estudiar la posicion relativa de la curva con respecto de la recta tangente en el punto(a, f(a)): el punto sera de inflexion si y solo si la curva atraviesa la recta tangente en el punto; en otrocaso, la funcion sera concava o convexa en el punto, dependiendo de si la curva se queda por encima odebajo de la recta tangente, respectivamente.

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

4x2 es concava en todos sus puntos

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2−x2 es convexa en todos sus puntos

Por tanto, si r(x) = p1(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) es la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto(a, f(a)), tenemos que estudiar como varıa el signo de la funcion diferencia g(x) = f(x) − r(x). Si tienesigno constante en un entorno de x = a, la funcion sera concava (si g(x) ≥ 0 en dicho entorno) o convexa(si g(x) ≤ 0 en dicho entorno); en caso de que g(x) > 0 a un lado de x = a y g(x) < 0 al lado contrario dex = a, entonces la funcion tendra en x = a un punto de inflexion. Este es el caso de y = x3 en el origen.

y = x3

-2 -1 1 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

En particular, si la funcion f(x) es n veces derivable en x = a, con

f ′(a) = f ′′(a) = · · · = fn−1)(a) = 0 , fn)(a) �= 0

se tiene que:

1. Si n es par y fn)(a) > 0, entonces f(x) es concava en x = a.

2. Si n es par y fn)(a) < 0, entonces f(x) es convexa en x = a.


3. Si n es impar, entonces f(x) tiene en x = a un punto de inflexion.

Esto es consecuencia directa del estudio de g(x) en x = a: si g(x) tiene un extremo relativo en x = a,entonces f(x) es concava si g(x) tiene un mınimo en x = a (g(a) = 0, luego si es mınimo es porque0 ≤ g(x) = f(x)− r(x) en un entorno de x = a; esto es, f(x) ≥ r(x)), y convexa si g(x) tiene un maximoen x = a (g(a) = 0, luego si es maximo es porque 0 ≥ g(x) = f(x) − r(x) en un entorno de x = a; estoes, f(x) ≤ r(x)).

En caso de que g(x) sea estrictamente monotona en x = a, cambia de signo en dicho punto, de dondef(x) > r(x) a un lado y f(x) < r(x) al otro, y x = a es un punto de inflexion de la funcion.

3.2.3 Aplicacion al calculo de lımites indeterminados

La formula de Taylor nos puede ayudar a resolver indeterminaciones, como muestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.2.3 Calcular, utilizando la formula de Taylor, el siguiente lımite:

limx→0

x(ex + 1) − 2(ex − 1)x3

En estos casos, podremos utilizar la formula de Taylor de la funcion f(x) = ex, utilizando el resto enforma infinitesimal:

ex = 1 + x +x2

2+

x3

6+ O(x4)

Entonces:

limx→0

x(ex + 1) − 2(ex − 1)x3 =

= limx→0

x(1 + x + x2

2 + x3

6 + O(x4) + 1) − 2(1 + x + x2

2 + x3

6 + O(x4) − 1)

x3 =

= limx→0

x(2 + x + x2

2 + x3

6 + O(x4)) − 2(x + x2

2 + x3

6 + O(x4))

x3 =

= limx→0

2x + x2 + x3

2 + x4

6 + O(x5) − (2x + x2 + x3

3 + O(x4))

x3 =

= limx→0

x3

6 + O(x5)

x3 =16

3.3 Formula de Taylor para funciones de varias variables

Introduciremos la formula de Taylor para funciones de varias variables de modo similar a como lo hicimoscon funciones de una variable.

La Figura 3.2 muestra una representacion grafica, en las proximidades del punto P (0, 0), de la funcionf(x, y) = sen(x + y) + cos(x + y).

En la Figura 3.3 se representa la funcion f(x, y) y el polinomio de grado cero p0(x, y) = 1. Vemosque ambas funciones toman el mismo valor en el punto P (0, 0), es decir son superficies que pasan por elpunto P (0, 0, 1).

En la Figura 3.4 se representa la funcion f(x, y) y el polinomio de primer grado p1(x, y) = 1 + x + y.Este polinomio representa el plano tangente a la superficie de ecuacion z = f(x, y) en el punto P (0, 0, 1).Tiene por tanto en comun con la funcion z = f(x, y) el valor en el punto P (0, 0) de su dominio, y el valorde las dos primeras derivadas parciales en dicho punto.

La Figura 3.5 muestra la representacion grafica de la funcion f(x, y) y el polinomio de segundo grado

p2(x, y) = 1+x+y− x2

2 −xy− y2

2 . La superficie z = p2(x, y) representa un paraboloide elıptico (superficiecuadrica) y tiene en comun con la funcion z = f(x, y) el valor en el punto P (0, 0) de su dominio, las dosprimeras derivadas parciales y las derivadas parciales de segundo orden en dicho punto.

3.3. FORMULA DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 71

z=sen(x+y)+cos(x+y)�

Figura 3.2: La superficie z = sen(x + y) + cos(x + y).


z=1�

Figura 3.3: La superficie z = sen(x + y) + cos(x + y) y el plano z = 1.


z=1+x+y�

Figura 3.4: La superficie z = sen(x + y) + cos(x + y) y el plano tangente z = 1 + x + y.

Por ultimo la Figura 3.6 muestra la representacion grafica de la funcion f(x, y) y el polinomio de

tercer grado p3(x, y) = 1 + x + y − x2

2 − xy − y2

2 − x3

6 − x2y2 − x y2

2 − y3

6 , que representa una superficie



z=1+x+y-x�2�/2-xy-y�2�/2�

Figura 3.5: La superficie z = sen(x+y)+cos(x+y) y el paraboloide elıptico z = 1+x+y− x2

2 −xy− y2

2 .


z=1+x+y-x�2�/2-xy-y�2�/2-x�3�/6-x�2�y/2-xy�2�/2-y�3�/6�

Figura 3.6: Las superficies z = sen(x+y)+cos(x+y) y z = 1+x+y−x2

2 −xy− y2

2 − x3

6 − x2y2 − x y2

2 − y3

6 .

que tiene en comun con z = f(x, y) hasta las derivadas parciales de tercer orden en P (0, 0).Como puede apreciarse estos polinomios aproximan a la funcion f(x, y) en las proximidades del origen,

de forma que cuanto mayor es el grado del polinomio mejor es dicha aproximacion.A estos polinomios los denominaremos polinomios de Taylor de la funcion f(x, y) = sen(x + y) +

cos(x + y) en el punto P (0, 0).Para definir los polinomios de Taylor de una funcion de dos variables, recordemos los operadores

diferenciales sucesivas de una funcion de dos variables:

df(x, y) =∂f(x, y)

∂xdx +

∂f(x, y)∂y

dy =(

∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)f(x, y)

d2f(x, y) =∂2f(x, y)

∂x2 dx2 + 2∂2f(x, y)

∂x∂ydxdy +

∂2f(x, y)∂y2 dy2 =

(∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)2

f(x, y)

y en general:

dnf(x, y) =(

∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)n

f(x, y) =n∑

k=0

(nk

)∂nf(x, y)∂xn−k∂yk

dxn−kdyk

La formula de Taylor para una funcion f(x, y) en el punto P (a, b) (en forma diferencial) es:

3.3. FORMULA DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 73

f(x, y) = f(a, b) +df(a, b)

1!+

d2f(a, b)2!

+ · · · + dnf(a, b)n!

+

+dn+1f(ξ, η)

(n + 1)!, ξ ∈ (a, x), η ∈ (b, y)

y utilizando la notacion de operadores diferenciales tendremos:

f(x, y) = f(a, b) +

(∂∂x

dx + ∂∂y

dy)

f(a, b)

1!+

(∂∂x

dx + ∂∂y

dy)2

f(a, b)

2!+ · · ·

· · · +

(∂∂x

dx + ∂∂y

dy)n

f(a, b)

n!+

+

(∂∂x

dx + ∂∂y

dy)n+1

f(ξ, η)

(n + 1)!, ξ ∈ (a, x), η ∈ (b, y)

Esta expresion constituye la formula de Taylor con resto de Lagrange para la funcion f(x, y) en elpunto P (a, b), siendo los n + 1 primeros terminos correspondientes al polinomio de Taylor y el ultimo alresto de Lagrange:

f(x, y) = Tn(x, y) + Rn(x, y)

Tn(x, y) = f(a, b) +

(∂∂x

dx + ∂∂y

dy)

f(a, b)

1!+

(∂∂x

dx + ∂∂y

dy)2

f(a, b)

2!+ · · ·

· · · +

(∂∂xdx + ∂

∂ydy)n

f(a, b)

n!

Rn(x, y) =

(∂∂x

dx + ∂∂y

dy)n+1

f(ξ, η)

(n + 1)!, ξ ∈ (a, x), η ∈ (b, y)

Y la formula de Taylor con el resto en forma infinitesimal sera:

f(x, y) = Tn(x, y) + O(||(x − a, y − b)||n+1)

donde O(||(x − a, y − b)||n+1) representa un infinitesimo de orden n + 1 en x = a, y = b.Si tenemos en cuenta que dx = x − a, dy = y − b, y utilizamos la notacion

∂f

∂x= f ′

x,∂f

∂y= f ′

y,∂2f

∂x2 = f ′′xx,

∂2f

∂x∂y= f ′′

xy,∂2f

∂y2 = f ′′yy,

∂3f

∂x3 = f ′′′xxx, · · ·

los polinomios de Taylor de una funcion f(x, y) en un punto P (x, a) son:

T0(x, y) = f(a, b) T1(x, y) = f(a, b) +f ′

x(a, b)(x − a) + f ′y(a, b)(y − b)

1!

T2(x, y) = T1(x, y) +f ′′

xx(a, b)(x − a)2 + 2 f ′′xy(a, b)(x − a)(y − b) + f ′′

yy(a, b)(y − b)2

2!

T3(x, y) = T2(x, y)+

+f ′′′

xxx(a, b)(x − a)3 + 3 f ′′′xxy(a, b)(x − a)2(y − b) + f ′′′

xyy(a, b)(x − a)(y − b)2 + f ′′′yyy(a, b)(y − b)3

3!En el caso particular en que el punto P sea el origen de coordenadas (x = 0, y = 0) el polinomio

recibe el nombre de polinomio de MacLaurin.

Ejemplo 3.3.1 Obtener el polinomio de MacLaurin de tercer grado de la funcion f(x, y) = sen(x+ y)+cos(x + y).


Obtengamos las derivadas parciales de la funcion f(x, y) = sen(x + y) + cos(x + y):

f ′x(x, y) = f ′

y(x, y) = cos(x + y) − sen(x + y)

f ′′xx(x, y) = f ′′

xy(x, y) = f ′′yy(x, y) = − sen(x + y) − cos(x + y)

f ′′′xxx(x, y) = f ′′′

xxy(x, y) = f ′′′xyy(x, y) = f ′′′

yyy(x, y) = − cos(x + y) + sen(x + y)

y en el origen:

f(0, 0) = 1 f ′x(0, 0) = f ′

y(0, 0) = 1 f ′′xx(0, 0) = f ′′

xy(0, 0) = f ′′yy(0, 0) = −1

f ′′′xxx(0, 0) = f ′′′

xxy(0, 0) = f ′′′xyy(0, 0) = f ′′′

yyy(0, 0) = −1

Por lo tanto el polinomio de Taylor T3(x, y) de la funcion sera:

T3(x, y) = 1 + x + y − x2

2− xy − y2

2− x3

6− x2y

2− x y2

2− y3

6

De la misma forma podemos obtener la formula de Taylor para funciones de mas de dos variables.Por ejemplo si f(x, y, z) es una funcion de tres variables, teniendo en cuenta los operadores diferencialessucesivos:

df(x, y, z) =∂f(x, y, z)

∂xdx +

∂f(x, y, z)∂y

dy +∂f(x, y, z)

∂zdz =

=(

∂

∂xdx +

∂

∂ydy +

∂

∂zdz

)f(x, y, z)

d2f(x, y, z) =(

∂

∂xdx +

∂

∂ydy +

∂

∂zdz

)2

f(x, y, z) =

=∂2f(x, y, z)

∂x2 dx2 +∂2f(x, y, z)

∂y2 dy2 +∂2f(x, y, z)

∂z2 dz2+

+2∂2f(x, y, z)

∂x∂ydxdy + 2

∂2f(x, y, z)∂x∂z

dxdz + 2∂2f(x, y, z)

∂y∂zdydz

· · · · · · · · ·tendremos el polinomio de Taylor de una funcion de tres variables en un punto P (a, b, c):

Tn(x, y, z) = f(a, b, c) +

(∂∂x

dx + ∂∂y

dy + ∂∂z

dz)

f(a, b, c)

1!+

+

(∂∂x

dx + ∂∂y

dy + ∂∂z

dz)2

f(a, b, c)

2!+ · · ·+

· · · +

(∂∂x

dx + ∂∂y

dy + ∂∂z

dz)n

f(a, b, c)

n!siendo el resto

Rn(x, y, z) =

(∂∂x

dx + ∂∂y

dy + ∂∂z

dz)n+1

f(ξ, η, κ)

(n + 1)!

ξ ∈ (a, x), η ∈ (b, y), κ ∈ (c, z)

Ejemplo 3.3.2 Obtener el polinomio de MacLaurin de segundo grado de la funcion f(x, y, z) =ex sen(y + z).


Obtenemos las derivadas parciales de la funcion f(x, y, z):

f ′x(x, y, z) = ex sen(y + z), f ′

y(x, y, z) = f ′z(x, y, z) = ex cos(y + z),

f ′′xx(x, y, z) = ex sen(y + z), f ′′

xy(x, y, z) = f ′′xz(x, y, z) = ex cos(y + z),

f ′′yy(x, y, z) = f ′′

yz(x, y, z) = f ′′zz(x, y, z) = −ex sen(y + z)

y en el origen:f(0, 0, 0) = 0, f ′

x(0, 0, 0) = 0, f ′y(0, 0, 0) = f ′

z(0, 0, 0) = 1,

f ′′xx(0, 0, 0) = 0, f ′′

xy(0, 0, 0) = f ′′xz(0, 0, 0) = 1, f ′′

yy(0, 0, 0) = f ′′yz(0, 0, 0) = f ′′

zz(0, 0, 0) = 0

Por lo tanto el polinomio de MacLaurin T2(x, y) de la funcion sera:

T2(x, y, z) = y + z + xy + xz

3.4 Aplicaciones de la formula de Taylor

Al igual que en el caso de funciones de una variable, la formula de Taylor para funciones de varias variablestiene diversas utilidades. Entre ellas su aplicacion al calculo de valores aproximados de una funcion enun punto; al estudio local de una funcion y a la resolucion de lımites indeterminados.

3.4.1 Aplicacion al calculo de valores aproximados

La formula de Taylor para funciones de varias variables es utilizada igualmente para obtener valoresaproximados de una funcion en un punto:

Ejemplo 3.4.1 Obtener un valor aproximado de√

1.03 3√

0.98, utilizando la formula de Taylor hasta lasderivadas de segundo orden.

Si consideramos la funcion f(x, y) =√

x 3√

y, pretendemos obtener un valor aproximado de f(1.03, 0.98)que es el valor en un punto cercano al punto P (1, 1). Utilizaremos por tanto el polinomio de Taylor desegundo orden de la funcion f(x, y) =

√x 3√

y, en el punto P (1, 1).Las derivadas de la funcion f(x, y) =

√x 3√

y = x1/2y1/3 son:

f ′x(x, y) =

12x−1/2y1/3 f ′

y(x, y) =13x1/2y−2/3

f ′′xx(x, y) =

−14

x−3/2y1/3 f ′′xy(x, y) =

16x−1/2y−2/3 f ′′

yy(x, y) =−29

x1/2y−5/3

y en el punto P (1, 1):

f(1, 1) = 1, f ′x(1, 1) =

12

, f ′y(1, 1) =

13, f ′′

xx(1, 1) =−14

,

f ′′xy(1, 1) =

16, f ′′

yy(1, 1) =−29

Por lo tanto el polinomio de Taylor sera:

T2(x, y) = f(1, 1) +f ′

x(1, 1)(x − 1) + f ′y(1, 1)(y − 1)

1!+

+f ′′

xx(1, 1)(x − 1)2 + 2 f ′′xy(1, 1)(x − 1)(y − 1) + f ′′

yy(1, 1)(y − 1)2

2!=

= 1 +12(x − 1) +

13(y − 1) − 1

8(x − 1)2 +

16(x − 1)(y − 1) − 1

9(y − 1)2

Entonces √1.03 3

√0.98 = f(1.03, 0.98) ≈ T2(1.03, 0.98) =

= 1 +0.032

− 0.023

− 0.00098

− 0.00066

− 0.00049

≈ 1.0080763889


3.4.2 Aplicacion al calculo de lımites

Veamos como podemos utilizar la formula de Taylor para la obtencion de lımites de funciones de variasvariables.

Ejemplo 3.4.2 Calcular el lımite lim(x,y)→(0,0)

senx − yx − sen y

Para obtener este lımite utilicemos el desarrollo de MacLaurin de la funcion senx = x + O(x3).Entonces

lim(x,y)→(0,0)

sen x − y

x − sen y= lim

(x,y)→(0,0)

x + O(x3) − y

x − y + O(y3)= lim

(x,y)→(0,0)

x − y + O(x3)x − y + O(y3)

Si calculamos el lımite segun cualquier trayectoria F (x, y) = 0 que pase por el origen (F (0, 0) = 0),podemos hacer el cambio de variable x − y = t:

lim(x,y)→(0,0)F (x,y)=0

x − y + O(x3)x − y + O(y3)

= lim(x,y)→(0,0)

F (x,y)=0x−y=t

x − y + O(x3)x − y + O(y3)

= limt→0

F (x,y)=0

t + O(t3)t + O(t3)

= 1

Ejemplo 3.4.3 Calcular el lımite lim(x,y)→(0,0)

x sen y + y sen x

xy.

Sea f(x, y) = x sen y + y sen x. Veamos el polinomio de Taylor de grado 2 de la funcion en el origen.De un lado, fx(x, y) = sen y + y cosx y fy(x, y) = x cos y + senx; de modo que fx(0, 0) = 0 = fy(0, 0).De otro, fx2(x, y) = −y senx, fxy(x, y) = fyx(x, y) = cos y + cosx y fy2(x, y) = −x sen y; de modo

que fx2(0, 0) = 0 = fy2(0, 0) y fxy(0, 0) = fyx(0, 0) = 2.

Como f(0, 0) = 0, se tiene que p2(0 + x, 0 + y) =12(2xy + 2yx) = 2xy; es decir, f(x, y) = 2xy +

O(||(x, y)||3).Ası, lim

(x,y)→(0,0)

f(x, y)xy

= lim(x,y)→(0,0)

2xy + O(||(x, y)||3)xy

= 2.

En el caso de funciones de varias variables tambien se utiliza la formula de Taylor para estudiar elcomportamiento local de la funcion f(x, y). En el capıtulo siguiente veremos como podemos aplicar laformula de Taylor al estudio de extremos de una funcion.

Captulo 4

Problemas de optimacion

4.1 Extremos relativos de funciones de una variable

Una funcion f(x), definida en un dominio D, tiene un maximo relativo en un punto a ∈ D si existe unentorno de centro a, E = (a − δ, a + δ), de forma que f(x) ≤ f(a), ∀x ∈ E.

De forma intuitiva, una funcion tiene un maximo relativo en a ∈ D si f(a) es el mayor valor que tomala funcion en las proximidades de a (vease la Figura 4.1).

X�

Y�

a�a -� a +�

f(x)�

Figura 4.1: La funcion f(x) tiene un maximo relativo en a.

Alternativamente, decimos que f(x) tiene un mınimo relativo en un punto a ∈ D si existe un entornode centro a, E = (a − δ, a + δ), de forma que f(x) ≥ f(a), ∀x ∈ E.

E intuitivamente una funcion tiene un mınimo relativo en a ∈ D si f(a) es el menor valor que tomala funcion en las proximidades de a (vease la Figura 4.2).

Si la funcion presenta un maximo o un mınimo relativo en un punto, diremos que presenta un extremorelativo en dicho punto.

Condicion necesaria de extremo relativo: Si f(x) tiene un extremo relativo en un punto a,como se desprende de la Figura 4.3, se pueden plantear tres posibilidades. La funcion presenta extremosrelativos en los punto x1, x2, x3 y x4. Los puntos x1 y x2 son puntos de tangente horizontal (la funciones derivable y vale cero); en el punto x3 la tangente es vertical (la funcion no es derivable, f ′(x3) = ∞),mientras que en x4 la tangente por la izquierda y por la derecha no coinciden (no existe por tanto f ′(x4)).

77

78 CAPTULO 4. PROBLEMAS DE OPTIMACION

X�

Y�

a�a -� a +�

f(x)�

Figura 4.2: La funcion f(x) tiene un mınimo relativo en a.

f(x) tiene un extremo relativo en a =⇒

f ′(a) = 0o

no existe f ′(a)

X�

Y�

x�1� x�2� x�3� x�4�

Figura 4.3: Puntos crıticos de una funcion f(x) en a.

Por lo tanto para obtener los extremos relativos hemos de estudiar aquellos puntos en que la funcionno es derivable o bien, siendo derivable, tiene derivada nula. Estos puntos reciben el nombre de puntoscrıticos.

Condicion suficiente de extremo relativo: Para encontrar una condicion suficiente para que unafuncion f(x) tenga un extremo relativo, en un punto a, donde es diferenciable, haremos uso de la formulade Taylor de la funcion en dicho punto:

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)2!

(x − a)2 +f ′′′(a)

3!(x − a)3 + . . .

· · · + f (n)(a)n!

(x − a)n + O((x − a)n+1)

Si f(x) tiene un extremo relativo en a verificara la condicion necesaria y, por ser diferenciable, seraf ′(a) = 0, entonces:

4.1. EXTREMOS RELATIVOS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 79

f(x) − f(a) =f ′′(a)

2!(x − a)2 +

f ′′′(a)3!

(x − a)3 + . . . +f (n)(a)

n!(x − a)n + O((x − a)n+1)

Hemos de estudiar el comportamiento de f(x) en las proximidades del punto a, es decir cuando xtoma valores en un entorno de a (x ∈ (a− δ, a+ δ)) y por tanto, si elegimos δ lo suficientemente pequeno,de la suma anterior solo sera significativo el primero de los sumandos no nulos, ya que ese sera el quepresente menor exponente para el numero pequeno x − a. Entonces se pueden plantear los siguientescasos:

1. Si el primer termino de dicha suma no nulo es de orden par: f (2k)(a) �= 0, siendo f (p)(a) = 0, ∀p <2k, tenemos dos posibilidades:

(a) Si f (2k)(a) > 0, entonces f(x) − f(a) ≈ f (2k)(a)2! (x − a)2k > 0 y por tanto f(x) > f(a), ∀x ∈

(a − δ, a + δ). La funcion tiene entonces un mınimo relativo en a.

(b) Si f (2k)(a) < 0, entonces f(x) − f(a) ≈ f (2k)(a)2! (x − a)2k < 0, siendo f(x) < f(a), ∀x ∈

(a − δ, a + δ), y por tanto la funcion tiene un maximo relativo en a.

2. Si el primer termino de dicha suma no nulo es de orden impar: f2k+1(a) �= 0, siendo f (p)(a) = 0, ∀p <2k + 1. Supongamos que f2k+1(a) > 0 (el razonamiento serıa analogo si f2k+1(a) < 0), entonces

f(x) − f(a) ≈ f2k+1(a)2! (x − a)2k+1, por lo que f(x) − f(a) > 0 si x − a > 0 y f(x) − f(a) < 0

si x − a < 0. Por lo tanto en el entorno (a − δ, a + δ) tendrıamos que f(x) < f(a) si x < a yf(x) > f(a) si x > a, siendo por tanto la funcion creciente en todo el entorno. En este caso lafuncion no presenta extremo relativo. Este tipo de punto de la funcion se conoce con el nombre depunto de inflexion (de tangente horizontal).

Por lo tanto, para caracterizar los extremos de una funcion hemos de seguir los siguientes pasos:

1. Calcular los puntos crıticos. Para ello obtenemos los puntos donde no existe la derivada o dondef ′(a) = 0.

2. Los puntos donde no existe derivada requieren de un estudio local de la funcion.

3. Si f ′(a) = 0, obtenemos la primera derivada no nula f (k)(a) �= 0 y en tal caso:

a) Si k es par y f (k)(a) > 0, la funcion presenta un mınimo relativo en a.

b) Si k es par y f (k)(a) < 0, la funcion presenta un maximo relativo en a.

c) Si k es impar, la funcion presenta un punto de inflexion de tangente horizontal en a.

Ejemplo 4.1.1 Obtener los extremos relativos de f(x) = x4 − 7x3 + 18x2 − 20x + 8.

Las derivadas de la funcion f(x) son:

f ′(x) = 4x3 − 21x2 + 36x − 20, f ′′(x) = 12x2 − 42x + 36,

f ′′′(x) = 24x − 42, f (IV )(x) = 24, f (n)(x) = 0, ∀n > 4

Para obtener los puntos crıticos resolvemos la ecuacion f ′(x) = 0 (la funcion es diferenciable en todoIR):

4x3 − 21x2 + 36x − 20 = 0 =⇒ x =54, x = 2

Por un lado f ′′(54) = 9

4 > 0, y la funcion tiene en el punto P (54 , −27

256 ) un mınimo relativo (tengase

en cuenta que f(54) = −27

256 ).Por otro f ′′(2) = 0 y f ′′′(2) = 6 �= 0, y la funcion tiene en el punto P (2, 0) un punto de inflexion

(tengase en cuenta que f(2) = 0).La Figura 4.4 muestra la grafica de la funcion f(x).


Figura 4.4: Representacion grafica de la funcion f(x) = x4 − 7x3 + 18x2 − 20x + 8.

4.2 Extremos absolutos de funciones de una variable

Dada una funcion de una variable f(x), definida en un dominio D, se dice que la funcion f(x) tieneun maximo absoluto (alternativamente mınimo absoluto) en a ∈ D si f(x) ≤ f(a) (alternativamentef(x) ≥ f(a)), ∀x ∈ D.

Logicamente si f(x) tiene un extremo absoluto en a, este punto debe ser o bien un extremo relativoo un punto “frontera” del dominio D. Entonces, para obtener los extremos absolutos de una funcionhabra que obtener los extremos relativos y los puntos frontera {x1, x2, . . . , xn} y evaluar la funcion encada uno de ellos, de forma que el maximo absoluto (alternativamente mınimo absoluto) lo alcanzara enaquel punto xk, de forma que f(xk) ≥ f(xi) (alternativamente f(Pk) ≤ f(Pi)), i = 1, . . . , n.

Ejemplo 4.2.1 Obtener los extremos absolutos de la funcion f(x) = x3 − 9x, en el dominio D =[−4,−1] ∪ [1, 3].

En primer lugar obtenemos los extremos relativos de dicha funcion:

f ′(x) = 3x2 − 9 = 0 =⇒ x = ±√3 ∈ D f ′′(x) = 6x, f ′′(

√3) > 0, f ′′(−√

3) < 0

Por lo tanto tiene un maximo relativo en x1 = −√3 y un mınimo relativo en x2 =

√3.

Los puntos frontera del dominio D son x3 = −4, x4 = −1, x5 = 1 y x6 = 3, por lo que el conjunto decandidatos a extremo absoluto sera:

{−√

3,√

3,−4,−1, 1, 3}Teniendo en cuenta que f(−√

3) = 6√

3, f(√

3) = −6√

3, f(−4) = −28, f(−1) = 8, f(1) = −8, f(3) = 0,la funcion f(x) alcanza su maximo absoluto en el punto P (−√

3, 6√

3) y su mınimo absoluto en el puntoQ(−4,−28).

La Figura 4.5 muestra la grafica de la funcion f(x) en el dominio D.

4.3 Problemas de optimizacion de funciones de una variable

Multitud de problemas de optimizacion son susceptibles de ser presentados como problemas de calculo deextremos de una funcion de una variable. Para ello hemos de encontrar la funcion a optimizar (maximizaro minimizar), y, en su caso, el dominio de tal funcion.

4.3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 81

Figura 4.5: Extremos absolutos de la funcion f(x) = x3 − 9x en el dominio D = [−4,−1] ∪ [1, 3].

Ejemplo 4.3.1 Se necesita conectar mediante una lınea de alta tension una central electrica situada ala orilla de un caudaloso rıo con una isla situada 4 Km. rıo abajo y a 1 Km. de la orilla. Hallar el costemınimo para dicha lınea si el precio del Km. subacuatico es de 100000 euros y el del Km. subterraneoes de 60000 euros (suponer el rıo recto en ese tramo).

La Figura 4.6 ilustra la situacion, donde el punto I simboliza la isla y el punto C la centra electrica.

x�

I�

C�

P�

4-x�

1�

Figura 4.6: Problema de la central electrica.

Si la conexion subacuatica comienza en el punto P , y llamamos x a la distancia de dicho punto Pal pie de la perpendicular trazada desde la isla, utilizando el Teorema de Pitagoras IP =

√1 + x2. Por

tanto el coste C(x) de la conexion de la figura asciende a:

C(x) = 100000√

1 + x2 + 60000(4− x) euros

Por lo tanto hemos de obtener el mınimo absoluto de la funcion C(x) en el dominio D = [0, 4].Obtenemos en primer lugar los extremos relativos:

C′(x) =100000 x√

1 + x2− 60000 = 0 =⇒ 100000 x− 60000

√1 + x2 = 0 =⇒

=⇒√

1 + x2 =53

=⇒ x =34∈ D


Comprobemos si se trata de un mınimo relativo:

C′′(x) =100000√(1 + x2)3

, C′′(34) = 51200 > 0

por lo tanto la funcion C(x) presenta un mınimo relativo en x1 = 34. Los posibles candidatos a mınimo

absoluto son por tanto x1 = 34 , x2 = 0, x3 = 4, siendo

C(34) = 320000, C(0) = 340000, C(4) = 100000

√17 ≈ 412310.56

Por lo que el coste mınimo (mınimo absoluto) de dicha conexion es 320000 euros, obtenidos llevandola conexion subterranea hasta 3250 metros rıo abajo (4− x = 3.25 Km.) y desde allı realizar la conexionsubacuatica hasta la isla.

4.4 Extremos relativos de funciones de dos variables

Esta seccion seguira un desarrollo similar al llevado a cabo para funciones de una variable.Decimos que una funcion f(x, y) tiene un mınimo relativo (alternativamente maximo relativo) en un

punto P (a, b) ∈ D de su dominio si existe un entorno 1 del punto P (a, b):

E(P, δ) ={(x, y) ∈ IR2 |

√(x − a)2 + (y − b)2 < δ

}de forma que f(x, y) ≥ f(a, b) (alternativamente f(x, y) ≤ f(a, b)), ∀(x, y) ∈ E(P, δ).

De forma intuitiva una funcion f(x, y) alcanza un mınimo relativo (alternativamente maximo rela-tivo) en un punto P (a, b), si f(a, b) es el menor (alternativamente mayor) valor que toma f(x, y) en lasproximidades del punto P .

La Figura 4.7 muestra un ejemplo de una funcion que tiene un maximo y un mınimo relativos.

P�1 �(1,1,-5) mínimo�

P�2� �(-1,0,4) máximo�

a)� b)�

Figura 4.7: a) Una funcion f(x, y) con un maximo y un mınimo relativos, b) la misma funcion con unpequeno giro.

A los maximos y mınimos relativos se les denomina extremos relativos.Condicion necesaria de extremo relativo: Analogamente a lo que ocurrıa con las funciones de

una variable, si f(x, y) tiene un extremo relativo en un punto P (a, b) y la funcion es diferenciable en dichopunto, entonces su plano tangente ha de ser horizontal, por lo tanto han de ser nulas sus dos derivadas

1En IR2 un entorno E(P, δ) de un punto P no es mas que un cırculo abierto, de centro P y radio δ. Esta es la extensionnatural de un intervalo abierto de centro el punto P y radio δ en IR a IR2.

4.4. EXTREMOS RELATIVOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 83

parciales f ′x(a, b) = f ′

y(a, b) = 0. No obstante una funcion puede tener un extremo relativo y no serdiferenciable en dicho punto, por lo tanto podemos resumir:

f(x, y) tiene un extremo relativo en P (a, b) =⇒

f ′x(a, b) = f ′

y(a, b) = 0o

f(x, y) no es diferenciable en P (a, b)

Los puntos que verifican alguna de las dos condiciones anteriores se denominan puntos crıticos. Porlo tanto si un punto es un extremo de una funcion, ha de ser un punto crıtico.

Condicion suficiente de extremo relativo: Si tenemos una funcion f(x, y) que admite derivadasparciales segundas continuas en un entorno del punto P (a, b) y tal que f ′

x(a, b) = f ′y(a, b) = 0, entonces

para determinar que tipo de punto crıtico representa el punto P (a, b), consideremos la formula de Taylor,con polinomio de segundo grado:

f(x, y) = f(a, b) +df(a, b)

1!+

d2f(a, b)2!

+ R2(x, y)

y por tanto, teniendo en cuenta que las primeras derivadas son nulas y que el resto R2(x, y) es despreciablefrente a los terminos anteriores, para valores (x, y) proximos a (a, b)

∆z = f(x, y) − f(a, b) =d2f(a, b)

2!+ R2(x, y) ≈

≈ d2f(a, b)2!

=f ′′

xx(a, b)(x − a)2 + 2f ′′xy(a, b)(x − a)(y − b) + f ′′

yy(a, b)(y − b)2

2!por lo que, si llamamos dx = x − a, dy = y − b, el signo de ∆z = f(x, y) − f(a, b) sera:

Signo(∆z) = Signo(f ′′

xx(a, b)dx2 + 2f ′′xy(a, b)dx dy + f ′′

yy(a, b)dy2)

= Signo(d2f(a, b)

)siendo d2f(a, b) una funcion que depende de dx y dy (concretamente se trata de una forma cuadratica).

Se pueden presentar los siguientes casos:

1. Si d2f(a, b) > 0, ∀dx, dy, entonces f(x, y) tiene un mınimo relativo en P (a, b), ya que serıa f(x, y) >f(a, b) en las proximidades de P (a, b).

2. Si d2f(a, b) < 0, ∀dx, dy, entonces f(x, y) tiene un maximo relativo en P (a, b).

3. Si d2f(a, b) ≥ 0, ∀dx, dy, entonces no podemos afirmar que tipo de punto presenta f(x, y) en P (a, b)y habra que hacer un estudio mas detallado de la funcion en las proximidades del punto P (a, b).En este caso puede aparecer un punto conocido con el nombre de casi mınimo.

4. Si d2f(a, b) ≤ 0, ∀dx, dy, tampoco podemos afirmar que tipo de punto presenta f(x, y) en P (a, b) yhabra que hacer un estudio mas detallado de la funcion en las proximidades del punto P (a, b). Eneste caso puede aparecer un punto conocido con el nombre de casi maximo.

5. Si el signo de d2f(a, b) depende de la direccion en que es elegido el punto P (x, y) tenemos lo que seconoce con el nombre de puerto o punto de silla o ensilladura.

La Figura 4.8 muestra un grafico donde se presentan los “perfiles” (secciones planas) de funcionesz = f(x, y) (superficies) con cada uno de estos puntos.

Tenemos por tanto que estudiar el signo de la funcion de dos variables

F (dx, dy) = f ′′xx(a, b)dx2 + 2f ′′

xy(a, b)dx dy + f ′′yy(a, b)dy2

que es una forma cuadratica.Del Algebra sabemos que una forma cuadratica F (x, y) = m11x

2 + 2m12xy + m22y2 se dice que es

a) definida positiva si F (x, y) > 0, ∀(x, y) �= (0, 0)b) definida negativa si F (x, y) < 0, ∀(x, y) �= (0, 0)c) semidefinida positiva si F (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) �= (0, 0)d) semidefinida negativa si F (x, y) ≤ 0, ∀(x, y) �= (0, 0)e) indefinida si F (x, y) <> 0, ∀(x, y) �= (0, 0)


Y�

Z�

P(a,b)�X� P(a,b)�

P(a,b)�

P(a,b)�

P(a,b)�

máximo�

mínimo� casi mínimo�

casi máximo�

punto de silla�

Figura 4.8: Puntos crıticos de una funcion de dos variables.

Esta forma cuadratica lleva asociada una matriz simetrica

M =(

m11 m12

m12 m22

)

El criterio de Sylvester establece que la clasificacion de la forma cuadratica depende de los signos de losmenores principales de M . Estos menores principales son ∆1 = m11 y el determinante ∆2 = |M |, siendo:

a) Si ∆2 > 0 y ∆1 > 0, F (x, y) es definida positivab) Si ∆2 > 0 y ∆1 < 0, F (x, y) es definida negativac) Si ∆2 = 0 y ∆1 > 0, F (x, y) es semidefinida positivad) Si ∆2 = 0 y ∆1 < 0, F (x, y) es semidefinida negativae) Si ∆2 < 0, F (x, y) es indefinida

En nuestro caso recordemos que tratamos de estudiar el signo de la forma cuadratica

F (dx, dy) = f ′′xx(a, b)dx2 + 2f ′′

xy(a, b)dx dy + f ′′yy(a, b)dy2

cuya matriz asociada es:

H(P ) =(

f ′′xx(a, b) f ′′

xy(a, b)f ′′

xy(a, b) f ′′yy(a, b)

)que no es otra que la llamada matriz hessiana de la funcion f en el punto P (a, b), cuyo determinantedenominamos hessiano de la funcion. Por lo tanto los elementos que nos ayudaran a decidir el signo dela forma cuadratica, y por tanto ver que tipo de punto crıtico se presenta, son

∆2 = |H(P )| =∣∣∣∣ f ′′

xx(a, b) f ′′xy(a, b)

f ′′xy(a, b) f ′′

yy(a, b)

∣∣∣∣ = f ′′xx(a, b)f ′′

yy(a, b) − f ′′xy(a, b)2

∆1 = f ′′xx(a, b)

Los casos que se pueden plantear seran por tanto los siguientes:

1. Si |H(P )| > 0 y f ′′xx(a, b) > 0, la forma cuadratica sera definida positiva y la funcion tiene en P (a, b)

un mınimo relativo.

2. Si |H(P )| > 0 y f ′′xx(a, b) < 0, la forma cuadratica sera definida negativa y la funcion tiene en

P (a, b) un maximo relativo.

4.4. EXTREMOS RELATIVOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 85

3. Si |H(P )| = 0 y f ′′xx(a, b) > 0, la forma cuadratica sera semidefinida positiva y por tanto no podemos

afirmar que ocurre en dicho punto.

4. Si |H(P )| = 0 y f ′′xx(a, b) < 0, la forma cuadratica sera semidefinida negativa y por tanto no

podemos afirmar que ocurre en dicho punto.

5. Si |H(P )| < 0, la forma cuadratica es indefinida y la funcion tiene en P (a, b) un puerto o punto desilla.

La siguiente tabla muestra, a modo de resumen, todos los casos que se pueden plantear:

|H(P )| > 0

f ′′xx(a, b) > 0 =⇒ P (a, b) es un mınimo relativo

f ′′xx(a, b) < 0 =⇒ P (a, b) es un maximo relativo

|H(P )| < 0 =⇒ P (a, b) es un punto de silla

|H(P )| = 0 =⇒ P (a, b) ? ? ?

En este ultimo caso, existiran direcciones (F (dx, dy) = 0) en las que d2f(a, b) = 0 y por tanto hemosde estudiar la diferencial tercera en dichas direcciones.

Ejemplo 4.4.1 : Estudiar los puntos crıticos de las funciones de dos variables:

a) f(x, y) = xyex+2y

b) f(x, y) = −x2y

a) Obtenemos los puntos crıticos de la funcion f(x, y) = xyex+2y, que es diferenciable en todo IR2:

f ′x(x, y) = yex+2y + xyex+2y = ex+2y (y + xy) = 0

f ′y(x, y) = xex+2y + 2xyex+2y = ex+2y (x + 2xy) = 0

y este sistema tiene las soluciones x = 0, y = 0 y x = 1, y = 12. Por lo tanto los puntos crıticos son

P (0, 0) y Q(1, 12).

Para comprobar que tipo de punto crıtico representa cada uno de ellos veamos el hessiano.

f ′′xx(x, y) = yex+2y + (y + xy)ex+2y = ex+2y (2y + xy)

f ′′xy(x, y) = f ′′

yx(x, y) = (1 + x)ex+2y + (y + xy)ex+2y = ex+2y (1 + x + 2y + 2xy)

f ′′yy(x, y) = 2xex+2y + (x + 2xy)ex+2y = ex+2y (4x + 4xy)

En el punto P (0, 0), f ′′xx(0, 0) = 0, f ′′

xy(0, 0) = 1, f ′′yy(0, 0) = 0, entonces

|H(P )| =∣∣∣∣ 0 1

1 0

∣∣∣∣ = −1

por lo que la funcion tiene en P (0, 0) un punto de silla.

En el punto Q(1, 12), f ′′

xx(1, 12) = − 1

2e2 , f ′′xy(1, 1

2) = 0, f ′′yy(1, 1

2) = − 2e2 , entonces

|H(Q)| =

∣∣∣∣∣− 1

2e2 0

0 − 2e2

∣∣∣∣∣ = 1e4 > 0, f ′′

xx < 0

y en Q(1, 12) tiene un maximo relativo.


b) Las derivadas de la funcion f(x, y) = −x2y son:

f ′x = −2xy, f ′

y = −x2, f ′′xx = −2y, f ′′

xy = f ′′yx = −2x, f ′′

yy = −2

De la condicion suficiente f ′x = f ′

y = 0 obtenemos el unico punto crıtico P (0, 0). En este caso

f ′′xx(0, 0) = f ′′

xy(0, 0) = f ′′yx(0, 0) = 0, f ′′

yy(0, 0) = −2

siendo |H(P )| = 0 y f ′′xx(0, 0) = 0 por lo que el criterio descrito no nos desvela que tipo de punto

crıtico presenta la funcion.

En este caso, d2f(P ) = f ′′yy(0, 0)dy2 = −dy2 < 0, ∀dx, dy, excepto en la direccion dy = 0, ∀dx (eje

OX), en la que resulta d2f(P ) = 0. Veamos que ocurre en esta direccion. Si cortamos la superficie

z = −x2y, por el plano y = 0 (que es paralelo al eje OX), resulta la recta{

z = 0y = 0 .

Por lo tanto la funcion f(x, y) tiene en el punto P (0, 0) un casi maximo, ya que al cortar lasuperficie con cualquier plano paralelo al eje OZ resulta una curva que tiene un maximo en P (0, 0)(d2g(P ) < 0), excepto por el plano y = 0 que resulta una recta horizontal.

4.5 Extremos relativos de funciones de varias variables

Generalizamos el estudio anterior para el caso de una funcion de cualquier numero de variables.Sea una funcion de n variables independientes:

f : D ⊂ IRn −→ IR(x1, . . . , xn) ∈ D −→ f(x1, . . . , xn) ∈ IR

diremos que f alcanza un maximo relativo (alternativamente mınimo relativo) en un punto P (a1, . . . , an)si existe un entorno del punto P ,

E(P, δ) ={(x, y) ∈ IR2 |

√(x1 − a1)2 + · · · + (xn − an)2 < δ

}

de forma que, ∀(x1, . . . , xn) ∈ E(P, δ), f(x1, . . . , xn) ≤ f(a1, . . . , an) (alternativamente f(x1, . . . , xn) ≥f(a1, . . . , an)), .

Nuevamente podemos afirmar, de forma intuitiva, que una funcion f tiene en un punto P (x1, . . . , xn)un maximo relativo (alternativamente mınimo relativo) si f(P ) es el mayor (alternativamente menor)valor que toma la funcion en las proximidades del punto P .

Si una funcion tiene un maximo o un mınimo relativo en un punto diremos que presenta un extremorelativo en dicho punto.

Condicion necesaria de extremo relativo: Podemos establecer, de forma similar al caso defunciones de dos variables que si f(x1, . . . , xn) tiene un extremo relativo en un punto P (a1, . . . , an) y lafuncion es diferenciable en dicho punto, entonces f ′

x1(P ) = . . . = f ′

xn(P ) = 0. No obstante una funcion

puede tener un extremo relativo y no ser diferenciable en dicho punto, y podemos resumir la condicionnecesaria de extremo:

f(x1, . . . , xn) tiene un extremo relativo en P (a1, . . . , an) =⇒

=⇒

f ′x1

(a1, . . . , an) = . . . = f ′xn

(a1, . . . , an) = 0o

f(x1, . . . , xn) no es diferenciable en P (a1, . . . , an)

Los puntos que verifican alguna de las dos condiciones anteriores se denominan puntos crıticos. Porlo tanto si un punto es un extremo de una funcion, ha de ser un punto crıtico.

4.5. EXTREMOS RELATIVOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 87

Condicion suficiente de extremo relativo: De cara a establecer una condicion suficiente que nospermita tener un criterio para clasificar los puntos crıticos, recordemos que el hessiano de una funcion den variables f(x1, . . . , xn) es el determinante de orden n:

|H | =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂2f∂x2

1

∂2f∂x1x2

· · · ∂2f∂x1xn

∂2f∂x2x1

∂2f∂x2

2

· · · ∂2f∂x2xn

......

. . ....

∂2f∂xnx1

∂2f∂xnx2

· · · ∂2f∂x2

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Llamemos [∆0, ∆1, ∆2, . . . , ∆n] a la sucesion de menores principales de dicho hessiano:

∆0 = 1, ∆1 =∂2f

∂x21

, ∆2 =

∣∣∣∣∣∣∣∂2f∂x2

1

∂2f∂x1x2

∂2f∂x2x1

∂2f∂x2

2

∣∣∣∣∣∣∣ ,

∆3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂2f∂x2

1

∂2f∂x1x2

∂2f∂x1x3

∂2f∂x2x1

∂2f∂x2

2

∂2f∂x2x3

∂2f∂x3x1

∂2f∂x3x2

∂2f∂x2

3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, . . . ∆n = |H |

Esta sucesion nos permitira, en algunos casos, clasificar los puntos crıticos: Si P (a1, . . . , an) es unpunto crıtico de la funcion f , siendo continuas las derivadas parciales segundas de f en un entorno de P ,entonces

1. Si [∆0(P ), ∆1(P ), ∆2(P ), . . . , ∆n(P )] es una sucesion [+, +, +, +, . . .], la funcion tiene en P unmınimo relativo.

2. Si [∆0(P ), ∆1(P ), ∆2(P ), . . . , ∆n(P )] es una sucesion [+,−, +,−, . . .], la funcion tiene en P unmaximo relativo.

3. Si [∆0(P ), ∆1(P ), ∆2(P ), . . . , ∆n(P )] es una sucesion como las anteriores, pero con algunos elemen-tos nulos, el criterio no decide que tipo de punto crıtico presenta la funcion.

4. Si [∆0(P ), ∆1(P ), ∆2(P ), . . . , ∆n(P )] es cualquier otra sucesion, la funcion no tiene extremo endicho punto P .

Ejemplo 4.5.1 : Estudiar los puntos crıticos de la funcion de tres variables: f(x, y, z) = x4 − 14x2 +y2 + z2 + 24x − 4y − 6z + 2.

Obtenemos las derivadas de la funcion:

f ′x = 4x3 − 28x + 24, f ′

y = 2y − 4, f ′z = 2z − 6

f ′′xx = 12x2 − 28, f ′′

yy = 2, f ′′zz = 2, f !‘!‘xy = f ′′

xz = f ′′yz = 0

Como la funcion es diferenciable (con derivadas parciales segundas continuas) en todo IR3, los puntoscrıticos son la solucion del sistema:

f ′x = 4x3 − 28x + 24 = 0, f ′

y = 2y − 4 = 0, f ′z = 2z − 6 = 0

y por tanto son los puntos P (1, 2, 3), Q(2, 2, 3), R(−3, 2, 3).Para clasificar dichos puntos obtenemos el hessiano en cada uno de los puntos:

|H | =

∣∣∣∣∣∣12x2 − 28 0 0

0 2 00 0 2

∣∣∣∣∣∣ , |H(P )| =

∣∣∣∣∣∣−16 0 00 2 00 0 2

∣∣∣∣∣∣ ,


|H(Q)| =

∣∣∣∣∣∣20 0 00 2 00 0 2

∣∣∣∣∣∣ , |H(R)| =

∣∣∣∣∣∣80 0 00 2 00 0 2

∣∣∣∣∣∣En el punto P (1, 2, 3) los menores principales constituyen la sucesion [1,−16,−32,−64] y por tanto

la funcion no tiene en el ningun extremo.En Q(2, 2, 3) los menores principales constituyen la sucesion [1, 20, 40, 80] y por tanto f tiene en Q un

mınimo relativo.En R(−3, 2, 3) se tiene la sucesion [1, 80, 160, 320] y por tanto f tiene en R otro mınimo relativo.

4.6 Extremos absolutos de funciones de varias variables

Dada una funcion de n variables independientes:

f : D ⊂ IRn −→ IR(x1, . . . , xn) ∈ D −→ f(x1, . . . , xn) ∈ IR

diremos que f alcanza un maximo absoluto (alternativamente mınimo absoluto) en un punto P (a1, . . . , an)si f(x1, . . . , xn) ≤ f(a1, . . . , an) (alternativamente f(x1, . . . , xn) ≥ f(a1, . . . , an)), ∀(x1, . . . , xn) ∈ D.

Al igual que ocurrıa con las funciones de una variable, los extremos absolutos de una funcion de variasvariables han de alcanzarse en alguno de los extremos relativos o en uno de los puntos de la frontera deldominio.

Ha de tenerse en cuenta que en el caso de regiones cerradas y acotadas (lo que en la literatura sesuele llamar regiones compactas), el Teorema de Weierstrass asegura que toda funcion continua alcanzasus extremos absolutos (y no unicamente relativos), por lo que cotejando los resultados obtenidos en elinterior y en la frontera se puede determinar de manera directa cuales son dichos extremos absolutos.

Ejemplo 4.6.1 : Calcular los extremos absolutos de la funcion f(x, y) = x2 + 3y2 − x − 4y + 1 sobre laregion del plano delimitada por los semiplanos x ≤ 1, y ≤ 1, x + y ≤ 1.

La Figura 4.9 representa el dominio D de definicion de la funcion f(x, y), que es un triangulo devertices A(1, 0), B(0, 1) y C(1, 1).

O�

Y�

X�

A(1,0)�

B(0,1)�

D�

y=1�

x=1�

x+y=1�

C(1,1)�

Figura 4.9: Dominio delimitado por las rectas x = 1, y = 1, x + y = 1.

Obtenemos en primer lugar los extremos relativos de la funcion:

f ′x(x, y) = 2x − 1 = 0 f ′

y(x, y) = 6y − 4 = 0 =⇒ P1(12,23) ∈ D

4.6. EXTREMOS ABSOLUTOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 89

Luego el punto P1 es un candidato a extremo absoluto, siendo f(P1) = − 712.

Veamos que ocurre en la frontera. Esta frontera esta dividida en tres segmentos AC, BC y AB:

AC ≡{

x = 10 ≤ y ≤ 1 BC ≡

{y = 10 ≤ x ≤ 1 AB ≡

{y = −x + 10 ≤ x ≤ 1

Hemos de obtener los extremos absolutos de la funcion en cada uno de estos tres segmentos que formanla frontera del dominio D. Ahora bien la funcion f(x, y) restringida al segmento AC representa la curvainterseccion de la superficie z = f(x, y) con el plano x = 1 (vease la Figura 4.10), y por tanto una curvadada por una funcion de una variable z = g1(y):

z = f(x, y) = x2 + 3y2 − x − 4y + 1x = 10 ≤ y ≤ 1

=⇒ z = g1(y) = 3y2 − 4y + 1, 0 ≤ y ≤ 1

z = x�2�+3y�2�-x-4y+1�x = 1�

g�1�(y)�

Figura 4.10: Interseccion de la superficie z = f(x, y) = x2 + 3y2 − x − 4y + 1 con el plano x = 1.

Hemos de obtener los extremos absolutos de la funcion z = g1(y) = 3y2 − 4y + 1 en el dominioD = [0, 1], cuyos candidatos son los posibles extremos relativos de g1(y) y los puntos y = 0 e y = 1,frontera del dominio.

En primer lugar obtenemos los extremos relativos, g′1(y) = 6y− 4 = 0, por lo que y = 23. Teniendo en

cuenta que g′′1 (y) = 6 > 0 se trata de un mınimo relativo. Evaluamos la funcion g1(y) en los tres posiblescandidatos a extremo absoluto:

g1(0) = 1 g1(1) = 0 g1(23) = −1

3

por lo tanto la funcion g1(y) toma el mınimo absoluto en el punto y = 23, z = −1

3 y el maximo absolutoen y = 0, z = 1.

Por lo tanto, y teniendo en cuenta que x = 1, son posibles candidatos a extremos absolutos de lafuncion z = f(x, y) los puntos P2(1, 2

3) (candidato a mınimo absoluto) y P3(1, 0) (candidato a maximo

absoluto); siendo f(P2) = −13 y f(P3) = 1.

Igualmente la funcion f(x, y) restringida al segmento BC representa la curva interseccion de la super-ficie z = f(x, y) con el plano y = 1 (vease la Figura 4.10), y por tanto una curva dada por una funcionde una variable z = g2(x):

z = f(x, y) = x2 + 3y2 − x − 4y + 1y = 10 ≤ x ≤ 1

=⇒ z = g2(x) = x2 − x, 0 ≤ x ≤ 1


z = x�2�+3y�2�-x-4y+1�

y = 1�

g�2�(x)�

Figura 4.11: Interseccion de la superficie z = f(x, y) = x2 + 3y2 − x − 4y + 1 con el plano y = 1.

Los extremos absolutos de la funcion z = g2(x) = x2−x en el dominio D = [0, 1], tiene por candidatoslos posibles extremos relativos de g2(x) y los puntos x = 0 y x = 1, frontera del dominio.

g′2(x) = 2x − 1 = 0, x =12, g′′2 (x) = 2 > 0

Evaluamos la funcion g2(x) en los tres posibles candidatos a extremo absoluto:

g2(0) = 0 g2(1) = 0 g2(12) = −1

4

por lo tanto la funcion g2(x) toma el mınimo absoluto en el punto x = 12, z = −1

4 y el maximo absoluto enx = 0, z = 0. Por lo tanto, y teniendo en cuenta que y = 1, son posibles candidatos a extremos absolutosde la funcion z = f(x, y) los puntos P4(1

2 , 1) (candidato a mınimo absoluto) y P5(0, 1) (candidato a

maximo absoluto); siendo f(P4) = −14 y f(P5) = 0.

Por ultimo hacemos lo mismo con el segmento AB. La funcion f(x, y) restringida al segmento ABrepresenta la curva interseccion de la superficie z = f(x, y) con el plano x + y = 1 (vease la Figura 4.12),y por tanto una curva dada por una funcion de una variable z = g3(x):

z = f(x, y) = x2 + 3y2 − x − 4y + 1x + y = 10 ≤ x ≤ 1

=⇒ z = g3(x) = 4x2 − 3x, 0 ≤ x ≤ 1

Los extremos absolutos de la funcion z = g3(x) = 4x2 − 3x en el dominio D = [0, 1], tiene porcandidatos los posibles extremos relativos de g3(x) y los puntos x = 0 y x = 1, frontera del dominio.

g′3(x) = 8x − 3 = 0, x =38, g′′3 (x) = 8 > 0

Evaluamos la funcion g3(x) en los tres posibles candidatos a extremo absoluto:

g3(0) = 0 g3(1) = 1 g2(38) = − 9

16

por lo tanto la funcion g3(x) toma el mınimo absoluto en el punto x = 38, z = − 9

16 y el maximo absolutoen x = 1, z = 1. Y teniendo en cuenta que y = 1− x, son posibles candidatos a extremos absolutos de lafuncion z = f(x, y) los puntos P6(3

8 , 58) (candidato a mınimo absoluto) y P7(1, 0) (candidato a maximo

absoluto); siendo f(P6) = − 916 y f(P7) = 1.

Tenemos por tanto los siguientes candidatos a extremo absoluto de la funcion f(x, y):

4.7. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 91

z = x�2�+3y�2�-x-4y+1�

x+y = 1�

g�3�(x)�

Figura 4.12: Interseccion de la superficie z = f(x, y) = x2 + 3y2 − x − 4y + 1 con el plano x + y = 1.

P1(12,23), P2(1,

23), P3(1, 0), P4(

12, 1), P5(0, 1), P6(

38,58), y P7(1, 0)

siendof(P1) = − 7

12, f(P2) = −1

3, f(P3) = 1, f(P4) = −1

4,

f(P5) = 0, f(P6) = − 916

, y f(P7) = 1

La funcion alcanza por tanto el maximo absoluto en el punto P (1, 0), siendo f(P ) = 1, y el mınimoabsoluto en el punto Q(1

2 , 23), siendo f(Q) = − 7

12.

4.7 Problemas de optimizacion de funciones de varias variables

Como ya dijimos anteriormente en la practica nos encontramos en numerosas ocasiones con problemascuyo planteamiento nos conduce a la obtencion de los extremos de una funcion, y en muchas de estasocasiones las funciones en cuestion presentan mas de una variable. Volveremos a estudiar algunos ejemplosde estos problemas:

Ejemplo 4.7.1 : Descomponer el numero 300 como suma de tres numeros positivos cuyo producto seamaximo.

Si dos de estos numeros son x e y, entonces el tercero sera 300−x−y. El producto de dichos numeros,y por tanto la funcion a maximizar, sera

f(x, y) = xy(300 − x − y) = 300xy − x2y − xy2, x, y ∈ (0, 300)

Obtengamos los extremos relativos de esta funcion:{f ′

x(x, y) = 300y − 2xy − y2 = 0f ′

y(x, y) = 300x − 2xy − x2 = 0 =⇒{

y(300 − 2x − y) = 0x(300 − 2y − x) = 0

x,y>0=⇒

{300 − 2x − y = 0300 − 2y − x = 0 =⇒ x = y = 100

Por lo tanto la funcion f(x, y) = xy(300− x− y) = 300xy− x2y − xy2 tiene como unico punto crıticoel punto P (100, 100). Veamos que se trata de un maximo relativo.

f ′′xx(x, y) = −2y, f ′′

xy(x, y) = f ′′yx(x, y) = 300 − 2x − 2y f ′′

yy(x, y) = −2x


f ′′xx(100, 100) = −200, f ′′

xy(100, 100) = f ′′yx(x, y) = −100 f ′′

yy(100, 100) = −200

|H(100, 100)| =∣∣∣∣ −200 −100−100 −200

∣∣∣∣ = 30000 > 0, f ′′xx(100, 100) < 0

y por tanto se trata de un mınimo relativo. Ahora bien, como el dominio de la funcion D = (0, 300) ×(0, 300) no tiene frontera, este es el maximo absoluto. Por tanto los numeros pedidos son x = 100,y = 100, z = 300 − x − y = 100.

Ejemplo 4.7.2 Se pretende construir una caja abierta (sin tapa). El material de las paredes cuesta 1euro cada dm2, siendo el coste de la base un 50% mas caro. ¿Cual es la caja de mayor volumen quepuede fabricarse con 18 euros?

Si las dimensiones de la caja son x, y, z dm2, el coste de la base sera 1.5xy euros, mientras que lascaras laterales tienen un coste de (2x + 2y)z euros, por tanto

18 = 1.5xy + (2x + 2y)z =⇒ z =18 − 1.5xy

2x + 2y

La funcion que hay que maximizar sera

V (x, y) = xy18 − 1.5xy

2x + 2y=

18xy − 1.5x2y2

2x + 2y

V ′x(x, y) = 3y2(12 − 2xy − x2)

(2x + 2y)2= 0

V ′y(x, y) = 3x2(12 − 2xy − y2)

(2x + 2y)2= 0

=⇒ P1(0, 0), P2(2, 2), P3(−2,−2)

Teniendo en cuenta que x, y > 0, el unico extremo relativo es P2(2, 2).

V ′′xx(x, y) =

−1.5y2(12 + y2)(x + y)3

; V ′′yy(x, y) =

−1.5x2(12 + x2)(x + y)3

;

V ′′xy(x, y) = V ′′

yx(x, y) =−1.5xy(−12 + x2 + 3xy + y2)

(x + y)3

y en el punto P2(2, 2):

V ′′xx(2, 2) = −1.5 V ′′

xy(2, 2) = V ′′yx(x, y) = −0.75 V ′′

yy(2, 2) = −1.5

|H(2, 2)| =∣∣∣∣ −1.5 −0.75−0.75 −1.5

∣∣∣∣ > 0, V ′′xx(2, 2) < 0

y se trata por tanto de un maximo. Por lo tanto la caja de volumen maximo tendra por dimensionesx = 2 dm, y = 2 dm, z = 1.5 dm, y volumen 6 dm3.

4.8 Extremos relativos condicionados

Cuando buscabamos los extremos absolutos de una funcion en un dominio D tenıamos que obtener,ademas de los extremos relativos de la funcion en el interior del dominio, los extremos de la funcion enla frontera del dominio. Este problema tambien puede ser abordado como veremos a continuacion.

Vamos a abordar el problema general de encontrar los extremos de una funcion sujeta a ligaduras. Agrandes rasgos, se trata de localizar los valores maximos y mınimos relativos que alcanza f(x) cuando xrecorre una cierta hipersuperficie ϕ1(x) = 0, . . . , ϕq(x) = 0 (ecuaciones que se conocen como ligaduras, yque en general describen la frontera de una region).

Se dice que la funcion f(x) tiene un extremo relativo condicionado a las ligaduras ϕ1(x) =0, . . . , ϕq(x) = 0 en un punto a cuando el punto es un extremo relativo de la restriccion de f(x) ala region {x : ϕ1(x) = 0, . . . , ϕq(x) = 0}.

Para encontrar tales extremos se puede tratar de proceder de dos maneras:

4.8. EXTREMOS RELATIVOS CONDICIONADOS 93

• Utilizar las q ecuaciones de ligaduras para despejar q variables en funcion de las restantes, y buscarextremos relativos de la funcion que resulta al sustituir en f estas q variables por las restantes.

• Seguir el metodo de los multiplicadores de Lagrange.

En cuanto al primer metodo, es fundamental poder garantizar que en cada punto a candidato aextremo se justifique que tiene sentido despejar las q variables en funcion de las restantes. Para ello, esnecesario que la funcion de q componentes ϕ = (ϕ1, . . . , ϕq) sea de clase 1 en un entorno de a y que eldeterminante de la submatriz Jϕ(a) que determinan las q variables a despejar sea distinto de cero.

Por ejemplo, supongamos que se pretende fabricar una nave de 60 m3 de volumen; de suelo, techo yparedes rectangulares. Supuesto que los precios por m2 son un 50% mas caro para las paredes que parael techo y el suelo, calcule las dimensiones de la nave de precio mınimo.

En este problema tratamos de minimizar la funcion que mide el costo de construccion de la nave,pero sujeto a ciertas condiciones particulares (tamano de la nave). Por tanto se trata de un problema deextremos condicionados.

El costo de construccion vendra dado en funcion de la superficie total de la nave edificada. Teniendoen cuenta que el metro cuadrado de pared cuesta un cincuenta por ciento mas que el metro cuadrado desuelo o techo, resultara que si el metro cuadrado de suelo cuesta p euros, el de pared costara p+ 1

2p = 3p2

euros. De otro modo, si el metro cuadrado de pared cuesta q euros, el metro cuadrado de suelo o techocostara 2q

3 euros.Por tanto, suponiendo que la nave tiene por dimensiones x metros de largo, por y metros de ancho,

por z metros de alto; el precio total de construccion vendra dado por la expresion

2xy · p + 2xz · 3p

2+ 2yz

3p

2= (2xy + 3xz + 3yz)p,

resultante de multiplicar la superficie total de cada tipo (suelo y techo, dos paredes opuestas y las paredesopuestas restantes), por el valor del metro cuadrado correspondiente. Ni que decir tiene que la constantep resulta irrelevante en la resolucion del problema, por su propio caracter de constante (los extremos deuna funcion f(x1, . . . , xn) se alcanzan en los mismos puntos que en los de cualquier funcion multiplo suyop · f(x1, . . . , xn)).

El problema consiste, pues, en minimizar dicha funcion costo condicionada a la ligadura que suponeque el volumen sea de 60 metros cubicos.

Por tanto, hemos de resolver el problema de encontrar un mınimo de la funcion

f(x, y, z) = 2xy + 3xz + 3yz

condicionado a la ligadura ϕ(x, y, z) = 0, siendo

ϕ(x, y, x) = xyz − 60.

Este problema se puede atacar desde dos puntos de vista: intentar despejar una variable como funcionimplıcita de las demas en la ecuacion que define la ligadura y sustituir su valor en la funcion principal,para ası resolver un problema de optimizacion con un numero inferior de variables; o bien, utilizar elmetodo de los multiplicadores de Lagrange, a describir posteriormente.

En el primer caso, es facil despejar una variable en funcion de las restantes, por ejemplo

z =60xy

Pero esto no supone que nosotros podamos directamente asegurar que el problema planteado pasa a serel de minimizar la funcion

f1(x, y) = 2xy + 3x60xy

+ 3y60xy

,

dado que primero tenemos que verificar que las condiciones en las que estamos realizando la sustitucionde la variable z son adecuadas: es decir, siempre hay que comprobar que la derivada parcial de ϕ(x, y, z)respecto de la variable a despejar es no nula en cualquier punto candidato a extremo. Concretamente,si P0 = (x0, y0, z0) es un candidato a extremo, ha de ser ϕ(x, y, z) diferenciable con diferencialcontinua (i.e. de clase 1) en un entorno de P0 y la derivada parcial de ϕ(x, y, x) en P0 no nula con


respecto a alguna de las variables x, y o z (dado que la matriz jacobiana se reduce, en este caso, al vectorde derivadas parciales primeras).

En nuestro caso, como Jϕ(x, y, z) = (yz, xz, xy), este metodo no sera valido para aquellos candidatosa extremos dispuestos sobre los ejes cartesianos: hemos de comprobar, pues, cuales son los puntos can-didatos a extremos tras esta sustitucion, y el metodo sera valido solo para aquellos que no esten situadossobre los ejes de coordenadas. En cualquier caso, como sabemos de la existencia de una restriccion deltipo xyz = 60, ninguna de estas variables puede llegar a valer cero, luego los puntos crıticos buscados encuestion no estaran sobre los ejes cartesianos; por lo que es lıcito despejar una variable en funcion de lasrestantes.

Para encontrar los puntos crıticos de la funcion f1(x, y) planteamos el sistema

∂f1∂x

(x, y) = 0∂f1∂y (x, y) = 0

≡

2y − 180x2 = 0

2x − 180y2 = 0

Despejando, por ejemplo, la variable y de la primera ecuacion y sustituyendo en la segunda, obtenemosque

2x − 180(90x2

)2 = 0,

de donde

2x − x4

45= 0 ⇐⇒ x(2 − x3

45) = 0

x �=0⇐⇒ x3 = 90 ⇐⇒ x = 3√

90.

(La solucion x = 0 se ha de desestimar a raız de la condicion de ligadura).Para este valor x0 = 3

√90 encontramos asociados los valores y0 = 3

√90 (despejando y en la primera

de las ecuaciones anteriores) y z0 = 2 3√

903 (a partir de la funcion implıcita utilizada previamente).

Tenemos, por tanto, un unico punto candidato a extremo de f1, a saber: el punto P0 = (x0, y0), quese corresponde con el punto (x0, y0, z0) candidato a extremo condicionado de la funcion de partida f .

Para poder asegurar que en P0 la funcion alcanza un mınimo, habra que probar que la diferencialsegunda de f1 en P0 es una forma cuadratica definida positiva. En este sentido, podemos proceder biendirectamente (buscando cuadrados perfectos o similares), bien estudiando la matriz hessiana y estudiarla sucesion de menores principales, como vimos anteriormente.

∂2f

∂x2 (P0) =360x3

0

= 4 =360y30

=∂2f

∂y2 (P0),∂2f

∂xy(P0) = 2,

por lo que la matriz hessiana

H =(

4 22 4

)

es definida positiva (∆1 = 4 > 0 y ∆2 = 42 − 22 = 16 − 4 = 12 > 0) y la funcion f1 tiene en P0 unmınimo.

Conclusion: la funcion f tiene en ( 3√

90, 3√

90, 23√

90) un mınimo condicionado a xyz = 60, de dondelas dimensiones de la nave que minimizan el coste de construccion se corresponden con las componentesdel vector anterior, respectivamente.

A continuacion vamos a describir en que consiste el metodo de los multiplicadores de Lagrange.Otra manera de calcular los extremos de la funcion f(x1, . . . , xp) condicionada a las ligaduras

ϕ1(x1, . . . , xp) = 0, . . . , ϕq(x1, . . . , xp) = 0, siendo el rango de la matriz jacobiana de (ϕ1, . . . , ϕq) maximo(esto es, igual a q); es utilizar la funcion de Lagrange

g(x1, . . . , xp; λ1, · · · , λq) = f(x1, . . . , xp) + λ1ϕ1(x1, . . . , xp) + · · · + λqϕq(x1, . . . , xp)

de modo que:

1. Se buscan los puntos candidatos a extremos relativos, que coinciden con los puntos estacionarios deg que verifican las ligaduras. Para ello, se resuelve el sistema siguiente (el tıpico para hallar puntos


crıticos), en funcion de las variables x y de los multiplicadores de Lagrange λ1, . . . , λq:

fx1(x1, . . . , xp) + λ1(ϕ1)x1(x1, . . . , xp) + · · · + λq(ϕq)x1(x1, . . . , xp) = 0fx2(x1, . . . , xp) + λ1(ϕ1)x2(x1, . . . , xp) + · · · + λq(ϕq)x2(x1, . . . , xp) = 0

...fxp(x1, . . . , xp) + λ1(ϕ1)xp(x1, . . . , xp) + · · · + λq(ϕq)xp(x1, . . . , xp) = 0

ϕ1(x1, . . . , xp) = 0ϕ2(x1, . . . , xp) = 0

...ϕq(x1, . . . , xp) = 0

2. Para cada punto a que sea solucion del sistema anterior se estudia la forma cuadratica w que se ob-tiene al restringir d2g(a) a los vectores (dx1, . . . , dxp) que anulan las diferenciales dϕ1(a), . . . , dϕq(a);de modo que:

• Si w es definida positiva, entonces f tiene en a un mınimo relativo condicionado por lasligaduras ϕ1, . . . , ϕq.

• Si w es definida negativa, entonces f tiene en a un maximo relativo condicionado por lasligaduras ϕ1, . . . , ϕq.

• Si w es semidefinida, el metodo no da informacion.

• Si w no es ni definida ni semidefinida, entonces a no es extremo relativo de f condicionadopor las ligaduras ϕ1, . . . , ϕq.

Retomemos el ejercicio anterior, de la nave de 60 metros cubicos.En el caso de que decidamos resolver el ejercicio anterior (minimizar la funcion f(x, y, z) = 2xy +

3xz + 3yz, sometido a la ligadura ϕ(x, y, x) = xyz − 60=0), por el metodo de los multiplicadores deLagrange, hemos de encontrar los extremos de la funcion de Lagrange

g(x, y, z; λ) = f(x, y, z)− λϕ(x, y, z)

De este modo, lo primero que hay que plantear es el encontrar los puntos crıticos, soluciones delsistema de 4 ecuaciones con 4 incognitas

∇g(x, y, z) = 0ϕ(x, y, z) = 0,

}

que resulta ser

2y + 3z − λyz = 02x + 3z − λxz = 03x + 3y − λxy = 0

xyz − 60 = 0

xyz �=0≡λ = 2y + 3z

yzλ = 2x + 3z

xzλ = 3x + 3y

xyxyz = 60

≡

λ = 2y + 3zyz

2x + 3zxz = 2y + 3z

yz2y + 3z

yz = 3x + 3yxy

xyz = 60

≡

≡λ = 2y + 3z

yz(2x + 3z)y = (2y + 3z)x(2y + 3z)x = (3x + 3y)z

xyz = 60

≡

λ = 2y + 3zyz

y = x2x = 3z

xyz = 60

≡

λ = 63√

90y = 3

√90

x = 3√

90z = 2

33√

90

dado que es

xyz = 60 ≡ 23x3 = 60 ≡ x3 = 90 ≡ x = 3

√90.

Por tanto, obtenemos el punto crıtico P0 = ( 3√

90, 3√

90, 23

3√

90), con λ0 = 63√

90.

Para determinar si en este punto crıtico hay un extremo de la funcion, estudiamos el compor-tamiento de la forma diferencial de segundo orden d2g(P0, λ0)(dx, dy, dz), que anula la diferencial deϕ, dϕ(P0)(dx, dy, dz) = 0


En nuestro caso, hemos de estudiar el signo de la forma diferencial

d2g(P0, λ0)(dx, dy, dz) = 2(2 − λ0z0)dx dy + 2(3 − λ0y0)dx dz + 2(3 − λ0x0)dy dz

sometida a la condicion

dϕ(P0)(dx, dy, dz) = y0z0dx + x0z0dy + x0y0dz = 0

y teniendo que cuenta que el punto P0(x0, y0, z0) es el punto P0 = ( 3√

90, 3√

90, 23

3√

90), hemos de estudiarla siguiente forma diferencial y sometida a la siguiente condicion

−4dx dy − 6dx dz − 6dy dz = 023dx + 2

3dy + dz = 0

}

por lo tanto hemos de estudiar el signo de la forma cuadratica

4d2x + 4dx dy + 4d2y,

de matriz hessiana (4 22 4

)

que es definida positiva ya que ∆1 = 4 > 0 y ∆2 = 16 − 4 = 12 > 0, por lo que en P0 en efecto seencuentra un mınimo de f condicionado a ϕ y hemos resuelto igualmente el problema.Nota. Observese que la matriz hessiana obtenida ahora coincide con la calculada en el paragrafo anterior.El proceso que aquı se ha seguido con una ligadura se puede extrapolar a cualesquiera numero de ligaduras,en la forma obvia.

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo 4.8.1 Una empresa debe fabricar placas para “chips” de “PCs” de unas dimensiones partic-ulares. Cada placa, simetrica, consta de tres chapas soldadas de materiales A y B tal como indica laFigura 4.13.

A�

B�

B�

Figura 4.13: Placas para “chips” de “PCs”.

El trapecio, de material A, tiene 6 cm2 de area y 1 cm de altura. Los semicırculos soldados al trapecioson de material B.

El cm2 de chapa B cuesta un 20% mas que el cm2 de chapa A. Se pide:

a) Dimensiones de la placa de coste mınimo. Para este caso, valor de cada placa, si el cm2 de chapaA cuesta 20 centimos de euro.


b) Estudiar el apartado anterior cuando el trapecio tiene una altura generica de z centımetros, justif-icando el resultado. ¿Que ocurre en este caso?

Se trata de un problema de extremos condicionados, en el que hay que minimizar la funcion que mideel costo de fabricacion de una placa de chapas soldadas para “chips” de “PCs” bajo ciertas condicionesparticulares.

El costo de fabricacion vendra dado en funcion de la superficie total de las chapas utilizadas, depen-diendo del valor del cm2 del material de que se componen cada una de ellas. Teniendo en cuenta que elcentımetro cuadrado de chapa B cuesta un veinte por ciento mas que el centımetro cuadrado de chapaA, resultara que si el centımetro cuadrado de chapa A cuesta p euros, el de chapa B costara p+ 1

5p = 6p5

euros. De otro modo, si el centımetro cuadrado de chapa B cuesta q euros, el centımetro cuadrado dechapa A costara 5q

6 euros.

cm2 chapa A → p euros || cm2 chapa B → p + p5 = 6p

5 euros.

Por tanto, suponiendo que el semicırculo menor tiene por radio x, el mayor tiene asimismo por radioy y la altura del trapecio es z, entonces el precio total de la placa vendra dado por la suma del costo defabricacion de la chapa A,

PA = p · 2x + 2y

2z = p z (x + y)

, mas el costo de fabricacion de las dos placas semicirculares

PB =6p

5· π

2x2 +

6p

5· π

2y2 =

6p

5· π

2(x2 + y2)

resultados de multiplicar el precio del centımetro cuadrado de cada chapa por la superficie de cada unade ellas. Por lo tanto hemos de minimizar la funcion costo de produccion (PA + PB):

P (x, y, z) =6p

5· π

2(x2 + y2) + p · z(x + y) =

(3π

5(x2 + y2) + zx + zy

)p

Ni que decir tiene que la constante p resulta irrelevante en la resolucion del problema, por su propiocaracter de constante (los extremos de una funcion f(x1, . . . , xn) se alcanzan en los mismos puntos queen los de cualquier funcion multiplo suyo p · f(x1, . . . , xn), dependiendo el que conserve el caracter demaximo o mınimo en que p sea o no positivo).

El problema del apartado a) consiste, pues, en minimizar dicha funcion costo condicionada a laligadura que supone que el area y altura del trapecio sean de 6 centımetros cuadrados y 1 centımetro,respectivamente.

Por tanto, hemos de resolver el problema de encontrar un mınimo de la funcion

f(x, y) =3π

5(x2 + y2) + 6

condicionado a la ligadura ϕ(x, y) = 0, siendo

ϕ(x, y) = x + y − 6.

La diferencia fundamental con el segundo apartado, es que en este la funcion costo depende de tresvariables, de modo que el problema se traduce en minimizar la funcion

f(x, y, z) =3π

5(x2 + y2) + zx + zy

condicionado a la ligadura ϕ(x, y, z) = 0, siendo

ϕ(x, y, x) = zx + zy − 6.

Es decir, el primer apartado consiste en un problema de extremos condicionados de una funcion de dosvariables, mientras que el segundo lo es de una funcion de tres variables.


Estos problemas de optimizacion se pueden atacar desde dos puntos de vista: intentar despejar unavariable como funcion implıcita de las demas en la ecuacion que define la ligadura y sustituir su valor enla funcion principal, para ası resolver un problema de optimizacion con un numero inferior de variables;o bien, utilizar el metodo de los multiplicadores de Lagrange.

Intentando reducir el problema a uno de menos variables, es facil despejar una variable en funcion delas restantes, por ejemplo x = 6 − y en el caso de la ligadura ϕ = 0 o z = 6

x + y en el caso de ϕ = 0.Pero esto no supone que nosotros podamos directamente asegurar que el problema planteado pase a serel de minimizar las funciones

f1(y) =3π

5((6 − y)2 + y2) + 6,

y

f1(x, y) =3π

5(x2 + y2) + 6,

dado que primero tenemos que verificar que las condiciones en las que estamos realizando la sustitucionde las variables respectivas son adecuadas.

Es decir, siempre hay que comprobar que las funciones ϕ(x, y) y ϕ(x, y, z) que definen las ligadurasen cada caso verifican las condiciones (existencia de un jacobiano no nulo de las funciones componentesde la ligadura respecto de las variables del espacio imagen) del teorema de la funcion implıcita en lospuntos candidatos a extremos: si P0 = (x0, y0) y P0(x0, y0, z0) son candidatos a extremos de f y f ,respectivamente, han de ser ϕ(x, y) y ϕ(x, y, z) diferenciables con diferencial continua en unentorno de P0 y P0 y las derivadas parciales de ϕx(x, y) en P0 y ϕz(x, y, z) en P0 no nulas.

Como dϕ(x, y) = (1, 1), en f podemos aplicar cualquier sustitucion de variables; en cambio, dado quedϕ(x, y, z) = (z, z, x + y), la sustitucion no sera posible para aquellos candidatos a extremos dispuestossobre el plano bisectriz del segundo y cuarto octantes (en el caso de admitir cualquiera de entre las tresposibles sustituciones, los puntos prohibidos se situarıan en la bisectriz de los cuadrantes segundo y cuartodel plano z = 0).

Para encontrar los puntos crıticos de la funcion f1(y) planteamos el sistema

f ′1(y) = 0 ≡ 4y − 12 = 0

que tiene por solucion y0 = 3.Para este valor y0 encontramos asociado el valor x0 = 3.Tenemos, por tanto, un unico punto candidato a extremo de f1, a saber: el punto (x0), que se

corresponde con el punto P0 = (x0, y0) candidato a extremo condicionado de la funcion de partida f .Para poder asegurar que en P0 la funcion alcanza un mınimo, habra que probar que la diferencial

segunda de f1 en P0 es una forma (diferencial) definida positiva. En este caso, f ′′1 (y) = 4 > 0, luego se

trata efectivamente de un mınimo.Conclusion: la funcion f tiene en (3, 3) un mınimo condicionado a x+y = 6, de donde las dimensiones

de las chapas que minimizan el coste de fabricacion de la placa se corresponden con dos semicırculos deradio 3 centımetros y un rectangulo de lado 6 centımetros de altura 1 centımetro. En definitiva, el mınimose alcanza cuando el trapecio se torna en la figura mas regular posible, que es el rectangulo.

En este caso, si el precio p del centımetro cuadrado de chapa A es de 0.2 euros, entonces cadaplaca de precio optimo (mınimo) saldrıa por

(3π5 · 9 + 6

)· 0.20 = 7.9858 · · ·, es decir, por unos 8 euros

aproximadamente.Veamos ahora el problema propuesto en el apartado b).En este caso, la matriz jacobiana de la funcion de ligadura es Jϕ(x, y, z) = (z, z, x + y), luego no sera

valida sustitucion alguna cuando los puntos crıticos esten situados sobre la bisectriz del segundo y cuartocuadrante del plano z = 0.

Si planteamos despejar z en la forma z = 6x + y , resulta la funcion

f1(x, y) =3π

5(x2 + y2) + 6

anteriormente expresada, de modo que para el calculo de los puntos crıticos hay que resolver el sistema

6π5 x = 06π5 y = 0

z = 6x + y


que no tiene solucion: habrıa de ser x = y = 0, valores incompatibles con la tercera de las ecuaciones.Luego el problema planteado desde esta perspectiva parece no tener solucion.Si uno trata de utilizar el metodo de los multiplicadores de Lagrange, considerando la funcion

g(x, y, z) = f(x, y, z)− λϕ(x, y, z), se encuentra con una situacion analoga. De hecho, los puntos crıticossaldrıan en esta ocasion de la resolucion del sistema de ecuaciones siguiente,

∇g(x, y, z) = 0ϕ(x, y, z) = 0,

}

que resulta ser

3π5 x + z − λz = 03π5 y + z − λz = 0

x + y − λ(x + y) = 0 ≡ λ = 1z(x + y) − 6 = 0

xyz �=0≡

x = 0y = 0λ = 10 = 6

sistema que vuelve a resultar ser incompatible.La explicacion a este hecho la encontramos en el siguiente razonamiento: la funcion a minimizar es

f ≡ 3π5 (x2 + y2) + z(x + y) sujeta a la restriccion z(x + y) = 6, de modo que en definitiva se trata de

minimizar la funcion h ≡ 3π5 (x2 + y2) + 6 sujeto a z(x + y) = 6. Es claro que la funcion h es siempre

positiva y toma su mınimo absoluto en el origen de coordenadas, donde vale 6. La cuestion esta en que,mientras que las variables x e y no tomen simultaneamente el valor 0, siempre existe un valor z que hacedel producto z(x+y) igual a 6; es decir, que tenemos una sucesion infinita de puntos (x, y, z) que verificanla ligadura y tienden al mınimo de la funcion h, que es 6. Y esta sucesion es convergente al origen decoordenadas. Pero el origen de coordenadas no verifica la condicion de ligadura, de modo que no existesolucion del problema de minimizar la funcion h sujeta a la ligadura propuesta.

Como interpretacion geometrica, podemos concluir que mientras que los radios de los semicırculos seaniguales, el precio de la placa es optimo para la altura z de la etapa en cuestion, y cada vez menor cuantomas pequeno son dichos radios, de modo que el valor umbral se alcanzarıa para el radio 0, momento enel que la placa degenera de ser una superficie (objeto de dos dimensiones) a un simple segmento (objetode una sola dimension).

Captulo 5

Introduccion a la integracion defunciones

5.1 El problema del area

El calculo de areas ha sido constante preocupacion a lo largo de la historia. Son conocidas las formulasobtenidas para determinar el area de diferentes superficies planas: cuadrados, rectangulos, cırculos, etc.No obstante cuando la superficie esta delimitada por una curva no resulta tan facil obtener el area. Porejemplo el area del recinto delimitado por la curva de ecuacion y = x2 + 1

2 , el eje OX y las rectas x = 0y x = 2, mostrada en la Figura 5.1 no tiene una formula conocida.

0.5�

0.5�

1�

1�

1.5�

1.5�

2�

2�

0�

2.5�

2�

Figura 5.1: Area bajo una curva.

Para obtener el area S de este recinto utilizaremos el siguiente procedimiento de aproximacionessucesivas: En primer lugar se observa que dicha area se encuentra entre los valores de las areas s1 y S1 dedos rectangulos de base 2 y alturas respectivas los valores mınimo y maximo de f(x) en [0, 2] que, comola funcion es creciente en el intervalo [0, 2], son h0 = f(0) = 1

2 y H0 = f(2) = 52, respectivamente (vease

101

102 CAPTULO 5. INTRODUCCION A LA INTEGRACION DE FUNCIONES

la Figura 5.2). Por tanto,

s1 = 2 × 12

= 1, S1 = 2 × 52

= 5, =⇒ 1 ≤ S ≤ 5

0.5�

0.5�

1�

1�

1.5�

1.5�

2�

2�

0�

2.5�

s�1�

S�1�

Figura 5.2: Aproximaciones de S: s1 ≤ S ≤ S1.

Si partimos el intervalo [0, 2] en dos subintervalos iguales [0, 1] y [1, 2] y en cada uno de ellos obtenemoslos rectangulos de bases dichos subintervalos y de alturas los menores (mayores) valores de f(x) en ellostendremos nuevas y mejores aproximaciones por defecto s2 (por exceso S2) del area buscada (vease laFigura 5.3),

s2 = 1 × f(0) + 1 × f(1) = 1 × 12 + 1 × 1 = 3

2S2 = 1 × f(1) + 1 × f(2) = 1 × 1 + 1 × 5

2 = 72

}=⇒ 3

2≤ S ≤ 7

2

De la misma forma si partimos el intervalo en tres subintervalos de igual longitud y procedemos de lamisma forma obtendremos nuevas aproximaciones por defecto y por exceso del area S:

s3 = 23 × f(0) + 2

3 × f(23) + 2

3 × f(43) = 47

27S3 = 2

3 × f(23) + 2

3 × f(43) + 2

3 × f(2) = 8327

}=⇒ 47

27≤ S ≤ 83

27

Si de la misma forma dividimos el intervalo [0, 2] en n subintervalos de igual longitud, estos subin-

tervalos seran [2(k − 1)n , 2k

n ] (para k = 1, . . . , n), obtendremos dos sucesiones sn y Sn de aproximacionespor defecto y por exceso del area S que verifican

s1 ≤ s2 ≤ s3 ≤ . . . sn ≤ . . . ≤ S ≤ . . . ≤ Sn ≤ . . . S3 ≤ S2 ≤ S1

siendo sn (Sn) la suma de las areas de los n rectangulos de base 2n y alturas los valores menores (mayores)

de la funcion en cada uno de ellos que, por ser la funcion creciente, son los valores en los extremosizquierdos (derechos) de dichos intervalos (vease la Figura 5.4):

sn =n∑

k=1

2n

f(2(k − 1)

n) ; Sn =

n∑k=1

2n

f(2k

n)

5.1. EL PROBLEMA DEL AREA 103

0.5�

0.5�

1�

1�

1.5�

1.5�

2�

2�

0�

2.5�

s�2�

S�2�

0.5�

0.5�

1�

1�

1.5�

1.5�

2�

2�

0�

2.5�

S�3�

s�3�

Figura 5.3: Aproximaciones de S: s1 ≤ s2 ≤ s3 ≤ S ≤ S3 ≤ S2 ≤ S1.

0.5�

1�

1.5�

2�

2�

0�

2.5�

2(k-1)/n� 2k/n�

Figura 5.4: Obtencion de los terminos k–esimos de las sumas de Riemann, sn ≤ Sn.

Y tendremos

sn =n∑

k=1

2n

(2(k − 1)

n

)2

+ 1

2=

1n

n∑k=1

((2(k − 1)

n

)2

+ 1

)=

4n3

n∑k=1

(k − 1)2 + 1


pero teniendo en cuenta quen∑

i=1

i2 = n(n + 1)(2n + 1)6 sera

n∑k=1

(k − 1)2 = 0 + 12 + 22 + . . . + (n − 1)2 =n−1∑i=1

i2 =(n − 1)n(2n − 1)

6

y tendremos

sn =4n3

n∑k=1

(k − 1)2 + 1 =4n3

(n − 1)n(2n − 1)6

+ 1 =2(n − 1)(2n − 1)

3n2 + 1

De la misma forma obtenemos la sucesion de areas por exceso

Sn =n∑

k=1

2n

f(2k

n) =

2(n + 1)(2n + 1)3n2 + 1

Si procedemos indefinidamente (paso al lımite cuando n → ∞) obtendremos el valor del area

S = limn→∞ sn = lim

n→∞Sn =43

+ 1 =73

5.2 La integral de Riemann

La integral de Riemann1 de una funcion f(x) en un intervalo [a, b] coincide con el area encerrada por lafuncion f(x), las rectas x = a y x = b y el eje OX , si f(x) es una funcion no negativa en dicho intervalo.Para su definicion utilizaremos un metodo similar al utilizado en el ejemplo anterior.

Llamaremos particion de un intervalo [a, b] a todo conjunto P = {x0, x1, . . . , xn} de numeros realesde forma que

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b

Es decir una particion divide el intervalo [a, b] en n intervalos mas pequenos de longitud ∆i = xi−xi−1,i = 1, . . . , n. Llamaremos norma de la particion P y la representaremos por |P| a la mayor de todas laslongitudes de los correspondientes subintervalos

|P| = maxi=1...n

∆i

Si todos los intervalos tienen la misma amplitud se dice que la particion es regular y en este casola norma serıa |P| = b − a

n , siendo n el numero de intervalos. Evidentemente la particion regular es,de todas las particiones del mismo numero de subintervalos, la que tiene menor norma. Por tanto, enuna particion cualquiera el numero de elementos sera n ≥ b − a

|P| y si la norma de un particion tiende a

cero, el numero de subintervalos tendera a infinito. El recıproco no es necesariamente cierto ya que siconsideramos, para cada n ∈ IN, la particion del intervalo [0, 1]:

Pn = {0,1n

,1

n − 1, . . . ,

13,12, 1}

todas tienen norma |Pn| = 12 y por tanto lim

n→∞ |Pn| = 12.

Dadas dos particiones P1 y P2 del intervalo [a, b], diremos que P2 es mas fina que P1 si todos lossubintervalos de P1 son subintervalos de P2, es decir P1 ⊂ P2. Por ejemplo la particion P2 = {0, 1, 2, 3, 4}es una particion del intervalo [0, 4] mas fina que P1 = {0, 2, 4}.

Evidentemente si P2 es mas fina que P1 se tiene |P2| ≤ |P1|. Esta relacion nos ofrece un orden parcialen el conjunto de particiones de un mismo intervalo.

Una vez introducidos estos conceptos previos pasaremos a definir la integral segun Riemann de unafuncion y = f(x) en un intervalo [a, b]. No para todas las funciones es posible definir dicha integral. Masadelante volveremos sobre este detalle, pero por ahora supongamos que f(x) es una funcion continua enel intervalo cerrado [a, b], como por ejemplo la que muestra la Figura 5.5.

1Debida a Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)

5.2. LA INTEGRAL DE RIEMANN 105

x�n�=b�0� a=x�0� x�1� x�k�x�k-1�x�3�x�2� x�n-1�

y=f(x)�

M�k�

m�k�

S�

Figura 5.5: Las sumas de Riemann.

Si tenemos una particion P = {a = x0, x1, x2, . . . , xk−1, xk, . . . , xn−1, xn = b}, en cada subintervalo[xk−1, xk] la funcion f(x) alcanza sus valores mınimo mk y maximo Mk. Tomaremos los rectangulosde base el subintervalo y alturas respectivas mk y Mk y realizamos la suma de todos los rectangulos,obteniendo dos sumas s(P) y S(P) llamadas respectivamente sumas inferiores y sumas superiores deRiemann para la particion P :

s(P) =n∑

k=1

mk(xk − xk−1) S(P) =n∑

k=1

Mk(xk − xk−1)

Estas sumas de Riemann tienen las siguientes propiedades:

1. Las sumas inferiores son crecientes, es decir si P ′ es una particion mas fina que P (P ⊂ P ′) entoncess(P) ≤ s(P ′).

2. Las sumas superiores son decrecientes, es decir si P ′ es una particion mas fina que P (P ⊂ P ′)entonces S(P) ≥ S(P ′).

3. Cualquier suma inferior es menor o igual que cualquier suma superior, es decir s(P) ≤ S(P ′), ∀P , P ′

particiones de [a, b].

Si repetimos este proceso con una sucesion de particiones P1, P2, . . ., cada vez mas finas y cuyanorma tienda a cero, tendremos una sucesion creciente de sumas inferiores sn y una sucesion decrecientede sumas superiores Sn, de forma que

s1 ≤ s2 ≤ · · · ≤ sn ≤ · · · · · · ≤ Sn ≤ · · · ≤ S2 ≤ S1

Si los lımites de estas sucesiones existen y son iguales se dice que la funcion f(x) es integrable segunRiemann o R-integrable en el intervalo [a, b] y a dicho valor comun se le conoce con el nombre de integraldefinida segun Riemann en dicho intervalo y se representa por:

∫ b

a

f(x) dx = limn→∞ sn = lim

n→∞Sn

No todas las funciones definidas en un intervalo cerrado son R-integrables en dicho intervalo. Acontinuacion enumeramos (sin proponernos entrar en su demostracion) algunas condiciones suficientes deintegrabilidad segun Riemann:

• Si f(x) es una funcion monotona en un intervalo cerrado [a, b] entonces f(x) es integrable segunRiemann en dicho intervalo.


• Si f(x) es una funcion continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces f(x) es integrable segunRiemann en dicho intervalo.

El recıproco de esta condicion no es siempre cierto, es decir toda funcion R-integrable en un intervalono tiene por que ser continua en dicho intervalo, como pone de manifiesto la condicion siguiente.

• Si f(x) es una funcion acotada que presenta un numero finito de puntos de discontinuidad en elintervalo [a, b], entonces f(x) es integrable segun Riemann en dicho intervalo.

NOTA: Observemos que en las sumas de Riemann tenemos sumas de rectangulos cuyas bases sonsubintervalos (cada vez mas pequenos) y cuyas alturas son valores de la funcion en dicho intervalo.Al pasar al lımite estas sumas “discretas” se convierten en una suma “continua”, de forma que cada“sumando” representa una porcion infinitesimal del area (dS), es decir, un rectangulo de base infinitesimal(infinitamente pequena) dx y altura el valor f(x) (vease la Figura 5.6), dS = f(x) dx.

b�0� a� dx�

y=f(x)�

f(x)�

dS�

Figura 5.6: La integral como suma continua.

Por lo tanto podemos entender que el area S es la suma de las infinitas areas infinitesimales dS:

S =∫ b

a

dS =∫ b

a

f(x) dx

La variable que aparece en la integral (en el caso anterior, x) es una variable “muerta” que desaparecera

una vez obtenida la integral. Es decir esta variable no influye en la integral, siendo∫ b

a

f(x) dx =∫ b

a

f(t) dt.

5.3 Propiedades de la integral de Riemann

Algunas de las propiedades mas importantes de la integral de Riemann son las siguientes:

• Propiedades relacionadas con el area:

1. Si la funcion f(x) es R-integrable y no negativa en el intervalo [a, b] entonces, por la forma deconstruir la integral de Riemann podemos afirmar que la integral de Riemann de f(x) en elintervalo [a, b] coincide con el area S de la figura delimitada por la curva y = f(x), las rectasx = a, x = b y el eje OX (vease la Figura 5.5):

S =∫ b

a

f(x) dx, si f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]

5.3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 107

2. Si la funcion es negativa en dicho intervalo, la relacion entre el area (que siempre es unacantidad positiva) y la integral es que tienen el mismo valor absoluto pero la integral deRiemann nos da un valor negativo, ya que cada uno de los sumandos de las sumas de Riemannson negativos, pues xi − xi−1 > 0 y mi, Mi ≤ 0. Entonces

S = −∫ b

a

f(x) dx, si f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a, b]

Y en general, si la funcion mantiene signo constante en el intervalo [a, b] tendremos

S =

∣∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣∣ , si f(x) tiene signo constante en [a, b]

3. Si f(x) es una funcion cualquiera R-integrable en [a, b], para obtener el area que esta encierracon el eje OX entre las abscisas x = a y x = b habremos de obtener los valores c1, . . . , cn enque esta curva corta al eje OX y tendremos intervalos donde la funcion tiene signo constantey en cada uno de ellos aplicar la propiedad anterior (vease la Figura 5.7), siendo entonces

b�0� a�

y=f(x)�

S�c�1�

c�2� c�3�

Figura 5.7: Area delimitada por la curva de una funcion cualquiera.

S =∣∣∣∣∫ c1

a

f(x) dx

∣∣∣∣+∣∣∣∣∫ c2

c1

f(x) dx

∣∣∣∣+ · · · +∣∣∣∣∣∫ b

cn

f(x) dx

∣∣∣∣∣4. Igualmente, para calcular el area delimitada por dos curvas f(x) y g(x) (vease la Figura 5.8)

obtendremos los puntos c1, . . . , cn en que se cortan ambas curvas, resolviendo la ecuacionf(x) = g(x), y la integral sera

0�

y=f(x)�

y=g(x)�c�1� c�2�

c�3�

f(c�2�) = g(c�2�)�

f(c�1�) = g(c�1�)�f(c�3�) = g(c�3�)�

Figura 5.8: Area delimitada por dos curvas.

S =∣∣∣∣∫ c2

c1

(f(x) − g(x)) dx

∣∣∣∣ + · · · +∣∣∣∣∣∫ cn

cn−1

(f(x) − g(x)) dx

∣∣∣∣∣


Por ejemplo, para calcular el area delimitada por las curvas f(x) = x2 y g(x) =√

x, obtenemoslos puntos de corte de ambas curvas, que se obtienen para aquellos valores tales que f(x) =g(x), es decir x2 =

√x, que son x = 0 y x = 1 (vease la Figura 5.9). Entonces el area encerrada

por ambas curvas sera:

S =∣∣∣∣∫ 1

0

(f(x) − g(x)) dx

∣∣∣∣ =∫ 1

0

(√

x − x2) dx

1�

1�

0�

y=x�2�

x=y�2�

Figura 5.9: Area encerrada por las parabolas y = x2 y x = y2.

Como veremos mas adelante esta ultima integral vale

S =∫ 1

0

(√

x − x2) dx =13

• Propiedades relacionadas con el integrando:

5. Linealidad de la integral respecto del integrando: Es facil observar que, debido a la propiedaddistributiva del producto respecto de la suma en las sumas de Riemann, si f(x) y g(x) sondos funciones integrables segun Riemann en [a, b] y α, β son dos numeros reales, la funcionα f(x) + β g(x) tambien es integrable segun Riemann en [a, b] y se verifica

∫ b

a

(α f(x) + β g(x)) dx = α

∫ b

a

f(x) dx + β

∫ b

a

g(x) dx

6. Si ∀x ∈ [a, b], f(x) ≥ 0:∫ b

a

f(x) dx ≥ 0

7. Si ∀x ∈ [a, b], f(x) ≥ g(x):∫ b

a

f(x) dx ≥∫ b

a

g(x) dx

8. Dada una funcion cualquiera, podemos ver facilmente que

∫ b

a

|f(x)| dx ≥∣∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣∣• Propiedades relacionadas con el intervalo de integracion:

5.4. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO INTEGRAL 109

9. Linealidad respecto del intervalo de integracion:Si f(x) es una funcion integrable segun Riemann en [a, b] y c es interior al intervalo (a < c < b),entonces f(x) es R-integrable en los intervalos [a, c] y [c, b], siendo

∫ b

a

f(x) dx =∫ c

a

f(x) dx +∫ b

c

f(x) dx

10.∫ a

a

f(x) dx = 0

11.∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx

5.4 Teoremas fundamentales del calculo integral

En esta seccion estableceremos la relacion que existe entre la integral de Riemann y el calculo de derivadas(mas concretamente el calculo de funciones antiderivadas). Esta relacion nos permitira obtener, de unaforma mas sencilla que el proceso descrito anteriormente de sumas de Riemann, el valor de una integral.

Sea f(t) una funcion R-integrable en el intervalo [a, b]. En tal caso esta funcion es R-integrable encualquier subintervalo [a, c], c ≤ b. Nos planteamos estudiar la funcion

s(x) =∫ x

a

f(t) dt, x ∈ [a, b]

Si la funcion f(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b], esta funcion representa el area encerrada por la curva y = f(t), eleje de abscisas y las rectas t = a y t = x, como se aprecia en la Figura 5.10:

Primer teorema fundamental del calculo integral: La derivada de la funcion s(x), antes definida,coincide en cada punto con el valor de la funcion f(x):

s′(x) =d

dx

∫ x

a

f(t) dt = f(x), ∀x ∈ [a, b]

b�0� a� x�

y=f(t)�

b�0� a� x�

y=f(t)�

x+h�

m� M�

h�

Figura 5.10: Primer teorema fundamental del calculo integral.

En efecto, calculemos s′(x):

s′(x) = limh→0

s(x + h) − s(x)h

= limh→0

1h

(∫ x+h

a

f(t) dt −∫ x

a

f(t) dt

)= lim

h→0

1h

∫ x+h

x

f(t) dt


Ahora bien, la ultima integral representa el area encerrada por la curva y = f(x) en el intervalo [x, x+h](Figura 5.10). Este area se encuentra comprendida entre las areas de los rectangulos de base h y alturasrespectivas los valores mınimo m(h) y maximo M(h) de la funcion en dicho intervalo:

m(h)h ≤∫ x+h

x

f(t) dt ≤ M(h)h

siendo entonces

m(h) ≤ 1h

∫ x+h

x

f(t) dt ≤ M(h)

y teniendo en cuenta que al pasar al lımite cuando la amplitud h del intervalo tiende a 0, se tienelimh→0

m(h) = limh→0

M(h) = f(x), tendremos

s′(x) = limh→0

1h

∫ x+h

x

f(t) dt = f(x)

Segundo teorema fundamental del calculo integral (Regla de Barrow): Si F (x) es unafuncion cuya derivada coincide con el valor de la funcion f(x) en todo el intervalo [a, b] (F ′(x) = f(x), ∀x ∈[a, b]),2 entonces ∫ b

a

f(x) dx = F (b) − F (a)

NOTA: La diferencia de valores F (b) − F (a) se suele denotar por [F (x)]ba.En efecto, sabemos que la funcion area s(x) definida anteriormente tambien tiene por derivada la

funcion f(x) en cada punto, por lo tanto las dos funciones s(x) y F (x), al tener ambas la misma derivadaen cada punto, se diferenciaran en una constante. Es decir, existe una constante C ∈ IR tal que

s(x) =∫ x

a

f(t) dt = F (x) + C, ∀x ∈ [a, b]

Entonces, como s(a) es un area nula, F (a) + C = s(a) = 0 y tenemos el valor de la constanteC = −F (a), siendo s(x) = F (x) − F (a), ∀x ∈ [a, b] y particularmente s(b) = F (b) − F (a), con lo que setiene el resultado requerido: ∫ b

a

f(x) dx = s(b) = F (b) − F (a)

5.5 La integral indefinida. Calculo de primitivas

Los teoremas fundamentales del calculo integral, y mas concretamente la regla de Barrow, nos establecenun vınculo entre el calculo integral y el calculo diferencial ya que podremos obtener el valor de unaintegral de Riemann de una funcion f(x) en un intervalo (integral definida) simplemente evaluando enlos extremos del intervalo de integracion cualquier funcion primitiva de la funcion f(x), es decir cualquierfuncion F (x) cuya derivada sea la funcion f(x). Por este motivo resulta de especial importancia laobtencion de funciones primitivas de una funcion dada.

Es claro que dada una funcion f(x), si existe la funcion F (x) primitiva de f(x), esta no es unica, yaque anadiendo cualquier constante obtendrıamos otra funcion que tambien es primitiva de f(x). Tambienes claro que dos primitivas de una misma funcion se diferencian en una constante.

Al conjunto de todas las primitivas de una funcion f(x) se le llama integral indefinida de f(x) y serepresenta por ∫

f(x) dx

entonces si F (x) es una funcion primitiva de f(x),∫f(x) dx = F (x) + C

2Tal funcion F (x) (tal que F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b]) se conoce con el nombre de funcion primitiva o antiderivada de lafuncion f(x).

5.5. LA INTEGRAL INDEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS 111

siendo C una constante cualquiera.Por ejemplo, sabemos que la derivada de x2 es la funcion 2x, por lo tanto∫

2xdx = x2 + C

Al calculo de funciones primitivas iran encaminados nuestros esfuerzos sucesivos. En primer lugar, ydebido a que buscar la funcion primitiva de una funcion f(x) consiste en localizar las funciones F (x) cuyaderivada sea f(x), una lectura en sentido inverso de la tabla de derivadas y sus propiedades mas sencillas,nos aportara una lista de funciones primitivas, conocidas con el nombre de integrales inmediatas. Unalista de tales integrales inmediatas se muestra en la siguiente tabla:

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS∫

k f(x) dx = k

∫f(x) dx

∫[f(x) + g(x)] dx =∫f(x) dx +

∫g(x) dx∫

un du =un+1

n + 1+ C (n �= −1)

∫1u

du = ln |u| + C∫eu du = eu + C

∫au du =

au

ln a+ C (a > 0)∫

senu du = − cosu + C

∫cosu du = sen u + C∫

1cos2 u

du = tg u + C

∫1

sen2 udu = − cotg u + C∫

1√1 − u2

du = arcsenu + C =

− arccosu + C′

∫1

1 + u2 du = arctg u + C =

− arccotg u + C′

En esta tabla la variable de integracion puede ser sustituida, en virtud de la regla de la cadena, porcualquier funcion u(x). Por ejemplo en la integral∫

2x + 1x2 + x + 3

dx =∫

(2x + 1)dx

x2 + x + 3=∫

d(x2 + x + 3)x2 + x + 3

= ln |x2 + x + 3| + C

hemos aplicado la integral inmediata∫

1u

du = ln |u| + C, siendo u = x2 + x + 3.

Podemos obtener funciones primitivas de funciones mas complejas que las estudiadas anteriormente,mediante procesos que nos permitan transformar el calculo de tales primitivas en una de las integralesinmediatas. Tales procesos se conocen con el nombre de metodos o tecnicas de integracion. Veremos eneste curso algunos de estos metodos, como son los metodos de integracion por sustitucion y metodo deintegracion por partes.

5.5.1 Metodo de integracion por sustitucion o por cambio de variable

Si queremos calcular la integral∫

f(x) dx, muchas veces resulta util realizar un cambio de variables,

x = g(t), siendo entonces dx = g′(t) dt, y transformar la integral en una nueva integral∫f(x) dx =

∫f [g(t)] g′(t) dt =

∫h(t) dt

resolver esta integral y despues deshacer el cambio∫f(x) dx =

∫h(t) dt = F (t) + C = T [g−1(x)] + C

Por ejemplo, para calcular la integral∫

x3√

x4 + 1 dx, realizamos el cambio de variables x4 + 1 = t,

siendo entonces 4x3 dx = dt, quedando∫x3√

x4 + 1 dx =[

x4 + 1 = t4x3 dx = dt

] ∫dt

4

√t dt =

t3/2

6=

16

√t3 =

16

√(x4 + 1)3 + C


Aunque no existe una regla general que nos permita saber cual es el cambio de variables que tendremosque realizar, si que existen algunos cambios de variable que, combinados con la utilizacion de formulasconocidas, suelen ser de utilidad en determinados casos. Entre estos cambios se encuentran los siguientes:

• Integrales trigonometricas:

Integrales del tipo∫

senn xdx,∫

cosn xdx,∫

senn x cosm xdx

1.∫

senn xdx con n natural impar: Hacemos el cambio cosx = t y utilizamos la igualdad

sen2 x + cos2 x = 1.

Por ejemplo si tenemos la integral∫

sen7 xdx:

∫sen7 xdx =

∫sen6 x sen xdx =

∫(1 − cos2 x)3 senxdx

y haciendo el cambio cosx = t, tendremos − senxdx = dt, entonces∫sen7 xdx =

∫(1 − cos2 x)3 senxdx = −

∫(1 − t2)3 dt =

∫(t6 − 3t4 + 3t2 − 1) dt

y esta integral ya es inmediata∫

(t6 − 3t4 + 3t2 − 1) dt =t7

7− 3t5

5+ t3 − t, entonces

∫sen7 xdx =

cos7 x

7− 3 cos5 x

5+ cos3 x − cosx + C

2.∫

cosn xdx con n natural impar:

Hacemos el cambio sen x = t y utilizamos la igualdad sen2 x + cos2 x = 1

3.∫

senn xdx o∫

senn xdx, con n natural par:

La haremos utilizando sucesivamente las razones trigonometricas del angulo mitad

sen2 x =1 − cos 2x

2cos2 x =

1 + cos 2x

2

Por ejemplo, la integral∫

cos6 xdx:

∫cos6 xdx =

∫(cos2 x)3 dx =

∫ (1 + cos 2x

2

)3

dx =

=18

∫ (1 + 3 cos 2x + 3 cos2 2x + cos3 2x

)dx =

18

(x +

32

sen 2x + 3I1 + I2

)

donde I1 =∫

cos2 2xdx es una nueva integral de este tipo (n par, pero mas pequeno) e

I2 =∫

cos3 2xdx lo es del tipo anterior (n impar):

I1 =∫

cos2 2xdx =∫ (

1 + cos 4x

2

)dx =

x

2+

sen 4x

8

I2 =∫

cos3 2xdx =∫

cos2 2x cos 2xdx =∫

(1 − sen2 2x) cos 2xdx =

=[

sen 2x = t2 cos 2xdx = dt

] ∫(1 − t2)

dt

2=

t

2− t3

6=

sen 2x

2− sen3 2x

6


Entonces ∫cos6 xdx =

18

(x +

32

sen 2x + 3(

x

2+

sen 4x

8

)+

sen 2x

2− sen3 2x

6

)=

=5x

16+

sen 2x

4− sen3 2x

48+

3 sen 4x

64+ C

4.∫

senn x cosm xdx siendo n entero impar (o m entero impar):

Hacemos cosx = t (o sen x = t) y procedemos como en el caso 1.

Por ejemplo, para calcular∫

sen3 x

cos4 xdx:

∫sen3 x

cos4 xdx =

∫sen2 x cos−4 x sen xdx =

∫(1 − cos2 x) cos−4 x sen xdx =

=∫ (

cos−4 x − cos−2 x)sen xdx =

[cosx = t− senxdx = dt

] ∫ (t−4 − t−2

)(−dt) =

=∫ (

t−2 − t−4)

dt =t−1

−1− t−3

−3= −1

t+

13t3

= − 1cosx

+1

3 cos3 x+ C

5.∫

senn x cosm xdx siendo n y m enteros pares:

En este caso procederemos como en el caso 3.

Por ejemplo,∫

sen2 x cos4 xdx.

∫sen2 x cos4 xdx =

∫1 − cos 2x

2

(1 + cos 2x

2

)2

dx =

=18

∫ (1 + cos 2x − cos2 2x − cos3 2x

)dx =

18

(x +

sen 2x

2− I1 − I2

)

siendo I1 e I2 las integrales:

I1 =∫

cos2 2xdx =∫

1 + cos 4x

2dx =

x

2+

sen 4x

8

I2 =∫

cos3 2xdx =∫

cos2 2x cos 2xdx =∫

(1 − sen2 2x) cos 2xdx =

=[

sen 2x = t2 cos 2xdx = dt

] ∫(1 − t2)

dt

2=

t

2− t3

6=

sen 2x

2− sen3 2x

6

Por lo tanto∫sen2 x cos4 xdx =

18

(x +

sen 2x

2− x

2− sen 4x

8− sen 2x

2+

sen3 2x

6

)=

=x

16+

sen3 2x

48− sen 4x

64+ C

• Integrales irracionales:

Integrales que contienen las expresiones√

a2 − x2,√

a2 + x2 o√

x2 − a2.

Los cambios de variable que se realizaran y las simplificaciones son las siguientes:


1. Si se tiene√

a2 − x2, hacemos x = a sen t, entonces√a2 − x2 =

√a2 − a2 sen2 t = a cos t

Calculemos la integral∫ √

a2 − x2 dx:

∫ √a2 − x2 dx =

x = a sen t

dx = a cos t dt√a2 − x2 = a cos t

∫ a2 cos2 t dt =

a2

2

∫(1 + cos 2t) dt =

=a2

2

(t +

sen2t

2

)=

a2

2(t + sen t cos t)

y para deshacer el cambio tenemos en cuenta que a sen t = x, entonces t = arcsen xa y cos t =

√1 − sen2 t =

√1 − x2

a2 =√

a2 − x2

a :

∫ √a2 − x2 dx =

a2

2(t + sen t cos t) =

a2

2

(arcsen

x

a+

x

a

√a2 − x2

a

)=

=a2

2arcsen

x

a+

x

2

√a2 − x2 + C

2. Si se tiene√

a2 + x2, hacemos x = a tg t, entonces√

a2 + x2 =√

a2 + a2 tg2 t =a

cos t

Como ejemplo calculemos la integral∫

dx

x2√

25 + x2.

∫dx

x2√

25 + x2=

x = 5 tg t

dx = 5cos2 t

dt√25 + x2 = 5

cos t

∫

5cos2 t

dt

25 tg2 t 5cos t

=

=125

∫cos t

sen2 tdt =

[u = sen tdu = cos t dt

]125

∫du

u2 = − 125u

= − 1sen t

para deshacer el cambio de variable, tenemos en cuenta que x = 5 tg t, es decir tg t = x5 ,

entonces:

1sen t

=

√1

sen2 t=√

1 + cotg2 t =

√1 +

1tg2 t

=

√1 +

25x2 =

√25 + x2

x

por lo tanto ∫dx

x2√

25 + x2dx = −

√25 + x2

25x+ C

3. Si se tiene√

x2 − a2, hacemos x = acos t , entonces

√x2 − a2 =

√a2

cos2 t− a2 = a tg t

Por ejemplo, calculemos la integral∫ √

x2 − 1x3 dx

∫ √x2 − 1x3 dx =

x = 1

cos tdx = sen t

cos2 tdt√

x2 − 1 = tg t

=

∫tg t1

cos3 t

sen t

cos2 tdt =

∫sen2 t dt =


=∫

1 − sen 2t

2dt =

t

2− sen 2t

4=

t

2− sen t cos t

2

y para deshacer el cambio, x = 1cos t :

cos t =1x

, sen t =

√1 − 1

x2 =√

x2 − 1x

, t = arccos1x∫ √

x2 − 1x3 dx =

12

arccos1x−

√x2 − 12x2 + C

5.5.2 Metodo de integracion por partes

Este metodo se basa en la formula para obtener la funcion derivada de un producto de dos funcionesu(x) · v(x). Sabemos que [u(x) · v(x)]′ = u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x), entonces teniendo en cuenta que ladiferencial de una funcion es df(x) = f ′(x) dx, tendremos

d(u · v) = [u(x) · v(x)]′dx = u′(x) dx · v(x) + u(x) · v′(x) dx = v · du + u · dv

es deciru · dv = d(u · v) − v · du

tomando integrales, y teniendo en cuenta que∫

d(u · v) = u · v, obtenemos la formula de integracion por

partes ∫u · dv = u · v −

∫v · du

Como ejemplo calculemos la integral∫

x ln x dx. Si hacemos u = lnx y dv = xdx, la integral

propuesta es∫

u · dv. Ahora bien, si u = lnx, du = u′ dx = 1x dx, y si dv = xdx, entonces v =

∫dv =∫

xdx =x2

2, por lo que

∫x ln x dx =

∫u · dv = u · v −

∫v · du = ln x

x2

2−∫

x2

21x

dx

pero esta ultima integral es inmediata:∫x ln x dx =

x2

2ln x −

∫x

2dx =

x2

2ln x − x2

4+ C

5.5.3 Los metodos de integracion en la integral definida

Veamos como afecta el uso de los metodos de integracion al calculo de una integral definida∫ b

a

f(x) dx.

Para ello hemos de tener en cuenta la regla de Barrow, es decir si F (x) es una funcion primitiva de f(x),

entonces∫ b

a

f(x) dx = F (b) − F (a).

Metodo del cambio de variable: Si en una integral realizamos el cambio de variable x = g(t), ysabemos que los valores a y b se obtienen para los valores t1 y t2, respectivamente: a = g(t1) y b = g(t2),entonces al aplicar el metodo de integracion por cambio de variable tendremos:∫ b

a

f(x) dx =∫ t2

t1

f(g(t))g′(t) dt =∫ t2

t1

h(t) dt == [H(t)]t2t1 = H(t2) − H(t1)

donde H(t) es una funcion primitiva de h(t).Calculemos como ejemplo el area del cırculo de radio r. Si centramos el cırculo en el origen, la

circunferencia exterior verifica la ecuacion x2 + y2 = r2, por lo tanto (vease la Figura 5.11) el area delcırculo sera

S = 4∫ r

0

√r2 − x2 dx


0�

x�2 �+ y�2 �= r�2�

r�

Figura 5.11: El area del cırculo x2 + y2 ≤ r2.

Si efectuamos el cambio x = r sen t, hemos de tener en cuenta que los extremos de integracion son0 = r sen 0 y r = r sen π

2 , entonces:

S = 4∫ r

0

√r2 − x2 dx =

x = r sen tdx = r cos t dtx = 0 → t = 0x = r → t = π

2

4∫ π

20

√r2 − r2 sen2 t r cos t dt = 4r2

∫ π2

0

cos2 t dt

y para resolver esta integral tengamos en cuenta que cos t =

√1 − cos(2t)

2 y por tanto cos2 t =

1 − cos(2t)2 = 1

2 − cos(2t)2 .

S = 4r2

∫ π2

0

cos2 t dt = 4r2

∫ π2

0

(12− cos(2t)

2

)dt = 4r2

[t

2+

sen(2t)4

]π2

0

= π r2

Metodo de integracion por partes: Cuando tratamos de integrales definidas es facil observar,teniendo en cuenta la regla de Barrow, que la formula de integracion por partes se transforma en laformula ∫ b

a

u · dv = [u · v]ba −∫ b

a

v · du

donde [u · v]ba = u(b) · v(b) − u(a) · v(a).

Por ejemplo, calculemos∫ e

1

ln xdx:

∫ e

1

ln xdx =[

u = ln x → du = dxx

dv = dx → v = x

][x ln x]e1 −

∫ e

1

dx = e − [x]e1 = e − (e − 1) = 1

Apendice A

Calculo de lımites de funciones deuna variable: Guıa rapida

Llamaremos entorno reducido de un punto a ∈ IR a los intervalos que se forman al eliminar a de unintervalo abierto que contenga el punto a. Por ejemplo, para δ > 0, (a− δ, a)∪ (a, a + δ), conjunto de lospuntos x ∈ IR tales que 0 < |x− a| < δ, constituye un entorno reducido de a, que llamamos δ-entorno dea.

Un entorno reducido de ±∞ es cualquier intervalo abierto con extremo ±∞. Por ejemplo, para δ > 0,(−∞,−δ) y (δ, +∞) son entornos reducidos de −∞ e ∞, respectivamente; que llamamos δ-entornos de±∞.

En adelante, para denotar que a ∈ IR o a = ±∞ escribiremos sencillamente que a es finito o infinito.Sea f : D ⊆ IR → IR definida en un entorno reducido de a, para a finito o infinito. Se dice que la

funcion f tiene lımite l (finito o infinito) en el punto a, y se nota l = limx→a

f(x), cuando para cada numeroreal ε > 0 existe un δ-entorno reducido de a de modo que para todos los x de dicho entorno se tiene quef(x) pertenece al ε-entorno de l. En otras palabras:

• Para a finito y l finito: se tiene que limx→a

f(x) = l si, y solo si, para todo ε > 0 existe un δ > 0

tal que |f(x) − l| < ε para todos los x ∈ D con 0 < |x − a| < δ.

Por ejemplo, se tiene que limx→0

x ln |x| = 0.

1

2 APENDICE A. CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: GUIA RAPIDA

-4 -2 2 4

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Figura A.1: Lımite l finito en un punto a finito

• Para a finito y l infinito: se tiene que limx→a

f(x) = ∞ (resp., limx→a

f(x) = +∞), si para todo ε > 0

existe un δ > 0 tal que f(x) > k (resp., f(x) < −k) para todos los x ∈ D con 0 < |x − a| < δ.

Por ejemplo, se tiene que limx→0

ln |x| = −∞.

-4 -2 2 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

Figura A.2: Lımite l infinito en un punto a finito

• Para a infinito y l finito: se tiene que limx→∞ f(x) = l (resp., lim

x→−∞ f(x) = l) si, y solo si, para

todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que |f(x) − l| < ε para todos los x ∈ D con x > δ (resp. x < −δ).

Por ejemplo, se tiene que limx→−∞ ex = 0.

3

-4 -2 2 4

10

20

30

40

50

60

70

Figura A.3: Lımite l finito en un punto a infinito

• Para a infinito y l infinito: se tiene que limx→∞ f(x) = ∞ (resp., lim

x→−∞ f(x) = ∞) si, y solo si,

para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que f(x) > ε para todos los x ∈ D con x > δ (resp. x < −δ).Analogamente, se tiene que lim

x→∞ f(x) = −∞ (resp., limx→−∞ f(x) = −∞) si, y solo si, para todo

ε > 0 existe un δ > 0 tal que f(x) < −ε para todos los x ∈ D con x > δ (resp. x < −δ).

Por ejemplo, se tiene que limx→∞ ex = ∞.

-4 -2 2 4

10

20

30

40

50

60

70

Figura A.4: Lımite l infinito en un punto a infinito

Es facil demostrar que si f tiene lımite en un punto a, dicho lımite es unico. Mas aun, si l es finito,en ese caso f esta acotada en un entorno de a, y si l �= 0 ademas f tiene el mismo signo que l en unentorno suficientemente pequeno de a.

Con normalidad, un lımite se podra calcular mediante sustitucion directa, a veces previa manipulacionalgebraica:

• limx→1

x − 1x + 1

=1 − 11 + 1

=02

= 0.

• limx→∞

x3 + x − 2−3x4 + 1

= limx→∞

(x3

x4· 1 + 1

x

−3 + 1x4

)= lim

x→∞

(− 1

x· 13

)= 0.

• limx→2

1x − 2

no existe, puesto que en cualquier entorno reducido de 2 la funcion f(x) no toma valores

alrededor de un mismo punto l: cuando x se aproxima a 2 por valores mas pequenos que el propio

2, x − 2 se aproxima a 0 por valores negativos, de donde1

x − 2se aproxima a −∞; por otra parte,

cuando x se aproxima a 2 por valores mayores que 2, x−2 se aproxima a cero por valores positivos,

de donde1

x − 2tiende a +∞.

En este ultimo ejemplo ha surgido la nocion de lımite lateral, por la izquierda o por la derecha,segun nos aproximemos al punto a por valores estrictamente menores o mayores, respectivamente; quedenotamos por lim

x→a−f(x) y lim

x→a+f(x), segun sea el caso. Ası, existe lim

x→af(x) = l si, y solo si, existen

los lımites laterales y coinciden con dicho valor, limx→a−

f(x) = limx→a+

f(x) = l.


Por ejemplo, limx→0

x2 + 2x√x3 + 4x2

= limx→0

x(x + 2)√x2

√x + 4

= limx→0

x

|x| , que no existe, puesto que los lımites

laterales son distintos: limx→0−

x

|x| = limx→0−

x

−x= −1, mientras que lim

x→0+

x

|x| = limx→0+

x

x= 1 �= −1.

En lo que sigue, indistintamente es a finito o infinito. Algunas propiedades basicas concerniendo alımites y funciones son:

1. Si limx→a

f(x) = l ∈ IR, entonces para cualquier k real con k < l (resp., k > l) existe un entorno

reducido de a de modo que k < f(x) (resp., k > f(x)).

2. Mas aun, si limx→a

f(x) = l ∈ IR y limx→a

g(x) = m ∈ IR con l < m, entonces f(x) < g(x) en un entornoreducido de a.

3. Si limx→a

f(x) = l ∈ IR y k es un numero real con k < f(x) (resp., k > f(x)) en un entorno reducido

de a, entonces se tiene que k ≤ l (resp., k ≥ l).

4. Mas aun, si limx→a

f(x) = l ∈ IR, limx→a

g(x) = m ∈ IR y f(x) < g(x) en un entorno reducido de a,entonces l ≤ m.

5. Si f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) en un entorno reducido de a y limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = l, entonces existe

limx→a

h(x) = l. Esta propiedad se conoce como regla del sandwich o del emparedado.

6. El algebra de lımites se adapta a las operaciones aritmeticas elementales, de modo que los lımitesde sumas, productos, cocientes, logaritmos y exponenciaciones resultan ser las sumas, productos,cocientes, logaritmos y exponenciaciones de los lımites correspondientes, siempre que estos estendefinidos. En concreto, si lim

x→af(x) = l y lim

x→ag(x) = m, entonces:

• limx→a

(f(x) + g(x)) = l + m, siempre que no de lugar a una expresion del tipo ∞−∞.

• limx→a

(f(x) · g(x)) = l · m, siempre que no de lugar a una expresion del tipo ±0 · ∞.

• limx→a

f(x)g(x)

=l

m, siempre que no de lugar a una expresion del tipo

00

o ±∞∞ .

• limx→a

logb f(x) = logb l, para l, b > 0, b �= 1.

• limx→a

bf(x) = bl, para b > 0.

• limx→a

g(x)f(x) = ml, siempre que no de lugar a una expresion del tipo 1∞, ∞0 o 00.

Hemos de hacer notar que las unicas indeterminaciones existentes en el calculo de lımites son las 7contempladas en el apartado anterior:

∞−∞, 0 · ∞,00,∞∞ , 1∞, ∞0 y 00

En realidad, las tres ultimas se reducen a las anteriores tomando logaritmos neperianos, de modo quelimx→a

f(x)g(x) = limx→a

eg(x) ln(f(x)).Cualquier otra expresion involucrando los valores 0, 1 y ∞ no son indeterminaciones, como por

ejemplo los casos∞ + ∞(= +∞), −∞−∞(= −∞), ±∞ ·∞(= ±∞),

0∞ (= 0),

∞0

(= ±∞),c

∞ (= 0),c

0(= ±∞), logb>1 ∞(= +∞),

logb<1 ∞(= −∞), logb>1 0+(= −∞), logb<1 0+(= +∞),

(b > 1)+∞(= +∞), (|b| < 1)+∞(= 0), (b ≤ −1)+∞(= ∃/),

(|b| > 1)−∞(= 0), (0 < b < 1)−∞(= +∞), (−1 < b < 0)−∞(= ∃/), 0+∞(= 0),

0−∞(= +∞), +∞+∞(= +∞), (−∞)+∞(= ∃/), (±∞)−∞(= 0).

5

A la hora de resolver de manera efectiva un lımite, se suele emplear el metodo de sustitucion directa,siempre que no origine una indeterminacion; en cuyo caso, a veces resulta ventajoso utilizar infinitesimose infinitos equivalentes, o incluso la regla de L’Hopital.

Una funcion f : D ⊆ IR → IR es un infinitesimo (resp., infinito) en a (finito o infinito) cuando existelimx→a

f(x) = 0 (resp., = ±∞).

Por ejemplo, x−a, sen(x−a), tg(x−a), ln(1+x−a), 1−cos(x−a), e−(1+x−a)1

|x−a| son infinitesimos

en x = a, para a ∈ IR, y1x

, e−x,1

ln x, e −

(1 +

1x

)x

son infinitesimos en x = ∞.

Por su parte, x, ex, ln x son infinitos en x = ∞, y1

|x − a| , ln |x− a| son infinitos en x = a, con a ∈ IR.

Podemos destacar las siguientes propiedades:

1. Si f es un infinitesimo en a y g esta acotada en un entorno reducido de a, entonces su producto

fg es un infinitesimo en a. Ejemplo: x es un infinitesimo en x = 0 y sen1x

esta acotada en todo su

dominio de definicion, de donde x · sen 1x

tambien es un infinitesimo en x = 0.

2. Si f es un infinito del tipo +∞ (resp., −∞) en a y g esta acotada inferiormente (resp., superiormente)en un entorno de a, entonces f + g es asimismo un infinito del mismo tipo. Ejemplo: −x es uninfinito en x = −∞, y ex esta acotada inferiormente (por 0), de donde ex − x es un infinito enx = −∞.

3. f es un infinito en a si, y solo si,1f

es un infinitesimo en a. Hay que tener cuidado con este enunciado,

porque no serıa del todo cierto si cambiamos los nombres de sitio: f puede ser un infinitesimo en

x = a y1f

no ser un infinito en x = a, por la sencilla razon de que no exista limx→a

1f(x)

. Es el caso de

f(x) = x en x = 0. Sı serıa cierto que f es un infinitesimo en x = a si, y solo si,1|f | es un infinito

en x = a. Es importante entender la sutil diferencia al considerar1f

o1|f | , que pueden dar lugar a

valores ±∞ y exclusivamente ∞ alrededor de un cero de f , respectivamente.

Los infinitesimos (resp., infinitos), pueden compararse entre sı, para determinar la velocidad relativacon la que se aproximan a 0 (resp., ±∞). Ası:

• Si f y g son dos infinitos (resp., infinitesimos) en a yf

ges asimismo otro infinito (resp., infinitesimo)

en a, entonces se dice que f es de mayor orden que g y se nota ordx→a

(f(x)) > ordx→a

(g(x)). Al compararlos ordenes de los infinitos usuales, resulta que

ordx→+∞(lnp x) < ord

x→+∞(xq) < ordx→+∞(bx) < ord

x→+∞(xcx)

para b, c, p, q > 0. Es por eso que

limx→∞

lnp x

xq= lim

x→∞xq

bx= lim

x→∞bx

xcx= ∞.

• Si limx→a

g(x)f(x)

= 0 se dice que g(x) es despreciable frente a f(x) en un entorno de a, y se denota

g(x) = o(f(x)), siguiendo la notacion de Landau. En definitiva, g(x) es de un orden inferior a f(x)en un entorno de a.

• Si limx→a

g(x)f(x)

= l ∈ IR − {0}, entonces f(x) y g(x) son del mismo orden en un entorno de a y se

nota g(x) = O(f(x)). Por ejemplo, f(x) = (1 + x)1

|x| y g(x) = e son del mismo orden en x = 0, de

suerte que limx→0

(1 + x)1

|x| = e. Analogamente, h(x) =(

1 +1x

)x

y g(x) = e son del mismo orden


en x = +∞, dado que limx→∞

(1 +

1x

)x

= e. De hecho, estos dos lımites son de mucha ayuda para

resolver en multitud de ocasiones indeterminaciones del tipo 1∞.

• Si limx→a

f(x)(x − a)α

= l ∈ IR−{0}, entonces ordx→a

(f(x)) = α ∈ IR. Analogamente, en el caso de infinitos,

si limx→∞

f(x)xα

= l ∈ IR − {0}, entonces ordx→∞(f(x)) = α ∈ IR.

• Dos funciones f y g con el mismo lımite en un punto a se dicen equivalentes en a, y se nota fa∼ g,

cuando f(x) = g(x) + o(g(x)) en un entorno de a.

Funciones f y g equivalentes en a pueden sustituirse una por otra en el calculo de lımites en a decocientes o productos:

limx→a

h(x) · f(x) = limx→a

h(x) · g(x), limx→a

h(x)f(x)

= limx→a

h(x)g(x)

.

• Los infinitesimos equivalentes en x = 0 mas utilizados son del tipo

ε(x) ∼ eε(x) − 1 ∼ sen ε(x) ∼ tg ε(x) ∼ ln(1 + ε(x)) y 1 − cos ε(x) ∼ ε2(x)2

,

frecuentemente tomando ε(x) = x.

Veamos algunos ejemplos:

• limx→1

x ln x

x2 − 1= lim

x→1

x ln(1 + (x − 1))(x + 1)(x − 1)

= limx→1

x

x + 1=

12.

• limx→0+

x ln x

x2 − 1= − lim

x→0+x ln x = lim

x→0+

ln 1x

1x

= 0, puesto que − ln x = lnx−1 = ln1x

y cuando x → 0+

se tiene que y =1x→ +∞. Ademas, por otra parte, ya se vio antes que ord

y→+∞(ln y) < ordy→+∞(y).

• limx→0

(cos x)cotg2 x = lim

x→0ecotg2 x·ln(cos x) = e−

12 , ya que lim

x→0cotg2 x · ln(cosx) =

limx→0

cos2 x ln(1 + cosx − 1)sen2 x

= limx→0

cosx − 1sen2 x

= limx→0

−x2

2

x2= −1

2, utilizando los infinitesimos

equivalentes pertinentes en x = 0.

Para finalizar este breve repaso del calculo de lımites incluimos la Regla de L’Hopital. Este metodo

sirve a veces, en funciones de comportamiento adecuado, para resolver indeterminaciones del tipo00

o∞∞ . Observemos que las restantes indeterminaciones siempre se pueden llevar a una de estos tipos, conuna mınima manipulacion algebraica.

Regla de L’Hopital: sean f, g : IR → IR dos infinitos (resp., infinitesimos) en a (finito o infinito),ambos derivables en un entorno reducido de a, de modo que g′(x) �= 0 para todo x en dicho entorno

reducido. Si existe limx→a

f ′(x)g′(x)

= l, finito o infinito, entonces existe limx→a

f(x)g(x)

y vale l. El enunciado

tambien es valido si se sustituyen los lımites por lımites laterales.

Hemos de observar que sif ′(x)g′(x)

carece de lımite cuando x → a, entonces no se puede asegurar nada

acerca de la existencia o no del lımite limx→a

f(x)g(x)

. Este es el caso de los lımites limx→0

x2 sen 1x

senx(que existe y

vale 0) y limx→0

senx2

x cos 1x

(que no existe).

Ejemplos de aplicacion de la regla de L’Hopital los encontramos en la comparacion de algunos in-finitesimos e infinitos:

7

• limx→0+

x · ln x = limx→0+

ln x

x−1

L′H= limx→0+

x−1

−x−2= − lim

x→0+x = 0. Aquı hemos podido aplicar la regla de

L’Hopital porque tanto f(x) = lnx como g(x) =1x

son funciones derivables en un entorno reducido

de 0+ con g′(x) �= 0 (por ejemplo, el intervalo (0, 1)).

• Para p, q > 0, limx→∞

lnp x

xq

L′H= limx→∞

px−1 lnp−1 x

qxq−1=

p

q· lim

x→∞lnp−1 x

xq= · · · = 0, pues aplicando

sucesivamente la regla de L’Hopital y simplificando, la funcion del denominador se mantiene fija,xq, mientras que la del numerador va transformandose en lnk x para exponentes k cada vez maspequenos, de modo que llegara a ser k ≤ 0; resultando el lımite entonces igual a 0. Aquı hemospodido aplicar la regla de L’Hopital porque tanto f(x) = lnk x como g(x) = xq son funcionesderivables en un entorno reducido de ∞ con g′(x) �= 0 (por ejemplo, el intervalo (2,∞)).

• Para q, b > 0, limx→∞

xq

bx

L′H= limx→∞

qxq−1

bx ln b=

q

ln b· lim

x→∞xq−1

bx= · · · = 0, pues aplicando sucesivamente

la regla de L’Hopital y simplificando, la funcion del denominador se mantiene fija, bx, mientras quela del numerador va transformandose en xk para exponentes k cada vez mas pequenos, de modo quellegara a ser k ≤ 0; resultando el lımite entonces igual a 0. Aquı hemos podido aplicar la regla deL’Hopital porque tanto f(x) = xk como g(x) = bx son funciones derivables en un entorno reducidode ∞ con g′(x) = ln b · bx �= 0 (por ejemplo, el intervalo (2,∞)).

Hay que tener cuidado cuando se pretenda aplicar la regla de L’Hopital, porque puede dar lugar a laaparicion reiterada de indeterminaciones.

Por ejemplo, si b, c > 0, limx→∞

bx

xcx

L′H= limx→∞

bx ln b

c(ln x + 1)xcx

L′H= · · · lo que abre un proceso sin fin. Sin

embargo, si directamente se hubiera planteado limx→∞

bx

xcx= lim

x→∞

(b

xc

)x

= 0, pues es un lımite del tipo

0∞, que ni por asomo constituye una indeterminacion.Tambien es frecuente cometer un error al tratar de aplicar la regla de L’Hopital a cocientes de funciones

que no son simultaneamente infinitos o infinitesimos.

Por ejemplo, limx→0

x2

ex − 1L′H= lim

x→0

2x

ex. Muchos tendran la tentacion de aplicar nuevamente la regla de

L’Hopital para decir que

limx→0

2x

ex

¿L′H?= lim

x→0

2ex

= 2,

lo cual es absurdo, dado que, por sustitucion directa, se tiene que limx→0

2x

ex=

01

= 0. El error sobreviene

al aplicar la regla de L’Hopital indebidamente en el lımite limx→0

2x

ex: aunque 2x sı es un infinitesimo en

x = 0, la funcion del denominador, ex, no lo es, puesto que e0 = 1 �= 0.

Otro ejemplo lo tenemos en limx→0+

(1x

+ lnx

), que genera una indeterminacion del tipo ∞ − ∞.

Podemos proceder de la siguiente manera: limx→0+

(1x

+ lnx

)= lim

x→0+

x ln x + 1x

. En este estadio, muchos

estaran tentados por aplicar L’Hopital, para conseguir limx→0+

x ln x + 1x

¿L′H?= lim

x→0+

ln x + 11

= −∞; lo

cual serıa un craso error, puesto que x ln x + 1 no es un infinitesimo en x = 0.

De hecho, limx→0+

(x ln x) = limx→0+

ln x1x

L′H= limx→0+

1x

− 1x2

= − limx→0+

x = 0. De modo que limx→0+

(x ln x + 1) =

1 �= 0, por lo que no es un infinitesimo en x = 0.

En cambio, limx→0+

x ln x + 1x

→ 10+

= +∞, puesto que hemos visto que limx→0+

x ln x = 0.

Apendice B

Representacion de funciones de unavariable: Guıa rapida

En esta seccion vamos a dar las directrices basicas para el estudio y representacion grafica de una funcionreal de variable real, f : IR → IR.

A tal fin, es conveniente atender al dominio y el recorrido, las simetrıas respecto del origen o del ejede ordenadas, los puntos de corte con los ejes coordenados, las asıntotas y ramas parabolicas, las regionespor las que pasa o no la curva, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los maximos, mınimos ypuntos de inflexion, la concavidad y convexidad; a veces, adicionalmente, resulta interesante estudiar laexistencia eventual de funcion inversa.

B.1 Dominio y recorrido

El dominio de una funcion f(x) consiste en el conjunto de puntos x ∈ IR para los que esta definida lafuncion. El recorrido o imagen consiste en el conjunto de puntos y ∈ IR para los que existen puntos x ∈ IRcon y = f(x).

Si se representa graficamente la funcion y = f(x), es obvio que el dominio coincide con la proyeccionde la grafica sobre el eje de abscisas, mientras que el recorrido viene dado por la proyeccion de la graficasobre el eje de ordenadas.

A la hora de determinar el domino de una funcion, hay que respetar tres reglas basicas:

1. Las funciones radicales pares, 2n√

g(x), estan definidas para valores x con imagen no negativa,g(x) ≥ 0. Hay que tener cuidado de no exigir esta condicion para radicales de ındice impar, puestoque estos estan definidos para numeros negativos: 3

√−1 = −1, por ejemplo.

2. Los logaritmos, logb g(x), estan definidos sobre numeros estrictamente positivos, g(x) > 0, indepen-dientemente del valor de la base b > 0.

3. Las funciones racionalesh(x)g(x)

estan definidas sobre puntos que no anulan al denominador, g(x) �= 0.

A veces una funcion presenta un comportamiento cıclico segun un periodo p, de modo que f(x) =f(x + p) para todo x del dominio. En este caso, para representar graficamente la funcion basta estudiarsu comportamiento en un intervalo (periodo) basico del dominio, para despues trasladar el resultado alos demas periodos. Este es el caso de las funciones trigonometricas elementales.

Ejemplo B.1.1 Dominio de la funcion f : D ⊆ IR → IR dada por f(x) =(x − 1)3

x ln x

Como aparece un logaritmo, hemos de restringir el domino a aquellos x ∈ IR que hacen positiva laentrada del logaritmo, en nuestro caso x > 0. Pero ademas tenemos una funcion racional, de modo quehemos de eliminar los ceros del denominador; como x �= 0 por ser x > 0, y lnx = 0 si, y solo si, x = 1, eldominio de f(x) se reduce a D = {x ∈ IR : x > 0 y x �= 1} = (0, 1) ∪ (1,∞).

9

10 APENDICE B. REPRESENTACION DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: GUIA RAPIDA

Ejemplo B.1.2 Dominio de la funcion f : D ⊆ IR → IR dada por f(x) = e√

2 sen x−1

La raız cuadrada esta definida para valores no negativos, de modo que el dominio vendra dado por

D = {x ∈ IR : 2 senx − 1 ≥ 0} = {x ∈ IR : senx ≥ 12}, lo que se traduce en la siguiente union de

intervalos⋃

k∈ZZ[π6 + 2kπ, 5

6π + 2kπ].

Ejemplo B.1.3 Dominio de f : D ⊆ IR → IR dada por f(x) =√

ln(2 cos ex)

La exponencial y el coseno tienen dominio en todo IR. El logaritmo esta definido para valores es-trictamente positivos, y la raız cuadrada para valores no negativos. De modo que el dominio de f(x) serestringe a valores x que hacen ln(2 cos ex) ≥ 0 (por tanto, 2 cos ex ≥ 1) y 2 cos ex > 0 (condicion incluidaen la anterior). Ası, el dominio viene dado por

D = {x ∈ IR : 2 cos ex ≥ 1}.

Ahora, cos ex ≥ 12⇔ ex ∈ [−π

3+ 2kπ,

π

3+ 2kπ], k ∈ ZZ. Dado que el logaritmo neperiano solo esta

definido sobre valores positivos, el dominio se reduce a la imagen por la funcion logaritmo neperiano delos intervalos (0,

π

3]⋃

k∈IN

[−π

3+ 2kπ,

π

3+ 2kπ], de modo que

D = (−∞, lnπ

3]⋃

k∈IN

[ln(−π

3+ 2kπ), ln(

π

3+ 2kπ)].

En cuanto a la determinacion del recorrido de una funcion f(x), sera necesario estudiar los intervalosde crecimiento y decrecimiento de la funcion en su dominio, lo que en ocasiones requerira el calculo devarias derivadas. A veces, bastara con ir estudiando como se va modificando el recorrido a traves de losdominios de las funciones elementales en que se descompone la funcion f(x) dada. Concretamente, sif(x) resulta de la composicion de las funciones g y h, f(x) = g(h(x)), entonces el recorrido de f vendradado por el recorrido de g sobre la imagen de aplicar h al domino de f .

Ilustramos este procedimiento calculando los recorridos de las funciones anteriores.

Ejemplo B.1.4 Recorrido de f : D ⊆ IR → IR, con f(x) =(x − 1)3

x ln x

El dominio de f era D = (0, 1) ∪ (1,∞). La funcion es continua en todo su dominio, por ser cociente

de funciones continuas y no anularse el denominador. Por otra parte, limx→1

(x − 1)3

x ln x= 0, de modo que la

funcion se puede extender de manera continua en x = 1 definiendo f(1) = 0.

Como limx→0

(x − 1)3

x ln x= +∞ y lim

x→∞(x − 1)3

x ln x= ∞, basta localizar cual es el mınimo c de la funcion,

para concluir que el recorrido viene dado por el intervalo [f(c),∞).Determinamos el punto c en el que f(x) alcanza el mınimo absoluto:

f ′(x) =3(x − 1)2x ln x − (ln x + 1)(x − 1)3

x2 ln2 x=

(x − 1)(2x ln x + lnx − x + 1)x2 ln2 x

,

de modo que f ′(x) = 0 si, y solo si, x = 1 o g(x) = 2x ln x + lnx − x + 1 = 0.Estudiando el crecimiento de g(x) podemos averiguar cuando es g(x) = 0. Se tiene que g′(x) =

2 lnx + 2 +1x− 1. Necesitamos recurrir a g′′(x) para ver el comportamiento de g′(x). Como g′′(x) =

2x− 1

x2=

1x

(2 − 1

x

), que es negativa en (0, 0.5), se anula para x = 0.5 y es positiva en (0.5,∞), resulta

que g′(x) es decreciente en (0, 0.5), tiene un mınimo en x = 0.5 y crece en (0.5,∞).Ahora, como g′(0.5) = 1.61 · · · > 0, resulta que g′(x) > 0 en (0,∞), de donde g(x) es estrictamente

creciente en todo (0,∞). Como g(x) es continua, limx→0+

g(x) = −∞ y limx→∞ g(x) = ∞, segun el teorema de

B.1. DOMINIO Y RECORRIDO 11

Bolzano g(x) posee un cero, unico por ser estrictamente creciente. Al ser g(1) = 0, se tiene que x = 1 esel unico cero de g(x). Por tanto, x = 1 es el unico punto en que se anula f ′(x). Como lim

x→1f ′′(x) = 2 > 0,

resulta que f(x) tiene en x = 1 un mınimo (que podemos entender como f(1) = 0, segun habıamos vistoantes). De modo que el recorrido de f(x) es R = (0,∞), o bien R′ = [0,∞) si entendemos que se puedeextender la funcion en x = 1 como f(1) = 0.

Ejemplo B.1.5 Recorrido de f : D ⊆ IR → IR, con f(x) = e√

2 sen x−1

Siendo D =⋃

k∈ZZ

[π

6+ 2kπ,

56π + 2kπ], se tiene que 0 ≤ 2 senx − 1 ≤ 1. La funcion f(x) tendra por

recorrido la imagen por ex de la imagen por√

x del intervalo [0, 1], a saber: R = [1, e].


Ejemplo B.1.6 Recorrido de f : D ⊆ IR → IR, con f(x) =√

ln(2 cos ex)

El dominio venıa dado por

D = (−∞, lnπ

3]⋃

k∈IN

[ln(−π

3+ 2kπ), ln(

π

3+ 2kπ)].

Para determinar el recorrido, observamos que la funcion resulta de la composicion de 5 funcioneselementales, f(x) = f5(f4(f3(f2(f1(x))))), donde

f1(x) = ex, f2(x) = cosx, f3(x) = 2x, f4(x) = lnx y f5(x) =√

x.

La imagen de f1 sobre el dominio D de f viene dada por

I1 = (0,π

3]⋃

k∈IN

[−π

3+ 2kπ,

π

3+ 2kπ].

La imagen de f2 sobre I1 viene dada por I2 =[12, 1]. La imagen de f3 sobre I2 viene dada por I3 = [1, 2].

La imagen de f4 sobre I3 resulta ser I4 = [0, ln 2]. Finalmente, el recorrido de f coincide con la imagende f5 sobre I4, que viene dada por

R = I5 = [0,√

ln 2].

B.2 Simetrıas

Cuando una funcion f(x) presenta simetrıas respecto del eje de ordenadas o del origen de coordenadas,el estudio de su representacion grafica se puede reducir a los valores no negativos del dominio.

Notese que una funcion es simetrica respecto del eje de ordenadas o par cuando f(x) = f(−x) paratodo x del dominio; mientras que sera simetrica respecto del origen o impar cuando f(−x) = −f(x) paratodo x del dominio.

Ejemplo B.2.1 Las funciones1x2

, |x|, cosx son todas simetricas respecto del eje de ordenadas.

y =1x2

-2 -1 1 2

20

40

60

80

100

120

140

y =√

x2 = |x|

-3 -2 -1 1 2 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Ejemplo B.2.2 Las funciones1x

, x3, sen x son todas simetricas respecto del origen.

B.2. SIMETRIAS 13

y = cosx

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

Figura B.1: Ejemplos de funciones pares

y =1x

-4 -2 2 4

-20

-15

-10

-5

5

10

15

y = x3

-2 -1 1 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

y = senx

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

Figura B.2: Ejemplos de funciones impares

A veces es conveniente estudiar la grafica simetrica de f(x) respecto de la recta y = x, la cual tiene

relacion con la funcion inversa de f , x = f−1(y). Este es el caso de la funcion f(x) =1x

consideradapreviamente. Sobre este hecho incidimos al final del apendice.


B.3 Puntos de corte con ejes

Suele ser particularmente interesante conocer en que puntos x cruza una funcion f(x) dada el eje deabscisas, en los que se puede originar (no siempre, desde luego, caso de x2) un cambio de signo de lafuncion. Son los llamados ceros o raıces de la funcion, los x del dominio con f(x) = 0.

Hay que tener especialmente cuidado a la hora de determinar los ceros de una funcion racional f(x) =g(x)h(x)

: si bien es cierto que los ceros de g(x) que esten en el dominio de f(x) constituyen ciertamente,

por ende, ceros de f(x); no es, sin embargo, verdad que todo cero de g(x) sea cero de f(x) (hablamosentonces de ceros de g(x) que no estan en el domino de f(x) como funcion racional).

Ejemplo B.3.1 Sea la funcion f : D ⊆ IR → IR dada por s(x) =(x + 1) senx

x

Tiene por dominio de definicion D = IR − {0}, aunque se puede extender de manera continua a todo

IR definiendo f(x) ={

s(x), si x �= 01, si x = 0

Los ceros de f(x) son los de s(x), dado que f(0) = 1 �= 0. Como funcion racional, uno tratarıa deencontrar los ceros de s(x) en funcion de los ceros del numerador, (x+1) senx, que son x = −1 y x = kπ,con k ∈ ZZ. Sin embargo, esto es un error, porque x = 0 no es un cero de s(x) (ni por tanto de f(x)),

puesto que s(x) no esta definida en x = 0, siendo ademas limx→0

(x + 1) sen x

x= 1 �= 0.

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Figura B.3: La funcion no presenta un cero en x = 0

B.3. PUNTOS DE CORTE CON EJES 15

Para determinar los ceros de una funcion continua, normalmente se recurre al Teorema de Bolzano yal estudio del crecimiento de la funcion, para determinar hipoteticos ceros multiples de multiplicidad n,en los que ademas de anularse la funcion, se anulan las n− 1 primeras derivadas f(x) = f ′(x) = f ′′(x) =· · · = fn−1)(x) = 0, pero no la n-esima, fn)(x) �= 0 (bien es un numero real distinto de cero, bien infinito,o bien no existe tal lımite). Este es el caso de la parabola y = x2, que tiene un cero doble en x = 0.

En realidad, si f(c) = 0, limx→c

f(x)(x − c)n−1

= 0 y limx→c

f(x)(x − c)n

�= 0 (bien es un numero real distinto

de cero, bien infinito, o bien no existe tal lımite), entonces f(x) tiene un cero multiple en x = c demultiplicidad n. En particular, si n = 1, se habla de cero simple, y si n > 1 se habla de cero multiple.Geometricamente, un cero multiple se identifica porque el eje de abscisas es tangente a la funcion dedicho punto; de hecho, a mayor multiplicidad, mayor tangencia en el punto.

Es facil probar que si f(x) tiene en c un cero de multiplicidad n y g(x) tiene en c un cero demultiplicidad m, entonces f(x) + g(x) tiene en c un cero de multiplicidad min{n, m}, f(x) · g(x) tiene

en c un cero de multiplicidad n + m yf(x)g(x)

tiene en c un cero de multiplicidad n − m (suponiendo que

n > m). Por otro lado, si f(x) tiene en c un cero de multiplicidad n y g(x) tiene en f(c) un cero demultiplicidad m, entonces g(f(x)) tiene en c un cero de multiplicidad n · m.

Ejemplo B.3.2 Calcular los ceros, incluyendo las multiplicidades correspondientes, de la funcion f :D ⊆ IR → IR dada por

f(x) ={

(cosx − 1)3 ln |x|, si x �= 00, si x = 0

La funcion f(x) es el producto de (cosx − 1)3 y ln |x|; por tanto, sus ceros son todos los x ∈ IR talesque cosx = 1 y |x| = 1, esto es, los puntos del conjunto {−1, 1, 2kπ}, k ∈ ZZ. Los ceros x = 1,−1 sonsimples, puesto que

limx→±1

f(x)x − (±1)

= −(±)8 sen6(0.5) �= 0.

Sin embargo, los ceros x = 2kπ son de multiplicidad 6, puesto que

limx→2kπ

f(x)(x − 2kπ)5

= 0 y limx→2kπ

f(x)(x − 2kπ)6

=

{− ln(2kπ)

8, si k �= 0

+∞, si k = 0

Notese que aunque |x| no es derivable en x = 0, y pese a que ln |x| no esta definido en x = 0, lafuncion f(x) no solo esta definida en x = 0, sino que ademas es continua y derivable 5 veces en dichopunto. Serıa conveniente que el alumno comprobara este hecho por sı mismo. En la grafica adjunta sepuede observar la tangencia pronunciada en x = 0 (¡mırese los valores de ordenadas!).

y = (cos x − 1)3 ln |x|

-1 -0.5 0.5 1

-0.015

-0.01

-0.005

0.005

Figura B.4: La funcion tiene en el origen un cero de multiplicidad 6

Ejemplo B.3.3 Calcular los ceros, incluyendo las multiplicidades correspondientes, de la funcion f :D ⊆ IR → IR dada por {

x2 sen1x

, si x �= 0

0, si x = 0


De nuevo, por ser f(x) un producto de dos factores, sus ceros los hemos de buscar en los ceros de losfactores, que son

x = 0 y x =1

2kπ, para k ∈ ZZ − {0}.

Los ceros x =1

2kπ, k �= 0 son simples, puesto que

limx→(2kπ)−1

f(x)x − (2kπ)−1

= (−1)k+1 �= 0.

Sin embargo, el cero x = 0 es doble, puesto que

limx→0

f(x)x

= 0 y ∃/ limx→0

f(x)x2

.

Esbozamos a continuacion una parte de la grafica de la funcion.

y = x2 sen1x

-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6

-0.06

-0.04

-0.02

0.02

0.04

0.06

Figura B.5: Infinitos ceros simples y un cero doble en el origen

Es resenable el hecho de que f ′(x) esta definida en todo IR, f ′(0) = 0, aunque f ′(x) no es continua

en x = 0: limx→0

f ′(x) = limx→0

sen1x

, que no existe.

Es un ejercicio recomendable por parte del alumno la comprobacion de que existe f ′(0) = 0, aunque

la grafica de f ′(x) =

{− cos

1x

+ 2x sen1x

, si x �= 0

0, si x = 0sea de la forma

y = f ′(x)

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Figura B.6: No es intuitivo, pero la funcion es derivable en el origen

En ocasiones tambien se requiere saber por donde corta la funcion al eje de ordenadas, necesariamenteen un solo punto, por definicion de funcion: en (0, f(0)). En los casos de las funciones anteriores, comox = 0 era un cero de ambas, las graficas cortaban al eje de ordenadas en el origen. Esto no siembre esası: la parabola y = x2 + 5 corta al eje de ordenadas en su vertice, sito en (0, 5).

B.4. ASINTOTAS Y RAMAS INFINITAS 17

B.4 Asıntotas y ramas infinitas

Las asıntotas son rectas a las que se acerca la curva de manera indefinida. Las hay de tres tipos:

• Verticales, de ecuacion x = c.

• Horizontales, de ecuacion y = n.

• Oblicuas, de ecuacion y = mx + n.

En realidad, las asıntotas horizontales son un caso particular de las oblicuas, donde m = 0.Un error comun es pensar que toda funcion tiene un numero limitado de asıntotas. Nada mas lejos

de la realidad: una funcion puede tener un numero indeterminado de asıntotas, desde ninguna (comoy = x2), hasta infinitas (como y = tg x, que tiene asıntotas verticales en los puntos x = (2k + 1)π

2 , conk ∈ ZZ). Eso sı, asıntotas oblicuas (en particular, horizontales) tiene a lo sumo 2: una, cuando x → ∞;y otra, cuando x → −∞.

Otro error frecuente es pensar que la grafica de la funcion no puede cortar a una asıntota: si bienes cierto que, por definicion de funcion, la grafica no puede cortar nunca a ninguna asıntota vertical, sıpuede cortar a alguna de las (a lo sumo 2) asıntotas oblicuas (en particular horizontales).

Ejemplo B.4.1 Sea la funcion f : D ⊆ IR → IR dada por

f(x) = 1 +x2 − 1

(x − 2)(e−x + 1)

Esta funcion presenta una asıntota horizontal cuando x → −∞, de ecuacion y = 1, dado que

limx→−∞(1 +

x2 − 1(x − 2)(e−x + 1)

) = 1

Asimismo, presenta una asıntota oblicua cuando x → ∞, de ecuacion y = x + 2, puesto que

limx→∞

f(x)x

= 1 y limx→∞(f(x) − x) = 2

-20 -10 10 20

-10

-5

5

10

15

20

Figura B.7: Ambas asıntotas cortan a la funcion

Las asıntotas verticales se localizan en aquellos puntos x0 de modo que

limx→x±

0

f(x) = ±∞.

Las funciones racionales presentan con frecuencia (aunque no siempre) asıntotas verticales en los cerosdel denominador, dependiendo de si el numerador tiene al mismo punto como cero o no.

Ejemplo B.4.2 Sea la funcion f : D ⊆ IR → IR dada por f(x) =ex − e

x − 2


-2 2 4 6 8 10

-100

-50

50

100

150

Figura B.8: Asıntota vertical en x = 2, con lımites laterales distintos

Tal como se muestra en la figura anterior, la funcion presenta una asıntota vertical en x = 2, toda vezque

limx→2−

ex − e

x − 2= −∞ y lim

x→2+

ex − e

x − 2= ∞.

Ejemplo B.4.3 Sea la funcion f : D ⊆ IR → IR dada por f(x) =sen x

x

Esta funcion no tiene ninguna asıntota vertical, pues

limx→0

sen x

x= 1.

Mas aun, definiendo f(0) = 1, la funcion pasa a ser continua en todo IR.

-10 -5 5 10

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura B.9: La funcion carece de asıntotas verticales

Ejemplo B.4.4 Sea la funcion f : D ⊆ IR → IR dada por f(x) = ln |x|

Sin ser una funcion racional, presenta una asıntota vertical en x = 0, puesto que

limx→0

ln |x| = −∞.

B.4. ASINTOTAS Y RAMAS INFINITAS 19

-10 -5 5 10

-4

-3

-2

-1

1

2

Figura B.10: Asıntota vertical en x = 0, con lımites laterales coincidentes

Si existe una asıntota oblicua y = mx+n cuando x → ±∞, entonces necesariamente es limx→±∞

f(x)x

=

m ∈ IR y n = limx→±∞(f(x) − mx) ∈ IR.

Las asıntotas horizontales son por tanto oblicuas con m = 0.Si alguno de estos lımites no existe, eso significa que en esa direccion no existe ninguna asıntota

oblicua.

Ejemplo B.4.5 Analizar el caso de la parabola x2

Puesto que limx→±∞

x2

x= ±∞, la parabola carece de asıntotas oblicuas (y, por ende, horizontales).

-10 -5 5 10

20

40

60

80

100

Figura B.11: La parabola y = x2 carece de asıntotas oblicuas

Ejemplo B.4.6 Considerese el caso de la funcion exponencial ex

La funcion exponencial tiene solo una asıntota oblicua, que es horizontal, y = 0, cuando x → −∞,puesto que

limx→−∞

ex

x= 0 y lim

x→∞ex

x= ∞.

Ejemplo B.4.7 Analizar el caso de la funcion dada por f(x) =x2 − x + 2

x

De un lado, limx→−∞

x2 − x + 2x2

= 1 y limx→−∞(

x2 − x + 2x

− x) = −1. De otro, limx→∞

x2 − x + 2x2

= 1 y

limx→∞(

x2 − x + 2x

−x) = −1. De manera que la funcion f(x) =x2 − x + 2

xtiene dos asıntotas oblicuas en

la recta y = x − 1.


-10 -8 -6 -4 -2 2

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura B.12: La funcion ex tiene una asıntota horizontal cuando x → −∞

-6 -4 -2 2 4 6

-8

-6

-4

-2

2

4

6

Figura B.13: Dos asıntotas oblicuas coincidentes

Previamente, en el Ejemplo B.4.1, se trato la funcion f(x) = 1 +x2 − 1

(x − 2)(e−x + 1), que tiene dos

asıntotas oblicuas distintas (ver Figura B.7).Hay funciones, como las anteriores y = x2 e y = ex, que tienden a infinito cuando x → ±∞ pero sin

acercarse a una recta (asıntota). Este tipo de funciones se dice que presentan una rama hacia el infinito.Hay diversos tipos de ramas: parabolicas (tıpicas de y = x2), en espiral (tıpicas de curvas en coordenadaspolares), oscilatorias propiciadas por funciones periodicas (por ejemplo, y = x · senx), etc.

Nosotros vamos a centrarnos exclusivamente en las ramas parabolicas, cuyo nombre procede de lacomparacion con las ramas de la parabola y = x2. Si una funcion y = f(x) crece hacia el infinito en lamisma proporcion que lo hace una parabola de eje y = mx+n, se dice que f(x) tiene una rama parabolicade pendiente m. Si m = 0 se habla de rama parabolica horizontal. Si la pendiente es infinito (esto es, lafuncion crece como la parabola y = x2), se habla de rama parabolica vertical. Concretando, una funciony = f(x) presenta una:

• Rama parabolica de pendiente m ∈ IR: si se tiene que limx→±∞ f(x) = ±∞, lim

x→±∞f(x)

x= m y

limx→±∞(f(x) − mx) = ±∞.

Este es el caso de y = x +√|x| cuando x → ±∞, que presenta una rama parabolica de pendiente

1:

En el caso particular de que m = 0 se habla de rama parabolica horizontal. Este es el caso dey = ln |x| cuando x → ±∞. El sentido de la horizontalidad tiene una segunda interpretacion, en elhecho de que, aunque f(x) crece hacia el infinito, lo hace siempre de manera progresivamente maslenta que cualquier recta de pendiente no nula.

• Rama parabolica vertical: se tiene que limx→±∞ f(x) = ±∞ y lim

x→±∞f(x)

x= ±∞. Este es el caso de

y = ex cuando x → ∞. El sentido de la verticalidad tiene una segunda interpretacion, en el hecho

B.5. REGIONAMIENTO 21

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

8

Figura B.14: Tiene dos ramas inifitas parabolicas

-10 -5 5 10

-4

-3

-2

-1

1

2

Figura B.15: La funcion ln |x| presenta dos ramas parabolicas distintas

de que, aunque f(x) crece hacia el infinito, lo hace siempre de manera progresivamente mas rapidaque cualquier recta de pendiente no nula.

-10 -8 -6 -4 -2 2

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura B.16: La funcion exponencial presenta una rama parabolica vertical

B.5 Regionamiento

El regionamiento consiste en el estudio del signo que toma una funcion f(x) en los intervalos del dominioque determinan los ceros de f(x) y las asıntotas verticales; de modo que se determina por donde pasala grafica en cada uno de estos intervalos, si por el rectangulo superior (por encima del eje OX) o elinferior (valores negativos del eje de ordenadas). Es claro que el signo de la funcion permanece constanteen cada uno de estos intervalos, de ahı que se hable de regiones por las que pasa la funcion o simplementeregionamiento.


Ejemplo B.5.1 Estudiar el regionamiento de la funcion f : D ⊆ IR → IR dada por f(x) =x

1 − x2

Los ceros de f(x), como funcion racional que es, corresponden a los ceros de la funcion del numeradorque esten en el dominio de definicion, D = IR − {−1, 1}. En este caso, el unico cero de la funcion esx = 0.

Por otra parte, f(x) tiene dos asıntotas verticales, en los ceros del denominador (que no son ceros delnumerador): x = −1 y x = 1.

De modo que la funcion atraviesa cuatro regiones: (−∞,−1), (−1, 0), (0, 1) y (1,∞). Determinandoel signo de la funcion en cada uno de estos intervalos, obtendremos su regionamiento. Se tiene que

f(−2) =23

> 0, f(−12) = −2

3< 0, f(

12) =

23

> 0, f(2) = −23

< 0; ası, la funcion es positiva en

(−∞,−1) y (0, 1), y negativa en (−1, 0) y (1,∞).

-4� -2� 2� 4�

-15�

-10�

-5�

5�

10�

15�

Figura B.17: Regionamiento de f(x) =x

1 − x2

B.6 Crecimiento y decrecimiento. Maximos y mınimos.

El crecimiento de una funcion f(x) en un punto x = a depende del signo que tome la derivada primerade la funcion en dicho punto: si f ′(a) > 0, entonces la funcion es estrictamente creciente en a, demodo que si f ′ es continua en a resulta que para todo x, w en un entorno suficientemente pequeno(a − δ, a + δ) se tiene que x < w implica f(x) < f(w); por el contrario, si f ′(a) < 0, entonces la funciones estrictamente decreciente en a, de modo que si f ′ es continua en a resulta que para todo x, w en unentorno suficientemente pequeno (a − δ, a + δ) se tiene que x < w implica f(x) > f(w).

Es conveniente incidir en el hecho de que si f ′ no es continua en a, por mucho que f sea creciente (odecreciente) en dicho punto, puede ocurrir que f no mantenga este crecimiento en ningun entorno de a.

Ejemplo B.6.1 Sea la funcion g(x) =

{x

2+ x2 sen

1x

si x �= 0

0 si x = 0

La funcion es derivable en IR−{0}, siendo g′(x) =12

+ 2x sen1x− cos

1x

. Es evidente que ∃/ limx→0

g′(x).

No obstante, la funcion es derivable en el origen, siendo

g′(0) = limh→0

g(h) − g(0)h

= limh→0

(12

+ h sen1h

) =12.

Como g′(0) > 0, la funcion es estrictamente creciente en x = 0. Aun ası, en cualquier entorno de x = 0

no se mantiene este comportamiento, puesto que limx→0

g′(x) rellena el intervalo comprendido entre −12

y32.

B.6. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MAXIMOS Y MINIMOS. 23

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-0.04

-0.02

0.02

0.04

Figura B.18: Alrededor del origen no hay un crecimiento monotono

Por otra parte, si f ′(a) = 0 o no existe f ′(a), la funcion puede tener en a un extremo local (maximo omınimo), un punto de inflexion, o un punto de crecimiento dudoso; para determinar el comportamientoen el punto en cuestion basta estudiar como se comporta la funcion en sus alrededores.

Mas concretamente, si f ′(a) = 0 y la primera derivada no nula en a es de orden par, digamosf ′(a) = · · · = f2k−1)(a) = 0, f2k)(a) �= 0, entonces la funcion tiene en a un maximo local si f2k)(a) < 0 yun mınimo local si f2k)(a) > 0. En caso de que f ′(a) = · · · = f2n)(a) = 0, f2n+1)(a) �= 0 (i.e. f ′(a) = 0 yla primera derivada no nula en a es de orden impar), entonces la funcion tiene en a un punto de inflexion,en el que la funcion cambia su caracter concavo/convexo.

Otra posibilidad que no requiere el calculo de mas funciones derivadas consiste en analizar si el signode la derivada primera de la funcion cambia a ambos lados de x = a: de ser ası, en x = a hay un extremolocal (maximo si f ′(a−) > 0 y f ′(a+) < 0, mınimo si f ′(a−) < 0 y f ′(a+) > 0); en otro caso, un puntode inflexion.

Ejemplo B.6.2 Sea la parabola definida por f(x) = x2

-10 -5 5 10

20

40

60

80

100

Figura B.19: La parabola tiene un mınimo absoluto en su vertice

Tiene un solo extremo, que es mınimo (absoluto) en x = 0: f ′(x) = 2x (que se anula solo en x = 0) yf ′′(x) = 2 > 0 para todo x (en particular para x = 0). Adicionalmente, f ′(0−) < 0 y f ′(0+) > 0.

Ejemplo B.6.3 Analizar el comportamiento de la funcion f(x) = x3

La funcion f(x) = x3 no tiene extremos locales, pero sı un punto de inflexion en x = 0: f ′(x) = 3x2

solo se anula en x = 0; f ′′(x) = 6x, de modo que f ′′(0) = 0; y f ′′′(x) = 6 > 0 para todo x, en particularpara x = 0. Adicionalmente, f ′(0−) > 0 y f ′(0−) > 0.

Ejemplo B.6.4 Considerar el caso de la funcion f(x) = x sen1x

si x �= 0 y f(0) = 0


-2 -1 1 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

Figura B.20: La funcion f(x) = x3 tiene un punto de inflexion en el origen

Esta funcion es derivable en IR−{0}, con f ′(x) = sen1x− 1

x·cos

1x

, y no tiene derivada en x = 0, dado

que limx→0

f(x) − f(0)x − 0

= limx→0

sen1x

no existe. Por otra parte, la funcion presenta un numero infinito de

extremos locales (maximos y mınimos) en cualquier entorno del punto x = 0, y por este mismo motivo, enx = 0 (donde no tiene derivada definida) presenta un punto de crecimiento dudoso (la funcion ni crece, nidecrece, ni tiene un punto de inflexion: a ambos lados de x = 0, la funcion toma indistintamente valoresmayores y menores que f(0)).

-1 -0.5 0.5 1

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura B.21: En el origen no hay crecimiento definido

B.7 Concavidad, convexidad y puntos de inflexion

El caracter concavo o convexo de una funcion en un punto se refiere a la posicion relativa de la graficade la funcion con respecto de la recta tangente a la curva en el punto dado: si la funcion toma valoresmayores que la recta tangente en un entorno del punto x = a se dice que es concava en a; por el contrario,si la funcion toma valores menores que la recta tangente en un entorno de x = a se dice que es convexaen a.

Este comportamiento se puede traducir de manera analıtica mediante el estudio del signo de la segundaderivada: si f ′′(a) > 0, entonces f ′(x) es creciente en x = a y f(x) esta por encima de su recta tangente ena, de modo que f(x) es concava en a; en el caso de que f ′′(a) < 0, entonces f ′(x) es decreciente en x = ay f(x) esta por debajo de su recta tangente en a, de modo que f(x) es convexa en a. En los ejemplosanteriores, f(x) = x2 tiene por funcion derivada a f ′(x) = 2x y por derivada segunda a f ′′(x) = 2 > 0para todo x. Por otra parte, f(x) = −x2 tiene por derivada segunda a f ′′(x) = −2 > 0 para todo x.

En aquellos puntos a en los que f ′′(a) = 0 (independientemente de que f ′(a) sea nula o no) puedehaber un punto de inflexion, a expensas de que el signo de f ′′(x) cambie a cada lado de x = a, oequivalentemente, f ′′′(a) �= 0.

B.8. FUNCION INVERSA 25

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

4x2 es concava en todos sus puntos

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2−x2 es convexa en todos sus puntos

Figura B.22: La posicion relativa respecto de la recta tangente es crucial

Ejemplo B.7.1 Considerar una vez mas el caso de la funcion f(x) = x3

La funcion f(x) = x3, estrictamente creciente en todo IR (f ′(x) = 3x2 > 0 para todo x ∈ IR), esconvexa en (−∞, 0), concava en (0,∞) y tiene por tanto un punto de inflexion en x = 0. De hecho,f ′′(x) = 6x se anula en x = 0, mientras que f ′′′(0) = 6 �= 0; tambien, f ′′(0−) < 0 y f ′′(0+) > 0.

-2 -1 1 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

Figura B.23: Pasa de convexa a concava en el punto de inflexion

Por ultimo, hemos de destacar que para que en x = a haya un punto de inflexion, no siempre esnecesario que f ′′(a) = 0: a veces, una funcion tiene un punto de inflexion en puntos en los que la funciontiene derivada segunda.

Ejemplo B.7.2 Sea la funcion f(x) = 5√

(x + 2)2

En el punto x = −2, pese a no admitir derivada (tiene pendiente infinita en dicho punto), presentaun punto de inflexion.

En efecto, la funcion se puede extender de manera continua definiendo f(−2) = 0. Ademas, f ′′(x) =

− 425(x + 2)

95, de modo que f ′′(−2−) > 0 y f ′′(−2+) < 0.

B.8 Funcion inversa

No todas las funciones admiten una funcion inversa. Para que ello sea posible, cada valor del dominiotiene que poseer una imagen distinta a las de los demas puntos del dominio: dicho de otro modo, x �= wimplica f(x) �= f(w). En definitiva, la funcion tiene que establecer una biyeccion del dominio a la imagen.

Este es el caso de las funciones trigonometricas periodicas, tales como senx, cosx, tg x, etc. Parapoder considerar funciones inversas de estas, hay que reducir el dominio de definicion a algun intervalobasico en el que no se repita ninguna imagen; por ejemplo, intervalo

[−π

2,π

2

]para sen x, intervalo [0, π]

para cosx, intervalo [0, π) para tg x, etc.


-6 -4 -2 2

-1

-0.5

0.5

1

Figura B.24: Punto de inflexion en el que la funcion no es derivable

Graficamente, es facil determinar cuando una funcion y = f(x) admite una funcion inversa x = f−1(y),y en caso afirmativo, cual es la grafica de dicha funcion inversa.

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

sen x y arcsen x

Figura B.25: El seno y el arcoseno son simetricas respecto de y = x

-1 1 2 3

-1

1

2

3

cos x y arccos x

Figura B.26: El coseno y el arcocoseno son simetricas respecto y = x

Basta observar que si (x, f(x)) es un punto de la grafica de y = f(x) y f(x) admite funcion inversaf−1, entonces (f(x), x) es un punto de la grafica de la funcion x = f−1(y). En definitiva, la grafica def−1 es la simetrica de la grafica de f(x) respecto de la bisectriz del primer cuadrante, y = x.

B.9 Transformaciones de una grafica

Una funcion se puede someter a transformaciones de traslacion, estiramiento, compresion y reflexion.Si c > 0:

B.9. TRANSFORMACIONES DE UNA GRAFICA 27

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

tg x y arctg x

Figura B.27: La tangente y el arcotangente son simetricas respecto y = x

1. La grafica de y = f(x+c) consiste en trasladar la grafica de y = f(x) horizontalmente en c unidadesa la izquierda.

2. Analogamente, la grafica de y = f(x−c) consiste en trasladar la grafica de y = f(x) horizontalmenteen c unidades a la derecha.

3. La grafica de y = f(x) + c consiste en trasladar la grafica de y = f(x) verticalmente en c unidadeshacia arriba.

4. Analogamente, la grafica de y = f(x)− c consiste en trasladar la grafica de y = f(x) verticalmenteen c unidades hacia abajo.

y=f(x)�y=f(x+c)� y=f(x-c)�

y=f(x)-c�

y=f(x)+c�

Figura B.28: Traslaciones a las que se puede someter una funcion

Si c > 1:

1. La grafica de y = c · f(x) consiste en estirar la grafica de y = f(x) verticalmente en un factor de c.

2. Analogamente, la grafica def(x)

cconsiste en comprimir la grafica de y = f(x) verticalmente en un

factor de c.

3. La grafica de y = f(cx) consiste en comprimir la grafica de y = f(x) horizontalmente en un factorde c.

4. La grafica de y = f(x

c) consiste en estirar la grafica de y = f(x) horizontalmente en un factor de c.

5. La grafica de y = −f(x) consiste en reflejar la grafica de y = f(x) respecto del eje OX .

6. La grafica de y = f(−x) consiste en reflejar la grafica de y = f(x) respecto del eje OY .


Figura B.29: Transformaciones de f(x) por reflexiones y estiramientos

Apendice C

Guıa rapida sobre la derivacion

Saber derivar bien es muy facil: tan solo se necesita memorizar y aplicar la tabla de derivadas inmediatasy tres reglas basicas (linealidad de la derivada, regla del producto y, la mas importante de las tres, reglade la cadena).

Incluimos a continuacion una tabla de derivadas inmediatas en su formato mas elemental (las letrasc, a, t representan valores constantes).

Funcion Derivada Funcion Derivada Funcion Derivada

c 0 xt txt−1 ln x1x

loga x1x· loga e ex ex ax ax · ln a

sen x cosx cosx − senx tg x 1 + tg2 x =1

cos2 x

secxsenx

cos2 xcosecx − cosx

sen2 xcotg x −1 − cotg2 x = − 1

sen2 x

arcsenx1√

1 − x2arccosx − 1√

1 − x2arctg x

11 + x2

arcsecx 1x√

x2−1arccosecx − 1

x√

x2 − 1arccotg x − 1

1 + x2

En cuanto a las tres reglas basicas:

1. Linealidad.

La derivada de una combinacion lineal de funciones consiste en la combinacion lineal de las derivadasde dichas funciones:

(λ1f1(x) + · · · + λnfn(x))′ = λ1f′1(x) + · · · + λnf ′

n(x)

Considerense los siguientes ejemplos:

• La derivada de f(x) = 5 tg x es f ′(x) = 5 + 5 tg2 x.

• La derivada de f(x) = 3 cosx + π2x es f ′(x) = −3 senx + π · ln 2 · 2x.

2. Regla del producto.

La derivada del producto de varias funciones es la suma de la derivada de cada una por las restantessin derivar. En el caso de dos funciones, la regla queda

(f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

mientras que en el caso general del producto de n funciones, la regla queda

(f1(x) · · · fn(x))′ = f ′1(x) · f2(x) · · · fn(x) + · · · + f1(x) · · · fn−1(x) · f ′

n(x)


29

30 APENDICE C. GUIA RAPIDA SOBRE LA DERIVACION

• La derivada de f(x) =√

x · arcsenx es f ′(x) =1

2√

x· arcsenx +

√x · 1√

1 − x2.

Notese que√

x = x12 , de donde la derivada de

√x es

12x

12−1 =

12x− 1

2 =1

2√

x,

a tenor de la tabla de derivadas inmediatas.

• La derivada de f(x) = tg x = senx · 1cosx

= sen x · secx es

f ′(x) = cosx · secx + sen x · senx

cos2 x= 1 + tg2 x,

como ya sabıamos.

3. Regla del cociente.

Aunque la derivada del cociente de dos funciones f(x) y g(x) puede deducirse de la regla del

producto, ya que f(x)g(x) = f(x) · 1

g(x) , puede resultar de interes tener en cuenta que la derivada de

dicho cociente es (f(x)g(x)

)′=

f ′(x) · g(x) − f(x) · g′(x)g2(x)

Por ejemplo, la derivada de la funcion f(x) = ln xsen x sera:

f ′(x) =1x sen x − ln x cos x

sen2 x=

senx − x ln x cosx

x sen2 x

4. Regla de la cadena.

La derivada de una composicion de funciones es el producto de las derivadas de las funciones en lospuntos que relaciona la composicion: si f(x) resulta de la composicion de las funciones g(t) y h(x)en la forma f(x) = g(h(x)), entonces f ′(x) = g′(h(x)) · h′(x).

La regla de la cadena es muy facil de aplicar. Lo que resulta difıcil al que se inicia en estas tareases distinguir que funciones g(t) y h(x) hay que tomar para que f(x) resulte ser la composicion deambas. En muchas ocasiones, de hecho, la eleccion no es en absoluto unica.

Por ejemplo, la funcion f(x) = ln(2 cosx) se puede obtener mediante la composicion de las funcionesg1(t) = ln(2t) y h1(x) = cosx en la forma f(x) = g1(h1(x)); etc.


• La derivada de f(x) = secx =1

cosx= cos−1 x es

f ′(x) = (− cos−2 x) · (− sen x) =sen x

cos2 x,

como ya sabıamos. Aquı hemos considerado que f(x) = secx = cos−1 x es la composicion de lafuncion g(t) = x−1 y h(x) = cosx, de manera que f(x) = g(h(x)). Ası, f ′(x) = g′(h(x)) ·h′(x).

Resulta que g′(t) = − 1t2

, de suerte que g′(h(x)) = − 1cos2 x

. Por otra parte, h′(x) = − senx.De donde el resultado.

• La derivada de f(x) = (x2 + 2)arctg x = earctg x·ln(x2+2) es

f ′(x) =(

ln(x2 + 2)1 + x2

+2x arctgx

x2 + 2

)earctg x·ln(x2+2)

Aquı, a la hora de derivar f(x) = earctg x·ln(x2+2), hemos considerado que f(x) = g(h(x)) parag(t) = et y h(x) = arctgx · ln(x2 + 2), de manera que f ′(x) = g′(h(x)) · h′(x).

31

Ahora se puede extender la tabla de derivadas inmediatas a otra mas general, de manera que si enla tabla previa se consideraba la funcion p(x), ahora se considera la funcion q(x) = p(f(x)), paraf(x) una funcion generica. De este modo, la derivada q′(x) = p′(f(x)) · f ′(x), de donde las nuevasderivadas son las que ya conocıamos multiplicadas por f ′(x). Este es el resultado:

Funcion Derivada Funcion Derivadac 0 f(x)t tf(x)t−1 · f ′(x)

ln f(x)f ′(x)f(x)

loga f(x)f ′(x)f(x)

· loga e

ef(x) ef(x) · f ′(x) af(x) af(x) · ln a · f ′(x)sen f(x) cos f(x) · f ′(x) cos f(x) − sen f(x) · f ′(x)

tg f(x) (1 + tg2 f(x)) · f ′(x) =f ′(x)

cos2 f(x)sec f(x)

sen f(x)cos2 f(x)

· f ′(x)

cosec f(x) − cos f(x)sen2 f(x)

· f ′(x) cotg f(x) (−1 − cotg2 f(x)) · f ′(x) = − f ′(x)sen2 f(x)

arcsen f(x)f ′(x)√

1 − f2(x)arccos f(x) − f ′(x)√

1 − f2(x)

arctg f(x)f ′(x)

1 + f2(x)arcsec f(x) f ′(x)

f(x)√

f2(x)−1

arccosec f(x) − f ′(x)f(x)√

f2(x) − 1arccotg f(x) − f ′(x)

1 + f2(x)

notas orientativas para la introducci´on al c´alculo...

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