Notas de Finanzas I, Facultad de Ciencas (UNAM)

1. Repaso

Vamos a dar un pequeo repaso de lo visto en matemticas nancieras que nos van aservir a travs del curso.

1.1. Tasas de inters y valor del dinero a travs del tiempo

Valor del dinero a travs del tiempo.La teora de inters trabaja con el valor del dinero a travs del tiempo. Por ejemplo,

un peso invertido al 6 % por ao vale 1.06 en un ao a partir de hoy. Pero para esto conocemosvarios tipos de inters, por ejemplo el inters compuesto o el inters simple.

Inters compuesto. Se gana inters en el monto total en la cuenta al principio de cadaao. En t = 1 la cuenta ser de 100 + 0.06(100) = 106, y en t = 2 la cuenta ser de106 + 0.06(106) = 106(1.06) = 100(1.06)2 = 112.36.

Inters simple. Se gana inters solo en el monto inicial cada ao. En t = 1 la cuentaser de 100 + 0.06(100) = 106, y en t = 2 la cuenta ser de 106 + 0.06(100) = 100(1 +2(0.06)) = 112.

El inters compuesto es el mtodo ms usado, especialmente para inversiones de muchosperiodos, o largo plazo. El inters simple es ms comn cuando se trata de inversiones acorto plazo.

Valor Presente y Valor Futuro con inters compuesto.El valor al da de hoy lo llamaremos valor presente (V P ) y el valor n periodos a partir de

hoy lo llamaremos valor futuro (V F ). Si el fondo se invierte a una tasa de inters compuestapor n periodos, tenemos los siguiente:

V F = V P (1 + i)n,

V P =V F

(1 + i)n.

Ejemplo 1.1.1. Sea n = 10, i = 0.06. Entonces tenemos que:

Si V P = 1000, entonces V F = 1000(1.06)10 = 1790.85

1

Si V F = 1000, entonces V P = 1000(1.06)10

= 558.39

Funciones de crecimiento de inversin.Recordemos las siguientes funciones:

a(t), es el monto al tiempo t de una inversin incial de a(0) = 1. A(t), es el monto altiempo t de una inversin incial de A(0).

Para inters compuesto aplicada en aos, los montos cambian solo cada ao cuando elinters es pagado. Para n N,

a(n) = (1 + i)n

A(n) = A(0)(1 + i)n.

Pero el inters tambin puede pagarse continuamente, lo que es muy conveniente cuandoun inversionista quiere retirar su dinero antes de que termine el ao. Esto se ve con lasiguiente relacin:

a(t) = (1 + i)t = et ln(1+1)

A(t) = A(0)(1 + i)t

Para el inters simple las funciones de acumulacin son:

a(t) = (1 + it)

A(t) = A(0)(1 + it)

Tasa de inters efectiva para un periodo en especco.Podemos usar la funciones de acumulacin para encontrar la tasa de inters efectiva paracualquier periodo. Para el perido (t, t + 1), el monto incial es A(t), y el monto que se ganoen el periodo es A(t+ 1) A(t). La tasa efectiva en ese periodo es

it+1 =A(t+ 1) A(t)

A(t)=a(t+ 1) a(t)

a(t).

Ejemplo 1.1.2. Sea i = 6 % y el periodo (1, 2). Para inters compuesto tenemos,

i2 =a(2) a(1)

a(1)=

0.0636

1.06= 0.06

Para inters simple tenemos,

i2 =a(2) a(1)

a(1)=

0.06

1.06= 0.0566

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Tasas de inters nominales.En muchas ocaciones donde los pagos se realizan por periodos menores a una ao (mensuales,bimestrales, semestrales, etc.), la tasa de inters por periodo se establece como una tasa anualnominal, que es la tasa de inters por periodo multiplicada por el nmero de peridos por ao.

Por ejemplo, si se gana un inters del 2 % compuesto trimestralmente, podemos multipli-car 2 % por 4 y obtenemos una tasa nominal del 8 % converible trimestralmente. Esto nosofrece una manera simple de referirnos a la tasa trimestral en una escala anual, pero esta noes la tasa que realmente ganamos al ao. En este ejemplo, de hecho se gana mas del 8 %.Un peso al da de hoy acumula en un ao (1.02)4 = 1.0824, entonces la tasa nominal del 8 %realmente nos da una tasa de 8.24 % efectiva anual.

Observacin 1.1.3. La tasa nominal es una tasa articial que nos ofrece una manera dehablar de la tasa periodica en trminos anuales. La tasa efectiva anual no es articial, estanos dice cuanto es lo que realmente ganamos en un ao.

Recordemos que para el caso en que se tienen m periodos de pago al ao, denotamos latasa nominal como i(m). La tasa de inters periodica es i

(m)

m, y guarda la siguiente relacin

con la tasa efectiva anual,

1 + i =

(1 +

i(m)

m

)m.

Ejemplo 1.1.4. Suponga que el inters se da cada mes y la tasa nominal es i(12) = 0.09.Entonces, la tasa efectiva es:

i =

(1 +

0.09

12

)12 1 = 0.0938

Este proceso puede revertirse para encontrar la tasa nominal dada la tasa efectiva,

Ejemplo 1.1.5. Si el inters es pagado semestralmente y la tasa efectiva anual es 10.25 %.Encuentra la tasa nominal anual.Solucion: m = 2, entonces necesitamos i(2).(

1 +i(2)

2

)2 1 = 0.1025(

1 +i(2)

2

)2= 1.1025(

1 +i(2)

2

)=

1.1025 = 1.05

3

Entonces, i(2) = 10 %, y la tasa de inters por cada semestre es del 5 %.

Tasa de inters vs Tasa de descuento.Las inversiones se pueden estructurar de varias maneras. Considere un inversionista que legustara ganar 6 % por un ao. Hay dos mtodos muy comunes:

Invertir una suma al inicio del ao. Si se invierten 1000 al inicio del ao al 6 % porao, entonces al nal del ao tendremos 1060.

Requerir una cierta cantidad al nal del ao. Suonga que se requiere 1000 al nal delao. El valor presente de 1000 al 6 % es 1000/(1.06) = 943.40. Es decir podra in-vertir 943.40 y as le pagarn 1000. La diferencia de 56.60 se conoce como descuento.(CETES).

La tasa de descuento, d, es muy comn y utilizada en teora del inters y matemticasactuariales. Podemos obtener a d en trminos de i. Si queremos obtener un V F de 1, el V Pque debemos invertir es V P = 1/(1 + i). Entonces, la tasa de descuento d es:

d = 1 1(1 + i)

=i

(1 + i).

Ejemplo 1.1.6. Para i = 0.06, d = 0.061.06

= 0.0566.

Notacin esencial.Una muy conveniente es,

v =1

(1 + i).

Y as tenemos que d = iv. Y como 1 v = 1 1(1+i)

= i(1+i)

= d.Entonces tenemos que d = 1 v y v = 1 d.

Adems i d se simplica mucho,

i d = i i(1 + i)

=i2

(1 + i)= id.

Entonces i d = id.

Ejemplo 1.1.7. Dada d = 0.07, econtrar v e i.Solucin:v = 1 d = 0.93. Entonces 1 + i = 1

v= 1.0753. Por lo que i = 0.0753.

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Tasas nominales de descuento.Tambin podemos expresar tasas de descuento por periodo, tal como lo hicimos en el casode las tasas de inters. La tasa de descuento nominal convertible m veces al ao se denotapor d(m). Y la relacn que guarda con la tasa de descuento efectiva por ao es:

1 d =(

1 d(m)

m

)m.

Ejemplo 1.1.8. Encuentra la tasa de descuento efectiva por ao de una tasa de descuentonominal del 8 % convertible trimestralmente.Solucin:

1 d =(

1 0.084

)4= (0.98)4 = 0.9224, d = 0.0776.

Ejemplo 1.1.9. Encuentra la tasa de descuento nominal convertible semestralmente corres-pondiente a una tasa de descuento efectiva del 6 %.Solucin:

1 0.06 = 0.94 =(

1 d(2)

2

)2

0.94 = 0.9695 =

(1 d

(2)

2

), d(2) = 0.0609.

En algunos problemas se requiere convertir una tasa de inters nominal convertible mveces al ao a una tasa de descuento nominal convertible p veces al ao equivalente. Esto sepuede resolver fcilmente as, (

1 +i(m)

m

)m=

(1 d

(p)

p

)p.

Ejemplo 1.1.10. Encuentra la tasa de descuento nominal convertible semestralmente equi-valente a una tasa de inters nominal del 8 % convertible mensualmente.Solucin:

(1 +

0.08

12

)12= 1.083 =

(1 d

(2)

2

)2

1.083 = 1.0407 =

(1 d

(2)

2

)1, d(2) = 0.0782.

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Inters continuo y fuerza de inters.Ya habamos mencionado que el inters tambin puede pagarse de forma continua. El montoacumulado bajo inters compuesto continuo al tiempo t es:

a(t) = (1 + i)t = et ln(1+i) = et

As que basta hacer el conveniente cambio de notacin, = ln(1+i). A esta se le conocecomo la fuerza de inters constante. Pero podemos generalizarlo para cualquier funcinn deacumulacin a(t) al tiempo t por

(t) =a(t)

a(t).

Ejemplo 1.1.11. Sea a(t) = (t+ 1)2.

Entonces (t) = 2(t+1)(t+1)2

= 2t+1

.

Tambin recordemos que cuando n, el nmero de periodos en una tasa nominal por ao,se hace grande, entonces nos aproximamos a la fuerza de inters constante. Y esto est basadoen el siguiente resultado de clculo:

lmn

(a+

r

n

)n= er.

Y en el caso de una a(t) arbitraria, dada (t), podemos resolver la ecuacin diferencialddt

ln[a(t)] = a(t)a(t)

= (t). Entonces k0

(t)dt = ln[a(t)]|k0 = ln[a(k)] ln(1) = ln[a(k)].

Esto implica que a(t) = e t0 (u)du.

Relacin entre tasad de descuento, interes y fuerza de inters.Una relacin muy importante que guardan estas tasas es:

d < d(m) < < i(m) < i, i > 0, m > 1.

1.2. Anualidades

Muchos contratos nancieros rquieren de una serie de pagos periodicos nivelados, lo quellamamos anualidades.

Una anualidad unitaria es la que tiene pagos periodicos de 1. Hay dos tipos, las anualida-des anticipadas (due), las cuales pagan al incio de cada periodo y las vencidas (immediate),

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las cuales pagan al nal de cada periodo. Las comunes son las anualidades vencidas, peroambas son muy importantes, sobre todo para calculo de anualidades ms complicadas comolas crecientes o decrecientes.

El valor presente de una anualidad vencida con n pagos de 1 y tasa de inters i es denotadapor an i , o an si el valor de la tasa de inters est bien especicado. Recordemos que:

an = v + v2 + + vn = v(1 + v + + vn1)

= v1 vn

1 v= v

(1 vn)d

= v(1 vn)

iv=

(1 vn)i

.

Ejemplo 1.2.1. Si i = 0.05 y n = 10,

a10 =(1

(1

1.05

)10)

0.05= 7.7217

El valor futuro de una anualidad unitaria vencida con n pagos se denota por sn . Es claroque:

sn = (1 + i)nan =

(1 + i)n 1i

.

Perpetuidades.Una perpetuidad es una anualidad en que los pagos son por siempre. El gobierno Britni-co alguna vez vendi instrumentos nancerios llamados consols que pagaban intereses enperpetuidad. El valor presente de una perpetuidad vencida que paga 1 en cada periodo sedenota por a . Se tiene que,

a = v + v2 + = 1

i

Anualidades anticipadas. Es fcil ver que se cumple que an = (1 + i)an , entoncessn = (1 + i)sn y tambin que a = (1 + i)a . Por lo que:

an =1 vn

d

sn =(1 + i)n 1

d

a =1

d

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Anualidades crecientes con trminos en una serie aritmtica. Una anualidad talque sus n pagos son 1, 2, . . . , n se llama anualidad creciente vencida unitaria, si los pagos sonal nal de cada periodo, y se denota por (Ia)n . Entonces,

(Ia)n = v + 2v2 + 3v3 + + nvn.

Y se puede probar que,

(Ia)n =an nvn

i

Ejemplo 1.2.2. Sea i = 5 % y n = 4. Entonces los pagos de la anualidad creciente son1, 2, 3, 4 y

(Ia)4 =a4 4v4

0.05= 8.6488

Y a partir de esta podemos derivar las frmulas restantes:

(Ia)n = (1 + i)(Ia)n =an nvn

d

(Is)n = (1 + i)n(Ia)n =

sn ni

(Is)n = (1 + i)n(Ia)n =

sn nd

Anualidades decrecientes.La anualidad vencida decreciente tiene n pagos: n, n1, . . . , 1. Y su valor presente se denotapor (Da)n . Y de forma anloga a las anualidades crecientes podemos obtener las siguientesfrmulas:

(Da)n =n an

i

(Da)n = (1 + i)(Da)n =n and

(Ds)n = (1 + i)n(Da)n

(Ds)n = (1 + i)n(Da)n

Ejemplo 1.2.3. Dada i = 5 % y n = 4, tenemos que

(Da)4 =4 a40.05

=4 3.546

0.05= 9.08

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Una sola frmula para anualidades con trminos en una progresin aritmtica.Suponga que el primer pago de la anualidad es P > 0 y que los pagos siguientes camban Qpor periodo, donde Q puede ser positiva o negativa. Si la anualidad tiene n pagos, la sucesinde pagos es P, P +Q,P + 2Q, , P + (n 1)Q. Y se puede probar que el valor presente deesta anualidad es

Pan +Q

(an nvn

i

).

Observacin 1.2.4. Notemos que (Ia)n es el caso particular P = Q = 1 y que (Da)n es elcaso particular P = n y Q = 1. Adems el valor futuro al tiempo n de esta anualidad serPsn +Q

(sn ni

).

Y la perpetuidad en este caso estara dada por el lmite cuando n tiende a innito, y ser

P

i+Q

i2.

Anualidades con trminos en una progresin geomtrica.Supongamos la tasa de inters i y que los pagos son 1, (1 + g), (1 + g)2, . . . , (1 + g)n1, y quese realizan al nal de cada periodo. Si queremos encontrar el valor presente de esta anualidadtenemos que

V P =1

(1 + i)+

(1 + g)

(1 + i)2+

(1 + g)2

(1 + i)3+ + (1 + g)

n1

(1 + i)n

=1

(1 + i)

[1 +

(1 + g

1 + i

)+

(1 + g

1 + i

)2+ +

(1 + g

1 + i

)n]

=1

(1 + i)

1(

1+g1+i

)n1

(1+g1+i

) = 1 (1+g1+i )ni g

.

En este caso la perpetuidad, considerando g como la tasa de crecimiento, i la tasa deinters, y que g < i, el valor presente es:

1

i g

Anualidades diferidas.Se reere a una anualidad en que los pagos se realizan en un tiempo futuro. Es decir, unaanualidad movida en el tiempo. El valor presente de una anualidad de n pagos diferida kperiodos es vkan . Y con esto podemos notar la siguiente relacin que es muy til:

an+k = an + vnak .

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Esto es, el valor presente de una anualidad de n + k periodos es igual a la suma deuna anualidad de n periodos empezando hoy mas una anualidad de k periodos diferida nperiodos.

Ejemplo 1.2.5. Dada a4 = 3.5460 y v4 = 0.8227. Encontrar a8

Solucin:

a8 = a4 + v4a4 = 3.5460 + 0.8227(3.5460) = 6.463

Reinversin.En algunos casos podramos pensar en reinvertir los pagos que nos ofrece una anualidad.Veamos con un par de ejemplos la dnamica de este problema.

Ejemplo 1.2.6. Le presta a un familiar 1000 y este acepta pagar el 6 % de interes en los 1000originales al nal de cada ao por 10 aos y luego regresarte los 1000. Podemos reinvertirlos pagos de interes al 5 %. Cunto se tendr al nal de los 10 aos? Cul es la tasa deinters que ganamos realmente?Solucin:Al nal de los 10 aos tendremos:

El pago de los 1000

El V F de 10 pagos de 60. Esto es V F = 754.67

El total de esto es 1000 + 754.67 = 1754.67.Y para encontrar el intres total basta resolver 1000(1 + i)10 = 1754.67 para i, y eso nos dai = 5.78 %.

Ejemplo 1.2.7. Usted invierte pagaos de 1000 por ao al inicio de cada ao y por 5 aos.Los pagos originales ganan 10 % de intereses, pero los intereses que recibe los reinvierte al8 %. Cunto tendr al nal de los 5 aos?Solucin:La tabla muestra los pagos relevantes.

Tiempo 0 1 2 3 4 5Pago invertido 1000 1000 1000 1000 1000 1000Total de pagos 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Intereses en pagos del 10 % 0 100 200 300 400 500

As los nmeros en la ltima la sern reinvertidos al 8 %, y representan una anualidadcreciente de forma aritmtica. Al nal de los 5 aos tendremos 5000 en pagos de la primeracuenta mas la cantidad acumulada en la cuenta de reinversin.

5000 + 100(Is)5 8% = 5000 + 100(16.6991) = 6669.91

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2. Amortizacin y Sinking Funds

Amortizacin de un pagoIniciaremos con un ejemplo para sentar las ideas principales de la amortizacin.

Digamos que pedimos cierta cantidad de dinero al 5 % efectiva por ao, y que vamosa pagar dicha deuda haciendo pagos de $1000 al nal de cada ao por 5 aos. Primero,vericamos que la deuda original debi ser $4329.48(i.e. 1000a5 5%).

Consideremos el primer ao. Cunto inters debemos pagar al acreedor al nal del ao?La respuesta es (0.05)(4329.48) = 216.47.

Si solo pagamos los 216.47 al nal del ao, entonces no habremos reducido la deuda, esdecir, seguiremos debiendo los 4329.48. Pero, en este ejemplo al nal de cada ao pagamos1000. Entonces despues de pagar el inters de 216.47 nos sobran 783.53. Y esta cantidad re-presenta un pago correspondiente a la deuda original, o principal. En otras palabras, despusdel pago de 1000, ya no debemos 4329.48, ahora debemos 4329.48 783.53 = 3545.95.

Llamaremos a esta cantidad de 783.53 el pago a principal, y a lo que sobra por pagar,3545.95 el balance por pagar. Hay dos formas de ver al balance por pagar:

Supongamos que acordamos con el acreedor que cubriremos la deuda total con un solopago, luego del primer pago de 1000. Este pago debe ser justo el balance por pagar, esdecir 3545.95, puesto que es justo lo que nos falta por pagar.

Al igual que en el inciso anterior, haremos un solo pago para saldar la deuda, luegodel primer pago de 1000. Pero esta vez el acreedor dice que como an nos falta porpagarle 4 pagos de 1000, debemos pagarle el valor presente de dichos pagos, es decir,1000a4 5% que es igual a 3545.95.

Obviamente que ambas maneras de pensar en dicho pago sean iguales no es una coinci-dencia. En la primera opcin estamos viendo hacia atrs a la deuda original, al pago de 1000y al pago a principal. Por esta razn se conoce como mtodo retrospectivo. En la segundaopcin calculamos el balance por pagar jndonos en los pagos futuros que estn pendientes,por lo que se conoce como mtodo prospectivo.

Pero digamos que no pagaremos la deuda con un slo pago, y que seguiremos con elcalendario de pagos original, entonces como podemos calcular el inters, el pago a principal

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y el balance por pagar correspondiente al segundo ao?.

Es claro que lo podemos hacer igual que lo hicimos para el primer ao no?. El interspagado ser (0.05)(3545.95) = 177.30, el pago a principal ser 1000 177.30 = 822.70 y elbalance por pagar al segundo ao ser 3545.95 822.70 = 2723.25.

Y podemos ayudarnos con la siguiente notacin:

It = inters pagado al nal de ao t.

Pt = pago a principal al nal del ao t.

Bt = balance por pagar al nal del ao t (despus de que se hace el pago peridico).

Pmtt pago peridico al nal del ao t.

Podemos ver que se cumplen las siguientes frmulas recursivas:

It = iBt1

Pt = Pmt ItBt = Bt1 Pt

Algo que podemos notar, y es de esperarse, es que el balance al tiempo 5 debe ser 0, puespara entonces ya debimos terminar de pagar la deuda oringinal. A este proceso se le llamaamortizacin de una deuda.

Pero para que nos interesa saber cuanto de los pagos que hacemos son intereses o pagos aprincipal? Por ejemplo, en el pago de hipotecas, solo la parte correspondiente a intereses esdeducible de impuestos. Y si eres el acreedor entonces solo la parte de los intereses es lo querealmente ests ganando, y los pagos a principal representan una parte del prstamo originalque hiciste.

Para nuestro ejemplo tenemos que el calendario de amortizacin completo es:

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Periodo Pago Inters Principal Balance por pagart Pmtt It = iBt Pt = Pmtt It Bt = Bt1 Pt0 4329.481 1000 216.47 783.53 3545.952 1000 177.30 822.70 2723.253 1000 136.16 863.84 1850.414 1000 92.97 907.03 952.385 1000 47.62 952.38 0

Total 5000 670.52 4329.48

Bien, ahora podemos generalizar estas ideas y tener nuestro calendario de amortizacinen el caso en que los pagos sean de 1 unidad.

Periodo Pago Inters Principal Balance por pagart Pmtt It = iBt Pt = Pmtt It Bt = Bt1 Pt0 an1 1 ian = 1 vn vn an12 1 ian1 = 1 vn1 vn1 an2...

......

......

t 1 iant+1 = 1 vnt+1 vnt+1 ant...

......

......

n 1 ia1 = 1 v v 0Total n n an an

Es decir en este caso tenemos que:

It = 1 vnt+1

Pt = vnt+1

Bt = ant

Viendo la frmula para Pt, podemos notar que el exponente de v decrece una unidadcada ao, que es lo mismo que multiplicarla por (1 + i) cada ao. Esto muestra que si lospagos son nivelados, los montos de pago a principal siguen una progresin geomtrica, confactor comn (1 + i).

Viendo al balance por pagar del primer ao, B1, una forma simple de mostrar quean vn = an1 , es pensar a an como la serie de pagos v + v2 + + vn1 + vn, y asquitndole vn nos queda v + v2 + + vn1 = an1 . De forma similar con los dems Bt.

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El total de pagos a principal es igual a an que es la deuda original. El total de interesespagados es igual a la suma de los pagos menos la deuda original, n an .

Y si ahora consideramos pagos nivelados pero donde la deuda no es an , si no algnnmero cualquiera L?. Entonces es claro que los pagos nivelados sern de L

an. Y las frmulas

que habamos derivado nos quedan as:

It =L

an(1 vnt+1)

Pt =L

anvnt+1

Bt =L

anant

Estas frmulas nos permiten calcular cualquier valor en el calendario de amortizacin sinnecesidad de hacer toda la tabla completa.

Ejemplo 2.0.8. El monto a principal pagado en el primer ao de una deuda que se pagahaciendo pagos nivelados al 5 % es $100. Cul es el pago a principal que se hace en el dcimopago? (No nos dicen quien es n, solo que al menos es 10?).Solucin:Como los pagos a principal en este caso siguen una progresin geomtrica con factor (1 + i),tenemos que P10 = 1.05

9P1 = (1.5513)(100) = $155.13.

Ejemplo 2.0.9. Si en el ejemplo anterior tenemos que n = 10, de cunto es la deudaoriginal?Solucin:La forma mas rpida de calcularla es recordando que la suma de todos los aportes a principalson justo la deuda, y ya sabemos que P1 es 100 y que siguen una progresin geomtrica confactor (1 + i). Entonces

L = 100[1 + (1 + i) + + (1 + i)9] = 100s10 5% = 1257.79

Ejemplo 2.0.10. El aporte a principal en el 5 pago de una deuda a 15 aos al 7 % es $187.De cunto es la deuda original?Solucin:Es similar al ejemplo anterior pero esta vez nos dan el 5 aporte a principal. Para estoconseguiremos los dems aportes a principal trabajando hacia delante y hacia atrs.

L = 187[v4 + v3 + + 1 + (1 + i) + + (1 + i)10] = 187[a4 + s11 ] = 3585

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Ejemplo 2.0.11. Un prstamo de 1000 ser pagado al 8 % efectiva anual, con pagos niveladosde 125. Cul es el balance por pagar despus del 8 pago?Solucin:Como no se indica hasta que momento seguirn los pagos no nos conviene utilizar el mtodoprospectivo para determinar el balance por pagar. Pero si sabemos lo que ha pasado hastael pago 8, por lo que utilizaremos el mtodo retrospectivo. El balance por pagar es la deudaoringial ms los interes acumulados en 8 aos menos suma acumulada de los pagos:

B8 = 1000(1.08)8 125s8 = 521.35

Resumen de conceptos y frmulas.

Amortizacin: pagar una deuda a traves del tiempo con pagos periodicos.

Cada pago peridico se descompone en pagos de intereses y pagos a principal.

El balance por pagar se reduce a traves del tiempo.

Los pagos a princpal van aumentando a traves del tiempo.

Los pagos de intereses decrecen a traves del tiempo.

Balance por pagar

El balance en cualquier tiempo es igual al valor presente de los pagos futuros.

Mtodo prospectivo: Bt = Pmtant .

Mtodo retrospectivo: Bt = Pmt[an (i+ i)t st ].

Para pagos nivelados Pmt, B0 = Pmtan .

Pmtt = Pt + It.

Pago a principal

Porcin del pago peridico destinado a reducir la deuda original.

Pt = Pmtvnt+1 = Pmt It.

Los pagos a principal siguen una serie geomtrica.

Pt+s = Pt(i+ i)s.

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Pago de intereses

Porcin del pago peridico destinado a pagar los intereses generados.

En cada periodo los intereses se calculan como el balance al incio del periodo por latasa de inters.

Los intereses se pagan primero.

It = Pmt[1 vnt+1] = iBt1.

Calendario de amortizacin: es una tabla que muestra las relaciones entre el balance, pa-gos a principal, e intereses pagados a lo largo de la vida de la deuda.

Sinking Funds

Iniciemos con un ejemplo. Suponga que se pagar un prstamo de 1000 con pagos anualespor 10 aos al 6 % efectiva anual. Si el pago se realiza con una amortizacin, cada pago serade 1000

a10 6%

, esto es 135.87.

Pero supongamos que se tiene un acuerdo diferente. Se pagarn slo los interes generadosal nal de cada ao y la deuda original se pagar hasta el nal de los 10 aos. Entonces sepagar 1000 (0.06) = 60 de inters cada ao. Y los 1000 del prstamo originial se pagarnen el ao 10.

Este mtodo es totalmente consistente y tiene sentido, pero el prstamista podra estarpreocupado por no recibir el prstamo completo al nal de los 10 aos. Que pasara si eldeudor entrea en banca rota y no puede pagar un monto mayor de 1000 comparado con los 60que paga cada ao?. Tambin el deudor podra estar preocupado, pues un pago as de la nadapodra afectar su economa, por lo cul debera ser prudente e invertir cierta cantidad pe-ridica en algn fondo con la nalidad de conseguir los 1000 que pagar al nal de los 10 aos.

Uno podra preguntarse por qu el prestamista quisiera recibir solo los intereses de ladeuda y no recibir parte del prstamo si no hasta el nal del trmino. Algunos inversionistasbuscan solo ingresos en forma de inters, como en un bono, sin el riesgo de reinvertir a tasasdesconocidas. Es decir, quisieran tener el monto total prestado a una tasa de inters conociday pactada desde el principio.

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Al fondo que se menciona, en el cual el deudor va a invertir pagos peridicos para lograrsaldar la deuda, le llamaremos Sinking Fund (SF).

Si en este ejemplo, el deudor hace depsitos nivelados en el SF para acumular los 1000al nal de 10 aos, estos depsitos sern x, de tal forma que:

xs10 = 1000

Si el SF tuviera la misma tasa de inters, del 6 %, los pagos sern de 75.87. Entonces lospagos totales que hace cada ao son los 60 que paga de intereses mas los 75.87 que depositaen el SF, lo cual suma 135.87. Si nos damos cuenta esto es justo el pago en el caso de pagaresta deuda bajo el mtodo de amortizacin. Lo cul no debe ser sorprendente, puesto queno puede suceder que haya pagos diferentes a la misma tasa que cubran la misma deuda enel mismo periodo de tiempo!.

Pero en general no ser as, puesto que la tasa a la que podemos invertir en general esms pequea que la tasa a la que nos prestan. Por ejemplo supongamos que la tasa que nosdan en el SF es del 5 %, entonces calculemos el pago que har anualmente el deudor. El pagoen el SF es 1000

s10 5%

= 79.50, ms los 60 que paga de intereses tenemos un total de 139.50.

Notemos que es mayor que el pago de 135.87 que se realizara en el caso de la amortiaza-cin. Y esto es lgico, si el deudor invierte a una tasa menor que a la que le prestan entoncestendr que hacer depsitos ms grandes para poder alcanzar los $1000 en 10 aos.

La metodologa general para resolver problemas de SF ser resolver dos preguntas:

1. Cul es en inters que se paga al acreedor?

2. De cunto son los depsitos que se hacen al SF?

La suma de (1) y (2) es el pago peridico total hecho por el deudor. Si se tiene el problemaen general, usaremos i para la tasa a la que se presta, y j la tasa a la que crecen los depsitosen el SF.

La situacin ms sencilla es cuando se nos dice la cantidad prestada y las dos tasas,entonces as podemos contestar (1) Y (2) fcilmente. Pero cuando nos piden el monto de ladeuda, habr que calcularla dada la informacin que nos den.

Ejemplo 2.0.12. Un deudor paga un prstamo haciendo pagos anuales sobre los interesesgenerados al 7 % anual, y haciendo depsitos en un SF al 6 % por 15 aos. El deudor paga

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un total de 15850 anualmente. De cunto es la deuda original?Solucin:Llamemos L a la deuda original. Resolviendo las dos preguntas, tenemos:

(1) pago de intereses = 0.07L

(2) depsito en el SF =L

s15 0.06

Pago total = 0.07L+L

s15 0.06

Pero en el enunciado nos dice que el pago total es de 15850, por lo que L = 140312.

Otra forma dee ver a (2) es como 15850 0.07L. Y para encontrar L podemos acumularel SF para obtener L:

(15850 0.07L)s15 0.06 = L

Evidentemente llegamos a la misma ecuacin, pero esta representacin suele ser muy tilcuando los depsitos en el SF no son nivelados.

Ejemplo 2.0.13. Una persona pide un prstamo y paga intereses anuales a su acreedor al8 % y hace depsitos en un SF al 6 % por 18 aos. El pago total que hace cada ao es de20000 en los primeros 12 aos y de 15000 en los ltimos 6 aos. De cunto es el prstamo?Solucin:Sea L el prstamo, entonces

(1) pago de intereses = 0.08L

(2) depsito en el SF = (20000 0.08L)en los primeros 12 aos= (15000 0.08L)en los ltimos 6 aos

Y como el SF debe acumlar L en los 18 aos entonces:

(20000 0.08L)s18 0.06 5000s6 0.06 = 20000s18 0.06 5000s6 0.06 0.08Ls18 0.06 = L

L =20000s18 0.06 5000s6 0.06

1 + 0.08s18 0.06= $167961

Como podemos ver es mas conveniente usar la observacin nal del ejemplo anterior.

Ejemplo 2.0.14. Una persona pide un prstamo y acuerda con su acreedor lo siguiente: Sepagaran intereses anuales por 9 aos al 7 %. El deudor pagar el 110 % de la deuda original

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al nal de los 9 aos, haciendo 5 pagos anuales en un SF que gana el 5 %. Despuess dehacer los 5 depsitos, el SF crece con intereses solamente. El pago tatal que hace el deudoren los primeros 5 aos es de 13, 000.De cunto es el prstamo?Solucin:Sea L el prstamo, entonces:

(1) pago de intereses = 0.07L

(2) depsito en el SF los primeros 5 aos = (13, 000 0.07L)(13, 000 0.07L)s5 0.05(1.05)

4 = 1.1L

El lado izquierdo es lo que acumula en el SF despues de los 9 aos. El lad derecho es lacantidad que debe haber en el SF despues de 9 aos, que en este caso es el 110 % del prstamooriginal L. Entonces,

L =13, 000s5 0.05(1.05)

4

1.1 + 0.07s5 0.05(1.05)4

= $55, 608

Resumen de conceptos y frmulas.

Mtodo de Sinking Fund: En lugar de pagar una deuda con una serie de pagos que paganintereses y aportes a principal como en la amortizacin, en el caso del SF se separan ambospagos:

1. El inters sobre el prstamo original se paga al nal de cada periodo.

2. Los pagos a principal no se hacen directamente, se hacen depsitos en un SF que sevan acumulando a lo largo de la vida del prstamo.

Sinking Fund: es un fond que se va acumlando a travs del tiempo con el objetivo depoder pagar un prstamo al nal de la vida de dicho prstamo.

Tasas de inters

Tasa de inters del prstamo = i.

Tasa de inters del SF = j.

Pagos de inters peridicos = It = iB0.

Pago peridico en el SF, es tal que, B0 = SFD sj j .

Si i = j este mtodo es equivalente al de amortizacin, pero en general i > j.

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Balance por pagar, intreses y principal bajo el Mtodo de S.F.

Bajo el mtodo de S.F. el deudor normalmente hace pagos nivelados de intereses cadaperiodo y hace depsitos en un S.F. A primera vista pareciera que los intereses que paga sonnivelados! Pero como ya vimos en el caso en que la tasa de interes del prstamo y del S.F.son iguales ambos mtodos son equivalentes! Pareciera una contradiccin! Cmo podemosexplicar esto?.

La explicacin es la siguiente: Es verdad que el deudor paga intreses nivelados cada pe-riodo. Pero tambin gana intereses en el S.F. El inters que gana en el S.F. crece conformepasa el tiempo, puesto que se hacen depsitos peridicos. El monto neto de estos interesesnivelados que paga y los intereses que crecen en el S.F. decrecen con el tiempo. Y as pode-mos ver que efectivamente son equivalentes ambos mtodos (si la tasa es la misma).

El concepto de balance por pagar en el mtodo de S.F. puede ser un poco engaoso. Encualquier tiempo antes de nal de trmino de la deuda, el deudor debe la deuda comple-ta, puesto que no ha hecho ningn pago a principal mientras se ha ido acumulando dichacantidad en el S.F. Por lo que parece que el balance por pagar se mantiene como la deudacompleta todo el lapso de la deuda. Pero en el caso de amortizacin sabemos que el balancepor pagar decrece con el tiempo.

La explicacin a esto es la siguiente: Es verdad que el deudor paga la deuda hasta el nal,Pero el deudor tiene una gran ayuda, el S.F. Esto signica que la nica cantidad de dinero quedebe sacar de su bolsillo es la deuda original menos lo que lleva acumulado en el SF. Esta can-tidad neta es el balance por pagar, que decrece con el tiempo, al igual que en la amortizacin.

El pago a principal bajo cualuqeir mtodo de pago de una deuda es igual al lo que decreceel balance por pagar, pero por lo que acabamos de decir es que el balance por pagar decrececada perido gracias a que crece el SF. Por lo que el pago a principal en el ao t bajo elmtodo de SF puede calcularse de dos formas:

1. El interes ganado en el SF en el t-simo periodo mas el depsito hecho al nal de eseperiodo. O

2. El valor acumulado del SF al nal del t-simo periodo menos el valor acumulado alnal del (t 1)-simo periodo.

Apliquemos esto a nuestro ejemplo del pago de $1000 a 10 aos y al 6 %. Haciendo los

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clculos correspondientes al ao 3 y bajo el mtodo de amortizacin, vemos que:

I3 = $50.62

P3 = $85.25

B3 = $758.47

Bajo el mtodo de SF, para calcular los intereses en el tercer ao, determinamos elinteres ganado en el SF en el tercer ao y le restamos el pago de interes de $60 que hace.Para determinar el interes ganado en el tercer ao, determinamos el monto que hay en el SFa nal del segundo ao y lo multiplicamos por la tasa del SF. Y la notacin para la cantidadde dinero en el SF al nal del ao t ser (SF )t, entonces:

(SF )2 = 75.85s2 = $156.29

Recordemos que el depsito del SF lo calculamos anteriormente y era 1000s10

, asi que lo

podemos ver como:

(SF )2 =1000

s10s2 .

El interes ganado en el SF es 0.06(SF )2 = $9.38.El inters pagado es:

I3 = $60 $9.38 = $50.62P3 = $85.25(Pago total menos I3)

O tambin pudimos haber calculado P3 como se mencion unos momentos anes:

1. Inters ganado en el SF ($9.38) mas el depsito del SF ($5.87), que es $85.25.

2. Valor acumulado en el SF al nal de ao tres (75.87s3 = $241.54) menos el valoracumulado en el SF al nal del ao dos (75.87s2 = $156.29), que es $85.25.

3. Bonos

1. Un bono de $1, 000 con cupones semianuales del 8 % que madura en 10 aos.

2. Un bono con 5.5 % de cupones anuales que dadura en $110 en 10 aos.

Para el Bono 1, se recibirn cupones de $40 al nal de cada seis meses por 10 aos,incluyendo un cupn al nal de los 10 aos, y el valor de redencin que es 1, 000 al nal delos 10 aos.Comentarios:

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1. La tasa cupn se da en trminos anuales, por lo que "cupones semianuales del 8 %"signica un pago de 80 cada ao pero pagadero semianualmente, es decir 40 cada medioao.

2. No se especica si el bono se redime o no a la par, pero si no se menciona lo contrarioas se tomar.

Para el Bono 2, se recibirn cupones anuales de 5.50 = (5.5 % 100) por 10 aos y elvalor de redencin es 110 al nal de 10 aos.Comentarios

1. Este bono es diferente de la mayora por tener cupones anuales.

2. No se da el valor facial explcitamente, y como generalmente es un valor cerrado($100, $1, 000), vamoa a suponer que es 100, a menos que se diga otra cosa.

3. El cupn se determina multiplicando F por la tasa cupn, por lo que los cupones son5.5 % 100 y no 5.5 % 110.

Notacin:

P precio del bono

F valor facial

C valor de redencin

r tasa cupn por periodo de pago, se aplica a F para determinar el monto del cupn.El cupn es Fr

g es una tasa cupn especial, se aplica a C y es tal que Cg = Fr. Si el bono redime ala par entonces C = F y g = r

n es el numero de cupones por pagar

i es la tasa efectiva de inters por periodo de pago

Frmula del Precio de un Bono.

Frmula Bsica

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El precio de un bono que gana una tasa de inters efectiva i, es el VP de los pagos quehace dicho bono a esa tasa. El VP de los pagos es el VP de los cupones ms el VP del valorde redencin:

P = Fran + Cvn

Aplicando esta frmula al Bono 2 con una tasa de inters i = 4 % efectiva:

P = 5.50a10 i + 110v10i = $118.92

Frmula de Premio/Descuento

Simplemente se realiza una sustitucin algebraica en la frmula bsica. Como an =1vni

,entonces vn = 1 ian :

P = Fran + Cvn

= Fran + C(1 ian )= C + (Fr Ci)an

oP = C + (Cg Ci)an

Esta frmula es muy til para resolver cierto tipo de problemas. Quiz no sea tan intui-tiva como la frmula bsica en principio, pero tratemos de entenderla.Considere un bono hipottico con cupones a la tasa cupn especial g igual a i, valor deredencin C. (Cada cupn es de Ci). Cul es el precio de dicho bono?

La respueta es C. Es como si compraramos un bono al 5.5 % con valor de decnin 110 y5.50 de cupones. La tasa cupn especial es g = 5.50

110= 5 %. Si tu pagas 110 por este bono,

entonces ganaras 5 % efectiva pues ganas 5 % al ao en tu inversin de 110(5.50) y recibestus 110 en la fecha de maduracin.

Esto era para explicar que la ventaja de esta frmula es que nos ofrece una forma de versi el bono es a premio o a descuento:

P C = (Fr Ci)an

Retomando el Bono 2, veriquemos esta frmula:

P = 110 + (5.50 (110)(0.04))a10 4%= 110 + 1.10a10 4% = 118.92.

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Una ventaja de esta frmula es que simplica la solucin de problemas donde la incgnitaes n. Por ejemplo, ddo que el precio de un bono de $100 que redime en $110 con cuponesanuales al 5.5 % es de 94.55 a una tasa del 7 % efectiva, cul es la duracin de dicho bono?

P = C + (Fr Ci)an94.55 = 110 + (5.50 (110)(0.07))an 7%a10 7% = = 7.02273

n = 10

Que comparado con la frmula bsica:

P = Cvn + Fran

94.55 = 110vn + 5.50an 7%

Donde la n aparece en dos lugares de la ecuacin.La frmula de Makeham

Partiremos de la frmula bsica pero con "Cg":

P = Cgan + Cvn

= Cg

(1 vn

i

)+ Cvn =

g

i(C Cvn) + Cvn

Y si K = Cvn, entonces:

P = K +g

i(C K)

La ventaja de esta frmula no es para nada evidente! De hecho, no parece tener unainterpretacin verbal. Esta frmula es de mucha ayuda para resolver problemas de bonosseriales.

Los bonos seriales se reeren a una emisin de bonos que sern redimidos en fechas es-calonadas (de redencin). Entonces lo que importa es conocer el valor de dicha emisin.

Supongamos que Pj = Kj +gi(Cj Kj) es el precio del bono que redime en la fecha de

redencin nmero j. Kj el VP del valor de redencin del bono que redime en j. Cj el valorde redencin del bono que redime en j.

VP de la Emisin =mj=1

Pj =mj=1

Kj +g

i

(mj=1

Cj mj=1

Kj

)

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Ejemplo 3.0.15. Una corporacin hace una emisin con valor nominal de 2, 000 con fechasde redencin escalonados que inician en el 11 semestre y concluyen en el 30 semestre.(No se especica, pero existen 20 bonos ya que hay 20 fechas de redencin. Cada bono tieneF = 100).El valor de la tasa cupn es 5 % pagadera seminaual y el inters es del 8 % nom. semestral.Calcula el VP de la emisin:Solucin:

Cj = 20(100) = 2, 000Kj =

30j=11

Cjvj = 100

30j=11

vj = 100(a30 a10 ) = 918.1137

Premio y Descuento.Cuando un bono se compra en mas de su valor de redencin, el exceso en el precio se conocecomo "premio". Cuando un bono se compra en menos que su valor de redencin, a la dife-rencia se le conoce como "descuento".

La frmula de premio/descuento es ideal para determinar fcilmente cuando un bono sevende a premio o a descuento:

P = C + (Cg Ci)an

Podemos ver que si g > i, el precio es el valor de redencin C ms un cantidad positiva.Entonces, P > C y el bono se compra con un premio de P C = (Cg Ci)an .

De manera similar, si g < i, el precio es C ms una cantidad negativa. Entonces P < Cy el bono se compra con un descuento de C P = (Cg Ci)an .

Usaremos de ejemplo un bono que tiene solo 3 cupones para mostrar la dinmica de estosconceptos de manera simple.

Considere un bono de 1, 000 con cupones del 8 % semianuales que redime en 1, 050 enao y medio, y se compra a una tasa nominal anual del 6 % convertible semestralmente.

1. Cmo podemos determinar rpidamente si se compra a premio o a descuento sincalcular su precio?Solucin:

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Comparemos g con i. Para este bono, g = 401050

e i = 0.03. Como g > i, sabemos que elprecio es mayor que el valor de redencin. Por lo tanto, se vende a premio.

2. De cunto es el premio? Solucin:En general, el premio es igual a P C = (CgCi)an o (FrCi)an . Para este bono:

Premio = [40 (1050)(0.03)]a3 3% = 24.04

Como el bono tiene premio un 24.04, su precio es de 24.04 + 1, 050 = 1, 074.04.

Consideremos el inters que gana un inversionista que compra este bono en los primeros6 meses. La inversin es de 1, 074.04 a una tasa del 3 % efectiva semestral, entonces el inver-sionista gana (0.03)(1, 074.04) = 32.22 de intereses. Pero recibe un cupn de 40 al nal delos 6 meses. Qu signica o representa el exceso 40 32.22 = 7.78?

Debe representar el pagao de alguna parte de la inversin original de 1, 074.04 (el mis-mo concepto de pago a principal que se manej en amortizacin). Entonces el balancepor pagar de la inverisin, por decirlo as, justo depus del pago del primer cupn es de1, 074.04 7.78 = 1, 066.26.

Podemos notar que los conceptos que estudiamos en el mtodo de amortizacin con pagosnivelados encajan a la perfeccin, salvo por un detalle. Para un bono, el balance por pagarjusto despus del pago del ltimo cupn (pero antes del pago del valor de redencin) no escero, si no justamente el valor de redencin. Y un instante despus cuando se paga el valorde redencin el balance por pagar si se vuelve cero.

A pesar que los conceptos son los mismos, la terminologa para los bonos es diferente:

"Valor en libros" es usado en lugar de "balance por pagar". Esto es porque las compa-as en general muestran el valor de sus activos sobre bonos en sus libros contables.

En lugar de "pago a principal", la reduccin del valor en libros se llama "monto depremio para amortizacin". Esto es ya que la suma de las porciones de pagos a principalde los cupones "amortiza" el premio, es decir, reduce el valor en libros del bono de Pa C, cuando P C es el premio. El trmino usado para el pago a principal, en ingls,es "written down".

Los cupones son los que juegan el papel de los pagos (Pmt).

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Para nuestro ejemplo construyamos la tabla de amortizacin:

monto de premioInters para amortizacin Valor en libros

Periodo t Cupn It = iBt Pt = Cupn It Bt = Bt1 Pt0 1,074.041 40 32.22 7.78 1,066.262 40 31.99 8.01 1,058.253 40 31.75 8.25 1,050.00

Total 120 95.96 24.04

Observaciones:

1. El inters total ganado se dene de la misma manera que para el pago de un prstamo.El total de pagos recibidos menos el monto invertido. Para este bono, el total de pagosson 3 cupones mas el valor de redencin, esto es (3)(40) + 1, 050 = 1, 170. El montoinvertido es de 1.074.04. El total de inters ganados es 1, 170 1, 074.04 = 95.96, quecoincide con el Total en la columna de interes de la tabla.

2. El total de los montos de premio para amortizacin coincide con el premio de 24.04.

3. Se puede probar que los montos de premio para amortizacin siguen una progresingeomtrica con razn de (1 + i). Esto se puede ver de la frmula para Pt:

Monto de premio para amortizacin = Pt = (Fr Ci)vnt+1, o,Pt = (Cg Ci)vnt+1

Esto puede verse fcilmente si expresamos Pt = Bt1 Bt. Pues Bt se puede ver,prospectivamente, como el precio del bono con la misma tasa de inters original, peroconsiderando solo los cupones restantes y el valor de redencin.

Qu pasa si un bono se compra a descuento? Tomemos el mismo bono del ejemploanterior, pero en lugar de una tasa del 6 % nom semestral, supongamos que la tasa es del10 % nom semestral. Podemos ver que este bono se compra a descuento (pues 40

1050< 0.05).

El precio del bono es de:

P = 1, 050 + [40 (0.05)(1050)]a3 5% = 1, 015.96

El descuento en este caso es de C P = 34.04.

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El inters ganado en los primeros 6 meses es de (0.05)(1, 015.96) = 50.80. Esto es extrao,pues el cupn tan solo es de 40. Cmo es que el inters ganado sea mayor en $10.80 que elpago de cupn que realmente recibi el inversionista?

Veamoslo de la siguiente manera. Las cuentas nos dicen que el inversionista debe ganarun inters de 50.80 al 5 %. Si recibe solo 40, el bono "le debe" al inversionista 10.80 de intere-ses en ese momento. Haciendo los pagos de cupones eventualmente el inversionista recibirtodos los intereses que debe ganar. Esta situacin se puede ver con el mismo concepto de laamortizacin negativa.

Entonces podemos ver que cuando un bono se compra a descuento, cada cupn es menorque el pago de intereses que debe en ese momento. Pero todos esos "faltantes" se pagarn,junto con los intereses que generan, al nal cuando el bono redima.

Volviendo a nuestro ejemplo de nuevo, el pago a principal del primer periodo es, el cupnmenos el interes ganado. Entonces P1 = 40 50.80 = 10.80. Esto signica que cuandocalculemos B1 como el precio menos el P1, el balance por pagar (valor en libros) de hecho seincrementar. Esto va de acuerdo con la idea que se mencion anteriormente, el bono "debe"10.80, entonces esta cantidad se agrega al balance por pagar como un "tipo de inversinadicional" que ser pagada junto con los intereses generados al nal cuando redima el bono.

Haremos la tabla de amortizacin correspondiente para mostrar como funciona este tipode bonos. Los pagos a principal se conocen como "monto de descuento para acumulacin",pues su suma debe igual al descuento con el objetivo de que el valor en libros vaya creciendopara lograr llegar de P a C. En ingls se conocen como "written-ups", pues el valor en librosva aumentando en dichas cantidades hasta C.

monto de descuentoInters para acumulacin Valor en libros

Periodo t Cupn It = iBt Pt = Cupn It Bt = Bt1 Pt0 1,015.961 40 50.80 -10.80 1,026.762 40 51.34 -11.34 1,038.103 40 51.90 -11.90 1,050.00

Total 120 154.04 -34.04Observaciones:

1. El inters total ganado es el total de pagos recibidos menos el monto invertido. En este

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caso, el total de intereses es (3)(40) + 1, 050 1, 015.96, que coincide con el Total enla columna de inters de la tabla.

2. El total de los montos de descuento para acumulacin coincide con el descuento de34.04.

3. Se puede probar que los montos de descuento para acumulacin siguen una progresingeomtrica con razn de (1 + i). Esto se puede ver de la frmula para Pt:

Monto de premio para amortizacin = Pt = (Fr Ci)vnt+1, o,Pt = (Cg Ci)vnt+1

Solo debemos tener cuidado con el signo negativo que iremos acarreando como en elcaso de la amortizacin negativa.

La importancia de determinar el inters ganado que incluye cada cun es que esa canti-dad normalmene es reportada como ganancias de inversin por entidades nancieras, comocompaas aseguradoras o fondos de pensin. Como hemos visto:

1. Para un bono comprado a premio, el inters ganado cada ao es "menor" que el montode cada cupn. El balance del cupn es el pago parcial del premio que se pago por elbono. De esta forma, el valor en libros va disminuyendo cada periodo, hasta que llegaal valor de redencin.

2. Para un bono comprado a descuento, el inters ganado cada ao es "mayor" que elmonto de cada cupn. El exceso de interes ganados sobre el cupn es como una inversinextra en el bono que sirve para aumentar el valor el libros cada periodo, para llegar alvalor de redencin.

Problemas1. Usted decide invertir en el bono X, aun bono a n aos con cupones semianuales y lassiguientes caractersticas:

Valor facial de 1,000

El cociente de la tasa cupn semianual entre la tasa de inters semianual, ri

= 1.03125.

El VP del valor de redencin es 381.50

Dado que vn = 0.5889, cual es el precio del bono X?Solucin:

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El precio del bono esta dado por: VP de los cupones + VP del valor de redencin.Nos dicen que el VP del valor de redencin es 381.50Los cupones son igual a 1, 000r, entonces el VP de los cupones es:

1000r(a2n i) = 1000r

(1 v2n

i

)= 1000

(ri

)(1 v2n)

= 1000(1.03125)(1 0.58892) = 673.61

Por lo tanto el precio del bono es 381.50 + 673.61 = 1, 055.11.2. Una persona compra un bono de 28 aos con valor facial de 1200 y cupones anuales. El

bono es redimible a la par. Esta persona paga 1968 por el bono suponiendo una tasa efectivaanual i. La tasa cupn es el doble que la tasa de inters. Al nal de 7 aos, vende el bonoen $P, lo que produce la misma tasa efectiva anual i para el nuevo comprador. Calcule P.Solucin:

1968 = 1200v28i + 1200(2i)a28 i = 1200v28i + 2400(1 v28i )

432 = v28i (1200)

v28 = 0.36

P = 1200v21i + 1200(2i)a21 i = 1200v21i + 2400(1 v21i ) = 2400 1200(v28i )3/4

= 2400 1200(0.36)3/4 = 1842

3. Un bono con cupones igual a 40 se vende en $P. Un segundo bono con el mismo valorde redencin y fecha de maduracin tiene cupones igual a 30 y se vende por $Q. Un tercerbono con el mismo valor de redencin y fecha de maduracin se vende con cupones de 80.Todos los precios ests basados en la misma tasa de inters, y los cupones se pagan con lamisma frecuencia. Determine el preico del tercer bono.Solucin:

P = Cvn + 40an

Q = Cvn + 30an

P Q = 10anB3 = Cv

n + 80an = Cvn + 40an + 40an = P + 4(P Q) = 5P 4Q.

4.Supongamos un bono a la par con las siguientes caractersticas

Valor facial de 1,000

30

Fecha de compra 1/1/92

Tasa cupn del 8 % anual

Tasa de inters del 10 % anual

Valor amortizado del bono al 1/1/97 de $Z

Valor amortizado del bono al 1/1/98 de $Z + 10.25

Calcula el precio del bono.Solucin:Usaremos la relacin BVt1(1 + j) Fr = BVt, y as tenemos que

Z(1.10) (1000)(0.08) = Z + 10.25Z = 902.50

Entonces el valor amortizado en 1/1/97 es de 902.50, el dia despus de que se pagara el 5

cupn (el primer cupn se pag el 31/12/92 y el 5 se pago el 31/12/96). Entonces, as comocalculabamos los balances en una amortizacin aqu lo que queremos es calcular el BV0 quees justo el precio del bono. Usando el mtodo retrospectivo (puesto que sabemos de cuantoson los cupones y conocemos la tasa de inters), tenemos

902.50 = P (1.1)5 80s5 0.1 = 1.6105P 488.41

Por lo que el precio del bono es P = 902.50+4888.411.6105

= 864.50.

Precio entre fechas de cupn.Hasta aqu, hemos calculado el precio de un bono en una fecha exactamente un perido ante-rior a la siguiente fecha de cupn (o justamente en la fecha en que se paga un cupn). Peroahora consideraremos el precio en una fecha que es una fraccin de periodo entre pago decupones.

Precio que se paga en la fecha de compra

Suponga que el ltimo cupn se pago al tiempo t (medido en periodos de cupones) yque el bono se vender al tiempo t+ k, donde k es la fraccin del periodo de cupn a partirde t (0 k 1). El precio que realmente se paga al tiempo t + k es igual al precio quetenia en la ltima fecha cupn llevado con los intereses correspondientes hasta el tiempo t+k.

31

Usaremos el smbolo Bt para el precio de un bono justo depus de que se pagara el ltimocupn y por Bt+k al precio del bono al tiempo t+k. Si la tasa de inters efectiva por periodoentre cupones es j, el precio que deber pagarse en t+ k es:

Bt+k = (1 + i)kBt

Esto podra expresarse como el valor presente al tiempo t+k del precio que debera tenerel bono en la siguiente fecha cupn (i.e. en t + 1), incluyendo el cun que se paga en esafecha:

Bt+k = v1k(Bt+1 + Fr)

Por qu es necesario agregar el cupn a Bt+1? Recuerden que Bt+1 es el precio del bonoal tiempo t + 1 "justo" despus del pago del cupn de esa fecha. Claramente estas dos for-mas de calcular el precio de Bt+k son equivalentes. A este precio tambin se le conoce como"Precio Sucio", pues hay una parte del siguiente cupn que le corresponde al poseedor y otraparte del cupn que le corresponde al nuevo comprador, y eso "ensucia" el precio.

Tomemos el mismo ejemplo del bono en el caso de bonos a premio y descuento, valorfacial de 1, 000 con cupones semianuales del 8 % nominal, redimible en 1, 050 y en ao y me-dio, que da una tasa de inters nominal del 6 % convertible semestralmente. Y supongamosque j = 3 % es la tasa de inters entre fechas de cupn. Los precios del bono en fechas decupn son:

Periodo t Valor en libros

0 1,074.041 1,066.262 1,058.253 1,050.00

Supondremos que la tasa de inters se mantiene constante en j = 3 % por cada medioao. Entonces el valor en libros del esta table tambin representa los precios que deberin pa-garse para este bono en cada fecha cupn, justo despues de que se pague el cupn de esa fecha.

Suponga que el bono se compra un mes y medio despus de su emisin, entonces k = 0.25.El precio sera:

B0.25 = (1.03)0.25B0 = (1.03)

0.25(1, 074.04) = 1, 082.01

Tambin podemos calcular el precio como el valor presente del precio en la siguiente fechacupn, incluyendo dicho cupn:

B0.25 = v0.75(B1 + 40) = v

0.75(1, 066.26 + 40) = 1, 082.01

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Como era de esperarse, obtenemos la misma respuesta en ambas formas de calcularlo.

Ahora veamos como va evolucionando el precio del bono desde t = 0 (fecha de emisin)hasta t = 3 (fecha de redencin).

Conforme k vara de 0 a 1, entre fechas de cupones, el precio se incrementa por unfactor de (1.03)k. En t = 1, un instante antes de pagar el primer cupn, el precio es de(1.03)(1, 074.04) = 1, 106.26. En t = 1, un instante despus de que se pague el primer cupn,el precio es 1, 066.26. Esta diferencia es 40, justo lo que vale el cupn de esa fecha. Y esta"cada" en el precio sucede en cada fecha cupn. (Dibujar la grca de como se ven estoscambios).

Al gracarla parece que son lineas rectas, pero en realidad son curvas exponenciales.

Precio de mercado(i.e. excluyendo intereses acumulados).

Por convencin, el precio de mercado de un bono es el precio que realmente se paga,menos el inters acumulado (sobre el cupn correspondiente). La razn de esto es que lostraders preeren ver el precio del bono como una curva suave y no como en la grca ante-rior. Sin embargo, los bonos si se venden al precio real y no al precio de mercado.

Hay varios mtodos de crear una curva suave que se utilizan, por ejemplo el precio "te-rico" (donde se utiliza inters compuesto), el "semi terico" o "semi emprico" (que utilizainters simple para el inters acumulado del cupn, y es el ms usado en la prctica) y elmtodo "prctico" (utiliza solo inters simple, tanto para el precio intermedio del bono ypara inters del cupn).

Precio en t+ k Cupn acumulado Valor de mercado

Terico Bt(1 + i)k Fr

[(1+i)k1

i

]Bt(1 + i)

k Fr[

(1+i)k1i

]Semi terico Bt(1 + i)

k Fr k Bt(1 + i)k Fr ko semi prctico

Prctico Bt(1 + ik) Fr k Bt(1 + ik) Fr kSlo veremos el mtodo semi prctico

El inters acumulado al tiempo t (donde t es cualquier fecha cupn justo despus depagarse ese cupn) es claramente 0. El inters acumulado se va incrementando gradualmentehasta completar la cantidad completa del siguiente cupn Fr justo antes de que se pague en

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t+ 1. Entonces en este mtodo el inters que genera el cupn es inters simple, por lo que altiempo t+k el inters sobre el cupn es k Fr. Y as el precio de mercado es Bt(1+i)kFr k.

Tomando el ejemplo anterior, el precio de mercado un mes y medio despus de la emisindel bono sera de 1, 074.04(1.03)0.25 (0.25)(40) = 1, 082.01 10 = 1, 072.01. Para obtenerel valor real del bono slo basta sumarle los intereses generados por el cupn, que en estecaso son $10.

Otro factor importante es como contar los das que restan entre fechas de cupn parapoder determinar nuestra k (fraccin entre frechas). Hay dos forma de hacerlo:Mtodo "Actual/Actual"Bajo este mtodo, que es utilizado generalmente para bonos gubernamentales, el nmeroexacto de das desde el ltimo cupn es usado para el numerador y denominador de k. Porejemplo:Suponga un bono con cupones semianuales, y las fechas cupn son el 23 de julio y el 23 deenero. Digamos que el bono se comprar el 3 de noviembre. Entonces determinamos k de lasiguiente forma:

Numerador de k = 8 + 31 + 30 + 31 + 3 = 103

Denominador de k = 8 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 23 = 184

k = 103184

= 0.55978

Mtodo 30/360Bajo este mtodo, que es utilizado principalmente para bonos corporativos, cada mes seconsidera de 30 das, por lo tanto el ao tiene 360 das. Utilizando el msmo ejemplo anterioral 3 de noviembre:

Numerador de k = 7 + 30 + 30 + 30 + 3 = 100

Denominador de k = 7 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 23 = 180

k = 100180

= 0.55556

Clculo de la tasa de inters

Hasta ahora, hemos tomado por cierta la tasa de inters y calculamos el precio de losbonos. Pero de hecho, en el mundo real, el precio del los bonoe es el que es conocido y latasa es la que debemos calcular.

34

En general podemos calcular i despejando de la frmula bsica P = Fran + Cvn. Esto

podra ser bastante complicado. Si no se cuenta con una calculadora nanciera, podramosusar mtodos iterativos como Newton-Raphson.

Es posible desarrollar una frmula muy simple de aproximacin que no requiere de lacalculadora nanciera ni de mtodos iterativos. Esta frmula se llama "Bond Salesman'sMethod".

Ejemplo 3.0.16. Un bono de 100 con tasa cupn del 6 % semianual madura al nal de 8aos en 103. Si se vende en $95, aproxima la tasa de inters con el Bond Salesman's Method.

Solucin:Este mtodo consiste en aproximar la tasa de inters dividiendo la cantidad promedio deinters ganado por periodo entre la cantidad promedio invertida.El total de intereses ganados en el perido de 8 aos es simplemente la suma de los pagosmenos la cantidad invertida. Para este bono, recibiremos 16 cupones semianuales de $3 cdauno ms el valor de redencin de $103 con una inversin de $95, entonces el total de interesesganados es 16 $3 + $103 $95 = $56. Entonces, la cantidad promedio de interes ganadospor perido es $56/16 = $3.50 por cada medio ao.

La inversin original, podra aproximarse como la media entre la inversin original de $95y el valor de la inversin al nal del trmino del bono que sera $103. Esto es, 1

2(95+103) = 99.

Finalmente, la aproximacin que nos da este mtodo es i = 3.5099

= 3.54 % hasta dosdecimales. Si utilizamos una calculadora nanciera el resultado exacto es i = 3.56 % hastados decimales. En este caso particular, este mtodo nos da una buena aproximacin.

En trminos matemticos tenemos que el Bond Salesman's Method es:Si el precio del bono es P , con cupones Fr o Cg por perido y redimible en C en n periodos,

Total de intereses = nCg + C P

Inters promedio por periodo = nCg+CPn

Inversin promedio = 12(P + C)

Aproximacin de la tasa de inters por periodo es i = nCg+CPn2

(P+C)

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Callable BondsSon bonos que el poseedor tienen la posibilidad, ms no la obligacin, de redimir el bonoantes de la fecha de maduracin. A esta fecha se le llama "call date". El reto al valuarlo estratar de determinar cual es la call date ms probable.

Algunas veces es ms ventajoso saldar una deuda antes de la fecha de maduracin. Porejemplo en el pago de hipotecas, cuando las tasas de inters bajan, se puede renanciar elprstamo y aprovechar esa disminucin en la tasa. Las corporaciones tambin encuentranventajoso este escenario para saldar sus "prstamos" que adquirieron mediante bonos.

Cuando un inversionista compra un callable bond, el precio se basa en la fecha ms pr-xima o en la fecha de maduracin. La siguiente tabla muestra la regla general basado en elpeor de los escenarios:

Tipo de bono N (Fecha de maduracin)Bono a premio Fecha de redencin ms prxima

Bono a descuento Fecha de redencin ms lejana

Consideremos un bono de 100 con cupones anuales del 6 % y fechad de maduracin de20 aos y que puede ser "llamdo", es decir redimido, en cualquier fecha cupn empezandoen 10 aos a partir de ahora. Qu precio debe pagar el inversionista para obtener una tasade inters del 4 % efectiva?

En realidad no es posible contestar esta pregunta como tal. Esto es porque para cualquierprecio dado, la tasa de inters ser diferente, dependiendo de cuando se redime el bono. En-tonces cambiemos un poco la pregunta, cul es el precio ms alto que el inversionista debepagar para que asegure una tasa de inters de al menos 4 %?

La clave est en determinar el preico basado en la peor fecha de redencin que puedaocurrir. Si la fecha de redencin es cualquier otra entonces al menos ganaremos la tasa quequeremos. Entonces veamos cul es el peor escenario.

Para eso usamos la tabla anterior y como en este ejemplo el bono es con premio puesg > i(0.06>0.04). Lo peor que puede pasar si un bono se compra a preio es que sea redimidoen la fecha ms prxima, por qu?.

Entonces para nuestro ejemplo calculemos el precio basado en la fecha ms prxima deposibles fechas de redencin, que es 10 aos a partir de ahora. El precio con el 4 % de inters

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es:P = 100 + (6 4)a10 = $116.32

Si compramos este bono en 116.32 y es "llamado" en 10 aos entonces ganamos justoel 4 % que queramos, pero si es "llamado" despus ganaramos ms, por ejemplo si fueraredimido en 20 aos entonces con ese precio, haciendo el cculo encontramos que la tasa deinters que se gana es del 4.73 %.

Qu pasa en el caso de un bono a descuento? por qu tenemos que usar la fecha deredencin ms lejana?

Podemos generalizar un poco ms, supongamos que los valores de redencin no son igualespara todas las posibles fechas de redencin del bono. Aqu ya no ser tan claro que fechautilizar, si la ms cercana o lo ms lejana. El principio general es muy sencillo: para garantizarque se gana una tasa de inters en particular, debemos calcular el precio mnimo para todaslas posibles fechas de redencin a esta tasa.

Considere un bono de 100 con cupones semianuales del 5 % que madura en 15 aos y esdel tipo callable en cualquier fecha cupn despus de la dcima. Si se "llama" de la 11va ala 20va fecha cupn, el valor de redencin ser de 110. Si se "llama" de la 21va a la 30vafecha cupn, el valor de redencin ser a la par. Encuentre el precio que asegurara que elinversionista gane por lo menos una tasa del 3 % por ao compuesta semianualmente.

Para resolver esto primero determinemos el precio ms pequeo para una redencin entrela 11va y la 20va fecha cupn y luego el precio ms pequeo para una redencin entre la21va y la 30va fecha cupn, y luego el mnimo entre esos dos precios. Y ese precio ser elque buscamos.

Notemos que el bono se vende con premio para todas las posibles fecha de redencin.Para el periodo 11-20, g = 2.50

110= 2.27 %. Y en el periodo 21-30, g = 2.50

100= 2.50 %. Y como

i = 1.5 %, g > i en cualquier caso.

Para el periodo de 11-20 tenemos que

P = C + (Fr C)an 1.5%= 110 + [2.50 (110)(0.015)]an= 110 + 0.85an

Por lo que el precio ms pequeo es con n = 11, es decir P = 110 + 0.85a11 = 118.56.Y para el periodo de 21-30 tenemos que

P = 110 + [2.50 1.50]an= 110 + an

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Por lo que el precio ms pequeo es con n = 21, es decir P = 110 + a21 = 117.90.Tomando el mnimo de los dos, tenemos que le precio que no asegura una tasa del 3 % anualconvertible semestralemente es $117.90. Notemos que aunque todo el bono era a premio, nose valu en la fecha ms prxima que era 11 si no en 21, esto puede ocurrir cuando los valoresde redencin no son iguales siempre.

Problemas

1. Se compra un bono de 1000 a 10 aos con cupones del 8 % convertible semianualmenteque ser redimido en $R. El precio de compra es 800 y el valor presente del valor de redencines 301.51. Calcula R.Solucin:

800 = 40a20 i +Rv20i = 40a20 i + 301.51

40a20 i =800 301.51

40= 12.46225

Entonces i = 5 % y Rv20i , entonces R = 301.51(1.05)20 = 800

2. Un bono de 1000 a 3 aos con cupones anuales de 50 para el primer ao, 70 para elsegundo y 90 para el tercer se compra a una fuerza de inters de

t =2t 1

2(t2 t+ 1), t 0.

Calcula el precio del bono.Solucin:

a(t) = e t0

2s12(s2s+1)

ds= e

12

ln(s2s+1)|t0 = (t2 t+ 1)1/2

a1(t) = (t2 t+ 1)1/2

a1(1) = 1, a1(2) =13, a1(3) =

17

P = 50 +70

3+

90 + 1, 0007

= 502.40

3. Un bono de 1000 a n aos con cupones anuales del 4.20 % se compra en un precio queofrece una tasa anual efectiva i. Se da lo siguiente:

Si la tasa cupn hubiera sido de 5.25 % en lugar de 4.20 %, el precio del bono habraincrementado en 100.

38

Al la fecha de compra, el valor presente de todos los cupones es igual al valor presentedel valor de redencin, de 1000, del bono.

Calula i.Solucin:El VP del incremento en los cupones de 4.2 a 5.25 es (52.50 42)an = 10.50a20 i = 100.Entonces an =

10010.50

. Entonces si consideramos el bono con la tasa cupn del 4.2, el VP delos cupones es 42an =

4210010.5

= 400. El VP del valor de redencin es 1000vn = 400. Entoncesvn = 0.4, an =

1vni

= 0.6i

= 10010.5

. Entonces i = 0.610.5100

= 6.3 %.

4. El 1 de junio de 1990, un inversionista compra tres bonos a 14 aos, cada uno convalor facial de 1000, a una tasa de inters anual efectiva de i por cada bono. Cada bono esredimible a la par. Y se da la siguiente informacin:

El primer bono es un bono de acumulacin (cupn cero) valuado en 195.63.

El segundo bono tiene cupones semianuales de 9.4 % y su precio es de 825.72.

El tecer bono tiene cupones anuales del 10 % y precio P .

Calcula P .Solucin:1000v14 = 195.63, v

14 = 0.19563

1000(0.94)a(2)

14+ 1000v14

=94(1 v14)

i(2)+ 195.63 = 825.72

94(1 v14)i(2)

=94(0.80437)

i(2)= 630.09

Entonces i(2) = 0.12, entonces i = 0.1236. Y el precio del tercer bono es:

P = 100a14 + 1000v14 = 100

(1 v14

i

)+ 195.63

= 100

(1 0.19563

0.1236

)+ 195.63 = 846.41.

5. Un bono de 1000 con tasa cupn c convertible semestralmente ser redimido a la paren n aos. El precio de compra que da una tasa del 5 % convertible semestralmente es P . Si

39

la tasa cupn fuera de c0.02 el prcio del bno sera P 300. Otro bono de 1000 es redimiblea la par al nal de 2n aos. Tiene tasa cupn del 7 % convertible semestralmente y da uninters de 5 % convertible semestralmente. Calcula el precio del segundo bono.Solucin:

P = 1000 + 1000( c

2 0.025

)a2n

P 300 = 1000 + 1000( c

2 0.01 0.025

)a2n

300 = 1000(0.01)a2n , v2n = 0.25

a4n =1 (v2n)2

0.025=

1 0.06250.025

= 37.5

Por lo tanto el precio del seguno bono es 1000 + 1000(0.035 0.025)a4n = 1000 + 10(37.5) =1, 375.

6. Un inversionista compra un bono de 1000 con cupones anuales del 6 %. La fecha demaduracin es exactamente 10 aos despus de la compra y el valor de redencin es a la par.El bono se compr a premio ganando una tasa del 5 % por ao. Un ao ms tarde, justodespus del pago del primer cupn, el bono es "llamado" en 104 % del valor facial. Qu tasade inters gan el inversionista?Solucin:P = 60a10 0.05 + 1000v

10 = 1077.22. Y un ao despus recibe 60 del primer cupn y elvalor de redencin que sera 104 1000 = 1040, es decir un total de 1100, por lo que1077.22(1 + i) = 1100, entonces i = 2.1 %

7. Considere un bono a 10 aos con cupones semianuales, tal que

Precio de compra de 650

Valor facial de 1000

Valor de redencin de 1050

tasa cupn del 12 %

usando el mtodo de bond salesman, calcula la tasa de inters nominal convertible semes-tralmente.

40

Solucin:Utilizando el mtodo de bond salesman tenemos que

j =(20)(60) + 1050 650

202

(650 + 1050)

= 9.411765 %

Entonces la tasa nominal es 2j = 0.1882.

4. Tasas de Inters

4.1. Anlisis de Flujos de Efectivo

Valor Presente Neto

Cuando estamos involucrados en alguna transaccin nanciera, como una inversin, unprstamo, o algn contrato que realiza una compaa, la transaccin consiste en una seriede pagos que se hacen (cash outows) y una serie de pagos que se reciben (cash inows).

Dos mtodos principales para comparar estos ujos de efectivo son:

Comparar el valor presente neto (VPN) de las entradas y salidas de efectivo.

Comparar las tasas de inters implcitas entre los ujos de efectivo (Tasa interna deRetorno, TIR).

Por VPN, simplemente nos referimos al valor presente de los ujos de entrada menos losujos de salida. Bajo este mtodo, si hay varias opciones de inversin uno escoger la delVPN ms grande. Rechazaremos las alternativas que nos den un VPN negativo, pues estosignica que saldremos perdiendo en esa inversin.

Usaremos la notacin At para los ujos de entrada al tiempo t y Lt para los ujos desalida al tiempo t (A de assets y L de liabilities). En trminos de estos smbolos, tenemosque:

V PN =t

(At Lt)vt

Para realizar el clculo del VPN, usaremos una tasa de inters "apropiada". La tasa deinters que utilizaremos ser la que creemos que ganaramos en una inversin sujeta al mismoriesgo. A esta tasa se le conoce como costo de capital (cost of capital, the opportunitiy cost

41

of capital o interes preference rate).

Consideremos la siguiente transaccin, L0 = 1, 000, A3 = 500, A8 = 800. Esta serie deujos podran representar cualquier tipo de transaccin nanciera, por ejemplo:

Prestamos 1, 000 hoy y nos pagan 500 en 3 aos y 800 en 8 aos.

Depositamos 1, 000 en el banco hoy, y hacemos retiros de 500 en 3 aos y de 800 en 8aos, vaciando la cuenta en ese momento.

Compramos una accin de 1, 000 hoy, vendemos alguna fraccin en 3 aos por 500 yvendemos la fraccin que nos sobra en 8 aos por 800.

Nuestra compaa lanza un nuevo producto hoy con precio de lanzamiento de 1, 000.El producto da ganancias netas de 500 en 3 aos y de 800 en 8 aos.

Todas estas transacciones se componen de una salida de efectivo de 1000 hoy y dosentradas de efectivo de 500 en 3 aos y de 800 en 8 aos. Como el VPN es una funcin dela tasa de inters i, a veces convendr representarlo como P (i):

V PN = P (i) = 1000 + 500v3 + 800v8

Ejemplo 4.1.1. Si utilizamos un costo de capital del 4 % para la ecuacin anterior. Cules el VPN? Suponga que es la nica alternativa de inversin, conviene invertir?

Solucin:

V PN = P (i) = 1000 + 500v34 % + 800v84 % = 29.05Como el VPN es positivo, si, si conviene invertir.

Ejemplo 4.1.2. Suponga que hay otra inversin con un riesgo similar, pero da 550 en 3aos y 720 en 8 aos, por la misma inversin de 1000. Cul es el VPN? En cul convieneinvertir utilizando el mtodo del VPN?

Solucin:El VPN de esta segunda inversin es:

V PN = P (i) = 1000 + 550v34 % + 720v84 % = 15.04

Entonces preferimos la primera inversin pues tiene un VPN mayor.

42

Tasa interna de retorno (TIR).Utilizando el mismo ejemplo, vimos que la el VPN de a tasa de inters i es:

V PN = P (i) = 1000 + 500v3 + 800v8

Es fcil notar que P (i) puede ser positivo o negativo, dependiendo de i. Podemos notartambin que en general se trata de un polinomio, y por tanto existen puntos tales queP (i) = 0. Este valor de i se llama tasa interna de retorno (TIR). En general, la TIR serla solucin a P (i) =

t(At Lt)vt = 0. Para nuestro ejemplo en particular tenemos que

resolver la ecuacin:500v3 + 800v8 = 1000,

Para esto, las calculadoras lo pueden hacer al introducir los ujos de efectivo. Otra formasera utilizando procesos iterativos o por interpolacin. A prueba y error, podemos ver queP (4) = 29.05 y P (5) = 26.61. Haciendo interpolacin lineal obtenemos que i = 4.52 %.

Ejemplo 4.1.3. Calcula la TIR para la segunda inversin y decida por alguna basado en elmtodo de la TIR.

Solucin:Ya calculamos que la TIR para la primera inversin es de 4.52 %. La TIR para la segundaposible inversin es la solucin a:

550v3 + 720v8 = 1000,

que nos da una tasa de i = 4.28 %. Entonces, basado en el mtodo de la TIR, vovlemos aescoger la primera alternativa pues tiene una TIR mayor, del 4.52 %.

Intuitivamente tendra que suceder que, sin importar que mtodo utilicemos, llegaramosa la misma "mejor" opcin de inversin. Pero debemos recordar que la TIR es la solucin aun polinomio, en general de grado n, y podramos tener varias soluciones, lo que dicultaradecidir que opcin de inversin es mejor.

Unicidad de la TIR.

Como P (i) =

t(At Lt)vt = 0 es un polinomio en v (y por lo tanto en i), existentantas soluciones como el grado del polinomio, pero sabemos que algunas de estas puedenser negativas o imaginarias, o haber mltiples soluciones positivas. Sin embargo, para lamayoria de las transacciones que consideraremos (y que se dan en la vida real), existe unanica solucin positiva para este polinomio.

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En la situacin comn en que la serie de ujos de entrada es seguida por los ujos desalida o viceversa, la tasa ser unica, para i > 1. (Lo probarn en la tarea).

Tomemos de ejemplo los siguientes ujos de efectivo: L0 = 10, 000, A1 = 40, 000 yL2 = 20, 000. Entonces:

0 = 10, 000 + 40, 000v 20, 000v2

0 = 2v2 4v + 1

Al resolverla encontramos que v = 1.707107 y v = 0.292893. Entonces i = 41.42 % ei = 241.42 %. Aparentemente, las tasas de inters implcitas son totalmente contrarias, operdemos mucho o ganamos an ms!. Hay algunos mtodos para trabajar con estas dicul-tades, pero eso tambin lo harn en la tarea.

Tasa de Retoro Dollar-Weighted y Time-Weighted.

Administradores de fondos de inversin en general reportan la tasa de inters del fondoen bases anuales. Hay dos mtodos bsicos para medir la tasa de retorno anual de un fondoque son adaptaciones de conceptos que ya hemos desarrollado.

Tasa de retorno dollar-weighted.

Es la tasa de retorno de un fondo, pero est basada en una ecuacin de valor que utilizainters simple aplicado a cada transaccin al nal del ao en que esta tasa es medida. Cuandohablemos de la tasa dollar-weighted supondremos que nos estamos reriendo a inters simple.

Para calcular la tasa dollar-weighted de un fondo en el curso del ao, se necesita lasiguiente informacin:

El monto en el fondo al inicio del ao,

El tiempo y las cantidades de todos los depsitos y retiros del fondo durante el ao, y

La cantidad en el fondo al nal del ao.

La ecuacin de valor se crea de la siguiente manera: Monto incial en el fondo ms todoslos depsitos acumulados al nal del ao con inters simple, menos el monto de todos losretiros del fondo acumulados al nal del ao con inters simple, lo que debe ser igual albalance del fondo al nalizar el ao.

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Si todas las fechas y las cantidades de los depsitos y de los retiros se conocen, junto conel monto inicial y el balance nal, entonces es directo el clculo de la tasa de inters que hacevlida esta ecuacin. Observe que esta ecuacin de valor es exactamente la misma que uti-lizaramos para encontrar la TIR, pero para la TIR habramos utilizado inters compuesto.Para periodos menores a un ao, la diferencia entre inters simple e inters compuesto en laecuacin de este mtodo no son muy grandes en general.

Ejemplo 4.1.4 (Tasa dollar-weighted). Un fondo de pensiones recibe contribuciones y pagabenecios en ciertas fechas. El fondo inicia en el ao 2009 con un balance de $1, 000, 000.Hay contribuciones al fondo de $200, 000 al nal de febrero y otra al nal de agosto. Hay unpago de benecios de $500, 000 al nal de octubre. El balance restante al nalizar el ao enel fondo es de $1, 100, 000. Encuentre la tasa dollar-weighted del fondo, suponiendo que cadames es 1

12de ao.

Solucin:La ecuacin de valor es

1, 000, 000(1 + i) + 200, 000

(1 +

10

12i

)+ 200, 000

(1 +

4

12i

) 500, 000

(1 +

2

12i

)= 1, 100, 000

i = 1, 100, 000 + 500, 000 1, 000, 000 200, 000 200, 0001, 000, 000 + 200, 000

(1012

)+ 200, 000

(412

) 500, 000

(212

)=

200, 000

1, 150, 000= 0.1739.

Observe que la cantidad 200,000 en el numerador es la ganancia neta de intereses duranteel ao. Es la cantidad neta en que la cuenta se incremento despus de combinar los depsitosy los retiros. La cuenta inici en 1,000,000, y hubo un retiro neto de 100,000 durante el ao,pero el balance creci 100,000 al nalizar el ao. Por lo que, de alguna manera hubo ingresosde 200,000 en el fondo. El denominador es la "cantidad promedio de depsitos durante elao". En la ecuacin para i, el balance inicial de 1,000,000 gana intereses por el ao com-pleto, el pago de febrero de 200,000 gana intereses los 10 meses restantes, y el de agostolos 4 meses restantes. El retiro de octubre reduce el balance promedio del ao, y ese generaintereses de los 2 meses restantes.

Denicin 4.1.5 (Tasa dollar-weighted para un ao.). Suponga que la siguiente informacines conocida:

El balance del fondo al inicio del ao es A,

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Para 0 < t1 < t2 < < tn < 1, el ujo de efectivo al tiempo tk es Ck (positiva si esdepsito, negativa si es retiro), y

El balance en el fondo al nal del ao es B.

Entonces la cantidad neta de intereses ganados en el fondo durante el ao es I = B [A+

nk=1Ck], y la tasa dollar-weighted que gana el fondo durante el ao es

I

A+n

k=1Ck(1 tk)

Una aproximacin a esta tasa dollar-weighted puede calcularse suponiendo que el total depagos/depsitos estn uniformemente distribuidos en el ao y se considera que son pagadosa mitad de ao. El total de pagos/depsitos sigue siendo C =

nk=1Ck, y la aproximacin

nos quedara como IA+ 1

2C. En el ejemplo anterior tedramos que la tasa es

200, 000

1, 000, 000 + 12(100, 000)

= 0.2105.

Obviamente nos da un aproximacin nada buena, puesto que los depsitos no estn unifor-memente distribuidos en el ao, los depsitos son antes que los pagos.

Si hubieramos usado inters compuesto, la ecuacin de valor sera:

1, 000, 000(1 + i) + 200, 000 (1 + i)1012 + 200, 000 (1 + i)

412 500, 000 (1 + i)

212 = 1, 100, 000

En este caso i = 0.1740 (bastante cercana a la que obtuvimos con el mtodo dollar-weightedde 0.1739).

Tasa time-weighted.

La tasa time-weighted para un ao se calcula acumulando los retornos sobre periodossucesivos. Suponga que durante el ao ocurren las sigientes tasas de inters: una tasa del 4 %durante 6 meses, seguida por una tasa de 3 % por 3 meses, seguida de una tasa de 2 % por3 meses. Si suponemos reinversin en periodos sucesivos, una inversin de 1 hecha al inciodel ao crecer a (1.04)(1.03)(1.02) = 1.0926. La tasa time-weighted para ese ao sera de9.26 %, que calculamos acumulando con las diferentes tasas que hubo en el ao. Observe querealmente no importa que la primera tasa haya durado 6 meses mientras que las otras dossolo 3 meses, el punto importante es nota que el ao se parti en 3 periodos sucesivos, queacumularon 1.0926.

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Denicin 4.1.6 (Tasa time-weighted para un ao). Suponga que se conoce la siguienteinformacin:

El balance del fondo al inicio del ao es A,

Para 0 < t1 < t2 < < tn < 1, el ujo de efectivo al tiempo tk es Ck (positiva si esdepsito, negativa si es retiro),

El valor del fondo justo antes del depsito neto al tiempo tk es Fk, y

El balance en el fondo al nal del ao es B.

Entonces la tasa time-weighted que gana el fondo durante el ao es[F1A F2F1 + C1

F3F2 + C2

FkFk1 + Ck1

BFk + Ck

] 1.

En general, para encontrar la tasa time-weighted, necesitamos la tasa de inters paracada periodo. La longitud de los periodos es irrelevante. El factor

FjFj1+Cj1

es el factor de

crecimiento para el periodo [tj1, tj]. La tasa time-weighted se calcula acumulando esos fac-tores de crecimiento a travs del ao.

Adaptemos el ejemplo que usamos en el dollar-weighted para mostrar el uso del time-weighted.

Ejemplo 4.1.7 (Tasa time-weighted). Un fondo de pensiones recibe contribuciones y pagabenecios en ciertos periodos. El valor del fondo se reporta despus de cada transaccin y alnal del ao. Los detalles durante el ao 2009 son los siguientes:

Fecha CantidadValor del fondo: 01/01/09 1,000,000

01/03/09 1,240,00001/09/09 1,600,00001/11/09 1,080,00001/01/10 900,000

Contribuciones recibidas 28/02/09 200,00031/08/09 200,000

Benecios pagados 31/10/09 500,00031/12/09 200,000

Encuentra la tasa time-weighted.

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Solucin:Las tasas de inters para cada periodos son:

01/01/09 a 28/02/09: 1,240,00200,000,1,000,0001,000,000

= 0.04

01/03/09 a 31/08/09: 1,600,00200,000,1,240,0001,240,000

= 0.1290

01/09/09 a 31/10/09: 1,080,00+500,000,1,600,0001,600,000

= 0.012501/11/09 a 31/12/09: 900,00+200,000,1,080,000

1,080,000= 0.0185

Entonces la tasa time-weighted para 2009 es

iT = (1.04)(1.1290)(0.9875)(1.0185) 1 = 0.1809.

Estos dos mtodos generalmente son aplicados para periodos de una ao o menos. Esposible aplicarlos para estimar tasas de periodos mas grandes a un ao, pero como el interssimple usualmente no se utiliza para periodos mas grandes a un ao, el mtodo dollar-weighted suele ser reemplazado por el clculo de la TIR para periodos ms largos.

Portfolio method y investment year method.

Es posible que cuando se agrega dinero a una cuenta de inversin existente, el "dineronuevo" est separado del resto del fondo por algn periodo. El fondo existente podra ganarintereses a cierta tasa y el dinero nuevo ganar intereses a otra tasa diferente. El dinero nue-vo puede separarse cada ao por varios aos antes de ser integrado al fondo original. Porejemplo, un fondo existente podra ganar 4 % en 2003, 4.2 % en 2004 y 4.5 % en 2005, perolas nuevas contribuciones podran ser separadas del fondo original por dos aos y ganar 5 %en 2003 y 4.8 % en 2004. En 2005 y a partir de ese ao el dinero nuevo que entr en 2003gana el mismo inters que el fondo original. Bajo esta situacin, podra haber un periodo dedos aos donde se separan las nuevas contribuciones, as el dinero nuevo que entra en 2004podra ganar una tasa diferente de la del 4.8 % que gana en 2004 el dinero que entr en 2003.

La "Tasa anual del portafolio" (portfolio year rate) se reere a la tasa de inters quegana el fondo principal, y ser clasicada por el ao en que se gana la tasa de inters. En elejemplo anterior, el 4 % en 2003 ser la tasa del portafolio en 2003 y la del 4.2 % de 2004 serla tasa del portafolio en 2004. La "tasa anual de inversin" (investment year rate) se reerea la tasa de inters que gana el "dinero nuevo" antes de ser incorporado al fondo principal.La tasa anual de inversin en el dinero nuevo ser clasicada por (i) el ao en que se recibiel dinero nuevo, y (ii) el ao en que se gana el inters. La tasa del 5 % es la tasa anualde inversin para el 2003 para el dinero nuevo recibido en 2003, y el 4.8 % la tasa anual de

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inversin en 2004 para el dinero nuevo recibido en 2003. El siguiente ejemplo ilustra esta idea.

Digamos que t y algunos de tus amigos deciden formar un club de inversin. Los miem-bros estn de acuerdo en reunir todo su capital en un fondo comn y dividir las gananciasen proporcin a sus inversiones iniciales.

El club inicia operaciones el 1 de enero de 2005, con cada miembro contribuyendo $1, 000para comprar activos de renta ja, digamos bonos corporativos.

Las inversiones originales recibirn 7 % efectivos a travs de un largo periodo de aos.El 31 de diciembre de 2005, cada miembro obtiene un intres del 7 % sobre la contribucinhecha el 1 de enero.

En 2006, otras personas que han escuchado acerca del club quieren unirse. Cada unocontribuye $1, 000 el 1 de enero de 2006. Los miembros originales deciden hacer nuevas in-versiones en esa fecha. Las nuevas inversiones en activos de renta ja en 2006 ganan una tasade inters del 9 %. El 31 de diciembre de 2006 es tiempo de recibir los intereses ganados eseao. Cmo deberan repartirlos?

Un mtodo es justo el mtodo de portafolio (portfolio method): todos los miembros delclub, sin importar cuando iniciaron sus inversiones, ganan la misma tasa de inters. En otraspalabras, las ganancias del portafolio de inversin completo son mezcladas y repartidas entrelos miembros en proporcin a la cantidad que cada miembro invirti. En este ejemplo, cadauno recibe la misma tasa de inters, que es algo entre 7 % y 9 %.

Uno podra pensar que es mtodo de portafolio es completamente injusto para los miem-bros que entraron el 1 de enero de 2006. Por qu su inters debe ser de menos del 9 % porculpa del 7 % que se gan en el primer ao? Por otro lado, si la tasa de las nuevas inversionesen 2006 fuera de 5 %, en lugar de 9 %, los miembros que entraron en 2006 se beneciarandel mtodo de portafolio, pues habran recibido algo entre 5 % y 7 % en 2006.

Otra forma de repartir los intereses en 2006 es usando algn tipo de mtodo de inversinanual (investment year method). Bajo este mtodo, los intereses se reparten de alguna formaen que se pueda reconocer cuando entr algn miembro al club. En nuestro ejemplo, unaposibilidad podra ser pagar a los miembros originales una tasa entre 7 % y 9 % (con la pon-deracin adecuada dependiendo de cunto fue su contribucin en 2005 y 2006, la reinversinen 2006 de intereses ganados en 2005, el efecto de retiros, etc.). Los miembros que se unieronen 2006 se podran poner en un fondo a parte y reibir el 9 % de intereses el 31 de diciembre

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de 2006.

En nuestro ejemplo simplicado del mtodo de inversin anual para el club, la tasa deinters que ser pagada depende del ao en que se unen al club y la tasa de inters de ese ao.Usaremos la siguiente notacin, iyt para la tasa de inters pagada en una inversin hecha el 1de enero del ao y en el t-simo ao de inversin. Por ejemplo, los smbolos i20051 , i

20052 , i

20053 , . . .

son para denotar el inters ganado al nal del ao 2005, 2006, 2007, . . . para miembros queingresaron el 1 de enero de 2005.

Supongamos que usamos el mtodo de inversin anual para el club y que la siguientetabla de tasas de inters aplican a los miembros que se unieron el 1 de enero de los aos2005, 2006 y 2007 para los primeros 3 aos a partir de que se unieron.

Ao calendario Tasasde inversin anuales deoriginal inversin

y iy1 iy2 i

y3

2005 7.0 7.8 7.32006 9.0 8.1 8.52007 6.0 6.4 6.7

Por ejemplo, los miembros que entraron el 1 de enero de 2007 deberan ganar una tasadel 6 %, 6.4 % y 6.7 % en 2007, 2008 y 2009.

Conforme pasan los aos, los fondos de los aos ms viejos tienen a decrecer, ya sea porla maduracin de inversiones, retiros, etc. Eventualmente, los miembros del club podrandecidir combinar todos los fondos que han sido invertidos ms de, digamos, m aos en unfondo comn. Esto es equivalente a usar el mtodo de portafolio para esos fondos viejos.Por simplicidad, digamos que el club decide que m ser de 3 aos, i.e. usaran el mtodode inversin anual para los primeros 3 aos a partir de que entra un miembroa al club y elmtodo de portafolio despus de los primeros 3 aos.

Usaremos la notacin iy para la tasa ganada en el ao y de todas las inversiones hechashace ms de m aos atrs. En nuestro ejemplo, es la tasa ganada el ao y de las inversioneshechas hace ms de 3 aos atrs. Estendeamos la tabla de arriba para inclur las tasas queaplican despus de los 3 aos.

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Ao calendario Tasas Tasas Ao calendariode inversin anuales de de de las tasasoriginal inversin portafolio de portafolio

y iy1 iy2 i

y3 i

y+3

2005 7.0 7.8 7.3 7.4 20082006 9.0 8.1 8.5 8.7 20092007 6.0 6.4 6.7 6.5 2010

Por ejemplo, las siguientes tasas de inters se pagan en elos aos 2005 a 2010, para miem-bros que se unieron en 2005: 7.0 %, 7.8 %, 7.3 %, 7.4 %, 8.7 %, 6.5 %,. (Se leen horizontalmentelas tasas anuales de inversin y verticalmente las tasas anuales de portafolio).

Observacin 4.1.8. Hay una sutil diferencia entre la y en iyt y la y en iy. En el primer

smbolo, la y es el ao calendario de la inversin original. En el segudno smbolo, la y es elao calendario en que la tasa de inters es ganada por todas las inversiones hechas ms dem aos atrs. Por ejemplo, i20053 es la tasa que se gana en 2007 para miembros que entraronel 1 de enero de 2005 (7.3 % de la tabla). Por otro lado, i2005, que no est includa en latabla, sera la tasa ganada en 2005 por todos los miembros que se unieron al club en 2003(suponiendo que el club hubiera iniciado operaciones antes de esa fecha.)

Ejemplo 4.1.9. Una persona ingresa al club el 1 de enero de 2007. El 1 de enero de 2008,tiene $1, 00