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Notas de EDP
J. Duoandikoetxea - L. Escauriaza
9 de febrero de 2018
Capıtulo 1
Introduccion
1.1. ¿Que son las EDP’s?
Una EDP es una ecuacion con una incognita u que es funcion de x =(x1, . . . , xn), a la que se pide que satisfaga
F (x, u,Du,D2u, . . . ,Dmu) = 0.
Aquı Dju representa todas las derivadas de u de orden j y
Dαu =∂|α|u
∂xα11 . . . ∂xαnn
, |α| =n∑i=1
αi, si α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn.
Terminologıa
Orden de la ecuacion. Es el mayor orden de derivacion de u que apareceen la ecuacion.
Ecuacion lineal. Aquella en la que los terminos en los que aparecen u osus derivadas son lineales.
Todas las ecuaciones que estudiamos con detalle en el curso son linealesy de orden menor que tres.
Ecuacion cuasilineal. La misma definicion que la anterior pero ahorareferida solo a los terminos que contienen a las derivadas de orden igual alorden de la ecuacion.
Los siguientes conceptos y teorema seran muy ultiles en este curso:
∇f = ( ∂f∂x1 , . . . ,∂f∂x1
).
La divergencia de un campo vectorial, F = (F1, . . . , Fn), y el Lapla-ciano de una funcion f definidos en un abierto Ω ⊂ Rn
∇ · F =∂F1
∂x1+ · · ·+ ∂Fn
∂x1.
4f = ∇2f = ∇ · (∇f).
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Teorema 1 (Teorema de la divergencia). Ω es una abierto acotado de Rncon frontera regular, F : Ω −→ Rn es una campo vectorial en Ω, F ∈ C1(Ω),ν es el vector normal exterior a ∂Ω. Entonces,∫
Ω∇ · F (x) dx =
∫∂ΩF · ν dσ.
1.2. Ejemplos de ecuaciones
Los tres primeros ejemplos son las ecuaciones que se estudian en el curso.
1. Ecuacion de ondas. Se busca u(x, t) con x ∈ Rn, tal que
utt − c24u = F (x, t).
Aquı c > 0 es una constante, F una funcion dada y 4u = ux1x1 +· · ·+ uxnxn , es el laplaciano de u en las coordenadas espaciales (t es eltiempo). Si n = 1, se reduce a, utt − c2uxx = F .
2. Ecuacion del calor. Se busca u(x, t) con x ∈ Rn tal que
ut −4u = F (x, t).
Si n = 1, se reduce a ut − c2uxx = F .
3. Ecuacion del potencial. Se busca u(x) con x ∈ Rn tal que
4u = F (x).
Si n = 2, se reduce a uxx + uyy = F .
Una ecuacion que no estudiaremos es la siguiente.
4. Ecuacion de Schrodinger. Se busca u(x, t), con x ∈ Rn y tal que
iut −4u = F (x, t).
En lugar de ecuaciones se pueden considerar sistemas.
5. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Se buscan u(x, y), v(x, y) definidasen R2 tales que
ux = vy,
uy = −vx.
6. Ecuaciones de Navier-Stokes. Encontrar, u : R3 × [0,+∞) −→ R3 yp : R3 × [0,+∞) −→ R, tal que se verifiquen las ecuaciones
∂tu−4u+ u · ∇u = −∇p,∇ · u = 0,
u(0) = a,
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en R3 × (0,+∞), donde a : R3 −→ R3 es una campo vectorial condivergencia nula, ∇ · a = 0.
7. Sistema de elasticidad. Encontrar u : R3 −→ R3, tal que se verifiquenlas ecuaciones
µ4u+ (µ+ λ)∇ (∇ · u) = 0
en Ω ⊂ R3, donde µ, λ > 0 son las constantes de elasticidad o de Lamedel solido Ω.
1.3. Cambio de variables
Repaso de la regla de la cadena para funciones de varias variables. Seav(y) una funcion de clase Cm definida en D ⊂ Rn y ϕ : D′ ⊂ Rn → D,biyectiva y de clase Cm; se define u(x) = v(ϕ(x)). Entonces
∂u
∂xj(x) =
n∑i=1
∂v
∂yi(ϕ(x)) · ∂ϕi
∂xj(x).
Con la funcion inversa de ϕ se puede escribir la relacion en la forma v(y) =u(ϕ−1(y)) y escribir todas las derivadas de v en terminos de las de u.
Ejemplos
1. La ecuacion de primer orden, ux + uy = 0, se transforma en vξ = 0, porel cambio de variables independientes
ξ = x+ y,
η = x− y.
2. Se define en el plano el cambio de variableξ = x+ ct ,
η = x− ct ,cuya inversa es
x = (ξ + η)/2 ,
t = (ξ − η)/2c .
u(x, t) y v(ξ, η) se relacionan por u(x, t) = v(x + ct, x − ct). Escribir laexpresion utt − c2uxx en terminos de las derivadas de v. Se debe llegar a−4c2vξη.
3. El laplaciano en coordenadas polares. Se define en el plano el cambio devariable a coordenadas polares habitual x = r cos θ, y = r sin θ, donde r > 0y −π < θ < π. Si v(r, θ) = u(r cos θ, r sin θ), se verifica que
4u = uxx + uyy = vrr +1
rvr +
1
r2vθθ.
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4. El laplaciano en coordenadas cilındricas y esfericas. Las coordenadascilındricas son x = r cos θ, y = r sin θ y z = z, donde r > 0, 0 < θ < 2π y−∞ < z < +∞. Si v(z, θ, z) = u(r cos θ, sin θ, z),
4u = uxx + uyy + uzz = vrr +1
rvr +
1
r2vθθ + vzz.
Las coordenadas esfericas son (ρ, θ, ϕ) y su relacion con las cartesianases x = ρ cos θ sinϕ, y = ρ sin θ sinϕ y z = ρ cosϕ, ρ > 0, 0 < θ < 2π y0 < ϕ < π. En este caso, si v(ρ, θ, ϕ) = u(ρ cos θ sinϕ, ρ sin θ sinϕ, ρ cosϕ),se verifica que
4u = vρρ +2
ρvρ +
1
(ρ sinϕ)2vθθ +
1
ρ2vϕϕ +
cotϕ
ρ2vϕ.
Cambio de funcion incognita
Si en la ecuacion ut − uxx − αu = 0 hacemos el cambio v(x, t) =e−αtu(x, t), queda la ecuacion del calor para v.
Si en la ecuacion, ut = u2x + uxx, hacemos el cambio v = eu, desaparece
el termino no lineal y v es solucion de vt − vxx = 0.La siguiente formula es muy util:
4(fg) = f4g + g4f + 2∇f · ∇g.
Si v = e−ϕu, calcular e−ϕ4u en terminos de v.
1.4. Problema de Cauchy. Condiciones iniciales yde contorno. Problema bien planteado
Una ecuacion puede tener en principio muchas soluciones, ¿que datos senecesitan para determinar una de ellas? En EDOs, podıa ser el valor de lafuncion y algunas derivadas en un punto; ahora eso no es suficiente.
Por ejemplo, sea ux = 0 en el plano. La solucion es u(x, y) = ϕ(y), paraalguna funcion ϕ; por tanto:
- si nos dan u(a, b), tenemos u(x, b) para todo x;- si nos dan u(a, b) y u(a′, b) y no son iguales, no hay solucion y si son
iguales, uno de los datos es innecesario.En general, si a(x, y), b(x, y) y c(x, y) son funciones regulares, el proble-
ma de Cauchy asociado a una ecuacion de primer orden consiste en encontraruna solucion local u de la ecuacion
aux + buy = c (1.1)
que verifique la condicion de Cauchy
u(f(s), g(s)) = h(s) (1.2)
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a lo largo de una curva S = (f(s), g(s)) y cerca de un punto P =(f(s0), g(s0)) de S. Veremos que esto es posible si sabemos a priori quela curva S es no “caraterıstica”en P .
Una curva S es caraterıstica en uno de sus puntos Q si su vector tan-gente en Q es paralelo al vector (a(Q), b(Q)). En caso contrario, se dice nocaraterıstica en Q. Es decir, se ha de verificar que∣∣∣∣a(f(s), g(s)) b(f(s), g(s))
f ′(s) g′(s)
∣∣∣∣ 6= 0. (1.3)
Las curvas caracterısticas asociadas a la ecuacion (1.1) que pasan por(f(s), g(s)) se obtienen resolviendo el sistema de EDO’s con condicionesiniciales
∂x∂t = a(x, y),∂y∂t = b(x, y),
x(0, s) = f(s), y(0, s) = g(s),
(1.4)
y si u es solucion de clase C1 de la ecuacion lineal en un entorno de P y
z(t, s) = u(x(t, s), y(t, s)),
se verifica que∂z
∂t= c(x(t, s), y(t, s))
y
z(t, s) = h(s) +
∫ t
0c(x(τ, s), y(τ, s))dτ. (1.5)
En particular,
u(x(t, s), y(t, s)) = h(s) +
∫ t
0c(x(τ, s), y(τ, s))dτ.
Es decir, que los valores de u estan determinados a lo largo de una curvacaracterıstica que pasa por un punto de S por el valor de u en la interseccionde la caracterıstica con S y por los valores de c a lo largo de la caracterıstica.
Recıprocamente, si a, b, c y (f(s), g(s), h(s)) son de clase C1 en entornosde P y s0 respectivamente, la teorıa de las EDO’s asegura que el sistema(1.4) admite una solucion de clase C1 para (t, s) cerca de (0, s0). Es decir,existe un δ > 0 tal que la transformacion
x = x(t, s),
y = y(t, s),(1.6)
esta bien definida y es de clase C1 en (−δ, δ) × (s0 − δ, s0 + δ). Ademas, siS es no caraterıstica en P , el Jacobiano de esta transformacion en (0, s0) es∣∣∣∣a(f(s0), g(s0)) b(f(s0), g(s0))
f ′(s0) g′(s0)
∣∣∣∣ 6= 0 (1.7)
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y el teorema de la funcion inversa garantiza que el sistema (1.6) se puedeinvertir para (x, y) cerca de P y (t, s) cerca de (0, s0). Si definimos entonces
u(x, y) = z(t(x, y), s(x, y)),
donde z se define mediante (1.5), la regla de la cadena muestra que u es unafuncion de clase C1 en un entorno de P . Como z(t, s) = u(x(t, s), y(t, s)),haciendo t = 0, vemos que u verifica la condicion de Cauchy (1.2) en S cercaP . Derivando la misma identidad respecto a t, obtenemos que
∂z
∂t= ux(x(t, s), y(t, s))
∂x
∂t+ uy(x(t, s), y(t, s))
∂y
∂t
y como∂z
∂t= c(x(t, s), y(t, s)),
concluımos que u verifica la ecuacion (1.1) en un entorno de P .Por lo tanto, el problema de Cauchy asociado a la ecuacion lineal de orden
uno tiene una unica solucion local de clase C1 en un entorno de P si S noes una curva caracterıstica en P , a(x, y), b(x, y), c(x, y) y (f(s), g(s), h(s))son funciones de clase C1 cerca de P y s0 respectivamente.
Ejemplo. La solucion general de la ecuacion
ux − uy = 0.
esu(x, y) = ϕ(x+ y),
donde ϕ es cualquier funcion de clase C1. Las soluciones son constantes enlas rectas x + y = k y las curvas S en la que se dan los datos de Cauchydeben contener un unico punto de cada una de estas rectas si queremos queel problema de Cauchy este bien planteado para todos los datos: la curvax+ y = 0 es caracterıstica para esta ecuacion y el problema de Cauchy
ux − uy = 0,
u(x,−x) = h(x)
no tiene solucion si h no es una constante.
Las rectas y = k, en el primer ejemplo y las rectas x + y = k, en elsegundo, son caracterısticas y ponen limitaciones al lugar en que se debendar los datos para que el problema de Cauchy asociado tenga siempre sentido(poder dar datos arbitrarios sobre S). Las soluciones de ambas ecuacionesson constantes a lo largo de las caracterısticas y los datos h no pueden serarbitrarios a lo largo de las mismas.
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Se puede comprobar, que la condicion de que S sea no caracterıstica enP para la ecuacion lineal, equivale a pedir que las condiciones
aux + buy = c,
u(f(s), g(s)) = h(s),(1.8)
determinen unıvocamente el valor de todas las derivadas sobre S y cerca deP de una posible solucion u de la ecuacion en un entorno de P . En efecto,si u es solucion de (1.8) en un entorno de P , tendremos quea(f(s), g(s))ux(f(s), g(s)) + b(f(s), g(s))uy(f(s), g(s)) = c(f(s), g(s)),
f ′(s)ux(f(s), g(s)) + g′(s)uy(f(s), g(s)) = h′(s),
y este sistema tiene solucion unica ∇u(f(s), g(s)) para s cerca de s0, si(1.7) se verifica. Derivando la primera ecuacion en (1.8) respecto a x e yy recordando que en el paso anterior hemos hallado los posibles valores(φ(s), ψ(s)) de ∇u(f(s), g(s)), podemos comprobar que las entradas de lamatriz D2u(f(s), g(s)) quedan tambien - gracias a (1.7) - unıvocamentedeterminadas sobre S por derivadas sucesivas de (f(s), g(s), h(s)) y de de-rivadas de a, b y c sobre S. Lo mismo ocurre con las demas derivadas de usobre S mientras las funciones que son datos en (1.8), se puedan derivar. . .
En general, el problema de Cauchy asociado a una ecuacion de primerorden consiste en encontrar en un entorno de P una solucion u de clase C1
del problema F (x, y, u, ux, uy) = 0
u(f(s), g(s)) = h(s)(1.9)
Se dice que la curva en el espacio, (f(s), g(s), h(s)), por la que quere-mos pasar una superficie, z = u(x, y), que verifique la ecuacion es no cara-terıstica, si todas las derivadas parciales de u sobre S estan unıvocamentedeterminadas cerca de P por la ecuacion y la condicion de Cauchy sobre S.
En las ecuaciones no lineales el ser no caraterıstica depende en generaldel dato de Cauchy h que damos sobre S y no solo de S. Por ejemplo, parala ecuacion cuasilineal
a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u), (1.10)
la curva, (f(s), g(s), h(s)), es no caracterıstica en P = (f(s0), g(s0)) si∣∣∣∣a(f(s), g(s), h(s)) b(f(s), g(s), h(s))f ′(s) g′(s)
∣∣∣∣ 6= 0, para s cerca de s0,
condicion que depende de los valores de h en S. En este caso, si a, b, c y(f(s), g(s), h(s)) son de clase C1 en entornos de P y s0, la teorıa de las
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EDO’s asegura que el sistema∂x∂t = a(x, y, z),∂y∂t = b(x, y, z),∂z∂t = c(x, y, z),
x(0, s) = f(s), y(0, s) = g(s), z(0, s) = h(s),
(1.11)
tiene una unica solucion (x(t, s), y(t, s), z(t, s)) de clase C1 para (t, s) cercade (0, s0). Ademas, si S es no caraterıstica en P , el Jacobiano de la trans-formacion
x = x(t, s),
y = y(t, s),(1.12)
en (0, s0) es ∣∣∣∣a(f(s0), g(s0), h(s0)) b(f(s0), g(s0), h(s0))f ′(s0) g′(s0)
∣∣∣∣ 6= 0
y el teorema de la funcion inversa garantiza que el sistema (1.12) se puedeinvertir para (x, y) cerca de P y (t, s) cerca de (0, s0). Si definimos
u(x, y) = z(t(x, y), s(x, y)), o equivalentemente, z(t, s) = u(x(t, s), y(t, s));
la regla de la cadena muestra que u es de clase C1 en un entorno de P .Si hacemos t = 0 en la seguna relacion, vemos que u verifica la condicionde Cauchy (1.2) en S cerca de P . Derivando otra vez la misma identidadrespecto a t, concluimos que
∂z
∂t= ux(x(t, s), y(t, s))
∂x
∂t+ uy(x(t, s), y(t, s))
∂y
∂t,
que combinado con las identidades que verifican x(t, s), y(t, s) y z(t, s) en(1.11), implica que u es solucion de (1.10) en un entorno de P .
El mismo razonamiento muestra que el problema de Cauchy asociado ala ecuacion cuasilineal
a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u),
u(f(s), g(s)) = h(s),(1.13)
tiene solucion unica de clase C1 en un entorno de P , si (f(s), g(s), h(s)) esno caracterıstica en P : si u es una segunda solucion local C1 de (1.13) ydefinimos
z(t, s) = u(x(t, s), y(t, s)),
z es de clase C1 y puesto que
(z − z)t = c(x, y, z)− c(x, y, z)− (a(x, y, z)− a(x, y, z)) ux − (b(x, y, z)− b(x, y, z)) uy,
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podemos encontrar M > 0 tal que
| (z − z)t | ≤M |z − z| y (z − z) (0, s) = 0,
para (t, s) cerca de (0, s0), lo que muestra que z = z cerca de (0, s0) y queu = u cerca de (f(s0), g(s0)). Para verificar lo ultimo, definid para ε > 0
vε(t, s) =
√(z(t, s)− z(t, s))2 + ε2,
mostrad que−Mvε ≤ ∂tvε ≤Mvε,
para (t, s) cerca de (0, s0) y concluid despues de hacer ε→ 0+, que
|z(t, s)− z(t, s)| ≤ eM |t||z(t, 0)− z(t, 0)| = 0,
allı donde z − z esta definida.El problema de Cauchy no lineal (1.9) tendra solucion si primero, po-
demos encontrar valores admisibles de ∇u(f(s0), g(s0)) para una posiblesolucion u de (1.9); es decir, encontrar pares (p0, q0) tales que
F (f(s0), g(s0), h(s0), p0, q0) = 0,
p0f′(s0) + q0g
′(s0) = h′(s0).
Si (p0, q0) es admisible, tendremos tambien que asegurarnos que el problemano lineal (1.9) es no caracterıstico para la curva (f(s), g(s), h(s)) y el valoradmisible (p0, q0) con s cerca de s0. Es decir, que todas las derivadas de unaposible solucion de (1.9) con ∇u(f(s0), g(s0)) = (p0, q0), esten determinadassobre S por los datos y sus derivadas sobre S. Por el teorema de la funcionimplıcita, ∇u(f(s), g(s)) estara ası determinado sobre S si el sistema
F (f(s), g(s), h(s), p, q) = 0,
pf ′(s) + qg′(s) = h′(s),
define de forma unica a p y q cerca de (p0, q0) como funciones de s, p = p(s)y q = q(s), con p(s0) = p0 y q(s0) = q0. En tal caso y si los datos en (1.9)son regulares, es posible comprobar que (1.9) determina todas las derivadassobre S y cerca de P , de una posible solucion de (1.9), que verique
∇u(f(s0), g(s0)) = (p0, q0).
Lo anterior se entiende mejor si aplanamos la curva S: el cambio devariables
x = f(s)− tg′(s),y = g(s) + tf ′(s),
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transforma (1.9) en un problema de Cauchy equivalente sobre la curva t = 0,cerca de s = s0 y de la forma
G(s, t, u, us, ut) = 0,
u(s, 0) = h(s).(1.14)
(1.14) tendra alguna solucion si existe un valor admisible para ut(s0, 0); esdecir, una solucion q0 de la ecuacion
G(s0, 0, h(s0), h′(s0), q0) = 0.
Si este es el caso, el problema (1.14) es no caracterıstico para el valor admi-sible q0, si la ecuacion
G(s, 0, h(s), h′(s), q) = 0,
determina a q de forma unica como funcion de s, q = q(s) con q(s0) = q0,para (q, s) cerca de (q0, s0). En tal caso, necesariamente ut(s, 0) = q(s), paras cerca de s0 cuando u es solucion de (1.14) con ut(s0, 0) = q0, y el teoremade la funcion implıcita asegura que lo anterior se verifica cuando
∂G
∂q(s0, 0, h(s0), h′(s0), q0) 6= 0. (1.15)
Ademas, bajo esta condicion, el teorema de la funcion implıcita en las varia-bles (s, t, z, p, q), nos asegura que cerca de (s0, 0, h(s0), h′(s0), q0), la solucionde
G(s, t, z, p, q) = 0,
coincide con la grafica de una funcion
q = H(s, t, z, p),
definida cerca de (s0, 0, h(s0), h′(s0)), que verifica
H(s0, 0, h(s0), h′(s0)) = q0.
Entonces, (1.14) con ut(s0, 0) = q0 es equivalente a resolverut = H(s, t, u, us),
u(s, 0) = h(s).(1.16)
Por otro lado, es facil mostrar que un problema del tipouy = H(x, y, u, ux),
u(x, 0) = h(x).
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es no caracterıstico para cualquier dato h, porque este determina todas lasderivadas de una posible solucion u sobre la curva y = 0, allı donde conoz-camos las derivas de h y las derivadas parciales de H.
Si se deshacen las cuentas que estan detras de los cambios de variablesque hemos utilizado para hallar una condicion analıtica (la (1.15)) asociadaa los casos en los que el problema (1.9) es no caracterıstico para un valoradmisible (p0, q0), se llega a la conclusion de que (1.15) es equivalente en lascoordenadas originales (x, y) a la condicion∣∣∣∣Fp Fq
f ′ g′
∣∣∣∣ 6= 0, (1.17)
con s = s0 y (x, y, z, p, q) = (f(s0), g(s0), h(s0), p0, q0). En tal caso, si resol-vemos el sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
∂x∂t = Fp,∂y∂t = Fq,∂z∂t = pFp + qFq,∂p∂t = −Fx − pFz,∂q∂t = −Fy − qFz,
con condiciones iniciales
x(0, s) = f(s), y(0, s) = g(s), z(0, s) = h(s), p(0, s) = p(s) y q(0, s) = q(s),
que tiene solucion unica de clase C1 en un entorno de (0, s0) cuando F esde clase C2 y f , g, h son C1 cerca de s = s0, resulta que el sistema deecuaciones
x = x(t, s),
y = y(t, s),
es tambien invertible alrededor de (0, s0) y P , y que definiendo
z(t, s) = u(x(t, s), y(t, s)),
u es tambien una solucion unica de clase C1 del problema de Cauchy (1.9)con ∇u(f(s0), g(s0)) = (p0, q0).
En las ecuaciones de segundo orden puede haber caracterısticas pero elconcepto es mas complicado. En esos caso, el problema de Cauchy consisteen encontrar una funcion u de clase C2 que verifique la ecuacion de segundoorden en un entorno de P y cuyas derivadas de orden menor que dos sobrela curva S estan dadas:
F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0,
u(f(s), g(s)) = h(s),
ux(f(s), g(s)) = φ(s),
uy(f(s), g(s)) = ψ(s),
(1.18)
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donde la quıntupla (f(s), g(s), h(s), φ(s), ψ(s)) verifica la condicion de com-patibilidad
φ(s)f ′(s) + ψ(s)g′(s) = h′(s).
A veces, en lugar de que nos den los valores de ux y uy sobre (f(s), g(s)),nos daran los valores de u y de su derivada normal a lo largo de la curva.Es decir, nos pediran hallar u que verifiqueF (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0,
u(f(s), g(s)) = h(s),∂u∂v (f(s), g(s)) = χ(s)/
√f ′2 + g′2,
ν =(−g′(s), f ′(s))√
f ′2 + g′2⊥ (f ′(s), g′(s)),
cerca de P y para una nueva funcion χ que se relaciona con φ y ψ mediantelas formulas
φf ′ + g′ψ = h′,
−φg′ + ψf ′ = χ.
Como antes, el cambio de variablesx = f(s)− tg′(s),y = g(s) + tf ′(s),
transforma el problema (1.18) en otro del tipoG(s, t, u, us, ut, uss, ust, utt) = 0,
u(s, 0) = h(s),
ut(s, 0) = χ(s).
(1.19)
Para que estos problemas equivalentes tengan solucion, tendremos primeroque encontrar los valores admisibles de utt(s0, 0) en (s0, 0); es decir, lassoluciones γ de la ecuacion
G(s0, 0, h(s0), h′(s0), χ(s0), h′′(s0), χ′(s0), γ) = 0,
y si las hay; digamos γ = γ0, esperar que el problema (1.19) sea equivalente- por el teorema de la funcion implıcita - a otro del tipo
utt = H(s, t, u, us, ut, uss, ust),
u(s, 0) = h(s),
ut(s, 0) = χ(s).
(1.20)
donde todas las derivadas de una posible solucion de (1.20) estan determi-nadas en t = 0 y cerca de (s0, 0), por las derivadas del dato de Cauchy (h, χ)y las derivadas de H sobre
(s, 0, h(s), h′(s), χ(s), h′′(s), χ′(s)).
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La ecuacion cuasilineal de segundo orden en dos variables es de la forma
auxx + 2buxy + cuyy = d, (1.21)
donde a, b, c y d dependen de x, y, u, ux y uy. El problema de Cauchyconsiste en encontrar una solucion de (1.21) con valores compatibles de u,ux y uy sobre una curva S. Si S = (f(s), g(s)), el dato de Cauchy es
u(f(s), g(s)) = h(s), ux(f(s), g(s)) = φ(s), uy(f(s), g(s)) = ψ(s) (1.22)
y debe verificar la condicion de compatibilidad
h′(s) = φ(s)f ′(s) + ψ(s)g′(s). (1.23)
Esto equivale a dar sobre S los valores de u y los de su derivada normal
u(f(s), g(s)) = h(s),−uxg′ + uyf
′√f ′2 + g′2
= χ(s). (1.24)
Si u(x, y) es solucion de (1.21), la ecuacion (1.21) y las condiciones de com-patibilidad sobre S para los valores de ux y uy implican que
auxx + 2buxy + cuyy = d, f ′uxx + g′uxy = φ′, f ′uxy + g′uyy = ψ′ ,
que es un sistema con coeficientes que dependen de s y del dato de Cauchyy que tiene por incognitas las derivadas segundas de u en S. Este sistematendra solucion unica si
D =
∣∣∣∣∣∣a 2b cf ′ g′ 00 f ′ g′
∣∣∣∣∣∣ = ag′2 − 2bf ′g′ + cf
′2 6= 0.
Si D 6= 0 en (f(s0), g(s0), h(s0), φ(s0), ψ(s0)), derivando la ecuacion(1.21), se concluye que todas las derivadas de una solucion de (1.21), (1.22) (ode (1.21) y (1.24)) estan determinadas a lo largo de la curva (f(s), g(s), h(s))cerca de (f(s0), g(s0), h(s0), φ(s0), ψ(s0)) por los datos de Cauchy
(f(s), g(s), h(s), φ(s), ψ(s))
y los valores de los coeficientes de la ecuacion (1.21) en
(f(s), g(s), h(s), φ(s), ψ(s)).
Las curvas caracterısticas para (1.21), (1.22) son las curvas en R5
(f(s), g(s), h(s), φ(s), ψ(s))
13
tales queD ≡ 0 a lo largo de su recorrido. Si la ecuacion es lineal, la condicionde ser caracterıstica es independiente de las tres ultimas componentes deldato de Cauchy (h(s), φ(s), ψ(s)) y solo depende de la proyeccion de la curvaen el plano xy, a(x, y), b(x, y) y c(x, y), como ocurre con las ecuaciones deprimer orden; es decir, de la traza S = (f(s), g(s)) en el plano xy de
(f(s), g(s), h(s), φ(s), ψ(s)).
En particular, en el caso lineal y si S esta dada implicitamente por laecuacion, φ(x, y) = cte. ((f ′, g′) es paralelo al vector (φy,−φx)), la condicionde ser curva caraterıstica se reduce a
∇φ 6= 0 y a(x, y)φ2x + 2b(x, y)φxφy + c(x, y)φ2
y = 0, (1.25)
o equivalentemente ∇φ 6= 0 y
cφy +(b±
√b2 − ac
)φx = 0. (1.26)
Recıprocamente, si φ verifica (1.25) o (1.26), las curvas φ(x, y) = cte. soncurvas caracterısticas de la ecuacion.
La ecuacion lineal de segundo orden es
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = d(x, y, u, ux, uy) (1.27)
y para intentar encontrar una forma equivalente mas sencilla de la ecuacioncerca de P = (x0, y0), se puede considerar un cambio de variables abstracto
ξ = α(x, y),
η = β(x, y),
con funciones regulares α, β con Jacobiano no nulo. En tal caso, se puedemostrar que u, como funcion de las variables (ξ, η), es solucion de la ecuacion
auξξ + 2buξη + cuηη = d(ξ, η, u, uξ, uη),
donde
a = aα2x + 2bαxαy + cα2
y = A∇α · ∇α,b = aαxβx + b (αxβy + αyβx) + cαyβy = A∇α · ∇β,c = aβ2
x + 2bβxβy + cβ2y = A∇β · ∇β,
y A es la matriz simetrica (a bb c
).
14
Si a y c son nulas en un entorno de P y b(P ) 6= 0, la ecuacion (1.21) sereduce dividiendo por b y cerca de P a una ecuacion del tipo (1.28). Supuestoque c 6= 0 y E = ac − b2 < 0 cerca de P , la ecuacion caracterıstica (1.25)tiene dos soluciones independientes definidas en un entorno de P , α(x, y) yβ(x, y). En particular, las soluciones de los problemas de Cauchy
cαy +(b+√b2 − ac
)αx = 0,
α(x, y0) = x,
cβy +
(b−√b2 − ac
)βx = 0,
β(x, y0) = x,
De ello concluimos que por P pasan dos curvas caracterısticas no paralelasen P ; las curvas α(x, y) = x0 y β(x, y) = y0. En lo dos casos anteriores, eloperador se dice de tipo hiperbolico y con el cambio de variables, ξ = α(x, y),η = β(x, y), en el que
A∇α · ∇α = A∇β · ∇β ≡ 0 y A∇α · ∇β 6= 0,
cerca de P , la ecuacion original se transforma en
uξη = F (ξ, η, u, uξ, uη). (1.28)
Si ademas hacemos el cambio, X = 12 (ξ + η), T = 1
2 (ξ − η), la ultimaecuacion se transforma en una ecuacion de tipo ondas
uTT − uXX = H(X,T, u, uX , uT ),
y la ecuacion de ondas se considera la forma canonica de las ecuaciones detipo hiperbolico.
Ejemplo. Las curvas caracterısticas de la ecuacion
uyy − c2uxx = 0 (1.29)
son las curvas φ =const. con φ2x − c2φ2
y = 0 y ∇φ 6= 0; luego φ debe sersolucion de una de las ecuaciones φx ± cφy = 0, cuyas soluciones sabemoscalcular por el metodo de las caracterısticas y son φ(x, y) = ϕ(x∓ cy), conϕ′ 6= 0. Por tanto, φ =const. equivale a x± cy =const. y por cada punto delplano pasan dos caracterısticas.
Las caracterısticas de la ecuacion
uxy = 0,
son las curvas x =const. e y =const. porque las soluciones de φxφy = 0, con∇φ 6= 0, son φ(x, y) = ϕ(x) o φ(x, y) = ϕ(y), con ϕ′ 6= 0. En este caso,tambien pasan dos caracterısticas por cada punto del plano.
Si E > 0 en un entorno de P , la ecuacion se dice de tipo elıptico. Eneste caso, podemos suponer que a y c son positivas cerca de P , la matriz A
15
es entonces definida positiva y no hay curvas caraterısiticas cerca de P . Sinembargo, (1.25) tiene una solucion a valores complejos φ, que verifica
∇φ 6= 0, cφy +(b+ i
√ac− b2
)φx = 0 (1.30)
y si φ = α + iβ, con α y β funciones a valores reales, (1.25) o (1.30) sonequivalentes a que
A∇α · ∇α = A∇β · β 6= 0 y A∇α · ∇β = 0,
cerca de P . Entonces, el cambio de variables ξ = α(x, y), η = β(x, y) trans-forma (1.27) en
uξξ + uηη = G(ξ, η, u, uξ, uη),
y la ecuacion de Laplace se considera como la forma canonica de las ecua-ciones de tipo elıptico.
Ejemplo. La ecuacion uxx + uyy = 0 no tiene curvas caracterısticas porquela ecuacion φ2
x + φ2y = 0, con ∇φ 6= 0 y φ una funcion a valores reales no
tiene solucion.
Si E ≡ 0 en un entorno de P y (c, b) 6= 0 en P , la ecuacion se dice detipo parabolico. Por P pasa una curva caracterıstica, la solucion de
cαy + bαx = 0,
α(x, y0) = x o α(x0, y) = y,(1.31)
- donde la recta, y = y0 o x = x0, sobre la que damos el dato de Cauchy en(1.31), la elegimos en funcion de que c o b sean distintos de cero en (x0, y0)y (1.31) sea no caracterıstico en (x0, y0) - y (1.25) tiene una solucion α(x, y)con gradiente no nulo en P . Ademas, E ≡ 0 cerca de P implica que A∇α ≡ 0en un entorno de P . En este caso, tomando una funcion arbitraria β(x, y) (siαx 6= 0, considerar β(x, y) = y y si αy 6= 0, hacer β(x, y) = x) que completeel cambio de variables, la nueva ecuacion se reduce a
uηη = M(ξ, η, u, uξ, uη). (1.32)
Finalmente, si c y b son nulas cerca de P y a(P ) 6= 0, la ecuacion originaltiene la forma (1.32), despues de dividir por a.
La ecuacion del calor asociada al operador uxx − uy, se considera comola forma canonica de las ecuaciones de tipo parabolico.
Ejemplo. Las caracterısticas de la ecuacion uxx − uy = 0 son las curvasy = const., porque φ =const. con φ2
x = 0 y ∇φ 6= 0 tiene por solucion,φ(x, y) = ϕ(y), con ϕ′ 6= 0. En este caso, por cada punto del plano pasa unaunica curva caracterıstica.
16
La clasificacion anterior de las ecuaciones lineales de segundo orden no esexhaustiva pero cubre los casos que han atraıdo mas atencion. Por ejemplo,la ecuacion
uxx + yuyy = 0,
no esta en ninguna de las clases anteriores alrededor de puntos en la rectay = 0. La ecuacion es de tipo elıptico en la region y > 0 e hiperbolico paray < 0.
1.5. Teorema de Cauchy-Kowalevsky
Una funcion f : Ω ⊂ Rn −→ R se dice analıtica de variable real enun abierto Ω, si f esta en C∞(Ω) y para cada x0 en Ω, existe un % > 0 ynumeros aα, α = (α1, . . . , αn) en Nn, tal que la serie de potencias∑
α∈Nnaα (x− x0)α ,
converge absolutamente y su suma coincide con f en B%(x0). En tal caso, esfacil comprobar que
aα =1
α!
∂|α|f
∂xα(x0), para todo α ∈ Nn.
Ademas, f en C∞(Ω) es analıtica en Ω si y solo si para cada compactoK ⊂ Ω, existen M > 0 y ρ > 0 tal que
|∂|α|f
∂xα(x)| ≤Mα!ρ−|α|, para todo x ∈ K y α ∈ Nn.
Finalmente, la suma, producto, cociente y composicion de funcionesanalıticas es analıtica y cuando los datos en el teorema de la funcion inversao el de la funcion implıcita son analıticos, las funciones inversa e implıcitaasociadas - cuya existencia se afirma - son tambien analıticas (Ver el capıtulo3 en el libro Fritz John. Partial Differential Equations).
El teorema de Cauchy-Kowalevsky garantiza que los problemas de Cauchyasociados a problemas de Cauchy no caracterısticos con datos analıticos ad-miten una unica solucion local analıtica. Consideramos primero la versionpara n = 2 para ecuaciones de primer orden con datos de Cauchy en y = 0y con uy despejada.
Teorema 2. Se considera el problema de Cauchyuy = H(x, y, u, ux) ,
u(x, 0) = h(x)(1.33)
y suponemos que h es analıtica en un entorno de x0 y que H lo es en un en-torno de (x0, 0, h(x0), h′(x0)). Entonces, existe una unica solucion analıticade (1.33) en un entorno de (x0, 0).
17
Consideramos ahora la version para n = 2 para ecuaciones de segundoorden con datos de Cauchy en y = 0 y con uyy despejada.
Teorema 3. Se considera el problema de Cauchyuyy = H(x, y, u, ux, uy, uxx, uxy) ,
u(x, 0) = h(x) ,
uy(x, 0) = χ(x) .
(1.34)
y suponemos que h y χ son funciones analıticas en un entorno de x0 y queH lo es en un entorno de
(x0, 0, h(x0), h′′(x0), χ(x0), h′′(x0), χ′(x0)).
Entonces, existe una unica solucion analıtica de (1.34) en un entorno de(x0, 0).
De la ecuacion y de las condiciones de Cauchy en (1.33) o (1.34), todoslos valores de
cij =∂i+ju
∂xi∂yj(x0, 0),
quedan determinados por los datos y la ecuacion. Con estos, se puede escribirformalmente la serie de Taylor de una posible solucion u en (x0, 0), como
u(x, y) =+∞∑i,j=0
ciji!j!
(x− x0)i yj .
Lo interesante, que no haremos en clase, es comprobar que la serie convergeen un entorno de (x0, 0) y define efectivamente una solucion de (1.33) o(1.34) en un entorno de (x0, 0).
La unicidad de solucion analıtica en un entorno de (x0, 0) es obvia por ladeterminacion unıvoca del desarrollo en series de potencias alrededor (x0, 0)de una tal posible solucion
El problema de CauchyF (x, y, u, ux, uy) = 0,
u(f(s), g(s)) = h(s),(1.35)
es equivalente por medio del cambio de variablesx = f(s)− tg′(s),y = g(s) + tf ′(s),
(1.36)
18
que transforma localmente la curva S = (f(s), g(s)) en el plano (x, y), enla curva t = 0 en el plano (t, s), a un problema del tipo
G(s, t, u, us, ut) = 0,
u(s, 0) = h(s).(1.37)
Que S sea no caracterıstica en P = (f(s0), g(s0)) para el problema de Cauchy(1.35) y para un valor admisible (p0, q0) es equivalente a que t = 0 lo seapara (1.37) en (s0, 0), para el valor admisible que corresponde a (p0, q0) deut(s0, 0) y que asocia el cambio de variables (abusando de la notacion, loseguimos denotando q0 por comodidad. . . ). Es decir, que en un entorno de(s0, 0, h(s0), h′(s0), q0), el problema (1.37) con ut(s0) = q0, sea equivalente aun problema del tipo
ut = H(s, t, u, us),
u(s, 0) = h(s),
con H(s0, 0, h(s0), h′(s0)) = q0. Por el teorema de la funcion implıcita, loultimo esta garantizado cuando
G(s0, 0, h(s0), h′(s0), q0) = 0 y∂G
∂q(s0, 0, h(s0), h′(s0), q0) 6= 0,
o equivalentemente - como se puede comprobar - cuando (1.17) se verifica.Ademas, como la inversa, composicion y el teorema de la funcion implıcitadan lugar a funciones analıticas cuando los datos son analıticos, la ver-sion del teorema de Cauchy-Kowalevsky en el Teorema 2, garantiza que siF (x, y, z, p, q) en (1.35) es analıtica en (x, y, z, p, q) cerca de
(f(s0), g(s0), h(s0), p0, q0),
f , g, h son analıticas en s0, (p0, q0) es un valor admisible y S es no carac-terıstica en P para (1.35) con (p0, q0) - se verifica (1.17) - entonces (1.35)tiene en algun entorno de P una unica solucion analıtica
u(x, y) =
+∞∑i,j=0
aiji!j!
(x− f(s0))i(y − g(s0))j (1.38)
con∇u(P ) = (p0, q0). En tal caso, los aij se calculan a partir de las derivadasde F en (f(s0), g(s0), h(s0), p0, q0) y las de f, g y h en s0.
Se puede enunciar un resultado analogo para el problema de Cauchyasociado a la ecuacion de segundo orden (1.18) y a alguno de sus posiblesvalores admisibles para las derivadas segundas. Es decir, si (α0, β0, γ0) es talque
F (f(s0), g(s0), h(s0), φ(s0), ψ(s0), α0, β0, γ0) = 0,
α0f′(s0) + β0g
′(s0) = φ′(s0),
β0f′(s0) + γ0g
′(s0) = ψ′(s0),
19
F es analıtica en sus variables (x, y, z, p, q, α, β, γ) cerca de
(f(s0), g(s0), h(s0), φ(s0), ψ(s0), α0, β0, γ0),
f, g, h, φ y ψ lo son cerca de s0 y∣∣∣∣∣∣Fα Fβ Fγf ′ g′ 00 f ′ g′
∣∣∣∣∣∣ 6= 0, (1.39)
con s = s0 y
(x, y, z, p, q, α, β, γ) = (f(s0), g(s0), h(s0), φ(s0), ψ(s0), α0, β0, γ0),
entonces (1.18) tiene en un entorno de (f(s0), g(s0)) una unica solucionanalıtica de la forma (2.16), cuyas derivadas segundas en (f(s0), g(s0)) coin-ciden con (α0, β0, γ0). En tal caso, los aij se calculan a partir de las derivadasde F en (f(s0), g(s0), h(s0), φ(s0), ψ(s0), α0, β0, γ0) y las de f, g, h, φ y ψ ens0.
Lo anterior se demuestra como lo hemos hecho para el caso (1.35): elproblema (1.18) con
(uxx(f(s0), g(s0)), uxy(f(s0), g(s0)), uyy(f(s0), g(s0)) = (α0, β0, γ0),
se reduce mediante el cambio de variables (1.36) a un problema de Cauchydel tipo (1.19) con utt(s0, 0) = γ0 para algun nuevo γ0, h y χ analıticas cercade s = s0, con G analıtica en sus variables (s, t, z, p, q, α, β, γ) cerca de
(s0, 0, h(s0), h′(s0), χ(s0), h′′(s0), χ′(s0), γ0)
yG(s0, 0, h(s0), h′(s0), χ(s0), h′′(s0), χ′(s0), γ0) = 0.
Ademas, (1.39) es equivalente - como se puede comprobar mediante el cam-bio de variables (1.36) - a la condicion
∂G
∂γ(s0, 0, h(s0), h′(s0), χ(s0), h′′(s0), χ′(s0), γ0) 6= 0.
En tal caso, el teorema de la funcion implıcita para funciones analıticasmuestra que (1.19) con utt(s0, 0) = γ0, es equivalente a un problema deltipo
utt = H(s, t, u, us, ut, uss, ust) ,
u(s, 0) = h(s) ,
uy(s, 0) = χ(s) .
(1.40)
con h y χ analıticas cerca de s = s0, H analıtica en sus variables cerca de(s0, 0, h(s0), h′(s0), χ(s0), h′′(s0), χ′(s0)) y tal que
H(s0, 0, h(s0), h′(s0), χ(s0), h′′(s0), χ′(s0)) = γ0.
20
Entonces, el Teorema 3 nos garantiza que (1.40) tiene una unica solucionanalıtica en un entorno de (s0, 0). Los cambios de variables analıticos quehemos hecho para pasar de (1.18) al problema equivalente (1.40), nos ase-guran que lo mismo es cierto para (1.18) con el valor admisible (α0, β0, γ0).
La unicidad en el teorema de Cauchy-Kowalevsky se refiere solo a la desoluciones analıticas asociadas a un valor admisible y no excluye la existenciade soluciones que no sean analıticas. Las demostraciones de estos resulta-dos las podeis encontrar en el capıtulo 3 del libro de Fritz John. PartialDifferential Equations.
Las condiciones que impone el teorema de Cauchy-Kowalevsky son enmuchos casos necesarias para poder afirmar la existencia de una solucionlocal a algunos problema de Cauchy. Por ejemplo, el problema de Cauchylineal
uxx + uyy = 0 ,
u(x, 0) = h(x) ,
uy(x, 0) = 0 .
(1.41)
no tiene una solucion de clase C2 en un entorno de (0, 0) si h no es analıticaen un entorno de 0 - puesto que como aprendereis mas adelante - todasolucion C2 de la ecuacion de Laplace en una bola B%(x0, y0) es analıtica enel interior de la bola. Por ello, si (2.19) tiene una solucion C2 cerca (0, 0),entonces u(x, 0) = h(x) es necesariamente analıtica cerca de 0 y (2.19) nopuede tener una solucion C2 si h no es analıtica cerca de x = 0.
Condiciones iniciales o condiciones de contorno
Estos conceptos los entenderemos con algunos ejemplos asociados a laecuacion de Laplace y a la ecuacion del calor:
El problema de contorno o problema de Dirichlet asociado a la ecuacionde Laplace en un dominio Ω ⊂ Rn y con dato de contorno o de Dirichletϕ en C(∂Ω), consiste en encontrar u en C2(Ω) ∩ C(Ω), que verifique
4u = 0 en Ω,
u = ϕ en ∂Ω.
El problema de condiciones iniciales asociado a la ecuacion del calor enRn y con dato inicial ϕ en C(Rn), consiste en encontrar u en C2,1(Rn×(0,+∞)) ∩ C(Rn × [0,+∞)) tal que
4u− ∂tu = 0 en Rn × (0,+∞),
u(x, 0) = ϕ(x) en Rn.
21
El problema de condiciones iniciales con condicion de contorno nula detipo Dirichlet para la ecuacion del calor en Ω ⊂ Rn y con dato inicial fen C(Ω), consiste en encontrar u en C2,1(Ω×(0,+∞))∩C(Ω×[0,+∞))que verifique
4u− ∂tu = 0 en Ω× (0,+∞),
u(x, 0) = f(x) en Ω,
u = 0 en ∂Ω× [0,+∞).
La condicion de contorno se dice de tipo Neumann nula, cuando lacondicion en la frontera lateral es:
∂u
∂ν= ∇u · ν = 0, en ∂Ω× (0,+∞),
donde ν es el vector normal unitario exterior a ∂Ω.
Problema bien planteado
J. Hadamard introdujo el concepto de problema bien planteado en losterminos siguientes: un problema esta bien planteado si existe solucion, esunica y depende continuamente de los datos iniciales.
Un ejemplo de Hadamard : El problema de Cauchy para la ecuacionuxx + uyy = 0,
u(x, 0) = uy(x, 0) = 0.
esta mal planteado en el sentido de Hadamard, pues si resolvemosuxx + uyy = 0,
u(x, 0) = n−1 sinnx,
uy(x, 0) = 0,
su solucion es
un(x, y) =1
nsinnx coshny,
y no hay dependencia continua porque aunque los datos iniciales sean muypequenos (n muy grande), la solucion tiende a infinito con n para y 6= 0.
Una aclaracion importante: que un problema este bien planteado o nodepende de la eleccion del espacio en que se busquen las soluciones. Unproblema puede tener mas de una solucion pero solo una si nos restringimosa una determinada clase de funciones. La dependencia continua siempre sereferira a la manera en que se mida la continuidad, dependera del espacioen el que se midan los datos y de aquel donde se mida el tamano de lassoluciones que se encuentren.
22
Los ejemplos anteriores muestran que el problema de Cauchy no estaen general bien planteado: no hay en general dependencia continua de losdatos, como muestra el ejemplo de Hadamard. Sin embargo, los problemascon condiciones iniciales y condiciones de contorno estan en general bienplanteados para ciertas elecciones de los espacios donde se eligen los datosy donde se encuentran las soluciones.
23
Capıtulo 2
Ondas en una dimension
2.1. Deduccion de la ecuacion
Tenemos una cuerda que se mueve y dos variables (x, t): (x, u(x, t)) esla posicion de la cuerda en tiempo t ≥ 0, ρ(x) es la densidad de la cuerda,que se supone independiente del tiempo, T (x, t) denota la magnitud de latension de la cuerda en (x, u(x, t)), una fuerza que actua en la direccion dela tangente a la posicion de la cuerda en tiempo t y F (x, t) es la densidadde la magnitud de una fuerza vertical que actua sobre la cuerda.
Consideramos un trozo de cuerda, de x a x + h. Por la segunda leyde Newton, la fuerza total que actua sobre el segmento de cuerda entre(x, u(x, t)) y (x+ h, u(x+ h, t)), es igual a la masa por la aceleracion:
T (x+ h, t)(1, ux(x+ h, t))√1 + u2
x(x+ h, t)− T (x, t)
(1, ux(x, t))√1 + u2
x(x, t)
+ (0, 1)
∫ x+h
xρ(s)F (s, t) ds = (0, 1)
∫ x+h
xρ(s)utt(s, t) ds.
La primera componente de esta ecuacion muestra que
T (x, t)√1 + u2
x(x, t)
es una funcion constante de x que supondremos igual a T (t). La segundaecuacion implica que
utt − c2(x, t)uxx = F, si c2(x, t) =T (t)
ρ(x).
Si suponemos que los extremos de la cuerda de longitud l permanecenfijos en todo tiempo en las posiciones (0, 0) y (l, 0), que la posicion inicial dela cuerda, u(x, 0) = f(x) y la velocidad inicial de la cuerda, ut(x, 0) = g(x),
24
son funciones conocidas, concluimos que u es la solucion del problema deCauchy con condiciones de contorno de tipo Dirichlet
utt − c2(x, t)uxx = F, si 0 < x < l y t > 0,
u(x, 0) = f(x), si 0 ≤ x ≤ l,ut(x, 0) = g(x), si 0 ≤ x ≤ l,u(0, t) = u(l, t) = 0, si t ≥ 0.
Si suponemos que c2(x, t) ≡ c2 es constante, la ecuacion asociada es laecuacion de ondas unidimensional:
utt − c2uxx = F.
2.2. Solucion de d’Alembert
Buscamos la solucion general de la ecuacion homogenea
utt − c2uxx = 0. (2.1)
Haciendo el cambio de variable ξ = x + ct , η = x − ct (ya hecho en clase;seccion 1.3) se llega a la conclusion
−4c2vξη(ξ, η) =(utt − c2uxx
)( ξ+η2 , ξ−η2c )
y que la solucion general de (2.1) sera de la forma v(ξ, η) = ϕ(ξ) +ψ(η).Esto implica que la de (2.1) es
u(x, t) = ϕ(x+ ct) + ψ(x− ct).
Las graficas de ϕ(x+ ct) y ψ(x− ct) se dibujan desplazando las de ϕ(x)y ψ(x) a la izquierda y derecha, respectivamente, en un cantidad ct. Se diceque u es la suma de una onda regresiva (ϕ) y de una onda progresiva (ψ); yque c es la velocidad de propagacion.
2.3. Problema de Cauchy para la ecuacion de on-das
Buscamos la solucion C2(R× [0,+∞)) del problema de valores inicialesutt − c2uxx = 0 , x ∈ R, t > 0 ,
u(x, 0) = f(x) , x ∈ R ,ut(x, 0) = g(x) , x ∈ R,
(2.2)
para f y g en C2(R) y C1(R) respectivamente. Hay que determinar ϕ y ψtales que u(x, t) = ϕ(x + ct) + ψ(x − ct). Haciendo t = 0 en u y en ut,
25
tendremos que ϕ(x) +ψ(x) = f(x), ϕ′(x) +ψ′(x) = f ′(x) y ϕ′(x)−ψ′(x) =1c g(x). Resolviendo este sistema de ecuaciones concluimos que
ϕ(x) =1
2f(x)+
1
2c
∫ x
0g(s) ds+k, ψ(x) =
1
2f(x)− 1
2c
∫ x
0g(s) ds−k, (2.3)
para alguna constante k - que podemos suponer que es identicamente nula- porque su presencia no modifica el calculo de u(x, t), lo que da
u(x, t) =f(x+ ct) + f(x− ct)
2+
1
2c
∫ x+ct
x−ctg(s) ds. (2.4)
El razonamiento que utilizado para llegar a la formula (2.4) implica launicidad de solucion de (2.2) en la clase de soluciones en C2(R× [0,+∞)).Ademas, si f esta C2(R) y g en C1(R), se comprueba facilmente que (2.4)define una solucion en C2(R× [0,+∞)) del problema de Cauchy homogeneoasociado a la ecuacion de ondas (2.2). Si os fijais, la formula (2.4) tambiendefine una solucion en C2(R× R) del problema
utt − c2uxx = 0 , x ∈ R, t ∈ R ,u(x, 0) = f(x) , x ∈ R ,ut(x, 0) = g(x) , x ∈ R,
lo que es la razon de que en el lenguaje coloquial entre los expertos en EDP,se diga que la ecuacion de ondas es un ejemplo de una ecuacion reversibleen el tiempo: se puede resolver tanto hacia adelante como hacia atras, lasondas no salen de la nada y todas tienen un pasado.
Si f es par o impar respecto a un punto l; es decir, cuando f(l + x) =f(l − x), para todo x en R, en el primer caso; f(l + x) = −f(l − x) en elsegundo; entonces
f(x+ ct) + f(x− ct)2
es respectivamente par o impar respecto al mismo punto l. Lo mismo ocurrecon
1
2c
∫ x+ct
x−ctg(s) ds,
cuando g es par o impar respecto a x = l.
Finalmente, para calcular u(x, t) con (x, t) ∈ R × [0,+∞), necesitamosconocer las funciones ϕ y ψ en toda la recta. Si limitamos el conjunto dondequeremos conocer u(x, t) a los (x, t) ∈ [a, b]× [0, T ], basta con calcular ϕ en[a, b+ cT ] y ψ en [a− cT, b].
26
2.4. Dominios de dependencia y de influencia
Fijado (x0, t0), t0 > 0, llamamos triangulo caracterıstico T (x0, t0) asocia-do a (x0, t0) al triangulo cuyos vertices son (x0, t0), (x0+ct0, 0) y (x0−ct0, 0).Los ultimos son los puntos de interseccion de las rectas caracterısticas,x± ct = x0 ± t0, que pasan por (x0, t0) con la recta t = 0.
Dependencia. La solucion en (x, t) depende del valor de f (posicion ini-cial) en dos puntos, x− ct y x+ ct y del valor de g (velocidad inicial) en elintervalo, [x− ct, x+ ct].
Influencia. El valor de f en x0 interviene en el valor de la solucion sobrelos puntos que estan en las rectas x − ct = x0 y x + ct = x0. El valor de gen x0 interviene en el valor de la solucion sobre los puntos que estan en laregion x− ct < x0 < x+ ct.
Suponer que f vive en el intervalo [a, b]; es decir, que
sop(f) = x ∈ R : f(x) 6= 0 = [a, b]
y que g es identicamente nula; mostrar donde vive la solucion. Lo mismo,pero cambiando f y g.
2.5. Ecuacion no homogenea
Vamos a resolverutt − c2uxx = F , x ∈ R, t > 0 ,
u(x, 0) = 0 , x ∈ R ,ut(x, 0) = 0 , x ∈ R .
(2.5)
Con el mismo cambio de variables,
v(ξ, η) = u
(ξ + η
2,ξ − η
2c
),
queda
−4c2vξη = F
(ξ + η
2,ξ − η
2c
).
De u(x, 0) = 0, se deduce v(ξ, ξ) = 0 y derivando, vξ(ξ, ξ) + vη(ξ, ξ) = 0. Deut(x, 0) = 0 se deduce que vξ(ξ, ξ)− vη(ξ, ξ) = 0. Por tanto,
v(ξ, ξ) = vξ(ξ, ξ) = vη(ξ, ξ) = 0
y el dato de Cauchy de v a lo largo de la recta diagonal, ξ = η, es nulo.Por el Teorema Fundamental del calculo, si (ξ, η) esta en el semiplano
u > v, dibujando en un plano de coordenadas (u, v) el triangulo de vertices
27
(ξ, η), (ξ, ξ) y (η, η), que denotamos T (ξ, η), obtenemos que
vξ(ξ, η) = −∫ ξ
ηvξη(ξ, v) dv,
v(ξ, η) =
∫ ξ
ηvξ(u, η) du = −
∫ ξ
η
(∫ u
ηvξη(u, v)dv
)du
= −∫T (ξ,η)
vξη(u, v)dudv
v(ξ, η) =1
4c2
∫T (ξ,η)
F
(u+ v
2,u− v
2c
)dudv.
Con el cambio de variables de integracion, u = r + cs, v = r − cs yrecordando que, ξ = x+ ct, η = x− ct, el triangulo T (ξ, η) se transforma enel triangulo caracterıstico T (x, t) de vertices (x, t), (x − ct, 0) y (x + ct, 0),dudv = 2c drds y
u(x, t) =1
2c
∫T (x,t)
F (r, s) drds =1
2c
∫ t
0
(∫ x+c(t−s)
x−c(t−s)F (r, s) dr
)ds, (2.6)
El triangulo T (x0, t0) denota el triangulo caracterıstico asociado a (x0, t0).Este triangulo es el dominio de dependencia de u(x0, t0) con respecto a losvalores de F .
El valor de F en (x0, t0) interviene (su dominio de influencia) en elcalculo de los valores de la solucion u en los puntos de la region comprendidaentre las caracterısticas que pasan por (x0, t0) y situada encima de la rectahorizontal t = t0.
Si F ( · , t) es par o impar respecto a l ∈ R, para todo t ≥ 0, entoncesu( · , t) es respectivamente par o impar respecto a l ∈ R, para todo t ≥ 0.
Es facil comprobar que la funcion definida mediante (2.6) esta en C2(R×[0,+∞)) y verifica (2.5) si F esta en C1(R× [0,+∞)). En tal caso, el coro-lario del teorema de convergencia dominada permite ver que u es dos vecesdiferenciable en R× (0,+∞) con
ut =1
2
∫ t
0F (x+ c(t− s), s) + F (x− c(t− s), s) ds,
ux =1
2c
∫ t
0F (x+ c(t− s), s)− F (x− c(t− s), s) ds,
utt = F (x, t) +c
2
∫ t
0Fr(x+ c(t− s), s)− Fr(x− c(t− s), s) ds,
uxx =1
2c
∫ t
0Fr(x+ c(t− s), s)− Fr(x− c(t− s), s) ds,
utx =1
2
∫ t
0Fr(x+ c(t− s), s) + Fr(x− c(t− s), s) ds
28
y el teorema de convergencia dominada muestra que estas derivadas soncontinuas en R× [0,+∞). La tercera y cuarta formula anteriores muestranque u verifica (2.5).
Ademas, como el metodo para llegar a (2.6) solo requiere aplicar dosveces el teorema fundamental del calculo, este implica la unicidad de solucionde (2.6) en la clase de soluciones que estan en C2(R× [0,+∞)).
La solucion completa del problema de Cauchy no homogeneoutt − c2uxx = F (x, t) , x ∈ R, t > 0 ,
u(x, 0) = f(x) , x ∈ R ,ut(x, 0) = g(x) , x ∈ R ,
(2.7)
es
u(x, t) =f(x+ ct) + f(x− ct)
2+
1
2c
∫ x+ct
x−ctg(s) ds
+1
2c
∫ t
0
∫ x+c(t−s)
x−c(t−s)F (r, s) drds. (2.8)
y es una solucion clasica de (2.7) en C2(R× [0,+∞)), si f esta en C2(R), gen C1(R) y F en C1(R× [0,+∞)).
2.6. Soluciones generalizadas o debiles.
La formula (2.8) tiene tambien sentido cuando f , g y F son solo continuaso incluso cuando f , g y F son solo localmente integrables en R y R× [0,+∞)respectivamente. Observad que en tal caso, u podrıa no ser derivable y noserıa una solucion clasica de (2.7). Sin embargo, se puede comprobar queen esos casos, la funcion u definida en R × [0,+∞) mediante (2.8) esta enL1loc(R× [0,+∞)) y verifica∫
R×(0,+∞)u(ξtt − c2ξxx
)dxdt =
∫R×(0,+∞)
Fξ dxdt+
∫Rg(x)ξ(x, 0) dx
−∫Rf(x)ξt(x, 0) dx, para toda ξ ∈ C∞0 (R× [0,+∞)), (2.9)
lo que tambien verifica la solucion clasica de (2.7) cuando f , g y F sonregulares. Por ello, cuando una funcion u en L1
loc(R× [0,+∞)) verifica (2.9),se dice que u es una solucion debil de (2.7). Fijaros que este concepto desolucion no requiere que u tenga derivadas clasicas. Aun ası, las solucionesdebiles son tambien unicas bajo algunas condiciones adicionales sobre f , gy F .
29
Por otro lado, en la vida real aparecen de forma natural datos f , g y Fque no estan en C2(R), C1(R) o en C1(R× [0,+∞)); por ejemplo, cuando fes lineal a trozos (una cuerda que tiene esquinas). En esos casos, la solucionu es regular solo en ciertas regiones separadas por rectas en las que no esC2 (ni siquiera C1 a veces). Estas singularidades de u aparecen a partir delas singularidades de f , g y F y se propagan-ocurren a lo largo de las rectascaracterısticas que pasan por las singularidades de f , g y F .
Este efecto de propagacion de las singularidades de los datos a lo largode las curvas caracterısticas es tıpico de las ecuaciones lineales de primerorden y de las ecuaciones hiperbolicas de segundo orden.
Por ejemplo, si f = |x|, g ≡ 0 y F ≡ 0, la solucion de (2.7) es
u(x, t) =1
2[|x+ ct|+ |x− ct|] ,
que es C∞ en todo R×[0,+∞) excepto en las rectas caracterısticas x±ct = 0,las unicas curvas caracterısticas de la ecuacion utt−c2uxx = 0 que pasan por(0, 0). En este caso u es continua en R× [0,+∞), donde u es diferenciable
∇u =1
2[sgn(x+ ct)(1, c) + sgn(x− ct)(1,−c)] ,
y la singularidad de |x|′ = sgn(x) en x = 0, se propaga en tiempo futuros alo largo de estas caracterısticas: lugares donde u(·, t) tiene una singularidadque proviene de singularidades de alguno de los datos iniciales. En generalla solucion de (2.4),
u(x, t) = ϕ(x+ ct) + ψ(x− ct),
con
ϕ(x) =1
2f(x) +
1
2c
∫ x
0g(s) ds, ψ(x) =
1
2f(x)− 1
2c
∫ x
0g(s) ds,
tendra singularidades a lo largo de las caracterısticas x ± ct = x0, dondex0 es una singularidad de f y/o g respectivamente y las singularidades delos datos iniciales en R se “propagan”para la solucion u a lo largo de lacaracterısticas x± ct = x0.
Como ejemplo de este efecto de propagacion de las singularidades a lolargo de las caracterısticas en una ecuacion de primer orden, la solucion delproblema
ux + uy = 0, en R× [0,+∞),
u(x, 0) = ϕ(x), en R,(2.10)
esu(x, y) = ϕ(x− y), (2.11)
que solo tiene singularidades a lo largo de las rectas caracterısticas x−y = x0,donde x0 es una singularidad de ϕ.
30
Ademas, si ϕ esta solo en L1loc(R), la funcion definida mediante (2.11) esta
en L1loc(R× [0,+∞)), verifica∫
R×(0,+∞)u (ξx + ξy) dxdy = −
∫Rϕ(x)ξ(x, 0) dx, (2.12)
para toda ξ en C∞0 (R× [0,+∞)) - lo que tambien verifica la solucion clasicade (2.10) cuando ϕ es regular - y se dice en este sentido no clasico, que tal ues una solucion debil de (2.10). Como en el caso anterior, se puede probar launicidad de soluciones debiles de (2.10) bajo algunas condiciones adicionalessobre ϕ.
Para completar algunos detalles de esta seccion probamos que la u defi-nida mediante (2.11) es efectivamente una solucion debil de (2.10) cuando ϕesta en L1
loc(R). La demostracion del resultado analogo para (2.7) es similar.
Demostracion. Suponemos que ϕ esta en L1loc(R). Si ξ esta en C∞0 (R ×
[0,+∞)) y tiene su soporte contenido en el interior de (−R,R) × [0, R),para algun R > 0, podemos encontrar ϕk en C∞0 (R) que converge a ϕ enL1(−2R, 2R). Como uk(x, y) = ϕk(x − y) es una solucion clasica de (2.10)con ϕ reemplazada por ϕk, uk tambien es solucion debil y∫
R×(0,+∞)uk (ξx + ξy) dxdy = −
∫Rϕk(x)ξ(x, 0) dx, (2.13)
para todo k ≥ 1. Ahora,∣∣∣∣∣∫R×[0,+∞)
(uk − u) (ξx + ξy) dxdy
∣∣∣∣∣ ≤ 2R‖∇ξ‖∞∫ 2R
−2R|ϕk(u)− ϕ(u)| du,
que tiende a cero si k → +∞. Tambien,∣∣∣∣∫R
(uk − u) ξ(x, 0) dx
∣∣∣∣ ≤ ‖ξ‖∞ ∫ 2R
−2R|ϕk(x)− ϕ(x)| dx
y pasando al lımite cuando k → +∞ en (2.13), concluimos que (2.12) severifica y que u(x, y) = ϕ(x − y) es una solucion debil de (2.10) aunque engeneral, u no sera continua y tampoco diferenciable.
2.7. Ondas en una semi-recta
1. Condicion de contorno de tipo Dirichlet. Buscamos la solucion del pro-blema
utt − c2uxx = 0 , x > 0, t > 0 ,
u(x, 0) = f(x) , x > 0 ,
ut(x, 0) = g(x) , x > 0 ,
u(0, t) = h(t) , t > 0 .
(2.14)
31
La solucion general sera de la forma u(x, t) = ϕ(x + ct) + ψ(x − ct), conϕ : [0,+∞) −→ R y ψ : R −→ R . Como antes, las condiciones inicialesdeterminan ϕ(x) y ψ(x) para x > 0. Esto da la solucion en la region x−ct > 0con la misma expresion que en (2.4), eligiendo k = 0 en (2.3). Observad quela eleccion de k no cambia los valores de u en x− ct > 0.
Haciendo x = 0, tenemos ϕ(ct)+ψ(−ct) = h(t), si t ≥ 0. Esto determinaψ(t) para t < 0:
ψ(t) = h(−t/c)− ϕ(−t),
de donde obtenemos que para x− ct < 0,
u(x, t) =f(x+ ct)− f(ct− x)
2+
1
2c
∫ x+ct
ct−xg(s) ds+ h
(t− x
c
).
La regularidad de u en x− ct > 0 y en x− ct < 0 se deduce de la de f ,g y h. En particular, u esta C2 en las regiones
(x, t) : x− ct > 0, x ≥ 0, t ≥ 0 y (x, t) : x− ct < 0, x ≥ 0, t ≥ 0,
si f y h estan en C2([0,+∞)) y g en C1([0,+∞)).
La regularidad de u sobre la recta x = ct - o equivalentemente la deψ en x = 0 - requiere condiciones de compatibilidad de f , g y h en (0, 0):observad que una regularidad C2 de u en [0,+∞)× [0,+∞) implica que
f(0) = u(0+, 0) = u(0, 0+) = h(0),
g(0) = ut(0+, 0) = ut(0, 0
+) = h′(0),
yc2f ′′(0) = c2uxx(0+, 0) = utt(0, 0
+) = h′′(0).
Ademas, es facil comprobar que ϕ esta en C2([0,+∞)), si f y g estan respec-tivamente en C2([0,+∞)) y C1([0,+∞)); y que ψ esta en C2(R), si ademash esta en C2(R) y f , g, h verifican las condiciones de compatibilidad
f(0) = h(0), g(0) = h′(0) y h′′(0) = c2f ′′(0).
Cuando h es nula, la solucion es la misma que la se obtiene al resolver elproblema en toda la recta con los datos iniciales f y g extendidos a la rectade forma impar respecto a x = 0 (Metodo de reflexiones) y considerando larestriccion de dicha solucion al primer cuadrante.
2. Condicion de contorno de tipo Neumann. Ahora estudiamos el problemautt − c2uxx = 0 , x > 0, t > 0 ,
u(x, 0) = f(x) , x > 0 ,
ut(x, 0) = g(x) , x > 0 ,
ux(0, t) = h(t) , t > 0 .
32
Como antes necesitamos calcular ϕ y ψ en [0,+∞) y R respectivamente.No hay diferencias en x − ct > 0, donde elegimos k = 0. En x = 0 y t > 0sale, ϕ′(ct) +ψ′(−ct) = h(t), si t > 0, de donde, ϕ′(−x) +ψ′(x) = h(−x
c ), six < 0; e integrando esta identidad en [x,0],
ψ(x) = ϕ(−x)− c∫ −x
c
0h(τ) dτ + β, para x < 0,
donde β es una constante a determinar. La solucion del problema en x−ct <0 es
u(x, t) =f(x+ ct) + f(ct− x)
2+
1
2c
[∫ x+ct
0g(s) ds+
∫ ct−x
0g(s) ds
]− c
∫ t−x/c
0h(s) ds+ β.
Como antes, la regularidad de u sobre la recta x = ct - o equivalentementela de ψ en x = 0 - requiere condiciones de compatibilidad de f , g y h en(0, 0): observad que una regularidad C2 de u en [0,+∞)× [0,+∞) requiereque
f ′(0) = ux(0+, 0) = ux(0, 0+) = h(0),
g′(0) = utx(0+, 0) = uxt(0, 0+) = h′(0).
Finalmente, eligiendo k = 0, tenemos que
ϕ(x) =1
2f(x) +
1
2c
∫ x
0g(s) ds, si x > 0,
ψ(x) =1
2f(x)− 1
2c
∫ x
0g(s) ds, si x > 0,
ψ(x) =1
2f(−x) +
1
2c
∫ −x0
g(s) ds− c∫ −x
c
0h(s) ds+ β, si x < 0
y es facil comprobar que ϕ y ψ son C2 en [0,+∞) y R respectivamente - oequivalentemente que u lo es en [0,+∞) × [0,+∞) - si elegimos β = 0, festa en C2([0,+∞)), g y h en C1([0,+∞)) y se verifican las condiciones decompatibilidad
f ′(0) = h(0) y g′(0) = h′(0).
Cuando h es nula la solucion anterior es la misma que la que se obtieneal resolver un problema en toda la recta con los datos iniciales f y g ex-tendidos a R como funciones pares respecto al 0 (metodo de reflexiones) yrestringiendo la solucion hallada al primer cuadrante.
33
2.8. Ondas en una cuerda finita
Situamos una cuerda de longitud l entre los puntos 0 y l. El problemade la vibracion de la cuerda con condiciones de contorno de tipo Dirichlet es
utt − c2uxx = 0 , 0 < x < l, t > 0 ,
u(x, 0) = f(x) , 0 < x < l ,
ut(x, 0) = g(x) , 0 < x < l ,
u(0, t) = h0(t) , u(l, t) = h1(t), t > 0 .
Otra vez, u(x, t) = ϕ(x+ct)+ψ(x−ct) y necesitamos conocer ϕ en [0,+∞) yψ en (−∞, l]. Las condiciones iniciales determinan ϕ(x) y ψ(x) para 0 < x <l. Con estos valores de ϕ y ψ podemos escribir la solucion del problema enel triangulo (x, t) : t > 0 y 0 < x− ct < x+ ct < l. Usando las condicionesde contorno tenemos
ϕ(ct) + ψ(−ct) = h0(t), t > 0,
ϕ(l + ct) + ψ(l − ct) = h1(t), t > 0,
o bien,
ψ(s) = −ϕ(−s) + h0(−s/c), s < 0, (2.15)
ϕ(l + s) = −ψ(l − s) + h1(s/c), s > 0.
De (2.15) vemos que empezando con lo que conocemos sobre ϕ y ψ en elintervalo (0, l), las ecuaciones anteriores permiten paso a paso calcular ϕ(s)para todo s > 0 y ψ(s) para todo s < l, lo que determina u.
Las condiciones de compatibilidad de f , g, h0 y h1 para que u sea C2 en[0, l]× [0,+∞) son en este caso las siguientes
f(0) = h0(0), g(0) = h′0(0), c2f ′′(0) = h′′0(0),
f(l) = h1(l), g(l) = h′0(l), c2f ′′(l) = h′′0(l).
Cuando h0 y h1 son nulas, la solucion es la misma que la que se obtieneal resolver un problema en toda la recta con datos iniciales extendidos deforma impar en 0 y en l respectıvamente (metodo de reflexiones); es decir,extendiendo f y g a R de forma que f(x) = −f(−x) y f(l+x) = −f(l−x),g(x) = −g(−x) y g(l + x) = −g(l − x).
Una funcion impar respecto a 0 y l es automaticamente periodica deperiodo 2l.
Cuando las condiciones de contorno son de tipo Neumann hay que hacerlas mismas modificaciones que en el caso de la semirrecta. Si las condicionesson nulas, las extensiones requeridas son pares en 0 y en l.
Ahora hay dos extremos y pueden haber dos condiciones de contornodistintas, una de tipo Dirichlet y otra de tipo Neumann. Si son u(0, t) = 0
34
y ux(l, t) = 0, se construye la solucion por el metodo de las reflexionesextendiendo f como funcion impar respecto a x = 0 y par respecto a x = l,g como funcion par respecto a x = l e impar respecto a x = 0 y resolviendoel problema en toda la recta.
Una funcion par respecto a 0 y l es automaticamente periodica de periodo2l.
Una funcion par respecto a 0 e impar respecto a l es automaticamenteperiodica de periodo 4l.
2.9. Conservacion de la energıa
La funcion
E(t) =
∫ l
0c2u2
x(x, t) + u2t (x, t) dx
es constante en [0,+∞), si u ∈ C2([0, l]× [0,+∞)) es solucion deutt − c2uxx = 0 , 0 < x < l, t > 0 ,
u(x, 0) = f(x) , 0 < x < l ,
ut(x, 0) = g(x) , 0 < x < l
que verifica condiciones de contorno de Dirichlet o Neumann nulas en lafrontera lateral del cilindro [0, l]× [0,+∞).
Este resultado implica la unicidad de solucion al problema de Cauchyasociado a la ecuacion de ondas con condiciones de contorno de tipo Dirichleto tipo Neumann en la clase de soluciones C2([0, l]× [0,+∞)).
El resultado tambien es cierto si la cuerda vibrante se remplaza poruna membrana o un solido; es decir, para otras dimensiones n del espacioeuclıdeo en el que se encuentre Ω ⊂ Rn. En este caso, se utiliza el teoremade la divergencia para mostrar que
E(t) =
∫Ωc2|∇u|2 + u2
t dx
es constante, si utt−c2∆u = 0 en Ω× [0,+∞) ⊂ Rn+1, u verifica condicionesde contorno de Dirichlet o Neumann nulas en la frontera lateral de Ω yu ∈ C2(Ω× [0,+∞)).
Demostracion.
E′(t) = 2
∫Ωc2∇u · ∇ut + ututt dx (2.16)
= 2
∫Ωc2∇ · (ut∇u) + ut
(utt − c24u
)dx = 2c2
∫∂Ωut∇u · ν dσ,
que es cero si u o su derivada normal son nulas la frontera lateral ∂Ω ×(0,+∞).
35
El metodo anterior tambien permite obtener estimaciones a priori desoluciones del problema completo
utt − c2uxx = F , 0 < x < l, t > 0 ,
u(x, 0) = f(x) , 0 < x < l ,
ut(x, 0) = g(x) , 0 < x < l,
(2.17)
de las que a priori podemos suponer que son regulares y verifican condicionesde contorno de tipo Dirichlet o Neumann nulas en la frontera lateral delcilindro [0, l]× [0,+∞). En particular, si f , g y F son regulares y verificanlas condiciones necesarias de compatibilidad, la solucion de (2.17) esta enC2([0, l] × [0,+∞)) (esto se puede comprobar y es un buen ejercicio) y de(2.16)
E′(t) = 2
∫ l
0utFdx.
Integrando esta identidad en [0, t], 0 ≤ t ≤ T , vemos que
sup0≤t≤T
∫ l
0c2u2
x + u2t dx ≤
∫ l
0c2f ′2 + g2 dx+ 2
∫ T
0
∫ l
0|ut||F | dxdt. (2.18)
Por las desigualdad de Holder y Young∫ T
0
∫ l
0|ut||F | dxdt ≤
∫ T
0‖ut(t)‖L2(0,l)‖F (t)‖L2(0,l) dt
≤ sup0≤t≤T
(∫ l
0u2t dx
) 12∫ T
0‖F (t)‖L2(0,l) dt
≤ 1
4sup
0≤t≤T
∫ l
0u2t dx+ 4
(∫ T
0‖F (t)‖L2(0,l) dt
)2
. (2.19)
Combinando las desigualdades (2.18) y (2.19), concluimos que existe unaconstante N = N(c) tal que
sup0≤t≤T
‖ux‖L2(0,l) + ‖ut‖L2(0,l)
≤ N[‖f ′‖L2(0,l) + ‖g‖L2(0,l) + ‖F‖L1((0,T ),L2(0,l))
]≤ N
[‖f ′‖L2(0,l) + ‖g‖L2(0,l) +
√T‖F‖L2((0,l)×(0,T ))
].
Este tipo de desigualdad, cuya demostracion formal requiere suponer a priorique la solucion es regular para justificar las cuentas, da lugar a una acota-cion de la solucion que se denomina genericamente acotacion a priori de lasolucion: las constantes en la desigualdad final no dependen de la regulari-dad cualitativa de la solucion (en este caso hemos necesitado que u este enC2([0, l]× [0, T ]) para justificar las cuentas). El resultado final consiste o es
36
una acotacion del tamano en ciertos espacios de algunos entes relacionadoscon la solucion (en este caso las derivadas primeras), en terminos de otrascantidades que miden el tamano de los datos (en esta caso f , g y F ) en otrosespacios, que pueden ser iguales o diferentes a los primeros.
37
Capıtulo 3
La ecuacion del calor en larecta
3.1. Deduccion de la ecuacion
Sea Ω ⊂ R3 un solido y u(x, t) la temperatura en uno de sus puntos xen tiempo t > 0. Si D es una parte pequena de Ω, la cantidad de calor enD en tiempo t es
Q(t) =
∫Dρu(x, t) dx ,
donde ρ es la densidad de Ω. La variacion total del calor en D es
Q′(t) =
∫Dρut(x, t) dx.
Las leyes de la termodinamica dicen que el flujo del calor M , un campovectorial, va de las regiones mas calientes a las mas frias y que es proporcionalal gradiente de la temperatura: M = −A∇u, donde A es el calor especıfico.
La variacion total del calor en D coincide con la cantidad neta de calorque entra y sale de D, junto los cambios de calor que son generados directa-mente sobre D por cambios de temperatura externos con densidad F (x, t);es decir, si ν es la normal unitaria exterior a ∂D,∫
Dρut(x, t) dx = −
∫∂D
M · ν dσ +
∫DρF (x, t) dx,
∫Dρut(x, t) dx = A
∫∂D∇u · ν dσ +
∫DρF (x, t) dx
y por el teorema de la divergencia∫D
[ρut(x, t)−A4u(x, t)− ρF (x, t)] dx = 0.
38
Como D es arbitrario, la temperatura verifica la ecuacion
ut − c24u = F en D × (0,+∞), c2 =A
ρ
y con el cambio de variables, v(x, t) = u(cx, t), la ecuacion se transforma en
vt −4v = G(x, t), G(x, t) = F (cx, t),
que se denomina la ecuacion del calor.Queremos resolver el problema de valores iniciales no homogeneo:
ut − uxx = F, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = f(x), x ∈ R.(3.1)
“Lo natural” es buscar la solucion en
C2(R× (0,+∞)) ∩ C(R× [0,+∞)) ∩ L∞(R× (0,+∞)),
si f ∈ C(R) ∩ L∞(R) y F ∈ C∞(R× [0,+∞)).
3.2. Soluciones autosemejantes
Para resolver el problema de valores inciales no homogeneo (3.1), seempieza por intentar resolver el problema de valores iniciales homogeneo
uxx − ut = 0, en R× (0,+∞),
u(x, 0) = f(x), en R.(3.2)
Para ello, buscamos primero las soluciones autosemejantes de la ecua-cion, ut − uxx = 0 y consideraremos “sumas”de estas soluciones, para obte-ner mas soluciones. Despues, intentamos determinar los “coeficientes de lasuma” para que se verifiquen las condiciones iniciales.
Si u(x, t) verifica, ut − uxx = 0 en R × (0,+∞), tambien lo verificanuλ(x, t) = u(λx, λ2t), para todo λ real y u(x+ x0, t+ t0), para todo (x0, t0)en R2.
¿Existen soluciones autosemejantes, es decir, tales que
u(λx, λ2t) = λαu(x, t),
para algun α y todo λ > 0? Si esto ocurre, haciendo λ = 1/√t, tenemos que
u(x, t) = tα/2u(x/√t, 1), es decir,
u(x, t) = tα/2Φ(x/√t), si Φ(x) = u(x, 1).
A las soluciones de este tipo se las llama soluciones autosemejantes dela ecuacion.
39
Si u(x, t) = tα/2Φ(x/√t) es una solucion autosemejante, Φ tiene que
verificarΦ′′(s) +
s
2Φ′(s)− α
2Φ(s) = 0 (3.3)
y si pedimos a la solucion que conserve el calor total, es decir, que u( · , t)sea integrable en R para todo t > 0 y que la integral en x de u no dependade t > 0, ∫
Ru(x, t) dx = t
α+12
∫R
Φ(y) dy,
resulta que α debe ser igual a −1. En este caso, (3.3) se reduce a
(Φ′ +s
2Φ)′ = 0,
cuya solucion general es
Φ(s) = αe−s2
4
∫ s
0eτ2
4 dτ + βe−s2
4 , si α, β ∈ R.
De estas solo la segunda es integrable en R,∫ +∞
0e−
s2
4
∫ s
0eτ2
4 dτds =
∫ +∞
0
∫ 1
0se−
s2
4(1−τ2) dτds
=
∫ 1
0
∫ +∞
0se−
s2
4(1−τ2) dsdτ = 2
∫ 1
0
dτ
1− τ2= +∞
y nos quedamos con la solucion, Φ(s) = e−s2/4. Ası
u(x, t) = βt−1/2e−x2/4t
y elegimos la constante β para que la integral en x de v(x, t) sea 1,
u(x, t) =1√4πt
e−x2/4t.
Esta funcion verifica, ut − uxx = 0, en R × (0,+∞). Si la trasladamos enla direccion espacial en una direccion dada, y ∈ R, es decir, consideramosu(x− y, t), tambien verifica la ecuacion del calor en R× (0,+∞).
La funcion
G(x, t) =
1√4πte−|x|
2/4t, si t > 0,
0, si t ≤ 0,
se denomina el nucleo de Gauss o nucleo Gaussiano.Escogiendo para cada y un valor f(y) y “sumando sobre todos los valores
de y”, obtenemos
u(x, t) =
∫RG(x− y, t)f(y) dy, (3.4)
40
que es una suma formal de soluciones y quizas una solucion del problemade valores iniciales homogeneo (3.2).
Cada termino del integrando en la formula anterior es solucion de laecuacion del calor en las variables (x, t). Para que u sea solucion, necesitamosprimero, que la formula (3.4) tenga sentido y despues, que se pueda derivarbajo el signo integral. Usando el teorema de la convergencia dominada sepuede probar que esto es ası si f ∈ L∞(R). Lo mismo es cierto si f ∈ Lp(R)y 1 ≤ p ≤ ∞. Lo ultimo se deduce facilmente a partir de las acotaciones enel Teorema 4.
3.3. La solucion al problema de valores iniciales
¿Cuanto vale la solucion anterior si t = 0? Haciendo el cambio de varia-bles, x− y =
√t z, resulta que
u(x, t) =1√4π
∫ +∞
−∞f(x−
√t y)e−
y2
4 dy.
De esta formula, de la acotacion,
|f(x−√t y) e−
y2
4 | ≤ ‖f‖L∞(R) e− y
2
4
y del teorema de la convergencia dominada es facil deducir que
lımt→0+
u(x, t) = f(x),
si f es continua en x y acotada en R.
Teorema 4. Si f ∈ C(R) ∩ L∞(R), la funcion definida por (3.4) verificaque, u ∈ C∞(R×(0,+∞))∩C(R× [0,+∞))∩L∞(R× [0,+∞)) y es solucionde (3.2).
Demostracion. Como G(x, t) = t−12 Φ( x√
t), Φ(s) = 1√
4πe−
s2
4 y ∂tG− ∂2xG =
0, en R× (0,+∞), se verifica que
∂αx ∂βt G(x, t) = ∂α+2β
x G(x, t)
= t−1+α+2β
2 Φ(α+2β)(x√t) = t−
1+α+2β2 Pα+2β(
x√t)e−
x2
4t ,
donde Pα+2β es un polinomio de grado α+ 2β. De estas formulas, se deduceque para todo ε > 0 y R > 0 existe N = N(ε, R, α, β) > 0 tal que
|∂αx ∂βt G(x− y, t)| ≤ Ne−y2/N , si |x| ≤ R y ε ≤ t ≤ R.
41
Esto y el teorema de convergencia dominada muestran que u esta en C∞(R×(0,+∞)) si f ∈ L∞(R). Ademas, como∫
RG(x− y, t) dy =
∫RG(z, t) dz = 1, si t > 0, (3.5)
se verifica que|u(x, t)| ≤ ‖f‖L∞(Rn)
y u esta acotada en el semiplano superior.Para mostrar la continuidad de u en R×0 se utiliza la continuidad de f
en R, el decaimiento en el infinito y la propiedad (3.5) del nucleo Gaussiano:fijado x0 ∈ R y dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que |f(y) − f(x0)| ≤ ε, si|y − x0| < δ y
|u(x, t)− f(x0)| ≤∫Bδ(x0)
G(x− y, t)|f(y)− f(x0)| dy
+
∫Rn\Bδ(x0)
G(x− y, t)|f(y)− f(x0)| dy
≤ ε+ 2‖f‖∞∫Rn\Bδ(x0)
G(x− y, t) dy, (3.6)
para todo (x, t) en el semiplano superior. Por otro lado, δ ≤ |y−x0| ≤ 2|y−x|,si |x− x0| ≤ δ/2 y |y − x0| ≥ δ, de donde
G(x− y, t) ≤ (4πt)−12 e−
|x−y|28t e−
|y−x|28t ≤ (4πt)−
12 e−
δ2
32t e−|y−x|2
8t
y ∫Rn\Bδ(x0)
G(x− y, t) dy ≤ Ne−δ2
32t , si |x− x0| ≤ δ/2 . (3.7)
De (3.6) y (3.7) se deduce que
|u(x, t)− f(x0)| ≤ ε+ 2N‖f‖L∞(R) e− δ2
32t , si |x− x0| ≤ δ/2
y que u es continua en (x0, 0).
Algunas propiedades de la solucion obtenida:
• Si m ≤ f(x) ≤M , entonces m ≤ u(x, t) ≤M para todo x ∈ R y t > 0,es decir, las temperaturas maxima y mınima originales no se pueden superarni por arriba ni por abajo.
Demostracion. Escribir la formula para u(x, t), utilizar que m ≤ f ≤ M yque
∫RG(z, t) dz = 1, si t > 0.
42
• Conservacion del calor :∫R u(x, t) dx =
∫R f(x) dx, para todo t > 0, si
ademas f esta en L1(R).
Demostracion. Si f tiene soporte compacto, u( · , t) y sus derivadas decaenhacia cero si x tiende hacia ±∞ y
∂t
∫Ru(x, t) dx =
∫R∂2xu(x, t) dx = 0.
El caso general se obtiene aproximando f con funciones de soporte com-pacto. Tambien se puede utilizar el siguiente razonamiento que justifica elteorema de Fubini-Tonelli:∫
Ru(x, t) dx =
∫Rf(y)
(∫RG(x− y, t) dx
)dy =
∫Rf(y) dy.
• Si ademas f esta en L2(R), entonces∫Ru2(x, T ) dx+ 2
∫ T
0
∫R|∂xu(x, t)|2 dxdt =
∫Rf2(x) dx, (3.8)
para todo T > 0. Aquı solo explicamos la demostracion cuando f tienesoporte compacto.
Demostracion. Si f tiene soporte compacto, u( · , t) y sus derivadas decaenhacia cero si x tiende hacia ±∞ y
0 = u(∂tu− ∂2
xu)
= 12∂tu
2 + (∂xu)2 − ∂x(u∂xu).
La identidad es consecuencia de integrar la formula anterior en R×(0, T ).
• El analogo de la identidad anterior para cilindros acotados es la si-guiente formula: si u ∈ C2(Ω× (0,+∞)) ∩ C(Ω× [0,+∞)) verifica
∂tu−4u = 0, en Ω× (0,+∞),
u(x, 0) = f(x) en Ω,
u o ∂u∂ν = 0, en ∂Ω× (0, T ).
Entonces, ∫Ωu2(x, T ) dx+ 2
∫ T
0
∫Ω|∇u|2 dxdt =
∫Ωf2(x) dx, (3.9)
para todo T > 0. Las identidades (3.9) y (3.8) se conocen como la identidadde energıa para la ecuacion del calor.
43
Demostracion. Se integra sobre Ω× (0, T ) la identidad
0 = u (∂tu−4u) = 12∂tu
2 + |∇u|2 −∇ · (u∇u) .
y se aplica el teorema de la divergencia para concluir que∫Ω∇ · (u∇u) dx =
∫∂Ωu∂u∂ν dσ = 0
y
∂T
[∫Ωu2(x, T ) dx+ 2
∫ T
0
∫Ω|∇u(x, t)|2 dxdt
]= 0, para todo T > 0.
La acotacion analoga asociada a la solucion del problema no homogeneo∂tu−4u = F, en Ω× (0,+∞),
u(x, 0) = f(x) en Ω,
u = 0, en ∂Ω× (0, T ),
(3.10)
es la siguiente: si u ∈ C2(Ω× [0,+∞)) verifica (3.10), T > 0 y Ω es acotado,entonces
sup0≤t≤T
‖u(t)‖L2(Ω) + ‖∇u‖L2(Ω×(0,T )) ≤ 4√
23‖F‖L1((0,T ),L2(Ω)). (3.11)
Demostracion. Se integra sobre Ω× (0, T ) la identidad
uF = u (∂tu−4u) = 12∂tu
2 + |∇u|2 −∇ · (u∇u) .
y se aplica el teorema de la divergencia para concluir que∫Ωu2(x, T ) dx+ 2
∫ T
0
∫Ω|∇u(x, t)|2 dxdt =
∫ T
0
∫Ωu(t)F (t) dxdt
y
sup0≤t≤T
‖u(t)‖2L2(Ω) + ‖∇u‖2L2(Ω×(0,T )) ≤∫ T
0
∫Ω|u(t)F (t)| dxdt, si T > 0.
(3.12)Por las desigualdades de Holder y Young,∫ T
0
∫Ω|u(t)F (t)| dxdt ≤
∫ T
0‖u(t)‖L2(Ω)‖F (t)‖L2(Ω) dt
≤ sup0≤t≤T
‖u(t)‖L2(Ω)‖F‖L1((0,T ),L2(Ω))
≤ 1
4sup
0≤t≤T‖u(t)‖2L2(Ω) + 4‖F‖2L1((0,T ),L2(Ω)),
y (3.11) es consecuencia de (3.12) y de la ultima desigualdad.
44
3.4. La unicidad
• La funcion∂xG(x, t) = − x
2√
4πt3e−x
2/4t
cumple la ecuacion del calor en t > 0 y lımt→0+ ∂xG(x, t) = 0, para todox. Si entendemos la condicion inicial en este sentido, tenemos una solucionno nula del problema (3.2) y con f nula. Por tanto, no habrıa unicidad.Ahora bien, si entendemos la condicion inicial como un lımite en las dosvariables, esta solucion ya no valdrıa, pues al acercarnos al (0, 0) a lo largode la parabola x2 = t, el lımite es infinito.• Ejemplo de Tychonoff. La funcion
u(x, t) =
∞∑k=0
g(k)(t)x2k
(2k)!, g(t) = e−1/t2 , g(0) = 0, (3.13)
verifica la ecuacion del calor en R2, u ∈ C∞(R2) y u( · , 0) ≡ 0. Ademas,existe N ≥ 1 tal que
|u(x, t)| ≤ NeNx2
t− 1Nt2 , si x ∈ R y t > 0; (3.14)
es decir, u crece “demasiado” en el infinito en cada tiempo fijo, t > 0.
Demostracion. Con la formula de representacion de Cauchy para las deri-vadas de una funcion analıtica mostraremos que existe N ≥ 1 tal que
|g(k)(t)| ≤ N1+kk!t−ke−1Nt2 , si t > 0 y k ≥ 0. (3.15)
Esta acotacion y la formula de Stirling,
lımk→+∞
k!√
2πk(ke
)k = 1,
implican que el termino general de la serie (3.13) verifica∣∣∣∣g(k)(t)x2k
(2k)!
∣∣∣∣ ≤ N
k!
(Nx2
t
)ke−
1Nt2 , si x ∈ R, t > 0 y k ≥ 0,
que la serie (3.13) converge uniformemente sobre compactos de R×(0,+∞),que su suma u verifica (3.14), es continua en R2 y u( · , 0) ≡ 0. Lo mismo escierto para cualquier derivada de u.
Para ver que (3.15) es cierto, dado t > 0 y ε en (0, 1),
g(k)(t) =k!
2πi
∫|z−t|=εt
e−1/z2
(z − t)k+1dz,
45
por la formula de Cauchy y elegimos ε > 0 pequeno de forma que Bεt(t)este inscrito en un cono con vertice en (0, 0) y con angulo medio de aperturaigual a π/8. Entonces, existe N ≥ 1 tal que si z = reiθ, se verifica
< 1/z2 = r−2 cos 2θ ≥ 1
Nt2, si |z − t| = εt, t > 0
y
|g(k)(t)| ≤ k!
2π
∫|z−t|=εt
e−1Nt2
(εt)k+1|dz| ≤ N1+kk!t−ke−
1Nt2 .
De lo anterior concluimos que la ecuacion del calor en R × (0,+∞) notiene solucion unica sin exigir condiciones adicionales a la solucion.
En los resultados siguientes veremos algunas condiciones adicionales quegarantizan la unicidad de solucion para el problemas de valores inicialessobre un intervalo de R, un dominio acotado de Rn, la recta real R y elespacio euclıdeo Rn.
Teorema 5 (Principio del maximo debil). Sean ΩT = (a, b)× (0, T ] y ΓT =[a, b]×0∪ a, b× (0, T ], la frontera parabolica del cilindro ΩT y 0 < T <+∞. Si u ∈ C(ΩT ) ∩ C2(ΩT ) y ∂xxu− ∂tu ≥ 0 en ΩT , entonces
maxΩT
u ≤ maxΓT
u.
Analogamente hay un principio del mınimo debil: aplicar el Teorema 5a −u, si ∂xxu− ∂tu ≤ 0 en ΩT y concluir que
mınΩT
u ≥ mınΓT
u.
Demostracion. Suponemos primero que uxx − ut > 0 en ΩT . Si u tieneun maximo local en algun (x0, t0) que es interior a ΩT , se verifica queut(x0, t0) = 0 y uxx(x0, t0) ≤ 0. Si hubiera un maximo local en (x0, T ),para algun a < x0 < b, se tendrıa que, ut(x0, T ) ≥ 0 y uxx(x0, T ) ≤ 0 yambos casos son incompatibles con la hipotesis, uxx − ut > 0 en ΩT .
Si uxx−ut ≥ 0 en ΩT , definimos uε(x, t) = u(x, t)+εx2 y por el resultadoanterior
maxΩT
u ≤ maxΩT
uε ≤ maxΓT
uε ≤ maxΓT
u+ εmax a2, b2,
lo que implica el resultado si hacemos ε tender a 0.
• Lo mismo es cierto en Rn si ΩT = Ω×(0, T ], ΓT = Ω×0∪∂Ω×(0, T ],4u−∂tu ≥ 0 en ΩT , Ω es un abierto acotado de Rn y n ≥ 2. En este caso, enun posible maximo interior (x0, t0) a ΩT , la matriz Hessiana de u en (x0, t0)es semidefinida negativa y su traza, 4u(x0, t0), es menor o igual que cero.
46
• Consecuencia: unicidad de solucion al problema de valores inicialesasociado a la ecuacion del calor con condiciones de Dirichlet en la fronteralateral cuando la base es un intervalo o un abierto acotado en Rn y parasoluciones en C2(Ω × (0, T ]) ∩ C(ΩT ): para verificarlo aplicar el principiodel maximo debil a ± (u1 − u2) en ΩT , si u1 y u2 son soluciones en C2(Ω×(0, T ]) ∩ C(ΩT ) de
4u− ∂tu = F, en Ω× (0, T ],
u(x, 0) = f(x), en Ω,
u = 0 en ∂Ω× (0, T ],
para concluir que u1 = u2 en Ω× [0, T ].
Teorema 6 (Principio del maximo debil para R). Sea u ∈ C(R × [0, T ]) ∩C2(R × (0, T ]) y tal que ∂xxu − ∂tu ≥ 0 en R × (0, T ], u(x, t) ≤ M enR× [0, T ], para algun M ≥ 0 y u(x, 0) = f(x) en R. Entonces
u(x, t) ≤ supRf, si x ∈ R y 0 ≤ t ≤ T.
Demostracion. Fijado y ∈ R y 0 < µ ≤ 1, consideramos la funcion
vµ(x, t) = u(x, t)− µ(|x− y|2 + 2t
).
Se verifica que, ∂xxvµ − ∂tvµ ≥ 0 en R × (0, T ] y por el principio delmaximo debil para cilindros acotados
vµ(y, t) ≤ maxΓρ
vµ, si Γρ = [y − ρ, y + ρ]× 0 ∪ y − ρ, y + ρ × [0, T ]
y 0 ≤ t ≤ T . En la parte lateral de Γρ
|x− y|2 + 2t ≥ ρ2 y vµ(x, t) ≤M − µρ2 ≤ supRf,
si ρ ≥ ρ(M, supR f, µ). Por tanto,
vµ(y, t) = u(y, t)− 2µt ≤ supRf, si 0 ≤ t ≤ T
y haciendo, µ→ 0+, obtenemos el resultado.
Lo mismo funciona en Rn × (0, T ] si cambiamos vµ por
vµ(x, t) = u(x, t)− µ(|x− y|2 + 2nt
).
• Consecuencia: unicidad de solucion para el problema de condicionesiniciales asociado a la ecuacion del calor en R × (0,+∞) en la clase desoluciones C2(R × (0,+∞)) ∩ C(R × [0,+∞)) ∩ L∞(R × [0,+∞)). Si f ∈L∞(R)∩C(R), la solucion de (3.2) generada con el nucleo de Gauss esta enC2(R× (0,+∞)) ∩ C(R× [0,+∞)) ∩ L∞(R× [0,+∞)) y es unica.• La conclusion del Teorema 6 tambien es valida si la condicion, u(x, t) ≤
M , se cambia por, u(x, t) ≤ MeM |x|2
en R × [0, T ], para algun M > 0(Comparar esto con las soluciones de Tychonoff).
47
3.5. Ecuacion no homogenea: metodo de Duhamel
Buscamos una solucion para el problema no homogeneout − uxx = F (x, t), x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = 0, x ∈ R.(3.16)
La ecuacion diferencial ordinaria no homogenea con condicion inicialy′ + ay = F (t),
y(0) = 0,
se resuelve por el metodo de variacion de las constantes, que es equivalenteal metodo de Duhamel que describimos a continuacion: la solucion y(t) sepuede escribir como
y(t) =
∫ t
0γ(t, s) ds.
Entonces,
y′(t) = γ(t, t) +
∫ t
0γt(t, s) ds, y′ + ay = γ(t, t) +
∫ t
0γt(t, s) + aγ(t, s) ds
y si queremos que y sea solucion, esto se cumplira si elegimos γ de formaque
γt(t, s) + aγ(t, s) = 0, en (s,+∞)
γ(s, s) = F (s), en t = s,
que es un problema homogeneo que sabemos resolver. Si w(t, s) es la solucionde la ecuacion homogenea
wt(t, s) + aw(t, s) = 0, en (0,+∞)
w(0, s) = F (s), en t = 0,
w(t, s) = e−atF (s) y γ(t, s) = w(t− s, s); es decir.
y(t) =
∫ t
0w(t− s, s) ds.
Para resolver (3.16), procedemos de forma similar
Teorema 7. Si w( · , · , s) es la solucion dewt − ∂2
xw = 0, x ∈ R, t > 0,
w(x, 0, s) = F (x, s), x ∈ R,
entonces
u(x, t) =
∫ t
0w(x, t− s, s) ds =
∫ t
0
∫RG(x− y, t− s)F (y, s) dyds (3.17)
es solucion de (3.16).
48
Demostracion. Para deducir tal formula, escribimos
u(x, t) =
∫ t
0γ(x, t, s) ds
y un calculo formal muestra que
∂tu− ∂2xu = γ(x, t, t) +
∫ t
0
(∂t − ∂2
x
)γ(x, t, s) ds.
Lo logico es elegir γ de forma que(∂t − ∂2
x
)γ(x, t, s) = 0, en R× (s,+∞),
γ(x, s, s) = F (x, s), en R× s
y como la ecuacion es invariante por traslaciones,
γ(x, t, s) = w(x, t− s, s).
Finalmente,
w(x, t, s) =
∫RG(x− y, t)F (y, s) dy.
El principio de Duhamel se puede aplicar tambien a la ecuacion de ondasno homogenea.
Teorema 8. Sea w( · , · , s) la solucion de∂2tw − c2∂2
xw = 0, x ∈ R, t > 0,
w(x, 0; s) = 0, x ∈ R;
∂tw(x, 0; s) = F (x, s), x ∈ R,
entonces
u(x, t) =
∫ t
0w(x, t− s, s) ds (3.18)
es solucion de la ecuacion de ondas∂2t u− c2∂2
xu = F (x, t), x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = 0, x ∈ R,ut(x, 0) = 0, x ∈ R.
(3.19)
Podeis comprobar que esto coincide con los resultados obtenidos ante-riormente para esta ecuacion.
49
Demostracion. El lector puede comprobrar que (3.18) es formalmente unasolucion de (3.19). Para deducir la formula, escribimos
u(x, t) =
∫ t
0γ(x, t, s) ds
y un calculo formal muestra que
∂2t u− c2∂2
xu = ∂tγ(x, t, t) +
∫ t
0
(∂2t − c2∂2
x
)γ(x, t, s) ds,
si suponemos que γ(x, t, t) = 0. Lo logico es elegir γ de forma que(∂2t − c2∂2
x
)γ(x, t, s) = 0, en R× (s,+∞),
γ(x, s, s) = 0, ∂tγ(x, s, s) = F (x, s), en R× s
y como la ecuacion es invariante por traslaciones,
γ(x, t, s) = w(x, t− s, s).
3.6. La ecuacion del calor en un cilindro
• La solucion del problemaut − uxx = F (x, t), en R× (0,+∞),
u(x, 0) = f(x), en R,
es par o impar respecto a x = l en todo tiempo t > 0, si la misma propiedades cierta para f y F ( · , t), para todo t > 0. Por ello, podemos utilizar elmetodo de reflexiones para encontrar la solucion del problema
ut − uxx = F (x, t), x > 0, t > 0,
u(x, 0) = f(x), x > 0,
u(0, t) = 0, t > 0,
resolviendo un problema en todo R, que tiene por datos las extensionesimpares a R de f y F ( · , t). Si F ≡ 0, la solucion es
u(x, t) =1√4πt
∫ ∞0
f(y)[e−(x−y)2/4t − e−(x+y)2/4t
]dy.
• Si la condicion de contorno es de tipo Neumann, ux(0, t) = 0, la ex-tension debe ser par.• El metodo de reflexiones tambien funciona para la ecuacion del calor
con condiciones de Dirichlet, Neumann o con condiciones mixtas sobre un
50
intervalo finito. Para ello, se calculan las correspondientes extensiones de f yF ( · , t) a todo R como funciones pares o impares respecto a los extremos delintervalo, se resuelve el problema asociado a las extensiones de f y F ( · , t)sobre R y se restringe la solucion calculada al cilindro asociado al intervalo.• El metodo de Duhamel funciona de forma analoga en un cilindro de
base finita o de media recta.
51
Capıtulo 4
Separacion de variables
4.1. Calor en una barra finita: metodo de Fourier
• Consideramos el problemaut − uxx = 0 , 0 < x < π , t > 0 ,
u(x, 0) = f(x) , 0 < x < π ,
u(0, t) = u(π, t) = 0 , t > 0 .
(4.1)
El metodo de Fourier (separacion de variables) consiste en buscar solu-ciones no nulas en variables separadas de la ecuacion, u(x, t) = X(x)T (t),que cumplan las condiciones de contorno laterales. Despues se intenta queuna “combinacion lineal”o suma infinita de estas verifique la condicion ini-cial y sea la solucion de la ecuacion.
Si u(x, t) = X(x)T (t) es una solucion no nula en [0, π] de ut − uxx = 0,se debe cumplir que, X(x)T ′(t)−X ′′(x)T (t) = 0; es decir,
X ′′(x)
X(x)=T ′(t)
T (t),
son funciones constantes y podemos suponer que para algun λ ∈ R,
X ′′(x)
X(x)=T ′(t)
T (t)= −λ.
Las condiciones de contorno exigen que X(0) = X(π) = 0, de modoque necesitamos encontrar las soluciones no nulas del problema (llamado deSturm-Liouville)
X ′′ + λX = 0 en [0, π],
X(0) = X(π) = 0.(4.2)
Es facil comprobar que (4.2) tiene soluciones no nulas si y solo si, λ = k2
(valores propios), k = 1, 2, . . . y que estas soluciones son multiplos de sin kx
52
(funciones propias). Para estos valores de λ, las correspondientes solucionesno nulas de la ecuacion,
T ′ + λT = 0,
son multiplos de e−k2t y las soluciones de variables separadas de (4.1), son
uk(x, t) = e−k2t sin (kx), si k ≥ 1.
Para resolver (4.1) y suponiendo que no hubiera problemas para la con-vergencia y la conmutacion de las derivadas con la suma infinita, la ecuaciony las condiciones de contorno se cumplen si tomamos por solucion de (4.1),la suma infinita
u(x, t) =∞∑k=0
bke−k2t sin kx. (4.3)
Para la condicion inicial necesitarıamos (formalmente) que
∞∑k=1
bk sin kx = f(x) (4.4)
y la cuestion que surge es si existen coeficientes bk que hagan posible laidentidad.• Una familia ortogonal de funciones ϕk : k ≥ 1 es completa en L2(a, b)
si para toda f en L2(a, b) existen numeros αk tales que,
‖f −N∑k=1
αkϕk‖L2(a,b)
tiende a cero, si N → +∞. En tal caso,∫ b
afϕl =
∫ b
a(f − TNf)ϕl dx+
∫ b
aTNfϕl dx
=
∫ b
a(f − TNf)ϕl dx+ αl
∫ b
aϕ2l ,
si N ≥ l ≥ 1 y TNf =∑N
k=1 αkϕk. Por la desigualdad de Holder∣∣∣∣∫ b
a(f − TNf)ϕl dx
∣∣∣∣ ≤ ‖f − TNf‖L2(a,b)‖ϕl‖L2(a,b)
que tiende a cero si N crece. Es decir,
αl =
∫ b
afϕl dx/
∫ b
aϕ2l dx, si l ≥ 1. (4.5)
53
Si ϕk es completa, la serie∑+∞
k=1 αkϕk se denomina serie de Fourier def en la base ϕk. La ortogonalidad de ϕk y (4.5) implican la desigualdadde Bessel para ϕk
‖f −N∑k=1
αkϕk‖2L2(a,b) = ‖f‖2L2(a,b) −N∑k=1
α2k
∫ b
aϕ2k dx ≥ 0, si N ≥ 1 (4.6)
y pasando al lımite
+∞∑k=1
α2k
∫ b
aϕ2k dx ≤ ‖f‖2L2(a,b).
La completitud de ϕk y (4.6) dan la identidad de Parseval o de Plan-cherel para ϕk,
‖f‖2L2(a,b) =
+∞∑k=1
α2k
∫ b
aϕ2k dx, si f ∈ L2(a, b).
4.2. Criterio de Weierstrass
Teorema 9 (Criterio de Weierstrass). Si fk es una sucesion de funciones,fk : Ω −→ R, Ω es una abierto en Rn y para cada K ⊂ Ω compacto de Ωexiste una sucesion Mk de numeros positivos tales que
|fk| ≤Mk en K y+∞∑k=1
Mk < +∞.
Entonces, la serie de funciones,∑+∞
k=0 fk, converge uniformemente sobrecompactos de Ω. Ademas, si fk ∈ C(Ω), para todo k ≥ 1, entonces f ∈ C(Ω).
Demostracion. Si SN (x) =∑+∞
k=1 fk(x) y 1 ≤ N < M ,
|SN (x)− SM (x)| ≤M∑
k=N+1
Mk, si x ∈ K,
suma que sera mas pequena que ε > 0, si N ≥ Nε. Es decir, SN es unasucesion de Cauchy en L∞(K) y la serie converge uniformemente sobre K.La suma de la serie sera continua en Ω, por ser lımite uniforme de funcionescontinuas sobre compactos de Ω, si cada fk ∈ C(Ω).
Teorema 10 (Derivabilidad de una serie de funciones). Si ademas, fk ∈C1(Ω), para todo k ≥ 1 y para cada K ⊂ Ω compacto existe una sucesionNk, tal que
+∞∑k=0
Nk <∞ y
∣∣∣∣∂fk∂xi
∣∣∣∣ ≤ Nk en K,
54
para cada i = 1, · · · , n y k ≥ 1. Entonces, f ∈ C1(Ω) y
∂f
∂xi=
+∞∑k=0
∂fk∂xi
, para i = 1, . . . , n.
La demostracion la podeis encontrar en el libro J.E. Marsden y M. J.Hoffman, Analisis Clasico Elemental.
4.3. Series de Fourier
Serie trigonometrica de periodo 2π
• Es toda serie de la forma
a0
2+∞∑k=1
(ak cos kx+ bk sin kx).
• Al haber un paso al lımite, que es la suma de la serie, esta puedeentenderse de distintas formas: convergencia puntual, uniforme, en normasvariadas. . .
Coeficientes de Fourier
• De la ortogonalidad de la familia 1, cos kx, sin kx en [−π, π], si fcoincide con la suma de su serie de Fourier y la serie converge uniformente(o en L2(−π, π)) a f , se obtiene que
ak =1
π
∫ π
−πf(x) cos kx dx y bk =
1
π
∫ π
−πf(x) sin kx dx, si k ≥ 0
y se denominan los coeficientes de Fourier de f en [−π, π]. Estos tienensentido y se pueden calcular si f esta en L1(−π, π).• La serie trigonometrica construida con estos coeficientes se llama la
serie de Fourier de f .• Las propiedades elementales de los coeficientes de Fourier son
Linealidad: ak(f + g) = ak(f) + ak(g), bk(f + g) = bk(f) + bk(g).
Acotacion: |ak|, |bk| ≤ ‖f‖1/π, si k ≥ 0.
Lema de Riemann Lebesgue: Si f ∈ L1(−π, π), entonces
lımk→∞
ak = lımk→∞
bk = 0.
55
Demostracion. Si f = χ[a,b], [a, b] ⊂ [−π, π],
ak(f) =1
π
∫ b
acos kx dx =
sin kb− sin ka
k,
que tiende a cero, si k → +∞. Si f ∈ C([−π, π]), para cada ε > 0 existeuna particion, −π = x0 < x1 < . . . < xN = π, de forma que la funcionescalonada, S =
∑N−1i=0 f(xi)χ[xi,xi+1) verifica, ‖f − S‖L∞(−π,π) ≤ ε
2 y
|ak(f)| ≤ |ak(f − S)|+ |ak(S)| ≤ ε+ |ak(S)|, para todo k ≥ 1.
Como lımk→+∞ ak(S) = 0, podremos encontrar kε tal que |ak(f)| ≤ 2ε,si k ≥ kε. En general, si f ∈ L1(−π, π), existe g ∈ C([−π, π]), tal que‖f − g‖L1(−π,π) ≤ πε y
|ak(f)| ≤ |ak(f − g)|+ |ak(g)| ≤ ε+ |ak(g)|, para todo k ≥ 1.
Como lımk→+∞ ak(g) = 0, podremos encontrar kε tal que, |ak(f)| ≤ 2ε, sik ≥ kε.
• Si f ∈ C1([−π, π]) y f(π) = f(−π), la relacion entre los coeficientesde Fourier de f y f ′ es la siguiente:
ak(f′) = kbk(f) , bk(f
′) = −kak(f), si k = 1, 2, 3 . . .
• Si f ∈ C∞([−π, π]) y sus derivadas son periodicas de periodo 2π, loscoeficientes de Fourier de f verifican
|ak(f)|+ |bk(f)| ≤ 2
kN‖f (N)‖L1(−π,π), para todo k ≥ 0 y N ≥ 1.
Demostracion. Integrar por partes.
Nucleo de Dirichlet
• Si SN (f)(x) es la N -esima suma parcial de la serie de Fourier de unafuncion f en L1(−π, π),
SN (f)(x) =1
π
∫ π
−πf(t)
[1
2+
N∑k=1
cos kx cos kt+ sin kx sin kt
]dt
=1
π
∫ π
−πf(t)
[1
2+
N∑k=1
cos k(x− t)
]dt.
La formula, 2 cosx sin y = sin (x+ y)− sin (x− y), muestra que
2
1
2+
N∑k=1
cos ky
sin(y
2
)= sin
(y2
)+
N∑k=1
[sin
(k +
1
2
)y − sin
(k − 1
2
)y
]= sin
(N +
1
2
)y
56
y
SN (f)(x) =1
π
∫ π
−πf(t)DN (x− t) dt, donde DN (x) =
sin(N + 1/2)x
2 sin (x/2).
La funcion DN se denomina nucleo de Dirichlet. Es una funcion regulary periodica de periodo 2π.• Extendiendo f a todo R como una funcion periodica de periodo 2π y
haciendo el cambio de variables natural, podemos escribir
SN (f)(x) =1
π
∫ π
−πf(x− t)DN (t) dt =
1
π
∫ π
−πf(x+ t)DN (t) dt. (4.7)
• Como SN (1) ≡ 1, (4.7) implica que
1
π
∫ π
−πDN (t) dt = 1. (4.8)
Resultados de convergencia
A partir del lema de Riemann-Lebesgue y de la representacion (4.7) conel nucleo de Dirichlet podemos probar el siguiente resultado de convergenciapuntual de la serie de Fouriter:
Teorema 11. Si f : [−π, π] −→ R verifica, f(π) = f(−π) y para algunα > 0 y M > 0,
|f(x)− f(y)| ≤M |x− y|α, si x e y ∈ [−π, π]. (4.9)
Entonces, lımN→∞ SN (f)(x) = f(x) en [−π, π].
Demostracion. La extension periodica de f a todo R verifica (4.9) y por(4.8), podemos escribir
SN (f)(x)− f(x) =1
π
∫ π
−π[f(x− t)− f(x)]DN (t) dt
=1
π
∫ π
−π
f(x− t)− f(x)
2 sin ( t2)sin (N + 1
2)t dt = bN+
12(gx),
si
gx(t) =f(x− t)− f(x)
2 sin ( t2).
La condicion de regularidad (4.9) muestra que gx ∈ L1(−π, π),
|gx(t)| ≤ M |t|α
| sin ( t2)|. |t|α−1, si |t| ≤ π
y por el Lema de Riemann-Lebesgue,
lımN→+∞
bN+
12(gx) = 0.
57
Desigualdad de Bessel
Teorema 12. Si f ∈ L2(−π, π), entonces
a20
2+∞∑k=1
(a2k + b2k) ≤
1
π
∫ π
−π|f(x)|2 dx. (4.10)
Demostracion. La familia de funciones 1, cos kx, sin kx es ortogonal enL2(−π, π), ∫ π
−πcos2 kx dx =
∫ π
−πsin2 kx dx = π, si k ≥ 1
y la desigualdad de Bessel asociada es (4.10).
Un resultado de convergencia uniforme
Sabemos que si una sucesion de funciones continuas converge uniforme-mente, el lımite es una funcion continua y por tanto, si una serie de Fourierconverge uniformemente, su suma es una funcion continua.
Teorema 13. Sea f ∈ C1([−π, π]) o C1 a trozos y tal que f(π) = f(−π).Entonces, su serie de Fourier converge uniformemente a f en [−π, π].
Demostracion. Una tal f verifica las condiciones del teorema 11 con α = 1y M = ‖f ′‖L∞(−π,π), y su serie de Fourier converge puntualmente a f en[−π, π]. Al mismo tiempo,
|ak|+ |bk| ≤ k−2 + k2(a2k + b2k
), si k ≥ 1. (4.11)
La relacion entre los coeficientes de Fourier de f y los de su derivada, ladesigualdad de Bessel y (4.11) implican que
+∞∑k=1
k2(a2k + b2k
)=
+∞∑k=1
ak(f′)2 + bk(f
′)2 ≤ 1
π
∫ π
−πf ′2(x) dx
y la convergencia uniforme de la serie de Fourier se sigue del criterio deWeierstrass y de la desigualdad
|ax cos kx+ bk sin kx| ≤ |ak|+ |bk|, si k ≥ 1.
Una vez conocido este resultado, podemos demostrar la identidad deParseval para 1, cos kx, sin kx con un argumento de densidad y deducirque dicha familia forma un sistema completo en L2(−π, π).
Teorema 14. La serie de Fourier de una funcion f ∈ L2(−π, π) convergea f en L2(−π, π) y la desigualdad de Bessel es una identidad.
58
Demostracion. La desigualdad de Bessel es equivalente a que
‖SN (f)‖L2(−π,π) =√π
(a2
0
2+
N∑k=1
(a2k + b2k)
) 12
≤ ‖f‖L2(−π,π), (4.12)
si N ≥ 1 y f ∈ L2(−π, π), que junto con la desigualdad triangular implicaque
‖f − SN (f)‖L2(−π,π) ≤ ‖f − ϕ‖L2(−π,π) + ‖ϕ− SN (ϕ)‖L2(−π,π)
+‖SN (ϕ−f)‖L2(−π,π) ≤(
1 +1√π
)‖f−ϕ‖L2(−π,π)+‖ϕ−SN (ϕ)‖L2(−π,π).
En la desigualdad anterior, podemos elegir ϕ ∈ C∞0 (−π, π) que verifique
‖f − ϕ‖L2(−π,π) ≤ ε
y como SN (ϕ) converge uniformemente a ϕ en [−π, π],
‖ϕ− SN (ϕ)‖L2(−π,π)
tiende a cero, si N → +∞ y concluimos que tambien SNf converge a f enL2(−π, π). Este resultado y la identidad
‖f − SN (f)‖2L2(−π,π) = ‖f‖2L2(−π,π) − π
(a2
0
2+
N∑k=1
a2k + b2k
),
muestran que la desigualdad de Bessel (4.12) es de hecho una identidad,llamada identidad de Plancherel o Parseval,
a20
2+
+∞∑k=1
(a2k + b2k) =
1
π
∫ π
−πf2(x) dx, si f ∈ L2(−π, π),
y por tanto, 1, cos kx, sin kx es completa en L2(−π, π).
Funciones pares e impares
• Series de Fourier de cosenos/senos. Dada una funcion en [0, π], sellama serie de Fourier de cosenos de f a la serie de Fourier de su extensionpar al intervalo [−π, π]. La serie de Fourier de senos de f es la serie deFourier de su extension impar a [−π, π].• Las funciones sin kx : k ≥ 1 y cos kx : k ≥ 0 forman sistemas
completos en L2(0, π) respectivamente.
59
Demostracion. Sea f la extension par a [−π, π] de f en L2(0, π). Los coefi-cientes de Fourier de f son respectivamente
ak =1
π
∫ π
−πf(x) cos kx dx =
2
π
∫ π
0f(x) cos kx dx, si k ≥ 0
y
bk =1
π
∫ π
−πf(x) sin kx dx = 0, si k ≥ 1.
Como
‖f −
(a0
2+
N∑k=1
ak cos kx
)‖L2(−π,π)
tiende a cero y [0, π] ⊂ [−π, π], la serie de Fourier de cosenos
a0
2+
+∞∑k=1
ak cos kx, ak =2
π
∫ π
0f(x) cos kx dx, si k ≥ 0
converge a f en L2(0, π).Si f es la extension impar de f , su serie de Fourier solo tiene senos. En
este caso
bk = bk =2
π
∫ π
0f(x) sin kx dx, si k ≥ 1
y
‖f −N∑k=1
bk sin kx‖L2(0,π) ≤ ‖f −N∑k=1
bk sin kx‖L2(−π,π),
que tiende a cero si N → +∞.
Cambio de periodo
• Si f es periodica de periodo 2l, su serie de Fourier en (−l, l) se escribe
a0
2+
∞∑k=1
ak cos
(kπx
l
)+ bk sin
(kπx
l
),
con
ak =1
l
∫ l
−lf(x) cos
(kπx
l
)dx, bk =
1
l
∫ l
−lf(x) sin
(kπx
l
)dx
y las funciones
1, cos
(kπx
l
), sin
(kπx
l
)
forman un sistema completo en L2(−l, l).• Las familias de funciones
1, cos(kπxl
), sin
(kπxl
) , cos
(kπxl
): k ≥ 0 , sin
(kπxl
): k ≥ 1
son sistemas completos en L2(0, l), si l > 0.
60
Demostracion. El cambio de variable, g(x) = f( lxπ ), transforma L2(−l, l) enL2(−π, π) y la informacion sobre la serie de Fourier clasica de g en [−π, π],en informacion para la nueva serie de Fourier de f en (−l, l).
4.4. Vuelta al problema del calor en una barra fi-nita
Los coeficientes bk en (4.4) son los de la serie de Fourier de senos de fen (0, π):
bk =2
π
∫ π
0f(x) sin kx dx, si k ≥ 1.
Esta sucesion de numeros esta acotada, si f ∈ L1(0, π) y la serie
∞∑k=1
bke−k2t sin kx,
converge uniformemente junto con sus derivadas en R × [ε,+∞) para todoε > 0, es una solucion de la ecuacion del calor y verifica la condicion decontorno en [0, π]× (0,+∞).
Demostracion. Si α, β ∈ N, kα+2βe−k2ε ≤ C(α, β, ε), para todo k ≥ 1,
|∂αx ∂βt
(bke−k2t sin kx
)| . ‖f‖L1(0,π)k
α+2βe−k2t
≤ C(α, β, ε, f)
(1
eε
)k, si x ∈ R y t ≥ 2ε
y la afirmacion es consecuencia del criterio de Weierstrass y de la conver-gencia de la serie de termino general rk, 0 < r < 1.
Convergencia al dato inicial
Teorema 15. Si f ∈ L2(0, π), entonces u( · , t) converge a f en L2(0, π).
Demostracion. Sabemos que sin kx : k ≥ 1 es completa en L2(0, π) y porla identidad de Plancherel para esta familia
‖u(·, t)− f‖2L2(0,π) = ‖+∞∑k=1
bk(e−k2t − 1) sin kx‖2L2(0,π) =
π
2
∑k
b2k(1− e−k2t)2
y el lımite a la derecha es cero por el Teorema de Convergencia Dominadao la siguiente acotacion:∑
k
b2k(1− e−k2t)2 ≤
Nε∑k=1
b2k(1− e−k2t)2 + ε ,
si Nε se elige tal que,∑+∞
k=Nε+1 b2k ≤ ε.
61
Si f ∈ C([0, π]), f(0) = f(π) = 0 y f es la extension impar de f aR respecto de 0 y π, f ∈ C(R) ∩ L∞(R). En tal caso, la solucion de (4.1)que obtenemos por el metodo de reflexiones esta en C∞([0, π]× (0,+∞)) ∩C([0, π]×[0,+∞)). Tambien se puede mostrar que la solucion generada por elmetodo de separacion de variables es, en tal caso, continua en [0, π]×[0,+∞),y por el principio del maximo debil para un cilindro de base acotada, lasdos soluciones son iguales (Ver la seccion titulada Extension de la validezde esas soluciones en el libro de Hans F. Weinberger pero no intentar sulectura hasta haber leıdo el ultimo tema en este curso).
Es facil mostrar que la solucion generada por el metodo de separacion devariables es continua en la clausura del cilindro [0, π] × R, si f ∈ C1([0, π])y f(0) = f(π) = 0.
Demostracion. Los coeficietes de la serie de Fourier de senos de f verifican
bk = − 2
πk
∫ π
0f(x) (cos kx)′ dx =
2
πk
∫ π
0f ′(x) cos kx dx =
akk, si k ≥ 1,
donde ak es el coeficiente de Fourier de la serie de cosenos de f ′ en [0, π].Esto implica que
|bk| ≤1
k2+ a2
k, si k ≥ 1, (4.13)
y (4.13), la identidad de Plancherel para la serie de cosenos de f ′ en [0, π] yel criterio de Weiestrass, muestran que la serie (4.3) converge uniformementehacia una funcion continua en [0, π]× R.
Otras condiciones de contorno
• Si las condiciones de contorno son, ux(0, t) = ux(π, t) = 0 (de tipoNeumann), llegamos a
X ′′ + λX = 0, con X ′(0) = X ′(π) = 0,
que tiene soluciones no nulas para λ = 0 (las constantes) y λ = k2 (multiplosde cos kx), si k ≥ 1. La solucion se escribe como
u(x, t) =a0
2+
∞∑k=1
ake−k2t cos kx,
y los ak se obtienen como los coeficientes de la serie de cosenos de f .Metodos similares a los de la seccion anterior muestran que si f esta
en C1([0, π]), entonces u esta en C∞([0, π] × (0,+∞)), que u es continuaen [0, π] × [0,+∞) y que u esta en C1([0, π] × [0,+∞)), si f ∈ C2([0, π]) yf ′(0) = f ′(π) = 0.
62
• Si las condiciones de contorno son, u(0, t) = 0 y ux(π, t) = 0, estasconducen al problema de Sturm-Liouville
X ′′ + λX = 0, con X(0) = X ′(π) = 0,
que tiene como valores propios λk = (k + 1/2)2 y como funciones propias aXk = sin(k + 1/2)x, si k ≥ 0. Ası,
u(x, t) =
∞∑k=0
cke−(k+1/2)2t sin(k + 1/2)x
y para encontrar la solucion por el metodo de la separacion de variablesnecesitamos saber que
f(x) =∞∑k=0
ck sin(k + 1/2)x,
en algun sentido ¿Es sin (k + 1/2)x : k ≥ 0 una familia completa enL2(0, π)?
Para resolver este problema procedemos como con el metodo de reflexio-nes y de forma analoga a como probamos que las funciones asociadas a lasseries de cosenos y senos son familias completas en L2(0, π): si f denota laextension de f a toda la recta real como funcion impar respecto a x = 0 ypar respecto a x = π, f(2x) es periodica de periodo 2π y su serie de Fourier,se reduce a una serie de senos impares. Como f(x) = f(x2 ), resulta que fadmite un desarrollo con una serie de Fourier del tipo anterior con
ck =2
π
∫ π
0f(x) sin(k + 1/2)x dx
que convege a f en L2(0, π).
4.5. Ecuacion no homogenea
El metodo de separacion de variables requiere condiciones de contornohomogeneas. Si no lo son, podemos escoger una funcion v que cumpla lascondiciones de contorno del problema, restarla de u y resolver un nuevoproblema para w = u − v. Esto puede afectar al segundo miembro de laecuacion y a la condicion inicial.
4.5.1. Segundo miembro no nulo
Consideramos ahora el problema no homogeneout − uxx = F (x, t) , 0 < x < π , t > 0 ,
u(x, 0) = 0 , 0 < x < π ,
u(0, t) = u(π, t) = 0 , t > 0 .
63
que tambien se puede resolver por separacion de variables: imitamos el meto-do de variacion de las constantes (o de Duhamel) y se escribe u como unaserie de funciones de variables separadas con nuevas funciones de la variabletemporal t que multiplican a las soluciones del problema de Sturm-Liouvilleasociado al problema homogeneo; es decir, escribimos
u(x, t) =∞∑k=1
Tk(t) sin kx,
y se requiere que u cumpla la ecuacion y la condicion inicial (el metodoasegura las condiciones de contorno). Desarrollando F segun las mismasfunciones propias, podremos escribir
F (x, t) =∞∑k=1
Ck(t) sin kx
y las funciones Tk(t) se determinan como las soluciones de la ecuacion dife-rencial ordinaria
T ′k(t) + k2Tk(t) = Ck(t),
Tk(0) = 0,
que resolvemos por el metodo de variacion de las constantes.
4.6. Separacion de variables para la ecuacion deondas
Sea el problema de ondas en una cuerda finitautt − c2uxx = 0 , 0 < x < π , t > 0 ,
u(0, t) = u(π, t) = 0 , t > 0 ,
u(x, 0) = f(x) , 0 < x < π ,
ut(x, 0) = g(x) , 0 < x < π .
Buscamos soluciones de la forma X(x)T (t) que cumplan la ecuacion y lascondiciones de contorno, X(0) = X(π) = 0. Ası se llega al mismo problemade Sturm-Liouville que antes: los valores propios son k2, k ≥ 1 y las funcionespropias son sin kx. La ecuacion diferencial ordinaria para Tk con cada unode estos valores es
T ′′k (t) + c2k2Tk(t) = 0,
que tiene como solucion general, Tk(t) = A cos kct + B sin kct. Por tanto,una posible solucion se escribe como
u(x, t) =
∞∑k=1
(Ak cos kct+Bk sin kct) sin kx
64
y se determinan los coeficientes con las condiciones iniciales.Ası queda que
Ak =2
π
∫ π
0f(x) sin kx dx y ckBk =
2
π
∫ π
0g(x) sin kx dx.
En este caso es mas difıcil estudiar la convergencia de la serie a partir deltamano de los coeficientes. Se puede hacer indirectamente usando formulastrigonometricas y observando que la serie que representa a u es la que co-rresponde a la solucion construida utilizando por el metodo de d’Alemberto de las caracterısticas.
Las variantes con distinto tipo de condiciones de contorno o con segundomiembro a la derecha son como en el caso de la ecuacion del calor. Enparticular, para resolver el problema no homogeneo
utt − c2uxx = F (x, t) , 0 < x < π , t > 0 ,
u(0, t) = u(π, t) = 0 , t > 0 ,
u(x, 0) = 0 , 0 < x < π ,
ut(x, 0) = 0 , 0 < x < π,
(4.14)
y en analogıa con el metodo de variacion de las constantes o de Duhamel,intentamos escribir la solucion de (4.14) como
u(x, t) =
∞∑k=1
Tk(t) sin kx. (4.15)
Sustituyendo en la ecuacion y si F (x, t) =∑∞
k=1Ck(t) sin kx, se debe verifi-car que
T ′′k (t) + c2k2Tk(t) = Ck(t),
Tk(0) = T ′k(0) = 0,
para todo k ≥ 1. Como conocemos las soluciones de la ecuacion homogenea,por el metodo de variacion de las constantes escribimos Tk(t) como
Ak(t) cos kct+Bk(t) sin kct,
donde las funciones Ak y Bk verificaranA′k(t) cos kct+B′k(t) sin kct = 0,
−A′k(t) sin kct+B′k(t) cos kct = Ck(t)/kc,
Ak(0) = Bk(0) = 0,
(4.16)
si k ≥ 1.Las ecuaciones (4.16) implican formalmente que u es solucion de (4.14).
El analisis de la convergencia de la serie (4.15) y de la serie de sus derivadasparciales se puede hacer con el criterio de Weierstrass para la convergenciauniforme de series de funciones.
65
4.7. Separacion de variables en otros dominios
Si Ω es un abierto acotado de Rn con frontera regular y queremos resolver4u− ∂tu = 0, en Ω× (0,+∞),
u = 0, en ∂Ω× [0,+∞),
u(x, 0) = f(x), en Ω,
(4.17)
podemos empezar por buscar soluciones de variables separadas, X(x)T(t),que cumplan las condiciones de contorno. Esto da lugar a encontrar los λ ∈ Rtal que existe una solucion no nula de
4X + λX = 0, en Ω,
X = 0, en ∂Ω,
y e−λtX es una tal solucion. Es conocido que la solucion al problema deSturm-Liouville es una familia numerable ek de funciones en C∞(Ω) queverifican
4ek + λ2kek = 0, en Ω,
ek = 0, en ∂Ω,k = 1, 2, . . .
donde0 < λ1 < λ2 ≤ λ3 ≤ . . . λk ≤ . . . , lım
k→+∞λk = +∞,
y que ek es un sistema completo en L2(Ω). Estas funciones se denominanlas autofunciones del operador de Laplace en Ω con condiciones de Dirichletnulas. Ası podemos construir la solucion como
u(x, t) =+∞∑k=1
ake−λ2ktek, si ak =
∫Ωfek dx.
El problema4v − ∂2
t v = 0, en Ω× (0,+∞),
v = 0, en ∂Ω× [0,+∞),
v(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x) en Ω,
(4.18)
se resuelve escribiendo
v(x, t) =+∞∑k=1
(ak cosλkt+ bk
λksinλkt
)ek,
con
ak =
∫Ωfek dx y bk =
∫Ωgek dx.
66
Capıtulo 5
La ecuacion del potencial enel plano
5.1. Los problemas de Dirichlet y Neumann.
• En fısica aparecen campos incompresibles (conservativos) e irrotacio-nales: campos magneticos, flujos de temperatura, velocidades de fluidos, etc.Si V = Pi+Qj es un tal campo en Ω ⊂ R2, lo anterior corresponde respec-tivamente a que su divergencia y rotacional
∇ · V = ∂xP + ∂yQ , ∇× V = (∂xQ− ∂yP )k,
sean nulos en Ω. Un campo irrotacional es el gradiente de una funcion u :Ω ⊂ R2 −→ R, V = ∇u, que es unica excepto por contantes y que sedenomina el potencial del campo V . Como
∇ · V = ∇ · (∇u) = 4u = 0, en Ω,
el potencial es una funcion armonica.En general se pueden hacer mediciones de V en la frontera de Ω y conocer
la componente normal de V (V ·ν) o su componente tangential (V · t) en ∂Ω,donde ν y t son los vectores normal y tangencial unitarios a ∂Ω. Esto equivalea conocer la derivada normal de u en ∂Ω (V ·ν = ∇u ·ν) o los valores de u en∂Ω. Para entender el segundo caso, si u ∈ C1(Ω) y ∂Ω = σ(t) : t ∈ [0, 1],donde σ : [0, 1] −→ R2 es una parametrizacion periodica del borde de Ω, severifica que
u(σ(t)) = u(σ(0)) +
∫ t
0∇u(σ(τ)) · σ(τ) dτ
= u(σ(0)) +
∫ t
0V (σ(τ)) · t(τ)|σ(τ)| dτ = u(σ(0)) +
∫γt
P dx+Qdy,
67
donde γt es el arco orientado en ∂Ω que conecta σ(0) con σ(t). Por tanto,los valores de V en Ω quedan determinados por el valor del gradiente decualquiera de las soluciones de los problemas,
4u1 = 0, en Ω,∂u1∂ν = h, en ∂Ω,
o
4u2 = 0, en Ω,
u2 = f, en ∂Ω,
donde h y f son las mediciones que se tengan de V en la frontera de Ω ysupuesto que los gradientes de las soluciones son unicos; es decir, que ambosproblemas tengan solucion “unica”. . .• El primer problema se llama problema de Neumann y el segundo de
Dirichlet y si Ω es acotado los dos tienen solucion unica en C2(Ω) ∩ C1(Ω).
Demostracion. Si u ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) es armonica en Ω y u o ∂u∂ν es cero en
∂Ω,∇ · (u∇u) = u4u+ |∇u|2 = |∇u|2
y por el teorema de la divergencia,∫Ω|∇u|2 dx =
∫Ω∇ · (u∇u) dx =
∫∂Ωu∂u∂ν dσ = 0.
• Si Ω es un dominio simplemente conexo y Ψ : B −→ Ω es la trans-formacion conforme de Riemann de la bola unidad B en Ω, las funcionesUi = ui Ψ, i = 1, 2, son armonicas en B y verifican
4U1 = 0, en B,∂U1∂ν = h Ψ|Ψ′|, en ∂B,
,
4U2 = 0, en B,
U2 = f Ψ, en ∂B.
Esto justifica que intentemos resolver el problema de Dirchlet en el cırculo4u = 0, en B,
u = f, en ∂B,(5.1)
y encontraremos una solucion u en C∞(B) ∩ C(B), si f ∈ C(∂B).Utilizando coordenadas polares (r, θ), f se convierte en una funcion con-
tinua y periodica de periodo 2π,
ϕ(θ) = f(cos θ, sin θ) y u(r, θ) = u(r cos θ, r sin θ),
tendra que estar en C∞([0, 1)× [−π, π])∩C([0, 1]× [−π, π]) y ser, junto consus derivadas parciales, periodica de periodo 2π para cada 0 ≤ r ≤ 1.
68
En la nuevas coordenadas, el problema de Dirichlet (5.1) se reduce aencontrar u ∈ C∞([0, 1)× [−π, π])∩C([0, 1]× [−π, π]), periodica de periodo2π y tal que
urr + 1rur + 1
r2uθθ = 0, en [−π, π]× [0, 1),
u(1, θ) = f(θ), en [−π, π].(5.2)
En estas coordenadas es posible resolver (5.2) por separacion de varia-bles. Las soluciones en variables separadas no nulas, R(r)Θ(θ), nos lleva alas ecuaciones
− r2R′′ + rR′
R=
Θ′′
Θ= −λ.
Ası tendremos el problema de Sturm-Liouville
Θ′′ + λΘ = 0, Θ y sus derivadas son periodicas de periodo 2π,
que equivale a encontrar los λ ∈ R tales queΘ′′ + λΘ = 0, en [−π, π],
Θ(−π) = Θ(π),Θ′(−π) = Θ′(π),(5.3)
tiene solutiones no nulas. Esto ocurre si λ = 0 con Θ ≡ 1 o λ = k2 yΘk = A cos kθ +B sin kθ, si k ≥ 1.
Demostracion. Si λ = 0, Θ = Aθ + B, con A, B en R y para ser periodicaA deber ser cero. Es decir, Θ0 = 1 es solucion con λ0 = 0. Si λ < 0,Θ = Ae
√−λ θ + Be−
√−λ θ y que Θ y Θ′ sean periodicas nos lleva al sistema
de ecuaciones A sinh (
√−λπ)−B sinh (
√−λπ) = 0,
A sinh (√−λπ) +B sinh (
√−λπ) = 0.
El determinante de la matriz de coeficientes del sistema anterior es
2 sinh2 (√−λπ) 6= 0,
y su unica solucion es A = B = 0. Si λ > 0, Θ = A cos (√λ θ) +B sin (
√λ θ)
y las condiciones de contorno implican queA cos (
√λπ) +B sin (
√λπ)B = A cos (
√λπ)−B sin (
√λπ)B,
−A sin (√λπ) +B cos (
√λπ)B = A sin (
√λπ) +B cos (
√λπ)B,
que tiene solucion no nula si sin (√λπ) = 0; es decir, para λk = k2, k ≥ 1 y
con Θk = Ak cos kθ +Bk sin kθ.
69
Resolvemos la EDO para R segun los valores hallados de λ
r2R′′
+ rR′ − λR = rd
dr
(rdR
dr
)− λR = 0.
La ecuacion es de tipo Euler y por el cambio de variables r = es, r ddr = dds ,
es equivalente ad2R
ds2− λR = 0.
Si λ = 0 tenemos que, R(r) = A log r+B y si λ = k2, R(r) = Ar−k+Brk.Para que u sea continua en 0 debemos eliminar las soluciones de variablesseparadas que no lo son, las asociadas a log r y r−k y con las restantesescribimos formalmente
u(r, θ) =a0
2+
∞∑k=1
rk(ak cos kθ + bk sin kθ). (5.4)
Si pedimos a u que cumpla la condicion de contorno, deducimos que ak y bkdeben ser los coeficientes de Fourier de f en L2(−π, π).• Lo que acabamos de hacer en coordenadas polares (r, θ) se recons-
truye en las coordenadas cartesianas (x, y) de la siguiente forma: primerorecordamos que
rk (cos kθ + i sin kθ) = (x+ iy)k = Pk(x, y) + iQk(x, y), si k ≥ 0,
donde Pk y Qk son polinomios armonicos homogeneos de grado k,
Pk(λx, λy) = λkPk(x, y), Qk(λx, λy) = λkQk(x, y), si λ > 0,
con coeficientes reales - unas funciones armonicas muy particulares - e in-tentamos escribir una posible solucion de (5.1) como
u(x, y) =a0
2+∞∑k=1
akPk(x, y) + bkQk(x, y).
Los polinomios Pk y Qk se pueden encontrar en las coordenadas origina-les planteandose el problema de buscar todos los polinomios armonicos ho-mogeneos de grado k ≥ 1 en dos variables,
P (x, y) =
k∑j=0
ajxjyk−j .
Al imponer la condicion ∆P = 0, se verifica que necesariamente
P = aPk + bQk, con a, b ∈ R.
70
Regularidad
Si f ∈ L1(−π, π), los coeficientes ak y bk estan acotados y la serie con-verge absoluta y uniformemente en la bola B(0, 1− ρ), para todo 0 < ρ < 1y se puede derivar dentro de la suma tantas veces como se quiera: u esta enC∞(B) y 4u = 0 en el interior de B.
Demostracion. Por Weierstrass y la acotacion
|klrk(ak cos kθ + bk sin kθ)| ≤ Cl‖f‖L1(−π,π)(1− ρ2)k,
si r ≤ 1− ρ, k, l ≥ 0 y θ ∈ R.
Nucleo de Poisson
Sustituyendo ak y bk por su formula de calculo en (5.4) se verifica que
u(r, θ) =1
π
∫ π
−πf(φ)
[1
2+
∞∑k=1
rk cos k(θ − φ)
]dφ
=1
π
∫ π
−πf(φ)Pr(θ − φ) dφ,
donde
Pr(θ) =1
2+∞∑k=1
rk cos kθ =1− r2
2(1− 2r cos θ + r2)
es el nucleo de Poisson.
Demostracion. La formula anterior es consecuencia de la relacion trigo-nometrica
cos k(θ − φ) = cos kθ cos kφ+ sin kθ sin kφ,
de las formulas para ak, bk, de que
[r2 + 1− 2r cos θ]∞∑1
rk cos kθ
=
∞∑1
[rk+2 + rk] cos kθ − rk+1[cos (k + 1)θ + cos (k − 1)θ]
=∞∑1
rk+2 cos kθ +∞∑1
rk cos kθ −∞∑2
rk cos kθ −∞∑0
rk+2 cos kθ
= r cos θ − r2,
de donde se deduce que
∞∑1
rk cos kθ =r cos θ − r2
r2 + 1− 2r cos θ
y de sumar 1/2 a la suma infinita anterior.
71
Si x = (x1, x2), x1 = r cos θ, x2 = r sin θ y si |y| = 1, y = (cosφ, sinφ),la longitud de arco en ∂B es dσ = dφ y
1− r2
1− 2r cos (θ − φ) + r2=
1− |x|2
|x− y|2,
de donde
u(x) =1
2π
∫∂B
1− |x|2
|x− y|2f(y) dσ(y). (5.5)
Si en el razonamiento anterior hacemos f ≡ 1, como el desarrollo en seriede Fourier de la funcion constante 1 es trivial, sale que u ≡ 1; es decir,
1
2π
∫∂B
1− |x|2
|x− y|2dσ(y) = 1, si |x| < 1.
Continuidad hasta el borde
Hemos visto que u ∈ C∞(B), si f ∈ L1(∂B). Si ademas f ∈ C(∂B),entonces u ∈ C(B) y u = f en ∂B.
Demostracion. Si y0 ∈ ∂B y ε > 0, existe δ > 0 tal que |f(y) − f(y0)| < ε,si |y − y0| < δ, |y| = 1. Entonces,
u(x)− u(y0) =1
2π
∫∂B
1− |x|2
|x− y|2(f(y)− f(y0)) dσ(y)
=1
2π
∫∂B∩Bδ(y0)
1− |x|2
|x− y|2(f(y)− f(y0)) dσ(y)
+1
2π
∫∂B\Bδ(y0)
1− |x|2
|x− y|2(f(y)− f(y0)) dσ(y).
La primera integral es menor que ε. La segunda, esta acotada por
2‖f‖L∞(∂B)1− |x|2
(δ/2)2, si |x| ≤ δ/2
y tiende a cero, si x ∈ B se acerca a y0.
Cırculo de radio R
Si x0 ∈ R2, R > 0 y ϕ ∈ C(∂BR(x0)). Una funcion u en C2(BR(x0)) ∩C(BR(x0)) es solucion del problema de Dirichlet
4u = 0, en BR(x0),
u = ϕ, en ∂BR(x0),(5.6)
si v(ξ) = u(x0 + Rξ) es solucion en C2(B) ∩ C(B) de (5.1) con f(ξ) =ϕ(x0 +Rξ). Para el cırculo unidad sabemos como construir una solucion de
72
(5.5) y deshaciendo el cambio de variables, obtenemos una solucion de (5.6).De (5.5),
u(x0 +Rξ) =1
2π
∫∂B
1− |ξ|2
|ξ − y|2ϕ(x0 +Ry) dσ(y), si |ξ| < 1.
y escribiendo x = x0 +Rξ,
u(x) =1
2π
∫∂B
R2 − |x− x0|2
|x− (x0 +Ry)|2ϕ(x0 +Ry) dσ(y), si |x− x0| < R.
Finalmente, parametrizando ∂B como y = eiθ, −π ≤ θ ≤ π, x0 + Reiθ esuna parametrizacion de ∂BR(x0) y
u(x) =1
2πR
∫∂BR(x0)
R2 − |x− x0|2
|x− y|2ϕ(y) dσ(y), si |x− x0| < R, (5.7)
es una solucion de (5.6) que hemos construido utilizando el metodo se sepa-racion y cambios de variables.
Algunas propiedades de esta solucion.
La solucion (5.7) verifica las siguientes propiedades:
•Principio del maximo y del mınimo.
mın∂BR(x0)
f ≤ u(x) ≤ max∂BR(x0)
f, si x ∈ BR(x0).
Demostracion. Observad que
1
2πR
∫∂BR(x0)
R2 − |x− x0|2
|x− y|2dσ(y) = 1, si |x− x0| < R.
•Propiedad del valor medio.
u(x0) =1
2πR
∫∂BR(x0)
f dσ.
Demostracion. Haced x = x0 en (5.7).
•Desigualdad de Harnack. Si u ≥ 0 en BR(x0); es decir, si ϕ ≥ 0 en ∂BR(x0),entonces
R− |x− x0|R+ |x− x0|
u(x0) ≤ u(x) ≤ R+ |x− x0|R− |x− x0|
u(x0), (5.8)
para todo x ∈ BR(x0). Ademas,
supBR/2(x0)
u ≤ 9 ınfBR/2(x0)
u.
73
Demostracion. Observad que
R− |x− x0|R+ |x− x0|
≤ R2 − |x− x0|2
|x− y|2≤ R+ |x− x0|R− |x− x0|
,
si x ∈ BR(x0) e y ∈ ∂BR(x0). Para la segunda desigualdad, utilizad (5.7) yque
R+ |x− x0|R− |x− x0|
≤ 3,R− |x− x0|R+ |x− x0|
≥ 1
3,
si x ∈ BR2
(x0) e y ∈ ∂BR(x0).
5.2. Principio del maximo
Teorema 16 (Principio del maximo debil). Sea Ω un abierto acotado delplano y u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω). Si 4u ≥ 0 en Ω, entonces
maxΩ
u = max∂Ω
u.
Demostracion. Si 4u > 0 en Ω y u alcanza su maximo en Ω en algun x enΩ, la matriz Hessiana de u en x es semidefinida negativa y su traza 4u, esmenor o igual que 0. Si 4u ≥ 0, aplicar lo anterior a uε = u+ ε|x|2 y hacertender ε a cero.
El principio del maximo implica que el problema de Dirichlet para eloperador de Laplace tiene a lo mas una solucion u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω).
Teorema 17 (Propiedad del valor medio). Sea Ω un abierto del plano,u ∈ C2(Ω) armonica en Ω, x0 ∈ Ω y R > 0 tal que BR(x0) ⊂ Ω. Entonces,
u(x0) =1
2πR
∫∂BR(x0)
u(y) dσ.
Demostracion. Por la unicidad de solucion para problema de Dirichlet, ucoincide en BR(x0) con la solucion v construida en (5.7) para
4u = 0, en BR(x0),
v = u, en ∂BR(x0),
y esta verifica la propiedad del valor medio en BR(x0).
El recıproco tambien es cierto.
Teorema 18. Si u en C(Ω) cumple la propiedad del valor medio, entoncesu es C∞ en Ω y es armonica en Ω.
74
Demostracion. La funcion
ρ(x) =
Ne− 1
1−|x|2 , si |x| < 1,
0, si |x| ≥ 1,
es C∞ en R2, tiene integral igual a 1 si N se elige de forma adecuada. Sidefinimos
uε(x) =
∫Ωε−2ρ(x−yε )u(y) dy,
uε es C∞ en R2. Por la propiedad del valor medio e integracion en coorde-nadas polares,
uε(x) =
∫Bε(x)
ε−2ρ(x−yε )u(y) dy =
∫ ε
0
∫∂Br(x)
1
ε2ρ( rε )u(y) dσdr
= u(x)
∫ ε
0
2πrε2ρ( rε ) dr = u(x)
∫R2
ρ(y) dy = u(x),
si d(x, ∂Ω) > ε. Por tanto, u es C∞ en Ω. Para ver que u es armonica en Ω,desarrollamos por Taylor hasta orden 2 alrededor de x en Ω,
u(y) = u(x) +∇u(x) · (y − x) + 12D
2u(x)(y − x) · (y − x) +O(|y − x|3),
y como
12πr
∫∂Br(x)
(yi − xi) dσ = 0 , 12πr
∫∂Br(x)
(yi − xi)(yj − xj) dσ =r2δij
2 ,
si i, j = 1, . . . , n, tendremos que
u(x) = 12πr
∫∂Br(x)
u(y) dσ = u(x) + r2
4 4u(x) +O(r3);
es decir,0 = 1
44u(x) +O(r),
y hacemos r tender hacia 0.
Teorema 19 (Principio del maximo fuerte). Sea Ω es un abierto conexo enel plano y u en C2(Ω) ∩ C(Ω) una funcion armonica en Ω. Si u alcanza enΩ un maximo o mınimo global, entonces u es constante en Ω.
Demostracion. Sea M el valor del maximo de u en Ω. Entonces,
H = x ∈ Ω : u(x) = M
es no vacıo, cerrado y por la propiedad del valor medio tambien es abiertoen Ω: si y ∈ H
M = u(y) =1
2πR
∫∂BR(y)
u(x) dσ ,
∫∂BR(y)
(M − u(x)) dσ = 0,
si R < d(y, ∂Ω). Pero M − u ≥ 0 en Ω y concluimos que u ≡ M enB(y, d(y, ∂Ω)). Por tanto, H = Ω y u es constante en Ω.
75
Teorema 20 (Un teorema de tipo Liouville). Si u es armonica en R2 yacotada inferiormente (o superiormente), entonces u es constante en R2.
Demostracion. Podemos suponer que u ≥ 0 en R2. Entonces fijado R > 0,escribir la desigualdad de Harnack (5.8) para u en BR(0) y hacer tender Ra infinito. Ello implica que u(x) = u(0), para todo x en R2. Si u ≥ −M ,trabajar con u+M y si u ≤M , trabajar con M − u.
5.3. El problema no homogeneo en el cırculo
El problema no homogeneo4u = F, en B,
u = 0, en ∂B,
es equivalente en coordenadas polares a encontrar u(r, θ), periodica de pe-riodo 2π junto con sus derivadas y tal que
urr + 1rur + 1
r2uθθ = F (r, θ), en [−π, π]× [0, 1),
u(1, θ) = 0, en [−π, π],
si F (r, θ) = F (r cos θ, r sin θ). Escribimos la posible solucion como
u(r, θ) =a0(r)
2+∞∑k=1
ak(r) cos kθ + bk(r) sin kθ.
Esta funcion sera solucion del problema no homogeneo sia′′k + 1
ra′k + k2
r2ak = Fk(r), en [0, 1), k ≥ 0
b′′k + 1r b′k + k2
r2bk = Gk(r), en [0, 1), k ≥ 1
ak(1) = bk(1) = 0,
ak, bk son acotadas en [0, 1],
(5.9)
y
F (r, θ) =F0(r)
2+
∞∑k=1
Fk(r) cos kθ +Gk(r) sin kθ.
Las ecuaciones (5.9) se resuelven por el metodo de variacion de las constan-tes.
5.4. El problema de Dirichlet en otros dominioscirculares
Tambien se pueden resolver por separacion de variables otros problemasasociados al Laplaciano si se trabaja en coordenadas polares y sobre domi-nios como un anillo, el exterior de un cırculo o en regiones limitadas por
76
conos. En el caso de un anillo o del exterior de un cırculo se plantea losproblemas de encontrar u de clase C2 en BR2 \ BR1 , 0 < R1 < R2 < ∞,continua en la clausura de BR2 \BR1 y tal que
4u = 0, en BR2 \BR1 ,
u = f2, en ∂BR2 ,
u = f1, en ∂BR1 ,
o de encontrar u de clase C2 en Rn \ BR, R > 0, continua y acotada enRn \BR y tal que
4u = 0, en Rn \BR,
u = f, en ∂BR.
En coordenadas polares los problems son respectivamente equivalentes aencontrar u de clase C2 en (R1, R2)× [−π, π], periodica de periodo 2π juntocon sus derivadas, continua en [R1, R2]× [−π, π] y tal que
urr + 1rur + 1
r2uθθ = 0, en (R1, R2)× [−π, π],
u(R2, θ) = ϕ2(θ) = f2(R2 cos θ,R2 sin θ), en [−π, π],
u(R1, θ) = ϕ1(θ) = f1(R1 cos θ,R1 sin θ), en [−π, π],
o de encontrar u de clase C2 en (R,+∞)× [−π, π], periodica de periodo 2πjunto con sus derivadas, continua y acotada en [R,+∞)× [−π, π] y tal que
urr + 1rur + 1
r2uθθ = 0, en (R,+∞)× [−π, π],
u(R, θ) = ϕ(θ) = f(R cos θ,R sin θ), en [−π, π].
En el primer caso, lo razonable es escribir u como
u(r, θ) =1
2(a0 + b0 log r) +
+∞∑k=1
(r
R2
)k(ak cos kθ + bk sin kθ)
+
+∞∑k=1
(R1
r
)k(dk cos kθ + ck sin kθ) , (5.10)
donde los coeficientes ak, bk, dk y ck se determinan por comparacion deseries de Fourier e imponiendo que u(R1, θ) = ϕ1(θ), u2(R2, θ) = ϕ2(z). Enel segundo, descartamos las soluciones de variables separadas que no sonacotadas en (R,+∞)× [−π, π] y escribimos u como
u(r, θ) =a0
2+∞∑k=1
(R
r
)k(ak cos kθ + bk sin kθ), (5.11)
donde ak y bk son los coeficientes de Fourier de ϕ.
77
Con un analisis similar al que hemos hecho con la solucion generadapor separacion de variables para el problema de Dirichlet en el interior deuna bola, se puede mostrar que las soluciones (5.10) y (5.11) son continuasy acotadas en la clausura de sus dominios cuando sus datos fronteras soncontinuos en la frontera del dominio.
El problema de Dirichlet en el exterior de una bola BR tiene a lo mas unasolucion en la clase de funciones C2(R2 \BR)∩C(R2 \BR)∩L∞(R2 \BR):basta con considerar
uε = ± u− ε log rR ,
aplicar el principio del maximo debil a uε en BR′ \ BR, donde R′ > R seelige grande para que uε ≤ 0 en ∂BR′ y despues se hace tender ε a cero paraconcluir que
± u(x) ≤ ∓ max∂BR
u, si x ∈ R2 \BR.
La condicion de estar en L∞(R2 \ BR) es necesaria para la unicidad,pues u = logR − log r es armonica en R2 \ BR, u = 0 en ∂BR y u no esidenticamente nula.
Tambien se puede usar separacion de variables para resolver el problemade Dirichlet en la region limitada por las rectas θ = α, θ = β y la circun-ferencia r = R y con datos de Dirichlet nulos en los lados rectilıneos delcono:
urr + 1r ur + 1
r2uθθ = 0, 0 < r < R, α < θ < β,
u(r, α) = u(r, β) = 0, 0 ≤ r < 1,
u(1, θ) = f(θ) α ≤ θ ≤ β.(5.12)
Las soluciones en variables separadas no nulas, R(r)Θ(θ), nos lleva a lasecuaciones
− r2R′′ + rR′
R=
Θ′′
Θ= −λ
y a buscar los λ ∈ R tales queΘ′′ + λΘ = 0, en (α, β),
Θ(α) = Θ(β) = 0,
tiene solucion no nula. La solucion son numeros positivos
λ21 < λ2
2 < . . . < λ2k . . .
con soluciones asociadas Θ1,Θ2, . . . ,Θk . . . que forman un sistema completoen L2(α, β). Las soluciones de variables separadas acotadas son rλkΘk y lasolucion de (5.12) se escribe como
u(r, θ) =+∞∑k=1
ak (r/R)λk Θk.
78
La separacion de variables tambien se puede utilizar para resolver elproblema de Dirichlet en un anillo limitado por un cono (θ = α y θ = β)y la circunferencias r = R1 y r = R2, 0 ≤ R1 < R2 ≤ ∞, con datos deDirichlet nulos en los lados rectilıneos del cono y dos funciones dadas sobrelos arcos de las circunferencias dentro del cono. En este caso las solucionesde variables separadas son r±λkΘk y la solucion se puede escribir como
u(r, θ) =
+∞∑k=1
ak (R1/r)λk Θk + bk (r/R2)λk Θk.
5.5. El Problema de Neumann
Queremos encontrar u ∈ C∞(B) ∩ C1(B) tal que4u = 0, en B,∂u∂ν = f, en ∂B,
si f ∈ C(∂B). Todo es como en el problema de Dirichlet hasta que llegamos a(5.4). En ∂B el vector normal exterior es (x, y)/r y ∂u
∂ν = ∂u∂r y por separacion
de variables, escribimos la posible solucion como
u(r, θ) =a0
2+
∞∑k=1
rk(ak cos kθ + bk sin kθ).
La condicion de contorno de tipo Neumann obliga a que
∞∑k=1
k(ak sin kθ + bk cos kθ) = f(θ),
que solo tiene solucion si ∫∂Bf dσ = 0.
Si esto se cumple, kak y kbk deben ser los coeficientes de Fourier de f y lasolucion queda determinada excepto por la constante a0.
La condicion de integral nula para f es necesaria para la existencia desolucion. En efecto, por el teorema de la divergencia∫
B4u dx =
∫∂B
∂u
∂νdσ.
5.6. La ecuacion del potencial en un rectangulo
El problema de Dirichlet en el rectangulo Ω = [0, a] × [0, b] para laecuacion de Laplace
uxx + uyy = 0, en Ω,
u = ϕ, en ∂Ω,(5.13)
79
con ϕ en C(∂Ω), se reduce a resolver los problemas,vxx + vyy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b,
v(0, y) = v(a, y) = 0, 0 < y < b,
v(x, 0) = f1(x), v(x, b) = f2(x), 0 < x < a,
(5.14)
wxx + wyy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b,
w(0, y) = f3(y), w(a, y) = f4(y), 0 < y < b,
w(x, 0) = 0, w(x, b) = 0, 0 < x < a.
(5.15)
y a sumar sus respectivas soluciones, u = v + w.Para resolver (5.14) buscamos soluciones no nulas de variables separadas,
X(x)Y (y), que verifiquen la ecuacion y las condiciones de Dirichlet en loslaterales verticales del rectangulo:
XX = − Y
Y = −λ, para (x, y) en (0, a)× (0, b),
X(0) = X(a) = 0,
para algun λ ∈ R.El problema de Sturm-Liouville es como los del capıtulo anterior: los
valores propios son λ = (kπ/a)2, k ≥ 1 y las funciones propias asociadas,multiplos de sin (kπx/a). La EDO para Y con estos valores propios tienepor solucion general
A cosh
(kπy
a
)+B sinh
(kπy
a
)y la solucion del problema se puede escribir como
v(x, y) =
∞∑k=1
[Ak cosh
(kπy
a
)+Bk sinh
(kπy
a
)]sin
(kπx
a
).
Sustituyendo y por 0 y b e igualando a f1(x) y f2(x) respectivamente,se determinan los coeficientes por comparacion de series Fourier. Para de-terminar Ak y Bk, hay que resolver un sistema lineal de dos ecuaciones condos incognitas, para cada k ≥ 1.
El problema (5.13) se resuelve descomponiendo ϕ en suma de dos funcio-nes que con valores frontera no nulos en los lados opuestos del rectangulo Ω,resolviendo el analogo del problema (5.14) cambiando los lados horizontalesdel cuadrado por los verticales; es decir, el (5.15) y escribiendo la solucionde (5.13) como u = v + w.
Para el problema no homogeneouxx + uyy = F, 0 < x < a, 0 < y < b,
u(0, y) = u(a, y) = 0, 0 < y < b,
u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0, 0 < x < a,
80
escribimos una posible solucion como
u(x, y) =
+∞∑k=1
Yk(y) sin
(kπx
a
),
donde las funciones Yk son las soluciones deY ′′k −
(kπa
)2Yk = Fk(y), 0 < y < b,
Yk(0) = Yk(b) = 0
y
F (x, y) =+∞∑k=0
Fk(y) sin
(kπx
a
), en [0, a]× [0, b],
es la serie de Fourier de F ( · , y) en [0, a].
El problema en un cilindro infinito
Se considera el problema siguiente: encontrar u acotada tal queuxx + uyy = 0, 0 < x < a, y > 0,
u(0, y) = u(a, y) = 0, y > 0,
u(x, 0) = f(x), 0 < x < a.
La primera parte es igual que en el caso anterior: para que la solucionsea acotada en el cilindro [0, a]× [0,+∞), excluimos ekπy/a y queda
u(x, y) =
∞∑k=1
Bke−kπy/a sin
(kπxa
). (5.16)
Los coeficientes Bk se determinan a partir de la serie de Fourier de f .
• La solucion es unica en la clase de funciones
C2((0, a)× (0,+∞)) ∩ C([0, a]× [0,+∞)) ∩ L∞([0, a]× [0,+∞)).
• Se puede comprobar que (5.16) verifica estas condiciones si f es conti-nua en [0, a] y f(0) = f(a).
5.7. La ecuacion del potencial en un semiplano
Consideramos el problemauxx + uyy = 0, x ∈ R, y > 0,
u(x, 0) = f(x), x ∈ R.(5.17)
81
• La ecuacion homogenea tiene soluciones no nulas que se anulan en lafrontera, u(x, y) = y, por lo que no hay unicidad sin condiciones adicionales.
El siguiente principio del maximo para el semiplano superior muestraque (5.17) tiene a lo mas una solucion u en C2(R2
+)∩C(R2+) que es acotada.
Teorema 21. Si u ∈ C2(R2+) ∩ C(R2
+) verifica u ≤M para algun M ≥ 0 y4u ≥ 0 en R2
+. Entonces,supR2+
u ≤ supRf.
Demostracion. Sean ΩT = BT (x0)× (0, T ), si T > 0, x0 ∈ R y
uT = u− 1
T32
(x− x0)2 +y
T32
(y − 2T ).
Se verifica que4uT ≥ 0, en ΩT
y por el principio del maximo debil para abiertos acotados
supΩT
uT ≤ sup∂ΩT
uT .
En la frontera lateral de ΩT , uT ≤ M −√T ≤ supR f , si T es grande.
En la superior, uT ≤M −√T ≤ supR f , si T es grande. Entonces,
uT (x0, y) = u(x0, y) + y
T32
(y − 2T ) ≤ supRf, si 0 ≤ y ≤ T
y hacemos T tender a +∞.
• Para resolver (5.17) buscamos soluciones autosemejantes: si u(x, y) esarmonica tambien lo es u(λx, λy) y si es homogenea, u(λx, λy) = λαu(x, y),para todo λ > 0,
u(x, y) = yαu
(x
y, 1
)= yαΦ
(x
y
), si y > 0.
Si tenemos una solucion, sus trasladadas en la variable x tambien sonsoluciones
yαΦ(y−1(x− z))
y usamos estas para escribir u como “suma” de soluciones
u(x, y) = yα∫ ∞−∞
Φ
(x− zy
)c(z) dz = yα+1
∫ ∞−∞
Φ(z)c(x− zy) dz, (5.18)
donde c(z) debe ser elegido para que se cumpla la condicion de contorno.• Para que el lımite cuando y tiende a cero en (5.18) no sea 0 o ∞
necesitamos que α sea −1 y que Φ sea integrable en R. Para que el lımite
82
sea f elegimos c = f , si Φ tiene integral igual a 1 en R. Para que el laplacianode (5.18) sea nulo, Φ debe verificar la EDO
(1 + s2)Φ′′(s)− 2(α− 1)sΦ′(s) + α(α− 1)Φ(s) = 0,
que cuando α = −1 es ((1 + s2)Φ
)′′= 0.
Las soluciones integrables de esta ecuacion son Φ(s) = N(1 + s2)−1 y laque tiene integral 1 corresponde a N = 1/π.
Ası obtenemos que un candidato a solucion de (5.17) es
u(x, y) =1
π
∫R
y
(x− z)2 + y2f(z) dz. (5.19)
Teorema 22. La funcion u definida por (5.19) esta en C∞(R2+)∩C(R2
+)∩L∞(R2
+), si f ∈ C(R) ∩ L∞(R) y es solucion de (5.17).
Demostracion. El nucleo
P (x, y) =1
π
y
x2 + y2= y−1Q(x/y), con Q(x) =
1
π
1
1 + x2,
verifica
|∂αx ∂βyP (x, y)| ≤ C(α, β, ε, R)
1 + x2, si x ∈ R, ε ≤ y ≤ R
y
|∂αx ∂βyP (x− z, y)| ≤ C(α, β, ε, R)
1 + z2, si |x| ≤ R, z ∈ R y ε ≤ y ≤ R,
que junto con el teorema de convergencia dominada muestra que u es regularpara y > 0.
Para acotar u, recordamos que
1
π
∫R
y
(x− z)2 + y2dz =
1
π
∫R
1
1 + z2dz = 1, si y > 0,
y
|u(x, y)| ≤ ‖f‖L∞(R)
(1
π
∫R
y
(x− z)2 + y2dz
)≤ ‖f‖L∞(R).
Para la continuidad de u en (x0, 0), dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que,|f(x)− f(x0)| ≤ ε, si |x− x0| ≤ δ. Entonces,
|u(x, y)− f(x0)| ≤∫Bδ(x0)
P (x− z, y)|f(z)− f(x0)| dz
+
∫R\Bδ(x0)
P (x− z, y)|f(z)− f(x0)| dz
≤ ε+ 2‖f‖L∞(R)
∫R\Bδ(x0)
P (x− z, y) dz.
83
Pero, P (x− z, y) ≤ NP (x0 − z, y), si |x− x0| ≤ δ2 , |z − x0| ≥ δ y∫
R\Bδ(x0)P (x− z, y) dz ≤ N
∫R\Bδ(x0)
P (x0 − z, y) dz = Nπ
∫|z|≥ δ
y
1
1 + z2dz,
que tiende a cero, si y desciende hacia 0.
• Si f es par o impar respecto a l, u( · , y) tambien es par o impar respectoa l para todo y > 0 y los problemas
uxx + uyy = 0, en (0,+∞)× (0,+∞),
u(0, y) = 0, en [0,+∞)
u(x, 0) = f(x), en [0,+∞),uxx + uyy = 0, en (0, a)× (0,+∞),
u(0, y) = u(a, y) = 0, en [0,+∞)
u(x, 0) = f(x), en [0, a],
se pueden resolver por el metodo de reflexiones.• La solucion de estos dos problemas es unica en la clase de funciones
que son C2 en el interior del dominio, continuas y acotadas en la clausura.• Cuando f verifica la condicion de compatibilidad que requieren los
dos ultimos problemas para que estos tengan una solucion continua en laclausura de sus dominios, la solucion generada por el metodo de reflexionesesta en la clase de unicidad (Aquı conviene repasar las ultimas lıneas de laseccion 5.6).
Demostracion. Suponemos que u y v son respectivamente soluciones aco-tadas de los problemas anteriores que verifican |u| ≤ M y |v| ≤ M en susdominios para algun M > 0, que son continuas en las clausuras de sus do-minios y que f ≡ 0 en ambos casos. Si uε = ±u − ε(x + y), uε es menor oigual que cero en las frontera izquierda, superior y derecha de (0, R)× (0, R)y por el Principio del maximo en (0, R)× (0, R),
sup(0,R)×(0,R)
uε ≤ 0, si R ≥ R(ε).
Si hacemos tender ε hacia cero, concluimos que ±u(x, y) ≤ 0, para todo(x, y) en el primer cuadrante.
En el caso de v, definimos vε = ±v− εy y procedemos de la misma formasustituyendo (0, R)× (0, R) por (0, a)× (0, R).
84
5.8. Separacion de variables en dominios planosrectangulares
Si queremos resolver∂tu−∆u = 0, en Ω× (0,+∞),
u(x, y, 0) = f(x, y), en Ω,
u = 0, en ∂Ω× (0,+∞),
por separaciUn de variables y con Ω = (0, π) × (0, π), ase comprueba quesin kx sin ly : k, l ≥ 1 es una familia completa en L2(Ω). En particular,ekl(x, y) = 2
π sin kx sin ly, k, l ≥ 1, son autofunciones del operadores deLaplace en Ω con condiciones de Dirichlet nulas; es decir,
∆ekl +(k2 + l2
)ekl = 0, en Ω,
ekl = 0, en ∂Ω,
y las soluciones u y v de las evoluciones (4.17) y (4.18) son respectivamente
u(x, y, t) =∑k,l≥0
akle−(k2+l2)t sin kx sin ly
y
v(x, y, t)
=∑k,l≥0
[akl cos
(√k2 + l2 t
)+
bkl√k2 + l2
sin(√
k2 + l2 t)]
sin kx sin ly,
donde akl y bkl son los coeficientes de Fourier de los datos iniciales en la basesin kx sin ly : k, l ≥ 1.
Que ekl : k, l ≥ 1 es una familia ortonormal completa en L2(Ω), se
deduce de que √
2π sin kx : k ≥ 1 es una familia ortonormal completa en
L2(0, π).
Demostracion. Los elementos de esta familia son ortogonales en L2(Ω) por-que∫
Ωek1l1ek2l2 dxdy =
(2
π
)2 ∫ π
0sin k1x sin k2x dx
∫ π
0sin l1x sin l2x dx = 0,
si (k1, l1) 6= (k2, l2), e igual a 1 si (k1, l1) = (k2, l2).Como sabemos, si ϕk : k ≥ 1 es una familia ortonormal en L2(Ω),
h esta en L2(Ω) y ak son los coeficientes de Fourier de h respecto a dichafamilia, se verifican la identidad y desigualdad de Bessel:
‖h−N∑k=1
akϕk‖2L2(Ω) = ‖h‖2L2(Ω) −N∑k=1
(∫Ωhϕk dx
)2
(5.20)
85
y
‖N∑k=1
akϕk‖L2(Ω) ≤ ‖h‖L2(Ω). (5.21)
Esto lo vimos en la demostracion de la desigualdad de Bessel para familiasortogonales y aquı os aconsejo comparar las formulas anteriores con (4.6) y(4.12). Si f esta en C(Ω), sabemos que
f(x, y) =√
2π
+∞∑k=1
ak(y) sin kx, en L2(0, π) ∩ C(Ω), para cada y ∈ (0, π),
con
ak(y) =√
2π
∫ π
0f(x, y) sin kx dx, si k ≥ 1
y por Parseval∫ π
0f(x, y)2 dx =
+∞∑k=1
ak(y)2 = 2π
+∞∑k=1
(∫ π
0f(x, y) sin kx dx
)2
, si 0 ≤ y ≤ π.
(5.22)Ademas, para cada k ≥ 1,∫ π
0f(x, y) sin kx dx =
√2π
+∞∑l=1
bkl sin ly, en L2(0, π) ∩ C([0, π]),
con
bkl =√
2π
∫ π
0
∫ π
0f(x, y) sin kx sin ly dxdy,
y ∫ π
0
(∫ π
0f(x, y) sin kx dx
)2
dy =
+∞∑l=1
b2kl
= 2π
+∞∑l=1
(√2π
∫ π
0
∫ π
0f(x, y) sin kx sin ly dxdy
)2
. (5.23)
Si integramos (5.22) respecto a dy en [0, π], el teorema de convergenciamonotona y (5.23) muestran que∫
Ωf2 dxdy =
4
π2
∑k,l≥1
(∫Ωf(x, y) sin kx sin ly dxdy
)2
.
Lo ultimo y la identidad de Bessel para la familia ekl : k, l ≥ 1, mues-tran que la serie de Fourier de f para ekl : k, l ≥ 1, converge hacia f enL2(Ω). En general, si f esta en L2(Ω), procedemos como en la demostracionde la identidad de Parseval-Plancherel para las series de Fourier clasicas, apartir de la desigualdad de Bessel (5.21) y utilizando que C(Ω) es denso enL2(Ω).
86