not6

2011-12 Bahar

Haberleşme Sistemleri 1-1

ELN 3402

Haberleşme SistemleriBahar 2011-12

Tuncay ERTAŞ

Ders Notları-6

Bölüm V Rastsal Süreçler

Ras

tsal

Sür

eçle

r • Temel Tanımlar• Durağan Süreçler• Ergodik Süreçler• Gauss Rastsal Süreci• Isıl Gürültü• Beyaz GürültüBeyaz Gürültü• Dar Bantlı Gürültü

2011-12 Bahar


Temel TanımlarÖrnek Uzayı

S

Ras

tsal

Sür

eçle

r

1. deney

2. deney

n. deney

Temel TanımlarHer deney sonucu zamana bağlı bir sinyaldir ve rastsal sürecin bir örnek fonksiyonu olarak isimlendirilir.

Ras

tsal

Sür

eçle

r Her deney sonucu bir nokta ile temsil edilir.

Noktaların oluşturduğu kümeye Örnek Uzayı denir.

Örnek uzayını oluşturan noktaların bütününe veya başka bir değişle mümkün örnek fonksiyonlarının tamamına Rastsal Süreç denir.

)()( stXtx rastsal sürecinin j örnek fonksiyonu)(tX),()( jj stXtx = rastsal sürecinin j. örnek fonksiyonu)(tX

)( ntX rastsal sürecinin tn anındaki değeri bir rastsal değişkendir.

)(tX

)( nj tx ise rastsal değişkenin aldığı bir değerdir.

2011-12 Bahar


Matematiksel TanımBir rastsal süreç, herhangi bir n değeri ve seçilen herhangi bir

için verilen birleşik olasılık yoğunluk kk Rttt ∈)......,,,( 21

Ras

tsal

Sür

eçle

r

ç ş y ğ

fonksiyonu ile tanımlanır.k ),,,( 21

),....,( 1)(),.......,( 1 ktXtX xxfk

Bütün ve için bir rastsal sürecin

birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu verilirse, rastsal süreç

M. mertebe istatistiği ile tanımlanmış olur.

Mk ≤ kk Rttt ∈)......,,,( 21

ğ ş

Haberleşme sistemlerinde M=2 yani ikinci mertebe istatistik ayrı bir öneme sahiptir.

DurağanlıkBir rastsal sürecin istatistiksel karakteri gözlem zamanının başlangıcına bağlı değilse, sürece durağan süreç denir.

Ras

tsal

Sür

eçle

r

),....,(),....,( 1)(),.....,(1)(),.....,( 11 ktXtXktXtX xxfxxfkk

=++ ττ

Katı Anlamda Durağan

Bütün , ve içink )......,,,( 21 kttt τ

Bu durum, bütün için sağlanırsa, sürece

M. mertebeden durağan denir.

Mk ≤

Her iki durumda da süreç zamandan bağımsızdır.

2011-12 Bahar


Geniş Anlamda Durağanlıkİkinci mertebeden durağan sürece, geniş anlamda durağansüreç denir. Yani,

Ras

tsal

Sür

eçle

r ),(),( 21)(),(21)(),( 1121xxfxxf tXtXtXtX τ+=

Sürecin 2. mertebe istatistiği gözlem anlarının gerçek değerlerine değil, sadece farkına ( ) bağlıdır.

Birinci mertebe istatistiği ise doğal olarak zamandan bağımsızdır.

τ=− 12 tt

Dolayısı ile aşağıdaki iki durum sağlanır:

)]([)( tXEtmX = ortalama zamandan bağımsız

)()(),( 1221 τXXX RttRttR =−= özilinti gözlem anlarının farkına bağlı

ÖrnekBir örnek fonksiyonunun gösterilen yarıklardan geçme olasılığı nedir?

Ras

tsal

Sür

eçle

r Bir örnek fonksiyonu

Birleşik olayının olasılığı, 3 ,2 ,1 },)({ =≤<= ibtXaA iii

),,(),,()( 321)(),(),(321)(),(),( 321321aaaFbbbFAP tXtXtXtXtXtX −=

Eğer süreç en az 3. mertebeden durağan ise, bu olasılık gözlem anlarının herhangi fakat aynı miktarda kaymış versiyonları için de aynıdır.

2011-12 Bahar


Örnekrastsal sürecini düşünelim.)cos()( Θ+= tfAtX cπ2

⎪⎨⎧ ≤≤

=Θ

- ,21

)(πθπ

πθfA ve sabit,evre ise rastsal değişkendir

cf

Ras

tsal

Sür

eçle

r

[ ][ ]

[ ] [ ]

∫ ΘΘ

+Θ++=

Θ+Θ++=

+=

π

τπτππ

πτππ

ττ

)()(

)cos()cos(

)cos()cos(

)()()(

ccc

ccc

X

fAdffA

fEAftfEA

tfftfAE

tXtXER

22241

22

2242

222

22

22

2

⎪⎩⎨Θ

diger 0, 2)( πθfevre ise rastsal değişkendir

∫− +ΘΘ++=π

τπτπππ

)cos()cos( ccc fAdftfA 22

22421

2

)2cos(2

)(2

τπτ cX fAR =0

Çapraz İlinti Fonksiyonu)(tX ve )(tY rastsal süreçlerinin çapraz ilinti fonksiyonu

[ ] [ ]

Ras

tsal

Sür

eçle

r [ ])()(),( uYtXEutRXY = [ ])()(),( uXtYEutRYX =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

),(),(),(),(

),(utRutRutRutR

utRYYX

XYX

ilinti matrisi ise

)(tX ve )(tY ayrı ayrı ve birleşik olarak durağan iseEğer )(tX ve )(tY ayrı ayrı ve birleşik olarak durağan ise,Eğer

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)()()()(

)(ττττ

τYYX

XYX

RRRR

R ut −=τ

2011-12 Bahar


Örnek)(1 tX ve )(1 tY rastsal süreçlerinin çapraz ilinti fonksiyonu

)cos()()( Θ+= tftXtX cπ21X(t) geniş anlamda durağan, X( ) d b ğ d dü ü[ ]20

Ras

tsal

Sür

eçle

r )sin()()( Θ+= tftXtX c

c

π22

1

[ ][ ][ ] [ ]

[ ])sin()sin()(

)sin()cos()()()sin()cos()()(

)()()(

τπτππτ

τπππττπππτ

ττ

cccX

ccc

ccc

fftfER

ftftfEtXtXEftftftXtXE

tXtXER

22241

222 222

2112

−Θ+−=

Θ+−Θ+−=

Θ+−Θ+−=

−=

X(t) den bağımsız de düzgün dağılımlı.

[ ]π2,0

[ ]

)sin()(

)()()(

τπτ cX

cccX

fR

fff

221

2

−=

0=τ için, [ ] 0 )()()0( 2112 == tXtXER

Bu, aynı anda gözlenirse, iki sürecin birbirine dik olduğu anlamına gelir.

olduğu görülür.

Ergodik Süreçler

Eğer bir sürecin zaman ve istatistiksel ortalaması birbirine eşit ise, o sürece ortalamada ergodik denir.

Ras

tsal

Sür

eçle

r

birbirine eşit ise, o sürece ortalamada ergodik denir.

Eğer bir sürecin zaman ve istatistiksel öz ilinti fonksiyonu birbirine eşit ise, o sürece öz ilintide ergodik denir.

Bi ü dik i k t l d d ğ d kBir süreç ergodik ise katı anlamda durağandır, ancak tersi doğru olmak zorunda değildir.

2011-12 Bahar


Spektral YoğunlukGüç Spektral Yoğunluğu ∫

∞

∞−−= ττπτ dfjRfS XX )exp()( 2)(

∫∞

Ras

tsal

Sür

eçle

r )cos()()( Θ+= tftXtY cπ2

)(tX geniş anlamda durağan ve

Θ ise de düzgündağılımlı bağımsız rastsal değişken.

[ ]π2,0

[ ][ ])cos()()cos()(

)()()(πτππτ

ττ

ccc

Y

tftXftftXEtYtYER

222 Θ+Θ+++=

+=

∫ ∞−= ffjfSR XX d2)( )exp()( τπτ

[ ] ∫∞

∞−= ffStXE X d 2 )()(

[ ][ ] [ ]

[ ]

)cos()(

)cos()cos()(

)cos()cos()()(

τπτ

τππτπτ

πτππτ

cX

cccX

ccc

ccc

fR

ftffER

tfftfEtXtXE

221

224221

222

=

Θ+++=

Θ+Θ+++=

[ ])()(41)( cXcXY ffSffSfS ++−=

Spektral YoğunlukÇapraz Spektral Yoğunluk

)(

Ras

tsal

Sür

eçle

r ve birleşik olarak geniş anlamda durağan iseler,)(tX )(tY

∫∞

∞−−= ττπτ d 2 )exp()()( fjRfS XYXY

∫∞

∞−−= ττπτ d 2 )exp()()( fjRfS YXYX

)()( ττ −= YXXY RR

)()()( * fSfSfS YXYXXY =−=

2011-12 Bahar


Örnekve geniş anlamda durağan ve ortalamaları sıfır ise,)(tX )(tY

)()()( tYtXtZ += sürecinin güç spektral yoğunluğu nedir?

Ras

tsal

Sür

eçle

r [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ]

),(),(),(),()()()()()()()()(

))()())(()(()()(),(

utRutRutRutRuYtYEuXtYEuYtXEuXtXE

uYuXtYtXEuZtZEutR

YYXXYX

Z

+++=+++=

++=

=

Durağanlık kabulü ile, )()()()()( τττττ YYXXYXZ RRRRR +++=

)()()()()( fSfSfSfSfS YYXXYXZ +++=

Gözlem: ve ilintisiz ise,)(tX )(tY 0)( =fSXY ve 0)( =fSYX

)()()( fSfSfS YXZ += olur.

Doğrusal Sistem İlişkileri

)()()( 2 fSfHfS XY =

Ras

tsal

Sür

eçle

r

)()()( fSfHfS XY

)0(Hmm XY =

)()()()( * fSfHfHfS XYVZ 21=

2011-12 Bahar


Bütün ve için

rastsal değişkenleri birleşik Gauss olasılık yoğunluk

Gauss Rastsal Sürecin )......,,,( 21 nttt )(),.....,(),( 21 ntXtXtX

Ras

tsal

Sür

eçle

r

rastsal değişkenleri birleşik Gauss olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip ise, bu sürece Gauss rastsal süreci denir.Gauss rastsal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−= 2

2

2)(exp

21)(

Y

Y

YY

myyfσσπ

0=mYm ortalama değer2Yσ varyans

0Ym12 =Yσ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2exp

21)(

2yyfY π

nin birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu ise sadece ortalama vektörü ve kovaryans

t i i t f d b li l i B ü d G t l

Gauss Rastsal Süreci)(),.....,(),( 21 ntXtXtX

Ras

tsal

Sür

eçle

r matrisi tarafından belirlenir. Bu yüzden Gauss rastsal sürecini tam olarak karakterize etmek için m(t) ve yeterlidir.

),( 21 ttRX

[ ] n, ......, , itXEm itX i21 ,)()( ==

{ } , ....., n, k, imtXmtXEttCik tXitXkikX 21 ,))()()((),( )()( =−−=

[ ]TntXtXtXX )()()( 21 L= [ ]

matrisiKovaryans,,....,,m 21

==

Cmmm T

n || C=Δ

( )( ) ( )( )mxmxexp

21)....,,( 1

21

2/12/1)(.....,),(),( 21−−−

Δ= −Cxxf T

nntXtXtX n π

2011-12 Bahar


Bir Gauss rastsal süreci doğrusal bir sistemden geçtiğinde sistem çıkışı da Gauss

Gauss Rastsal SüreciR

asts

al S

üreç

ler Gauss rastsal süreci için Geniş anlamda durağan ise katı

anlamda da durağandır.

∫∞

∞−∞<ττ dRX |)(| ise Gauss rastsal süreci Ergodiktir.

rastsal değişkenleri ilintisiz ise, yani)(........,),(),( 21 ntXtXtX

{ } ikmtXmtXEik tXitXk ≠=−− ,0))()()(( )()(

ise aynı zamanda birbirinden istatistiksel olarak birbirinden bağımsızdır.

Gauss Rastsal SüreciBağımsızlık durumunda,

⎤⎡ 2 0σ

Ras

tsal

Sür

eçle

r

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

22

1

0

0

n

C

σ

σσ

{ } n,...., , imtXEitXii 21 ,))(( 2)(

2 =−=σ

∏n

Birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu çarpım şeklinde ifade edilir.

∏=

=i

ix xffi

1

)()(xX

2011-12 Bahar


Isıl GürültüElektriksel gürültü, iletkenlerin içindeki elektronların ısı dolayısı ile rastgele hareketlerinden kaynaklanır.

Ras

tsal

Sür

eçle

r Bir direncin uçlarında Hz bant genişliğinde ölçülen ısıl gürültü geriliminin kare ortalaması

fΔ

( ) 22 volt4 fkTRVE TN Δ=

Bir dirençten aktarılan max gürültü güçü ise Watt.fkTΔ

023 /1038.1 KJoulek −×=

Boltzman sabiti

Elektronların çok sayıda olması ve hareketlerinin birbirinden bağımsız olması dolayısı ile, ısıl gürültü Geniş Anlamda Durağan, Ergodik ve Ortalaması Sıfır Beyaz bir Gauss rastsal sürecidir.

Beyaz GürültüHaberleşme sistemlerinin analizinde, gürültünün idealize edilmiş bir formu olan Beyaz Gürültü kullanılır.

Ras

tsal

Sür

eçle

r

2)( 0NfSW = )(

2)( 0 τδτ

NRW =

HzWattN /:][ 0

Alıcı eşdeğer sıcaklığı ile orantılı olarak, değerinde alıcı girişine taşınır. Alıcıyı gürültüsüz kabul ederek, alıcı girişinde sinyale ekleme yaparak kullanılır.

ekTN =0

2011-12 Bahar


Süzgeçlenmiş Beyaz GürültüOrtalama değeri sıfır, güç spektral yoğunluğu No/2 olan beyaz bir Gauss gürültüsü w0(t), bant genişliği B Hz olan bir ideal AGS den geçirilirse, gürültü GSY, ve öz ilinti fonksiyonu

Ras

tsal

Sür

eçle

r sırasıyla

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

<<=

Bf

BfBNfSN

,0

- ,2)(

0

)2(sinc

d )2exp(2

)(

0

0

τ

τπτ

BBN

ffjNRB

BN

=

= ∫−

Giriş Gauss dağılımlı, dolayısı ile çıkış gürültüsü de.Çıkış 2B örnek/sn hızında örneklenirse, alınan örnekler birbirinden bağımsız ve N(0,NoB) olur.

Süzgeçlenmiş Beyaz GürültüOrtalama değeri sıfır, güç spektral yoğunluğu No/2 olan beyaz bir Gauss gürültüsü w (t), bir RC AGS den geçirilirse, gürültü GSY, ve öz ilinti fonksiyonu sırasıyla

Ras

tsal

Sür

eçle

r

g , y y

( )fRCj

fHπ21

1+

=

( ) 20

)2(12

fRCNfSN π+

=

22 )2(2)exp(

faaaπ

τ+

⇔−

Beyaz gürültü

w(t)

Renkli gürültü

n(t)2)( 0N

fSW =

)( f

RCa /1=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

RCRCNRN

ττ exp)(

40

2011-12 Bahar


Örnekw(t)

∫T

dt0

[.] n (t)

( )

Burada w(t) ortalaması sıfır, güç spektral yoğunluğu No/2 beyaz gürültüsü, ve

Ras

tsal

Sür

eçle

r ( )tfT cπ2cos/2y g

1/T nin tam katıdır.cf

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= ∫ ∫

T T

ccn dtdttftwtftwT

E0 0

2122112 2cos)(2cos)(2 ππσ

{ } ( ) ( )∫ ∫=T T

ccn dtdttftftwtwET 0 0

2121212 2cos2cos)()(2 ππσ

{ } 0)( =tnE

( ) ( ) ( )∫ ∫=T T

ccWn dtdttftfttRT 0 0

2121212 2cos2cos,2 ππσ

( ) ( )210

21 2, ttNttRW −= δ ( ) ( ) ( )

( )2

2cos22

2cos2cos22

0

0

20

0 0212121

02

NdttfT

N

dtdttftfttT

N

T

c

T T

ccn

=⋅=

−⋅=

∫∫ ∫

π

ππδσ

Eşdeğer Gürültü Bant Genişliği

İdeal AGS

AGS1NP

Ras

tsal

Sür

eçle

r

İdeal AGS

AGS

w(t) güç spektral yoğunluğu No/2 olan beyaz gürültü iken yapacak olan ideal süzgecin bant genişliğine, o süzgecin eşdeğer gürültü bant genişliği denir.

İdealAGS 2NP

w(t)

21 NN PP =

∫∫∞∞

∞−==

0

220 )( )(21

dffHNdffHNP oN )0(202 BHNPN =

)0(

)(2

0

2

H

dffHB∫

∞

=

2011-12 Bahar


Dar Bantlı Gürültü)sin()()cos()()( tftntftntn cQcI ππ 22 −=

)(tnI ve nin ortalaması sıfırdır.)(tnQ

Ras

tsal

Sür

eçle

r

)(I )(tnQ

)(tn )(tnIGauss dağılımlı ise, ve birleşik olarak Gauss dağılımlıdır.)(tnQ

durağan ise, ve birleşik olarak durağandır.)(tn )(tnI )(tnQ

ve aynı GSY na sahiptir.)(tnI )(tnQ

⎩⎨⎧ ≤++−

==diger 0,

|| ),()()()(

BfffSffSfSfS cNcN

NN QI

ve ile aynı varyansa sahiptir)(tn)(tn )(tnve , ile aynı varyansa sahiptir.)(tn)(tnI )(tnQ

nin GSY, merkez frekansı etrafında simetrik ise, ve bağımsızdır.)(tn )(tnI )(tnQ

ve nin çapraz GSY tamamen sanaldır.)(tnI )(tnQ

[ ]⎩⎨⎧ ≤−−+

=−=diger 0,

|| ,)()()()(

BfffSffSjfSfS cNcN

NNNN IQQI

İdeal Dar Bantlı Beyaz Gürültü

[ ])exp()exp(

)exp()exp()(

τπτπτ

τπτπτ

cc

Bf

Bf

oBf

Bf

oN

fjfjBN

dffjNdffjNRc

c

c

c

22)sinc(2B

22

22

0 +−=

+= ∫∫+

−

+−

−−

Ras

tsal

Sür

eçle

r

[ ])

)p()p(τπτ c

cc

fBNfjfj

2cos()sinc(2B 2 )(

0

0

=

)sinc(2B 2 0 τττ BNRRQI NN == )()(

)(tnI ve nin öz ilinti fonksiyonu )(tnQ

2011-12 Bahar


Dar Bantlı Gürültünün Başka Bir TemsiliDar bantlı gürültü zarfı ve evresi cinsinden de temsil edilebilirler. Yani,

[ ])(cos)()( ttftrtn c Ψ+= π2

Ras

tsal

Sür

eçle

r

Burada n(t)’nin zarfı, ve ise evresidir. birbirinden bağımsız alçak geçiren iki rastsal sürecin birer örnek fonksiyonlarıdır. Bunların olasılık yoğunlukları

[ ])(cos)()( ttfttn cπ

)()()( 22 tntntr QI += ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

)()(

tan)(tntn

tI

Q1ψ

0)(2

≥⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ rr

R l i h

)()( tvetr ψ

0,2

exp)( 22 ≥⎟⎟⎠

⎜⎜⎝−= rrp

σσ

πψπ

ψ 20,21)( ≤≤=p

Rayleigh

Uniform

Sinüs + Dar Bantlı Gürültü)()cos()( tntfAtx c += π2

)2sin()()2cos()()( tftntftntn QI ππ −=

Ras

tsal

Sür

eçle

r

)()]([)( 22 tntnAtr QI ++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

= −

)()(

tan)( 1

tAtn

t Qψ

)2sin()()2cos()()( tftntftntn cQcI ππ

)2sin()()2cos()]([)( tftntftnAtx cQcI ππ −+=

Zarf

Evre

σAa =

⎥⎦

⎢⎣ + )(tnA I

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−= 202

22

2 2exp)(

σσσArIArrrp

Rice

not6

Documents