TEORIJA SLUTEORIJA SLUAJNIH AJNIH GREGREAKAAKA

Raun izravnanja 1

B.Boi

Graevinski fakultet Odsek za geodeziju i geoinformatiku

Teorija verovatnoePonovljena merenja iste veliine esto su razliitih vrednosti. Nesaglasnost (descrepancy) se definie kao algebarska razlika dva merenja iste veliine. Mala nesaglasnost je pokazatelj prisustva greaka malih po intenzitetu.

Verovatnoa nosti njegove pojave.

Ukoliko je broj pojave nekog dogaaja m a broj da se ne desi n, verovatnoa pojave iznosi p = m/(m+n), verovatnoa da se ne desi p = n/(m+n).

Verovatnoa moe poprimiti vrednosti od 0 do 1.

Sloen dogaaj (compound event) simultana pojava dva ili vie nezavisnih dogaaja. Na primer, sluajne greke merenja uglova i duina izazivaju greku zatvaranja poligona.Verovatnoa simultane pojave dva nezavisna dogaaja jednak je proizvodu njihovih verovatnoa, generalno, P=P1 x P2 x ...x Pn.

Poveanjem broja merenja n, prikaz veliina greaka, verovatnoa, sve vie dobija formu krive pravilnog zvonastog oblika koja nosi naziv kriva normalnog rasporeda greaka ili funkcija gustina verovatnoa sluajne promenljive normalnog rasporeda. Ukupna povrina svih vertikalnih pravougaonika (bars) jednaka je 1. Jednaina krive normalnog rasporeda ili funkcija gustine verovatnoa normalnog rasporeda glasi:

2

2

2x

e2

1)x(f pi

=sa f(x) funkcija gustina verovatnoa, e osnova prirodnih logaritama, x greka, - standardna greka.(1)

OSOBINE KRIVE NORMALNOG RASPOREDA

U izrazu (1), f(x) definie verovatnou pojave greke ija vrednost se nalazi u intervalu x i x+dx, gde je dx infinitezimalno mala vrednost.Veliina greke ekvivalentna je povrini segmenta koga definie kriva i granice intervala x i x+dx.

f(x)

x

1dxe1P 22

2x

==

pi

=

2

2

2x

2 e21x

dxdy

pi

Neka je y=f(x), diferencirajmo izraz (1) :

U (3) izraz u zagradi jednak je y, pa je :

(2)

(3)

yxdxdy

2= (4)

y

x

y=f(x)

V

e

r

o

v

a

t

n

o

a

p

o

j

a

v

e

y

dx- l +l

y

Veliina greke

Kriva normalnog rasporeda Sl.2Sl.1

Drugi izvod od (1) glasi:

222

2 ydxdyx

dxyd

= (5)

Zamenom (4) u (5) daje:

24

2

2

2 yyxdx

yd

=

Izraz (6) moe se pojednostaviti:

(6)

= 1xy

dxyd

2

2

22

2

(7)

Prvi izvod funkcije definie nagib. U (4) dy/dx=0 za x=0 ili y=0.To znai da je kriva paralelna sa x osom u centru krive za x=0 i asimptotski se pribliava x osi kada y tei nuli.

Takoe, drugi izvod funkcije definie promenu nagiba u nekoj taki. Naime prevojne take dobijaju se nalaenjem drugog izvoda i njegovim izjednaenjem sa 0. U (7) d2y/dx2=0 za x2/2 1=0, tj. prevojne take se nalaze za x =.

Kako je e0 = 1, za x=0 u (1), tada :

pi 21y =

predstavlja centralnu ordinatu za koju se moe rei da je inverzno proporcionalna sa . Shodno (8) grupa merenja koja poseduje malu vrednost imae znaajnu vrednost ordinate.Tada e povrina koju okviruje kriva biti koncentrisana oko srednje ordinate, tj. greke e biti male, to ukazuje da se radi o preciznim merenjima. Kako ukazuje na odnos preciznosti, to se ista mera koristi za ocenu preciznosti rezultata merenja.

(8)

FUNKCIJA STANDARDIZOVANOG NORMALNOG RASPOREDA

Na osnovu (1) funkcija nomalnog rasporeda glasi:

=

t2x

x dxe21)t(F 2

2

pi(9)

gde je t gornja granica integracije. Osenena povr na slici desno predstavlja verovatnou pojave sluajne promenljive koja se dobija integracijom (9). S obzirom da (1) nije direktno pogodno za raunanje, primenom metoda numerike integracije formiraju se tablice vrednosti funkcije. Za tu namenu, funkcija (9) se transformie uz uslove =0 i =1. Na taj nain izvrena je standardizacija i dobijena je funkcija standardizovanog normalnog rasporeda i tabela vrednosti funkcije standardizovanog rasporeda. Na osnovu podataka iz tabele moe se odrediti funkcija rasporeda za bilo koje i varijansu 2. Na primer, ukoliko je y sluajna promenljiva sa normalnim rasporedom i parametrima i 2, moe se definisati ekvivalentna promenljiva normalnog rasporeda z=(y- )/ sa =0 i 2=1. Zamenom =0 i 2=1 u (1) funkcija gustinestandardizovane sluajne promenljive glasi:

x

t-

2z

z

2

e21)z(N =pi

a funkcija rasporeda, poznata kao funkcija rasporeda standardizovane sluajne promenljive izgleda:

(10)

dze21)z(N t 2

z

z

2

=

pi(11)

Sl.3

Za bilo koji skup merenja normalnog rasporeda, verovatnoa pojave sluajne promenljive moe se sraunati integracijom funkcije rasporeda. Naime, povrina koju definie kriva reprezentuje verovatnou. Naka je z promenljiva sluajnog rasporeda, verovatnoa da je z manje od neke vrednosti t oznaava se kao:

)t(N)tz(P z=< (12)Da bi odredili povrinu (verovatnou) izmeu t vrednosti a i b, neophodno je sraunati razliku povrina koje se odnose na granice b i a.Prema (12) povrina od - do b jednaka je

x

a b

)b(N)bz(P z=