non-attacking chess pieces (sixth edition)

1

Non-attacking chess pieces

6th

edition

Vclav Kotovec

Neohroujc se kameny

2

Non-attacking chess pieces (chess and mathematics)

This book is devoted to the question of the number of arrangements

of non-attacking chess pieces of the same kind on chessboards of

various sizes and types.

The best-known example is the n-Queens problem, but this

publication has a much wider range and includes other chess

pieces (kings, rooks, bishops, knights) and many fairy pieces.

Even though the book is about chess and each problem can be

placed among chess-mathematical problems, it will be more

readily understandable by mathematicians than by chess players or

composers. A partial knowledge of linear algebra, difference

equations, generating functions and power series is necessary.

New in the sixth edition:

For pieces Rookhopper and Bishophopper (include number of stalemate positions!) see new chapters 9.9

For maximal number of non-attacking riders [r,s], see updated chapter 14.1

New formulas for semi-knights and generally for semi-leapers, see new chapter 5.1.2

Enhanced table of entropy constants, see page 69

New recurrence for bishops on an toroidal chessboard n x n if n is even, see page 280

Both constants in the asymptotic formula for composite pieces semi-Rook + semi-Bishop are now in closed form!,

see page 717

Formula for 10 non-attacking kings on an n x n chessboard, see updated chapter 2.1

3

Neohroujc se kameny (ach a matematika) Kniha je vnovna problematice potu rozmstn neohroujcch

se kamen stejnch hodnot na rznch velikostech a typech

achovnic. Nejznmj z tchto problm je tzv. problm n dam

(n-Queens problem), kter e poet rozmstn n neohroujcch

se dam na achovnici n x n. O tomto problmu byla napsna ji

spousta lnk a zkladn informace a pehled link je mono

nalzt na moj internetov strnce. Tato publikace m vak

mnohem ir zbr a vnuje se rznm typm kamen i achovnic.

I kdy se tato kniha zabv achovou problematikou a kad

problm lze zaadit mezi achov-matematick lohy, publikaci

budou asi vce rozumt matematici ne achist. Pochopen

nkterch st vyaduje aspo sten znalosti z linern algebry,

teorie diferennch rovnic, vytvoujcch funkc a mocninnch ad.

Vtina v knize uvedench sekvenc (vetn vzorc) byla postupn

publikovna i v On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (dle

jen OEIS, kterou spravuje Neil J. A. Sloane, resp. jeho nadace).

Doplnil jsem proto vdy i sla tchto sekvenc v OEIS vetn

pslunch odkaz.

Vzhledem k tomu, e v knize jsou destky velmi dlouhch vzorc,

z nich nkter by se nemly lmat pes jeden dek, zvolil jsem

mn obvykl formt strnek otoench naleato (kter je

vhodnj pro ten na monitoru).

Praha, 2.2.2013 Vclav Kotovec

V estm vydn jsou

nov kameny vov a stelcov cvrek (vetn potu monch patovch pozic!), viz kapitoly 9.9

maximln poty nenapadajcch se liniovch kamen [r,s], viz aktualizovan kapitola 14.1

nov vzorce pro semi-jezdce a obecn semi-skokany (semi-leapers), viz nov kapitola 5.1.2

rozena tabulka entropy konstant, viz str. 69

nov rekurence pro stelce na prstencov achovnici sudch rozmr, viz str. 280

ob konstanty v asymptotickm vzorci pro kombinovan kameny semi-v + semi-stelec jsou nyn i v symbolickm

tvaru, viz str. 717

vzorec pro 10 nenapadajcch se krl na normln achovnici n x n, viz aktualizovan kapitola 2.1

http://web.telecom.cz/vaclav.kotesovechttp://oeis.org/

4

Previous editions

Part of book "Between chessboard and computer" (p. 204-6), Vclav

Kotovec, 1996

My website: Article Number of ways of placing non-attacking kings and

queens on boards of various sizes. (updated 2001-2010)

Non-attacking chess pieces, first edition (22.4.2010)

new results and formulas since 1996

total 110 explicit formulas, 29 tables and over 100 generating functions and recurrences

added non-attacking bishops, knights and some fairy pieces

Non-attacking chess pieces, second edition (23.6.2010)

General conjecture about k queens on an n x n chessboard

Leapers and Riders

Total 190 explicit formulas, 40 tables and over 200 generating functions and recurrences.

Non-attacking chess pieces, third edition (19.1.2011)

8n non-attacking kings on a 16 x 2n chessboard, formula for smallest root (include limit)

formula for 5 non-attacking amazons on a n x n board

kings, amazons and zebras on a toroidal chessboard

65 new explicit formulas added to section Riders, total more than 300 explicit formulas in third edition

new results and tables for 2 riders on a toroidal chessboard

Method for transformation of formulas with Floor function to expressions with trigonometric functions

Index of citations

Historie pedchozch vydn

Zklad tvoila kapitola z moj knihy "Mezi achovnic a potaem", 1996, str.

204-206. Dal verze se pak postupn rodila v letech 2001-2010 na m

internetov strnce. Formt HTML se vak ukzal jako ne pli vhodn pro

matematick vzorce a proto jsem vyuil monost sazby matematickch vzorc

ve Wordu 2007 a dal vydn pak publikoval v pehlednjm PDF formtu.

Vzniklo tak prvn vydn tto knihy z 22.4.2010, kter mlo 116 stran a druh

vydn z 23.6.2010 pak bylo rozeno na 237 stran, tet vydn z 19.1.2011

mlo u 348 stran a tvrt vydn z 15.6.2011 mlo 467 stran, pt vydn

z 9.1.2012 pak u 703 stran.

Prvn vydn z 22.4.2010 obsahovalo celkem 110 explicitnch vzorc,

29 tabulek a pes 100 vytvoujcch funkc a rekurenc. Druh vydn

z 23.6.2010 obsahovalo celkem 190 explicitnch vzorc, 40 tabulek a pes

200 vytvoujcch funkc a rekurenc.

Ve druhm vydn jsem doplnil kapitoly vnovan skokanm (Leapers)

a liniovm kamenm (Riders) a to jak na normln, tak na prstencov

achovnici. Podailo se mi najt nkolik obecnch vzorc a vytvoujcch

funkc v zvislosti na souadnicch [r,s] tchto kamen. Nejvtm objevem

byla vak obecn rekurence pro k neohroujcch se dam na achovnici n x n

vetn elegantnho asymptotickho vzorce.

Ve tetm vydn z 19.1.2011 jsem doplnil vzorce pro rozmstn 8n

neohroujcch se krl na achovnici 16 x 2n, co bylo pokraovn zapoat

srie, kter shlo a na hranici monost vpoetn techniky a potaovch

program. Do tto kapitoly jsem dle doplnil elegantn algebraick vyjden

hodnot nejmench koen, vetn limit. V sti Riders pibylo asi 65 novch

a 50 alternativnch vzorc a v kapitole 11.3 pibyla ada vsledk. Vymyslel

jsem tak obecnou metodu, umoujc pevod vraz, obsahujcch cel sti,

na trigonometrick funkce. Doplnn byl alternativn vzorec pro rozmstn

6 neohroujcch se dam (odvozen touto metodou), vyjden pomoc

trigonometrickch funkc a vzorec pro poet neohroujcch se 5 amazonek na

achovnici n x n. Doplnny byly t nov kapitoly tkajc se krl, amazonek

a zeber na prstencov achovnici a jmenn rejstk citac. Tet vydn

obsahovalo u celkem pes 300 explicitnch vzorc.

http://web.telecom.cz/vaclav.kotesovechttp://problem64.beda.cz/silo/kotesovec_non_attacking_chess_pieces_2010.pdfhttp://problem64.beda.cz/silo/kotesovec_non_attacking_chess_pieces_2011.pdfhttp://web.telecom.cz/vaclav.kotesovec/math.htm

5

Non-attacking chess pieces, fourth edition (15.6.2011)

For general formulas for the number of ways of placing k non-attacking bishops on an n x n chessboard (including the most

interesting case k=n), see the updated chapters 4.1, 4.3 and new

chapters 4.1.1, 4.1.2., 4.4.

For miscellaneous problems with rooks, see chapter 3.1.1

An extensive new chapter 12 is devoted to the asymptotic behaviour of sequences of numbers of ways of placing non-attacking composite

pieces rook + leaper, queen + leaper, rook + rider, queen + rider.

There are many new formulas, conjectures, graphs and tables of

values.

For maximal number of non-attacking pieces, see chapter 14

Non-attacking chess pieces, fifth edition (9.1.2012)

For general asymptotic formulas see new chapter 13.1.

For new results for m x n non-attacking kings on a 2m x 2n chessboard see chapters 2.3 and 2.3.9.

For non-attacking kings on the cylindrical chessboard, see the new chapters 2.6, 2.6.9, 2.7 and 2.5.

For new formula for the number of ways of placing n2 non-attacking kings on an 2n x 2n toroidal chessboard, see the new chapter 2.9.

For explicit formula for the number of ways of placing 6 non-attacking queens on an n x n toroidal chessboard, see the updated chapter 1.3.

For non-attacking nightriders on the cylindrical chessboard, see the new chapters 6.5 and 6.6.

Roots of a polynomials as points in the complex plane.

Added pieces semi-wazir, semi-fers and semi-knight (interesting from mathematical view point), see new chapters 9.1.1, 9.3.1, 9.4.1 and

5.1.1.

Reduced PDF size

Ve tvrtm vydn z 15.6.2011 byl

kompletn vyeen problm rozmstn k neohroujcch se stelc na achovnici n x n (vetn nejzajmavjho ppadu, kdy k=n), viz

aktualizovan kapitoly 4.1, 4.3 a nov kapitoly 4.1.1, 4.1.2., 4.4.

doplnna kapitola 3.1.1, vnovan rznm lohm s vemi

doplnna rozshl kapitola 12, vnovan asymptotickmu chovn posloupnost potu neohroujcch se kombinovanch kamen, jejich

pohyblivost vznikne sloenm pohyblivosti ve (nebo dmy) a

obecnch skokan (Leapers) nebo liniovch kamen (Riders). Tabulky

vypotench hodnot byly doplnny teoretickmi vahami a adou

graf.

doplnna kapitola 14, shrnujc pro kad typ kamene maximln poty neohroujcch se kamen

V ptm vydn z 9.1.2012 byly doplnny

nov obecn asymptotick vzorce (kap. 13.1)

nov vsledky pro poty rozmstn neohroujcch se m x n krl na achovnici 2m x 2n, viz aktualizovan kapitoly 2.3 a 2.3.9

nov kapitoly 2.6, 2.6.9, 2.7 a 2.5 o potech pozic neohroujcch se krl na vlcovch achovnicch.

nov vzorec pro poet pozic neohroujcch se n2 krl na prstencov achovnici 2n x 2n, viz nov kapitola 2.9.

explicitn vzorec pro poet rozmstn 6 neohroujcch se dam na prstencov achovnici n x n, viz aktualizovan kapitola 1.3.

nov kapitoly 6.5 a 6.6, ttoi na vlcovch achovnicch

doplnna ada graf koen polynom v komplexn rovin

doplnny kameny semi-vezr (kap. 9.1.1 a 9.3.1), semi-fers (kap. 9.4.1) a semi-jezdec (kap. 5.1.1), zajmav hlavn z matematickho

pohledu

vrazn zmenena velikost PDF souboru

http://problem64.beda.cz/silo/kotesovec_non_attacking_chess_pieces_2011_4ed.pdfhttp://problem64.beda.cz/silo/kotesovec_non_attacking_chess_pieces_2012_5ed.pdf

6

Content - Obsah

1.1 k Queens on an n x n chessboard 1.1 k dam na achovnici n x n 11

1.1.1 n Queens on an n x n chessboard 1.1.1 n dam na achovnici n x n 35

1.2 k Queens on an k x n chessboard 1.2 k dam na achovnici k x n 39

1.3 k Queens on an n x n toroidal chessboard 1.3 k dam na prstencov achovnici n x n 47

1.3.1 n Queens on an n x n toroidal chessboard 1.3.1 n dam na prstencov achovnici n x n 62

2.1 k Kings on an n x n chessboard 2.1 k krl na achovnici n x n 64

Entropy constants konstanty entropie 69

2.1.1 k Kings on a 1 x n and 2 x n chessboard 2.1.1 k krl na achovnici 1 x n a 2 x n 74

2.1.2 n Kings on an n x n chessboard 2.1.2 n krl na achovnici n x n 77

2.2 k Kings on an k x n chessboard 2.2 k krl na achovnici k x n 78

2.3 m x n Kings on a 2m x 2n chessboard 2.3 m x n krl na achovnici 2m x 2n 81

2.3.1 n Kings on a 2 x 2n chessboard 2.3.1 n krl na achovnici 2 x 2n 90

2.3.2 2n Kings on a 4 x 2n chessboard 2.3.2 2n krl na achovnici 4 x 2n 90







2.3.9 more kings on a 2m x 2n chessboard 2.3.9 vce krl na achovnici 2m x 2n 128

2.3.10 Largest and smallest root 2.3.10 Nejvt a nejmen koen 139

2.4 n2 Kings on a 2n x 2n chessboard 2.4 n

2 krl na achovnici 2n x 2n 160

2.5 k Kings on an n x n cylindrical chessboard 2.5 k krl na vlcov achovnici n x n 163

2.5.1 k Kings on a 1xn and 2xn horizontal cylinder 2.5.1 k krl na horizontlnm vlci 1 x n a 2 x n 166

2.6 m x n Kings on a 2m x 2n cylindrical chessboard 2.6 m x n krl na vlcov achovnici 2m x 2n 169

2.6.1 n Kings on a 2 x 2n horizontal cylinder 2.6.1 n krl na horizontlnm vlci 2 x 2n 169

2.6.2 2n Kings on a 4 x 2n horizontal cylinder 2.6.2 2n krl na horizontlnm vlci 4 x 2n 169



7




2.6.8 more Kings on a 2m x 2n horizontal cylinder 2.6.8 vce krl na horizontlnm vlci 2m x 2n 178

2.6.9 m x n Kings on a 2m x 2n vertical cylinder 2.6.9 m x n krl na vertiklnm vlci 2m x 2n 197

2.7 n2 Kings on a 2n x 2n cylindrical chessboard 2.7 n

2 krl na vlcov achovnici 2n x 2n 209

2.8 k Kings on an n x n toroidal chessboard 2.8 k krl na prstencov achovnici n x n 211

2.9 n2 Kings on a 2n x 2n toroidal chessboard 2.9 n

2 krl na prstencov achovnici 2n x 2n 215

3.1 k Rooks on an n x n chessboard 3.1 k v na achovnici n x n 216

3.1.1 Miscellaneous problems with rooks 3.1.1 Rzn dal lohy s vemi 220

3.2 k Rooks on an k x n chessboard 3.2 k v na achovnici k x n 230

4.1 k Bishops on an n x n chessboard 4.1 k stelc na achovnici n x n 234

4.1.1 n Bishops on an n x n chessboard 4.1.1 n stelc na achovnici n x n 242

4.1.2 n semi-bishops on an n x n chessboard 4.1.2 n semi-stelc na achovnici n x n 260

4.2 k Bishops on an k x n chessboard 4.2 k stelc na achovnici k x n 270

4.3 k Bishops on an n x n toroidal chessboard 4.3 k stelc na prstencov achovnici n x n 273

4.4 n Bishops on an n x n toroidal chessboard 4.4 n stelc na prstencov achovnici n x n 281

5.1 k Knights on an n x n chessboard 5.1 k jezdc na achovnici n x n 283

5.1.1 k semi-knights on an n x n chessboard 5.1.1 k semi-jezdc na achovnici n x n 286

5.1.2 semi-leapers [r,s] on an n x n chessboard 5.1.2 semi-skokani na achovnici n x n 290

5.1.3 n Knights on an n x n chessboard 5.1.3 n jezdc na achovnici n x n 293

5.2 k Knights on an k x n chessboard 5.2 k jezdc na achovnici k x n 294

5.2.1 k Knights on a 2 x n chessboard 5.2.1 k jezdc na achovnici 2 x n 297

5.2.2 k Knights on a 2 x n horizontal cylinder 5.2.2 k jezdc na horizontlnm vlci 2 x n 302

5.3 k Knights on an n x n cylindrical chessboard 5.3 k jezdc na vlcov achovnici n x n 305

5.4 k Knights on an n x n toroidal chessboard 5.4 k jezdc na prstencov achovnici n x n 308

6.1 k Nightriders on an n x n chessboard 6.1 k tto na achovnici n x n 312

6.1.1 k semi-nightriders on an n x n chessboard 6.1.1 k semi-tto na achovnici n x n 319

6.1.2 k semi-riders [r,s] on an n x n chessboard 6.1.2 k semi-riders [r,s] na achovnici n x n 325

6.1.3 n Nightriders on an n x n chessboard 6.1.3 n tto na achovnici n x n 330

6.2 k Nightriders on an k x n chessboard 6.2 k tto na achovnici k x n 331

6.3 k Nightriders on an n x n toroidal chessboard 6.3 k tto na prstencov achovnici n x n 333

8

6.4 n Nightriders on an n x n toroidal chessboard 6.4 n tto na prstencov achovnici n x n 338

6.5 k Nightriders on an n x n cylindrical chessboard 6.5 k tto na vlcov achovnici n x n 339

6.6 n Nightriders on an n x n cylindrical chessboard 6.6 n tto na vlcov achovnici n x n 342

7.1 k Amazons (superqueens) on an n x n chessboard 7.1 k amazonek na achovnici n x n 343

7.1.1 n Amazons (superqueens) on an n x n chessboard 7.1.1 n amazonek na achovnici n x n 348

7.1.2 n pieces Queen + Nightrider on an n x n chessboard 7.1.2 n kamen dma + tto na achovnici n x n 350

7.2 k Amazons (superqueens) on an k x n chessboard 7.2 k amazonek na achovnici k x n 353

7.3 k Amazons on an n x n toroidal chessboard 7.3 k amazonek na prstencov achovnici n x n 356

7.3.1 n Amazons on an n x n toroidal chessboard 7.3.1 n amazonek na prstencov achovnici n x n 360

8.1 k Zebras on an n x n chessboard 8.1 k zeber na achovnici n x n 361

8.1.1 n Zebras on an n x n chessboard 8.1.1 n zeber na achovnici n x n 363

8.2 k Zebras on an k x n chessboard 8.2 k zeber na achovnici k x n 364

8.3 k Zebras on an n x n toroidal chessboard 8.3 k zeber na prstencov achovnici n x n 366

9.1 k Wazirs on an n x n chessboard 9.1 k vezr na achovnici n x n 369

9.1.1 k semi-wazirs on an n x n chessboard 9.1.1 k semi-vezr na achovnici n x n 373

9.1.2 n Wazirs on an n x n chessboard 9.1.2 n vezr na achovnici n x n 382

9.2 k Wazirs on an k x n chessboard 9.2 k vezr na achovnici k x n 383

9.2.1 k Wazirs on a 2 x n chessboard 9.2.1 k vezr na achovnici 2 x n 386

9.2.2 k Wazirs on a 2 x n horizontal cylinder 9.2.2 k vezr na horizontlnm vlci 2 x n 394

9.3 k Wazirs on an n x n toroidal chessboard 9.3 k vezr na prstencov achovnici n x n 402

9.3.1 k semi-wazirs on an n x n toroidal chessboard 9.3.1 k semi-vezr na prstencov achovnici n x n 407

9.3.2 n Wazirs on an n x n toroidal chessboard 9.3.2 n vezr na prstencov achovnici n x n 411

9.3.3 k Wazirs on an n x n cylindrical chessboard 9.3.3 k vezr na vlcov achovnici n x n 412

9.4 k Ferses on an n x n chessboard 9.4 k fers na achovnici n x n 415

9.4.1 k semi-ferses on an n x n chessboard 9.4.1 k semi-fers na achovnici n x n 418

9.4.2 n Ferses on an n x n chessboard 9.4.2 n fers na achovnici n x n 423

9.5 k Ferses on an k x n chessboard 9.5 k fers na achovnici k x n 425

9.5.1 k Ferses on a 2 x n chessboard 9.5.1 k fers na achovnici 2 x n 428

9.5.2 k Ferses on a 2 x n horizontal cylinder 9.5.2 k fers na horizontlnm vlci 2 x n 435

9.6 k Ferses on an n x n toroidal chessboard 9.6 k fers na prstencov achovnici n x n 425

9.6.1 k Ferses on an n x n cylindrical chessboard 9.6.1 k fers na vlcov achovnici n x n 441

9.7 k Grasshoppers on an n x n chessboard 9.7 k cvrk na achovnici n x n 444

9

9.7.1 k Grasshoppers in stalemate 9.7.1 k cvrk v patu 447

9.8 k Grasshoppers on an n x n toroidal chessboard 9.8 k cvrk na prstencov achovnici n x n 451

9.9.1 k Rookhoppers on an n x n chessboard 9.9.1 k vovch cvrk na achovnici n x n 455

9.9.2 k Rookhoppers in stalemate 9.9.2 k vovch cvrk v patu 458

9.9.3 k Rookhoppers on an n x n toroidal chessboard 9.9.3 k vovch cvrk na prstencov achovnici n x n 466

9.9.4 k Bishophoppers on an n x n chessboard 9.9.4 k stelcovch cvrk na achovnici n x n 469

9.9.5 k Bishophoppers in stalemate 9.9.5 k stelcovch cvrk v patu 472

9.9.6 k Bishophoppers on an n x n toroidal chessboard 9.9.6 k stelcovch cvrk na prstencov achovnici n x n 477

10. Leapers 10. Skokani 480

10.1 2 leapers on an n x n chessboard 10.1 2 skokani na achovnici n x n 480



10.4 2 leapers on an n x n toroidal chessboard 10.4 2 skokani na prstencov achovnici n x n 491



10.7 5 leapers on an n x n toroidal chessboard 10.7 5 skokan na prstencov achovnici n x n 503

10.8 6 leapers on an n x n toroidal chessboard 10.8 6 skokan na prstencov achovnici n x n 505

10.9 more leapers on an n x n toroidal chessboard 10.9 vce skokan na prstencov achovnici n x n 512

11. Riders 11. Liniov kameny 513

11.1 2 riders on an n x n chessboard 11.1 2 liniov kameny na achovnici n x n 513

11.2 3 riders on an n x n chessboard 11.2 3 liniov kameny na achovnici n x n 540

11.3 2 riders on an n x n toroidal chessboard 11.3 2 liniov kameny na prstencov achovnici n x n 564

12. Composite pieces Rook/Queen + Leaper/Rider 12. Kombinovan kameny 621

12.1 n pieces rook + leaper[r,s] on an n x n chessboard 12.1 n kamen v + skokan[r,s] na achovnici n x n 622

12.2 n pieces queen + leaper[r,s] on an n x n chessboard 12.2 n kamen dma + skokan[r,s] na achovnici n x n 649

12.3 n pieces rook + rider[r,s] on an n x n chessboard 12.3 n kamen v + liniov kmen[r,s] na achovnici n x n 655

12.4 n pieces queen + rider[r,s] on an n x n chessboard 12.4 n kamen dma + liniov kmen[r,s] na achovnici n x n 676

13. Comparison of general formulas 13. Porovnn obecnch vzorc 682

13.1 General asymptotic formulas (Leapers) 13.1 Obecn asymptotick vzorce (skokani) 685

13.2 Composite pieces Leaper + Leaper 13.2 Kombinovan kameny skokan + skokan 687

13.3 General asymptotic formulas (Riders) 13.3 Obecn asymptotick vzorce (liniov kameny) 710

13.4 Composite pieces Rider + Rider 13.4 Kombinovan liniov kameny 712

10

13.5 Composite pieces Rider + Leaper 13.5 Kombinovan kameny liniov kmen + skokan 740

14. Maximal number of non-attacking pieces 14. Maximln poty neohroujcch se kamen 751

14.1 normal chessboard 14.1 normln achovnice 752

14.2 toroidal chessboard 14.2 prstencov achovnice 777

14.3 cylindrical chessboard 14.3 vlcov achovnice 788

15. Methods 15. Metody hledn vzorc 790

Index Rejstk 792

11

1.1) k Queens on an n x n chessboard - k dam na achovnici n x n

Vzorec pro poet rozmstn n dam na achovnici n x n ned matematikm spt ji pes 150 let. Zatm ho nikdo neobjevil. Proto se matematici snaili u v 19. stolet

vyeit alespo jednodu ppady, co se podailo pro rozmstn 2 a 3 dam na n x n. Na dal vsledky bylo ale teba ekat vce ne 100 let, kdy k objeven dalch

vzorc pomohly a potae. Obecn ale plat, e vzorce pro rozmstn vtho potu dam nebudou pli elegantn, naopak pjde o sloit vrazy, tak jak u to bv

pravidlem pi een diferennch rovnic. Navc se tyto vzorce mrn li podle typu rozmr achovnic (sud/lich apod.), co pi snaze o zobecnn vede k (pro

nematematiky) pekvapujcm lenm SIN a COS v tchto vzorcch, kter vak dvaj celoseln vsledky.

A036464 - 2 Queens, board n x n (E.Lucas, 1891):

A047659 - 3 Queens, board n x n (E.Landau, 1896):

pro n sud (even)

pro n lich (odd)

nebo jednm vzorcem:

Poznmka: Panos Louridas publikoval v idee & form 93/2007 (str. 2936-2938) obecnj vzorec pro rozmstn 3 dam na achovnici m x n. Vzorec je vak dost

neelegantn (zabr skoro pl strnky), proto zjemce odkazuji na tento lnek.

http://oeis.org/A036464http://oeis.org/A047659

12

A061994 - 4 Queens, board n x n (V.Kotovec, 1992), n>=2

a dle podle typu n:

a) n=6a

b) n=6a+1

c) n=6a+2

d) n=6a+3

e) n=6a+4

f) n=6a+5

Na zklad een diferenn rovnice jsem pak odvodil jednotn vzorec pro tuto funkci (dvajc pro celoseln hodnoty n stejn vsledky):

V roce 2005 pak S.Perepechko jet nael jin zpis (pomoc celch st) rovn formln sjednocujc vech 6 ppad. Sergey Perepechko (2005) convert

6 formulas by Vclav Kotovec (1992) into 1 unified expression, kde [x] = Floor(x) je cel st (largest integer not greater than x)

http://oeis.org/A061994http://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions

13

A108792 - 5 Queens, board n x n (V.Kotovec, 4.4.2010):

Dedicated to memory of Gauss, Lucas and Landau.

Pt dam dlouho odolvalo. V roce 2005 Sergey Perepechko vypotal hodnoty pro n 25, ale obecn vzorec neobjevil (na zklad tak mlo hodnot to ani nelo). A

v roce 2010 Vclav Kotovec vypotal svm speciln optimalizovanm programem hodnoty pro n 55 a na jejich zklad objevil obecn vzorec. Nejmen

perioda je 60, jinmi slovy pro achovnice n x n, kde , kde p a q jsou nezporn konstanty (cel sla), dostaneme vdy polynom destho stupn (pro kad q jin), kter ji neobsahuje trigonometrick funkce (tzv. kvazipolynomy).

In 2005 S.Perepechko computed values for n 25, but he had not found general formula. In 2010 Vclav Kotovec created special efficient computer program and

computed all values for n 55, then he discovered explicit formula!

Alternative formula (V.Kotovec, 2010)

http://oeis.org/A108792

14

A176186 - 6 Queens, board n x n (Artem M. Karavaev, 10.5.2010)):

[x] = Floor(x) je cel st (largest integer not greater than x)

Cel sti umouj analogickm zpsobem vyjdit kvazipolynomy podobn jako trigonometrick funkce, pro vt k mohou bt dokonce vhodnj.

Odkazy:

6 Queens problem - popis algoritmu se sloitost O(n7), jeho autorem je Artem M. Karavaev, v rutin (in Russian). Vpoet a do n=80 si vydal potae

s 56 jdry, zde nalezneme vsledky. Fantastic formula by Artem M. Karavaev (computed with help of 56 cores!)

http://oeis.org/A176186http://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functionshttp://zealint.ru/sixqueens-results.htmlhttp://zealint.ru/sixqueens-comp.html

15

Alternative formula for 6 queens (Vclav Kotovec, 6.12.2010)

16

Pro k dam na achovnici n x n jsou poten leny:

Speciln pro k=7 bude mt tato funkce tvar:

Pi konstantnm k je asymptoticky

Proof that generating function is rational. Dkaz, e pro libovoln k je pslun vytvoujc funkce

racionln (tedy, e jde o podl dvou polynom s celoselnmi koeficienty), uvd v knize Enumerative

Combinatorics, Richard P. Stanley (vol. I, 1986, chapter 4, exercise 15, solution page 280-1, see also

vol. 1, 2ed, 2012, p.558 and 538, exercise 41). Tm je dn tvar een pro vechny tyto funkce, kter

obsahuje vdy polynom s konstantnmi koeficienty plus souet dalch tzv. kvazipolynom (Quasi-

polynomials, nazvanch t "pseudo-polynomial" nebo "polynomial on residue classes"), co jsou

polynomy, jejich koeficienty jsou periodick funkce s celoselnou (integer) periodou. Nejpirozenji

jsou tyto periodick funkce vyjdeny pomoc trigonometrickch funkc SIN a COS (jak vyplv

i z obecnho tvaru een diferennch rovnic, vyjdenho pomoc komplexnch sel). Alternativn se

ale d pout i funkce FLOOR (cel st), co je nkdy vpoetn vhodnj (viz t str. 537). V tom

ppad se vyuv periodicity zbytku po dlen periodou.

K nalezen pslunho vzorce pro danou sekvenci tak potebujeme vdy znt jen dostaten poet znmch hodnot (nap. jen

pro n=1 a 50, poet nezbytnch hodnot zvis na celkovm potu neznmch konstant). Potom jde o nalezen nejmen

periody a uren koeficient pslunch polynom. Hek je jedin v tom, e asov mon je vpoet len posloupnosti

jen do urit hodnoty n a ta nemus bt postaujc pro nalezen vech koeficient. Vechny zde uveden vzorce jsou na

souasn mezi monost vpoetn techniky a vzorce pro vy hodnoty k budou postupn pibvat a se zrychlovnm

pota.

Odkazy na literaturu (dky skenovn knih na Googlu bylo mon se dostat i k tmto velmi starm pramenm! Thanks Google for access to very old books!):

Edouard Lucas: Thorie des nombres (1891), (12 MB) - vzorec pro poet rozmstn 2 neohroujcch se dam najdeme na str.98, dle je uveden t v knize

Edouard Lucas: Rcrations mathmatiques (1894), str.132

Naturwissenschaftliche wochenschrift (1896), (81 MB) - v sle z 2.8.1896, str.367-371 (str.380 v PDF) je lnek "Ueber das Achtdamenproblem und seine Verallgemeinerung", jeho autorem je

Edmund Landau. V lnku jsou odvozeny vzorce pro rozmstn 3 dam na achovnici n x n (pro sud a lich n). Je zajmav, e tento slavn nmeck matematik objevil vzorec u ve svch 19 letech!

Landau was only 19 years old!

Tto problematice byly vnovny tak 2 lnky ve francouzskm asopise "Rex Multiplex". Ve druhm byly publikovny moje nov vsledky.

Rex Multiplex 18/1986, (page 615, Louis Azemard, Echecs et Mathmatiques) "Placements et Configurations pour 2, 3 et 4 Dames"

Rex Multiplex 38/1992, (Louis Azemard, Echecs et Mathmatiques), Une communication de Vclav Kotovec

http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_functionhttp://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation#Rational_generating_functionhttp://math.mit.edu/~rstan/ec/http://math.mit.edu/~rstan/ec/http://books.google.com/books?id=PhbO83NUGG4C&pg=PA267http://books.google.com/books?id=PhbO83NUGG4C&pg=PA280http://books.google.com/books?id=PhbO83NUGG4C&pg=PA210http://books.google.com/books?id=PhbO83NUGG4C&pg=PA210http://books.google.com/books?id=V5IKAAAAYAAJhttp://books.google.com/books?id=iQYAAAAAQAAJhttp://books.google.com/books?id=RitEAAAAYAAJhttp://en.wikipedia.org/wiki/Edmund_Landauhttp://problem64.beda.cz/silo/rexmultiplex18_1986.pdfhttp://problem64.beda.cz/silo/azemard_vk_rm1992.pdf

17

Generating function, recurrence and explicit formula - Vytvoujc funkce, rekurence a explicitn vzorec

Na tomto mst bude dobr se krtce zmnit o tech zkladnch zpsobech, jak lze vyjdit njakou posloupnost a o vzjemnm vztahu mezi tmito zpsoby

zakdovn jejch hodnot. V pedchozm textu byly vzorce vyjdeny pmo, tzv. explicitnm vzorcem, kdy pro zvolen n meme z takovho vzorce pmo

vypotat pslun len posloupnosti pomoc bnch matematickch operac. Najt explicitn vzorec vak nen vdy mon a navc (jak se pesvdme jet

mnohokrt v tto knize) me bt explicitn vzorec nkdy zbyten sloit a komplikovan ve srovnn s jinmi formami definovn dan posloupnosti. Druhou

monost je proto tzv. rekurence, co je rovnice, kter uruje jak z nkolika znmch potench len posloupnosti vypotat dal len (a tm pdem pi

vcensobnm uit i vechny dal leny). Rekurence tedy uruje diferenn rovnici pro danou posloupnost. Nalezen rekurence pro neznmou posloupnost je vdy

spchem, ale rekurenci je pak teba obvykle jet dle eit, nap. proto, abychom nalezli asymptotick chovn dan posloupnosti (tj. zjitn jak se posloupnost

chov, pokud jde n k nekonenu). Pokud je hloubka rekurence (tzv. recurrence order) pli velk, me bt obtn (ne-li v relnm ase nemon) vypotat

potebn poet potench hodnot. Matematici proto maj nejradi, tzv. vytvoujc funkce (generating function), co je formln vzorec, na jeho zklad je mon

pomoc diferencilnho potu vypotat jednotliv leny posloupnosti. Vytvoujc funkc je posloupnost zcela definovna. S vytvoujcmi funkcemi se pomrn

dobe pracuje, jen pro nematematiky mohou bt patn srozumiteln. Jet bych chtl poznamenat, e obas uvm v eskm textu i termn generan funkce, kter

vyjaduje tot, ale lb se mi vce.

Vytvoujc funkce nen pmo explicitnm vzorcem pro danou posloupnost, ale pslun

posloupnost z n jde vytvoit tak, e vygenerujeme Taylorv rozvoj pro danou vytvoujc

funkci a jednotliv leny tto posloupnosti jsou koeficienty tohoto rozvoje. Pesnji: len an

posloupnosti je n-t derivace vytvoujc funkce v nule dlena n faktoril (n!). Obvykle nen

tento postup pro vpoet len posloupnosti ten nejefektivnj, ale v ppadech, kdy je

obtn urit explicitn vzorec, me bt takov postup rychlej. Ohledn vytvoujcch funkc

je teba jet poznamenat, e z jejho jmenovatele lze snadno odvodit rekurentn vzorec, kter

vznikne roznsobenm vech len jmenovatele a nahrazenm vech len xk vrazy an-k.

Jmenovatel (denomintor) pak dle uruje tvar partikulrnch een pslun diferenn

rovnice. Tady ho naopak potebujeme ve faktorizovanm tvaru a pokud je koen takto vznikl

rovnice t, je jednm z partikulrnch een funkce 1/tn. Pokud tedy nap. obsahuje jmenovatel

vytvoujc funkce len (5x-1), odpovd tomu koen 1/5 a partikulrn een diferenn

rovnice 5n. Ponkud nepjemnou prci s pevrcenmi hodnotami lze obejt substituc x=1/t a

po pravch dostaneme z denomintoru tzv. charakteristickou rovnici, jej koeny ji pmo

uruj mocniny pro partikulrn een.

Kad takovto partikulrn een je teba nsobit polynomem (s neznmmi koeficienty)

jeho stupe je roven nsobnosti pslunho koene - 1. Pokud byl v denomintoru nap. len

(5x-1)2 , ml stupe 2 a tvar pslunho partikulrnho een bude (c0+c1*n)* 5

n, kde

konstanty c0 a c1 budou ureny podle potench hodnot posloupnosti.

V ppad, e m charakteristick rovnice komplexn koeny, je situace sloitj. Pokud m

rovnice koen a+bi (jak je znmo, mus mt pak souasn i komplexn sdruen koen a-bi),

pak maj partikulrn een diferenn rovnice tvar

Pokud je ve jmenovateli nap. len x2+1, dostvme komplexn koeny +i a -i, kterm

odpovdaj partikulrn een a . O nsobnostech koen plat tot jako v ppad koen relnch.

http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_functionhttp://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_serieshttp://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation

18

k k Queens on an n x n chessboard - Generating function

1

2

3

4

5

- x^5*(14206x^31 + 150238x^30 + 916976x^29 + 3972232x^28 + 13522008x^27 + 37968860x^26 + 90996604x^25 + 190236360x^24 + 352607230x^23 +

586165718x^22 + 881664746x^21 + 1207443842x^20 + 1512654886x^19 + 1738866194x^18 + 1837742548x^17 + 1786911600x^16 + 1598078300x^15 +

1312598856x^14 + 987611934x^13 + 677994354x^12 + 422347390x^11 + 236939238x^10 + 118533110x^9 + 52176470x^8 + 19855936x^7 + 6376140x^6 +

1672768x^5 + 341612x^4 + 50540x^3 + 4836x^2 + 258x + 10) / ((x-1)^11 (x+1)^6 (x^2+1)^2 (x^2+x+1)^4 (x^4+x^3+x^2+x+1)^2)

6

- 4x^6*(125388x^74 +1769106x^73 +14475708x^72 +86868206x^71 +421322394x^70 +1733735219x^69 +6243623123x^68 +20096128176x^67

+58720300345x^66 +157632673869x^65 +392473060699x^64 +913299307705x^63 +1998986925515x^62 +4137125169063x^61 +8132464535507x^60

+15241746945993x^59 +27324795064304x^58 +46991003436040x^57 +77709213130439x^56 +123839006896190x^55 +190537440843487x^54

+283498964529980x^53 +408502373125992x^52 +570765121032393x^51 +774143005387556x^50 +1020253102328739x^49 +1307636222431031x^48

+1631097942913736x^47 +1981371771386641x^46 +2345222492958126x^45 +2706059061856895x^44 +3045052266009747x^43 +3342672506335632x^42

+3580483108767024x^41 +3742970026288202x^40 +3819162259356822x^39 +3803816547345336x^38 +3697993190167173x^37 +3508939440356435x^36

+3249296395578274x^35 +2935747117591644x^34 +2587299110418159x^33 +2223440299348897x^32 +1862408041738532x^31 +1519776851512400x^30

+1207502931973542x^29 +933484654834212x^28 +701616116303232x^27 +512246494510867x^26 +362914602952313x^25 +249214616002036x^24

+165658741321711x^23 +106432971812268x^22 +65980784446603x^21 +39390545501971x^20 +22595990341656x^19 +12422932793397x^18

+6526629468148x^17 +3265443398940x^16 +1549727363371x^15 +694388440836x^14 +292139023877x^13 +114647411058x^12 +41638044492x^11

+13860639977x^10 +4178943637x^9 +1124196463x^8 +264701695x^7 +53192307x^6 +8814849x^5 +1148407x^4 +109349x^3 +6730x^2 +213x +1) /

((x-1)^13 (x+1)^8 (x^2+1)^4 (x^2-x+1)^2 (x^2+x+1)^6 (x^4+1)^2 (x^4+x^3+x^2+x+1)^4 (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^2)

Generating function for k=6 found Artem M. Karavaev 10.5.2010, see A176186


19

k k Queens on an n x n chessboard - Denominators only degree highest cyclotomic

polynomial

1 3 1

2 5 1

3 9 2

4 17 3

5 37 5

6

81 8

7*

197 13

8*

477 21

k dk Fibonacci number F(k)

* I kdy pro k=7 nen zatm znm dostaten poet hodnot nezbytnch k uren explicitnho vzorce, existenci cyklotomickch polynom C13(x), C12(x), C11(x),

C10(x) a C9(x) ve jmenovateli vytvoujc funkce jsem potvrdil vpotem pro pomocnou posloupnost, o kter jsem dokzal, e m (a na exponenty) shodn leny ve

jmenovateli vytvoujc funkce. Vce viz str. 27 a 28. Poet rznch len ve jmenovateli pro k se vdy rovn soutu rznch len pro k-1 a k-2.

Explicit formula for k=7 is not yet known, but I already found denominator of generating function for k=7 with cyclotomic polynomials C13(x), C12(x), C11(x), C10(x)

and C9(x). See pages 27 and 28 for more. Conjecture: Maximal order of cyclotomic polynomial for k is a sum of maximal orders of cyclotomic polynomial for k-1

and k-2.

http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number

20

Tvar jmenovatele vytvoujc funkce obsahuje vdy souiny pouze tzv. cyklotomickch polynom, dlitel , jejich koeny jsou odmocniny z jedn (obecn komplexn sla), tzv. roots of unity.

Cyklotomick polynomy - Cyclotomic polynomials

Ve druhm sloupci jsou uvedeny exponenty pslunch cyklotomickch

polynom pro dan k. Tato funkce se nazv Eulers totient function (Degree of

the k-th cyclotomic polynomial) a jej hodnoty je mono nalzt nap. v OEIS,

A000010. Pro prvosla je polynom vznikl po dlen

v relnm oboru nerozloiteln a proto je . Pro sloen sla je tato hodnota men, nap. pro k=12 je

ale z toho je jen polynom vlastn pro k=12, tedy (ostatn polynomy z rozkladu najdeme ji pro k=2, 3, 4, 6, tedy pro dlitele sla

12). Vce o vlastnostech tto funkce (more about this function) viz nap.

Elementary theory of numbers, Wacaw Sierpiski 1964.

Jako kuriozitu je mono doplnit, e koeficienty tchto polynom nejsou vdy jen +-1 (nebo 0), jak by se z nkolika prvnch mohlo zdt. Tento fakt objevil A. Migotti v roce 1883, kdy nael

v rozkladu pro k=105 koeficienty rovn 2. Dal rozklady byly systematicky prozkoumny a pomoc pota. Pro k = 105, 165, 195, 210, 255, 273, ... dostvme cyklotomick polynomy, jejich

nkter koeficienty jsou rovny +-2, k = 385, 595, 665, 770, 935, ... maj nkter koeficienty +-3, atd., viz nap. A013590 nebo A013594. Plat vak, e koeficienty cyklotomickch polynom jsou

symetrick z obou stran, eho lze s vhodou vyut pi hledn rekurenc v posloupnostech, kdy k uren zvislosti tak sta mn len (viz Metoda 3).

Pokud jmenovatel vytvoujc funkce obsahuje len , znamen to, e pslun partikulrn een diferenn rovnice (rekurence) budou nsoben polynomem

stupn q-1, jeho koeficienty se ur podle potench len sekvence. Exponenty tedy uruj stupn pslunch nsobcch polynom. Viz t popis na str. 17.

Nyn dokeme, e jmenovatel vytvoujc funkce vdy obsahuje len , co je sice tak cyklotomick polynom, je vak trochu specifick, protoe souvis spe s celkovm potem monch pozic k kamen na achovnici n x n. Ozname-li

poet pozic k vzjemn se neohroujcch dam na achovnici n x n (number of ways of placing k non-attacking queens on an n x n chessboard) poet pozic k dam, kde se alespo 2 dmy vzjemn ohroujc (number of ways of placing k queen with at least two attacking queens)

k cyclotomic polynomial 1 1 2 1 3 2 4 2 5 4 6 2 7 6 8 4 9 6 10 4 11 10 12 4 13 12 14 6 15 8 16 8

http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_polynomialhttp://en.wikipedia.org/wiki/Root_of_unityhttp://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_totient_functionhttp://oeis.org/A000010http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon42/mon4206.pdfhttp://oeis.org/A013590http://oeis.org/A013594

21

Potom plat

Poet vech kombinac

je polynom (v n) stupn 2k (viz nap. rozklad analogickch vraz v kapitole 3.2), jeho vytvoujc funkce m jmenovatel

Polynomy maj ale ni stupe (degree of polynomials in n),

2k-1 pro liniov kameny (tedy i dmy) - for riders (include queens)

2k-2 pro bodov kameny (vetn krl) (viz t tabulka na str. 683) - for leapers (include kings)

Vraz proto mus bt soust . Proved existence of part

in denominator of generating function for . Poznmka: Z hlediska efektivity algoritmu je vhodnj nepotat poet pozic vzjemn se neohroujcch kamen, ale lep je vypotat poet pozic s ohroujcmi se kameny a ten pak odest od celkovho potu monch pozic. Tuto metodu jsem pouil ji v roce 1992 pi hledn vzorce pro poet pozic 4 neohroujcch se dam na achovnici n x n. Pi narstajcm potu dam se

vak vhody tto metody sniuj a je tak vhodn pro k dam na n x n, ale pro n dam na n x n u vhodn nen.

Stupn len ve jmenovateli vytvoujc funkce - Degrees of polynomials in denominator of generating function

Nyn urme maximln mon hodnoty tchto exponent (a potvrdme intuitivn zkuenost, e u len s vt periodou bvaj tyto exponenty velmi mal). Pokud

vezmeme njakou konfiguraci (cluster) vzjemn se ohroujcch dam, meme ji kombinovat se zbvajcmi dmami do celkovho potu pomoc kombinanch

sel.

Napklad pi k=5, pokud mme 2 napadajc se dmy, je mono je rozmstit na zbytku

achovnice n x n celkem

zpsoby (co je polynom 6.stupn v n).

Generally for q queens

(n2- q is number of free squares, k-q is number of remaining queens) is polynomial in n of

degree .

Jinmi slovy, s kadou rovn (jejich meze jsou dny Fibonacciho sly) smrem od

nejvyho k nejmenmu, je teba pist k exponentu kadho cyklotomickho polynomu

slo 2 (rozdl stup polynom), viz tabulka na str. 23. For each level is necessary add 2 to

all exponents, see table on page 23 for more.

napadajcch se dam monost rozestaven

zbvajcch dam stupe polynomu v n

cluster of attacking

queens

number of free

positions remaining

queens

degree of polynomial

in n

5 0 0

4

2

3

4

2

6

22

Hypotza (Vclav Kotovec, 31.5.2010)

Jmenovatel vytvoujc funkce pro poet rozmstn

k neohroujcch se dam na achovnici n x n obsahuje souin

cyklotomickch polynom stup 1 a F(k), kde F(k) je

Fibonacciho slo. Pro k > 2

Pro exponenty ej plat toto. Pokud pro zvolen j vezmeme takov m

splujc nerovnost

potom

Pro stupe dk polynomu Dk(x) ve jmenovateli vytvoujc

funkce (hloubku rekurence) plat vzorec

Kde F jsou Fibonacciho sla a je Euler totient function

Conjecture (Vclav Kotovec, 31.5.2010)

Denominator of generating function for number of ways of placing

k non-attacking queens on an n x n chessboard contains product of

cyclotomic polynomials order from 1 to F(k), where F(k) is

Fibonacci number. For k > 2

For each j set such m which satisfy the following inequality

then exponents

Formula for degree dk of polynomial Dk(x) in denominator

of generating function (recurrence order)

where F are Fibonacci numbers and is Euler totient function

http://cs.wikipedia.org/wiki/Fibonacciho_posloupnosthttp://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_numberhttp://mathworld.wolfram.com/TotientFunction.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_numberhttp://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_numberhttp://mathworld.wolfram.com/TotientFunction.html

23

k queens on an n x n chessboard - polynomials in denominator of generating function

F(7)

F(6)

F(5)

F(4) F(3)

Fibonacci number

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

cyclotomic polynomial in denominator of generating function

12 4 10 4 6 4 6 2 4 2 2 1 1

Eulers totient function

2 2

exponents

4 queens

4 2 9 15 degree of a polynomial

2 2 4 6

exponents

5 queens

8 4 8 6 11 37 degree of a polynomial

2 2 2 4 4 6 8

exponents

6 queens

8 12 4 16 8 12 8 13 81 degree of a polynomial

2 2 2 2 2 4 4 4 6 6 8 10

conjectured exponents 7 queens

24 8 20 8 12 16 24 8 24 12 16 10 15 197 degree of a polynomial

2k+1

recurrence

order

V tabulce kad sloupec odpovd jednomu cyklotomickmu polynomu. Eulers totient function uruje stupe danho cyklotomickho polynomu. Exponenty

v dcch potom uruj na koliktou je tento cyklotomick polynom (ve jmenovateli vytvoujc funkce) umocnn. Souinem tohoto exponentu se stupnm

pslunho cyklotomickho polynomu dostaneme dl exponenty tchto len (dky pod exponenty - degree of a polynomials). Celkov stupe polynomu (total

degree of a polynomial in denominator of generating function) ve jmenovateli vytvoujc funkce dostaneme pak jako souet vech tchto dlch exponent plus

2k+1. Tento stupe souasn uruje i hloubku rekurence (recurrence order) pro dan k. Minimln tolik len je teba vypotat, abychom mohli nalzt explicitn

vzorec pro vechny leny.

Matematicky lze pedchoz postup (pro k > 1) zapsat tmto vzorcem

kde F jsou Fibonacciho sla a je Euler totient function

http://oeis.org/A000045http://mathworld.wolfram.com/CyclotomicPolynomial.htmlhttp://oeis.org/A000010http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_numberhttp://mathworld.wolfram.com/TotientFunction.html

24

Uren asymptotickho chovn funkce - proof of formula for limit.

Nyn budeme hledat limitu, kdy k jde do nekonena. K tomu je teba si nejprve zopakovat nkolik zkladnch vzorc.

Pro Fibonacciho sla plat rekurence (definice)

Lze je vyjdit i explicitn

Z toho vztahu vyplv

Pro druhou mocninu vyuijeme rovnost

Plat tato limita (viz nap. Euler's totient function nebo OEIS A000010)

http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_totient_functionhttp://oeis.org/A000010

25

Zkoumejme nyn vraz

Nekonen ada je typu

Po dosazen

je suma rovna 1 a dostvme tak

26

Jin mon vyjden s uitm Fibonacciho sel je

Finln tvar limity pak dostaneme ve tvaru

Vzorec jde slovn interpretovat tak, e hloubka rekurence roste se tvercem Fibonacciho sel.

Dle z toho vyplv, e

Pro velk k bude tak s kadm k narstat hloubka rekurence (tedy i minimln poet hodnot, kter je teba vypotat k uren explicitnho vzorce!) piblin

2.61 krt. Pro k=7 tak bude teba vypotat minimln 197 len a pro k=8 minimln 477 len. Potebn vpoty jsou daleko za hranicemi monost souasn

vpoetn techniky (a to i za pouit stovek paralelnch procesor). Pesto, nalezenm denomintor a rekurenc pro vechna k je mono povaovat problm k dam na

achovnici n x n v podstat za vyeen, zbytek je jen vdy otzka vpotu konenho potu konstant.

For 7 queens (k=7) is minimal 197 values of sequence necessary, for k=8 minimal 477 values necessary. This is out of power of current computer systems. But after

finding of denominators and recurrences is k-Queens problem on an n x n chessboard in principle resolved. The rest is only problem of computing of finite

number of constants.

27

Jak jsem vypotal jmenovatel vytvoujc funkce pro k=7 / How I computed denominator of generating function for k=7

Kombinatoricky eeno, vytvoujc funkce uruje celkov poet ppad s rznm chovnm, piem pro kad z tchto ppad plat odlin vzorce. Abychom

dostali celkov poet hledanch monost, seteme pak vechny dl poty monost z jednotlivch ppad. Samotn problm k dam na achovnici n x n je velmi

sloit, prv proto, protoe obsahuje znan mnostv rznch ppad. Jeliko se souasnou rovn vpoetn techniky bylo mon vyeit tento problm jen do

k=6 (k emu u i tak byl teba obrovsk vpoetn vkon) a numerick een pro k=7 nebo vy je v nedohlednu, snail jsem se nejprve vymyslet metodu, jak urit

alespo denomintor vytvoujc funkce pro k=7, kter u by mohl hodn napovdt o chovn tchto funkc i pro vy k.

Pro uren denomintoru pro k=7 jsem si nejprve vytvoil pomocnou posloupnost. Vtip je

v tom, e k jejmu vygenerovn je poteba mnohem men as a bylo tak mon (v ase

pouhch nkolika hodin) vygenerovat dostaten poet len, kter staily k uren rekurence a

tm i hledanho denomintoru vytvoujc funkce.

1) vzhledem k symetrii sta uvaovat pouze trojhelnkovou achovnici (vynechnm poloviny

pol nepijdeme o dnou reprezentujc monost)

2) prvn dma me bt pevn na a1

3) kad nov postaven dma napad pouze pedtm postavenou dmu a to vdy po stelcov

linii kolm na pedchoz linii

Tato pomocn posloupnost pokrv vechna mon ken lini a m proto shodn leny ve

jmenovateli vytvoujc funkce jako pln posloupnost, ty se li pouze v exponentech (co je

dno zejmna zafixovnm dmy a1, kter ubralo 1 stupe volnosti). Toto plat pro libovoln k.

Following help sequence covers all possible intersections of lines and has therefore same parts

in denominator as full sequence (only exponents may be different), but much less time (several

hours only) was necessary for computing of sufficient number of values.

Conditions for this help sequence:

1) only triangle chessboard is sufficient (without loss of configurations)

2) first queen was fixed on A1

3) Each new queen is under attack only by a previous queen. Each next line is orthogonal with

previous line (on bishop lines).

e je tato posloupnost jakousi oblkou vech monost typ konfigurac, je mono snadno dokzat sporem. Pokud by existovala linie, po kter by se napadalo

3 nebo vce dam, rzem nebude mon doshnout konfigurace na diagramu (s maximlnm mnostvm rznch lini), protoe minimln jedna linie bude schzet.

http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function

28

Podailo se mi vypotat celkem 114 len tto pomocn posloupnosti pro k=7 a nael jsem rekurenci hloubky 98, ze kter jsem uril denomintor pslun

vytvoujc funkce:

Tento vraz lze v ei cyklotomickch polynom zapsat tak jako (in language of cyclotomic polynomials)

C1(x)7 C2(x)

5 C3(x)

4 C4(x)

3 C5(x)

3 C6(x)

2 C7(x)

2 C8(x)

2 C9(x) C10(x) C11(x) C12(x) C13(x)

Pro k=7 se tedy potvrdilo, e jmenovatel vytvoujc funkce obsahuje (navc proti k=6) cyklotomick polynomy C13(x), C12(x), C11(x), C10(x), C9(x). Proto

i jmenovatel vytvoujc funkce pro 7 neohroujcch se dam obsahuje tyto polynomy (s exponenty, kter jsou vt nebo rovny exponentm pro tuto pomocnou

sekvenci - to je dno zafixovnm prvn dmy i omezenm potu probranch monost). Souasn jsem ovil vlastnosti tchto pomocnch posloupnost i pro

vechna k

29

Degree of denominator of GF for number of ways to place k non-attacking queens on an n x n board

k dk, A178717

1 3

computed

2 5

3 9

4 17

5 37

6 81

7 197

conjectured

8 477

9 1197

10 3077

11 7989

12 20649

13 53885

14 140601

15 366917

16 959685

17 2511477

18 6571681

19 17202449

20 45027677

conjectured

21 117871345

22 308581637

23 807852685

24 2114904397

25 5536838045

26 14495554593

27 37949503089

28 99352690141

29 260108204933

30 680970807213

31 1782803565797

32 4667437084745

33 12219503347729

34 31991072445577

35 83753706559725

36 219270031563205

37 574056385796461

38 1502899094403693

39 3934640801736837

40 10301023227534077

Poznmka: V programu Mathematica dostaneme tyto hodnoty po zadn Table[2*k+1+Sum[Sum[2*j*EulerPhi[i],{i,Fibonacci[k-j]+1,Fibonacci[k-j+1]}],{j,1,k-1}],{k,1,40}]

Denomintory jde pak s pomoc programu Mathematica vygenerovat touto moj procedurou: inversef[j_]:=(m=2;While[j>Fibonacci[m],m=m+1];m);

Table[(x-1)^(2k+1)*Product[Cyclotomic[j,x]^(2*(k-inversef[j]+1)),{j,2,Fibonacci[k]}],{k,1,8}]


30

Na zklad tvaru jmenovatele vytvoujc funkce lze formln urit i tvar explicitnho vzorce. To lze uinit bu s pomoc trigonometrickch funkc nebo s pomoc

funkce cel st. Postup odpovd bnmu een diferennch rovnic, kdy denomintor vytvoujc funkce uruje charakteristickou rovnici a podle jejch koen se

uruje tvar partikulrnch een.

Oba nsledujc vzorce budou dvat shodn hodnoty pro nezporn cel sla. Neznm konstanty je teba vdy dopotat podle nkolika prvnch len pslun

posloupnosti.

Obecn vzorec pro rozmstn k dam na achovnici n x n s vyuitm periodickch trigonometrickch funkc:

Konstanty a jsou zvisl pouze na k. je Eulers totient function, F(k) jsou Fibonacciho sla. Hodnota m se ur podle nerovnosti (pro p > 1

se funkce shoduje s Fibonacci Inverse)

Alternativn vzorec s vyuitm funkce cel st

(Alternative formula with Floor function)

Konstanty a jsou zvisl pouze na k.

Celkov poet nenulovch konstant v obou tchto vzorcch me bt v konkrtnch ppadech o nco men (ne tento horn odhad dan mezemi sum), protoe

nkter linern rovnice, kter dostaneme pouitm potebnho potu potench hodnot posloupnosti, mohou bt linern zvisl nebo mohou nhodn vyjt

nkter z konstant rovny 0.

http://oeis.org/A000010http://oeis.org/A000045http://oeis.org/A130234

31

Nejmen perioda / Least period

Z vraz obsaench ve jmenovateli vytvoujc funkce lze odvodit i periodu pro dan k. Perioda p je takov nejmen kladn cel slo, pro kter lze vzorce pro n ve

tvaru n=a*p+b (kde a,b jsou nezporn cel sla) vyjdit jednm polynomem bez dodatench kvazipolynom. Jednodue eeno, vzorce pro takovou linern

posloupnost neobsahuj trigonometrick funkce (ani pp. funkci cel st apod.). Pokud je p perioda pro tuto posloupnost, pak ale existuje p rznch polynom,

kad podle zbytku pi dlen n periodou p. Samozejm periodou je pak i kad celoseln nsobek p.

Pro vzorce vyjadujc poet rozmstn neohroujcch se k dam na achovnici n x n v zvislosti na n plat, e nejmen perioda p je dna vrazem

Least period for formulas for number of ways of placing k non-attacking queens on an n x n chessboard is LCM of natural numbers from 1 to F(k).

kde LCM je nejmen spolen nsobek (Least common multiple) a F(k) je Fibonacciho slo.

k F(k) period, A180402

2 1 LCM(1)=1

3 2 LCM(1,2)=2

4 3 LCM(1,2,3)=6

5 5 LCM(1,2,3,4,5)=60

6 8 LCM(1,2,3,4,5,6,7,8)=840

7 13 LCM(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13)=360360

Nap. 6 vzorc pro k=4 je rozepsno na str. 12. Pro k=7 tak bude existovat celkem 360360 rznch vzorc (polynom) podle toho, jestli n je typu 360360a,

360360a+1, 360360a+2, ..., 360360a+360359. Pouit metody 2 (viz str. 790) se tak pro vt k ukazuje jako nevhodn.

Poznmka: V programu Mathematica dostaneme tyto periody nap. takto: Table[Apply[LCM, Range[Fibonacci[k]]], {k, 1, 7}]

Asymptoticky plat (viz nap. A003418)

a tedy pro velk k dostaneme piblin odhad

(je vak teba upozornit, e LCM m velk rozptyl, take tento odhad je teba brt spe teoreticky a nen vhodn k numerickm vpotm, zejmna pro men k)

http://en.wikipedia.org/wiki/Least_common_multiplehttp://oeis.org/A180402http://oeis.org/A003418

32

k Recurrence

2 an = 5an-1 - 10an-2 + 10an-3 - 5an-4 + an-5

3 an = 5an-1 - 8an-2 + 14an-4 - 14an-5 + 8an-7 - 5an-8 + an-9

4 an = 3an-1 + an-2 - 9an-3 + 12an-5 + 7an-6 - 15an-7 - 16an-8 + 16an-9 + 15an-10 - 7an-11 - 12an-12 + 9an-14 - an-15 - 3an-16 + an-17

5

an= - an-1 + 3an-2 + 7an-3 + 3an-4 - 11an-5 - 21an-6 - 13an-7 + 13an-8 + 41an-9 + 44an-10 + 8an-11 - 49an-12 - 81an-13 - 57an-14 + 15an-15 + 88an-16

+106an-17 + 48an-18 - 48an-19 -106an-20 - 88an-21 - 15an-22 + 57an-23 + 81an-24 + 49an-25 - 8an-26 - 44an-27 - 41an-28 - 13an-29 + 13an-30 + 21an-31 +

11an-32 - 3an-33 - 7an-34 - 3an-35 + an-36 + an-37

6

an = -5an-1 -13an-2 -21an-3 -19an-4 +5an-5 +57an-6 +127an-7 +184an-8 +180an-9 +70an-10 -162an-11 -476an-12 -768an-13 -889an-14 -695an-15 -114an-16

+794an-17 +1806an-18 +2570an-19 +2701an-20 +1929an-21 +234an-22 -2072an-23 -4374an-24 -5898an-25 - 5950an-26 -4180an-27 -771an-28 +3521an-29

+7530an-30 +9994an-31 +9959an-32 +7119an-33 +1994an-34 -4156an-35 -9657an-36 -12909an-37 -12881an-38 -9447an-39 -3464an-40 +3464an-41

+9447an-42 +12881an-43 +12909an-44 +9657an-45 +4156an-46 -1994an-47 -7119an-48 -9959an-49 -9994an-50 -7530an-51 -3521an-52 +771an-53

+4180an-54 +5950an-55 +5898an-56 +4374an-57 +2072an-58 -234an-59 -1929an-60 -2701an-61 -2570an-62 -1806an-63 -794an-64 +114an-65 +695an-66

+889an-67 +768an-68 +476an-69 +162an-70 -70an-71 -180an-72 -184an-73 -127an-74 -57an-75 -5an-76 +19an-77 +21an-78 +13an-79 +5an-80 +an-81

7*

a(n) = a(n-197) + 11a(n-196) + 66a(n-195) + 284a(n-194) + 979a(n-193) + 2867a(n-192) + 7391a(n-191) + 17167a(n-190) + 36502a(n-189) + 71854a(n-188) + 132001a(n-187) + 227579a(n-186) +

369573a(n-185) + 566345a(n-184) + 818910a(n-183) + 1114468a(n-182) + 1418684a(n-181) + 1667858a(n-180) + 1762862a(n-179) + 1567406a(n-178) + 913631a(n-177) - 382005a(n-176) - 2490306a(n-175) - 5527702a(n-174) - 9503162a(n-173) - 14258598a(n-172) - 19411273a(n-171) - 24310113a(n-170) - 28020291a(n-169) - 29351159a(n-168) - 26940769a(n-167) - 19405263a(n-166) - 5553140a(n-165) +

15346812a(n-164) + 43268288a(n-163) + 77138720a(n-162) + 114608227a(n-161) + 151932369a(n-160) + 184024666a(n-159) + 204725598a(n-158) + 207315406a(n-157) + 185268748a(n-156) +

133212155a(n-155) + 48004017a(n-154) - 70183102a(n-153) - 216930246a(n-152) - 382960078a(n-151) - 554012366a(n-150) - 711346353a(n-149) - 832955143a(n-148) - 895498622a(n-147) - 876864666a(n-146) - 759163548a(n-145) - 531860790a(n-144) - 194674273a(n-143) + 240182841a(n-142) + 746828188a(n-141) + 1285960424a(n-140) + 1806771216a(n-139) + 2250587298a(n-138) +

2556103772a(n-137) + 2665846492a(n-136) + 2533288725a(n-135) + 2129874995a(n-134) + 1451101463a(n-133) + 520790749a(n-132) - 607206046a(n-131) - 1850443990a(n-130) - 3102719461a(n-129) -

4242198625a(n-128) - 5142328327a(n-127) - 5684628585a(n-126) - 5772140029a(n-125) - 5342085203a(n-124) - 4376237801a(n-123) - 2907601789a(n-122) - 1022286568a(n-121) + 1144093134a(n-120) + 3415602536a(n-119) + 5590244180a(n-118) + 7458159648a(n-117) + 8822115392a(n-116) + 9518231826a(n-115) + 9434741790a(n-114) + 8526633540a(n-113) + 6824351658a(n-112) +

4435274433a(n-111) + 1537407289a(n-110) - 1634445881a(n-109) - 4808938651a(n-108) - 7703022656a(n-107) - 10048957558a(n-106) - 11620750186a(n-105) - 12257251526a(n-104) -

11879415820a(n-103) - 10499785534a(n-102) - 8223052813a(n-101) - 5237477687a(n-100) - 1797913038a(n-99) + 1797913038a(n-98) + 5237477687a(n-97) + 8223052813a(n-96) + 10499785534a(n-95) + 11879415820a(n-94) + 12257251526a(n-93) + 11620750186a(n-92) + 10048957558a(n-91) + 7703022656a(n-90) + 4808938651a(n-89) + 1634445881a(n-88) - 1537407289a(n-87) - 4435274433a(n-86) -

6824351658a(n-85) - 8526633540a(n-84) - 9434741790a(n-83) - 9518231826a(n-82) - 8822115392a(n-81) - 7458159648a(n-80) - 5590244180a(n-79) - 3415602536a(n-78) - 1144093134a(n-77) +

1022286568a(n-76) + 2907601789a(n-75) + 4376237801a(n-74) + 5342085203a(n-73) + 5772140029a(n-72) + 5684628585a(n-71) + 5142328327a(n-70) + 4242198625a(n-69) + 3102719461a(n-68) + 1850443990a(n-67) + 607206046a(n-66) - 520790749a(n-65) - 1451101463a(n-64) - 2129874995a(n-63) - 2533288725a(n-62) - 2665846492a(n-61) - 2556103772a(n-60) - 2250587298a(n-59) -

1806771216a(n-58) - 1285960424a(n-57) - 746828188a(n-56) - 240182841a(n-55) + 194674273a(n-54) + 531860790a(n-53) + 759163548a(n-52) + 876864666a(n-51) + 895498622a(n-50) + 832955143a(n-49) + 711346353a(n-48) + 554012366a(n-47) + 382960078a(n-46) + 216930246a(n-45) + 70183102a(n-44) - 48004017a(n-43) - 133212155a(n-42) - 185268748a(n-41) - 207315406a(n-40) - 204725598a(n-39) -

184024666a(n-38) - 151932369a(n-37) - 114608227a(n-36) - 77138720a(n-35) - 43268288a(n-34) - 15346812a(n-33) + 5553140a(n-32) + 19405263a(n-31) + 26940769a(n-30) + 29351159a(n-29) +

28020291a(n-28) + 24310113a(n-27) + 19411273a(n-26) + 14258598a(n-25) + 9503162a(n-24) + 5527702a(n-23) + 2490306a(n-22) + 382005a(n-21) - 913631a(n-20) - 1567406a(n-19) - 1762862a(n-18) - 1667858a(n-17) - 1418684a(n-16) - 1114468a(n-15) - 818910a(n-14) - 566345a(n-13) - 369573a(n-12) - 227579a(n-11) - 132001a(n-10) - 71854a(n-9) - 36502a(n-8) - 17167a(n-7) - 7391a(n-6) - 2867a(n-5) -

979a(n-4) - 284a(n-3) - 66a(n-2) - 11a(n-1)

*Tento rekurentn vzorec byl odvozen z denomintoru vytvoujc funkce, viz str. 19. Rekurence pro k=8 m u ale hloubku 477 a pslun vzorec by zabral

2 strany (myslm, e ho nem smysl zde publikovat). V programu Mathematica je jej mono (ppadn i pro vy k) zskat takto (me trvat nkolik minut)

inversef[j_]:=(m=2;While[j>Fibonacci[m],m=m+1];m);

denom[k_]:=(x-1)^(2k+1)*Product[Cyclotomic[j,x]^(2*(k-inversef[j]+1)),{j,2,Fibonacci[k]}];

Table[Sum[Coefficient[Expand[denom[k]],x,i]*Subscript[a,n-i],{i,0,Exponent[denom[k],x]}],{k,1,8}]//TraditionalForm

33

Tabulka udv poty rozmstn neohroujcch se k dam na achovnici n x n, diagonla odpovd klasickmu problmu n dam.

n

k queens, n x n

n queens, n x n k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8

A036464 A047659 A061994 A108792 A176186 A178721 A252593*

1 1

2 0 0 0 0

3 8 0 0 0 0 0 0 0

4 44 24 2 0 0 0 0 2

5 140 204 82 10 0 0 0 10

6 340 1024 982 248 4 0 0 4

7 700 3628 7002 4618 832 40 0 40

8 1288 10320 34568 46736 22708 3192 92 92

9 2184 25096 131248 310496 312956 119180 13848 352

10 3480 54400 412596 1535440 2716096 2119176 636524 724

11 5280 107880 1123832 6110256 17117832 23636352 14803480 2680

12 7700 199400 2739386 20609544 84871680 186506000 207667564 14200

13 10868 348020 6106214 60963094 349093856 1131544008 2008758532 73712

14 14924 579264 12654614 162323448 1239869972 5613017128 14752426528 365596

15 20020 926324 24675650 396155466 3905117168 23670094984 87154016752 2279184

16 26320 1431584 45704724 899046952 11139611892 87463182432 432539436508 14772512

17 34000 2148048 80999104 1917743448 29224290600 289367715488 1858901487620 95815104

18 43248 3141120 138170148 3879011584 71402912960 872345119896 ? 666090624

19 54264 4490256 227938788 7491080844 164029487484 2427609997716 ? 4968057848

20 67260 6291000 365106738 13892164232 357164398040 6305272324272 ? 39029188884

21 82460 8656860 569681574 24854703014 741835920276 ? ? 314666222712

22 100100 11721600 868289594 43071383040 1477798367368 ? ? 2691008701644

23 120428 15641340 1295775946 72532831794 2836053660668 ? ? 24233937684440

24 143704 20597104 1897176508 119038462248 5263672510684 ? ? 227514171973736

25 170200 26797144 2729909796 190849299076 9478352925488 ? ? 2207893435808352

http://oeis.org/A036464http://oeis.org/A047659http://oeis.org/A061994http://oeis.org/A108792http://oeis.org/A176186http://oeis.org/A178721http://oeis.org/A252593

34

26 200200 34479744 3866439956 299547508728 16606678238496 ? ? 22317699616364044

27 234000 43915768 5397191260 461105824676 28378012168908 ? ? ?

28 271908 55411720 7434046062 697264240408 47398421913600 ? ? ?

29 314244 69312516 10114126790 1037206552414 77522788818316 ? ? ?

30 361340 86004800 13604287706 1519678218528 124365738451680 ? ? ?

31 413540 105919940 18105920006 2195518394830 195977208395580 ? ? ?

32 471200 129537600 23860611236 3130809484640 303748457927000 ? ? ?

33 534688 157388960 31156143476 4410583469036 463582807382736 ? ? ?

34 604384 190060544 40333505448 6143370199976 697434075907504 ? ? ?

35 680680 228197664 51794268148 8466479411308 1035256352634420 ? ? ?

36 763980 272508504 66009149958 11552406363136 1517521355687872 ? ? ?

37 854700 323767788 83526964218 15616183774498 2198354851112760 ? ? ?

38 953268 382821120 104984952954 20924209082128 3149525540545556 ? ? ?

39 1060124 450588876 131119515534 27804270360662 4465340754179496 ? ? ?

40 1175720 528070800 162778537232 36657476189408 6268789672000200 ? ? ?

* Hodnoty pro k=8 doplnil do OEIS (a do n=15) Antal Pinter 18.12.2014, Vclav Kotovec pak 20.12.2014 dopotal hodnoty pro n=16 a n=17 (vpoet trval 36 hodin).

Related links:

A q-Queens Problem, I. General theory - Seth Chaiken, Christopher R. H. Hanusa, Thomas Zaslavsky, Electronic Journal of Combinatorics, 21 (2014), no. 3, Paper P3.33, 28 pp.

A q-Queens Problem. II. The square board - Seth Chaiken, Christopher R. H. Hanusa, Thomas Zaslavsky, Journal of Algebraic Combinatorics, 41 (2015), no. 3, 619-642

A q-Queens Problem. III. Partial queens - Seth Chaiken, Christopher R. H. Hanusa, Thomas Zaslavsky, 21.2.2014

A q-Queens Problem. V. The Bishops' Period - Seth Chaiken, Christopher R. H. Hanusa, Thomas Zaslavsky, 14.5.2014

A q-Queens Problem - Christopher R. H. Hanusa (with Thomas Zaslavsky and Seth Chaiken), MOVES Conference, in New York City, August 2-4, 2015

The q-Queens Problem: One-Move Riders on the Rectangular Board - Jaimal Ichharam, 27.1.2015

http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v21i3p33http://arxiv.org/abs/1402.4880http://arxiv.org/abs/1402.4886http://arxiv.org/abs/1405.3001http://qcpages.qc.cuny.edu/~chanusa/research/talks.htmlhttp://qcpages.qc.cuny.edu/~chanusa/research/talks/qqMOVES-handout.pdfhttp://arxiv.org/abs/1501.06642

35

1.1.1) n Queens on an n x n chessboard - n dam na achovnici n x n - A000170

Klasick n-Queens problem. O tomto problmu bylo sepsno ji mnoho lnk i knih. Jeden z nejplnjch seznam odkaz nalezneme nap. na strnce n-Queens -

324 references, ve Wikipedii je nejvce informac v nmeck verzi. Vpoetn stediska a tmy nadenc se ji adu let pedhnj v tom, kdo vypote hodnotu pro

dal n, ale s rostoucmi n to jde (i se stle rychlejmi potai) dopedu jen pomalu. V roce 2004 bylo pokoeno n=24, ale n=26 si muselo pokat a do roku 2009.

Ve s neobvyklm vpoetnm vkonem, za pouit stovek paralelnch procesor.

Ozname-li poet rznch pozic neohroujcch se n dam na achovnici n x n jako Q(n), potom pro tuto funkci je (v roce 2011) znmo pouhch 26 hodnot. Z tak

malho potu je nemon urit obecn vzorec. Osobn se domnvm, e pokud existuje, nebude pli elegantn a bude mt nekonen mnoho len. Z mch vzorc

pro dlku denomintoru pro k dam na achovnici n x n toti vyplv, e vytvoujc funkce pro klasick n-Queens problem neme mt jmenovatel konen dlky.

Dlka rekurence se zvyujcm se k exponenciln narst a poet potench hodnot nezbytnch pro rekurenci narst do nekonena. Kad hodnota Q(n) je

proto zejm uniktn! Je vak stle urit ance, e by pesto lo takov hypotetick vzorec s nekonen leny njak zjednoduit a vyjdit v uzavenm tvaru.

Rekurence pro k dam na n x n (cj jsou konstanty, n>dk) je:

Pokud pijmeme moj hypotzu z pedchoz kapitoly, je dlka rekurence pro poet neohroujcch se k dam na achovnici n x n asymptoticky rovna

Kad z rekurenc je dna potenm potem uniktnch hodnot, ze kterch je pak pomoc rekurentnho vzorce mono vypotat vechny hodnoty a do nekonena.

Problm je v tom, e pokud jde k do nekonena, jde pro tyto posloupnosti i poet tchto uniktnch hodnot do nekonena a je asymptoticky roven dk. Podle toho se

domnvm, e pokud se hodnota k bude pibliovat hodnot n, pjde i mez potu uniktnch hodnot potebnch pro rekurenci do nekonena. Vechny hodnoty Q(n)

proto budou uniktn (poten z hlediska ppadn rekurence) a vzorec pro Q(n) tak vbec neexistuje, resp. neme mt konen mnoho len.

initial values

For each recurrence several initial values of sequence must be determined by the problem and all the next values of sequence are possible to compute using

recurrence relation. Number of initial values is the order of sequence. For number of ways to place k non-attacking queens on an n x n board is conjectured

recurrence order dk. If k going to infinity then also number of initial values (asymptotically = dk) going to infinity. Therefore each value of Q(n) is probably "initial

value"! In other words all values of Q(n) must be computed by counting and can not be computed from some recurrence. I think that no finite formula for n-Queens

problem exists.

http://oeis.org/A000170http://www.liacs.nl/~kosters/nqueens/index.htmlhttp://www.liacs.nl/~kosters/nqueens/index.htmlhttp://de.wikipedia.org/wiki/Damenproblemhttp://queens.inf.tu-dresden.de/?n=f&l=en

36

Conjectures on asymptotic behaviour of Q(n) - Hypotzy o funkci Q(n) pro

Nco jinho je odhad prbhu funkce Q(n) pro velk n, v tomto smru existuje nkolik hypotz. Nsleduje pehled hypotz a tabulka hodnot s pslunmi

koeficienty. O asymptotickm chovn tchto funkc obecnji viz kap. 12.

1) Igor Rivin, Ilan Vardi, Paul Zimmermann, The n-Queens Problem, The American Mathematical Monthly, 101 (7/1994), str.629-639. Na stran 631 vyslovili

hypotzu, e

kde konstanta a > 0 (do tabulky na str. 38 jsem doplnil aktuln vsledky, tehdy byly znmy hodnoty jen do n=20)

Tento vztah je sice sprvn, ale jeliko je pravdpodobn a = 1, moc toho nek.

2) Birger Nielsen na sv internetov strnce Dronninger p et skakbrt odhadl 27.9.2000 na zklad pravdpodobnosti pro umstn dal dmy, Q(n) jako

(2) kde p=0.3885...

Tato hypotza se zd v souasnosti jako nejlep (= best conjecture).

Nyn pouijeme Stirlingv vzorec

Pokud pijmeme vztah (2), potom by ale muselo bt

Dosazenm do (1) dostaneme

Pi nem vztah (1) dnou hodnotu (i jen zejm je silnj ...).

http://web.telecom.cz/vaclav.kotesovec/rivin_1994.pdfhttp://web.archive.org/web/20060915061412/http:/www.246.dk/dronning.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html

37

3) Benoit Cloitre 10.11.2002 vyslovil podobnou hypotzu, podle nj

Je zajmav, e mezi touto konstantou C a konstantou p z hypotzy B.Nielsena plat jednoduch vztah

Take pokud p=0.3885..., muselo by bt C=0.9454...

4) Dal pozoruhodn vsledek publikovali 28.8.2008 Cheng Zhang and Jianpeng Ma. V lnku Counting Solutions for the N-queens and Latin Square Problems by

Efficient Monte Carlo Simulations (PDF) doli pomoc simulac metodou Monte Carlo k (zatm asi nejpesnjmu) vztahu:

s maximln chybou 0.02 (pro n > 100). Zatmco pedchoz hypotzy vznikaly na zklad pokus o extrapolaci ze znmch (pesnch) vsledk, tedy pouze z nco

pes 20 sel, tento vsledek m jin charakter. Autoi simulovali problm a do achovnic n x n, kde n=10000. Takov vsledky, podloen teori pravdpodobnosti,

maj proto vt vhu. Jejich metoda nm sice nepinese pesn hodnoty Q(n) pro jednotliv n, ale u odhad lze stanovit rozsah pravdpodobn chyby. Je to proto

prvn rovnice, kter nen jen hypotzou, ale opravdovm vsledkem een tohoto problmu.

Tento vsledek je tm shodn s hypotzou Birger Nielsena, nebo pepotem vychz

po pravch z toho dostaneme co se d napsat tak jako

a nyn u je na mst otzka, zda konstanta 0.993 nem bt sp 1 ?

Pokud bychom obrcen vyli z (elegantnj) hypotzy Birger Nielsena, lze ji pevst do tvaru

5) Dal vsledky viz kapitola 12.

http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0808/0808.4003v1.pdfhttp://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0808/0808.4003v1.pdf

38

V nsledujc tabulce a grafech meme porovnat odhady pro znm hodnoty Q(n)

n

4 2 0.12500 0.436790 0.6212266624 0.855476662

5 10 0.28613 0.537285 0.4969813299 0.684381330

6 4 0.12895 0.353953 0.8654928084 1.021659475

7 40 0.27081 0.446620 0.6908974152 0.824754558

8 92 0.27181 0.419382 0.7603517907 0.877476791

9 352 0.29651 0.420095 0.7709107004 0.875021812

10 724 0.28597 0.388049 0.8519621180 0.945662118

11 2680 0.29926 0.382559 0.8735214338 0.958703252

12 14200 0.32063 0.387578 0.8688514376 0.946934771

13 73712 0.33612 0.388542 0.8726340743 0.944710997

14 365596 0.34669 0.385792 0.8844240718 0.951352643

15 2279184 0.36039 0.387849 0.8839962227 0.946462889

16 14772512 0.37213 0.388976 0.8852238369 0.943786337

17 95815104 0.38156 0.388506 0.8898319151 0.944949562

18 666090624 0.39050 0.388371 0.8932504953 0.945306051

19 4968057848 0.39908 0.388602 0.8954520716 0.944767861

20 39029188884 0.40703 0.388822 0.8974020412 0.944252041

21 314666222712 0.41408 0.388575 0.9002552664 0.944874314

22 2691008701644 0.42087 0.388583 0.9022838241 0.944874733

23 24233937684440 0.42734 0.388717 0.9038217572 0.944560888

24 227514171973736 0.43341 0.388823 0.9052706563 0.944312323

25 2207893435808352 0.43904 0.388796 0.9069115985 0.944391599

26 22317699616364044 0.44438 0.388795 0.9083671268 0.944405588

27 ? ? ? ? ?

1 ? 0.3887... ? 0.9454... ? 0.9440... ?

39

1.2) k Queens on an k x n chessboard - k dam na achovnici k x n

Ppad rozmstn k dam na achovnici k x n je o nco jednodu ne pro achovnici n x n. I tyto vzorce byly pedmtem

intenzvnho zjmu matematik u v 19. stolet. Ale opt a zskn vce hodnot pomoc pota o 100 let pozdji pomohlo

objevit vzorce pro vt hodnoty k.

Vzorce pro achovnici k x n jsou vdy polynomy bez tzv. kvazipolynom (spec. vzorce pro achovnice sudch a lichch rozmr

jsou vdy shodn). Trigonometrick funkce najdeme u vzorc na achovnici n x n a to pouze v ppad liniovch kamen (nikoliv

pro bodov kameny).

2 Queens, board 2 x n:

A061989 - 3 Queens, board 3 x n: (E.Pauls, 1874) , n>=3

A061990 - 4 Queens, board 4 x n: (M.Tarry, 1890) , n>=7

A061991 - 5 Queens, board 5 x n: (V.Kotovec, 1992), n>=11

A061992 - 6 Queens, board 6 x n: (V.Kotovec, 1992) , n>=17

A061993 - 7 Queens, board 7 x n: (V.Kotovec, 1992) , n>=23

A172449 - 8 Queens, board 8 x n: (V.Kotovec, 3.2.2010) , n>=31

http://en.wikipedia.org/wiki/Quasi-polynomialhttp://oeis.org/A061989http://oeis.org/A061990http://oeis.org/A061991http://oeis.org/A061992http://oeis.org/A061993http://oeis.org/A172449

40

Koeficient u nk-1

jsem uril ji v roce 1992, Rex Multiplex 38/1992, lnek v rubrice "Echecs et Mathmatiques".

Koeficient u nk-2

odvodil udovt Lan v roce 2001,

viz lnky "150 rokov problmu smich dm", . Lan, Pat a Mat 32/2001, str. 17-20 a

Co novho v problmu N - dam (What's new in N-queens problem), V. Kotovec, Pat a Mat 32/2001, str.20-21.

Nyn jsem tento vzorec potvrdil jinou metodou (v jinm tvaru, ale se shodnmi hodnotami) a souasn ovil pro k=8 (co v roce 2001 byla jen hypotza).

Obecn maj tyto vzorce tvar:

(sekvence u tetho lenu by tedy mla pokraovat takto: 0, 2, 30, 139, 407, 943, 1879, 3378, 5626, 8840, ...)

O autorech vzorc pro k=3 a k=4 se zmiuje Wilhelm Ahrens ve sv knize

Mathematische Unterhaltungen und Spiele (vydn z roku 1921) na str.277.

Vzorec pro k=3 publikoval E.Pauls, "Das Maximalproblem der Damen auf

dem Schachbrette", Deutsche Schachzeitung, 1874, str.261-263

Vzorec pro k=4 publikoval M. Harold Tarry na kongresu francouzskch

matematik v roce 1890 v Limoges. Ve sv pednce uvedl i vzorce pro k=2

a k=3 a je proto v literatue obas uvdn i jako autor tchto vzorc (vzorec

pro k=3 vak vymyslel ji v roce 1874 E.Pauls).

V Intermdiaire des Mathmaticiens 1903, str.297-8 (str.682 v PDF) potom

Tarry vyzval matematiky k nalezen obdobnho vzorce pro achovnici 5 x n,

nikdo vak takov vzorec nenalezl. Tento problm pak vyeil a Vclav

Kotovec v roce 1992.

Poznmka: Ke stejnm vsledkm (pro k=2,3,4,5,6) doli v lnku Nonattacking queens in a rectangular strip (PDF) (na str.16) Thomas Zaslavsky, Seth Chaiken a

Christopher R.H. Hanusa (2009). Bohuel jejich dal vsledky (uveden v tomto lnku) pro stelce, jezdce a ttoe jsou ze achovho pohledu chybn, protoe

uvaovali jen takov rozmstn, kde na kadm sloupci stoj prv 1 kmen. To plat pro dmy a ve, ale v ppad jinch kamen me stt na jednom sloupci

2 i vce neohroujcch se kamen stejnch hodnot. Pro tyto ppady tedy eili jin problm (vce matematick ne achov).

Formulas for queens and rooks in this article are same, but for bishops, knights and nightriders with additional condition there is to be one piece in each row.

http://problem64.beda.cz/silo/azemard_vk_rm1992.pdfhttp://problem64.beda.cz/silo/kotesovec_8dam_pam32_2001.pdfhttp://books.google.com/books?id=3-c5AAAAMAAJhttp://books.google.com/books?id=kFpLAAAAMAAJhttp://www.math.binghamton.edu/zaslav/Tpapers/qrs.pdfhttp://www.math.binghamton.edu/zaslav/

41

Co se te faktu, e vechny vzorce v tto skupin neplat u od , ale a od uritho n (zvislho na k), existuje vztah mezi rozsahem platnosti vzorc a pslunmi vytvoujcmi funkcemi. Jak jsem ji uvedl v kapitole 1.1, vytvoujc funkce pro vechny tyto posloupnosti jsou racionln, jde tedy o podl dvou

polynom s celoselnmi koeficienty.

Pokud nen stupe polynomu v itateli vet ne stupe polynomu ve jmenovateli ( ) , plat explicitn vzorec u od . V ppad, e p > q , tedy stupe polynomu v itateli je vt ne stupe polynomu ve jmenovateli, potom explicitn vzorec plat a od

Rekurentn vzorec plat v tomto ppad a od

Samotn vytvoujc funkce dv platn hodnoty (na rozdl od explicitnch a rekurentnch vzorc) vdy u od . Pokud budeme uvaovat (pro k dam na k x n) nap. , je itatel (numerator) vytvoujc funkce polynom 39.stupn ( ) a jmenovatel polynom 9.stupn ( ). Explicitn vzorec proto me platit a od a rekurentn a od .

Vytvoujc funkce maj nkter zajmav vlastnosti. Pokud vynsobme tuto funkci x, vsledn posloupnost se nemn, jen dojde k jejmu posunu o 1 doprava (tedy

pedchoz hodnota a1 je nyn a2 atd.). Vynsoben lenem x8 tedy znamen jen to, e posloupnost vlastn zan a od n=8. Zbvajc polynom v itateli m

stupe 31, k jeho uren je proto poteba urit celkem 32 koeficient. Na prvn pohled se to zd pli, protoe explicitn vzorec je polynom jen 8.stupn, k jeho

uren sta znt jen 9 koeficient. Ve zbytku itatele vytvoujc funkce je tak navc zakdovna informace o (atypickch) potench lenech posloupnosti.

Jmenovatel (denominator) vytvoujc funkce pmo uruje tvar rekurentn posloupnosti, kterou zskme (po roznsoben) nahrazenm vech len vrazy , piem vyuijeme fakt, e x

0=1. V tto skupin vzorc m jmenovatel vdy tvar (x-1)

k+1, z eho vyplv obecn tvar rekurentnho vztahu (dan binomickmi

koeficienty se stdnm znamnka - viz tabulka na stran 44). Speciln tedy, pokud maj dv rzn posloupnosti explicitn vzorce dan polynomy stejnch stup a

navc oba vzorce plat pro vechny jejich leny (tedy u od n=1), pak maj ob takov posloupnosti shodn rekurentn vzorec. Ten ale samotn nen (na rozdl od

vytvoujc funkce) postaujc k uren vech hodnot posloupnosti, k tomu je teba jet znt pslun poet prvnch len tto posloupnosti.

Pro prv analyzovanou skupinu vzorc (k dam na k x n) plat

Take explicitn vzorce plat a pro

http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_functionhttp://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation#Rational_generating_functionhttp://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relationhttp://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation

42

a rekurentn vzorce a pro

Tedy nap. pro k=9 vychz p=48, q=10, explicitn vzorec bude platit a pro n >= 39 a rekurentn pro n >= 49. Jeliko explicitn vzorec bude polynom 9.stupn, bylo

by teba pro uren jeho 10 koeficient vypotat hodnoty posloupnosti pro n=39 a n=48. Pro ti z tchto koeficient vak u mme obecn vzorce, proto by stail

vpoet hodnot a do n=45 plus jedna hodnota pro kontrolu, tedy do n=46. K tomu by ale bylo nezbytn prozkoumat

~ 9*1017 pozic, co u je nad sly

souasnch PC.

Obrcen, pokud u znme explicitn vzorec a potebujeme urit vytvoujc funkci, tak pro vechny vzorce na achovnici k x n je stupe polynomu ve jmenovateli

a pokud ozname n1 prvn takov n, pro kter explicitn vzorec u plat, pak je stupe polynomu v itateli vytvoujc funkce roven

Pro ppad k kamen na achovnici k x n, kdy jmenovatel vytvoujc funkce je vdy (x-1)k+1

a explicitn vzorec je proto vdy pouze polynom (bez tzv.

kvazipolynom), lze odvodit vztah mezi koeficienty vytvoujc funkce a explicitnm vzorcem. Ukame si to nejprve na pkladu. Pro poet rozmstn

4 neohroujcch se dam na achovnici 4 x n je vytvoujc funkce

Stupe polynomu v itateli je p=11, stupe polynomu ve jmenovateli je q=5. Vytvoujc funkci lze zapsat tak ve tvaru

Jeliko je p > q, jedn se o dv sti, obecn

kde ct a gs jsou konstanty.

Pi vpotu koeficient Taylorova rozvoje se stupe polynomu vlevo kadou derivac sn o 1, a po derivacch bude u stle 0 (tmto zpsobem je ve vytvoujc funkci zakdovno, e nkolik prvnch len posloupnosti se chov odlin ne jej zbytek).

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

43

Snadno lze odvodit (a indukc dokzat) pro n>=1 nsledujc vztah pro n-tou derivaci v nule vrazu

Nyn meme urit leny posloupnosti jako koeficienty Taylorova rozvoje vytvoujc funkce pro takto:

Zpis explicitnho vzorce zjednodume substituc a pouitm kombinanch sel

V naem konkrtnm pkladu mme

a po dosazen dostvme

pro

co souhlas se vzorcem odvozenm jinou metodou.

44

Kdy znme explicitn vzorce, jsou obvykle u vytvoujc funkce pro danou posloupnost mn zajmav, pesto je zde pro porovnn pehledn uvdm. Jen bych

jet poznamenal, e nkter velmi dlouh vrazy (pesahujc 1 dku) nemlo smysl upravovat do matematick sazby a nechal jsem je proto v dkovm tvaru.

k Queens on an k x n chessboard

k Generating function Explicit formula Recurrence

2

n2

- 3n + 2 an = 3an-1 - 3an-2 + an-3

n 1 4

3

n3

- 9n2 + 30n - 36 an = 4an-1 - 6an-2 + 4an-3 - an-4

n 3 7

4

n4

- 18n3 + 139n

2 - 534n + 840

an = 5an-1 - 10an-2 + 10an-3 - 5an-4 +

an-5

n 7 12

5

n

5 - 30n

4 + 407n

3 - 3098n

2 + 13104n -

24332

an = 6an-1 - 15an-2 + 20an-3 -15an-4 +

6an-5 - an-6

n 11 17

6 -2x^6 (4x^17-12x^16+12x^15+10x^14-10x^13+40x^12-278x^11+677x^10-582x^9-

62x^8+654x^7-501x^6+293x^5-46x^4+138x^3-12x^2+33x+2) / (x-1)^7

n

6 - 45n

5 + 943n

4 - 11755n

3 + 91480n

2

- 418390n + 870920

an = 7an-1 - 21an-2 + 35an-3 - 35an-4 +

21an-5 - 7an-6 + an-7

n 17 24

7 2x^7 (24x^23 -140x^22 +320x^21-220x^20 -284x^19 +510x^18 -142x^17 -308x^16

+1998x^15 -5672x^14 +8326x^13-7831x^12 + 7462x^11-7616x^10+6472x^9-2857x^8

+264x^7 +2019x^6 -1356x^5+1292x^4-88x^3+331x^2-4x+20) / (x-1)^8

n7 - 63n

6 + 1879n

5 - 34411n

4 +

417178n3 - 3336014n

2 + 16209916n -

36693996

an = 8an-1 - 28an-2 + 56an-3 - 70an-4 +

56an-5 - 28an-6 + 8an-7 - an-8

n 23 31

8

-2x^8 (36x^31 -180x^30 +180x^29 +660x^28 -2104x^27 + 4532x^26 -14179x^25

+32645x^24 -40080x^23 +20775x^22 + 9741x^21-31157x^20+21956x^19+40810x^18-

114212x^17 + 130860x^16-124057x^15 +168145x^14 -230282x^13 +226719x^12-

144237x^11 +67626x^10 -40135x^9 +42738x^8 -24838x^7 + 11807x^6 +2384x^5

+897x^4 +2172x^3 +773x^2 +119x +46) / (x-1)^9

n8 - 84n

7 + 3378n

6 - 85078n

5 +

1467563n4 - 17723656n

3 +

145910074n2 - 745654756n +

1802501048

an = 9an-1 - 36an-2 + 84an-3 - 126an-4

+ 126an-5 - 84an-6 + 36an-7 - 9an-8 +

an-9

n 31 40

k numerator = polynomial degree (2k

2 + 4k - 5 + (-1)

k) / 4

nk - 3k(k-1)/2*n

k-1 +

(9k4/8-29k

3/12 - k

2/8 + 23k/12 -1/4 +

(-1)k/4)*n

k-2 - ...

k+1

an = an-i(-1)i-1 i=1

denominator = polynomial degree k+1 = (x-1)k+1

n (2k2 - 5 + (-1)

k) / 4 (2k

2 + 4k - 1 + (-1)

k) / 4

non-attacking chess pieces (sixth edition)

Documents