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NOMBRES COMPLEXES : GEOMETRIE EXERCICES D APPLICATIONS
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u vr r
CBA+−=+=+=
1) Placer les points A, B et C dans le repère ci-dessous.
2)
Montrer que ABC est rectangle isocèle.
3) Déterminer l’affixe du point D tel que le quadrilatère
ABDC soit un carré.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i2zeti3z;i3z CBA =+=−=
1) Calculer les distances OA, AB, BC et CO.
2)
Placer les points A, B et C dans un repère.
3) En déduire la nature du quadrilatère OABC.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i3zetzz;i2
3
2
3z CABA =−=+=
1) On pose CA
BA
zz
zzZ
−−= . Donner la forme algébrique de Z.
2) Calculer le module et un argument de Z
3) En déduire la nature du triangle ABC.
Exercice 2:��
Exercice 3:��
'
Mr ABIDI Farid 3SE
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Exercice 1:�On considère les points A, B et C d’affixes respectives z 1 i ; z 2 3i et z 1 2i
On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives : 3zet3i2z;3i2z;1z DCBA =−=+=−=
1) Réaliser une figure.
2) Calculer les distances AB, BC et AC
3) En déduire la nature du triangle ABC.
4) Calculer les affixes des vecteurs CA et CD .
5) Calculer CD
CA
zz
zz
−−
et donner le résultat sous forme algébrique.
6) En déduire la nature de ADC.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i51zeti22z;i1z CBA +=−=−−=
1) On pose AB
AC
zz
zzZ
−−
= . Donner la forme algébrique de Z.
2) Calculer le module et un argument de Z
3) En déduire la nature du triangle ABC.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i7z;23z;i1z CBA −==−−= .
1) Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
2) Ecrire zB sous forme algébrique.
3) Déterminer la nature du triangle ABC.
4) Déterminer l’affixe zD du point D tel que ABCD soit un carré.
5) Soit I le point d’affixe zI = 3 – i et Γ l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie : 4i3z =+−
a) Les points A, B, C et D appartiennent-ils à Γ ?
b) Quelle est la nature de Γ ? Construire Γ.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i41z;i43z;i2z CBA −=+=+−= .
1) Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
2) Déterminer la nature du triangle ABC.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i1z;i33z;i21z CBA −=+=+−= .
Calculer l’affixe de D pour que ABCD soit un parallélogramme.
Exercice 4:��
Exercice 5:��
Exercice 6:��
( cos + i sin ) 4
π4
π
Exercice 7:��
Exercice 8:��
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CORRIGE :
1)
2) Montrer que ABC est rectangle isocèle.
5i21)i1(i32zzAB AB =+=+−+=−=
5i2)i1(i21zzAC AC =+−=+−+−=−=
10i3)i21(i32zzBC BC =−−=+−−+=−=
Donc, le triangle ABC est isocèle en A.
De plus, BC² = AB² + AC² donc d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
3) i5zi21i1i32zzzzzABCDcarréunestABDC DDABCD =⇔+−−−+=⇔−=−⇔=⇔
On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i2zeti3z;i3z CBA =+=−=
1) 2i3zOA A =−==
2i2)i3(i3zzAB AB ==−−+=−=
23i)i3(i2zzBC BC =−=+−=−=
2i2zCO C ===
2) Laissons le soin au lecteur de faire une figure.
3) OA = AB = BC = CO donc le quadrilatère OABC est un losange.
1) CA
BA
zz
zzZ
−−= .
2
3i
2
1Z +=
2) ]2[3
)Zarg(;1Z ππ
==
3) léquilatèraestABCtriangleledonc]2[
3)AB;AC(]2[
3)Zarg(
.AenisocèleestABC1AC
AB1Z
ππ
=⇔ππ
=
⇔=⇔=
On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives : 3zet3i2z;3i2z;1z DCBA =−=+=−=
1)
2) 32zzAB AB =−=
32zzAC AC =−=
32zzBC BC =−=
Le triangle ABC est équlatéral.
3) L’affixe du vecteur CA est 3i3 +− et l’affixe du vecteur CD est 3i1 +
4) 3izz
zz
CD
CA =−−
5) Le triangle ADC est rectangle en C.
Exercice 1:��
Exercice 2:��
Exercice 3:��
Exercice 4:��
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Laissons le soin au lecteur de faire une figure.
Laissons le soin au lecteur de faire une figure.
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On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i51zeti22z;i1z CBA +=−=−−=
1) On pose AB
AC
zz
zzZ
−−
= . Donner la forme algébrique de Z.
i2zz
zzZ
AB
AC =−−
=
2) Calculer le module et un argument de Z
]2[2
)Zarg(;2Z ππ
==
3) En déduire la nature du triangle ABC.
AengletanrecestABCtriangleledonc]2[2
)AC;AB(]2[2
)Zarg(
AB2AC2Z
ππ
=⇔ππ
=
=⇔=
1)
2) i33)2
2i
2
2(23)
4sini
4(cos23zB +=+=
π+
π=
3) 24i44)i1(i33zzAB AB =+=−−−+=−=
88)i1(i7zzAC AC ==−−−−=−=
24i44)i33(i7zzBC BC =−=+−−=−=
Donc, le triangle ABC est isocèle en A.
De plus, AC² = AB² + BC² donc d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
4) i53i1)i33(i7zzzzzBCADcarréABCD DBCAD −=−−+−−=⇔−=−⇔=⇔
5) Soit I le point d’affixe zI = 3 – i et Γ l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie : 4i3z =+−
a) Γ∈=−=+−−−=+− Adonc44i3i1i3zA
Γ∈==+−+=+− Bdonc4i4i3i3.3i3zB
Γ∈==+−−=+− Cdonc44i3i7i3zC
b)
Exercice 5:��
Exercice 6:��
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.4rayonetIcentredecercleauappartientM4IM4zz4i3z I ⇔=⇔=−⇔=+−
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On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i41z;i43z;i2z CBA −=+=+−= .
1)
2) 34i35)i2(i43zzAB AB =+=+−−+=−=
34i53)i2(i41zzAC AC =−=+−−−=−=
68i82)i43(i41zzBC BC =−−=+−−=−=
Donc, le triangle ABC est isocèle en A.
De plus, BC² = AB² + AC² donc d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i1z;i33z;i21z CBA −=+=+−= .
i23i21i33i1zzzzzBCADrammelogparalléABCD DBCAD −−=+−−−−=⇔−=−⇔=⇔
Exercice 8:��
Exercice 7:��
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Laissons le soin au lecteur de faire une figure.
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