Universidad Autónoma de YucatánFacultad de Ingeniería

Probabilidad y EstadísticaUnidad 2 ADA2

Nociones de probabilidad

Alumno: Puc Ciau José Ángel

Fecha de entrega: 02 de febrero del 2016

Problema 1. Originalmente, cuatro empleados (Pedro, Juan, Israel y Gerardo) participan en una

rifa de dos premios.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que Pedro sea ganador de alguno de los premios?

2C24C1

+ 1C13C 1

= 14+13= 712

La probabilidad de que Pedro salga ganador es 712 . Se empleó una sumatoria, puesto que

Pedro puede salir ganador en la primera rifa o en el segundo. En la primera rifa hay dos

premios que se pueden combinar de una forma (2C2) y cuatro combinaciones de uno (ya que

en la primera parte de la rifa entran los cuatro participantes y de ellos saldrá uno ganador, y

queremos que sea Pedro: 4C1¿, cuando salga el primer ganar, podría no salir seleccionado

Pedro, pero queda un premio que podría ser para él, entonces queda una sola combinación

para el premio (1C1) y tres participantes que entran a la rifa, y solo uno podrá salir ganador (

3C 1¿. Como se usa “o” gana primero o de segundo, por lo tanto, se realiza una suma. El

numerador son los casos favorables y el denominador los casos posibles.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que Israel y Gerardo sean ambos premiados?

2C24C 2

=16

Hay dos premios y una sola forma de combinarlos (2C 2¿, en tanto, cuatro son los que

entran a la rifa, pero los que importan es Israel y Gerardo, es decir, dos personas, de

cuatro de quieren a ellos dos como los premiados (4C2¿

c) Supón ahora que se añadió a Mayra a la lista de empleados, pero se va a rifar un premio

extra. Calcula las probabilidades de los incisos anteriores tomando en cuenta este hecho

y compáralos.

Para el inciso a:

3C 35C1

+ 2C 24C1

+ 1C13C1

=15+ 14+ 13=4760

=0.783

Se emplea el mismo método explicado para el inciso a, a diferencia que ahora son tres

premios en la primera parte (3C 3¿ y de cinco personas se elegirá a uno (5C1). Luego

solo quedarán tres premios, con cuatro participantes, posteriormente un premio con tres

participantes. Pedro puede ganar la primera vez o en la segunda o en la tercera

ocasión.

Para inciso b:

3C 25C 2

= 310

Ahora se tiene tres premios, de los cuales dos personas podrán llevárselo (3C2), es

decir, Israel y Gerardo, los cuales son los casos favorables. En dicha rifa se escogerá

dos personas de cinco (5C2), estos son los casos posibles.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que Mayra gane un premio, pero Pedro no?

3C 25C 3

= 310

Son cinco los participantes en la rifa: Juan, Israel, Mayra, Pedro y Gerardo, se descartan

las combinaciones de que Pedro gane algún premio, y no se toman en cuenta. Son

cinco personas que entran a la rifa, de los cuales de escogerán a tres (no debe estar

Pedro, esto es de acuerdo con las especificaciones del inciso) esto es 5C3, como uno

de los premios se lo debe llevar Mayra, quedan dos premios que podrán darse a

cualquiera de los participantes (excepto Pedro) para eso es 3C2.

Problema 2. Cien adultos fueron entrevistados en una encuesta por teléfono. En la tabla

siguiente se muestra la proporción de opinión en cuanto a lo complicado que resulta devolver el

préstamo, y si la persona tenía un hijo en la universidad:

Carga de préstamo

Hijo en la universidad Alta(A) Razonable(B) Baja (C) Total

Sí (D) 0.20 0.09 0.01 0.30

No (E) 0.41 0.21 0.08 0.70

Total 0.61 0.30 0.09 1.00

¿Cuáles de los siguientes eventos son independientes entre sí?

A y D

B y D Respuesta

En base a la fórmula de eventos independientes(P (A⋂B )=P ( A )P (B )) , se analiza que caso

es un evento independiente:

Analizando caso A y D

P (A⋂D )=(0.61 ) (0.30 )= 1831000

=0.183≠0.20

Analizando caso B y D

P (B⋂D )=(0.30 ) (0.30 )= 9100

=0.09=0.09

En el caso B y D se cumple que P (B⋂D )=P ( A ) P(B), por lo tanto, es un evento

independiente entre sí.

Problema 3. Se seleccionó una muestra grande de personas en el área metropolitana de la

ciudad de México para estudiar el comportamiento del consumidor. Los resultados fueron los

siguientes:

Género

Femenino Masculino

¿Disfruta comprar calzado?

Si 452 302

No 25 225

Supón que un encuestado elegido es mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que ella disfrute

de comprar calzado?

P (Sc|F )= 452452+25

=452477

=0.9476

Sea Sc las mujeres que disfrutan comprar calzado y F el total de las mujeres. No se toma el

total de encuestados, ya que las mujeres y hombres son excluyentes entre sí, y no pude haber

un intermedio entre ellos dos, o son hombre o son mujeres.

Supón que un entrevistado disfruta de comprar calzado. ¿Cuál es la probabilidad de que

sea hombre?

P (Sc|M )= 302302+452

=302752

=0.4005

Ocurre el mismo caso que en el anterior punto. Sea Sc los hombres que disfrutan comprar

calzado y M el total de los hombres encuestados. No se toma el total de encuestados, ya que

las mujeres y hombres son excluyentes entre sí, y no pude haber un intermedio entre ellos dos,

o son hombre o son mujeres.

Problema 4. Entre las mujeres de 40 años que participan en un examen de cáncer mamario,

1% tiene cáncer. El 80% de las mujeres con cáncer de mama da mamografías positivas. No

obstante, 9.6% de las mujeres sin cáncer darán positivo en sus mamografías. Una mujer de

esta edad dio positivo en sus exámenes de cáncer en una revisión de rutina.

Se realiza un diagrama de árbol:

**Para obtener las ramificaciones correspondientes, el enunciado dice

que 1% tiene cáncer, por consiguiente, en 99% no lo tiene. Para la

segunda ramificación, el 80% de mujeres con cáncer de mama da

mamografías positivas y el 20% negativas. Para los que no tienen

cáncer, un 9.6% dará positivo a sus exámenes (pero no tiene cáncer)

y el restante (90.4%) lo dará negativo.

¿Cuál es la probabilidad de que realmente tenga cáncer?

Nos interesa el evento donde las mamografías son positivas (MP):

P (MP )=0.01∗0.80+0.99∗0.096=0.10304

Se busca la probabilidad de P (SC|MP ). Por el teorema de Bayes (sea SC si tiene

cáncer):

P (SC|MP )=P (SC ) P (C|MP )P (MP )

=0.01∗0.800.10304

= 0.0080.10304

=0.07763=7.763%

¿Qué sería lo recomendable para esta mujer?

Que se realice nuevamente el estudio, ya que la probabilidad de que tenga cáncer es bajo,

puesto que al calcular la probabilidad de que se tenga cáncer y la mamografía salga positiva

es muy baja a comparación de que no tenga cáncer y salga positiva la revisión, por

consiguiente, para corroborar este punto, es necesario una nueva revisión de rutina.