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Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

NN ÚÚ MM EE RR OO SS Revista de Didáctica de las Matemáticas

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Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984

Volumen 92, julio de 2016, página 2

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil

hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza,

aplicaciones de la investigación…

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex, Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.

Director

Israel García Alonso

Comité editorial

Hugo Afonso, Alicia Bruno, Dolores de la Coba, Miguel Domínguez, Yanira Duque, Fátima García, Mª Aurelia Noda e Inés Plasencia.

Consejo asesor

José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Alicia Bruno, Juan Manuel Contreras, Juan Díaz, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez, Arnulfo Santo, José Carrillo,

Luis Rico y Xavier Vilella.

Portada. Autor: Alberto José Vera Título: “Simetría natural”. (Primer Premio en Concurso Fotografía y Matemáticas 2006)

Edita

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Apartado 329.

38200 La Laguna (Tenerife) España

Email: [email protected]

Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas

Luis Balbuena Castellano (Presidente), Mª Nila Pérez Francisco (Vicepresidenta), Mª Isabel Borges Pérez

(Secretaria General), Sergio Alexander Hernández Hernández (Tesorero), Francisco Aguiar Clavijo

(Vicesecretario), Pilar Acosta Sosa (Secretaria de actas), Rosario Cano Pérez (Bibliotecaria). Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Nieves Marcela Herrera Pérez (Gran Canaria),

Raquel Méndez Bolaños (La Gomera), Carmen San Gil López (La Palma), Carmen Mª Tavío Alemán

(Tenerife).

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y

noviembre.


mailto:[email protected]

http://www.sinewton.org/




ISSN: 1887-1984

Volumen 92, julio de 2016, páginas 3-4

Índice

Editorial 5

Artículos

Interpretación y clasificación de la demanda cognitiva de actividades

matemáticas que involucran a los números fraccionarios y decimales en

Educación Primaria 7

T. Cortadellas Benítez

El Índice de Masa Corporal. Una experiencia de modelación y uso de modelos

matemáticos para el aula de clase 21

M. M. Parra-Zapata, J. Parra-Zapata, M. Ocampo-Arenas y J.A. Villa-Ochoa

Cómo la naturaleza nos muestra una solución a algunos problemas difíciles: el

recocido simulado 35

F. Moreno Soto

Efemérides de Agustín de Pedrayes y Foyo: un destacado matemático español

del siglo XVIII 49

C. León-Mantero, M.J. Madrid, A. Maz-Machado

La evaluación en Matemáticas en el Grado de Maestro de Primaria 57

R. Nortes Martínez-Artero, A. Nortes Checa

Concepciones de Profesores de Matemáticas acerca de la Evaluación y las

Competencias 71

C. Dolores Flores; J. García-García

Secciones

Experiencias de aula

3D, 2D, 1D 93

E. Teixidor Cadenas

Mundo Geogebra

Análisis de progresos y dificultades en tareas de identificación del rombo en

Educación Primaria con GeoGebra 105

A. Arnal-Bailera, A. Lancis Fleta

Índice (continuación)

4 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 92 julio de 2016

5

Problemas

De Torneos y otros asuntos interesantes, pues empezamos con candelabros y

terminamos con cavernas. (Problemas Comentados XLIII) 117

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Juegos

La liebre y la tortuga: un juego de recorrido sin dados 135

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Leer Matemáticas

Didáctica del Análisis Matemático: una revisión de las investigaciones sobre su

enseñanza y aprendizaje en el contexto de la SEIEM. C. Azcárate, M. Camacho-Machín,

M.T. González, M. Moreno (Coords.) 145

Reseña: Rosa Nortes Martínez-Artero

Avances y realidades de la Educación Matemática. Núria Planas. (Coord.) 149

Reseña: Rosa Nortes Martínez-Artero

Informaciones 153

Normas para los autores 157




ISSN: 1887-1984


E D

I T O

R I A

L

Israel García, Director de NNúúmmeerrooss

Llega el verano. Y con él se harán realidad los proyectos de ocio y descanso que venimos

planificando meses atrás. Pero también llega el nuevo volumen de Números. En esta ocasión me

gustaría que por un momento fijasen su atención en la portada. Aparece un panal. Al ver el panal me

viene a la memoria un problema clásico, ¿por qué las abejas construyen panales con forma hexagonal?

Las abejas son estupendas resolutoras de problemas de máximos y mínimos: buscan la máxima

superficie que requiera la mínima cantidad de cera. Además, necesitaban que encajaran bien entre sí,

de forma que el entramado no dejara huecos. En este problema se había fijado ya Pappus de Alejandría

y le daba respuesta hacia el año 300 aC. Las abejas conocen que el hexágono posee menor perímetro

que un cuadrado para un área dada y, por tanto, ahorran cera en su construcción.

En este número de Números

Contaremos con los siguientes trabajos:

La autora Cortadellas, presenta un trabajo de análisis del conocimiento de los maestros en

formación acerca de las fracciones entendidas como la representación de la parte de un total y su

relación con los números decimales.

Los autores del siguiente trabajo, Parra-Zapata, Parra-Zapata, Ocampo-Arenas y Villa-Ochoa,

nos proponen un trabajo de modelización matemática dentro del contexto del cálculo del índice de

masa corporal. El trabajo contextualizado crea un ambiente de aprendizaje que invita a los estudiantes

a indagar o investigar, por medio de la matemática, con situaciones de referencia en la realidad.

En el siguiente trabajo, realizado por Moreno Soto, el autor nos ofrece un estudio acerca del

algoritmo de recocido simulado, algoritmo de optimización global que surge a partir de la analogía con

el proceso físico de recocido al que se someten los sólidos para obtener estados de mínima entropía.

El trabajo de León-Mantero, Madrid y Maz-Machado, presentan la semblanza biográfica y las

principales aportaciones de Agustín Pedrayes y Foyo, matemático del siglo XVIII.

Por su parte, Nortes Martínez-Artero y Nortes Checa rescatan un problema de los maestros en

formación que algunos autores ya han señalado: el profesorado ha de enseñar a sus estudiantes

contenidos elementales propios de la etapa educativa para la que estos se están preparando como si

fuera la primera vez que estos estudiantes los abordan. Realizan un estudio estadístico de los

resultados de los estudiantes a Maestros de Primaria en el que tratarán de comprobar varias hipótesis

planteadas.

Y cerrando esta primera parte de la revista encontramos el trabajo de Dolores Flores y García

García, quienes realizan un análisis de las concepciones que poseen los docentes acerca de la

evaluación y las competencias. Interesante trabajo pues se ha comprobado que las concepciones de los

docentes determinan su práctica.

Editorial I. García


E

D

I

T

O R

I

A

L

También contamos con las secciones fijas de nuestra revista:

Experiencias de aula nos muestra un material manipulativo denominado BaFi, cuya finalidad es

la manipulación y construcción de figuras geométricas en tres dimensiones. Debemos trabajar estas

figuras con nuestros estudiantes. La propuesta es muy interesante. No te la pierdas.

Mundo Geogebra nos ofrece la utilización de Geogebra para que los estudiantes diferencien y

conozcan mejor las propiedades y características de un rombo.

Seguidamente contamos con los desafíos propuestos para esta semana en las secciones de

Problemas y Juegos, para terminar con dos lecturas recomendadas para el próximo cuatrimestre:

Didáctica del Análisis Matemático y Avance y realidades de la Educación Matemática.

Esperamos disfruten este nuevo volumen.




ISSN: 1887-1984


Interpretación y clasificación de la demanda cognitiva de actividades matemáticas

que involucran a los números fraccionarios y decimales en Educación Primaria

Tere Cortadellas Benítez

(Universidad de Barcelona. España)

Fecha de recepción: 22 de abril de 2015

Fecha de aceptación: 29 de febrero de 2016

Resumen Presentamos una experiencia de aula acontecida en un cuarto curso de Grado de Maestro

de Educación Primaria en torno al análisis de actividades matemáticas en función del nivel de demanda cognitiva. Las tareas propuestas versan sobre fracciones, la

equivalencia de fracciones y su representación, y sobre la relación entre fracciones y

números decimales. Reflexionamos sobre las respuestas ofrecidas por el alumnado de

grado y las discusiones matemáticas que tuvieron lugar en el aula a raíz de sus

producciones.

Palabras clave Maestro de Primaria, conocimiento matemático, tareas matemáticas, demanda cognitiva,

números decimales, números fraccionarios.

Abstract We present a classroom experience occurred in fourth Primary Teacher Grade course

around the analysis of mathematical tasks depending on the level of cognitive demand.

The proposed tasks deal with fractions, equivalence of fractions and their representation,

and the relationship between fractions and decimals. We reflect on the answers given by

the students of grade and the math discussions that took place in the classroom as a result

of their productions.

Keywords Primary Teacher, mathematical knowledge, mathematical tasks, cognitive demand,

decimal numbers, fractions.

1. Introducción

Partimos de la cita de Miguel de Guzmán:

La matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método

claramente predomina sobre el contenido. Por ello se concede una gran

importancia al estudio de las cuestiones, en buena parte colindantes con la

psicología cognitiva, que se refieren a los procesos mentales de la resolución

de problemas. (Guzmán, 1989)

Combinar y encontrar un equilibrio entre la metodología heurística y los contenidos es labor del

profesor de matemáticas. Fijado este objetivo, el modo en que el maestro dirige su actividad para que

el alumno descubra la matemática es crucial para que éste sea capaz de activar su capacidad de

razonamiento y creatividad.


Interpretación y clasificación de la demanda cognitiva de actividades matemáticas que

involucran a los números fraccionarios y decimales en Educación Primaria T. Cortadellas Benítez

8 NÚMEROS Vol. 92 julio de 2016

Qué preguntas, tareas o actividades proponer a nuestros alumnos, en qué momento plantearlas y

cómo presentarlas, teniendo en mente qué problemas, ideas, métodos y estrategias se pretenden

activar, es labor del docente en matemáticas.

El principal objetivo del presente trabajo es mostrar una experiencia de observación del conocimiento matemático del futuro maestro, conocimiento para desarrollar las actividades adecuadas

para el aprendizaje de los alumnos de primaria. Conocimiento que engloba tanto el contenido de la

materia y su organización, como la forma particular de conocimiento matemático que incorpora los aspectos propios de la enseñanza. Este conocimiento capacita a los docentes para introducir, exponer y

representar la materia de manera comprensible para sus alumnos y, a su vez, permite entender cómo

éstos piensan y representan sus ideas. El conocimiento matemático del maestro es indispensable para

poder ofrecer a los alumnos de primaria actividades que permitan, además de aprender; intuir,

descubrir y construir la matemática.

Presentamos en este trabajo una experiencia de aula en un cuarto curso de Grado de Maestro de

Educación Primaria. El trabajo expone una propuesta de actividad planteada para analizar la actividad

de la matemática escolar, concretamente se propone al alumnado de Grado el análisis de cuatro tareas destinadas al alumnado de primaria; análisis centrado en el nivel de demanda cognitiva que exige al

alumnado. El presente trabajo se centra principalmente en el análisis de las respuestas del alumnado de

Grado a la propuesta y en el relato de las discusiones matemáticas desarrolladas en el aula a raíz de

estas respuestas. Las cuatro tareas de primaria analizadas por el alumnado de Grado tratan un contenido curricular concreto, el de los números fraccionarios, principalmente el concepto de fracción

como relación entre las partes y el todo y la relación entre fracción y número decimal. Este contenido

involucra ideas matemáticas que, a menudo, resultan difíciles para el alumnado de formación de

profesorado.

Entre los trabajos publicados que se ocupan de las cuestiones que se tratan en este trabajo nos

gustaría comentar aquí algunos de ellos. Shulman (1986) distingue tres categorías de conocimiento del

contenido para la enseñanza: conocimiento de la materia, conocimiento pedagógico del contenido y

conocimiento curricular. Posteriormente, Hill, Ball y Schilling (2008) proponen ampliaciones de esta categorización y modelos específicos para el conocimiento matemático de la enseñanza. Los que

siguen son trabajos que tienen en común a los números decimales como objeto matemático de

investigación. Julia Centeno (1988), en su bella monografía sobre los números decimales realiza un trabajo de síntesis sobre estos “números” atendiendo a su realidad social, su historia, su construcción

matemática y su relación con los números enteros y racionales con el enfoque que ella denomina el

“conocimiento para enseñar”. El texto se preocupa por el problema de la organización de la enseñanza de los números decimales, de cómo introducirlos, y de las dificultades y de los errores relacionados

con su concepto, su escritura y sus operaciones. Se ocupa profundamente también la autora de las

situaciones para enseñar diferentes aspectos de los números decimales. Konic, Godino y Rivas (2010)

presentan el análisis de una lección introductoria a los números decimales en un libro de texto de cuarto curso de primaria. El trabajo de Llinares (2011) se centra en el conocimiento de matemáticas

que debe ayudar al estudiante para maestro a desempeñar su labor profesional, ejemplificando la tarea

profesional del maestro de analizar libros de texto.

El trabajo se estructura como sigue. El modelo de clasificación de la tarea matemática que se trabajó en el curso de Grado en el que tiene lugar la experiencia es el presentado en la sección 2. Esta

clasificación aparece en artículo de Smith y Stein (1998) y considera cuatro categorías de demanda

cognitiva; estas categorías distinguen el nivel de demanda cognitiva que exige una tarea al alumnado

para su resolución. La experiencia en aula se desarrolla en la sección 3; en ella, presentamos la tarea propuesta al alumnado de Grado, exponemos y analizamos las respuestas ofrecidas, así como las

discusiones matemáticas que tuvieron lugar en el aula en torno a los conceptos e ideas sobre los que

versan las tareas. Concluimos, en la sección 4, que el análisis de las producciones y de las discusiones



9 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016

matemáticas del alumnado de Grado de Maestro de Primaria permite determinar, corregir si es

necesario, y desarrollar el conocimiento matemático del futuro maestro, necesario para el buen

ejercicio de la profesión de la enseñanza.

2. Análisis y clasificación de actividades atendiendo al nivel de demanda cognitiva

En el curso de Grado en el que se desarrolla la experiencia que nos ocupa se trabaja la

clasificación de actividades o tareas matemáticas y, entre ellas, la clasificación presentada en el

artículo de Smith y Stein (1998) que atiende al nivel de demanda cognitiva exigida por la actividad. El artículo está centrado en la selección y creación de tareas matemáticas a partir de experiencias con

docentes. Las autoras distinguen cuatro categorías:

1. Memorización

2. Procedimientos sin conexión. 3. Procedimientos con conexión.

4. Hacer matemáticas.

A continuación, se definen estas categorías atendiendo a la caracterización que propone el

artículo citado.

Las tareas de memorización:

Reproducen hechos, reglas, fórmulas y definiciones aprendidas o dadas previamente.

No pueden ser resueltas utilizando un procedimiento porque no existe o porque en el marco

en que se pide no prevé suficiente tiempo para efectuarlo.

No son ambiguas. Implican la reproducción exacta de tareas hechas con anterioridad.

No tienen conexión con los conceptos o significados que son el fundamento de las reglas, hechos o definiciones aprendidos o reproducidos.

Las tareas de procedimientos sin conexión:

Son algorítmicas. Se dice concretamente lo que hay que usar o es muy evidente por las

actividades previas.

Reclaman poca demanda cognitiva para ser resueltas. Hay poca ambigüedad sobre lo que

hay que hacer y cómo hacerlo.

No hay conexión con los conceptos o significados que subyacen en el procedimiento

utilizado.

Están enfocadas a producir respuestas correctas en lugar de desarrollar comprensión

matemática.

No piden explicaciones o solo las piden enfocadas a describir el procedimiento usado.

Las tareas de procedimientos con conexión:

Están enfocadas al uso de procedimientos con la intención de desarrollar niveles más

profundos de comprensión de conceptos y de ideas matemáticas.

Sugieren implícita o explícitamente pautas a seguir que son procedimientos más generales

que tienen conexiones propias con las ideas subyacentes.

Requieren cierto grado de esfuerzo cognitivo. Aunque pueden utilizar procedimientos




generales, éstos no se aplican automáticamente. El alumnado necesita establecer una

relación con las ideas que fundamentan el procedimiento para poder resolver la actividad

con éxito y desarrollar su comprensión.

Las tareas de hacer matemáticas:

Requieren pensamiento complejo y no algorítmico. No sugieren ninguna aproximación

predecible ensayada con anterioridad a la propuesta de la tarea.

Requieren que el alumnado entienda y explore la naturaleza de los conceptos.

Exigen auto-regulación del propio proceso cognitivo.

Fomentan el acceso a conocimiento relevante y a utilizarlo en la tarea.

Requieren analizar la actividad y las restricciones que pueden limitar las posibles estrategias

para su resolución.

Exigen un considerable esfuerzo cognitivo y pueden implicar ansiedad por parte del

alumnado a causa de la naturaleza impredecible que el proceso de resolución requiere.

No se debe pretender que todas las actividades propuestas en las aulas sean de alto nivel cognitivo. Si el objetivo es recordar definiciones, hechos básicos, reglas o propiedades, las tareas de

memorización serán las adecuadas. Si el objetivo es incrementar la velocidad y destreza en la resolución de ejercicios rutinarios, las actividades de procedimientos sin conexión serán las

apropiadas. De hecho, la habilidad en este tipo de ejercicios puede favorecer la eficiencia en tiempo y

esfuerzo para la resolución de las cuestiones rutinarias de tareas más complejas. No obstante, el alumnado debe tener la oportunidad de enfrentarse a tareas que conduzcan a la comprensión más

profunda de la naturaleza matemática de los procedimientos, ideas, conceptos y relaciones.

Es evidente que la asignación de tareas a las categorías puede ser discutible. En todo caso, en la

caracterización de la categoría, deberán tenerse en cuenta las circunstancias, la edad y los

conocimientos previos del alumnado

Dada una tarea, para poder clasificarla, previamente hay que realizar un análisis de la misma. Para clasificar una tarea, es determinante preguntarse cómo el alumnado puede resolver la tarea, qué

debe haber memorizado el alumnado o qué procedimiento debe utilizar, si creemos que nos

encontramos ante una tarea de bajo nivel (de memorización o de procedimientos sin conexión) y; en el caso de tareas de alto nivel (de procedimientos con conexión o de hacer matemáticas), qué ideas

matemáticas pueden desarrollar o qué conexiones pueden establecer.

El artículo de Smith y Stein (1998) y el capítulo de libro de Smith, Stein, Arbaugh, Brown y

Mossgrove (2004) presentan ejemplos de análisis de tareas destacando la importancia de este análisis con el fin de determinar el nivel de pensamiento requerido. El libro de Stein, Smitth, Henningen y

Silver (2000) muestra cómo la demanda cognitiva de la tarea puede evolucionar y cambiar durante su

implementación en aula.

3. Experiencia

La experiencia que exponemos tiene lugar en un aula de cuarto curso del Grado de Maestro de

Educación Primaria durante el desarrollo de una asignatura de didáctica de la matemática. El

alumnado ha cursado, en su segundo y tercer curso de grado, sendas asignaturas de matemáticas y su

didáctica centradas en los contenidos curriculares, las metodologías para su enseñanza y la heurística para la resolución de problemas. El grupo clase está formado por 60 alumnos y las sesiones, dos por





semana, son de 90 minutos; para las actividades que se realizan en grupos se forman 16 (sub)grupos de

trabajo.

3.1. La experiencia en su contexto

Aunque nos centramos en el presente trabajo en los aspectos relacionados con las respuestas ofrecidas por el alumnado ante una propuesta de clasificación de tareas matemáticas de primaria,

secuenciamos a continuación las actividades realizadas en torno a la experiencia.

En la primera sesión se presenta el modelo de clasificación por Smith y Stein (1998) y se

debate sobre el análisis y clasificación de las tareas que aparecen en el texto. Finaliza la

sesión con la presentación de una actividad que se realizará en grupos, como actividad fuera

de aula, y se entregará en la próxima sesión. Detallamos esta propuesta en la sección 3.2.

En la segunda sesión se analizan y clasifican, en el conjunto de toda la clase, las tareas que

aparecen en el trabajo de Smith et al. (2004).

En la tercera sesión se discuten las respuestas a la actividad propuesta y surge en la clase un

diálogo sobre los números decimales.

Cabe señalar que en el artículo de Smith y Stein (1988) presentado en la primera sesión, se

analizan, entre otras, cuatro tareas que versan sobre los números fraccionarios, concretamente sobre la

multiplicación de estos números.

Las tareas de Smith et al. (2004) están propuestas por los autores del texto para su clasificación.

En la primera mitad de la segunda sesión el alumnado realiza la clasificación individualmente o en

grupos. Insistimos en el aula en que, previamente a la categorización, deben realizar la tarea de tantas

maneras como les sea posible, previendo los posibles errores que podrían cometer los alumnos de primaria e identificando qué conceptos o ideas matemáticas pueden utilizar; así mismo, insistimos en

que la clasificación debe ser razonada y argumentada en base al análisis realizado. En la segunda parte

de la sesión se abre un debate sobre las clasificaciones realizadas en todo el grupo de clase.

3.2. La actividad

La actividad propuesta al alumnado de Grado de Maestro de Educación Primaria, y del que

surge la idea de este trabajo de investigación, es la clasificación razonada de las tareas de la Figura 1.

Las cuatro tareas aparecen en el texto de Smith et al. (2000, p. 13).

En el momento de presentar la actividad se precisa un aspecto fundamental, a quien van

dirigidas las tareas objeto de análisis. Son actividades propuestas para un aula de sexto de primaria; se supone que en ella se han trabajado los siguientes contenidos relativos a la investigación: la fracción

como parte de una unidad o de una colección, la equivalencia de fracciones, los números fraccionarios

y su relación con los números decimales y los porcentajes, y la representación de fracciones utilizando

diversos modelos, entre ellos la recta numérica.




1. Determina la expresión decimal y el porcentaje equivalente a las fracciones 1

2 y

1

4.

2. Determina la expresión decimal y el porcentaje equivalente a la fracción 3

8.

3. Utiliza la cuadrícula 10 × 10 siguiente para determinar el porcentaje equivalente a la

fracción 3

5 y su valor numérico.

4. Sombrea seis de los cuadrados de la tabla que se muestra a continuación. Utilizando la tabla, explica como determinar el porcentaje de área de rectángulo correspondiente a la parte

sombreada.

Figura 1. La actividad propuesta al alumnado de Grado: clasificación de las tareas

3.3. Análisis de las respuestas del alumnado

En el curso de Grado de Maestro de Primaria se insiste en que el docente debe tener en cuenta

cómo el alumnado de primaria podrá responder a la tarea, qué procesos puede desencadenar, qué conexiones permite establecer; es decir, hasta donde puede dar de sí. La mayoría de alumnos clasifica

acertadamente cada una de las actividades siendo éstas una de cada categoría y presentadas en orden

creciente en requerimiento de nivel de demanda cognitiva. Sin embargo, la previsión que ofrece el alumnado del curso sobre la resolución de las actividades por parte del alumnado de primaria se

reduce básicamente a la siguiente:

1. 1

2= 0,5 → 50%,

1

4= 0,25 → 25%

2. 3

8= 0,375 → 37,5%

3. 3

5= 0,6 → 60% y pintar posteriormente 60 cuadraditos

4. 6

40= 0,15 → 15% o bien

6

40=

3

20=

15

100→ 15%

Figura 2. Resolución de las tareas por parte del alumnado de Grado





Es decir, en todas ellas el alumnado aplica directamente un procedimiento general, el mismo en

la mayoría de casos, sin establecer relaciones con los conceptos subyacentes. La actividad se realiza en

grupos de trabajo, 16 grupos, y en este caso:

En la de previsión de las posibles respuestas de alumnado de primaria a la tarea 3, 9 de los

16 grupos muestran únicamente la respuesta que aparece en la Figura 2.

En la previsión de posibles respuestas de alumnado de primaria a la tarea 4, 12 de los 16

grupos no ofrecen en su análisis otras respuestas que las que aparecen en la Figura 2.

En el caso de las dos primeras actividades de nivel bajo (de memorización y de procedimientos

sin conexión), los argumentos que ofrece el alumnado del Grado para clasificar las actividades en cada

categoría no responden al nivel de demanda cognitiva requerido, sino que atiende a la menor o mayor

dificultad en la división del numerador entre el denominador de la fracción dada. El argumento para considerar las actividades 3 y 4 como actividades de alto nivel (de procedimientos con conexión y de

hacer matemáticas) se soporta en la representación de la fracción dada como parte de una unidad; sin

embargo, en la resolución presentada no se utiliza este concepto como base del procedimiento mediante el que se determina el valor numérico o porcentaje equivalente. Por tanto, atendiendo a las

respuestas ofrecidas por el alumnado de Grado, la clasificación de las cuatro tareas sería de

“procedimientos sin conexión”.

Ante estas respuestas nuestra labor es preguntar y analizar qué pretende un maestro al proponer en su aula de primaria estas tareas. Respecto la tarea 1 la pregunta adecuada es si, al proponerla en un

aula de sexto de primaria, creemos que el maestro pretende que sea una actividad algorítmica, si es

necesario que el alumno realice algún procedimiento aprendido previamente, o si el maestro pretende

observar si su alumnado ha interiorizado que 0,5 y 0,25 son, respectivamente, las expresiones

decimales de las fracciones 1

2 y

1

4 así como que 50% y 25% son, respectivamente, los porcentajes

equivalentes. Esta observación nos permite clasificar la actividad como de memorización. Las

diferentes acepciones de 1

2 y

1

4 es un ejemplo de tarea que puede plantearse a alumnos de primaria de

distintos cursos. Es decir, dado un contenido matemático, según se plantee la tarea, se desarrollará un

tipo de conocimiento conceptual y se activarán unos procedimientos cognitivos concretos. Por tanto,

dado un contenido matemático, la tarea se plantea según la capacidad cognitiva o competencia que se quiere desarrollar en el alumno, de acuerdo con su desarrollo intelectual, es decir, su nivel educativo.

Resulta así, que la clasificación depende del nivel educativo en el que se plantea.

En el caso de la tarea 2 hay consenso en que pretende observar si el alumnado de sexto de

primaria ha aprendido algún procedimiento general explicado y trabajado en el aula con anterioridad; por ejemplo, la realización de una división utilizando el algoritmo estándar de división (decimal) o

estrategias propias de cálculo, para obtener el valor numérico decimal y su posterior conversión a

porcentaje multiplicando éste por cien. También hay consenso en que para su resolución no es

necesario que el alumno de primaria utilice los conceptos e ideas matemáticas que validan el procedimiento. Estas reflexiones son las que permiten clasificar la tarea 2 como una actividad de

procedimientos sin conexión.

Las respuestas ofrecidas en la actividad 3 ponen de manifiesto que más de la mitad de los

alumnos del curso del Grado no reconoce el objetivo de la actividad —utilizar la cuadrícula para determinar el porcentaje equivalente a la fracción dada— puesto que este alumnado calcula en primer

lugar el porcentaje con el mismo procedimiento que en la actividad 2 para, posteriormente, sombrear

el número de cuadraditos en la tabla. De nuevo, la pregunta que debe hacerse el futuro maestro es qué

se pretende con el planteamiento de la actividad, en este caso profundizar en la idea de fracciones




equivalentes utilizando una representación, la cuadrícula dada, como registro semiótico. Por ejemplo,

pintar 3

5 de la cuadrícula dada, considerando que dos columnas son un quinto de la misma, según se

muestra en la Figura 3, permite observar que marcar 3

5 de la cuadrícula se corresponde con marcar 60

de los 100 cuadrados de la tabla y, por tanto, se puede deducir que la fracción 3

5 es equivalente a la

fracción 60

100 .

Figura 3. Representación de la tarea 3

Esta equivalencia permite observar, sin un cálculo explícito, tanto el valor numérico decimal

como el porcentaje que representa la fracción 3

5. Así, la actividad permite utilizar procedimientos

generales como es la representación de una fracción en un cuadrado, pero éste no se utiliza automáticamente, ya que observar en la tabla que dos columnas representan un quinto de la misma no

es un procedimiento directo. Esta anticipación de respuesta del alumnado de primaria nos da

argumentos para clasificar la actividad como de procedimientos (representación de fracciones como

parte de una unidad) con conexión. La conexión se pone de manifiesto al establecer una relación entre

el procedimiento y el concepto de fracciones equivalentes.

En el análisis realizado por los alumnos del Grado de la tarea 4, 12 de los 16 grupos no

observan la instrucción de sombrear seis de los cuadrados y utilizar su disposición para determinar el

porcentaje de área del rectángulo que ocupan. Sin esta observación, el objetivo de la actividad pierde todo su sentido. Los 4 grupos restantes desarrollan la estrategia que sigue del sombreado por columnas

que representa la Figura 4; pintando 4 cuadrados de una columna tenemos un 10% del rectángulo o 1

10

del mismo, por tanto 2 cuadrados ocupan media columna, es decir un 5% o equivalentemente 1

20 del

rectángulo.

Figura 4. Representación de la tarea 4 por columnas

En la sesión de debate se mostraron algunas de las estrategias de resolución de la cuarta actividad realizadas por alumnado de primaria, y que aparecen en el texto de Stein et al. (2000). Entre

ellas, la expuesta anteriormente y la que parte de la idea de que si la tabla fuese 10 × 10 el número de

cuadrados pintados nos daría el porcentaje. Se proyectó la resolución de la actividad tal y como

aparece en el texto citado y que aparece en la Figura 5. A continuación, pedimos a los alumnos del

Grado que interpretasen, utilizando números fraccionarios, el razonamiento que aparecía proyectado.





Si la cuadrícula fuese de 100 cuadrados el número de cuadrados sombreados

nos daría el porcentaje de área de rectángulo sombreado. En la cuadrícula de

40 tenemos 6 cuadrados sombreados. Si añadimos 40 cuadrados más,

tendremos 6 cuadrados más sombreados. Como 20 es la mitad de 40, si

añadimos 20 cuadrados más tendremos 3 cuadrados más sombreados. En

total tenemos 6 + 6 + 3 = 15 cuadrados sombreados de 100 y, por tanto, el

área sombreada es un 15% del área total de rectángulo.

Figura 5. Resolución de la tarea 4 tomada de Stein et al. (2000)

Una parte considerable del alumnado de Grado interpreta el razonamiento de la Figura 5 como 6

40+

6

40+

3

20 en lugar de

6

40=

12

80=

15

100 , confundiendo la suma de fracciones y la equivalencia de

fracciones en la representación.

Éstas y otras estrategias desarrolladas por alumnado de primaria muestran como una tarea puede

activar el razonamiento y profundizar en conceptos e ideas matemáticas.

3.4. Debate en torno a los números fraccionarios y decimales

En este apartado exponemos episodios del diálogo que tuvo lugar en la sesión de debate de la

experiencia. Presentamos extractos del diálogo mantenido en relación a los números decimales. La

sesión de aula nos permitió detectar los conocimientos del alumnado sobre los números decimales y profundizar en las ideas subyacentes en sus representaciones y en los procedimientos aprendidos en

torno a ellos. La discusión matemática se inicia a raíz de una serie de preguntas que inciden en los

objetivos de las tareas analizadas (Figura 1), entre ellas:

¿Considerarías la fracción 3

7 en la tarea 2?,

¿Qué pasa si en la tarea 3 cambiamos la fracción 3

5 por la fracción

2

3 ? ,

¿Qué pasa si en la tarea 4 pedimos sombrear 3 cuadrados?

El primer episodio de la sesión de debate pone de manifiesto las dificultades del alumnado del

Grado para expresar qué es un número decimal y diferenciar entre número decimal y expresión decimal (o valor numérico) de una fracción. Ante la ausencia inicial de respuestas preguntamos qué

son los números decimales. El alumnado sabe cómo son y ofrece ejemplos de ellos, siempre en su

expresión decimal. Entre los ejemplos dados escogemos uno y escribimos en la pizarra diversas expresiones de éste, cómo muestra la Ecuación 1, observando que la coma es simplemente una

expresión, una forma de escribir un tipo particular de fracciones, aquellas que pueden escribirse de

manera equivalente a una fracción con denominador potencia de 10.




203,05 = 2 × 100 + 3 + 5 ×1

100=

20305

100 =

4061

20

Ecuación 1. Expresiones de un número decimal

Insistimos en que éstos, los números decimales, son fruto de la manera en que escribimos los

números naturales, expresiones que indican sumas de agrupaciones en potencias de 10 y en cuya

expresión es determinante la posición de cada potencia; y que algunos de los números racionales, los decimales, son aquellos que podemos escribir como sumas de agrupaciones en potencias de 10 y

particiones de la unidad en potencias de 10. Observamos también, leyendo la Ecuación 1 de derecha a

izquierda, que 4061

20 es un número fraccionario (o racional) y, a su vez, un número decimal; y que la

fracción decimal representante permite obtener inmediatamente su expresión decimal.

Tras estos comentarios, un alumno da la primera de las respuestas a la primera de las preguntas

planteadas: “no, porque la división de 3 entre 7 no es exacta”. Observamos también, paseando por el

aula, que la mayoría de alumnos están realizando la división. Preguntamos entonces:

¿Qué quiere decir que una división sea exacta? ¿La división de 3 entre 8 es exacta?

Esta pregunta permite puntualizar a otro alumno: “porque la división de 3 entre 7 bajando ceros no acaba nunca”. Ambas respuestas ponen de manifiesto las dificultades que tiene el alumnado para

explicar qué son los números decimales. La afirmación del alumno es equivalente a que 3

7 no es un

número decimal, pero resulta evidente la necesidad que tiene el alumnado de realizar la división de

numerador entre denominador de una fracción para decidir si ésta representa a un número decimal.

Llegados a este punto preguntamos:

¿En qué momento aparecen los números decimales en un aula de primaria?

¿Qué conocimientos previos e ideas necesita el alumnado para su comprensión?

¿Qué contextos pueden utilizarse para su ejemplificación y utilidad?

La mayoría de respuestas, expresadas en el lenguaje de los alumnos son: “que los números decimales aparecen como resultado de divisiones no exactas y que el contexto de la medida es el

adecuado para su aplicación”. El diálogo deriva entonces hacia discusiones relacionadas con la

contextualización, y que expondremos posteriormente. En cierto momento interviene un alumno para señalar que: “los alumnos de primaria necesitan entender la idea de parte de la unidad; décima,

centésima…” parte de la unidad insistimos, e instamos a nuestros alumnos a observar la primera de las

igualdades en la Ecuación 1. Destacamos aquí, como hacen los autores en (Konic, Godino y Rivas, 2010) la necesidad de ser argumentado el valor, el significado, que asume una cifra en un número

decimal.

Los dos siguientes episodios de aula enlazan las respuestas del alumnado de Grado a la tarea 2

con la primera parte de la sesión de debate con el objetivo de reflexionar sobre el algoritmo de división

decimal, y sobre las ideas que permiten caracterizar cuando una fracción representa un número

decimal sin realizar esta división.

Recordamos en el aula que en sus previsiones de respuestas para el análisis de la tarea 2 todos

ellos resuelven, correctamente, la división de 3 entre 8, utilizando el algoritmo aprendido,

seguramente, en su etapa escolar de educación primaria y cuya apariencia es, salvo la aparición u

omisión de ceros tras la coma en el dividendo, la que sigue:





Tras escribir la división en la pizarra y ante la petición de una expresión relacionada con este

algoritmo y su escritura los alumnos de Grado nos ofrecen, entre otras equivalentes, 3 = 8 × 0,375 y 3

8= 0,375 =

375

1000 . Borramos ahora parte de la división y nos quedamos con la que aparece en

Ecuación 2 planteando la misma cuestión.

Ecuación 2

Ahora, las respuestas no son inmediatas. Se produce en el aula el error previsible, producido por

la llamada prueba de la división (entera), con la expresión 3 = 8 × 0,3 + 6. Descartada la igualdad,

insistimos en que razonen el significado de ese 6 que aparece en la Ecuación 2. Entonces, aparecen

respuestas como 3 = 8 × 0,3 + 0,6, ya tenemos la 6 décimas, que pone de manifiesto la comprensión

del algoritmo; comprensión de cómo funciona y porqué funciona. Como explica un alumno: “repartir

tres unidades entre 8 es lo mismo que repartir 30 décimas de la unidad entre 8”. Escribimos en la

pizarra la Ecuación 3 para compararla con Ecuación 2.

3

8=

30

80=

1

10×

30

8=

1

10×

24 + 6

8=

3

10+

6

80

Ecuación 3

Observamos que en el algoritmo de división decimal la posición de una cifra nos indica su valor

posicional y que las expresiones con números fraccionarios siempre se refieren a fracciones de una unidad fijada. Así, mientras que leemos 6 décimas entre 8 en la Ecuación 2, en la Ecuación 3 leemos 6

unidades entre 80. El camino está ya abierto para interpretar la expresión:

De ella, deducimos en el aula 3 = 8 × 0,37 + 0,04 y 3

8=

3

10+

7

100+

4

800 y, finalmente:

3

8=

3

10+

7

100+

5

1000= 0,375

Cerramos así la reflexión sobre el procedimiento del algoritmo de división decimal, que tuvo

lugar en el aula de Grado, que proporciona la expresión decimal de un número racional, para abrir el episodio que nos permitió caracterizar cuándo una fracción representa un número decimal en términos

de la factorización (entera) de su denominador. Para ello mostramos la Ecuación 4 en clase.

3

8=

3

2 ⋅ 2 ⋅ 2=

3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5=

375

1000= 0,375

Ecuación 4

3,00 8

60 0,37

4

3,000 8

60 0,375 40

0

3,0 8

6 0,3




Las ideas que se manifiestan en la Ecuación 4 permiten razonar a nuestros alumnos de Grado

que si la factorización del denominador de la fracción en números primos solo contiene los números

primos 2 y 5, entonces es un número decimal. Recíprocamente, expusimos el siguiente razonamiento

que demuestra que el número racional 3

7 no es un número decimal (aunque sí tenga una expresión

decimal) sin la necesidad de verificar que “la división no acaba nunca”: “si fuese un número decimal

lo podríamos escribir como una fracción con denominador potencia de 10; esto es, 3

7=

a

10n que daría

lugar a la igualdad 3 × 10n = 7 × a. Pero en la factorización de 10, y por tanto en la de cualquier

potencia de 10 no aparece el 7 por lo que la igualdad de fracciones que hemos escrito no puede existir

y queda demostrado que 3

7 no es un numero decimal.”

El anterior argumento muestra, de manera sencilla y clara, a nuestro alumnado de Grado la

razón por la que las fracciones que representan números decimales son, únicamente, aquellas que

admiten como fracción representante irreducible una fracción cuyo denominador solo contiene los

primos 2 y 5 en su factorización. Así mismo, les permitirá generalizar el anterior argumento para la demostración de este hecho. Coincidimos con Llinares (2011) en que la comprensión de los conceptos

matemáticos y de sus relaciones es necesaria para poder realizar de manera competente el análisis de

las tareas matemáticas y que la discusión de resultados como el ofrecido contribuye a ello.

Finalizamos esta sección con uno de los episodios del diálogo mantenido en el aula de Grado en torno a la contextualización de los números decimales en el aula de primaria. La mayoría de alumnos

escoge, acertadamente, como situación de la vida real para mostrar el uso o necesidad de los conceptos

y procedimientos utilizados al hallar el valor numérico de 3

8 , la de reparto; así el alumnado ofrece

respuestas como: “repartir 3 kilogramos de caramelos entre 8 amigos” y comentarios como: “repartir 3

kilogramos de caramelos entre 8 amigos es lo mismo que repartir 3000 gramos de caramelos entre 8 amigos” y observan que: “podemos resolver sin decimales obteniendo 375 gramos de caramelos” para

concluir: “0,375 kilogramos de caramelos”. En este momento nos pareció interesante traducir estas

expresiones al lenguaje de fracciones; con esta intención escribimos en la pizarra:

3

8

3000

8

Y, preguntamos si podemos escribir una igualdad entre las dos fracciones. La respuesta es

contundente, un no que se apoya en el distinto valor numérico. Preguntamos si pueden escribir la

expresión “repartir 3 kilogramos de caramelos entre 8 amigos es lo mismo que repartir 3000 gramos

de caramelos entre 8 amigos” utilizando una ecuación que contenga las dos fracciones escritas en la pizarra. Esperamos respuestas del tipo:

3

8=

1

1000×

3000

8 1000 ×

3

8=

3000

8

Ecuación 5 Ecuación 6

Sin embargo, nos ofrecen 3

8 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑠 =

3000

8 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠. La respuesta es totalmente correcta y nos

permite insistir, como pretendíamos al plantear las cuestiones en este episodio, en que si no

especificamos la unidad, las fracciones que aparecen en un texto se refieren todas a una unidad fijada. Así, en la situación particular del ejemplo, las fracciones de Ecuación 5 son fracciones de kilogramo

mientras que las de Ecuación 6 son fracciones de gramo.





5. Reflexiones y conclusiones

Son diversos los aspectos que deben tenerse en cuenta para definir y valorar el conocimiento del

docente para el buen ejercicio de la profesión de la enseñanza. El conocimiento matemático del maestro proporciona, en particular, los recursos necesarios para considerar las expectativas de cómo

los alumnos de primaria pueden interpretar matemáticamente una actividad cognitivamente exigente,

prever el conjunto de estrategias que pueden usar en su resolución, y para establecer relaciones de las

interpretaciones y estrategias con los conceptos matemáticos, las representaciones y los procedimientos que el maestro quiere que sus alumnos aprendan. Este conocimiento capacita al

maestro para distinguir de entre las actividades matemáticas, aquellas que promueven el pensamiento

y razonamiento matemático del alumnado de primaria.

El presente trabajo se ocupa del conocimiento matemático del futuro maestro y utiliza, como herramienta para observar este conocimiento, las respuestas a una actividad propuesta en un cuarto

curso de Grado de Maestro de Primaria. El análisis de las producciones de los alumnos de Grado en

torno a una tarea matemática concreta, diseñada para el alumnado de Educación Primaria, permite

determinar el conocimiento personal del alumnado de Grado, detectar el conocimiento común y específico respecto a los conceptos involucrados en la tarea, así como el conocimiento en relación al

alumnado de Educación Primaria. A su vez, este análisis, permite profundizar en las ideas que

proporcionan un buen conocimiento, más amplio que el propio de Educación Primaria, de un

contenido matemático específico y desarrollar el conocimiento pedagógico del mismo.

Bibliografía

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Guzmán, M. de (1989). Tendencias actuales de la enseñanza matemática. Studia Pedagógica. Revista de Ciencias de la Educación, 21, 19-26. Recuperado de: http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/

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Llinares, S. (2011). Tareas matemáticas en la formación de maestro. Caracterizando perspectivas. Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 78, 5-16.

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Smith, M.S., Stein, M.K., Arbaugh, F., Brown, C.A., y Mossgrove, J. (2004). Characterizing the cognitive

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development guidebook for perspectives on the teaching of mathematics, 45-72. Reston, VA: NCTM.

Tere Cortadellas Benítez, licenciada y doctora en matemáticas por la Universidad de Barcelona (UB). Ha

trabajado en el Departamento de Álgebra y Geometría de la UB. Actualmente es profesora asociada del

Departamento de Didáctica de la Ciencias Experimentales y de la Matemática de la UB y el de Economía y

Empresa de la Universidad Pompeu Fabra. Ha publicado artículos en el área de álgebra conmutativa y

actualmente está ampliando sus líneas de investigación en el campo de la Didáctica de la Matemática.

http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/




ISSN: 1887-1984


El Índice de Masa Corporal. Una experiencia de modelación

y uso de modelos matemáticos para el aula de clase

Mónica Marcela Parra-Zapata

Johana Natalia Parra-Zapata

María Camila Ocampo-Arenas

Jhony Alexander Villa-Ochoa

(Universidad de Antioquia. Colombia)

Fecha de recepción: 13 de octubre de 2015

Fecha de aceptación: 29 de febrero de 2016

Resumen En este artículo presentamos una experiencia de modelación matemática en la Educación

Primaria la cual se orientó por la perspectiva socio-crítica de la modelación matemática.

La experiencia tuvo como propósito que los estudiantes trabajaran en el aula de clase con problemas de su realidad, para lo que propusimos el uso y análisis de un modelo

matemático para calcular el Índice de Masa Corporal. A partir del trabajo realizado en el

aula de clase los estudiantes reflexionaron con relación al papel de algunos conceptos

matemáticos en la actividad realizada y en la sociedad, además establecieron relaciones

de los conceptos matemáticos involucrados en la situación con algunas de sus prácticas

cotidianas, lo que les permitió cuestionarse respecto a las prácticas de su contexto,

especialmente las que se relacionan con hábitos alimenticios.

Palabras clave Educación Matemática, modelación matemática, perspectiva socio-crítica, participación,

índice de masa corporal.

Title Body Mass Index. A Proposal of Mathematical Modelling for The Classroom

Abstract In this article, we present a mathematical modelling experience for Basic Primary

Education, based on Socio-critical perspective of mathematical modelling. The work of

students in the classroom with problems of their reality was the purpose of this

experience, for what we proposed the use and analysis of a mathematical model to calculate the Body-Mass Index. During the work in the classroom, the students reflected

on the role of some mathematical concepts in the activity and in society. In addition, they

established relations between mathematical concepts involved in the situation and some

of their daily practices. It allowed them to ask themselves about the practices of their

context, especially those related to eating habits.

Keywords Mathematics Education, Mathematical Modelling, Socio-critical Perspective,

Participation, Body Mass Index.

1. Introducción

En las clases de matemáticas generalmente se favorece la resolución de problemas matemáticos rutinarios, que se limitan a técnicas y algoritmos, en ambientes que se alejan de los contextos cercanos

de los estudiantes. Como lo plantean Santos y Bisognin (2007) este tipo de problemas no son


El Índice de Masa Corporal. Una experiencia de modelación y uso de modelos matemáticos para el aula de clase M. M. Parra-Zapata, J. Parra-Zapata, M. Ocampo-Arenas y J.A. Villa-Ochoa


significativos para los estudiantes porque no les permiten conectar las necesidades de los contextos en

los que se desenvuelven con los problemas trabajados en el aula de clase.

En algunas ocasiones, cuando un problema de la vida real se discute en el aula de clase de matemáticas, suele ser un problema bastante artificial creado con el propósito de introducir un tema o

de aplicar algún contenido ya estudiado. Este tipo de prácticas hace que sea difícil mostrar a los

estudiantes otras aplicaciones del área que los lleven a reflexionar acerca de sus contextos y

situaciones más cercanas (Santos y Bisognin, 2007).

El interés por estudiar fenómenos de la realidad, de diversas ciencias, en las aulas de clase de matemática ha conllevado a que la modelación matemática se consolide como una alternativa para que

los estudiantes se involucren de manera activa en su proceso de aprendizaje a partir de situaciones de

su vida cotidiana. De esta manera, se deja de lado la idea de que el docente es el único poseedor del conocimiento y, en consecuencia, el aula de clase se convierte en un espacio en el cual dialogan las

ideas. Las condiciones expuestas permiten que las ideas de los sujetos involucrados en este proceso

aporten en la producción de conocimiento matemático.

En nuestras búsquedas por integrar la modelación matemática en las aulas de clase, hemos encontrado diversidad de formas, diseños y actuaciones para la gestión de la clase con modelación

matemática. De acuerdo a ello entendemos la modelación matemática como todos aquellos procesos

que relacionan el mundo real y las matemáticas y que implican el estudio de diferentes fenómenos de

la realidad con el uso de las matemáticas, en ese sentido el fenómeno que se estudia puede ser tomado de cualquier ciencia. De allí, asumimos la modelación matemática como un ambiente en el que se

propicia que los estudiantes indaguen o investiguen cuestiones propias de su realidad mediante las

matemáticas (Barbosa, 2001); en ese ambiente se promueve la interacción de los estudiantes con sus pares y la reflexión y discusión en torno a la resolución de problemas de la realidad (Araújo, 2009).

También hemos reconocido que con el propósito de establecer relaciones entre la “realidad y las

matemáticas” los estudiantes no siempre se deben involucrar en la producción de modelos

matemáticos, sino también en el uso y estudio de modelos matemáticos ya existentes en la literatura o en las diferentes ciencias. Así el uso y el análisis de modelos lo entendimos como una actividad en la

que se retoman bien sea de la literatura o de la cotidianidad un modelo matemático previamente

construido para comprender cada uno de sus componentes en términos del fenómeno que se modela, a través del estudio de estos modelos se busca el reconocimiento de las limitaciones y la interpretación

de las soluciones que se puedan desprender del estudio de dicho modelo (Soares y Javaroni, 2013).

En coherencia con estas ideas propusimos a un grupo de estudiantes de quinto grado (10-12

años) estudiar a partir de las matemáticas un fenómeno de su realidad; el fenómeno estudiado en esta

experiencia proviene de las ciencias naturales, el cual es estudiado y analizado por medio de las matemáticas y tiene que ver con el uso y estudio del modelo matemático del Índice de Masa Corporal

(IMC) de Quetelet.

Para dar cuenta de lo anterior este artículo se compone de cuatro apartados. En el primer

apartado presentamos los referentes conceptuales que apoyan la experiencia de modelación matemática. En el segundo apartado reportamos el camino metodológico de la experiencia de

modelación matemática. En el tercer apartado presentamos elementos del trabajo realizado por los

estudiantes, y mostramos las discusiones y los análisis que surgen. Por último, en el cuarto apartado

presentamos las consideraciones finales.




2. Modelación matemática en la perspectiva socio-crítica y el cálculo del IMC

A menudo las matemáticas son consideradas por los estudiantes como un conjunto de distintos temas que están fragmentados y no se les presentan situaciones en las que tengan la necesidad de

relacionar diferentes contenidos. En la vida real, sin embargo, las situaciones problemáticas que se nos

presentan no están generalmente bien definidas y frecuentemente tenemos que aplicar ideas y

conceptos de un área para resolver los problemas que surgen en otro (Santos y Bisognin, 2007). A partir de la elección de un fenómeno o tema a estudiar se hace una exploración, comprensión, análisis

e investigación. De esta forma, la modelación matemática y el uso de los modelos matemáticos

posibilitan, entre otros asuntos, que los estudiantes generen interrogantes de situaciones de su contexto y presenten diferentes formas de representar las problemáticas en términos matemáticos, y que a partir

de esto se acerquen a ideas para ofrecer una solución o posible solución del problema.

Para hablar de modelación matemática en el aula de clase, centramos nuestros intereses en la

perspectiva socio-crítica de la modelación matemática (Kaiser y Sriraman, 2006), como una

aproximación teórica y metodológica que permite relacionar de diversas formas diferentes situaciones

del entorno de los estudiantes.

Conforme mencionamos anteriormente, comprendemos la modelación matemática como un

proceso en el que, a partir de las matemáticas, se estudia un fenómeno de la realidad; así la modelación

matemática es un “ambiente de aprendizaje que invita a los estudiantes a indagar o investigar, por medio de la matemática, con situaciones de referencia en la realidad” (Barbosa, 2001, p. 31). En este

sentido, permite a los estudiantes incluir diferentes modos de explicar y entender la realidad presente

en el problema. Estas explicaciones y comprensiones pueden utilizarse para abordar y relacionar otras

situaciones que se presenten en su cotidianidad.

Los ambientes de modelación matemática reconocidos en la perspectiva socio-crítica son espacios en los que se propone a los estudiantes, reunidos en grupos, utilizar las matemáticas para

resolver algún problema con origen en la realidad; de tal manera que esa resolución sea

problematizada y cuestionada (Araújo, 2009). En este sentido los ambientes de modelación matemática permiten que se generen con los estudiantes reflexiones constantes vinculadas con las

matemáticas que utilizan. Dicha reflexión permite reconocer cómo las matemáticas pueden ayudar a

resolver la situación o problemáticas con las que los estudiantes se enfrentan a diario.

En esta experiencia diseñamos una situación en la que usamos y estudiamos el modelo

matemático del IMC. Este índice fue desarrollado por el matemático Lambert Adolphe Quetelet en el siglo XIX. Este matemático se basó en el peso y la talla de los sujetos para determinar si el peso de la

persona es adecuado. El IMC es un indicador simple que permite analizar el estado nutricional de un

sujeto, pero que no define la composición corporal del mismo, es decir, puede arrojar el déficit o el exceso de peso, pero no diferencia la masa grasa y la masa libre de grasa. Este indicador se calcula al

dividir el peso de una persona en kilogramos por el cuadrado de su estatura en metros (𝑘𝑔/𝑚2).

La Organización Mundial de la Salud (OMS) realizó un estudio multicéntrico entre los años

1997 y 2003, que tuvo como objetivo suministrar datos que describieran cómo deben crecer todos los

niños y niñas hasta los cinco (5) años de edad en óptimas condiciones de nutrición, medio ambiente y cuidado en salud. En el año 2007, la OMS publicó un patrón de referencia para el grupo de 5 a 18

años, en el cual se fusionaron los datos del patrón internacional de crecimiento del NCHS / OMS de

1977, con la muestra transversal de los patrones de crecimiento para menores de 5 años. En este estudio se relaciona el IMC con la edad y se interpreta según la desviación estándar arrojada. En

Colombia se adopta este estudio para su población por medio de la resolución 2121 de 2010 del

Ministerio de Protección Social. Para una mejor visualización de la interpretación de la desviación



estándar el Instituto Colombiano de Bienestar Familiar (ICBF) generó en el 2012 gráficas que

relacionan el IMC/Edad.

Para analizar la relación del peso y la estatura en el grupo de edades de 5 a 18 años, el único parámetro que se utiliza es el IMC/Edad. El valor hallado para el IMC es analizado en las gráficas de

IMC/Edad, las cuales varían según la edad y el género. Esta variación se da porque existen diferencias

relacionadas con el sexo que son evidentes en el momento de nacer.

Cattani (2007) plantea que generalmente, el género masculino tienen talla y peso mayores que el

femenino; sin embargo, esta diferencia disminuye después progresivamente y casi no se aprecia al año de edad. Las variaciones más notables en cuanto a sexo son las que ocurren durante la pubertad que es

el período final del crecimiento y maduración del niño en el que se alcanza la capacidad reproductiva.

La aceleración del crecimiento lineal es una de las manifestaciones en el desarrollo puberal en las niñas. Hay además, aumento de peso y de proporción de grasa corporal. Las niñas alcanzan un pico

máximo de crecimiento de 8,5 cm al año al inicio de la pubertad. Mientras que el pico de máxima

velocidad de crecimiento en los niños ocurre hacia la mitad de la pubertad y la velocidad de

crecimiento es aproximadamente de 9,5 cm/año.

Una vez calculado el IMC, se emplean gráficas que muestran canales de crecimiento destacados

con curvas. Las gráficas las presentamos en las figuras 1 y 2.

Figura 1. IMC/Edad para niñas entre los 5 y los 18 años. Tomado de ICBF (2012)

Figura 2. IMC/Edad para niños entre los 5 y los 18 años. Tomado de ICBF (2012)




La mediana de cada indicador de acuerdo a la referencia OMS (2007) aparece representada en la

gráfica por una línea más gruesa y se identifica por el número cero (0). Las líneas más finas situadas sobre la mediana corresponden a desviación estándar de +1, +2 y +3 y por debajo de la mediana a

desviación estándar de –1, –2 y –3. La zona de desviación estándar entre + 1 y – 1 corresponde al

rango en el que se espera ubicar la mayor parte de los niños (Ministerio de la Protección Social de

Colombia, 2010).

La interpretación de las gráficas se realiza a partir la desviación estándar que se ubicó en las

gráficas y a partir de la información que se presenta en la Tabla 1.

IMC/Edad

según Desviación Estándar INTERPRETACIÓN

<–2 Delgadez

–2 a < –1 Riesgo para delgadez

–1 a = 1 Adecuado para la edad

> 1 a = 2 Sobrepeso

> 2 Obesidad

Tabla 1. Puntos de corte de la Desviación Estándar para interpretación de las gráficas IMC/Edad

3. El camino metodológico de la experiencia en el aula de clase

3.1. El contexto

La experiencia que presentamos se desarrolló durante cinco sesiones, en el segundo semestre del año 2014, con 27 estudiantes de quinto grado (10-12 años) de Educación Primaria de la Fundación

Educativa Colegio San Juan Eudes, en la ciudad de Medellín (Colombia). La experiencia fue producto

de un trabajo colectivo entre dos profesoras, una profesional en nutrición y dietética, y un investigador

en Educación Matemática.

La experiencia tuvo como propósito que los estudiantes trabajaran en el aula de clase de

matemáticas con problemas de su realidad; de acuerdo a ello identificamos que en el grupo de

estudiantes existía una preocupación constante por su apariencia física, esta preocupación se había

convertido en uno de los aspectos cruciales de su día a día y los había motivado por temas nutricionales y por aspectos estéticos. Así que para trascender su preocupación estética

problematizamos, usamos y estudiamos el modelo matemático de Quetelet para calcular su Índice de

Masa Corporal (IMC) y a partir de ello discutimos temas nutricionales y matemáticos y reflexionamos

acerca de los usos de las matemáticas en la sociedad.

Frente a la modelación matemática tuvimos la intención de que los estudiantes iniciaran por la

aplicación y la verificación del modelo matemático, de tal manera que los estudiantes pudieran usar,

reflexionar, comprender el fenómeno y articularlo con su realidad. De este modo, los estudiantes se enfrentaron a la aplicación de las variables del modelo matemático, a datos de la realidad y

determinaron si se ajustaba a las condiciones de la situación mediante la evaluación del mismo.

Además, se pretendió que emplearan otros datos e interpretaran el modelo matemático para determinar

si era suficiente o no. Ligado a la perspectiva socio-crítica la intención fue que los estudiantes



problematizaran e investigaran diferentes cuestiones que aparecen en la situación estudiada (Barbosa,

2001; Araujo, 2012).

3.2. El proceso de uso y estudio del modelo matemático

El ambiente se desarrolló en cinco (5) momentos que se relacionaron con la secuencia de

actividades didácticas que propusimos para llevar a cabo el proceso de modelación matemática: (1)

obesidad y delgadez en Colombia, (2) cálculo del IMC, (3) clasificación del IMC, (4) estudio del modelo matemático del IMC y (5) comunicación de los resultados. Durante los cinco (5) momentos,

los estudiantes usaron herramientas matemáticas para resolver el problema, interpretaron los

resultados obtenidos en términos de la situación inicial, analizaron y criticaron el modelo matemático

a partir de sus resultados.

El primer momento, obesidad y delgadez en el país, se orientó a partir del problema de obesidad en Colombia y a partir de las reflexiones acerca del IMC, para qué y cómo puede ayudar en la vida

cotidiana.

El segundo momento, cálculo del IMC, tuvo como objetivo calcular el IMC propio y el IMC de

un niño colombiano de 5 años llamado Mateo, que había sido diagnosticado con obesidad y cuya

noticia se divulgó en la prensa colombiana.

En el tercer momento, clasificación del IMC, los estudiantes sostuvieron un diálogo con la nutricionista dietista quien orientó las reflexiones hacia la composición corporal y la relación de tener

un peso en los rangos normales con un adecuado estado de salud.

El cuarto momento, estudio del modelo matemático del IMC, permitió que los estudiantes

realizaran un análisis del modelo matemático empleado para calcular el IMC. Los análisis se

fundamentaron en aspectos matemáticos y nutricionales.

El quinto momento, comunicación de los resultados, permitió que los estudiantes, profesores

investigadores y la nutricionista entablaran una discusión acerca de los aspectos que una persona debe

tener en cuenta al interpretar el IMC para tomar acciones preventivas o correctivas. Y acerca de los

asuntos matemáticos involucrados en el modelo matemático del IMC.

4. El trabajo realizado por los estudiantes. Discusiones y análisis

El objetivo planteado a los estudiantes en el ambiente de modelación matemática fue verificar y

analizar el modelo matemático de Quetelet empleado para calcular el IMC. Los estudiantes trabajaron en grupos y atendieron a los diálogos establecidos con los profesores y la nutricionista para calcular su

IMC. A partir de estas mediciones, se involucraron en cálculos matemáticos que los llevaron a analizar

un modelo matemático propuesto para calcular el IMC y a partir de ello reflexionar con relación a su

estado nutricional y el de otras personas.

4.1. Obesidad y delgadez en el país

Al iniciar el ambiente de modelación matemática presentamos a los estudiantes los resultados de

la Encuesta Nacional de la Situación Nutricional en Colombia (ENSIN) de 2010, donde se reportó que

uno de cada dos colombianos entre 18 y 64 años presenta sobrepeso; dicho de otro modo, el ENSIN señala que un 52,2% de la población presenta sobrepeso. A su vez, la encuesta también revela que uno

de cada seis niños y adolescentes entre 0 y 7 años presentan esta situación.




Problematizamos la información presentada en la encuesta a través de preguntas como ¿Qué

significa la información presentada por la ENSIN?, ¿Cómo podría representarse los datos suministrados en el párrafo anterior?, ¿Cómo crees que son tus hábitos alimenticios?, ¿Crees que la

energía proporcionada por los alimentos que comes es gastada en su totalidad?

Frente a los interrogantes los estudiantes manifestaron asuntos como “Profes lo que pasa en el

país es grave, las encuestas dicen que uno (1) de cada dos (2) colombianos es obeso, esto es un valor muy alto para el país porque es la mitad”, “Profe tenemos un gran problema por la obesidad, entonces

las personas se van a enfermar más”, “Profe el porcentaje nos indica lo que valen esos departamentos

relacionados con Colombia” (Producciones de los estudiantes, 21 de octubre del 2014).

Observamos en estas declaraciones que los estudiantes empezaron a interpretar la información

suministrada por la encuesta y a elaborar cuestionamientos relacionados con su significado y la forma

cómo puede intervenirse en la situación presentada.

4.2. El cálculo del IMC

De acuerdo con las reflexiones que se suscitaron en el momento anterior, solicitamos a los

estudiantes tomar en casa las medidas de su peso y de su estatura. Para el cálculo del IMC, trabajaron

en grupos de 2 o 3 personas y emplearon el modelo matemático de Quetelet, que es igual para todos:

𝐼𝑀𝐶 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 (𝑘𝑔)

𝐸𝑠𝑡𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎2 (𝑚2)

Para calcular el IMC se hizo necesario precisar aspectos matemáticos como las unidades de

medida del peso y la estatura, las operaciones y lectura de números decimales, la interpretación del

cuadrado de la estatura en la fórmula del IMC y las unidades de medida para expresar el resultado obtenido al realizar el cálculo del IMC. Éste depende de las unidades de medida del peso y de la

estatura, como se muestra en las Figuras 3 y 4 en las que se evidencia que los estudiantes se aproximan

a las comprensiones; sin embargo, en el modelo matemático no asimilan completamente qué unidades

irían allí y por qué.

En el cálculo del IMC fue necesario precisar las unidades de medida con las que se expresaría el resultado obtenido puesto que, tales unidades dependen del peso y la estatura. En este proceso se

evidenció que los estudiantes tienen una comprensión de las unidades de medida; sin embargo, en el

modelo matemático no se comprende completamente qué unidades eran correspondientes y porqué. Observamos que los estudiantes se confundieron al tomar su estatura al cuadrado y el peso en

kilogramos, e incluso declararon: “vamos a medir nuestra masa en kilogramos o cuadrados”

(Producciones de los estudiantes, 21 de octubre del 2014). Sin embargo, otros estudiantes

comprendieron la medición en centímetros o metros y en kilogramos. Esta situación permitió que se diera un diálogo para tomar decisiones y llegar a acuerdos en cuanto a las unidades de medida más

convenientes para expresar el IMC.

Figura 3. Producciones de los estudiantes. 21 de octubre del 2014




Los estudiantes mostraron interés por conocer el significado de los valores luego de obtener el valor numérico para el IMC. Antes de interpretar los significados, la nutricionista preguntó cómo

obtuvieron las mediciones. Los estudiantes manifestaron que las mediciones se realizaron en casa con

sus padres, y utilizaron metros y balanzas. En algunos casos recurrieron a la estimación porque no

contaban con los instrumentos de medida.

Por tal motivo, la nutricionista precisó que para el cálculo del IMC es fundamental cómo y con

qué instrumentos tomar las medidas, pues los errores en las mediciones ocasionan interpretaciones

incorrectas del IMC. Esto permitió a los estudiantes reconocer que cuando medimos, en matemáticas o

en otro campo, se presentan errores ocasionados por las formas de medir y por los instrumentos empleados. Se hizo énfasis en dos aspectos fundamentales para tomar medidas de peso y estatura para

calcular el IMC: que la persona que realice las medidas esté estandarizada1 recientemente y que se

empleen los equipos adecuados, que para este caso son el tallímetro y las básculas previamente

calibradas.

Una vez realizada la discusión acerca de los instrumentos de medidas, regresamos al significado

de los datos numéricos obtenidos en el IMC, recurrimos a valores de clasificación de la OMS para la

población mayor de 18 años; por ser las interpretaciones comúnmente encontradas en los medios. Los

estudiantes notaron que su IMC es muy bajo en comparación con los valores dados, por lo que precisamos que los valores son estándares establecidos para las personas adultas y que es necesario

recurrir a valores acordes a su edad.

1 Estandarizarse hace alusión a la garantía que tiene la persona que toma los datos antropométricos, de que los

valores obtenidos tienen el mínimo margen de error.




4.3. Clasificación del IMC

Al problematizar los valores numéricos obtenidos procedimos con los estudiantes a clasificar el

IMC en las gráficas. En este momento los estudiantes entablaron discusiones matemáticas y

nutricionales en torno a los resultados del cálculo del IMC.

En primer lugar, explicamos el cálculo de la edad, a partir de los años y meses cumplidos por

los estudiantes, quienes lo comprendieron y realizaron rápidamente. En la Figura 5 indicamos el

cálculo de la edad realizado por uno de los estudiantes.


En segundo lugar, dialogamos con los estudiantes asuntos vinculados con la lectura de las

gráficas. Expresaron la similitud entre las gráficas de crecimiento (Figura 6) y el plano cartesiano,

donde el eje X representa la edad y el eje Y el IMC. Con el cálculo de los componentes trazaron las líneas que salen de cada eje y procedieron a verificar el punto en el que se interceptan. Los estudiantes

habían trabajado con las representaciones gráficas en el plano cartesiano, por esta razón no se

presentaron dificultades al realizar la tarea.




Durante el trabajo con las gráficas, los estudiantes expresaron asuntos como: “ya vemos qué

utilidad puede tener el plano cartesiano”, “en ese plano no es tan complicado encontrar la intersección de las líneas; en otros ejercicios que hemos hecho en clase nos da más dificultad” (Producciones de los

estudiantes, 28 de octubre del 2014).

Finalmente, los estudiantes analizaron en cual desviación estándar se ubica el punto encontrado

y realizaron la clasificación del IMC. Este fue el paso que representó mayor dificultad porque algunos no analizaron en cual desviación estándar se encontraba el punto graficado y qué significado tenía.

Esta situación implicó explicar de nuevo el análisis de la desviación estándar (Figura 7). Las

dificultades en la interpretación de gráficos estadísticos aparece allí presente pues a los estudiantes se

les dificulta comprender las relaciones que existen en el gráfico, de esta manera Arteaga, Batanero, Cañadas y Contreras (2010) proponen que, como manera de disminuir estas dificultades, en la escuela

se introduzcan tareas en las que los estudiantes puedan pensar posibles relaciones entre las distintas

variables.

A cada grupo de estudiantes se le entregaron las tablas de clasificación nutricional según la Desviación Estándar. Se aclaró que no era necesario memorizar la interpretación, ya que era más

importante comprender de dónde se obtenía dicha información.


Observamos diferentes reacciones ya que algunos estudiantes percibían que su peso corporal era

diferente a lo arrojado por los cálculos; y muchos de ellos manifestaron que iban a realizar el ejercicio

con otros compañeros, ya que les pareció algo fácil de hallar y que sería útil que diferentes personas lo conocieran. Los estudiantes se hicieron cuestionamientos vinculados con sus hábitos alimenticios que

los llevan a pensar y actuar en pro de una mejor salud.

4.4. Estudio del modelo matemático del IMC

Basados en las lecturas e interpretaciones realizadas por los estudiantes frente a la clasificación de su IMC, problematizamos el modelo matemático para el cálculo del IMC. Les hicimos preguntas

como: ¿Será útil este cálculo para todas las personas? ¿El cálculo es exacto? ¿Es suficiente con hacer

este cálculo para determinar si una persona tiene sobrepeso o delgadez? ¿Qué asuntos matemáticos son

cuestionables en el cálculo?




Los estudiantes plantearon los siguientes argumentos en torno al modelo matemático de

Quetelet:

El modelo matemático emite criterios de delgadez y obesidad sin tener en cuenta la

composición del peso corporal. Así, el modelo matemático presenta una dificultad cuando tenemos que evaluar deportistas, especialmente de alto rendimiento, que pueden tener un alto

valor en el peso corporal a partir de un alto porcentaje de músculos y de masa corporal activa

pero bajos niveles de grasa.

Para realizar un análisis más confiable y seguro que nos lleve a determinar si una persona

tiene obesidad o delgadez es necesario acudir a un especialista que proporcione un

diagnóstico acertado.

El modelo matemático del IMC habla del peso bajo o elevado, pero no dice si esto es

exactamente por grasa o por músculos, por lo tanto el IMC necesita ser corroborado con

otras medidas para dar un diagnóstico más certero, antes de determinar una enfermedad.

El modelo matemático no es muy preciso y podría presentar errores pues relaciona medidas

de dimensiones distintas, ya que, el peso es tridimensional y la altura es unidimensional y

aunque se eleve al cuadrado, los estudiantes consideran que no se iguala la dimensión y que,

por lo tanto, los cálculos realizados no son correctos.

Lo anterior permitió la participación de los estudiantes al reconocer el IMC como modelo matemático. Aunque tiene limitaciones, proporciona una medida del sobrepeso y la delgadez y que

sirve como factor para establecer parámetros para la salud, tanto a nivel individual como a nivel

grupal.

4.5. Comunicación de los resultados

Al preguntar a los estudiantes que habían aprendido de la actividad realizada, observamos en sus respuestas reflexiones respecto a algunas nociones matemáticas, preocupándose por las

matemáticas como forma de entender asuntos propios de su realidad al afirmar que sin ellas no

hubieran podido acercarse un poco a sus condiciones y establecer relaciones entre lo que pesan, lo que miden y a la edad que tienen. A pesar de que encontraron algunas dificultades con el modelo

matemático, los estudiantes comprendieron la importancia de hacer análisis más allá del resultado del

cálculo del IMC, para asumir una posición respecto a lo que nos compete, en este caso, si se tiene

obesidad o delgadez.

5. Consideraciones finales

En este artículo nos propusimos reportar una experiencia de modelación matemática en el aula

de clase que tuvo como propósito que los estudiantes trabajaran con problemas de su realidad, a través del uso del modelo matemático para calcular el IMC. La experiencia nos permitió reconocer el análisis

y estudio de modelos matemáticos como una estrategia para su uso y comprensión y permitir a los

estudiantes establecer una posición frente a las matemáticas en situaciones cercanas a ellos.

El trabajo en el aula a través del estudio de modelos matemáticos y de la modelación matemática, fundamentado en situaciones cercanas de la realidad de los estudiantes, permitió que ellos

reflexionaran e indagaran con relación a un tema de la realidad como es el IMC. Abordar esta

situación demandó a los estudiantes tomar datos reales del fenómeno, procesarlos, reflexionar acerca

de un modelo matemático y dar a conocer los procedimientos y resultados con sus compañeros de clase. En este sentido, se involucraron de manera directa en la búsqueda de la solución del problema y

asumieron una participación activa, reflexiva y propositiva.



Los estudiantes hicieron reflexiones críticas frente a asuntos relacionados con el papel de

algunos conceptos matemáticos en la actividad realizada y en la sociedad. Además establecieron relaciones entre los conceptos matemáticos y algunas de sus prácticas cotidianas, lo que les permitió

cuestionar las prácticas de su contexto, especialmente las que se relacionan con hábitos alimenticios.

El trabajo realizado permitió diferenciar la percepción manifestada por los estudiantes acerca de

la imagen corporal, y el resultado de cada cálculo; así como las consecuencias que puede tener un IMC para la salud si se halla por encima o por debajo de lo establecido. Enfocamos el trabajo hacia el

cálculo del IMC y diferenciamos la percepción manifestada por los estudiantes acerca de la imagen

corporal y el resultado de cada cálculo; así mismo las consecuencias en la salud que puede generar el

tener un IMC por encima o por debajo de lo establecido.

De esta forma, los estudiantes problematizaron y cuestionaron los elementos que consideraron pertinentes, además encontraron en el cálculo del IMC conceptos matemáticos significativos en torno

a los cuales hicieron una reflexión con el fin de acercarse a una posible solución a las problemáticas

presentadas. En consecuencia, identificaron que las matemáticas pueden indicar si una persona presenta obesidad o delgadez, sin dejar de lado la idea de que el modelo matemático no es

completamente preciso.

En otras palabras, los estudiantes vivenciaron que a partir de un modelo matemático se pueden

establecer parámetros para la clasificación de criterios para la salud, a nivel individual al hallar y

clasificar el IMC y, a nivel grupal y nacional al analizar los porcentajes epidemiológicos propuestos en

la ENSIN 2010.

Agradecimientos

Aunque no sean responsables de los planteamientos acá descritos, queremos agradecer a Paula

Andrea Rendón-Mesa, Jorge Bañol Gutiérrez, Sebastian Aguirre Duque y David José Polo Díaz por las lecturas y sugerencias realizadas a las versiones preliminares de este documento. A la Facultad de

Educación y al CODI de la Universidad de Antioquia por el apoyo a la investigación “La formación

del futuro profesor de Matemáticas. Aportes de la modelación y las Tecnologías digitales.” (FPP01)

Bibliografía

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Matemática (pp. 195-219). São Paulo: Livraria da Física.

Mónica Marcela Parra-Zapata. Universidad de Antioquia, Medellín-Colombia. Magíster en Educación,

línea Educación Matemática. Profesora de la Institución Educativa Villa Flora de la ciudad de Medellín. Integrante del Grupo MATHEMA-Formación e investigación en Educación Matemática. Integrante de la

Red Colombiana de Modelación en Educación Matemática.

Email: [email protected].

Johana Natalia Parra-Zapata. Universidad de Antioquia, Medellín-Colombia. Nutricionista Dietista. Nutricionista dietista de Fe y Alegría de la ciudad de Bello.


María Camila Ocampo-Arenas. Universidad de Antioquia, Medellín-Colombia. Licenciada en

Educación Básica con Énfasis en Matemáticas. Profesora del Centro Educacional don Bosco de la ciudad

de Medellín. Integrante del Grupo MATHEMA-Formación e investigación en Educación Matemática.

Integrante de la Red Colombiana de Modelación en Educación Matemática.


Jhony Alexander Villa-Ochoa. Universidad de Antioquia, Medellín-Colombia. Doctor en Educación,

línea Educación Matemática. Coordinador del Grupo MATHEMA-Formación e investigación en

Educación Matemática. Coordinador de la Red Colombiana de Modelación en Educación Matemática.









ISSN: 1887-1984


Cómo la naturaleza nos muestra una solución a algunos problemas

difíciles: el recocido simulado

Francisco Moreno Soto (IES Zurbarán, Badajoz. España)

Fecha de recepción: 01 de junio de 2012

Fecha de aceptación: 02 de marzo de 2016

Resumen En la naturaleza ocurren procesos que pueden ser simulados por los hombres. Algunos de

estos procesos pueden tener usos muy interesantes desde un punto de vista matemático.

Éste es el caso del algoritmo de recocido simulado que es el objeto de este artículo. Se trata de un algoritmo moderno de optimización global que surge a partir de la analogía

con el proceso físico de recocido al que se someten los sólidos para obtener estados de

mínima entropía. Las aplicaciones de este algoritmo son muchas y variadas,

describiéndose en este trabajo la relativa al problema del viajante.

Palabras clave Naturaleza, heurísticas, algoritmo, recocido, problema del viajante

Title How Nature shows a way to solve some difficult problems: Simulated Annealing

Abstract There are optimization problems that are unmanageable using combinatorial methods.

Simulated annealing is a heuristic optimization algorithm (thus named because it works

by emulating the physical process whereby a solid is heated and then slowly cooled to get

a minimum energy configuration). In this article it describes this algorithm on the

traveling salesman problem.

Keywords Nature, simulation, algorithm, annealing, Traveling Salesman Problem

1. Introducción

Durante la segunda mitad del siglo XX, la optimización ha jugado un papel creciente en áreas

tan diversas como la Ingeniería Eléctrica, la Investigación Operativa o las Ciencias de la Computación y de la Comunicación. Durante los años 50 y 60 la optimización lineal y no lineal, es decir, la

búsqueda de un óptimo de una función de variables continuas, vieron un gran avance dando como

resultado el algoritmo del Simplex para resolver problemas de Programación Lineal (Dantzing, 1963). A partir de los años 70, se obtuvieron potentes resultados en optimización combinatoria (Lin, 1973,

pp. 498-516).

Por un problema de optimización combinatoria entendemos un problema de maximización o de

minimización que está especificado por un conjunto de instancias. Una instancia de un problema de

optimización combinatoria puede ser descrita como un par (S, f), donde S denota el conjunto finito (o

infinito numerable) de todas las posibles soluciones y f es una aplicación definida como:

RSf : . S se denomina espacio de soluciones o conjunto factible y f función de costo.


Cómo la naturaleza nos muestra una solución a algunos problemas difíciles: el recocido simulado

F. Moreno Soto


Resolver un problema de optimización combinatoria equivale a encontrar la “mejor” solución o

solución óptima entre un conjunto finito o infinito numerable de soluciones posibles (Papadimitriou and Steiglizt, 1982). Así, en el caso de minimizar, el problema consiste en encontrar una solución

Si opt tal que )()( ifif opt , Si , mientras que para el caso de maximizar dicho problema

consiste en encontrar una solución Si opt tal que )()( ifif opt , Si . La solución Si opt se

denomina solución global óptima o simplemente óptimo y puede no ser única; )( optopt iff denota el

costo óptimo y opt S el conjunto de soluciones óptimas1.

Muchos de estos problemas de optimización combinatoria, en especial los que tienen aplicación

real, corresponden a la denominada clase de problemas NP-duros (los considerados como más difíciles en la clase NP). De esta clasificación se encarga la Teoría de la Complejidad Computacional. Esta es

una rama de la teoría de la computación que se centra en la clasificación de los problemas

computacionales de acuerdo a su dificultad inherente, y en la relación entre dichas clases de

complejidad. Normalmente, esto se hace a un nivel muy teórico, aunque se trata de una cuestión clave

para aplicar y solucionar problemas prácticos.

Un análisis superficial de algunas de estas clases podemos verlo aquí:

La clase P

La clase P contiene a aquellos problemas que son solubles en tiempo polinómico. Esta clase

juega un papel importante en la teoría de la complejidad computacional debido a que, a grandes

rasgos, P corresponde a la clase de problemas que, de manera realista, son solubles en una

computadora

La clase NP

Muchas veces podemos evitar utilizar la fuerza bruta en los problemas para obtener soluciones en tiempo polinómico. Sin embargo, para algunos problemas esto no ha podido lograrse, es decir, no

se conocen algoritmos que los resuelvan en tiempo polinómico. Quizás estos problemas tengan

algoritmos en tiempo polinomial que se basan en principios por ahora desconocidos, o quizás estos

problemas no pueden ser resueltos en tiempo polinómico, debido a que son "inherentemente difíciles".

La clase de complejidad NP consta de los problemas "verificables" en tiempo polinómico. Por

verificable se entiende un problema tal que dado un certificado de solución (candidato a solución), se

puede verificar que dicho certificado es correcto en un tiempo polinómico en el tamaño de la entrada.

A los problemas en la clase NP usualmente se les llama problemas NP.

Un problema famoso dentro de los problemas NP es el problema del viajante: un viajante tiene que pasar por unas determinadas ciudades siguiendo el camino más corto. Aunque no se ha podido

probar, se cree que no hay solución más eficaz que el enumerar todos los caminos posibles para ver

cuál es el mejor (el número de caminos va creciendo como el factorial del número de ciudades).

Afortunadamente en la práctica, en muchas ocasiones, es suficiente encontrar una solución “no

1 En este artículo sólo se considerarán problemas de minimización. Esto no supone ninguna pérdida de

generalidad puesto que la maximización es equivalente a la minimización después de cambiar el signo de la

función de costo


F. Moreno Soto



perfecta”, pero no alejada de la óptima. Por ejemplo, si no se puede determinar el camino más corto, el

viajante no se molestará mucho teniendo que seguir uno que le cueste sólo el 5% o 10% más. En muchos casos, se ha podido desarrollar algoritmos especiales para tratar un problema específico como

el del viajante y llegar rápidamente a tales soluciones “buenas”. Sin embargo, para tratarlos de una

manera más general, los investigadores han recurrido a algoritmos aleatorios que en algunos casos fueron inspirados por fenómenos naturales. Antes de hablar de ellos vamos a introducir un nuevo

campo: las heurísticas, y más allá de estas, las metaheurísticas. Se califica de heurístico a un

procedimiento para el que se tiene un alto grado de confianza en que encuentra soluciones de alta

calidad con un coste computacional razonable, aunque no se garantice su optimalidad o su factibilidad, o en algunos casos no se llegue a establecer lo cerca que se está de dicha situación. Se utiliza el

calificativo heurístico en contraposición a exacto. También es usual utilizar el término heurística

cuando, utilizando el conocimiento que se tiene del problema, se realizan modificaciones en el procedimiento de solución del problema que, aunque no afectan a la complejidad del mismo, mejoran

el rendimiento en su comportamiento práctico (Belén, Moreno et al., 2003, pp. 7-28). Ahora bien, el

término metaheurítica se obtiene de anteponer a heurística el sufijo meta que significa "más allá" o "a un nivel superior". Las metaheurísticas son estrategias inteligentes para diseñar o mejorar

procedimientos heurísticos muy generales con un alto rendimiento. El termino metaheurística apareció

por primera vez en el articulo sobre búsqueda tabú (Fred Glover, 1986). A partir de entonces han

surgido multitud de pautas para diseñar buenos procedimientos para resolver ciertos problemas que, al ampliar su campo de aplicación han adoptado la denominación de metaheurísticas. Podemos

encontrarlas de varios tipos: metaheurísticas de relajación, constructivas, de búsqueda (como el

algoritmo de recocido simulado), evolutivas (como los algoritmos genéticos) y combinaciones de

estas.

Como se ha señalado en el párrafo anterior algunas de estas metaheurísticas fueron inspiradas

por fenómenos naturales. Por ejemplo, tenemos una basada en el fenómeno físico denominado

recocido de cristales. A la metaheurística que trata de simular este proceso se la denomina “recocido

simulado”. Lo más interesante de ésta es que al aplicar el análisis de la teoría de Markov se ha podido probar una convergencia en probabilidad a la solución óptima de problemas con ciertas características

comunes. Pero sin perder respeto a lo teórico, lo que realmente impresiona es lo que logra este

algoritmo en la práctica.

2. Optimización combinatoria

El problema que deseamos resolver podemos formularlo del siguiente modo:

)(min xfSx

(2.1)

2.1. Algunos métodos de optimización

2.1.1. Optimización local

Los algoritmos de búsqueda local constituyen una interesante clase de métodos de aproximación

basados en la mejora paulatina de la función objetivo mediante la exploración de entornos. Para la utilización de un algoritmo de búsqueda local necesitamos la representación previa de las soluciones,

la definición de la función de costo y de, al menos, una estructura de entornos.

El concepto más importante en el análisis de los algoritmos de búsqueda local es el de

optimalidad local, que puede ser descrito así:


F. Moreno Soto


Definición: Dado el problema (S, f) y una estructura de entornos , i es una solución mínima

localmente o simplemente un mínimo local con respecto a si i

Sjjfif ˆ),()ˆ( (2.2)

Frente al concepto de optimalidad local, encontramos el de optimalidad global que puede ser

definido así:

Definición: Dado el problema (S, f), opt i es una solución mínima globalmente o simplemente

un mínimo global de (2.1) si Siifif opt ),()( (2.3)

La desventaja principal de los algoritmos de búsqueda local es que éstos generalmente quedan

atrapados en un óptimo local. Sin embargo, presentan la ventaja de ser fácilmente aplicables y bastante flexibles puesto que sólo es necesario especificar: el espacio de soluciones, la función de costo y una

estructura de entornos.

2.1.2. Optimización global

Para evitar algunas de las desventajas de los algoritmos de búsqueda local, mientras se mantienen los principios básicos de éstos, es decir, iteración entre las soluciones del entorno, se

introducen distintas variaciones:

(i) Ejecución de un algoritmo de búsqueda local para un gran número de soluciones iniciales.

Asintóticamente (bajo la garantía de que todas las soluciones han sido usadas como solución

inicial) tal algoritmo encuentra un óptimo global con probabilidad 1.

(ii) Introducción de estructuras de entornos más complejas, que puedan buscar en una parte más

grande del espacio de soluciones.

(iii) Aceptación en una forma limitada de transiciones correspondientes a un incremento en el

valor de la función de costo (en los algoritmos de búsqueda local sólo son aceptadas aquellas

transiciones que corresponden a una disminución en dicho valor). Estas estrategias de

búsqueda alternativas conducen a otros algoritmos que podemos clasificar como:

a) Métodos clásicos de optimización global entre los que podemos citar:

Búsqueda aleatoria pura (Ríos et al., 1997)

El método de búsqueda aleatoria pura consiste en generar aleatoriamente un número grande de soluciones y escoger la mejor de ellas. Este método no es muy eficiente, pues no utiliza

información sobre f.

Métodos de multicomienzo (Ríos et al., 1997)

Este método consiste en generar N puntos desde los que se comienza una optimización con un

método local proponiendo como solución la mejor así obtenida.


F. Moreno Soto



b) Métodos modernos de optimización global:

Estos métodos surgieron principalmente con los problemas de optimización combinatoria. Uno

de estos métodos es el denominado recocido simulado, citado anteriormente, que estudiaremos

en mayor profundidad en el siguiente apartado.

3. Recocido simulado

Kirkpatrick et al. (1982) y Cerny (1985) introdujeron los conceptos de recocido aplicándolos a

problemas de optimización combinatoria. El nombre de recocido surge de la fuerte analogía entre el proceso físico del recocido de sólidos y el problema de resolver grandes problemas de optimización

combinatoria.

3.1. Analogía física del recocido simulado

Kirkpatrick et al. (1982) describen un algoritmo intensivo de computación para encontrar soluciones a problemas de optimización arbitrarios. La esencia de este método es reconocer que la

naturaleza realiza una optimización de la energía de un sólido cuando este es recocido para quitar

defectos en la ordenación atómica.

En Física, se denomina recocido al proceso térmico por el que se obtienen estados de baja

energía de un sólido en un “baño caliente”. El proceso sigue dos pasos (Barker and Henderson, 1976,

pp. 587-671):

(1) Incremento de la temperatura del baño caliente hasta un valor máximo en la cual el sólido se

funde.

(2) Bajada cuidadosa de la temperatura del baño caliente.

Para cada sólido, hay al menos una estructura atómica que minimiza su energía (entropía

mínima) a una temperatura de cero absoluto. Esta configuración de los átomos de mínima energía

global es normalmente una estructura cristalina absolutamente regular con todos los átomos organizados. Sin embargo, hay muchas estructuras atómicas que son estables, pero no tienen

globalmente energía mínima (estructuras meta-estables): estas estructuras son estables a temperatura

cero porque moviendo átomos muy ligeramente aumentarán la energía total. Por consiguiente, representan mínimos locales de energía y corresponden a estructuras estables con ordenamientos no

regulares de sus átomos (El mayor desorden atómico lo presentaría un vidrio). El menor mínimo de

energía se obtiene cuando el material cristaliza con una ordenación regular de sus átomos y es

entonces cuando decimos que se ha alcanzado un mínimo global de energía.

Ahora, utilicemos un símil geográfico para continuar la explicación: sea N el número de átomos. Si representamos gráficamente en un espacio de dimensión 3N+1 las coordenadas de los

átomos y su energía, tendríamos un mapa topográfico. La energía total del material depende de la

ordenación atómica porque las localizaciones de los átomos en el espacio real determinan la energía de interacción de todos los átomos. Entonces la altitud de cada posición en nuestra carta topográfica es la

energía de la ordenación de los átomos representada para esa posición. Por tanto, nosotros hablamos,

en una configuración dada, de la carta topográfica como representación de un paisaje de energía.

La mayoría de las posiciones en el paisaje de energía está en una cuesta. Unas cuantas posiciones están en los fondos de valles. El valle más profundo se corresponde con el mínimo global.


F. Moreno Soto


Valles superiores a este se denominan mínimos locales. Por supuesto, está la posibilidad de mínimos

globales múltiples.

Para ir a lo largo de un camino desde un mínimo local hasta un mínimo global, primero debe ocurrir que la configuración debe aumentar de algún modo su energía. En otras palabras, la única

manera de llegar a un valle más bajo en el paisaje de energía es ir ascendiendo primero. Recociendo

un material, la energía para los movimientos ascendentes viene del baño caliente circundante.

Para hacer un cristal libre de defectos (partículas perfectamente ordenadas) mediante recocido,

se eleva la temperatura del baño caliente hasta un poco por debajo del punto de fundición. A esta temperatura elevada, las fluctuaciones termales crearán y destruirán los defectos. Después de esperar

lo suficiente para que el equilibrio termal sea alcanzado, el número de defectos que se crean por

segundo es igual al del número destruido. Entonces, no se puede mejorar más la estructura cristalina a esta temperatura, por lo que se procede a bajarla un poco. De nuevo, el ritmo de eliminación de

defectos excederá ligeramente al de creación hasta que el equilibrio termal se logre de nuevo.

Entonces se vuelve a bajar la temperatura. La sucesión de cambios de temperatura y la cantidad de tiempo gastada en cada temperatura es un esquema de recocido. Si recociendo se alcanza el equilibrio

termal en cada temperatura, puede demostrarse que el recocido produce energía mínima global a una

temperatura de cero absoluto.

El recocido simulado es nada más que la simulación de la historia termal de un material que está

sujeto a un esquema de recocido. El recocido simulado usa la función objetivo de un problema de optimización en lugar de la energía de un material real. Las fluctuaciones termales simuladas son los

cambios en los parámetros ajustables del problema en lugar de las posiciones atómicas. Si para ese

esquema de recocido se logra el equilibrio termal en cada temperatura, entonces la función objetivo

alcanza su mínimo global cuando la temperatura simulada es próxima a cero.

3.2. El Algoritmo Metrópolis

El proceso físico de recocido puede ser modelado usando métodos de simulación. Mitra et al

(1986) introdujeron un algoritmo para simular la evolución de un sólido en un baño caliente hasta

alcanzar el equilibrio térmico. Este algoritmo está basado en técnicas Montecarlo y genera una sucesión de estados del sólido de la siguiente manera: dado el estado actual i del sólido con energía Ei,

entonces el siguiente estado j está generado aplicando un mecanismo de perturbación que transforma

el estado actual en el siguiente estado por una pequeña distorsión, por ejemplo, el desplazamiento de

una partícula. La energía en el estado siguiente es Ej. Si la diferencia de energía, EjEi, es 0, el

estado j se acepta como el estado actual. Si EjEi>0, el estado j es aceptado con una cierta

probabilidad dada por

)exp(Tk

EE

B

ji

donde T es la temperatura del baño caliente, que se actualiza cada cierto número de estados y kB es una constante física denominada constante de Boltzman. La aceptación de la regla anterior es conocida

como Criterio Metrópolis y el algoritmo como Algoritmo Metrópolis.

Si la bajada de la temperatura está hecha suficientemente despacio, el sólido puede alcanzar el

equilibrio termal en cada temperatura. En el algoritmo Metrópolis éste es alcanzado generando un gran número de transiciones para un valor de la temperatura dado. El equilibrio termal está caracterizado

por la distribución de Boltzmann (Toda et al., 1986).


F. Moreno Soto



Definición: [Distribución de Boltzmann] La probabilidad de que un sólido esté en estado i con

energía Ei a temperatura T, está dada por:

)exp()(

1}{

Tk

E

TZiXP

B

iT

donde X es una variable aleatoria que denota el estado actual del sólido y Z(T) es una constante de

normalización

Z(T)=

j B

j

Tk

E)exp(

donde el sumatorio está definido sobre todos los estados posibles.

3.3. El algoritmo de recocido simulado

Podemos aplicar el algoritmo Metrópolis para generar una sucesión de soluciones de un problema de optimización combinatoria. Para ello, basta observar la analogía existente entre un

sistema físico con muchas partículas y un problema de optimización combinatoria.

Dicha analogía está basada en las siguientes equivalencias:

(i) Las soluciones de un problema de optimización combinatoria son equivalentes a los estados

de un sistema físico.

(ii) El costo de una solución es equivalente a la energía del estado.

(iii) La temperatura del proceso de recocido se modeliza mediante un parámetro denominado de

control.

Así, el algoritmo de recocido simulado puede verse como una iteración del algoritmo

Metrópolis evaluado para valores decrecientes del parámetro control.

Como en un algoritmo de búsqueda local asumimos la existencia de una estructura de entornos

y de un mecanismo de generación.

Definición [Criterio de aceptación]. Sean (S,f) una instancia de un problema de optimización

combinatoria e i, j dos soluciones con costo f(i), f(j)respectivamente. Entonces el criterio de aceptación

determina si j es aceptado desde i aplicando la siguiente probabilidad de aceptación:

)()()

)()(exp(

)()(1

}{ifjfsi

c

jfif

ifjfsi

jaceptarPc (4.1)

donde Rc denota el parámetro control.


F. Moreno Soto


Ahora, el mecanismo de generación corresponde al mecanismo de perturbación en el algoritmo

Metrópolis, mientras que el criterio de aceptación corresponde al criterio Metrópolis.

Definición [Transición]. Una transición es una acción combinada que da como resultado la

transformación de la solución actual en la siguiente. La acción consta de dos pasos:

(i) Aplicación del mecanismo de generación.

(ii) Aplicación del criterio de aceptación.

Una característica del algoritmo de recocido simulado es que, además de aceptar soluciones que

supongan mejoras en la función de costo, son también aceptadas algunas otras que suponen un

empeoramiento en esta (esta es la forma en que el método evita quedar atrapado en un óptimo local).

Inicialmente, para un valor grande de c, prácticamente cualquier transición es aceptada; al ir disminuyendo c, sólo un número pequeño de transiciones a peores soluciones son aceptadas y

finalmente, cuando el valor de c se aproxima a cero, no es aceptada ninguna transición a una solución

peor. Esta característica significa que el algoritmo de recocido simulado, al contrario de lo que ocurre con los algoritmos de búsqueda local, puede escapar de un mínimo local mientras sigue manteniendo

las características más favorables de estos, es decir, simplicidad y aplicabilidad general. Basta ver que

la probabilidad de aceptar peores soluciones se hace mediante comparación del valor de

))()(

exp(c

jfif con un número aleatorio generado de una distribución uniforme en el intervalo

[0,1), es decir, ))()(

exp(c

jfif representa la probabilidad de pasar a soluciones peores. Nótese que

esta probabilidad depende de c y de la distancia entre f(i) y f(j).

Como conclusión, podemos considerar el recocido simulado como una generalización de la

búsqueda local.

Veamos ahora cómo aplicar este algoritmo al problema del viajante

4. El problema del viajante

El origen del problema del viajante, o en su terminología inglesa Traveling Salesman Problem

(TSP), no está claro. Una guía para viajantes de 1832 menciona el problema e incluye ejemplos de

viajes a través de Alemania y Suiza, pero no contiene un tratamiento matemático del mismo. El problema fue definido en los años 1800s por el matemático irlandés W. R. Hamilton y por el

matemático británico Thomas Kirkman. Todo parece indicar que la forma general del TSP fue

estudiada, por primera vez por matemáticos en Viena y Harvard, durante los años 1930s. Entre estos destacan Karl Menger, quien definió los problemas, considerando el obvio algoritmo de fuerza bruta, y

observando la no optimalidad de la heurística de vecinos más cercanos Hassler Whitney de la

Universidad de Princeton introdujo el nombre “travelling salesman problema” poco después

(Applegate, D. L. et al., 2006)

Durante los años 1950 a 1960, el problema fue incrementando su popularidad entre el círculo de científicos de Europa y Estados Unidos. Una notable contribución fue la de George Dantzig, Delbert

Ray Fulkerson y Selmer M. Johnson de la Corporación RAND en Santa Mónica, quienes expresaron

el problema como Programación Lineal en Enteros y desarrollaron para solucionarlo el método de Planos Cortantes. Con este nuevo método, resolvieron una instancia con 49 ciudades, óptimamente,

http://es.wikipedia.org/wiki/Karl_Menger


F. Moreno Soto



mediante la construcción de un recorrido y probando que no había un recorrido que pudiera ser más

corto. En las siguientes décadas, el problema fue estudiado por muchos investigadores, matemáticos,

científicos de la computación, químicos, físicos, etc.

Richard M. Karp mostró en 1972 que el TSP era un problema NP-duro. Esto tiene su

explicación matemática por la evidente dificultad computacional para encontrar recorridos óptimos.

Gran progreso tuvo a finales de los 70s y principios de los 80s, donde Grötschel, Padberg,

Rinaldi y otros, manejaron soluciones exactas para instancias con 2392 ciudades, usando Planos

Cortantes y Ramificación y Acotación.

En los 90s, Applegate, Bixby, Chvátal, y Cook desarrollaraon el programa Concorde, el cual es usado en muchos de los registros de soluciones recientes. Gerhard Reinelt publicó la TSPLIB en 1991,

una colección de instancias de pruebas de dificultad variable, la cual es usada por muchos grupos

investigativos para comparar resultados. En 2006, Cook y otros, obtuvieron un recorrido óptimo para

85,900 ciudades.

Descripción del problema

En el problema se presentan N! rutas posibles, aunque se puede simplificar ya que dada una ruta

nos da igual el punto de partida y esto reduce el número de rutas a examinar en un factor N quedando

(N-1)! Como no importa la dirección en que se desplace el viajante, el número de rutas a examinar se

reduce nuevamente en un factor 2. Por lo tanto, hay que considerar (N-1)!/2 rutas posibles.

En la práctica, para un problema del viajante con 5 ciudades hay 12 rutas diferentes y no

necesitamos un ordenador para encontrar la mejor ruta, pero apenas aumentamos el número de

ciudades las posibilidades crecen exponencialmente (en realidad, factorialmente):

Para 10 ciudades hay 181.440 rutas diferentes

Para 30 ciudades hay más de 4·10^31 rutas posibles. Un ordenador que calcule un millón de

rutas por segundo necesitaría 10^18 años para resolverlo. Dicho de otra forma, si se hubiera comenzado a calcular al comienzo de la creación del universo (hace unos 13.400 millones de años)

todavía no se habría terminado.

Puede comprobarse que por cada ciudad nueva que incorporemos, el número de rutas se

multiplica por el factor N y crece exponencialmente (factorialmente). Por ello el problema pertenece a

la clase de problemas NP-duros.

a) Modelación como un problema de grafos

El TSP puede ser modelado como un grafo ponderado no dirigido, de manera que las ciudades sean los vértices del grafo, los caminos son las aristas y las distancias de los caminos son los pesos de

las aristas. Esto es un problema de minimización que comienza y termina en un vértice especifico y se

visita el resto de los vértices exactamente una vez. Con frecuencia, el modelo es un grafo completo (cada par de vértices es conectado por una arista). Si no existe camino entre un par de ciudades, se

añade arbitrariamente una arista larga para completar el grafo sin afectar el recorrido óptimo.

http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A1clav_Chv%C3%A1tal

http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(teor%C3%ADa_de_grafos)


F. Moreno Soto


Figura 1: TSP simétrico con 4 ciudades

Problemas relacionados:

-Problema del agente viajero con cuello de botella (bottleneck TSP)

- La generalización del TSP trata con “estados” que tienen (una o más) “ciudades” y el viajante

tiene que visitar exactamente una ciudad de cada “estado”. También se conoce como el Problema del

Político Viajero.

- El problema de ordenamiento secuencial trata con el problema de visitar un conjunto de

ciudades donde se tienen en cuenta las relaciones de precedencias entre las ciudades.

- El problema del viajante comprador trata con un comprador que está cargado con un conjunto

de productos. Él puede comprar estos productos en varias ciudades, pero tienen diferentes precios y no

todas las ciudades ofrecen los mismos productos. El objetivo es encontrar una ruta entre un subconjunto de ciudades, los cuales minimicen el costo total (costo de viaje + costo de la compra) y

habilite la compra de todos los productos requeridos.

b) Formulación como un problema de programación lineal entera

En el problema del viajante existe un conjunto de n ciudades (nodos), V = {1, 2, 3,…, n}, y un

conjunto de caminos (arcos) uniendo cada una de las ciudades. Así el camino (i,j) Є A, cij es la

“distancia” (función objetivo) para ir de la ciudad i a la ciudad j. Un viajante debe realizar un recorrido (tour) comenzando en una cierta ciudad de origen y luego visitar todas las otras ciudades una única

vez y retornar a la ciudad de origen. El problema consiste en hallar el recorrido (tour) de distancia

mínima. evitando subtours.

El problema del TSP tiene el siguiente modelo matemático:

Sea xij la variable de decisión del problema:

contrariocasoen

tourelhacerparautilizadoesjiarcoelsi

xij

,0

),(,1

El modelo matemático asume la siguiente forma:


F. Moreno Soto



)4(22,1

)3(,1

)2(,1

:..

)1()(min

)(,:),(

),(:

),(:

),(

VUx

Vix

Vjx

as

xcxz

UVjUiAji

ij

Ajij

ij

Ajii

ij

ij

Aji

ij

La ecuación (1) corresponde al cálculo de la función objetivo.

El conjunto de restricciones (2) indica que se puede llegar a cada ciudad desde una única ciudad

anterior.

El conjunto de restricciones (3) indica que desde la ciudad i se puede pasar a una única ciudad

(de la ciudad i se puede salir por un único camino).

El conjunto de restricciones (4) evita que se generen subtours.

El problema tiene considerables aplicaciones prácticas, aparte de las más evidentes en áreas de

logística de transporte, así como en cualquier negocio de reparto, pequeño o grande. Por ejemplo, en

robótica, permite resolver problemas de fabricación para minimizar el número de desplazamientos al

realizar una serie de perforaciones en una plancha o en un circuito impreso. También puede ser

utilizado en planificación de rutas de vehículos, manufactura flexible, etc.

Debido a la importancia práctica del problema, muchos autores se plantearon cómo abordar la

solución a este problema. Puesto que se trata de un problema NP-duro, las líneas tradicionales para

atacarlo son las siguientes:

- Formular algoritmos para encontrar soluciones exactas (estos trabajan más rápidos en

problemas con dimensiones pequeñas).

- Formular algoritmos heurísticos o “subóptimos” (por ejemplo: algoritmos que den

aparentemente o probablemente buenas soluciones, pero no devuelven el óptimo necesariamente).

- Encontrar los casos especiales para el problema (“subproblemas”) para los cuales son posibles

heurísticas mejores o algoritmos exactos.

La solución más directa puede ser, intentar todas las permutaciones (combinaciones ordenadas)

y ver cuál de estas es la menor (usando una Búsqueda de fuerza bruta). Otra solución posible viene proporcionada por los algoritmos de ramificación y acotación, los cuáles pueden ser usados para

procesar TSP que contienen entre 40 y 60 ciudades. También tenemos algoritmos de mejoras

progresivas (iterativas) los cuales utilizan técnicas de Programación lineal que trabajan bien para más

de 200 ciudades. Implementaciones de ramificación y acotación y un problema específico de generación de cortes (Ramificación y poda); este es el método elegido para resolver grandes

instancias. Esta aproximación retiene el record vigente, resolviendo una instancia con 85,900 ciudades,

(Applegate et al., 2006)


F. Moreno Soto


Según se ha indicado anteriormente otro método para abordar el problema de encontrar

soluciones al TSP viene dado por la formulación de Algoritmos heurísticos y aproximados. De entre estos varios que retornan rápidamente buenas soluciones han sido creados. Métodos modernos pueden

encontrar soluciones para problema extremadamente largos (millones de ciudades) en un tiempo

razonable. De entre todos estos vamos a centrarnos en los que se basan en mejoras aleatorias EL TSP es la base para muchas heurísticas diseñadas para la optimización combinatoria como: los algoritmos

genéticos, el recocido simulado, la Búsqueda tabú, la optimización por colonias de hormigas, entre

otras.

Veamos cómo podemos aplicar el algoritmo de recocido simulado al TSP

- El espacio de soluciones

Tenemos n ciudades y una matriz nxn (cij) cuyos elementos denotan la distancia entre cada par

i,j de las n ciudades. Un tour o recorrido es definido como un camino cerrado en el que se visita cada ciudad exactamente una vez. El problema consiste en encontrar el camino de longitud mínima. Para

ese problema cada solución está dada por una permutación cíclica x=(x(1),x(2),...,x(n)) donde x(k)

denota la siguiente ciudad a visitar después de la ciudad k, con x1(k)k, l=1, ...n-1 y xn(k)=k, k 2. De

este modo cada solución se corresponde con un único tour.

El espacio de soluciones viene dado por S= las permutaciones cíclicas x de n ciudades

- La estructura de entornos

Para este trabajo se ha considerado la estructura de entornos Nk, llamada k-cambio, que considera para cada solución i un entorno Si consistente en el conjunto de soluciones que pueden

obtenerse desde la solución dada i cambiando k aristas del tour correspondiente a la solución i y

reemplazándolos con otras k aristas tal que se obtiene un nuevo tour (Lin, S. (1965))

Figura 2. Un tour en una instancia del TSP

La estructura de entornos descrita anteriormente para este problema no es la única que podemos

encontrar en la literatura. Otro ejemplo de estructura de entornos puede ser obtenido utilizando los

N2(p,q) cambios (Aarts, E. and Korst, J. (1989))

- La función de costo la hemos definido anteriormente

Una vez definido el problema y los elementos necesarios para aplicar el algoritmo veamos

algunos resultados prácticos. La figura de abajo compara una solución aleatoria al problema del

2 x1(k) representa la ciudad visitada l trayectos después de haber visitado la ciudad k


F. Moreno Soto



viajante para 100 ciudades bien organizadas a una después de aplicar un recocido simulado durante un

millón de iteraciones. Éste representa un problema muy grande, ya que la cantidad de soluciones como

la de abajo comparada con el espacio de todos los caminos posibles es muy pequeña.

Figura 3 Dos ejemplos de caminos para el viajante: El primero seleccionado al azar, el segundo encontrado

después de un millón de iteraciones del recocido simulado.

5. Conclusiones

En este pequeño trabajo se han presentado ejemplos de cómo podemos imitar procesos que

ocurren en la naturaleza con el objeto de resolver problemas reales que se presentan en distintas ramas

del conocimiento. Algo tan inicialmente alejado de un problema de optimización combinatoria como

puede ser el proceso físico de recocido, da lugar al desarrollo de un algoritmo, el de recocido simulado, que nos permite abordar alguno de estos problemas. Entre los que permite resolver podemos

citar al famoso "problema del viajante", ampliamente abordado en la literatura. La ventaja principal de

este algoritmo es la de que en algunos casos va permitir pasar a "una solución peor" evitando de esta

manera quedar atrapados en óptimos locales.

Bibliografía

Applegate, D. L.; Bixby, R. M.; Chvátal, V.; Cook, W. J. (2006), The Traveling Salesman Problem,

Princeton University Press, cop. Aarts, E. and Korst, J. (1989) Simulated Annealing and Boltzmann Machines, JOHN WILEY & SONS

Barker, J.A. And Henderson, D. (1976) "What is liquid? Understanding the states of matter", Reviews

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Cerny, V. (1985) "Thermodynamical approach to the traveling salesman problem: an efficient

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Lin, S. (1973) "An effective heuristic algorithm for the travelling salesman problem", Operation

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Metropolis, N., Rosembluth, A., Teller, A. And Teller, E. (1953) "Equation of state calcualtions by fast computing machines", Journal of Chemicall Physics, 21, 1087-1092.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=William_J._Cook&action=edit&redlink=1


F. Moreno Soto


Papadimitriou, C.H. And Steiglizt, K. (1982) Combinatorial Optimization: Algorithms and

Complexity, New York, Prentice Hall. Reeeves, C.R. (2003) Genetic Algorithms Cap.3 en F. Glover y Kochenberger, 0. (eds.) Handbook on

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Ríos Insua, D. Ríos Insua, S y Martín, J. (1997) Simulación. Métodos y aplicaciones, "Ra-Ma". Toda, M., Kubo, R. And Saitô, N. (1983) Statistical Physics, Berlín, Springer-Verlag.

Francisco Moreno Soto, Licenciado en Matemáticas en la Especialidad de Estadística e Investigación

Operativa por la Universidad de Sevilla, DEA por la Universidad de Extremadura (UEX), Diplomado en

Estadística por la UEX, Técnico Superior en Administración y Finanzas. Ha presentado ponencias y

escrito artículos siempre en relación con las Matemáticas centrados fundamentalmente en temas

relacionados con la Estadística y la Investigación Operativa.

[email protected]





ISSN: 1887-1984


Efemérides de Agustín de Pedrayes y Foyo: un destacado

matemático español del siglo XVIII

Carmen León-Mantero

María José Madrid

Alexander Maz-Machado

(Universidad de Córdoba. España)

Fecha de recepción: 14 de septiembre de 2015

Fecha de aceptación: 11 de abril de 2016

Resumen En 2015 se cumplen 200 años del fallecimiento del matemático asturiano Agustín de

Pedrayes y Foyo. Presentamos su semblanza biográfica y sus principales aportaciones a

la Educación Matemática del siglo XVIII. Veremos cómo una serie de catástrofes

encadenadas llevaron a la pérdida de sus principales obras e investigaciones hasta

convertirlo en uno de los matemáticos más ilustres del siglo XVIII sin que la historia se

haya hecho eco de sus logros.

Palabras clave Historia de la Educación Matemática, Agustín de Pedrayes y Foyo, Siglo XVIII,

biografía.

Title Anniversary of Agustín de Pedrayes y Foyo: an outstanding Spanish mathematician

from the eighteenth century

Abstract 2015 is the 200th anniversary of the death of the Asturian mathematician Agustín de

Pedrayes y Foyo. We present his biographical semblance and its main contributions to

Mathematics Education of the eighteenth century. We will show how a series of linked

catastrophes led to the loss of his main works and researches, causing that despite being

one of the most distinguished mathematicians of the eighteenth century, history has not

echoed his achievements.

Keywords History of Mathematics Education, Agustín de Pedrayes y Foyo, XVIII century,

biography.

1. Introducción

La Historia de la Educación Matemática permite descubrir y sacar a la luz momentos,

situaciones, instituciones, temas o personajes que en un momento determinado significaron un cambio

de rumbo y un avance tanto para la historia de las matemáticas como para la historia de la Educación

Matemática (Maz-Machado y Rico, 2013). Por eso, durante las últimas décadas se han realizado un gran número de investigaciones a nivel nacional e internacional sobre diferentes matemáticos,

instituciones, libros de matemáticas, etc. como las de Schubring (1987), Blanco (2013), Madrid, Maz-

Machado y León-Mantero (2015).


Efemérides de Agustín de Pedrayes y Foyo: un destacado matemático español del siglo XVIII C. León-Mantero, M.J. Madrid, A. Maz-Machado


El siglo XVIII español se caracteriza por el paulatino cambio político, social y cultural promovido por el movimiento de la Ilustración. El programa ilustrado se interesa por la reforma de la

economía y el desarrollo de las ciencias útiles, se preocupa por la mejora del sistema educativo, critica

la realidad social del país y fomenta a los ciudadanos nuevas ideas políticas liberales (Rico y Maz,

2005).

La primera mitad del siglo XVIII es considerada por diversos autores como una época de

decadencia de las universidades españolas en el ámbito de la investigación y la enseñanza de las

matemáticas debido a la antigüedad de los planes de estudios o las irregularidades en los nombramientos de catedráticos. Sin embargo, los aires de cambio y renovación se observan en los

intentos de establecer un nuevo sistema educativo separado de la influencia eclesiástica (Peralta,

2009).

En esta época, la enseñanza de las matemáticas se realizaba a través de Colegios dirigidos por

Jesuitas y en las Academias Militares cuyo objetivo era la formación de Ingenieros Militares para la defensa del reino (Maz, 2005). Es en la segunda mitad de este siglo cuando se crean nuevas escuelas y

academias, se estudian traducciones de libros modernos, se envían estudiantes al extranjero y acceden

a puestos docentes profesores con sólida formación matemática. (De Guzmán y Garma, 1980).

Todo lo anterior tiene como fruto que se impriman diversos trabajos producidos por grupos matemáticos de discusión y manuales de texto como los de Benito Bails, Juan Justo García, José

Chaix, José Mariano Vallejo o Agustín de Pedrayes y Foyo entre otros. Este último es el autor del

Nuevo y universal methodo de quadraturas determinadas (1777), del Tratado de mathematicas (1799)

y de un importante Opúsculo (1805) como comentaremos a continuación. Así mismo, es uno de los introductores del sistema métrico decimal en España y es considerado uno de los mejores matemáticos

de las últimas décadas del XVIII y principios del XIX. En París se le conocía como el “sabio español”

y el “geómetra insigne” (Martínez, 1929).

Sin embargo, mientras que matemáticos como Vallejo han sido ampliamente analizados desde la educación matemática como, por ejemplo, en el trabajo de Maz-Machado y Rico (2013), no son

numerosas las investigaciones sobre Pedrayes. Por este motivo, y desde esta perspectiva, se presenta

un breve estudio sobre la vida y obra de Agustín de Pedrayes, así como de sus principales aportaciones

a la Educación Matemática.

Figura 1. Medallón de Agustín de Pedrayes y Foyo. Tomado de Neira (2015)




2. Agustín de Pedrayes y Foyo

Agustín de Pedrayes y Foyo nace en Lastres, Asturias, el 28 de agosto de 1744 y fallece el 26 de febrero de 1815. Estudia Humanidades en la villa de Colunga tras haber sido instruido en primeras

letras durante su infancia por su padre, que era médico de profesión (Martínez, 1929).

En 1758 parte a Santiago a realizar sus estudios superiores en la Facultad de Teología de

Filosofía y Jurisprudencia obteniendo el título de bachiller. Es en ese momento de su vida cuando

comienza a sentir pasión por las Matemáticas y otras ciencias como la Mecánica, la Geodesia, y la Mineralogía. Desarrolla aptitudes para la enseñanza hasta el punto que en julio de 1769 es nombrado

maestro de la Real Casa de Caballeros Pajes del Rey en Madrid. Continuó con su docencia cuando el

centro en el que impartía clase se fusionó con el Real Seminario de Nobles de Madrid en 1786 y es

nombrado profesor de Matemáticas de este hasta el año 1790 (Crespo, 1953).

Acomete, además, una labor investigadora que da como resultado la obra Nuevo y universal

methodo de quadraturas determinadas publicada en 1777, de la cual surge un interesante problema

que publicó con dos enunciados muy parecidos que veremos a continuación (De Guzmán y Garma,

1980).

Figura 2. Opúsculo Primero. Solución del problema propuesto el año 1797

Tras una intensa labor docente e investigadora, ininterrumpida durante más de dos décadas,

Pedrayes comienza a sentirse fatigado, enfermedad que aumenta progresivamente hasta imposibilitarle

continuar con la docencia. Gracias a un Decreto Real se le exime de continuar trabajando y se le

concede vivir donde quiera además de seguir disfrutando de su sueldo (Pedrayes, 1805).

Es entonces cuando regresa a su ciudad natal, Lastres y, durante los cinco años en el que el

descanso consigue mejorar su estado de salud, entabla amistad con Jovellanos, el cual intentó sin

conseguirlo que Pedrayes se incorporara como profesor de Matemáticas en el Instituto de Náutica y

Mineralogía de Gijón, cuya creación había sido solicitada por Jovellanos al rey Carlos IV en 1789 y fue aprobada en 1792. Por el contrario, sí accedió a colaborar planificando la enseñanza en el centro y



formando en Lastres al joven profesor Alvargonzález quién iba a ocupar en su lugar ese puesto en el

Instituto (Ordaz, 2011; Álvarez-Valdés, 2012).

A su regreso a Madrid, algunos amigos suyos, ante la preocupación de que su obra quedara en el

olvido, le proponen crear una Asociación que sepa valorar sus avances y le ayudara económicamente

con los recursos que necesitara disponer. Esta resultó ser todo un éxito con suscripciones como las de Jovellanos, el Duque de Osuna, la Real Sociedad de Amigos del País de Asturias, el Marqués de

Villena o el Marqués de Villafranca.

Para confirmar que Pedrayes había descubierto un nuevo método de cálculo integral, la

asociación le propuso crear un Programa en el que se planteara un problema que si ningún otro

matemático era capaz de resolver mediante su método, verificaría que este era original. Después de imprimir y distribuir en Madrid, Berlín y París cien ejemplares, se tuvieron que reimprimir

cuatrocientos más en París porque se habían agotado. Se ofrecieron tres premios de cinco mil reales

cada uno para quien resolviera el problema en Francia, Alemania y España en un año desde la fecha de

publicación, y cuya corrección correría a cargo del Instituto Nacional de Francia (Pedrayes, 1805).

Figura 3. Anuncio del Programa en La décade philosophique, litteraire et politique, París, 1797




Recuperado de su estado de salud vuelve a Madrid en 1796 y en 1798 es llamado por el

gobierno del rey Carlos IV para acompañar como comisionado a Gabriel Ciscar y participar en la reunión internacional para fijar los principios del sistema métrico, ser testigos del depósito de los

patrones del metro y del kilogramo en el Instituto Nacional de París y calcular y construir el patrón

legal del metro que se guardó en el Conservatorio de Artes. La comisión internacional formada por nueve países dictaminó en junio de 1799 que el metro mediría 443,296 milésimas partes de la toesa de

París. (Pérez de Castro, J.L., 1973; De Guzmán y Garma, 1980; Ten, 2000; Peralta, 2009; Escalonada,

2012).

Figura 4. Ley de pesas y medidas de Isabel II de 1849

Permanece en París dos años en los cuales solo una persona presenta una solución a su

problema ante el Secretario de la Real Academia de Berlín. Tras ser examinada por Delambre se

determina que dicha solución no da respuesta al problema planteado por Pedrayes. Por tanto, éste presenta su solución ante el Instituto Nacional de París quienes le adjudican el premio (Pedrayes,

1805). Varios autores le atribuyen la publicación de un Tratado de mathematicas en 1799, pero

ninguna copia se encuentra en bibliotecas españolas (Martínez, 1929; Crespo, 1953).

A su regreso a Madrid, Pedrayes es nombrado Ministro del Tribunal de Contaduría en 1801 por sus logros alcanzados durante su trabajo en la capital francesa (Martínez, 1929) y se le concede una

ayuda económica de mil reales mensuales para los recursos que necesite en sus futuras

investigaciones. Sin embargo, no puede disfrutarlos, pues Pedrayes deja de recibir su sueldo cuando

los franceses invaden España. Tras pedir ayuda al nuevo gobierno, es declarado persona peligrosa y decide huir de Madrid. Desde su refugio en Cádiz, vuelve a pedir ayuda atendiendo a su estado de

salud y profesor jubilado y se le concede de nuevo su sueldo. Cuando al poco tiempo vuelve a Madrid

encuentra que los avances de sus trabajos que darían como fruto el Segundo Opúsculo y que se guardaban en el Archivo del Observatorio Astronómico destruidos por los soldados franceses.

Además, otros trabajos y libros donados por el autor fueron destruidos en el incendio de Alcázar de

Segovia en 1862 y de la Universidad de Oviedo en 1934 (Crespo, 1953). Las dificultades económicas no consiguen nada más que agravar su estado de salud hasta que muere en 1815 (De Guzmán y

Garma, 1980).



3. Aportaciones al ámbito científico y a la educación

Aunque algunas de sus obras ya no se encuentren disponibles en bibliotecas españolas, se le

conocen las siguientes:

Pedrayes, A. (1777). Nuevo y universal methodo de quadraturas determinadas. Madrid.

Pedrayes, A. (1796). Programa. Madrid.

Pedrayes, A. (1799). Tratado de mathematicas. París.

Pedrayes, A. (1805) Opúsculo primero. Solución del problema propuesto el año 1797.

Madrid: Imprenta de la Administración del Real Arbitrio de Beneficiencia.

El Nuevo y universal methodo de quadraturas determinadas está formado por 279 páginas. En ella “desarrolla y demuestra que las cuadraturas de algunas curvas hasta entonces expresadas por

series de infinitos términos pueden, en algunos casos, tener una integral completa” (Martínez, 1929).

El Programa está compuesto por 12 páginas cuyo texto está escrito en castellano y a

continuación en latín. Tal como se muestra en la figura 2, esta obra plantea un problema sobre la

resolución de una complicada ecuación diferencial.

El Opúsculo primero. Solución del problema propuesto el año 1797 está formado por 72 páginas la edición escrita en castellano y 63 páginas la edición escrita en latín. La obra comienza con

una carta dirigida a Don Pedro Cevallos, primer secretario de Estado en la que se solicita a él y a todos

los suscriptores de la asociación la impresión del Opúsculo. Continúa con una noticia histórica en la que, además de una breve biografía de Pedrayes, explica el nacimiento de la asociación que formaron

sus amigos. Tras listar a los 55 suscriptores de la asociación y las diferentes instituciones que

colaboran en el proyecto, se presenta el Programa y el problema propuesto junto con la solución dada

por nuestro autor.

La participación de Pedrayes en la creación del sistema métrico decimal fue de creciente

importancia para la enseñanza de las ciencias y, en particular de las matemáticas, de la época. Antes de

ello, cada provincia española tenía su propio sistema de medida haciendo difícil la transformación

entre unas y otras. Aunque Carlos IV no introdujo el nuevo sistema, se comenzó a enseñar en las escuelas de forma obligatoria a partir de la Ley de pesas y medidas decretada por Isabel II en 1852

(Sierra, 1997).

Con el fin de ayudar a la población a acostumbrarse a usar el sistema métrico decimal, Pedrayes

diseña un aparato llamado comparador que sirve para comparar el metro con todos los sistemas de longitud usados en nuestro país (Peralta, 2009). Con él se pueden medir todas las longitudes hasta 37

pulgadas de la toesa francesa. El comparador fue presentado al rey de España en 1801 ya que deseaba

verlo. Sin embargo, también fue destruido en el incendio de la Academia de Segovia (Martínez, 1929;

Crespo, 1953).

Además del comparador, Pedrayes aportó varios instrumentos de medida como lo anuncia la

Gaceta de Madrid (1776; p. 476):

“Don Agustín de Pedrayes Maestro de Matemáticas de los Caballeros Pages

del Rey ha inventado dos especies de barómetros muy sensibles. El primero

es un barómetro de agua reducido, que tiene, la misma escala de movimiento

que uno de agua de 32 pies de altura: esta queda reducida á 5 pies solamente,

por haber conseguido suspender una columna de mercurio sobre otra de agua.

La segunda especie es de un barómetro cónico, en el qual la columna de




mercurio corre la longitud de la varilla ó tubo por la variación de presión en

el ayre: su escala de movimiento es tambien muy grande como lo acredita la

experiencia.”

Como reconocimiento a su importante labor en el campo de las matemáticas y la educación

matemática, se constituye en 1993 la Sociedad Asturiana de Educación Matemática “Agustín de Pedrayes” (SADEM) cuyos objetivos principales consisten en divulgar el conocimiento matemático y

la mejora de los procesos de aprendizaje.

3. Conclusiones

A pesar de que Agustín de Pedrayes se formó en ciencias, y en particular, en matemáticas, durante la Revolución Francesa, el temor a la introducción de ideas revolucionarias en España, hacía

imposible la entrada de biografía extranjera. Sin embargo, supo estar a la altura del movimiento

científico de su época con respecto al cálculo infinitesimal y la geometría hasta el punto de llamar la

atención de sabios europeos como Campomanes, Gauss o Schumacher.

De la lectura de su Opúsculo primero y las opiniones de los miembros de la asociación o del Instituto Francés con los que fraguó amistad e intercambió correspondencia, podemos deducir que

Pedrayes poseía claras aptitudes didácticas. Sus exposiciones, demostraciones y cálculos son claros,

sencillos y accesibles. Además, se implicó no solo en la creación del sistema métrico decimal sino también de instrumentos que ayudasen a los ciudadanos a comprender y asimilar los cambios que la

Ley de pesas y medidas produjo en los sistemas de medida españoles.

Pedrayes simboliza uno de tantos casos de matemáticos que realizaron importantes aportaciones

teóricas y prácticas al ámbito de las Matemáticas y a su difusión en el campo científico y escolar, al cual, no se le ha ofrecido suficiente merecimiento. Su nuevo método de integración de ecuaciones

diferenciales representó un aporte teórico y formal que distaba de los trabajos realizados por

matemáticos españoles de la época. Sus diseños de los diferentes instrumentos supusieron un impulso

al desarrollo de técnicas de medida que acercaban las herramientas teóricas a la resolución de problemas de la vida cotidiana. Y, por último, su participación activa en los debates y en la

planificación de la enseñanza de las matemáticas del Instituto de Gijón, así como en la formación de

nuevo profesorado, permitió la difusión de las nuevas teorías matemáticas del cálculo infinitesimal y

la geometría que se desarrollaban en la Europa del siglo XVIII.

En definitiva, Pedrayes fue no solo un reputado matemático de la época, sino un científico

preocupado por acercar las matemáticas al mundo real y por mostrar su utilidad a los ciudadanos de la

época.

Bibliografía

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http://museovirtual.csic.es/salas/medida/medidas_y_matematicas/articulos/Capitulo5.pdf

Carmen León Mantero es profesora asociada e investigadora del Departamento de Matemáticas de la

Universidad de Córdoba en la Facultad de Ciencias de la Educación, San Alberto Magno s/n, Córdoba. Su

línea de investigación principal es Historia de la Educación Matemática.

[email protected]

María José Madrid es investigadora del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Córdoba en

la Facultad de Ciencias de la Educación, San Alberto Magno s/n, Córdoba. Su línea de investigación principal es Historia de la Educación Matemática.

[email protected]

Alexander Maz Machado es profesor titular e investigador del Departamento de Matemáticas de la

Universidad de Córdoba en la Facultad de Ciencias de la Educación, San Alberto Magno s/n, Córdoba. Sus líneas de investigación son Historia de la Educación Matemática y Bibliometría.

[email protected]

http://www.lne.es/oviedo/2015/02/07/numeros-gloriosos-pedrayes/1709815.html

http://museovirtual.csic.es/salas/medida/medidas_y_matematicas/articulos/Capitulo5.pdf





ISSN: 1887-1984

Volumen 92, junio de 2016, páginas 57-70



La evaluación en Matemáticas en el Grado de Maestro de Primaria

Rosa Nortes Martínez-Artero

Andrés Nortes Checa

(Universidad de Murcia. España)

Fecha de recepción: 23 de noviembre de 2015

Fecha de aceptación: 25 de abril de 2016

Resumen Los alumnos que cursan el Grado de Maestro de Primaria (GMP) se distribuyen en ocho

grupos en segundo y siete en tercero, en turnos de mañana y tarde y con profesorado

heterogéneo en la Universidad de Murcia. Elegida la convocatoria de junio 2012/13 se

analizan las actas de calificaciones de Matemáticas y su didáctica y se comprueba que no

hay diferencias significativas ni por género, ni por curso, ni por turno y que dos de cada

tres alumnos que se presentan aprueban, que uno de cada dos alumnos matriculados aprueba y que el porcentaje más alto de aprobados se obtiene en la primera convocatoria.

El que la tasa de éxito sea del 66,6 % y la de rendimiento el 48,5 % indica que los

alumnos no tienen adquiridas las competencias en Matemáticas, siendo una de las causas

la falta de conocimiento de matemática elemental con que llegan los alumnos al GMP.

Palabras clave Evaluación, Maestro, tasa éxito, tasa rendimiento.

Title Assessment in Mathematics in the Primary Education Degree

Abstract Primary Education degree students at the University of Murcia are distributed into eight

groups in the second year and seven in the third year, in morning and evening shifts, and

are taught by a heterogeneous number of teachers. The marks of the different groups for

the subject Mathematics and its Didactics were analyzed for the June exams during

academic year 2012/13. The results show that there are not significant differences

according to gender, year or shift, that 2 out of 3 students that take the exam pass, that 1 out of 2 students registered pass and that the highest pass percentage happens the first

time the students take the exam. The fact that the success ratio is 66,6 % and the

performance ratio 48,5 % shows that students have not acquired Mathematic competence,

being the poor knowledge in elementary mathematics with which they come to the

degree one of the reasons for this.

Keywords Assessment, teacher, success ratio, performance ratio.

1. Introducción

Los estudios del Grado de Maestro de Primaria se pusieron en marcha en la Universidad de

Murcia el curso 2009/10. Los criterios con los que se elaboraron fueron siguiendo la Resolución de 17

de diciembre de 2007 (MEC, 2007a) en la que se establecen las condiciones a las que deben adecuarse

los planes de estudios conducentes a la obtención de títulos de Grado de Maestro en Educación Primaria y la Orden ECI/3857/2007 (MEC, 2007b) por la que se establecen los requisitos para la

verificación de los títulos universitarios oficiales que habilitan para el ejercicio de la profesión de


La evaluación en Matemáticas en el Grado de Maestro de Primaria R. Nortes Martínez-Artero, A. Nortes Checa


Maestro en Educación Primaria, estando los métodos de enseñanza y evaluación fundamentados en el

conocimiento académico y disciplinar en relación a las materias que se imparten. En la actualidad se están revisando para un nuevo periodo de seis años y que ANECA deberá verificar. Es importante que

en esta revisión se evalúen competencias, contenidos, metodología y evaluación de las asignaturas.

En el presente trabajo se va a analizar la evaluación de la materia Enseñanza-aprendizaje de

las Matemáticas en el Grado de Maestro de Primaria.

2. Marco teórico

La evaluación del proceso educativo en un periodo determinado es imprescindible para conocer

si el trabajo realizado ha sido bien llevado a cabo y en los estudios del Grado de Maestro de Primaria

se traduce a las convocatorias de cada asignatura, en donde los alumnos demostrarán si han adquirido

las competencias pretendidas. Pero, ¿qué piensan los profesores de la evaluación?

Gil, Rico y Fernández (2002) quisieron conocer lo que piensan de la evaluación en

Matemáticas los profesores de secundaria y a una muestra de 163 profesores les preguntaron y

clasificaron sus respuestas en tres grupos. El primero, que recibe una valoración alta, formado por: el

conocimiento adquirido, el trabajo realizado y los logros alcanzados. El segundo, formado por un conjunto de enunciados que reciben una valoración intermedia, se trata de aspectos colaterales con los

enunciados anteriores y parecen ocupar un segundo plano en la evaluación; estos son: la actitud e

interés de los alumnos, la valoración de su madurez, sus capacidades, la labor del profesor y los contenidos. Y el tercer grupo está formado por un núcleo de conceptos distantes de la

conceptualización clásica sobre evaluación: la conducta de los alumnos, el currículo, las instituciones,

los medios y materiales.

La evaluación va íntimamente relacionada con los contenidos y Llinares (2011) se pregunta

qué Matemáticas debe llegar a conocer un estudiante para maestro y cómo debe llegar a conocerlas para empezar a generar la competencia docente en el ámbito de la enseñanza de las Matemáticas. En

este ámbito caracterizar la competencia docente significa comprender las ideas matemáticas de manera

que el estudiante para maestro pueda llegar a ser capaz de identificar lo relevante matemáticamente

hablando de la situación, interpretarlo y poder llegar a tomar decisiones de enseñanza adecuadas.

Una preocupación actual entre los miembros de la SEIEM (Sociedad Española de

Investigación en Educación Matemática) son los conocimientos matemáticos adquiridos en la

secundaria obligatoria porque han advertido que muchos alumnos que cursan el Grado de Maestro de

Primaria tiene dificultades para resolver problemas elementales y “el profesorado ha de enseñar a sus estudiantes contenidos elementales propios de la etapa educativa para la que estos se están preparando

como si fuera la primera vez que estos estudiantes los abordan” (SEIEM, 2014, p. 2). Y Villalonga,

González y Nercau (2011) indican que los cuatro factores de mayor influencia en los bajos rendimientos académicos de los estudiantes, ordenados en forma decreciente, según el porcentaje de

respuestas, serian: a) carencias de conocimientos previos; b) falta de estudio; c) infraestructura

inadecuada para grupos numerosos y d) factores personales del alumno.

Ruiz de Gauna, García y Sarasua (2013) tras aplicar un cuestionario de 20 preguntas a los 188 alumnos de la Escuela Universitaria de Bilbao que estudian el Grado de Maestro de Primaria obtienen

tres perfiles de alumnado: a) El bloque de alumnos más motivados a los que les gustan las

Matemáticas, que presentan las siguientes característica: han cursado un bachillerato que no es de

Sociales; consideran la asignatura de Matemáticas en Enseñanza Primaria como de las más importantes; piensan que deben profundizar en los conocimientos de esta materia; consideran que ser

un buen profesional es difícil; b) El bloque de alumnos que piensan que ser un buen profesor de




Matemáticas de Enseñanza Primaria es fácil. Presentan las siguientes características: piensan que no es

necesario prepararse en una escuela de Magisterio; no creen que deban conocer más Matemáticas que las que deben enseñar, pero sí profundizar en los contenidos de Matemáticas de Enseñanza Primaria; y

c) El tercer bloque es más difuso y lo constituyen los que presentan unas características intermedias

entre las anteriores.

Lacasa y Rodríguez (2013) indican que la formación de los futuros maestros es una pieza clave en la calidad de la enseñanza. Esta formación depende de las características individuales de los

aspirantes a maestro ya que los conocimientos en Matemáticas de los alumnos son determinantes para

explicar los conocimientos de didáctica a escala individual. En el estudio TEDS -estudio comparativo

internacional sobre la formación de los futuros profesores de matemáticas de Educación Primaria y Secundaria- en el que han participado 17 países y 956 futuros maestros españoles de diversas

universidades españolas han obtenido que la correlación entre el nivel de conocimientos matemáticos

de los estudiantes de magisterio y su nivel de conocimientos didácticos es de 0,38, dando la impresión de que la contribución que puedan hacer las Facultades de Educación a la formación didáctica en

Matemáticas de los futuros maestros, no reduce unas diferencias de partida que tienen que ver con el

nivel previo de conocimiento matemático de los alumnos.

La materia Enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas en el Grado de Maestro de Primaria de

la Universidad de Murcia, se desglosa en dos asignaturas “Matemáticas y su didáctica I” (12 créditos en 2.º) y “Matemáticas y su didáctica II” (9 créditos en 3.º), ambas son obligatorias e incompatibles. El

Plan de estudios aprobado por la ANECA (expediente 587/2009, aprobado definitivamente el

9/03/2009) recoge: competencias, contenidos, actividades, evaluación y metodología. La presencialidad es del 36 % y en las guías docentes de las dos asignaturas se especifican competencias,

contenidos, actividades y evaluación, que es mixta, con un 80 % correspondiente a los exámenes

escritos, parciales y final, y un 20 % correspondiente a los trabajos prácticos realizados a lo largo del

curso. Se indican en el Anexo.

Arribas (2012) indica que el rendimiento académico de los alumnos universitarios viene determinado en su mayoría por las calificaciones otorgadas por los profesores conforme a sus propios

criterios de evaluación y calificación, manifestándose habitualmente por medio de la Tasa de

Rendimiento (TR) –número de alumnos aprobados respecto del número de alumnos matriculados- y la Tasa de Éxito (TE) –número de alumnos matriculados respecto al número de alumnos presentados-.

En el estudio realizado revisando la forma de evaluar 30 asignaturas de títulos universitarios

impartidas por 35 profesores a 2192 alumnos de 7 titulaciones diferentes, la mayoría pertenecientes al área de Educación en 14 universidades, considerando evaluación continua, evaluación mixta y

evaluación final, cuanto mayor es el número de alumnos presentados (en evaluación continua) mas se

aproximan TR y TE y cuando el porcentaje de alumnos presentados más difiere de los alumnos

matriculados (en evaluación mixta y final) TR y TE, más se separan.

3. Objetivos

Cada curso del Grado de Maestro de Primaria está formado por varios grupos y para cada

asignatura existe un coordinador de la misma que se encarga de mejorar el desarrollo de las

asignaturas, unificar criterios y detectar fallos en su desarrollo en el curso anterior. Fruto de estas reuniones son las Guías Docentes de cada asignatura que contienen los aspectos programáticos a los

que todos los profesores se deben remitir con la finalidad de homogenizar el desarrollo de las

asignaturas en todos los grupos.

El que existan ocho grupos en segundo y siete en tercero, en total quince grupos en el Grado de Maestro de Primaria de la Universidad de Murcia hace que sea una tarea difícil de llevar a la



práctica, por eso partiendo de los resultados de la convocatoria de junio del curso 2012/13, se van a

plantear los siguientes objetivos:

H1. Puesto que los contenidos de la materia Enseñanza-Aprendizaje de las Matemáticas se corresponden con los contenidos de Primaria y han sido divididos en dos asignaturas complementarias,

¿hay diferencias significativas entre los resultados de 2.º y los de 3.º?

H2. Los profesores que imparten los grupos de la mañana suelen ser profesores universitarios

funcionarios de carrera, mientras que los que imparten por la tarde son en su mayoría profesores

funcionarios de Secundaria y contratados universitarios. ¿Puede esta situación motivar que existan

diferencias significativas entre los resultados del turno de la mañana y los del turno de la tarde?

H3. Los alumnos se incluyen en los grupos de forma aleatoria, ¿hay diferencias significativas

en los resultados en Matemáticas entre los grupos de alumnos?

H4. Hay estudios que identifican a los hombres como más competentes en Matemáticas y a las

mujeres como más competentes en Lengua, pero esto no siempre es así, ¿hay diferencias significativas

en los resultados de las asignaturas de Matemáticas por género?

H5. Muchos alumnos no se presentan a un examen y los que lo hacen puede ser en su primera,

segunda, tercera, cuarta y hasta quinta convocatoria. ¿Hay diferencias significativas entre los

resultados según las convocatorias?

4. Método

4.1. Muestra

La forman 1176 alumnos matriculados en la Facultad de Educación de la Universidad de

Murcia en las dos asignaturas de la materia Enseñanza-Aprendizaje de las Matemáticas, 655

corresponden a 2.º y 521 a 3.º, de los que 329 son hombres y 847 son mujeres. De los 1176 alumnos, 674 pertenecen al turno de mañana y 502 al turno de tarde. Los alumnos se reparten en ocho grupos en

2.º curso y siete en 3.º.

4.2. Instrumento

Actas de las asignaturas de Matemáticas y su didáctica I y Matemáticas y su didáctica II correspondientes a la convocatoria de junio del curso 2012/13, que han sido tratadas con el paquete

estadístico Systat 13.

5. Resultados

5.1. Correspondientes a toda la muestra

Los resultados correspondientes a toda la muestra, con porcentajes y estadísticos, se presentan

en las tablas de la 1 a la 4.




Muestra

Alumnos Porcentajes Estadísticos

Matr. Pres. Apr. Pres. T. E. T. R. Media D. T.

Segundo 655 446 297 68,1 66,6 45,3 5,157 2,072

Tercero 521 410 273 78,7 66,6 52,4 5,276 1,943

Mañana 674 470 312 69,7 66,6 46,3 5,190 2,148

Tarde 502 386 258 76,9 66,8 51,4 5,242 1,832

Hombre 329 222 154 67,5 69,4 46,8 5,228 1,809

Mujer 847 634 416 74,9 65,6 49,1 5,209 2,050

Total 1176 856 570 72,8 66,6 48,5 5,214 2,011

Tabla 1. Alumnos matriculados, presentados y aprobados

No hay diferencias significativas entre cursos (p = .338) al aplicar la t-Student.

No hay diferencias significativas por turno (p = .704) al aplicar la t-Student.

No hay diferencias significativas por género (p = .902) al aplicar la t-Student.

Calificaciones por curso, turno y género

2.º 3.º Mañ. Tar. Hom. Muj. Total

0 – 5 149 137 158 128 68 218 286

5 – 7 207 187 206 188 113 281 394

7 – 9 77 81 93 65 38 120 158

9 – 10 13 5 13 5 3 15 18

Total 446 410 470 386 222 634 856

Tabla 2. Calificaciones por curso, grupo y género

Porcentajes por curso, turno y género

2.º 3.º Mañ. Tar. Hom. Muj. Total

0 – 5 33,4 33,4 33,6 33,2 30,6 34,4 33,4

5 – 7 46,4 45,6 44,3 48,7 50,9 44,3 46,0

7 – 9 17,3 19,8 19,8 16,8 17,1 18,9 18,5

9 – 10 2,9 1,2 2,8 1,3 1,4 2,4 2,1

Total 100 100 100 100 100 100 100

Tabla 3. Porcentajes por curso, grupo y género

El porcentaje de suspensos en todos los casos supera el 30 %.

No llega al 3 % el porcentaje de sobresalientes.



Muestra por convocatoria

1.ª 2.ª 3.ª 4.ª 5.ª Total

N 769 22 39 23 3 856

Media 5,404 3,236 3,377 3,965 4,300 5,214

D. T. 1,922 2,169 2,145 1,559 2,166 2,011

Aprob. 537 9 13 9 2 570

% Aprob. 69,8 40,9 33,3 39,1 66,7 66,6

Tabla 4. Porcentajes y medias por número de convocatorias

Del total de alumnos aprobados, el 94,2 % lo obtiene en la primera convocatoria.

Hay diferencias significativas (F = 19,036) a favor de la primera convocatoria (p = .000).

De los alumnos presentados aprueban dos de cada tres.

5.2. Correspondientes a segundo curso

Se presentan en las tablas de 5 a 9 porcentajes y medias por grupo de 2.º (en amarillo los más

altos y en negrita los más bajos) y la Figura 1 con las medias e intervalos cuartílicos de cada grupo.

2.º Curso por grupo

Grupo 21 22 23 24 25 26 27 28 Total

Present. 38 70 66 59 70 52 66 25 446

Aprobad. 29 43 60 28 58 38 32 10 297

% Pres. 64,4 75,3 72,5 50,9 70,0 63,4 77,6 86,2 68,1

T. Éxito 76,3 61,4 90,9 47,5 82,9 73,1 48,5 40,0 66,6

T. Rend. 49,2 46,2 65,9 24,1 58,0 46,3 37,6 34,5 45,3

Media 5,503 4,804 6,168 4,020 5,914 4,823 4,806 5,128 5,157

D. T. 1,782 2,258 1,560 2,524 1,744 1,837 1,874 1,955 2,072

Matricul. 59 93 91 116 100 82 85 29 655

Tabla 5. Alumnos de 2.º matriculados, presentados y aprobados por grupo

El grupo 28 (bilingüe) tiene menos alumnos, mayor porcentaje de presentados y menor

porcentaje de aprobados.

El grupo 23 tiene el porcentaje más alto de aprobados (TE), el porcentaje más alto de

aprobados por alumnos matriculados (TR) y la nota media más alta con 6,168.

El grupo 24 tiene el porcentaje más bajo de alumnos presentados, la media más baja (4,020)

y el porcentaje más bajo de aprobados por alumnos matriculados (TR).




Figura 1. Medias e intervalos intercuartílicos

En el análisis de la varianza (F=7,773) hay diferencias significativas entre grupos (p = .000).

2.º Curso por grupo y género

21 22 23 24 25 26 27 28 Total

N1 9 16 17 13 17 14 23 5 114

Hombre 5,489 4,269 5,959 4,169 5,476 4,414 5,126 5,880 5,047

N2 29 54 49 46 53 38 43 20 332

Mujer 5,507 4,963 6,241 3,978 6,055 6,055 4,635 4,940 5,194

p-valor .979 .283 .525 .812 .237 .335 .314 .347 .514

Tabla 6. Alumnos de 2.º por grupo y género

No hay diferencias significativas en cada grupo de 2.º atendiendo a género.

Las calificaciones más próximas entre alumnos y alumnas es en el grupo 21 (p = .979).

2.º Curso por turno y género

Mañ. Tar. Hom. Muj. Total

0 – 5 34,5 31,9 34,2 33,1 33,4

5 – 7 42,6 51,6 48,2 45,8 46,4

7 – 9 19,4 14,4 15,8 17,8 17,3

9 – 10 3,5 2,1 1,8 3,3 2,9

Total 100 100 100 100 100

N 258 188 114 332 446

Media 5,108 5,223 5,047 5,194 5,157

D. T. 2,201 1,883 2,059 2,078 2,072

p-valor .562 .514 t-St.

Tabla7. Porcentajes y medias por turno y género



No hay diferencias significativas (p = .562) por turno.

No hay diferencias significativas (p = .514) por género

Suspenden más hombres que mujeres y más por la mañana que por la tarde.

2.º Curso por convocatoria


N 393 14 20 16 3 446

Media 5,363 3,057 3,755 3,850 4,300 5,157

D. T. 2,001 2,080 2,061 1,777 2,166 2,072

Aprob. 276 5 8 6 2 297

% Aprob. 70,2 35,7 40,0 37,5 66,7 66,6


En el análisis de la varianza (F = 9,206) hay diferencias significativas (p = .000) a favor de la

primera convocatoria.

El porcentaje más alto de aprobados se obtiene en la primera convocatoria.

2.º Curso medias por turno y género

Hombre Mujer Total

Mañana 5,043 (60) 5,128 (198) 5,108 (258)

Tarde 5,052 (54) 5,293 (134) 5,223 (188)

% Aprob. 5,047 (114) 5,194 (332) 5,157 (446)

Tabla 9. Medias por turno y género

Mejor puntuación mujer-tarde y peor puntuación hombre-mañana.

En los cuatro casos la media es superior a 5.

5.3. Correspondientes a tercer curso

Se presentan en las tablas de 10 a 14 los porcentajes y medias por grupo de 3.º y la Figura 2 con las

medias e intervalos cuartílicos de cada grupo.

3.er

Curso por grupo

Grupo 31 32 33 34 35 36 37 Total

Present. 52 56 47 57 72 75 51 410

Aprobad. 33 42 20 48 52 43 35 273

% Pres. 73,2 80,0 70,1 73,1 86,7 82,4 83,6 78,7

T. Éxito 63,5 75,0 42,6 84,2 72,2 57,3 68,6 66,6

T. Rend. 45,1 60,0 29,9 61,5 62,7 47,3 57,4 52,4

Media 5,181 6,096 3,704 5,904 6,101 4,624 5,010 5,276

D. T. 1,944 1,703 2,108 1,801 1,639 1,875 1,365 1,943

Matricul. 71 70 67 78 83 91 61 521

Tabla 10. Alumnos de 3.º matriculados, presentados y aprobados por grupo




El grupo 34 tiene el porcentaje más alto de aprobados (TE).

El grupo 35 tiene el porcentaje más alto de presentados, el más alto de aprobados por

alumnos matriculados y la media más alta (6,101).

El grupo 33 tiene la media más baja de alumnos presentados, la más baja de aprobados y la

media más baja.

Figura 2. Medias e intervalos intercuartílicos

En el análisis de la varianza (F=13,684) hay diferencias significativas entre grupos (p= .000).

3.er

Curso por grupo y género

Grupo 31 32 33 34 35 36 37 Total

N1 22 10 11 14 14 29 8 108

Hombre 5,550 6,750 4,555 5,464 6,243 4,800 5,300 5,419

N2 30 46 36 43 58 46 43 302

Mujer 4,910 5,954 3,444 6,047 6,067 4,513 4,956 5,225

p-valor .245 .183 .128 ,298 .722 .522 .518 .374

Tabla 11. Medias alumnos de 3.º por grupo y género

No hay diferencias significativas en cada grupo de 3.º atendiendo a género.

Las calificaciones más próximas entre alumnos y alumnas es el grupo 35 (p = .722).

3.er

Curso por turno y género

Mañ. Tar. Hom. Muj. Total

0 – 5 32,5 29,3 26,9 35,8 33,4

5 – 7 45,3 46,0 53,7 42,7 45,6

7 – 9 20,3 19,2 18,5 20,2 19,8

9 – 10 1,9 0,5 0,9 1,3 1,2

Total 100 100 100 100 100

N 212 198 108 302 410

Media 5,290 5,261 5,419 5,225 5,276

D. T. 2,083 1,786 1,703 2,022 1,943

p-valor .880 .374 t-St

Tabla12. Porcentajes y medias por turno y género



No hay diferencias significativas (p = .880) por turno.

No hay diferencias significativas (p = .374) por género.

Suspenden más mujeres que hombres y más alumnos por la mañana que por la tarde.

3.er

Curso por convocatoria


N 376 8 19 7 -- 410

Media 5,448 3,550 2,979 4,229 -- 5,276

D. T. 1,837 2,428 0,950 2,214 -- 1,943

Aprob. 261 4 5 3 -- 273

% Aprob. 69,4 50,0 26,3 42,9 -- 66,6


Del total de alumnos aprobados, el 95,6 % lo obtiene en la primera convocatoria.

En el análisis de la varianza (F = 9,206) hay diferencias significativas (p = .000) a favor de la

primera convocatoria.

El porcentaje más alto de aprobados se obtiene en la primera convocatoria.

3.er

Curso medias por turno y género

Hombre Mujer Total

Mañana 5,547 (57) 5,195 (155) 5,290 (212)

Tarde 5,275 (51) 5,256 (147) 5,261 (198)

% Aprob. 5,419 (108) 5,225 (302) 5,276 (410)

Tabla 14. Medias por turno y género

Mejor puntuación hombre-mañana y peor puntuación mujer-mañana

En los cuatro casos la media es superior a 5.

6. Discusión

A la vista de los resultados obtenidos la tasa de éxito (aprobados/presentados) es del 66,6 %,

tanto en 2.º como e 3.º lo que indica que dos de cada tres alumnos presentados aprueban la asignatura,

si bien la tasa de rendimiento (aprobados/matriculados) en 2.º no supera el 50 %. La media de 3.º es superior a la de 2.º, pero no resulta una diferencia significativa. Todo ello responde a la primera

hipótesis para poder afirmar que entre los resultados de 2.º y de 3.º no existe una diferencia

significativa.

Para contestar a la segunda hipótesis planteada, es mayor el porcentaje de alumnos que se

presentan en los grupos del turno de tarde, tienen mayor tasa de éxito y mayor tasa de rendimiento y una media superior en cinco centésimas a los grupos del turno de mañana. Aplicada una t-Student se

obtiene que en 2.º curso la diferencia de medias no es significativa (p = .562) y que tampoco lo es en

3.º (p = .514), aunque sean superiores las notas en los grupos de por la tarde respecto a los de la mañana. El que un alumno esté en un grupo de mañana o de tarde y que los profesores que lo evalúan

sean funcionarios de carrera universitarios o no lo sean no queda reflejado en las calificaciones

obtenidas por los alumnos.




Si nos atenemos a los grupos hay profesores más/menos exigentes y grupos más/menos

preparados, además de que los contenidos pueden ser desarrollados con distinta metodología. En 2.º curso la tasa de éxito varía entre el 40 % y el 91 %, lo que indica lo anteriormente expresado; más de

50 puntos de diferencia es un factor importante a considerar por el coordinador de la asignatura. Si se

considera la tasa de rendimiento, varía del 24 % al 66 % con una variación de 42 puntos. Es importante indicar que de los ocho grupos de 2.º curso en cuatro la nota media es inferior a 5 puntos.

Efectuado un análisis de la varianza y realizado un gráfico por grupos se obtiene diferencias

significativas (p = .000) entre los grupos con la media más alta y más baja en dos grupos del turno de

mañana.

En 3.º la tasa de éxito tiene una diferencia de 42 puntos entre los grupos más extremados y una tasa de rendimiento de 33 puntos, siendo dos los grupos cuya media no llega a aprobado, uno de cada

turno. Las diferencias entre grupos en 3.º son significativas (p = .000) en el análisis de la varianza

efectuado, contestando así a la tercera hipótesis. Considerando los datos de las tres convocatorias del curso 2012/2013 (Facultad de Educación, 2015) tanto la tasa de éxito (TE) como la tasa de

rendimiento (TR) son más altas, siendo reflejados en la tabla 15.

Asignatura T. Éxito T. Rendim.

Matemáticas y su didáctica I 77,59 % 65,98 %

Matemáticas y su didáctica II 82,95 % 72,96 %

Grado Maestro Primaria U. Murcia 90,21 % 94,89 %

Tabla 15. Tasa de Éxito (TE) y Tasa de Rendimiento (TR)

El cuarto objetivo del estudio era conocer si resultaban diferencias significativas por género. De

los 1176 alumnos de la muestra, el 28 % son hombres y el 72 % mujeres, cuya media de calificaciones

solo se diferencia en dos centésimas a favor de hombres, pero si se especifica por curso, en 2.º las

mujeres obtienen mejor nota que los hombres (15 centésimas) y en 3.º son los hombres los que obtienen mejor nota que las mujeres (19 centésimas). En ninguno de los dos casos las diferencias son

significativas (p = .514 en 2.º y p = .374 en 3.º). La respuesta a la cuarta hipótesis, por tanto, es que

no existen diferencias significativas en las calificaciones de las dos asignaturas por género.

La quinta hipótesis planteaba conocer si hay diferencias significativas entre los resultados según las convocatorias. Del análisis de las actas, de los 570 alumnos aprobados, el 94 % lo hace en la

primera convocatoria y el 6 % en las restantes convocatorias. En 2.º es del 93 % frente al 7 % y en 3.º

del 96 % frente al 4 %. Aplicado un Análisis de la varianza las diferencias resultan significativas

siempre a favor de la primera convocatoria.

7. Conclusiones

De las calificaciones otorgadas por los profesores de 2.º curso son las mujeres del turno de tarde

las que obtiene mejores resultados y los hombres del turno de mañana los peores. En 3.º son las medias de los hombres del turno de mañana las más altas y la de las mujeres del turno de mañana las

más bajas. ¿Se puede decir que los alumnos al finalizar estas dos asignaturas tienen adquiridas las

competencias de las Guías docentes?

Según los resultados de la tasa de éxito, tanto en segundo como en tercero, dos de cada tres

alumnos que se presentan las tiene adquiridas, pero la tasa de rendimiento nos dice que solo uno de cada dos alumnos matriculados las consigue, por lo que no se puede estar satisfecho de estos



resultados y que la formación matemática de los maestros resulta deficitaria ya que como indican

(García, Buforn y Torregrosa, 2014) un ámbito de reflexión en la formación de maestros se centra en determinar características de lo que debe conocer un maestro para poder desempeñar adecuadamente

la tarea de enseñar Matemáticas.

La tasas de éxito y de rendimiento del Grado de Maestro de Primaria de la Universidad de

Murcia se sitúan por encima del 90 %, por lo que los resultados tanto en Matemáticas y su didáctica de la convocatoria de junio desarrollada en este trabajo como los resultados de todo el curso académico la

diferencia en más de 20 puntos es debido en parte a la escasez de conocimientos con que llegan los

alumnos al Grado de Maestro de Primaria que dificulta enormemente el desarrollo completo de las

asignaturas porque los contenidos de Matemática elemental que deben conocer no los conocen y a que lo aprendido en la enseñanza obligatoria no lo han mantenido. Se suele decir que la matemática

elemental es la más difícil de adquirir y estos resultados lo corroboran.

El conocimiento previo de los alumnos condiciona su aprendizaje como maestros y como dice

Montes, Contreras, Liñan, Climent y Carrillo (2015) “una posibilidad de conseguir un mayor nivel de conocimiento matemático es la realización de pruebas específicas para el acceso a esta formación” (p.

59). Esta afirmación fue adelantada por Lacasa y Rodríguez (2013) en el Informe Español del estudio

TEDS “si queremos tener maestros más capaces didácticamente en la materia que nos ocupa,

deberíamos seleccionarlos bastante más entre los estudiantes de Secundaria superior que más dominan dicha materia (p. 84). En ambas citas se propone una selección más rigurosa de los candidatos a las

carreras de Maestros y el estudio realizado lo confirma, ya que la falta de conocimiento de la

matemática elemental hace que los contenidos de Didáctica de las Matemáticas no sean lo profundos

que debieran.

El que no haya diferencias en los resultados por género, que no los haya entre 2.º y 3.º y el que

no los haya entre el turno de mañana y tarde es un factor importante a favor del profesorado en el

seguimiento de la Guía Docente, pero la baja tasa de rendimiento coloca al alumnado del Grado de

Maestro de Primaria en una situación preocupante como futuros maestros en ejercicio.

Bibliografía

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García, A., Buforn, A. y Torregrosa, G. (2014). Un módulo de enseñanza centrado en desarrollar el

razonamiento configural: características desde una perspectiva cognitiva. En M. T Tortosa, J. D. Alvarez y N. Pellín (coord.), XII Jornadas de Redes de Investigación en Docencia Universitaria.

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Lacasa, J. M. y Rodríguez, J. C. (2013). Diversidad de centros, conocimientos matemáticos y actitudes

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Universidades e Investigación, por la que se publica el Acuerdo de Consejo de Ministros de 14 de

diciembre de 2007, por el que se establecen las condiciones a las que deberán adecuarse los

http://www.uv.es/RELIEVE/v18n1/RELIEVEv18n1_3.pdf




planes de estudios conducentes a la obtención de títulos que habiliten para el ejercicio de las

profesiones reguladas de Profesor de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas. BOE, n.º 305 de 21/12/2007, pp. 52846-52847.

MEC (2007b). ORDEN ECI/3858/2007, de 27 de diciembre, por la que se establecen los requisitos

para la verificación de los títulos universitarios oficiales que habiliten para el ejercicio de las profesiones de Profesor de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación

Profesional y Enseñanzas de Idiomas. BOE, n.º 312 de 29/12/2007, pp. 53751-53753.

Montes, M. A., Contreras, L. C., Liñan, M. M., Muñoz, M. C., Climent, N. y Carrillo, J. (2015).

Conocimiento de aritmética de futuros maestros. Debilidades y fortalezas. Revista de Educación, 367, 36-62.

Ruíz de Gauna, J., García, J y Sarasua, J (2013). Perspectiva de los alumnos de Grado de Educación

Primaria sobre las Matemáticas y su enseñanza. Revista Números, 82, 5-15. SEIEM (2014). Boletín,37, 2.

Villalonga, P., González, S. y Nercau, S. (2011). Coherencia entre criterios de evaluación y prácticas

evaluativas de matemática. Revista Números, 78, 95-112.

Rosa Nortes Martínez-Artero. Profesora de la Facultad de Educación de Universidad de Murcia.

Pertenece al Departamento de Didáctica de las Ciencias Matemáticas y Sociales. Líneas de investigación

relacionadas con la formación inicial de maestros. Últimas publicaciones “Las correcciones en

Matemáticas en las PAU” (Educatio siglo XXI, 33.3), “Valoración y calidad en el Grado de Maestro de

Primaria” (Edetania, 48) y “Resolución de problemas, errores y dificultades en el Grado de Maestro de

Primaria” (Revista de Investigación Educativa, 34.1).

[email protected]

Andrés Nortes Checa. Profesor de la Facultad de Educación de Universidad de Murcia. Pertenece al Departamento de Didáctica de las Ciencias Matemáticas y Sociales. Líneas de investigación relacionadas

con la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.

[email protected]





ANEXO: Materia Enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas

Competencias

CM1. Adquirir competencias matemáticas básicas (numéricas, cálculo, geométricas, representaciones espaciales, estimación y medida, organización e interpretación de la información) que permita realizar

la función docente con seguridad.

CM2. Conocer el currículo escolar de Matemáticas, reflexionando sobre el proceso de enseñanza-

aprendizaje, organización del aula, atención a la diversidad, interdisciplinariedad…

CM3. Desarrollar y evaluar contenidos del currículo mediante recursos didácticos (programas informáticos generales y matemáticos, tecnología de la información y de la comunicación y materiales

didácticos) para manejar el proceso de enseñanza-aprendizaje.

CM4. Analizar, razonar y comunicar propuestas matemáticas.

CM5. Plantear y resolver problemas vinculados con la vida cotidiana.

CM6. Valorar la relación entre Matemáticas y Ciencias como uno de los pilares del pensamiento

científico.

Contenidos

Segundo Tercero

1. Currículo de Matemáticas en la Educación Primaria.

Resolución de problemas.

2. Sistemas de numeración. Números naturales. Operaciones.

Divisibilidad. Materiales y recursos didácticos. Dificultades

y errores.

3. Medida, estimación y cálculo de magnitudes (longitud,

masa, superficie, tiempo...). Materiales y recursos didácticos.

Dificultades y errores.

4. Conceptos geométricos fundamentales. Estudio de figuras

en el plano. Áreas. Materiales y recursos didácticos.

Dificultades y errores.

5. Transformaciones isométricas en el plano. Frisos.

Materiales y recursos didácticos. Dificultades y errores.

6. Organización y representación de la información.

Materiales y recursos didácticos. Dificultades y errores.

1. Currículo de Matemáticas en la Educación Primaria.

Estrategias y modelos de resolución de problemas.

2. Números enteros, racionales e irracionales. Materiales y

recursos didácticos.

3. Proporcionalidad aritmética y geométrica. Porcentajes. Escalas. Materiales y recursos didácticos.

4. Medida, estimación y cálculo de magnitudes (capacidad y

volumen). Materiales y recursos didácticos.

5. Orientación y representación en el espacio. Cuerpos

geométricos. Áreas y volúmenes. Materiales y recursos.

6. Probabilidad. Materiales y recursos didácticos.

Evaluación

Para aprobar la asignatura el alumno deberá aprobar la parte de exámenes y la de los trabajos

correspondientes a las actividades prácticas, y la nota final se calcula mediante la suma del 80 % de la calificación del examen con el 20 % de la nota de los trabajos correspondientes a las actividades

prácticas. Las asignaturas Matemáticas y su didáctica I de 2.º y Matemáticas y su didáctica II de 3.º

son incompatibles.




ISSN: 1887-1984


Concepciones de Profesores de Matemáticas sobre la Evaluación y las Competencias

Crisólogo Dolores Flores, Javier García-García

(Universidad Autónoma de Guerrero. México)

Fecha de recepción: 29 de junio de 2015

Fecha de aceptación: 20 de mayo de 2016

Resumen En este artículo se reportan los resultados de una investigación cuyo objetivo es explorar

las concepciones de profesores de matemáticas de bachillerato acerca de la evaluación y las competencias. Para lograrlo se aplicó una entrevista a los profesores del bachillerato,

donde se les preguntó acerca de: finalidades y objeto de la evaluación, conceptualización

de competencias, implicaciones del enfoque por competencias y percepción de las

necesidades de orientación y capacitación. En los resultados, identificamos concepciones

de la evaluación como medición de los conocimientos alcanzados, de las competencias

como el conjunto de habilidades y actitudes, que con las competencias habrá mejoría en

la enseñanza y aprendizaje de la matemática y manifiestan necesidad de capacitación

especializada en esta asignatura.

Palabras clave Concepciones sobre Evaluación, Competencias, Profesores de Matemáticas,

Preuniversitario.

Title Conceptions of Mathematics Teachers on Assessment and Competences

Abstract This article presents the results of a research, which aims to explore the conceptions of

high school mathematics teachers about the assessment and competences. To achieve that

we applied an interview to teachers of high school, where they were asked about: purpose and object of the evaluation, conceptualization of competences, implications of the

competency-based approach and perception of orientation and training needs. Among the

results we identify conceptions of assessment like measure the knowledge gained, the

competencies as a set of skills and attitudes, with the competences will be improved

teaching and learning of mathematics and manifest necessity is specialized training in

this subject.

Keywords Conceptions about Assessment, Competences, Mathematics Teachers, High School.

1. Introducción

Desde 2008, en México se han hecho los más recientes esfuerzos por transformar la educación

preuniversitaria y mejorar su calidad. Para ello se propuso y está en curso la Reforma Integral de la

Educación Media Superior (SEP, SEMS, 2008). Como parte de esta reforma se han marcado nuevos lineamientos sobre la evaluación, ahora se recomienda emplear la evaluación basada en competencias

y se reconoce que esta requiere de procesos de evaluación alternativos diferentes de los tradicionales.

La enseñanza de la matemática, por supuesto, no escapa a estos lineamientos. Para la Educación

Básica se sugiere como uno de los principios pedagógicos: evaluar para aprender (SEP, 2011, p. 31) a diferencia de la evaluación tradicional sólo centrada en los resultados. En el bachillerato también se


Concepciones de Profesores de Matemáticas acerca de la Evaluación y las Competencias C. Dolores Flores; J. García-García


recomienda una evaluación cuyo objetivo es la mejora del aprendizaje. Se plantea a través de cuatro

procesos: obtención de información acerca del alcance de las metas; la planificación del impacto de un objeto determinado; la toma de decisiones y la solución de problemas promoviendo la comprensión de

los fenómenos implicados (SEP, SEMS, DGB, 2011, p. 34). En virtud de que la educación ahora está

basada en las competencias, el tipo de evaluación alternativa que se propone es la evaluación auténtica. Esta exige que los estudiantes utilicen sus conocimientos previos y el aprendizaje reciente,

en conjunción con estrategias y habilidades, para que desarrollen actividades significativas (SEP,

SEMS, DGB, 2011, p. 41). Este es un nuevo escenario, en cuanto a evaluación se refiere, derivado de

las reformas educativas actuales, pero ¿qué ocurre con las ideas o concepciones del profesor ante este

nuevo escenario? Mediante este trabajo pretendemos encontrar las respuestas.

El estudio de las concepciones y creencias del profesor es actualmente de creciente interés porque

se ha probado que tienen incidencia en su práctica. Existen evidencias de que las concepciones de los

profesores sobre varios aspectos del proceso educativo (por ejemplo, la enseñanza, el aprendizaje y los planes de estudio) influyen fuertemente en la forma de cómo ellos enseñan y en la forma de cómo sus

estudiantes aprenden (Clark y Peterson, 1986; Thompson, 1992; Calderhead, 1996). En concreto, las

creencias de los profesores sobre sus alumnos, el aprendizaje, la enseñanza y las asignaturas, influyen en

las técnicas y prácticas de evaluación (Cizek, Fitzgerald, Shawn, y Rachor, 1995; Kahn, 2000; Tittle, 1994). Esto es consistente con el modelo de Ajzen (2005) sobre el comportamiento planeado o razonado,

lo que sugiere que las intenciones de los profesores, las creencias sobre lo que otros piensan, y la

sensación de poder cumplir con sus intenciones determinan su comportamiento dentro de los entornos escolares. Conocer las concepciones de los profesores puede, por tanto, dar una idea acerca de cómo

realizan su práctica docente y dar indicios de la calidad de los resultados que obtienen.

Esta investigación tiene aspiraciones limitadas. Se propone como objetivo explorar las

concepciones que acerca de la evaluación y las competencias tienen los profesores de matemáticas de

una escuela educación media superior1 en particular. En este sentido es un estudio de casos, o, mejor

dicho, de un caso particular referido a una escuela específica. Por lo que no tiene aspiraciones de hacer

generalizaciones acerca de lo que piensan los profesores mexicanos al respecto, ya que no se trata de

un trabajo de corte estadístico. Sus resultados pueden dar indicios acerca de lo que está sucediendo con los procesos de reforma en relación a lo que piensan los profesores en uno de los estados del país

donde más inconformidad ha habido (y sigue habiendo) sobre la evaluación oficial.

2. Antecedentes

Pocos son los trabajos de investigación en que se estudian concepciones y creencias sobre la evaluación en profesores de matemáticas. Giménez et al (1997) encontraron varios tipos de ideas

predominantes en profesores: se evalúa para controlar, los evaluadores deben ser internos al aula, hay

que utilizar instrumentos usuales para evaluar, en matemáticas es prioritario evaluar el conocimiento y las capacidades, las dificultades de la evaluación son debidas al evaluado, el profesor se valora por su

profesionalidad. Buendía et al (1999) encontraron en profesores de secundaria (incluidos profesores de

matemáticas) que en sus concepciones sobre el qué evaluar está en primer lugar el conocimiento seguido de habilidades, actitudes, valores, procedimientos, etc. y que es necesario el examen o prueba

escrita para evaluar el aprendizaje. En el mismo sentido Gil, Rico y Fernández (2002) encontraron

concepciones tales que: no destacan la valoración de los conocimientos de los alumnos, la finalidad de

la evaluación es tomar decisiones y controlar el proceso, las actitudes y la conducta de los alumnos y

el trabajo de los profesores no son importantes para su evaluación.

1 En México comprende los grados: 10, 11 y 12 de escolaridad, se le conoce con las denominaciones de bachillerato,

preparatoria o vocacional, tiene lugar previo la universidad, en este nivel asisten estudiantes de entre 15 y 18 años de edad.

Concepciones de Profesores de Matemáticas acerca de la Evaluación y las Competencias C. Dolores Flores; J. García−García



Actualmente el estudio de las concepciones sobre evaluación ha ampliado su campo, de las

funciones pedagógicas a las funciones sociales planteadas por Sanmartí (2007). Las primeras enfatizan en la regulación del proceso de enseñanza-aprendizaje y las segundas en la acreditación. En esta

dirección, Coll y Remesal (2009) describen cinco tipos de concepciones: pedagógica pura, pedagógica

mixta, mixta indefinida, social mixta y social pura. Sus resultados indican la tensión intrínseca entre la confluencia de las funciones pedagógicas y sociales. En un trabajo reciente Barnes, Fives y Dacey

(2015) al revisar las publicaciones sobre el tema arriban a tres conclusiones. Primero, las creencias

sobre la evaluación de los profesores son moldeadas por las políticas y prácticas, así como las

prioridades sociales y culturales en una sociedad (Segers y Tillema, 2011; Brown, Lake y Matters, 2011). Segundo, la distinción entre concepción y creencia puede dar lugar a ambigüedades, cuando se

pregunta a los profesores sobre la finalidad de la evaluación como una concepción, las respuestas

obtenidas pueden ser un reflejo de su perspectiva como del conocimiento (lo que la evaluación es en su contexto) en lugar de una creencia (lo que la evaluación debe ser). Tercero, las prácticas de

evaluación tienen el poder de mejorar el aprendizaje y la práctica democrática o se puede utilizar para

castigar y controlar a los alumnos, maestros y escuelas.

3. Marco conceptual

Este trabajo se fundamenta en tres conceptos esenciales: las concepciones, la evaluación y las

competencias. Las concepciones son ideas, opiniones o juicios que forman parte del pensamiento. Son

una estructura mental general que abarca creencias, significados, conceptos, proposiciones, reglas, imágenes mentales, preferencias y similares (Thompson, 1992:130). Una concepción es un punto de

partida inclusivo que toma en cuenta las formas de conocer, las creencias de los profesores, actitudes,

perspectivas, valores y otras construcciones posibles que ellos estimen útiles para describir sus

prácticas en el aula (Leong, 2014). El pensamiento del profesor incluye las concepciones y creencias, sin embargo, hay diferencias entre ellas, mientras que las creencias son consideradas como: "verdades"

personales incontrovertibles (Nespor, 1987) las concepciones son marcos organizativos que soportan

los conceptos, tienen naturaleza esencialmente cognitiva (Ponte, 1994) y reflejan ideas consensadas en un contexto determinado. Una concepción es el reflejo de la perspectiva del profesor como

conocimiento, lo que la evaluación es en su contexto, por ejemplo, y una creencia es lo que lo que la

evaluación debe ser (Barnes, Fives y Dacey, 2015). En este trabajo no hacemos tal distinción. Usamos el término concepción en un sentido inclusivo para capturar todas las ideas de los profesores acerca de

la naturaleza de la evaluación y las competencias, sus implicaciones en la enseñanza y aprendizaje de

la matemática y su percepción sobre las necesidades de capacitación.

La concepción de evaluación está estrechamente ligada a la concepción de enseñanza y

aprendizaje (e-a). Los retos de la sociedad actual han propiciado el surgimiento de varias propuestas para entender la evaluación y mejorar la e-a. La concepción constructivista de la e-a escolar, la

perspectiva de la enseñanza situada y la evaluación auténtica constituyen algunas de las principales

tendencias actuales a las cuales se adhiere y fundamenta el presente trabajo. Desde la perspectiva socio constructivista, se entiende por aprendizaje como el proceso activo de construcción de conocimientos

por parte del alumno, la enseñanza como un proceso sostenido en el tiempo de guía y ayuda del

profesor al aprendizaje del alumno, y la evaluación como el medio que permite constatar el logro de

las competencias y saberes alcanzados por el alumno como consecuencia de su participación en las actividades de enseñanza y aprendizaje (Coll, 2001; Coll, Barberá y Onrubia, 2000). Por tanto, en este

modelo la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación se asumen como procesos que guardan entre sí

una estrecha coherencia. En la perspectiva situada se entiende que todo conocimiento ocurre en un contexto y situación determinada, y es el resultado de la actividad de la persona que aprende en

interacción con otras en el marco de las prácticas sociales que promueve una comunidad determinada

(Cumming y Maxwell, 1999; Díaz-Barriga, 2006).



Las concepciones de competencias en la bibliografía especializada son amplias y variadas, sin

embargo, la mayoría de autores coinciden en definirlas de acuerdo a dos de sus características esenciales, la de sus componentes y la de su utilización en la solución de problemas y situaciones.

Perrenoud (2004) por ejemplo plantea que son síntesis combinatorias, por un lado, de procesos

cognitivos, saberes, habilidades, conductas en la acción y actitudes, y por otro, afirma que mediante ellas se logra solución innovadora a los diversos problemas que plantea la vida humana y las

organizaciones productivas. Del mismo modo la Comisión Europea (2004) las caracteriza, primero

mediante la conjunción de sus componentes, diciendo: que son el conjunto de conocimientos,

destrezas y actitudes, y segundo afirmando que todos los individuos las necesitan para su realización y desarrollo personal, inclusión y empleo. De la Orden (2011) sintetiza esas dos características

definiéndolas como, un conjunto integrado de conocimientos, destrezas y actitudes y, como

desempeño exitoso de una función o un rol. Asumimos en este trabajo esta definición de competencia cifrada en dos de sus características, porque reflejan muy bien su naturaleza y sus fines en el contexto

educativo.

4. Método

Este trabajo es de corte exploratorio y descriptivo (Hernández, Fernández y Baptista, 2006). Adopta como método de investigación el estudio de casos (Stake, 2005) porque solo considera a los

profesores de matemáticas de una escuela del Nivel Medio Superior ubicado en el sur de México.

Participaron ocho profesores de matemáticas que tienen una antigüedad promedio de 20 años de experiencia docente: cinco son ingenieros civiles, dos contadores públicos y uno profesor de

matemáticas de carrera. Dos de los participantes ya fueron certificados a través del Programa de

Formación Docente de Educación Media Superior (PROFORDEMS2). Todos trabajan en una escuela

de Nivel Medio Superior que imparte bachillerato con orientación tecnológica con modalidad bivalente. Esto significa que los estudiantes cursan el bachillerato y al mismo tiempo una carrera de

técnico, lo primero los prepara para estudiar una carrera profesional del nivel superior, y lo segundo

los prepara para incorporarse al campo laboral si lo prefieren.

Para la colecta de datos se diseñó una entrevista semiestructurada. Esta se elaboró sobre la base metodológica ideada por GRINTIE

3; en particular se consideró el enfoque evaluativo docente sugerido

por Coll et al (2000) que designa el conjunto de concepciones, ideas, creencias y pensamientos del

profesor sobre la naturaleza y funciones de la evaluación, el proceso de e-a en general y su relación

con la evaluación, y el proceso de e-a y evaluación de las competencias. Las preguntas de la entrevista se agruparon en cuatro grupos (Tabla 1). El primero se refiere al concepto de evaluación, objeto,

objetivo, participantes, instrumentos y actividades. El segundo se refiere al concepto de competencia y

a las competencias matemáticas. El tercero se refiere a las implicaciones del enfoque por competencias en la e-a de la matemática. El cuarto está dedicado a explorar la percepción de las necesidades de

capacitación ante la implementación del nuevo currículo implantado por la reforma en curso.

2 Programa dirigido a profesores de instituciones públicas y privadas. Tiene como objetivo formar a los docentes de

Educación Media Superior para contribuir al alcance del perfil docente, establecido en la Reforma Integral de Educación Media Superior. Ofrece una Especialidad en Competencias Docentes y un Diplomado en Competencias Docentes en el Nivel Medio Superior. 3 Grupo de Investigación en Interacción e Influencia Educativa. www.psyed.edu.es/grintie




Acerca de la evaluación y las competencias

1. Finalidades,

participantes,

instrumentos.

2. Competencia y

competencias

matemáticas.

3. Implicaciones de las

competencias para la e-a

de la matemática.

4. Percepción de las

necesidades de

capacitación.

P1 ¿Qué considera usted es la evaluación?

P2 ¿Cuál cree que es el

objeto de la evaluación?

P3 ¿Cuál cree que es el

objetivo de la evaluación?

P1 ¿Qué son para usted las

competencias?

P1 ¿Cree que el enfoque por competencias es el adecuado

para la e-a de la matemática?

P2 ¿Qué diferencias hay

entre la evaluación por

competencias y la anterior?

P1 ¿Fue capacitado para aplicar el nuevo

currículum de

matemáticas del

bachillerato?

P4 ¿Quiénes cree que

deben participar en la evaluación?

P5 ¿Qué instrumentos

debieran utilizarse para la

evaluación?

P2 ¿Cómo deben

evaluarse las competencias?

P3 ¿Qué implicaciones

tendrá el enfoque por competencias para la e-a de

la matemática?

P2 ¿Fue capacitado para

evaluar el aprendizaje de la matemática sobre la

base de las competencias?

P6 ¿Qué tipo de

actividades deben

utilizarse para la

evaluación?

P7 ¿Qué es para usted una

actividad significativa?

P3 ¿Qué

competencias

considera usted se

deben evaluar en

matemáticas?

P4 ¿Con el enfoque de

competencias cree que los

estudiantes llegarán mejor

preparados a la universidad o

mejor capacitados para

incorporarse al trabajo?

P3 ¿Es necesaria la

orientación y capacitación

para aplicar el nuevo

currículum y la

consiguiente evaluación

por competencias?

Tabla 1. Los cuatro grupos de preguntas contenidas en la entrevista

Las entrevistas cualitativas individuales semiestructuradas fueron llevadas a cabo por los

autores de este artículo. Todas se realizaron en marzo de 2015 en las aulas donde trabajan los

profesores participantes; tuvieron una duración de entre 40 y 60 minutos y fueron video grabadas para su posterior análisis. El análisis realizado fue esencialmente cualitativo y para ello utilizamos el

Análisis de Contenido (Bardin, 2002, p. 87). El objeto de análisis fueron las entrevistas transcritas al

procesador de textos Word de Windws, donde los segmentos específicos del contenido (unidades de registro) fueron las frases, párrafos esenciales que a nuestro juicio contenían las ideas o concepciones

vinculadas al tema de cada pregunta. Estas fueron extraídas de cada una de las entrevistas transcritas y

organizadas en una matriz de Excel de Windows, en donde a las columnas corresponden las preguntas y los renglones a cada profesor. La codificación se realizó sobre la base de la presencia, frecuencia y el

sentido del texto, en relación con el tema específico de cada pregunta. La categorización se llevó a

cabo mediante clasificación por diferenciación de ideas presentes en las frases o párrafos extraídos de

la entrevista, buscando las ideas en común y éstas se organizaron en grupos (o categorías).

5. Análisis y discusión

5.1. Concepto, objeto, objetivo, participantes, instrumentos y actividades

5.1.1. Concepto de evaluación

Sobre el concepto de evaluación identificamos tres grupos de temas (Tabla 2). En el primero,

con mayoría de adherentes se considera que es la medición de los conocimientos adquiridos. En el segundo, como los aprendizajes logrados. En el tercero como la medición de competencias expresadas

en términos de sus componentes. En una última acepción se le asocia con varios elementos: tareas,



asistencia, participaciones, examen. En los dos primeros grupos se manifiesta la inclinación por la

evaluación como la medición o producto de lo alcanzado, estas ideas son consistentes con los rasgos de la evaluación tradicional caracterizada por Tobón, Rial, Carretero y García (2006, p. 133): son un

fin en sí mismo, se limita a la constatación de resultados. Hoy día se plantea una concepción de

evaluación que si bien es cierto acepta la medición de las metas alcanzadas, éstas sirven para la toma de decisiones siempre encaminadas a mejorar el aprendizaje, no sólo saber qué y cuanto aprendieron

como se aprecia en las concepciones detectadas.

Grupos ¿Qué considera usted es la evaluación?

Grupo 1

Es el número de conocimientos adquiridos.

Una medición de conocimientos dados y adquiridos.

Es el producto de dos, tres o más sesiones de clase.

Medida de conocimientos respecto del plan.

Medida del alumno para ver si se ha superado, está igual o ha mejorado.

Es la medición del estado inicial y final del ciclo didáctico.

Grupo 2 Aprendizaje que el alumno logra alcanzar durante el curso.

Es el grado de aprendizaje que el alumno tiene.

Grupo 3 Verificación del nivel de conocimientos, habilidades y actitudes que tiene el alumno.

Es medir habilidades, aplicaciones y actitudes.

Es asistencia, participación, tareas, trabajos y examen.

Tabla 2. Frases o temas esenciales en grupos

5.1.2. Objeto de la evaluación

La pregunta sobre el objeto de la evaluación es la que causó mayor inquietud y extrañeza en

varios profesores, dos de ellos dijeron de plano desconocerlo. Empero, en los restantes detectamos dos grupos (Tabla 3): en el primero se dice que son “los temas” o “el plan de estudios” y en el segundo se

refieren a “valorar el proceso de enseñanza-aprendizaje” o simplemente “el grado de aprendizaje”. Se

externaron dos ideas sueltas, una referida al alumno y en otra al “compromiso de evaluar”. La delimitación del objeto de la evaluación es esencial ya que permite centrar y orientar las actividades de

evaluación en tal objeto. De lo contrario el proceso se vuelve anárquico y sin dirección.

Por objeto de evaluación se entiende aquello que se evalúa y la definición del objeto afecta la

selección de los métodos e instrumentos de evaluación. De esta manera se brindan los elementos para reconocer el grado o nivel del objeto evaluado (Isaac y Michael, 1981, p. 2). En la educación basada

en competencias son estas mismas el objeto de la evaluación. Congruente con esta idea la tendencia

actual es hacia la evaluación del conocimiento en uso, no solo valorar el acervo de conocimientos.

Pero las concepciones de los profesores van en este último sentido. Tradicionalmente se ha venido considerando a los aprendizajes como el objeto de la evaluación (Rosales, 2000, p. 30) tal como afloró

en una de las concepciones, pero hoy el aprendizaje está cifrado en el dominio de las competencias,

sin embargo, en los tópicos identificados el objeto está centrado en los temas, refiriéndose a los

contenidos intramatemáticos.




Grupos ¿Cuál cree que es el objeto de la evaluación?

Grupo 1

El orden de los temas que se imparten.

Es el plan de estudios a los que nos sujetamos.

Los temas vistos en clase.

Son los temas que se enseñan.

Grupo 2 Valorar el proceso de enseñanza aprendizaje.

El grado de aprendizaje sobre el manejo de conceptos, procedimientos y procesos.

Es el alumno.

Es el compromiso del maestro para evaluar.


5.1.3. Objetivo de la evaluación

A juzgar por los tópicos mencionados aquí identificamos dos grupos (Tabla 4). El primero incluye las ideas relacionadas con la medición de los conocimientos o resultado del aprendizaje y, en

el segundo, en torno a la demostración del desarrollo de competencias que también tiene que ver con

el perfil de egreso. En una última acepción se refiere a “saber qué problemas tiene el alumno con el aprendizaje”. Las del Grupo 2 tienen relación con las competencias, que, en efecto, son el objetivo de

la evaluación según lo declaran los planes de estudio, y para lograrlo hay que obtener primero

información sobre el nivel de desempeño de los alumnos y esto implica, entre otras cosas, conocer los

problemas que tiene el estudiante en su aprendizaje, como se señala en la última frase exteriorizada. Empero las inclinaciones acerca del objetivo de evaluación están orientadas hacia la medición de los

resultados de lo aprendido. Hay cuatro modelos evaluativos según el propósito de la evaluación, los

basados en la evaluación de resultados, los orientados a las audiencias implicadas, los enfocados a las decisiones y las basadas en los costos-resultados (Lukas y Santiago, 2014, p. 132). Las concepciones

aquí identificadas tienen similitud con las primeras.

Grupos ¿Cuál cree es el objeto de la evaluación?

Grupo 1

Es ver qué tanto asimiló.

Presentar un resultado de lo aprendido.

Es la medición de lo alcanzado en el curso.

Es la medición del avance del alumno en el conocimiento.

Es que el alumno realmente adquiera conocimiento.

Es la forma en la cual me aseguro de que el estudiante ha obtenido cierto aprendizaje.

Grupo 2 Que el alumno demuestre sus conocimientos, habilidades y actitudes.

Son las competencias del perfil de egreso asentadas en el plan.

Saber los problemas que tiene el alumno con el aprendizaje.


5.1.4. Participantes en la evaluación

En torno de los participantes en la evaluación identificamos tres grupos de opiniones. En el

primero, quien debe participar es sólo el alumno. En el segundo se considera que quienes deben participar en la evaluación son el profesor y los estudiantes (aunque en una se incluyen otros

profesores). En el tercero, incluyen a los padres de familia y a todo el personal escolar. La tendencia



actual confiere al estudiante participación activa en su evaluación mediante la autoevaluación y

coevaluación, procesos en los que tiene participación no sólo el profesor, sino de manera importante el estudiante para sí mismo y sus compañeros. En este sentido, Ahumada (2005, p. 41) enfatiza el papel

del propio estudiante, planteando que la evaluación auténtica está interesada en que sea el alumno

quien asuma la responsabilidad de su propio aprendizaje y, por ende, que utilice la evaluación como medio que le permita alcanzar los conocimientos propuestos. Empero los profesores consideran que

tiene primacía, aunque hay quienes sugieren participaciones mucho más amplias que incluyen a los

padres de familia y al personal de la escuela.

Grupos ¿Quiénes cree deben participar en la evaluación?

Grupo 1 El alumno.

Los estudiantes.

Grupo 2

El alumno y el maestro.

El docente y estudiante.

El profesor en primer lugar, pero también el alumno.

El maestro y en un porcentaje menor el alumno.

Principalmente el profesor y el alumno.

El profesor y el alumno, también otros profesores.

Grupo 3 Los padres de familia y todo el personal de la institución.

Todos los trabajadores del plantel.


5.1.5. Instrumentos de evaluación

El examen es el instrumento de evaluación más citado por los profesores, aunque también lo son

con menor frecuencia, los ejercicios, participaciones y tareas (Tabla 6). No los consideran únicos. Hay

tendencia a utilizar varios, como: exposiciones, cuestionarios, asistencia y tareas. Las tendencias actuales sugieren una amplia gama de instrumentos y técnicas para recoger evidencias de aprendizaje

tales como: mapas semánticos y conceptuales, los organigramas, ideogramas, flujogramas, portafolios,

rúbricas, etc. (Ahumada, 2005). Sin embargo, sólo uno de los profesores hace alusión a la rúbrica.

Hay cierta confusión en las respuestas, un instrumento de evaluación es el medio para recabar

información y registrar datos para emitir una valoración, en cambio los profesores se remiten a los materiales didácticos o actividades que utilizan para evaluar. Las pruebas (o exámenes) impuestas

habitualmente favorecen el punto de vista del profesor, no del aprendizaje, y llevan consigo una

adaptación por parte del alumnado; la evaluación condiciona el proceso de aprendizaje y el alumnado orienta su aprendizaje en función de cómo va a ser evaluado (Castejón, Capllonch, González y López

2009, p. 66). El profesor a través de los instrumentos de evaluación que utiliza impone su concepción

de aprendizaje, en el caso que nos ocupa, encontramos consistencia entre las ideas externadas por los

profesores respecto de los objetivos y los instrumentos de evaluación. Los profesores consideran que la evaluación tiene como objetivo la medición de lo logrado y esos logros los pueden valorar con

exámenes o pruebas escritas.




Grupos ¿Qué instrumentos debieran utilizarse en la evaluación?

Grupo 1

Examen, asistencias, participación y tareas.

Examen escrito, láminas, pizarrón, películas, cuestionarios.

Cuestionarios y tareas de investigación.

Examen diagnóstico, participación y exposición.

Grupo 2

Banco de ejercicios y examen.

Ejercicios en clase tomados del texto.

Ejercicios personalizados.

Las que señala el plan de estudios y el programa.

Evaluar de acuerdo al contexto que estamos viviendo.


5.1.6. Actividades para la evaluación

A juzgar por la frecuencia con que fueron citados, los ejercicios, las tareas, las participaciones y

las exposiciones, son las principales actividades que los profesores consideran deben utilizarse en la

evaluación. Nótese que las tareas de investigación son mencionadas varias veces (Tabla 7). Aunque en su mayoría las actividades de evaluación no las consideran únicas, generalmente proponen grupos de

actividades, que incluyen a las exposiciones, la puntualidad, el examen, la asistencia, etc. El sistema

educativo mexicano actual está basado en las competencias y recomiendan que sean evaluadas mediante la evaluación auténtica. Por evaluación auténtica suele entenderse el hecho de que las

técnicas, instrumentos y actividades de evaluación estén claramente aplicados en situaciones,

actividades y contenidos reales del aprendizaje que se busca (Pérez, Julián y López, 2009, p. 32). En

este sentido hay una idea exteriorizada en la que se afirma que son las “actividades ligadas a la

realidad” las actividades que deben ser utilizadas para la evaluación.

Grupos ¿Qué tipo actividades deben de utilizarse para la evaluación?

Grupo 1

Tareas de investigación, participaciones, exposiciones.

Las tareas de investigación, trabajos en clase.

Puntualidad, participación, ejercicios, tareas y examen.

Tareas de investigación, exposición.

Ejercicios en clase, tareas personalizadas.

Asistencia y participación en clase.

Grupo 2 Resolución de problemas.

Desarrollo de ejercicios y solución de problemas.

Actividades ligadas a la realidad.

Evaluación continua y final.


5.1.7. Actividad significativa

Identificamos dos grupos de ideas respecto de la actividad significativa (Tabla 8): en el primero las relacionan con el interés, motivación o atención de los alumnos, mayor significado o relevancia y

el segundo con la aplicación o concreción del conocimiento a problemas reales. Una acepción que

quedó suelta es asociada a la “actividad de investigar”. Las ideas vertidas en el primer grupo se



asocian con la motivación, relevancia, interés y esto puede darse si las actividades son significativas

para el estudiante. Es decir, que posibilitan la conexión entre sus ideas previas y el conocimiento nuevo, entonces para ellos la actividad es relevante o tiene mayor valor, como lo indican las ideas

exteriorizadas. Esta idea es consistente con dos de los principios en los que se sustenta la evaluación

auténtica según Ibarra y Gómez (2001, pp. 33−46): la necesidad de que los conocimientos previos sirvan de nexo a los siguientes, generando significados nuevos y la necesidad de aumentar la

motivación facilitando que el alumnado comparta metas y acepte reglas. En el segundo grupo el tema

central de una actividad significativa según los profesores es el vínculo con lo real y esa es una de las

características esenciales de las actividades que se proponen en la evaluación auténtica. Refiriéndose a estas, Cano (2005, pp. 50−51) plantea que son las que se proponen desde el desempeño en función de

casos reales, incluye múltiples elementos de medición del rendimiento, todo ello entendido como

actividades reales, vinculadas a los procesos de e-a y no como actividades educativas artificiales.

Al revisar las ideas vertidas en esta pregunta y en la anterior se nota que, si bien es cierto que los profesores tienen ideas consistentes con la naturaleza de las actividades significativas, parecen no

permear en el tipo de actividades que utilizan en la evaluación, como se puede apreciar en las ideas

vertidas en la Tabla 7 correspondiente a la pregunta anterior.

Grupos ¿Qué es para usted una actividad significativa?

Grupo 1

Son situaciones cercanas a los intereses de los alumnos.

Aquellas que le llame la atención al estudiante.

Aquéllas que le motiven más a estudiar.

Que le signifique más, que represente mayor valor.

Que tengan mayor relevancia para el alumno.

Grupo 2

Es aquella en la que aplica el conocimiento adquirido.

Es en la que ve la necesidad de resolver un problema real.

Es la que logra conocimientos concretos en el alumno.

Es lograr conocimientos concretos con relación a la práctica.

Es investigar, buscar el conocimiento.


5.2. Concepto de competencia y de los saberes fundamentales

5.2.1. Concepto de competencia

Aquí identificamos tres de grupos de ideas (Tabla 9). En las primeras se conciben a las

competencias como la conjunción de algunos de sus componentes: habilidades, actitudes y valores. Incluso se piensa que las competencias “son los mismos conocimientos de antes sólo que ahora se le

agregan las actitudes y valores”, concepción que deja entrever lo disgregado de sus componentes. En

este grupo también se les relaciona con los pilares sobre los cuales se basa la educación actual según Delors (1996, pp. 91−103) y que han sido las bases conceptuales sobre las cuales se definen las

competencias. En el segundo, el término competencia se asocia ideas como: “viene de competir”, “que

el alumno pueda competir con otros alumnos” o que “el alumno sea competitivo”. En el tercero se plantea la idea de poder realizar actividades, en una se le atribuye a la buena preparación del maestro

“para enseñar al alumno en cualquier tipo de actividades” y en la otra “al grado de conocimientos para

poder desarrollar alguna actividad”. Esta concepción es similar a la encontrada por Huntly (2008)

acerca de competencia en profesores principiantes: que el profesor esté bien preparado porque es el

responsable de la planificación cuidadosa y la organización en el aula, entre otras cosas.




Las competencias en la actualidad se conciben como el conjunto integral de sus componentes

(conocimientos, habilidades y actitudes) y su utilización en la resolución de situaciones o problemas, los profesores las conciben mediante algunos de estos componentes, aunque no se percibe en sus ideas

la integralidad. Tampoco se deja entrever en sus ideas la utilización de esos componentes en la

resolución de problemas o situaciones, de hecho, esta última idea no es parte de las concepciones aquí

identificadas. Es notoria la relación que hacen con la idea de competir con otros alumnos.

Grupos ¿Qué son para usted las competencias?

Grupo 1

Involucran usos cognitivos, ponen en juego conocimiento, desarrollan

habilidades y obligan a mostrar actitudes.

Son habilidades, actitudes y valores que el estudiante debe adquirir durante

su formación.

Es competente si tiene el grado de conocimiento, habilidades y actitudes en

lo que se requiere.

Son los mismos conocimientos de antes sólo que ahora le agregan las actitudes y valores.

Es aprender a aprender, aprender hacer y aprender a ser.

Grupo 2

Es que el alumno sea competitivo para cualquier tema.

Competencia viene de competir con otros.

Cierto grado de conocimiento para que el alumno pueda competir con otros

alumnos en cualquier tipo de actividades.

Competencias para avanzar de manera gradual.

Grupo 3

Es que el maestro esté bien preparado para enseñar al alumno en cualquier

tipo de actividades.

Son el grado de conocimientos que el alumno debe tener para poder

desarrollar alguna actividad.


5.2.2 Cómo evaluar las competencias

Respecto de cómo evaluar competencias identificamos dos grupos de opiniones. En el

primero se les confiere importancia a los conocimientos, aunque hay quien agrega “las

actitudes y los valores”. En el segundo destaca la aplicación o utilización de lo aprendido o el

desempeño. En las restantes se señala el “desarrollo del aprendizaje significativo” y en la

última se sugiere sean evaluadas “mediante la responsabilidad”. El desarrollo de las

competencias requiere de ser comprobado en la práctica, mediante criterios de desempeño o

evaluación previamente establecidos. Para ello hace falta diseñar actividades significativas.

En este sentido son consistentes la penúltima idea (referida a las actividades significativas) y

las presentes en el Grupo 2, ya que se refieren a la aplicación de los conocimientos y al

desempeño. Las del Grupo 1 se centran en los conocimientos, sin embargo, las competencias

son más cercanas a la idea de poder hacer con el saber, el saber es solo información sin uso.

Este es un aspecto esencial de las competencias ausente en las ideas de este grupo.



Grupos ¿Cómo deben evaluarse las competencias?

Grupo 1

Por medio de los conocimientos que aprendió.

A través de todo tipo de conocimientos.

Mediante sus conocimientos previos.

Mediante conocimientos, actitudes y valores.

Grupo 2

Aplicando eso que aprendió y mostrando actitudes deseables.

Utilización lo que alumno sabe o aprendió.

Aplicando sus conocimientos asimilados.

Mediante el desempeño del alumno durante todo un curso.

Mediante el desarrollo del aprendizaje significativo.

Mediante la responsabilidad.


5.2.3. ¿Qué competencias deben evaluarse en matemáticas?

Identificamos tres grupos de ideas aquí (Tabla 11). En el primero están vinculadas a la resolución de problemas con algunas variantes que incluyen su planteo, el contexto indicado por el

“entorno” o los ejercicios. En el segundo se plantea interpretar o visualizar tablas y gráficas. El tercero

se refiere a las habilidades de razonamiento lógico como deducir, generalizar e inferir. Otras ideas

aluden al conocimiento de los contenidos de aritmética, álgebra y los cálculos aplicando los teoremas. Con las competencias la e-a de la matemática ha dado un viraje hacia la vinculación con la práctica, ya

que para desarrollarlas se utilizan actividades significativas y éstas se conciben como situaciones y

problemas lo más parecido posible a lo que se presentan en las comunidades de prácticas reales. En este sentido hay algunas manifestaciones en las ideas del primer grupo. Pero la resolución de

problemas requiere de competencias específicas como la formulación del modelo, aplicación,

argumentación e interpretación de los resultados. Los profesores no llegan a tanta especificidad, pero

sí mencionan las habilidades de visualizar e interpretar gráficas o tablas que son usuales en la solución de problemas vinculados a la práctica. En cambio, se mencionan tópicos tendientes al desarrollo del

razonamiento lógico, de que sepan aritmética, álgebra o que utilicen teoremas. Estas ideas remiten a la

enseñanza de la matemática que privilegiaba el aprendizaje del conocimiento intramatemático.

Grupos ¿Qué competencias considera usted deben evaluarse en matemáticas?

Grupo 1

Resolver problemas.

Resolver ejercicios y problemas.

Plantear, interpretar y resolver problemas.

Resolver problemas del entorno.

Grupo 2 Interpretar tablas y gráficas.

Visualizar gráficas de funciones.

Grupo 3 Razonamiento lógico, generalizar.

Deducir e inferir en matemáticas.

Saber aritmética y algebra básica.

Cálculos aplicando algunos teoremas.





5.3. Implicaciones del enfoque por competencias para la e-a de la matemática

5.3.1. Las competencias y la mejora de la e-a de la matemática

En esta parte se perfilan dos grupos de opiniones (Tabla 12). Quienes asientan afirmativamente (que son la mayoría) que con las competencias se mejorará el aprendizaje de la matemática y los que

no están muy convencidos o dicen que contribuirán en poco. Entre los primeros identificamos dos

subgrupos, en el primero dicen que sí y plantean por separado argumentos diferentes: “porque su enfoque es hacia el trabajo” y “porque los estudiantes cursan un bachillerato técnico”; “porque ahora

el alumno tiene más libertad de participar”; sí porque es “importante en la actualidad”. En el segundo

subgrupo se incluyen quienes dicen que sí es el adecuado, pero ponen condicionantes: “siempre y

cuando el alumno traiga bases sólidas”; “siempre y cuando se aplique de manera correcta; pues todos los enfoques tienen sus ventajas y desventajas”. En el segundo grupo manifiestan escepticismo o

claramente dicen no estar convencidos.

Grupos Subgrupos ¿Usted cree que el enfoque por competencias es el adecuado para

mejorar la enseñanza-aprendizaje de la matemática?

Grupo 1

Subgrupo 1

Sí, porque antes los maestros no les daban participación a los alumnos y

ahora el alumno tiene más libertad de participar.

Sí, ya que los estudiantes cursan un bachillerato técnico. Su enfoque es

hacia al trabajo y es acorde a su futura profesión.

Sí, porque antes era muy teórico ahora es más práctico.

Yo creo que sí es importante en la actualidad.

Subgrupo 2 Creo que sí, siempre y cuando el alumno traiga bases sólidas.

Sí, siempre y cuando se aplique de manera correcta; todos los enfoques habidos tienen sus ventajas y desventajas.

Grupo 2 Un poco, hay que esperar resultados.

No estoy muy convencido, porque cuando el alumno trabaja no aplica tanto

las matemáticas.


5.3.2. Diferencias entre la evaluación por competencias y la anterior

En los temas detectados se percibe una opinión mayoritaria de la existencia de diferencias entre

ambos tipos de evaluaciones (Grupo 1), pero hay un grupo que opina en sentido contrario (Grupo 2).

Del primer grupo se establecen dos subgrupos, cuyas diferencias radican en el tipo de razones que esgrimen (Tabla 13). En el Subgrupo 1 se percibe la opinión, por un lado, centrada en la aplicación y

en las competencias aduciendo que ahora existen “aplicaciones prácticas”, “se evalúan los

desempeños”, “interesa lo que sabe hacer el alumno” y, por otro lado, que antes predominaba el conocimiento abstracto y la memorización. En el Subgrupo 2 se plantean razones de mayor libertad de

participación a los estudiantes o bien que la diferencia radica en la concepción del profesor. En el

Grupo 2 se dice que no hay diferencias, en un caso se dice que es lo mismo, sólo que “ahora se utilizan

los medios electrónicos”. La aceptación por la existencia de diferencias es evidente, esas diferencias se aglutinan en torno de la justificación de que la evaluación actual se centra en la aplicación práctica y la

anterior en el conocimiento.



Grupos Subgrupos ¿Qué diferencias hay entre la evaluación por competencias y la anterior?

Grupo 1

Subgrupo 1

Ahora existe una aplicación más práctica, antes era muy general.

Ahora hay un enfoque de aplicación y antes se evaluaba el conocimiento

abstracto.

Ahora interesa lo que el alumno sabe hacer y que lo demuestre, antes

predominaba la memorización.

Antes se evaluaban sólo conocimientos, ahora se evalúan desempeños en una

actividad para que el alumno pueda trabajar y poder competir.

Antes sólo se evaluaba con el examen, ahora se toma en cuenta además la actitud

y los valores.

Subgrupo 2

Ahora el maestro da más libertad al alumno de participar y no sólo es el profesor

el que expone.

La diferencia está en la concepción del profesor.

Grupo 2 Es lo mismo sólo que ahora se utilizan medios electrónicos.

No debiera haber diferencia creo que es igual que antes.


5.3.3. Implicaciones del enfoque por competencias en la e-a de la matemática

La mayoría de los profesores afirmaron que tendrá implicaciones el enfoque por competencias.

Los argumentos que esgrimieron fueron organizados tres grupos (Tabla 14). El primero se organiza en torno a la idea de que tendrá aplicaciones prácticas o en la vida cotidiana. En el segundo de que tendrá

más conocimientos, en el tercero se manifiesta escepticismo o francamente se afirma que no tendrá

ninguna implicación. Las diferencias son evidentes entre ambos grupos, en el primero dan razones de

integralidad y aplicabilidad y, en el segundo de incremento de conocimientos.

Grupos ¿Tendrá implicaciones el enfoque por competencias para la enseñanza y el

aprendizaje de la matemática?

Grupo 1 Sí, porque tendrá un enfoque global para aplicar la matemática en la práctica.

Sí, porque el alumno desarrolla habilidades para la vida cotidiana, antes se le ponían

problemas abstractos y complejos que lo desanimaban.

Grupo 2

Sí, con las competencias el alumno desarrolla mayor conocimiento y habilidad.

Sí, porque se deben de conocer más los temas de matemáticas y tener más ejemplos

demostrativos.

Sí, porque el estudiante aprenderá más matemática.

Sí se va a mejorar con las competencias.

Grupo 3 Tengo mis dudas de que mejore.

Yo veo que ninguna.


5.3.4. Las competencias y la preparación de los estudiantes para la universidad o el trabajo

Aquí detectamos dos grupos (Tabla 15), quienes dijeron que sí (Grupo 1) y quienes se

manifestaron escépticos (Grupo 2). El primero es mayoritario y lo dividimos en dos subgrupos. En el

primero se dice que sí, porque las competencias tienen aplicación en el campo laboral o en las empresas. En el segundo porque con ellas se aprende más matemáticas o porque hay más apertura. En




el Grupo 2 ponen condicionantes o dejan ver cierto escepticismo, en la primera se aduce que se

mejorará a condición de que haya bases sólidas, en las segundas que se mejorará de manera parcial

pues no se puede afirmar que ese enfoque sea el ideal.

Una de las razones por las que se han implantado las reformas educativas en México radica en

el fracaso escolar diagnosticado desde la década de los ochenta del siglo pasado. Y se comparte que

este fracaso, a su vez, tiene como una de sus causas a la pedagogía practicada, tradicionalmente centrada en las disciplinas y en los saberes. El vuelco de la pedagogía tradicional al modelo por

competencias se supone podría resolver el problema y preparar mejor a los estudiantes para seguir sus

estudios o para incorporarse al trabajo, porque dejaría de centrarse sólo en los conocimientos para

dedicarse ahora a la vinculación con la práctica y su consiguiente relación con el campo laboral. Esto mismo es aplicable a la e-a de la matemática, y en este sentido las ideas de los profesores parecen

sumarse al argumento de la aplicación al campo laboral, aunque también se siguen aduciendo razones

de incremento de conocimiento y en otros se hace explícito su escepticismo acerca de las expectativas

de mejora.

Grupos Subgrupos

¿Con el enfoque por competencias cree que los estudiantes estarán

mejor preparados para la universidad o para incorporarse al campo

laboral?

Grupo1

Subgrupo 1

Sí, llegarán mejor preparados.

Sí, porque están diseñadas para aplicarse en el campo laboral.

Sí, porque se están preparando para las empresas.

Subgrupo 2 Sí, porque aprenden más matemáticas con las competencias.

Sí, porque hay más apertura para los estudiantes con las competencias.

Grupo 2

Sólo si hay bases sólidas porque de eso depende que haya desarrollo.

Tengo mis dudas, porque estamos aplicando la misma metodología.

De manera parcial, aún es temprano para decir que es lo ideal.


5.4. Percepción de las necesidades de capacitación ante la implementación del nuevo

currículum.

5.4.1. Capacitación para aplicar el nuevo currículum del bachillerato

Aquí identificamos dos grupos (Tabla 16): quienes dicen haber recibido capacitación y quiénes

no. Cinco profesores manifestaron haber tomado el curso de Competencias Docentes del PROFORDEMS y dos de ellos afirmaron contar ya con la certificación oficial. Eso significa haber

presentado y aprobado las evaluaciones que exige ese programa. Sin embargo, observaron las

deficiencias de los instructores. Los lineamientos oficiales reconocen como un requisito indispensable la actualización de los profesores para que la reforma sea exitosa pero las expresiones de algunos

profesores son sintomáticas: los capacitadores no estaban totalmente preparados para ello.



Grupos ¿Fue capacitado para aplicar el nuevo currículum del bachillerato?

Grupo 1

Sí, cursé el diplomado en competencias docente y obtuve la certificación.

Sí, tengo la certificación en competencias docentes.

Sí, pero las primeras capacitaciones fueron muy deficientes ya que los mismos

instructores no estaban bien capacitados.

Sí, tome el diplomado en competencias docente.

Asistí a cursos por mi propia iniciativa.

Sí, fui capacitado, pero todavía no logro certificación.

Grupo 2 No he tomado el curso todavía, pero estoy en proceso de tomarlo.

No todavía no he tomado cursos de capacitación.


5.4.2. Capacitación para evaluar el aprendizaje de la matemática por competencias

Respecto de esta pregunta nuevamente vuelven aparecer dos grupos (Tabla 17), quienes dicen

no haber recibido capacitación y quienes afirman haberla recibido. El primero es mayoritario.

Manifestaron que no fueron capacitados para evaluar el aprendizaje de la matemática a través de las competencias, dos dijeron que sí, pero la capacitación que recibieron fue informal y por su cuenta.

Quienes tomaron los cursos del PROFORDEMS manifestaron que tienen orientaciones generales y no

específicas para evaluar el aprendizaje de la matemática.

Grupos ¿Fue capacitado para evaluar el aprendizaje de la matemática sobre la base de

las competencias?

Grupo 1

No fui capacitado para eso.

No, para matemáticas en especial no.

Los cursos que tomé no estaban dedicados a matemáticas.

No, los cursos que tomé son generales no particulares.

No, los cursos son de temas generales.

No fui capacitado para ese fin, los cursos del PROFORDEMS son generales no específicos

para evaluar el aprendizaje de la matemática.

Grupo 2 Sí, tomé algunos por mi propia iniciativa.

Sí, pero no formales.


5.4.3. Necesidad de capacitación para el nuevo currículum y la evaluación por competencias

Todos los profesores aceptan como necesaria la orientación y capacitación, hay quien propone sea especializada y continua (Tabla 18). Argumentan que la implementación del nuevo modelo

requiere de capacitación. Inclusive alguien plantea la urgencia de tal capacitación. Sugieren que sea

continua y no sólo una vez cada año, reclaman que siempre cambian los modelos y no se capacita al

personal, incluso se advierte que si no se capacitan pueden ser rebasados por los estudiantes.




Grupo ¿Es necesaria la orientación y capacitación para aplicar el nuevo

currículum y la consiguiente evaluación por competencias?

Grupo 1

Sí, claro que sí es necesaria.

Sí, porque debemos conocer el modelo que aplicamos.

Sí, porque se desconoce el modelo y se necesita actualizar para tener el

conocimiento de qué se trata y cómo aplicarlo.

Sí, porque siempre que se cambian los modelos no se capacita al personal

que lo imparte por eso no se avanza.

Súper urgente, porque si no se capacita a los profesores corren el riesgo de

ser rebasados por sus estudiantes.

Grupo 2

Sí, solo que a veces no se llevan a cabo por problemas económicos.

Si claro que sí, pero debe ser especializada en matemáticas.

Sí es necesaria, debe ser continua, no sólo una vez cada año.


7. Conclusiones

Las concepciones de los profesores identificadas en este trabajo tienen inclinación por la

evaluación como medición. Esto se puede inferir por las concepciones identificadas al interior de este

trabajo y que aparecen condensadas en la Tabla 19. Los profesores todavía tienen predilección por la medición de conocimientos como objetivo de la evaluación, por el examen como instrumento y por

los temas o contenidos intramatemáticos como objetos de la misma. Estos resultados son semejantes a

los encontrados por Villalonga, González y Mercau (2011) con profesores de matemáticas universitarios, incluso son similares a los encontrados con profesores de otras áreas (Rueda y

Torquemada, 2008; Postareff, Virtanen, Katajavuori y Lindblom-Ylänne, 2012). Empero la reforma

actual pone el desarrollo de las competencias como el centro de la evaluación del aprendizaje y que

ésta debe servir no sólo para medir, sino para mejorar el aprendizaje, por lo que el examen ahora debiera ser únicamente un medio de diagnóstico y no el medio decisivo en la evaluación. Pero la

evaluación para la mejora parece no estar en los esquemas conceptuales de los profesores.

Los profesores aceptan que ellos mismos y los estudiantes participen en la evaluación, pero

notamos predominio del profesor. La evaluación por competencias no anula la participación del maestro, pero estimula la participación a los estudiantes mediante la autoevaluación y la coevaluación.

Los profesores tienen inclinaciones por la utilización de un conjunto de elementos como instrumentos

de evaluación: exámenes, ejercicios, cuestionarios, participación, exposiciones y las tareas, mientras que la evaluación por competencias plantea el uso del portafolio, rúbrica, lista de cotejo, etc. para dar

seguimiento al desarrollo de las mismas. Las diferencias son notorias. Mientras los profesores utilizan

o mejor dicho, son partidarios del uso de instrumentos para medir solo el acervo de conocimientos la

evaluación por competencias recomienda instrumentos que posibiliten la ponderación del desarrollo integral de conocimientos, habilidades y valores. Para los profesores las actividades significativas son

las que implican aplicación a problemas reales, las motivantes o de interés para los estudiantes, sin

embargo, no son consideradas por ellos como actividades a utilizar para la evaluación. Los profesores tienen una concepción en la que se considera a las actividades significativas como independientes de

los procesos de evaluación de la matemática.



Concepto, objeto, objetivo, participantes, instrumentos y actividades.

Aspectos Temas/ Frecuencia

Concepto Medición de conocimientos (6). Aprendizaje alcanzado (2). Medir conocimientos,

habilidades y actitudes (2). Asistencia, participación, tareas, trabajos, examen (1).

Objeto Los temas (4). Valorar el aprendizaje (2). El alumno (1). Compromiso por evaluar (1).

Objetivo Medición del conocimiento (6). Competencias (2). Asegurarse de la obtención aprendizaje

(1). Saber los problemas del alumno (1).

Participantes Alumno y profesor (6). Alumno (2). Padres de familia y todo el personal (2).

Instrumentos Examen (4). Ejercicios (3). Participación (2). Tareas (2). Cuestionarios (2).

Rúbrica (1). Lo que señala el plan estudios (1). Contexto (1)

Actividades Tareas (5). Ejercicios (3). Participación (3). Problemas (2). Puntualidad (1). Asistencia.

(1). Ligadas a la realidad (1).

Actividad

significativa

De interés, motivantes, mayor significado o relevancia (5). Aplicar conocimientos a la

práctica (4). Investigar (1).

Tabla 19. Resumen de temas y frecuencias relativas a la evaluación

Por otra parte, la concepción que de competencia tienen los profesores (ver Tabla 20) incluye a sus componentes (habilidades, actitudes y conocimientos) aunque notamos desarticulación entre ellos

e inclinación por las habilidades; es relacionada con los términos “competir”, “competitivo”,

insinuando la oposición entre dos o más personas que aspiran a obtener la misma cosa. Para evaluarlas consideran la aplicación de los conocimientos adquiridos o solamente los conocimientos. Las

competencias matemáticas a evaluar para los profesores son principalmente la resolución de

problemas, visualizar tablas y gráficas y las de razonamiento lógico. La concepción de competencia

asumida en este trabajo considera a sus componentes y su utilización en la solución de problemas y situaciones, pero estas últimas (las situaciones) no aparecen en las concepciones detectadas. Las

situaciones o situaciones problemáticas suelen ubicarse en un contexto generalmente ligado a la

realidad y tienen un sentido extramatemático. Pero parecen no estar presentes en las concepciones de

los profesores.

Competencia y las competencias matemáticas.


Concepto Competir, competitivo (4). Habilidades, actitudes y valores (2). Conocimientos,

habilidades, actitudes y valores (2). Que pueda hacer cualquier actividad (2).

Cómo evaluarlas Conocimientos (3). Aplicando conocimientos (3). Desempeño (1) Aprendizaje

significativo (1). Responsabilidad (1).

Qué competencias

matemáticas

Resolver problemas (4). Visualizar gráficas y tablas (2).

Razonamiento lógico (2). Resolver ejercicios (1). Aritmética y algebra (1).

Aplicando teoremas (1).

Tabla 20. Resumen de temas y frecuencias relativas a las competencias

En cuanto a las implicaciones del enfoque por competencias (ver Tabla 21), la mayoría de

profesores aceptan que es adecuado y que mejorará la e-a de la matemática, aunque hay quien tiene reservas o no está convencido. Reconocen que antes la evaluación se centraba en el conocimiento

teórico y ahora en el práctico, de manera que ahora el alumno tendrá una formación más integral con

más conocimientos matemáticos. Consistente con esta posición, mayoritariamente comparten la idea




de que con las competencias llegarán mejor preparados a la universidad o se podrán incorporar en

mejores condiciones al trabajo.

Implicaciones del enfoque por competencias en la e-a de la matemática


Es adecuado Si (6). Razones: más práctico (2), es el actual (1), más libertad (1). Sí

condicionado (2) Razones: si trae bases sólidas (1), si se aplica

correctamente (1). Un poco (1). No estoy convencido (1).

Diferencias con la

evaluación anterior

Antes conocimiento teórico ahora aplicación práctica (4). No la hay (2).

Hoy más libertad no solo el profesor evalúa (1). Antes sólo con examen

ahora cuentan actitudes y valores (1). La diferencia está en la concepción

del profesor (1).

Implicación en e-a de la

matemática

Ahora tendrá formación integral y podrá aplicar la matemática (3)

Si porque ahora tendrá más conocimiento matemático (3). Sí mejorará

(1). Tengo dudas (1). Ninguna (1).

Mejor preparados para la

universidad o el trabajo Sí lo estarán (7). Parcialmente o con escepticismo (3).

Tabla 21. Resumen de temas y frecuencias relativas a las implicaciones del enfoque por competencias

Respecto de las necesidades de capacitación, la mayoría de los profesores dicen haber sido

capacitados para aplicar el nuevo currículum y la consiguiente evaluación por competencias (Tabla

22), sin embargo, no vieron satisfechas sus expectativas ya que su capacitación fue en temas generales

y no orientada específicamente a la e-a de la matemática. Por lo que manifestaron necesaria tal capacitación especializada, inclusive algunos resaltan lo apremiante de tal capacitación y además que

debiera ser continua y no esporádica.

Precepción de las necesidades de orientación y capacitación


Fue capacitado Si (5). Cursaron PROFORDEMS (5). Tienen certificación

Oficial (2). Sin capacitación (2).

Capacitado para evaluar

matemáticas

No, fue general (6). Sí, no formales (1), Sí, por mi propia

cuenta.

Es necesaria Si (8). Porque es necesario conocer el modelo (3). Podemos ser

rebasados (1). Especializada en matemáticas (1). Continua (1).

Tabla 22. Resumen de temas y frecuencias relativas a las necesidades de capacitación

En síntesis, los resultados mostrados en este trabajo pueden ser indicios de que, en los

profesores, poco han permeado (al menos conceptualmente) las ideas fundamentales de la reforma

educativa ya que prevalece en una parte importante de ellos, concepciones similares a la evaluación tradicional. Tienden a concebirla como medición de conocimientos y no aparece en sus esquemas

conceptuales la idea de utilizarla para la mejora del aprendizaje. Piensan en la evaluación del

aprendizaje y no en la evaluación para el aprendizaje. Las competencias son asociadas a la idea de competir o bien como el conjunto de conocimientos, habilidades y actitudes, con escasa relación a su

utilización en la resolución de problemas y situaciones. Sus necesidades de orientación y capacitación

son demandantes y en particular la especializada a la e-a de la matemática.




Si bien es cierto que este trabajo da cuenta de las concepciones en profesores de una escuela en particular, estos pueden ser indicios de que similares concepciones puedan estarse compartiendo por

más profesores del país. Hay evidencias mostradas en otros trabajos de investigación de que las

concepciones y creencias inciden en la práctica de los profesores. Sobre la base de estas premisas

nosotros suponemos, a su vez, que pueden ser las causas de los bajos resultados que los estudiantes

mexicanos obtienen en las pruebas nacionales e internacionales.

Esta situación requiere, por un lado, de la realización de investigaciones que profundicen sobre

esta problemática y por otro, que también en el plano de la investigación se pueda incidir sobre el

cambio de las concepciones sobre la base de intervenciones y capacitaciones que posibiliten la utilización de una evaluación para la mejora del aprendizaje y esto es posible, así lo indican

experiencias como la de Guzmán (2002). Los profesores pueden ser convencidos de las bondades de

las nuevas formas de evaluación si ellos constatan que le resultan efectivas en su práctica. Aunque hay

que reconocer que el problema no se centra sólo en la evaluación, sino en el proceso integral de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Un cambio de concepciones y prácticas acerca del

proceso integral incidiría sobre la particularidad del primero, para eso se requiere considerar el

proceso como un sistema y no como un proceso desarticulado. Por tanto, si se quiere mejorar la

evaluación hay que mejorar al proceso íntegro.

La forma en cómo se evalúa tiene influencia en todo el proceso de e-a, de ahí la pertinencia de

incidir en el proceso integralmente. Por ello en la actualidad se ha trascendido la evaluación del

aprendizaje y se han creado nuevos conceptos como la evaluación para el aprendizaje y la evaluación

como aprendizaje. En estas concepciones se asume que la evaluación no es sólo la parte final del proceso de enseñanza y aprendizaje, sino que le es inherente al mismo. Debe ser, señalan Pérez, Soto,

Sola y Serván (2009, p. 5), una constante en todo el proceso que nos ofrezca información a los

docentes y estudiantes sobre la marcha del proceso, tal información debe ser utilizada para intervenir en el proceso a fin de provocar un aprendizaje más relevante y educativo. Sin embargo, en México

hace falta investigación más amplia y profunda, que permita hacer diagnósticos más amplios que den

cuenta de lo que ocurre en el país con las concepciones y prácticas de los profesores sobre la evaluación. Aquí se podrían encontrar algunas de las causas de la calidad educativa hasta ahora

obtenida y se pueden generar propuestas para la mejora.

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Crisólogo Dolores Flores, Centro de Investigación en Matemática Educativa, Universidad Autónoma de

Guerrero. Chilpancingo, Guerrero, México. Doctor en Ciencias Pedagógicas, con especialidad en

Metodología de la Enseñanza de la Matemática por el Instituto Superior Pedagógico “Enrique J. Varona”.

Trabaja en la línea de Pensamiento y Lenguaje Variacional, Evaluación y actualmente en Conexiones

Matemáticas.

[email protected]

Javier García-García, Centro de Investigación en Matemática Educativa, Universidad Autónoma de Guerrero. Chilpancingo, Guerrero, México. Maestro en Ciencias en el área de Matemática Educativa y

actualmente estudiante de Doctorado en Ciencias en la Especialidad de Matemática Educativa en la

Universidad Autónoma de Guerrero. Ha sido ponente en múltiples congresos nacionales e internacionales

y ha publicado diversos estudios en revistas especializadas en el campo de la Matemática Educativa.

Actualmente trabaja en colaboración con el Dr. Dolores en la línea de investigación Conexiones

Matemáticas.

[email protected]






ISSN: 1887-1984


3D, 2D, 1D

Esperanza Teixidor Cadenas. (Las Palmas de Gran Canaria. España)

Resumen La mayoría de los objetos que existen en la realidad son tridimensionales. La enseñanza-

aprendizaje de la geometría debe comenzar investigando objetos de tres dimensiones, y a

partir de su manipulación descubrir los bidimensionales, hasta llegar a los

unidimensionales, que son los más abstractos. La manipulación será imprescindible para

un aprendizaje significativo. Contamos con la ayuda de un potente material didáctico

llamado BaFi. Invertir el orden tradicional 1D, 2D, 3D, supondrá un reto para el docente.

Palabras clave Innovación didáctica, geometría, dificultades, enseñanza-aprendizaje, Primaria.

Title 3D, 2D, 1D

Abstract Most of the objects that exist in reality are three-dimensional. The teaching and learning

of geometry must begin by investigating three-dimensional objects, and then by

manipulation progress to discover the two dimensional objects until one reaches the one-

dimensional which are the most abstract. These manipulations are essential for

meaningful learning. Reversing the traditional order 1D, 2D, 3D will be a challenge for

teachers. To enable this, we have the help of a powerful didactic material called Bafi that

helps us achieve this goal.

Keywords Educational innovation, geometry, difficulties, teaching and learning, Primary Education.

1. Introducción

Durante más de 25 años de docencia como maestra en Primaria, he observado en el alumnado la

dificultad de reconocer la geometría que hay en la realidad. La conexión de lo aprendido en clase con

su uso cotidiano. El bloque de geometría, muchas veces, sigue quedando relegado al final del curso. Y

al año siguiente se comprueba que hubo poco aprendizaje significativo.

Esto es la consecuencia de una enseñanza basada principalmente en el libro de texto, con el

orden tradicional de exposición: primero los objetos de una dimensión (rectas, semirrectas, segmentos,

líneas curvas, circunferencia…). A continuación, los de dos dimensiones (polígonos, círculos,

ángulos…). Y acabando con los objetos de tres dimensiones (cubos, pirámides, prismas…). El libro tiene poca versatilidad, pues los polígonos aparecen generalmente en la misma posición, en vez de en

todas las posiciones. Con los cuerpos la dificultad es todavía mayor, ya que es difícil lograr ver la

tercera dimensión. Solamente la verá el alumnado con inteligencia espacial por encima de la media.


3D, 2D, 1D E. Teixidor Cadenas


2. Premisas previas

Son dos las ideas de las que partimos:

1. Los errores comunes deben plantear al maestro el interrogante metodológico. ¿Qué habrá que

cambiar para lograr que no sea un error común? Si sigo con la misma metodología conseguiré los

mismos malos resultados.

2. Todo avance supone fallar y aprender de los fallos. Debemos evitar trasmitir una cultura del

éxito en la que un error es un fracaso. A veces hemos tenido la experiencia en las aulas de defraudar al dar el resultado de una prueba. Por ejemplo, un alumno o alumna brillante se desanima con un 7. Esto

es indicador de que la nota está prevaleciendo sobre el aprendizaje en sí mismo.

La actitud del profesorado y cómo evalúa, dando mucha importancia al proceso del aprendizaje,

logrará cambiar la cultura del éxito por la cultura de la investigación. Los niños desde que nacen son pequeños investigadores de su entorno cercano. La capacidad de asombro es también un buen aliado

del aprendizaje, ya que lo que asombra se queda más. El aprendizaje debe provocar asombro y

satisfacción ante algo que no conocíamos y que logramos asimilar. En definitiva, los fallos o errores

son indicadores de que no vamos bien por ese camino y hay que buscar otro. Nunca quedarse en el error que desanima. Lo importante es hacer pensar, planteando buenas preguntas para que el alumnado

razone y descubra lo qué falló, e investigue nuevos caminos.

3. Errores más frecuentes

Son comunes los siguientes errores del alumnado:

1. No reconocen las figuras geométricas si están en otra posición distinta a la que suele aparecer

en el libro de texto.

2. La confusión de objetos tridimensionales con bidimensionales, por ejemplo, el cubo con el cuadrado.

3. Asocian geometría a memorizar conceptos, clasificaciones y fórmulas que se olvidan.

Se puede pensar que los tres errores antes comentados son sólo de alumnos. ¡Y son también de adultos! Un ejemplo elocuente son los fallos espaciales que se encuentran en la publicidad comercial.

Uno de los muchos ejemplos es el siguiente:

Figura 1. Publicidad de una pasta de dientes




Se representa mal la correspondencia entre la figura y el número de terrones que se contabilizan. En el dibujo de los supuestos cinco terrones, en realidad hay siete. El dibujo de los supuestos doce

terrones es una figura espacial imposible, ya que existen terrones en el aire. El que diseñó esta

propaganda no tuvo una formación tridimensional que hubiera evitado la equivocación.

Figura 2. Errores de contabilidad en el número total de terrones

4. Un material innovador: el cubo flexible BaFi

Mi pasión por la enseñanza me lleva a buscar metodologías activas, que logren vivenciar la

geometría y alcanzar aprendizajes significativos. Así nació y se desarrolló un cubo que se transforma,

al manipularlo, en distintas figuras geométricas. Está formado por doce tubos iguales ensartados en un hilo elástico, que los mantiene unidos. Su nombre actualmente es BaFi. La experiencia de aula se

publicó en el número 74 de la revista Números. Ver Bibliografía.

Figura 3. Rectángulo, tetraedro y trapecio, con BaFi

Su logo es la representación de un cubo, rodeado de segmentos circulares y pequeños círculos.

Quiere transmitir dos ideas:

1. Los colores simbolizan la diversidad de personas a las que va dirigido: de todos los países,

culturas, capacidades y edades.



2. El situarlos alrededor del cubo quiere simbolizar la metodología activa y colaborativa en la

que, a través de la manipulación, las personas descubren y disfrutan la geometría.

Figura 4. Logo

BaFi es la marca nacional del cubo didáctico que ha obtenido la concesión de modelo de utilidad (según el Boletín Oficial de la Propiedad Industrial de fecha 21/10/2014). Esta innovación

supera los materiales didácticos actualmente utilizados para la enseñanza de la geometría. Se

caracteriza por sus vértices flexibles, pudiéndose transformar en al menos 18 figuras.

Un comentario en la web “cubodidacticobafi” fue el catalizador de este artículo. Textualmente

dice: “Tengo dos niños pequeños de 2 y 4 años que juegan con el BaFi. Se divierten y sin darse cuenta están aprendiendo formas geométricas. Ellos ven una casa, una cometa, un cuento, una

ventana…Conocimos el BaFi por casualidad y encantados”. Lo escribió Mª Carmen, la madre de dos

pequeños que conocí en el barco de naviera Armas en una travesía entre Tenerife y Gran Canaria, en

julio de 2014.

Otro hecho destacado ocurrió con Javier, que en octubre de 2014 tenía 6 años. Le había dicho

que con BaFi podía hacer muchas figuras y que seguro algunas estaban por descubrir. Javi se puso a

jugar con un BaFi y encontró una figura nueva: ¡tres triángulos equiláteros siameses!

El diálogo fue:

– Pero Javi, ¡esta figura no la conocía! ¿Tú que ves?

– UN ELEFANTE -dijo Javi enseguida y con firmeza- un elefante.

– ¿Un elefante? Yo no lo veo. ¿Me lo enseñas?

– ¡Claro! Mira: una oreja, otra oreja y la trompa (señalando cada uno de los triángulos, siendo la

trompa el triángulo de en medio).

Los niños y las niñas tienen una desbordante capacidad de

imaginación. Luego llegan a Primaria y parece que pierden lo que

antes veían. ¿No será para ellos “otra cosa” lo que se da en el colegio? Por ejemplo, cuando se empieza por las rectas, que no

existen en la realidad.

Figura 5. Javier Macià Acosta




Con BaFi solucionamos los tres errores frecuentes, logrando los siguientes resultados:

1. Reconocerán las figuras en todas las posiciones, ya que estarán acostumbrados a girar las

figuras para verlas en otras posiciones.

2. Distinguirán objetos de 3D, 2D y 1D. Observarán cómo en algunos de ellos caben cosas

dentro y por tanto son objetos de tres dimensiones o cuerpos (cubo, hexaedro irregular,

tetraedro, pirámide cuadrangular y tetrápodo). En otros no caben cosas dentro, pero los podemos colorear, por lo que son objetos de dos dimensiones o superficies (hexágono,

trapecio, rombo, triángulo, rectángulo, romboide, rombo, cuadrado y ángulo). Y por último

aquellos que no son ni cuerpos ni superficies, sólo tienen una dimensión y los podemos

trazar (segmento, secantes y perpendiculares).

3. Asociarán geometría con investigación, ya que irán descubriendo poco a poco las distintas figuras. Las contemplarán fijándose en sus distintos elementos, que irán aprendiendo

progresivamente: aristas, vértices, lados y ángulos. De esta manera conseguirán un

aprendizaje significativo que durará en el tiempo.

De esta forma el alumnado aprenderá a ver. Es importante, porque está unido al asombro del descubrimiento. Lo siguiente me ocurrió en una clase de 3EP. Era el cumpleaños de un alumno que

trajo chupachups para celebrarlo. Observé que la alumna que acabó primero miró el palo, se le

abrieron los ojos con ilusión, y dijo: ¡es un tubo! ¡Podemos usarlo para construir Bafis!

Otra anécdota fue en una visita a una central eléctrica. Otra alumna descubrió que muchos de

los tornillos tenían cabeza hexagonal. Por eso es tan necesario hacer un paseo matemático, para mirar

a nuestro alrededor y descubrir la geometría que hay en la realidad.

Desde el curso 2014-2015, BaFi lo están utilizando en más de 80 colegios de todas las islas. Ha

ido evolucionando, desde construirlo con material reciclado hasta el actual con 12 tubos de colores.

BaFi tiene tres colores (rojo, verde y azul) porque el cubo es tridimensional y para visualizar las rectas que son paralelas. Si observamos un hexágono formado con BaFi, todos los bastoncillos del mismo

color son paralelos. Lo podemos girar para ver paralelas en todas las direcciones.

Figura 6. Hexágonos irregulares con BaFi

Los tubos o bastoncillos miden 10 cm, para que al formar un cubo se pueda visualizar un litro,

que es la capacidad del cubo = 1 dm3. Para que vivencien el BaFi como un litro, puede ayudar un tetrabrik de 1litro. Primero lo medimos: 5 x 10 x 20 cm, y cortamos con tijeras la mitad. De esta

manera comprobamos que es lo mismo 10 x 10 x 10 cm. Incluso aritméticamente en ambos casos son

1000 cm3 = 1 dm3



Además de las medidas de capacidad se pueden trabajar medidas de longitud, doblando a BaFi hasta conseguir distancias de: 1dm, 2dm o 3dm. Es importante que los alumnos tengan el decímetro

asimilado, para poder hacer cálculos aproximados de medidas.

Figura 7. La distancia que se mide con este BaFi es de 3 dm o 30 cm

Conviene que al formar una figura la giren para verla en otras posiciones. Irán descubriendo

poco a poco las distintas figuras. La contemplarán fijándose en sus distintos elementos, que irán

aprendiendo progresivamente: aristas, vértices, lados y ángulos.

Para formar las figuras existen varias posibilidades. Será muy importante que verbalicen cómo

han llegado a construir las figuras. Un ejemplo es la pirámide de base cuadrada. Fue la alumna Paula

Toledano, cuando estaba en 4EP, la que descubrió tres formas distintas de construirla.

1. A partir del hexágono, uniendo dos vértices alternos para

superponer dos triángulos. A continuación, unir otros dos

vértices alternos para superponer tres triángulos. El centro del hexágono será la cúspide de la pirámide.

2. Partiendo del rombo y separando dos vértices que están

superpuestos.

3. Con el trapecio, al unir un vértice del lado mayor con otro del lado menor. Posteriormente separar los vértices que

están superpuestos.

Figura 8. Pirámide cuadrangular

Desde el año 2010, en que se publicó mi primer artículo, hay nuevas figuras: Hexaedro

irregular. Tetrápodo. Ángulo, ángulos complementarios y suplementarios. Segmentos perpendiculares,

y secantes. Letras: b, d, p, q, y, i, x, z, l.

Figura 9. Segmentos perpendiculares, tetrápodo y letra b

También he profundizado en “aprender a ver” un hexágono. A simple vista vemos los 3 rombos

en los que se descompone el hexágono. Pero se pueden contabilizar 6 rombos si se solapan parcialmente. Lo mismo ocurre con el número de trapecios que hay en un hexágono. Primero vemos

dos trapecios en los que se descompone. Pero se pueden identificar seis, si se solapan. Para

visualizarlo conviene recortar un rombo o trapecio de papel y desplazarlo. Ver el siguiente dibujo:




Figura 10. Representación de los rombos y trapecios que hay en un hexágono regular

BaFi ayuda a entender la diferencia entre hexaedro regular, o cubo, y hexaedros irregulares. Me he dado cuenta que muchas veces la dificultad está en ver los ángulos. Los lados es fácil comprobar

que son iguales. En el caso del hexaedro irregular de la imagen, se ve como es obtuso el ángulo

formado por las dos aristas que llegan a cada cúspide. Y son agudos los ángulos formados por dos

aristas que llegan a la misma cúspide.

Figura 11. Hexaedro regular o cubo. Y hexaedro irregular

Hay que insistir mucho en que el término “ángulo” corresponde a la abertura y no a longitud del

lado. De hecho, cuando se muestra el mismo ángulo con BaFis de distintos tamaños, la mayoría dice

que el primero es mayor, sin darse cuenta que ambos tienen la misma abertura.

En el proceso de investigación el alumnado observará como en algunas de las figuras caben

cosas dentro y por tanto son objetos de tres dimensiones o cuerpos (cubo, hexaedro irregular, tetraedro, pirámide cuadrangular y tetrápodo). En otras no caben cosas dentro, pero las podemos

colorear, por lo que son objetos de dos dimensiones o superficies (hexágono, trapecio, rombo,

triángulo, rectángulo, romboide, rombo, cuadrado y ángulo). Y por último aquellas que no son ni cuerpos ni superficies, pues tienen una dimensión y las podemos trazar (segmento, secantes y

perpendiculares).

Otro avance importante fue la fabricación de cubos BaFi, con aristas de un metro. Nos servirán

para trabajar medidas de longitud (m), superficie (m2) y volumen (m3). Una experiencia significativa

es preguntar: ¿cuántos litros caben en un cubo de medio metro de arista? La contestación de la

mayoría del alumnado es afirmar que contiene 500 litros, sin darse cuenta de su error.

El origen de esta equivocación se encuentra en que el alumnado deduce que será la mitad de la

capacidad de un cubo de un metro de arista. Si bien es cierto que el alumnado domina, que en un cubo

de un metro de arista caben 1000 litros, en cambio fallan al creer que la mitad de la longitud implica la mitad del volumen total. Este error se puede evitar si disponemos de un cubo BaFi de un metro de



arista, e introducimos dentro otro cubo BaFi de medio metro. El alumnado se dará cuenta al instante que su volumen es mucho menor. Entonces es fácil llegar a la solución: el volumen es la octava parte,

donde caben 120 litros.

Figura 12. Cubos de 1 metro de arista, de medio metro y de cuarto metro

5. Otras figuras flexibles como BaFi

5.1. Bipirámide pentagonal

Además de cubos BaFi, hemos construido bipirámides pentagonales flexibles, dejando dos hilos

salientes en las cúspides para que puedan rotar. Y para que comprueben, haciendo la pirámide

pentagonal, que hay tres distancias distintas de menor a mayor: la altura de la pirámide, la altura de la

cara de la pirámide y la longitud de la arista. No son datos para memorizar, sino para ver.

Otras ventajas de la bipirámide, es que girándolo vemos el cuerpo en revolución, e incluso

segmentos que en realidad no existen. Esto les apasiona.

Figura 13. Hexaedro irregular y bipirámide pentagonal en revolución

viéndose dos conos y una circunferencia




5.2. Cuerpos platónicos

De los cuerpos platónicos el más destacado es el cubo. Merecen mención aparte, por sus

posibilidades, el octaedro y el icosaedro.

Figura 14. Cuerpos platónicos flexibles

5.2.1. Octaedro

Al manipularlo se transforma en pirámide cuadrada, rombo y triángulo equilátero.

Figura 15. Transformaciones a partir de un octaedro flexible

5.2.2. Icosaedro

Figura 16. Icosaedro flexible y dos vistas del antiprisma pentagonal



5.3. Pirámides cuadradas

Las pirámides cuadradas flexibles, al manipularlas, se transforman primero en cuadriláteros y luego en los tres tipos de triángulos clasificados por sus lados. Para que se visualice mejor, los tubos

con las mismas distancias tienen el mismo color.

Figura 17. Aristas de igual longitud. Se transforma la pirámide en un triángulo equilátero

Figura 18. Aristas de dos longitudes distintas. Se transforma la pirámide en un triángulo isósceles

Figura 19. Aristas de tres longitudes distintas. Se transforma la pirámide en un triángulo escaleno

Son muchas las anécdotas que se podrían contar. En el CEIP Los Tarajales, cuando enseñé el

elefante de Javier, la alumna Daniela dijo: “pues yo veo un pez, con su cuerpo y sus dos aletas”. En la

misma clase de 4ºde Primaria se inventaron nuevas figuras, como la cifra 4, o una torre Eiffel.




Figura 20. Imágenes de la figura de tres triángulos equiláteros


Hay un comentario escrito en la web de BaFi (www.cubodidacticobafi.com) el 10 de mayo de 2015, por Genaro Morales, maestro del CEIP Monseñor Socorro Lantigua, de Teror, que dice: “A

nivel personal es una maravilla lo que aprendo con él. Pero son mis alumnos los que tienen

"BAFIMANÍA" les encanta jugar con él, no lo consideran trabajar. Exploran, descubren, discuten... es una sorpresa constante. Hablan de cuerpos geométricos, caras, aristas, vértices, ángulos, tipos de

rectas, letras... de todo lo que van descubriendo”.

En definitiva, BaFi ayuda enormemente a aprender a ver. Es un material muy enriquecedor para

todas las edades y todas las capacidades. BaFi favorece la estimulación mental, la creatividad y la

motricidad fina.

Hay que modificar el orden tradicional de la enseñanza-aprendizaje (1D, 2D, 3D). Adoptando la secuencia 3D, 2D, 1D, nuestro alumnado será competente en geometría, además de visualizar con

precisión longitudes, superficies y capacidades.

Bibliografía

Teixidor Cadenas, E. (2010). Pajifiguri: un material manipulativo y cuento interactivo. Números [en

línea], 74. Julio 2010, pág. 75-92. http://www.sinewton.org/numeros/numeros/74/Experaula_01.pdf

Esperanza Teixidor Cadenas. Creadora y divulgadora del cubo flexible BaFi. Las Palmas de Gran

Canaria. Licenciada en Pedagogía. Diplomada en Magisterio en la Especialidad de Ciencias. Máster en

asesoramiento educativo familiar.

[email protected]

http://www.cubodidacticobafi.com/

http://www.sinewton.org/numeros/numeros/74/Experaula_01.pdf





ISSN: 1887-1984


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Análisis de progresos y dificultades en tareas de identificación del rombo en

Educación Primaria con GeoGebra1

Alberto Arnal-Bailera, Ángel Lancis Fleta

(Universidad de Zaragoza. España)

Resumen Se detectan dificultades de aprendizaje del concepto de rombo en el último curso de

Educación Primaria. Como respuesta a las mismas se diseña una intervención didáctica

con GeoGebra y se investiga su validez mediante una metodología cuantitativa y

cualitativa, atendiendo a la tasa de éxito en la identificación de figuras y a las

justificaciones presentadas. Se observa una clara mejora en la adquisición del concepto

aplicado a la identificación de rombos, aunque poco sostenida en el tiempo y limitada por

algunos obstáculos didácticos. También se concluye que las actividades favorecen una

cierta transición de la identificación mediante la comparación con la imagen conceptual a

la utilización de la definición.

Palabras clave Geometría plana, GeoGebra, Programa informático didáctico, Imagen conceptual,

definición.

Title Analysis of progress and difficulties in identification tasks of the rhombus in

Primary Education with GeoGebra

Abstract Some learning difficulties have been detected about the concept of rhombus in the last

year of Primary Education. A teaching intervention using GeoGebra is designed and its

validity is investigated by quantitative and qualitative methods, including the comparison of the success rates in identifying figures and the corresponding explanations. It is

observed a clear –although little sustained over time– improvement in the acquisition of

the concept, with restrictions due to some didactic obstacles. It is also concluded that the

activities promote some transition from identification by comparison with the conceptual

image to identification using the definition.

Keywords Plane Geometry, GeoGebra, Didactic Software, Conceptual image, definition.

1. Introducción y objetivos

Es más frecuente encontrar trabajos que ponderan GeoGebra como una herramienta de gran

utilidad para la enseñanza de las Matemáticas en las etapas de Secundaria o Bachillerato (Santana y

Climent, 2015; Sepúlveda, Vargas y Cristóbal, 2013). No obstante, los profesores de Educación

Primaria cada vez están más involucrados en la utilización de este software en la enseñanza de las Matemáticas (Arnal-Bailera y Guerrero-Belloc, 2015). Se presenta en este artículo el análisis de una

1Este trabajo ha sido desarrollado por el grupo de investigación "S119-Investigación en Educación Matemática"

financiado por el Gobierno de Aragón y el Fondo Social Europeo. También fue parcialmente financiado por el Ministerio de Economía y Competitividad de España (Proyecto EDU2015-65378-P).


Análisis de progresos y dificultades en tareas de identificación del rombo en Educación Primaria

con GeoGebra A. Arnal-Bailera, A. Lancis Fleta


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intervención didáctica en torno al concepto de rombo en 6º curso de Educación Primaria. Se trabaja en

un contexto de baja utilización previa de medios tecnológicos para la enseñanza de las matemáticas,

predominando el uso del libro de texto. Queremos contrastar la adecuación de una intervención didáctica con GeoGebra y las posibilidades de este programa para ayudar a superar obstáculos de

aprendizaje en sexto de Educación Primaria, concretamente:

1. Estudiar la mejora de la imagen conceptual del rombo.

2. Evaluar el uso de la definición de rombo como estrategia de identificación.

Para ambos objetivos, se estudiarán tanto la corrección de tareas de identificación como las

justificaciones de la clasificación de rombos y su evolución tras las actividades con GeoGebra.

Vinner (1991) introduce la idea de imagen conceptual en referencia a aquello que se activa en nuestra memoria cuando leemos o escuchamos el nombre de un concepto conocido. Esto no suele ser

la definición del concepto escuchado, sino más bien un conjunto de representaciones visuales o

experiencias. En el caso de conceptos geométricos como el rombo, esta imagen conceptual está compuesta por un conjunto de ejemplos (provenientes de la enseñanza recibida y experiencias previas)

de dicho concepto y –en ocasiones– de propiedades que el estudiante asocia al concepto. Según esto,

una imagen de un concepto es completa y correcta cuando ese conjunto de ejemplos y propiedades es tan amplio que le permiten al estudiante construir e identificar ejemplos de ese concepto y cuando las

propiedades asociadas son correctas. Entenderemos por una mejora en la imagen conceptual el proceso

de ampliar el rango de estos ejemplos y propiedades de modo que se adquiera un mecanismo que

permita identificar o construir todos los ejemplos del concepto tal y como éste está concebido por la comunidad matemática. En todo ejemplo de concepto podemos encontrar atributos relevantes, que son

las propiedades que lo definen como tal concepto, y atributos irrelevantes, que son propiedades no

necesarias a ese concepto y que permiten diferenciar unos ejemplos de otros. En particular nos preocupamos por superar las imágenes estereotipadas de rombo (Moriena y Scaglia, 2003) y favorecer

la transición desde la clasificación particional de los cuadriláteros hacia una jerárquica (Michael,

1994) como podemos observar en la Figura 1.

Figura 1. Clasificaciones jerárquica y particional de los cuadriláteros. (Michael, 1994, p. 12)

En los primeros cursos de primaria se forma y asienta el prototipo de rombo en la mente del

niño, a partir de la experiencia y los ejemplos que se le han mostrado (Gutiérrez & Jaime, 2012). Este





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prototipo sirve como referencia con la que el niño compara un objeto para determinar si es o no un rombo. Entre las características del prototipo de rombo podemos citar: diagonales paralelas a los

bordes de la página, un tamaño apreciable y dos ángulos claramente agudos. Si queremos una

construcción completa del concepto de rombo debemos dotar a la enseñanza de herramientas que permitan superar la presentación de ejemplos estereotipados que construyan un prototipo cerrado y

que suponga un obstáculo para aprendizajes posteriores.

Para esta investigación proponemos un uso reorganizador de la tecnología (Lee & Hollebrands,

2008), particularmente de GeoGebra. Este uso trata de proveer al estudiante con nuevas

representaciones del conocimiento que enfaticen algún aspecto sobresaliente del mismo difícil de explicitar sin tecnología. De este modo, el programa cambia la forma de pensar del estudiante.

Consideramos que las actividades propuestas promueven este uso reorganizador, dado que ofrece

representaciones del rombo a partir de otros rombos de modo dinámico, es decir, no se construye un rombo a partir de la medida de su lado o de las diagonales sino deformando de forma continua otros

rombos, lo que no podríamos hacer sin el programa.

Con el programa tratamos de superar una utilización predominante de la pizarra tradicional y el

libro de texto que puede generar obstáculos al aprendizaje como la ilusión de transparencia –mientras

los profesores interpretan un ejemplo como modelo o representante de una clase, los estudiantes ven solamente un ejemplo– expresada por Lasa y Wilhelmi (2014). En nuestras actividades se pueden

observar –con matices– algunos de los momentos de utilización de GeoGebra en la enseñanza

sugeridos por los autores: Exploración –diseñando una construcción que satisfaga las condiciones iniciales del problema–, dado que les proponemos puzles que se resuelven modificando de diversas

formas los rombos que se adjuntan. Ilustración –observando a través de múltiples ejemplos la validez

del enunciado propuesto–, discutiendo si los ejemplos propuestos son o no rombos genuinos.

2. Contexto de la intervención

Se realiza una intervención didáctica corta en dos grupos de 6º de Educación Primaria, que

incluye actividades con GeoGebra para trabajar el concepto de rombo. Para valorar la efectividad de

estas actividades se suministra un cuestionario a los dos grupos un mes antes de la intervención con preguntas relativas a la identificación y construcción de rombos y se vuelve a administrar tras la

intervención. Este post-test se administra a uno de los grupos justo a continuación de la actividad y al

cabo de una semana al otro grupo, los denominamos respectivamente pre-test, post-test inmediato y

post-test diferido. Podemos ver los resultados cuantitativos de los mismos en las tablas 1, 2 y 3.

El contexto donde se realiza la intervención es un Centro Educativo Público de Zaragoza con dos grupos de características muy similares en 6º curso de Educación Primaria, uno de ellos con 21

alumnos y el segundo con 19 alumnos. Fundamentalmente el recurso didáctico más utilizado en la

enseñanza con estos alumnos es el libro de texto, por lo que comentamos brevemente la parte referida

al rombo.

En el momento en que se realizan las actividades (diciembre de 2015) todavía no han trabajado

los polígonos en ese curso, por lo que nos referimos a su experiencia previa en 5º de Educación

Primaria: Estudiamos el libro Matemáticas 5 de la editorial Santillana y de la serie Comunidad Entre

Amigos de García, Rodríguez y Uriondo (2002a) que es el que utilizaron el pasado curso (ver Figura 2). Analizamos la unidad 8 Figuras planas. Simetría. Al igual que se puede observar en cursos

previos, la definición del rombo es implícita (no se dice si es una definición o una propiedad de esta

figura) y se sigue favoreciendo la clasificación particional de los cuadriláteros en la presentación de los cuadriláteros, aunque los enunciados que acompañan a cada figura no son explícitamente




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particionales. En cuanto a la presentación de rombos, encontramos 11 rombos en toda la unidad de los

cuales 6 son cuadrados y el resto son representaciones estereotipadas de rombo.

Figura 2. Presentación de los cuadriláteros. 5º Primaria. Ed. Santillana. Entre amigos. P. 95

En el curso en que los alumnos se encuentran aún no se ha estudiado la unidad correspondiente

a las figuras planas ni en el momento del pre-test ni tampoco cuando se desarrolla la intervención o ninguno de los post-test. Sin embargo, insertamos la presentación de los paralelogramos utilizada en el

libro Matemáticas 6 de Santillana de la serie Comunidad Entre Amigos de García, Rodríguez y

Uriondo (2002b) y observamos de nuevo la presentación estereotipada de las figuras y la clasificación particional de los cuadriláteros esta vez sí de modo explícito al poner la condición de desigualdad

entre las diagonales de los rombos (ver Figura 3).

Figura 3. Presentación de los cuadriláteros. 6º Primaria. Ed. Santillana. Entre Amigos. P. 77

Tras la revisión anterior conjeturamos que los alumnos tienen una imagen conceptual del rombo pobre y confusa, formada a partir de pocos ejemplos y con poca reflexión sobre los mismos y que no

parece que se vaya a resolver a lo largo de la enseñanza planificada para el presente curso. Por lo tanto

consideramos normal que cuando construyan un rombo dibujen uno estereotipado, que cuando identifiquen un rombo tengan dificultades si no se presenta dibujado en su forma estereotipada y que

no identifiquen como tipo particular de rombo al cuadrado.

3. Descripción de las actividades

A partir de este análisis inicial se plantean una serie de actividades con GeoGebra con el fin de mejorar el concepto de rombo incluyendo la introducción de una clasificación inclusiva del cuadrado

como caso particular del rombo. Nos centramos aquí en lo relativo a las actividades de identificación.

Analizaremos los resultados cuantitativa y cualitativamente.





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Se formula la pregunta “¿Cuáles de los siguientes polígonos son rombos?” como parte de un cuestionario sobre la identificación y construcción de rombos previo a la intervención con GeoGebra

(ver imagen 4). Esta pregunta ha sido adaptada de un cuestionario propuesto por Moriena y Scaglia

(2003). En el diseño de la pregunta se tienen en cuenta 5 casos, los cuatro primeros son rombos y el último no lo es. De los rombos, los casos a y c son también cuadrados. Esperamos que los alumnos no

identifiquen como rombos estos casos debido a la clasificación particional que han estudiado hasta

ahora. Esperamos que el caso d también genere dificultades por estar en una posición no estereotipada.

El caso e no es un rombo, pero se ha colocado imitando la posición estereotipada del rombo lo que puede generar dificultades, este caso no se considera por las autoras citadas, pero consideramos

necesario estudiar las justificaciones que dan aquí los alumnos.

Figura 4. Cuestionario sobre identificación razonada de rombos

Sabemos que los alumnos acuden a su imagen conceptual cuando se enfrentan a un problema de construcción o identificación de polígonos. Hemos seleccionado las actividades con GeoGebra

teniendo en cuenta la importancia de que dichas imágenes conceptuales sean completas, así se

proponen ejemplos y contraejemplos variados que se pueden someter a las transformaciones del plano que mantienen sus propiedades esenciales de rombo (giro, traslación y homotecia). Las actividades

son Puzle con rombos fijos, Puzle de rombos 2 y Rombos mentirosos.

Construimos con estas tres actividades una secuencia didáctica de dificultad progresiva con la

que conseguir los objetivos didácticos que perseguimos, a medida que explicamos las actividades

concretas las tratamos de relacionar con la correspondiente fase de enseñanza de Van Hiele.

La sesión comienza con una breve introducción verbal en la que el investigador explica que se va a trabajar sobre el concepto de rombo y que se va a utilizar un software llamado GeoGebra para

ello. Esta introducción de sesión corresponde con la fase 1 de Van Hiele (encuesta/información), en la

que el profesor determina mediante el diálogo dos aspectos, el conocimiento previo del concepto a tratar y la dirección que tomará el estudio posteriormente. Se introduce el vocabulario específico del

nivel que se trate. Después de la introducción se da paso a la realización de las actividades.




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Figura 5. Puzle con rombos fijos

La primera actividad Puzle con rombos fijos (ver Figura 5) es muy sencilla y de introducción.

Los alumnos, por parejas, tienen que construir un puzle con las piezas que se presentan. Las piezas son rombos y tienen la particularidad de que son fijos, lo que quiere decir que se pueden trasladar pero no

se pueden rotar o cambiar de tamaño. Esta particularidad facilita la actividad y la convierte en una

actividad de introducción tanto al concepto como a GeoGebra. Durante este proceso de actuación frente a la actividad se presenta la fase 2 de Van Hiele (orientación dirigida) en la que los estudiantes

exploran de forma secuenciada el concepto a tratar a través de los materiales que les presenta el

profesor. Tras mover las piezas a su lugar correspondiente los alumnos han de contestar por parejas a las preguntas que se proporcionan en la hoja de preguntas. ¿Qué características de las figuras son

importantes para que sean rombos? y ¿Cuáles no son importantes? (fase 3 de explicitación en la que

los estudiantes expresan y comparten sus opiniones acerca de las estructuras observadas). Señalar que

el papel del profesor debe promover que el lenguaje del alumno sea apropiado a su nivel y debe limitarse a repreguntar o rehacer el enunciado de las preguntas para favorecer las intervenciones de los

alumnos.

Figura 6. Puzle con rombos 2

A continuación, se presenta la segunda actividad de la sesión (ver Figura 6) Puzle de rombos 2, que resulta bastante más compleja. Sigue siendo un puzle en el que se proporcionan rombos como

piezas, pero en este caso permite trasladarlos, rotarlos y cambiarlos de tamaño. Modificar las piezas

hasta que encajen en la estrella no es tarea fácil si no sabes la técnica concreta, y requiere de muchas modificaciones de los rombos (que se traducen en ejemplos del concepto). Esta actividad forma parte

de la fase 4 de Van Hiele (orientación libre) en la que el alumno se enfrenta a tareas con etapas que

pueden concluirse a través de distintos procedimientos (las piezas se rotan y se modifican). Se busca la

consolidación de los conocimientos aprendidos y su aplicación a situaciones nuevas aunque de similar estructura a las estudiadas previamente. Tras completar el puzle, el alumno ha de contestar la siguiente





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pregunta: Habéis cambiado el aspecto de los rombos, ¿ha dejado alguno de ser un rombo? Explicad

vuestra respuesta.

Figura 7. Rombos mentirosos

Para finalizar, se lleva a cabo la actividad Rombos mentirosos (ver Figura 7), en la línea de

Arnal-Bailera y Guerrero-Belloc (2015) con la que se enriquece la secuencia didáctica ya que se introducen los contraejemplos y la discusión sobre ellos mediante la utilización del test de arrastre –

mover los puntos definitorios de una figura con el fin de distinguir si estamos ante un rombo genuino

(figura) o ante un rombo aparente (dibujo)–. Esta actividad permite introducir la discusión entre los alumnos de qué es esencial en un rombo y qué no lo es, lo que constituye un trabajo esencial en el

proceso de elaboración de una definición. Consideramos adecuado que los estudiantes sean los

constructores de sus propias definiciones de los conceptos. Para ello hay que proporcionarles una larga

batería de ejemplos y contraejemplos para cada uno de los conceptos a definir:

Una presentación cuidada de ejemplos y contraejemplos a los estudiantes les

ayudará a formar una mejor imagen conceptual y a discriminar con eficacia

los ejemplos de los contraejemplos. (Gutiérrez & Jaime, 2012, p. 65)

La tarea de los alumnos en la tercera actividad consiste en manipular las cuatro figuras y decidir cuál de ellas es el único rombo verdadero (ejemplo del concepto) e identificar cuáles son rombos

mentirosos (contraejemplos) además de justificar cada elección completando las siguientes frases:

El rombo nº__ es verdadero / falso porque………………………………………………………

En esta última actividad comienza la fase 5 (integración) de Van Hiele en la que el estudiante

revisa y unifica los nuevos conceptos y sus relaciones. No se presenta nada nuevo; es una síntesis o

incluso revisión de los orígenes que dieron lugar a dicha síntesis.

4. Resultados

Presentamos ahora en forma de tablas los resultados obtenidos a través del pre-test (ver tabla 1)

y de los post-test inmediato (ver tabla 2) y diferido (ver tabla 3). Consideraremos una respuesta como

correcta cuando se ha identificado correctamente la figura y se ha dado alguna razón para ello. Estas razones pueden ser relativas a la imagen conceptual del rombo o bien a alguna característica

matemáticamente relevante. Cuando se clasifica una respuesta en la categoría “imagen conceptual”

puede que el alumno haga referencia en su justificación a la posición del rombo “si lo giras sigue siendo un rombo” o a compararlo con su idea gráfica de rombo: “No, porque es un cuadrado”, lo que

nos da idea de los ejemplos de rombo que forman parte o no de su imagen conceptual. Cuando se




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clasifica una respuesta en la categoría “definición” puede que el alumno haga referencia en su

justificación a características definitorias del rombo “tiene los cuatro lados iguales” o a otras

características que, si bien no definen al rombo o contienen imprecisiones, sí pueden dar idea de que la forma de razonar del alumno se aproxima a una utilización de argumentos más formales “tiene los

vértices iguales dos a dos”.

a) b) c) d) e)

Correcto

Imagen conceptual

2,5% 43,5% 20,5% 24% 7,5%

Definición 2,5% 15,5% 10% 9,5% 10,5%

Total 5% 59% 30,5% 33,5% 18%

Incorrecto

Imagen

conceptual 54% 2,5% 21% 20,5% 30%

Definición 5% 2,5% - - 10%

Total 59% 5% 21% 20,5% 40%

Sin justificar 36% 36% 48,5% 46% 42%

Tabla 1. Resultados pre-test

Respecto del pre-test (ver tabla 1), un primer resultado es que los alumnos justifican poco sus

respuestas, observándose que, en el mejor de los casos, un 36% de los alumnos no aportan razones

para su elección. Respecto de la corrección en la identificación, la figura más reconocida por los alumnos es la b, como era previsible ya que corresponde con la imagen presentada habitualmente en

los libros de texto. La figura menos reconocida es la a, que corresponde con la presentada

habitualmente en los libros de texto como cuadrado unido esto al hecho de que la enseñanza ha promovido una clasificación particional. En todos los casos de respuesta correcta es mayoritario el

recurso a razones relacionadas con la comparación con ejemplos que forman su imagen conceptual de

rombo por encima de comentarios relacionados con las características definitorias del rombo.

a) b) c) d) e)

Correcto

Imagen conceptual

28% 34% 10% 25,5% 14%

Definición 20% 38,5% 14,5% 24% 14%

Total 48% 72,5% 24,5% 49,5% 28%

Incorrecto

Imagen conceptual

30% - 33% 9,5% 9,5%

Definición - - 9,5% - 14,5%

Total 30% - 42,5% 9,5% 24%

Sin justificar 22% 27,5% 33% 41% 48%

Tabla 2. Resultados post-test inmediato

Respecto del post-test administrado de forma inmediatamente posterior a las actividades (ver

tabla 2), un primer resultado es que los alumnos justifican bastante más sus respuestas en general,

reduciéndose los porcentajes de respuestas sin justificar sobre todo en los casos a y c (rombos cuadrados), aunque aumentando ligeramente en el e (caso de cuadrilátero no rombo). Todas las figuras





M U

N D

O G

E O

G E

B R

A

se reconocen por porcentajes mayores de alumnos, excepto la c (caso de cuadrado en posición de rombo). Aumenta el porcentaje de alumnos que utiliza características definitorias para sus

justificaciones de forma correcta. También aumenta el porcentaje de alumnos que ha enriquecido su

imagen conceptual con nuevos ejemplos de rombo salvo en el caso b (algunos alumnos que antes reconocían la figura vía su imagen conceptual ahora la reconocen vía la definición) y en el c (donde se

observa un obstáculo de aprendizaje didáctico que explicaremos más adelante). Asimismo, se reduce

el porcentaje de alumnos que utiliza la imagen conceptual erróneamente.

Respecto del post-test administrado una semana después de las actividades (ver tabla 3), un

primer resultado es que los alumnos mantienen la tendencia observada con el post-test inmediato de justificar más sus respuestas que en el pre-test (casos a, c y d) aunque también se observa una cierta

regresión a una situación similar a la inicial (casos b y e), mención aparte merece el caso e ya que la

ausencia de justificación incluso aumenta, señal de las dificultades de los alumnos de justificar que una figura no es un rombo y de que son conscientes de esa dificultad y prefieren no dar una

justificación. Respecto de las respuestas correctas, se mantiene una cierta mejoría en los porcentajes

respecto al pre-test, pero en algunos casos la mejoría es claramente menor que en el post-test

inmediato (casos a y b). Dentro de las respuestas correctas justificadas a partir de características definitorias del rombo se ve una clara recesión respecto del post-test inmediato pero manteniendo un

avance respecto del pre-test en todos los casos salvo en el c y el e (casos del cuadrado puesto en

posición “de rombo” y del contraejemplo).

a) b) c) d) e)

Correcto

Imagen

conceptual 30% 38% 26% 42% 27%

Definición 10% 21% 5% 16% 5%

Total 40% 59% 31% 58% 32%

Incorrecto

Imagen

conceptual 35% - 39% 5% 4%

Definición - - - - 10%

Total 35% - 39% 5% 14%

Sin justificar 25% 41% 30% 37% 54%

Tabla 3. Resultados post-test diferido

Dado lo llamativo del caso c, “cuadrado en posición estereotipada de rombo”, lo vamos a

analizar por separado. En el pre-test fue correctamente identificado y justificado por el 30,5% de los alumnos, pasando a un 24,5% de los alumnos en el post-test inmediato y a un 31% en el post-test

diferido. Para una mejor comprensión de este hecho, hemos considerado las respuestas sin justificar y

contando con ellas podemos señalar que recibe unos porcentajes de 68% de identificaciones correctas (con o sin justificación) en el test previo frente a unos porcentajes de 38 y 44% en los test posteriores.

Estos datos muestran que esta representación se ha identificado más como cuadrado y menos como

rombo tras la secuencia didáctica. Estos datos hacen que nos cuestionemos el progreso señalado

anteriormente con el caso a de la integración del cuadrado como tipo particular de rombo. Pues los datos indican en primer lugar que en algunos casos se ha integrado el dibujo de cuadrado como tipo

particular de rombo. Y en segundo lugar que se ha fortalecido la no inclusión del cuadrado como tipo

particular de rombo. Tal contradicción entre el caso a y el caso c supone que nuestra actuación posee limitaciones didácticas. Achacamos dicha contradicción a un uso indiscriminado de los alumnos a la

hora de utilizar el giro como técnica para identificar figuras geométricas, asumiendo algunos de ellos

que “siempre” hay que girar la figura para compararla con su imagen conceptual. Los alumnos tratan




M

U

N

D

O

G

E

O

G

E

B

R

A

de forma independiente los casos a y c, sin identificar que ambos polígonos son iguales. En el caso a,

los alumnos manipulan mentalmente el cuadrado girándolo y observan que “se forma un rombo”, es

por ello que en el pos-test más alumnos lo identifiquen como tal. En el caso c los alumnos realizarían el mismo giro de forma mental y observan que “se forma un cuadrado”, y por ello lo identifican como

tal.

Figura 8. Uso indiscriminado del giro

a) b) c) d) e)

Alumno A

Pre-test

Sí. Porque si

lo giras es

un rombo.

Sí. Porque

todos los

lados son iguales.

Sí. Porque

todos los

lados son iguales.

Sí. Porque si

lo giras es

un rombo.

No. Porque

los lados no

son iguales.

Post-test

Sí. Si lo

giras sigue siendo un

rombo.

Sí. Porque tiene 4 lados

iguales, 4

ángulos y 4 vértices.

No. No tiene

los 4 lados

iguales.

Sí. Si lo

giras sigue siendo un

rombo.

No. No tiene

los 4 lados

iguales.

Alumno B

Pre-test

No. Porque

los rombos

tienen los vértices

largos

Sí. Porque sí

que es un rombo.

Sí. Porque los rombos

suelen ser

así.

No. Porque los rombos

no están

boca abajo.

No. Porque

los rombos no tienen un

lado más

largo que otro lado.

Post-test

No. Sus 4

lados son

desiguales.

Sí. Sus

cuatro lados

son iguales.

Sí. Sus

cuatro lados

son iguales.

Sí, porque

los lados de los rombos

miden igual.

No. Los

cuatro lados

son iguales.

Tabla 4. Justificaciones de dos alumnos en tareas de identificación de rombo

Tras el análisis de los resultados cuantitativos, ilustraremos los mismos con extractos relevantes

sobre algunas justificaciones para una mejor exposición de los avances observados en algunos

alumnos (ver tabla 4). De entre las justificaciones de los alumnos, destacan la comparación con la

forma estereotipada de rombo combinadas con las alusiones a la relevancia o no de la posición de cada rombo. El alumno A evoluciona desde una concepción del rombo en que la posición es relevante hacia

una nueva concepción en que no lo es. Podemos observarlo en la representación del cuadrado

estereotipado: de “Sí, porque si lo giras es un rombo” (posición relevante) pasa a “Sí, si lo giras sigue siendo un rombo” (posición irrelevante). Observamos las mismas respuestas para la representación del

Caso a)

Caso c)





M U

N D

O G

E O

G E

B R

A

rombo “tumbado”. En el resto de casos justifica sus respuestas mediante la definición de rombo

(aludiendo a la igualdad de lados).

Observamos que el alumno B evoluciona hacia la definición del concepto pues pasa de justificar

las preguntas aludiendo a la forma estereotipada del rombo a justificarlas mediante la definición. Por

ejemplo, para el rombo estereotipado: De “Sí, porque sí que es un rombo” a “Sí, porque sus cuatro lados son iguales”. Para el dibujo de cuadrado “en posición de rombo”: de “Sí, porque los rombos

suelen ser así” a “Sí, porque sus cuatro lados son iguales”. O para el rombo en posición no

estereotipada: de “No, porque los rombos no están boca abajo” a “Sí, porque los lados de los rombos

miden igual”.

5. Discusión de los resultados y conclusiones para la docencia

Procedemos en este apartado a poner en relación los resultados observados con los objetivos

planteados en la investigación y a realizar una crítica de la intervención con el fin de aportar ideas para

una propuesta de intervención fundamentada.

Respecto del objetivo 1, “estudiar la mejora de la imagen conceptual del rombo”, podemos decir que hemos tratado de incluir el cuadrado como caso particular e ilustrar el concepto con suficientes

ejemplos y contraejemplos, como sugieren Gutiérrez y Jaime, (2012) para mejorar las tasas de acierto

en las tareas de identificación. Los alumnos mejoran la imagen conceptual del rombo aunque de forma

limitada, pues no incluyen el ejemplo de cuadrado. En la situación previa los alumnos poseen una

imagen conceptual del rombo constituida por los ejemplos de rombo estereotipado, rombo “tumbado” y cuadrado en posición estereotipada de rombo. Nuestra secuencia didáctica ha enriquecido su imagen

mental a través de numerosos ejemplos y contraejemplos de rombos, aunque el hecho de que no

mejore el porcentaje de alumnos que no justifican la identificación del único caso que no es realmente un rombo podría indicarnos la necesidad de enfatizar más aún los contraejemplos en nuestra

secuencia. Como resultado, tras la secuencia las tasas de identificación correcta han subido claramente

en casi todos los casos estudiados. Una posible explicación de lo expuesto anteriormente estaría relacionada con que la secuencia didáctica promueve el uso del giro como herramienta de

identificación de figuras geométricas, lo que unido a que los alumnos de sexto de Educación Primaria

no entienden el cuadrado como tipo particular de rombo, da lugar a efectos indeseados en algunas

tareas de identificación, mostrándose dificultades matemáticas durante la adquisición o instrumentación de las herramientas que GeoGebra nos pone al alcance como ya se muestra en Arnal y

Planas (2013). Esto habría tenido como consecuencia que los alumnos de sexto de primaria habrían

girado el cuadrado en “posición de rombo” haciéndolo coincidir con su imagen conceptual de cuadrado y alejándolo de su imagen conceptual de rombo. Deberíamos transmitir también en futuras

intervenciones que no siempre es necesario girar una figura geométrica para identificarla.

Respecto del objetivo 2, “evaluar el uso de la definición de rombo como estrategia de

identificación”, podemos decir que se ha tratado de superar la mera utilización de la comparación con

imágenes estereotipadas. En general los alumnos de sexto de primaria de nuestro estudio utilizan inicialmente su imagen conceptual para la identificación correcta de rombos, por encima de la

utilización de la definición en coincidencia con muchos autores (Gutiérrez y Jaime, 2012; Moriena y

Scaglia, 2003 y Turégano, 2006). Después de la intervención ambas técnicas de identificación se equilibran e incluso el porcentaje de alumnos utilizando la definición superan a la imagen conceptual.

Desafortunadamente esta tendencia no se mantiene cuando evaluamos esta identificación una semana

después de las actividades con GeoGebra. Dentro de estos cambios sobre la utilización de la imagen conceptual se sitúa una evolución similar de los alumnos que realizan alusiones en sus justificaciones

sobre las imágenes estereotipadas de rombo. Concluimos pues, que los cambios son positivos, pero no




M

U

N

D

O

G

E

O

G

E

B

R

A

permanentes, en coincidencia con Planas y Alsina (2006) donde se muestran otros ejemplos de

adquisición progresiva y no acelerada del conocimiento geométrico. De cara a situaciones posteriores

de enseñanza se concluye que habría que trabajar en este sentido para otros polígonos también, de

modo que el objetivo de promoción de la definición sería reforzado desde otras actividades.

Bibliografía

Arnal-Bailera, A. & Guerrero-Belloc, B. (2015). Construyendo la idea de cuadrado: Un ejemplo de la

integración de GeoGebra en el currículo de 1º de primaria. ReiDoCrea, 4, 129-135. Arnal, A. & Planas, N. (2013). Uso de tecnología en el aprendizaje de la Geometría con grupos de

riesgo: un enfoque discursivo. En Berciano, A.; Gutiérrez, G.; Estepa, A. & Climent, N. (Eds.),

Investigación en Educación Matemática XVII. Bilbao: SEIEM, 157-164. Lasa, A. & Wilhelmi, M. R. (2013). Use of GeoGebra in explorative, explanatory and demonstrative

moments. Revista do Instituto GeoGebra Internacional de São Paulo, 2(1), 52-64.

Lee, H. & Hollebrands, K. (2008). Preparing to teach mathematics with technology: An integrated

approach to developing technological pedagogical content knowledge. Contemporary Issues in Technology and Teacher Education, 8(4), 326-341.

García, P., Rodríguez, M. & Uriondo, J. (2002a). Matemáticas 5 – Entre amigos. Madrid: Santillana.

García, P., Rodríguez, M. & Uriondo, J. (2002b). Matemáticas 6 – Entre amigos. Madrid: Santillana. Gutiérrez, A. & Jaime, A. (2012). Reflexiones sobre la enseñanza de la geometría en primaria y

secundaria. Tecné, Episteme y Didaxis: TED, 32, 55-70.

Michael, D. V. (1994). The Role and Function of a Hierarchical Classification of Quadrilaterals. For the Learning of Mathematics, 14(1), 11-18.

Moriena, S. & Scaglia, S. (2003). Efectos de las representaciones gráficas estereotipadas en la

enseñanza de la geometría. EDUCACIÓN MATEMÁTICA, 15(1), 5-19.

Planas, N., & Alsina, A. (2006). Argumentos para los futuros maestros en torno al conocimiento matemático. UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 42, 51-63.

Santana, N. M., & Climent, N. (2015). Conocimiento Especializado del Profesor para la utilización de

Geogebra en el Aula de Matemáticas. Números, 88, 75-91. Sepúlveda, A., Vargas, V., & Cristobal. C. (2013). Problemas geométricos de variación y el uso de

software dinámico. Números, 82, 65-87.

Turégano, P. (2006). Una interpretación de la formación de conceptos y su aplicación el el aula. Ensayos. Revista de Estudios de la Escuela Universitaria de Magisterio de Albacete, (21), 35-48.

Vinner, S. (1991). The role of definitions in the teaching and learning of mathematics. En Tall, D.

(ed.), Advanced mathematical thinking, 65-81. Kluwer: Dordrecht.

Alberto Arnal-Bailera. Área de Didáctica de las Matemáticas. Facultad de Educación. Universidad de

Zaragoza. Doctor en Didáctica de las Matemáticas por la Universidad Autónoma de Barcelona. Intereses

de investigación en la Didáctica de la Geometría y particularmente en las aportaciones de GeoGebra a la

enseñanza de la demostración y de la construcción de conceptos en Geometría. [email protected]

Grupo de investigación "S119-Investigación en Educación Matemática" (Gobierno de Aragón).

Proyecto de investigación nacional: EDU2015-65378-P (MINECO)

Ángel Lancis Fleta. Graduado en Magisterio en Educación Primaria por la Universidad de Zaragoza.

[email protected]




ISSN: 1887-1984




P R

O B

L E

M A

S

De Torneos y otros asuntos interesantes, pues empezamos

con candelabros y terminamos con cavernas (Problemas Comentados XLIII)

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Utilizando el procedimiento de resolución de problemas en cuatro pasos: comprender,

pensar, ejecutar y responder, explicamos diversas maneras de resolver los problemas

propuestos en anteriores artículos. El uso de tablas de doble entrada para una ordenación

de datos y resultados, contribuye a una visión más clara del procedimiento. Se exponen

los problemas propuestos en la Fase Final del Torneo de 2º de la ESO recientemente

celebrado, solucionando alguno de ellos y dejando el resto para que los lectores nos

aporten sus soluciones y comentarios. Y terminamos con un interesante problema sobre

grafos.

Palabras clave Torneo de matemáticas 2º ESO. Problemas resueltos, Metodologías de resolución de

problemas. Uso de tablas. Problemas de grafos.

Abstract Using the method of problem solving in four steps: understanding, think, execute and

respond, explain various ways to solve the problems proposed in previous articles. The

use of double-entry tables for sorting data and results, contributing to a clearer view of

the procedure. The proposed problems in the final tournament of 2nd ESO recently

concluded, solving any of them and leaving the rest for readers to provide us solutions and comments are presented. And we end with an interesting problem on graphs.

Keywords Math tournament 2nd ESO. Problems solved, problem-solving methodologies. Using

tables. Graph problems

Se dejaron propuestos en el artículo Problemas comentados XLII varios problemas que ahora

pasamos a considerar y solucionar. Están sacados de dos de nuestros sitios favoritos: el Rally

Matemático Transalpino y la revista portuguesa “Educação e Matemática”.

Propuesto en el 21º RMT Prueba I enero - febrero de 2013

Cena a la luz de las velas (I)

Laura ha organizado una cena en su jardín. Para crear un buen ambiente ilumina la mesa

con candelabros de dos, tres o cuatro brazos. Laura elige al menos un candelabro de cada

tipo y en cada uno de ellos coloca una vela por brazo.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]




De Torneos y otros asuntos interesantes, pues empezamos con candelabros y terminamos con

cavernas. (Problemas Comentados XLIII) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


P

R

O

B

L

E

M

A

S

Laura se da cuenta de haber colocado 20 velas en total en los candelabros

que ha usado.

¿Cómo ha utilizado Laura las 20 velas?

Escribid todas las posibilidades.

Indicad para cada una de ellas el número de cada tipo de candelabro y

explicad vuestro razonamiento.

Para presentar la manera de resolver el problema utilizaremos el proceso de resolución que

propone el Proyecto Newton y que usamos de manera casi constante en estas páginas.

Proceso de Resolución

Fase I. Comprender

Datos:

Candelabros de tres tipos: con dos, con tres o con cuatro brazos. Se han colocado 20 velas en

total.

Objetivo:

Cómo ha utilizado Laura las 20 velas, escribiendo todas las posibilidades.

Indicar para cada una de ellas el número de cada tipo de candelabro.

Relación:

Al menos un candelabro de cada tipo y en cada uno de ellos una vela por brazo.

Los candelabros completos, usando las 20 velas.

Diagrama:

Un diagrama simple para ensayo y error o búsqueda sistemática y exhaustiva.

Velas De 4 brazos De 3 brazos De 2 brazos Candelabros

20

20

20

20

20

Fase II. Pensar

Estrategias:

Organizar la información con o sin simplificar





P R

O B

L E

M A

S

Ensayo y error

Modelización

Fase III. Ejecutar

Estamos buscando descomposiciones de 20 en una suma de términos 2, 3 y 4 (20 = 2 + 2 + … +

3 + 3 + … + 4 + 4 …) o en sumas de múltiplos de 2, de 3 o de 4 con al menos un término de cada tipo.

Se podría intentar hacer la búsqueda de las soluciones por ensayo y error, pero este

procedimiento no permite garantizar que se encuentran todas las soluciones. Los alumnos se darían

por satisfechos cuando se encuentre una.

De 4 brazos De 3 brazos De 2 brazos Total Velas (20)

3 x 4 = 12 3 x 3 = 9 3 x 2 = 6 12 + 9 + 6 = 27 27 > 20 NO

Razonar que sobran 7. ¿Cómo eliminar candelabros para conseguir que sólo queden 20 velas? Evidentemente sólo se puede conseguir eliminando uno de tres brazos y otro de cuatro brazos. Queda

así la tabla:

De 4 brazos De 3 brazos De 2 brazos Total Velas (20)

3 x 4 = 12 3 x 3 = 9 3 x 2 = 6 12 + 9 + 6 = 27 27 > 20 NO

2 x 4 = 8 2 x 3 = 6 3 x 2 = 6 8 + 6 + 6 = 20 20 = 20 SÍ

Prosiguiendo así se pueden encontrar otras soluciones, pero sigue siendo difícil precisar que se han encontrado todas. Una búsqueda más sistemática puede ser organizada por tipos de candelabros,

fijando por ejemplo el número de candelabros de 4 velas (o los múltiplos de 4).

Hay como máximo 3 candelabros de 4 velas (5 o 4 no permitirían tener otros dos candelabros de

2 y de 3 brazos). Podemos utilizar una tabla simple para sistematizar la búsqueda:


20

20

20

20

20

20

20

Empezaremos con 4 candelabros de 4 brazos




P

R

O

B

L

E

M

A

S


20 4 (16 velas) 0 2 (4 velas) 6 NO

20 3 (12 velas) 2 (6 velas) 1 (2 velas) 6 SÍ

20 3 (12 velas) 1 (3 velas) Impar NO

20 2 (8 velas) 4 (12 velas) 0 6 NO

20 2 (8 velas) 3 (9 velas) Impar 5 NO








Que nos darían los cuatro casos posibles. Y, además, con el razonamiento escrito del por qué de

la no validez de los otros casos.

Otra forma de razonar consiste en observar que, para utilizar un candelabro de cada tipo, Laura

ha necesitado ya de 9 (2 + 3 + 4) velas; quedan 11 (20 – 9) velas para distribuir; entonces se deberá utilizar al menos otro candelabro de 3 brazos para obtener un número par. Han sido así utilizadas 12 (2

+ 3 + 3 + 4) velas y quedan solamente 8 por colocar, según uno de los cuatro repartos: 3 + 3 + 2 = 4 +

4 = 4 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2.

Podríamos simplificar bastante el cálculo si, antes de empezar, realizamos una simplificación del problema. Como debe haber al menos un candelabro de cada clase, eliminamos esos tres del total,

lo que equivaldría a tener un total de velas:

20 – (1 x 4 + 1 x 3 + 1 x 2) = 20 – (4 + 3 + 2) = 20 – 8 = 11

La tabla quedaría ahora de la siguiente manera:

Velas De 4 brazos De 3 brazos De 2 brazos Total velas Candelabros

11

11

11

11

11

Con la particularidad de que ahora sí puede haber ceros, uno o dos, en las columnas.

Una vez encontradas las soluciones posibles habría que sumarle 1 a cada uno de ellos para

obtener los resultados correctos.

Velas De 4 brazos De 3 brazos De 2 brazos Total velas Candelabros

11 1 x 4 = 4 1 x 3 = 3 2 x 2 = 4 4 + 3 + 4 = 11 4

20 2 x 4 = 8 2 x 3 = 6 3 x 2 = 6 8 + 6 + 6 = 20 7





P R

O B

L E

M A

S

Los cuatro casos serían éstos:

20 = 3 × 4 + 8 = 3 × 4 + 2 × 3 + 1 × 2: 6 candelabros 3 de cuatro brazos, 2 de tres y 1 de dos


20 = 1 × 4 + 4 × 3 + 2 × 2: 7 candelabros 1 de cuatro brazos, 4 de tres y 2 de dos


A los que se puede llegar también por razonamiento directo.

Hay otras maneras de abordar la resolución de este problema. Una de ellas consiste en realizar

una modelización, utilizando tarjetas o recipientes para 2, 3 o 4 (candelabros) y 20 fichas (velas). Un

reparto adecuado nos puede dar algunas soluciones. Tenerlas todas puede resultar bastante complejo.

También se puede abordar desde una organización algebraica. Llamemos x, y, z al número de

candelabros de 4, de 3 y de 2 brazos, respectivamente. Planteamos:

4 x + 3 y + 2 z = 20

Fijando una de las incógnitas (desde 1, mínimo, hasta 8, máximo) se nos convierte en una

ecuación diofántica (soluciones enteras y positivas) de sencilla resolución, asequible e interesante de

trabajar con alumnos del segundo ciclo de la ESO.

Elegimos la x (número de candelabros de 4 brazos) que puede variar desde 1 hasta 3. No puede valer 4 porque tendríamos 4 x 4 = 16 velas lo que nos dejaría 20 – 16 = 4 velas para 1 candelabro de 3

brazos y 1 candelabro de 2 brazos, lo que hace un total de 5 velas.

Por tanto:

Para x = 3: 4 x + 3 y + 2 z = 20 12 + 3 y + 2 z = 20 3 y + 2 z = 8

z = (8 – 3 y) / 2. La incógnita puede tomar valores desde y = 1 hasta y = 2.

Si y = 1: z = (8 – 3) / 2 = 5/2 no entera

Si y = 2: z = (8 – 6) / 2 = 2/2 = 1 entera

de donde: x = 3, y = 2, z = 1. Supone un total de 12 + 8 + 2 = 20 velas y 6 candelabros.

Para x = 2: 4 x + 3 y + 2 z = 20 8 + 3 y + 2 z = 20 3 y + 2 z = 12

z = (12 – 3 y) / 2 La incógnita puede tomar valores desde y = 1 hasta y = 3.

Si y = 1: z = (12 – 3) / 2 = 9/2 no entera

Si y = 2: z = (12 – 6) / 2 = 6/2 = 3 entera

Si y = 3: z = (12 – 9) / 2 = 3/2 no entera





P

R

O

B

L

E

M

A

S

Para x = 1: 4 x + 3 y + 2 z = 20 4 + 3 y + 2 z = 20 3 y + 2 z = 16

z = (16 – 3 y) / 2 la incógnita puede tomar valores desde y = 1 hasta y = 5.

Si y = 1: z = (16 – 3) / 2 = 13/2 no entera

Si y = 2: z = (16 – 6) / 2 = 10/2 = 5 entera

Si y = 3: z = (16 – 9) / 2 = 7/2 no entera

Si y = 4: z = (16 – 12) / 2 = 4/2 = 2 entera

Si y = 5: z = (16 – 15) / 2 = 1/2 no entera


Y también: x = 1, y = 4, z = 2. Supone un total de 4 + 12 + 4 = 20 velas y 7 candelabros.

Lo que nos vuelve a traer las cuatro soluciones ya obtenidas con anterioridad.

Solución:

Cuatro repartos diferentes:

6 candelabros 3 de cuatro brazos, 2 de tres y 1 de dos




Fase IV. Responder

Comprobación:

3 × 4 + 2 × 3 + 1 × 2 = 12 + 6 + 2 = 20

2 × 4 + 2 × 3 + 3 × 2 = 8 + 6 + 6 = 20

1 × 4 + 4 × 3 + 2 × 2 = 4 + 12 + 4 = 20

1 × 4 + 2 × 3 + 5 × 2 = 4 + 6 + 10 = 20

Análisis:

La solución es múltiple; hay cuatro posibilidades diferentes.

Respuesta:

Laura ha utilizado las 20 velas de una de las cuatro maneras siguientes:







P R

O B

L E

M A

S



El resto de problemas cuya resolución presentamos, por razones de espacio, lo haremos de manera más simplificada. Pero teniendo presente siempre que las respuestas han sido buscadas a

través de su uso.

Problema propuesto en el número 104 de “Educação e Matemática”

Mensajes de móvil

Cinco amigos se encontraron y pasaron la tarde enviando mensajes de móvil, en un total

de 120. Uno de ellos mandó 51 mensajes, Rita envió el doble que Sheila, Vera mandó el triple de Duarte y Juan cinco veces más que uno de sus amigos.

¿Cuántos mensajes envió cada uno?

En dicha revista se reseñan también las mejores soluciones presentadas por los profesores de la

Associação de Professores de Matemática (APM) y a veces, como en este caso, alguna presentada por

un alumno a instancias de sus profesores.

La que presentamos aquí está basada en una resolución de Pedro Silva, de 7º año de la Escola

Secundária Vergílio Ferreira.

Los datos son: Cinco amigos. Pasan la tarde enviando 120 mensajes de móvil. El objetivo:

cuántos mensajes envió cada uno. Las relaciones: uno de ellos mandó 51 mensajes. Rita envió el doble

que Sheila. Vera mandó el triple que Duarte. João cinco veces más que uno de los amigos.

Utilizaremos como diagrama una tabla y las estrategias ensayo y error y organizar la

información.

Procedemos:

De los datos se deduce que los cinco amigos son: Rita, Sheila, Vera, Duarte y João. João envía el quíntuple de alguno de los otros amigos que no sé cuál es todavía. Ninguno de ellos puede mandar

mensaje y medio. Se trabaja con números naturales.

Veamos cuál de ellos envió 51 mensajes:

Suponemos que Rita envía 51 mensajes:

Rita Sheila Vera Duarte João Conclusión

51 51 : 2 = 25,5 NO




P

R

O

B

L

E

M

A

S

Rita envió el doble que Sheila.

Rita envía 51 mensajes Sheila enviaría 25,5. No es número natural. Rita no puede ser.

Suponemos que Sheila envía 51 mensajes:


51 51 : 2 = 25,5 NO

51 x 2 = 102 51 NO

Rita envió el doble que Sheila.

Sheila envía 51 mensajes Rita enviaría 102. Y como 102 + 51 da 153 mensajes se pasa del

total de mensajes. Sheila tampoco es.

Suponemos que Vera envía 51 mensajes:


51 51 : 2 = 25,5 NO

51 x 2 = 102 51 NO

51 51 : 3 = 17 Posible

Vera mandó el triple que Duarte.

Vera envía 51 mensajes Duarte enviaría 17. Es posible, pero tenemos que ver lo que pasa con

los otros amigos para estar seguro.

Suponemos que Duarte envía 51 mensajes:


51 51 : 2 = 25,5 NO

51 x 2 = 102 51 NO

51 51 : 3 = 17 Posible

51 x 3 = 153 51 NO

Vera mandó el triple que Duarte.

Duarte envía 51 mensajes Vera enviaría 153. Pasa de los 120. Es imposible que fuese Duarte.

Suponemos que João envía 51 mensajes:





P R

O B

L E

M A

S


51 51 : 2 = 25,5 NO

51 x 2 = 102 51 NO

51 51 : 3 = 17 Posible

51 x 3 = 153 51 NO

51 NO

João envía cinco veces más mensajes que uno de los amigos.

João no puede ser el que envía 51 porque como manda 5 veces más mensajes que uno

cualquiera de los amigos y como la quinta parte de 51 no es un número entero (51 no es múltiplo de 5)

no es correcto. No se pueden enviar mensajes que no sean completos.

Podemos ya asegurar que fue Vera quien envió 51 mensajes. Y también sabemos que Duarte

envió 17, la tercera parte de 51. Entre Vera y Duarte, por tanto, enviaron 51 + 17 = 68 mensajes.

Como se enviaron en total 120 mensajes, quedan 120 – 68 = 52 mensajes para distribuir entre los otros 3 amigos. Rita envió 2 veces el número de mensajes que Sheila. João envió o 5 veces el

número de mensajes que Sheila o bien 5 veces el número de mensajes que Rita.

Hagamos una nueva tabla sólo para los tres amigos que quedan:

Rita Sheila João Total Conclusión

2N N 5N 52 52 : (2N + N + 5N) = 52 : 8N 6 < N < 7

2N N 10N 52 52 : (2N + N + 10N) = 52 : 13N N = 4

No encontramos un número natural que satisfaga primera fila. No puede ser. Para la segunda

fila sí encontramos ese número natural: N = 4.

Sheila envía, por consiguiente, 4 mensajes. Rita mandó el doble, 8 mensajes. João, como envió

el quíntuplo que Rita, mandó 8 x 5 = 40 mensajes.

Solución: Vera envió 51, Duarte 17, Sheila 4, Rita 8 y João 40 mensajes.

Comprobamos: 51 + 17 + 8 + 4 + 40 = 120

Uno de ellos mandó 51 mensajes Vera

Rita envió el doble que Sheila 8 = 2 x 4

Vera mandó el triple que Duarte 51 = 3 x 17

João cinco veces más que uno de los amigos 40 = 5 x 8

La solución es única y satisfactoria.




P

R

O

B

L

E

M

A

S

Respuesta

Vera envió 51 mensajes, Duarte envió 17, Sheila envió 4, Rita envió 8 y João envió 40

mensajes.

El pasado 13 de mayo se celebró en La Laguna la Segunda Fase del XXXII Torneo de

Secundaria del año 2016. Como casi siempre se propusieron a los alumnos 5 problemas y una prueba

de tipo práctico para resolver de manera manipulativa.

Nos llamó la atención que el segundo problema, que nos tocó corregir a nosotros, no fuese

resuelto por ninguno de los 23 alumnos (15 a nivel individual y 4 parejas) seleccionados en la Primera

Fase.

Aparentemente se trata de un sencillo problema de porcentajes. No debería tener dificultad. Pero

lo cierto es que solamente cinco alumnos fueron capaces de hacer correctamente la primera parte del problema y ninguno la segunda parte. ¿Por qué? Creemos que es debido a fallos en el aprendizaje de

los porcentajes. Todos ellos utilizaron la técnica de la regla de tres, de manera totalmente mecánica.

Pensamos también que si utilizaran un diagrama partes/todo para representar la situación o alguna

tabla de proporcionalidad cometerían menos errores.

Sandías a secar

Un estudio científico pretende determinar cómo afecta el sol en

los cultivos de las sandías.

Se toma una sandía de 8 kg, de los cuales el 98% de su peso es

agua. Después de cierto tiempo al sol se evapora parte del agua, siendo ahora el porcentaje de agua en la sandía del 96%.

¿Cuál es el peso actual de la sandía?

Explica detalladamente tus razonamientos.

Los datos son: una sandía de 8 kg. El 98% de su peso es agua. Al sol se evapora parte del agua,

siendo ahora el porcentaje de agua en la sandía del 96%.

El objetivo es: peso actual de la sandía.

La relación es: se evapora parte del agua, no la materia sólida.

Usaremos un diagrama Partes/Todo y la estrategia de ORGANIZAR LA INFORMACIÓN.

Procedemos: Representamos las dos situaciones mediante diagramas partes/todo.

1º. La sandía antes de ser expuesta al sol.

98%

2%

La etiqueta del todo es el peso de la sandía.

8





P R

O B

L E

M A

S

Cada parte tiene dos etiquetas: la del peso y la del porcentaje; son dos formas distintas pero

equivalentes de medir el peso del agua y de la materia sólida.

Se hace una transformación de la etiqueta porcentual de cada parte en unidades de peso (kg).

La sandia tiene un 98% de agua 0,98 x 8 = 7,84 kg de agua.

El 2% es materia sólida 0,02 x 8 = 0,16 kg de materia sólida.

98% 2%

2º. La sandía después de ser expuesta al sol.

Después de un tiempo el agua es el 96%, pero la materia sólida es la misma (0,16 kg), el peso de

la cual se corresponde ahora con el 4%.

96%

4%

Por tanto, siendo x el peso total de la sandía, tenemos la siguiente ecuación:

0,04 x = 0,16 x = 0,16 : 0,04 = 4 kg

También podemos calcular así (por reducción a la unidad):

0,16 : 4 = 0,04 0,04 x 96 = 3,84 3,84 + 0,16 = 4 kg

La solución es 4 kg. La comprobamos razonando de la siguiente manera: si el porcentaje actual

de materia sólida ha aumentado (sin modificarse en sí misma) del 2% al 4% (el doble) es porque la

sandía ha disminuido su peso a la mitad.

También, como hemos realizado los cálculos de dos maneras diferentes, usar uno de ellos como

comprobación del otro. La solución es única.

0,16

8

7,84 0,16




P

R

O

B

L

E

M

A

S

Respuesta

El peso actual de la sandía es de 4 kg.

El resto de los problemas de la prueba se los dejamos aquí para que se entretengan en

resolverlos hasta la salida del próximo número de esta revista.

Elaborando el calendario

En el mes de enero de un determinado año hay exactamente 4

viernes y 4 lunes. ¿Qué día de la semana podría ser el 20 de

enero?


El cuadrado dividido

Si cada uno de los 5 rectángulos internos en los que está dividido el cuadrado de la figura posee un perímetro de 72 cm, ¿cuál es el área total del cuadrado?


Un triángulo especial

Uno de los lados de un triángulo equilátero coincide con el lado de un

cuadrado. Se construye un triángulo de la forma sombreada que se muestra

en la figura adjunta.

1. Calcula la medida del ángulo x indicado.

2. Sabiendo que el lado del cuadrado mide a centímetros, averigua el

área del triángulo sombreado


El camión de Savonex

El lunes la empresa Savonex ha producido 279 cajas de pastillas de jabón. Para transportarlas el camión de la fábrica realiza

varios viajes, en todos ellos va completamente cargado,

quedando 3 cajas para ser transportadas el martes. El martes la fábrica produce 216 cajas y el camión realiza 2 viajes menos que el día

anterior, todos ellos con el camión completamente cargado, salvo el último viaje en el que

quedaba sitio para 11 cajas.

a) ¿Cuántos viajes hizo el martes?

b) ¿Cuántas cajas transporta el camión cuando va totalmente cargado?






P R

O B

L E

M A

S

Prueba práctica: desafío del juego de los “barquitos” o “batalla naval”

Todos hemos jugado alguna vez a este juego. Es esta cuadrícula de 10x10 casillas se han de colocar diez barcos: 4 submarinos (1x1), 3 destructores (2x1), 2 cruceros de guerra (3x1) y un

portaviones (4x1). Los barcos deben colocarse en el tablero sin que contacten entre sí, ni siquiera en

las esquinas. El desafío consiste en colocar todos los barcos menos el portaviones, de tal manera que este

barco se quede sin sitio donde ser colocado. Es decir, debes colocar todos los 9 barcos más pequeños

de manera tal que sea imposible colocar el portaviones cumpliendo con la regla del primer párrafo. No

valen las soluciones obtenidas por giros o simetrías de otras. Tienes varios tableros reproducidos a menor tamaño para que dibujes las soluciones que

encuentres. Cada solución correcta es un punto al que se le podrá aplicar un coeficiente para sumar en

el resultado al resto de la Prueba Final.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

El tablero iba acompañado de reproducciones de los barcos al tamaño adecuado como para

poder manipularlos y ensayar sobre el mismo, las posibles soluciones.

Dentro de los problemas trimestrales del Proyecto Newton, en este tercer trimestre del curso se

propuso un problema muy interesante, sacado de una Olimpiada de problemas matemáticos.

Resulta interesante porque al resolverlo se evidencia con mucha claridad que el álgebra

(planteamiento de ecuaciones), siendo una herramienta muy eficaz, es sin embargo bastante poco

realista en su aplicación a problemas de números enteros.

Pisadas

Alicia midió el largo del jardín de su amiga Paula con pasos de 48 cm. Después lo midió Paula con pasos de 64 cm.

Quedaron marcadas en total 58 pisadas distintas.

¿Cuál es el largo del terreno?




P

R

O

B

L

E

M

A

S

Los datos son: Alicia y Paula miden el largo del jardín. Alicia lo hace con pasos de 48 cm. Paula lo

mide con pasos de 64 cm. Quedaron marcadas en total 58 pisadas distintas.

El objetivo es: Cuál es el largo del terreno.

La relación es: A mayor tamaño de la pisada menos pisadas son necesarias.

Usaremos como diagrama un modelo (huellas recortadas en papel), un diagrama rectilíneo doble

o una tabla, mediante estrategias de modelización u organizar la información.

Procedemos: Como el paso de Paula es más largo dará menos pasos al medir el terreno.

Mediante modelización:

Recortaremos (o dibujaremos) las huellas (pueden ser segmentos) de ambas niñas en un tamaño

proporcional a las medidas que da el problema. Luego pondremos en dos líneas paralelas -diagramas rectilíneos- dichas huellas hasta completar las 58 indicadas en el problema. Puesto que la relación

entre las huellas es de 64/48 = 4/3, es fácil hacerlo con recortes de tiras de papel o cartulina que midan

2 y 1,5 cm, por ejemplo. Además, se pone en evidencia esta relación al ver que coinciden cada 4 pasos

de Alicia con 3 pasos de Paula.

Alicia

Paula

En algún caso, y si hay cintas métricas de papel disponibles en el aula, puede ocurrírseles a los

propios alumnos el marcar en dos cintas estas medidas y luego ponerlas en paralelo. Siempre podemos

darles una ikea de conseguir esas cintas de papel.

Contando las huellas y calculando la distancia recorrida tendremos resuelto el problema.

Mediante razonamiento aritmético:

Hacemos una tabla para comparar las pisadas y distancias recorridas hasta encontrar una

coincidencia:

Número de pasos Distancia recorrida por Alicia Distancia recorrida por Paula

1 1 x 48 = 48 cm 1 x 64 = 64 cm

2 2 x 48 = 96 cm 2 x 64 = 128 cm

3 3 x 48 = 144 cm 3 x 64 = 192 cm

4 4 x 48 = 192 cm

5

6

Al fin y al cabo, lo que hemos hecho es hallar el mínimo múltiplo común de 48 y 64, que se

puede realizar con la descomposición en factores clásica.

Por cada cuatro pasos de Alicia, Paula da tres para recorrer la misma distancia: 192 cm. Eso

supone siete huellas de pisadas sobre el jardín. Ahora buscaremos las coincidencias que se producen

hasta que se produzcan 58 huellas distintas en total:





P R

O B

L E

M A

S

Pisadas de Alicia Pisadas de Paula Distancia recorrida Nº total de pisadas

4 3 192 cm 7

8 6 192 x 2 = 384 cm 14

12 9 192 x 3 = 576 cm 21

16 12 192 x 4 = 768 cm 28

20 15 192 x 5 = 960 cm 35

24 18 192 x 6 = 1152 cm 42

28 21 192 x 7 = 1344 cm 49

32 24 192 x 8 = 1536 cm 56

36 27 192 x 9 = 1728 cm 63

Tenemos que no pueden medir exactamente las dos niñas el largo del terreno. Con 56 pisadas lo

miden exactamente y resulta ser de 15,36 metros. Pero falta una pisada de cada una, lo que supone:

15,36 + 0, 48 = 15,84 metros

15,36 + 0,64 = 16,00 metros

Esto nos hace concluir que aunque las dos dan un paso más (Alicia da 33 y Paula da 25) la que

alcanza la marca es la que lo da mayor, es decir, Paula; ella da la medida exacta del largo del jardín.

Mediante razonamiento algebraico:

Llamamos x al número de pasos de Alicia e y al número de pasos de Paula.

48𝑥 = 64𝑦𝑥 + 𝑦 = 58

⌉

Despejamos y en la primera de las ecuaciones: 𝑦 = 48𝑥/64 y resolvemos:

𝑥 +48𝑥

64 = 58 → 64𝑥 + 48𝑥 = 3712 → 112𝑥 = 3712 → 𝑥 = 𝟑𝟑. 𝟏𝟒 → 𝑦 = 𝟐𝟒. 𝟖𝟔

aproximando ambos valores a la centésima.

Para x: 33,14 x 0,48 = 15,9; para y: 24,86 x 0,64 = 15,9

Por aproximación, la solución es 16 metros. Comprobamos los valores enteros: 33 x 0,48 = 15,84 metros; 25 x 0,64 = 16 metros; 33 + 25 = 58 pisadas. La solución es única pero necesita

discusión.

Si operamos con fracciones, en lugar de hacer las divisiones y despreciar parte de los valores al

aproximar, nos encontraríamos lo siguiente:

𝑥 = 331

7=

232

7, e 𝑦 = 24

6

7, y la suma de 𝑥 + 𝑦 =

174

7+

232

7=

406

7 = 58, que es el total de

pasos exacto.

Respuesta

El largo del jardín de Paula es de 16 metros.




P

R

O

B

L

E

M

A

S

Aunque ya tienen los problemas restantes del Torneo para entretenerse en verano, como son de

nivel sencillo, vamos a incluir algunos más que les den algo más que pensar.

Estos están sacados del blog “Mates y Más” del amigo José Mª Vázquez:

De la revista “Educaçao e Matematica”, nº 132, de la sección Problemas de Prof-Mat (2015), el

concurso presentado a los participantes en ProfMat 2015 consistió en la resolución del problema:

Mármol en la plaza

El municipio de Évora tiene la intención de construir en la plaza Sertório un área

rectangular (no cuadrada) pavimentada con mármol, en torno a la cual luego se colocarán varios bancos de jardín y algunos árboles para hacer sombra.

Para ello, encargó placas cuadradas de mármol que midan un metro de lado. Cierto

número de placas de mármol de color rosa formarían un rectángulo más pequeño y un número diferente de placas de mármol verde crearían una banda de ancho constante

alrededor de la zona rosa.

La orden ya había sido dada cuando el alcalde pensó que sería más bonito un rectángulo

central verde con un borde de color rosa. - No importa - dijo el técnico responsable después de hacer algunos cálculos.

Casualmente, sin tener que cortar ninguna placa, se puede hacer una banda rosa, un poco

más grande de lo previsto, alrededor de un rectángulo verde central. Por otra parte, se trata de una zona pavimentada con un área más pequeña a la que podría haberse

realizado.

¿Cuál es el área de la zona rectangular a pavimentar y cuántas placas de cada color

se usarán?





P R

O B

L E

M A

S

Y tomado de “El gran libro de juegos para la mente” de Ivan Moscovich, problema 88, que a su vez se basa en el problema de los caminos coloreados (Teoría de Grafos) de varios autores (es un

problema del tipo Grafo direccionado estrictamente bifurcado):

Visitando el yacimiento arqueológico

En un yacimiento arqueológico hay 9 cavernas conectadas por pasadizos, todos de sentido

único menos uno. Unos pasadizos están marcados en color rojo y otros en negro.

Las cavernas las hemos numerado de 1 a 9 y están unidas por los pasillos según estos esquemas que hizo el guía con el que se visita el yacimiento. Las flechas indican el

sentido en que se puede ir de una a otra caverna, los pasillos no se cruzan y al menos 3

pasadizos llegan o salen de cada cueva. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) ¿Qué dos cavernas están

unidas por un pasillo de doble sentido?

b) Dibuja un esquema con las

cuevas y los pasadizos que las unen,

indicando con flechas negras y rojas el

sentido en que se pueden recorrer y su

color.

c) Finalizada la visita, el guía

quiere reunir en una de las cavernas a

todos los asistentes, que se hallan

dispersos por las cuevas, dando una

única instrucción a todos (por el

sistema de megafonía), diciéndoles

qué pasillos (color) y en qué orden, deben hacer el recorrido. Por ejemplo: salir por el negro,

luego otros dos negros y por último uno rojo.

c1) ¿Qué instrucción serían para que el número de pasillos recorridos sea mínimo?

c2) ¿En cuál de las cavernas acabarán todos reunidos? c3) ¿Cuál es la única cueva desde la que tienes dos itinerarios distintos para ir al punto de

reunión?

d) Si quisiera un recorrido más corto de solo dos pasillos, ¿cuál podría ser la instrucción? ¿Desde

qué cavernas no se podría cumplir?

Y perdonen que insistamos: resuelvan los problemas, singulares y alejados de los cotidianos;

utilícenlos con los alumnos y, sobre todo, aporten sus comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el transcurso de la clase en que

probaron el problema. Queremos pensar que nuestras propuestas tienen uso en el aula. Eso nos

alegraría mucho y también al resto de lectores. Vamos, anímense…

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista

Un saludo afectuoso del Club Matemático.

1 2

5

9 4

7

6 6

8

5 3

4

8 1

9

6 7




ISSN: 1887-1984


J U

E G

O S

La liebre y la tortuga: un juego de recorrido sin dados

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Exposición y análisis del juego La Liebre y la Tortuga, un juego de recorrido diseñado

por David Parlett: descripción sucinta del juego, su original sistema de avances,

modificaciones en sus reglas, diversas ediciones. Aspectos matemáticos de La Liebre y la

Tortuga: tablas de valores, funciones, gráficas y series. También reseñamos la respuesta

recibida a las cuestiones planteadas en anterior artículo sobre calendarios y poliminos y

hacemos la crónica del concurso de diseño de juegos del IES Lucas Martín Espino de

Icod de los Vinos (Tenerife).

Palabras clave Descripción y aspectos matemáticos juego La Liebre y la Tortuga. Poliminos en

calendarios. Concurso de diseño de juegos para alumnos de secundaria.

Abstract Presentation and analysis of the game The Hare and the Tortoise, a game of course

designed by David Parlett: brief description of the game, the original system advances,

changes in its rules, various editions. Mathematical aspects of The Hare and the Tortoise:

value tables, functions, graphs and series. Also we reviewed the responses received to the

questions raised in previous article on calendars and polyominoes and we chronicled the

design contest games IES Lucas Martin Espino of Icod (Tenerife).

Keywords Description and mathematical aspects game The Hare and the Tortoise. Polyominoes

calendars. Game design contest for high school students.

1. Introducción

Normalmente, los juegos de recorrido llevan un elevado porcentaje de componente del azar en

su desarrollo. Y el artilugio más común para introducir ese factor de azar son los dados.

Pero hay unos pocos juegos de este tipo en los que no interviene el azar o lo hace en una

mínima medida, y se utilizan otros elementos para el avance por las casillas.

Este es el caso del original juego de La liebre y la tortuga.

Otros son juegos que surgen como variantes de otros ya conocidos como El parchís “top

secret”.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]





J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


J

U

E

G

O

S

2. La liebre y la tortuga

Basado en la conocida fábula de Esopo de igual nombre (Χελώνη κα

λαγωός) luego reescrita por Jean de La Fontaine y Félix María Samaniego,

fue inventado por David Parlett en 1973 y estuvo a la venta, por primera vez, en junio de 1974. La figura 1 muestra el primer diseño de Parlett con

el recorrido a realizar por los jugadores y la figura 2 la primera edición que

fue publicado por “Intellect Games” con un estilo victoriano. En 1975 ya lo

situaron los lectores de la revista “Games & Puzzles” entre los 10 mejores juegos tras Monopoly, Mastermind y Scrabble, pero por delante de Cluedo,

todos ellos juegos bien conocidos. Con más de 40 años de existencia ha

sido publicado en numerosos países. La variante de los hermanos Grimm de la fábula, enfrenta a la liebre con un

erizo (figura 3) que gana al orejudo animal haciendo una carrera de

relevo con sus familiares y es como aparece el juego en la versión

alemana (publicada por Ravensburger en 1978), cuando ganó el ahora prestigioso galardón Spiel des Jahres de 1979, compitiendo con juegos

como Acquire y Blockade de Sid Sickson, Alaska de Eric Solomon, el

electrónico Simon o el magnético Shogun, alguno ya mencionado en

anteriores artículos nuestros.

La principal característica del juego está en la manera de

avanzar. El movimiento de las

fichas de los jugadores no se

fundamenta en un elemento de azar como los dados o tarjetas

de avance; los jugadores

mueven sus fichas una distancia que depende de la

estrategia que sigan y utilizando

tarjetas con zanahorias que hacen el papel de combustible para

el avance. Estos avances vienen dados en una tabla como la de la figura 4. La cuestión está en que el consumo no es lineal,

puede usarse una zanahoria por casilla para avanzar de una en

una a velocidad de tortuga y con el riesgo de quedarse atrás, o pueden usarse 55 hortalizas para avanzar 10 casillas con

aceleración de liebre y consumir el combustible teniendo que

esperar turnos para recuperarlo. Por tanto para moverse n

casillas, n natural, el número de zanahorias necesarias es:

∑𝑛

𝑛

𝑖=1

lo que conduce a la siguiente función que relaciona el número de zanahorias necesarias y=f(x), siendo

la variable x la cantidad de casillas a recorrer.

𝑦 = 0.5𝑥2 + 0.5𝑥

Podemos ver su gráfica, comparada con un avance lineal, en la siguiente gráfica 1

Figura 2

Figura 3

Figura 1

Figura 4

https://es.wikipedia.org/wiki/Jean_de_La_Fontaine

https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%A9lix_Mar%C3%ADa_Samaniego

La liebre y la tortuga: un juego de recorrido sin dados J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz



J U

E G

O S

Gráfica 1

Realizada con los valores de la tabla 1 siguiente:

Tabla 1

Se trata de un juego donde prima la estrategia, aunque el azar, en forma de 10 tarjetas-liebre con instrucciones como “No podrás jugar en tu próximo turno”, “Adelanta tu ficha de modo que ganes una

posición dentro del conjunto de los que jugáis”, “Tu última tirada te resulta gratis, … produce

incidencias no previsibles en el desarrollo del recorrido (En la primera edición en español). Otras normas del juego como el limitar con cuántas zanahorias se puede llegar a la casilla 64, el tener que

deshacerse de las tres lechugas por el camino, el que la reposición del alimento dependa de la posición

relativa en la carreta por llegar a la última casilla, hace que el juego tenga constantes cambios en las

posiciones y en las expectativas de llegar al final, haciéndolo dinámico y muy entretenido.

El juego, poco conocido, permite en nuestra opinión el desarrollo de conceptos relacionados con las matemáticas. Por un lado, el análisis de situaciones problemáticas, pues en cada jugada se debe

evaluar qué hacer en función de las condiciones del juego en ese momento. Su práctica como actividad

en la clase de matemáticas nos permite plantear una serie de cuestiones a investigar con los alumnos.

Como ejemplos, podemos intentar estudiar las siguientes cuestiones:

¿Qué relación existe entre las cantidades de zanahorias y las casillas que permiten

avanzar?

¿Qué función expresa esta relación? Calcula cuántas zanahorias serán necesarias para avanzar 50, 60, 64, n casillas.

Juega alguna partida con una tabla de avances que siga una expresión lineal, como en la

tabla 1, y comenta el desarrollo del juego en este caso.

Mira cómo se distribuyen las casillas de cada tipo en el recorrido y plantea hipótesis de

por qué están a esas distancias una de otras.

Para ello se puede comenzar por trasladar a unas tablas valores tales como los que se muestran

en la tabla 2, y a partir de ahí conjeturar.

0

50

100

150

200

250

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Zanahorias lineal

Zanahorias

Avances 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Zanahorias 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120

Zanahorias

lineal 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75




J

U

E

G

O

S

Casilla Casilla Casilla

Nº Tipo Nº Tipo Nº Tipo Veces Casillas

1 Liebre 22 Lechuga 43 Tortuga Liebre 13 1, 3, 6, 14, 25, 31, 34, 39, 46, 51, 58, 61, 63

2 Zanahorias 23 2 44 3 Zanahorias 11 2, 5, 13, 21, 26, 33, 38, 40, 49, 55, 59

3 Liebre 24 Tortuga 45 4 Tortuga 10 8, 11, 15, 19, 24, 30, 37, 43, 50, 56

4 3 25 Liebre 46 Liebre Lechuga 5 7, 22, 42, 57, 62

5 Zanahorias 26 Zanahorias 47 2 2 9 10, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 60

6 Liebre 27 4 48 1-6 3 7 4, 12, 0, 28, 36, 44, 52,

7 Lechuga 28 3 49 Zanahorias 4 5 9, 18, 27, 45, 54

8 Tortuga 29 2 50 Tortuga 1-6 3 16, 32, 48

9 4 30 Tortuga 51 Liebre

10 2 31 Liebre 52 3

11 Tortuga 32 1-6 53 2

12 3 33 Zanahorias 54 4

13 Zanahorias 34 Liebre 55 Zanahorias

14 Liebre 35 2 56 Tortuga

15 Tortuga 36 3 57 Lechuga

16 1-6 37 Tortuga 58 Liebre

17 2 38 Zanahorias 59 Zanahorias

18 4 39 Liebre 60 2

19 Tortuga 40 Zanahorias 61 Liebre

20 3 41 2 62 Lechuga

21 Zanahorias 42 Lechuga 63 Liebre

64 META

Tabla 2

La primera versión en español es de Juegos EDUCA (ref. 4691) bajo licencia de Ravensburger en 1980. Una

reciente versión del juego en español, reeditada por Devir

utiliza un tablero de diseño más actual y las fichas son

pequeñas liebres de colores. Figuras 5 y 6.

Podemos apreciar alguna diferencia entre ambos tableros, pues Parlett modificó en 1987 la distribución de las

casillas. Así, la primera lechuga pasó de la casilla 7 a la 10

porque permitía al primer jugador alcanzarla en su primer movimiento, dándole cierta ventaja. Reordenó los cuadros

anteriores al 10 y también los finales, pues con esta modificación hace más dinámico el final de la

partida. Pero también las tarjetas-liebre han sido modificadas, entre otras razones porque cupiesen en

tres idiomas (español, catalán y portugués). Curioso. Otra modificación propuesta, pero que no hemos visto reflejada en las reglas hasta ahora, es la de que la liebre puede quedarse dos turnos sin mover

cuando cae en la casilla-liebre, tumbando el pequeño orejudo, y se levanta y reanuda su camino en la

siguiente jugada o si algún otro jugador lo adelanta, se incorpora en su turno inmediatamente. Lo que recuerda que en la fábula de Esopo el animal se queda dormido durante la carrera, lo que permite a la

tortuga ganar el desafío.

Figura 6

Figura 5

https://consolaytablero.files.wordpress.com/2014/06/p1013941.jpg




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Son muchas las variantes del juego, sobre todo modificando alguna de sus reglas. Podemos curiosear en la página de David Parlett

i para versiones publicadas en diferentes países (incluidas las

versiones piratas). Otra presentación detallada, comparando las distintas versiones, es la publicada por

Greg Aleknevicus en The Games Journal en 2001.ii

En la versión de la Editorial Rio Grandeiii

, las tarjetas son sustituidas por estas otras reglas, que

usando un dado dan el porcentaje aleatorio que el juego siempre ha tenido.

Otro ejemplo de modificación estriba en el contenido de las tarjetas-liebre. Las que siguen son

una alternativa a las originales del juego.

Da a cada jugador detrás de ti diez

zanahorias. Si no tienes suficientes da cinco

o incluso una a cada uno. Si alguien no las quiere las dejas en el mazo.

Si hay más jugadores detrás tuya que

delante, pierdes 1 turno, en otro caso ¡ganas

un turno extra!

Pasas a tener exactamente una reserva de 65

zanahorias.

Coge 10 zanahorias por cada lechuga que

tengas. Si no tienes lechugas pierdes un

turno.

¡Pierdes la mitad de tus zanahorias! El último movimiento era gratis, recupera

las zanahorias.

Muestras a los demás tus zanahorias y dices

en alto la cantidad.

Mezcla las cartas de Liebre y recibe por el

trabajito una zanahoria de cada jugador.

Esta carta se mezcla con el mazo

http://ludotonica.com/wp-content/uploads/2015/06/Hare_Tortoise_metodo_4.jpg




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3. Las soluciones de Luis Blanco al problema del calendario con pentaminos

Nuestro ya habitual colaborador Luis Blanco nos ha enviado un

completísimo conjunto de soluciones al problema propuesto en anterior artículo

publicado en el NÚMEROS 91. Para ello sigue una metodología de resolución

de problemas con las fases de comprensión, de pensar, de ensayo-error, de

organización de la información, de ejecución, resolución y comprobación de las

soluciones. Con un tablero como el de la figura, podemos ensayar usando los

poliminos que nos proponen, las posibles soluciones.

Este es el enunciado

Calendario de pentaminos

Le presentamos un rompecabezas con pentominos, el

Juego del Calendario. Está tomado del blog MatESASv . El Juego del Calendario consiste en fijar uno de los 31 días

naturales del calendario y cubrir los restantes usando, sin

repetir ninguna, seis de los siete pentaminos con las

siguientes formas:

Ejemplo: Ana festeja su cumpleaños el día 18.

¿Será posible fijar tu día de cumpleaños y cubrir los días restantes con seis de los siete pentaminos elegidos? ¡Ten en cuenta

que no se puede repetir piezas! Ya hemos visto una solución para el

día 18. ¿Podremos encontrar solución para cada uno de los días del mes? Cuando el mes no sea de 31 días utilizaríamos un tetramino o

un domino (trimino si es febrero y bisiesto).

Y dice Luis:

Fase de comprensión.

Datos:

Siete pentaminós con formas determinadas por la imagen.

3 pentominós de 4x2; 2 pentominós de 3x3; 2 pentominós de 3x2

Una tabla irregular de 31 cuadrados uno por cada día del mes, con 7 cuadrados de largo, uno

por cada día de la semana.

Objetivo:

Conseguir con seis de los siete pentominós sin repetir ninguno, tapar toda la parrilla menos un

cuadrado, siendo este cuadrado cualquiera de los 31 de la tabla.

Relaciones:

Las distintas formas de unir unos pentominós con otros dentro de la tabla.

Figura 7




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Diagrama:

La tabla con forma de hoja de calendario.

Fase de pensar.

Ensayo error.

Organizar la información.

Fase de ejecutar.

Se utilizarán las dos estrategias a la vez.

Consideraciones a tener en cuenta:

Cuanto más grandes son las piezas (pentominós) más difícil es colocarlas todas de forma que

cubran el espacio previsto. Por ello, voy a centrar el problema en resolver toda la casuística de un mes de 31 días, que exige la colocación de los 6 pentominós, ya que es más fácil encontrar una

solución en un mes de 30 días con un tetraminó (el que sea) o el mes de febrero bisiesto con un

triminó (el que sea) o el mes de febrero no bisiesto con un biminó.

En segundo lugar, antes de empezar con la estrategia de ensayo error colocando piezas sobre el calendario, debemos delimitar cuántas soluciones hay que buscar para poder afirmar que es

posible cubrir cualquier calendario independientemente del día que debe quedar al descubierto.

Para ello analizaremos las diferentes formas perimetrales que puede adoptar el calendario. Y

observamos que sólo hay cuatro formas:

La Figura 1 corresponde a un mes de 31 días donde el

día 1 coincide con el lunes. La Figura 2 coincide con un mes de 31 días donde el día

1 coincide con el martes.

La Figura 3 coincide con un mes de 31 dias donde el día 1 coincide con el miércoles.

La Figura 2 rotada 180º coincide con un mes de 31 días

donde el día 1 coincide con jueves. La Figura 1 rotada 180º coincide con un mes de 31 días

donde el día 1 coincide con viernes.

La Figura 4 coincide con un mes de 31 días donde el día

1 coincide con el sábado. La Figura 4 rotada 180º coincide con un mes de 31 días donde el día 1 coincide con domingo.

De estas consideraciones, todo parece apuntar que el número de soluciones que hay que buscar es de 31 X 4 = 124. Pero se puede reducir un poco el número de soluciones ya que la tabla (Fig 3) es

simétrica al ser rotada 180º, por tanto, de esta tabla sólo hay que buscar la mitad de soluciones, ya que la solución para el día 1 es válida también para el día 31, las del día 2 es válida también para el

día 30, etc. Por tanto, de esta tabla solo necesitamos obtener 16 soluciones, reduciendo así el total a

124 - 15 = 119.




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Lo mismo ocurre con la tabla de la figura 4, ya que solo es necesario buscar soluciones hasta el día 16, pues al rotar 180º esta figura obtenemos las soluciones para el mes que comienza en domingo,

reduciendo así el total de soluciones a 119 - 15 = 104.

Es ahora cuando procedemos a utilizar la estrategia Ensayo-error exhaustivo para encontrar al

menos una solución para cada día de la semana.

Una de las dificultades que nos encontramos cuando hay que resolver este tipo de problemas, es el engorroso trabajo de tener que elaborar las piezas. Solvento esta dificultad utilizando el

software de la Pizarra digital interactiva "Notebook", que permite en unos pocos minutos diseñar las

piezas e ir guardando las soluciones en distintas diapositivas.

Luis encuentra soluciones para los distintos casos. Publicamos solo una parte de ellas por

problemas de espacio.

Soluciones para el mes de 31 días en las cuales el día 1 coincide con lunes y girando 180º

cuando el día 1 coincide en viernes.




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Solución.

No hay solución para todos los calendarios de 31 días. Sí hay solución para cualquier día

siempre y cuando el día 1 no sea sábado o domingo.

Fase de Resolver

Comprobación:

Podemos comprobar que hay dos fechas en las que es imposible.

Por ejemplo, para el día 8, cuando coincide en domingo o para el día 24 cuando coincide en

lunes, es imposible cubrir el calendario con los pentominós.

Sí es posible si consideráramos que el día 1 cae en cualquier día de la semana que no sea sábado

o domingo, y se aportan las soluciones.

Análisis.

Aunque se han intentado encontrar todas las soluciones en que es posible, bastaba encontrar una

en la que fuera imposible colocar los pentominós para proceder a responder sobre la imposibilidad del

objetivo.

Cuando el día 1 cae en sábado, es imposible

rellenar el calendario si el cumpleaños es el

día 24, ya que el día 31 queda aislado.

Cuando el día 1 cae en domingo, es imposible

rellenar el calendario si el cumpleaños es el

día 8, ya que el día 1 queda aislado.

Tampoco se ha encontrado una solución para estos días del calendario:

Cuando el día 1 cae en sábado, no se ha

encontrado solución si el cumpleaños es el día

16, aunque no se descarta la posibilidad de

encontrarla.

Cuando el día 1 cae en domingo, no se ha

encontrado solución si el cumpleaños es el día

16, aunque no se descarta la posibilidad de

encontrarla.

Respuesta:

Es imposible fijar el día de mi cumpleaños y cubrir los días restantes con seis de los siete pentaminos elegidos si en el calendario, el día 1 es sábado y mi cumpleaños es el día 24 y si el día 1 es

domingo y mi cumpleaños es el día 8.

Pues aquí queda propuesto un desafío para nuestros lectores. Seguramente existe algún

programa donde dando el tablero y las piezas nos resuelva el problema, pero entreténganse en

dibujarlo, tomar las piezas de un juego de pentaminos (o construirlos) y, manipulando, tratar de

encontrar la solución o de demostrar que no existe.




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También queremos contarles que el Komando Matemático visitó hace unos días el IES Lucas Martín Espino de Icod de Los Vinos, por invitación de la profesora Carmen Tavío, dentro de una

Semana Cultural que realizaba el Centro. Aparte de lo estupendamente que resultó la actividad

tuvimos una sorpresa muy agradable: esta profesora amiga había realizado con sus alumnos una multitud de experiencias matemáticas con sus alumnos, entre las cuales nos sorprendió mucho un

trabajo consistente en diseñar un juego. Los alumnos, en grupo o individualmente, debían presentar el

tablero, las fichas y las reglas de un juego original. Para ello, naturalmente, podían inspirarse en

cualquier otro juego que conocieran, mezclar reglas o ser totalmente originales si eran capaces.

Lo sorprendente fue la participación de todo el alumnado y la consiguiente exposición de

trabajos aprovechando la Semana Cultural del Centro. Hicimos una visita a la exposición e hicimos

unas cuantas fotos de los juegos presentados. Hemos pedido a la profesora que pida a sus alumnos nos

envíen las instrucciones de dichos juegos con la intención de publicar los dos o tres que consideremos mejores, naturalmente indicando los nombres de los autores de cada uno de ellos. Como adelanto nos

complace insertar aquí algunas de las fotos que tomamos para que se hagan una idea de la buena

elaboración de los juegos por parte de los alumnos.

¿Verdad que lucen muy bien? Creemos que vale la pena difundir este excelente trabajo.

Iniciativas como las del amigo Luis o la de nuestra amiga Carmen son las que esperamos por parte de nuestros lectores. Así que sigan el ejemplo. Nosotros atendemos todo lo que nos llegue y

damos cumplida cuenta de sus escritos.

Hasta el próximo

pues. Un saludo.

Club Matemático

i http://www.parlettgames.uk/haretort/htvariants.html (mayo 2016) ii http://www.thegamesjournal.com/articles/Hare&Tortoise.shtml, (mayo 2016) iii Cuadro tomado de la página http://ludotonica.com/archivos/808 donde hay una completa referencia al juego. (mayo 2016)

Bibliografía

La mayor parte de lo publicado sobre este juego está en la WEB. Las referencias más conocidas publicadas en papel

son las siguientes: Caps i Mans; Juegos; El País semanal, ≈1980 Comas i Coma, O; “El mundo en juegos”; p. 88; RBA Libros, Barcelona, 2005

N Ú M E R O S Revista de Didáctica de las Matemáticas

http://www.parlettgames.uk/haretort/htvariants.html

http://www.thegamesjournal.com/articles/Hare&Tortoise.shtml

http://ludotonica.com/archivos/808




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Didáctica del Análisis Matemático: una revisión de las

investigaciones sobre su enseñanza y aprendizaje en el contexto de la SEIEM

C. Azcárate, M. Camacho-Machín, M.T. González, M. Moreno (Coords.)

Servicio de Publicaciones. Universidad de La Laguna

Colección: Materiales Didácticos Universitarios

248 páginas

Año 2015

Dentro de la Colección “Materiales Didácticos Universitarios”, y en la serie

“Matemáticas/1”, el Servicio de Publicaciones de la Universidad de La Laguna, de la mano de

los profesores Azcárate, Camacho-Machín, González y Moreno, como coordinadores,

presenta las investigaciones más relevantes sobre Didáctica del Análisis Matemático del

grupo GIDAM (Grupo de Investigación de Didáctica del Análisis Matemático) de los más de

15 años de historia del grupo para, de esta forma, “dar visibilidad al grupo más allá del ámbito

de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM) y ser un texto

de referencia para investigadores noveles y en formación que deseen abordar la investigación

de algunos de los aspectos de la Didáctica del Análisis Matemático”.

El libro está dividido en cuatro partes: I) Marcos teóricos y conceptuales; II)

Investigaciones sobre Enseñanza y Aprendizaje de los conceptos de Análisis Matemático; III)

Uso de herramientas tecnológicas en las Enseñanzas y Aprendizajes de los conceptos del


Didáctica del Análisis Matemático: una revisión de las investigaciones sobre su enseñanza y aprendizaje

en el contexto de la SEIEM. C. Azcárate, M. Camacho-Machín, M.T. González, M. Moreno (Coords.) Reseña: Rosa Nortes Martínez-Artero


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Análisis Matemático y IV) Investigaciones sobre la Enseñanza del Análisis Matemático. En

estas cuatro partes se integran los 14 capítulos de que consta el manual, redactados por 21

expertos, algunos de los cuales intervienen en la redacción de más de uno.

Con el capítulo “El pensamiento matemático como marco de referencia”, de Azcárate y

Camacho, se inicia el libro en donde los autores hacen un recorrido presentando algunas de

las líneas de investigación que se vienen desarrollando en España desde mediados de la

década de los noventa, terminando con el estado actual del trabajo realizado, distinguiendo

entre aspectos cognitivos del aprendizaje del análisis y el papel de los Programas de Cálculo

Simbólico (PCS) en la enseñanza y aprendizaje de conceptos básicos del Análisis

Matemático.

En el segundo capítulo, realizado por Badillo, Trigueros y Font, se presentan dos

aproximaciones teóricas usadas en las investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de

conceptos del Pensamiento Matemático Avanzado: la teoría Acción Proceso Objeto Esquema

(APOE) y el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática (EOS),

concluyendo que “la noción de encapsulación de APOE se relaciona con la noción de

emergencia de un objeto primario en EOS”.

En el capítulo 3 “Aportaciones de la historia de la matemática a la investigación”,

González y Vargas hacen un repaso desde investigaciones que inciden en aspectos cognitivos

y terminan con investigaciones sobre algunos matemáticos, indicando los autores que la línea

de investigación en historia de las matemáticas y de la educación matemática resulta

indispensable para el conocimiento del profesor así como para el análisis de la construcción

del conocimiento de los alumnos.

El capítulo 4 “Concepto de función: definición, representación y ejemplificación en la

enseñanza y aprendizaje”, de Figueiredo, Contreras y Blanco, ya dentro del segundo bloque,

parte del concepto de función y termina con dos características de los ejemplos que se

consideran importantes cuando se enseña y se aprende este concepto: la variación y la

transparencia.

El capítulo 5, de Contreras y García, va dedicado a “Investigaciones sobre límites”,

donde se abordan tendencias actuales acerca de la investigación sobre su enseñanza y

aprendizaje y las aplicaciones a la práctica educativa, y donde se dice “una noción matemática

como ésta (…) ha de ser enseñada por medio de un análisis profundo que implique

fundamentalmente, de modo sistémico”.

El capítulo 6, de Sánchez y García, trata el “Concepto de derivada” presentando algunas

reflexiones en una tabla de investigaciones sobre su enseñanza y el aprendizaje, destacando

los dedicados a la razón de cambio de Azcárate, dedicadas a sistemas de representación de

Font, Contreras, Robles, Ariza y Llenares; los de relación entre f´(a) y f´(x) de Badillo y del

desarrollo del esquema de derivada de Sánchez y García.

El capítulo 7, González lo dedica a presentar el “Panorama internacional de la

investigación sobre la enseñanza-aprendizaje de las integrales”, adoptando dos enfoques: las

Didáctica del Análisis Matemático: una revisión de las investigaciones sobre su enseñanza y aprendizaje

en el contexto de la SEIEM. C. Azcárate, M. Camacho-Machín, M.T. González, M. Moreno (Coords.) Reseña: Rosa Nortes Martínez-Artero



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investigaciones con enfoques de tipo esencialmente cognitivo y las investigaciones con

enfoques epistemológicos e institucionales.

El capítulo 8, Camacho y Moreno resumen las investigaciones sobre la enseñanza y el

aprendizaje del concepto de integral, donde “las investigaciones han permitido corroborar

muchos de los resultados que ya eran conocidos de investigaciones internacionales”.

El capítulo 9 lo dedican Perdomo y Codes a series numéricas y ecuaciones

diferenciales, conceptos menos utilizados en las investigaciones dentro de la DAM.,

reflejando la preocupación por los procesos de su enseñanza y aprendizaje.

La tercera parte contiene dos capítulos, “Fenómenos didácticos que emergen con el uso

de herramientas tecnológicas” y “La construcción de modelos dinámicos en el estudio de

fenómenos de cambio o variación y la resolución de problemas”, de Contreras y Santos,

respectivamente. En el primero de ellos se analiza el concepto teórico de fenómeno didáctico,

revisando los relacionados con el uso del elemento tecnológico según la TSD y de acuerdo al

EOS. En el segundo se presentan dos ejemplos, el primero ilustra el uso coordinado de

diversas representaciones del problema como un camino para comprender el significado de

los conceptos involucrados; y el segundo destaca las formas en que la tecnología ofrece

información en línea relacionada con el tema en estudio.

El cuarto bloque presenta tres capítulos dedicados a investigaciones sobre la enseñanza

del análisis matemático, los redactan Moreno, Gavilán, García y Llinares. En el primero de

ellos se trata la evolución de los marcos teóricos y metodológicos en las investigaciones sobre

la enseñanza del análisis matemático; en el segundo, investigación sobre la práctica del

profesor; y el tercero, de la investigación a la innovación y la práctica en la enseñanza del

análisis matemático. Sus autores ponen de manifiesto que los seminarios de profesores se

están convirtiendo en un elemento muy potente de investigación, que relacionar marcos

teóricos/conceptuales y resultados de investigación están definiendo nuevos problemas de

investigación y que en estos momentos de madurez de la investigación en Didáctica del

Análisis Matemático valdría la pena investigar los mecanismos de transferencia que rigen en

los diferentes ámbitos de la enseñanza-aprendizaje del Análisis Matemático.

Termina el manual con Referencias Bibliográficas, donde se recogen 360 de autores

tanto españoles como extranjeros, que han servido de apoyo en la realización de los capítulos

reseñados.

En este libro podían figurar mas autores porque en este periodo tratado (2007-2014) han

sido muchas las comunicaciones y ponencias que se han presentado en los simposios de la

SEIEM, pero la labor de ajustar al espacio de la publicación ha hecho que se queden fuera.

Desde aquí animamos a los coordinadores de este libro a recoger en un segundo volumen

otros aspectos más concretos, tratando de llevar la investigación realizada al aula para que el

profesorado de secundaria pueda recibir el fruto de estas investigaciones y que la Sociedad se

vea beneficiada.

Rosa Nortes Martínez-Artero (Universidad de Murcia)




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Avances y realidades de la Educación Matemática

Núria Planas (Coord.)

Editorial GRAÓ

Colección: Crítica y Fundamentos, 46

226 páginas

Año 2015

Nuria Planas, profesora de la Universidad Autónoma de Barcelona, acaba de coordinar

este libro editado por Graó en su colección “Crítica y fundamento” y donde, a lo largo de 226

páginas, relatan las trayectorias de sus trabajos de investigación los profesores: Callejo,

Camacho, Cantoral, Carrillo, García, Godino, Gómez, Knijknik, Planas, Ruiz, Santos y

Santos-Trillo. En la introducción la coordinadora lo inicia así: “la iniciativa de este libro surge

con el propósito de informar sobre la abundante y diversa investigación de calidad en

educación matemática que se está realizando en España en particular y en Iberoamérica en

general”.

El libro está dividido en tres partes: I) Modelos de enseñanza, evaluación y aprendizaje;

II) Resolución de problemas y desarrollo profesional; III) Perspectivas educativas,

curriculares y teóricas. En ellas se incluyen once capítulos, iniciados por B. Gómez con

“Siguiendo una línea de investigación en pensamiento numérico y algebraico” en el que se

centra en la descripción de modelos de enseñanza y en modelos de actuación, haciendo en el


Avances y realidades de la Educación Matemática. Núria Planas (Coord.) Reseña: Rosa Nortes Martínez-Artero

150 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 91 marzo de 2016

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primer caso una descripción de los cambios en la aritmética escolar y las nociones ligadas al

movimiento proporcional a partir de la segunda mitad de los años noventa, siendo los

modelos de enseñanza necesarios para los modelos de actuación.

El segundo capítulo de L. Santos (Portugal) se titula “Contribuciones al desarrollo

teórico de la evaluación para el aprendizaje matemático”, donde la dimensión reguladora ha

sido su área principal de investigación. Tras hacer un repaso sobre el profesor y la regulación

de los aprendizajes, la retroalimentación y la interacción entre profesor y alumnos, los

alumnos y el aprendizaje, hace unas consideraciones finales en las que se pregunta “¿hasta

qué punto y cómo la práctica de evaluación reguladora se relaciona o es relacionable con la

práctica de evaluación sumativa”.

El tercer capítulo “Aproximación a los procesos de exclusión e (in)exclusión en el aula

de matemáticas” lo redacta G. García (Colombia), en el que reflexiona sobre cuestiones de

igualdad, equidad e (in)exclusión en el contexto colombiano de la educación matemática,

deteniéndose en el aula de matemáticas como objeto de remodelación, los procesos entre

saber y comportarse, la noción y crónica de un escenario de aprendizaje en un área

colombiana.

El cuarto capítulo, “Oportunidades de aprendizaje matemático y diversidad de lenguas”,

es dedicado por la coordinadora de este manual a describir el proceso seguido como

investigadora desde 2001 hasta la actualidad, fecha aquella en que defendió su tesis doctoral.

Para ello indica de donde partió y donde se sitúa, para después citar sus trabajos de

oportunidades de aprendizaje matemático, pasando por un entorno bilingüe, para concluir

diciendo “No me mueve, pues, el horizonte de la igualdad de oportunidades. Mi inquietud

actual es llegar a entender cómo mejorar las condiciones de acceso a la participación

matemática de los alumnos, en particular de aquellos cuyas lenguas dominantes son distintas a

la lengua de instrucciones en sus aulas”.

En el segundo bloque M. L. Callejo con “Aprender (a enseñar) matemáticas. Prácticas

de resolución de problemas, creencias y desarrollo profesional” reflexiona sobre su trabajo en

las tres últimas décadas, el desarrollo del profesor de matemáticas y la investigación. Hace un

repaso desde los años ochenta citando a Crokcroft, Grupo Cero, Miguel de Guzmán… para

después introducirse en el uso de representaciones gráficas para resolver problemas utilizando

un problema clásico de geometría elemental. Establece un marco para actividades de

formación permanente y una mirada profesional a situaciones de enseñanza-aprendizaje en

formación inicial.

Camacho y Santos-Trigo, en “Aspectos sobre resolución de problemas, tecnología y

formación de profesores de matemáticas”, describen las colaboraciones entre el Departamento

de Matemática Educativa del Cinvestav de México y el Área de Didáctica de las Matemáticas

de la universidad de La Laguna, pasando de los métodos heurísticos y problemas rutinarios al

uso de herramientas digitales para el aprendizaje de las matemáticas. Por último, presentan

seis nuevos temas de investigaciones emergentes y en sus consideraciones finales y se

congratulan de que sus resultados de investigación “tienen que ver con la misión de la

investigación como colaboración”.

Avances y realidades de la Educación Matemática. Núria Planas (Coord.) Reseña: Rosa Nortes Martínez-Artero



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J. Carrillo afronta la tarea de escribir este capítulo de su trayectoria como investigador

titulado “Estudio personal compartido sobre conocimiento y desarrollo profesional del

profesorado y resolución de problemas”. Lo considera bajo los apartados de concepciones y

resolución de problemas; desarrollo profesional del profesorado; desarrollo profesional,

interacciones e idoneidad del informante; formación del profesorado y papel del video;

resolución de problemas matemáticos; reflexiones metodológicas; conocimiento del profesor

de matemáticas y en las consideraciones finales, concluye que “la resolución de problemas y

el desarrollo profesional continúan siendo las dos grandes líneas de nuestra investigación”.

De Brasil con G. Knijknik nos llega el capítulo “Etnomatemática y problemas

auténticos en la formación del profesorado de matemáticas”, cuyas investigaciones “giran en

torno a la exploración de experiencias pedagógicas curriculares y matemáticas vividas

mayoritariamente por profesores de matemáticas en formación”. Describe el Movimiento Sin

Tierra y la matemática oral campesina.

La tercera parte la comienza R. Cantoral, de México, con “Orígenes y evolución del

programa socioepistemológico en matemática educativa”, adentrándose en una teoría

emergente en el campo de la matemática educativa, cruce entre las matemáticas, las ciencias

sociales y las humanidades. Comienza con los rasgos básicos del programa

socioepistemológico, expone el origen del programa y algunas dimensiones y acaba con un

ejemplo del tipo de estudios empíricos.

J. D. Godino, con “Articulación de teorías en educación matemática desde la

perspectiva ontosemiótica”, presenta cinco problemas epistemológicos y didáctico-

matemáticos que motivan el EOS, las etapas de desarrollo del EOS y principales nociones

teóricas; ejemplificación empírica de algunas nociones teóricas; comparación y articulación

de marcos teóricos y en las consideraciones finales manifiesta que “las herramientas del

análisis epistemológico elaboradas están sirviendo para clarificar la naturaleza de distintos

objetos matemáticos y estadísticos, el álgebra elemental y la visualización, entre otros”.

El último capítulo, “Perspectivas de la praxis en educación matemática para una

reforma del currículo” de A. Ruiz (Costa Rica), comienza diciendo que “desde hace 25 años

uno de los principales focos de atención en mi trabajo académico ha sido la investigación en

educación matemática” y eso lo refleja en los apartados: evolución de mis etapas

intelectuales; experiencia formativa en organización de eventos; investigación orientada a la

creación de un nuevo currículo escolar; enfoque principal, ejes curriculares e implantación;

plan de capacitación docente y equipo humano. En las consideraciones finales prevé una

intensificación en relación con la reforma curricular costarricense que se encuentra en marcha.

En definitiva, un libro interesante donde doce investigadores en educación matemática

relatan sus líneas de investigación a lo largo de más de treinta años y que servirán para que los

noveles investigadores de esta materia conozcan el proceso seguido, ya que como dice la

coordinadora del mismo “este libro es, en síntesis y ante todo, una compilación de avances y

realizaciones de investigación en educación matemática”.

Rosa Nortes Martínez-Artero (Universidad de Murcia)




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Congresos

XVI CONGRESO DE

ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE

DE LAS MATEMÁTICAS

Fecha: 4, 5 y 6 de julio de 2016.

Lugar: Jerez de la Frontera. España.

Convoca: Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales.

Información: http://thales.cica.es/xviceam

V Congreso

Latinoamericano de

Matemáticas

Fecha: Del 11 al 15 de Julio de 2016.

Lugar: Barranquilla. Colombia.

Convoca: Universidad del Norte.

Información: http://www.uninorte.edu.co/web/vclam


http://thales.cica.es/xviceam/

http://www.uninorte.edu.co/web/vclam


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Lugar: Monterrey. Nuevo León. México.

Convoca: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.

Información: http://relme30.mty.itesm.mx/

Fecha: Del 18 al 22 julio 2016.

Lugar: Universidad de Macedonia Oeste, Florina, Grecia. Convoca: Facultad de Pedagogía de Florina, Universidad de Macedonia Oeste.

Información: http://etm5.web.uowm.gr/fr/


Lugar: Hamburgo. Alemania.

Convoca: The Society of Didactics of Mathematics.

Información: http://www.icme13.org/

Fecha: Del 17 al 20 de agosto de 2016.

Lugar: Natal. Rio Grande do Norte. Brasil. Información: http://geogebra.hol.es/index.php

http://relme30.mty.itesm.mx/

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http://www.icme13.org/

http://geogebra.hol.es/index.php



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XII CONGRESO ARGENTINO DE

EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Fecha: 16, 17 y 18 de septiembre de 2016

Lugar: Buenos Aires. Argentina.

Convoca: Sociedad Argentina de Educación Matemática e Instituto del profesorado Sagrado

Corazón.

Información: http://www.soarem.org.ar/

Fecha: Del 15 al 18 de noviembre del 2016

Lugar: Barquisimeto. Venezuela.

Convoca: Asociación Venezolana de Educación Matemática.

Información: www.asovemat.org.ve

http://www.soarem.org.ar/

http://www.asovemat.org.ve/


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XX JORNADAS DE EDUCACIÓN

MATEMÁTICA

Fecha: 13 y 14 de diciembre de 2016.

Lugar: Valparaiso. Chile.

Convoca: Sociedad Chilena de Educación Matemática.

Información: http://www.sochiem.cl/

Fecha: 10 al 14 de Julio de 2017.

Lugar: Madrid. España.

Convoca: Federación Iberoamericana de Sociedades de Educación Matemática.

Organiza: Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas.

Información: http://www.cibem.org/

Fecha: Del 29 de octubre al 1 de noviembre del 2017.

Lugar: Cali. Colombia.

Convoca: Red de Educación Matemática de América Central y el Caribe.

Información: http://ii.cemacyc.org

http://www.sochiem.cl/

http://www.cibem.org/

http://ii.cemacyc.org/




ISSN: 1887-1984

Volumen 92, julio de 2016, página 157

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1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité

editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.

2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected]

3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de revisión o publicación en ninguna otra revista.

4. Los artículos remitidos para publicar deben tener las siguientes características:

Se enviarán en el formato de la plantilla que se encuentra en la página web de la revista.

Tendrán un máximo de 25 páginas incluidas notas, tablas, gráficas, figuras y bibliografía.

Los datos de identificación de los autores deben figurar en la última página: nombre, dirección

electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de evaluación, esos datos sólo estarán en esta última página.

Al final del artículo se incluirá una breve nota biográfica (no más de cinco líneas) de cada uno

de los autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha

de nacimiento, títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen.

Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave;

también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords.

Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos.

Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar

el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares.

Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones.

Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de

texto (no enviarlas por separado).

Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el

autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53).

Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,

ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo:

o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y

científicos en los niños. Madrid: Morata. o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on

whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on

Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York.

o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a

conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.

o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de

febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/

5. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo

se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.

6. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial. Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor

con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios

propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en

un periodo no mayor de 6 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.


mailto:[email protected]/numeros

http://www.sinewton.org/numeros/

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