nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/portals/9/docs/katedre/matematika/psgg...
TRANSCRIPT
![Page 1: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/1.jpg)
Nizovi i redovi
Jelena Sedlar
Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 1 / 63
![Page 2: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/2.jpg)
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
![Page 3: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/3.jpg)
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
![Page 4: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/4.jpg)
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
![Page 5: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/5.jpg)
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija.
Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
![Page 6: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/6.jpg)
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
![Page 7: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/7.jpg)
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku:
a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
![Page 8: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/8.jpg)
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
![Page 9: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/9.jpg)
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
![Page 10: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/10.jpg)
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
![Page 11: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/11.jpg)
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
![Page 12: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/12.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 13: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/13.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n
⇒ {an} = 1,12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 14: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/14.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} =
1,12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 15: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/15.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 16: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/16.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n
⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 17: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/17.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} =
2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 18: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/18.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 19: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/19.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 20: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/20.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 21: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/21.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable,
pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 22: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/22.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 23: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/23.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu
(an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 24: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/24.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 25: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/25.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu
(an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 26: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/26.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),
monotono padajucem nizu (an = 1n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 27: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/27.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu
(an = 1n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 28: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/28.jpg)
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
![Page 29: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/29.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija.
Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
![Page 30: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/30.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran,
ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
![Page 31: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/31.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje
svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
![Page 32: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/32.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
![Page 33: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/33.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
![Page 34: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/34.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
![Page 35: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/35.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} =
2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
![Page 36: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/36.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8,
5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
![Page 37: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/37.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
![Page 38: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/38.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
![Page 39: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/39.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija.
Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani, ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.
Primjerice, vrijedi:
an =(−1)n+1
n⇒ {an} = 1,−
12,13,−14,15,−16, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 5 / 63
![Page 40: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/40.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani,
ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.
Primjerice, vrijedi:
an =(−1)n+1
n⇒ {an} = 1,−
12,13,−14,15,−16, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 5 / 63
![Page 41: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/41.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani, ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.
Primjerice, vrijedi:
an =(−1)n+1
n⇒ {an} = 1,−
12,13,−14,15,−16, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 5 / 63
![Page 42: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/42.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani, ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.
Primjerice, vrijedi:
an =(−1)n+1
n⇒ {an} = 1,−
12,13,−14,15,−16, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 5 / 63
![Page 43: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/43.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani, ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.
Primjerice, vrijedi:
an =(−1)n+1
n
⇒ {an} = 1,−12,13,−14,15,−16, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 5 / 63
![Page 44: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/44.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani, ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.
Primjerice, vrijedi:
an =(−1)n+1
n⇒ {an} =
1,−12,13,−14,15,−16, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 5 / 63
![Page 45: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/45.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani, ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.
Primjerice, vrijedi:
an =(−1)n+1
n⇒ {an} = 1,−
12,13,−14,15,−16, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 5 / 63
![Page 46: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/46.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani, ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.
Primjerice, vrijedi:
an =(−1)n+1
n⇒ {an} = 1,−
12,13,−14,15,−16, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 5 / 63
![Page 47: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/47.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak.
Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 48: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/48.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 49: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/49.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n,
b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 50: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/50.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n,
c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 51: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/51.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ),
d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 52: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/52.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 53: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/53.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza,
odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 54: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/54.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 55: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/55.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje.
a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 56: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/56.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a)
Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 57: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/57.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =
12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 58: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/58.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,
14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 59: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/59.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,
18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 60: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/60.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,
116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 61: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/61.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,
132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 62: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/62.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,
164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 63: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/63.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164,
. . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 64: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/64.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 65: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/65.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz:
jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 66: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/66.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen,
jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 67: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/67.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci,
nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 68: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/68.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran,
nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 69: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/69.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 70: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/70.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b)
Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 71: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/71.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} =
0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 72: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/72.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0,
3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 73: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/73.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3,
2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 74: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/74.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2,
5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 75: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/75.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5,
4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 76: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/76.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4,
7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 77: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/77.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7,
6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 78: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/78.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6,
9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 79: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/79.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9,
8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 80: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/80.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8,
11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 81: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/81.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11,
10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 82: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/82.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10,
...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 83: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/83.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 84: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/84.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz:
nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 85: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/85.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen,
nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 86: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/86.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton,
nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 87: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/87.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran,
nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 88: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/88.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
![Page 89: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/89.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c)
Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 90: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/90.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} =
0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 91: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/91.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 92: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/92.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz:
jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 93: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/93.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen,
jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 94: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/94.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton
(i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 95: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/95.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo),
jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 96: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/96.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran,
nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 97: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/97.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 98: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/98.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d)
Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 99: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/99.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} =
− 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 100: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/100.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1,
1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 101: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/101.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1,
− 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 102: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/102.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1,
1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 103: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/103.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1,
− 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 104: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/104.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 105: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/105.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz:
jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 106: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/106.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen,
nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 107: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/107.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton,
nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 108: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/108.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran,
jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 109: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/109.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
![Page 110: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/110.jpg)
Nizovi brojeva
Uocimo:
niz je funkcija s domenom N,
funkcija ima limes jedino u gomilištima domene,
jedino gomilište skupa N je +∞.
Zakljucujemo da je:
limes niza definira jedino u +∞, tj. limes niza an je
limn→+∞
an.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 8 / 63
![Page 111: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/111.jpg)
Nizovi brojeva
Uocimo:
niz je funkcija s domenom N,
funkcija ima limes jedino u gomilištima domene,
jedino gomilište skupa N je +∞.
Zakljucujemo da je:
limes niza definira jedino u +∞, tj. limes niza an je
limn→+∞
an.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 8 / 63
![Page 112: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/112.jpg)
Nizovi brojeva
Uocimo:
niz je funkcija s domenom N,
funkcija ima limes jedino u gomilištima domene,
jedino gomilište skupa N je +∞.
Zakljucujemo da je:
limes niza definira jedino u +∞, tj. limes niza an je
limn→+∞
an.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 8 / 63
![Page 113: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/113.jpg)
Nizovi brojeva
Uocimo:
niz je funkcija s domenom N,
funkcija ima limes jedino u gomilištima domene,
jedino gomilište skupa N je +∞.
Zakljucujemo da je:
limes niza definira jedino u +∞, tj. limes niza an je
limn→+∞
an.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 8 / 63
![Page 114: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/114.jpg)
Nizovi brojeva
Uocimo:
niz je funkcija s domenom N,
funkcija ima limes jedino u gomilištima domene,
jedino gomilište skupa N je +∞.
Zakljucujemo da je:
limes niza definira jedino u +∞, tj. limes niza an je
limn→+∞
an.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 8 / 63
![Page 115: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/115.jpg)
Nizovi brojeva
Uocimo:
niz je funkcija s domenom N,
funkcija ima limes jedino u gomilištima domene,
jedino gomilište skupa N je +∞.
Zakljucujemo da je:
limes niza definira jedino u +∞,
tj. limes niza an je
limn→+∞
an.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 8 / 63
![Page 116: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/116.jpg)
Nizovi brojeva
Uocimo:
niz je funkcija s domenom N,
funkcija ima limes jedino u gomilištima domene,
jedino gomilište skupa N je +∞.
Zakljucujemo da je:
limes niza definira jedino u +∞, tj. limes niza an je
limn→+∞
an.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 8 / 63
![Page 117: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/117.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija.
Kazemo da niz {an} :
konvergira prema L ∈ R ako vrijedi
limn→+∞
an = L,
divergira prema +∞ (ili −∞) ako vrijedi
limn→+∞
an = +∞ (ili limn→+∞
= −∞),
divergira ako vrijedi
limn→+∞
an = ne postoji.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 9 / 63
![Page 118: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/118.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da niz {an} :
konvergira prema L ∈ R ako vrijedi
limn→+∞
an = L,
divergira prema +∞ (ili −∞) ako vrijedi
limn→+∞
an = +∞ (ili limn→+∞
= −∞),
divergira ako vrijedi
limn→+∞
an = ne postoji.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 9 / 63
![Page 119: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/119.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da niz {an} :
konvergira prema L ∈ R
ako vrijedi
limn→+∞
an = L,
divergira prema +∞ (ili −∞) ako vrijedi
limn→+∞
an = +∞ (ili limn→+∞
= −∞),
divergira ako vrijedi
limn→+∞
an = ne postoji.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 9 / 63
![Page 120: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/120.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da niz {an} :
konvergira prema L ∈ R ako vrijedi
limn→+∞
an = L,
divergira prema +∞ (ili −∞) ako vrijedi
limn→+∞
an = +∞ (ili limn→+∞
= −∞),
divergira ako vrijedi
limn→+∞
an = ne postoji.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 9 / 63
![Page 121: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/121.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da niz {an} :
konvergira prema L ∈ R ako vrijedi
limn→+∞
an = L,
divergira prema +∞ (ili −∞)
ako vrijedi
limn→+∞
an = +∞ (ili limn→+∞
= −∞),
divergira ako vrijedi
limn→+∞
an = ne postoji.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 9 / 63
![Page 122: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/122.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da niz {an} :
konvergira prema L ∈ R ako vrijedi
limn→+∞
an = L,
divergira prema +∞ (ili −∞) ako vrijedi
limn→+∞
an = +∞ (ili limn→+∞
= −∞),
divergira ako vrijedi
limn→+∞
an = ne postoji.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 9 / 63
![Page 123: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/123.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da niz {an} :
konvergira prema L ∈ R ako vrijedi
limn→+∞
an = L,
divergira prema +∞ (ili −∞) ako vrijedi
limn→+∞
an = +∞ (ili limn→+∞
= −∞),
divergira
ako vrijedi
limn→+∞
an = ne postoji.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 9 / 63
![Page 124: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/124.jpg)
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da niz {an} :
konvergira prema L ∈ R ako vrijedi
limn→+∞
an = L,
divergira prema +∞ (ili −∞) ako vrijedi
limn→+∞
an = +∞ (ili limn→+∞
= −∞),
divergira ako vrijedi
limn→+∞
an = ne postoji.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 9 / 63
![Page 125: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/125.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak.
Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
![Page 126: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/126.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
![Page 127: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/127.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e,
b) limn→+∞
n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
![Page 128: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/128.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1,
c) limn→+∞
n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
![Page 129: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/129.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
![Page 130: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/130.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje.
a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
![Page 131: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/131.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a)
Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
![Page 132: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/132.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n =
limx→+∞
(1+1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
![Page 133: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/133.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x =
e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
![Page 134: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/134.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
![Page 135: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/135.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
![Page 136: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/136.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b)
Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 11 / 63
![Page 137: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/137.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n =
limx→+∞
x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 11 / 63
![Page 138: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/138.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x =
limx→+∞
x1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 11 / 63
![Page 139: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/139.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x =
L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 11 / 63
![Page 140: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/140.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 11 / 63
![Page 141: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/141.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 11 / 63
![Page 142: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/142.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L =
ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
![Page 143: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/143.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x =
limx→+∞
ln x1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
![Page 144: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/144.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x =
limx→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
![Page 145: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/145.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
![Page 146: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/146.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
![Page 147: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/147.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1=
limx→+∞
1x= 0⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
![Page 148: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/148.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x=
0⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
![Page 149: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/149.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0
⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
![Page 150: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/150.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0⇒ L =
e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
![Page 151: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/151.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0⇒ L = e0 =
1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
![Page 152: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/152.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
![Page 153: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/153.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c)
Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 13 / 63
![Page 154: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/154.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a =
limx→+∞
x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 13 / 63
![Page 155: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/155.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a =
limx→+∞
a1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 13 / 63
![Page 156: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/156.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x =
L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 13 / 63
![Page 157: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/157.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 13 / 63
![Page 158: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/158.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 13 / 63
![Page 159: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/159.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L =
ln limx→+∞
a1x = lim
x→+∞ln a
1x =
= limx→+∞
ln ax= [
ln a+∞
] = 0⇒ L = e0 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
![Page 160: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/160.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
a1x =
limx→+∞
ln a1x =
= limx→+∞
ln ax= [
ln a+∞
] = 0⇒ L = e0 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
![Page 161: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/161.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
a1x = lim
x→+∞ln a
1x =
= limx→+∞
ln ax= [
ln a+∞
] = 0⇒ L = e0 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
![Page 162: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/162.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
a1x = lim
x→+∞ln a
1x =
= limx→+∞
ln ax=
[ln a+∞
] = 0⇒ L = e0 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
![Page 163: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/163.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
a1x = lim
x→+∞ln a
1x =
= limx→+∞
ln ax= [
ln a+∞
] =
0⇒ L = e0 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
![Page 164: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/164.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
a1x = lim
x→+∞ln a
1x =
= limx→+∞
ln ax= [
ln a+∞
] = 0
⇒ L = e0 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
![Page 165: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/165.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
a1x = lim
x→+∞ln a
1x =
= limx→+∞
ln ax= [
ln a+∞
] = 0⇒ L =
e0 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
![Page 166: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/166.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
a1x = lim
x→+∞ln a
1x =
= limx→+∞
ln ax= [
ln a+∞
] = 0⇒ L = e0 =
1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
![Page 167: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/167.jpg)
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
a1x = lim
x→+∞ln a
1x =
= limx→+∞
ln ax= [
ln a+∞
] = 0⇒ L = e0 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
![Page 168: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/168.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 169: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/169.jpg)
Redovi brojeva
Definicija.
Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 170: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/170.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva.
Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 171: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/171.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 172: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/172.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 173: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/173.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje.
Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 174: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/174.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 175: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/175.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=
12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 176: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/176.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . .
= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 177: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/177.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 178: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/178.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 179: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/179.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 180: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/180.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 181: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/181.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 182: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/182.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 183: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/183.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 184: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/184.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 185: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/185.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
![Page 186: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/186.jpg)
Redovi brojeva
Definicija.
Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 187: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/187.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva.
Broj sk = ∑kn=1 an naziva
se k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 188: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/188.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an
nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 189: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/189.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda.
Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 190: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/190.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 191: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/191.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija.
Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 192: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/192.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan
(ili zbrojiv ilisumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 193: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/193.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan),
ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 194: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/194.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s.
Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 195: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/195.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 196: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/196.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . .
⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 197: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/197.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} =
1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 198: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/198.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1,
2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 199: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/199.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2,
3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 200: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/200.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3,
4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 201: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/201.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4,
5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 202: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/202.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5,
. . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 203: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/203.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k ,
. . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 204: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/204.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→
+∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 205: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/205.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 206: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/206.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 207: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/207.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . .
⇒ {sk} = 12 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 208: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/208.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} =
12 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 209: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/209.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,
78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 210: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/210.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,
1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 211: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/211.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 ,
. . . , 2k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 212: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/212.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k ,
. . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 213: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/213.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→
1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 214: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/214.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 215: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/215.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,
+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 216: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/216.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
![Page 217: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/217.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak.
Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
![Page 218: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/218.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
![Page 219: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/219.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje.
Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
![Page 220: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/220.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=
12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
![Page 221: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/221.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
![Page 222: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/222.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =
12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
![Page 223: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/223.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,
23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
![Page 224: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/224.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,
34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
![Page 225: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/225.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,
45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
![Page 226: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/226.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,
56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
![Page 227: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/227.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56,
. . . ,k
k + 1, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
![Page 228: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/228.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . .
→ 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
![Page 229: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/229.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
![Page 230: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/230.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1
(konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
![Page 231: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/231.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
![Page 232: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/232.jpg)
Redovi brojeva
Definicija.
Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn =+∞
∑n=1
a · qn−1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 18 / 63
![Page 233: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/233.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn =+∞
∑n=1
a · qn−1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 18 / 63
![Page 234: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/234.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn =+∞
∑n=1
a · qn−1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 18 / 63
![Page 235: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/235.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn =+∞
∑n=1
a · qn−1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 18 / 63
![Page 236: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/236.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn =
+∞
∑n=1
a · qn−1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 18 / 63
![Page 237: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/237.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn =+∞
∑n=1
a · qn−1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 18 / 63
![Page 238: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/238.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Primjerice,
za a = 1 i q = 12 dobivamo geometrijski red
+∞
∑n=0(12)n = 1+
12+14+18+ . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 19 / 63
![Page 239: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/239.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Primjerice, za a = 1 i q = 12
dobivamo geometrijski red
+∞
∑n=0(12)n = 1+
12+14+18+ . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 19 / 63
![Page 240: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/240.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Primjerice, za a = 1 i q = 12 dobivamo geometrijski red
+∞
∑n=0(12)n =
1+12+14+18+ . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 19 / 63
![Page 241: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/241.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Primjerice, za a = 1 i q = 12 dobivamo geometrijski red
+∞
∑n=0(12)n = 1+
12+14+18+ . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 19 / 63
![Page 242: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/242.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak.
Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 243: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/243.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju:
a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 244: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/244.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda,
b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 245: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/245.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.
Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 246: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/246.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje.
a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 247: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/247.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a)
Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 248: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/248.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
=
1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 249: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/249.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . .
>
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 250: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/250.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+
(14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 251: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/251.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) +
(18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 252: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/252.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) +
. . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 253: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/253.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 254: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/254.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+
12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 255: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/255.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+
12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 256: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/256.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+
. . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 257: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/257.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . =
+∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 258: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/258.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 259: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/259.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
![Page 260: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/260.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b)
Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
![Page 261: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/261.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1
vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
![Page 262: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/262.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn =
a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
![Page 263: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/263.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .
⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
![Page 264: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/264.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} =
a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
![Page 265: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/265.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .
→ ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
![Page 266: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/266.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
![Page 267: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/267.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
![Page 268: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/268.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1
/ · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
![Page 269: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/269.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · q
q · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qksk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
![Page 270: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/270.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
![Page 271: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/271.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
![Page 272: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/272.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
![Page 273: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/273.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a ·qn =
limk→+∞
sk = limk→+∞
a1− qk1− q =
a
1− q za − 1 < q < 1,+∞ za q > 1 i a > 0,−∞ za q > 1 i a < 0,ne postoji za q ≤ −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 22 / 63
![Page 274: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/274.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a ·qn = limk→+∞
sk =
limk→+∞
a1− qk1− q =
a
1− q za − 1 < q < 1,+∞ za q > 1 i a > 0,−∞ za q > 1 i a < 0,ne postoji za q ≤ −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 22 / 63
![Page 275: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/275.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a ·qn = limk→+∞
sk = limk→+∞
a1− qk1− q =
a
1− q za − 1 < q < 1,+∞ za q > 1 i a > 0,−∞ za q > 1 i a < 0,ne postoji za q ≤ −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 22 / 63
![Page 276: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/276.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a ·qn = limk→+∞
sk = limk→+∞
a1− qk1− q =
a
1− q za − 1 < q < 1,
+∞ za q > 1 i a > 0,−∞ za q > 1 i a < 0,ne postoji za q ≤ −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 22 / 63
![Page 277: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/277.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a ·qn = limk→+∞
sk = limk→+∞
a1− qk1− q =
a
1− q za − 1 < q < 1,+∞ za q > 1 i a > 0,
−∞ za q > 1 i a < 0,ne postoji za q ≤ −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 22 / 63
![Page 278: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/278.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a ·qn = limk→+∞
sk = limk→+∞
a1− qk1− q =
a
1− q za − 1 < q < 1,+∞ za q > 1 i a > 0,−∞ za q > 1 i a < 0,
ne postoji za q ≤ −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 22 / 63
![Page 279: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/279.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a ·qn = limk→+∞
sk = limk→+∞
a1− qk1− q =
a
1− q za − 1 < q < 1,+∞ za q > 1 i a > 0,−∞ za q > 1 i a < 0,ne postoji za q ≤ −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 22 / 63
![Page 280: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/280.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Dakle, za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn =
{ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 23 / 63
![Page 281: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/281.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Dakle, za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1
divergira za |q| ≥ 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 23 / 63
![Page 282: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/282.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Dakle, za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 23 / 63
![Page 283: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/283.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda).
Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 284: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/284.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan,
onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 285: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/285.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 286: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/286.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 287: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/287.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0,
onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 288: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/288.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 289: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/289.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0,
onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 290: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/290.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 291: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/291.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 =
1 6= 0⇒∑+∞n=1
nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 292: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/292.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1
6= 0⇒∑+∞n=1
nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 293: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/293.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0
⇒∑+∞n=1
nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 294: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/294.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1
je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 295: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/295.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 296: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/296.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) =
0 i ∑+∞n=1
1n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 297: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/297.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0
i ∑+∞n=1
1n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 298: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/298.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) =
1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 299: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/299.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 300: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/300.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n =
0 i ∑+∞n=1
1n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 301: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/301.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0
i ∑+∞n=1
1n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 302: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/302.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n
je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 303: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/303.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
![Page 304: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/304.jpg)
Redovi brojeva
Definicija.
Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 305: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/305.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima.
Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:red ∑+∞
n=1 bn je majoranta reda ∑+∞n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 306: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/306.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn,
onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 307: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/307.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 308: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/308.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 309: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/309.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 310: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/310.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak.
Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 311: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/311.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 .
Za svaki redutvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 312: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/312.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.
Rješenje. Vrijedi1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 313: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/313.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje.
Vrijedi1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 314: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/314.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 315: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/315.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 316: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/316.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2
minoranta redova ∑+∞n=1
1n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 317: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/317.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 318: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/318.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n
majoranta redu ∑+∞n=1
1n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 319: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/319.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 ,
a minoranta redu ∑+∞n=1
1√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 320: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/320.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 321: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/321.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n
je najoranta redova ∑+∞n=1
1n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 322: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/322.jpg)
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
![Page 323: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/323.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije).
Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij I. Red je konvergentan ako ima konvergentnumajorantu, a divergentan ako ima divergentnu minorantu.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 26 / 63
![Page 324: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/324.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima.
Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij I. Red je konvergentan ako ima konvergentnumajorantu, a divergentan ako ima divergentnu minorantu.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 26 / 63
![Page 325: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/325.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij I. Red je konvergentan ako ima konvergentnumajorantu, a divergentan ako ima divergentnu minorantu.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 26 / 63
![Page 326: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/326.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij I.
Red je konvergentan ako ima konvergentnumajorantu, a divergentan ako ima divergentnu minorantu.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 26 / 63
![Page 327: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/327.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij I. Red je konvergentan ako ima konvergentnumajorantu,
a divergentan ako ima divergentnu minorantu.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 26 / 63
![Page 328: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/328.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij I. Red je konvergentan ako ima konvergentnumajorantu, a divergentan ako ima divergentnu minorantu.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 26 / 63
![Page 329: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/329.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak.
Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 330: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/330.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 331: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/331.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 ,
b) ∑+∞n=1
1√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 332: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/332.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n ,
c) ∑+∞n=1
42n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 333: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/333.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 334: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/334.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n ,
e) ∑+∞n=1
n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 335: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/335.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n ,
f) ∑+∞n=1
(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 336: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/336.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 337: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/337.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje.
a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 338: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/338.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a)
Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 339: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/339.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 340: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/340.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg.
⇒+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 341: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/341.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 342: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/342.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 =
1++∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 343: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/343.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 344: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/344.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 =
{k = n− 1} = 1++∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 345: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/345.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} =
1++∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 346: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/346.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 347: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/347.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
![Page 348: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/348.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. b)
Vrijedi1√n≥ 1n
pa imamo+∞
∑n=1
1ndivergira⇒
+∞
∑n=1
1√ndivergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 28 / 63
![Page 349: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/349.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. b) Vrijedi1√n≥ 1n
pa imamo+∞
∑n=1
1ndivergira⇒
+∞
∑n=1
1√ndivergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 28 / 63
![Page 350: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/350.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. b) Vrijedi1√n≥ 1n
pa imamo+∞
∑n=1
1ndivergira⇒
+∞
∑n=1
1√ndivergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 28 / 63
![Page 351: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/351.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. b) Vrijedi1√n≥ 1n
pa imamo+∞
∑n=1
1ndivergira⇒
+∞
∑n=1
1√ndivergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 28 / 63
![Page 352: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/352.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij II.
Neka je
limn→+∞
anbn= L.
Ako je 0 < L < +∞, onda oba reda konvergiraju ili oba redadivergiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 29 / 63
![Page 353: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/353.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij II. Neka je
limn→+∞
anbn= L.
Ako je 0 < L < +∞, onda oba reda konvergiraju ili oba redadivergiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 29 / 63
![Page 354: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/354.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij II. Neka je
limn→+∞
anbn= L.
Ako je 0 < L < +∞,
onda oba reda konvergiraju ili oba redadivergiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 29 / 63
![Page 355: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/355.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij II. Neka je
limn→+∞
anbn= L.
Ako je 0 < L < +∞, onda oba reda konvergiraju ili oba redadivergiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 29 / 63
![Page 356: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/356.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c)
Uspore�ujemo
+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
= limn→+∞
4 · 2n2n − 3 = lim
n→+∞
41− 3
2n= 4 > 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
![Page 357: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/357.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
= limn→+∞
4 · 2n2n − 3 = lim
n→+∞
41− 3
2n= 4 > 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
![Page 358: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/358.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
=
limn→+∞
4 · 2n2n − 3 = lim
n→+∞
41− 3
2n= 4 > 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
![Page 359: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/359.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
= limn→+∞
4 · 2n2n − 3 =
limn→+∞
41− 3
2n= 4 > 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
![Page 360: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/360.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
= limn→+∞
4 · 2n2n − 3 = lim
n→+∞
41− 3
2n=
4 > 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
![Page 361: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/361.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
= limn→+∞
4 · 2n2n − 3 = lim
n→+∞
41− 3
2n= 4
> 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
![Page 362: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/362.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
= limn→+∞
4 · 2n2n − 3 = lim
n→+∞
41− 3
2n= 4 > 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
![Page 363: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/363.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
= limn→+∞
4 · 2n2n − 3 = lim
n→+∞
41− 3
2n= 4 > 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
![Page 364: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/364.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
= limn→+∞
4 · 2n2n − 3 = lim
n→+∞
41− 3
2n= 4 > 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
![Page 365: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/365.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
D’Alambertov kriterij.
Neka je
limn→+∞
an+1an
= L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 31 / 63
![Page 366: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/366.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
D’Alambertov kriterij. Neka je
limn→+∞
an+1an
= L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 31 / 63
![Page 367: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/367.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
D’Alambertov kriterij. Neka je
limn→+∞
an+1an
= L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 31 / 63
![Page 368: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/368.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
D’Alambertov kriterij. Neka je
limn→+∞
an+1an
= L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 31 / 63
![Page 369: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/369.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
D’Alambertov kriterij. Neka je
limn→+∞
an+1an
= L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 31 / 63
![Page 370: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/370.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
D’Alambertov kriterij. Neka je
limn→+∞
an+1an
= L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 31 / 63
![Page 371: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/371.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. d)
Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi
limn→+∞
an+1an
= limn→+∞
n+12n+1n2n
= limn→+∞
n+12n1= lim
n→+∞
n+ 12n
=12< 1,
pa je red konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 32 / 63
![Page 372: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/372.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. d) Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi
limn→+∞
an+1an
=
limn→+∞
n+12n+1n2n
= limn→+∞
n+12n1= lim
n→+∞
n+ 12n
=12< 1,
pa je red konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 32 / 63
![Page 373: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/373.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. d) Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi
limn→+∞
an+1an
= limn→+∞
n+12n+1n2n
=
limn→+∞
n+12n1= lim
n→+∞
n+ 12n
=12< 1,
pa je red konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 32 / 63
![Page 374: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/374.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. d) Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi
limn→+∞
an+1an
= limn→+∞
n+12n+1n2n
= limn→+∞
n+12n1=
limn→+∞
n+ 12n
=12< 1,
pa je red konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 32 / 63
![Page 375: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/375.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. d) Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi
limn→+∞
an+1an
= limn→+∞
n+12n+1n2n
= limn→+∞
n+12n1= lim
n→+∞
n+ 12n
=
12< 1,
pa je red konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 32 / 63
![Page 376: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/376.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. d) Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi
limn→+∞
an+1an
= limn→+∞
n+12n+1n2n
= limn→+∞
n+12n1= lim
n→+∞
n+ 12n
=12
< 1,
pa je red konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 32 / 63
![Page 377: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/377.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. d) Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi
limn→+∞
an+1an
= limn→+∞
n+12n+1n2n
= limn→+∞
n+12n1= lim
n→+∞
n+ 12n
=12< 1,
pa je red konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 32 / 63
![Page 378: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/378.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. d) Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi
limn→+∞
an+1an
= limn→+∞
n+12n+1n2n
= limn→+∞
n+12n1= lim
n→+∞
n+ 12n
=12< 1,
pa je red konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 32 / 63
![Page 379: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/379.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Cauchyjev kriterij.
Neka je
limn→+∞
n√an = L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 33 / 63
![Page 380: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/380.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Cauchyjev kriterij. Neka je
limn→+∞
n√an = L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 33 / 63
![Page 381: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/381.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Cauchyjev kriterij. Neka je
limn→+∞
n√an = L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 33 / 63
![Page 382: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/382.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Cauchyjev kriterij. Neka je
limn→+∞
n√an = L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 33 / 63
![Page 383: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/383.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Cauchyjev kriterij. Neka je
limn→+∞
n√an = L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 33 / 63
![Page 384: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/384.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Cauchyjev kriterij. Neka je
limn→+∞
n√an = L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 33 / 63
![Page 385: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/385.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. e)
Po Cauchyjevom kriteriju vrijedi
limn→+∞
n√an = lim
n→+∞
n
√n3n
2n= lim
n→+∞
32
n√n =
32> 1,
pa je red divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 34 / 63
![Page 386: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/386.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. e) Po Cauchyjevom kriteriju vrijedi
limn→+∞
n√an =
limn→+∞
n
√n3n
2n= lim
n→+∞
32
n√n =
32> 1,
pa je red divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 34 / 63
![Page 387: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/387.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. e) Po Cauchyjevom kriteriju vrijedi
limn→+∞
n√an = lim
n→+∞
n
√n3n
2n=
limn→+∞
32
n√n =
32> 1,
pa je red divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 34 / 63
![Page 388: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/388.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. e) Po Cauchyjevom kriteriju vrijedi
limn→+∞
n√an = lim
n→+∞
n
√n3n
2n= lim
n→+∞
32
n√n =
32> 1,
pa je red divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 34 / 63
![Page 389: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/389.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. e) Po Cauchyjevom kriteriju vrijedi
limn→+∞
n√an = lim
n→+∞
n
√n3n
2n= lim
n→+∞
32
n√n =
32
> 1,
pa je red divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 34 / 63
![Page 390: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/390.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. e) Po Cauchyjevom kriteriju vrijedi
limn→+∞
n√an = lim
n→+∞
n
√n3n
2n= lim
n→+∞
32
n√n =
32> 1,
pa je red divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 34 / 63
![Page 391: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/391.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. e) Po Cauchyjevom kriteriju vrijedi
limn→+∞
n√an = lim
n→+∞
n
√n3n
2n= lim
n→+∞
32
n√n =
32> 1,
pa je red divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 34 / 63
![Page 392: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/392.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Leibnizov kriterij.
Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)limn→+∞ an = 0,
onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 35 / 63
![Page 393: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/393.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Leibnizov kriterij. Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)limn→+∞ an = 0,
onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 35 / 63
![Page 394: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/394.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Leibnizov kriterij. Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)
limn→+∞ an = 0,
onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 35 / 63
![Page 395: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/395.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Leibnizov kriterij. Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)limn→+∞ an = 0,
onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 35 / 63
![Page 396: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/396.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Leibnizov kriterij. Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)limn→+∞ an = 0,
onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 35 / 63
![Page 397: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/397.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Leibnizov kriterij. Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)limn→+∞ an = 0,
onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 35 / 63
![Page 398: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/398.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Leibnizov kriterij. Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)limn→+∞ an = 0,
onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,
Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 35 / 63
![Page 399: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/399.jpg)
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Leibnizov kriterij. Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)limn→+∞ an = 0,
onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 35 / 63
![Page 400: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/400.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. f)
Po Leibnizovom kriteriju:
niz an = 12n+1 je pozitivan padajuci niz
vrijedilim
n→+∞an = lim
n→+∞1
2n+1 = 0
pa je red ∑+∞n=1
(−1)n2n+1 konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 36 / 63
![Page 401: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/401.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. f) Po Leibnizovom kriteriju:
niz an = 12n+1 je pozitivan padajuci niz
vrijedilim
n→+∞an = lim
n→+∞1
2n+1 = 0
pa je red ∑+∞n=1
(−1)n2n+1 konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 36 / 63
![Page 402: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/402.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. f) Po Leibnizovom kriteriju:
niz an = 12n+1 je pozitivan padajuci niz
vrijedilim
n→+∞an = lim
n→+∞1
2n+1 = 0
pa je red ∑+∞n=1
(−1)n2n+1 konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 36 / 63
![Page 403: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/403.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. f) Po Leibnizovom kriteriju:
niz an = 12n+1 je pozitivan padajuci niz
vrijedilim
n→+∞an =
limn→+∞
12n+1 = 0
pa je red ∑+∞n=1
(−1)n2n+1 konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 36 / 63
![Page 404: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/404.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. f) Po Leibnizovom kriteriju:
niz an = 12n+1 je pozitivan padajuci niz
vrijedilim
n→+∞an = lim
n→+∞1
2n+1 =
0
pa je red ∑+∞n=1
(−1)n2n+1 konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 36 / 63
![Page 405: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/405.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. f) Po Leibnizovom kriteriju:
niz an = 12n+1 je pozitivan padajuci niz
vrijedilim
n→+∞an = lim
n→+∞1
2n+1 = 0
pa je red ∑+∞n=1
(−1)n2n+1 konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 36 / 63
![Page 406: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/406.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. f) Po Leibnizovom kriteriju:
niz an = 12n+1 je pozitivan padajuci niz
vrijedilim
n→+∞an = lim
n→+∞1
2n+1 = 0
pa je red ∑+∞n=1
(−1)n2n+1 konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 36 / 63
![Page 407: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/407.jpg)
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
![Page 408: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/408.jpg)
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,
Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
![Page 409: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/409.jpg)
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
![Page 410: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/410.jpg)
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija.
Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
![Page 411: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/411.jpg)
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan,
ako je red∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
![Page 412: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/412.jpg)
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
![Page 413: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/413.jpg)
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem.
Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
![Page 414: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/414.jpg)
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan,
onda je red ∑+∞n=1 an
ujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
![Page 415: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/415.jpg)
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
![Page 416: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/416.jpg)
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
![Page 417: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/417.jpg)
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
![Page 418: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/418.jpg)
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
![Page 419: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/419.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak.
Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
![Page 420: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/420.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
![Page 421: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/421.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
,
b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
![Page 422: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/422.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
![Page 423: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/423.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje.
a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
![Page 424: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/424.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a)
Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
![Page 425: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/425.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ =
+∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
![Page 426: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/426.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n=
1 ⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
![Page 427: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/427.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
![Page 428: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/428.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
![Page 429: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/429.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
![Page 430: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/430.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. b)
Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣ (−1)n+1n
∣∣∣ = +∞
∑n=1
1n = dvg. ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n+1n apsolutno divergira
ali . . . ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n = ln 2 (uvjetno) konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 39 / 63
![Page 431: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/431.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. b) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣ (−1)n+1n
∣∣∣ =
+∞
∑n=1
1n = dvg. ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n+1n apsolutno divergira
ali . . . ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n = ln 2 (uvjetno) konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 39 / 63
![Page 432: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/432.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. b) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣ (−1)n+1n
∣∣∣ = +∞
∑n=1
1n =
dvg. ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n apsolutno divergira
ali . . . ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n = ln 2 (uvjetno) konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 39 / 63
![Page 433: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/433.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. b) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣ (−1)n+1n
∣∣∣ = +∞
∑n=1
1n = dvg.
⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n apsolutno divergira
ali . . . ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n = ln 2 (uvjetno) konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 39 / 63
![Page 434: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/434.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. b) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣ (−1)n+1n
∣∣∣ = +∞
∑n=1
1n = dvg. ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n+1n apsolutno divergira
ali . . . ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n = ln 2 (uvjetno) konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 39 / 63
![Page 435: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/435.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. b) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣ (−1)n+1n
∣∣∣ = +∞
∑n=1
1n = dvg. ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n+1n apsolutno divergira
ali . . . ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n
= ln 2 (uvjetno) konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 39 / 63
![Page 436: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/436.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. b) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣ (−1)n+1n
∣∣∣ = +∞
∑n=1
1n = dvg. ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n+1n apsolutno divergira
ali . . . ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n = ln 2
(uvjetno) konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 39 / 63
![Page 437: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/437.jpg)
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. b) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣ (−1)n+1n
∣∣∣ = +∞
∑n=1
1n = dvg. ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n+1n apsolutno divergira
ali . . . ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n = ln 2 (uvjetno) konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 39 / 63
![Page 438: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/438.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
![Page 439: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/439.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N.
Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
![Page 440: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/440.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . .
= {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
![Page 441: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/441.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
![Page 442: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/442.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn,
onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
![Page 443: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/443.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
![Page 444: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/444.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . .
= {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
![Page 445: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/445.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
![Page 446: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/446.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . .
=+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
![Page 447: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/447.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
![Page 448: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/448.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija
i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
![Page 449: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/449.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
![Page 450: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/450.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija.
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N, te neka jeD = ∩n∈NDn. Red funkcija ∑+∞
n=1 fn je skup svih redova brojeva
+∞
∑n=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . za x ∈ D.
Skup D naziva se podrucje definicije ili domena reda funkcija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 41 / 63
![Page 451: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/451.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N,
te neka jeD = ∩n∈NDn. Red funkcija ∑+∞
n=1 fn je skup svih redova brojeva
+∞
∑n=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . za x ∈ D.
Skup D naziva se podrucje definicije ili domena reda funkcija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 41 / 63
![Page 452: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/452.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N, te neka jeD = ∩n∈NDn.
Red funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih redova brojeva
+∞
∑n=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . za x ∈ D.
Skup D naziva se podrucje definicije ili domena reda funkcija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 41 / 63
![Page 453: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/453.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N, te neka jeD = ∩n∈NDn. Red funkcija ∑+∞
n=1 fn
je skup svih redova brojeva
+∞
∑n=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . za x ∈ D.
Skup D naziva se podrucje definicije ili domena reda funkcija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 41 / 63
![Page 454: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/454.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N, te neka jeD = ∩n∈NDn. Red funkcija ∑+∞
n=1 fn je skup svih redova brojeva
+∞
∑n=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . .
za x ∈ D.
Skup D naziva se podrucje definicije ili domena reda funkcija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 41 / 63
![Page 455: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/455.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N, te neka jeD = ∩n∈NDn. Red funkcija ∑+∞
n=1 fn je skup svih redova brojeva
+∞
∑n=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . za x ∈ D.
Skup D naziva se podrucje definicije ili domena reda funkcija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 41 / 63
![Page 456: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/456.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N, te neka jeD = ∩n∈NDn. Red funkcija ∑+∞
n=1 fn je skup svih redova brojeva
+∞
∑n=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . za x ∈ D.
Skup D naziva se podrucje definicije ili domena reda funkcija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 41 / 63
![Page 457: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/457.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
![Page 458: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/458.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn
⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
![Page 459: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/459.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} =
1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
![Page 460: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/460.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
![Page 461: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/461.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn =
1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
![Page 462: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/462.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
![Page 463: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/463.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R.
Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
![Page 464: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/464.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
![Page 465: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/465.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 1
1+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
![Page 466: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/466.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 2
1+ 12 +
14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
![Page 467: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/467.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2
...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
![Page 468: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/468.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
![Page 469: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/469.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija.
Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
![Page 470: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/470.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija
i D njegovo podrucje definicije.Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞
n=1 fn je skup svih x ∈ D za kojered brojeva ∑+∞
n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
![Page 471: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/471.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
![Page 472: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/472.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn
je skup svih x ∈ D za kojered brojeva ∑+∞
n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
![Page 473: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/473.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D
za kojered brojeva ∑+∞
n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
![Page 474: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/474.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
![Page 475: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/475.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
![Page 476: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/476.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
![Page 477: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/477.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
![Page 478: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/478.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
![Page 479: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/479.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
![Page 480: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/480.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
![Page 481: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/481.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak.
Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
![Page 482: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/482.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.
Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
![Page 483: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/483.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje.
Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
![Page 484: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/484.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn =
{ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
![Page 485: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/485.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
![Page 486: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/486.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn =
{q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
![Page 487: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/487.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} =
11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
![Page 488: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/488.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
![Page 489: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/489.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
![Page 490: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/490.jpg)
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
![Page 491: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/491.jpg)
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
![Page 492: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/492.jpg)
Red potencija
Niz potencija
je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
![Page 493: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/493.jpg)
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n
za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
![Page 494: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/494.jpg)
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
![Page 495: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/495.jpg)
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija
je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
![Page 496: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/496.jpg)
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n =
a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
![Page 497: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/497.jpg)
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
![Page 498: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/498.jpg)
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
![Page 499: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/499.jpg)
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
![Page 500: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/500.jpg)
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.
Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
![Page 501: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/501.jpg)
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
![Page 502: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/502.jpg)
Red potencija
Definicija.
Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
![Page 503: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/503.jpg)
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n
je brojR za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
![Page 504: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/504.jpg)
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
![Page 505: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/505.jpg)
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣
ili1R= lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
![Page 506: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/506.jpg)
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
![Page 507: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/507.jpg)
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
![Page 508: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/508.jpg)
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞
onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
![Page 509: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/509.jpg)
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
![Page 510: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/510.jpg)
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0
onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
![Page 511: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/511.jpg)
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
![Page 512: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/512.jpg)
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija).
Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
![Page 513: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/513.jpg)
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n,
onda taj red:
konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
![Page 514: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/514.jpg)
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:
konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
![Page 515: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/515.jpg)
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,
divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
![Page 516: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/516.jpg)
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,
nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
![Page 517: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/517.jpg)
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
![Page 518: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/518.jpg)
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
![Page 519: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/519.jpg)
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,
divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
![Page 520: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/520.jpg)
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉
za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
![Page 521: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/521.jpg)
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
![Page 522: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/522.jpg)
Red potencija
Posebno, ako je x0 = 0
onda red potencija poprima oblik
+∞
∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,
te taj red:
konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 48 / 63
![Page 523: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/523.jpg)
Red potencija
Posebno, ako je x0 = 0 onda red potencija poprima oblik
+∞
∑n=0
anxn =
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,
te taj red:
konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 48 / 63
![Page 524: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/524.jpg)
Red potencija
Posebno, ako je x0 = 0 onda red potencija poprima oblik
+∞
∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,
te taj red:
konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 48 / 63
![Page 525: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/525.jpg)
Red potencija
Posebno, ako je x0 = 0 onda red potencija poprima oblik
+∞
∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,
te taj red:
konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 48 / 63
![Page 526: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/526.jpg)
Red potencija
Posebno, ako je x0 = 0 onda red potencija poprima oblik
+∞
∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,
te taj red:
konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,
divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 48 / 63
![Page 527: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/527.jpg)
Red potencija
Posebno, ako je x0 = 0 onda red potencija poprima oblik
+∞
∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,
te taj red:
konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉
za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 48 / 63
![Page 528: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/528.jpg)
Red potencija
Posebno, ako je x0 = 0 onda red potencija poprima oblik
+∞
∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,
te taj red:
konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 48 / 63
![Page 529: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/529.jpg)
Red potencija
Zadatak.
Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 530: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/530.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 531: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/531.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n,
b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 532: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/532.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn,
c) ∑+∞n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 533: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/533.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 534: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/534.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje.
a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 535: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/535.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a)
Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 536: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/536.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n,
pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 537: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/537.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R =
limn→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 538: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/538.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ =
limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 539: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/539.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ =
limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 540: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/540.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n =
1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 541: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/541.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1
⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 542: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/542.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R =
1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 543: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/543.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 544: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/544.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 545: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/545.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 =
〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 546: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/546.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,
divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 547: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/547.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 =
〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 548: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/548.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,
na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 549: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/549.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒
∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 550: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/550.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n =
0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 551: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/551.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . .
= divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 552: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/552.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 553: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/553.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒
∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 554: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/554.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n =
0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 555: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/555.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . .
= divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 556: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/556.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 557: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/557.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
![Page 558: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/558.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b)
Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
![Page 559: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/559.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!,
pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
![Page 560: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/560.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R=
limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
![Page 561: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/561.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ =
limn→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
![Page 562: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/562.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ =
limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
![Page 563: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/563.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) =
+∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
![Page 564: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/564.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞
⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
![Page 565: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/565.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R =
0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
![Page 566: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/566.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
![Page 567: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/567.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.
Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
![Page 568: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/568.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn =
∑+∞n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
![Page 569: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/569.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 =
0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
![Page 570: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/570.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0
⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
![Page 571: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/571.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
![Page 572: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/572.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c)
Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
![Page 573: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/573.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! ,
pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
![Page 574: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/574.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R=
limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
![Page 575: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/575.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ =
limn→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
![Page 576: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/576.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ =
limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
![Page 577: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/577.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
=
0⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
![Page 578: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/578.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0
⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
![Page 579: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/579.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R =
+∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
![Page 580: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/580.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
![Page 581: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/581.jpg)
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
![Page 582: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/582.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
![Page 583: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/583.jpg)
Taylorov red
Teorem.
Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
![Page 584: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/584.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0.
Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
![Page 585: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/585.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
![Page 586: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/586.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) =
f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
![Page 587: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/587.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +
Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
![Page 588: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/588.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
![Page 589: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/589.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =
f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
![Page 590: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/590.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
![Page 591: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/591.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0)
gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
![Page 592: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/592.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
![Page 593: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/593.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
![Page 594: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/594.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
![Page 595: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/595.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
![Page 596: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/596.jpg)
Taylorov red
Teorem.
Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
![Page 597: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/597.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0.
Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
![Page 598: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/598.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
![Page 599: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/599.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) =
f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
![Page 600: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/600.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
![Page 601: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/601.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
![Page 602: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/602.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
![Page 603: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/603.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
![Page 604: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/604.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,
za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
![Page 605: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/605.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
![Page 606: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/606.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
![Page 607: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/607.jpg)
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
![Page 608: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/608.jpg)
Taylorov red
Zadatak.
Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 609: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/609.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije:
a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 610: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/610.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex ,
b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 611: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/611.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x ,
c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 612: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/612.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x .
Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 613: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/613.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.
Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 614: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/614.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje.
a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 615: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/615.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a)
Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 616: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/616.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex
⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 617: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/617.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) =
1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 618: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/618.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 619: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/619.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) =
ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 620: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/620.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex
⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 621: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/621.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) =
1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 622: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/622.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 623: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/623.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) =
ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 624: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/624.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex
⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 625: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/625.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) =
1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 626: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/626.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 627: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/627.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) =
ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 628: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/628.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex
⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 629: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/629.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) =
1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 630: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/630.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 631: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/631.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 632: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/632.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) =
f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 633: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/633.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 634: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/634.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =
+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 635: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/635.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
![Page 636: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/636.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
![Page 637: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/637.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R=
limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
![Page 638: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/638.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ =
limn→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
![Page 639: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/639.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ =
limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
![Page 640: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/640.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
=
0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
![Page 641: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/641.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0
⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
![Page 642: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/642.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R =
+∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
![Page 643: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/643.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
![Page 644: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/644.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
![Page 645: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/645.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
ex
≈ 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 56 / 63
![Page 646: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/646.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
ex ≈ 1
+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 56 / 63
![Page 647: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/647.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
ex ≈ 1+ 11!x
+ 12!x
2 + 13!x
3
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 56 / 63
![Page 648: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/648.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
ex ≈ 1+ 11!x +
12!x
2
+ 13!x
3
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 56 / 63
![Page 649: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/649.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
ex ≈ 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 56 / 63
![Page 650: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/650.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
ex ≈ 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 56 / 63
![Page 651: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/651.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b)
Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 652: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/652.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x
⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 653: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/653.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) =
1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 654: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/654.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 655: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/655.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) =
− sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 656: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/656.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x
⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 657: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/657.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) =
0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 658: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/658.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 659: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/659.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) =
− cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 660: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/660.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x
⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 661: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/661.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) =
− 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 662: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/662.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1
f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 663: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/663.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) =
sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 664: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/664.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x
⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 665: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/665.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) =
0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 666: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/666.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 667: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/667.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) =
cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 668: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/668.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x
⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 669: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/669.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) =
1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 670: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/670.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 671: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/671.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) =
− sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 672: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/672.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x
⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 673: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/673.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) =
0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 674: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/674.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 675: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/675.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x)
= f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 676: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/676.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 677: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/677.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . =
∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 678: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/678.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
![Page 679: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/679.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
![Page 680: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/680.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
=
limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
![Page 681: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/681.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ =
limn→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
![Page 682: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/682.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ =
= limn→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
![Page 683: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/683.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
=
0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
![Page 684: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/684.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
= 0
⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
![Page 685: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/685.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
= 0⇒ R =
+∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
![Page 686: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/686.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
![Page 687: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/687.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
![Page 688: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/688.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
cos x
≈ 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + 18!x
8
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 59 / 63
![Page 689: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/689.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
cos x ≈ 1
− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + 18!x
8
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 59 / 63
![Page 690: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/690.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
cos x ≈ 1− 12!x
2
+ 14!x
4 − 16!x
6 + 18!x
8
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 59 / 63
![Page 691: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/691.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
cos x ≈ 1− 12!x
2 + 14!x
4
− 16!x
6 + 18!x
8
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 59 / 63
![Page 692: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/692.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
cos x ≈ 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6
+ 18!x
8
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 59 / 63
![Page 693: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/693.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
cos x ≈ 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + 18!x
8
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 59 / 63
![Page 694: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/694.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
cos x ≈ 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + 18!x
8
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 59 / 63
![Page 695: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/695.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c)
Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 696: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/696.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x
⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 697: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/697.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) =
0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 698: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/698.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 699: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/699.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) =
cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 700: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/700.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x
⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 701: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/701.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) =
1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 702: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/702.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 703: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/703.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) =
− sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 704: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/704.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x
⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 705: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/705.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) =
0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 706: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/706.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 707: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/707.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) =
− cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 708: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/708.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x
⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 709: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/709.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) =
− 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 710: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/710.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1
f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 711: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/711.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) =
sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 712: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/712.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x
⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 713: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/713.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) =
0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 714: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/714.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 715: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/715.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) =
cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 716: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/716.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x
⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 717: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/717.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) =
1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 718: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/718.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 719: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/719.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 720: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/720.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) =
f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 721: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/721.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 722: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/722.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . =
∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 723: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/723.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
![Page 724: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/724.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
![Page 725: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/725.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
=
limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
![Page 726: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/726.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ =
limn→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
![Page 727: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/727.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ =
= limn→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
![Page 728: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/728.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
=
0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
![Page 729: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/729.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0
⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
![Page 730: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/730.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0⇒ R =
+∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
![Page 731: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/731.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
![Page 732: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/732.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
![Page 733: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/733.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
sin x
≈ 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + 19!x
9
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 62 / 63
![Page 734: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/734.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
sin x ≈ 11!x
1
− 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + 19!x
9
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 62 / 63
![Page 735: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/735.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
sin x ≈ 11!x
1 − 13!x
3
+ 15!x
5 − 17!x
7 + 19!x
9
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 62 / 63
![Page 736: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/736.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
sin x ≈ 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5
− 17!x
7 + 19!x
9
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 62 / 63
![Page 737: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/737.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
sin x ≈ 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7
+ 19!x
9
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 62 / 63
![Page 738: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/738.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
sin x ≈ 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + 19!x
9
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 62 / 63
![Page 739: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/739.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
sin x ≈ 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + 19!x
9
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 62 / 63
![Page 740: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/740.jpg)
Taylorov red
Zadatak.
Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
![Page 741: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/741.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ
kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
![Page 742: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/742.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.
Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
![Page 743: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/743.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje.
Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
![Page 744: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/744.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
![Page 745: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/745.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ =
1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
![Page 746: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/746.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
![Page 747: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/747.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
![Page 748: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/748.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
![Page 749: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/749.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) +
i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
![Page 750: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/750.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
![Page 751: Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081507/5e230ea5647184302f36d7bd/html5/thumbnails/751.jpg)
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63