nivelacion y ejercicios resueltos de fisica ii escuela 73

Profesor: Julio C. Barreto G. 1 Escuela: 73

NIVELACIÓN DE FÍSICA II

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los

siguientes tipos de ángulo:

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES: Son los que están al mismo lado de las paralelas y

al mismo lado de la transversal.

ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son los que están entre las paralelas a distinto

lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Son los que "fuera" de las paralelas a distinto

lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:

1) Los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

2) Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.

3) Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.


TIPOS DE ÁNGULOS FORMADOS

Ángulos correspondientes entre paralelas.

1 = 5

2 = 6

3 = 7

4 = 8

Ángulos alternos entre paralelas.

Externos

1 = 7

2 = 8

Internos

3 = 5

4 = 6

Son

suplementarios

(suman 180°)

Ángulos contrarios o

conjugados.

1 6

2 5

3 8

4 7

Ángulos colaterales.

1 8

2 7

3 6

4 5


OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas

opuestas a los lados del otro. En la figura los ángulos a, c y b, d son opuestos por el vértice.

Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

Realice las siguientes demostraciones:

1. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

2. Si dos ángulos alternos internos son congruentes entonces los otros dos ángulos

alternos internos también lo son.

3. Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal de rectas paralelas, son

suplementarios. Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal de rectas

paralelas, son suplementarios.

4. Toda transversal forma con dos paralelas ángulos alternos externos congruentes.

5. Toda transversal forma con dos paralelas ángulos alternos internos congruentes

6. La suma de los ángulos interiores de un triángulo, es igual a dos rectos (180º).

7. La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, es igual a 90º.

8. En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es la suma de las medidas de los

ángulos internos no contiguos.

9. En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es mayor que cualquier ángulo

interior no adyacente.

10. La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo vale cuatro ángulos rectos

(360º).


LEY DE LOS COSENOS

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual

a la suma de los cuadrados de los otros dos lados MENOS el doble producto de estos lados

por el coseno del ángulo que forman, así:

Cos Ac b - + c = ba 2222

Cos Bc a - + c = ab 2222

Cos Cb a - + b = ac 2222

De las anteriores expresiones podemos despejar los ángulos y obtener:

ba

cbaCCos

ca

bcaBCos

cb

acbACos

222

222222222

Esta ley se aplica cuando: Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (L-A-L).

Se conocen los tres lados (L-L-L).

LEY DE LOS SENOS

En todo triángulo oblicuángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos

de los ángulos opuestos así:

triángulodelladoscbayángulossonCBADondec

CSeno

b

BSeno

a

ASeno,,,,,

Esta ley se aplica cuando se conocen: Dos ángulos y un lado (A - L–A).

Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L–L–A).

Ejemplos:

1) Resuelve el siguiente triángulo: .60,3,2 0 ba Según la figura:

Solución: Usando la ley del coseno


7

7

613

2

11294

60cos32232cos2

2

2

2

222222

c =

= c

- = c

- + = c

° - + c) (ab - + b = ac

Determinemos los ángulos y .

°.=

=

= α

+= α

+= α

bc

- a + c b=α αbc+c=ba

940

7

2cos

7

2cos

732

479cos

732

273cos

2coscos2 : Para

1

222

222222

°.=

=

=

+=

+=

ac

- b + c a=ac+c=ab

179

72

1cos

72

1cos

74

974cos

722

372cos

2coscos2 : Para

1

222

222222


Note que la suma de los tres ángulos es 180°.

.18060179940 °° = ° + .° + . α+ β + γ =

2) Resuelva el triángulo presentado en la figura. Dado: α = 35°, β =15° y c = 5. Según la

figura:

Solución: De acá tenemos que:

°

°°

°°

° = ° + ° + ° α+ β + γ =

130

50180

18050

1801535180

Luego, usando la ley del seno:

5

sinsinsin

ba

De aquí, tenemos que:

.74,3130sin

35sin5

sin

sin5

5

sinsin0

0

aaaa

.69,1130sin

15sin5

sin

sin5

5

sinsin0

0

bbbb

Nota: La fórmula para la ley de senos es: cba

sinsinsin no hay

diferencia si la tomas así: sinsinsin

cba pero no las puedes mezclar.


Ejercicio:

I. A partir de la figura dada determine los elementos restantes del triángulo

teniendo en cuenta las condiciones de cada caso y una de las leyes conocidas:

a) 65 , 50 , 12b

b) 60 , 7a , 7c

c) a=7, b=9, c=12

d) '3056 , 10b , 5c

e) 120 , 4a , 8c

f) 5c , 3b , 6a

TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la

suma de los cuadrados las longitudes de los catetos.

Inversamente: si en un triángulo cuyos lados miden a, b y c se verifica que

Entonces el triángulo es rectángulo.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

1. Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa:

Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto

mide la hipotenusa?

ab

cA B

C


2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto:

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto

mide otro cateto?

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Sea el triángulo rectángulo ABC, en donde A y B son ángulos agudos y el ángulo C

es recto, y además los lados “a” y “b” Se llaman catetos y el lado “c” se llama hipotenusa.

En función del ángulo A, el lado “a” se llama cateto opuesto y el lado “b” cateto

adyacente. Veamos la figura:


Luego:

El Seno del ángulo x (sen x) en un triángulo rectángulo, es la razón que existe entre

el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).

c

a

ahipotyenus

esto a x Cat. opusen x

El Coseno del ángulo x (cos x) en un triángulo rectángulo, es la razón entre el cateto

adyacente al ángulo x (b) y la hipotenusa (c) de dicho triángulo.

c

b

hipotenusa

acente a x Cat. ady x cos

La Tangente del ángulo x en un triángulo rectángulo, es la razón existente entre el

cateto adyacente (b) y el opuesto (a) al ángulo.

b

a

nte a xCat.adyace

puestoa x Cat. otag x

La Cotangente del ángulo x en un triángulo rectángulo es la razón existente entre el

cateto adyacente (b) y el apuesto (a) al ángulo x.

a

b

to a xCat. opues

acente a x Cat. adyctg x

La Secante del ángulo x (Sec x) es la razón que existe entre la hipotenusa (c) y el

cateto adyacente (b) a x en un triángulo rectángulo.

b

c

ente a xCat. adyac

tenusa hipo x sec

La Cosecante del ángulo x (Csc x) en un triángulo rectángulo es la razón entre la

hipotenusa (c) y el cateto opuesto a x.

a

c

to a xCat. opues

tenusa hipo x csc


COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR EN EL PLANO.

Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se

les denomina componentes.

.

Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentes

rectangulares. En la figura 2 se ilustran las componentes rectangulares del vector rojo.

Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones

asena

aa

y

x

cos

Teniendo en cuenta que:

x

y

yx

a

a

aaa

tan

22

Las 2 primeras ecuaciones son para hallar las componentes rectangulares del vector

a. y Las 2 últimas son para hallar el vector a (Teorema de Pitágoras a partir de sus

componentes rectangulares. La última ecuación es para hallar la dirección del vector a

(ángulo) con la función trigonométrica tangente.


Ejemplo: Una fuerza tiene magnitud igual a 10.0 N y dirección igual a 240º.

Encuentre las componentes rectangulares y represéntelas en un plano cartesiano.

NsenF

NF

y

x

6.82400.10

0.5240cos0.100

0

El resultado nos lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene módulo

igual a 5.00 N y apunta en dirección negativa del eje X. La componente en Y tiene módulo

igual a 8.66 y apunta en el sentido negativo del eje Y.

Esto se ilustra en la figura:

Y la dirección es 00001 8.2391808.59180

0.5

6.8tan

en sentido Oeste-

Sur.

EJERCICIOS RESUELTOS DE LEY DE COULOMB Y CAMPO ELÉCTRICO

1) Suponga que se tiene tres cargas puntuales localizadas en los vértices de un triángulo

recto, como se muestra en la figura, donde q1 = -80 C, q2 = 50 C y q3 = 70 C,

distancia AC = 30 cm, distancia AB = 40 cm. Calcular la fuerza sobre la carga q3 debida

a las cargas q1 y q2.

Solución:

Teniendo las transformaciones: AC =30 cm=0.3 m y AB = 40 cm=0.4 m. Hallemos

la separación entre q3 y q1 se obtiene usando el Teorema de Pitágoras:

(CB)2 = (AC)

2 + (AB)

2 = (0.3 m)

2 + (0.4 m)

2, de donde CB = 0.5 m.


Las direcciones de las fuerzas sabemos coinciden con las líneas que unen a cada par

de cargas puntuales. La fuerza que q1 ejerce sobre q3, F13, es de atracción. La fuerza que q2

ejerce sobre q3, F23, es de repulsión. Así, las fuerzas F13 y F23 tienen las direcciones que se

indican en el análisis vectorial de la figura de abajo:

Las magnitudes de tales fuerzas son:

F13 = [(9x109 Nm

2 /C

2)(80x10

-6 C)(70x10

-6 C)]/ (0.5 m)

2 = 201.6 N

F23 = [(9x109 Nm

2 /C

2)(5 0x10

-6 C)(70x10

-6 C)]/ (0.3 m)

2 = 350 N

Conviene disponer ejes coordenados xy tal como se indica en la figura, con el origen

en la carga donde deseamos calcular la fuerza resultante, en este caso en q3.

Llamando F3 a la fuerza resultante sobre q3, entonces F3 = F13 + F23. Luego, en

términos de componentes x e y:

F3x = F13x + F23x

F3y = F23y -F13y

De acuerdo con la figura:


Luego:

F13x = F13cosθ = (201.6 N)x(0.4/0.5) = 161.3 N;

F13y = F13senθ = (201.6)x(0.3/0.5) = 121 N

F23x = 0;

F23y = F23 = 350 N

De acá tenemos:

F3x = 161.3 N + 0 N = 161.3 N;

F3y = 350 N -121 N = 229 N

La magnitud de la fuerza neta F3 se obtiene de (F3)2 = (F3x)

2 + (F3y)

2, resultando

F3 = 280 N.

El ángulo de esta fuerza se obtiene de tgθ = F3y/ F3x= (229/161.3) = 1.42 => θ= 54.8º

CAMPO ELÉCTRICO

Donde:

E=Campo eléctrico, intensidad del

F=Fuerza

q=Carga magnitud colocada en el campo

Se dice que existe un campo eléctrico en una región del espacio en la cual una carga

eléctrica experimentará una fuerza eléctrica. La magnitud de la intensidad del campo

eléctrico (E) se da por la fuerza (F) por unidad de carga (q).

Si q es (+): E y F tendrán Si q` es (-) la fuerza (F) estará

la misma dirección. dirigida opuestamente a E.


Ejercicios:

1) ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico a una distancia de 2m de una carga de -12

C?

Datos e incógnitas

E=?

r=2m

Q=-12 C

Análisis vectorial

Luego:

2) Dos cargas puntuales Q1=-6nC y Q2=+6nC, están separadas 12 cm, como se muestra

en la figura. Determínese el campo eléctrico en el punto A y en el punto B.

Solución: En punto A El campo en A debido a q1

CNxm

CxCNmx

r

kQE /1038.3

04.0

106/109 4

2

29229

2

11

(Izquierda)

Y en punto A El campo en A debido a q2


CNxm

CxCNmx

r

kQE /1043.8

08.0

106/109 34

2

29229

2

11

Puesto que los vectores tienen la misma dirección y sentido, la intensidad resultante

en A es:

El campo B ejercido por q1

La ∑ vectorial del campo eléctrico E

De donde se puede comprobar que: y así:

Módulo:

Dirección:


VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS

0° - 90° - 180° - 270° y 360°

Ángulos

Funciones

0°

90°

180°

270°

360°

Seno 0 1 0 -1 0

Coseno 1 0 -1 0 1

Tangente 0 No 0 No 0

Cotangente No 0 No 0 No

Secante 1 No -1 No 1

Cosecante No 1 No -1 0

VALORES NOTABLES

Ángulos

Razones

30º

45º

60º

Seno

2

1

2

2

2

3

Coseno

2

3

2

2

2

1

Tangente

3

3

1 3

Cotangente 3 1

3

3

Secante

3

3 2

2 2

Cosecante 2 2

3

3 2

SISTEMA SEXAGESIMAL (DEG): Es el sistema cuyas unidades de medidas van de 60 en

60. La unidad del sistema sexagesimal en la medida de ángulos, es el grado (° sexagesimal),

el cual se define como la medida central del ángulo subtendido por un arco de círculo igual

a 1/3600 ava parte de la circunferencia de un círculo. Un minuto (‘) es la

60

1 ava parte de un

grado; un segundo (“) es la 60

1 ava parte de un minuto, o sea

3600

1 ava parte de un grado.

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