nivel2_ac16

DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS ACTIVIDADES DE AULA

GUIÓN DE ACTIVIDADES DE AULA EN MATEMÁTICAS.

Actividad nº: 16 Nivel: 2º ciclo. Tema: Geometría en el espacio I.

Objetivos: O125-O129 Metodología: Aula, Individual.

Alumno: _____________________________________ Curso/Grupo: _____ Nº: ____

Nociones elementales sobre geometría espacial.(Poliedros)

Conceptos:

Ángulo diedro: es el ángulo que forman dos planos que se cortan según una recta.

Poliedro: es una región del espacio delimitada por varios planos que se cortan entre si, siendo: Aristas: segmentos de recta sobre los que se

cortan dos planos y comprendidos entre dos vértices consecutivos.

Caras: las partes de plano delimitadas por tres o más aristas.

Vértices: puntos en los que coinciden tres o más caras o aristas.

Poliedro_2: figura en el espacio en la que no hay zonas curvadas o redondeadas, son todo segmentos de rectas y puntos de corte.

Clasificación de los Poliedros: Prismas: son los formados por dos polígonos

iguales y paralelos, que forman las bases del mismo, unidos entre sí por segmentos de rectas, aristas, las cuales forman caras laterales que son paralelogramos. Rectos: cuando las bases están sobre la misma vertical. En este caso las

caras laterales son rectángulos. Oblicuos: cuando las bases están desplazadas lateralmente, no coinciden

sobre la misma vertical. En este caso las caras laterales son paralelogramos. Pirámides: solo tienen una base, la cual es un polígono, y las caras laterales

son triángulos que confluyen todos en un punto común, vértice de la pirámide. Rectas: cuando la base y el vértice están sobre la misma vertical. En este

caso las caras laterales son triángulos isósceles o equiláteros. Oblicuas: cuando la base está desplazada lateralmente respecto al vértice,

no coinciden sobre la misma vertical. En este caso las caras laterales son triángulos de muy diversa forma, no son todos iguales.

Adaptaciones nivel 2 Página.- i acti16-Poliedros.

aristas

vértices

caras


Áreas: tanto los prismas como las pirámides constan de tres tipos básicos de área: Área lateral: es la suma de las áreas de las caras laterales.

Prisma recto: área de rectángulos, largo por ancho, por el número de aris-tas de la base o básicas. Coincide también con el producto del perímetro de la base por la altura del prisma.

Prisma oblicuo: área de paralelogramos, lado mayor por altura efectiva de cada uno de ellos.

Pirámide recta: área de triángulos isósceles o equiláteros, semiproducto de la base por la altura y por el número de aristas de la base. La base de los triángulos será la longitud de la arista básica de la pirámide. Todos los triángulos son iguales, luego será el área de uno multiplicada por el total de aristas básicas. A la altura de cada triángulo se le llama apotema lateral. Coincide también con el semiproducto del perímetro de la base por la apotema lateral.

Pirámide oblicua: aquí habrá que ir cara a cara, ya que por lo general no van a ser todas iguales.

Adaptaciones nivel 2 Página.- ii acti16-Poliedros.

Pirámide

Prisma recto

Altura h

Prisma oblicuo

Altura h

Pirámide recta Pirámide oblicua

1,73 3 a V 1,41 2 a 6 AT

d a D a 4 AL a Ab

3 a D 2 a d

.... a .... d ... D

3

2

2222

2

cubo del aristacara de diagonal

cubo del diagonal

1

D

d 2 triáng. equilátero triáng. equilátero

2cuadrado cuadrado2

hexágono hexágono

L 3 Perímetro L 3 Area 4

Perímetro L 4 Area L 3 L 3 Pperímetro L 6 Area

2

1.000 V C cm V V C dm V

1.000 V C m V

ap3

en

ap3en

ap3en


Área básica: es el área de la base, en el caso de la pirámide, o de las dos bases, en el caso del prisma. El área será la del polígono que forme la base, así, área de un triángulo, rectángulo, rombo, trapecio, pentágono, etc. …

Área total: es la suma de las dos anteriores. Volúmenes: distinguiremos dos casos:

Prismas: área de la base por la altura efectiva. (Ver figuras) Prisma recto: altura efectiva es la distancia vertical entre las bases. Prisma oblicuo: altura efectiva es la distancia en la vertical entre los pla-

nos que contienen las bases. Pirámides: un tercio del área de la base por la altura efectiva. (Ver figuras)

Pirámide recta: altura efectiva es la distancia en la vertical desde el vértice de la pirámide a la base.

Pirámide oblicua: altura efectiva es la distancia en la vertical entre el vér-tice de la pirámide y el plano que contiene la base.

En la figura se puede ver cómo un prisma cualquiera se puede dividir en tres pirámides iguales y de igual base que el prisma, de ahí que el volumen de una de ellas sea la tercera parte del volumen del prisma.

Formulario de Geometría del Espacio CUBO

Adaptaciones nivel 2 Página.- iii acti16-Poliedros.


PRISMA PIRÁMIDE

Poliedros regulares: son conocidos también como sólidos Platónicos por ser Platón el primero en clasificarlos y estudiar sus características y regularidades. En tiempos pasados eran asociados cada uno de ellos con los distintos elemen-

tos que configuraban la tierra y los seres vivos.

Adaptaciones nivel 2 Página.- iv acti16-Poliedros.

h Ab V Ab 2 AL AT

h Pb AL Ab Pb

base la de polígono del depende


h

ap

r h a .....r ap h Ap ..... a

... ap r .....h

.. Ap

Aph a 3

h Ab V

Ab AL AT 2

Ap Pb AL

Ab Pb

222 base la de radio

222 pirámide la de arista

base la de apotema pirámide la de altura

pirámide la de apotema




Otros desarrollos planos: son los desarrollos de los prismas y pirámides más comunes.

Adaptaciones nivel 2 Página.- v acti16-Poliedros.

Prisma hexagonal

Pirámide pentagonal

Cubo o hexaedro TetraedroOctaedro


Troncos de prisma y de pirámide: son las figuras que se obtienen al cortar un prisma o una pirámide por un plano no paralelo al plano de la base, en el caso de los prismas, y paralelo al plano de la base en el caso de las pirámides.

Teorema de Pitágoras en el espacio: es el mismo que en el plano, pero se aplica para calcular diagonales de prismas y otras cuestiones como las apotemas de las caras de las pirámides, las diagonales internas, etc. …(Ver las figuras del formulario)

En la figura anterior de la derecha se puede ver que , ya que la diagonal del rectángulo básico es y la diagonal pedida es

.

Actividades de aplicación.

P1.- La diagonal de un cubo mide 8,7 cm. ¿Cuánto mide su arista?.

P2.- Una pirámide de base cuadrada de 4 m de lado tiene una arista de 7 m. ¿Cuál es su altura?.

P3.- Calcula la altura de una pirámide recta cuya base es un hexágono regular de lado 4 cm. y cuya arista mide 10 cm.

Adaptaciones nivel 2 Página.- vi acti16-Poliedros.

Tronco de pirámide


P4.- Un aula tiene 8 m de largo por 7 m de ancho y por 3 m de alto. ¿Cuántos cm3 de volumen ocupa?.

P5.- La base de la gran pirámide de Keops es un cuadrado de 250m de lado. Su arista es de 240 m y su altura de 160 m. Calcula su volumen.

P6.- Halla la diagonal de un cubo de 5 m de lado.

P7.- En un ortoedro conocemos las dos dimensiones de su base, 5 y 8 cm., y la longi-tud de su diagonal, 12 cm. Calcula su altura.

P8.- En un ortoedro de base cuadrada la altura es la mitad del lado de la base y el área total del mismo es de 125 cm2. Halla su volumen.

P9.- En un depósito cúbico caben 27 millones de litros de H2O. Calcula su lado y el área de las paredes.

P10.- Para ahorrar agua introducimos en la cisterna del inodoro dos ladrillos de 8 por 3 y por 20 cm., de ese modo cabe menos agua. ¿Cuál es el ahorro de agua que con-seguiremos cada vez que tiremos de la cadena?.

P11.- Queremos pintar dos habitaciones de una casa que tiene los techos de 3,2 m de altura. Las dimensiones de los suelos de las habitaciones son, una de 3 por 4 m, y la otra de 3,2 por 5 m. En los botes de pintura que vamos a utilizar leemos que cada uno contiene pintura suficiente para 40 m2 de superficie. ¿Cuántos botes tendremos que comprar?. En el caso de que queramos dar dos capas de pintura, ¿Cuántos habría que comprar?.

P12.- Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 8 cm. de arista. Lo mismo de un octaedro.

P13.- Se tiene un prisma recto, cuyas bases son trapecios rectángulos de bases 20 y 12 cm. y lado oblicuo 10 cm. Sabiendo que la altura del prisma es de 24 cm., calcu-lar su área total.

P14.- Calcular el área lateral y total de una pirámide hexagonal regular de 10 cm. de apotema y 3 cm. de arista básica.

P15.- Determinar el área lateral y total de un tronco de pirámide regular hexagonal sabiendo que sus aristas básicas son de 10 y 4 cm., respectivamente, y que su arista lateral mide 50 cm.

P16.- ¿Cuánto costará recubrir de cemento una piscina ortoédrica de 10 m de largo por 6 de ancho y 2,5 de profundidad, a razón de 50 ctos. el m2.

Adaptaciones nivel 2 Página.- vii acti16-Poliedros.

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