nilai dan vektor eigen - gunadarma...
TRANSCRIPT
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Nilai dan Vektor Eigen
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Mengingat kembali: perkalian matriks
• Diberikan matriks A2x2 dan vektor-vektor u, v, dan w
• Hitunglah Au, Aw, Av. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor yang sejajar dengan vektor semula
2 0 1 0 5
4 1 4 4 4A v w u
2 0 1 2 12 2
4 1 4 8 4Av v
2 0 5 10
4 1 4 24
untuksemua
Au k u
k R
2 0 0 01.
4 1 4 4Aw w
v dan Av sejajar Jawab:
w dan Aw sejajar
u dan Au TIDAK sejajar
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Mengingat kembali: SPL homogen dan
determinan
1. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian trivial saja.
Apa kesimpulanm tentang A?
2. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK
trivial. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(A)?
Jawaban:
A mempunyai inverse. Det(A) ≠ 0
Jawaban:
A tidak mempunyai inverse.
Det(A) = 0
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Ax
Perkalian vektor dengan matriks
A x = x λ
x
Ax
x
x dan Ax sejajar
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Perkalian vektor dengan matriks
y
x
1
4
y
x
y
x
2
8
0
4
1
4
= 2 2 0
4 1
1
4
2 0
4 1
0
4
= 1 0
4
2 0
4 1
5
4
= 10
24
5
4
k
5
4
10
24
Au = 2u Av = v Aw ≠ kw
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Definisi: Nilai dan Vektor Eigen
Definisi:
Diberikan matriks A nxn, vektor tak nol v di Rn disebut vektor eigen
dari A jika terdapat skalar sedemikian hingga
Av = λv.
λ disebut nilai eigen, x adalah vektor eigen dari A yang
bersesuaian dengan λ .
Syarat perlu: v ≠ 0
(1) λ ≥ 1 (2) 0 ≤ λ ≤ 1 (3) -1 ≤ λ ≤ 0 (4) λ ≤ - 1
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Masalah Vektor Eigen
Diberikan matriks persegi A,
Temukan semua vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax
adalah kelipatan skalar x (Ax sejajar dengan x).
atau
Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx
untuk suatu skalar λ
A x sejajar x
A x = x λ
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Masalah Nilai Eigen
Diberikan matriks persegi A.
A =
Temukan semua skalar λ sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu
vektor tak nol x.
atau
Temukan semua vektor skalar λ sedemikian hingga persamaan
Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol
x λ x
x vektor tak nol
Ax = λx
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Pernyataan-pernyataan ekuivalen
Jika A matriks persegi nxn, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen
1. nilai eigen A
2. terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = x
3. SPL (A – I)x = 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial)
4. adalah penyelesaian persamaan det(A – I) = 0
Mencari nilai eigen A sama saja mencari penyelesaian
persamaan det(I-A) = 0
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Persamaan Karakteristik
Jika diuraikan, det((A - λI) merupakan suku banyak berderajat n dalam λ,
p(λ ) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λ
n-2 + …+ c1λ+ c0 suku banyak karakteristik
Persamaan det((A - λI) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λ
n-2 + …+ c1λ+ c0 = 0 disebut
persamaan karakteristik
Persamaan dengan derajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi
matriks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen.
A-λI det λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λ
n-2 + …+ c1λ+ c0
λI A -
= = 0
•persamaan
karakteristik
A-λI =
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Contoh
Mencari semua nilai eigen A= 2 0
4 1
Mencari semua penyelesaian persamaan
Mencari penyelesaian persamaan karakteristik
Nilai eigen A adalah 1
2
2,
1
det 2 - λ 0
= 0 4 1 - λ
( )( ) = 0
2 - λ
1 - λ 4
0
2 - λ 1 - λ
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Prosedur: menentukan nilai eigen
Diberikan matriks persegi A.
Nilai-nilai eigen A dapat diperoleh sebagai berikut:
1. Tentukan persamaan karakteristik det((A - λI) = 0
tuliskan A dan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi λ
2. (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke dalam persamaan
sukubanyak karakteristik:
λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λ
n-2 + …+ c1λ+ c0 = 0
3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah di atas. Nilai-nilai eigen
merupakan penyelesaian persamaan tersebut.
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Contoh: Menentukan nilai eigen
Diberikan matriks persegi
1. Tentukan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0
2. Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik:
3. Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen
1 1 1
0 3 3
2 1 1
A
2
1 1 1
det( ) det 0 3 3
2 1 1
(1 ) (3 ) 6 2(3 ) 3(1 )
A I
2(1 ) (3 ) (3 ) 0
2(1 ) (3 ) 6 2(3 ) 3(1 ) 0
( 2)(3 ) 0
Nilai-nilai eigen A:
λ1 = 0
λ2 = 2
λ3 = 3
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Nilai eigen matriks diagonal
Diberikan matriks diagonal
2 0 0 0
0 5 0 0
0 0 6 0
0 0 0 1
A
Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal
utamanya.
•Persamaan karakteristik:
•Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1
(merupakan entri diagonal utama)
2 0 0 0
0 5 0 0
0 0 6 0
0 0 0 1
A I
(2 )(5 )(6 )(1 ) 0
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Bagaimana menentukan apakah suatu
skalar merupakan nilai eigen? • Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen A.
Jawab:
Bentuk det(A-λI) untuk λ = 2, 0, 4. Jika det(A-λI) ≠ 0, maka merupakan nilai eigen, kalau = 0,
maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen A, 0 bukan nilai eigen A.
2 adalah nilai eigen A
0 bukan nilai eigen A
4 nilai eigen A
2 2 0
0 4 0
0 1 0
A
2 2 2 0
det( 2 ) det 0 4 2 0 0
0 1 0 2
A I
2 4 2 0
det( 4 ) det 0 4 4 0 0
0 1 0 4
A I
2 0 2 0
det( 0 ) det 0 4 0 0 8 0
0 1 0 0
A I
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Kelipatan skalar vektor eigen
• Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai
eigen 2. Selidiki apakah 1/2x, 10x, 5x juga vektor-vektor eigen A
1 1 1
0 3 3 ,
2 1 1
A
1 1 1 4 8
0 3 3 6 12 2
2 1 1 2 4
Ax x
1 1 1 40 80
(10 ) 0 3 3 60 120 2(10 )
2 1 1 20 40
A x x
12
2
3
1
x
4
6
2
x
20
5 30
10
x
40
10 60
20
x
Ax = 2 x A(10x) = 2 (10x)
A = x λ x
A = (10) λ (10) x x
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Kelipatan skalar vektor eigen
1 1 1
0 3 3 ,
2 1 1
A
1 1 1 4 8
0 3 3 6 12 2
2 1 1 2 4
Ax x
1 12 2
1 1 1 2 4
( ) 0 3 3 3 6 2( )
2 1 1 1 2
A x x
12
2
3
1
x
4
6
2
x
Ax = 2 x A(1/2 x) = 2 (1/2 x)
A = x λ x
Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalah vektor eigen terhadap nilai eigen yang sama
A = (1/2) λ (1/2) x x
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Menentukan semua vektor eigen Eλ
• Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua
vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.
• Vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 3 dapat diperoleh dengan
menyelesaikan SPL (A - λ I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A - λ I)
Null(A - λ I)
Null(A - λ I)-{0}
Himpunan semua penyelesaian
SPL (A - λ I)x = 0
Himpunan semua vektor eigen
bersesuaian dengan λ 0
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Ruang Eigen
0
Ruang penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0
Null(A - λ I)x
Ruang Eigen
Eλ
Ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ terdiri atas semua
vektor eigen yang bersesuaian dengan λ dan vektor nol
Null(A - λ I) = Eλ
Menentukan Eλ sama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Menentukan ruang eigen Eλ
• Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ = 3. Tentukan
semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3.
1 2 3
3
1 2 3
2 0
3 0
2 2 0
x x x
x
x x x
1
2 ,
0
a a R
1
2
3
1 3 1 1 0
( 3 ) 0 3 3 3 0
2 1 1 3 0
x
A I x x
x
SPL (A - 3 I)x = 0
Penyelesaian 1
2
3
2
0
x a
x a
x
Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ =3 :
Himpunan penyelesaian
1
2 , 0,
0
a a a R
1 3 1 1
0 3 3 3
2 1 1 3
A I
1 1 1
0 3 3
2 1 1
A
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Nilai eigen matriks pangkat
• Nilai eigen dari A adalah 0, 2, dan 3.
• Tentukan nilai eigen untuk
• Diberikan sembarang matriks A dan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya.
Maka terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga
Ax = λx kalikan kedua ruas dengan matriks A
A.Ax = A λx
A2x = λ(Ax) substitusi Ax dengan λx
A2x = λ2x jadi, λ2 merupakan nilai eigen A2
• Teorema: Jika n adalah bilangan bulat positif, λ nilai eigen matriks A, maka λn
adalah nilai eigen An
1 1 1
0 3 3
2 1 1
A
2 13 20
1 5 5
6 12 12 , ,
4 2 1
A A A
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Nilai eigen matriks singular
• Misalkan = 0 merupakan nilai eigen dari A.
Maka 0 merupakan penyelesaian persamaan karakteristik:
dengan menganti dengan 0, diperoleh c0 = 0.
Padahal det(A- I) = 0, dengan = 0, maka det(A) = c0 = 0.
Karena det(A) = 0 maka A tidak mempunyai inverse.
• Sebaliknya, det(A) = det(A - I) dengan mengambil = 0.Jadi det(A) = c0.
Jika A tidak mempunyai inverse, maka det(A) = 0 = c0.
Sehingga = 0 merupakan salah satu penyelesaian persamaan karakteristik;
= 0 merupakan salah satu nilai eigen dari A.
0 adalah nilai eigen A jika dan hanya jika A
tidak mempunyai inverse.
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Nilai eigen matriks transpose
Misalkan = 0 merupakan nilai eigen dari A,
maka det(A- I)= 0
Karena matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama,
maka det(A- I)T= 0
Karena (A- I)T = (AT- I) ,
maka det(AT- I)= 0
Jadi, adalah nilai eigen dari AT
A dan AT mempunyai nilai eigen yang sama
det(B) = det(BT)
(A- I)T = (AT- I)
A dan A-1 mempuyai nilai
eigen yang sama
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Diagonalisasi
Definisi: Matriks persegi A dapat didiagonalkan jika terdapat matriks yang
mempunyai inverse sedemikian hingga P-1AP = D adalah matriks diagonal.
5 6
3 4A
Contoh:
1 1 1
1 2P
2 1
1 1P
2 0
0 1D
P-1AP= 2 1
1 1
1 1
1 2
5 6
3 4
Matriks
diagonal
A dapat didiagonalkan
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Kapan matriks A dapat didiagonalkan?
• Teorema:
Jika A adalah matriks nxn, maka kalimat-kalimat berikut ini ekuivalen:
1. A dapat didiagonalkan
2. A mempunyai n vektor-vektor eigen yang bebas linier
Bukti (1) (2)
Diberikan A
Misalkan A dapat didiagonalkan, maka terdapat matriks P yang mempunyai inverse
Sedemikian hingga P-1AP = D matriks diagonal
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
p p p
p p pP
p p p
11 12 1
21 22 2
1 2
AP=PD
n
n
n n nn
p p p
p p p
p p p
1
2
0 0
0 0
0 0 n
D
1 11 2 12 1
1 21 2 22 2
1 1 2 2
n n
n n
n n n nn
p p p
p p p
p p p
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Kapan matriks A dapat didiagonalkan?
(lanjt) P-1AP = D, kalikan dengan P-1,
AP = PD
AP = PD, jadi
Karena P mempunyai inverse, maka kolom-kolmnya bukan kolom nol. Berdasarkan deinisi nilai eigen, maka λ1, λ2, λ3, …,λn merupakan nilai-nilai eigen A, dan kolom-kolom P adalah vektor-vektor eigen A yang bebas linier (karena P mempunya inverse)
Bukti untuk (2) (1) kerjakanlah sebagai latihan untuk memperdalam pemahaman.
1
2
0 0
0 0
0 0 n
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a aAP
a a a
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
p p p
p p p
p p p
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
p p p
p p pPD
p p p
1 1 2 2 n np p p
1 11 2 12 1
1 21 2 22 2
1 1 2 2
n n
n n
n n n nn
p p p
p p p
p p p
1 2 nAp Ap Ap
1 1 1 2 2 2 n n nAp p Ap p Ap p
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Prosedur mendiagonalkan matriks
• Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D.
Prosedur
1. Tentukan n vektor eigen A yang bebas linier, misalkan p1, p2, p3, …, pn
2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah p1, p2, p3, …, pn
3. Mariks D = P-1AP adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya
adalah λ1, λ2, λ3, …,λn dengan λj adalah nilai eigen bersesuaian dengan pj untuk
j = 1, 2, 3, …, n
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Contoh: mendiagonalkan matriks
• Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D.
Prosedur
1. Tentukan 2 vektor eigen A yang bebas linier. Pertama kita tentukan nilai-nilai eigennya
yaitu λ1= 2 dan λ2= -1 (telah dihitung sebelumnya). Tentukan vektor eigen bersesuaian
dengan nilai eigen, dengan menyelesaiakn SPL (A - λ I)x =0. Diperoleh
2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen di atas.
3. Matriks D = P-1A P adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2
berturut-turut
2 1
1 1P
1 1 1
1 2P
5 6
3 4A
1
2
1p
2
1
1p
2 0
0 1D
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Masalah Diagonalisasi dan masalah
vektor eigen
• Masalah vektor eigen
Diberikan matriks Anxn, apakah terdapat basis di Rn terdiri atas vektor-vektor
eigen?
• Masalah diagonalisasi
Diberikan matriks Anxn apakah terdapat matriks yang mempunyai inverse P
sedemikian hingga nP-1AP adalah matriks diagonal?
Teorema:
Anxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat n vektor eigen yang bebas
linier.
Padahal, setiap n vektor yang saling bebas linier di Rn merupakan basis Rn.
Kesimpulan: masalah vektor eigen sama dengan masalah diagonalisasi