nielsen chuang-4 3-2
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量子情報勉強会|13>担当分資料TRANSCRIPT
量子情報勉強会|13>(後半)Nielsen-Chuang exercise 4.21~
@gm3d2
Oct. 25, 2014池袋バイナリ勉強会会場
演習4.21 C2(U)
C1, C2 A B C 全体
0, 0 I I I I
0, 1 V V† I I
1, 0 I V† V I
1, 1 V I V U
V VV†
C1
C2
t
A B C
演習 4.22● figure 4.6を利用
V VV†
C1
C2
t
C
α
C1
C2
t
-α
B A A† B† C† C B A
α
α
演習 4.22 (2)●
C
α
C1
C2
t
-α
B A A† B† C† C B A
α
C
α
C1
C2
t
-α
B B† B A
α
演習 4.22 (3)●
C
α
C1
C2
t
-α
B B† B A
α
C
α
C1
C2
t
-α
B B† B A
α
演習 4.22 (4)●
=
C
α
C1
C2
t
-α
B B† B A
α
C
α
C1
C2
t
-α
B B† B A
α
演習 4.22 (5)●
C
α
C1
C2
t
-α
B B† B A
α
C
α
C1
C2
t
-α
B B† B A
α
6個のCNOT、8個の1 qubit ゲート
演習4.23
C AB
α
演習4.23(2)
はこの形に書けないので簡略化できない
演習 4.24● 下図がToffoliゲートの実装であることを示す
● C1C2=|00>、|01>、|10>、|11>の各場合に分けてそれぞれ|C1>、|C2>、|t>に作用する演算U1、U2、U3を調べる
H
C1
C2
t T† TT T†
T†
H
T†
T
S
演習 4.24(2)● C1C2 = |00>
H
C1
C2
t T† TT T†
T†
H
T†
T
S
演習 4.24(3)● C1C2 = |01>
H
C1
C2
t T† TT T†
T†
H
T†
T
S
演習 4.24(4)● C1C2 = |10>
H
C1
C2
t T† TT T†
T†
H
T†
T
S
演習 4.24(5)● C1C2 = |11>
H
C1
C2
t T† TT T†
T†
H
T†
T
S
演習 4.25 Fredkinゲートの構成
(1)a
b
c
a
b
c
演習 4.25 Fredkinゲートの構成(2)
(2)
|a> = |0>のとき
|a> = |1>のときは(1)に帰着
a
b
c
a
b
c
=
演習 4.25 Fredkinゲートの構成(3)(3)
(4) 不明!
a
b
c
V VV†
a
b
c
VW
V†
演習 4.26 簡略化Toffoliゲート
a
b
c
演習 4.27 quantum shift register?
e1・・・e7の巡回置換
演習 4.27 (2)
任意の置換は互換の積で表せる
qubit kをターゲットとするToffoliqubit iを制御入力とするFredkin
i qubitに作用するqNOT(Pauli X)
a
b
c
X X
k
i
演習 4.27 (3)
ハミング距離3は直接に構成できないので|101>を飛び石にする
図省略
演習 4.28 題意通りに解けていないので別解
という恒等式を利用 (m = 5)● 左辺の各項に対応する制御信号を用意● 正の項にはV、負の項にはV†を付与● 結果的にすべてのxが1のときのみ● その他のケースではVの0乗=I● この方法ではO(2^n)のゲートが必要● m = 5で31項
演習 4.28(2)
VV† V† V† V V† V V† V V† V† V V† V†
VV†V V† V† V V† VVV V V V† V V† VV
演習 4.28(3)必要な制御信号の組み合わせ(XORで結合):1 2 3 4 512 13 14 15 23 24 25 34 35 45123 124 125 134 135 145 234 235 245 3451234 1235 1245 1345 234512345
1 2 3 4 5 1 12 123 4 5
1 12 3 4 5 1 12 123 4 1235
1 12 123 4 5 1 12 123 4 5
1 12 123 1234 5 1 12 3 4 5
1 12 123 1234 12345 1 12 3 124 5
1 12 123 1234 5 1 12 3 124 1245
以下略
具体的な信号の遷移(54ステップ中最初の12ステップ)
演習 4.29
=
nビット制御入力を持つToffoli gate Cn(X)は、高々n-1個の作業ビットを使えばO(4n)=O(n)で実現できる
演習 4.29(2)
=
1ビットの作業ビットを持つことを許せばn制御入力を持つToffoli gateはO(n)で実現できる注意: 上図の分解は帰納的に適用するのではなく与えられたnに対して一度だけ行う(その後は前ページの方法を適用)
演習 4.30
U
=
V V† V
ターゲットラインをn-Toffoliの作業ビットとして使えるので前問の議論が成り立つCost(n) = O(1) + O(n) + Cost(n-1)∴ Cost(n) ~ O(n^2)
演習 4.31
単なる計算につき省略