nie-kommutatiewe sigma model
TRANSCRIPT
’n Nie-Kommutatiewe σ-model
M. van den Worm1
1Department FisikaUniversiteit van Pretoria
Studentesimposium in die Natuurwetenskappe
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 1 / 39
Uiteensetting
1 Motivering
2 Die Kwantumtorus
3 Derivasies en die gladde *-albegra A∞θ
4 Nie-kommutatiewe Polyakov-Aksie
5 Eindig dimensionele voorstelling
6 Bestaansstellings
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 2 / 39
Motivering
Stringteorie - ’n Kort inleiding
Σ
X
ϕ
x
y
t
τ
σ
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 3 / 39
Motivering
Stringteorie - ’n Kort inleiding
Basiese Ideesϕ : Σ→ XParameterruimte Σ, met koördinate σ en τWêreldtyd X , met d ruimtelike en 1 tyd koördinateArea in wêreldtyd kan beskryf word deur Xµ(τ, σ)
Enige vaste punt in parameterruimte word afgebeeld na
ϕ(τ, σ) =(
X 0(τ, σ),X 1(τ, σ), · · · ,X d (τ, σ)).
τ - tyd op die stringσ - posisie op die string
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 4 / 39
Motivering
Stringteorie - ’n Kort Inleiding
Vrye puntdeeltjieBeskou die aksie in Lagrange meganikaAksie is direk eweredig aan die werklike tydWerklike tyd = lengte van wêreldlyn in XMinimeer die aksie om bewegingsvergelykings te kryOns het dan al die dinamika van die puntdeeltjie
∂L∂x
=ddt∂L∂x
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 5 / 39
Motivering
Stringteorie - ’n Kort inleiding
Nambu-Goto-Aksie
SNG = −T0
c
∫ τf
τi
∫ σ1
0
√(∂ϕ
∂τ
∂ϕ
∂σ
)2
−(∂ϕ
∂τ
)2(∂ϕ∂σ
)2
dτdσ
met T0 die spanning in die string en c die spoed van lig.
Werklike Area
Awerklik =
∫ τf
τi
∫ σ1
0
√(∂ϕ
∂τ
∂ϕ
∂σ
)2
−(∂ϕ
∂τ
)2(∂ϕ∂σ
)2
dτdσ.
Minimeer die area om die bewegingsvergelykings te kry.
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 6 / 39
Motivering
Stringteorie - ’n Kort Inleiding
Polyakov-AksieMeer natuurlike keuse in moderne stringteorie is diePolyakov-Aksie
S = −14πα′
∫ √−hhαβ∂αX µ∂βX νηµνdτdσ
Ekwivalent aan die Nambu-Goto-Aksie en gee dieselfdebewegingsvergelykings
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 7 / 39
Motivering
Kompaktifisering van die parameterruimte
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 8 / 39
Motivering
Kompaktifisering van die parameterruimte
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 9 / 39
Motivering
Wat wil ons doen?
Doel:Vervang Σ en X met nie-kommutatiewe C∗-algebrasBepaal nie-kommutatiewe veralgemenings van die Polyakov-AksieBestaan sulke afbeeldings?Konstrueer ’n eindig dimensionele voorstelling
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 10 / 39
Die Kwantumtorus
Die Kwantumtorus
Konstruksie van AθLaat f ∈ L2(T2) en definieer die operatore
Uf (x , y) = e2πix f(
x , y +θ
2
)Vf (x , y) = e2πiy f
(x − θ
2, y)
Ons kan maklik aantoon dat U en V
UV = e2πiθVU
gehoorsaam en beide unitêr is.
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 11 / 39
Die Kwantumtorus
Die Kwantumtorus Aθ
Kwantumtorus AθIs die C∗-algebra voortgebrind deur twee unitêre operatore U and V
wat die kommutasie relasie
UV = e2πiθVUgehoorsaam.
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 12 / 39
Die Kwantumtorus
Die Kwantumtorus
Aθ in die klassieke limietIn die klassieke limiet, θ = 0 reduseer U en V na
U = U(x , y) = e2πix
V = V (x , y) = e2πiy
Verder het ons ook UV = VUDie C∗-algebra voortgebring deur U en V is abelsIn die klassieke limiet het ons A0
∼= C(T2)
Dit verklaar dan ook waarom ons praat van die kwantumtorus
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 13 / 39
Die Kwantumtorus
Die unieke spoor op Aθ
Kanoniese spoor op AθDefinieer ’n lineêre funksionaal τ as volg: vir enige a ∈ Aθ
τ(a) := 〈Ω,aΩ〉 =
∫aΩ(x , y)dxdy
τ ’n spoor op Aθτ is uniek (...die kanoniese spoor)
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 14 / 39
Derivasies en die gladde *-albegra A∞θ
Derivasies
Definisie van ’n DerivasieLaat A ’n ∗-algebra wees met δ ’n linêre afbeelding van A na homself.δ is ’n ∗-derivasie as
δ(xy) = δ(x)y + xδ(y),
δ(x∗) = δ(x)∗
vir elke x , y ∈ A.
Waarom derivasies?Ons gebruik derivasies as die veralgemenings van parsiële afgeleideswanneer ons werk met operatorwaardige funksies.
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 15 / 39
Derivasies en die gladde *-albegra A∞θ
Die gladde *-algebra A∞θ
Definisie van A∞θLaat (A,Rn, α) ’n C∗-dinamiese stelsel wees. Ons sê dat x ∈ A van dieklas C∞ is, as en slegs as die afbeelding g 7→ αg(x) vanaf Rn na diegenormeerde ruimte A, C∞ is (m.a.w alle orde parsiële afgeleidesbestaan en is goed gedefinieer). Die gladde kwantumtorus wordgedefinieer as
A∞θ := a ∈ Aθ : a is van klas C∞ .
So paar opmerkings oor A∞θA∞θ is ’n *-algebraA∞θ is dig in AθOns gaan derivasies op A∞θ definieer
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 16 / 39
Derivasies en die gladde *-albegra A∞θ
Die derivasies op A∞θ
Derivasies op A∞θLaat a ∈ A∞θ en definieer die volgende
δ1(a) :=ddrαr ,0(a)
∣∣∣∣r=0
, δ2(a) :=ddsα0,s(a)
∣∣∣∣s=0
Ons kan aantoon dat die δi ’s derivasies is vir i = 1,2In die klassieke limiet, θ = 0 sien ons dat
δ1 =∂
∂x, δ2 =
∂
∂y
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 17 / 39
Nie-kommutatiewe Polyakov-Aksie
Die nie-kommutatiewe Polyakov-Aksie
Ons begin met die gewone Polyakov-aksie
S =−1
4πα′
∫ √−hhαβ∂αXµ∂βX νηµνdσ1dσ2,
Stel al die konstantes gelyk aan 1Gebruik die Euklidiese metriek vir beide hαβ en ηµνDit stel ons in staat om die aksie te skryf as
S =
∫∂αXµ∂αXµdσ1dσ2.
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 18 / 39
Nie-kommutatiewe Polyakov-Aksie
Die nie-kommutatiewe Polyakov-Aksie
Laat Σ en Rn die twee dimensionele parameterruimte enwêreldtyd onderskeidelik wees en beskou die afbeelding
g : Σ→ Rn, g(σ1, σ2) =(
X 1(σ1, σ2), · · · ,X n(σ1, σ2))
Stel belang in die algebraïse raamwerkDefinieer die afbeelding
ϕ : C(Rn)→ C(Σ) : f 7→ f g.
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 19 / 39
Nie-kommutatiewe Polyakov-Aksie
Die nie-kommutatiewe Polyakov-Aksie
Let op dat[∂αeiX 1g
]∗∂αeiX 1g + · · ·+
[∂αx iX ng
]∗∂αeiX ng = (∂αXµ)∗ ∂αXµ
Hierdie lei ons om die volgende unitêre operatore te definieer
Uµ := eiXµ
Waarna ons die Polyakov-aksie kan uitdruk as
S =
∫[∂αϕ(Uµ)]∗ ∂αϕ(Uµ)dσ1dσ2.
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 20 / 39
Nie-kommutatiewe Polyakov-Aksie
Die nie-kommutatiewe Polyakov-Aksie
Spesialiseer na A0∼= C(T2)-geval
Laat beide Σ en X torusse, T2 weesg en ϕ word
g : T2 → T2
ϕ : C(T2)→ C(T2)
Die voortbringers van A0 word
U1 = U(x , y) = e2πix
U2 = V (x , y) = e2πiy
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 21 / 39
Nie-kommutatiewe Polyakov-Aksie
Die nie-kommutatiewe Polyakov-Aksie
Die Polyakov-aksie was
S =
∫[∂αϕ(Uµ)]∗ ∂αϕ(Uµ)dσ1dσ2.
Die kanonisie spoor was gedefinieer as
τ(a) =
∫aΩ(σ1, σ2)dσ1dσ2
In die klassieke limiet herskryf ons die aksie as
S = τ [δ1 (ϕ(U))∗ δ1(ϕ(U))δ1 + δ2 (ϕ(U))∗ δ2(ϕ(U))+
δ1 (ϕ(V ))∗ δ1(ϕ(V )) + δ2 (ϕ(V ))∗ δ2(ϕ(V )) ]
waar die δi net die normale parsiële afgeleides is.
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 22 / 39
Nie-kommutatiewe Polyakov-Aksie
Die nie-kommutatiewe Polyakov-Aksie
Die nie-kommutatiewe Polyakov AksieDie natuurlike verlagemening van die Polyakov-aksie na dienie-kommutatiewe C∗-algebra Aθ word gegee deur
S(ϕ) = τ [δ1(ϕ(U))∗δ1(ϕ(U)) + δ2(ϕ(U))∗δ2(ϕ(U))
+δ1(ϕ(V ))∗δ1(ϕ(V )) + δ2(ϕ(V ))∗δ2(ϕ(V ))]
waar ϕ : AΘ → Aθ en δi normale derivasies is.Ons kan dit herskryf as
S (ϕ) =2∑
k=1
2∑l=1
τ [δk (ϕ(Ul))∗ δk (ϕ(Ul))]
waarU1 := U, U2 := V .
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 23 / 39
Eindig dimensionele voorstelling
M2(C) geval
Die geval van M2(C)
Beskou die spesiale geval van 2× 2 matrikse met imaginêreinskrywingsBeskou die matrikse
u =
(1 00 −1
), v =
(0 11 0
)wat
uv = qvu, q = exp(
ikr2
)= exp (iπ) = −1
gehoorsaam
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 24 / 39
Eindig dimensionele voorstelling
M2(C) geval
Beskou *-homomorfie ϕ : M2(C)→ M2(C)
Alle sulke *-homomorfieë moet noodwendig *-outomorfieë wees
Tegniese aspek
Eindige dimensies impliseer B(H) = K (H)
Alle *-outomorfieë van K (H) het die form
AdU : A 7→ UAU∗
waar U ’n unitêre operator in K (H) isSo ons hoef slegs na A 7→ UAU∗ te kyk!
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 25 / 39
Eindig dimensionele voorstelling
Eindig dimensionele voorstelling
Parametrseer SU(2)
Ons wil graag (nie-kommutatiewe) padintegrale berekenVir ’n normale padintegral neem ons die “som” oor al die veldeHier neem ons die “som” oor alle AdU met U ∈ SU(2)
Parametriseer al die matrikse in SU(2)
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 26 / 39
Eindig dimensionele voorstelling
Eindig dimensionele voorstelling
Parametriseer SU(2)
Ons kan enige unitêre matriks g ∈ SU(2) uitdruk as ’n funksie vanEuler-hoeke as:
g(φ, θ, ψ) =
(cos θ
2ei φ+ψ2 i sin θ
2ei φ−ψ2
i sin θ2e−i φ−ψ2 cos θ
2e−i φ+ψ2
).
0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ ψ ≤ 4πVerder kan ons ook die maat bepaal
dµ(g) =1
16π2 sin θdθdφdψ met∫
SU(2)dµ(g) = 1
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 27 / 39
Eindig dimensionele voorstelling
Eindig dimensionele voorstelling
Padinntegral op SU(2)
Die parametrisasie gee al die elemente van SU(2)
Die Polyakov-aksie word nou (met die hulp van Mathematica)geskryf as
S(ϕ) =2∑
k=1
2∑l=1
Tr [δk (gulg∗)∗ δk (gulg∗)]
=1
16r2 e−2i(φ+ψ)[−4(−1 + e4iφ
)(−1 + e4iψ
)cos(θ)−(
1 + e2iφ)2 (
1 + e2iψ)2
cos(2θ)+
4e2i(φ+ψ)(21 + cos(2φ)(1− 3 cos(2ψ)) + cos(2ψ))].
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 28 / 39
Eindig dimensionele voorstelling
Eindig dimensionele voorstelling
Padintegraal op SU(2)
Padintegraal is maar net ’n partisiefunksieGebruik aksie om partisiefunksie te konstrueer
Z (ϕ) =
∫SU(2)
e−S(ϕ)dµ(g)
=1
16π2
∫ 4π
0
∫ 2π
0
∫ π
0e−S(ϕ) sin θdθdφdψ.
Grafiese voorstelling?
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 29 / 39
Eindig dimensionele voorstelling
Eindig dimensionele voorstelling
2 4 6 8 10
r
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
ZHAdUL
Figuur: Partisiefunksie as ’n funksie van r
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 30 / 39
Eindig dimensionele voorstelling
Eindig dimensionele voorstelling
2 4 6 8 10
r
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
SminHAdUL
Figuur: Minimum van diepartisiefunksie as ’n funksievan r . Ons kan ’n eksakteformule bepaal: Smin = 4r−2
2 4 6 8 10
r
1
2
3
4
5
SmaxHAdUL
Figuur: Maksimum van diepartisiefunksie as ’n funksievan r . Ons kan ’n eksakteformule bepaal Smax = 6r−2
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 31 / 39
Eindig dimensionele voorstelling
Eindig dimensionele voorstelling
4.2
4.2
4.2
4.2
4.2
4.2
4.4 4.4 4.4
4.4
4.4 4.4
4.6
4.6
4.6 4.6
4.64.6
4.8
4.8
4.84.8
4.8
4.8
5
5
5
5
5
5
5.2
5.25.2
5.25.2
5.2
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4 5.4
5.6
5.6
5.6 5.6
5.65.6
5.8
5.85.8
5.8
5.8
5.8
6 6
6 6
6 6 6 666
0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Figuur: Kontoerkromme vandie partisiefunksie vir ψ = 0 enr = 1.
4.24.2
4.24.2
4.2 4.2
4.24.2
4.44.4
4.4
4.4
4.4 4.4
4.44.4
4.64.6
4.64.6
4.64.6
4.64.6
4.8 4.8
4.84.8
4.84.8
4.84.8
5 5
5
5
5
5
5
5
5.2 5.2
5.25.2
5.25.2
5.25.2
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.6
5.6
5.6
5.6
5.6
5.6
5.65.6
5.8
5.8
5.8
5.8
5.8
5.8
5.8
5.8
6
66
6 6
6
66
6
6
6
6 6
6
6
6 6
6
6 6
6
6
6
6
66
66
6 6
6 6
6
6
6
6
6
6
0 1 2 3 4 5 6
0
2
4
6
8
10
12
Figuur: Kontoerkromme vandie partisiefunksie vir θ = π
2 enr = 1.
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 32 / 39
Eindig dimensionele voorstelling
Eindig dimensionele voorstelling
Wat beteken al hierdie?In klassieke σ-modelle het eindige aantal kretieke punteDie kritieke punte is daardie wat die Euler-Lagrange vergelykingsgehoorsaamIn die klassieke benadering sal hierdie die fisiese trajekte weesM2(C)-geval dui dat daar oneindig veel kritieke punte isEikteorie kan moontlik helpTot dusver het die besonderhede ons ontwyk...
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 33 / 39
Bestaansstellings
Bestaansstellings
Wat is volgende?Vervang Σ en X met onderskeidelik AΘ en AθWaar Θ 6= θ in die algemeenBestaan daar afbeeldings van die form ϕ : AΘ → Aθ?
Sonder sulke afbeeldings kan ons nie’n nie-kommutatiewe σ-model hê nie!
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 34 / 39
Bestaansstellings
Bestaanstellings
Die bewyse van hierdie stellings is baie tegnies en maak gebruikvan onder andere
C∗-algebrasK-teorie, enMorita ekwivalensie
Die bewyse word nie hier gestaaf nie
Stelling (Eenvoudigste geval)
Kies Θ en θ in (0,1), beide irrasionaal. Daar bestaan ’n unitale*-homomorfie ϕ : AΘ → Aθ, as en slegs as, Θ = cθ + d virc,d ∈ Z, c 6= 0. So ’n *-homomorphism ϕ kan gekies word om ’nisomorfie op sy beeld te wees, as en slegs as, c = ±1.
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 35 / 39
Bestaansstellings
Bestaanstellings
Stelling (Meer algemene geval)
Kies Θ en θ in (0,1) beide irrasionaal en n ∈ N,n ≥ 1. Daar bestaan ’nunitale *-homomorfie
ϕ : AΘ → Mn(Aθ)
as en slegs as, nΘ = cθ + d vir c,d ∈ Z en c 6= 0. So ’n *-homomorfiekan gekeis word om ’n isomorfie op sy beeld te wees, as en slegs as,n = 1 en c = 1.
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 36 / 39
Bestaansstellings
Opsomming
Om mee op te som:Kwantumveldteorie en stringteorie benodig streng wiskundigefondasiesNatuurlikste manier is om van operator algebras gebruik te maakHoekom nie-kommutatief?
By baie hoë energieë (“Large Hardron Collider”) is die landskapnie-kommutatiefNatuurlike gereedskap bestaan uit operator algebras
klassieke fisika ⊂ kwantumfisika ⊂ kwantumstringteorie
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 37 / 39
Bestaansstellings
Dankbetuigings
Baie dankie aan...Dr. Rocco DuvenhageDepartement FisikaHalfgeleier GroepDepartement Wiskunde en Toegepasde WiskundeNITheP
Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 38 / 39