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Alternierende Differentialformen Kohomologie
Differentialformenkalkül
Nicole Weber
Seminar: Differentialformen in Natur und TechnikWS 2008/2009
02.12.08
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Gliederung
1 Alternierende DifferentialformenAlternierende DifferentialformenOrientierungenDarstellungen der alternierenden Tensoren und FormenOperationen mit alternierenden FormenPullbackHodge-Stern Operator
2 KohomologieDas Poincare-LemmaDie KohomologieTopologie
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Alternierende Differentialformen
Alternierende Differentielformen
Eine alternierende Differentialform (auch k-Form genannt)setzt sich zusammen aus einer gewöhnlichenDifferentialform und einer Orientierung Ω.Der Unterschied zwischen einer gewöhnlichen und eineralternierenden k-Form liegt also lediglich in derOrientierung Ω.
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Alternierende Differentialformen
Notation
1 Eine alternierende k-Form wird mit (α,Ω) bezeichnet.Wobei Ω die Orientierung des Raumes angibt, der dieMannigfaltigkeit umgibt.
2 Einen Vektorraum der alternierenden k-Formen auf Vbezeichnet man mit:AltkV
Beispiele:
Alt0V = RAlt1V = V ? (der Dualraum von V)
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Alternierende Differentialformen
Definition: alternierende Tensoren
Ein alternierender Tensor (ω,Ω) ist ein Paar, das aus einemgewöhnlichen Tensor ω und einer Orientierung Ω besteht.
(ω,Ω) ≡ (−ω,−Ω)
mit −Ω = entgegengesetzte Orientierung von Ω
Bemerkung:Auch hier unterscheiden sich alternierende Tensoren vongewöhnlichen lediglich durch die Orientierung Ω
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Alternierende Differentialformen
Beispiel:
gewöhnliche Vektoren und eine Raumorientierung bildenzusammen die alternierenden Vektoren.
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Alternierende Differentialformen
Beispiel: Möbiusband
Betrachten wir ein Möbiusband.Wir wollen ein durchgängiges Vektorfeld mit einheitlicherOrientierung finden:
Mit gewöhnlichen Vektoren ist dies nicht möglich.Mit alternierenden Vektoren kann man ein solchesVektorfeld bilden.
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Orientierungen
Definition: Orientierung
Ein orientierter VR ist ein Paar (V ,or) bestehend aus einemendlich dimensionalen VR V und einer Orientierung or.Der VR kann entweder positiv oder negativ orientiert sein.
Es gibt zwei Möglichkeiten einen VR zu orientieren:
1 Wahl einer Basis aus n Vektoren, die einen Vektorraumaufspannen.
2 Wahl einer Basis aus n 1-Formen, welche den Dualraumaufspannt.
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Orientierungen
Man unterscheidet innere und äußere Orientierungen:
innere OrientierungOrientierung eines k-dimensionalen UVR durch eine Basisaus k 1-Formend.h. Die Einbettung eines geometrischen Objektes in denVR ist unabhängig vom VR.
äußere Orientierung bzw. transversale OrientierungOrientierung eines k-dimensionalen UVR durch eine Basisaus (n-k) 1- Formen, deren Dachprodukt eine (n-k)-Formist und ungleich 0 ist.d.h. Die Einbettung eines geometrischen Objektes in denVR wird durch die Orientierung beschrieben.
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Orientierungen
Bemerkung:Die Raumorientierung ergibt sich aus der inneren und deräußeren Orientierung
Beispiel:
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Orientierungen
Bemerkungen:Differentialformen weisen unterschiedliche Orientierungenauf:
alternierende k-Formen haben eine innere Orientierunggewöhnliche k-Formen haben eine äußere Orientierung
auch Vektoren unterscheiden sich bezüglich ihrerOrientierung:
alternierende Vektoren haben eine äußere Orientierunggewöhnliche Vektoren haben eine innere Orientierung
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Darstellungen der alternierenden Tensoren und Formen
Alternierende Vektordarstellungen
Darstellung eines alternierenden Vektors in R2 und in R3
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Darstellungen der alternierenden Tensoren und Formen
Alternierende Vektordarstellungen
Dualität zwischen alternierenden 1-Formen und alternierendenVektoren im R2
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Darstellungen der alternierenden Tensoren und Formen
Alternierende Vektordarstellungen
Dualität zwischen alternierenden 1-Formen und alternierendenVektoren im R3
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Darstellungen der alternierenden Tensoren und Formen
Addition
Addition gewöhnlicher und alternierender 1-Formen in R2
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Darstellungen der alternierenden Tensoren und Formen
Darstellung alternierender 2-Formen
Darstellung eineralternierenden 2-Form imR3
zusammengesetzt ausalternierenden Bivektoren
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Darstellungen der alternierenden Tensoren und Formen
verschiedene Darstellungsschemata
Darstellung eines alternierenden Vektors als Paar aus einemgewöhnlichen Vektor und einer Orientierung
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Darstellungen der alternierenden Tensoren und Formen
verschiedene Darstellungsschemata
Darstellung einer alternierenden 1-Form im R2
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Operationen mit alternierenden Formen
Das Dachprodukt
Erinnerung:Mit (α∧ β) wird das Dachprodukt (bzw. Äußeres Produkt) bezeichnet.
Das Dachprodukt einer alternierenden und einer gewöhnlichen Formist wiederum alternierend. Es gilt:
(α ∧ β,Ω) = (α,Ω) ∧ β = α ∧ (β,Ω)
Die dadurch gegebene Orientierung erfüllt:
α ∧ (β,Ω), α = (β,Ω)
mit α = Orientierung der Differentialform α.
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Operationen mit alternierenden Formen
Die äußere Ableitung
Die äußere Ableitung einer alternierenden Form α ist wiederumalternierend. Es gilt:
d(α,Ω) = (dα,Ω)
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Pullback
Pullback
Konstruktionen, die ausgehend von einer Abb. Ψ:X Y einemObjekt x ∈ Y mit f : Y R ein entsprechendes Objekt aus Xliefert. Es wird mit (Ψ∗f )(x) bezeichnet. Man erhält die Abb.(Ψ∗f ) : X R mit:
(Ψ∗f )(x) = f (Ψ(x))
Bemerkung:Sei η die transversale Orientierung, dann hat der PullbackΨ∗(α,Ω) folgende Orientierung:
η ∧Ψ∗(α,Ω) = (α,Ω)
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Pullback
Beispiel: Pullback
Pullback eineralternierenden 2-Form imR3 zu einer Oberfläche mittransversaler Orientierungim R2
innere Orientierung der2-Form und äußereOrientierung derOberfläche bestimmenVorzeichen.
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Hodge-Stern Operator
Hodge-Stern Operator
Erinnerung:Der Hodge-Stern Operator hat die Aufgabe, p-Formen aufalternierende (n − p)-Formen im Rn abzubilden.
Notation:Wir kennzeichnen den neuen Sternoperator mit (?,Ω)
Definition:Wir definieren (?,Ω) so, dass:
(?,Ω)(α,Ω) = ?α
(?,Ω)α = (?α,Ω)
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Hodge-Stern Operator
Beispiel:Der ?-Operator bildet eine 2-Form auf eine alternierende1-Form ab.
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Das Poincare-Lemma
Definition: geschlossen, exakt
Definition:Sei V ⊂ Rn offen und 1 ≤ k ≤ n. Sei ω eine k-Form aufV , dannheißt
ω geschlossen, wenn ω differenzierbar ist mit dω = 0.
ω exakt, wenn es eine differenzierbare (k-1)-Form α aufVgibt mit dα = ω
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Das Poincare-Lemma
Definition:
Ein Gebiet G ⊂ Rn heißtkomprimierbar zu einem Punktp, falls es einen Punkt p ∈ Ggibt,so dass sich das ganzeGebiet zu diesem Punkt preduzieren kann.
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Das Poincare-Lemma
Lemma von Poincare
Das Lemma von Poincare:Sei G ⊂ Rn ein offenes, zu einem Punkt p ∈ Gkomprimierbares Gebiet. Sei ω eine stetig differenzierbarek-Form (1 ≤ k ≤ n) auf G mit dω = 0.Dann existiert eine stetig differenzierbare (k-1)-Form α auf Gmit
ω = dα
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Das Poincare-Lemma
Beweisidee:Man kann zeigen, dass man jeder k-Form ωk =
∑ωidx i eine
(k-1)- Form P(ωk ) zuordnen kann, mit:
ωk = P(dωk ) + dP(ωk )
Dabei ist die (k-1)-Form P(ωk ) vom Grad (k-1).für geschlossene Formen verschwindet schließlich der 1. Term⇒ Behauptung.
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Das Poincare-Lemma
Als Umkehrung dieses Lemmas erhält man folgenden Satz:
Satz:
Ist ω auf der offenen Menge G exakt, so ist ω geschlossen.
Beweis:Da ω exakt ist, wissen wir: dα= ωSomit erhalten wir: d(ω) = d(d(α)) = 0
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Die Kohomologie
Die Kohomologie
Die Kohomologie befasst sich mit dem Problem, exaktek-Formen zu finden.In anspruchsvollen Mannigfaltigkeiten ist allerdings nichtmehr jede geschlossene k-Form auch exakt.
⇒ Suche nach weiteren Möglichkeiten,um exakte k-Formen zufinden
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Die Kohomologie
Definieren wir Hr als eine Reihe von Vektorräumen mitElementen folgender Art:
"abgeschlossene r-Formen modulo exakte r-Formen"
Man nennt sie auch die Kohomologieklassen.
⇒ d.h. zwei abgeschlossene Formen im Hr sind äquivalent,wenn sie sich durch eine exakte r-Form unterscheiden.
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Die Kohomologie
Beispiel:
Nach dem Lemma von Poincare gilt:Im Rn ist jede abgeschlossene Form auch exakt
⇒ Hr = "geschlossene r-Formen modulo exakte r-Formen" = 0∀r
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Topologie
Definitionen
Unter einer Kette versteht man eine Linearkombination vonSubmannigfaltigkeiten bzw. Integrationswegen.
∫k1Γ1+k2Γ2
ω = k1∫
Γ1ω + k2
∫Γ2ω
Mit Γi = Submannigfaltigkeiten bzw. Integrationswegen undki ∈ RDen Rand einer Kette c bezeichen wir mit ∂c.Eine geschlossene Kette,d.h. eine Kette ohne Ränder, wirdals Zykel bezeichnet.
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Topologie
Bemerkung:
Man unterscheidet zwischen Zyklen und Zyklen, diezugleich Ränder sind. Die wichtigsten topologischenInformationen erhält man allerdings aus den Zyklen, diekeine Ränder sind.
Zyklen, die zugleich Ränder sind, sind uninteressant, dasich ihr Integral über die geschlossenen Formen aufhebt.
∫∂Γ ω =
∫Γ dω = 0
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Topologie
Homologieklassen
Definition:
Die Homologieklasse Hr wird definiert als:
"r-Zyklen modulo r-Zyklen, die zugleich Ränder sind"
⇒ d.h. zwei r-Zyklen sind äquivalent in Hr , wenn sie sich nurum einen r-Zykel, der zugleich ein Rand ist, unterscheiden
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Topologie
Beispiel:
Betrachte den R2 ohne die Einheitskreisscheibe. Hr ist1-dimensional und alle Zyklen sind geschlossene Kurven.
Zyklen, die die Umgebung nicht umlaufen, sind Rändervon Teilgebieten.2 unterschiedliche Zyklen, die jeweils einmal dieUmgebung umrunden, sind zusammen ein Rand einesneuen ringförmigen Gebietes.Zyklen, die die Umgebung k-mal umkreisen, sind gerade keinfache Zyklen.
⇒ Der VR H1 ist 1-dimensional.
Alternierende Differentialformen Kohomologie
Topologie
Theorem 1:Die Vektorräume Hr (M) und Hr (M) sind isomorph zueinander.
Beispiel:Betrachte den R2 ohne k Umgebungen.
Der VR hat k Zyklen, die keine Ränder sind.Folglich hat der VR k unabhängige geschlossene1-Formen, die nicht exakt sind.
Theorem 2:Eine abgeschlossene r-Form ist genau dann exakt, wenn seinIntegral über alle r-Ketten verschwindet.