nias · created date: 5/30/2016 3:49:44 pm
TRANSCRIPT
-
APP隆こ施 ルθ′燿嵐たsメフ「
Eπ♂隅θθπ″gβ rC力 qP`θ■5
第5章 留数 の定理 と 定積分 の計算
本章では,前章で説明したコー汁の積分定理や特異点周リローラン晨関の結果を用いて,応用上菫姜な (特に,工学
分野においては)留数の定理を等く.えに, その定理を用いることにより,種 々の定積分 (実 数の範囲では,と ても
積分できそうになかったものも合めて。)を レヒ較的容易に計算できる様子を,幾つかの簡単なク1を 挙げて説明する。
§5.1留 数 の定 理さて,点 Z。 が路数 バζ)の孤立特異点であるとき,前章
“
″2),(4。73)式に示す ように, バ z)は だ=Z。
月 りにローラン展。開で きて,
Σ b"(z― zO)“
… +潰静+漬
静+義 +為 +職 ―a+職 ―為メ+,バ z― が +…
一一
〓
ノ
・・・ (5。 1)
仁 し, b″ =′々ズ
几・一笏
のように言 くことができる。
今,点 Z。 の周 りを工の向きに 1月 する閉由象をCと するとき,(z―ζO)・ (仁 し,"は整数)の 周口積
分 は ,
1¨ 旧髄:;れた11よ1 ■ 11となる。こ薇は, §4。3で負系の場合に対 して得 らiつま
(:_lI丁重亀:二 1 」ユtl:ご
I¬匙手φと言けるから,左辺の積分tl,
一方,ol)式の級数が一様颯来であることか ら,項別積分が可能である。
か ら,
(5。 3)
そのとき,o2)式の結果
b r‥九
∞Σ潤L
ごをΣd
一一
〓
ごノr几
茂
茂
生
=名∴島 =2■ム ………………00ずる。このとき、の♭_Lを点 Z。 でのノ(z)の "留 数 "と 云のように, ″=-1の項からのみ積分値を
い,近常 "R"と 記すものである。また, z tt z。 が, ノ(Z)の
“位の極であ
Ю = + +…となる ((475)式 の再記)。 このとき,
(z_z。 )3ノ(Z)=b_“ +b… 1(z― z。 )
のように,工累の級数となる ((476)式 の再亀).上式の両辺を
“-1口微分 して, z=zOと 置くと,
鞠“
僣 ras爾抽"arAPFル
ごs磁““
‐33‐
るときは,(5。 1)式 の晨開形は,
+Z― ZO+夕。十bl(ζ ―乙。)+…“
`仁
し,b_.≠ 0)
(Z― Z。 )・ ノ(Z)は ,
+・・・・・・ +b_1(z― z。 )・~1
+ b。 (Z― Z。 )3+ bl(こ ―Z。 )・・1 + :・
"・・ °・ ●●`●
●(5。 6)
●●●●●●(5.5)
■,“″″“
「
OH
-
鮮(は∂70)L=“ =らい口………………………囲を得, この式から留数 b_1が 求めら薇る。特に, 4=1の ときは,
に一為)Aの L=恥 =L……………………………………………6めとなることが分か る.
また, ag。 5。 1に示すように,工の回り向きの開
曲象 cの 中に, た個の孤立点Zl,Z2,…¨
'Zたがあると
き, こねらの点を囲む九分′1ヽ さい工の口り負きの関
曲線Cl,C2'… "'Cた を作 ると,“。31)式 Q多 重違総額
裁に対するコーシ"の積分た理によみ,
1ノ(Z)ごZl二 ∴ノ∫(Z)ごZ………(5.9)
と な る 。 こ こ に ,・ 点 Zl.Z2● …°°
OZ彙 で の √ 00著 数
をそれぞ薇Rl,R2'……9Rた とすると, cノ に関する書
令値は
11ゴ 1.JRブ … … … …6・°
となることから,結局 タト周 Cに 関する‐積分は(5。 9)式
により,上式の総わを撃って,
∫σO茂のようによよる。
=笏Д烏……‐ЯL纏めると次のよ江者に以上のことを"留裁Q定理 "と し
【定理 5。 1】
工の向きに1月 する閉由象 Cの 中に, バζ)の孤立特異点Z1/2,…¨
'Zたがあつて,
それらの点でのバィ)の 留数をRl,R2'…・・°'Rた
とするとき, ノ(Z)の 周口積分は
のように,そ 薇ぞれの留数の然和に2π Jを 乗じた結果として求めら薇る
また,ノ(Z)の“位の極 zブ での留数 Rプ は,
容易に求よる。
ユ5。 、2定 積 分 の計 算 (i)本節では,前節で幸いた"留数の定理 "を 用いて,
黒限区間に互るた積分の対算を行なう.
【例題 5。 1】 典型的な例として,
1‐ 島 … …………… 的のようなえ積分を苛算 してみよう。
[解 ]今 ,バう=岩 ……………くユЮ
を考えよう.こ のとき,
で二る ち11:・i種 追t鼻つことになる.
ag.5.1
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●「
●●●・・・・ (5312)
ことになる。∴知茂=第ニト+L雀……名・・R.l
け |♯ ti」 … ……動
って,計算することができ,特 :|
Rブ =位―衡)Aの L=行 ………………………………………i……く鋤
ご=“Fθどθ
=ゝ.5。 2
「agasa″ルstt arAPFルごSc滋″c″ ‐3イ ‐ nFFra“
“
IoRI
-
り脚一仰Om 雄切ぬ
i
り
言
の
る
る
つヽ
と
る
つ
関
も
る
つヽ
,
、っ
5。と
、っ
の
そ
よ
を
1
こ
あ
あ
よ
,
あ
よ
る
た
な
よ
得
よ
注
ず
よ
後
1
て
で
で
の
は
‐で
に
な
い
と
の
を
の
I
わ
の
以
[注5.2]こ のク1題 の封算からも分かるように,原 点を中Cと する半径 ン の円弧 (01≦ θ≦02:偏角
θは幾らでもよい。)を「
とすると, zを その上の点として,
・・。(5.28)
ヽ―‐‐>′‐―プ限
0 議
一一
し
θ
こ
て,
一一 の
』̈ 五m̈ 社由̈
, 孤
と
は 円
ね
kt
こ
と に
,
の
っヽ
た
よ
ま
の
n,“
"““″θRI
では消失す ることになる。
‐35‐賄 gαsαた′I″sガ放たげ均り″`J Scた “̀θ
-
五m ZAZ)=0のときは, M→
0
鳳1ノ0ごZ=J島だ2
となる。こQ(5.28),(5,29)両 式の結果は,
A月〆ル″ル物酬Lθttsf●FE■F漱夕θπ裂釘β「 ("物甲た■5
この種の針算にたく使わ薇る。
Ft8・ 5.3
rll、
算計の分積定35
―
§
【門 5。 1】 015)式の積分は, Z=― Jを極に持つがウス千面上の下半分 (hZ
-
4月〆たごル臓蠣'θ
濶口歳,srarEπ
『
″σθπ
“
gβ rCみ響 ″几5
のように言け, ξを皮めてχに置き換えて表示 したものである。
すると,実軸上の積分 rlと r2は ,積分区間が重なるから,両者を加えると,
11+r2=だ (Aか ALχ ))ごχ=だ {等 +等 }ごχ=だ≒生ごχ=2Jだ雫ごχ
のように纏めることができる。
一方, 13について考えると, 内薇1の γ~1上
では,
から,工の向きのγの積分に直して苛算すると,
・¨¨¨¨¨0(5.3η
Z=ε θJθ と書けて, αz=′ ε`′
θαθ=`zαθである
r3=上∴ノ(z)ご Z=―∬ヂ・Jζごθ=― J∬ `たごθ・…………………………(5。 38)とな る。 ここに,薇積分関数
`たは
ι:こ =`:・メa=ι :● (cOSθ +isinθ )=θ―Ett θ+j E cosθ =θ
-2 Sinθ .`ie coSθ °̈ ¨¨¨¨¨¨¨¨¨ ・̈ (5。39)
のよ うになるか ら,そ の ε→ 0の極 限は,
島ιた
=ι°=1……………………………………………………… (5.40b
となるから,そ の場合の積分値 f3は ,
凱r3=~J∬ αθ―J[θ ][=― Jπ ……………………………………・・6。4)な
次
な
な
よ
を
と
る
と
と
と
の
間
な
0 0
6 0
ら,
一
一
か
̈
一
θ
¨ ¨
“一一
ル」 一
´ヽ θ
¨¨
/
¨
L√こ´従引 時考狩 晏 ′‐ヽ関
る に る る つヽ
θ こ の 人
め ると,
ir41≦ 21i`~MSinθ αθ≦21i`~竿θごθ
=券 lθttθ
l:=券 (1-`―M)…・(5。o
2ヂ雫ごχ―′π=0……1・となる。よって,求める(5.3o式 の積分値は,
=ゝ.5。 4
となる. ここに, 1〆 → ∞の極限を撃ると,
胸:lr41≦ 券(1-`―∞)=券 (1-1)=0… ………………………………・(5。4・D
となって,セ゛口に颯束す ることか ら,積分値 自体 も,
汎r4=0 ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨ごち̈ ¨¨¨¨¨¨¨¨¨“¨¨ (5。 48)
のように消失す ることが分かる。
以上のことか ら,M→ ∞,ε → 0の極限を取 った場合,(5。 3η,(5。41),(5.侶)式 の結果を,(5。 35)式に
用いることにより,
・・・ (5.49)
f雫ごχ=チ …………………………………………65oと して得 ら薇 る。
比留鷹僣Ls山"げ
APFルごScた“
″ ‐37‐ rs“ra″“
F●RI
-
§5.4定積 分 の計算 (五 )本節では,薇積分関数が Sin θ,cos θのよ
【ク1題 5。 3】 ―ク1と して,
∫Oπ 1-2′ cos θ十′2
ごθ ・・……… … 0¨・‥・ ・̈ 0。・… 0…・¨ ・̈… 0・ …… … …・・・…・・… …・(5.51)
のような定積分 を針算 してみ よう.
[解 ](5。51)式 は,薇積分関数の分母に COS θを合み, θの積分区間が 0≦ θ≦2π であることか ら,こ=``θ °・・・°000・・・・・・。●0000。 。・・。●000●・・。・・00・・00000000000・ 。0000・ 000。 00・・・・・・。・(5.52)
と置くことにより,実 変数 θをがウス千面上の偏角に対応 させる。 このとき, FJg.5.5に 示す ように,
複素変数 zは ,原 点 οを中′むと した半径 1の 単位 円周上 を 1月 す ることになる。
このとき, ゾ
初 ″`ご
Mtth′“αルsjわ rE″J″
`θ
rJ″gB r Cλ η″∴5
うな三角関数の有理関数で与 えら薇る場合について述べる.
ζ=`jθ =COS θ ttJs
"¨・¨。(5.53)÷ = `―iθ = COS θ一J
ごz=J`:θ ごθ =Jζ ι
変数変換は,であるか ら,
cos θ = :(z 十:)
sin θ=多ズz一÷) D● ¨̈ (̈5.54)αθ=尭αだ〒―J等
によって行。なえばよい.
このとき,(5。51)式 の定積分 をJと 言いて,積分変数
をθからだに変換することにより,求める定積分は, '(_ル r′′′く/ノFな。5.5J=∬
π可互清鏃7日 轟 覇彙
到彙 H Iョ
…
のような複素積分の問題に帰着 された。ここに,薇積分関数を バィ)と 書き,部 分分数に展 開するこ
とにより,
J=lz日 畑 茂
なり,制雄はR‐ま, R なり,R〓よつて
と
合
析
数
と
と
レ
レ
¨
れ
)‥一げ
・ι一【
´
一
5
.
‐2> 式
L
L
¨
留
¨秘‐すて解 】 口 口
̈
,分 か
̈ ¨
̈ し に
る
一 腋辮 喘
̈ o の 上′
躊鮮″ 殆 中中
゛
て',
lχ l=/
Fな。5.5
ハしgαsttt r″ sだ勉″(ヴP、
■″`ご
SCJθ
“εθ ・ 38‐ n,“ ra“
“
″θRI
-
つ
上
な
以
と
五Л夕JligJ施乃θ″α`た
sしわrE“♂″θθrii4g B r C乃″ ″∴5
て,積分路である単位円周上の1点 ′=1人 は′=-1に ,2位 の極を持つことになる為である.により,求める(5。 51)式 の解は,
∬π =← 引川4)
のように書 くことがで きる.
0。(5◆ 61)
[注5.3]以上,ク1題 5.1,5。 2,5.3で示してきた3つ のタイア°の定積分の他,種々の実変域の定積分が
複素関数における留数 の定理を用いて言算できることになるが,特に一般 的な,っ よリヨウいう場合に
は,す ればよいという規貝1は なく,個 々の場合について積分路のウマイ選び方を工夫するより他はない。
しか し,何薇の場合にも,原 理は「 与えら薇た実軸上の積分路を,適当な複煮千面上の積分路で補 っ
て閉 じた積分路を構成 し, こ薇に対 して留数の定理を適用する。」ということに,過ぎないのである.
助 gαsttJ」隣sだ放たarttη Jligご Sc力″εθ ‐39‐ 7む“
rar"“ IaRI