ÁNGULOS EN EL ESPACIO

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

El ángulo formado por dos rectas que se cortan en un punto, o bien por dos rectas que se cruzan, es el ángulo que forman sus vectores directores.

v⃗ ( v1 v2 v3 ) { u⃗ (u1 u2 u3 )¿

cos α=v1 · u1+v2 · u2+v3 · u3

√v12+v22+v32√u12+u22+u32

⇒ α

Ejemplo:

Calcular el ángulo que forman las rectas (r )≡ ¿ x=2−3t ¿} y=−1+t ¿ }¿¿¿

y (s )≡ x−2

5= y+1

4= z−3

−1

Los vectores directores de ambas rectas son: v⃗ (−3, 1, 2 ) y u⃗ (5, 4,−1)

cos α=(−3) · 5+1 · 4+2 · (−1 )

√(−3 )2+12+22√52+42+(−1)2=−13

√14√42=− 0'536

α=arccos (−0'536)=122'42º Por convenio, se considera que el ángulo entre dos rectas, es el menor de los dos ángulos que forman, es decir: β=180º−α=180º−122'42º=57'58º

ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

El ángulo que forma una recta (r) y un plano ( π )al cortarse, es el ángulo complementario del que forman el vector director de la recta v⃗ y el vector asociado al plano n⃗ .

1

( π )≡ a x+b y+c z+d=0

(r )≡x−a1

v1=y−a2

v2=z−a3

v3

cos β=a · v1+b · v2+c · v3

√a2+b2+c2√v12+v22+v32

⇒ β α=90º−β

Ejemplo:

Calcular el ángulo que forman la recta (r )≡ x−1

2= y+7

−3= z+2

1 y el plano de ecuación ( π )≡ x−5y+3z+8=0

El vector director de la recta es v⃗ (2,−3, 1 ), y el asociado al plano n⃗ (1,−5, 3 ).

cos β=1 · 2+(−5 )(−3 )+3 · 1

√12+(−5)2+32√22+(−3 )2+12=20

√35√14=0'9 ⇒ β=25'37º

α=90º−β=90º−25'4º=64'6 º

ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS

El ángulo que forman dos planos que se cortan en una recta, es el ángulo que forman sus vectores normales o asociados.

( π )≡ a x+b y+c z+d=0 ⇒ v⃗ (a, b, c )

( π ' )≡ a' x+b ' y+c ' z+d '=0 ⇒ v⃗ ' (a' , b' , c ' )

2

cos α= a · a'+b · b'+c · c '

√a2+b2+c2√a¿+b¿+c¿⇒ α

Ejemplo:

Calcular el ángulo que forman los planos de ecuaciones:

( π )≡ −2x+4y+2z−1=0 y ( π' )≡ 3x+5y+4z+8=0

Los vectores asociados a ambos planos son: v⃗ (−2, 4, 2) y u⃗ (3, 5, 4 )

cos α= (−2) · 3+4 · 5+2 · 4

√(−2)2+42+22√32+52+42=22

√24√50=0'63 ⇒ α=arc cos 0'63=50'57º

DISTANCIAS EN EL ESPACIO

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos A (a1 a2 a3) y B (b1 b2 b3 ), se define como el módulo del vector que une dichos puntos, es decir de A⃗B .

3

d ( A, B )=|⃗A B|=√(b1−a1)2+(b2−a2)

2+(b3−a3 )2

Ejemplo:

Hallar la distancia que existe entre los puntos A (3,−2, 6) y B (7, 4, 1) :

d ( A,B)=√(7−3)2+(4−(−2 ))2+(1−6 )2=√77 =8'8 u

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La distancia entre un punto P ( p1 p2 p3 )y una recta (r), se puede definir, entre otras maneras, como la altura “h” del triángulo de lados los vectores A⃗P y v⃗ .

El puntoA (a1 a2 a3 )es un punto cualquiera de la recta (r), y v⃗ (v1 v2 v3 ) su vector director.Por una parte, el área del triángulo sombreado de la figura, es la mitad del producto vectorial de los vectores A⃗P y v⃗ , mientras que por otra, es la mitad del producto de la base “v⃗ ” por la altura “h”.

S= 12

| A⃗P× v⃗ |¿}¿¿¿

12

| A⃗P× v⃗ |= 12

| v⃗ | · h despejando h, que es la distancia entre P y (r) :

d (P,(r ) )=h=| A⃗P×v⃗ || v⃗ |

Ejemplo:

Hallar la distancia del punto P(2,−1, 5 ) a la recta (r) ¿ x−1

3= y+6

2= z−3

−1 .

La recta (r) pasa por el punto A(1,−6, 3 ) y su vector director es v⃗ (3, 2,−1 )A⃗P=P−A=(2,−1, 5)−(1,−6, 3 )=(1, 5, 2)

4

A⃗P× v⃗=(|5 22 −1

|,−| 1 23 −1

|, | 1 53 2

|)=(−9, 7,−13 )

| A⃗P× v⃗ |=√(−9)2+72+(−13 )2=√299 | v⃗ |=√32+22+(−1)2=√14

d (P,(r ) )=√299√14

=4'6 u

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Se define la distancia del punto P( p1 p2 p3 ) al plano ( π ) de ecuación ax+by+cz+d=0 , como la distancia entre el punto P y el punto Q, que es la proyección de P sobre el plano ( π ).

Como el vector Q⃗P es paralelo a v⃗ ⇒ Q⃗P∘ v⃗=| Q⃗P| · | v⃗ | · cos0º=|Q⃗P | · | v⃗ |

Despejando d (P ,( π ))=|Q⃗P |= Q⃗P∘ v⃗

| v⃗ | , y como Q⃗P=( p1−q1 ,p2−q2 ,p3−q3 ) y v⃗ (a,b,c )

d (P, (π ))=( p1−q1 ) a+( p2−q2) b+( p3−q3 ) c

√a2+b2+c2=a p1+b p2+c p3−( a q1+b q2+c q3 )

√a2+b2+c2

Como Q pertenece al plano ( π ) , verificará la ecuación del plano:a q1+b q2+c q3+d=0 ⇒ d=−( a q1+b q2+c q3) con lo que al sustituir queda:

d (P,(π ))=|a p1+b p2+c p3+d|

√a2+b2+c2

Ejemplo:

Hallar la distancia del punto P(3,−1, 4 ) al plano ( π ), de ecuación 2x+5y−6z−10=0

d (P, (π ))=|2 · 3+5 · (−1)+(−6) · 4+(−10 )|

√22+52+(−6 )2=

| 6−5−24−10 |√65

=|−33 |√65

=33√65

=4'1 u

5

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

La distancia entre dos rectas paralelas (r) y (s), se define como la distancia que hay entre un punto P de una de las rectas y la otra recta.

d ((r ) ,(s ))=d (P,(s ))

Ejemplo:

Hallar la distancia entre las rectas (r )≡ x−1

2= y−2

1= z

3 y (s )≡ x+2

2= y

1= z+1

3

(r )≡ x−1

2= y−2

1= z

3⇒ ¿ {A (1, 2, 0 )¿ ¿¿

(s )≡ x+2

2= y

1= z+1

3⇒ ¿ {B (−2, 0,−1) ¿¿¿

Las rectas son paralelas ya que los vectores directores coinciden.B⃗A=A−B=(1, 2, 0 )−(−2,0,−1)=(3, 2, 1 )

u⃗ (2, 1, 3)

| u⃗ |=√22+12+32=√14

B⃗A×u⃗=(|2 11 3

|,−|3 12 3

|, | 3 22 1

|)=(5,−7,−1 ) ⇒ | B⃗A× u⃗ |=√52+(−7 )2+(−1 )2=√75

d ((r ) ,(s ))=√75√14

=2'3 u

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

La distancia entre dos rectas (r) y (s) que se cruzan, es la distancia que existe entre el plano paralelo a la recta (r) y que pasa por (s), y el paralelo a (s) y que pasa por (r).

6

(r ) ¿ {A (a1 a2 a3 )¿ ¿¿

(s ) ¿ {B (b1 b2 b3 ) ¿¿¿

La distancia “d” entre las dos rectas, es la altura del paralepípedo

Por un lado, el volumen del paralepípedo viene dado por: V=det | v⃗ , u⃗ , A⃗B |, siendo A y B dos puntos cualesquiera de las rectas (r) y (s), respectivamente.

Por otra parte, el volumen es igual al área de la base por la altura, es decir: V=S · d=| v⃗× u⃗ | · d , siendo v y u⃗ los vectores directores de las rectas.

Igualando las dos expresiones del volumen, tenemos: det | v⃗ , u⃗ , A⃗B|=| v⃗×u⃗ | · d

d ((r ) ,( s ))=d=| v⃗ , u⃗ , A⃗B || v⃗×u⃗ |

Ejemplo:

Hallar la distancia entre (r )≡ x+3

3= y−9

−2= z−8

−2 y (s )≡ x−3

−2= y−2

1= z−1

2

(r ) ¿ {A (−3, 9, 8 ) ¿¿¿ (s ) ¿ {B (3, 2, 1) ¿¿¿ A⃗B=B−A=(3, 2, 1)−(−3, 9, 8)=(6,−7,−7)

Como | 6 −7 −7 3 −2 −2−2 1 2

|=9≠0, las rectas (r) y (s) se cruzan

v⃗× u⃗=(|−2 −2

1 2|,−| 3 −2

−2 2|, | 3 −2

−2 1|)=(−2,−2,−1 )

| v⃗×u⃗ |=√(−2 )2+(−2)2+(−1)2=3

d ( (r ) ,( s ))=| v⃗ , u⃗ , A⃗B|| v⃗×u⃗ |

=93=3 u

DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

7

Solo tiene sentido hallar la distancia entre una recta (r) y un plano ( π ) cuando ambos son paralelos. En este caso, la distancia es la que existe desde un punto P cualquiera de la recta, al plano.

d ((r ) ,( π ))=d (P,(π ))

Ejemplo:

Hallar la distancia entre la recta (r )≡ x−3

−2= y+7

−1= z+4

1 y el plano de ecuación ( π )≡3x− y+5z+10=0

Como el producto escalar del vector director de la recta v⃗ (−2,−1, 1) y el asociado al plano n⃗ (3,−1, 5 ) vale cero, ambos vectores son perpendiculares, por lo que la recta (r) y el plano ( π ) , son paralelos.

v⃗ ∘ n⃗=(−2) · 3+(−1) · (−1)+1 · 5=0 El punto P(3,−7,−4 ) es un punto de la recta (r), por lo que aplicando la fórmula de la distancia de un punto a un plano, se tiene que:

d ( P,(π ))=| 3 · 3+(−1) · (−7)+5 · (−4 )+10 |

√32+(−1 )2+52=

| 6 |√35

=1'01 u

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS

La distancia entre dos planos paralelos, es la diferencia de las distancias de cada uno de ellos al origen de coordenadas.

δ=δ1−δ 2

( π1 )≡ax+by+cz+d=0

( π2 )≡a' x+b' y+c' z+d'=0

8

δ1=| −d√a2+b2+c2

|

δ2=| −d '

√a¿+b¿+c¿ |

d ((π1 ) ,( π2 ))=δ=| −d√a2+b2+c2

− −d '

√a¿+b¿+c¿ |

Ejemplo:

Hallar la distancia entre ( π1 )≡3x− y+5z−8=0 y ( π2 )≡−6x+2y−10z+12=0

Como los coeficientes de ambos planos son proporcionales, los planos son paralelos

3−6

=−1 2

= 5−10 . Aplicando la fórmula que da la distancia entre dos planos paralelos:

d ( (π 1) ,( π2 ))=| 8

√32+(−1)2+52− −12

√(−6)2+22+(−10 )2|=| 8

√35− −12

√140|=2'36 u

HACES DE PLANOS EN EL ESPACIO

HAZ DE PLANOS PARALELOS

Al conjunto de todos los planos, que son paralelos a un plano ( π ) ax+by+cz+d=0 , se llama haz de planos paralelos.

Como se sabe, los planos que son paralelos entre sí, tienen proporcionales los coeficientes de la “x”, la “y” y la “z”, aunque no lo son sus términos independientes. Es decir, todos ellos tienen el mismo vector asociado n⃗ (a,b,c ) , aunque diferente término independiente “d”.

9

Cualquier plano perteneciente al haz de planos paralelos al plano ( π ) , se puede expresar de la forma

ax+by+cz+d=0

siendo “a”, “b” y “c” números fijos y “d” un número que puede tomar cualquier valor.

Ejemplo:

Dado el plano de ecuación ( π ) 2x−3y+5z+6=0 , escribir la ecuación del haz de planos paralelo a él, y calcular de todos ellos, el que pasa por el punto A( 4, 2,−1).

La ecuación de todos los planos paralelos al plano ( π ) 2x−3y+5z+6=0 es:

2x−3y+5z+d=0 (haz de planos)

Para calcular el plano de este haz que pasa por el punto A( 4, 2,−1), se sustituye el punto en la ecuación del haz y se calcula el valor de “d”.

2 · 4−3 · 2+5 · (−1)+d=0 ⇒ 8−6−5+d=0 ⇒ d=3

El plano buscado es: ( π ' ) 2x−3y+5z+3=0

HAZ DE PLANOS SECANTES

Al conjunto de todos los planos que contienen a la recta (r), se llama haz de planos secantes. Dicha recta se llama arista del haz.

Si dos planos ( π1)¿ ax+by+cz+d=0 Y ( π2 )¿ a ' x+b' y+c' z+d '=0 se cortan según una recta (r), cualquier otro plan ( π ) , que contenga a (r), se puede expresar como combinación lineal de ( π1 ) y ( π2).

( π )¿ λ (ax+by+cz+d )+μ (a' x+b' y+c ' z+d ' )=0

10

Si dividimos porλ y hacemos k= μ

λ , la ecuación del haz queda de la siguiente manera:

( π )¿ (ax+by+cz+d )+k (a' x+b' y+c ' z+d' )=0

Ejemplo:

Hallar la ecuación del plano que pertenece al haz de planos, cuyo eje es la recta:

r≡¿ { 2x+3y−z−9=0 ¿ ¿¿¿ y que pasa: a) por el punto P(3, 2,−3 )

b) por el punto Q(5, 3,−1 )

a) El haz de planos de arista (r) es: 2x+3y−z−9+k (−x+2y+3z+2)=0

Para hallar el plano del haz que pasa por el punto P(3, 2,−3 ), sustituimos las coordenadas del punto P en la ecuación del haz:

2 · 3+3 · 2−(−3 )−9+k (−3+2 · 2+3(−3 )+2)=0⇒6+6+3−9+k (−3+4−9+2 )=0⇒ k=1 Sustituyendo este valor en la ecuación del haz y simplificando queda:

2x+3y−z−9+(−x+2y+3z+2 )=0 ⇒ x+5y+2z−7=0

b) Para hallar el plano del haz que pasa por el punto Q(5, 3,−1 ), hacemos lo mismo que en anterior apartado, sustituyendo las coordenadas de Q en la ecuación del haz.

2 · 5+3 · 3−(−1 )−9+k (−5+2 · 3+3(−1 )+2)=0 ⇒ 10+9+1−9+k (−5+6−3+2 )=011+k (8−8)=0 ⇒ 0 · k=−11 (no hay ningún valor real de k que verifique la ecuación )

SIMETRÍAS EN EL ESPACIO

SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A OTRO PUNTO

El simétrico de un punto A respecto a otro punto C , llamado centro de simetría, es el punto A' que se calcula teniendo en cuenta que el punto C es el punto medio del segmento A A'.

Si las coordenadas de los puntos A , A ' y C , son: A (a1 , a2 , a3 ) , A ' (a'1 ,a

'2 , a

'3 ) yC (c1 , c2 , c3) ,

tenemos que:

11

c1=a1+a

'1

2

c2=a2+a

'2

2

c3=a3+a

'3

2

⟹2 c1=a1+a

'1

2c2=a2+a'2

2c3=a3+a'3

⟹a'

1=2c1−a1

a'2=2c2−a2

a'3=2c3−a3

SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA RECTA

Para calcular el punto A' , simétrico del punto A respecto de la recta (r ) , se dan los siguientes pasos:

1) Se calcula la ecuación del plano (π ) perpendicular a

la recta (r ) y que contiene al punto A .2) Se calculan las coordenadas del punto C como

intersección de la recta (r ) dada y el plano (π ) calculado.

3) Se calculan las coordenadas del punto A' como

simétrico del punto A respecto de C .

a'1=2c1−a1

a '2=2c2−a2

a '3=2c3−a3

El punto C es la proyección ortogonal del punto A sobre la recta (r )

Ejemplo.

Hallar las coordenadas del punto simétrico del punto A (−4 ,−2 ,1 ) respecto de la recta de ecuación:

(r ) x−11

= y−22

= z1⟹ (r ) { x=1+t

y=2+2 tz=t

1) El plano (π ) perpendicular a la recta (r ) , tiene como vector asociado al vector director de la recta.

(r ) x−11

= y−22

= z1⟹ v⃗ (1,2 ,1)

12

Por lo tanto ax+by+cz+d=0⟹1 · x+2 · y+1· z+d=0⟹ x+2 y+z+d=0

Como el punto A (−4 ,−2 ,1 ) está contenido en el plano (π ) , tendrá que verificar su ecuación:

−4+2 · (−2 )+1+d=0⟹−7+d=0⟹d=7

(π )≡x+2 y+z+7=0

2) La intersección de la recta (r ) y el plano (π ) calculado, es el punto C (centro de simetría).

{(π ) x+2 y+ z+7=0

(r ){ x=1+ ty=2+2tz=t

⟹ (1+t )+2 · (2+2t )+t+7=0⟹6 t=−12⟹t=−2

Las coordenadas del punto C son: { x=1+ty=2+2 tz=t

⟹ { x=1+(−2 )=−1y=2+2· (−2 )=−2

z=−2⟹C (−1 ,−2 ,−2)

3) Las coordenadas del punto simétrico de A respecto de C son:

a'1=2c1−a1=2· (−1 )− (−4 )=2

a '2=2c2−a2=2 · (−2 )−(−2 )=−2a'

3=2c3−a3=2 · (−2 )−1=−5⟹ A' (2,−2 ,−5 )

SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A UN PLANO

Para calcular el punto A' , simétrico del punto

A respecto del plano (π ) , se dan los siguientes pasos:

1) Se calcula la ecuación de la recta (r ) perpendicular al plano (π ) y que pasa por

el punto A .

2) Se calculan las coordenadas del punto C como intersección de la recta (r ) calculada y el plano (π ) dado.

13

3) Se calculan las coordenadas del punto A' como simétrico del punto A respecto de C .

a'1=2c1−a1

a '2=2c2−a2

a '3=2c3−a3

El punto C es la proyección ortogonal del punto A sobre el plano (π )

Ejemplo.

Hallar el punto simétrico del punto A(2,3 ,2) respecto al plano (π )≡x−2 z−3=0

1) La recta (r ) pasa por el punto A(2,3 ,2) y tiene como vector director al asociado al plano (π ) , es decir, el vector director es v⃗ (1,0 ,−2).

(r ) ( A , v⃗ )⟹{ x=2+ty=3

z=2−2t

2) El punto C (centro de simetría), es la intersección de la recta calculada con el plano dado.

{(π ) x−2 z−3=0

(r ){ x=2+ ty=3

z=2−2t

⟹2+ t−2· (2−2 t )=0⟹4 t=4⟹ t=1⟹C (3 ,3 ,0 )

3) Las coordenadas de A', son:

a'1=2 c1−a1=2·3−2=4

a '2=2c2−a2=2 ·3−3=3

a '3=2c3−a3=2 ·0−2=−2

⟹ A' (4 ,3 ,−2)

14