new 제3장계측시스템의거동 - 조선대학교 · 2016. 8. 25. · 3-1...
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3-1
계측 시스템의 시간에 의존하는 거동 : 입력신호에 대한 시스템 응답
Chosun University
제3장 계측 시스템의 거동3.1 서론
3-2
동적계측
- 동적신호
: 신호크기, 주파수 또는 파형들이 입력 신호를 재구성하는데 필요
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3.2 계측 시스템에 대한 일반적인 모델
3-3
계측 시스템 모델 : n차 일반 선형 상미분 방정식, 기진력 함수 F(t):m차
- 예제 3.1 참조
- 계측 시스템 : 0차, 1차, 2차 선형 상미분 방정식으로 모델화
Chosun University
,.......)(
)(.......
01
1
1
011
1
1
xbdt
xdbdt
xdbtF
tFyadtdya
dtyda
dtyda
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
nm
3-4
0차 시스템 (Zero-Order systems)
여기서
K는 시스템의 정적감도(Static Sensitivity) 또는 정상이득 (Steady gain)
K의 결정방법 : 보정곡선의 기울기
예) 압력게이지 (예제3.2)
1차 시스템 (First-order Systems) : 체온계(온도계), RC회로(filter)
- 일반적으로 관성력은 무시할 수 있으나 저장 혹은 방출 능력을 지니고있는 시스템
: 시간상수 (time constant)
0( )F t b x
Chosun University
3.3 일반 시스템 모델의 특수한 경우
0 ( ),a y F t
1 0
1 0
( ),a y a y F ta a
0
1Ka
( )y y KF t
( ),y KF t
3-5
- 계단 입력 함수 (Step Function Input)
Chosun University
( ) 0( )
AU tAU t A
00
tt
3-6
일 때
초기조건
(3.5)
시간응답 정상응답 순간응답
(time response) (steady response) (transient response)
식(3.5)로 부터
: 오차율(error fraction)
(표3.1참조)
: 90%까지 응답하기에 걸린 시간 : 시스템의 상승시간 (rise time)
Chosun University
( ) ( )F t AU t
0)0( yy teKAyKAty )()( 0
KAyt ,
0
( )( ) ty t yt ey y
( ) ( )y y KAU t KF t
3-7 Chosun University
3-8 Chosun University
3-9
결정
① 계단 함수를 입력하여 시스템의 응답을 기록함
② t = 0 부터 정상응답이 얻어질 때까지 기록
③ 그림 3.8
o 장점
- 쉬운 경향파악
- 를 결정하는 과정에서 개 개의 데이터 점에서의 오차를 최소화 하는 방향으로 데이터 사용
- T=1.0 과 0.386 되는 점 등을 정확하게 결정할 필요가 없음
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1ln t Y mX B m
3-10
예제 3.3
구형태의 온도계가 초기에 를 가리키고 있었는데 에서 액체에 갑자기 노출되었다고 가정하자. 온도계의 출력응답을 모사하는 단순 모델을 유도하라.
※ 문제를 단순화하기 위하여 다음을 가정한다.
1. 설치영향은 없다(전도와 방사 효과를 무시한다.).
2. 감지기 질량은 오직 구 내의 액체 질량이다.
3. 구 내에서의 온도는 일정하다(집중 질량).
4. 온도계의 눈금은 온도를 나타내도록 보정되어 있다.
Chosun University
)()( 0 tUTTtF
C35C20
,37 CT ,20)0( CT
3-11
Sol)
: 대류를 통한 에너지 교환율
여기서 : 온도계내의 액체의 질량
: Specific heat of liquid within thermometer
: 구와 환경사이의 대류 열전달 계수
: 온도계의 표면적
Chosun University
h
m
Q hA T
( ) ( ) ,( ) ( )
( ) ( ) (0) (0) ( ) ( )
v
v s
v s s s
dE QdtdE t dt mc dT t dt
dT tmc hA T T tdt
dT tmc hA T t T hA T T U t hA F tdt
sA
vc
3-12 Chosun University
0( ) ( )
,
( ) [ (0) ] 37 17 [ ]
v
s
v
st t
tmc dT t T t ThA dt
mchA
T t T T T e e C
1s
s
hAkhA
3-13
- 사인 함수 입력 (Sine Function Input)
주기적인 신호 : 진동 구조물, 차량의 현가 장치, 펌프의 왕복운동, 환경온도
일반해 :
: 정상응답의 진폭
: 위상각
주파수 응답(frequency response)
: w를 가지는 주기적인 입력에 대한 시스템의 정상응답 (그림 3.11참조)
시간지연 : 출력과 입력신호 사이의 시간지연 (음수값)
Chosun University
2 1 2
1
( ) ( )sin[ ( )]
( )[1 ( ) ]
( ) tan
ty t Ce B tKAB
1
1
( )sin sin[ ] sin[ ]
( )
t t t
sin ,y y KA t
0)0( yy
3-14 Chosun University
3-15
1차 시스템의 진폭비 (그림 3.12 3.13 참조)
동적오차 (dynamic error) :
1차 시스템에 대한 주파수 대역 (frequency bandwidth)
이 주파수 대역에서 는 –3dB 이상 떨어지지 않는다
(예제 3.6)
Chosun University
2 1 2
1( )[1 ( ) ]
BMKA
( ) ( ) 1M
( ) 0.707,M
( )M
1( ) tan
20log ( )dB M
3-16 Chosun University
3-17 Chosun University
3-18
2차 시스템 (Second-order Systems)
- 관성항 포함, 가속도계, 마이크
여기서 시스템의 고유 진동수 (natural freq)
시스템의 감쇄율 (damping ratio)
일반해 :
Chosun University
2 1 0
2
( )1 2 ( )n n
a y a y a y F t
y y y KF t
)()()( tytyty ph
0 2
11 2
0 22( )
n a a
aa a
3-19
o Homogeneous Solution (순수해),
① (Underdamped System Solution)
② (Critically damped System Solution)
③ (Overdamped System Solution)
Chosun University
tcety )(
22
1 2 1 0,n n
1 21 2
1( ) t t
hy t C e C e
1 21 2
1( ) t t
hy t C e C te
2
0 1
( ) sin( 1 )nw th ny t Ce t
21,2 1n n
3-20
계단함수 입력 (Step Function Input)
①
②
③
Chosun University
( ) ( ),F t AU t
2 21 22
0 1
( ) sin 1 cos 11
ntn ny t KA KAe t t
1( ) (1 ) nt
ny t KA KA t e
2 22 21 1
2 2
1
1 1( )
2 1 2 1n nt t
y t KA KA e e
(0) (0) 0y y
3-21 Chosun University
3-22
- (그림 3.14 참조)
: 감쇠 주파수
(ringing frequency)
o 상승시간 (rise time) : 계단 입력 KA의 90% 도달시간
o 정착시간 (settling time), 응답시간 (response time)
: KA의 10 % 이내에 응답이 들어올 때까지의 걸린 시간
- (예제 3.7, 그림 3.15참조)
o , tr, ts 결정 : 부족 감쇠계와 관련있는 감쇠 주파수의 실험적인 결정은계단 입력을 2차 계측 시스템에 적용하고 시간응답을 기록하여 수행한다
Chosun University
21d n 2 ,d
d
T
0 1,
3-23 Chosun University
3-24
사인 함수 입력 (Sine Function Input)
정상응답
2차 시스템에 대한 진폭비 M(w)
Chosun University
( ) sinF t A t
2 22 1 2
1( ){[1 ] 2 }n n
BMKA
( ) ( )sin ( )steadyy t B t
2 22 1 2
sin ( )( )
{[1 ] 2 }h
n n
KA ty t y
1
2
2( ) tan1
n
n
3-25 Chosun University
3-26 Chosun University
3-27
o 공진 대역 (Resonance band)
: 공진 주파수
o 전달 대역 (Transmission band) :
o 필터 대역 (Filter band) :
- 예제 3.9
Chosun University
( ) 3M dB
3 ( ) 3dB M dB
21 2 ,R n ( ) 3M dB
3-28
- 1차 계측 시스템
( : 시스템 초기함수)
Chosun University
3.4 전달 함수(Transfer Functions)
0
( )
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
1( )11( ) ( )
1i
yY s K F s Y s KG s F s Q s G ss s
G ss
G s i M ei
)(sQ
3-29
- 2차 시스템
Chosun University
002 2 2 2
1( ) ( )(1 ) (2 ) 1 (1 ) (2 ) 1n n n n
s y yY s KF ss s s s
2 2
1( )(1 ) (2 ) 1n n
G ss s
( )2 2
1( ) ( )( ) 2 1
i
n n
G s i M ei i
)()()()()( sGsQsFsKGsY
3-30 Chosun University
3-31
- 계측된 신호
: 위상변동이 주파수에 선형적으로 비례한다고 가정
Let
(예제 3.11 참조)
Chosun University
3.5 위상각의 선형성 (Phase Linearity)
( ) sin( ) sin(2 2 ) ...v t t t
( )( ) sin sin2 ...
tv t
3-32
- 중첩의 원리 적용
정상응답의 조합
여기서
(예제 3.12 참조)
Chosun University
3.6 다함수 입력 (Multi-Function Inputs)
01
( )sin ( )i i in
KA B t
01
( ) ( sin )i ii
F t A A t
( ) ( )i i iB KA M
3-33
연성계 : 계측 시스템이 둘 이상의 장비를 포함할 경우
Chosun University
3.7 연성계 (Coupled Systems)
3-34
전체 전달함수
정적 감도 :
전체 시스템 진폭비 :
전체 위상각 변동 :
Chosun University
1 2
1 1 2 2
[ ( ) ( ) ... ( )]1 2 1 2
( ) ( ) ( )... ( )
( ) ( .... ) [ ( ) ( ).... ( )] H
H H
iH H
KG s K G s K G s K G ss iKG i K K K M M M e
1 2( ) ( ) ( ).... ( )HM M M M
1 2 3... HK K K K K
1 2( ) ( ) ( ) .... ( )H