new พิชิต - trueplookpanyastatic.trueplookpanya.com/hash_cmsblog/201706/59519/919/... ·...

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.)924 ถนนสขมวท แขวงพระโขนง เขตคลองเตย กทม. 10110โทรศพท: 0 2392 4021 โทรสาร: 0 2381 0750เวบไซต: http://www.ipst.ac.th

พชต

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.)กระทรวงศกษาธการ

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) มงเนนพฒนาการศกษา

วทยาศาสตร คณตศาสตร และเทคโนโลยของประเทศไทยใหทดเทยมกบนานาชาต โดยทำาหนาท

หลกเปนผขบเคลอนการจดการศกษาวทยาศาสตร คณตศาสตร และเทคโนโลย ดวยการศกษาคนควา

วจย พฒนา ออกแบบ จดทำาตนฉบบ และเผยแพรนวตกรรมทางการศกษา โดยมเปาหมายเพอ

ยกระดบคณภาพการศกษาวทยาศาสตร คณตศาสตร และเทคโนโลยของประเทศไทยไดอยางทวถง

และมมาตรฐานทดเทยมกบนานาชาตภายใตบรบทของความเปนไทย

สสวท. ไดจดทำาโครงการพฒนาตำาราและสอ สำาหรบหลกสตรการผลตและพฒนาครวทยาศาสตร

คณตศาสตร และเทคโนโลย ขนเพอพฒนาตำาราทสอดคลองกบบรบทไทยและไดมาตรฐานทดเทยมนานา

ประเทศ หนงสอ “ฝก คด พชตคณต PISA” น เปนหนงสอทพฒนาขนโดยคณะทำางานของโครงการ

ดงกลาว มเนอหาประกอบดวยโจทยปญหาทสอดคลองกบสถานการณปญหาในปจจบน การเสนอแนวคด

ในการแกโจทยปญหาซงผอาน ครผสอน ผปกครอง และแมแตนกเรยนเองสามารถนำาโจทยปญหา

เหลานนมาใชในการฝกฝน เพอใหเกดการพฒนาดานการคดวเคราะห การใหเหตผล และการนำาความร

คณตศาสตรทเรยนมาไปใชแกปญหา อนเปนสมรรถนะสำาคญทพงบงเกดกบผเรยน ในอนทจะเปน

พลเมองทมความสามารถในการดำารงชวตทดตอไป

สสวท. ขอขอบคณ คณหญงสมณฑา พรหมบญ ประธานมลนธวทยาศาสตร ดร.ปรชา-ประไพ

อมาตยกล ในการเปนทปรกษาของโครงการ และขอขอบคณคณาจารยและผทรงคณวฒจากมหาวทยาลย

โรงเรยน และสถาบนอน ๆ ทใหความรวมมอในการพฒนาหนงสอเลมน สสวท. หวงเปนอยางยงวา

หนงสอเลมนจะเปนประโยชนสำาหรบครผสอนวทยาศาสตร คณตศาสตร และเทคโนโลย ไดนำาไปใช

หรอปรบใหเหมาะสมกบศกยภาพและความสามารถของผเรยน

หากมขอเสนอแนะใดทจะทำาใหหนงสอเลมนสมบรณยงขน โปรดแจง สสวท. ทราบดวย

จกขอบคณยง

(นางพรพรรณ ไวทยางกร)

ผอำานวยการสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

คำ�นำ�

ฝก คด พชตคณต PISA

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) Aก

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) มบทบาทและภารกจในการพฒนา

ครและบคลากรทางการศกษาดานวทยาศาสตร คณตศาสตร และเทคโนโลย ซง สสวท. ไดจดทำาและ

ดำาเนนโครงการเพอพฒนาศกยภาพของครประจำาการในสาขาวทยาศาสตร คณตศาสตร และเทคโนโลย

เปนประจำาเสมอมา

สสวท. ไดเคยรวมกบกระทรวงศกษาธการและทบวงมหาวทยาลยดำาเนนการพฒนาเอกสารชด

การเรยนการสอนสำาหรบครวทยาศาสตรและครคณตศาสตร เพอใหสถาบนการผลตครตาง ๆ ไดนำาไปใช

เอกสารดงกลาวไดถกนำาไปใชอยางแพรหลายในระดบหนง ปจจบนเวลาไดลวงเลยมาและความกาวหนา

ทางวชาการมมากขน สสวท. เหนวา ตำาราและสอในการพฒนาครประจำาการและการผลตนกศกษาครนน

ควรไดรบการพฒนาเพอใหสอดคลองกบความกาวหนาทางวชาการและเทคโนโลยทกาวหนาขนเปนลำาดบ

มมาตรฐานสงและสามารถเทยบเคยงกบนานาชาตได สสวท. จงไดดำาเนนโครงการพฒนาตำาราและสอ

สำาหรบหลกสตรการผลตครวทยาศาสตร คณตศาสตร และเทคโนโลย โดยมวตถประสงคเพอพฒนาตำารา

วทยาศาสตรศกษาและคณตศาสตรศกษาทจะเปนประโยชนทงสำาหรบครประจำาการและนกศกษาคร โดย

ไดรบความรวมมอจากสถาบนการผลตครและผทเกยวของกบการพฒนาครวทยาศาสตรและคณตศาสตร

ทวประเทศ เพอใหไดตำาราและสอทมประสทธภาพสง เหมาะสมกบบรบทไทย และมมาตรฐานทดเทยม

กบนานาชาตอกดวย

สำาหรบตำาราวทยาศาสตรศกษาและคณตศาสตรศกษาท สสวท. ไดพฒนาขน เปนตำาราทประกอบ

ดวยเนอหาพนฐานและแนวทางในการจดการเรยนรทจำาเปนสำาหรบครวทยาศาสตรและคณตศาสตร

ประกอบดวยตำารา 2 ชด ชดหนงเปนดานวทยาศาสตรศกษา อกชดหนงเปนดานคณตศาสตรศกษา สสวท.

หวงเปนอยางยงวา ตำาราวทยาศาสตรศกษาและคณตศาสตรศกษาทงสองชดนจะเปนประโยชนสำาหรบ

ครและนกศกษาครในการพฒนาศกยภาพและสมรรถนะในการจดการเรยนร ซงจะสงผลตอสมฤทธผล

ทางการเรยนของนกเรยนและการยกระดบคณภาพการศกษาตอไป

(นายพศาล สรอยธหรำา)

ประธานโครงการพฒนาตำาราและสอ

สำาหรบหลกสตรการผลตและพฒนาครวทยาศาสตร คณตศาสตร และเทคโนโลย

คำ�ชแจง

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.)

ฝก คด พชตคณต PISABข

ส�รบญ

ï บทนำา

ï สถานการณ

• รปแบบขนบนได

• สวนฝรง

• ทางเลอก

• ชนวางหนงสอ

• สเกตบอรด

• บนได

• ลกเตา

• สามเหลยม

• ชางไม

• โรงงาน

• ลกอมสตาง ๆ

• แบบทดสอบวทยาศาสตร

• การสงออก

• ขยะ

• แผนดนไหว

• การสนบสนนประธานาธบด

• คดปลน

• รถยนตทดทสด

• อตราแลกเปลยน

• คยผานอนเทอรเนต

• พนททวป

• สงขน

• รอยเทา

• ความเรวของรถแขง

• ทางเลอน

ï บรรณานกรม

ï คณะผจดทำา

1

2

8

23

28

32

43

48

54

60

71

81

87

92

97

104

110

114

123

132

141

150

162

171

178

188

199

202

หนา


สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) Cค

บทนำ� โครงการ PISA (Programme for International Student Assessment) เปนโครงการประเมนผล

นกเรยนระดบนานาชาต ซงจะสะทอนถงคณภาพของการศกษาของประเทศไทยเมอเทยบกบนานาชาต

การประเมนตามโครงการ PISA เนนการประเมนสมรรถนะของนกเรยนในการใชความรและทกษะทเกยวของกบ

ชวตจรงเพอการเรยนรตลอดชวต โดยเฉพาะอยางยงการใชชวตในสงคมยคใหม นอกจากนนยงรวมถงการศกษา

ตอในระดบสง การประกอบอาชพ และการดำาเนนชวต โดยเรมทำาการประเมนในป พ.ศ. 2543 (ค.ศ. 2000) และ

จะประเมนทก ๆ 3 ป

โครงการ PISA จะประเมนสมรรถนะของนกเรยนอาย 15 ป โดยไมระบชนเรยน และประเมนใน 3

ดานหลก ๆ ไดแก การรเรองการอาน (Reading Literacy) การรเรองคณตศาสตร (Mathematics Literacy)

และการรเรองวทยาศาสตร (Scientific Literacy) ตอมาภายหลง มการประเมนเพมเตมเกยวกบการแกปญหา

(Problem Solving) และการรวมมอกนในการแกปญหา (Collaborative Problem Solving) ดวย

การรเรองคณตศาสตรในโครงการ PISA จะประเมนสมรรถนะของนกเรยนในการเลอกและประยกตใช

คณตศาสตรในการจดการกบปญหาและแกปญหาในบรบทหรอสถานการณทหลากหลาย ซงตองใชการใหเหตผล

แนวคด กระบวนการ ขอเทจจรง และเครองมอตาง ๆ ทางคณตศาสตร และสามารถเลอกคำาตอบทเหมาะสม

และสมเหตสมผลกบบรบทของปญหา ซงสมรรถนะการรเรองคณตศาสตรน จะชวยใหเขาใจถงบทบาทของ

คณตศาสตรทมตอโลกและสรางพนฐานทดใหแกพลเมองของโลกในการคดและตดสนใจอยางสรางสรรคและ

รบผดชอบตอสงคม

บรบทหรอสถานการณของปญหาทใชในการประเมนการรเรองคณตศาสตรจะเปนบรบทหรอสถานการณ

เกยวกบบคคล สงคม/ชมชน อาชพ และวทยาการ/วทยาศาสตร เนอหาทางคณตศาสตรทใชในการประเมน

หลก ๆ ไดแก ปรมาณ (Quantity) ความไมแนนอนและขอมล (Uncertainty & Data) การเปลยนแปลงและ

ความสมพนธ (Change & Relationships) และปรภมและรปราง (Space & Shape) ซงทงหมดนตองใชแนวคด

(Concepts) ความร (Knowledge) และทกษะทางคณตศาสตร รวมทงใชสมรรถนะพนฐานทางคณตศาสตร

ซงไดแก การสอสารและการสอความหมาย การแปลงสถานการณปญหาในชวตจรงเปนปญหาคณตศาสตร

ตวแบบเชงคณตศาสตร การใหเหตผลและสรางขอสรป กลวธการใชคณตศาสตรในการแกปญหา การใชสญลกษณ

และภาษาทางคณตศาสตร การดำาเนนการทางคณตศาสตร และการใชเครองมอตาง ๆ ทางคณตศาสตร

หนงสอ “ฝก คด พชตคณต PISA” ไดนำาโจทยปญหาทใชในการประเมนดานการรเรองคณตศาสตรท

เผยแพรแลวมาเปนตวอยางในการวเคราะหและเสนอแนวคดในการแกโจทยปญหา รวมทงเสนอแนะโจทยปญหา

เพมเตมเพอใหครและนกเรยน ไดเหนแนวทางในการฝกฝนการคดแกโจทยปญหาในสถานการณตาง ๆ เพอฝก

ใหนกเรยนคด วเคราะห และสามารถแกโจทยปญหาในสถานการณทหลากหลายได ซงเปนหนทางหนงทจะชวย

ใหนกเรยนแกโจทยปญหาตามแนวทางของการประเมนการรเรองคณตศาสตรในโครงการ PISA


สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) 1

คำ�ถ�มท 1 : รปแบบขนบนได เขาจะตองใชรปสเหลยมจตรสจำานวนกรป เพอสรางบนได 4 ขน คำาตอบ: ............................................รป

เรวตสรางรปแบบขนบนไดโดยการใชรปสเหลยมจตรส ดงรป

จะเหนวาเขาใชรปสเหลยมหนงรปสำาหรบบนได 1 ขน สามรปสำาหรบบนได 2 ขน

และหกรปสำาหรบบนได 3 ขน

ขน 1 ขน 2 ขน 3

รปแบบขนบนได

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ปรมาณแขนงวช� : -สถ�นก�รณ : ในเชงการศกษาสมรรถนะ : การทำาใหมแบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบปด

ประเทศญปนเกาหลฮองกง-จนมาเกา-จนไทย

% ตอบถก87.5979.8283.0080.4570.69

คะแนนเตม

ตอบ 10

ไมมคะแนน

คำาตอบอนๆ


ฝก คด พชตคณต PISA2

ก�รวเคร�ะหและแนวคดในก�รแกโจทยปญห�

ในสถานการณน กลาวถงแบบรปของขนบนไดทแสดงความสมพนธดวยรปสเหลยมจตรส

มาเรยงกนในลกษณะขนบนไดซงถอวาเปนแบบรปทางเรขาคณตทนำาไปสแบบรปของจำานวนท

นกเรยนสามารถระบจำานวนรปสเหลยมจตรสของบนได 4 ขนได โดยการสงเกตจำานวนรปสเหลยม

จตรสทเพมขนในแตละขน สำาหรบนกเรยนทมความสามารถในดานความรสกเชงจำานวนและ

ความรสกเชงปรภม อาจระบรปทวไปของแบบรปนได ซงการเรยนรเกยวกบแบบรปลกษณะน

มความสอดคลองกบแนวทางการจดการเรยนรในหลกสตรปจจบน

ความรความสามารถทนกเรยนตองใชในการตอบคำาถาม คอความสามารถในการวเคราะห

ความสมพนธเพอหาแบบรป ซงนกเรยนตองอาศยความรสกเชงจำานวนและความรสกเชงปรภม

ประกอบกน

จากรปขางตน และคำาสงใหหาจำานวนรปสเหลยมจตรสทงหมดในการสรางบนได 4 ขน

จากแบบรปทสงเกตเหน นกเรยนสามารถเขยนรปในขน 4 ตอจากรปในขน 3 โดยเขยนรปสเหลยม

จตรสสรปเรยงกนตอจากขน 3 ดงรป

คำ�ถ�มท 1 เขาจะตองใชรปสเหลยมจตรสจำานวนกรป เพอสรางบนได 4 ขน

แนวคด 1

ขน 1 ขน 2 ขน 3

แนวคดในก�รแกโจทยปญห�

สถ�นก�รณโจทย

คว�มรท�งคณตศ�สตรทเกยวของ

คำ�ถ�มท 1



เมอนบจำานวนรปสเหลยมจตรสทใช พบวา

จะตองใชจำานวนรปสเหลยมจตรสทงหมด 10 รป

แนวคด 2 วเคราะหความสมพนธของแบบรป จะไดดงน

ขน 1 ใชรปสเหลยมจตรส 1 รป

ขน 2 ใชรปสเหลยมจตรส เพม 2 รป รวมเปน 1 + 2 รป

ขน 3 ใชรปสเหลยมจตรส เพม 3 รป รวมเปน 1 + 2 + 3 รป

ขน 4 ใชรปสเหลยมจตรส เพม 4 รป รวมเปน 1 + 2 + 3 + 4 รป

ดงนน ขน 4 จะมรปสเหลยมจตรสทงหมด 1 + 2 + 3 + 4 = 10 รป

1. ความสมพนธของจำานวนรปสเหลยมจตรสในแบบรปทกำาหนดให มความสำาคญทนำา

ไปสการเรยนรเรองตวแบบเชงคณตศาสตรในรปของนพจน หรอสมการทสามารถนำาไปใชแก

ปญหาหรอตอบคำาถามในโจทยทางคณตศาสตร วทยาศาสตรและสาขาอนทเกยวของได ดงนน

ครควรใหนกเรยนมประสบการณในการทำาโจทยทเกยวของกบแบบรปใหมากขนและสมำาเสมอ

เทาทมโอกาสจะสอดแทรกได สำาหรบสถานการณโจทยปญหารปแบบขนบนไดน นกเรยนไทย

จำานวนมากถง 70.69 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ สามารถหาคำาตอบไดถกตอง

แตกยงมจำานวนนอยกวาชาตอน ๆ ปจจยหนงททำาใหนกเรยนไทยทำาโจทยขอนไดเปนจำานวน

มาก อาจเปนเพราะเปนแบบรปทงายตอการหาคำาตอบประกอบกบในหลกสตรคณตศาสตร

แกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 ไดกำาหนดเรองของแบบรปใหนกเรยนทกระดบ

ชนไดเรยนร จงทำาใหนกเรยนมประสบการณและมทกษะเพยงพอทจะแกปญหาลกษณะนได

แตครกยงคงตองคำานงถงการสอดแทรกและตระหนกถงความสำาคญของแบบรปทจะเชอมโยง

ไปสการสรางตวแบบเชงคณตศาสตร และพฒนาความสามารถในดานทกษะและกระบวนการ

ทางคณตศาสตรในเรองการใหเหตผลดวย

ขน 4

ขอสงเกต/ขอเสนอแนะ



ครอาจตงเปนคำาถามท 2 ดงน

คำาถามท 2 เรวตจะตองใชรปสเหลยมจตรสเพมขนกรปในการสรางบนได 12 ขน

ตอจากบนได 4 ขน

แนวคด จากการวเคราะหแบบรป จะไดวา ในการสรางบนได 12 ขน จะตองใชรป

สเหลยมจตรสเพมขนจากบนได 4 ขน

เทากบ (1 + 2 + 3 + … + 12) – (1 + 2 + 3 + 4) รป

= 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 รป

= 68 รป

ดงนน เรวตจะตองใชรปสเหลยมจตรสเพมอก 68 รป


2. ครอาจใชสถานการณนเปนคำ�ถ�มท 1 เพอใหนกเรยนหาจำานวนรปสเหลยมจตรสท

ประกอบเปนบนไดในขน 5 หรออาจขามไปหาในขน 10 เลยกได ทงนครอาจใหนกเรยน

เขากลมชวยกนระดมความคด หาแนวคดทจะหาคำาตอบไดเรวกวาการนบตอไปเรอย ๆ

ครอาจถอโอกาสแนะนำาใหนกเรยนเขยนความสมพนธของจำานวนรปสเหลยมจตรส

อยางเปนระบบ งายตอการมองเหนคำาตอบไดเรวขน ตลอดจนสามารถเขยนความสมพนธในขน n

เมอ n เปนจำานวนนบ ไดดงน

จำ�นวนขนบนได จำ�นวนรปสเหลยมจตรส

1234...

n

11 + 21 + 2 + 31 + 2 + 3 + 4

.

.

.

1 + 2 + 3 + 4 + … + n

= 1= 3= 6= 10

.

.

.

= n(n+1)_2



คำาถามท 2 ธนภมจะตองใชอฐกกอนในการกอกองอฐกองท 10

แนวคด วเคราะหความสมพนธของแบบรปของการกออฐกองท n เมอ n เปนจำานวนนบไดดงน


ครอาจใหนกเรยนไดฝกทกษะในเรองแบบรปเพมเตม เพอพฒนาการนำาความรสก

เชงปรภมและความรสกเชงจำานวนมาใชประกอบการวเคราะหหาความสมพนธของ

แบบรป โดยอาจใชตวอยางตอไปน

คำาถามท 1 ธนภมจะตองใชอฐกกอนในการกอกองอฐกองท 4

แนวคด วเคราะหความสมพนธของแบบรปจะได ดงน กองท 1 ม 2 แถว ใชกอนอฐ 1 + 2 = 3 กองท 2 ม 3 แถว ใชกอนอฐ 1 + 2 + 3 = 6 กองท 3 ม 4 แถว ใชกอนอฐ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 กองท 4 ม 5 แถว ใชกอนอฐ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 ดงนน ธนภมจะตองใชกอนอฐในการกออฐกองท 4 จำานวน 15 กอน

รปแบบก�รกออฐ

ธนภมสรางแบบรปการกออฐใหแขงแรง ดงรป

กองท 1 กองท 2 กองท 3


123...n

234...

n+1 (n+1)(n+2)_2

(10+1)(10+2)_2

1 + 2 = 31 + 2 + 3 = 61 + 2 + 3 + 4 = 10

.

.

.1 + 2 + … + n + (n + 1) =

กองท จำานวนแถวของกองอฐ จำานวนอฐในแตละกอง

ดงนน ธนภมจะตองใชอฐในการกออฐกองท 10 เทากบ = 66 กอน



คำาถามท 3 ถาธนภมมอฐ 200 กอนเขาจะกอกองอฐในแบบรปนไดสงทสดกชนและมอฐเหลอกกอน สมมตใหแถวท n ของแบบรปนมจำานวนอฐประมาณ 200 กอน = 200จะได (n + 1)(n + 2) = 400เราสามารถหาจำานวนนบ n ได 2 วธ ดงนวธท 1 จาก (n + 1)(n + 2) = 400 n2 + 3n + 2 = 400 n2 + 3n – 398 = 0

n = n = n ≈

n ≈ -21.5, 18.5 แตเนองจาก n ตองเปนจำานวนนบ ดงนน n = 18

วธท 2 จาก (n + 1)(n + 2) = 400 เนองจาก n + 1 กบ n + 2 เปนจำานวนนบทตางกนอย 1 ทดลองนำาจำานวนนบสองจำานวนทมากทสดซงตางกนหนง แลวผลคณไมเกน 400 เชน 20 x 21 = 420 ซงใชไมไดเพราะผลคณมากกวา 400 ทดลองนำาจำานวนนบสองจำานวนทมากทสดคใหมท ตางกนหนงแลวผลคณไมเกน 400 จะได (n + 1)(n + 2) = 19 x 20 = 380 จะได n + 1 = 19 หรอ n + 2 = 20 ดงนน n = 18 โจทยขอนตองการทราบวาธนภมจะกองอฐไดสงสดกชน จากการคำานวณหาจำานวนนบ n ทงสองวธ ได n = 18 แสดงวากองท 18 กอกองอฐ ในแบบรปนไดสงทสด 19 ชน ซงใชอฐ

= = 190 กอนจะเหลอกอนอฐเทากบ 200 – 190 = 10 กอนดงนน ธนภมจะกอกองอฐในแบบรปนไดสงทสด 19 ชน และมอฐเหลอ 10 กอน

(n+1)(n+2)_2

24(-398)93- −±

216013- ±

2403- ±

(n+1)(n+2)_2

(18+1)(18+2)_2




10

ชาวสวนปลกฝรงในแปลงปลกรปสเหลยมจตรส นอกจากนยงปลกตนสนไวรอบๆ แปลงฝรง เพอปองกนลมดวย แผนผงในรปตอไปนแสดงแปลงฝรงดงกลาว โดย n คอ จานวนแถวของตนฝรง

X X X X X

X X

X X

X X

X X X X X

คาถามท 1: สวนฝรง

เตมขอมลลงในตารางตอไปนใหสมบรณ n จานวนของตนฝรง จานวนของตนสน 1 1 8 2 4 3 4 5


เตมขอมลในตารางไดถกตองทง 7 แหง ดงน

n จานวนของตนฝรง จานวนของตนสน 1 1 8 2 4 16 3 9 24 4 16 32 5 25 40

X X X X X X X

X X

X X

X X

X X

X X

X X X X X X X

X X X

X X

X X X

X X X X X X X X X

X X

X X

X X

X X

X X

X X

X X

X X X X X X X X X

ลกษณะเฉพาะของขอสอบ เนอหา : การเปลยนแปลงและความสมพนธ แขนงวชา : พชคณต

สถานการณ : ในเชงการศกษา

สมรรถนะ : -

แบบของขอสอบ : สรางคาตอบแบบปด

ประเทศ % ตอบถก ญปน 81.50 เกาหล 73.40 ฮองกง-จน 78.10 ไทย 18.29

สวนฝรง

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4

X แทน ตนสน

แทน ตนฝรง

สวนฝรง

คำ�ถ�มท 1: สวนฝรง เตมขอมลลงในตารางตอไปนใหสมบรณ


เตมขอมลในตารางไดถกตองทง 7 แหง ดงนประเทศญปนเกาหลฮองกง-จนไทย

% ตอบถก81.5073.4078.1018.29

ชาวสวนปลกฝรงในแปลงปลกรปสเหลยมจตรส นอกจากนยงปลกตนสนไวรอบ ๆ แปลงฝรง เพอปองกนลมดวย แผนผงในรปตอไปนแสดงแปลงฝรงดงกลาว โดย n คอ จำานวนแถวของตนฝรง

n จำ�นวนของตนฝรง จำ�นวนของตนสน

1 1 8

2 4

3

4

5


1 1 8

2 4 16

3 9 24

4 16 32

5 25 40

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : การเปลยนแปลงและความสมพนธแขนงวช� : พชคณตสถ�นก�รณ : ในเชงการศกษาสมรรถนะ : -แบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบปด



คำ�ถ�มท 2 : สวนฝรง จงหาคาของ n นน โดยแสดงวธคำานวณดวย ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................

ไดคะแนนบ�งสวน

มคำาตอบผดหรอไมตอบ 1 แหง


- คำาตอบถก คอ n= 8 และแสดงวธคดถกหรอไมกได ดงน • n2 = 8n, n2 - 8n = 0 , n(n - 8) = 0 , n = 0 และ 8 ดงนน n = 8 • n2 = 82 = 64 , 8n = 8 x 8 = 64 • n2 = 8n ดงนน n = 8 • 8 x 8 = 64 , n = 8 • n = 8 • 8 x 8 = 82

- อาจใชวธคดตางออกไป ไดคำาตอบ 2 คำาตอบ คอ n = 8 และ n = 0 กได • n2 = 8n , n2 - 8n = 0, n(n - 8) = 0 , n = 0 และ n = 8 - อาจใชวธเขยนรปขยายออกไป และไดคำาตอบ n = 8 กได


มคำาตอบผดหรอไมตอบมากกวา 1 แหง

ไมมคะแนนคำาตอบอน ๆ รวมทงคำาตอบ n = 0 อยางเดยว • n2 = 8n (เขยนประโยคซำากบคำาถาม) • n2 = 8 • n = 0 ตอบคำาตอบเดยวไมไดเพราะทก ๆ ตนฝรง 1 ตน จะมตนสน 8 ตน

นกเรยนสามารถคำานวณหาจำานวนของตนฝรงและจำานวนของตนสนโดยใชสตร 2 สตร ตอไปน จำานวนของตนฝรง = n2

จำานวนของตนสน = 8nเมอ n คอ จำานวนแถวของตนฝรง จะมคาของ n อยคาหนงทจำานวนของตนฝรงจะเทากบจำานวนของตนสน


ประเทศญปนเกาหลฮองกง-จนไทย

% ตอบถก50.8060.6056.4010.56




คำาตอบถกตองตามดวยคำาอธบายทสมเหตสมผล ตวอยางเชน• จำานวนตนฝรง = n x n และจำานวนตนสน = 8 x n ทงสองสตรนม n เปนตวประกอบ แตจำานวนตนฝรงม n อกหนงตว ซงจะทำาใหมจำานวนมากขน ในขณะท 8 ยงคงเปนตวประกอบเดม คอ จำานวนของตนฝรงจะเพมขนเรวกวา

• จำานวนตนฝรงเพมขนเรวกวา เพราะจำานวนตนฝรงเพมเปนกำาลงสอง แทนทจะคณดวย 8 • จำานวนตนฝรงเปนสมการกำาลงสอง จำานวนตนสนเปนสมการเชงเสน ดงนนจำานวนตนฝรงจะเพมขนเรวกวา• ตอบโดยอาศยกราฟ เพอแสดงวา n2 มคามากกวา 8n เมอ n มากกวา 8 [ใหถกถานกเรยนอธบายในเชงพชคณตอยบนพนฐานของสตร n2 และ 8n]


คำาตอบถกตอง อยบนพนฐานของการยกตวอยางเปนเฉพาะกรณไป หรอเตมขอมลในตารางออกไปอก• จำานวนตนฝรงจะเพมขนอยางรวดเรวกวา เพราะจากขอมลในตารางจะเหนวา จำานวนตนฝรงเพมขนเรวกวา จำานวนตนสน กรณนเกดขนภายหลงจากจำานวนตนฝรงและจำานวนตนสนเทากนแลว

• จากขอมลในตารางแสดงใหเหนวา จำานวนตนฝรงเพมขนเรวกวาหรอ คำาตอบถกตอง รถงความสมพนธบ�งประก�รระหวาง n2 และ 8n ทละไวในฐานทเขาใจ หลงจาก n > 8

• หลงจาก 8 แถวแลว จำานวนตนฝรงจะเพมขนเรวกวาจำานวนตนสน• จนกวาตนสนจะครบ 8 แถวแลว จำานวนตนฝรงจงจะมากกวา


คำาตอบถกตอง แตไมอธบาย หรออธบายไมเพยงพอ หรออธบายผด เชน

• ตนฝรง• ตนฝรง ทอยภายในมากกวาตนฝรงทอยรอบ ๆ ดานนอก• ตนฝรง เพราะถกลอมรอบดวยตนสน

หรอ คำาตอบทไมถกตองอน ๆ เชน• ตนสน• ตนสน เพราะทกครงทเพมแถวของตนฝรง ทานตองใชตนสนเปนจำานวนมาก• ตนสน เพราะตนฝรงทก ๆ ตน มตนสน 8 ตน• ขาพเจาไมทราบ

คำ�ถ�มท 3 : สวนฝรง สมมตวาเจาของสวนตองการขยายสวนใหใหญขน โดยเพมจำานวนแถวของตนไมใหมากขน เมอสวนขยายใหญขน จงหาวาจำานวนของตนฝรงหรอจำานวนของตนสนอยางไหนจะเพมขนเรวกวากน และอธบายวา นกเรยนคดหาคำาตอบอยางไรดวย ......................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................



% ตอบถก21.1030.4026.802.28



13

การวเคราะหและแนวคดในการแกโจทยปญหา

สถานการณโจทย สถานการณในโจทยขอน กาหนดแบบรปของการปลกตนฝรงในแปลงรปสเหลยมจตรส โดยปลกตนฝรงเปนแถว ๆ จานวนตนฝรงในแตละแถวเทากบจานวนแถวของตนฝรงทปลก นอกจากน ยงปลกตนสนไวรอบ ๆ แปลงฝรงเพอปองกนลม ตามแผนผงทโจทยกาหนด แบบรปของแปลงปลกตนฝรงทกาหนดให n เปนจานวนแถวของตนฝรง เมอ n = 1, 2, 3 และ 4 เปนดงน

X X X X X

X X

X X

X X

X X X X X

โจทยใหขอสงเกตเกยวกบจานวนของตนฝรงและจานวนของตนสน จากแบบรป 2 แบบรป คอ จานวนของตนฝรง เทากบ n2 และจานวนของตนสน เทากบ 8n เมอ n คอจานวนแถวของตนฝรง แลวโจทยใหแสดงวธหาวา n เปนเทาใด ททาใหจานวนของตนฝรงเทากบจานวนของตนสนหรอ n2 = 8n นอกจากน โจทยใหวเคราะหตอวา เมอแปลงตนฝรงขยายใหญขนตามแบบรปทกาหนดให จานวนของตนฝรงหรอจานวนของตนสนอยางไหนจะเพมขนเรวกวากน โดยใหอธบายทมาของคาตอบดวย

ความรทางคณตศาสตรทเกยวของ ในการตอบคาถามท 1 นกเรยนจะตองสงเกตจากแบบรปการปลกตนฝรงและตนสน เมอ n = 1, 2, 3, 4, 5 แลวเตมจานวนของตนฝรงและจานวนของตนสนทนบไดจากแบบรปลงในตารางทโจทยกาหนดให ในการตอบคาถามท 2 โจทยใหหาคา n เมอ n2 = 8n นกเรยนอาจใชวธแกสมการกาลงสองหรอลองแทนคา n ทสอดคลองกบสมการกสามารถหาคาตอบไดหรออาจใชวธเขยนรปขยายออกไปจนถง n = 8 กได สาหรบคาถามท 3 โจทยตองการใหหาวา เมอสวนขยายใหญขน จานวนของตนฝรงหรอจานวนของตนสนอยางไหนจะเพมขนเรวกวากน ใหอธบายวธคดประกอบ

X X X X X X X

X X

X X

X X

X X

X X

X X X X X X X

X X X

X X

X X X

X X X X X X X X X

X X

X X

X X

X X

X X

X X

X X

X X X X X X X X X

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4

X แทน ตนสน

แทน ตนฝรง




สถานการณในโจทยขอน กำาหนดแบบรปของการปลกตนฝรงในแปลงรปสเหลยมจตรส โดยปลกตนฝรงเปนแถว ๆ จำานวนตนฝรงในแตละแถวเทากบจำานวนแถวของตนฝรงทปลก นอกจากนยงปลกตนสนไวรอบ ๆ แปลงฝรงเพอปองกนลม ตามแผนผงทโจทยกำาหนดแบบรปของแปลงปลกตนฝรงทกำาหนดให n เปนจำานวนแถวของตนฝรง เมอ n = 1, 2, 3 และ 4 เปนดงน

โจทยใหขอสงเกตเกยวกบจำานวนของตนฝรงและจำานวนของตนสน จากแบบรป 2 แบบรป คอ จำานวนของตนฝรงเทากบ n2 และจำานวนของตนสนเทากบ 8n เมอ n คอจำานวนแถวของตนฝรง แลวโจทยใหแสดงวธหาวา n เปนเทาใด ททำาใหจำานวนของตนฝรงเทากบจำานวนของตนสนหรอ n2 = 8n นอกจากน โจทยใหวเคราะหตอวา เมอแปลงตนฝรงขยายใหญขนตามแบบรปทกำาหนดให จำานวนของตนฝรงหรอจำานวนของตนสนอยางไหนจะเพมขนเรวกวากน โดยใหอธบายทมาของคำาตอบดวย

ในการตอบคำาถามท 1 นกเรยนจะตองสงเกตจากแบบรปการปลกตนฝรงและตนสน เมอ n = 1, 2, 3, 4, 5 แลวเตมจำานวนของตนฝรงและจำานวนของตนสนทนบไดจากแบบรปลงในตารางทโจทยกำาหนดให ในการตอบคำาถามท 2 โจทยใหหาคา n เมอ n2 = 8n นกเรยนอาจใชวธแกสมการกำาลงสองหรอลองแทนคา n ทสอดคลองกบสมการกสามารถหาคำาตอบไดหรออาจใชวธเขยนรปขยายออกไปจนถง n = 8 กได



สำาหรบคำาถามท 3 โจทยตองการใหหาวา เมอสวนขยายใหญขน จำานวนของตนฝรงหรอจำานวน

ของตนสนอยางไหนจะเพมขนเรวกวากน ใหอธบายวธคดประกอบจำานวนตนฝรง เทากบ n2 และ

จำานวนตนสน เทากบ 8n เมอ n เปนจำานวนแถวของตนฝรง โดยนกเรยนอาจหาจำานวนของ

ตนฝรงและจำานวนของตนสน เมอ n เพมขน โดยใชความรสกเชงจำานวน หรอ อาจใชความรเรอง

อสมการและสมการพจารณาในกรณท n < 8 , n = 8 และ n > 8 หรอ นกเรยนอาจใชความรเรอง

กราฟ เขยนกราฟแสดงการเพมของจำานวนตนฝรงจากสมการ y = n2 และจากสมการ y = 8n

เมอ n เปนจำานวนแถวของตนฝรง และ y แทนจำานวนของตนไม (อาจเปนตนฝรงหรอตนสนกได)

แลวเปรยบเทยบกราฟทงสองทได

คำาถามท 1 ใหเตมจำานวนของตนฝรงและตนสนลงในตารางเมอ n = 1, 2, 3, 4, 5 โดยเขยนแผนผง เมอ n = 5 ตามแบบรปทใหมา ไดดงน

เมอนบจำานวนของตนฝรงและตนสนจากแผนผง แลวเตมจำานวนทไดลงในตารางไดดงน




1 1 8

2 4 16

3 9 24

4 16 32

5 25 40



คำาถามท 2 นกเรยนสามารถคำานวณหาจำานวนของตนฝรงและจำานวนของตนสนโดยใชสตร 2 สตร ตอไปน จำานวนของตนฝรง เทากบ n2

จำานวนของตนสน เทากบ 8n เมอ n คอ จำานวนแถวของตนฝรง จะมคาของ n อยคาหนงทจำานวนของตนฝรงจะเทากบจำานวนของตนสน จงหาคาของ n นน โดยแสดงวธคำานวณดวย


แนวคด 1 หาคาของ n ทจำานวนของตนฝรงเทากบจำานวนของตนสน จากสมการ n2 = 8n นำา 8n ลบทงสองขางของสมการ จะได n2 - 8n = 8n - 8n n2 - 8n = 0 n (n - 8) = 0 n = 0 หรอ n - 8 = 0 นนคอ n = 0 หรอ n = 8 แตเนองจาก n เปนจำานวนแถวของตนฝรง ดงนน n เปนจำานวนนบ n จงไมเทากบ 0 นนคอ n = 8ตรวจสอบ แทน n ดวย 8 จะไดจำานวนของตนฝรงเทากบ n2 = 82 = 64 และจะไดจำานวนของตนสนเทากบ 8n = 8 x 8 = 64 ซงเทากน ดงนน เมอ n = 8 จะไดจำานวนของตนฝรงเทากบจำานวนของตนสน

แนวคด 2 ใชวธลองแทนคา n ดวยจำานวนนบ 1, 2, 3, … จนกวาจะได n2 และ 8n เทากน

จากตารางขางตน จำานวนของตนฝรงเทากบจำานวนของตนสน เทากบ 64 เมอจำานวนแถวของตนฝรงเปน 8 ดงนน จำานวนของตนฝรงเทากบจำานวนของตนสน เมอ n = 8 นนคอ n = 8

n 1 2 3 4 5 6 7 8

n2 1 4 9 16 25 36 49 64

8n 8 16 24 32 40 48 56 64



แนวคด 3 ใชวธเขยนรปขยายออกไปจาก n = 4 เปน n = 5, n = 6, n = 7 และ n = 8 ในแตละ n กนบจำานวนของตนฝรงและตนสนเปรยบเทยบกนไปเรอย ๆ ในทสดจะไดวา n = 8 เปนคำาตอบทตองการหา

คำาถามท 3 เมอขยายสวนใหใหญขน จงหาวาจำานวนของตนฝรงหรอจำานวนของตนสนอยางไหน จะเพมขนเรวกวากน และอธบายวานกเรยนคดหาคำาตอบอยางไรดวยแนวคด 1 พจารณาจากสตร 2 สตร ตอไปน จำานวนของตนฝรง เทากบ n2

จำานวนของตนสน เทากบ 8n เมอ n คอ จำานวนแถวของตนฝรง

จากคำาถามท 2 พบวา เมอ n = 8 ทำาให n2 = 8n ดงนน จงควรพจารณาใน 2 กรณ คอ n < 8 และ n > 8 ดงน

กรณท 1 n < 8 คณทงสองขางของอสมการดวย n และเนองจาก n > 0 จะได n x n < 8 x n หรอ n2 < 8n ดงนน ถาจำานวนแถวของฝรงนอยกวา 8 จะไดจำานวนของตนฝรงนอยกวาจำานวนของตนสน กรณท 2 n > 8 คณทงสองขางของอสมการดวย n และเนองจาก n > 0 จะได n x n > 8n หรอ n2 > 8n ดงนน ถาจำานวนแถวของตนฝรงมากกวา 8 จะไดจำานวนของตนฝรงมากกวาจำานวนของตนสน จากกรณทง 2 จะเหนวา ถาสวนฝรงขยายใหญขนมากกวา 8 แถว จะไดจำานวนของตนฝรงเพมขนเรวกวาจำานวนของตนสน แนวคด 2 พจารณาโดยใชความรสกเชงจำานวนจากสตร 2 สตร ตอไปน จำานวนของตนฝรง เทากบ n2 จำานวนของตนสน เทากบ 8n เมอ n แทนจำานวนแถวของตนฝรง เนองจาก n2 = n x n และ 8n = 8 x n ดงนน ถา n เพมขนมากกวา 8 แลว n x n ยอมมากกวา 8 x n เสมอ นนคอ ถาสวนฝรงขยายใหญขนมากกวา 8 แถว จำานวนของตนฝรงเพมขนเรวกวาจำานวนของตนสน ดงนน เมอสวนฝรงขยายใหญขนเรอย ๆ จนจำานวนแถวของตนฝรงมากกวา 8 จำานวนของตนฝรงจะเพมขนเรวกวาจำานวนของตนสน ซงสามารถเขยนแสดงไดดงน ถา n > 8 แลว n x n > 8n หรอ n2 > 8n เสมอ




17

แนวคด 3 จากสตรจานวนของตนฝรง เทากบ n2

และ จานวนของตนสน เทากบ 8n เมอ n คอ จานวนแถวของตนฝรง ให y แทนจานวนของตนไม เขยนกราฟของ y = n2 และ y = 8n ไดดงน

จากกราฟขางตนจะเหนวา เมอ n > 8 กราฟของ y = n2 จะเพมขนเรวมากกวากราฟของ y = 8n แสดงวาจานวนของตนฝรงเพมขนเรวกวาจานวนของตนสน เมอขนาดของสวนฝรงขยายใหญขนโดยจานวนแถวมากกวา 8 แถว

ขอสงเกต/ขอเสนอแนะ ในการตอบคาถามท 1 ถานกเรยนพยายามหาสตรเพอหาจานวนของตนฝรงและจานวนของตนสน นกเรยนอาจประสบปญหาอยบาง อยางไรกตามถานกเรยนใชวธนบจานวนของตนฝรงและจานวนของตนสนจากแผนผง นกเรยนกสามารถตอบคาถามท 1 ไดไมยาก แตปรากฏวามนกเรยนไทยไมถง 20 เปอรเซนตของจานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ ตอบคาถามขอนไดถกตองแสดงวานกเรยนสวนใหญยงไมสามารถเขยนแผนผงของจานวนของตนสนและจานวนของตนฝรง เมอ n = 5 เพอนามาเตมในตารางไดถกตอง ซงอาจเปนไปไดวานกเรยนมองไมเหนแบบรปของการปลกตนฝรงและตนสน สาหรบการตอบคาถามท 2 ใหหาคาของ n ททาให n2 = 8n ซงเปนสมการกาลงสอง ตวแปรเดยว นกเรยนไดเรยนเรองนในชนมธยมศกษาปท 2 ในคณตศาสตร

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 2 4 6 8 10 12

y y = n2

y = 8n

n

แนวคด 3 จากสตรจำานวนของตนฝรง เทากบ n2 และ จำานวนของตนสน เทากบ 8n เมอ n คอ จำานวนแถวของตนฝรง ให y แทนจำานวนของตนไม เขยนกราฟของ y = n2 และ y = 8n ไดดงน



ขอสงเกต/ขอเสนอแนะ ในการตอบคำาถามท 1 ถานกเรยนพยายามหาสตรเพอหาจำานวนของตนฝรงและจำานวนของตนสน นกเรยนอาจประสบปญหาอยบาง อยางไรกตามถานกเรยนใชวธนบจำานวนของตนฝรงและจำานวนของตนสนจากแผนผง นกเรยนกสามารถตอบคำาถามท 1 ไดไมยาก แตปรากฏวามนกเรยนไทยไมถง 20 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ ตอบคำาถามขอนไดถกตอง แสดงวานกเรยน สวนใหญยงไมสามารถเขยนแผนผงของจำานวนของตนสนและจำานวนของตนฝรง เมอ n = 5 เพอนำามาเตมในตารางไดถกตอง ซงอาจเปนไปไดวานกเรยนมองไมเหนแบบรปของการปลกตนฝรงและตนสน สำาหรบการตอบคำาถามท 2 ใหหาคาของ n ททำาให n2 = 8n ซงเปนสมการกำาลงสองตวแปร เดยว นกเรยนไดเรยนเรองนในชนมธยมศกษาปท 2 ในคณตศาสตรเพมเตม เลม 2 ซงมนกเรยน บางคนทเลอกเรยนคณตศาสตรเพมเตมเทานน ทไดผานการเรยนเรองนมากอน อาจเปนเหตใหนกเรยนไทยสวนนอย คอ ประมาณ 10 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ ตอบคำาถามขอนได ถกตอง อาจเปนไปไดวานกเรยนทตอบถกใชวธลองแทนคาของ n ในสมการ n2 = 8n ซงถาใชการแทนคาในใจกจะใชเวลาไมมากนก แตนกเรยนอาจนกไมถงวาอาจใชวธเขยนรปขยายออกไปตามแบบรปทใหมากได สำาหรบการตอบคำาถามท 3 นกเรยนควรเลอกตอบคำาถามโดยใชแนวคด 1 หรอแนวคด 2 สำาหรบแนวคด 3 นนอาจเปนวธททำาใหเสยเวลามากเกนไปในการทำาขอสอบ มจำานวนนกเรยนไทยนอยมากทตอบคำาถามขอนไดถกตอง คอ มเพยง 2.28 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ แสดงวานกเรยนสวนใหญยงไมคนเคยกบการตอบคำาถามประเภทปลายเปดเกยวกบการเปลยนแปลงและความสมพนธ ซงตองอาศยการคดวเคราะหทการจดการเรยนรคณตศาสตรมกละเลยกนในเรองน จากผลการตอบคำาถามทงสามขอขางตน แสดงใหเหนวานกเรยนสวนใหญยงขาดประสบการณในการทำาโจทยเกยวกบแบบรปตาง ๆ ทซบซอนขนจงตอบคำาถามไมได หรอไมไดตอบคำาถาม ปจจบนครคณตศาสตรจำานวนมากยงไมคอยตระหนกถงความสำาคญของแบบรปทมอยมากใน สงแวดลอม เราโชคดทหลายสงหลายอยางในโลกนมลกษณะความสมพนธกนเปนแบบรป ทำาใหสามารถกำาหนดตวแบบเชงคณตศาสตรมาวเคราะห คาดการณถงผลทเกดในอดต ปจจบน และอนาคต ทำาใหสามารถเตรยมการรบมอกบผลลพธตาง ๆ ทอาจเกดขนไดด สามารถใชเทคโนโลยมาประยกตใช ทำาใหการดำาเนนชวตมประสทธภาพและคณภาพมากขน เรองเกยวกบแบบรปและความสมพนธของ แบบรปเปนเรองทกำาหนดไวในหลกสตรแกนกลางคณตศาสตร พทธศกราช 2551 ไวอยางชดเจนในสาระท 4 พชคณต มาตรฐาน ค 4.1 เขาใจและวเคราะหแบบรป ความสมพนธและฟงกชน และไดกำาหนด ตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลางไวตงแตระดบชนประถมศกษาและระดบมธยมศกษาตอนตน โดยแทรกสาระไวในเรองสมการ ชนมธยมศกษาปท 1 และในเรองอสมการชนมธยมศกษาปท 3 ถาครไดจดการเรยนรตามมาตรฐานหลกสตรและตวชวดดงกลาวอยางเหมาะสม โดยปพนฐานและใหนกเรยนมประสบการณอยางเพยงพอในการทำาโจทยปญหาเกยวกบเรองเหลาน นกเรยนนาจะไมมปญหาทำาโจทยในทำานองน แตในการจดการเรยนการสอนในระดบมธยมศกษา นกเรยนยงขาดประสบการณในการวเคราะหแบบรปอยางหลากหลายโดยเฉพาะแบบรปทเปนรปเรขาคณตมากกวาหนงชนด ดงเชนโจทยสถานการณเรองสวนฝรง ยงมแบบรปทสามารถนำามาใชพฒนาความคดวเคราะหของนกเรยนอกมากทครผสอนสามารถนำามาใหนกเรยนไดฝกวเคราะห จะขอยกตวอยางตาง ๆ รวมทงสถานการณบางสถานการณทครสามารถนำามาปรบใชได ดงน



ครงท จำ�นวน จำ�นวน จำ�นวน

1

2

3

4

5...n

2

3

4

5

6...

n + 1

2

3

4

5

6...

n + 1

2

3

4

5

6...

n + 1

กดเเกดเ

ตวอย�งท 1 กำาหนดแบบรปทใชชนสวนทมลกษณะ , และ ในการออกแบบจงสำารวจและวเคราะหแบบรปดงกลาวแลวตอบคำาถามตอไปน

คำาถามท 1 ม , และ อยางละกชน ในการออกแบบครงท 39 ของแบบรปทกำาหนดให และจะตองใชชนสวนในการออกแบบทงหมดกชน แนวคด พจารณาจำานวนชนของ , และ ในการออกแบบแตละครงตามลำาดบ ดงน

คำ�ถ�มท 2 เปนไปไดหรอไมทในการออกแบบครงหนงจำานวนชนของ , และ รวมกนเปน 100 ชน จงใหเหตผลประกอบคำาตอบแนวคด เปนไปไมได เพราะวา ในการออกแบบแตละครง จะตองใช , และ อยางละเทา ๆ กน ดงนนผลรวมของชนสวนในการออกแบบครงหนง ๆ จะตองหารดวย 3 ลงตว แต 100 หารดวย 3 ไมลงตว


รวมจำานวนชนสวนทง 3 ชนดในการออกแบบครงท n เทากบ 3(n + 1) ชนดงนน ในการออกแบบครงท 39จะม จำานวน 39 + 1 ชน หรอ 40 ชน จำานวน 39 + 1 ชน หรอ 40 ชน จำานวน 39 + 1 ชน หรอ 40 ชนนนคอ จะตองใชชนสวนทงสามรปแบบรวมเปน 3 x 40 = 120 ชน

1

2

3

4

...10...

20




ตวอย�งท 2 กำาหนดการออกแบบทใชรปสามเหลยมดานเทาและรปหกเหลยมดานเทามมเทาทมแบบรปดงตอไปน คำาถามท 1 มรปสามเหลยมดานเทาและรปหกเหลยมดานเทา มมเทาอยางละกรปในการออกแบบครงท 29

ดงนน รปหกเหลยมดานเทามมเทามจำานวน 3 x 435 = 1,305 รป


...10...

20...n

1

2

3

4

5

เนองจากการออกแบบครงท n จะตองใชรปสามเหลยมดานเทาเทากบ ดงนน

ในการออกแบบครงท 29 จะตองใชรป

สามเหลยมดานเทา เทากบ

= 435 รปและเนองจากจำานวนรปหกเหลยมดานเทามมเทาเปน 3 เทาของจำานวนรปสามเหลยมดานเทา

n(n+1)_2

29(29+1)_2

ครงท จำ�นวน จำ�นวน

1

2

3

4...

n

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10...

1 + 2 + 3 + … + n =

1 × 3 = 3

3 × 3 = 9

6 × 3 = 18

10 × 3 = 30...

n(n+1)_2

n(n+1) _2

x 3

แนวคด พจารณาจำานวนรปสามเหลยมดานเทา และจำานวน รปหกเหล ยมดานเทามมเทาในการออกแบบในแตละครง ตามลำาดบดงน



โดย • แทน ตนมะล x แทน ตนดาวเรอง

คำาถามท 1 ถาแกวตองการปลกตนมะล 4 แถว จะตองใชตนมะลและตนดาวเรอง อยางละกตนแนวคด นบตนมะลและตนดาวเรองจากแบบรปเมอ n = 4 จะได ตนมะล เทากบ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ตน พจารณาตนดาวเรองรอบนอก จะพบวาแตละดานมตนดาวเรองปลก ระหวางตนมะล เนองจาก มตนมะลดานละ 4 ตน จะมตนดาวเรองระหวางตนมะลดานละ 3 ตน และทมมทงสามอก 3 ตน รวมตนดาวเรองทงหมดเทากบ (3 x 3) + 3 = 3 x 4 = 12 ตน หรอ พจารณางาย ๆ วาปลกตนมะล n แถว ตนดาวเรองเทากบ 3n ตน ดงนน จะตองใชตนมะล 10 ตน และตนดาวเรอง 12 ตน

21

ตวอยางท 3 แกวมทวางหนาบานจะทาแปลงปลกตนไมดอกโดยปลกตนมะลและตน ดาวเรองใหมแบบรปตอไปน

โดย • แทน ตนมะล

× แทน ตนดาวเรอง

คาถามท 1 ถาแกวตองการปลกตนมะล 4 แถว จะตองใชตนมะลและตนดาวเรอง อยางละกตน แนวคด นบตนมะลและตนดาวเรองจากแบบรปเมอ n = 4 จะได ตนมะล เทากบ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ตน พจารณาตนดาวเรองรอบนอก จะพบวาแตละดานมตนดาวเรองปลก ระหวางตนมะล เนองจาก มตนมะลดานละ 4 ตน จะมตนดาวเรองระหวางตนมะลดานละ 3 ตน และทมมทงสามอก 3 ตน

รวม ตนดาวเรองทงหมดเทากบ (3 × 3) + 3 = 12 ตน หรอ พจารณางาย ๆ วาปลกตนมะล n แถว ตนดาวเรองเทากบ 3 n ตน ดงนน จะตองใชตนมะล 10 ตน และตนดาวเรอง 12 ตน

× ×

× ×

×

×

×

×

× •

• •

• •

•

n = 4 ×

•

•

•

• × ×

× × ×

× •

• •

n = 2

×

×

× × •

n = 1

×

× × × ×

×

×

×

×

× •

• •

• • •

... n = 3


ตวอย�งท 3 แกวมทวางหนาบานจะทำาแปลงปลกตนไมดอกโดยปลกตนมะล และตนดาวเรองใหมแบบรปตอไปน

× ×

× ×

×

×

×

×

× •

• •

• •

•

n = 4 ×

•

•

•

• × ×

× × ×

× •

• •

n = 2

×

×

× × •

n = 1

×

× × × ×

×

×

×

×

× •

• •

• • •

... n = 3



จำ�นวนแถว จำ�นวนตนมะล จำ�นวนตนด�วเรอง

1

2

3

4

n

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + … + n =

3 = 3 x 1

6 = 3 x 2

9 = 3 x 3

12 = 3 x 4

3nn(n+1) 2

ถาแกวตองการปลกตนมะล 10 แถวเนองจากมทวางหนาบานมาก

แกวจะตองปลกตนมะลและตนดาวเรองอยางละกตน

แนวคด พจารณาจำานวนตนมะลและจำานวนตนดาวเรอง จากแบบรปทกำาหนดให

ดงตาราง ตอไปน



จากตาราง เมอปลกตนมะล n แถว

จำานวนตนมะลเทากบ ตน

จำานวนตนดาวเรองเทากบ 3n ตน

ดงนน แกวตองการปลกตนมะล 10 แถว จะตองใช

ตนมะลเทากบ = 55 ตน

ตนดาวเรองเทากบ 3(10) = 30 ตน

n(n+1) 2

แกวจะตองปลกตนมะลกแถว จำานวนตนมะลจงเทากบจำานวนตนดาวเรอง

แนวคด จำานวนตนมะล n แถวเทากบ ตน

จำานวนตนดาวเรอง เทากบ 3n ตน

พจารณาสมการ = 3n

จะได n2 + n = 6n

หรอ n2 – 5n = 0

n(n – 5) = 0

นนคอ n = 0 หรอ n = 5

เนองจาก n เปนจำานวนนบ ดงนน n = 5

n(n+1) 2

n(n+1) 2

10(10+1)2



ตรวจสอบคำ�ตอบ

จำานวนตนมะล n แถว มตนมะล ตน

จำานวนตนมะล 5 แถว มตนมะล ตน

= 15 ตน

จำานวนตนดาวเรอง เมอปลกตนมะล n แถว เทากบ 3n ตน

ดงนน ตนดาวเรองเมอปลกมะล 5 แถว เทากบ 3 x 5 = 15 ตน

นนคอ เมอปลกตนมะล 5 แถว จำานวนตนมะลเทากบจำานวนตนดาวเรอง

คอ 3 x 5 = 15 ตน

นอกจากแบบรปตาง ๆ แลว การวเคราะหแบบรปเพอหานพจนแทนรปทวไปของ

แบบรปทนำาไปสความสมพนธในเรองสมการและอสมการกเปนเนอหาทควรใหนกเรยนไดรบ

การพฒนา ทงนเพอนำาไปสการแกปญหาในสถานการณทซบซอนขน ดงเชน

จากเรองสวนฝรง ครสามารถสรางสถานการณโจทยใหนกเรยนใชอสมการแกปญหา

ดงตวอยางสถานการณตอไปน

n(n+1) 2

5(5+1)2

ตวอย�งท 4 เจาของสวนมเงน 5,000 บาท ตองการปลกตนฝรงและตนสนตามแบบรป

ทโจทยกำาหนดให โดยตนฝรงราคาตนละ 10 บาท และตนสนราคาตนละ 5 บาท

แทน ตนฝรงแทน ตนสน



แนวคด สมมตปลกตนฝรงแถวละ n ตน

ดงนน จำานวนตนฝรง เทากบ n2 ตน

จำานวนตนสน เทากบ 8n ตน

ตนฝรงราคาตนละ 10 บาท ตนฝรง n2 ตน คดเปนเงน 10n2 บาท

ตนสนราคาตนละ 5 บาท ตนสน 8n ตน คดเปนเงน 5(8n) = 40n บาท

เจาของสวนลงทนเปนเงน 10n2 + 40n บาท

เจาของสวนมทน 5,000 บาท

ดงนน 10n2 + 40n ตองไมเกน 5,000

หรอ n2 + 4n ตองไมเกน 500 บาท

พจารณา n2 + 4n = n(n + 4)

ใชความรสกเชงจำานวนหาจำานวนสองจำานวนคณกน มผลลพธมากทสด

และไมเกน 500 โดยจำานวนทงสองตางกน 4

จะพบวา ถาให n = 20 จะได n + 4 = 24

และ n(n + 4) = 20 x 24 = 480 ไมเกน 500

ดงนน เจาของสวนมเงนพอปลกตนฝรงมากทสดไมเกนแถวละ 20 ตน --- 1

ตองการปลกตนฝรงหางกน 3 เมตร

และปลกแถวละ n ตน จะมชวงหาง 3 เมตรอย n – 1 ชวง

ดงนน ระยะจากตนฝรงตนท 1 ถงตนท n จะยาว 3(n – 1) เมตร

แตตองปลกตนสนหางจากตนท 1 และตนท n ออกไปขางละ 1.5 เมตร

นนคอ เมอปลกตนสนแลวแตละแถวจะยาว 3(n – 1) + 3 = 3n เมตร

พจารณาทดนทใชปลกตนไมม 625 ตารางวา เปนรปสเหลยมจตรส

ดงนน แตละดานของทดนจะยาว 25 วา หรอ 50 เมตร

นนคอ 3n ≤ 50 หรอ n ≤ ≈ 16.7 เมตร

แต n เปนจำานวนนบ ดงนน n < 16

ดงนน มทดนปลกตนฝรงไมเกนแถวละ 16 ตน ------------- 2

พจารณา 1 และ 2 จะไดวา ถงแมวาจะมทนพอปลกตนฝรง

แถวละ 20 ตนกจรง แตมเนอทพอปลกตนฝรงไดเพยงแถวละ 16 ตนเทานน

ดงนน สามารถปลกตนฝรงไดไมเกนแถวละ 16 ตน

นนคอ เจาของสวนปลกตนฝรงไดอยางมาก 16 x 16 = 256 ตน

50_3

คำาถาม เจาของสวนสามารถปลกตนฝรงจำานวนมากทสดกตน ในทดนรปสเหลยม

จตรส 625 ตารางวา โดยปลกตนฝรงหางกน 3 เมตร

คำ�ถ�ม



ท�งเลอก

คำ�ถ�มท 1: ท�งเลอก ในรานพซซาแหงหนง โดยปกตทางรานจะมหนาใหสองอยางอยแลว คอ ชส และมะเขอเทศ นอกเหนอจากน ทานสามารถเลอกหนาพเศษเพมเตมไดอกหนาพเศษมใหเลอก 4 อยางคอ มะกอก แฮม เหด และซาลาม ระพตองการทจะสงพซซาทเพมหนาพเศษอกสองชนด อยากทราบวาระพจะสามารถสงพซซาหนาตาง ๆ กน ไดทงหมดกแบบคำาตอบ: ...............................................แบบ

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ปรมาณแขนงวช� : วยตคณตสถ�นก�รณ : ในเชงอาชพสมรรถนะ : การเชอมโยงแบบของขอสอบ : ตอบสนๆ


% ตอบถก66.0858.5446.3744.3527.60


ตอบ 6 แบบ





คำาถามท 1 ระพตองการทจะสงพซซาทเพมหนาพเศษอกสองชนด อยากทราบวา

ระพสามารถสงพซซาตาง ๆ กน ไดทงหมดกแบบ

แนวคด จากโจทยคำาถามทให นกเรยนอาจใชวธการเขยนแจกแจงเหตการณทงหมดท

สามารถเกดขน หรอสามารถใชวธการเขยนแผนภาพตนไมชวยในการแจกแจง

ระพสามารถสงหนาพซซาพเศษเพมเตมอก 2 ชนด จากหนาทงหมดทมอย 4 ชนด

คอ มะกอก แฮม เหด และซาลาม ในการเลอกหนาพซซาจะเปนการเลอกพรอมกน ดงนน

ผลลพธทไดจะไมมอนดบ และการเลอกจะไมเลอกหนาซำากน






สถานการณในโจทยขอนกลาวถงการสงพซซา ซงรานพซซาแตละรานจะมหนา

พซซาชนดตาง ๆ ใหลกคาเลอก สำาหรบโจทยขอน ทางรานจะกำาหนดหนาพซซาสองชนด

คอ ชส และมะเขอเทศ ซงจะใสในพซซาทกชนด และลกคาเลอกสงหนาเพมเตมอก 2 ชนด

จากหนาทงหมดอก 4 ชนด คอ มะกอก แฮม เหด และซาลาม

สถานการณในลกษณะนจะพบเหนไดทวไปในการเลอกของ 2 สงจากของทมอย

หลายสง เชน เลอกหนาไอศกรม 2 ชนด จากทงหมด 5 ชนด เลอกใสเสอและกางเกงจาก

เสอผาทมอย โจทยตองการใหหาทางเลอกทงหมดทสามารถเกดขนไดจากการเลอกหนา

พซซาพเศษเพมเตม 2 ชนดจากทงหมด 4 ชนด

การตอบคำาถามน นกเรยนตองใชความรเรองหลกการนบเบองตน ตองแจกแจง

เหตการณทงหมดทอาจเกดขนได ซงเปนพนฐานของการหาความนาจะเปนในการทดลอง

สมและเหตการณ โจทยถามวาระพสามารถสงพซซาหนาตาง ๆ ไดกแบบ คอ เหตการณ

ทงหมดทจะเกดขนจากการเลอกของ 2 สงพรอมกนจาก 4 สง ซงเนอหานอยในเรอง

ความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 3 เลม 2 รายวชาพนฐาน




ก�รเขยนแจกแจงเหตก�รณทงหมด จากขอกำาหนดดงกลาวสามารถเขยนแจกแจงเหตการณทงหมด ไดดงน (มะกอก, แฮม) (มะกอก, เหด) (มะกอก, ซาลาม) (แฮม, เหด) (แฮม, ซาลาม) และ (เหด, ซาลาม) ซงมทงหมด 6 แบบ

ก�รเขยนแผนภ�พตนไม จากทโจทยกำาหนดระพจะเลอกหนาพซซา 2 ชนด จาก มะกอก แฮม เหด และซาลาม ไดดงน แฮม ------- (มะกอก, แฮม) เหด ------- (มะกอก, เหด) ซาลาม ------- (มะกอก, ซาลาม) เหด ------- (แฮม, เหด) ซาลาม ------- (แฮม, ซาลาม) เหด ซาลาม ------- (เหด, ซาลาม)

มะกอก

แฮม

1. มขอสงเกตเกยวกบคะแนนสอบของนกเรยนไทย ซงไดคะแนนนอยกวาประเทศอน ๆ คอนขางมาก คอ มนกเรยนไทยตอบถกเพยง 27.60 เปอรเซนตของนกเรยนไทยท เขาสอบ ขณะทนกเรยนจากประเทศญปนตอบถก 66.08 เปอรเซนตของนกเรยนญปนท เขาสอบ ทงนอาจจะเกดจากความสบสนในโจทยทกำาหนด ถานกเรยนอานโจทยโดยขาดความระมดระวง นกเรยนอาจจะเขาใจวาเลอกหนาพซซาเพยงหนาเดยวหรอไมเลอกกได ซงไมใชคำาตอบทโจทยตองการ นอกจากนนกเรยนอาจสบสนในการทำาความเขาใจโจทย เพราะในโจทยขอนไดกำาหนดไววา รานจะมหนาใหสองอยางอยแลว คอ ชส และมะเขอเทศ ซงในการทำาขอสอบไมตองนำาขอมลนมาใช ถานกเรยนเขาใจผดนำาขอมลนมาใชในการหาวธของการเลอกดวยกจะทำาใหไดคำาตอบทผด

จะไดวา สามารถสงพซซาหนาพเศษเพมเตมตาง ๆ กน ได 6 แบบ คอ (มะกอก, แฮม) (มะกอก, เหด) (มะกอก, ซาลาม) (แฮม, เหด) (แฮม, ซาลาม) และ (เหด, ซาลาม)



2. สถานการณจากโจทยถานกเรยนไมมปญหาในการอานโจทยใหเขาใจ ถอวาเปนโจทยทคอนขางงายและตรงไปตรงมา อกทงในหลกสตรกระบอยางชดเจนถงเนอหาเรองนและมรายละเอยดพรอม ตวอยางในหนงสอเรยนมคอนขางมาก ถานกเรยนไดผานการเรยนในเรองการแจงนบในหนงสอเรยนมาแลว นกเรยนควรจะทำาโจทยขอนได อาจเปนไปไดวาครไมไดใหนกเรยนไดฝกการวเคราะหและลองทำาจรงมากพอ หรอไมกไมไดใหหลกในการแจงนบ ซงถานกเรยนแจกแจงกรณตาง ๆ อยางไมเปนระบบกมโอกาสจะผดพลาดได คอ อาจไดกรณตาง ๆ ไมครบถวนหรอไมกอาจไดกรณทซำากน ซงทำาใหไดคำาตอบทไมถกตอง ในการจดการเรยนการสอนครควรเพมสถานการณโจทยทมขอมลทเกยวกบ ชวตจรง ฝกใหนกเรยนแยกแยะใหออกวาขอมลสวนไหนในโจทยเปนขอมลทเปนตวประกอบใหเหตการณสมจรง และขอมลสวนไหนทเปนขอมลหลกในการนำาไปใชหาคำาตอบของโจทย เพราะตวอยางในหนงสอเรยนสวนใหญไมวาจะเปนตวอยางหรอแบบฝกหดในสวนทเปนเรองการหากรณตาง ๆ ของเหตการณมกจะเปนโจทยตรงไปตรงมาไมซบซอน สถานการณโจทยทครอาจนำามาใหนกเรยนวเคราะหอาจเปนเรองเกยวกบการซอขาย การสงซออาหาร การเลอกของขวญ การแจกรางวล โดยเปนสถานการณทเกดขนไดจรงในชวตประจำาวน

ตวอย�งสถ�นก�รณหนง เปนดงน ในการประชมเพอจดคายของโรงเรยน มครรวมประชม 6 คน ในการสงอาหารกลางวน ครแตละคนสามารถเลอกสงอาหารได 4 รายการ จากรายการอาหารตอไปน 1. ขาวเหนยว 2. สมตำาป, สมตำาไทย, สมตำาปลารา 3. นำาตก 4. ซปหนอไม 5. ลาบหม, ลาบไก, ลาบเปดคำาถาม ถาครทกคนสงขาวเหนยว ครแตละคนจะมวธสงอาหารกลางวนทแตกตางกนทงหมดกวธ โดยแตละวธจะไมมสมตำามากกวาหนงชนดและไมมลาบมากกวาหนงชนดแนวคด เนองจากอาหารทสงจะตองมขาวเหนยว ดงนนชนดของอาหารทเลอกไดมทงหมด 4 รายการ คอ สมตำา นำาตก ซปหนอไม และลาบ โดยแตละชดจะเลอกมาอก 3 รายการ ดงนน จำานวนชดอาหารทจะเลอกไดเทากบจำานวนวธในการเลอกของ 3 สง จากของทงหมด 4 สง แสดงไดดงน ชดท 1 สมตำา นำาตก ซปหนอไม ชดท 2 สมตำา นำาตก ลาบ ชดท 3 สมตำา ซปหนอไม ลาบ ชดท 4 นำาตก ซปหนอไม ลาบ

คำ�ถ�ม



ดงนน จะมชดอาหารกลางวนทงหมด 4 ชด โดยชดทมสมตำาจะเลอก สมตำาได 3 วธ และชดทมลาบจะเลอกลาบได 3 วธ ดงนน อาหารชดท 1 สามารถเลอกสมตำาแตกตางกนได 3 วธ ดงน อาหารชดท 1 วธท 1 สมตำาไทย นำาตก ซปหนอไม วธท 2 สมตำาป นำาตก ซปหนอไม วธท 3 สมตำาปลารา นำาตก ซปหนอไม อาหารชดท 2 สามารถเลอกสมตำาแตกตางกนได 3 วธ และแตละวธเลอก ลาบได 3 วธ ดงน อาหารชดท 2 วธท 1 สมตำาไทย นำาตก ลาบหม วธท 2 สมตำาไทย นำาตก ลาบไก วธท 3 สมตำาไทย นำาตก ลาบเปด วธท 4 สมตำาป นำาตก ลาบหม วธท 5 สมตำาป นำาตก ลาบไก วธท 6 สมตำาป นำาตก ลาบเปด วธท 7 สมตำาปลารา นำาตก ลาบหม วธท 8 สมตำาปลารา นำาตก ลาบไก วธท 9 สมตำาปลารา นำาตก ลาบเปด

ในทำานองเดยวกนอาหารชดท 3, 4 สามารถเลอกไดดงน อาหารชดท 3 เลอกสมตำาได 3 วธ และแตละวธเลอกลาบได 3 วธ ดงนน อาหารชดท 3 เลอกไดทงหมด 3 x 3 = 9 วธ อาหารชดท 4 เลอกลาบได 3 วธ ดงนน เลอกไดทงหมด 3 วธ ดงนน มวธเลอกสงอาหารทงหมด ดงน อาหารชดท 1 เลอกได 3 วธ อาหารชดท 2 เลอกได 9 วธ อาหารชดท 3 เลอกได 9 วธ อาหารชดท 4 เลอกได 3 วธ รวม 3 + 9 + 9 + 3 = 24 วธ นนคอ จะมวธสงอาหารกลางวนทงหมด 24 วธ



ชนว�งหนงสอ33

ชนวางหนงสอ

ลกษณะเฉพาะของขอสอบ

เนอหา : ปรมาณ

แขนงวชา : จานวน

สถานการณ : ในเชงอาชพ

สมรรถนะ : การเชอมโยง

แบบของขอสอบ : ตอบสนๆ

การประกอบชนวางหนงสอหนงชดใหสมบรณ ชางไมตองใช สวนประกอบตางๆ ดงน

แผนไมยาว 4 แผน,

แผนไมสน 6 แผน,

ตวหนบตวเลก 12 ตว,

ตวหนบตวใหญ 2 ตว และ

สกร 14 ตว

คาถามท 1 : ชนวางหนงสอ

ชางไมมแผนไมสเหลยมผนผาอยางยาว 26 แผน อยางสน 33 แผน

ตวหนบตวเลก 200 ตว ตวหนบตวใหญ 20 ตว และสกร 510 ตว

ชางไมสามารถประกอบชนวางหนงสอไดทงหมดกชด

คาตอบ: ……………………………………………………………

ประเทศ % ตอบถก ญปน 70.04 เกาหล 72.25 ฮองกง-จน 74.47 มาเกา-จน 66.76 ไทย 35.16

คะแนนเตม ตอบ 5 ชด

ไมมคะแนน คาตอบอนๆ

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ปรมาณแขนงวช� : จำานวนสถ�นก�รณ : ในเชงอาชพสมรรถนะ : การเชอมโยงแบบของขอสอบ : ตอบสนๆ


% ตอบถก70.0472.2574.4766.7635.16

คำ�ถ�มท 1: ท�งเลอก ชางไมมแผนไมสเหลยมผนผาอยางยาว 26 แผน อยางสน 33 แผน ตวหนบตวเลก 200 ตว ตวหนบตวใหญ 20 ตว และสกร 510 ตวชางไมสามารถประกอบชนวางหนงสอไดทงหมดกชดคำาตอบ: ................................................................... คะแนนเตม

ตอบ 5 ชดไมมคะแนน คำาตอบอนๆ

การประกอบชนวางหนงสอหนงชดใหสมบรณ ชางไมตองใช สวนประกอบตาง ๆ ดงน







สถานการณโจทยกลาวถงการประกอบชนวางหนงสอหนงชดโดยชางไมตองใช สวนประกอบตาง ๆ ตามทระบ และในคำาถามไดกำาหนดจำานวนสวนประกอบแตละอยางทใชประกอบชนวางหนงสอให แลวถามวาชางไมสามารถประกอบชนวางหนงสอไดทงหมดกชด เนองจากโจทยปญหานเปนสถานการณทปรากฎอยในชวตประจำาวนถงแมนกเรยนอาจไมสามารถประกอบเปนชนวางหนงสอได แตกควรมทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรในการเชอมโยงความรทางคณตศาสตรไปใชแกปญหาในชวตประจำาวนทำานองนได

ในการทำาโจทยขอน นกเรยนตองใชความรสกเชงปรภม และความรพนฐานเกยวกบการคณและหารจำานวนเตม โดยอาจใชการคาดการณและความรสกเชงจำานวนประกอบการพจารณาหาคำาตอบ ทงนนกเรยนจะตองมทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรในการแกปญหา การเชอมโยงความรทางคณตศาสตร การใชเหตผลประกอบการตดสนใจและสรปผลไดอยางถกตองเหมาะสม จงจะสามารถแกปญหาไดอยางมประสทธภาพ

คำ�ถ�มท 1 ชางไมมแผนไมสเหลยมผนผาอยางยาว 26 แผน อยางสน 33 แผน ตวหนบตวเลก 200 ตว ตวหนบตวใหญ 20 ตว และสกร 510 ตว ชางไมสามารถประกอบชนวางหนงสอไดทงหมดกชดแนวคด 1 คำานวณหาจำานวนชดของชนวางหนงสอทอาจประกอบไดจากสวนประกอบแตละอยาง จะไดวา มแผนไมอยางยาว 26 แผน ชนวางหนงสอหนงชด ตองใชแผนไมอยางยาว 4 แผน ดงนน ทำาชนวางหนงสอไดอยางมาก ≈ 6 ชด ในทำานองเดยวกน แผนไมอยางสน 33 แผน ทำาชนวางหนงสอไดอยางมาก ≈ 5 ชด

264

336




ตวหนบตวเลก 200 ตว ทำาชนวางหนงสอไดอยางมาก ≈ 16 ชด

ตวหนบตวใหญ 20 ตว ทำาชนวางหนงสอไดอยางมาก = 10 ชด

และ สกร 510 ตว ทำาชนวางหนงสอไดอยางมาก ≈ 36 ชด จากสวนประกอบตาง ๆ ทนำามาใชประกอบเปนชนวางหนงสอ พบวา จำานวนแผนไมอยางสนนำามาทำาชนวางหนงสอไดอยางมากเพยง 5 ชด ซงนอยกวาจำานวนชนวางหนงสอทอาจประกอบไดจากสวนประกอบอน ๆ ดงนน ชางไมสามารถประกอบชนวางหนงสอไดทงหมด 5 ชด

แนวคด 2 หาคำาตอบโดยการประมาณคาและตรวจสอบ ดงนขนท 1 ใชความรสกเชงจำานวนคาดคะเนดวาสวนประกอบใดจะใชประกอบเปนชนวางหนงสอไดจำานวนชดนอยกวาสวนประกอบอยางอน ๆ ซงควรจะคาดคะเนไดวาเปนแผนไมทอาจเปนแผนไมยาวหรอแผนไมสน อยางใดอยางหนงขนท 2 ประมาณจำานวนแผนไมยาววาสามารถนำาไปประกอบชนวางหนงสอไดอยางมาก

กชด จะไดวา ≈ 6 จากนนตรวจสอบวา 6 ชด เปนคำาตอบไดหรอไม โดยนำา 6 ไปคณกบจำานวนแผนไมสนทใช 6 แผนตอ 1 ชด จะพบวา 6 x 6 = 36 ซง 36 มากกวาจำานวนแผนไมสนทมอย 33 แผน ดงนน จำานวนชนวางหนงสอตองนอยกวา 6 ชด ขนท 3 ตรวจสอบจำานวนแผนไมสนทใชประกอบชนวางหนงสอ 5 ชด จะใชแผนไมสน 5 x 6 = 30 แผน และเหลอแผนไมสนอก 3 แผน เมอตรวจสอบสวนประกอบอยางอน ๆ ทเหลอเพอการนำามาใชประกอบชนวางหนงสอ 5 ชด กพบวามจำานวนเพยงพอทจะสรางไดนนคอ ชางไมสามารถประกอบชนวางหนงสอไดทงหมด 5 ชด

จากการแจงนบจะพบวา ชนวางหนงสอ 6 ชด ตองใชไมแผนสน 36 แผน ซงมากกวาทมอย 3 แผน ดงนน ชางไมสามารถประกอบชนวางหนงสอไดทงหมด 5 ชด

แนวคด 3 หาคำาตอบโดยการแจงนบ ดงน

200_12

510_14

20 _ 2

26 _ 4

จำ�นวนชด แผนไมย�ว แผนไมสน ตวหนบตวเลก ตวหนบตวใหญ สกร สร�งได

1 4 6 12 2 14

2 8 12 24 4 28

3 12 18 36 6 42

4 16 24 48 8 56

5 20 30 60 10 70

6 24 36 72 12 84




1. เมอพจารณาจากความรทางคณตศาสตรทใชในการแกโจทยปญหาขอนคอการ นกภาพ ความรสกเชงปรภม และความรพนฐานเกยวกบการคณ และการหารจำานวนเตม แลวนกเรยนไทยตอบคำาถามไดถกตองเพยง 35.16 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยท เขาสอบ แสดงใหเหนวานกเรยนไทยขาดทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรในการแกปญหา ไมสามารถเชอมโยงความรทางคณตศาสตรไปประยกตใชแกปญหาสถานการณในชวตจรงได โดยเฉพาะการขาดทกษะในการใชความรสกเชงปรภมและความรสกเชงจำานวน ครผสอนจะตองตระหนกและใหความสำาคญในเรองดงกลาวใหมากขน โดยจดการเรยนรใหเชอมโยงกบสถานการณในชวตจรง และฝกใหนกเรยนใชความรสกเชงปรภมและความรสกเชงจำานวนอยางสมำาเสมอในทกสถานการณทสามารถทำาได 2. สำาหรบโจทยปญหาทมแนวคดในการหาคำาตอบไดหลายวธเชนเดยวกบโจทยปญหาขางตน ครผสอนควรใหโอกาสนกเรยนไดเสนอแนวคดในการหาคำาตอบดวยวธการทแตกตางกน เพอเปนการแลกเปลยนเรยนรในหองเรยน และนกเรยนกจะไดเหนวธการแกปญหาทหลากหลาย โดยครผสอนสามารถใชคำาถามทกระตนใหนกเรยนคดและตดสนใจเลอกวธการแกปญหาทมประสทธภาพจากแนวคดทแตกตางกน วธการดงกลาวจะชวยสงเสรมใหนกเรยนมทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรในดานการแกปญหา การใหเหตผล การสอสารและการนำาเสนอ รวมถงการมความคดรเรมสรางสรรค เพอฝกทกษะและขยายความคดในการแกปญหาใหกบนกเรยน ครผสอนอาจ ตงคำาถามเพมเตมจากสถานการณโจทยขางตน ใหนกเรยนไดคดวเคราะหในการหาคำาตอบ ดงตวอยางตอไปน

คำาถาม จากสถานการณโจทยและคำาถามขางตน ถาตองการประกอบชนวางหนงสอเพมขน 2 ชด ชางไมจะตองหาสวนประกอบใดเพมและเพมเปนจำานวนเทาใด จงจะพอดในการประกอบชนวางหนงสอ

แนวคด จากสถานการณโจทยและคำาถามขางตน ชางไมสามารถประกอบชนวางหนงสอได 5 ชด ถาตองการประกอบชนวางหนงสอเพมขน 2 ชด รวมเปน 7 ชด สวนประกอบทตองเพมคอแผนไมอยางยาวและแผนไมอยางสน ถาตองการประกอบชนวางหนงสอ 7 ชด ใชแผนไมอยางยาว 7 x 4 = 28 แผน ใชแผนไมอยางสน 7 x 6 = 42 แผน ดงนน จะตองหาแผนไมอยางยาวเพม 28 – 26 = 2 แผน และหาแผนไมอยางสนเพม 42 – 33 = 9 แผน

คำ�ถ�ม



สเกตบอรด

คำ�ถ�มท 1 : สเกตบอรด ถาอรญตองการประกอบสเกตบอรดดวยตวเองจงหาราคาตำาสดและสงสดของการซออปกรณรานนราคาตำาสด : ..................................................เซดราคาสงสด : ..................................................เซด

คะแนนเตมตอบถกทงราคาตำาสด (80 เซด) และราคาสงสด (137 เซด)


ตอบถกราคาตำาสดอยางเดยว (80 เซด) หรอตอบถกราคาสงสดอยางเดยว (137 เซด)



ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ปรมาณแขนงวช� : จำานวนสถ�นก�รณ : สวนตว/สวนบคคลสมรรถนะ : การทำาใหมแบบของขอสอบ : ตอบสนๆ


% ตอบถก58.5277.8974.2371.8632.38

อรญชอบสเกตบอรดมาก เขาไปรานขายสเกตบอรดแหงหนงทมชอวา “นกสเกต” เพอตรวจสอบราคา ทรานน ทานสามารถซอสเกตบอรดทประกอบสำาเรจแลว หรอซอแผนกระดาน, ชดลอ 4 ลอ, ชดแกนลอ 2 อน และชดอปกรณประกอบทนำามาประกอบ สเกตบอรดดวยตวเอง

ราคาสนคาในรานเปนดงน

สนค� ร�ค� (เซด)

สเกตบอรดสำาเรจรป 82 หรอ 84

แผนกระดาน 40, 60 หรอ 65

ชดลอ 4 ลอ 14 หรอ 36

ชดแกนลอ 2 อน 16

ชดอปกรณ (ตลบลกปน,

แผนยาง, สลกเกลยวและนอต)

10 หรอ 20



คำ�ถ�มท 2 : สเกตบอรด ทางรานเสนอแผนกระดานทแตกตางกนสามชนด ชดลอตางกนสองชด และชดอปกรณตางกนสองชด และมชดแกนลอเพยง 1 แบบ อรญสามารถประกอบสเกตบอรดไดตางกนกแบบ 1. 6 2. 8 3. 10 4. 12

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบ

เนอห� : ปรมาณ

แขนงวช� : วยตคณต

สถ�นก�รณ : สวนตว/สวนบคคล

สมรรถนะ : การทำาใหม

แบบของขอสอบ : เลอกตอบ

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ปรมาณแขนงวช� : จำานวนสถ�นก�รณ : สวนตว/สวนบคคลสมรรถนะ : การเชอมโยงแบบของขอสอบ : ตอบสนๆ


% ตอบถก66.9965.0460.4151.8520.89


% ตอบถก53.5755.6461.9665.0627.20


ตอบ ขอ 4. 12



คำ�ถ�มท 3 : สเกตบอรด อรญมเงน 120 เซด สำาหรบใชจาย และเขาตองการซอชนสวนตาง ๆ ของสเกตบอรดทมราคาแพงทสดเทาทเขาจะซอได อรญจะตองจายเงนเทาไร ในการซอสวนประกอบทง 4 สวน ใหเตมคำาตอบลงในตารางดานลางน

สวนประกอบ จำ�นวนเงน (เซด)

แผนไมกระดาน

ลอ

แกนลอ

ชดอปกรณ

คะแนนเตม ตอบ แผนไมกระดาน 65 เซด, ลอ 14 เซด แกนลอ 16 เซด และชดอปกรณ 20 เซดไมมคะแนน คำาตอบอนๆ






สถานการณโจทยขอน สอดคลองกบสถานการณในชวตจรงเกยวกบสนคาประเภทอปกรณทมจำาหนายในทองตลาด เรามกพบวามทงอปกรณสำาเรจรปพรอมใชงานไดเลย หรอมชนสวนตาง ๆ ของชดอปกรณใหเลอกซอตามคณภาพและราคาทแตกตางกน เพอใหผซอนำาไปประกอบดวยตวเอง ซงอาจไดคณภาพทดกวาหรอไดราคาทประหยดกวา ปญหาสเกตบอรด เปนสถานการณหนงทกำาหนดเงอนไขใหนกเรยนตองคดวเคราะห ตรวจสอบราคาของสเกตบอรดทประกอบสำาเรจแลว และราคาของชดอปกรณประกอบทนำามาประกอบดวยตนเอง ชดอปกรณประกอบทนำามาประกอบดวยตนเองประกอบดวย แผนกระดาน ชดลอ 4 ลอ ชดลอ 2 ลอ และชดอปกรณทใชในการประกอบอก 1 ชด โดยสนคาแตละอยางมราคาใหเลอกซอหลายราคา โจทยตองการใหเลอกซอชดอปกรณประกอบทประกอบดวยตนเองซงมราคาตำาสดและสงสด และใหหาวาจะมแบบตาง ๆ ของการประกอบสเกตบอรดดวยตนเองทงหมดกแบบ ถาทางรานเสนอแผนกระดานทแตกตางกนสามชนด ชดลอตางกนสองชนดและชดอปกรณตางกนสองชด และมชดแกนลอเพยง 1 แบบ นอกจากนนโจทยตองการใหหาวาจะซอชดอปกรณประกอบทมราคาแพงทสดภายในวงเงน 120 เซดไดอยางไร ในการตอบคำาถามแตละประเดนของโจทย นกเรยนจะตองใชความรสกเชงจำานวนประกอบกบทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรทเหมาะสม

ความรทนกเรยนตองใชคอ 1. ความรสกเชงจำานวนเพอพจารณาวาสวนประกอบชนใดราคาตำาสดหรอราคาสงสด แลวใชความรเรองการบวกจำานวนเตมในการหาราคารวมตำาสดและสงสดของสเกตบอรด 2. ความรเรองการแจงนบเหตการณทงหมดทเกดขนไดตามเงอนไขของโจทยในขอนมสวนประกอบทตองแจงนบอย 4 สวนทจะนำามาประกอบสเกตบอรด ซงแตละสวนกมจำานวนใหเลอกแตกตางกน นกเรยนอาจใชแผนภาพตนไมหรอแผนผงชวยในการแจงนบ 3. การคดวเคราะหขอมล ความรสกเชงจำานวน และการเชอมโยงแนวคดจากคำาถามท 1 นำามาพจารณารวมกนเพอหาคำาตอบทสอดคลองกบเงอนไขทโจทยตองการคอ มเงน 120 เซด และเขาตองการซอชนสวนตาง ๆ ของสเกตบอรดทมราคาแพงทสดทเขาจะซอได



คำาถามท 1 ถาอรญตองการประกอบสเกตบอรดดวยตวเอง จงหาราคาตำาสดและสงสดของการซออปกรณรานน แนวคด โจทยใหหาราคาตำาสดและสงสดของการซออปกรณรานน เพอประกอบสเกตบอรดดวยตนเอง จากขอมลทโจทยกำาหนดใหเกยวกบราคาของสวนประกอบทนำามาประกอบเปนสเกตบอรดเปนดงน



1. โจทยตองการหาราคาตำาสดในการประกอบสเกตบอรด กตองเลอกสวนประกอบทกชนราคาตำาสด จะได ราคารวมของสวนประกอบทงสชน เทากบ 40 + 14 + 16 + 10 = 80 เซด ดงนน อรญจะไดสเกตบอรดทมราคาตำาสด เทากบ 80 เซด

2. โจทยตองการหาราคาสงสดในการประกอบสเกตบอรด กตองเลอกสวนประกอบทกชนราคาสงสด จะได ราคารวมของสวนประกอบทงสชน เทากบ 65 + 36 + 16 + 20 = 137 เซด ดงนน อรญจะไดสเกตบอรดทมราคาสงสด เทากบ 137 เซด

คำาถามท 2 ทางรานเสนอแผนกระดานทแตกตางกนสามชนด ชดลอตางกนสองชด และชดอปกรณตางกนสองชด และมชดแกนลอเพยง 1 แบบ อรญสามารถประกอบ สเกตบอรด ไดตางกนกแบบ

แนวคด คำาถามนนกเรยนไมตองใชขอมลของราคาสเกตบอรดสำาเรจรป และราคา สวนประกอบแตละชนทจะนำามาประกอบเปนสเกตบอรด แตจะใชขอมลเกยวกบชนดของแตละสวนประกอบของสเกตบอรดเทานน โดยโจทยตองการหาสเกตบอรดแบบตาง ๆ กนวาจะไดกแบบ ซงทางรานเสนอแผนกระดานทแตกตางกน 3 ชนด ชดลอตางกน 2 ชด และชดอปกรณตางกน 2 ชด และมชดแกนลอเพยง 1 แบบ


สวนประกอบ ร�ค� (เซด)

แผนไมกระดาน 40, 60 หรอ 65



ชดอปกรณ 10 หรอ 20



42 เนองจากชดแกนลอมเพยงแบบเดยว สเกตบอรดทกแบบกตองใชชดแกนลอน จงไมมผลตอจานวนแบบตาง ๆ ของสเกตบอรดทโจทยตองการหา ในการแจงนบแบบตาง ๆ ของสเกตบอรด เราสามารถแสดงโดยแผนภาพตนไมหรอแผนผงดงน

จากแผนภาพตนไมหรอแผนผงขางตน สามารถสรปไดวาอรญสามารถประกอบสเกตบอรดไดตางกน 12 แบบ

แผนกระดาน 1 (ด1)



แกนลอ (ก)

ชดอปกรณ 1 แบบท 1 (อ1) (ก ด1 ล1 อ1) ชดลอ 1

(ล1) ชดอปกรณ 2 แบบท 2 (อ2) (ก ด1 ล1 อ2)











จากแผนภาพตนไมหรอแผนผงขางตน สามารถสรปไดวาอรญสามารถประกอบ

สเกตบอรดไดตางกน 12 แบบ

เนองจากชดแกนลอมเพยงแบบเดยว สเกตบอรดทกแบบกตองใชชดแกนลอน จงไมมผลตอจำานวนแบบตาง ๆ ของสเกตบอรดทโจทยตองการหา ในการแจงนบแบบตาง ๆ ของสเกตบอรด เราสามารถแสดงโดยแผนภาพตนไมหรอแผนผงดงน



อรญมเงน 120 เซด สำาหรบใชจาย และเขาตองการซอชนสวนตาง ๆ ของสเกตบอรดทแพงทสดเทาทเขาซอได อรญจะตองจายเงนเทาไรในการซอสวนประกอบทง 4 สวน การแกปญหาขอนตองใชขอมลทโจทยกำาหนดใหเกยวกบราคาของสวนประกอบทนำามาประกอบสเกตบอรด ราคาสนคาในรานเปนดงน

โจทยขอนไดกำาหนดเงอนไขวาอรญจะตองเลอกซอสวนประกอบตาง ๆ ทมราคาแพงทสด ภายใตเงอนไขทกำาหนด คอราคารวมตองไมเกน 120 เซด จากขอ 1 หากเลอกซอสวนประกอบแตละชนดทมราคาแพงทสด จะตองใชเงนทงหมด 137 เซด ซงราคาเกนเงอนไขทกำาหนดอย 17 เซด ดงนนอรญจะตองเลอกซอสวนประกอบบางชนดทมราคาตำาลงมาอยางนอย 17 เซด โดยเรมจากซอแผนกระดานในราคาสงสดคอ 65 เซด กอนแลวลดราคาสวนประกอบอนอก 2 แบบดงน แบบท 1 เลอกซอแผนกระดานในราคาสงสดคอ 65 เซด ชดลอราคา 36 เซด แกนลอราคา 16 เซด และเลอกซอชดอปกรณในราคาทตำาลงคอ 10 เซด จะไดราคารวม 127 เซด แบบท 2 เลอกซอแผนกระดานในราคาสงสดคอ 65 เซด เลอกซอชดลอราคาตำาลงคอ 14 เซด สวนแกนลอราคา 16 เซด และชดอปกรณราคา 20 เซตเทาเดม จะไดราคารวม 115 เซด แตอรญมเงน 120 เซตเขาอาจเลอกซอแผนกระดานในราคาทตำาลงมาคอ 60 เซด แลวเลอกสวนประกอบอนไดอก 2 แบบดงน แบบท 3 เลอกซอแผนกระดานในราคาทตำาลงมาราคา 60 เซด ชดลอราคา 36 เซด แกนลอราคา 16 เซด และเลอกซอชดอปกรณในราคาทตำาลงคอ 10 เซดจะไดราคารวม 122 เซด แบบท 4 เลอกซอแผนกระดานในราคาทตำาลงมาราคา 60 เซด ชดลอราคาตำาลงมาคอ 14 เซด แกนลอราคา 16 เซด และเลอกซอชดอปกรณในราคา 20 เซด จะไดราคารวม 110 เซด

สวนประกอบ ร�ค� (เซด)

แผนไมกระดาน 40 , 60 หรอ 65



ชดอปกรณ 10 หรอ 20




รายละเอยดของทง 4 แบบ แสดงไดดงตารางตอไปน

เมอพจารณาเงอนไขทกำาหนดใหกบตารางขางตน พบวาแบบท 2 เปนแบบทตรงกบเงอนไขของโจทยมากทสด

ดงนน คำาตอบเปนดงตาราง

ดงนน อรญจะตองจายเงนซอสวนประกอบเปนเงน 115 เซด

สวนประกอบจำ�นวนเงน (เซด)

แบบท 1 แบบท 2 แบบท 3 แบบท 4

แผนไมกระดาน 65 65 60 60

ลอ 36 14 36 14

แกนลอ 16 16 16 16

ชดอปกรณ 10 20 10 20

รวมราคา 127 115 122 110

สวนประกอบ จำ�นวนเงน(เซด)

แผนไมกระดาน 65

ลอ 14

แกนลอ 16

ชดอปกรณ 20

รวมราคา 115




1. ในการตอบคำาถามท 1 นกเรยนไทยตอบถก 32.30 เปอรเซนต ของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ ซงนอยกวาประเทศอน ๆ เชนนกเรยนประเทศญปนตอบถก 58.52 เปอรเซนต ของจำานวนนกเรยนญปนทเขาสอบ นกเรยนประเทศจน-มาเกา จน-ฮองกง และเกาหลตอบถกมากกวา 70 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนทเขาสอบของแตละประเทศ ทงนอาจเปนเพราะนกเรยนไทยไมคนเคยกบสเกตบอรดวาจะตองประกอบดวย 4 สวนทนำามาประกอบเปนสเกตบอรดหรอไมคนเคยกบโจทยปญหาทใหขอมลมามากกวาสงทตองใชในการหาคำาตอบ คอใหราคาสเกตบอรดสำาเรจรปมาดวย อาจเปนไปไดวานกเรยนไทยยงขาดทกษะการอาน วเคราะห แยกแยะขอมลวาขอมลสวนไหนไมตองใชในการหาคำาตอบ และสวนไหนเปนขอมลทนำามาใชในการหาคำาตอบตามเงอนไขของโจทย ในการหาคำาตอบของคำาถามน หากนกเรยนใชความรสกเชงจำานวน จะพบวาถาตองการราคาตำาสด ควรจะเลอกซออปกรณแตละชนดในราคาทตำาสด จงจะไดราคารวมตำาสด ในทำานองเดยวกนการเลอกซออปกรณแตละชนดในราคาสงสด จะไดราคารวมสงสด 2. จากคะแนนสอบของนกเรยนไทยในคำาถามท 2 พบวานกเรยนสามารถทำาคะแนนไดนอยมากเมอเทยบกบประเทศอนๆ คอได 20.89 เปอรเซนต ของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ ซงประเทศอน ๆ เชน นกเรยนประเทศจน-มาเกา จน-ฮองกง เกาหลและญปนตอบถกมากกวา 50 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนทเขาสอบของแตละประเทศ ซงอาจเปนเพราะนกเรยนไมทราบวาจะใชวธการใดมาแจงนบชดของอปกรณตาง ๆ ทนำามาประกอบเปนสเกตบอรดใหไดแบบแตกตางกนใหไดครบทกกรณ ในการตอบคำาถามขอนนกเรยนสามารถใชแผนภาพตนไม หรอตารางชวยในการแจงนบได เพอใหนกเรยนมประสบการณในเรองน ครควรจะยกตวอยาง สถานการณหรอโจทยปญหาทตองใชวธการแจงนบในลกษณะทคลาย ๆ กนน เชน การเลอกซออาหารเปนชด ซงประกอบดวยขาวสวย กบขาวสองอยาง และขนมหวานหนงอยาง โดยรานนมอาหารคาวใหเลอกหาชนด และขนมหวานอกสชนด การแตงตวโดยกำาหนดใหนวมเสอสตวแตกตางกน กางเกงสามตวแตกตางกน รองเทาสองคแตกตางกน และถงเทาสคแตกตางกน อยากทราบวานวจะสามารถแตงตวโดยใชเสอ กางเกง รองเทา และถงเทาทมนใหไดแบบตาง ๆ กนทงหมดกวธ ครอาจใหนกเรยนวเคราะหวามแนวทางในการหาคำาตอบสถานการณทงสองอยางไร โดยใหนกเรยนรวมกนอภปรายถงเหตผลของการเลอกใชวธนนในการหาคำาตอบ



3. สำาหรบคำาถามท 3 นกเรยนไทยตอบถก 27.20 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ ซงนอยกวาประเทศอน ๆ เชนนกเรยนประเทศญปนและเกาหล ตอบถกมากกวา 50 เปอรเซนต ของจำานวนนกเรยนทเขาสอบของแตละประเทศ และนกเรยนประเทศจน-มาเกา จน-ฮองกง ตอบถก มากกวา 60 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนทเขาสอบของแตละประเทศ คำาถามนมเงอนไขทนกเรยนตองใชในการหาคำาตอบ คอมเงน 120 เซด สำาหรบซอชนสวนตาง ๆ ของสเกตบอรดทแพงทสดเท�ทเข�ซอได นกเรยนจะตองใชความรสกเชงจำานวน รวมทงทกษะการคดวเคราะห-สงเคราะห ประกอบกนในการพจารณาหาคำาตอบอยางรอบคอบ ครควรใหนกเรยนไดฝกทำาโจทยลกษณะคำาถามท 3 ใหมากขน เพอใหนกเรยนไดพฒนาทกษะและกระบวนการในการเชอมโยงขอมลตาง ๆ เพอหาคำาตอบทเปนไปได และสอดคลองกบเงอนไขมากกวาหนงเงอนไข ตวอยางเชนครอาจใชโจทยขอนฝกนกเรยนโดยปรบคำาถามใหมดงน วชตมเงน 125 เซด สำาหรบใชจาย และเขาตองการซอชนสวนตาง ๆ ของสเกตบอรดทแพงทสดเทาทเขาซอได วชตจะตองจายเงนเทาไร

นอกจากนนครอาจสรางสถานการณทคลายกนฝกใหนกเรยนทำาดงตวอยาง รานอาหารแหงหนงมรายการอาหารดงตาราง

ร�ยก�รอ�ห�ร ร�ค� (บ�ท)

ขาวหนาหมทอด / ขาวหนาไกยาง 109/119

ขาวหนากง / ราเมนผดขเมาหม 139/129

มโซซป 25

ปอดซาซม 75

ชดท 1 : ขาวหนาหมทอด ขาวหนากง

ปอดซาซม แถมมโซซป 1 ชาม319

ชดท 2 : ขาวหนาไกยาง ราเมนผดขเมาหม

ปอดซาซม แถมมโซซป 2 ชาม329



คำาถามท 1 ถาครอบครวหนง พอ แม และลก รวม 3 คน ตองการสงอาหารโดย แตละคนจะตองทานขาวหรอราเมนหนงจาน มโซซป 1 ชาม สวนปอดซาซมสงมาทานดวยกน 1 ท เขาควรสงอาหารอยางไรจงจะประหยดทสด

แนวคด เนองจากครอบครวนมจำานวน 3 คนตองการสงอาหารอยางประหยดทสดโดยแตละคนจะตองทานขาวหรอราเมนจำานวน 1 จาน มโซซป 1 ชาม สวนปอดซาซมสงมาทานดวยกน 1 ท จากเงอนไขของโจทยตองการประหยดจงควรสงอาหารชดจำานวน 1 ชดกอนเพราะถาไมสงเปนชด จะทำาใหราคาแพงกวา (นกเรยนควรตรวจสอบดวย) แลวสงเพมใหครบตามทโจทยตองการซงทดลองสงได 2 แบบดงนแบบท 1 สงอาหารชดท 1 มขาวหนาหมทอด ขาวหนากง ปอดซาซม 1 ทและมโซซป 1 ชามราคา 319 บาท ตองสงขาวเพมอก 1 จานขาวราคาถกสดคอ ขาวหมทอด ราคา 109 บาท และมโซซปอกจำานวน 2 ชามราคารวม 50 บาท รวมเปนเงน เทากบ 319 + 109 + 50 = 478 บาทแบบท 2 สงอาหารชดท 2 มขาวหนาไกยาง ราเมนผดขเมาหม ปอดซาซม และมโซซป 2 ชาม ราคา 329 บาท ซงตองสงขาวหนาหมทอดอก 1 จาน ราคา 109 บาท และ มโซซปอก 1 ชามราคา 25 บาท รวมเปนเงน 463 บาท ดงนน เขาควรสงชดท 2 จำานวนหนงชด สงขาวหนาหมทอดเพมอก 1 จาน และมโซซปอก 1 ชาม รวมเปนเงน 463 บาท

คำาถามท 2 ถาคนกลมหนงจำานวน 5 คน มคนหนงไมทานกง อกคนหนงไมทานเผด ตองการสงอาหารทานดวยกนโดยแตละคนจะตองทานขาวหรอราเมนหนงจาน มโซซป 1 ชาม สวนปอดซาซมสงมาทานดวยกน 3 ท เขาควรสงอาหารอยางไรจงจะประหยดทสด

แนวคด คนกลมนจำานวน 5 คน ตองการสงอาหารอยางประหยดทสด โดยมคนหนงไมทานกง อกคนหนงไมทานเผด ตองการสงอาหารทานดวยกนโดยแตละคน จะตองทานขาวหรอราเมนหนงจาน มโซซป 1 ชาม สวนปอดซาซมสงมาทานดวยกน 3 ท จากเงอนไขขางตนตองการประหยดจงควรสงอาหารชดกอน ซงแจกได 3 แบบดงตาราง



จากตารางจะไดวาตองซอชดท 2 จำานวน 2 ชด และสงเพมอกสามอยางคอขาว

หนาหมทอดจำานวน 1 จาน ปอดซาซม 1 ท และมโซซป 1 ชาม รวมเปนเงน 867 บาท

แบบทร�ค�

ชดท 1ร�ค�

ชดท 2ร�ค�ข�ว

หน�หมทอดร�ค�ปอด

ซ�ซมร�ค�

มโซซปรวม

เปนเงน

1 319 x 2 - 109 75 25 x 3 897

2 - 329 x 2 109 75 25 867

3 319 329 109 75 25 x 2 882



คำาถามท 3 ถาพนกงานบรษทหนงจำานวน 6 คน มเงนรางวลจำานวน 1,200 บาท ทกคนตองการสงอาหารทานดวยกนโดยแตละคนจะตองทานขาวหรอราเมนหนงจานมโซซป 1 ชาม และปอดซาซมอก 1 ท ซงมสองคนขอทานขาวหนากง อกคนหนงขอทานราเมน ผดขเมาหม และคนหนงไมทานปอด เขาควรสงอาหารอยางไรจงจะถกใจทกคนและใชเงนใหมากทสดจากเงนรางวลทได

แนวคด เนองจากตองการสงอาหารทานดวยกนจำานวน 6 คน โดยแตละคนจะตองทานขาวหรอราเมนหนงจาน มโซซป 1 ชาม และปอดซาซมอก 1 ท ซงมสองคนขอทานขาวหนากง อกคนหนงขอทานราเมนผดขเมาหม และคนหนงไมทานปอดชดท 1 : ขาวหนาหมทอด ขาวหนากง ปอดซาซม แถมมโซซป 1 ชามชดท 2 : ขาวหนาไกยาง ราเมนผดขเมาหม ปอดซาซม แถมมโซซป 2 ชาม

จากเงอนไขขางตน มเงนรางวลจำานวน 1,200 บาท อาจสงอาหารได 2 แบบดงตาราง


จากตารางเขาควรสงแบบท 2 ซงสอดคลองกบเงอนไขทตองใชเงนมากทสด

ดงนน เขาควรสงอาหารชดท 1 และชดท 2 อยางละชด ขาวหนากงและ

ขาวหนาหมทอดอกอยางละ 1 จาน ปอดซาซม 3 จานและมโซซปอก 3 ชาม รวมเปน

เงน 1,196 บาท

จากตวอยางสถานการณโจทยขางตนครอาจใหนกเรยนทำางานกลม แลวให

นกเรยนนำาผลงานมานำาเสนอแลกเปลยนเรยนรกน

แบบทร�ค�

ชดท 1ร�ค�

ชดท 2ร�ค�ข�ว

หน�หมทอดร�ค�ปอด

ซ�ซมร�ค�

มโซซปรวม

เปนเงน

1 319 x 2 329 - 75 x 2 25 x 2 1,167

2 319 329 109 + 139 75 x 3 25 x 3 1,196



บนได

คำ�ถ�มท 1: บนได ความสงแตละขนของบนได 14 ขน เปนเทาใด ความสง : .................................................เซนตเมตร

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ปรภมและรปทรงแขนงวช� : -สถ�นก�รณ : ปรภมและรปทรงสมรรถนะ : การทำาใหมแบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบปด


% ตอบถก80.7380.6886.5488.6052.19

คะแนนเตม ตอบ 18 เซนตเมตรไมมคะแนน คำาตอบอนๆ

แผนผงขางลางแสดง บนได 14 ขน และความสงทงหมด 252 เซนตเมตร

ความสงทงหมด

252 เซนตเมตร

ความลกทงหมด 400 เซนตเมตร






โจทยกำาหนดแผนผงแสดงบนได 14 ขน มความสงและความลกทงหมดเปน 252 เซนตเมตร และ 400 เซนตเมตร ตามลำาดบ แลวใหหาความสงแตละขนของบนได สถานการณนมเจตนาใหนกเรยนวเคราะหรปเรขาคณตสองมตทเปนแบบจำาลองทางเรขาคณตของขนบนได ซงแผนผงไดแสดงใหเหนวาขนบนไดทกขนสงเทากน

ในการแกโจทยปญหาตองใชความรเกยวกบรปเรขาคณตและความรสกเชงปรภมโดยเฉพาะความสามารถในการรบรเกยวกบความสมพนธของสงตาง ๆ ในปรภม การใชจนตนาการและการนกภาพ ประกอบความรพนฐานเกยวกบสวนของรปเรขาคณตทหกมมเปนมมฉากตามแนวดงและแนวนอน ความยาวรอบรปจะเปนเชนเดยวกบความยาวรอบรปของรปสเหลยมมมฉากทสอดคลองกน ดงตวอยาง

ความยาวรอบรปของรป ABCEFGHI เทากบความยาวรอบรปของรป ABCD ทงนเพราะวา EF + GH = DI และ FG + HI = ED

D

A

I

GF

H

E C

B



คำาถามท 1 ความสงแตละขนของบนได 14 ขนเปนเทาใด

แนวคด เมอพจารณาแผนผงทโจทยกำาหนดให ถานกเรยนมความสามารถในการ นกภาพทรบรเกยวกบความสมพนธของสงตาง ๆ ในปรภมอยางถกตอง กจะมองเหนวา ความสงของบนไดทง 14 ขนรวมกนจะเทากบความสงทงหมด 252 เซนตเมตร และขนบนไดสงเทากนทกขน ดงรป

1. ถานกเรยนไมสามารถนกภาพเหนความสมพนธระหวางความสงของบนได 14 ขนกบความสงทงหมด 252 เซนตเมตร ตามทโจทยกำาหนด วธทจะชวยใหเหนความสมพนธขางตนไดงายขน ครอาจใชวธเขยนแผนผงแสดงบนไดในลกษณะเดยวกบสถานการณโจทย แตลดจำานวนชนและความสงทงหมดลง เชน เขยนแผนผงแสดงบนได 3 ขน หรอ 4 ขน โดยมความสงทงหมดเปน 60 เซนตเมตร และเปน 72 เซนตเมตร ตามลำาดบ ดงรป




รปท 1

60 ซม. 72 ซม.

รปท 2

ความสงทงหมด


ความลกทงหมด 400 เซนตเมตร

ดงนน ความสงแตละขนของบนได เปน = 18 เซนตเมตร252_14



รปท 1 แสดงใหเหนวาบนได 3 ขน สง 60 เซนตเมตร

จะไดบนไดแตละขน สง = 20 เซนตเมตร

รปท 2 แสดงใหเหนวาบนได 4 ขน สง 72 เซนตเมตร


ในทำานองเดยวกน เมอมบนได 14 ขน สง 252 เซนตเมตร


2. นกเรยนไทยตอบคำาถามไดถกตองเพยง 52.19 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ ในขณะทนกเรยนญปน เกาหล และจน ตอบไดถกตองเกน 80 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนแตละชาตทเขาสอบ แสดงใหเหนวาโจทยปญหาขอนไมยาก เพราะความรทางคณตศาสตรทนำามาใชในการแกโจทยปญหาคอความรพนฐานเกยวกบรปเรขาคณต ความสามารถในการใชความรสกเชงปรภมและการนกภาพทถกตอง รวมกบทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรในการเชอมโยงความรทางคณตศาสตรแกปญหาในสถานการณตาง ๆ นกเรยนควรจะหาคำาตอบไดถกตอง แตปรากฎวายงมนกเรยนไทยอกประมาณครงหนงทยงทำาโจทยขอนไมได ทงนอาจเปนเพราะนกเรยนกลมนยงขาดความรและทกษะดงกลาวขางตน ครผสอนจงตองตระหนกและใหความสำาคญ โดยเฉพาะการประยกตใชความรทางคณตศาสตรกบสถานการณในชวตจรง เพอใหนกเรยนไทยสามารถแกปญหาไดทดเทยมกบประเทศอน 3. การรบรเกยวกบความสมพนธของสงตาง ๆ ในปรภมเปนสวนหนงของความรสกเชงปรภม ซงเปนความสามารถของบคคลในการรบรและเขาใจเกยวกบ ขนาด รปราง ตำาแหนง ทศทาง ระยะทาง และความสมพนธของรปและสงตาง ๆ อนจะนำาไปสการคาดคะเนท ใกลเคยงกบความเปนจรง และการตดสนใจทสมเหตสมผลเกยวกบขนาด ตำาแหนง ทศทาง และระยะทางของสงตาง ๆ รอบตว การฝกใหนกเรยนมทกษะดงกลาวเปนสงจำาเปนอยางยงในกจกรรมการเรยนการสอนคณตศาสตร เพราะจะชวยใหนกเรยนสามารถนำาคณตศาสตรไปใชแกปญหาในสถานการณตาง ๆ โดยเฉพาะอยางยงในชวตประจำาวน ไดอยางมประสทธภาพ

60_3

72_4

252_14



คว�มสงทงหมด 252 เซนตเมตร

คว�มลกทงหมด 400 เซนตเมตร


4. ครผสอนอาจเพมขอมลในสถานการณโจทยเพอฝกทกษะการใชความรสกเชงปรภมในการแกปญหาใหกบนกเรยนได เชน กำาหนดสถานการณโจทย ดงน

แผนผงขางลางแสดงบนได 14 ขน ทมความสงทงหมด 252 เซนตเมตร และม ความลกทงหมด 400 เซนตเมตร ถาบนไดขนบนสดมความกวาง 88 เซนตเมตร ขนบนไดทเหลอ แตละขนจะมความกวางเทาใด

แนวคด ความลกทงหมดของบนได 14 ขนคอ 400 เซนตเมตร บนไดขนบนสดมความกวาง 88 เซนตเมตร ขนบนไดอน ๆ ทเหลอมความกวางเทากนหมด จะได ความลกทงหมดของบนได 13 ขน คอ 400 – 88 = 312 เซนตเมตร ดงนน ความกวางของบนไดแตละขนคอ = 24 เซนตเมตร312_

13



ลกเต�

รปแสดงลกเตา 6 ลก มชอตดกำากบไววา (a) (b) (c) (d) (e) และ (f) เปนกฎของลกเตาคอ จำานวนจดทอยบนหนาตรงกนขามสองหนารวมกนตองเปน 7 เสมอ

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ปรภมและรปทรงแขนงวช� : จำานวนสถ�นก�รณ : ในเชงการอาชพสมรรถนะ : - แบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบปด


% ตอบถก78.9069.0474.3072.3652.98

คำ�ถ�มท 1 : ลกเต� จงเขยนจำานวนจดบนหนาทอยด�นล�งของลกเตาทอยในภาพ ลงในตารางขางลาง

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)


แถวบน (1 5 4) แถวลาง (2 6 5) หรอนกเรยนอาจเขยนจำานวนจดดานหนาลกเตาแทนตวเลขกได ดงขางลาง



1 5 4

2 6 5








สถานการณในโจทยขอน เปนการเชอมโยงการใชความรสกเชงปรภมมาชวยวเคราะหเงอนไขโจทย เพอหาคำาตอบทตองการ โดยกำาหนดภาพของลกเตาวางเรยงกนสองแถว แถวละ 3 ลก รวมเปน 6 ลก และมชอตดกำากบไวเปน (a), (b), (c), (d), (e) และ (f) ลกเตาทง 6 ลก ในภาพมจดปรากฏบนหนาลกเตาแตละลกทหงายขนเปนจำานวนแตกตางกน โจทยกำาหนดกฎของลกเตาใหมา แลวใหหาจำานวนจดบนหนาทอยดานลางของลกเตาทอยในภาพ

ในการทำาโจทยขอน นกเรยนตองใชความรสกเชงปรภมและเขาใจเงอนไขจากโจทยทวา ลกเตามลกษณะเปนลกบาศกทมจำานวนจดอยบนหนาทงหก ซงเปนไป ตามกฎทวา จำานวนจดทอยบนหนาตรงกนขามสองหนารวมกนตองเปน 7 เสมอ โดยนกเรยนจะตองมความสามารถในการจนตนาการและการนกภาพ เพอหาจำานวนจดทอยบนหนาทอยดานลางซงเปนหนาทอยตรงกนขามกบหนาทกำาหนดใหของลกเตา และเขยนคำาตอบใหสอดคลองกบสญลกษณทกำากบทลกเตาแตละลกทวางเรยงกนตามลำาดบ

จงเขยนจำานวนจดบนหนาทอยดานลางของลกเตาทอยในภาพ ลงใน

ตารางขางลาง

1 5 4

2 6 5

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)




เปนทนาสงเกตวามนกเรยนไทยเกอบครงหนงของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบททำาขอสอบขอนไมถกตอง ทง ๆ ทโดยเนอหาสาระแลวเปนขอสอบทไมยาก ซงอาจเปน ไปไดวา 1. นกเรยนอานโจทยไมเขาใจ หรอมปญหาในการมองภาพทโจทยกำาหนดให เพราะโจทยไดกำาหนดชอใหลกเตาเปน (a) , (b) , (c) , (d) , (e) และ (f) ซงเปนสญลกษณกำากบไวในภาพของลกเตาทงหกทเรยงกนเปนสองแถวแถวละสามลกในกลองใส 2. นกเรยนไมคนเคยกบการเขยนคำาตอบลงในตารางของขอสอบขอน เพราะจะตองมการแปลงคำาตอบทไดจากการจนตนาการและนกภาพทสอดคลองกบเงอนไขในโจทยมาเปนสญลกษณทางคณตศาสตร ซงนกเรยนจะตองใชความรสกเชงปรภมมาชวยในการวเคราะห นกเรยนอาจสบสนและไมอยากใชเวลาในการคดทำาความเขาใจเพอหาคำาตอบ

แนวคด พจารณาจำานวนจดบนหนาลกเตาแตละลก จนตนาการและนกภาพเพอหาจำานวนจดทอยบนหนาดานลางทเปนหนาตรงกนขาม โดยเมอรวมกนแลวตองเปน 7 ไดดงน ลกเตา (a) ม 6 จด ปรากฏบนดานบน ดงนนมจดบนหนาทอยดานลาง 1 จด ลกเตา (b) ม 2 จด ปรากฏบนดานบน ดงนนมจดบนหนาทอยดานลาง 5 จด ลกเตา (c) ม 3 จด ปรากฏบนดานบน ดงนนมจดบนหนาทอยดานลาง 4 จด ลกเตา (d) ม 5 จด ปรากฏบนดานบน ดงนนมจดบนหนาทอยดานลาง 2 จด ลกเตา (e) ม 1 จด ปรากฏบนดานบน ดงนนมจดบนหนาทอยดานลาง 6 จด ลกเตา (f) ม 2 จด ปรากฏบนดานบน ดงนนมจดบนหนาทอยดานลาง 5 จด

นำาจำานวนจดทไดบนทกลงในตารางไดดงน

1 5 4

2 6 5

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)



3. นกเรยนอาจเคยชนกบคำาวา “แตม” ในการบอกจำานวนจดบนลกเตาตามทเคยเรยนมา เมอตองใชจำานวนจดบนลกเตาในการตอบ จงสบสนวาจะเขยนอยางไรด คอจะเปนภาพของจด หรอตวเลขทแทนจำานวนจด จงทำาใหเสยเวลาในการตดสนใจ ทำาขอสอบไดลาชาหรอไมสมบรณ ในการเรยนการสอนคณตศาสตร ครสามารถใชลกเตาเปนสอการสอนเพอใหนกเรยนมความคนเคยกบลกเตา ครอาจใชลกเตาในการทบทวนเนอหาคณตศาสตรหลายเรอง เชน การบวก การลบ และการคณ ทงนเพอใหนกเรยนไดฝกใชความรสกเชงปรภมเกยวกบ รปเรขาคณตสามมตทมความเชอมโยงกบการใชสญลกษณทางคณตศาสตรบนดานตาง ๆ ของรปเรขาคณตสามมตนน ครควรใหนกเรยนมประสบการณในการทำาโจทยประเภททตองใชการจนตนาการและนกภาพถงดานทมองไมเหนของรปเรขาคณตสามมตทว ๆ ไป โดยสามารถวเคราะหหาคำาตอบตามเงอนไขทโจทยกำาหนด ตลอดจนสามารถนำาเสนอคำาตอบในลกษณะทแตกตางไปจากทนกเรยนคนเคยทว ๆ ไปดงตวอยางโจทยตอไปน มลกเตา 2 ลก มชอตดกำากบไวเปน (a) และ (b) เปนกฎของลกเตาคอ จำานวนจดทอยบนหนาตรงกนขามสองหนารวมกนตองเปน 7 เสมอ

เมอทอดลกเตา (a) และ (b) พรอมกน 6 ครง ปรากฏหนาทหงายขนแสดง จำานวนจดบนลกเตาทงสอง เขยนผลลพธเปนคอนดบไดดงน (1, 3) , (2, 4) , (3, 6) , (4, 1) , (5, 2) และ (6, 5) จงเขยนคอนดบของจำานวนจดบนลกเตาหนาทควำาลงของแตละคอนดบขางตนตามลำาดบแนวคด เนองจากจำานวนจดบนหนาตรงกนขามสองหนาของลกเตารวมกนตองเปน7 จะไดคอนดบของหนาทควำาทง 2 ลกลงโดยพจารณาจากแตละคอนดบทกำาหนดใหดงน จากคอนดบของจำานวนจดบนหนาทหงายขนของลกเตา (a) และ (b) เปนดงน (1, 3), (2, 4), (3, 6), (4, 1), (5, 2) และ (6, 5) ดงนน จะหาคอนดบของจำานวนจดบนหนาทควำาลงตามลำาดบไดดงน (1, 3) ตรงกนขามกบ (6, 4) (2, 4) ตรงกนขามกบ (5, 3) (3, 6) ตรงกนขามกบ (4, 1) (4, 1) ตรงกนขามกบ (3, 6) (5, 2) ตรงกนขามกบ (2, 5) และ (6, 5) ตรงกนขามกบ (1, 2) ดงนน คอนดบทตองการคอ (6, 4), (5, 3), (4, 1), (3, 6), (2, 5) และ (1, 2) ตามลำาดบ




คำาถามท 2 ทอดลกเตา (a) และ (b) โดยไมใหเหนผลลพธ ถาทราบเพยงวาผลบวกของจำานวนจดบนหนาทควำาลงเปน 8 จงหาวาคอนดบของจำานวนจดบนหนาทหงายขนของลกเตาทงสองเปนอะไรไดบาง และผลบวกของจำานวนจดของแตละคอนดบทหาได เปนเทาไรบาง จงแสดงเหตผลวาทำาไมจงไดผลบวกเปนเชนนนแนวคด พจารณาคอนดบของจำานวนจดบนหนาทควำาลง ซงมผลบวกของจดบนหนาทงสองเปน 8 ซงอาจเปน (2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3) หรอ (4, 4) เมอใชกฎของลกเตาทวาผลบวกของจำานวนจดทอยบนหนาตรงกนขามตองเปน 7 จะไดคอนดบของจำานวนจดบนหนาทหงายขนเปนดงน (5, 1), (1, 5), (4, 2), (2, 4) และ (3, 3) ตามลำาดบและจะไดวาผลบวกของจำานวนจดในแตละคอนดบเปนดงน 5 + 1, 1 + 5, 4 + 2, 2 + 4, 3 + 3 ซงผลลพธทไดเปน 6 เทากน เหตผลทไดผลลพธเปน 6 เทากนทกคอนดบ เปนเพราะวา ผลบวกของจำานวนจดทอยบนหนาตรงกนตองเปน 7 สำาหรบลกเตาแตละลก เมอทอดลกเตาสองลกแตละครง ผลบวกของจำานวนจดทอยบนหนาตรงขามของลกเตาทงสองจะเทากบ 14 เสมอ แตเราทราบวาผลบวกของจำานวนจดทอยบนหนาทควำาลงของลกเตาทงสองเปน 8 ดงนน ผลบวกของจำานวนจดทอยบนหนาทหงายขนของลกเตาทงสองจงเทากบ 14 – 8 = 6




คำาถามท 3 ในการทอดลกเตาสองลก (a) และ (b) ถาทราบวาผลบวกของจำานวนจด บนหนาทควำาลงของลกเตาทงสองเปนจำานวนทหารดวย 5 ลงตว จงหาวาผลบวกของจำานวนจดบนหนาทหงายขนของลกเตาทงสองนนเปนจำานวนใดไดบางแนวคด โจทยกำาหนดใหผลบวกของจำานวนจดบนหนาทควำาลงของลกเตาทงสองเปนจำานวนทหารดวย 5 ลงตว ซงไดแก 5 และ 10 เนองจาก จำานวนจดบนหนาตรงกนขามของลกเตาแตละลกรวมกนตองเปน 7ดงนน จำานวนจดบนหนาตรงกนขามของลกเตาสองลกรวมกนตองเปน 14 1. ถาผลบวกของจำานวนจดบนหนาลกทควำาของลกเตาทงสองเปน 5 จะไดผลบวกของจำานวนจดบนหนาทหงายขนของลกเตาทงสองเปน 14 – 5 = 9 2. ในทำานองเดยวกน ถาผลบวกของจำานวนจดบนหนาลกทควำาของลกเตาทงสองเปน 10 จะไดผลบวกของจำานวนจดบนหนาทหงายขนของลกเตาทงสองเปน 14 – 10 = 4 คำาตอบจงเปน 9 และ 4




61 คาถามท 1: สามเหลยม

จงเขยนวงกลมลอมรอบขอทมรปตรงกบคาอธบายตอไปน สามเหลยม PQR เปนสามเหลยมมมฉาก มมม R เปนมมฉาก สวนของเสนตรง RQ สนกวาสวนของเสนตรง PR จด M เปนจดกงกลางของสวนของเสนตรง PQ และจด N เปนจดกงกลางของสวนของเสนตรง QR จด S อยภายในสามเหลยม สวนของเสนตรง MN ยาวกวาสวนของเสนตรง MS

สามเหลยม

1. 2.

3. 4.

5.

P

M N

R S Q

Q

M

S

R N P

P

S M

Q N R

R

N

Q M P

S

R

S

N M

P Q


ตอบ ขอ 4.


คาตอบอนๆ

ลกษณะเฉพาะของขอสอบ เนอหา : ปรภมและรปทรง แขนงวชา : เรขาคณต สถานการณ : ในเชงวทยาศาสตร สมรรถนะ : - แบบของขอสอบ : เลอกตอบ

ประเทศ % ตอบถก ญปน 72.40 เกาหล 63.10 ฮองกง-จน 65.10 ไทย 47.20

ส�มเหลยม

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ปรภมและรปทรงแขนงวช� : เรขาคณตสถ�นก�รณ : ในเชงวทยาศาสตรสมรรถนะ : -แบบของขอสอบ : เลอกตอบ


% ตอบถก72.4063.1065.1047.20


ตอบ ขอ 4.



คำ�ถ�มท 1: ส�มเหลยม จงเขยนวงกลมลอมรอบขอทมรปตรงกบคำาอธบายตอไปนสามเหลยม PQR เปนสามเหลยมมมฉาก มมม R เปนมมฉาก สวนของเสนตรง RQ สนกวา สวนของเสนตรง PR จด M เปนจดก งกลางของสวนของเสนตรง PQ และจด N เปนจดกงกลางของสวนของเสนตรง QR จด S อยภายในสามเหลยม สวนของเสนตรง MN ยาวกวาสวนของเสนตรง MS








สถานการณในคำาถามท 1 ใหหารปสามเหลยมทมลกษณะตรงตามคำาบรรยายทใหมา มเจตนาใหนกเรยนใชความสามารถในการสอสาร สอความหมายทเปนนามธรรมในโจทย โดยแปลความหมายเปนรปธรรมดวยการเขยนรป หรอวเคราะหหาแบบจำาลองทางเรขาคณตทมสมบตสอดคลองกบเงอนไขในโจทยทกเงอนไข การวเคราะหของนกเรยนจะตองใชความรพนฐานทางเรขาคณตและความรสกเชงปรภมประกอบดวย

ความรทนกเรยนจะตองใชในการตอบคำาถาม คอ สมบตของรปเรขาคณต สองมตพนฐานทเกยวของกบจด มม สวนของเสนตรง รปสามเหลยมตาง ๆ และความรสกเชงปรภม ตลอดจนความสามารถในการใชเหตผลแบบคดออก

จงเขยนวงกลมลอมรอบขอทมรปตรงกบคำาอธบายตอไปน สามเหลยม PQR เปนสามเหลยมมมฉาก มมม R เปนมมฉาก สวนของเสนตรง RQ สนกวาสวนของเสนตรง PR จด M เปนจดกงกลางของสวนของเสนตรง PQ และจด N เปนจดกงกลางของสวนของเสนตรง QR จด S อยภายในสามเหลยม สวนของเสนตรง MN ยาวกวาสวนของเสนตรง MSแนวคด การแกโจทยปญหาน นกเรยนตองวเคราะหรปเรขาคณตแตละรปโดยใชสมบตของรปเรขาคณตสองมตทเกยวของรวมกบความรสกเชงปรภมเกยวกบจด ขนาดของมมและสวนของเสนตรง เพอพจารณาหาวาแตละรปมสวนใดขดแยงกบเงอนไขโจทย ซงสามารถทำาไดโดยอานโจทยไปทละขนตอน เมอพบวามสวนทไมสอดคลองเงอนไขในแตละขอ กตดรปทไมใชออกไป ดงตวอยางการพจารณาตามลำาดบขอความในโจทย ดงน • สามเหลยม PQR เปนสามเหลยมมมฉาก มมม R เปนมมฉาก จากขอกำาหนดน พบวา รปขอ 3 และ รปขอ 5 ไมสอดคลองกบเงอนไข กลาวคอ รปขอ 3 มมม Q เปนมมฉาก และรปขอ 5 ทรปสามเหลยม PQR ไมใชรปสามเหลยมมมฉาก ดงนนรปขอ 3 และรปขอ 5 จงไมใชคำาตอบของปญหาน



• สวนของเสนตรง RQ สนกวาสวนของเสนตรง PR จากขอกำาหนดน พบวา รปขอ 1 มสวนของเสนตรง RQ ยาวกวาสวนของเสนตรง PR ซงขดแยงกบเงอนไขในโจทย ดงนน รปขอ 1 จงไมใชคำาตอบของปญหาน • จด M เปนจดกงกลางของสวนของเสนตรง PQ และจด N เปนจดกงกลางของ สวนของเสนตรง QR จากขอกำาหนดน พบวารปขอ 2 จด M และจด N ไมเปนจดกงกลางของสวนของ เสนตรง PQ และสวนของเสนตรง QR ตามทโจทยกำาหนด ดงนน รปขอ 2 จงไมใชคำาตอบของปญหาน จากการวเคราะหจงเหลอรปขอ 4 ทควรเปนคำาตอบของโจทย แตเพอใหแนใจ จงควรตรวจสอบความสอดคลองกบเงอนไขทยงไมไดพจารณาตอ ตามทโจทยกำาหนดมาวา เปนรปทมจด S อยภายในสามเหลยมและสวนของเสนตรง MN ยาวกวาสวนของเสนตรง MS จากขอกำาหนดน พบวา รปขอ 4 มลกษณะทสอดคลองกบเงอนไขทงสองประการ หลงนและสอดคลองกบเงอนไขอน ๆ ในโจทยทกประการ นนคอ รปขอ 4 เปนรปเรขาคณตทเปนคำาตอบของปญหา




ครควรใหนกเรยนเขาใจและจดจำาสมบตของรปสามเหลยมแตละชนดทเกยวกบความยาวของดาน ขนาดของมม และอาจฝกใหนกเรยนจนตนาการและเขยนรปตามเงอนไขทครกำาหนด เพอฝกใหนกเรยนใชความรสกเชงปรภมและความรสกเชงจำานวนในการจนตนาการเกยวกบรปเรขาคณตสองมต เพอใหไดรปทมความสอดคลองกบเงอนไขทครกำาหนดใหทกประการ นอกจากความรเกยวกบสมบตตาง ๆ ของรปเรขาคณตแลว นกเรยนควรไดรบการฝกฝนในการวเคราะหตรวจสอบสมบตตาง ๆ เหลานน เพอยนยนหรอคดออกรปเรขาคณตทกำาหนดให ซงเปนทกษะทมประโยชนในชวตประจำาวนในการเลอกสงของทใหประโยชนเหมาะกบจดประสงคของการใชงาน เปนทนาสงเกตวามนกเรยนไทยไมถงครงของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบตอบคำาถามขอนไดถกตอง บงบอกถงวานกเรยนยงขาดความสามารถในการใชเหตผลแบบคดออก นกเรยนไมทราบจะเรมตนแกปญหาอยางไร จงไมสามารถดำาเนนการแกปญหาจนไดคำาตอบสดทาย ซงเปนเรองทครควรจดประสบการณการเรยนรเพอใหนกเรยนไดพบปญหาและฝกแกปญหาในลกษณะทำานองเดยวกนนใหมากขน โดยอาจใหนกเรยนมประสบการณในการเขยนรปตามเงอนไขของโจทย และใชความรเกยวกบสมบตทางเรขาคณต วเคราะหผลทสอดคลองกบรปทสรางหรอใชโจทยทำานองเดยวกนกบสถานการณ “สามเหลยม” ขางตนหรออาจใชตวอยางสถานการณ ดงตอไปน 1. รปสเหลยมมมฉาก ABCD มดาน AB ยาวกวาดาน BC จด M อยบน ดาน CD โดยท DM > CM จด X และจด Y เปนจดกงกลางของสวนของเสนตรง AM และสวนของเสนตรง BM ตามลำาดบ จงเขยนรปตามเงอนไขในโจทย แลวหาวาขอความในขอใดตอไปนเปนจรง 1) BM > AM 2) AX = MX 3) MY < MX 4) ∆ ADM ~ ∆ BCM 5) ∆ ABM ~ ∆ XYM 6) XY = AB

=

1_2



2. จงเขยนวงกลมลอมรอบขอทมรปตรงกบคำาอธบายตอไปน

รปสามเหลยม ABC มดาน AB ยาวกวาดาน BC สวนของเสนตรง CD

ตงฉากกบดาน AB และสวนของเสนตรง DE ขนานกบดาน BC

ขอ 2), ขอ 3), ขอ 5) และขอ 6)



แนวคด ในการหาคำาตอบขอน ครควรฝกใหนกเรยนวเคราะหคดขอทไมสอดคลองกบ

เงอนไขโจทย โดยพจารณาทละเงอนไขกบทกขอจนเหลอขอทสอดคลองกบ

ทกเงอนไขโจทย ซงจะพบวาคำาตอบขอนคอ ขอ ง.

3. จงพจารณาวารปในขอใดมลกษณะตรงตามเงอนไข ดงน

รปสเหลยม ABCD มมม D เปนมมฉาก จด M เปนจดกงกลางของดาน AD จด N

เปนจดกงกลางของดาน AB P เปนจดภายในรปสเหลยมและสวนของเสนตรง MP ยาวกวา

สวนของเสนตรง MN

แนวคด ในการหาคำาตอบขอน ครควรฝกใหนกเรยนวเคราะหคดขอทไมสอดคลองกบ

เงอนไขโจทย โดยพจารณาทละเงอนไขกบทกขอจนเหลอขอทสอดคลองกบ

ทกเงอนไขโจทย ซงจะพบวาคำาตอบขอนคอ ขอ จ.

. .

. .

.

A

D

M

P C

B N

P

C

D N A

M

B

C P

N B A

M

D

B N

A

D C

P M

D C

P

N B

A

M



ช�งไม

ชางไมมกระดานยาว 32 เมตร และตองการใชไมนลอมกรอบสวนหยอม เขามแบบ

สวนหยอมทคดไว 4 แบบ ดงน

คำ�ถ�มท 1: ช�งไม จงเขยนวงกลมรอบคำาวา “ใช” หรอ “ไมใช” เพอบอกวาสวนหยอมแตละแบบสามารถลอมกรอบดวยไมกระดาน 32 เมตรนไดใชหรอไม

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ปรภมและรปทรงแขนงวช� : เรขาคณตสถ�นก�รณ : ในเชงการศกษาสมรรถนะ : การเชอมโยงแบบของขอสอบ : เลอกตอบเชงซอน

คะแนนเตม ตอบถกทง 4 ขอ: ใช ไมไช ใช ใช ตามลำาดบตอบถกบางสวน ตอบถก 3 ขอไมมคะแนน ตอบถก 2 ขอหรอนอยกวา

แบบสวนหยอมต�มแบบนส�ม�รถลอมกรอบ

สวนหยอมดวยไม 32 เมตร ไดใชหรอไม

แบบ 1 ใช / ไมใช





% ตอบถก37.8135.1239.9232.7212.88



69

การวเคราะหและแนวคดในการแกโจทยปญหา

สถานการณโจทย สถานการณโจทยขอนกลาวถงงานชางไม ซงงานชางนเกยวของกบการทากจกรรมประจาวนของบางครอบครวทมอาชพเปนชางไม ชางกอสราง ทตองมการคดคานวณความยาวของสงทจะนามากอสราง ดงเชนปญหานชางไมตองคานวณไมกระดานทมความยาว 32 เมตร จะสามารถนามาลอมรวสวนหยอมทมรปแบบตางกนรปใดไดบาง ซงในสถานการณนมเจตนาใหนกเรยนวเคราะหรปเรขาคณตสองมตทเปนแบบจาลองทางเรขาคณตของสวนหยอม

ความรทางคณตศาสตรทเกยวของ ความรทนกเรยนจะตองใชในการตอบคาถาม คอ ความยาวรอบรปของรป หลายเหลยม สมบตของรปสามเหลยมมมฉากทกลาววา “เมอเปรยบเทยบความยาวของดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉากจะไดวา ดานตรงขามมมฉากยาวทสด” ในการแกปญหานกเรยนจะตองวเคราะหรปเรขาคณตสองมตในแตละแบบทโจทยกาหนดให โดยใชความสามารถดานความรสกเชงปรภม และใชความร พนฐานทางเรขาคณต พจารณาวารปเรขาคณตทมการหกมมเปนมมฉากตามแนวดงและแนวนอน เชน รปแบบ 1 และแบบ 3 ความยาวรอบรปจะเปนเชนเดยวกบความยาวรอบรปของรปสเหลยม มมฉาก แบบ 4 ทาใหคานวณไดงายและบอกไดวา ความยาวของไมกระดาน 32 เมตร สามารถนามาสรางรวไดตามทตองการ

แนวคดในการแกโจทยปญหา คาถามท 1 จงเขยนวงกลมรอบคาวา “ใช” หรอ “ไมใช” เพอบอกวาสวนหยอมแตละแบบสามารถลอมกรอบดวยไมกระดาน 32 เมตรนไดใชหรอไม

แบบสวนหยอม ตามแบบนสามารถลอมกรอบสวนหยอมดวยไม 32 เมตร ได ใชหรอไม

แบบ 1 ใช / ไมใช แบบ 2 ใช / ไมใช แบบ 3 ใช / ไมใช แบบ 4 ใช / ไมใช






สถานการณโจทยขอนกลาวถงงานชางไม ซงงานชางนเกยวของกบการทำากจกรรมประจำาวนของบางครอบครวทมอาชพเปนชางไม ชางกอสราง ทตองมการคดคำานวณ ความยาวของสงทจะนำามากอสราง ดงเชนปญหานชางไมตองคำานวณไมกระดานทมความยาว 32 เมตร จะสามารถนำามาลอมรวสวนหยอมทมรปแบบตางกนรปใดไดบาง ซงในสถานการณนมเจตนาใหนกเรยนวเคราะหรปเรขาคณตสองมตทเปนแบบจำาลองทางเรขาคณตของสวนหยอม

ความรทนกเรยนจะตองใชในการตอบคำาถาม คอ ความยาวรอบรปของ รปหลายเหลยม สมบตของรปสามเหลยมมมฉากทกลาววา “เมอเปรยบเทยบความยาวของดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉากจะไดวา ดานตรงขามมมฉากยาวทสด” ในการแกปญหานกเรยนจะตองวเคราะหรปเรขาคณตสองมตในแตละแบบทโจทยกำาหนดให โดยใชความสามารถดานความรสกเชงปรภม และใชความรพนฐานทางเรขาคณต พจารณาวารปเรขาคณตทมการหกมมเปนมมฉากตามแนวดงและแนวนอน เชน รปแบบ 1 และแบบ 3 ความยาวรอบรปจะเปนเชนเดยวกบความยาวรอบรปของรปสเหลยมมมฉาก แบบ 4 ทำาใหคำานวณไดงายและบอกไดวา ความยาวของไมกระดาน 32 เมตรสามารถนำามาสรางรวไดตามทตองการ

จงเขยนวงกลมรอบคำาวา “ใช” หรอ “ไมใช” เพอบอกวาสวนหยอมแตละแบบสามารถลอมกรอบดวยไมกระดาน 32 เมตรนไดใชหรอไม



จากคำาถามโจทยทใหวเคราะหวาชางไมสามารถนำาไมกระดานยาว 32 เมตร มาตดตอความยาวลอมรอบสวนหยอมในแตละรปแบบของรปใดไดบาง สำาหรบสวน หยอมแบบ 1 และแบบ 3 สามารถใชความรสกเชงปรภมมองเหนการเชอมตอของ ไมกระดานเปนกรอบรปสเหลยมมมฉากไดดงนแนวคด พจารณาแบบ 1 และ แบบ 3 ถาลากสวนของเสนตรงลอมรปใหเปนรปสเหลยมมมฉาก จะเหนไดวาความยาวรอบรปแตละแบบเทากบความยาวรอบรปของรปสเหลยมมมฉากตามแบบ 4 ดงน

จะไดความยาวรอบรปของแบบ 1 แบบ 3 และแบบ 4 แตละแบบเทากบ 2 (ความกวาง+ความยาว) = 2 (6 + 10) = 32 เมตรดงนนสามารถใชไมกระดานยาว 32 เมตร ลอมรอบสวนหยอมแบบ 1 แบบ 3 และ แบบ 4 ได ในการแกปญหาแบบ 1 และแบบ 3 อาจใชการจนตนาการและการนกภาพ มองสวนตอความยาวของสวนของเสนตรงในสวนทหกมมตามแนวดงและแนวนอน เชอมโยงเปนสวนของเสนตรงเดยวกนทยาวขน กจะไดความยาวและความกวางของ สวนหยอมเทากบแบบ 4 ซงเปนรปสเหลยมมมฉากทสามารถหาความยาวรอบรปไดงาย



71

เปนสวนของเสนตรงเดยวกนทยาวขน กจะไดความยาวและความกวางของสวนหยอมเทากบแบบ 4 ซงเปนรปสเหลยมมมฉากทสามารถหาความยาวรอบรปไดงาย สาหรบนกเรยนทไมสามารถใชความรสกเชงปรภม การจนตนาการและ การนกภาพมองรปแบบ 1 และรปแบบ 3 เปนรปแบบ 4 ได ครอาจอธบายการวเคราะหความยาวของสวนตอของสวนของเสนตรงทหกมมของรป เชน ในแบบ 1 ดงน

จากรป ให a, b, c, d, x และ y เปนความยาวของสวนของเสนตรงแตละสวนทหกมมของรปในแบบ 1

จะได ความยาว เทากบ x + 2 (c + d) = 10 เมตร

ความกวาง เทากบ y + a + b = 6 เมตร

ดงนน ความยาวรอบรปเทากบ 2 (ความยาว + ความกวาง) = 2 (10 + 6) เมตร = 32 เมตร จากแนวคดในมมมองขางตนกจะสามารถบอกไดเชนกน วาสามารถนาไมกระดานยาว 32 เมตร ลอมรอบสวนหยอมแบบ 1 และแบบ 3 ไดเชนเดยวกบแบบ 4

c + d c + d

a + b a + b a

b c

d

y

x

สำาหรบนกเรยนทไมสามารถใชความรสกเชงปรภม การจนตนาการและการนกภาพมองรปแบบ 1 และรปแบบ 3 เปนรปแบบ 4 ได ครอาจอธบายการวเคราะหความยาวของสวนตอของสวนของเสนตรงทหกมมของรป เชน ในแบบ 1 ดงน

c + d c + d

a + b a + b

x

y

a

bc

d

แบบ 1



สำาหรบ แบบ 2 ไมสามารถใชไมยาว 32 เมตรลอมได เนองจากเปนรปสเหลยมดานขนานทมฐานยาว 10 เมตร สง 6 เมตร ดงรป ดวยเหตผลดงน

โดยสมบตของรปสามเหลยมมมฉากและใชความรเกยวกบทฤษฎบทพทาโกรส กสามารถวเคราะหไดวา AD > DE แสดงวา AD ยาวมากกวา 6 เมตร ความยาวรอบรปของรปสเหลยมดานขนาน ABCD จงมากกวา 2(10 + 6) = 32 เมตร ดงนน ชางไมไมสามารถใชไมกระดานยาว 32 เมตร ลอมกรอบสวนหยอม แบบ 2 ได

1. มขอสงเกตเกยวกบจำานวนนกเรยนไทยและประเทศอน ๆ ททำาขอสอบได ถกตองตำากวา 50 เปอรเซนตของนกเรยนทเขาสอบแตละชาตตามทระบ นาจะมผลจากการไมคนเคยการวเคราะหรปเรขาคณตสองมตในลกษณะของสถานการณน และยงขาดความสามารถทางดานความรสกเชงปรภมและการนกภาพเกยวกบเรองทกลาวมาดวย ในการเรยนการสอนครควรหารปเรขาคณตสองมตทตองอาศยการจนตนาการหรอการนกภาพ โดยการเขยนสวนตอของรปทกำาหนดใหเปนรปเรขาคณตสองมตทงายตอการคำานวณหาคำาตอบมาฝกเพมเตม 2. ครอาจเสรมแนวคดวเคราะหเพอใหนกเรยนไดเหนการมองรปเรขาคณตสองมตทมความยาวรอบรปนอยกวาความยาวรอบรปของแบบ 4 โดยกำาหนดรปหลายเหลยม ABCDEF ดงรป เปนแบบ 5 และใชสถานการณโจทยเดม ใหนกเรยนรวมกนอภปรายหาคำาตอบและบอกเหตผล

รปสเหลยมดานขนาน ABCD ลากสวนสง DE จะได AB = 10 เมตร และ DE = 6 เมตร


แบบ 2D

A E

C

B



จากการพจารณา CPD จะได CP + PD > CD ตามสมบตของ รปสามเหลยม ทกลาววา “ผลบวกของ ความยาวของดานสองดาน ของรปสามเหลยมยาวกวาดานทสาม”

จากเหตผลขางตนจงสรปไดวา ความยาวรอบรป ABCDEF นอยกวาความยาว รอบรป ABPQ ดงนน สามารถใชไมกระดานยาว 32 เมตร ลอมรอบสวนหยอมแบบ 5 ได

3. ครอาจใหความรเกยวกบการตดตอไมกระดานใหไดมมเปนมมฉากตามวธของชางไม วาในการสรางรวตามแบบ 1 แบบ 3 และแบบ 4 ดวยไมกระดาน ซงไมกระดานจะมความกวางตางจากการนำาขดลวดมาหกมมเปนมมฉาก ชางไมจำาเปนตองมวธการตดไมทไมใหเสยเนอไมและตอใหไดมมฉาก โดยชางไมจะตองตดไมโดยทำามม 45o แลวนำาปลายไมสวนทตดทงสองชนมาประกบกนเปนมมฉากดงรป จงจะทำาใหไมกระดานยาว 32 เมตร พอใชในการลอมรอบสวนหยอมตามแบบ 1 แบบ 3 และแบบ 4

54 o a b

c d

a

b

c

d

แนวคดDEQ

F C

P

A B



A B

CD

วนยตดแผนไมรปสเหลยมจตรส ABCDทมดานยาว 36 เซนตเมตร ใหไดชนสวนตามรปทแรเงาและมขนาดดงรป จงหาพนทของชนสวนทแรเงา

1.

แนวคด

ครอาจฝกใหนกเรยนไดคนเคยการแกปญหาในทำานองเดยวกนกบปญหา“ชางไม” ฝกการนกภาพและใชความรเกยวกบการแปลงทางเรขาคณตหารปทงายตอการคำานวณ ดงตอไปน

นกภาพสวนตอของรปตามแนวเสนประ(ดงรป)จะไดพนทของรป 1 เทากบพนทของรป a พนทของรป 2 เทากบพนทของรป bและ พนทของรป 3 เทากบพนทของรป c

แสดงวา ผลบวกของพนทของรป a, b และ c เทากบผลบวกของพนทของ

รป 1 , 2 และ 3

จะได พนทของชนสวนทแรเงาเทากบ ของพนทของรปสเหลยม ABCD

ดงนน พนทของชนสวนทแรเงา เทากบ x 36 x 36

= 648 ตารางเซนตเมตร

12

12

A B

CD



75

2. กาหนดใหรป A มความยาวรอบรปเทากบ 80 เซนตเมตร a และ 2a แทนความยาว ของดานตาง ๆ ดงรป จงหาพนทของรป A แนวคด เขยนเสนประตอรป A ใหเปนรปสเหลยม มมฉาก ทาใหได ความกวาง 4a และความยาว 6a

ความยาวรอบรปเทากบ 2(4a + 6a) = 20a จะได 20a = 80

a = 2080

ดงนน a = 4 เซนตเมตร หาพนทของรป A โดยการลบสวนทตอออกจากรปสเหลยมมมฉาก ดงน

พนทของรปสเหลยมมมฉาก เทากบ 4a × 6a = 24a2 พนทของรป A = 24a2 – 2(3a2) = 24a2 – 6a2 = 18a2

= 18 × 42

= 18 × 16 = 288 ตารางเซนตเมตร

a

2a A

2a

2a

a a

a

a

2a A

2a

2a

a a

a



ขอเสนอแนะ สำาหรบการหาพนทของรป A

พนทของรป A เทากบ 6a x 3a = 18a2

จากแนวคดขางตน ได a ยาว 4 เซนตเมตรดงนน พนทของรป A = 18 x 16 = 288 ตารางเซนตเมตร

รป 1 แสดงวธการทำาสมดเลมเลก โดยมขนตอนดงน • นำากระดาษแผนหนงมาพบครงสองครง • เยบลวดทขอบ ก • ตดกระดาษทขอบ ข สองขอบใหเปดออก จะได สมดเลมเลกทมแปดหนา ดงรป 2

3. ปญหา “การเขาเลม” จากขอสอบ PISA ป ค.ศ. 2006

อาจเขยนเสนประแบงรป A และใชการหมนรป 1 และรป 2 มาปดชองวาง ทำาใหไดรปสเหลยมมมฉากทมความกวาง 3a และความยาว 6a ดงรป

3a

6a

A

1 2

คำ�ถ�มท 1 การเขาเลม

รป 2



รป 2 แสดงดานหนงของกระดาษททำาเปนสมด ซงมเลขหนาเขยนไวกอนแลว เสนหนาคอกระดาษสวนทถกตดหลงจากพบแลว จงเขยนหมายเลข 1, 4, 5 และ 8 ลงในกรอบของแผนผงใหถกตอง เพอแสดงวา หนาใดอยดานหลงของหนา 2, 3, 6 และ 7

เฉลย เลขหนาถกใสในตำาแหนงทถกตอง (ไมตองสนใจวาหมายเลขจะหวกลบ)

แนวคด โดยปกตเลขหนาหนงสอจะเรยงลำาดบตอเนองกน ดงนน เลขหนาทไมปรากฏในหนาสมด 2, 3, 6, 7 กจะตองอยดานหลง ของเลขหนาเหลาน ซงจะเปนตวเลขกอนหรอหลงดงน เลขหนา 1 ตองคกบ เลขหนา 2 เลขหนา 4 ตองคกบ เลขหนา 3 เลขหนา 5 ตองคกบ เลขหนา 6 เลขหนา 8 ตองคกบ เลขหนา 7

1

4

8

5



อนงถาครนำาปญหานไปใหนกเรยนทำา ควรใหนกเรยนจนตนาการนกภาพหรอคาดคะเนบอกเลขหนาทอยหนาหลงของหนาทมองเหนกอน หลงจากนนครใหนกเรยนทำากจกรรมใชกระดาษ A4 เขยนเลขหนาตามโจทยและเลขหนาดานหลงตามทนกไว เสรจแลวใหนกเรยนลองตดกระดาษตามขนตอนรป 1 ตรวจสอบวาหนาสมดเลมเลกเรยงหนาไดถกตองจรงหรอไม



พนเพดาน ABCD เปนสเหลยมจตรส คานทรองรบนำาหนกของหลงคา คอขอบของ รปเหลยมทรงตน EFGHKLMN (ปรซมรปสเหลยม) E เปนจดกงกลางของสวนของ เสนตรง AT จด F เปนจดกงกลางของสวนของเสนตรง BT จด G เปนจดกงกลางของสวนของเสนตรง CT จด H เปนจดกงกลางของสวนของเสนตรง DT สนของพระมดทกดานยาว 12 เมตรเทากน

โรงง�น

โรงงานหลงหนงมหลงคาเปนทรงพระมด ดงรป

และขางลางเปนรปทนกเรยนคณตศาสตร ทำาแบบจำาลองของหลงค� พรอมกบบอกระยะกำากบไวดวย



คำ�ถ�มท 2 : โรงง�น จงคำานวณความยาวของสวนของเสนตรง EF ความยาวของสวนของเสนตรง EF = ____________ เมตร

คำ�ถ�มท 1 : โรงง�น จงคำานวณพนเพดาน ABCD พนทของพนเพดาน ABCD = ______________ ตารางเมตร

คะแนนเตม ตอบ 6 (ใหหนวยมาแลว)ไมมคะแนน ตอบถก 2 ขอหรอนอยกวา


% ตอบถก85.6080.0077.2054.70

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ปรภมและรปทรงแขนงวช� : การวดสถ�นก�รณ : ในเชงอาชพสมรรถนะ : -แบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบปด

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ปรภมและรปทรงแขนงวช� : การวดสถ�นก�รณ : ในเชงอาชพสมรรถนะ : -แบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบปด


% ตอบถก81.6070.9083.8031.70


ตอบ 144 (ใหหนวยมาแลว)








ในสถานการณโจทยขอน กลาวถงโรงงานหลงหนงทหลงคามลกษณะเปน ทรงพระมด เมอนกเรยนคณตศาสตรทำาแบบจำาลองของหลงคา พรอมกบบอกระยะกำากบไวจะไดรปทรงพระมดทมจด T เปนจดยอดและรปสเหลยม ABCD เปนฐานดงน

พนเพดาน ABCD เปนรปสเหลยมจตรส คานทรองรบนำาหนกของหลงคามลกษณะเปนขอบของรปเหลยมทรงตน EFGHKLMN ซงเปนปรซมฐานสเหลยม จด E, F, G และ H เปนจดกงกลางของสน AT, BT, CT และ DT ตามลำาดบ จากรป สนของพระมดทกสนยาว 12 เมตรเทากน และพนเพดาน ABCD เปนรปสเหลยมจตรสทมดานยาวดานละ 12 เมตร โจทยใหคำานวณหาพนทของพนเพดาน ABCD และความยาวของสวนของเสนตรง EF

ความรทนกเรยนจะตองใชในการตอบคำาถาม คอ 1. คว�มสมพนธของรปเรข�คณตสองมตและส�มมต นกเรยนตองใชความรสกเชงปรภมในการมองภาพดานหนา ดานขางและดานบนของพระมด ทไดวา ภาพดานหนาและดานขาง เปนรปสามเหลยมดานเทา คอ ∆TAB, ∆TBC, ∆TCD และ ∆TDA ในขณะทภาพดานบนเปนรปสเหลยมจตรส ABCD 2. พนทผวและปรม�ตร นกเรยนตองหาพนทฐานของพระมดในการตอบคำาถามขอ 1 ซงใหคำานวณหาพนทของเพดาน ABCD ทมลกษณะเปนรปสเหลยมจตรส



คำ�ถ�มท 1 จงคำานวณพนเพดาน ABCD

พนทของพนเพดาน ABCD = …………………………. ตารางเมตร

แนวคด โจทยบรรทดแรก สงนกเรยนวา จงคำานวณพนเพดาน ABCD

เนองจากพนเพดาน ABCD เปนรปสเหลยจตรสทมแตละดานยาว 12 เมตร

ดงนน พนทของพนเพดาน ABCD เทากบ 12 x 12

= 144 ตารางเมตร



3. สมบตของรปส�มเหลยมใดๆ จากโจทยทกำาหนดใหจด E, F, G และ H เปนจดกงกลางของแตละสน นกเรยนอาจใชสมบตของรปสามเหลยมทกลาววา “สวนของเสนตรงทลากเชอมจดกงกลางของดานสองดานของรปสามเหลยมใด ๆ จะขนานกบ ดานทสามและยาวเปนครงหนงของดานทสาม” ในการตอบคำาถามขอ 2 โดยสมบตดงกลาวขางตน จะไดวา EF ยาวเปนครงหนงของ AB สมบตนนกเรยนบางคนอาจไมไดเรยนมากอน เนองจากเปนเนอหาทอยในสาระการเรยนรเพมเตม ถาครนำาโจทยขอนมาใชกบนกเรยน ครอาจสอนสมบตดงกลาวเพมเตมกได 4. สมบตของรปส�มเหลยมหน�จว และสมบตของส�มเหลยมรปด�นเท� รปสามเหลยมหนาจว คอรปสามเหลยมทมดานเทากน 2 ดาน ซงรปสามเหลยมหนาจวนจะมมมทฐานเทากน 2 มม สำาหรบรปสามเหลยมดานเทา คอ รปสามเหลยมทดานเทากนทกดาน ซงมมภายในทกมมของรปสามเหลยมดานเทาจะมขนาด 60 องศา



คำาถามท 2 จงคำานวณความยาวของสวนของเสนตรง EF การหาคำาตอบขอน นกเรยนสามารถทำาได 2 แนวคด ดงน

แนวคด 1 ถานกเรยนทราบถงสมบตของรปสามเหลยมทกลาววา “สวนของเสนตรงทลากเชอมจดกงกลางของดานสองดานของ รปสามเหลยมใด ๆ จะขนานกบดานทสามและยาวเปนครงหนงของดานทสาม” นกเรยนจะสามารถตอบคำาถามไดวา EF = ของ AB = x 12 นนคอ EF = 6 เมตร

1212

แนวคด 2 ถานกเรยนไมทราบถงสมบตของรปสามเหลยมตามแนวคด 1 นกเรยนสามารถใชสมบตของรปสามเหลยมหนาจวและสมบตของรปสามเหลยมดานเทา ไดดงน

เนองจาก จด E และ จด F เปนจดกงกลางของ TA และ TB ตามลำาดบ

จะได TE = TF = = 6 เมตร

ดงนน ∆TEF เปนรปสามเหลยมหนาจว

( รปสามเหลยมทมดานยาวเทากนสองดาน เปนรปสามเหลยมหนาจว )

เนองจาก ∆TAB เปนรปสามเหลยมดานเทา

จะได ATB = TAB = TBA = 60º

( มมภายในแตละมมของรปสามเหลยมดานเทา มขนาดเทากบ 60º )

ดงนน ETF = ATB = 60º

( ETF และ ATB เปนมมเดยวกน )

เนองจาก TEF = TFE

( มมทฐานของรปสามเหลยมหนาจว มขนาดเทากน )

12_2

^

^

^

^ ^

^^

^

^

จะได TEF = TFE = 60º

( มมภายในทงสามมมของรปสามเหลยม มขนาดรวมกน เทากบ 180º )

ดงนน ∆TEF เปนสามเหลยมดานเทา

(ETF = 60º, TEF = TFE = 60º) จะได TE = EF = TF = 6 นนคอ EF เทากบ 6 เมตร

^

^

^

^ ^





จากการทนกเรยนไทยตอบคำาถามท 1 ไดถกตองเพยง 31.70 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ ขอสนนษฐานประการหนงทนกเรยนตอบไมไดอาจเปนเพราะไมเขาใจวารปสเหลยมจตรส ABCD ทเหนในรปเปนฐานของพระมดนน คอ เพดานของโรงงาน ซงแสดงวานกเรยนไมสามารถใชการนกภาพและความรสกเชงปรภมถอดโครงสรางของหลงคาโรงงาน มาเปนรปของทรงสามมตทกำาหนดใหได สำาหรบคำาถามท 2 ทนกเรยนไทยมากกวาครงเพยงเลกนอยของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบตอบไดถกตอง กนาจะเปนเพราะวาไมทราบสมบตของ รปสามเหลยมใด ๆ กบเสนตอจดกงกลางดานตามทระบมาขางตน ซงถาไมทราบกอาจขาดความพยายามหาคำาตอบโดยใชสมบตของรปสามเหลยมหนาจวและรปสามเหลยมดานเทา อยางไรกตาม หลงจากนกเรยนเขาใจแนวคดในการแกปญหาสถานการณนแลว ครอาจขยายความรตอไดวา แมวาโจทยจะกำาหนดจด E, F, G และ H ไมใชจดกงกลางของสน เชนให จด E และ จด F เปนจดททำาให TE : EA = 2 : 3 และ TF : FB = 2 : 3 นกเรยนกสามารถใชความรเกยวกบรปสามเหลยมหนาจวและรปสามเหลยมดานเทา หาความยาวของ EF ไดวามความยาวเปน ของ AB เชนกน และใหสงเกตวาโจทยใชสญลกษณแสดงสวนของเสนตรงแตกตางจากทใชในหนงสอเรยน โดยขดเสนใตตวอกษร เชน เขยน AT แทนการเขยนเปน AT ครควรแจงใหนกเรยนทราบวา หนงสอคณตศาสตรบางเลมและโจทยปญหาทางคณตศาสตร หลายขอ อาจใชสญลกษณทางคณตศาสตรตาง ๆ กน นกเรยนตองหดวเคราะหคาดเดาใหถกตองวา สญลกษณทางคณตศาสตรเหลานนแทนสงใดตามทเคยเรยนมาแลว นอกจากนครควรใชการสนทนาชแนะใหนกเรยนหดเปนคนชางสงเกตและหาความรรอบตวเกยวกบสงแวดลอมใกลตว ดงเชนในสถานการณน ครอาจบอกนกเรยนใหไปศกษาหาความรเกยวกบสงตาง ๆ ทเปนโครงสรางของหลงคา เชน ขอ แป คาน จว เพดาน และชายคา การศกษานอาจใหนกเรยนมองไดทงในแงของคณตศาสตร ศลปะ และประโยชนของการใชงาน ซงเปนการฝกเกยวกบทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร และความรสกเชงปรภม

23



คำาถามท 1 จงหาความยาวของ AFแนวคด AF2 = DE2 – (DF – BC)2

= 6.52 – (5.5 – 3)2

= 6.52 – (2.5)2

= 42.25 – 6.25 = 36 ดงนน AF = 6 เมตร

คำาถามท 2 ถาวทยาตองการทาสฝาผนงดานขางน บรเวณทตองทาสคดเปนพนทกตารางเมตรแนวคด รป ABCDE ประกอบดวย รปสเหลยมคางหม AEDF และรปสเหลยมคางหม BCDF

พนทของรป ABCDE เทากบ พนทของรป AEDF + พนทของรป BCDF

=

= x (3 + 5.5) x (6 + 4)

= 5 x 8.5

= 42.5

ดงนน ฝาผนงทตองทาสมพนท 42.5 ตารางเมตร



ครอาจหาโจทยใหนกเรยนไดฝกเพมเตม ดงตวอยางโจทยดงน ฝาผนงดานขางของบานวทยามลกษณะ ดงรป ABCDE ความยาวของดานตาง ๆ เปนดงน AE = BC = 3 เมตร DE = 6.5 เมตร AB = 10 เมตร และ DF = 5.5 เมตร

1. D

C

BFA

E

x 6 (3 + 5.5) + x 4 (3 + 5.5)1_2

1_2

1_2



2. ปญหา “การเหนหอสง” จากขอสอบ PISA ป ค.ศ. 2006

คำาถามท 1 ก�รเหนหอสง รป 1 และรป 2 ขางลาง เปนภาพวาดของหอสงหอเดยวกนทงสองรปในรป 1 นกเรยนเหนหลงคาของหอสงสามดาน ในรป 2 เหนสดาน

แผนผงตอไปน แสดงภาพของหลงคาหอสงทมองลงจากขางบน P1 – P5 เปนตำาแหนงตาง ๆ หาตำาแหนง ซงแสดงดวยเครองหมายกากบาท (X) ณ ตำาแหนงบนพนดนเหลาน ผทมองดหอสงจะสามารถมองเหนจำานวนดานของหลงคาไดตางกน

87

2. ปญหา “การเหนหอสง” จากขอสอบ PISA ป ค.ศ. 2006 คาถามท 1 การเหนหอสง รป 1 และรป 2 ขางลาง เปนภาพวาดของหอสงหอเดยวกนทงสองรป ในรป 1 นกเรยนเหนหลงคาของหอสงสามดาน ในรป 2 เหนสดาน

แผนผงตอไปน แสดงภาพของหลงคาหอสงทมองลงจากขางบน P1 – P5

เปนตาแหนงตาง ๆ หาตาแหนง ซงแสดงดวยเครองหมายกากบาท (×) ณ ตาแหนงบนพนดนเหลาน ผทมองดหอสงจะสามารถมองเหนจานวนดานของหลงคาไดตางกน

× P2

P1

×

P3

×

× ×

P5

P4




ตำ�แหนง จำ�นวนด�นของหลงค�ทส�ม�รถมองเหนจ�กตำ�แหนงต�ง ๆ(จงวงรอบจำ�นวนทถกตอง)

P1 1 2 3 4 ม�กกว� 4

P2 1 2 3 4 ม�กกว� 4

P3 1 2 3 4 ม�กกว� 4

P4 1 2 3 4 ม�กกว� 4

P5 1 2 3 4 ม�กกว� 4

จงเขยนวงกลมแสดงจำานวนดานของหลงคาทจะสามารถมองเหนไดจาก

ตำาแหนงตาง ๆ ในตารางขางลาง

เฉลย

ตำ�แหนง จำ�นวนด�นของหลงค�ทส�ม�รถมองเหนจ�กตำ�แหนงต�ง ๆ(จงวงรอบจำ�นวนทถกตอง)

P1 1 2 3 4 ม�กกว� 4

P2 1 2 3 4 ม�กกว� 4

P3 1 2 3 4 ม�กกว� 4

P4 1 2 3 4 ม�กกว� 4

P5 1 2 3 4 ม�กกว� 4



89

แนวคด การมองเหนดานของหลงคาวาสามารถมองเหนไดกดานนนขนอยกบตาแหนงทมองและระยะหางระหวางตาแหนงทมองกบฐานของหลงคาสง วธหาคาตอบ ใชการลากสวนของเสนตรงจากจดทมองไปยงจดมมของฐานหลงคาใหได มากทสดโดยแตละเสนไมตดดานใดดานหนงของฐาน แลวนบรปสามเหลยมทเกดขน จานวนรปสามเหลยมทไดจะเทากบจานวนดานของหลงคาทจะสามารถมองเหนไดจากตาแหนงทมอง ตวอยาง จากตาแหนงจด P1 เมอลากสวนเสนตรงไปยงจดมมของฐานโดยไมตดดานใดดานหนงของฐาน จะไดรปสามเหลยม 4 รป ดงรป

ดงนน จากจด P1 สามารถมองเหนดานของหลงคาได 4 ดาน

×

×

× P2

P1 P3 ×

×

P5

P4

แนวคด

การมองเหนดานของหลงคาวาสามารถมองเหนไดกดานนนขนอยกบตำาแหนง

ทมองและระยะหางระหวางตำาแหนงทมองกบฐานของหลงคาสง

วธห�คำ�ตอบ

ใชการลากสวนของเสนตรงจากจดทมองไปยงจดมมของฐานหลงคาใหได

มากทสดโดยแตละเสนไมตดดานใดดานหนงของฐาน แลวนบรปสามเหลยมทเกดขน

จำานวนรปสามเหลยมทไดจะเทากบจำานวนดานของหลงคาทจะสามารถมองเหนได

จากตำาแหนงทมอง

ตวอย�ง จากตำาแหนงจด P1 เมอลากสวนเสนตรงไปยงจดมมของฐานโดยไมตด

ดานใดดานหนงของฐาน จะไดรปสามเหลยม 4 รป ดงรป



ลกอมสต�งๆ

คำ�ถ�มท 1 : ลกอมสต�งๆ จงหาความนาจะเปนทเรวตจะหยบไดลกอมสแดง 1. 10% 2. 20% 3. 25% 4. 50%

คะแนนเตม ตอบ ขอ 2. 20%ไมมคะแนน คำาตอบอนๆ


% ตอบถก63.9972.8271.6056.3224.92

แมใหเรวตหยบลกอมหนงลกจากถง โดยเขามองไมเหนลกอม จำานวนของลกอม

แตละสทอยในถง แสดงในกราฟตอไปน

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ความไมแนนอนแขนงวช� : ความนาจะเปนสถ�นก�รณ : สวนตว/สวนบคคลสมรรถนะ : การทำาใหมแบบของขอสอบ : เลอกตอบ

8

6

4

2

0






โจทยกำาหนดใหหยบลกอมหนงลกจากถงโดยมองไมเหนลกอม และใชกราฟแทงแสดง

จำานวนลกอมแตละสทอยในถงนน แลวใหหาความนาจะเปนทจะหยบไดลกอมสแดง โดยม

คำาตอบใหเลอกในรปเปอรเซนต

เนองจากสถานการณทโจทยกำาหนดใหเปนการเชอมโยงความรเรองกราฟ ความนาจะเปน

และรอยละหรอเปอรเซนตในการแกปญหา โดยกำาหนดขอมลทตองใชในการหาความนาจะ

เปนในรปของกราฟแทง และกำาหนดคำาตอบใหเลอกในรปของเปอรเซนต ซงแตกตางจาก

สถานการณทนกเรยนคนเคย นกเรยนตองมความเขาใจและสามารถประยกตใชทกเรองท

เกยวของจงจะทำาโจทยขอนได

ความรทนกเรยนตองใชในการตอบคำาถาม คอ

1. การอานและแปลความหมายจากการนำาเสนอขอมลในรปกราฟแทงหรอแผนภม

แทง เพอหาจำานวนลกอมสตาง ๆ ในถง

2. การหาความนาจะเปนของเหตการณ ซงหาไดจาก

3. ความรเกยวกบเศษสวนทเทากน และการเขยนเศษสวนในรปของรอยละหรอ

เปอรเซนต เชน

= = เขยนไดเปนรอยละ 50 หรอ 50%

4. ความสามารถในการเชอมโยงความรในขอ 1-3 เพอหาคำาตอบ

จำานวนผลลพธของเหตการณ

จำานวนผลลพธทงหมดทอาจจะเกดขนความนาจะเปนของเหตการณ เทากบ

1_2

5_10

50_100




คำาถามท 1 จงหาความนาจะเปนทเรวตจะหยบไดลกอมสแดง

1. 10%

2. 20%

3. 25%

4. 50%

แนวคด โจทยตองการใหหาความนาจะเปนของเหตการณทหยบไดลกอมสแดง

ในการหยบลกอมหนงลกจากถงโดยไมเหนลกอม

เนองจาก ความนาจะเปนของเหตการณ เทากบ

ดงนน ความนาจะเปนทจะหยบไดลกอมสแดง

=

โจทยแสดงจำานวนลกอมแตละสดวยกราฟแทง ซงอานจำานวนลกอม

แตละสจากกราฟแทงไดดงน

จำานวนลกอมสแดง 6 ลก สสม 5 ลก สเหลอง 3 ลก สเขยว 3 ลก

สนำาเงน 2 ลก สชมพ 4 ลก สมวง 2 ลก และสนำาตาล 5 ลก

รวมลกอมทกสในถงเทากบ 6 + 5 + 3 + 3 + 2 + 4 + 2 + 5 = 30 ลก

เหตการณทสนใจ คอ หยบไดลกอมสแดง ซงมทงหมด 6 ลก

ดงนน ความนาจะเปนทจะหยบไดลกอมสแดง เทากบ = หรอ 0.2

แตคำาตอบทมใหเลอกเขยนอยในรปของเปอรเซนต

และ = เขยนไดเปน 20%

ดงนน ความนาจะเปนทเรวตจะหยบไดลกอมสแดงเทากบ 20%



จำานวนผลลพธทงหมดทอาจจะเกดขน

จำานวนลกอมสแดง

จำานวนลกอมทงหมดในถง

6_30

1_5

1_5

50_100





จำานวนผลลพธทงหมดทอาจจะเกดขน

เนองจากหลกสตรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร กำาหนดใหนกเรยนไดเรยนรเรอง

การหาความนาจะเปนของเหตการณในชนมธยมศกษาปท 3 นกเรยนบางกลมทเขาสอบ

ขอสอบ PISA จงอาจยงไมไดเรยนรเรองการหาความนาจะเปนโดยตรง แตดวยสามญสำานก

ทนกเรยนไดเคยพบเหน หรอไดเรยนรเกยวกบการคาดการณ หรอโอกาสทจะเกดเหตการณ

ตาง ๆ ในชวตประจำาวนวาเหตการณนน ๆ มโอกาสเกดขนไดหรอไม หรอมโอกาสเกดขนได

มากนอยเพยงใด โดยอาศยความสามารถดานความรสกเชงจำานวนและสามญสำานกเกยวกบ

ความนาจะเปน ซงการคาดการณดงกลาวเรามกพดในรปของรอยละหรอเปอรเซนต เชน

โอกาสทจะชนะ คอ หาสบหาสบ หรอหกสบสสบ ดวยประสบการณดงกลาวนกเรยนทไมเคย

เรยนเรองการหาความนาจะเปน กอาจทำาโจทยขอนได เพราะคำาตอบทใหเลอกอยในรป

ของเปอรเซนต เมอมลกอมสแดง 6 ลก จากจำานวนลกอมทงหมด 30 ลก โดยอาศยความ

รสกเชงจำานวนทวา 6 : 30 = 2 : 10 = 20 : 100 และสามญสำานกเกยวกบโอกาสหรอ

ความนาจะเปนยอมสรปคำาตอบไดวา โอกาสหรอความนาจะเปนทจะหยบไดลกอมสแดง

เทากบ 20%

จากผลการสอบพบวา นกเรยนไทยตอบคำาถามไดถกตองเพยง 24.92 เปอรเซนตของ

จำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ ทงนอาจเปนผลมาจากนกเรยนบางสวนไมทราบความหมายของ

คำาวา “ความนาจะเปน” เนองจากนกเรยนยงไมไดเรยนเรองนโดยตรง จงไมทราบวธการหาคำาตอบ

หรอนกเรยนบางสวนอาจไมสามารถเชอมโยงความรเรองกราฟแทงกบการหาจำานวนลกอมสตาง ๆ

ในถง รวมถงการกำาหนดตวเลอกทเปนคำาตอบในรปของรอยละหรอเปอรเซนต กอาจทำาใหนกเรยน

สบสน เพราะความนาจะเปนของเหตการณหาไดจาก

ซงสวนใหญคำาตอบจะอยในรปของเศษสวน นกเรยนจงคนเคยกบคาความนาจะเปนทอยในรป

ของเศษสวน เมอพบคำาตอบทอยในรปเปอรเซนตจงเกดความไมแนใจในการหาคำาตอบ ทำาใหไม

พยายามในการหาคำาตอบของโจทยขอน แมในหนงสอเรยนคณตศาสตรทพฒนาโดย สสวท. จะ

มขอสรปไววาความนาจะเปนของเหตการณอาจเขยนไดในรปของเศษสวน ทศนยม รอยละหรอ

เปอรเซนต เชน ความนาจะเปนของเหตการณทโยนเหรยญ 1 เหรยญแลวออกกอย เทากบ 1 หรอ 0.5 หรอ 50% แตในทางปฏบตกไมไดใชคำาตอบในรปรอยละหรอเปอรเซนต จงทำาให

นกเรยนไมคนเคยกบคาความนาจะเปนในรปเปอรเซนต แตถานกเรยนรจกสงเกตและเชอมโยง

ความรกบสถานการณในชวตประจำาวน เชน การพยากรณอากาศจะไดยนอยเปนประจำาวา

โอกาสทฝนจะตกเปนกเปอรเซนตของพนท คำากลาวนหมายถงความนาจะเปนทฝนจะตกเปน

1_2



กเปอรเซนตของพนทนนเอง ดงนนในการเรยนการสอน ครตองใหความสำาคญกบการ เชอมโยงความรไปประยกตใชกบสถานการณตาง ๆ ในชวตจรงดวย อยางไรกตามแมนกเรยนจะมความรวา ความนาจะเปนของเหตการณสามารถเขยนไดในรปรอยละหรอเปอรเซนต แตถานกเรยนไมสามารถเชอมโยงระหวางเปอรเซนตกบเศษสวนได กจะเปนปญหาในการหาคำาตอบอกลกษณะหนงคอนกเรยนขาดทกษะการเขยนเศษสวนใหอยในรปรอยละหรอเปอรเซนต ซงจะตองอาศยความรเกยวกบเศษสวนทเทากนทมตวสวนเปน 100 ทำาใหไมสามารถหาคำาตอบทถกตองได กรณเชนนในการจดการเรยนการสอน ถานกเรยนมความเขาใจในการเปลยนรอยละหรอเปอรเซนตใหอยในรปเศษสวนไดดกวา ครอาจแนะนำาเทคนคการนำาเปอรเซนตจากตวเลอกมาทำาใหอยในรปเศษสวนแลวเทยบเคยงกบคำาตอบทนกเรยนหาได กจะชวยในการหาคำาตอบไดเชนกน จะเหนไดวาสถานการณของโจทยขอน ไดสะทอนใหเหนวาการจดการเรยนการสอนในหองเรยนจำาเปนตองสอนใหนกเรยนรจกสงเกตและวเคราะหสถานการณทโจทยกำาหนดในลกษณะตาง ๆ ทงวธการใชคำาทแตกตางกนแตมความหมายเดยวกน วธนำาเสนอขอมลในรปตาง ๆ แทนการบอกเปนจำานวนโดยตรง รวมถงการเชอมโยงความรทมกบการปรบมมมองในการแกปญหาใหหลากหลาย เพอใหนกเรยนมประสบการณในการหาคาความนาจะเปนของเหตการณจากสถานการณโจทยในรปแบบตาง ๆ ทตองมการเชอมโยงความรทางคณตศาสตรมากกวาหนงเรองในการหาคำาตอบ ครผสอนควรหาโจทยในลกษณะดงกลาวมาใหนกเรยนฝกทำาให มากขน ดงตวอยาง

สถ�นก�รณ มลกแกวสแดง สเขยวและสนำาเงนอยในถง โดยอตราสวนระหวางจำานวน ลกแกวสแดงตอจำานวนลกแกวสเขยวเปน 2 : 3 และจำานวนลกแกว สนำาเงนเปนครงหนงของผลรวมจำานวนลกแกวสแดงกบลกแกวสเขยวคำาถามท 1 ถามลกแกวสแดงอยในถง 20 ลก และภาคหยบลกแกวหนงลกจากถงโดยมองไมเหนลกแกวในถง จงหาความนาจะเปนทภาคหยบไดลกแกวสแดง

แนวคด ในถงมลกแกวสแดง 20 ลก อตราสวนระหวางจำานวนลกแกวสแดงตอจำานวนลกแกวสเขยวเปน 2 : 3 = 20 : 30 ดงนน ในถงมลกแกวสเขยว 30 ลก และมลกแกวสนำาเงน เทากบ (20 + 30) = 25 ลก ดงนน ในถงมลกแกวทงหมด เทากบ 20 + 30 + 25 = 75 ลก ความนาจะเปนทภาคจะหยบไดลกแกวสแดง เทากบ =


1_2

20_75

4_15



ถาในถงมลกแกวสแดงและสเขยวรวมกน 30 ลก และภมหยบลกแกว

หนงลกจากถง โดยมองไมเหนลกแกวในถง จงหาความนาจะเปนทภมจะหยบไดลกแกว

สนำาเงน

แนวคด ในถงมลกแกวสแดงและสเขยวรวมกน 30 ลก

มลกแกวสนำาเงน x 30 = 15 ลก

ดงนน ในถงมลกแกวทงหมด 30 + 15 = 45 ลก

ความนาจะเปนทภมจะหยบไดลกแกวสนำาเงน เทากบ =

คำาถามท 3 ถาในถงมลกแกวสนำาเงน 20 ลก และพลหยบลกแกวหนงลกจากถง

โดยมองไมเหนลกแกวในถง จงหาความนาจะเปนทพลจะหยบไดลกแกวสเขยว

แนวคด ในถงมลกแกวสนำาเงน 20 ลก

ผลรวมของลกแกวสแดงกบลกแกวสเขยว เทากบ 2 x 20 = 40 ลก

อตราสวนของจำานวนลกแกวสแดงตอจำานวนลกแกวสเขยว เทากบ 2 : 3

ดงนน มลกแกวสเขยวในถง เทากบ x 40 = 24 ลก

ในถงมลกแกวทงหมด 40 + 20 = 60 ลก

ความนาจะเปนทพลจะหยบไดลกแกวสเขยว เทากบ =

1_2

3_5

15_45

24_60

1_3

2_5





แบบทดสอบวทย�ศ�สตร

คำ�ถ�มท 1 : ลกอมสต�งๆ คาเฉลยของคะแนนแบบทดสอบวทยาศาสตรทงหาชดของ เหมย หลง เทากบเทาใดคาเฉลย: .................................................................

คะแนนเตม ตอบ 64ไมมคะแนน คำาตอบอนๆ


% ตอบถก62.6266.7875.4969.3916.79

ครวทยาศาสตรในโรงเรยนของเหมย หลง ไดทดสอบวทยาศาสตรโดยมคำาตอบถก

ชดละ 100 คะแนน เหมย หลง ไดคะแนนเฉลยจากแบบทดสอบวทยาศาสตรสชดแรก เทากบ 60

คะแนน สวนชดทหาเธอทำาได 80 คะแนน

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ความไมแนนอนแขนงวช� : จำานวนสถ�นก�รณ : ในเชงการศกษาสมรรถนะ : การทำาใหมแบบของขอสอบ : ตอบสนๆ



คาเฉลยของคะแนนแบบทดสอบวทยาศาสตรทงหาชดของ เหมย หลงเทากบเทาใด โจทยตองการใหหาคาเฉลยของคะแนนแบบทดสอบวทยาศาสตรทงหาชดของเหมย หลง เมอกำาหนดคะแนนเฉลยของแบบทดสอบสชดแรกเทากบ 60 คะแนนและคะแนนของแบบทดสอบชดทหาคอ 80 คะแนน

แนวคด 1 เนองจากคะแนนเฉลยของแบบทดสอบ 4 ชดแรก เทากบ 60 คะแนน ดงนน คะแนนรวมของแบบทดสอบ 4 ชดแรก เทากบ 60 x 4 = 240 คะแนน และเนองจากคะแนนของแบบทดสอบชดทหา เทากบ 80 คะแนน ดงนน คะแนนรวมของแบบทดสอบทง 5 ชด เทากบ 240 + 80 = 320 คะแนน จะได คะแนนเฉลยของแบบทดสอบทง 5 ชด เทากบ

= 64 คะแนน นนคอ คาเฉลยของคะแนนแบบทดสอบวทยาศาสตรทงหาชดของเหมย หลง เทากบ 64 คะแนน






สถานการณโจทยขอนเปนเรองการหาคาเฉลยของคะแนนจากแบบทดสอบหาชด โดยมคะแนนของแบบทดสอบเปนดงน 1. คะแนนเฉลยของแบบทดสอบสชดแรก คอ 60 คะแนน 2. คะแนนของแบบทดสอบชดทหา คอ 80 คะแนน ในการทำาโจทยขอนนกเรยนตองทราบวา คำาวา “คาเฉลย” เปนคำาทใชพดโดยทวไปหรอเปนคำาทใชเรยกสน ๆ ของคำาวา “คาเฉลยเลขคณต”

ความรทนกเรยนตองใชในการตอบคำาถามคอ ความรทางสถตเกยวกบการหา คาเฉลยเลขคณต หรอใชความรเรองระบบสมการเชงเสนตวแปรเดยวเชอมโยงกบความรทางสถตเกยวกบการหาคาเฉลยเลขคณต

320_5




แนวคด 2 ให x แทนผลบวกของคะแนนแบบทดสอบสชดแรก คาเฉลยของคะแนนแบบทดสอบสชดแรก เทากบ จะได 60 = x = 60 x 4 จะได ผลบวกของคะแนนแบบทดสอบทงหาชด เทากบ 240 + 80 = 320 คะแนน ดงนน คาเฉลยของคะแนนแบบทดสอบทงหาชด เทากบ = 64 คะแนน นนคอ คาเฉลยของคะแนนแบบทดสอบวทยาศาสตรทงหาชดของเหมย หลง เทากบ 64 คะแนน

x_4

320_5

เปนทนาสงเกตวานกเรยนไทยสวนใหญตอบคำาถามไมได นกเรยนไทยทตอบถก มเพยง 16.79 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ ซงตำามากเมอเทยบกบนกเรยนญปน เกาหล และจน ทตอบถกเกนกวา 60 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนแตละชาตท เขาสอบ ทงทในหนงสอเรยนรายวชาพนฐานคณตศาสตรเลม 2 ชนมธยมศกษาปท 3 ทพฒนาโดย สสวท. เรองสถต ไดกลาวถงโจทยทำานองนไวทงในตวอยางและแบบฝกหด เพยงแตเนอหาดงกลาวไดจดใหเรยนในภาคเรยนท 2 ของชนมธยมศกษาปท 3 นกเรยนทเขาสอบจงอาจจะยงไมไดเรยน และถาอาศยเพยงความรพนฐานเกยวกบคาเฉลยทเคยรมาแลว สถานการณโจทยขอนกนบเปนเรองยากสำาหรบนกเรยนโดยทวไป เพราะนกเรยนจะตองใชความสามารถในการนำาความรทมไปประยกตใชในสถานการณทตางไปจากโจทยทนกเรยนเคยเรยน ซงมกเปนการหาคาเฉลยจากขอมลทโจทยกำาหนดใหโดยตรง เมอโจทยตองการหาคาเฉลยของคะแนนแบบทดสอบทงหาชด โดยไมไดใหคะแนนของแบบทดสอบทงหาชดโดยตรง แตใหคะแนนเฉลยของแบบทดสอบสชดแรกเทากบ 60 คะแนน และคะแนนของแบบทดสอบชดทหาคอ 80 คะแนน นกเรยนจงหาคำาตอบไมได แสดงวานกเรยนขาดทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรในการเชอมโยงสงทโจทยกำาหนดใหกบสงทตองการใชในการหาคำาตอบ คอไมสามารถเชอมโยงไดวาการหาผลบวกของคะแนนแบบทดสอบทงหาชด จะตองอาศยการหาผลบวกของคะแนนแบบทดสอบสชดแรกรวมกบคะแนนของแบบทดสอบชดทหา และผลบวกของคะแนนแบบทดสอบสชดแรกหาไดจากคาเฉลยของคะแนนแบบทดสอบสชดแรก

x_4



เพอใหนกเรยนมพนฐานในการนำาความรเรองการหาคาเฉลยไปใชแกปญหาในสถานการณทหลากหลาย ครผสอนควรฝกใหนกเรยนมความเขาใจสตรการหาคาเฉลยและสามารถนำาสตรไปใชในสถานการณตาง ๆ ดงน

คาเฉลย =

1. ใหหาคาเฉลยเมอกำาหนดขอมลให 2. ใหหาผลบวกของขอมลทงหมด เมอกำาหนดคาเฉลยและจำานวนขอมล 3. ใหหาจำานวนขอมล เมอกำาหนดคาเฉลยและผลบวกของขอมลทงหมด

นอกจากการฝกพนฐานในการใชสตรแลว ครผสอนควรฝกใหนกเรยนไดคดวเคราะหในการนำาสตรไปประยกตใชในสถานการณตาง ๆ ทซบซอนขน เพอเปนการฝกทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรในเรองการแกปญหา การสอสาร การสอความหมายและการนำาเสนอ รวมถงการเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตร ดงตวอยาง

ตวอย�ง ในการทดสอบวชาคณตศาสตรนกเรยน 12 คน คดคะแนนเฉลยได 25 คะแนน ตอมาตรวจพบวามการรวมคะแนนผดไป 2 คน คอ นบคะแนนเกนไป 8 คะแนนหนงคน และนบคะแนนขาดไป 2 คะแนนหนงคน จงหาคาเฉลยของคะแนนสอบทถกตอง

แนวคด เนองจาก คาเฉลย =

ให x แทนผลบวกของคะแนนสอบของนกเรยน 12 คน จะได 25 =

x = 25 x 12 = 300 เนองจาก มการรวมคะแนนผดไป 2 คน คอ นบเกนไป 8 คะแนน กบนบขาดไป 2 คะแนน จะได คา x ทถกตอง เทากบ 300 – 8 + 2 = 294

ดงนน คาเฉลยของคะแนนสอบทถกตอง เทากบ = 24.5 คะแนน

ผลบวกของขอมลทงหมด

จำานวนขอมลทงหมด

ผลบวกของขอมลทงหมด

จำานวนขอมลทงหมด

x_12

294_12



คำาถามท 3 มการพบขอผดพลาดจากการวดความสงของนกเรยนคนหนง ซงควรจะเปน 120 เซนตเมตร ไมใช 145 เซนตเมตร ความสงเฉลยของนกเรยนหญงทถกตองควรเปนเทาใด 1. 126 เซนตเมตร 2. 127 เซนตเมตร 3. 128 เซนตเมตร 4. 129 เซนตเมตร 5. 144 เซนตเมตร คำาตอบ คอ ขอ 4. 129 เซนตเมตร


ในการแกโจทยปญหาขอน ครผสอนอาจใหนกเรยนใชวธทแตกตางจากแนวคดทใหไวการฝกใหนกเรยนไดคดวเคราะหในการแกปญหาทหลากหลายในสถานการณตาง ๆ ดวยตนเอง จะทำาใหนกเรยนมทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร สามารถนำาความรไปประยกตใช เพอแกปญหาในสถานการณทแตกตางจากทเคยเรยนได ในการจดการเรยนการสอนเรอง คาเฉลยเลขคณต นอกจากการหาคาเฉลยจากขอมลทกำาหนดใหแลว ครควรใหนกเรยนรวมกนอภปรายเกยวกบความหมายของ คาเฉลยเลขคณต ตลอดจนความคดรวบยอดในการตความและการนำาไปใช ดงขอสอบPISA ป 2006 ตอไปน

คว�มสงหองเรยนหองหนงมนกเรยนหญง 25 คน ความสงเฉลยของนกเรยนหญงกลมนเปน 130 เซนตเมตร คำาถามท 1 จงอธบายวธการหาความสงเฉลย ................................................................................................................... แนวคำาตอบ คอ คำาอธบายประกอบดวยผลรวมของความสงของนกเรยนแตละคน แลวหารดวย 25

คำาถามท 2 จงเขยนวงกลมลอมรอบคำาวา “จรง” หรอ “เทจ” ในแตละประโยคตอไปน



ประโยค จรง หรอ เทจ

ถานกเรยนหญงคนหนงในหองสง 132 เซนตเมตร ตองมนกเรยนหญง อกคนหนงสง 128 เซนตเมตร

จรง / เทจ

นกเรยนหญงสวนใหญตองมความสง 130 เซนตเมตร จรง / เทจ

ถาจดลำาดบเดกหญงจากเตยทสดไปสงทสด นกเรยนคนทมลำาดบตรงกลางตองมความสง 130 เซนตเมตร


ครงหนงของนกเรยนหญงในหองตองเตยกวา 130 เซนตเมตร และอกครงหนงตองสงกวา 130 เซนตเมตร


คำาตอบ คอ เปนเทจทกประโยค



101

การสงออก

คาถามท 1: การสงออก

ในป 1998 มลคารวมการสงออกของประเทศเซดแลนดเปนเงนเทาไร (หนวยเปนลานเซด)

คาตอบ: ..........................................................

กราฟตอไปนแสดงขอมลการสงออกของประเทศเซดแลนด ซงเปนประเทศทใชเงนสกลเซดเปนเงนตราของประเทศ

คะแนนเตม ไมมคะแนน

27.1 ลานเซด หรอ 27 100 000 เซด หรอ 27.1 (ไมตองใสหนวย) และยอมรบคาตอบทปดเศษแลวเปน 27

คาตอบอนๆ

ขนสตว 5%

การจาแนกชนดของการสงออกของเซดแลนด ในป 2000

ยาสบ 7%

นาผลไม 9%

ขาว 13%

ผาฝาย 26%

ชา 5%

อนๆ 21%

เนอสตว 14%

ป

มลคารวมของการสงออกรายปของประเทศ เซดแลนดในหนวยลานเซด ระหวางป 1996 - 2000

20.4

25.4 27.1

37.9

42.6

1996 1997 1998 1999 2000 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

ก�รสงออก

คำ�ถ�มท 1 : ก�รสงออก ในป 1998 มลคารวมการสงออกของประเทศเซดแลนดเปนเงนเทาไร (หนวยเปนลานเซด)คำาตอบ : .................................................................


27.1 ลานเซด หรอ 27 100 000 เซด หรอ 27.1 (ไมตองใสหนวย) และยอมรบคำาตอบทปดเศษแลวเปน 27

ไมมคะแนนคำาตอบอนๆ

กราฟตอไปนแสดงขอมลการสงออกของประเทศเซดแลนด ซงเปนประเทศทใชเงนสกลเซดเปนเงนตราของประเทศ




% ตอบถก54.9354.4768.3362.9831.48


% ตอบถก64.6564.6578.2782.4377.84

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ความไมแนนอนแขนงวช� : จำานวนสถ�นก�รณ : ในเชงการศกษาสมรรถนะ : การทำาใหมแบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบปด

คำ�ถ�มท 2 : ก�รสงออก มลคารวมการสงออกนำาผลไมจากประเทศเซดแลนดในป 2000 เปนเทาไร 1. 1.8 ลานเซด 2. 2.3 ลานเซด 3. 2.4 ลานเซด 4. 3.4 ลานเซด 5. 3.8 ลานเซด

คะแนนเตม ตอบ 5. 3.8 ลานเซดไมมคะแนน คำาตอบอนๆ

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ความไมแนนอนแขนงวช� : สถตสถ�นก�รณ : ชมชนในทองถนสมรรถนะ : การทำาใหมแบบของขอสอบ : เลอกคำาตอบ



คำาถามท 1 โจทยถามวา ในป ค.ศ. 1998 มลคารวมการสงออกของประเทศเซตแลนดเปนเงนเทาไร แนวคด คำาตอบของคำาถามนหาไดจากการอานแผนภมแทง ซงนำาเสนอขอมล มลคารวมของการสงออกรายปของประเทศเซตแลนดในหนวยลานเซต ในชวงป ค.ศ. 1996 ถงป ค.ศ. 2000 จากแผนภมจะเหนวาในป ค.ศ. 1998 มมลคารวมการสงออกเทากบ 27.1 ลานเซต (หนวยลานเซต อานไดจากหวตาราง) คำ�ถ�มท 2 โจทยถามวา มลคารวมการสงออกนำาผลไมจากประเทศเซตแลนด ในป ค.ศ. 2000 เปนเทาไรแนวคด คำาตอบของคำาถามนตองใชขอมลทอานจากทงแผนภมแทงและแผนภม รปวงกลม โดยในการหาคำาตอบจะตองทราบขอมล 2 อยาง คอ







ในสถานการณโจทยไดนำาเสนอขอมลการสงออกของประเทศเซตแลนดดวยแผนภมแทงและแผนภมรปวงกลม ดงน 1. แผนภมแทงแสดงมลคารวมการสงออกรายป ในชวงป ค.ศ. 1996 ถงป ค.ศ. 2000 2. แผนภมรปวงกลมแสดงการจำาแนกชนดของการสงออกในป ค.ศ. 2000

โจทยมคำาถาม 2 ขอ คำาถามขอแรกเปนคำาถามทสามารถหาคำาตอบไดโดยตรงจากการอานแผนภมแทง สวนคำาถามทสองตองใชการเชอมโยงขอมลจากแผนภมแทงและแผนภมรปวงกลมมาคำานวณหาคำาตอบ

ในการทำาโจทยขอนนกเรยนตองใชความรพนฐานทางสถตเรองขอมลและการนำาเสนอขอมลในรปแผนภมแทงและแผนภมรปวงกลม การอานและการตความหมาย รวมถงความรเรองเปอรเซนตหรอรอยละในการคำานวนหาจำานวนหรอปรมาณจรงของขอมลทนำาเสนอไวเปนเปอรเซนตในแผนภมรปวงกลม




1. มลคารวมการสงออกในป ค.ศ. 2000 ซงแสดงไวในแผนภมแทงคอ 42.6 ลานเซต 2. เปอรเซนตการสงออกนำาผลไมในป ค.ศ. 2000 ซงแสดงไวในแผนภมรปวงกลม คอ 9%

เนองจากขอมลทแสดงไวในแผนภมรปวงกลมเปนการจำาแนกชนดของการสงออกของเซตแลนดในป ค.ศ. 2000 เมอมเปอรเซนตการสงออกนำาผลไม 9% จงหมายความวา มลคารวมการสงออกนำาผลไม ในป ค.ศ. 2000 เทากบ ของมลคารวมการสงออกของประเทศเซตแลนดในป ค.ศ. 2000 นนคอ มลคารวมการสงออกนำาผลไมในป ค.ศ. 2000 เทากบ x 42.6 = 3.834 ลานเซต หรอประมาณ 3.8 ลานเซต ดงนน คำาตอบ คอ ขอ 5

1. ในแงของเปอรเซนต นกเรยนไทยตอบคำาถามท 1 ไดถกตองมากกวานกเรยนญปน และนกเรยนเกาหล คอนกเรยนไทยตอบคำาถามท 1 ไดถกตองถง 77.84 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ ในขณะทนกเรยนญปนและนกเรยนเกาหลตอบคำาถามท 1 ไดถกตองเทากนคอ 64.65 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนแตละชาตทเขาสอบ แตคำาถามขอท 2 นกเรยนไทยตอบคำาถามไดถกตองเพยง 31.48 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ ตำากวานกเรยนญปนและนกเรยนเกาหลทตอบไดถกตอง 54.93 และ 54.47 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนแตละชาตทเขาสอบตามลำาดบ ทงนอาจเปนเพราะคำาถามท 1 สามารถหาคำาตอบไดโดยตรงจากการอานแผนภมแทงซงนกเรยนไดฝกทำาโจทยลกษณะนคอนขางมาก สวนคำาถามท 2 การหาคำาตอบตองอาศยการ เชอมโยงขอมลจากแผนภมแทงและแผนภมรปวงกลมแลวนำามาคดคำานวณ แสดงใหเหนวานกเรยนไทยขาดทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรในดานการแกปญหาทตองเชอมโยงความรทางคณตศาสตรและขอมลทไดรบจากการสอความหมาย นกเรยนมก คนเคยกบการใชความรทละเรองในการแกปญหาอยางตรงไปตรงมา เมอพบสถานการณทตองเชอมโยงความรมากกวาหนงเรองในการแกปญหานกเรยนสวนใหญจงทำาไมได

9_100

9_100



2. รปแบบการกำาหนดสถานการณโจทยขอนเปนตวอยางทดสำาหรบการเชอมโยงขอมลระหวางแผนภมแทงกบแผนภมรปวงกลม เพราะในการตอบคำาถามท 2 ซงถามวามลคารวมการสงออกนำาผลไมจากประเทศเซตแลนดในป ค.ศ. 2000 เปนเทาไร ในการตอบคำาถามดงกลาวตองใชขอมลทงจากแผนภมรปวงกลมและแผนภมแทง ถานกเรยนไมรจกเชอมโยงขอมลกจะไมสามารถหาคำาตอบได นอกจากนนกเรยนจะตองสามารถแปลความหมายของขอมลจากแผนภมรปวงกลมทแสดงไวเปนเปอรเซนตไดดวยจงจะสามารถหาคำาตอบทถกตองได นกเรยนสวนใหญตอบคำาถามท 2 ไมไดจงควรมการฝกใหนกเรยนไดมประสบการณการแกปญหาโจทยในลกษณะดงกลาวใหมากขนดวย เพอฝกทกษะการแกปญหาใหหลากหลาย ครผสอนอาจตงคำาถามเพมเตมในสถานการณโจทยขางตนใหนกเรยนไดคดวเคราะหในการเชอมโยงความรเพอแกปญหา ซงมหลายคำาถามทครสามารถนำามาใหนกเรยนวเคราะหในการหามลคารวมการสงออกสนคาชนดตาง ๆ หรอการเปรยบเทยบมลคารวมการสงออกสนคาในปตาง ๆ โดยกำาหนดเงอนไขหรอขอมลเพมเตมในคำาถาม ดงตวอยางคำาถาม เชน

คำาถาม จากสถานการณโจทยขางตน ถาเปอรเซนตการสงออกสนคาชนดตาง ๆ ของประเทศเซตแลนดในป 1999 เหมอนกบป 2000 จงหาวามลคารวมการสงออกขาวจากประเทศเซตแลนดในป 1999 เปนเทาใด แตกตางจากป 2000 หรอไม เพราะเหตใด

แนวคด มลคารวมการสงออกขาวจากประเทศเซตแลนดในป 1999 เทากบ x 37.9 = 4.927 ลานเซต ซงแตกตางจากป 2000 เพราะมลคารวมการ สงออกในป 1999 และป 2000 แตกตางกน

13_100

คำ�ถ�ม



ขยะ

คำ�ถ�มท 1: ขยะ นกเรยนคนหนงคดทจะแสดงขอมลเหลานเปนกราฟแทงจงใหเหตผลมาหนงขอวา ทำาไมกราฟแทงจงไมเหมาะสมในการแสดงขอมลเหลาน……………………………………………………………………………………………………………………………………………


ใหเหตผลทชดเจนเกยวกบความแตกตางของขอมลทมมากเกนไป เชน• ความสงของแทงกราฟจะตางกนมากเกนไป• ถาทำากราฟแทง ยาว 10 เซนตเมตร สำาหรบถวยพลาสตก แทงทแสดงกลองกระดาษแขงจะยาว 0.05 เซนตเมตร

หรอ เนนเหตผลของการผนแปรของขยะบางชนด เชน• ไมอาจกำาหนดความยาวของกราฟแทงทแสดงถง “พลาสตก” ได• ไมอาจทำากราฟแทงหนงสำาหรบ 1 – 3 ป หรอแทงหนงสำาหรบ 20 – 25 ป

ไมมคะแนนคำาตอบอนๆ เชน

• เพราะวามนจะใชงานไมได• แผนภมรปภาพดกวา• ไมอาจพสจนความถกตองของขอมลได• เพราะขอมลในตารางเปนการประมาณการ


% ตอบถก59.9074.8668.1465.0234.96

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบ เนอห� : ความไมแนนอนแขนงวช� : สถตสถ�นก�รณ : ในเชงวทยาศาสตรสมรรถนะ : การสะทอนการสอสารทางคณตศาสตรแบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบอสระ

ในการทำาการบานเรองสงแวดลอม นกเรยนไดรวบรวมขอมลเกยวกบระยะเวลาการสลายตวของขยะชนดตาง ๆ ทประชาชนทงไดดงน

ชนดของขยะ ระยะเวล�ก�รสล�ยตว

เปลอกกลวย 1-3 ป

เปลอกสม 1-3 ป

กลองกระด�ษแขง 0.5 ป

หม�กฝรง 20-25 ป

หนงสอพมพ 2-3 วน

ถวยพล�สตก ม�กกว� 100 ป






ความรทนกเรยนตองใชในการตอบคำาถาม คอ

1. ความรเกยวกบการนำาเสนอขอมลในรปกราฟแทง จากคำาถามท 1 ใหแสดงเหตผลวา

จากขอมลในตารางทโจทยกำาหนด ทำาไมจงไมเหมาะสมทจะนำาเสนอในรป กราฟแทง นกเรยน

จงตองมความรวาขอมลทจะนำาเสนอในรปกราฟแทงควรจะเปนอยางไร และการนำาเสนอขอมล

โดยใชกราฟแทงมลกษณะสำาคญหรอลกษณะเดนอยางไรบาง

2. การตความขอมลจากตารางทกำาหนดให ในทนเปนตาราง 2 สดมภ สดมภแรกเปน

ชนดของขยะ ซงเปนขอมลเชงคณภาพ สวนสดมภทสองเปนขอมลเชงปรมาณ แตจะเหนวา

ขอมลในสดมภทสอง สวนใหญมลกษณะเปนชวง เวลาทใชมหนวยตางกน และแสดงระยะเวลาท

มความแตกตางกนมาก นกเรยนจะตองมความสามารถในการเชอมโยงความรเหลานกบลกษณะ

สำาคญของกราฟแทงวา มสงใดบางทขดแยงกนอย อนเปนเหตใหไมเหมาะสมทจะนำาเสนอโดย

ใชกราฟแทง

นกเรยนสวนใหญจะไดรบการฝกทกษะในการอานขอมลจากการนำาเสนอขอมลในแบบ

ตาง ๆ แตขาดการเนนยำาในเรองลกษณะสำาคญหรอลกษณะเดนของการนำาเสนอขอมลในแตละ

แบบนน

3. ความสามารถในการนำาความรเกยวกบการนำาเสนอขอมลมาประยกตใช โดยเฉพาะ

อยางยงความสามารถในการวเคราะหถงความเหมาะสมและประโยชนทไดรบจากการนำาเสนอ

ขอมลแตละรปแบบ

สถานการณในโจทยขอน ไดกลาวถงขอมลเกยวกบระยะเวลาการสลายตวของขยะชนด

ตาง ๆ ทมการนำาเสนอเปนตาราง ซงขอมลระยะเวลาการสลายตวของขยะสวนใหญมลกษณะ

เปนชวง จากนนโจทยถามความคดเหนนกเรยนวา ขอมลทกำาหนดมาใหนนสามารถนำาเสนอใน

รปกราฟแทงไดหรอไม

สถานการณในโจทยขอนตองการทดสอบวานกเรยนมความเขาใจเกยวกบการนำาเสนอ

ขอมลในรปกราฟแทงมากนอยเพยงใด โดยสามารถพจารณาไดวาขอมลทเหมาะสมทสามารถ

นำาเสนอในรปกราฟแทงไดนน จะตองมลกษณะสำาคญหรอลกษณะเดนอยางไรบาง และขอมล

ทโจทยใหมามลกษณะสอดคลองหรอไมอยางไร



จงใหเหตผลมาหนงขอวา ทำาไมกราฟแทงจงไมเหมาะในการแสดงขอมลเหลาน

แนวคด

1. การนำาเสนอขอมลในรปกราฟแทง ถาขอมลเปนขอมลเชงปรมาณจะตองมการระบ

เปนคาเดยว สำาหรบโจทยขอน ขอมลในแกน X แทนชนดของขยะ ซงเปนขอมลเชงคณภาพ

แตแกน Y (ความสงของกราฟแทง) แทนระยะเวลาการสลายตวของขยะชนดตาง ๆ ซงเปนขอมล

เชงปรมาณ ดงนนจะตองมลกษณะเปนคาคาเดยว แตจากตารางทโจทยกำาหนด ขอมลมลกษณะ

เปนชวง เชน 1-3 ป และมากกวา 100 ป จงทำาใหไมสามารถนำามาสรางเปนกราฟแทงได เนองจาก

ไมสามารถหาความสงของกราฟได

2. นอกจากนขอมลทเหมาะสมในการนำาเสนอดวยกราฟแทงจะตองไมแตกตางกนมากนก

และความสงของกราฟแทงจะตองใชหนวยเดยวกน ระยะเวลาการสลายตวของขยะชนดตางๆ

ทกำาหนดให เมอปรบใหมหนวยเดยวกนจะแตกตางกนคอนขางมาก เชน ถวยพลาสตกมระยะ

เวลาการสลายตวมากกวา 100 ป หนงสอพมพมระยะเวลาการสลายตวเพยง 2 - 3 วน เมอนำา

มาสรางเปนกราฟแทง ความสงของกราฟแทงจะแตกตางกนมาก ทำาใหเกดปญหาในการเขยน

แผนภมแทงทใหขอมลตามความเปนจรง

ตวอย�งคำ�ตอบ

1. ถาพจารณาเฉพาะความสงของแทงกราฟทแทนระยะเวลาการสลายตวของขยะ

จะพบวา ความสงของกราฟจะแตกตางกนมากเกนไป เชน การสลายตวของถวยพลาสตกใชเวลา

เกน 100 ป ขณะทการสลายตวของหนงสอพมพเพยง 2 – 3 วน เทานน

2. ถาพจารณาการเขยนกราฟแตละแทง จะพบวาไมสามารถจะทำาหนวยความสงของแทง

ทแสดงระยะเวลาการสลายตวของขยะได เชน ชวงเวลาสลายตว 1 – 3 ป หรอชวงเวลาสลายตว

20 – 25 ป หรอชวงเวลาสลายตวมากกวา 100 กวาป






1. สงสำาคญในการเรยนเรองการนำาเสนอขอมล คอ การอาน การตความหมายขอมล

และการนำาเสนอขอมลในลกษณะตาง ๆ จากขอมลทกำาหนดให นกเรยนมกจะคนเคยกบ

การนำาเสนอขอมลในรปแบบของตารางและกราฟลกษณะตาง ๆ ในชวตประจำาวน

จากสอตาง ๆ เชน โทรทศน หนงสอพมพ และปายโฆษณา นกเรยนควรมทกษะในการ

ตความหมาย เพอรเทาทนขอมลทสอตาง ๆ นำาเสนอ นอกจากน นกเรยนควรรจกในการ

เลอกรปแบบการนำาเสนอขอมลทเหมาะสม ทราบถงเงอนไขหรอขอจำากดของการนำาเสนอ

ขอมลในแตละรปแบบ รวมถงขนตอนหรอวธการในการนำาเสนอขอมล กจะทำาใหการรบร

ขาวสารจากการนำาเสนอขอมลไดอยางมประสทธภาพ

2. นกเรยนอาจจะเกดความสบสนเกยวกบขอมลในตารางทโจทยกำาหนดกบตาราง

การแจกแจงความถ เนองจากในบางครงขอมลทใหอาจจะเปนชวงกบความถ ซงสามารถ

นำาเสนอขอมลในรปแบบของกราฟแทงได ครควรจะเนนใหนกเรยนเขาใจถงขอมลทใชการ

สรางกราฟแทงทเหมาะสม

3. การทมนกเรยนไทยประมาณ 35 เปอรเซนตของนกเรยนไทยทเขาสอบตอบ

คำาถามขอนไดถกตอง อาจเปนเพราะวานกเรยนไมคนเคยกบลกษณะโจทยของสถานการณ

ทกำาหนด และอาจจะไมคนกบโจทยทมลกษณะทมการเชอมโยงเพอหาเหตผลทสอดคลอง

กนหรอขดแยงกน ในการเรยนการสอนครควรใหนกเรยนพจารณาสมบตของขอมลทเหมาะ

สมกบการนำาเสนอขอมลแบบตาง ๆ จากขอมลทกำาหนดให และควรใหนกเรยนสรปลกษณะ

เดนและลกษณะดอยของการนำาเสนอขอมลในแตละรปแบบ ตลอดจนฝกใหนกเรยนทำาโจทย

ชนดปลายเปดใหมากขน

นอกจากน โจทยขอนไดสะทอนใหเหนวายงมสถานการณตาง ๆ อกมากมายท

สามารถนำามาใหนกเรยนพฒนาทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร โดยเฉพาะอยาง

ยงเกยวกบการนำาเสนอขอมลทปรากฎตามสอตาง ๆ หรอการสำารวจความคดเหนทนำาเสนอโดย

โพลตาง ๆ ครสามารถนำาสงเหลานมาอภปรายในชนเรยนในชวโมงสถตถงความสมเหต

สมผลหรอความเหมาะสมหรอไมอยางไร นกเรยนในระดบมธยมศกษาตอนตนเปนวยท

สามารถเรยนรและมสวนรวมในเหตการณตาง ๆ ทเกดขนเปนประจำาวนในสงคม เพราะ

นอกจากทางดานวชาการแลวทางดานความรบผดชอบตอสงคมทอยรวมกนเปนสวนรวม

ดวย การเรยนรจากสงเหลานเปนการพฒนาทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรไป

ดวยอยางอตโนมต



110

สงคมทอยรวมกนเปนสวนรวมดวย การเรยนรจากสงเหลานเปนการพฒนาทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรไปดวยอยางอตโนมต ในการจดการเรยนการสอนเรองสถต ครควรนาขอมลขาวสารทเกดขนในชวตประจาวนมาใหนกเรยนไดอภปรายอยางกวางขวางในหลาย ๆ แงมม เพราะการทนกเรยนมความรในหลกการ แตไมมโอกาสนาหลกการเหลานนมาวเคราะหใหเหนแงมมตาง ๆ ทาใหนกเรยนขาดประสบการณและไมมความมนใจในการนาสถตทเรยนมาไปใชไดอยางมประสทธภาพ ตอไปนเปนตวอยางโจทยเกยวกบการนาเสนอขอมลและการตความหมายจากการนาเสนอขอมลทกาหนดให ซงนกเรยนจะตองนาความรเรองรอยละมาเชอมโยงในการตอบคาถาม

ตวอยาง หองพยาบาลของโรงเรยนระดบประถมศกษาแหงหนง ไดเกบสถตจานวนนกเรยนทเปนไขหวดและลาปวยเปนรายเดอน และนาเสนอขอมลของนกเรยนทปวยในแตละเดอนในรปแผนภมรปวงกลม สาหรบแผนภมรปวงกลมของเดอนกรกฎาคม และเดอนสงหาคม พ.ศ. 2557 เปนดงน

เดอน

จานวนเปอรเซนตของนกเรยนแตละชนทปวยเทยบกบ จานวนนกเรยนปวยทงหมดแตละเดอน

ป.1 ป.2 ป.3 ป.4 ป.5 ป.6 รวม กรกฎาคม 30% 20% 10% 20% 10% 10% 100% สงหาคม 25% 20% 10% 30% 10% 5% 100%

แผนภมรปวงกลมของเดอนกรกฎาคม

ป.1 30%

ป.2 20%

ป.3 10%

ป.4 20%

ป.5 10%

ป.6 10%

ในการจดการเรยนการสอนเรองสถต ครควรนำาขอมลขาวสารทเกดขนในชวตประจำาวน

มาใหนกเรยนไดอภปรายอยางกวางขวางในหลาย ๆ แงมม เพราะการทนกเรยนมความรใน

หลกการ แตไมมโอกาสนำาหลกการเหลานนมาวเคราะหใหเหนแงมมตาง ๆ ทำาใหนกเรยน

ขาดประสบการณและไมมความมนใจในการนำาสถตทเรยนมาไปใชไดอยางมประสทธภาพ

ตอไปนเปนตวอยางโจทยเกยวกบการนำาเสนอขอมลและการตความหมายจากการ

นำาเสนอขอมลทกำาหนดให ซงนกเรยนจะตองนำาความรเรองรอยละมาเชอมโยงในการตอบ

คำาถาม

ตวอย�ง หองพยาบาลของโรงเรยนระดบประถมศกษาแหงหนง ไดเกบสถตจำานวน

นกเรยนทเปนไขหวดและลาปวยเปนรายเดอน และนำาเสนอขอมลของนกเรยนทปวยใน

แตละเดอนในรปแผนภมรปวงกลม สำาหรบแผนภมรปวงกลมของเดอนกรกฎาคม และ

เดอนสงหาคม พ.ศ. 2557 เปนดงน

แผนภมรปวงกลมของเดอนกรกฎ�คม



111

แผนภมรปวงกลมของเดอนสงหาคม

คาถามท 1 ในเดอนกรกฎาคม นกเรยนชนใดมนกเรยนปวยมากทสด แนวคด นกเรยนชน ป.1

คาถามท 2 จานวนนกเรยนชน ป.1 ทปวยในเดอนกรกฎาคม เทากบจานวนนกเรยน ชน ป.4 ทปวยในเดอนสงหาคม หรอไม เพราะเหตใด แนวคด ยงสรปไมได เพราะไมทราบจานวนนกเรยนทปวยทงหมดในแตละเดอน เชน ถาเดอนกรกฎาคมมนกเรยนปวย 10 คน และเดอนสงหาคม มนกเรยนปวย 20 คน

จะได จานวนนกเรยนชน ป.1 ปวย เทากบ 1010030 × = 3 คน

จานวนนกเรยนชน ป.4 ปวย เทากบ 2010030 × = 6 คน

จะเหนวา ถาจานวนนกเรยนทปวยในเดอนกรกฎาคม และเดอนสงหาคมมจานวนเทากน จงจะสามารถนาจานวนเปอรเซนตมาเปรยบเทยบกนได คาถามท 3 ในชวงเดอนกรกฎาคม และเดอนสงหาคม นกเรยนชนใดปวยเปน จานวนมากทสด เพราะเหตใด แนวคด ตอบไมไดวานกเรยนชนใดปวยเปนจานวนมากทสด เพราะไมสามารถนาจานวนเปอรเซนตของทงสองเดอนมารวมกนแลวเปรยบเทยบกนได ทงนเปนเพราะวา แตละหนงเปอรเซนตในแตละเดอน อาจแทนจานวนนกเรยนทตางกน ทงทถาดเผน ๆ

ป.1 25%

ป.2 20%

ป.3 10%

ป.4 30%

ป.5 10%

ป.6 5%

คำ�ถ�มท 1 ในเดอนกรกฎาคม นกเรยนชนใดมนกเรยนปวยมากทสด

ตอบ นกเรยนชน ป.1

คำ�ถ�มท 2 จำานวนนกเรยนชน ป.1 ทปวยในเดอนกรกฎาคม เทากบจำานวนนกเรยน

ชน ป.4 ทปวยในเดอนสงหาคม หรอไม เพราะเหตใด

แนวคด ยงไมสรปเนองจาก อาจเปนไปไดกรณใด กรณหนงตอไปน

กรณ 1 : เทากน ถาจำานวนนกเรยนทปวยทงหมดในเดอนกรกฎาคม และเดอนสงหาคม

มจำานวนเทากน

กรณ 2 : ไมเทากน ถาจำานวนนกเรยนทปวยทงหมดในเดอนกรกฎาคม และ

เดอนสงหาคมมจำานวน ไมเทากน เชน

ถาเดอนกรกฎาคมมนกเรยนปวย 10 คน และเดอนสงหาคม มนกเรยน

ปวย 20 คน จะได จำานวนนกเรยนชน ป.1 ปวย เทากบ x 10 = 3 คน

จำานวนนกเรยนชน ป.4 ปวย เทากบ x 20 = 6 คน

จะเหนวา ถาจำานวนนกเรยนทปวยในเดอนกรกฎาคม และเดอนสงหาคมมจำานวนเทากน

จงจะสามารถนำาจำานวนเปอรเซนตมาเปรยบเทยบกนได

คำาถามท 3 ในชวงเดอนกรกฎาคม และเดอนสงหาคม นกเรยนชนใดปวยเปน

จำานวนมากทสด เพราะเหตใด

แนวคด ตอบไมไดวานกเรยนช นใดปวยเปนจำานวนมากท สด เพราะไมสามารถ

นำาจำานวนเปอรเซนตของทงสองเดอนมารวมกนแลวเปรยบเทยบกนได ทงนเปนเพราะวา

แตละหนงเปอรเซนตในแตละเดอน อาจแทนจำานวนนกเรยนทตางกน ทงทถาดเผน ๆ

นกเรยนอาจจะคดวานกเรยนชน ป.1 มจำานวนนกเรยนปวยมากทสด เพราะมจำานวน

เปอรเซนตทรวมกนมากกวาชนอน ๆ คอ 55% พจารณาขอมลดงน

30_100

30_100






ถาเดอนกรกฎาคมมผปวยทงหมด 100 คน เดอนสงหาคมมผปวยทงหมด 360 คน

จะเปนกรณหนงทแสดงใหเหนวาผลรวม 55% อาจไมใชคาทมากทสดกได

จากตวอยางสถานการณดงกลาว ครสามารถนำาประเดนตาง ๆ มาอภปรายตอ

เชน มกรณใดบางทสามารถบอกไดวานกเรยนชนใดปวยเปนจำานวนสงสด หรอตำาสด ใน

ชวงสองเดอนโดยพจารณาจากแผนภมรปวงกลมทกำาหนดให ซงครอาจใหขอสงเกตวา

ถามกรณวาในเดอนกรกฎาคม นกเรยนชนทปวยมจำานวนเปอรเซนตปวยสงสด

หรอตำาสด และขณะเดยวกนในเดอนสงหาคม นกเรยนชนเดยวกนนนมจำานวนเปอรเซนต

ทปวยสงสด หรอตำาสดตามไปดวย กสามารถบอกไดวานกเรยนชนนนมจำานวนทปวย

สงสดหรอตำาสด เชน จากโจทยทกำาหนด จะเหนวาในเดอนกรกฎาคมนกเรยนชน ป.6

ปวยคดเปน 10% และไมมนกเรยนชนอนทปวยตำากวา 10% ในขณะเดยวกนในเดอน

สงหาคม นกเรยนชน ป.6 ปวยคดเปน 5% ซงเปนจำานวนเปอรเซนตตำาทสดเมอเทยบกบ

ชนอน ๆ ในกรณนสามารถสรปไดวา ในชวงเดอนกรกฎาคมและเดอนสงหาคม นกเรยน

ชน ป.6 มจำานวนนกเรยนทปวยนอยทสดได

เหตผล เปนเพราะวา ในการทมนกเรยนชน ป.6 ปวยเปนจำานวนเปอรเซนตนอย

ทสดในเดอนกรกฎาคม กแสดงวามจำานวนนกเรยน ป.6 นอยทสดทปวยเมอเทยบกบชน

อน ๆ ในทำานองเดยวกนในเดอนสงหาคมนกเรยน ป.6 ปวยเปนจำานวนเปอรเซนตนอย

ทสดเมอเทยบกบชนอน ๆ กแสดงวามนกเรยนชน ป.6 เปนจำานวนนอยทสดทปวยเมอ

เทยบกบชนอน ๆ จงสามารถสรปไดวาเมอรวมจำานวนทนอยทสดสองจำานวนเขาดวย

กนยอมนอยกวาผลรวมของจำานวนนกเรยนทปวยในแตละชนอน ๆ ดวย

เดอน ป.1 ป.2

กรกฎาคม

สงหาคม

30% = 30 คน

25% = 90 คน

20% = 20 คน

30% = 108 คน

รวม 55% = 120 คน 50% = 128 คน



แผนดนไหว


% ตอบถก67.9764.4155.6151.6435.46

รายการสารคดออกอากาศเรองเกยวกบแผนดนไหว และความถของการเกด

แผนดนไหว พรอมบทสนทนา เกยวกบการทำานายการเกดแผนดนไหว

นกธรณวทยาคนหนงกลาววา “ภายใน 20 ปขางหนา โอกาสทจะเกดแผนดน

ไหวทเมองเซดมถง 2 ใน 3”

คำ�ถ�มท 1 : แผนดนไหว ขอใดตอไปนเปนการตความทสะทอน คำากลาวของนกธรณวทยา คนนนไดดทสด 1. x 20 = 13.3 ดงนนระหวาง 13 และ 14 ปจากนไป จะเกดแผนดนไหวทเมองเซด

2. มากกวา ดงนน ทานสามารถมนใจไดวา ในชวง 20 ปขางหนาจะเกดแผนดนไหว

ขนทเมองเซดอยางแนนอน 3. โอกาสทจะเกดแผนดนไหวในเมองเซด ณ เวลาใดเวลาหนง ในชวง 20 ปขางหนาสงกวาท จะไมเกดแผนดนไหว 4. ไมสามารถบอกไดวาจะเกดอะไรขน เพราะวาไมมใครแนใจวาจะเกดแผนดนไหวขนเมอใด

2_3

2_3

1_ 2

คะแนนเตม ขอ 3. โอกาสทจะเกดแผนดนไหวในเมองเซด ณ เวลาใดเวลาหนง ในชวง 20 ปขางหนา

สงกวาทจะไมเกดแผนดนไหวไมมคะแนน คำาตอบอนๆ

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ความไมแนนอนแขนงวช� : ความนาจะเปนสถ�นก�รณ : ในเชงวทยาศาสตรสมรรถนะ : การสะทอนการสอสารทางคณตศาสตรแบบของขอสอบ : เลอกตอบ





ปจจบนสถานการณเกยวกบแผนดนไหวกำาลงเปนเรองทประชาชนทวโลกใหความ

สนใจและตดตามกนอยางตอเนอง ทงนเพราะมการเกดแผนดนไหวทมความรนแรงถขน

และเกดเปนบรเวณกวางทวโลก มทงเกดบนบก และในทะเล ถาเกดแผนดนไหวทอยใน

ขนวดความรนแรงไดมากกวา 7 รกเตอร และเกดใตทะเล อาจทำาใหเกดคลนสนามได

การเกดแผนดนไหวอาจสงผลกระทบ ทำาใหมนษยบาดเจบ เกดความสญเสยทงชวตและ

ทรพยสน ปจจบนยงไมมเทคโนโลยใดทจะนำามาใช เพอทำานายไดแนชด วาจะเกด

แผนดนไหวทจดใดและมความรนแรงเทาใด นอกจากใชการคาดการณทอาศยการสงเกต

แบบรปของความถของวงรอบทเกดแผนดนไหวแตละขนาด ลกษณะการเลอนของเปลอก

โลก ความรนแรงของการสนสะเทอนจากหนวยวดรกเตอร และระยะหางระหวางจด

ทมการสนสะเทอนมาประกอบกน จงทำาใหการทำานายการเกดแผนดนไหวเปนเพยงการ

คาดการณหรอคาดคะเน ดงเชนสถานการณโจทยปญหาขอนทกลาวถงการคาดการณของ

นกธรณวทยาคนหนงทกลาววา “ภายใน 20 ปขางหนา โอกาสทจะเกดแผนดนไหวทเมอง

เซดมถง 2 ใน 3” โจทยตองการใหหาการตความทสะทอนไดดทสดของคำากลาวขางตน

ในการหาคำาตอบทจะสะทอนคำากลาวของนกธรณวทยาคนนไดดทสด นกเรยน

จะตองมทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรเกยวกบการแกปญหา การเชอมโยงทาง

คณตศาสตรกบธรณวทยา และใชเหตผลในเรองความนาจะเปนประกอบการตดสนใจ

สรปผลไดอยางเหมาะสม ตลอดจนสามารถสอสาร สอความหมายและนำาเสนอ จงจะ

วเคราะหตวเลอกในโจทยไดอยางสมเหตสมผล





ความรทนกเรยนจะตองใชในการตอบคำาถาม คอ

1. อตราสวนหรอเศษสวน การเปรยบเทยบเศษสวน และความรสกเชงจำานวน

การบอกโอกาสทจะเกดแผนดนไหวทใชคำาวา 2 ใน 3 มความหมายในรปเศษสวน คอ

หรอ 2 : 3 ในรปอตราสวน

2. โอกาสของเหตการณและความนาจะเปน ในสถานการณขอน การหาคำาตอบ

นาจะยงไมมเจตนาใหใชความรเกยวกบการหาคาความนาจะเปนโดยตรง แตเจตนาใหใช

ความรสกเชงจำานวนเกยวกบเศษสวนหรออตราสวนมาเปนตวชบงถงโอกาสการเกดของ

เหตการณทสนใจจะทำานายในลกษณะการคาดคะเน มากกวาจะตองหาคาของความ

นาจะเปนจากสตร แลววเคราะหผลทตามมาดวยหลกของความนาจะเปน และนกเรยน

จะตองมความรรอบตววาในทางธรณวทยา ปจจบนยงไมมเครองมอใด ๆ บอกไดถกตอง

แนนอน วาจะเกดแผนดนไหวทใดและเมอเวลาใด

2_3

การพจารณาตวเลอกและแปลความหมายใหตรงกบขอความทนกธรณวทยากลาว

ไววา “ภายใน 20 ปขางหนา โอกาสทจะเกดแผนดนไหวทเมองเซดมถง 2 ใน 3” คำากลาว

นเปนการคาดการณการเกดแผนดนไหวในอก 20 ปขางหนา ซงจะเกดขนหรอไมเกดขน

กได แตจากการใหโอกาสทจะเกดแผนดนไหวเปน 2 ใน 3 ถามองในแงของเศษสวนหรอ

อตราสวน จะเหนวา มากกวา หรอ มากกวา 50% ในทางทฤษฎของความ

นาจะเปนจะตอบวา โอกาสทจะเกดแผนดนไหวในชวง 20 ปขางหนาสงกวาทจะไมเกด

แผนดนไหว ดงนน ตวเลอกขอ 3 จงเปนตวเลอกทสะทอนคำ�กล�วของนกธรณวทย�

คนนไดดทสด

2_3

2_3

1_2



สำาหรบตวเลอกขออน ๆ จะมขอขดแยง หรอขอความทแปลความหมายไมถกตอง

หรอไมชดเจน ดงน

ตวเลอก 1 กลาววา “ x 20 = 13.3 ดงนนระหวาง 13 ป และ 14 ป จาก

นไปจะเกดแผนดนไหวทเมองเซด”

เนองจาก เปนอตราสวนหรอเศษสวนทบอกถงโอกาสของการเกดแผนดนไหว

การนำาเวลา 20 ปมาคณ ในทนไมนาจะมความหมายเกยวกบเรองทกลาวถงการทจะแปล

ความหมาย 13.3 เปนจำานวนปจากนไปทจะเกดแผนดนไหวจงไมสมเหตสมผล

ตวเลอก 2 กลาววา “ มากกวา ดงนนทานสามารถมนใจไดวา ในชวง

20 ป ขางหนาจะเกดแผนดนไหวขนทเมองเซดอยางแนนอน”

ตวเลอก 2 จงไมสมเหตสมผล เพราะผกลาวใหคำาตอบในลกษณะทเกด

แผนดนไหวแนนอน ทงทใชขอมลอางองเพยงวา มากกวา ซงแสดงวามโอกาสเกด

แผนดนไหวมากกวาโอกาสทจะไมเกดแผนดนไหวเทานน

ตวเลอก 4 กลาววา “ไมสามารถบอกไดวาจะเกดอะไรขน เพราะวาไมมใครแนใจ

วาจะเกดแผนดนไหวขนเมอใด”

ขอความในตวเลอกขอนเปนการพดทเปนความจรงวา โดยทวไป ไมมใครแนใจ

และบอกไดแนนอนวาจะเกดแผนดนไหวขนเมอใด บรเวณใด เนองจากในปจจบนยงไมม

เทคโนโลยใดจะสามารถคำานวณเวลาและสถานทเกดแผนดนไหวไดอยางแนนอน แตใน

กรณทเมองเซด นาจะมการวเคราะหปจจยแวดลอมตาง ๆ จนไดขอมลดงทโจทยกำาหนด

โดยตวเลอก 4 นไมไดใชขอมลทโจทยกำาหนดมาวเคราะหและแปลความหมายเชอมโยงใน

เชงคณตศาสตรกบธรณวทยา ตวเลอก 4 จงไมสมเหตสมผล

2_3

2_3

2_3

1_2

1_2

2_3



ขอสงเกต/ขอเสนอแนะ 1. เปนทนาสงเกตวานอกจากนกเรยนไทยจะทำาขอสอบขอนไดถกตองเพยง 35.46

เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ ประเทศอนกยงทำาไดถกตองเปนจำานวนไมมากนก

อาจเปนเพราะวาตวลวงแตละขอใหเหตผลกำากงทจะถกตองทำาใหตดสนใจเลอกคำาตอบไดยาก

2. ครควรนำาสถานการณ “แผนดนไหว” ไปใหนกเรยนไดฝกทกษะและกระบวนการ

ทางคณตศาสตรในดานการวเคราะหขอความทตองใชเหตผล เชอมโยงความรทางคณตศาสตร

และกบศาสตรอน ๆ การสอสาร การสอความหมายและการนำาเสนอ โดยจดใหมการอภปราย

และสรปคำาตอบรวมกน

3. ครอาจใหความรเพมเตมเกยวกบการเกดแผนดนไหว โดยนำาขอความทปรากฏอย

ในเวบไซตหรอในสอตาง ๆ มาสนทนาและอภปราย เกยวกบมาตราวดระดบความรนแรงและ

ความเสยหายทไดรบในแตละระดบของแรงสนสะเทอนจากการเกดแผนดนไหวพอสงเขป ดงน

ม�ตร�รกเตอร เปนการกำาหนดตวเลขเพอบอกปรมาณของพลงงานแผนดนไหวท

ปลดปลอยออกมาจากการเกดแผนดนไหวครงหนง เปนมาตราสวนเชงลอการทมฐานสบ ซงสามารถ

คำานวณไดจากลอการทมของแอมพลจดการสนของการกระจดทมคามากทสดจากศนยบนเครอง

วดแผนดนไหว เชน เครองวดแผนดนไหวทสามารถวดคาได 5.0 รกเตอร จะมแอมพลจด

การสนสะเทอนมากเปน 10 เทาของแผนดนไหวทวดคาได 4.0 รกเตอร (ทมา : สารานกรม

เสรวกพเดย)

ระดบความรนแรงทมผลตอความรสกรบรของคนทอยใกลเคยงและผลกระทบ

อน ๆ จากการรวบรวมขอมลในเวบไซดตาง ๆ พอสรปเปนขอมลของระดบความรนแรงไดดงน

ระดบ 1.0 - 2.9 รกเตอร (เลกนอย) บรเวณทอยใกลรอยเลอน บางคนสามารถรบรได

รสกเหมอนเมาคลน บางคนมอาการวงเวยนเพยงเลกนอย

ระดบ 3.0 - 3.9 รกเตอร (เลกนอย) คนบนอาคารสงสวนใหญรบรได แตยงไมสราง

ความเสยหายทรนแรง

ระดบ 4.0 - 4.9 รกเตอร (ปานกลาง) ผอาศยภายในอาคารและนอกอาคารรสกได ม

ผลกระทบตอความเสยหายของเครองใช และบางสวนของอาคารเสยหายจนสงเกตได

ระดบ 5.0 - 5.9 รกเตอร (รนแรงปานกลาง) คนสวนใหญรสกและมผลกระทบสราง

ความเสยหายกบเครองเรอน วตถตางๆ มการเคลอนไหว หรอเคลอนท

สงกอสรางทไมแขงแรงพงทลาย



ระดบ 6.0 - 6.9 รกเตอร (รนแรง) เปนระดบทถอวาคอนขางรนแรง มรศมทำาลายได

ไกลประมาณ 80 กโลเมตร สงกอสรางทอยใกลเคยงจดศนยกลางพงทลายเสยหาย

ระดบ 7.0 - 7.9 รกเตอร (รนแรงมาก) เปนระดบความรนแรง สรางความเสยหายเปน

วงกวาง มรศมทำาลายไดมากกวา 80 กโลเมตร สงกอสรางพงทลายเสยหายแผนดนแยก

วตถบนพนถกเหวยงกระเดน

ระดบ 8.0 - 8.9 รกเตอร จดเปนระดบทรนแรงมาก สรางความเสยหายรนแรงไดในรศม

เปนรอย ๆ กโลเมตร โดยสถตมการเกดขนนอย เฉลยเพยง 1 ครงตอป

หากแผนดนไหวความแรงระดบ 9.0 - 9.9 รกเตอร จดเปนระดบ “ลางผลาญ” เปน

ระดบแผนดนไหวทสามารถทำาลายทกอยางไดในรศมเปนพนๆ กโลเมตร ตามสถตมการเกด

นอยมาก เฉลยเพยง 1 ครงตอ 20 ป

4. ครอาจใหนกเรยนไดอภปรายถงเหตการณหลงเกดแผนดนไหวในแตละครง เชน

การเกดอาฟเตอรชอก (After Shock) อาฟเตอรชอกคออะไร มระดบกรกเตอร เกดถมากนอย

เพยงใด ในประเทศไทยเกดแผนดนไหวบางหรอไม เกดทใดบางและมขนาดความรนแรงระดบใด

การอภปรายควรไดขอสรปวา อาฟเตอรชอกเปนการเกดแผนดนไหวขนาดเลก อยใน

ระดบทนอยกวา 4 รกเตอร และจะเกดขนตามหลงจากทเกดแผนดนไหวหลก เกดในพนท

รอบ ๆ ตามแนวทเกดแผนดนไหวหลก ความถของการเกดอาฟเตอรชอกบอกไมไดแนนอน

ในประเทศไทยเมอเดอนพฤษภาคม พ.ศ. 2557 มการเกดแผนดนไหวคอนขางรนแรงประมาณ

6 รกเตอร ทอำาเภอพาน อำาเภอแมลาว และอำาเภอแมสรวย จงหวดเชยงราย ทำาใหเกดความ

เสยหาย อาคารบานเรอนพงทลายหลายหลง และมอาฟเตอรชอกเกดขนเกอบ 1,000 ครง

นอกจากนครอาจแนะนำาถงการปฏบตตวหากเกดแผนดนไหวในขนทรสกได หรอในขนทม

ความรนแรงปานกลางวาตองทำาอยางไร และตองปฏบตตวอยางไรบาง



ก�รสนบสนนประธ�น�ธบด

ในประเทศเซดแลนด มการสำารวจความเหนเกยวกบการสนบสนนประธานาธบดในการเลอกตงทกำาลงจะมาถง หนงสอพมพสฉบบแยกกนสำารวจความเหนทวประเทศ ปรากฏผลการสำารวจดงนหนงสอพมพฉบบท 1: 36.5% (ทำาแบบสำารวจในวนท 6 มกราคม ใชกลมตวอยาง 500 คน โดยสมจากประชากรทมสทธเลอกตง)หนงสอพมพฉบบท 2: 41.0% (ทำาแบบสำารวจในวนท 20 มกราคม ใชกลมตวอยาง 500 คน โดยสมจากประชากรทมสทธเลอกตง)หนงสอพมพฉบบท 3: 39.0% (ทำาแบบสำารวจในวนท 20 มกราคม ใชกลมตวอยาง 1000 คน โดยสมจากประชากรทมสทธเลอกตง)หนงสอพมพฉบบท 4: 44.5% (ทำาแบบสำารวจในวนท 20 มกราคม ใชกลมตวอยาง 1000 คน โดยผอานหนงสอพมพโทรศพทเขามาออกเสยง)

คำ�ถ�มท 1 : ก�รสนบสนนประธ�น�ธบด ผลสำารวจของหนงสอพมพฉบบใด นาจะพยากรณระดบการสนบสนนประธานาธบดไดดทสด ถาการเลอกตงจะมขนในวนท 25 มกราคม จงใหเหตผลสองขอเพอสนบสนนคำาตอบดวย


หนงสอพมพฉบบท 3 การสำารวจฯ เปนปจจบนมากกวา เปนการสมตวอยางขนาดใหญกวา และถามเฉพาะผมสทธเลอกตง (ใหเหตผลอยางนอยสองเหตผล) ไมสนใจขอมลเพมเตม (รวมถงขอมลทไมเกยวของหรอไมถกตอง) เชน • หนงสอพมพฉบบท 3 เพราะวาเขาไดสมเลอกประชาชนทมสทธลงคะแนนมากกวา • หนงสอพมพฉบบท 3 เพราะวาเขาไดถาม 1000 คน โดยการสมเลอก และดำาเนนการในวนทใกลกบวนเลอกตง ดงนน ผมสทธเลอกตงมเวลาทจะเปลยนใจนอยลง • หนงสอพมพฉบบท 3 เพราะวาพวกเขาถกสมเลอก และตางมสทธลงคะแนน • หนงสอพมพฉบบท 3 เพราะวาเขาสำารวจจำานวนประชาชนมากกวา และใกลวนเลอกตงมากกวา • หนงสอพมพฉบบท 3 เพราะวาคนทง 1000 คนถกสมเลอก


ตอบวาหนงสอพมพฉบบท 3 แตใหเหตผลเพยงหนงขอ หรอไมมคำาอธบายเลย • หนงสอพมพฉบบท 3 เพราะวาวนสำารวจใกลวนเลอกตงมากกวา • หนงสอพมพฉบบท 3 มคนถกสำารวจมากกวาฉบบท 1 และ 2 • หนงสอพมพฉบบท 3


คำาตอบอนๆ เชน • หนงสอพมพฉบบท 4 การทมประชาชนมากกวา ยอมหมายถงผลท แนนอนกวาและคนทโทรศพทเขามาออกเสยง จะตองพจารณาการออกเสยง ของเขาเปนอยางดแลว


% ตอบถก46.7845.5148.4637.3116.54

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ความไมแนนอนแขนงวช� : -สถ�นก�รณ : ในเชงชมชนสมรรถนะ : การเชอมโยงแบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบอสระ



คำาถามท 1 ผลการสำารวจของหนงสอพมพฉบบใด นาจะพยากรณระดบการสนบสนนประธานธบดไดดทสด ถาการเลอกตงจะมขนในวนท 25 มกราคม จงใหเหตผลสองขอเพอสนบสนนคำาตอบดวย

จากคำาถามขางตน นกเรยนจะตองเขาใจถงพนฐานของการวเคราะหขอมลทปรากฏในผลการสำารวจของหนงสอพมพทงสฉบบ ดงน 1. ขอมลเกยวกบเวลา ตองเลอกขอมลทเปนปจจบนหรอมผลสำารวจใกลวน เลอกตงวนท 25 มกราคม มากทสด จงจะไดผลทใกลเคยงความจรง ดงนน หนงสอพมพฉบบท 1 ซงสำารวจวนท 6 มกราคม ตางจากหนงสอพมพฉบบอน ๆ ทสำารวจในวนท 20 มกราคม ซงใกลเคยงวนเลอกตงมากกวา นกเรยนจงไมควรเลอกหนงสอพมพฉบบท 1






ในสถานการณน กลาวถงผลสำารวจความเหนเกยวกบการสนบสนนประธานาธบดในการเลอกตงทกำาลงจะมาถงของหนงสอพมพสฉบบ ทไดทำาการสำารวจความเหนทวประเทศ โดยใหขอมลผลสำารวจ วนทสำารวจ จำานวนตวอยางและลกษณะของกลมตวอยาง การตอบคำาถามท 1 ของโจทย ตองการใหนกเรยนวเคราะหขอมลจากหนงสอพมพ ทงสฉบบวาขอมลของหนงสอพมพฉบบใดนาจะเปนขอมลทพยากรณระดบการสนบสนนประธานาธบดไดดทสดโดยใหเหตผลสองขอเพอสนบสนนคำาตอบดวย

ในการทำาโจทยขอน นกเรยนตองใชความนาจะเปน และสถตทเกยวของกบการสำารวจและการเกบรวบรวมขอมล การวเคราะหขอมล การเลอกใชขอมลทตองพจารณาถงความนาเชอถอเกยวกบกลมตวอยาง แหลงทมาของขอมล รวมถงวธการไดมาของขอมล ซงความเกยวของทงหลายทกลาวมามผลตอการนำามาใชในทางสถตและการตดสนใจ ในหนงสอเรยนรายวชาพนฐานคณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 3 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตรทพฒนาโดย สสวท. ไดใหความรเกยวกบวธการเกบรวบรวมขอมลและแหลงขอมลพรอมตวอยางสถานการณใหนกเรยนไดเรยนรและนำาไปใชไดอยางด การหาคำาตอบในสถานการณนนกเรยนอาจตองใชความสามารถในเรองของทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรในดานการใหเหตผลและการเชอมโยงความรทางคณตศาสตรกบสงคมศกษา




2. ขอมลเกยวกบขนาดตวอยาง ตองเลอกขอมลทไดจากกลมตวอยางทมขนาดใหญทสด เพราะจะเปนตวแทนของประชากรทมสทธเลอกตงไดมากทสด คำาตอบของสถานการณน จงนาจะเลอกพจารณาหนงสอพมพฉบบท 3 และฉบบท 4 ซงใชกลมตวอยาง 1,000 คน เทากน ขณะทหนงสอพมพ ฉบบท 1 และท 2 แตละฉบบใชกลมตวอยางเพยง 500 คน เทากน 3. ขอมลเกยวกบประชากรทสมตวอยางมา ควรเลอกจากประชากรกลมทมสทธเลอกตงจงจะทำาใหไดผลใกลเคยงความจรงมากกวา จะเหนไดวา หนงสอพมพฉบบท 4 ใชกลมตวอยางจากประชากรกลมผอานหนงสอพมพโทรศพทเขามาออกเสยง ซงอาจมจำานวนประชากรทงทมสทธเลอกตงและไมมสทธเลอกตง ทำาใหกลมตวอยางนไมใชตวแทนทดในการพยากรณการสนบสนนประธานาธบดของสถานการณน

จากการวเคราะหขอมลดงกลาวขางตน จงสรปไดวา คำาตอบของสถานการณน คอ หนงสอพมพฉบบท 3 ทนาจะพยากรณไดดทสด เพราะมขอมลเกยวกบการสำารวจสอดคลองใน 3 ประเดนขางตน กลาวคอ สำารวจวนท 20 มกราคม ซ งใกลเคยงวนเลอกต ง คอวนท 25 มกราคม มากทสด จำานวนตวอยาง 1,000 คนเปนจำานวนทมากทสดในสถานการณน และกลมตวอยางทใหขอมลกเปนผทมสทธเลอกตงทกคน ซงเปนกลมตวอยางทตรงเปาหมายทสด

1. ครควรใหคำาแนะนำาเกยวกบการทำาแบบสำารวจในชวตประจำาวน ซงนกเรยนจะพบเหนไดจากการทำาโพลของหนวยงานตางๆ ทนยมทำาการสำารวจขอมลกบสถานการณทกำาลงอยในความสนใจของประชาชน เพอนำาเสนอความคดเหนและสะทอนใหสงคมทราบวาประชาชนสวนใหญคดอยางไร เชน ก�รสำ�รวจร�ค�สนค�หมวดอ�ห�รบรโภคหลงรฐบ�ลประก�ศเพมค�แรงขนตำ�เปนวนละ 300 บ�ท ครควรสอนใหนกเรยนตระหนกถงความสำาคญของการใหขอมล ผใหขอมลจะตองใหตามความเปนจรง เพราะขอมลจรงจะทำาใหผลการสำารวจมความเทยงตรง เชอถอได อกประการหนงถานกเรยนเปนผสำารวจ นกเรยนจะตองคำานงถงกลมตวอยางทไปเกบขอมล ซงจะตองใหมความหลากหลายของสถานภาพ เชน อาชพ วย เพศ การศกษา เพราะกลมตวอยางจะเปนตวแทนของประชากรทงหมด ถากลมตวอยางเปนกลมเฉพาะทไมไดเกดจากการสมจรง จะทำาใหผลสำารวจขาดความเทยงตรง มโอกาสเบยงเบน เอนเอยงไปทางใดทางหนงได ทำาใหผลสำารวจขาดความนาเชอถอ ครอาจกำาหนดสถานการณเพอใหนกเรยนออกแบบการสำารวจทมการกำาหนดกลมตวอยางและจำานวนของตวอยางลกษณะการทำาใหไดมาของขอมลและอน ๆ ทเกยวของ แลวนำามาอภปรายถกเถยงกนในหองเรยนวาของใครทออกแบบมาไดดทสด เพราะเหตใด



2. ถาพจารณาถงจำานวนนกเรยนทสามารถตอบคำาถามของสถานการณนไดถกตอง พบวา ทกประเทศตอบไดถกตองเปนจำานวนนอยไมถง 50 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนของตวเองทเขาสอบ โดยเฉพาะนกเรยนไทยทตอบถกตองมจำานวนนอยมากเพยง 16.54 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบเทานน สนนษฐานไดวา นกเรยนขาดทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรในการใชเหตผลประกอบการวเคราะหขอมลทตองใชขอมลสวนทอยในวงเลบมาประกอบการพจารณาตดสนใจแตนกเรยนอาจมองเพยงเปอรเซนตทมากทสดเทานน ซงพบวาหนงสอพมพฉบบท 4 มผลสำารวจสงสด 44.5% จงเลอกขอนเปนคำาตอบของสถานการณน หรอนกเรยนอาจขาดการสงเกตทมาของขอมลในขอ 4 ซงมความแตกตางจากทมาของขอมลขออน ๆ 3. เพอเสรมทกษะและประสบการณเกยวกบการใชขอมลทางสถต ครอาจหาโจทยหรอสถานการณทนกเรยนตองใชความรในเรองขอมลและการนำาเสนอขอมล ในหนงสอเรยนรายวชาพนฐานคณตศาสตร เลม ๒ ชนมธยมศกษาปท ๓ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตรทพฒนาโดย สสวท. มาชแนะเพมเตม



คดปลน

คำ�ถ�มท 2 : คดปลน นกเรยนคดวาคำาพดของนกขาวคนน เปนการแปลความหมายกราฟอยางสมเหตสมผลหรอไม พรอมเขยนคำาอธบายสนบสนนคำาตอบของนกเรยน ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................

นกขาวโทรทศนแสดงกราฟตอไปน และรายงานวา“กราฟแสดงใหเหนวาคดปลนในป พ.ศ. 2542 มจำานวนเพมขนจากป พ.ศ. 2541 มาก”

..

505

510

515

520

2541

2542


ตอบวาไมใชหรอไมสมเหตสมผล โดยใหความสำาคญตรงขอเทจจรงทวา มกราฟทแสดงใหเหนไดเพยงสวนนอยเทานน เชน• ไมสมเหตสมผล ควรแสดงรปกราฟทงหมดไวดวย• ขาพเจาไมคดวา การแปลความหมายของกราฟจะสมเหตสมผล เพราะถาแสดงกราฟไวทงหมดกจะเหนวามคดปลน

เพมขนเพยงเลกนอยเทานน• ไมใช เพราะวาเขาแสดงกราฟเฉพาะสวนบนเทานน ถาดกราฟทงหมดจากชวง 0 – 520 จะเหนวาไมเพมสงขนมากนก• ไมใช เพราะถาดจากกราฟดเหมอนจะเพมขนมาก แตถาดจากตวเลข จะเหนวาเพมขนไมมากนก หรอ ตอบวาไมใชหรอไมสมเหตสมผล โดยคำาตอบมคำาแยงในเชงของอตราสวน หรอ รอยละทเพมขน เชน• ไมใช, ไมสมเหตสมผล คดปลนเพมขน 10 คด ถอวาไมมากนกเมอเปรยบเทยบกบจำานวนทงหมดทม 500 คด• ไมใช ไมสมเหตสมผล เมอคดเปนรอยละ มการเพมขนประมาณ 2% เทานน• ไมใช คดปลนเพมขน 8 คด หมายถง เพมขนรอยละ 1.5 ซงขาพเจาเหนวาไมมากนก• ไมใช ปนคดปลนเพมขนเพยง 8 หรอ 9 คด เมอเปรยบเทยบกบจำานวนคด 507 คดแลว ถอวาเพมขนไมมากนก หรอ บอกแนวโนมของขอมลกอนทจะตดสนวา เพมขนมากหรอไมมาก เชน• เราไมสามารถบอกไดวา การเพมขนนนมากหรอไม ถาในป พ.ศ. 2540 และ พ.ศ. 2541 มคดปลนเทากนแลวกอาจ

บอกไดวาคดปลน ในป พ.ศ. 2542 เพมมากขน• ไมมทางบอกไดวาการเพมขนมากขนาดไหน เพราะอยางนอยตองทราบคาการเปลยนแปลง 2 คา จงจะบอกไดวา

คาหนงมาก และอกคาหนงนอย

หมายเหต: การใชคำา “ไมใช” ในรหสเหลานหมายรวมถงขอความทงหมดทแสดงวา การแปลความหมายของกราฟ ไมสมเหตสมผล และใชคำาวา “ใช” หมายรวมถงขอความทงหมดทแสดงวา การแปลความของกราฟไดสมเหตสมผล โปรดประเมนวาคำาตอบของนกเรยนนน แสดงวาตความกราฟไดสมเหตสมผลหรอไม อยาดเพยงคำาวา “ใช” หรอ “ไมใช” เปนเกณฑในการใหคะแนนเทานน




% ตอบถก29.0628.0039.7027.3511.15


ตอบวาไมใช โดยใหคำาอธบายไมเพยงพอหรอไมถกตอง เชน• ไมใช ขาพเจาไมเหนดวย• ผรายงานไมควรใชคำาวา “มาก”• ไมใช ไมสมเหตสมผล ผรายงานมกสรางภาพเกนความเปนจรงเสมอ

หรอ ตอบวาใช เนนทลกษณะของกราฟและบอกวามคดปลนเพมขนเปน 2 เทา เชน• ใช กราฟมความสงเปนสองเทา• ใช จำานวนคดปลนเพมขนเกอบเปนสองเทา

หรอ ตอบวาใช ไมมคำาอธบายหรอคำาอธบายเปนอยางอน หรอคำาตอบอนๆ


ตอบวาไมใชหรอไมสมเหตสมผล แตไมอธบายในรายละเอยด• ใหความสำาคญกบการเพมของตวเลขของจำานวนคดปลนเทานน แตไมเปรยบเทยบกบคดทงหมด• ไมสมเหตสมผล คดปลนมเพมขนประมาณ 10 ครง คำาวา “มาก” ไมไดอธบายวาเปนจำานวนเทาไร จำานวนคดปลนทเพม

ขนมประมาณ 10 ครง จงไมคดวาเพมขนมาก• การเพมจากจำานวน 508 เปน 515 เปนการเพมทไมมาก• ไมใช, เพราะการเพมจำานวน 8 หรอ 9 นน ไมใชจำานวนมาก• กคดวาเพมขนจาก 507 เปน 515 มการเพมขน แตไมมาก

หม�ยเหต : มาตราสวนบนกราฟไมชดเจน ใหถอวามจำานวนคดปลนเพมขน 5 – 15 คดหรอ ตอบวาไมใชหรอไมสมเหตสมผล พรอมทงใหวธการคดทถกตอง แตมการคดคำานวณผดพลาดบาง

• วธการและขอสรปถกตอง แตคำานวณคารอยละได 0.03%

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบ เนอห� : ความไมแนนอนแขนงวช� : สถตสถ�นก�รณ : ในชมชนสมรรถนะ : การเชอมโยงแบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบอสระ







คำ�ถ�มท 1 ใหนกเรยนอธบายวาขอสรปของนกขาวโทรทศนผรายงานทกลาววา ขอมลทนำาเสนอดวยแผนภมแทงในโจทย แสดงถงในป พ.ศ. 2542 มจำานวนคดปลนเพมขนจากป พ.ศ. 2541 มาก การแปลความหมายขอมลของนกขาวคนน มความสมเหต สมผลหรอไม พรอมเขยนคำาอธบายสนบสนนคำาตอบของนกเรยน จากแผนภมแทงทกำาหนดในสถานการณน ผนำาเสนอนาจะมเจตนาบดเบอนขอเทจจรงมากกวา สงเกตไดจากการเขยนกราฟทมการยนระยะในชวงตน ๆ ของการแสดงจำานวนคดปลน และใชเทคนคการกำาหนดมาตราสวน เพอแสดงความสงตรงสวน

สถานการณโจทยในขอนเปนเรอง สถตทเกยวกบการนำาเสนอขอมลในรปของแผนภมแทงทรายงานคดปลน โดยเปรยบเทยบจำานวนคดทเพมขนระหวางป พ.ศ. 2541 และป พ.ศ. 2542 ทนกขาวโทรทศนสรปวา มคดปลนในป พ.ศ. 2542 เพมจากป พ.ศ. 2541 มาก ซงการนำาเสนอขอมลน มการยนสวนแสดงจำานวนคดปลนในชวง 0 - 500 คดแรกและแสดงเฉพาะคดปลนในชวง 500-520 คดหลงของป พ.ศ. 2541 และป พ.ศ. 2542 โดยป พ.ศ. 2541 มคดเกดขนประมาณ 508 คด และป พ.ศ. 2542 มคดเกดขนประมาณ 516 คด สถานการณนมการนำาเสนอขอมลโดยยนขอมลสวนใหญบนแกนตงและขยายขอมลสวนนอยทแสดงความแตกตางกน เพอใหเหนแตกตางกนมาก โดยใชระยะ 5 หนวยตอหนงชวงระยะทระบมา

ในการตอบปญหาขอน นกเรยนตองมความรเกยวกบการนำาเสนอขอมล การอานวเคราะหและการแปลความหมายเพอการนำาไปใชและการตดสนใจดวยความสมเหต สมผล ตลอดจนรเทาทนตอการใชสถตในทางไมเหมาะสม เชนการนำาเสนอขอมลทมเจตนาสอสาร สอความหมายใหเกดความคลาดเคลอนในการอานและแปลความหมาย ดงเชนสถานการณน ซงในหนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐานคณตศาสตรเลม ๒ ชนมธยมศกษาปท ๓ ของ สสวท. ไดใหความรเกยวกบความคลาดเคลอนในการใชสถต เพอใหนกเรยนไดตระหนกถงความคลาดเคลอนของขอมลทอาจเกดขนไดโดยเจตนาหรอไมเจตนาในเกอบทกขนตอนของการดำาเนนการทางสถต มตวอยางสถานการณอยาง หลากหลายเพยงพอ




ปลายของแทงแตละป พ.ศ. ใหเหนวาชวงความสงหางกนมาก ทงนเปนเจตนาของผสรางสถานการณทตองการวดความรความเขาใจของนกเรยนเกยวกบการตระหนกถงความคลาดเคลอนจากการนำาเสนอขอมล ถาผนำาเสนอขอมลตองการใหขอเทจจรงและสรปผลได อยางสมเหตสมผล แผนภมแทงในสถานการณนนาเพมคดปลนในปกอน พ.ศ. 2541 มาประกอบดวย เพอวเคราะหวาในปกอนๆ นน จำานวนคดปลนมการเพมขนหรอลดลงอยางไร ปญหาขอนตอบวา ไมใช หรอไมสมเหตสมผล เพราะถาพจารณาจากจำานวนคดปลนทงหมดตลอดป พ.ศ. 2541 มประมาณ 508 คด และป พ.ศ. 2542 มประมาณ 516 คด การมจำานวนคดเพมขน 8 คด จากจำานวนคดปลนทใชเปนฐานขอมลเปรยบเทยบในป พ.ศ. 2541 คดเปนอตราสวนของจำานวนคดปลนทเพมขนประมาณ 8 : 508 หรอประมาณ หรอ 1.6% ซงถอวาเปน จำานวนทไมมาก จากแนวการเฉลยคำาตอบทใหคะแนนเตม ระบเหตผลทประกอบคำาตอบวา “ไมใช” ไวอยางหลากหลายตามมมมองของนกเรยน กลาวคอ • ถาพจารณาจากกราฟอาจจะบอกดวยเหตผล เชน ไมใช เพราะถาดจากกราฟดเหมอนจะเพมขนมาก แตถาดจากตวเลข จะเหนวาเพมขนไมมากนก ไมใช เพราะกราฟแสดงเฉพาะสวนบนเทานน ถาดกราฟทงหมดจาก ชวง 0 – 520 จะเหนวาไมเพมสงขนมากนก • ถาพจารณาจากแนวโนมของขอมล อาจบอกเหตผลในลกษณะตอง เปรยบเทยบขอมลกบปกอน ๆ ทผานมา ถาทผานมามจำานวนนอยกวา หรอเทากน กอาจตอบวาคดในป 2542 เพมขนมากกได ในการใหคะแนนมขอสงเกตวาแนวการใหคะแนนเนนการใหเหตผลมากกวาการดคำาตอบวา ใช หรอ ไมใช เพราะมเกณฑใหคะแนนสำาหรบการใหเหตผลทนกเรยนเขยนไมชดเจนหรอมความถกตองเปนบางสวนดวย เชน อธบายวาการเพมจากจำานวน 508 เปน 515 ถอวาเพมไมมาก นกเรยนจะไดคะแนนบางสวน แตถาตอบเพยงวา ไมใช เพยงอยางเดยว หรอใหเหตผลไมสมเหตสมผลกจะไมไดคะแนนเลย

8_508



ขอสงเกต/ขอเสนอแนะ 1. ครอาจใหแนวคดวาถาแผนภมแทงทกำาหนดใหนมขอมลของปกอน ๆ มาเปรยบเทยบดวยอกประมาณ 3 ป และมขอมลแสดงใหเหน เชน ปใดมคดลดลง คงท หรอมคดเพมขน และถาป 2540 มคดลดลงจากปกอน ๆ กอาจถอวาการมคดปลนเพมขน 1.6 % ในป พ.ศ. 2542 เปนการเพมทมากขนกวาทก ๆ ป ได ในชวตประจำาวนนกเรยนจะพบการนำาเสนอขอมลในรปแบบตาง ๆ ซงนกเรยนจะตองมความเขาใจและระมดระวงในการอาน การแปลความหมายขอมลทนำาเสนอตามรปแบบเหลานน ตลอดจนเขาใจถงความคลาดเคลอนทมกเกดขนจากการนำาเสนอขอมลทผนำาเสนออาจมเจตนานำาเสนอเพอผลประโยชนบางประการ หรอเจตนานำาเสนอเพอใหเกดความเขาใจคลาดเคลอน ดงเชนสถานการณคดปลนกเปนการนำาเสนอทมขอมลไมชดเจน เกยวกบการยนระยะแสดงจำานวนคดปลนในชวง 0 - 500 คด และการขยายสวนสงของแทงขอมลใหเหนวามความแตกตางกนมาก ทำาใหการอานและการแปลความหมายกราฟไมสมเหตสมผล 2. ถาพจารณาจากคำาตอบอน ๆ ของนกเรยนและการใหคะแนน จะเหนวานกเรยนทตอบถกเกอบทกประเทศตามทระบ มจำานวนนอยมากคดเปนเปอรเซนตไมถง 40 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนของตวเองทเขาสอบ โดยเฉพาะนกเรยนไทยมจำานวนททำาถกตองนอยมากเพยง 11.15 เปอรเซนตเทานน คาดวานาจะมผลมาจากนกเรยนสวนใหญขาดทกษะในดานการใหเหตผลทสมเหตสมผล โดยใหเหตผลสนๆ ทยงขาดความชดเจนตรงประเดน เชน ตอบวา ไมใชหรอไมสมเหตสมผล เพราะการเพมจำานวน 8 หรอ 9 นน ไมใชจำานวนมาก และคงมจำานวนไมนอยทไมอธบายเหตผลประกอบเลย 3. ในการจดการเรยนรเรองกราฟ หรอสถตเกยวกบการอาน วเคราะหและ แปลความหมายขอมล ครจะตองใหความสำาคญกบการสอนใหนกเรยนระมดระวงขอมลทมการนำาเสนอโดยเจตนาบดเบอนทางสถต หรอใชสถตในการบดเบอนขอมล ซงปจจบนจะพบเหนอยบอย ๆ ในสอตาง ๆ นกเรยนจะตองตระหนกถงในเรองนใหมาก โดยเฉพาะอยางยงในยคปจจบนทเปนยคสงคมออนไลน มการสงขอความถงกนอยางรวดเรว การใหขอมล ขอสรปเหลานนมความสมเหตสมผลหรอไม หรอขอมลทางสถตเหลานนเชอถอไดหรอไม มเจตนาแอบแฝงประการใดหรอไม ครจะตองจดกจกรรมหรอหาสถานการณทใชสถตไมเหมาะสมอยางหลากหลายซงพบอยในชวตประจำาวนมาใหนกเรยนไดศกษาเรยนรรวมกน ถกเถยง อภปราย หาขอโตแยงหรอใหเหตผลสนบสนนอยางสมเหตสมผล เพอใหนกเรยนมทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรดานการใหเหตผล การเชอมโยง



ความรทางคณตศาสตร การสอสาร สอความหมายและการนำาเสนอ นกเรยนสามารถวเคราะหปญหาไดหลายแงมม คดกวางและรอบดาน รวมถงใชความรสกเชงจำานวนมาวเคราะหรวมดวย เปนทนาสงเกตจากการเฉลยการใหคะแนนเตม คะแนนบางสวน และไมมคะแนนวา ไมไดขนอยกบคำาตอบวา “ใช” หรอ “ไมใช” หรอ “สมเหตสมผล” หรอ “ไมสมเหตสมผล” แตอยทการเขยนอธบายประกอบคำาตอบใหตรงประเดน คอ จำานวนคดทเพมขน โดยตวมนเองบอกไมไดวามาก หรอไมมาก แตจะบอกไดเมอทราบวาจำานวนคดทเพมขนนนเทยบกบจำานวนใด 4. นอกจากสอนใหนกเรยนใชสถตอยางถกตองแลว ครควรใหนกเรยนมประสบการณในการวเคราะหสถานการณทใชสถตทไมเหมาะสมอยางหลากหลาย จากเหตการณตาง ๆ ทพบในชวตประจำาวน 5. ควรฝกฝนการเขยนอธบายเหตผลประกอบคำาตอบอยางสมเหตสมผลตรงประเดน ตงแตเหตผลงาย ๆ สน ๆ และคอย ๆ เปนเหตผลทซบซอนขน เพราะการใหเหตผลทสมเหตสมผล อาจมความสำาคญกวาคำาตอบวา “ใช” หรอ “ไมใช” การฝกใหนกเรยนสามารถวเคราะหปญหาหลายแงมม จะทำาใหนกเรยนคดกวางและรอบคอบ ตอไปนเปนสถานการณโจทยทครสามารถนำามาใหนกเรยนฝกการใชทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรในการนำาเสนอขอมลทเหมาะสมและสมเหตสมผลทางสถต

ผลกำ�ไรประจำ�ปของบรษทเชยวช�ญก�รค� บรษทเชยวชาญการคา มผลกำาไรประจำาประหวาง ป พ.ศ. 2546 – 2556 ดงตารางตอไปน

ป พ.ศ. ผลกำ�ไร (หนวยเปนล�นบ�ท)

25462547254825492550255125522553255425552556

35.035.535.735.735.836.035.735.936.236.436.5



จากขอมลขางตนไดมการนำาเสนอขอมลดวยกราฟเสนดงรปท 1 และรปท 2 ตอไปน

รปท 1

6 4 2 0

40 25

47 ..

38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8

2548

2549

2550

2551

2552

2553

2554

2555

2556

2546



2547

..

2548

2549

2550

2551

2552

2553

2554

2555

2556

2546

0

37.036.936.836.736.636.5

36.436.336.236.136.035.935.8

35.735.635.535.435.3

35.235.135.0

รปท 2



คำ�ถ�ม การนำาเสนอขอมลในรปท 1 และรปท 2 รปใดเปนการนำาเสนอทเหมาะสมในทางสถต และรปใดเปนการนำาเสนอทไมเหมาะสมทางสถต

แนวคด 1) การนำาเสนอขอมลในรปท 1 เปนการนำาเสนอทเหมาะสม เพราะลกษณะของกราฟใกลเคยงสวนของเสนตรงทขนานกบแกนนอนเปนการแสดงขอเทจจรงใหเหนเปนภาพรวมของผลกำาไรตงแตป พ.ศ. 2546 – พ.ศ. 2556 วา ผลกำาไรของแตละปเพมขนเพยงเลกนอยเมอเทยบกบผลกำาไรปกอนหนา คอผลกำาไรในชวง 11 ป อยระหวาง35 ลานบาทถง 36.5 ลานบาท จะเหนวา 36.5 ลานบาทตางจาก 35 ลานบาท เพยง 1.5 ลานบาท หรอเพยง x 100 ≈ 4.3% เทานน ซงถอวาเพมขนเพยงเลกนอย ยกเวนผลกำาไรของป พ.ศ. 2552 ลดลงจากผลกำาไรป พ.ศ. 2551 เพยงเลกนอย คอจาก 36 ลาน ลดลงเปน 35.7 ลาน หรอ 0.3 ลานตอ 36 ลาน ประมาณ 0.83% และหลงจากป พ.ศ. 2552 ผลกำาไรกเพมขนเลกนอยทกปอยางตอเนองจนถงป พ.ศ. 2556 2) การนำาเสนอขอมลในรปท 2 เปนการนำาเสนอทไมเหมาะสม เพราะกราฟเปนการนำาเสนอขอมลทไมไดแสดงขอเทจจรงทงหมด คอเสนอเพยงบางสวนโดยเปรยบเทยบเฉพาะสวนทเพมขนของผลกำาไรตงแต 35 ลาน ถง 36.5 ลาน ทำาใหกราฟมลกษณะเพมของผลกำาไรแตละปแตกตางกนมาก ทำาใหผอานเขาใจวาการเปลยนแปลงของผลกำาไรของแตละปในชวง 11 ป แตกตางกนมาก และในขณะเดยวกนกราฟกแสดงใหเหนวาการลดลงของผลกำาไรป พ.ศ. 2552 จากป พ.ศ. 2551 ลดลงเปนจำานวนมาก ซงแทจรงลดลงเพยง 0.3 ลานบาทจาก 36 ลานบาท หรอประมาณ 0.83% เทานน การนำาเสนอขอมลในรปท 2 ทำาใหผอานเขาใจคลาดเคลอนจากความเปนจรง จงเปนการนำาเสนอขอมลทไมเหมาะสมทางสถต

1.5_35

คำ�ถ�ม



รถยนตทดทสด

วารสารรถยนตเลมหนง ใชระบบการใหคะแนนเพอประเมนรถยนตใหม รถยนตทไดรบรางวล “รถยนตแหงป” จะเปนรถยนตทมคะแนนรวมสงสด มรถยนตใหมหาคน เขารบการประเมน และแสดงผลการประเมนไวในตารางดงน

คาทถกประเมนตความดงน 3 คะแนน = ดเยยม 2 คะแนน = ด 1 คะแนน = พอใช

รถยนต

คว�ม

ปลอดภย

(S)

ประสทธภ�พ

เชอเพลง

(F)

รปลกษณ

ภ�ยนอก

(E)

ก�รประกอบ

ภ�ยใน

(T)

Ca 3 1 2 3

M2 2 2 2 2

Sp 3 1 3 2

N1 1 3 3 3

KK 3 2 3 2

คำ�ถ�มท 1 : รถยนตทดทสด การคดคะแนนรวมสำาหรบรถยนต วารสารรถยนตเลมนนใชสตรการหาคะแนนรวมจากผลรวม ของคะแนนแตละดาน ดงน คะแนนรวม = (3 x S) + F + E + Tจงคำานวณหาคะแนนรวมสำาหรบ “Ca” แลวเขยนคำาตอบลงในทวางทกำาหนดใหคะแนนรวมสำาหรบ “Ca” : ......................................................................

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเเนอห� : การเปลยนแปลงและความสมพนธแขนงวช� : -สถ�นก�รณ : ในเชงชมชนสมรรถนะ : การทำาใหมแบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบปด


% ตอบถก79.8183.5786.6489.8053.03

คะแนนเตม ตอบ 15 คะแนนไมมคะแนน คำาตอบอนๆ



คำ�ถ�มท 2 : รถยนตทดทสด


คำาตอบทถกตองตามกฎ เพอทจะใหรถยนต “Ca” เปนผชนะ


ผผลตรถยนต “Ca” คดวากฎในการใหคะแนนรวมนนไมยตธรรมจงเขยนสตรทใชคำานวณการใหคะแนนรวม เพอจะใหรถยนต “Ca” เปนผชนะสตรทนกเรยนเขยนขนควรจะตองรวมตวแปรทงส และควรเขยนสตรโดยการเตมจำานวนบวกลงในชองวางทงสในสมการขางลางน

คะแนนรวม = ……… x S + ……… x F + ……… x E + ……… x T

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : การเปลยนแปลงและความสมพนธแขนงวช� : -สถ�นก�รณ : ในเชงชมชนสมรรถนะ : การสะทอน และสอสารทางคณตศาสตรแบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบอสระ


% ตอบถก44.8737.9739.7833.857.87






สถานการณของโจทยขอนเปนการใหขอมลการประเมนรถยนตเพอเขารบรางวล โดยพจารณาจากปจจยตาง ๆ ในทนประกอบดวย ความปลอดภย ประสทธภาพ เชอเพลง รปลกษณภายนอก และการประกอบภายใน เพอตดสนวารถยนตใดควรจะไดรบรางวล “รถยนตแหงป” เปนการนำาความรทางคณตศาสตรไปประยกตใช ซงในปจจบน มกมการประเมนเพอใหรางวลตาง ๆ เชน การประเมนคณภาพหรอประสทธภาพผลตภณฑของบรษทตาง ๆ เพอประโยชนของผบรโภค การประเมนเมองทนาทองเทยว สถานการณโจทยในลกษณะน เปนเรองทครควรใหความสนใจและตองฝกทกษะเหลานใหกบนกเรยน นอกจากจะทำาใหนกเรยนมทกษะเกยวกบการประเมนผลทนกเรยนจะพบในชวตจรงแลว จะทำาใหนกเรยนไดเหนประโยชนของคณตศาสตรอกดวย อกทงนกเรยนไดเรยนรวาในการพจารณาสนคาแตละชนทเราตองการนน จะตองพจารณาองคประกอบดานตาง ๆ เพอใหไดสนคาทตรงกบจดประสงคในการซอแตละครง และในการใชตวอกษรแทนปจจยตาง ๆ ของสนคากเปนการนำาสญลกษณมาใชเพอทำาใหไดขอความทางคณตศาสตรทกะทดรดและสะดวกตอการนำาไปใชในการคำานวณ สำาหรบการใหนำาหนกทไมเทากนสำาหรบแตละปจจย เปนการฝกการวเคราะหไดดมากในการจะพจารณาวาในสถานการณหนง ๆ อาจใหความสำาคญกบแตละปจจยแตกตางกน เชน สำาหรบผทมงบประมาณจำากด ในการพจารณาซอรถยนตจะใหนำาหนกในเรองความปลอดภยและราคาของรถเปนอนดบตน ๆ โดยจะเพมนำาหนกในปจจยเหลานมากขน และใหนำาหนกของปจจยเกยวกบความสะดวกสบายหรอรปลกษณภายนอกลดลง

ความรทนกเรยนจะตองใช คอ 1. การแทนคาตวแปรในสมการ เพอคำานวณคาทตองการ เมอโจทยกำาหนดสตรในการหาคะแนนรวมจากปจจย ทนำามาประเมน คอ ความปลอดภย (S) ประสทธภาพ เชอเพลง (F) รปลกษณภายนอก (E) และการประกอบภายใน (T) ดงน คะแนนรวม เทากบ (3 x S) + F + E + T ซงจากสมการขางตน จะเหนวาการประเมนนใหความสำาคญทความปลอดภย โดยใหนำาหนกมากกวาปจจยอน 3 เทา นกเรยนควรจะสามารถหาคะแนนรวมของรถยนตยหอ Ca โดยการแทนคาตวแปร คอ แทนคาของ S, F, E และ T ของ Ca ในสตร เพอจะหาคะแนนรวมทจะใชตอบคำาถามท 1



คำาถามท 1 โจทยตองการหาคะแนนรวมของรถยนต Ca

แนวคด จากสมการทโจทยกำาหนด คอ คะแนนรวม เทากบ (3 x S) + F + E + T โดยท S แทน ความปลอดภย F แทน ประสทธภาพเชอเพลง E แทน รปลกษณภายนอก T แทน การประกอบภายใน จากสมการทกำาหนด ใหนำาหนก S เปน 3 ในขณะทนำาหนกของปจจยอนๆ เปน 1 ซงแสดงใหเหนวาผประเมนใหความสำาคญกบความปลอดภยมากกวาปจจยอนๆ จากตารางผลการประเมน พบวา S = 3, F = 1, E = 2 และ T = 3 แทนคาเหลานลงในสมการ จะไดวา คะแนนรวมสำาหรบ Ca เทากบ (3 x 3) + 1 + 2 + 3 = 15 คะแนน



2. นำาหนกของตวแปร สำาหรบคำาถามท 2 เปนการสรางสตรในการคำานวณใหมทจะทำาใหรถยนต Ca เปนผชนะในการประเมน โดยการเปลยนนำาหนกของตวแปรโดยนำาจำานวนทเหมาะสมคณตวแปรในสตร เพอใหไดคะแนนรวมของ Ca มากกวาคะแนนรวมของรถยหออน ๆ ซงในการสรางสตรใหมนนกเรยนจะตองใชความรสกเชงจำานวนมาชวยในการวเคราะหเพอหานำาหนกในแตละปจจย ในการสรางสมการทจะให Ca ชนะการประเมน นกเรยนตองพจารณาวาปจจยใดบางทเปนจดแขงหรอจดเดนของ Ca ซงในทน คอ ความปลอดภย (S) และการประกอบภายใน (T) ทงสองปจจยน Ca ไดรบประเมนในระดบ 3 หรอ ระดบดยอดเยยม ดงนนเพอใหผลประเมนของรถยนต Ca สงกวารถยนตยหออน ควรใหนำาหนกกบสองปจจยนสงกวาปจจยอน ๆ สวนจะเปนเทาใดนน นกเรยนจะตองใชความรสกเชงจำานวนพจารณาเพมนำาหนก เพอจะไดคำาตอบไดเรวขน ซงอาจมคำาตอบหลายคำาตอบ แตละคำาตอบจะตองมเหตผลทสมเหตสมผลประกอบในการพจารณา



คำ�ถ�มท 2 โจทยตองการหานำาหนกของตวแปร เพอใหคะแนนรวมของรถยนต Ca

สงสด ผผลตรถยนต Ca คดวากฎหรอสมการทกำาหนดในคำาถามท 1 ให คะแนนรวม

ไมยตธรรม การพจารณาหากฎหรอสมการทจะทำาให Ca เปนรถยนตทดทสด

ควรเพมนำาหนกของปจจยท Ca ไดรบผลประเมนสง ซงในทน คอ ความปลอดภย (S)

และการประกอบภายใน (T) ซงมผลการประเมน “ดเยยม” ไดเทากบ 3

แนวคด พจารณาตารางผลการประเมน

พบวา จดออนของ Ca อยทปจจย F และ E ซงไดระดบ 1 และ ระดบ 2

ตามลำาดบ ขณะทรถยนต KK ซงเมอใชความรสกเชงจำานวนแลวจะพบวาเปนคแขงท

สสกน ซงไดระดบ 2 และระดบ 3 ตามลำาดบ โดยคะแนนสวนน Ca จะนอยกวา KK อย 2

ดงนน จะตองเพมนำาหนกปจจย T ททำาใหไดคะแนนของ Ca เพมขนมามากกวาคะแนน

ทเพมของ KK อยอยางนอย 3 จงจะมนใจไดวาคะแนนรวมของรถยนต Ca สงสด

พจารณาผลการประเมนปจจย T ของ Ca และของ KK ซงไดระดบ 3 และ 2 ตามลำาดบ

ใหนำาหนกของปจจย T เปน x

ดงนน 3x – 2x 3

x 3

นนคอ นำาหนกของปจจย T ควรมากกวาหรอเทากบ 3 จงจะมนใจวา Ca ได

คะแนนรวมสงสด

รถยนต

คว�ม

ปลอดภย

(S)



(F)

รปลกษณ

ภ�ยนอก

(E)

ก�รประกอบ

ภ�ยใน

(T)

คะแนนรวม

(3 x S) + F + E + T

Ca 3 1 2 3 15

M2 2 2 2 2 12

Sp 3 1 3 2 15

N1 1 3 3 3 12

KK 3 2 3 2 16

>

>




ดงนน สตรใหมของการหาคะแนนรวมคอ

คะแนนรวม เทากบ 3S + F + E + xT เมอ x 3

คำาตอบ มหลายคำาตอบ เชน

1. คะแนนรวม เทากบ 3S + F + E + 3T



รายละเอยดดงตารางตอไปน

1. ในการตอบคำาถามท 1 นกเรยนไทยตอบถก 53.03 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยน

ไทยทเขาสอบ ซงถอวาไมมากเมอเทยบกบประเทศอน ๆ เนองจากเปนคำาถามทงาย เปน

เพยงการแทนคาตวแปร ความผดพลาดทเกดขน อาจเกดจากการอานขอมลจากตารางผด

พลาด หรอการคำานวณผดพลาด นอกจากนนกเรยนมกจะคนเคยกบความสมพนธระหวาง

ตวแปรตามและตวแปรอสระเพยงตวแปรเดยว ซงในโจทยขอนมตวแปรอสระ 4 ตวทำาให

นกเรยนอาจจะเกดการสบสน

สถานการณโจทยลกษณะนเปนการประยกตคณตศาสตรทพบเหนในชวตประจำาวน

ครควรยกตวอยางทพบในชวตประจำาวนทหลากหลาย เพอดงความสนใจของนกเรยน และ

ใหนกเรยนทำาโจทยลกษณะนมาก ๆ กจะทำาใหนกเรยนคนเคยกบโจทยในลกษณะนมาก

ขน

รถยนต

คว�ม

ปลอดภย

(S)



(F)

รปลกษณ

ภ�ยนอก

(E)

ก�ร

ประกอบ

ภ�ยใน

(T)


(3 x S)+

F + E +

(3 x T)


(3 x S) +

F + E +

(4 x T)


(3 x S) +

F + E +

(5 x T)

Ca 3 1 2 3 21 24 27

M2 2 2 2 2 16 18 20

Sp 3 1 3 2 19 21 23

N1 1 3 3 3 18 21 24

KK 3 2 3 2 20 22 24

>



2. ในการตอบคำาถามท 2 นกเรยนไทยตอบถกนอยมาก เพยง 7.87 เปอรเซนต

ของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ อาจเปนเพราะวานกเรยนไมคนเคยกบโจทยลกษณะ

น เพราะสวนใหญนกเรยนจะคนเคยกบโจทยทใชการแทนคา มากกวาการหานำาหนกของ

ตวแปร การทำาโจทยลกษณะนอาจจะใหนกเรยนทำาเปนกลม เพราะคำาตอบของโจทยน

มหลายคำาตอบ ใหนกเรยนอภปรายถงเหตผลของแตละคำาตอบ นกเรยนจะไดแสดงวธ

คดวเคราะหการใหเหตผล โดยครอาจจะสรปใหนกเรยนเหนวาในบางครงโจทยอาจจะม

คำาตอบไดหลายคำาตอบ และขอมลตาง ๆ ทพบเหนในชวตประจำาวน มความเปนไปไดท

เกดจากการสรางสตรหรอสมการ เพอใหประโยชนกบตวเอง เปนการสอนคณธรรมและ

จรยธรรมในการใชความรทางคณตศาสตรดวย

ครสามารถหาโจทยในลกษณะทมตวแปรมากกวาสองตวมาเกยวของกบการหา

ผลลพธทตองการไดไมยากนก เพราะในชวตประจำาวนนกเรยนตองพบกบการทตองตดสน

ใจเลอกในสงทสำาคญทสดและสงทสำาคญรอง ๆ ลงมาในสงทตองการซอ หรอแมแตใน

เรองสงซออาหาร ครอาจเรมจากสถานการณงาย ๆ ใกลตวกอนดงตวอยางตอไปน

แกวไปเทยวงานลอยกระทง ซงจดขนทจฬาลงกรณมหาวทยาลย หลงจากทเธอ

ซอของได 2 – 3 อยางทตองการแลว เธอกรสกหวจงเขาไปสงซอแซนดวช แกวมองด

รายการอาหารและราคา ซงเปนดงน

ขนมปง 1 ค (Bread) ชส (cheese) แฮม (Ham) และมะเขอเทศและ

ผกกาดหอม 1 ชด (Vegetables) กำาหนดราคาดงน

จะเหนวา แซนดวช 1 อน ตามเมนปกต ราคาเทากบ B + C + H + V = 10 +

15 + 15 + 5 = 45 บาท แกวชอบทานแซนดวชทมชสเยอะ ๆ จงคดในใจวาจะสงชส

เพมอก 1 แผน และขอเพมผกอก 1 ชด

ร�ยก�รอ�ห�ร ขนมปง 1 ค B

ชส 1 แผน C

แฮม 1 แผน H

มะเขอเทศและผก 1 ชด V

ร�ค� (บ�ท) 10 15 15 5



คำาถามท 1 แกวจะตองจายคาแซนดวชทสงเปนราคาเทาไร

แนวคด เนองจาก ราคาของแซนดวชเมนปกตเทากบ B + C + H + V บาท

แตแกวตองการเพมชส 1 แผน และเพมผกอก 1 ชด ดงนน

ราคาแซนดวชทแกวสงเทากบ B + 2C + H + 2V บาท

= 10 + 2(15) + 15 + 2(5) บาท

= 10 + 30 + 15 + 10 บาท

= 65 บาท

คำาถามท 2 ถาแกวตองการซอแซนดวชไปฝากนองสองคนทบานคนละอน ถาแกวจาย

เงนเพยง 120 บาท แลวแกวจะเลอกซอแซนดวชแบบใดไดบาง

แนวคด 1. แกวตองการซอแซนดวช 2 อน โดยจายเงนเพยง 120 บาท

คำาตอบทงายทสด คอ ซอแซนดวชอนหนงเพมชส อกอนหนงเพมแฮม ทงนเพราะวา

แซนดวช 1 อน ตามเมนปกตราคา 45 บาท และชสแผนละ 15 บาท ดงนนราคารวม

จะเปน 45 + 15 = 60 บาท ในทำานองเดยวกนแฮมแผนละ 15 บาท เทากบราคาของ

ชส 1 แผน จะไดราคาแซนดวชเมอเพมแฮม 1 แผน เทากบ 45 + 15 = 60 บาท

รวมสองรายการเปน 60 + 60 = 120 บาท ซงไมเกน 120 บาท แสดงคำาตอบไดดงน



สวนประกอบ แซนดวชนองคนท

B C H V ร�ค�รวม

1 1 2 1 1 B + 2C + H + V = 10 + 2(15) + 15 + 5 = 60

2 1 1 2 1 B + C + 2H + V = 10 + 15 + 2(15) + 5 = 60



2. ถาแกวทราบวานองคนหนงชอบแฮมไมชอบชส อกคนหนงชอบผกและชอบ

ชสดวย แซนดวชทแกวเลอกอาจเปนดงน

ครอาจใหนกเรยนอภปรายหาคำาตอบอน ๆ ของคำาถามท 2 ซงราคาแซนดวช

สองอนไมเกน 120 บาท อาจจะเรมตงแตราคาถกสดคอใชเมนปกตราคาอนละ 45 บาท

สองอนราคา 90 บาท แลวคอย ๆ เพมสวนประกอบอน ๆ ททำาใหราคาแซนดวชสองอน

ไมเกน 120 บาท ซงจะมคำาตอบไดหลายคำาตอบ



1 1 - 1 3 B + 3H = 10 + 3(15) = 55

2 1 2 1 2 B + 2C + H + 2V = 10 + 2(15) + 15 + 2(5)

= 65



1 1 - 2 2 B + 2H + 2V = 10 + 2(15) + 2(5) = 10 + 30 + 10

= 50

2 1 2 1 3 B + 2C + H + 3V = 10 + 2(15) + 15 + 3(5) = 10 + 30 + 15 + 15 = 70



อตร�แลกเปลยน

คำ�ถ�มท 2 : อตร�แลกเปลยน

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ปรมาณแขนงวช� : จำานวนสถ�นก�รณ : ชมชนทองถนสมรรถนะ : การทำาใหมแบบของขอสอบ : ตอบสนๆ

เหมยหลงอยในประเทศสงคโปรกำาลงเตรยมตวทจะเดนทางไปอฟรกาใตเปนเวลา 3 เดอน ในฐานะนกเรยนโครงการแลกเปลยน เธอตองแลกเงนดอลลารสงคโปร (SGD) เปนเงนแรนด อฟรกาใต (ZAR)

คำ�ถ�มท 1: อตร�แลกเปลยน เหมยหลงพบวาอตราแลกเปลยนระหวางดอลลารสงคโปรและแรนดอฟรกาใตคอ1 SGD = 4.2 ZARเหมยหลงตองการแลกเงน 3000 ดอลลารสงคโปรเปนแรนดอฟรกาใตตามอตรานเหมยหลงจะแลกเปนเงนแรนดอฟรกาใตไดเทาใดคำาตอบ: ...................................................................... คะแนนเตม

ตอบ 12,600 ZAR (ไมใสหนวยกได)ไมมคะแนน คำาตอบอนๆ

คะแนนเตม ตอบ 975 SGD (ไมใสหนวยกได)ไมมคะแนน คำาตอบอนๆ


% ตอบถก73.9671.9588.0488.8950.33


% ตอบถก79.0880.9589.1392.6259.91

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ปรมาณแขนงวช� : จำานวนสถ�นก�รณ : ชมชนทองถนสมรรถนะ : การทำาใหมแบบของขอสอบ : ตอบสนๆ

3 เดอนตอมา เหมยหลงกลบมาสงคโปรเหลอเงน 3,900 ZAR จงแลกเงนกลบเปนดอลลารสงคโปร แตอตราแลกเปลยน คอ 1 SGD = 4.0 ZARอยากทราบวา เหมยหลงจะแลกเปนเงนดอลลารสงคโปรไดเทาไรคำาตอบ : ...............................................




ตอบวา“พอใจ” พรอมคำาอธบายทชดเจนเพยงพอ เชน• พอใจ เพราะวาเมออตราแลกเปลยนเงนแรนดอฟรกาใตตอ 1 ดอลลารสงคโปรลดลง เหมยหลงจะไดเงนดอลลารสงคโปรเพม

มากขน• พอใจถาอตราแลกเปลยน 4.2 ZAR ตอ1 ดอลลารสงคโปร จะทำาใหแลกเงนไดเพยง 929 ZAR

[หมายเหต: นกเรยนอาจจะเขยน ZAR แทน SGD แตการคำานวณ และการเปรยบเทยบทำาไดถกตอง จงไมใหความสำาคญกบหนวยทผด]

• พอใจ เพราะวาจากเดมม 4.2 ZAR นำาไปแลกได1 SGD แตขณะนใชเงนเพยง 4.0 ZAR กสามารถแลกได1 SGD• พอใจ เพราะเธอใชเงนอฟรกาแลกนอยลงไป 0.2 ZAR ตอเงน 1 SGD• พอใจ เพราะเมอทานนำา 4.2 ไปเปนตวหารจำานวนเงนทม จะไดผลลพธนอยกวานำา 4 ไปหารเปนตวหาร• พอใจ เพราะถาอตราแลกเปลยนไมลดลง เธอจะไดรบเงนดอลลารสงคโปรนอยลงไปอกประมาณ 50 เหรยญ


ตอบวา“พอใจ” แตไมมคำาอธบาย หรอคำาอธบายไมเพยงพอ• พอใจ เพราะอตราแลกเปลยนทลดลงทำาใหไดเงนมากขน• พอใจ เหมยหลงชอบ เพราะถาคาเงน ZAR ลดลง แลวเธอจะไดเงน SGD มากขน• พอใจ เหมยหลงพอใจ


% ตอบถก42.9139.6352.7553.4217.52

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ปรมาณแขนงวช� : จำานวนสถ�นก�รณ : ชมชนทองถนสมรรถนะ : การทำาใหมแบบของขอสอบ : สรางคำาตอบอสระ

คำ�ถ�ม 3 : อตร�แลกเปลยน

ในชวงเวลา 3 เดอน อตราแลกเปลยน เปลยนจาก 4.2 เปน 4.0 ZAR ตอ SGDเหมยหลงพอใจหรอไมทอตราแลกเปลยนในตอนนเปลยนเปน 4.0 ZAR แทน 4.2 ZAR เมอเธอแลกเงนอฟรกาใตกลบคนเปนดอลลารสงคโปร จงใหคำาอธบายสนบสนนคำาตอบดวย....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................



คำาถามท 1 เหมยหลงพบวาอตราแลกเปลยนระหวางเงนสงคโปรและเงนแรนด คอ 1 SGD = 4.2 ZAR เหมยหลงตองการแลกเงนสงคโปร 3,000 SGD เปนเงนแรนด ตามอตราน เหมยหลงจะแลกเปนเงนอฟรกาใตไดเทาใด

แนวคด 1 ใชการเทยบบญญตไตรยางศ เงนสงคโปร 1 SGD แลกเงนอฟรกาใตได 4.2 ZAR เงนสงคโปร 3,000 SGD แลกเงนอฟรกาใตได 4.2 x 3,000 = 12,600 ZAR ดงนน เหมยหลงจะแลกเปนเงนแรนดอฟรกาใตได 12,600 ZAR






สถานการณโจทยขอนเปนเรองราวเกยวกบนกเรยนในโครงการแลกเปลยนคนหนงของสงคโปรจะเดนทางไปยงอฟรกาใต ตองการแลกเงนสงคโปร (SGD) เปนเงนแรนด (ZAR) ในอตรา 1 SGD = 4.2 ZAR และเมอเดนทางกลบมาสงคโปรมเงนแรนดเหลอใช จงแลกจากเงนแรนดเปนเงนสงคโปร ในอตรา 1 SGD = 4.0 ZAR ซงเปนเรองธรรมดาทการแลกเปลยนเงนตราบางครงไดเปรยบ บางครงเสยเปรยบขนอยกบอตราแลกเปลยนขณะนน นอกจากน อตราแลกเปลยนทซอจากธนาคารกบทขายคนธนาคารจะตางกนจากสถานการณโจทยขอน จะเหนวานกเรยนคนนไดเปรยบในการแลกเงนคน เพราะสามารถแลกคนในอตราทตำากวาตอนทซอมา คอจายเงน 4.0 ZAR ไดเงนสงคโปร 1 SGD แตตอนทซอมาจาย 1 SGD จะไดเงนอฟรกาใต 4.2 ZAR

ความรทนกเรยนตองใชในการตอบคำาถามคอ อตราสวนและสดสวน หรอใชวธการเทยบบญญตไตรยางศ ซงใชทกษะการบวก ลบ คณ และหารจำานวนตรรกยะ ความรทวไปเกยวกบหลกการและอตราการซอ – การขายในการแลกเปลยนเงนตราระหวางประเทศ ซงแนวคดและตวอยางสถานการณทใชเสรมประสบการณ พฒนาทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรในเรองนนกเรยนสามารถศกษาไดจากกจกรรม “ปญหาการแลกเงน” ในหนงสอตวอยางการประเมนผลการเรยนรคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน เลม 1



แนวคด 2 ใชสดสวน ใหเงนสงคโปร 3,000 SGD แลกเงนอฟรกาใตได m ZAR จะไดสดสวน = m × 1 = 3,000 × 4.2 (ผลคณไขว) m = 12,600 ดงนน เหมยหลงจะแลกเปนเงนแรนดอฟรกาใตได 12,600 ZAR

คำาถามท 2 3 เดอนตอมา เหมยหลงกลบมาสงคโปร เหลอเงน 3,900 ZAR จงแลกเงนกลบเปนดอลลารสงคโปร แตอตราแลกเปลยน คอ 1 SGD = 4.0 ZAR อยากทราบวา เหมยหลงจะแลกเปนเงนสงคโปรไดเทาไร

แนวคด 1 ใชการเทยบบญญตไตรยางศ เงนอฟรกาใต 4.0 ZAR แลกเงนสงคโปรได 1 SGD เงนอฟรกาใต 3,900 ZAR แลกเงนสงคโปรได = 975 SGD

ดงนน เหมยหลงจะแลกเปนเงนดอลลารสงคโปรได 975 SGD

แนวคด 2 ใชสดสวน เงนอฟรกาใต 3,900 ZAR แลกเงนสงคโปรได n SGD

ไดสดสวน =

n x 4.0 = 3,900 x 1 (ผลคณไขว)

n =

= 975 ดงนน เหมยหลง จะแลกเปนเงนดอลลารสงคโปรได 975 SGD

คำาถามท 3 ในชวงเวลา 3 เดอน อตราแลกเปล ยน เปล ยนจาก 4.2 เปน 4.0 ZAR ตอ SGD เหมยหลงพอใจหรอไมทอตราแลกเปลยนในตอนนเปลยนเปน 4.0 ZAR แทน 4.2 ZAR เมอเธอแลกเงนอฟรกาใตกลบคนเปนดอลลารสงคโปร จงใหคำาอธบายสนบสนนคำาตอบดวย



m_3,000

4.2_1

3,900_4.0

1 x 3,900_4.0

n_3,000

1_4.0




แนวคด การใหเหตผลประกอบคำาตอบของคำาถามขอน สามารถเขยนไดหลากหลายคำาอธบายสวนใหญอธบายโดยใชความรสกเชงจำานวน เชน พอใจ เนองจาก 4.0 ZAR นอยกวา 4.2 ZAR จงมผลทำาให การแลกเงน 3,900 อฟรกาใตกลบเปนเงนดอลลารสงคโปร โดยใชอตรา 4.0 ZAR ตอ 1 SGD จะแลกเปลยนเปนเงนดอลลารสงคโปรไดมากกวาใชอตรา 4.2 ZAR ตอ 1 SGD

1. จากหลายแนวคดทใหคะแนนเตมตามทเฉลยไวในคำาถามท 3 เปนการใหเหตผลทใชความรสกเชงจำานวนมาพจารณา เพอตดสนใจสรปเปนคำาตอบเกอบทงสน ดงนนในการเรยนการสอนครจงควรใหความสำาคญกบการแกปญหาทตองใชความรสกเชงจำานวน มาวเคราะหหรอพจารณาประกอบการหาคำาตอบ โดยหาโจทยหรอสถานการณทเหมาะสมสอดแทรกในการเรยนรคณตศาสตรใหมากขน เพอใหนกเรยนเกดความคนเคย ในการใชความรสกเชงจำานวนชวยแกปญหา และในการฝกใหนกเรยนเขยนอธบายเหตผล ครควรตระหนกใหนกเรยนเขยนเหตผลในเชงคณตศาสตร โดยเนนความเปนเหตเปนผล หรออยางสมเหตสมผลจงจะไดคะแนน ดงจะเหนไดจากแนวเฉลยคำาตอบทตอบวา “พอใจ” ซงเปนคำาตอบแรกทถกตอง แตการใหเหตผลยงไมมรายละเอยดพอจงไมมคะแนนให เชน ตอบวา “พอใจ เพราะถาคาเงน ZAR ลดลงแลวเธอจะไดเงน SGD มากขน” เหตผลดงกลาวเปนเหตผลทสอความหมายไมชดเจน มขอสงเกตวา เจตนาการใหคะแนนของคำาถามขอน ผใหคะแนนมงเนนทการอธบายเหตผลมากกวาคำาตอบ “พอใจ” เพยงอยางเดยว ถาครนำาโจทยและคำาถามขอนไปใชในชนเรยน อาจแบงคะแนนใหยอยลงได เชน คำาตอบทสอความหมายไมชดเจน ดงขางตน อาจใหไดคะแนนครงหนงของคะแนนเตม และตอบเฉพาะคำาวา “พอใจ” อาจใหคะแนนเพยงหนงในสของคะแนนเตม ทงนเพราะวานกเรยนมสามญสำานกเกยวกบจำานวนแตขาดทกษะในการอธบายใหรายละเอยดประกอบคำาตอบอยางเปนเหตเปนผล โดยเฉพาะนกเรยนไทยทตอบคำาถามขอ 3 ไดเพยง 17.52 เปอรเซนตของนกเรยนไทยทเขาสอบ อาจเปนเพราะวา การจดกจกรรมการเรยนรคณตศาสตรในชนเรยนใหความสำาคญกบการเขยนอธบายวธทำาและการใหเหตผลนอยเกนไป สงผลใหนกเรยนขาดทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรในดานการใหเหตผล การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรและการนำาเสนอซงครควรนำาประเดนนไปพฒนาและปรบปรงการเรยนรของนกเรยนใหมากขน



2. โจทยปญหาในสถานการณเกยวกบอตราแลกเปลยนเงนตราเปนเรองใกลตว

นกเรยน ถอวาอยในชวตประจำาวน ซงเหนไดจากการเสนอขอมลในหนงสอพมพเกอบ

ทกฉบบและการรายงานขาวเศรษฐกจในสอออนไลนทวไป ครอาจนำาโจทยลกษณะนมา

เพมเตมในการจดการเรยนร เรองอตราสวน รอยละ และอาจสอดแทรกคำาถามในเชง

สนทนาหรออภปรายใหนกเรยนวเคราะหการแลกเปลยนเงนตราทอตราแลกเปลยนมการ

ลดลงหรอเพมขน วามผลกระทบอยางไรกบการสงออกและนำาเขาสนคาของประเทศไดบาง

ทงนเพอฝกใหนกเรยนมทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรทเกยวของกบเศรษฐกจใน

ชวตประจำาวนมากยงขน เชน สถานการณเกยวกบคาเงนบาทในชวงทเงนบาทแขง ธรกจนำา

เขาจะไดประโยชนและธรกจสงออกจะเสยประโยชน ดงตวอยางตอไปน

ค�เงนบ�ท

คาเงนบาท หมายถง จำานวนเงนบาททนำาไปแลกเปลยนกบเงนตราตางประเทศ หรอทเรยกวาเงนสกลอน เชน ดอลลารสหรฐฯ เยนญปน ปอนดสเตอรลง ตวอยางทคอนขาง คนเคย เชน การนำาเงน 33 บาท ไปแลกกบดอลลารสหรฐฯ ได 1 ดอลลารสหรฐฯ หรอการนำาเงน 30 บาท ไปแลกได 100 เยนญปน หรอนำาเงน 63 บาท ไปแลกได 1 ปอนดสเตอรลง คาเงนบาทแขง หมายถง เงนบาทมคามากขนเมอเทยบกบเงนสกลทกำาลงเปรยบเทยบอยระหวางครงนกบครงกอนหนา ตวอยางการเปรยบเทยบคาเงนบาทกบคาเงนสกลดอลลารสหรฐฯ เมอ 3 เดอนกอน อตราแลกเปลยนเงนบาทกบเงนดอลลารเปน 31 บาท ตอ 1 ดอลลาร แตวนนอตราแลกเปลยนเปน 30 บาท ตอ 1 ดอลลาร จะกลาววา คาเงนบาทในวนนแขงขนเมอเทยบกบ 3 เดอนกอน แตถาวนน อตราแลกเปลยนเปน 31.50 บาท ตอ 1 ดอลลาร กลาววาคาเงนบาทในวนนออนลง เมอเทยบกบ 3 เดอนกอน



คำาถามท 1 บรษท ก สงซอเครองจกรชนดหนงจากบรษท A ในประเทศสหรฐอเมรกา จำานวนหนง เปนเงน 80,000 ดอลลาร ในวนทสงซออตราแลกเปลยนเงนคอ 31 บาท ตอ 1 ดอลลาร จงตอบคำาถามตอไปน 1) ในวนสงซอ บรษท ก ประมาณการจายคาเครองจกรใหกบบรษท A เปนเงนกบาท 2) ถาในวนทชำาระเงน คาเงนบาทแขงคอ อตราแลกเปลยนเปน 30 บาท ตอ 1 ดอลลาร บรษท ก ตองจายเงนกบาท 3) ถาในวนทชำาระเงน คาเงนบาทออนคอ อตราแลกเปลยนเปน 32 บาท ตอ 1 ดอลลาร บรษท ก ตองจายเงนกบาท 4) ระหวางคาเงนบาทแขง กบคาเงนบาทออน กรณใดเปนผลดตอการ นำาเขาสนคาของบรษท ก มากกวากน เพราะเหตใด


แนวคด 1) ในวนทสงซอเครองจกร บรษท ก ประมาณการจายเงนใหกบบรษท A เปนเงน 80,000 x 31 = 2,480,000 บาท 2) ถาคาเงนบาทแขง บรษท ก ตองจายเงนใหบรษท A เปนเงน80,000 x 30 = 2,400,000 บาท 3) ถาคาเงนบาทออน บรษท ก ตองจายเงนใหบรษท A เปนเงน80,000 x 32 = 2,560,000 บาท 4) คาเงนบาทแขงจะมผลดตอการนำาเขาสนคาของบรษท ก เพราะจะจายเงนซอเครองจกรนอยลงกวาเดม หรอนอยกวาจำานวนเงนทประมาณการไวจากวนทสงซอเครองจกรถง 2,480,000 – 2,400,000 = 80,000 บาท



คำาถามท 2 บรษท ข สงออกเสอผาจำานวนหนงใหกบบรษท B ในประเทศแคนาดา คดเปนเงน 10,000 ดอลลารสหรฐฯ ในวนทไดรบใบสงซอ อตราแลกเปลยนเปน 31 บาท ตอ 1 ดอลลารสหรฐฯ จงตอบคำาถามตอไปน 1) ในวนทสงซอ บรษท ข ประมาณการทจะไดรบเงนคาเสอผาจากบรษท B เปนเงนกบาท 2) ถาในวนทชำาระเงน คาเงนบาทแขงคอ อตราแลกเปลยนเปน 30 บาท ตอ 1 ดอลลารสหรฐฯ บรษท ข จะไดรบเงนกบาท 3) ถาในวนทชำาระเงนคาเงนบาทออนคอ อตราแลกเปลยนเปน 32 บาท ตอ 1 ดอลลารสหรฐฯ บรษท ข จะไดรบเงนกบาท 4) ระหวางคาเงนบาทแขงกบคาเงนบาทออน กรณใดเปนผลดตอการสงออกสนคาของบรษท ข มากกวากน เพราะเหตใด

แนวคด 1) ในวนทบรษท ข ไดรบใบสงซอเสอผาจากบรษท B ประมาณการวา บรษท ข จะไดรบเงนจากบรษท B เปนเงน 10,000 x 31 = 310,000 บาท 2) ถาคาเงนบาทแขง บรษท ข จะไดรบเงนจากบรษท B เปนเงน 10,000 x 30 = 300,000 บาท 3) ถาคาเงนบาทออน บรษท ข จะไดรบเงนจากบรษท B เปนเงน10,000 x 32 = 320,000 บาท 4) คาเงนบาทออนจะมผลดตอการสงออกของบรษท ข เพราะจะไดรบเงนจาก

การขายเสอผามากกวาเดม หรอมากกวาจำานวนเงนทประมาณการไวจากวนทไดรบ ใบสงซอ

เสอผาถง 320,000 – 310,000 = 10,000 บาท




คำาถามท 3 กรณทคาเงนบาทแขง หรอ คาเงนบาทออน ในธรกจการนำาเขาสนคาและ

สงออกสนคา ทตองชำาระเงนดวยเงนตางสกล จะมฝายไดเปรยบและเสยเปรยบในเวลาเดยวกน

จงเตมคำาวา “ไดเปรยบ” หรอ “เสยเปรยบ” ในตารางตอไปน

ธรกจค�เงนบ�ท

ก�รสงออกสนค� ร�ค�รวม

ค�เงนบ�ทแขง

ค�เงนบ�ทออน

แนวคด

ธรกจค�เงนบ�ท

ก�รสงออกสนค� ร�ค�รวม

ค�เงนบ�ทแขง เสยเปรยบ ไดเปรยบ

ค�เงนบ�ทออน ไดเปรยบ เสยเปรยบ




คยผ�นอนเทอรเนต

มารค (อยทเมองซดนย ประเทศออสเตรเลย) และฮานส (อยทกรงเบอรลน ประเทศ

เยอรมน) ตดตอกน โดย “คย” (chat) ทางอนเทอรเนต เขาตองใชอนเทอรเนตในเวลาเดยวกน

จงสามารถ “คย” กนได มารค ดแผนภาพเวลาของโลก เพอหาเวลาทเหมาะสมในการ “คย”

กนทางอนเทอรเนต และพบวา

กรนช เวลาเทยงคน เบอรลน เวลาต 1 ซดนยเวลา 10 โมงเชา

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : การเปลยนแปลงและความสมพนธแขนงวช� : จำานวนสถ�นก�รณ : สวนตว/สวนบคคลสมรรถนะ : การเชอมโยงแบบของขอสอบ : ตอบสนๆ


% ตอบถก61.4161.5347.2439.2837.10

เวลา 1 ทม ทซดนย ตรงกบเวลาอะไรทเบอรลนคำาตอบ: ......................................................................

คะแนนเตม ตอบ 10 โมงเชา หรอ 10 นาฬกาไมมคะแนน คำาตอบอนๆ

คำ�ถ�มท 1: คยผ�นอนเทอรเนต




คำาตอบบอกเวลา หรอชวงเวลาใดกไดทแตกตางกน 9 ชวโมง และเลอกจากชวงเวลาเหลาน ซดนย 16.30 น. – 18.00 น., เบอรลน 7.30 น. – 9.00 น.หรอ ซดนย 7.00 น. – 8.00 น., เบอรลน 22.00 น. – 23.00 น. เชน • ซดนย 17.00 น., เบอรลน 8.00 น.หม�ยเหต : ถาตอบเปนชวงเวลา ชวงเวลานนตองเปนไปตามเงอนไขทกำาหนดไว ถาไมกำาหนดวาเปนเวลาเชาหรอบายกให ถอวาเวลาทใหถกตอง ถาตอบชวงเวลาไดถกตอง

ไมมคะแนนคำาตอบอนๆ รวมถงตอบเวลาในทหนงทใดถก แตเวลาอกทหนงทตรงกนไมถก เชน • ซดนย 8.00 น., เบอรลน 22.00 น.

คำ�ถ�มท 2 : คยผ�นอนเทอรเนต


% ตอบถก33.0028.8927.4416.958.41

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : การเปลยนแปลงและความสมพนธแขนงวช� : จำานวนสถ�นก�รณ : สวนตว/สวนบคคลสมรรถนะ : การสะทอนการสอสารทางคณตศาสตรแบบของขอสอบ : ตอบสนๆ

มารค และฮานสไมสามารถคยกนระหวาง 9 โมงเชา ถงบาย 4 โมงครง ในเวลาทองถนของแตละคน เนองจากพวกเขาตองไปโรงเรยน เชนเดยวกนกบในชวง 5 ทม ถง 7 โมงเชาในเวลาทองถนของเขากคยไมไดเชนเดยวกน เพราะกำาลงหลบอยจงเขยนเวลาทองถนลงในตารางทมารคและฮานส “คย” กนได

สถ�นท เวล�

ซดนย

เบอรลน






สถานการณของโจทยขอนเปนสถานการณทเกยวของกบเวลาทมกเกดขนบอยในปจจบน

ในทนเปนการคยตดตอสอสารระหวางประเทศผานระบบอนเทอรเนต สงทเปนอปสรรคคอเวลา

ทองถนของแตละประเทศตางกน เวลาในประเทศทอยทางตะวนออกจะเรวกวาเวลาในประเทศ

ทอยทางตะวนตก โดยมเวลามาตรฐานกรนชทประเทศองกฤษเปนหลกในการกำาหนดเวลา

ทองถนตามเสนแวง จากนาฬกาทโจทยกำาหนด จะพบวา ถาเรยงประเทศทงสามจากตะวนออก

ไปตะวนตก จะเรยงไดดงน ประเทศออสเตรเลย (ซดนย) ประเทศเยอรมน (เบอรลน) และ

ประเทศองกฤษ (กรนช) นกเรยนตองหาความสมพนธของเวลาในประเทศตาง ๆ และหาเวลา

ทสอดคลองกบเงอนไขทโจทยกำาหนด เพอตอบคำาถามใหถกตอง

ความรทนกเรยนจะตองใช คอ

1. การอานเวลาและการเปรยบเทยบเวลาของประเทศตาง ๆ ทอาจจะแตกตางกน สงท

ควรระวงคอเวลาในชวงทมการเปลยนวน และการเปรยบเทยบเวลาวาจากเวลาทโจทยกำาหนด

เวลาทเปรยบเทยบกน ประเทศใดเรวกวาหรอชากวากน

2. ความมวนยในการแกปญหา การแกปญหาลกษณะนควรยดทเมองใดเมองหนงเปน

หลก และจะตองใชหลกนตลอดการแกปญหา จงจะไมเกดความสบสน เชน การเปรยบเทยบ

เวลาระหวางซดนยกบเบอรลน ถายดซดนยเปนหลก กใหใชซดนยเปนหลกตลอด ในทำานอง

เดยวกนถายดเบอรลนเปนหลก กใหใชเบอรลนตลอด คอ

เวลาทเบอรลน เทากบ เวลาทซดนย – 9 หรอ เวลาทเบอรลนไดจากการหมนเขมนาฬกา

ทวนกลบไป 9 ชวโมง

เวลาทซดนย เทากบ เวลาทเบอรลน + 9 หรอ เวลาทซดนยไดจากการหมนเขม

นาฬกาไปขางหนา 9 ชวโมง



พจารณาจากโจทยทกำาหนดนาฬกาบอกเวลา ณ ขณะเดยวกน จะพบวา สอดคลองกบสภาวะแวดลอมของประเทศทงสาม โดยจะพบวา เวลาทซดนยเรวกวาเวลาทเบอรลน 9 ชวโมง เรวกวาเวลาทกรนช 10 ชวโมง และเวลาทเบอรลนเรวกวาเวลาทกรนช 1 ชวโมง

คำาถามท 1 เวลา 1 ทมทซดนย ตรงกบเวลาอะไรทเบอรลน แนวคด เนองจากเวลาทซดนยเรวกวาเวลาทเบอรลน 9 ชวโมง ดงนน ถาเวลาทซดนยเปนเวลา 1 ทม หรอ 19.00 น. เวลาทเบอรลนจะเปน 19 – 9 = 10.00 น. หรอ 10 โมงเชา (โดยหมนเขมนาฬกาทวนกลบไป 9 ชวโมง จากเวลา 19.00 น. นาฬกาจะบอกเวลา 10.00 น. ของวนเดยวกน)

คำาถามท 2 มารค และฮานสไมสามารถคยกนระหวาง 9 โมงเชา ถงบาย 4 โมงครง ในเวลา ทองถนของแตละคน เนองจากพวกเขาตองไปโรงเรยน เชนเดยวกนกบในชวง 5 ทม ถง 7 โมงเชา ในเวลาทองถนของเขากคยไมไดเชนเดยวกน เพราะกำาลงหลบอย จงเขยนเวลาทองถนในตารางทมารคและฮานส “คย” กนไดแนวคด 1. พจารณาเวลาทมารคและฮานสวางและไมวางคยตามเวลาทองถนของแตละคน ดงน

ดงนนเวลาทมารคและฮานสสะดวกคยคอ 7.00 – 9.00 น. และ 16.30 – 23.00 น. ตามเวลาทองถนของแตละคน

2. ใชเวลาของมารคเปนหลกเพอหาเวลาของฮานสทเบอรลนโดยหมนเขมนาฬกายอนหลงไป 9 ชวโมง จะไดเวลาทเบอรลน ดงน




เวล�นอนเวล�ตนนอนถงเวล�

ไปโรงเรยนเวล�เรยน

เวล�เลกเรยนถงเวล�

เข�นอน

23.00 – 7.00 น. 7.00 – 9.00 น. 9.00 – 16.30 น. 16.30 – 23.00 น.

เวล�ทซดนยทม�รคอย เวล�ทเบอรลนทฮ�นสอย

7.00 – 9.00 น. 22.00 – 24.00 น.

16.30 – 23.00 น. 7.30 – 14.00 น.




3. พจารณาเวลาทเบอรลนทมารคสะดวกคยเทยบกบเวลาทเบอรลนซงฮานส

สะดวกคย ดงน

จะไดวา เวลาททงมารคและฮานสสะดวกคยในเวลาทเบอรลนคอ 7.30 – 9.00 น. และ

22.00 – 23.00 น.

4. หาเวลาททงมารคและฮานสสะดวกคยในซดนย โดยหมนเขมนาฬกาไป

ขางหนา 9 ชวโมง จะไดเวลาในซดนย ดงน

ดงนน เวลาทมารคและฮานสสามารถคยกนได แสดงในตาราง ดงน

สำาหรบคำาถามท 1 การหาคำาตอบคอนขางตรงไปตรงมา แตปรากฎวานกเรยนไทยตอบคำาถามขอนไดถกตองเพยง 37.10 เปอรเซนต ของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบเทานน เปนทนาสงเกตวานกเรยนจากประเทศอน ๆ ทกลาวถง กตอบคำาถามขอนกนไดไมมากนก คอ มนกเรยนตอบถกไมเกน 61.41 เปอรเซนตของนกเรยนแตละชาตทเขาสอบ ทงนอาจเปนเพราะเหตผลตอไปน 1. นกเรยนไมไดฝกฝนในการทำาโจทยทำานองน อาจตความหมายโจทยไมออกหรอไมเขาใจเวลาทโจทยกำาหนดเปนรปหนาปดนาฬกาวามความหมายอยางไร

เวลาทมารคสะดวกคยเวลาทฮานสสะดวกคย

7.30 – 14.00 น. และ 22.00 – 24.00 น.16.30 – 23.00 น. และ 7.00 – 9.00 น.

เวล�ในเบอรลน เวล�ในซดนย

7.30 – 9.00 น.22.00 – 23.00 น.

16.30 – 18.00 น.7.00 – 8.00 น.

เวล�ในเบอรลน เวล�ในซดนย

ซดนยเบอรลน

7.00 – 8.00 น. และ 16.30 – 18.00 น.22.00 – 23.00 น. และ 7.30 – 9.00 น.



2. นกเรยนอาจสบสนเกยวกบเวลาทเปนเวลากอนเทยงวนและหลงเทยงวน เชน คำาถามขอ 1 ถามวาเวลา 1 ทมทซดนยเปนเวลาอะไรในเบอรลน นกเรยนอาจตอบวาเปนเวลา 4 ทม แทนทจะตอบวา 10 นาฬกา กเปนได สำาหรบคำาถามท 2 มนกเรยนไทยตอบคำาถามขอนไดถกตองเพยง 8.41 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบเทานน และนกเรยนจากประเทศอน ๆ คอ ญปน เกาหล จน – ฮองกง และจน – มาเกา ตอบคำาถามขอนไดถกตอง 33, 28.89, 27.44 และ 16.95 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนแตละชาตทเขาสอบ ตามลำาดบ ซงถอวาตอบถกนอยมากเมอเทยบกบขอสอบขออน ๆ จงแสดงใหเหนวาขอสอบขอนเปนขอสอบทยากสำาหรบนกเรยน ทกกลมทเขาสอบ ทงนอาจเปนเพราะวา 1. นกเรยนอานโจทยไมเขาใจ เพราะไมมประสบการณในการคยผานอนเทอรเนตขามประเทศทมเวลาทองถนไมตรงกน 2. เงอนไขของโจทยคอนขางซบซอน โดยกำาหนดชวงเวลาทคยไมไดมากกวาหนงชวงเวลา ซงเปนเวลาเรยนและเวลาเขานอนของมารคและฮานส ในการหาคำาตอบของคำาถามท 2 น จะตองมการเทยบเวลาในแตละชวงเวลากลบไปกลบมาระหวางเวลาทซดนยและเวลาทเบอรลน ซงนกเรยนมโอกาสสบสนและผดพลาดไดงาย ในหนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 2 เลม 1 ทพฒนาโดย สสวท. เรองการวด ไดมการใหพนความรเรองเวลาทองถนในสวนตาง ๆ ของโลก มตวอยางและโจทยปญหาอยบาง แตกไมไดเนนมาก ตวอยางทใหกเปนสถานการณทไม ซบซอนนก ดงนนในการจดการเรยนการสอนเรองการวดเวลา ครอาจเพมเตมแบบฝกหดใหนกเรยนไดวเคราะหเกยวกบเรองนอยางหลากหลายเพราะนอกจากจะเปนสถานการณทเกยวกบชวตจรงทเกดขนเปนประจำาแลว นกเรยนยงไดฝกการจนตนาการในการหมนเขมนาฬกาตามไปขางหนาเทากบจำานวนชวโมงทเรวกวาหรอหมนเขมนาฬกายอนกลบไปเทากบจำานวนชวโมงทชากวา ซงถาไมไดฝกฝนกเปนเรองไมงายนกทจะหาคำาตอบไดถกตองโดยเฉพาะสำาหรบสถานการณโจทยทตองพจารณาชวงเวลาหลายชวงในขณะเดยวกน ถาจะลดความซบซอนของคำาถามท 2 โจทยอาจบอกชวงเวลาททงมารคและฮานสสามารถคยไดในเวลาทองถนของตน แลวใหหาวาเขาทงสองจะมเวลาวางตรงกนในชวงเวลาใดบาง หรอถาจะใหโจทยซบซอนมากขน โจทยอาจกำาหนดใหมการคยกนของเพอนสามคน ซงอยในประเทศทมเวลาทองถนแตกตางกน



โดยกำาหนดชวงเวลาทวางชวงเดยวกอน แลวจงกำาหนดเวลาทวางมากกวาหนงชวง หลงจากนนโจทยอาจกำาหนดชวงเวลาทเขาทงสามไมสามารถคยกนได เพอใหหาชวงเวลาทเพอน ทงสามคนนสามารถคยกนได ในกรณทนกเรยนมปญหาในการหาชวงเวลาทตองการ ครอาจใชนาฬกาเรอนใหญมาแสดงการหมนเขมนาฬกาเพอหาเวลาทเปลยนไปตามเวลาทองถนของแตละประเทศ เชน ถาประเทศ A มเวลาทองถนชากวาประเทศ B ตองการทำาเวลาในประเทศ A ใหตรงกบเวลาในประเทศ B กใหหมนเขมนาฬกาไปขางหนาเทากบจำานวนชวโมงทชากวา หรอถาตองการทำาเวลาทองถนในประเทศ B ใหตรงกบเวลาทองถนในประเทศ A ให กใหหมนทวนเขมนาฬกายอนหลงไปเทากบจำานวนชวโมงทเรวกวา เมอนกเรยนสามารถนกภาพในจนตนาการ กสามารถแกปญหาในสถานการณโจทยตาง ๆ ไดโดยงายขนและไมสบสน

ตวอยางสถานการณทมการคยกนสามคนทางอนเทอรเนต ตวอยางหนงเปนดงน มารค อยทเมองซดนย ประเทศออสเตรเลย ฮานสอยทกรงเบอรลน ประเทศเยอรมน ทงสองเปนเพอนกบโจโจ ซงอยทกรงเทพฯ โจโจดแผนภาพเวลาของโลกเพอหาเวลาท เหมาะสมในการคยกนทางอนเตอรเนตกบเพอนทงสองในเวลาเดยวกน พบวา

กรนช เวลาเทยงคน เบอรลน เวลาต 1

ซดนยเวลา 10 โมงเชา

12

6

39

12

47 5

8

1011 12

6

39

12

47 5

8

1011

12

6

39

12

47 5

8

1011 12

6

39

12

47 5

8

1011

กรงเทพฯ เวลา 7 โมงเชา



คำาถาม มารค ฮานส และโจโจ ตองไปเรยนเวลา 9.00 – 16.00 น. ยกเวนเวลาพกเทยง 12.00 – 13.00 น. และจะเขานอนเวลา 23.00 – 6.00 น. ในเวลาทองถนของแตละคน จงเขยนเวลาทองถนทแตละคนทสามารถคยกนได ลงในตารางขางลางน

แนวคด 1. พจารณาเวลาทมารค ฮานสและโจโจ คยกนไมไดและคยกนไดตามเวลาทองถนของแตละคนเปนดงน

ดงนน เวลาทมารค ฮานส และโจโจ สามารถคยกนไดตามเวลาทองถนของ แตละคนเปนดงน

2. ใชเวลาของโจโจ เปนหลกเพอหาเวลาของมารคทซดนยจากหนาปดนาฬกาทกำาหนดให พบวา เวลาทซดนยเรวกวาเวลาทกรงเทพฯ 3 ชวโมง ดงนนเวลาทโจโจวางคยตรงกบเวลาทซดนยหาได ดงน จากเวลาทกรงเทพฯ หมนเขมนาฬกาไปขางหนา 3 ชวโมงจะไดเวลาทซดนย ดงน

จะไดวา เวลาทโจโจสามารถคยกบมารคไดในเวลาทซดนย คอ 19.00 – 23.00 น.

สถ�นท เวล�

กรงเทพฯ

ซดนย

เบอรลน

เวล�นอน เวล�กอนไปโรงเรยน เวล�เรยน เวล�พกเทยง เวล�เรยน

23.00 - 6.00 น. 6.00 - 9.00 น. 9.00 - 12.00 น. 12.00 - 13.00 น. 13.00 - 16.00 น.

เวล�ตนนอนถง

เวล�ไปโรงเรยนเวล�พกเทยง

เวล�เลกเรยนถง

เวล�เข�นอน

6.00 - 9.00 น. 12.00 - 13.00 น. 16.00 - 23.00 น.

เวล�ทกรงเทพฯ ทโจโจอย เวล�ทซดนยทม�รคอย

6.00 – 9.00 น. 12.00 – 13.00 น. 16.00 – 23.00 น.

9.00 – 12.00 น.15.00 – 16.00 น.19.00 – 2.00 น.

คำ�ถ�ม



3. จากเวลาทโจโจและมารคสามารถคยกนได พจารณาหาเวลาทฮานสสามารถคยไดตามเวลาทองถนของเบอรลน ดงน จากหนาปดนาฬกาทกำาหนดให พบวา เวลาทซดนยเรวกวาเวลาทเบอรลน 9 ชวโมง ดงนน จากเวลาทซดนย หมนทวนเขมนาฬกายอนไป 9 ชวโมง จะไดเวลาทเบอรลน ดงน

ดงนน โจโจและมารคสามารถคยกบฮานสไดในเวลาทองถนของเบอรลน คอ 10.00 – 14.00 น.

4. เทยบเวลาทเบอรลนทฮานสคยไดกบเวลาทโจโจและมารคสามารถคยได ดงน

จากตารางขางตน พบวา เวลาททงฮานส มารค และโจโจสามารถคยกนได คอ 12.00 – 13.00 น. เวลาทองถนทเบอรลน 5. พจารณาเพอหาวา 12.00 – 13.00 ทเบอรลนจะเปนเวลาใดทกรงเทพฯ และทซดนย หาไดดงน จากหนาปดนาฬกา พบวา เวลาทกรงเทพฯ เรวกวาเวลาทเบอรลน 6 ชวโมง และเวลาทซดนยเรวกวาเวลาทเบอรลน 9 ชวโมง ดงนน จะไดเวลาทกรงเทพฯ และเวลาทซดนย ดงน

ดงนน ตารางเวลาทมารค ฮานส และโจโจสามารถคยกนไดพรอมกน คอ

เวล�ทซดนย เวล�ทเบอรลน

19.00 – 23.00 น. 10.00 – 14.00 น.

เวล�ทเบอรลนทฮ�นสคยได เวล�ทเบอรลนทม�รคและโจโจคยได

6.00 – 9.00 น.12.00 – 13.00 น.16.00 – 23.00 น.

10.00 – 14.00 น.

สถ�นท เวล�ทองถน

กรงเทพฯซดนย

เบอรลน

18.00 – 19.00 น.21.00 – 22.00 น.12.00 – 13.00 น.

เวล�ทเบอรลน เวล�ทกรงเทพฯ เวล�ทซดนย

12.00 – 13.00 น. 18.00 – 19.00 น. 21.00 – 22.00 น.



พนททวป

ภาพขางลางคอ แผนทของทวปแอนตารกตก

ทวปแอนต�รกตก

ขวโลกใต

ภเข�เมนซส

กโลเมตร 0 200 400 600 800 1000




คำาตอบทมวธการถกตองและไดคำาตอบถกตองดวย เชนวธใดวธหนงตอไปน- ประมาณการโดยการวาดรปสเหลยมจตรส 1 รป หรอรปสเหลยมผนผา 1 รป ไดคำาตอบพนทระหวาง 12,000,000

ตร.กม. ถง 18,000,000 ตร.กม.- ประมาณการโดยการวาดรปวงกลม 1 รป ไดคำาตอบพนทระหวาง 12,000,000 ตร.กม. ถง 18,000,000 ตร.กม.- ประมาณการโดยการบวกพนทรปเรขาคณตหลายๆ รปเขาดวยกน ไดคำาตอบพนทระหวาง 12,000,000 ตร.กม. ถง

18,000,000 ตร.กม.- ประมาณการโดยใชวธการอนทถกตอง ไดคำาตอบพนทระหวาง 12,000,000 ตร.กม. และ 18,000,000 ตร.กม.- คำาตอบถกตอง (ระหวาง 12,000,000 ตร.กม. และ 18,000,000 ตร.กม.) แตไมแสดงวธทำา

ไมมคะแนนคำาตอบไมถกตองอนๆ (ไมแสดงวธทำา และ คำาตอบไมถกตอง) เชน

• คำานวณหาความยาวเสนรอบรปแทนพนท เชน 16,000 กม. ไดจากความยาวรอบรปแผนทคอ 16 ครง ของระยะ 1,000 กม.

• 16,000 กม.


วธการถกตอง แตไดคำาตอบไมถกตองหรอไมสมบรณ- ประมาณการโดยการวาดรปเรขาคณต 1รป หรอหลายรปแตคำาตอบทไดไมถกตอง หรอ ไมสมบรณ

• วาดรปสเหลยมผนผา 1 รป เอาความยาวของดานกวางคณความยาวของดานยาว แตคำาตอบมากกวา หรอ นอยกวาคาประมาณการ (เชน 18,200,000)

• วาดรปสเหลยมผนผา 1 รป เอาความยาวของดานกวางคณความยาวของดานยาว แตจำานวนตวเลขศนยไมถกตอง (เชน 4,000 X 3,500 = 140,000)

• วาดรปสเหลยมผนผา 1 รป เอาความยาวของดานกวางคณความยาวของดานยาว แตลมเปลยนมาตราสวนเปนตารางกโลเมตร (เชน 12 ซม. X 15 ซม. = 180)

• วาดรปสเหลยมผนผา 1 รป และบอกวาพนทเทากบ 4,000 กม. X 3,500 กม. แตไมทำาอะไรตอไปหรอ ประมาณการโดยใชวธการอนทถกตอง - แตคำาตอบไมถกตอง หรอไมสมบรณ


% ตอบถก23.3015.2026.702.82

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : ปรภมและรปทรงแขนงวช� : การวดสถ�นก�รณ : สวนตว/สวนบคคลสมรรถนะ : การทำาใหมแบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบปด

คำ�ถ�มท 1 : คยผ�นอนเทอรเนต

จงหาคาโดยประมาณของพนทของทวปแอนตารกตก โดยใชมาตราสวนในแผนทอธบายวธการประมาณหาพนทนดวย (นกเรยนสามารถลากเสนในแผนททกำาหนดมาใหได ถามนจะชวยใหการประมาณงายขน)





โจทยใหหาคาโดยประมาณของพนทของทวปแอนตารกตก โดยกำาหนดแผนทของทวปซงมลกษณะเวาแหวง ไมเปนรปเรขาคณตทสามารถหาพนทไดโดยงายจากสตรทนกเรยนคนเคย อกทงมาตราสวนของแผนททโจทยกำาหนดมาใหไมสะดวกจะนำามาใชไดโดยตรง จะตองทำาการเทยบสวนกอนนำามาใช กลาวคอ กำาหนดความยาว 3 เซนตเมตร แทนระยะทางจรง 1,000 กโลเมตร โดยมขดแบงเปนชวงๆ 5 ชวง แตละชวงแทน 200 กโลเมตร ดงน

จะเหนวา ถานกเรยนจะวดระยะทางจากมาตราสวนมาใชโดยตรง จะไมสะดวกในการวดความยาวแตละชวง แตสามารถทำาไดหากใชการคำานวณหาความยาวของแตละชวง

ซงเทากบ เซนตเมตร หรอ 0.6 เซนตเมตร แตอยางไรกตามกยงคงนำามาใชไมสะดวกอยด

ดงนนสถานการณโจทยขอน ถาดเผนๆ กไมนาจะมปญหา แตเมอจะหาคาโดยประมาณของพนทของทวปแอนตารกตกโดยใชมาตราสวนทกำาหนด กจะพบปญหาในการนำามาตราสวนทกำาหนดใหมาใชหาระยะทางจรงจากการวดระยะในแผนท

กโลเมตร 0 200 400 600 800 1000

3_5



คำาถามท 1 จงหาคาโดยประมาณของพนทของทวปแอนตารกตก โดยใชมาตราสวนในแผนทอธบายวธการประมาณหาพนทนดวย (นกเรยนสามารถลากเสนในแผนททกำาหนดมาใหได ถามนจะชวยใหการประมาณงายขน) ในคำาถามขอนนกเรยนตองทำาสองอยาง คอ อธบายวธการประมาณหาพนทของทวปแอนตารกตก และคำานวณหาคาโดยประมาณของพนทของทวปแอนตารกตก ตามวธทอธบายมา ซงอาจใชรปเรขาคณตไดหลายแบบในทนจะเสนอวธหาคำาตอบของโจทยขอน 3 แบบ ดงนแนวคด 1 ใชการคาดคะเนดวยสายตาเขยนวงกลมครอบคลมเนอทสวนใหญของแผนท โดยประมาณใหสวนทเกนออกนอกวงกลมกบสวนทแหวงเขาในวงกลมมเนอทพอ ๆ กน ใหวงกลมทไดมรศมยาว OA ดงรป




ในการทำาโจทยขอน นกเรยนจะตองมพนฐานความรและประสบการณในการประมาณพนทของรปทมลกษณะตาง ๆ ทไมสามารถคำานวณหาพนทโดยตรงจากการใชสตร ในการประมาณพนทของรปทมลกษณะเชนนอาจใชวธเขยนรปเรขาคณตทงายตอการคำานวณพนทครอบคลมเนอทของรปทกำาหนดให โดยพยายามใหสวนทเกนออกนอกรปกบสวนทแหวงเขาขางในรปมเนอทพอ ๆ กน แลวคำานวณพนทของรปเรขาคณตนนเปนคาโดยประมาณของรปทตองการ รปเรขาคณตทนยมใชในการประมาณพนทไดแก รปสามเหลยม รปสเหลยม และรปวงกลม โดยอาจเปนรปเดยวหรอหลายรปประกอบกนกได






กโลเมตร 0 200 400 600 800 1000

วดความยาวของ OA ไดยาวประมาณ 6.5 เซนตเมตร

วดมาตราสวนทกำาหนดใหไดความยาว 3 เซนตเมตร แทนระยะทาง 1,000 กโลเมตร

ดงนน OA แทนระยะทาง x 1,000 ≈ 2,166 ≈ 2,200 กโลเมตร

นนคอ เมอเทยบความยาวของรศม OA กบมาตราสวนของแผนท

จะได OA แทนระยะทางประมาณ 2,200 กโลเมตร

ดงนน วงกลมทตองการมพนทประมาณ π (OA)2 ตารางกโลเมตร

≈ x 2,200 x 2,200 ตารางกโลเมตร

≈ 15,210,000 ตารางกโลเมตร

นนคอ ทวปแอนตารกตกมพนทประมาณ 15,210,000 ตารางกโลเมตร

22_7

6.5_3

O A






กโลเมตร 0 200 400 600 800 1000

แนวคด 2 ใชการคาดคะเนดวยสายตาเขยนรปสเหลยมมมฉาก ABCD ใหครอบคลมเนอทสวนใหญของแผนท โดยประมาณใหสวนทเกนออกนอกรปสเหลยมกบสวนทแหวงเขาในรปสเหลยมมเนอทพอ ๆ กน ดงรป

B

C

A

D



กโลเมตร 0 200 400 600 800 1000

วดความยาวของดานรปสเหลยมมมฉาก ABCD ได AB ≈ 12.5 เซนตเมตร

และ BC ≈ 10.5 เซนตเมตร


ดงนน AB แทนระยะทางประมาณ x 1,000 ≈ 4,200 กโลเมตร

BC แทนระยะทางประมาณ x 1,000 ≈ 3,500 กโลเมตร

จะได ABCD มพนทประมาณ 4,200 x 3,500 = 14,700,000 ตารางกโลเมตร

ดงนน ทวปแอนตารกตกมพนทประมาณ 14,700,000 ตารางกโลเมตร

แนวคด 3 ใชการคาดคะเนดวยสายตาเขยนรปสเหลยมมมฉากสองรปใหครอบคลมเนอท

สวนใหญของแผนท โดยประมาณใหสวนทเกนออกนอกรปสเหลยมกบสวนทแหวงเขาใน

รปสเหลยมแตละรปมเนอทพอๆ กน ดงรป

12.5_3

10.5_3




A

D

G

B

C

F

E




ดงนน AB แทน ระยะทางประมาณ ≈ 1,500 กโลเมตร

BC แทน ระยะทางประมาณ = 2,500 กโลเมตร

จะได ABCD มพนทประมาณ 1,500 x 2,500 ตารางกโลเมตร

= 3,750,000 ตารางกโลเมตร


ดงนน BE แทน ระยะทางประมาณ = 3,000 กโลเมตร

EF แทน ระยะทางประมาณ = 4,000 กโลเมตร

จะได BEFG มพนทประมาณ 3,000 x 4,000 ตารางกโลเมตร

= 12,000,000 ตารางกโลเมตร

ดงนน ทวปแอนตารกตกมพนทประมาณ 3,750,000 + 12,000,000 = 15,750,000

ตารางกโลเมตร

4.4 x1,000_3

7.5 x1,000_3

9 x 1,000_3

12 x 1,000_3

วดความยาวของดานรปสเหลยมมมฉาก ABCD ได AB ≈ 4.4 เซนตเมตร


วดความยาวของดานรปสเหลยมมมฉาก BEFG ได BE ≈ 9 เซนตเมตร

และ EF ≈ 12 เซนตเมตร




ในการทำาโจทยขอน ควรเลอกแนวคดทเออตอการคดคำานวณ กลาวคอ ถาจะเลอกแนวคด 1 อาจจะมปญหาวาหาวงเวยนไมไดในขณะนน และการคดคำานวณคอนขาง ซบซอน ดงนนแนวคดทควรเลอกจงนาจะเปนแนวคด 2 หรอแนวคด 3 ในการหาพนทโดยประมาณควรพจารณาการนำามาตราสวนทกำาหนดใหมาใชใหเหมาะสม จากมาตราสวนทกำาหนดมาใหในโจทยขอนมเจตนาจะใหใชมาตราสวน 3 เซนตเมตร แทนระยะทาง 1,000 กโลเมตร ถานกเรยนพยายามใชมาตราสวนโดยวดแตละชวงยอย ๆ ทกำาหนดมาให เพอหาวาระยะทางทตองการเปนกชวงยอย แลวจงนำามาคำานวณเพอหาระยะทางจรง กจะพบปญหามากจนนกเรยนอาจเกดความทอใจ เพราะจะมความยงยากในการหาวาระยะทางทตองการเปนกชวงยอยในมาตราสวนทกำาหนดให มนกเรยนไทยทำาขอสอบขอนไดถกตองเพยง 2.82 เปอรเซนต ของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ แสดงวานกเรยนอกประมาณ 97 เปอรเซนต ไมสามารถทำาขอสอบขอนได ในทำานองเดยวกนนกเรยนจากประเทศญปน เกาหล และจน – ฮองกง ตางกทำาขอสอบขอนไดถกตองไมเกน 27 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนทเขาสอบแตละชาต ซงเปนจำานวนเปอรเซนตนอยกวาจำานวนเปอรเซนตททำาขอสอบขออน ๆ ไดถกตอง จงถอไดวาขอสอบขอนเปนขอสอบคอนขางยาก และความยากของขอสอบกนาจะเปนเพราะการกำาหนดมาตราสวนของโจทยทยากตอการนำาไปใช รวมทงโจทยในลกษณะทำานองน นกเรยน สวนใหญจะไมคอยคนเคยและไดฝกทำากนบอยนก โดยเฉพาะอยางยง การหาพนทโดยประมาณของแผนท ทกำาหนดมาตราสวนทไมสามารถนำาไปใชไดทนทดงในขอสอบเรองพนททวป ครควรเพมเตมประสบการณในการทำาโจทยทำานองน เชน การใหนกเรยนหาคาโดยประมาณของพนทของจงหวดตาง ๆ ในประเทศไทยจากแผนทโดยกำาหนดมาตราสวนทตางไปจากมาตราสวนทกำาหนดใหโดยทว ๆ ไป ตวอยาง จาก 1 : 100,000, 1 : 300,000 หรอ 1 : 15,000 อาจกำาหนดมาตราสวนเสยใหม เปน 3 : 100,000 หรอ 3 : 80,000 ดงตวอยางโจทยตอไปน



พนทจงหวดสมทรปร�ก�ร

ภาพขางลางคอแผนทของจงหวดสมทรปราการ

มาตราสวน 2.5 : 1,100,000

คำ�ถ�ม จงหาพนทโดยประมาณของจงหวดสมทรปราการ โดยใชมาตราสวนในแผนทและอธบายวธการหาพนทโดยประมาณดวย นกเรยนสามารถลากเสนในแผนททกำาหนดมาใหได ถาจะมสวนชวยในการหาคำาตอบแนวคด ใชการคาดคะเนดวยสายตาเขยนรปสเหลยมมมฉาก ABCD ใหครอบคลมเนอทสวนใหญของแผนท โดยประมาณใหสวนทเกนออกนอกรปสเหลยมกบสวนทแหวงเขาในรปสเหลยมมเนอทพอ ๆ กน ดงรป

คำ�ถ�ม



173

มาตราสวน 2.5 : 1,100,000 วดความยาวของดานรปสเหลยมมมฉาก ABCD ได AB ≈ 10 เซนตเมตร และ BC ≈ 5.2 เซนตเมตร แผนทกาหนดมาตราสวน 2.5 : 1,100,000 นนคอ วดระยะบนแผนทได 2.5 เซนตเมตร ระยะทางจรงเปน 1,100,000 เซนตเมตร

ดงนน AB แทนระยะทางประมาณ 2.5

1,100,00010×

เซนตเมตร

หรอ 2.5

1110× = 44 กโลเมตร

BC แทนระยะทางประมาณ 2.5

1,100,0005.2×


หรอ 2.5

115.2× ≈ 22.9 กโลเมตร

จะได ABCD มพนทประมาณ 44 × 22.9 = 1,007.6 ตารางกโลเมตร ดงนน จงหวดสมทรปราการมพนทประมาณ 1,007.6 ตารางกโลเมตร

A

A

B

C

D

173

มาตราสวน 2.5 : 1,100,000 วดความยาวของดานรปสเหลยมมมฉาก ABCD ได AB ≈ 10 เซนตเมตร และ BC ≈ 5.2 เซนตเมตร แผนทกาหนดมาตราสวน 2.5 : 1,100,000 นนคอ วดระยะบนแผนทได 2.5 เซนตเมตร ระยะทางจรงเปน 1,100,000 เซนตเมตร

ดงนน AB แทนระยะทางประมาณ 2.5

1,100,00010×


หรอ 2.5

1110× = 44 กโลเมตร

BC แทนระยะทางประมาณ 2.5

1,100,0005.2×


หรอ 2.5

115.2× ≈ 22.9 กโลเมตร

จะได ABCD มพนทประมาณ 44 × 22.9 = 1,007.6 ตารางกโลเมตร ดงนน จงหวดสมทรปราการมพนทประมาณ 1,007.6 ตารางกโลเมตร

A

A

B

C

D

วดความยาวของดานรปสเหลยมมมฉาก ABCD ได AB ≈ 10 เซนตเมตร


แผนทกำาหนดมาตราสวน 2.5 : 1,100,000

นนคอ วดระยะบนแผนทได 2.5 เซนตเมตร ระยะทางจรงเปน 1,100,000 เซนตเมตร

ดงนน AB แทนระยะทางประมาณ เซนตเมตร

หรอ = 44 กโลเมตร

BC แทนระยะทางประมาณ เซนตเมตร

หรอ ≈ 22.9 กโลเมตร

จะได ABCD มพนทประมาณ 44 x 22.9 = 1,007.6 ตารางกโลเมตร

ดงนน จงหวดสมทรปราการมพนทประมาณ 1,007.6 ตารางกโลเมตร

10 x 1,100,000_ _2.5

5.2 x 1,100,000_ _2.5

10 x 11_2.5

5.2 x 11_2.5

A



หม�ยเหต ทมาของแผนท เปนแผนททองเทยวจงหวดสมทรปราการ ทใชมาตราสวน1 : 300,000 เพอนำามาเปนโจทยตวอยาง ไดยอใหแผนทเลกลงเลกนอยเพอใชมาตราสวน2.5 : 1,100,000 และจงหวดสมทรปราการมพนทจรง 1,004 ตารางกโลเมตร

นอกจากในเรองการกำาหนดมาตราสวนดงกลาวขางตนแลว ในการจดการเรยนการสอน ในเรองการวด ครควรจดกจกรรมใหนกเรยนไดฝกฝนการใชรปเรขาคณตประมาณพนทของรปทกำาหนดใหอยางหลากหลาย โดยใหนกเรยนนำาผลของการประมาณพนทมาอภปรายวา การประมาณพนทของใครเหมาะสมพอทจะใชประมาณพนทไดด เพราะเหตใดและเพอทำาใหบทเรยนนาสนใจยงขน ครอาจเชอมโยงการหาพนทโดยประมาณกบวชาอน ๆ เชน ภมศาสตรและชววทยาดวย



สงขน

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : การเปลยนแปลงและความสมพนธแขนงวช� : ฟงกชนสถ�นก�รณ : ในเชงวทยาศาสตรสมรรถนะ : การทำาใหมแบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบปด


% ตอบถก46.5581.9472.9868.7526.06

คำ�ถ�มท 1 : สงขน

ตงแตป พ.ศ. 2523 ถงป พ.ศ. 2541 ความสงเฉลยของเยาวชนหญงอาย 20 ป เพมขน 2.3 เซนตเมตรเปน 170.6 เซนตเมตร อยากทราบวาความสงเฉลยของเยาวชนหญงอาย 20 ป เมอ ป พ.ศ. 2523 เปนเทาไรคำาตอบ: …………………………………………. เซนตเมตร คะแนนเตม

ตอบ 168.3 เซนตเมตร (หนวยใหมาแลว)ไมมคะแนน คำาตอบอนๆ

เย�วชนสงขน ในป พ.ศ.2541 ความสงเฉลยของเยาวชนชายและหญงในประเทศเนเธอรแลนดแสดงไดดงกราฟตอไปน

ความสงเฉลยของเยาวชนชายป พ.ศ.2541

ความสงเฉลยของเยาวชนหญงป พ.ศ.2541




จากกราฟ โดยเฉลยเยาวชนหญงอายเทาไรจงจะมความสงมากกวาเยาวชนชายในวยเดยวกน…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


บอกชวงอายจาก 11 – 13 ป ไดถกตอง เชน• ระหวางอาย 11 และ 13 ป• จากอาย 11 ถง 13 ป โดยเฉลยเดกหญงสงกวาเดกชาย• 11 – 13


คำาตอบทเปนเซทยอย (subset) ของ (11, 12, 13) ไมอยในสวนทไดคำาตอบถก เชน

• 12 ถง 13• 12• 13• 11• 11.2 ถง 12.8


คำาตอบอนๆ เชน• ป พ.ศ. 2541• เดกหญงสงกวาเดกชาย เมออายมากกวา 13 ป• เดกหญงสงกวาเดกชาย จากอาย 10 ถง 11 ป


% ตอบถก62.7171.1675.4670.8942.20

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : การเปลยนแปลงและความสมพนธแขนงวช� : ฟงกชนสถ�นก�รณ : ในเชงวทยาศาสตรสมรรถนะ : การทำาใหมแบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบปด

คำ�ถ�ม 3 : อตร�แลกเปลยน

จงอธบายวาลกษณะของกราฟเปนอยางไรทแสดงวา อตราการเพมขนของการเจรญเตบโตโดยเฉลยของเยาวชนหญงลดลงหลงจากอาย 12 ป…………………………………………………………………………………………………………………………….................………………………………………………………………………………………….......................................................

หรอ บอกวาเดกหญงสงกวาเดกชาย เมออาย 11 และ 12 ป (ถอวาเปนคำาตอบทถกตองตามภาษาสามญ เพราะ

หมายความถงชวงอาย จาก 11 – 13 ป)• เดกหญงสงกวาเดกชาย เมออาย 11 และ 12 ป• อาย 11 และ 12 ป




คำาตอบจะตองกลาวถง “การเปลยนแปลง” ของความชนของเสนกราฟความสงเฉลยของเดกหญง ซงอาจบอกโดยตรง หรอบอกเปนนยวากราฟมการเปลยนแปลง ดงน อางถงความชนทลดลงของเสนกราฟ จากอาย 12 ปเปนตนไป โดยใชภาษาในชวตประจำาวน ไมใชภาษาคณตศาสตร เชน

• เสนกราฟไมพงขน แตจะยดออกไปทางแนวนอน• เสนกราฟยดออกไป• เสนกราฟจะแบนราบ หลงอาย 12 ป • เสนกราฟของเดกหญงเรมเปนแนวราบ แตเสนกราฟของเดกชายสงขน• เสนกราฟเบนออกทางแนวนอน และเสนกราฟของเดกชายสงขนเรอยๆ

หรอ อางถงความชนทลดลงของเสนกราฟจากอาย 12 ปขนไป โดยใชภาษาทางคณตศาสตร• จะเหนไดวาความชนลดลง• อตราของการเปลยนแปลงของกราฟลดลงหลงจาก 12 ปขนไป• [นกเรยนหา มมของเสนกราฟบนแกน X กอนและหลงอาย 12 ป] โดยปกตถามคำาวา “ความแตกตาง” หรอ “อตราการเปลยนแปลง” หรอ “ความชน” ถอวาใชภาษาคณตศาสตร

หรอ เปรยบเทยบการเจรญเตบโตทเกดขนจรงกอนอาย 12 ป และหลงอาย 12 ป (อาจเปรยบเทยบโดยออมกได)• จากอาย 10 ถง 12 ป มการเจรญเตบโตประมาณ 15 ซม. แตจากอาย 12 - 20 ป มการเจรญเตบโตประมาณ 17 ซม.

เทานน• อตราการเจรญเตบโตเฉลยจาก 10 ถง 12 มประมาณ 7.5 ซม. ตอป แตจากอาย 12 ถง 20 ป จะมประมาณ 2 ซม.ตอ

ป เทานน

ไมมคะแนนนกเรยนบอกวา ความสงของเดกหญงลดตำาลงกวาความสงของเดกชาย แตไมพดถงความชนของกราฟเดกหญง หรอ ไมเปรยบเทยบอตราการเจรญเตบโตของเดกหญงกอนและหลงอาย 12 ป เชน

• เสนกราฟของหญงลดตำาลงกวาเสนกราฟของชายถานกเรยนบอกวากราฟของหญงมความชนลดลกควรใหถกได ตางกบ บอกวาเสนกราฟของหญงลดตำากวาเสนกราฟของชาย เพราะคำาถามนไมตองดการเปรยบเทยบของกราฟระหวางชายและหญง จงไมตองสนใจการอางองถงการเปรยบเทยบนน ใหตดสนจากคำาตอบทเหลอหรอ คำาตอบอนๆ ทไมถก เชน คำาตอบทไมอางถงลกษณะของกราฟ เพราะคำาถามถามอยางชดเจนวากราฟแสดงอยางไร

• เดกหญงมวฒภาวะเรวกวา• เพราะวาเดกหญงเขาสวยรนกอนเดกชาย และมการเจรญเตบโตเรวกวา• เดกหญงไมคอยเจรญเตบโตมากนกหลงจากอาย 12 ป [บอกวาการเจรญเตบโตของเดกหญงชาลงหลงจากอาย 12 ป

แตไมไดอางถงกราฟ]


% ตอบถก87.9086.9082.0068.30

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : การเปลยนแปลงและความสมพนธแขนงวช� : ฟงกชนสถ�นก�รณ : ในเชงวทยาศาสตรสมรรถนะ : การเชอมโยงแบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบอสระ



คำาถามท 1 ตงแตป พ.ศ. 2523 ถงป พ.ศ. 2541 ความสงเฉลยของเยาวชนหญงอาย 20

ป เพมขน 2.3 เซนตเมตร เปน 170.6 เซนตเมตร อยากทราบวาความสงเฉลยของเยาวชน

หญงอาย 20 ป เมอป พ.ศ. 2523 เปนเทาไร






ความรทนกเรยนจะตองใชในการตอบคำาถาม คอ ความเขาใจพนฐานทางสถตในเรองขอมล การนำาเสนอขอมลและกราฟ ในการแกโจทยปญหานกเรยนตองมความสามารถในการอานแปลความหมาย และวเคราะหขอมลจากการนำาเสนอขอมลในรปกราฟเสน เรานยมใชกราฟเสนแสดงการเปลยนแปลงของขอมลอยางตอเนอง ตามลำาดบกอนหลงของเวลาทขอมลนน ๆ เกดขน กราฟเสนทำาใหสงเกตเหนการเปลยนแปลงเกยวกบขอมลไดรวดเรว ชวยใหเหนแนวโนมและความสมพนธตาง ๆ นอกจากความรทางคณตศาสตร นกเรยนจะตองมทกษะการใชภาษาในการตความและการแยกแยะประเดนปญหา โดยเฉพาะการใหขอมลเพมเตมในคำาถามท 1 ซงนกเรยนจะตองหาคำาตอบจากขอมลทใหเพมเตมโดยตรง สวนการตอบคำาถามท 2 และคำาถามท 3 กตองอาศยทกษะการใชภาษาในการอธบายเปรยบเทยบขอมลจากการอานกราฟและการวเคราะหลกษณะของกราฟ ซงเปนทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรในดานการสอสารและการนำาเสนอ

สถานการณทโจทยกำาหนดเปนการนำาเสนอขอมลในรปกราฟเสนสองเสน โดยกราฟเสนแรกแสดงความสมพนธระหวางอายกบความสงเฉลยของเยาวชนชายอาย 10 ถง 20 ป ในป พ.ศ. 2541 กราฟเสนทสองแสดงความสมพนธระหวางอายกบความสงเฉลยของเยาวชนหญงอาย 10 ถง 20 ป ในป พ.ศ. 2541 สำาหรบคำาถามม 3 ขอ คำาถามขอแรกมขอมลเพมเตมใหในคำาถามเพอใชในการหาคำาตอบโดยไมตองใชขอมลทสถานการณโจทยกำาหนดให สวนคำาถามทสองและคำาถามทสาม การหาคำาตอบตองอาศยประสบการณการเชอมโยงความรในการวเคราะหกราฟทกำาหนดใหในสถานการณโจทย



แนวคด ในคำาถามกำาหนดวาตงแตป พ.ศ. 2523 ถงป พ.ศ.2541 ความสงเฉลยของเยาวชนหญงอาย 20 ป เพมขน 2.3 เซนตเมตร เปน 170.6 เซนตเมตร แสดงวา 1) ในป พ.ศ. 2541 ความสงเฉลยของเยาวชนหญงอาย 20 ป คอ 170.6 เซนตเมตร 2) ตงแตป พ.ศ. 2523 ถงป พ.ศ. 2541 เยาวชนหญงอาย 20 ป มความสงเฉลยเพมขน 2.3 เซนตเมตร โจทยตองการทราบวา ความสงเฉลยของเยาวชนหญงอาย 20 ป เมอป พ.ศ. 2523 เปนเทาไร จะเหนวาจากขอมลทกำาหนดในคำาถาม สามารถหาคำาตอบไดโดยไมตองอาศยการอานจากกราฟ นนคอ ความสงเฉลยของเยาวชนหญงอาย 20 ป เมอป พ.ศ. 2523 เทากบ 170.6 – 2.3 = 168.3 เซนตเมตร

คำาถามท 2 จากกราฟ โดยเฉลยเยาวชนหญงอายเทาไรจงจะมความสงมากกวาเยาวชนชายในวยเดยวกน แนวคด เปนคำาถามทตองใชขอมลจากการอานและแปลความหมายของขอมลจากกราฟทกำาหนดใหในการตอบคำาถาม ดงน 1. กราฟเสนทบแสดงความสมพนธระหวางอายกบความสงเฉลยของเยาวชนชายในชวงอาย 10 ถง 20 ป ในป พ.ศ. 2541 2. กราฟเสนประแสดงความสมพนธระหวางอายกบความสงเฉลยของเยาวชนหญงในชวงอาย 10 ถง 20 ป ในป พ.ศ. 2541 โจทยตองการทราบวา โดยเฉลยเยาวชนหญงอายเทาไร จงจะมความสงมากกวาเยาวชนชายในวยเดยวกน จากกราฟเสนทกำาหนดให เมอพจารณาความสงเฉลยของเยาวชนชายและเยาวชนหญงในชวงอาย 10 ถง 20 ป จะเหนไดวากราฟความสงเฉลยของเยาวชนหญงอยเหนอกราฟความสงเฉลยของเยาวชนชาย ในชวงอายระหวาง 11 ถง 13 ป ดงนนความสงเฉลยของเยาวชนหญงมากกวาของเยาวชนชายในชวงอายระหวาง 11 ถง 13 ป




คำาถามท 3 จงอธบายวาลกษณะของกราฟเปนอยางไรทแสดงวา อตราการเพมขนของการเจรญเตบโตโดยเฉลยของเยาวชนหญงลดลงหลงจากอาย 12 ป

แนวคด เปนคำาถามทตองใชขอมลจากการอาน แปลความหมายและวเคราะหขอมลจากกราฟทแสดงความสมพนธระหวางอายกบความสงเฉลยของเยาวชนหญงในชวงอาย 10 ถง 20 ป ในป พ.ศ. 2541 โจทยตองการใหอธบายวา ลกษณะของกราฟเปนอยางไรทแสดงวาอตราการเพมขนของการเจรญเตบโตโดยเฉลยของเยาวชนหญงลดลงหลงจากอาย 12 ป ซงสามารถอธบายได ดงน

แนวคด 1 ลกษณะของกราฟทแสดงวาอตราการเพมขนของการเจรญเตบโตโดยเฉลยของเยาวชนหญงลดลงหลงจากอาย 12 ป คอ กราฟทแสดงความสมพนธระหวางอายกบความสงเฉลยของเยาวชนหญง หลงจากอาย 12 ป มความลาดเอยงเขาใกลแนวนอนมากกวาชวงอายกอน 12 ป

แนวคด 2 ลกษณะของกราฟทแสดงวาอตราการเพมขนของการเจรญเตบโตโดยเฉลยของเยาวชนหญงลดลงหลงจากอาย 12 ป คอ กราฟทแสดงความสมพนธระหวางอายกบความสงเฉลยของเยาวชนหญงหลงจากอาย 12 ป มความชนคอย ๆ ลดลงเมอเทยบกบความชนในชวงอายกอน 12 ป

แนวคด 3 ลกษณะของกราฟทแสดงวาอตราการเพมขนของการเจรญเตบโตโดยเฉลยของเยาวชนหญงลดลงหลงจากอาย 12 ป คอ การลดลงของอตราการเปลยนแปลงของกราฟทแสดงความสมพนธระหวางอายกบความสงเฉลยของเยาวชนหญงหลงจากอาย 12 ป ซงหาไดจากการเปรยบเทยบอตราการเพมขนของความสงเฉลยของเยาวชนหญงอายระหวาง 10 – 12 ป กบอตราการเพมขนของความสงเฉลยของเยาวชนหญงอายระหวาง 12 – 20 ป ดงน จากกราฟ เยาวชนหญงอาย 10 ป มความสงประมาณ 141 เซนตเมตร เยาวชนหญงอาย 12 ป มความสงประมาณ 156 เซนตเมตร เยาวชนหญงอาย 20 ป มความสงประมาณ 173 เซนตเมตร ดงนน เยาวชนหญงอาย 10 – 12 ป มความสงเฉลยเพมขนประมาณ 156 – 141 = 15 เซนตเมตร แสดงวาอตราการเพมขนของความสงเฉลยของเยาวชนหญงอาย

ระหวาง 10 ถง 12 ป ประมาณ = 7.5 เซนตเมตรตอป และเยาวชนหญงอาย 12 – 20 ป

มความสงเฉลยเพมขนประมาณ 173 – 156 = 17 เซนตเมตร แสดงวาอตราการเพมขนของ

ความสงเฉลยของเยาวชนหญงอายระหวาง 12 ถง 20 ป ประมาณ ≈ 2 เซนตเมตรตอป

นนคอ อตราการเปลยนแปลงของกราฟลดลงหลงจาก 12 ปขนไป


15_2

17_8




1. นกเรยนไทยตอบคำาถามท 1 ไดถกตองเพยง 26.05 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ ทงทขอความในคำาถามไดใหขอมลมาเพยงพอทจะหาคำาตอบไดโดยใชความรเรองการลบของจำานวนเทานน ทงนอาจเปนเพราะลกษณะของสถานการณทโจทยกำาหนดกราฟเสนมาให นกเรยนจงมงทจะหาคำาตอบจากกราฟโดยไมไดพจารณาขอมลทใหมาในคำาถามใหชดเจน เมอไมสามารถหาคำาตอบไดจากการอานกราฟ ประกอบกบการมทกษะการอานทไมดพอ ทำาใหไมสามารถตความและแยกแยะขอมลทใหมาในคำาถามจงหาคำาตอบไมได นอกจากนนกเรยนอาจขาดประสบการณการแกโจทยปญหาทกำาหนดขอมลเพมเตมไวในคำาถามโดยไมตองใชขอมลในสถานการณโจทย จงไมไดพจารณาประเดนปญหาและขอมลในคำาถามใหชดเจน 2. การหาคำาตอบสำาหรบคำาถามท 2 ใชการสงเกตชวงทเสนกราฟความสงเฉลยของเยาวชนหญงอยเหนอเสนกราฟความสงเฉลยของเยาวชนชาย ซงอยในชวงอาย 11 – 13 ป แตคำาตอบของนกเรยนบางคนไมครอบคลมชวงอายดงกลาว ทำาใหไดคะแนนเพยงบางสวน เชน ตอบชวงอาย 11.2 ถง 12.8 ป, 12 ถง 13 ป หรอไมตอบเปนชวงอาย เชน ตอบวาอาย 11 ป 12 ป หรอ 13 ป ครจงควรเนนยำาใหนกเรยนเขาใจในเรองความครบถวนของ คำาตอบ ถงแมวาลกษณะคำาถามดเหมอนจะมคำาตอบเดยวกตาม

3. เนองจากแนวคดในการตอบคำาถามท 3 ทใหอธบายลกษณะของกราฟเกยวกบ อตราการเพมขนของการเจรญเตบโตโดยเฉลยของเยาวชนหญงลดลงหลงจากอาย 12 ป มไดหลายแนวคดเพอใหเกดการแลกเปลยนเรยนรในหองเรยน ครผสอนควรเปดโอกาส ใหนกเรยนไดเสนอแนวคดในการหาคำาตอบ และชวยกนพจารณาวาควรเลอกใชแนวคดใด ในการตอบคำาถาม เพราะเหตใด ซงนกเรยนบางคนอาจเลอกใชความรสกเชงปรภมหรอความชน ดวยวธสงเกตจากกราฟเสนโดยตรง ซงอาจเหนไดงายในกรณทเสนกราฟมการเปลยนแปลงใหเหนอยางชดเจน ดงปรากฎในโจทยทใหมา ถงแมวานกเรยนจะไมคนเคยเกยวกบความชนของเสนกราฟ แตกเปรยบเทยบไดกบความหมายของความชนทใชกนโดยทวไป ในชวตจรง เชน ความชนของบนได หรอความชนของภเขา เปนตน สำาหรบแนวคด 3 เปนการเพมมมมองในการแกปญหา โดยขยายความรไปสเรองอตราการเปลยนแปลงของกราฟทงนการจดการเรยนรในลกษณะดงกลาว จะชวยเสรมสรางทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร ใหกบนกเรยนไดหลายดานคอ การแกปญหา การใหเหตผล การสอสารและการนำาเสนอการเชอมโยง ความรทางคณตศาสตร และการมความคดรเรมสรางสรรค



182

ทงนการจดการเรยนรในลกษณะดงกลาว จะชวยเสรมสรางทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร ใหกบนกเรยนไดหลายดานคอ การแกปญหา การใหเหตผล การสอสารและการนาเสนอ การเชอมโยงความรทางคณตศาสตร และการมความคดรเรมสรางสรรค เพอใหนกเรยนมประสบการณในการอานและแปลความหมายจากกราฟใหมากขน ครผสอนควรหาแบบฝกหดเพมเตมเกยวกบกราฟในลกษณะตาง ๆ มาใหนกเรยนไดอานและแปลความหมายในสถานการณทหลากหลาย ดงตวอยาง เชน สมบตเดนทางจากเมอง ก ไปเมอง ข และสมศกดเดนทางจากเมอง ข ไปเมอง ก โดยใชเสนทางเดยวกน การเดนทางของคนทงสองแสดงไดดวยกราฟดงตอไปน

คาถาม 1. เมอง ก และเมอง ข อยหางกนกกโลเมตร 2. สมบตและสมศกดสวนทางกนเมอเวลาใด และจดทสวนทางกนอยหางจาก เมอง ก กกโลเมตร 3. ในการเดนทางของสมบตและสมศกด มใครแวะระหวางทางบาง และถาม การแวะระหวางทาง มการแวะกครง แตละครงใชเวลานานเทาใด 4. สมบตและสมศกด ใชอตราเรวในการเดนทางเทากนหรอไม (ไมรวมเวลา

200

160

120

80

40

10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 เวลา

ระยะทาง (กม.)

สมศกด

สมบต

0

เมอง ข

เมอง ก

คำ�ถ�ม 1. เมอง ก และเมอง ข อยหางกนกกโลเมตร 2. สมบตและสมศกดสวนทางกนเมอเวลาใด และจดทสวนทางกนอยหางจาก เมอง ก กกโลเมตร 3. ในการเดนทางของสมบตและสมศกด มใครแวะระหวางทางบาง และถาม การแวะระหวางทาง มการแวะกครง แตละครงใชเวลานานเทาใด 4. สมบตและสมศกด ใชอตราเรวในการเดนทางเทากนหรอไม (ไมรวมเวลาหยดพก) ถาไมเทากน ใครใชอตราเรวมากกวา จงอธบาย 5. ในชวงเวลา 13.00 น. – 14.30 น. สมบตใชอตราเรวในการเดนทางเทาไร

เพอใหนกเรยนมประสบการณในการอานและแปลความหมายจากกราฟใหมากขน ครผสอนควรหาแบบฝกหดเพมเตมเกยวกบกราฟในลกษณะตาง ๆ มาใหนกเรยนไดอานและแปลความหมายในสถานการณทหลากหลาย ดงตวอยาง เชน สมบตเดนทางจากเมอง ก ไปเมอง ข และสมศกดเดนทางจากเมอง ข ไปเมอง ก โดยใชเสนทางเดยวกน การเดนทางของคนทงสองแสดงไดดวยกราฟดงตอไปน



คำ�ตอบ 1. 200 กโลเมตร 2. 12.30 น. หางจากเมอง ก 80 กโลเมตร 3. สมศกด แวะระหวางทาง 2 ครง ครงแรกใชเวลา 45 นาท ครงทสองใช เวลา 30 นาท แตสมบตไมแวะเลย 4. ไมเทากน สมศกดใชอตราเรวมากกวา เพราะสมศกดใชเวลา (ไมรวมเวลาหยดพก) 3 ชวโมง 15 นาท ในการเดนทาง 200 กโลเมตร แตสมบตใชเวลา 4 ชวโมง ใน การเดนทาง 200 กโลเมตร 5. กโลเมตร/ชวโมง (อตราเรว = = กโลเมตร/ชวโมง)ระยะทาง_

เวลา200 - 120_

11_ 2

153 _

3



รอยเท�

คำ�ถ�มท 1 : รอยเท�

ถาใชสตรนกบการเดนของสมรกษ ผซงกาวเทาได 70 ครงในเวลาหนงนาท ความยาวของกาว (P) ของ สมรกษเปนเทาไร จงแสดงวธทำา


ตอบวา 0.5 m หรอ 50 cm, (ไมจำาเปนตองใสหนวย) เชน

• 70/P = 140 70 = 140P P = 0.5

• 70/140


แทนคาตวเลขในสตรถกตอง แตคำาตอบไมถกตองหรอไมมคำาตอบ

• = 140 [แทนตวเลขในสตรเพยงอยางเดยว]

• = 140

70 = 140P

P = 2 [แทนคาไดถกตอง แตคำานวณออกมาไมถกตอง]

หรอใชสตร P = n/140 ไดถกตอง แตแสดงวธทำาไมถกตอง


คำาตอบอนๆ• 70 cm


% ตอบถก40.8543.8062.2160.1717.30

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : การเปลยนแปลงและความสมพนธแขนงวช� : ฟงกชนสถ�นก�รณ : สวนตว/สวนบคคลสมรรถนะ : -แบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบอสระ

ในภาพเปนรอยเทาของชายคนหนง

ความยาวของกาว (P) คอระยะทางจากรอยขอบสนเทาหนงไปถงสนเทาถดไปสำาหรบผชาย ความสมพนธ n และ P เปนไปตามสตร = 400 โดยทn = จำานวนครงของการกาวในเวลาหนงนาท P = ความยาวของกาว (หนวยเปนเมตร)

n _P

1_2

70_P70_P




คำาตอบถกตอง (ไมจำาเปนตองใสหนวย) ทงเมตรตอนาท และ กโลเมตรตอชวโมง :

n = 140 x 0.80 = 112ในหนงนาท เขาเดนได 112 x 0.80 เมตร = 89.6 เมตรอตราเรวของการกาวเทาของเขาเทากบ 89.6 เมตรตอนาทดงนน อตราเรวของการกาวเทาของภาคภมเทากบ 5.38 หรอ 5.4 กโลเมตรตอชวโมง

คำาตอบตองถกทงสองคำาตอบ (89.6 และ 5.4) หรอ จะแสดงวธทำาหรอไมกได ขอสงเกต: ยอมรบคำาตอบทคลาดเคลอนจากการปดเศษ เชน 90 เมตรตอนาท และ 5.3 กโลเมตรตอชวโมง (89 X 60) เชน

• 89.6, 5.4• 90, 5.376 กโลเมตรตอชวโมง• 89.8, 5376 เมตรตอชวโมง [ขอสงเกต ถาคำาตอบทสองไมไดใสหนวย ควรใหคะแนนบางสวน]

ไดคะแนนบ�งสวน เหมอนคำาตอบถก แตไมไดคณ 0.80 เพอแปลงหนวยจากจำานวนครงของการกาวเทาในหนงนาทเปนระยะทางทกาวไดเปนเมตรในหนงนาท เชน

• อตราเรวของการกาวเทาเทากบ 112 เมตรตอนาท และ 6.72 กโลเมตรตอชวโมง• 112, 6.72 กโลเมตรตอชวโมง

หรอ อตราเรวของการกาวเทาในหนวยเมตรตอนาทถกตอง (89.6 เมตรตอนาท) แตแปลงเปนหนวยกโลเมตรตอชวโมง ไมถกตอง หรอไมใส เชน

• 89.6 เมตรตอนาท, 8960 กโลเมตรตอชวโมง• 89.6, 5376• 89.6, 53.76• 89.6, 0.087 กโลเมตรตอชวโมง• 89.6, 1.49 กโลเมตรตอชวโมง

หรอ ขนตอนถกตอง (แสดงวธทำาชดเจน) แตการคำานวณคลาดเคลอน เชน• n =140 x 0.8 = 1120; 1120 x 0.8 = 896 เขากาว 896 เมตรตอนาท, 53.76 กโลเมตรตอชวโมง• n =140 x 0.8 = 116; 116 x 0.8 = 92.8 92.8 เมตรตอนาท -> 5.57 กโลเมตรตอชวโมง

หรอ ตอบ 5.4 กโลเมตรตอชวโมงเพยงคำาตอบเดยว ไมไดตอบ 89.6 เมตรตอนาท (ไมแสดงวธทำา) เชน• 5.4• 5.376 กโลเมตรตอชวโมง• 5376 เมตรตอชวโมง


ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : การเปลยนแปลงและความสมพนธแขนงวช� : ฟงกชนสถ�นก�รณ : สวนตว/สวนบคคลสมรรถนะ : -แบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบอสระ


ภาคภมทราบวาความยาวของกาวของเขาเปน 0.80 เมตร และสามารถใชสตรขางตนกบการ กาวเทาของภาคภมจงแสดงวธคำานวณหาอตราเรวของการเดนของภาคภมเปนเมตรตอนาท และเปนกโลเมตรตอชวโมง


% ตอบถก33.9320.5945.3542.049.08






ในสถานการณโจทยขอน แสดงถงความสมพนธของจำานวนครงของการกาวเทาในเวลา หนงนาทกบความยาวของการกาวเทาหนงกาว (หนวยเปนเมตร) ซงเปนสถานการณใกลตวนกเรยนทควรเขาใจถงความสมพนธนวา ระยะทางทเดนในชวงเวลาหนง จะไดระยะทางมากหรอนอยขนอยกบจำานวนครงของการกาวเทาและความยาวของการกาวเทาแตละกาว ความยาวของการกาวเทาของแตละคนไมเทากน จำานวนครงของการกาวเทา ในเวลาหนงนาทของแตละคนกจะไมเทากน ทงนขนอยกบอตราเรวของการกาวเทา ความสมพนธระหวางจำานวนครงของการกาวในเวลาหนงนาท และความยาวของกาว (หนวยเปนเมตร) ผรสามารถนำามาประมวลโดยใชตวแบบเชงคณตศาสตรเปนสตรได โดยเมอกำาหนดให n แทนจำานวนครงของการกาวเทาในเวลาหนงนาท และ p แทนความยาวของกาว (หนวยเปนเมตร) สำาหรบผชายไดสตร = 140 n_

P

ความรทนกเรยนจะตองใชในการตอบคำาถาม คอ สมก�รเชงเสนตวแปรเดยว ในคำาถามทงสองขอ โจทยกำาหนดคาของตวแปรมาใหแลวหนงคา ถงแมในสมการหรอสตร = 140 จะมตวแปรสองตว แตนกเรยนกสามารถใชการแทนคาตวแปรหนงตว ทำาใหเกดสมการเชงเสนตวแปรเดยว และใชสมบตของการเทากนหาคาของตวแปรทเหลออกหนงตวได นอกจากนยงใชความสมพนธของอตราเรวของการกาวเทาเดนทไมไดกำาหนดมาในโจทย ดงน อตราเรวของการกาวเทาเดนคดเปนเมตรตอนาท หมายถง ระยะทางทเดนไดในเวลาหนงนาท (หนวยเปนเมตร) ซงเทากบ จำานวนครงของการกาวในเวลาหนงนาท คณกบความยาวของกาวหนงกาว (หนวยเปนเมตร)

n_P



คำาถามท 1 ถาใชสตรทใหมากบการเดนของสมรกษ ผซงกาวเทาได 70 ครง ในเวลาหนงนาท ความยาวของกาว (p) ของสมรกษเปนเทาไร

แนวคด จากสตร = 140 กำาหนดให n = 70 ครง/นาท และ p แทนความยาวของกาวของสมรกษ จะได = 140 70 = 140p p =

= หรอ 0.5 เมตร นนคอ ความยาวของกาวของสมรกษเปน 0.5 เมตร

คำาถามท 2 ภาคภมทราบวาความยาวของกาวของเขาเปน 0.80 เมตร และสามารถใชสตร ขางตนกบการกาวเทาของภาคภม จงแสดงวธคำานวณหาอตราเรวของการเดนทางของ ภาคภมเปนเมตรตอนาท และเปนกโลเมตรตอชวโมง

แนวคด คำาถามขอนนกเรยนจะตองเขาใจถงความสมพนธวา ระยะทางทภาคภมเดนไดในเวลาหนงนาท จะเทากบ ผลคณของจำานวนครงของการกาวในเวลาหนงนาทกบความยาวของกาวของภาคภมหนงกาว ซงสามารถแสดงวธทำาไดดงน จากสตร = 140 กำาหนดให p = 0.80 เมตร และ n แทนจำานวนครงของ การกาวในเวลาหนงนาท ของภาคภม จะได = 140 n = 140 x 0.80 = 112 กาว ดงนน ในเวลา 1 นาท ภาคภมเดนได 112 กาวแสดงวา ในเวลา 1 นาท ภาคภมเดนทางได 112 x 0.80 = 89.6 เมตรหรอเดนทางดวยอตราเรว 89.6 เมตรตอนาทจะได อตราเรวคดเปน 89.6 x 60 = 5,376 เมตรตอชวโมงหรอคดเปน 5.376 กโลเมตรตอชวโมงนนคอ อตราเรวของการเดนทางของภาคภม เทากบ 89.6 เมตร/นาท หรอ 5.376 กโลเมตร/ชวโมง

n_P




1_2

70_P

n_0.80

70_140

n_P




จากผลการสอบจะเหนวา มนกเรยนไทยเพยง 17.30 เปอรเซนตของนกเรยนไทยทเขาสอบเทานนทตอบคำาถามท 1 ไดถกตอง สนนษฐานไดวา นกเรยนไมสามารถแปลความหมายของสตรทให = 140 วามความหมายอยางไร 140 คออะไร เกดความสบสน ไมกลาแสดงวธทำา แตถานกเรยนไมคดมาก แทนคาตวแปรตามขอมลทโจทยกำาหนดกจะไดคำาตอบ หรออาจหาคาของตวแปรไมเปนกได จากผลการสอบจะเหนวา มนกเรยนไทยเพยง 9.08 เปอรเซนตจำานวนของนกเรยนไทยทเขาสอบเทานนทตอบคำาถามท 2 ไดถกตอง จากการวเคราะหคำาถาม คาดวานกเรยนไมเขาใจคำาถามทใหคำานวณหาอตราเรวของการเดนทางของภาคภม ซงไมตรงกบขอความในสถานการณโจทยทกำาหนดให n แทนจำานวนครงของการกาวในเวลาหนงนาท และอาจไมทราบถงวธการหาอตราเรวของการเดนทางของภาคภมวาจะหาไดอยางไร จงทำาใหนกเรยนไมตอบหรอตอบผด ในกรณทครนำาสถานการณโจทยปญหาในทำานองนไปใชในการเรยนการสอนครควรทำาความเขาใจกบนกเรยนเกยวกบการใชคำาวา “เทากบ” แสดงผลการคำานวณหรอผลลพธวา โดยปกตแลวทางคณตศาสตรเมอใชคำาวา “เทากบ” ถอวาเปนคาจรง แตในทางปฏบตและในวชาอน เชน วทยาศาสตร และสงคมศาสตรมกมการอนโลมใหเปนคาประมาณได ซงครควรฝกใหนกเรยนไดตระหนกในเรองนและใชไดอยางเหมาะสม นอกจากนครควรใหนกเรยนรจกสงเกตการเดนของตวเอง วามความสมพนธของตวแปรอยางทโจทยกำาหนดมาใหหรอใกลเคยงกนหรอไม หรอฝกใหนกเรยนสงเกตความสมพนธของสงทอยรอบตวหรอในสถานการณทกำาหนดมาให และลองหาสตรงาย ๆ เกยวกบความสมพนธนน แลวใชสตรนนไปหาคาของตวแปรทเกยวของเชนเดยวกบโจทย หรออาจเรมจากกำาหนดความสมพนธใหในทำานองเดยวกบในหนงสอเรยน เรองสมการเชงเสนตวแปรเดยวตอนตนบทเรยน เชน พจารณาแบบรปทนำาไปสการคนพบสตรหรอสมการกได นอกจากนแลวครจะสงเกตเหนวานกเรยนหลายคนมกมขอบกพรองในการแทนคา ตวแปรและหาคาตวแปรไดอยางถกตอง

ซงเรองนมความสำาคญอยางยงเพราะนกเรยนจะตองนำาไปใชในวชาคณตศาสตร วทยาศาสตร หรอวชาอน ๆ ทเกยวของมากขนเรอย ๆ ครจงตองใหความสำาคญในการฝกฝนนกเรยนใหมากขนดวย

n_P



ครอาจใหนกเรยนตรวจสอบระยะกาวเดน 1 กาวของนกเรยนเพอใชเปนเครองมอในการประมาณความยาวหรอระยะทาง อาจใหนกเรยนนำาความยาวของกาวเทา 1 กาว ไปใชประโยชน ดงตวอยางโจทยตอไปน

1. ปกตวทยาเดนไปโรงเรยน โดยใชเวลาประมาณ 25 นาท ถาความยาวของกาวเดน 1 กาว เทากบ 40 เซนตเมตร วทยาจบเวลาดพบวา ในเวลา 1 นาท เขาเดนได 120 กาว คำาถามท 1 อตราเรวในการเดนของวทยาตอชวโมงเปนเทาไร

แนวคด ในเวลา 1 นาท วทยาเดนไดระยะทาง 120 x 0.4 เมตร 60 นาท วทยาเดนไดระยะทาง 120 x 0.4 x 60 = 2,880 เมตร ดงนน อตราเรวในการเดนของวทยาเทากบ 2.88 กโลเมตรตอชวโมง

คำาถามท 2 บานของวทยาอยหางจากโรงเรยนประมาณกกโลเมตร

แนวคด ในเวลา 60 นาท วทยาเดนไดระยะทาง 2,880 เมตร 25 นาท วทยาเดนไดระยะทาง

= 1,200 เมตร

ดงนน บานของวทยาอยหางจากโรงเรยนประมาณ 1.2 กโลเมตร

2. พลและกองเปนนกกรฑาของโรงเรยนแหงหนง ในการทดสอบการวงของแตละคน เพอเกบขอมลเปนสถตของตนเอง พบวา พลทดสอบการวงในระยะทาง 7.2 กโลเมตร ใชเวลา 1.5 ชวโมง กองทดสอบการวงในระยะทาง 4.5 กโลเมตร ใชเวลา 1 ชวโมง

คำาถามท 1 ถาให x แทนระยะทาง (เมตร) และ y แทน เวลา (นาท) จงเขยนสมการแสดงอตราเรวโดยเฉลยของแตละคน

แนวคด อตราเรวในการวงของพล เทากบ = 80 ดงนน สมการคอ = 80 อตราเรวในการวงของกอง เทากบ = 75 ดงนน สมการคอ = 75

2,880 x 25_60

7,200_90x_

y

x_y

4,500_60






คำาถามท 2 ถาในการวงแขงขนระยะทางทเทากนครงหนง ใครนาจะถงเสนชยกอนเพราะเหตใด

แนวคด เปรยบเทยบอตราเรวของพลและกองดงน อตราเรวในการวงของพล คอ = 80

หมายความวา พลวงดวยอตราเรวโดยเฉลย 80 เมตรตอนาท

อตราเรวในการวงของกอง คอ = 75

หมายความวา กองวงดวยอตราเรวโดยเฉลย 75 เมตรตอนาท ดงนน พลนาจะถงเสนชยกอนกอง เพราะวาในเวลาเทากนพลวงได ระยะทางมากกวากอง

คำาถามท 3 ถาในการวงแขงขนระยะทาง 3 กโลเมตร ใครจะถงเสนชยกอน และจะถงกอนกนาท

แนวคด เวลาในการวงของพล คอ = 37.5 นาท

เวลาในการวงของกอง คอ = 40 นาท

ดงนน พลนาจะวงถงเสนชยกอนกองเทากบ 40 – 37.5 = 2.5 นาท

คำาถามท 4 ในการวงครงหนง ถาตองการใหทงสองคนถงเสนชยพรอมกน ใครจะตองตอระยะทางใหกบใคร และตอระยะทางใหกเมตร

แนวคด จากคำาถามท 3 ในระยะทางทเทากน พลวงถงเสนชยกอนกอง 2.5 นาท ดงนน พลควรตอระยะทางใหกองในระยะทางทใชเวลาวง 2.5 นาท เนองจาก กองวงดวยอตราเรว 75 เมตรตอนาท ดงนน ในเวลา 2.5 นาท กองวงไดระยะทางเทากบ 2.5 x 75 = 187.5 เมตร นนคอ ถาจะใหทงสองคนวงเขาเสนชยพรอมกน พลตองตอระยะทางให กอง 187.5 เมตร

3,000_80

3,000_75




x_y

x_y



คว�มเรวของรถแขง

กราฟตอไปนแสดงใหเหนการเปลยนแปลงความเรวของรถแขงคนหนง ทวงในสนามแขงทางราบระยะทาง 3 กโลเมตร

คำ�ถ�มท 1: รถแขงระยะทางโดยประมาณจากจดปลอยรถจนถงจดเรมตนของสวนทเปนทางตรงยาวทสดของสนามแขงเปนระยะทางเทาไร 1. 0.5 กโลเมตร 2. 1.5 กโลเมตร 3. 2.3 กโลเมตร 4. 2.6 กโลเมตร

คำ�ถ�มท 2: รถแขงอตราเรวทตำาสดในระยะทสองของรถแขงคนนเกดขน ณ จดไหน 1. ทจดเรมตน 2. ทประมาณกโลเมตรท 0.8 3. ทประมาณกโลเมตรท 1.3 4. ครงรอบสนาม


% ตอบถก82.2075.50N/A

34.60

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : การเปลยนแปลงและความสมพนธแขนงวช� : ฟงกชนสถ�นก�รณ : สวนตว/สวนบคคลสมรรถนะ : -แบบของขอสอบ : เลอกตอบ

คะแนนเตม ตอบ ขอ 2. 1.5 กโลเมตรไมมคะแนน คำาตอบอนๆ

คะแนนเตม ตอบ ขอ 3. ทประมาณกโลเมตร ท 1.3ไมมคะแนน คำาตอบอนๆ


% ตอบถก90.2090.9089.5072.10

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : การเปลยนแปลงและความสมพนธแขนงวช� : ฟงกชนสถ�นก�รณ : สวนตว/สวนบคคลสมรรถนะ : -แบบของขอสอบ : เลอกตอบ




% ตอบถก53.9032.8036.4017.54


% ตอบถก87.9086.9082.0068.30

คำ�ถ�มท 3: รถแขง

อตราเรวของรถแขงระหวางกโลเมตรท 2.6 และกโลเมตรท 2.8 เปนอยางไร1. อตราเรวคงท2. อตราเรวเพมขน3. อตราเรวลดลง4. ไมสามารถบอกอตราเรวไดจากกราฟ

คะแนนเตม ตอบ ขอ 2. อตราเรวเพมขนไมมคะแนน คำาตอบอนๆ

คะแนนเตม ตอบ รป Bไมมคะแนน คำาตอบอนๆ


เนอห� : การเปลยนแปลงและความสมพนธ

แขนงวช� : ฟงกชน




คำ�ถ�มท 4: รถแขง ภาพตอไปน คอ ทางวงของสนามแขงรถหาแบบดวยกนสนามแขงรถททำาใหรถมอตราเรวสอดคลองกบกราฟขางตน สนามแขงควรจะมลกษณะอยางไร


เนอห� : การเปลยนแปลงและความสมพนธ

แขนงวช� : ฟงกชน




S: จดปลอยรถ

SS S

A

B

S S

S

C

D

E






กราฟทกำาหนดใหในสถานการณนแสดงถงความสมพนธของอตราเรวของรถแขง (กโลเมตร/ชวโมง) กบระยะทางทรถแขงวงได (กโลเมตร) ความสมพนธนเกยวของกบสถานการณในชวตจรง นกเรยนควรมสามญสำานกเกยวกบความสมพนธดงกลาวน โดยรวาถาในเวลาคงท (1 หนวยเวลา) รถคนใดแลนดวยอตราเรวทมากกวา กจะไดระยะทางทมากกวา ถารถวงทางตรงจะใชอตราเรวสงและเพมอตราเรวขนไดอยางตอเนองได แตถาวงทางโคงรถจะตองลดอตราเรวลง ยงเปนทางโคงมากอยางทเรยกวา โคงหกศอก รถกตองลดอตราเรวลงอยางมาก เพอใหเกดความปลอดภย นอกจากนแลว นกเรยนควรรจกถงสภาพของทางวงในสนามแขงรถทวไปทมลกษณะเปนเสนโคงปดเชงเดยว (simple closed curve) ซงกลาวถงไวในเนอหาตอนหนงของหนงสอเรยนรายวชาเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 1 ของ สสวท. และรจกการใชอตราเรวของผขบรถแขงในสภาพของทางวงรอบสนาม เชน เมอขบรถเขาทางตรงกใชอตราเรวไดมาก เมอขบเขาทางโคงกลดอตราเรว และเมอขบออกจากทางโคงเขาทางตรงกเพมอตราเรวขนไดอก

นกเรยนจะตองมความรเรองกราฟและความสมพนธของปรมาณสองปรมาณ ซงมการเปลยนแปลงทสมพนธกนระหวางอตราเรวกบระยะทาง นกเรยนจะตองมความสามารถอานและแปลความหมายของกราฟโดยใชการนกภาพไดอยางถกตองวา กราฟทมลกษณะเปนสวนของเสนตรงทขนานกบแกนนอน หรอเปนสวนของเสนตรงทไมขนานกบแกนนอนหรอแกนตง หรอกราฟมลกษณะเปนเสนโคง กราฟในแตละลกษณะมความหมายอยางไร ดงตวอยางการอานและแปลความหมายของกราฟในบางชวงตงแตจดปลอยรถถงระยะทางประมาณกโลเมตรท 1.0 ตอไปน



1. กราฟแสดงการวงของรถแขงในรอบทสองเรมจากจดปลอยรถ กราฟแสดงอตราเรวของรถประมาณ 160 กโลเมตรตอชวโมง และชวงตอมากราฟมลกษณะเปน เสนโคงเอยงลาดลงมาตามแนวดง จนถงอตราเรวประมาณ 90 กโลเมตรตอชวโมง กราฟแสดงการรกษาอตราเรวของรถตอระยะทางทแสดงชวงของระยะทางประมาณ 0.3 - 0.4 กโลเมตร การแปลความหมายกราฟชวงน อธบายไดวา เมอรถคนนวงในรอบทสองมาถงจดปลอยรถใชอตราเรวประมาณ 160 กโลเมตรตอชวโมง ตอจากนนรถคนน กลดอตราเรวลงเรอย ๆ จนถงประมาณ 90 กโลเมตรตอชวโมง แปลความไดวา รถกำาลงเลยวเขาโคงของสนามแขง ตองใชความเรวรถนอยลงจงจะปลอดภย และรกษาอตราเรว 90 กโลเมตรตอชวโมง เปนระยะทางประมาณ 100 เมตร หรอ 0.1 กโลเมตร 2. การพจารณากราฟตอจากขอ 1 ระยะทางประมาณท 0.4 กโลเมตรถง 0.65 กโลเมตร มลกษณะใกลเคยงสวนของเสนตรงทเอยงขนไปทางขวาของแกนนอน แสดงถงการใชอตราเรวของรถเพมขนจากประมาณ 90 กโลเมตรตอชวโมง ไปจนถง 160 กโลเมตรตอชวโมง การแปลความกราฟชวงนอธบายไดวารถกำาลงวงออกจากทางโคงของสนามเขาสทางตรงเปนระยะทางประมาณ 0.25 กโลเมตร เมอพจารณากราฟตอจากชวงนอกประมาณ 0.5 กโลเมตร กราฟเปนสวนหนงของเสนตรงทขนานกบแกนนอนแสดงวารถ คนนใชอตราเรวคงทประมาณ 160 กโลเมตรตอชวโมง ซงแปลความหมายวา รถวงทางตรงของสนามเปนระยะทางประมาณ 500 เมตร เมอพจารณากราฟแสดงการวงของรถแขงครบ 1 รอบสนาม พบวา รถตองวงเขาโคง 3 โคง และวงทางตรงระหวางโคงอก 3 ชวง ใชความรสกเชงปรภมจนตนาการลกษณะของสนามแขงไดเปนรปปดทม 3 ดาน 3 โคงและมดานหนงยาวกวาอกสองดาน



คำาถามท 1 ระยะทางโดยประมาณจากจดปลอยรถจนถงจดเรมตนของสวนทเปน ทางตรงยาวทสดของสนามแขงเปนระยะทางเทาไร

แนวคด จากกราฟจะเหนวา เมอรถวงทางตรงจะใชอตราเรวประมาณ 160 กโลเมตรตอชวโมง เมอถงระยะทางท 1.5 กโลเมตร โดยประมาณ รถใชอตราเรวประมาณ 160 กโลเมตรตอชวโมงอกและแลนตอไปจนถงระยะทางประมาณ 2.3 กโลเมตร ซงเปนระยะทางตรงทยาวทสดของสนาม จงไดคำาตอบตรงกบคำาตอบขอ 2

คำาถามท 2 อตราเรวทตำาทสดในระยะทสองของรถแขงคนนเกดขน ณ จดไหน

แนวคด จากการอานและแปลความหมายกราฟ จะไดคำาตอบตรงกบคำาตอบขอ 3 คอประมาณกโลเมตรท 1.3

คำาถามท 3 อตราเรวของรถแขงระหวางกโลเมตรท 2.6 และกโลเมตรท 2.8 เปนอยางไร

แนวคด จากการอานและแปลความหมายกราฟ จะเหนวา รถแขงเลยวออกจาก ทางโคงของสนามเขาสทางตรงในชวงกโลเมตรท 2.6 ถง 2.8 ซงเหนไดจากกราฟแสดงอตราเรวของรถเพมขน

คำาถามท 4 ภาพตอไปน คอ ทางวงของสนามแขงรถหาแบบดวยกน สนามแขงรถททำาใหรถมอตราเรวสอดคลองกบกราฟขางตน สนามแขงควรจะมลกษณะอยางไร






S: จดปลอยรถ

SS S

A

B

S S

S

C

D

E



แนวคด จะเหนวา คำาถามท 4 เปนคำาถามยอนกลบของสถานการณทกำาหนดมาให จากภาพขางตน จะเหนวา รป A และรป E ไมสอดคลองกบความสมพนธในกราฟทกำาหนดใหอยางชดเจน ดงน รป A มทางวงทรถตองลดอตราเรวตรงทางโคงมากกวา 3 โคง รป E ลกษณะของสนามมชวงโคงมากกวา 3 โคง สำาหรบรป B รป C และรป D มลกษณะของทางตรงและทางโคงโดยรวมสอดคลองกบกราฟ แตรป C และ รป D ยงมรายละเอยดของลกษณะทไมสอดคลอง ดงน รป C มลกษณะไมสอดคลองกบกราฟเพราะมสวนของเสนตรงทแสดงถงระยะทางตรงยาวเกอบเทากนทงสามชวง และรป D มลกษณะไมสอดคลองกบกราฟ เพราะจากกราฟ ทางโคงแรกจากจดปลอยรถตองโคงนอยกวาโคงทสอง สรปไดวา รป B เปนรปทมลกษณะสอดคลองกบกราฟมากทสด

1. ครอาจใชคำาถามใหนกเรยนอานและแปลความหมายกราฟเพมเตม เพอใหนกเรยนใหเหตผลทยอมรบไดวามความสมเหตสมผล เชน 1) จากกราฟ ทจดปลอยรถ รถคนนใชอตราเรวกกโลเมตรตอชวโมง 2) เปนไปไดหรอไมทรถจะเรมตนดวยอตราเรวเทาทปรากฏในกราฟ ถาเปนไปไมได เหตผลทนาจะทำาใหกราฟมลกษณะเปนดงทโจทยกำาหนด เปนอยางไร คำาถามสองขอนถามเพอใหนกเรยนสงเกตไดวา กราฟทกำาหนดเปนกราฟของการวงของรถแขงในรอบทสอง ตำาแหนงของจดปลอยรถจงแสดงอตราเรวท 160 กโลเมตรตอชวโมงได ถาโจทยไมกำาหนดวาเปนการวงแขงในรอบทสอง อตราเรวเรมตนท 160 กโลเมตรตอชวโมง กเปนไปไมได เพราะตอนเรมตนวงรถจะตองอยกบท (มอตราเรวเปนศนย) แลวคอย ๆ เพมอตราเรวขนไปอยางตอเนอง 2. มขอสงเกตวานกเรยนไทยตอบคำาถามท 4 ไดถกตองเปนสวนนอยมาก คอประมาณ 18 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ และนกเรยนของประเทศอนๆ ตามทระบมา กมเปอรเซนตของจำานวนนกเรยนทตอบถกนอยกวาในคำาถามท 1 ถงคำาถาม ท 3 สนนษฐานไดวาคำาถามท 1 ถงคำาถามท 3 เปนการหาคำาตอบจากการอานกราฟโดยตรง แตคำาถามท 4 เปนสถานการณทนกเรยนไมคนเคยกบการเชอมโยงขอมลจากกราฟมาแปลความหมายใหอยในรปเรขาคณตสองมต ซงนกเรยนจะตองมความเขาใจถงธรรมชาตในการขบรถบนเสนทางตรงกบเสนทางโคงวาการขบรถเขาโคงเพอไมใหรถวงออกนอกโคง จะตองลดอตราเรวของรถใหนอยลง ใหรถวงอยางชา ๆ เพอสามารถประคองรถใหอยในเสนทางได นอกจากนนกเรยนจะตองใชความรสกเชงปรภมในการจนตนาการ และการ




นกภาพถงลกษณะของสนามแขงรถทสอดคลองกบลกษณะของกราฟวามความใกลเคยงกบแบบจำาลองทางเรขาคณตใด โดยในสถานการณนนกเรยนนาจะบอกไดวาสนามแขงตองม 3 โคง สอดคลองกบกราฟทมการลดอตราเรวของรถ 3 ครง และโคงชวงใดนาจะมความโคงมากทสด โดยอาศยความรสกเชงปรภมวเคราะหขอมลระหวางกราฟกบแบบจำาลองทางเรขาคณตสองมตนน 3. ครอาจเพมทกษะในเรองการอานและการแปลความหมายกราฟ โดยนำากราฟทมอยในหนงสอเรยนหรอในวารสารตางๆ มาปรบใชใหเหมาะสมกบความรและสถานการณแวดลอมของนกเรยน โดยเนนเกยวกบการอานและการแปลความหมายทสอดคลองกบเรองราวหรอสถานการณในยคปจจบนและกลบกน ดงตวอยางสถานการณตอไปน

สถ�นก�รณท 1 กราฟตอไปนแสดงการเคลอนทของรถยนตคนหนงในชวงเวลา a ชวโมง

คำาถามท 1 จงแสดงวาระยะทางทรถยนตคนนเคลอนทไดแทนไดดวยพนทของรปสเหลยม OABCแนวคด จากกราฟขางตนแสดงวารถยนตคนนขบรถจากจดเรมตนและเพมอตราเรวอยางสมำาเสมอตอไปเปนเวลา c ชวโมงจนถงอตราเรว b กโลเมตรตอชวโมง จากนนกขบรถยนตดวยอตราเรวคงท b กโลเมตรตอชวโมงตอไปอก d ชวโมง จะหาระยะทางทรถยนตเคลอนทไดดงน 1) จะไดระยะทางในเวลาชวง c ชวโมงแรกเทากบ x c x bซงเทากบพนทของรปสามเหลยม OAD

1_2




สถ�นก�รณท 2 (เปนขอสอบ PISA ป ค.ศ. 2006)

ขบรถ เชาวนหนง นำาฝนออกไปขบรถเลน ระหวางทางแมวตวหนงวงตดหนารถ นำาฝนตองเหยยบเบรคอยางกะทนหนเพอไมใหชนแมว นำาฝนตกใจมากจนมอสน จงตดสนใจขบรถกลบบาน กราฟตอไปนแสดงการบนทกอตราเรวของรถอยางคราว ๆ

คำาถามท 1 อตราเรวสงสดทนำาฝนขบในเชาวนนนเปนเทาไรแนวคด อานจากกราฟตามแนวตง จะไดวาอตราเรวสงสดเทากบ 60 กโลเมตร ตอชวโมง

คำาถามท 2 เมอนำาฝนเรมเหยยบเบรคเพอไมใหชนแมว ขณะนนเปนเวลาเทาใด

แนวคด อานจากกราฟตามแนวนอน จะไดวาเปนเวลา 9.06 น. หรอเกาโมงหกนาท

คำาถามท 3 สามารถบอกไดหรอไมวา เสนทางทนำาฝนขบรถกลบบานสนกวาเสนทางท

เธอออกจากบานถงจดทจะชนแมว จงใชขอมลจากกราฟอธบายเพอ

สนบสนนคำาตอบของนกเรยน




2) จะไดระยะทางในเวลาชวง d ชวโมงตอไปเทากบ d x b กโลเมตรซงเทากบพนทของรปสเหลยม ABCD จาก 1) และ 2) รถยนตเคลอนทไดในเวลา a ชวโมง เทากบ

+ (d x b) = b ซงเทากบพนทของรปสเหลยม OABC

ดงนน ระยะทางทรถยนตคนนเคลอนทไดแทนไดดวยพนทของรปสเหลยม OABC

1_2 x c x b

c_

2 + d



แนวคด 1 สามารถบอกได อธบายไดดงน

1) หาระยะทางทนำาฝนขบรถออกจากบานถงจดทจะชนแมวได ดงน

จากเวลา 9.00 น. – 9.01 น. เปนเวลา ชวโมง ใชอตราเรวเฉลย

เทากบ = 6 กโลเมตรตอชวโมง

ไดระยะทาง x 6 = 0.1 กโลเมตร


เทากบ = 36 กโลเมตรตอชวโมง


จากเวลา 9.02 น. – 9.06 น. เปนเวลา ชวโมง ใชอตราเรว

60 กโลเมตรตอชวโมง ไดระยะทาง x 60 = 4 กโลเมตร

ดงนน ระยะทางจากบานถงจดทจะชนแมวเทากบ

0.1 + 0.6 + 4 = 4.7 กโลเมตร

2) หาระยะทางจากจดทจะชนแมว และขบรถกลบถงบานไดดงน


ประมาณ = 24 กโลเมตรตอชวโมง


จากเวลา 9.08 น. – 9.11 น. เปนเวลา ชวโมง ใชอตราเรว

36 กโลเมตรตอชวโมง ไดระยะทาง x 36 = 1.8 กโลเมตร


= 18 กโลเมตรตอชวโมง ไดระยะทาง x 18 = 0.3 กโลเมตร

1_60

1_60

1_60

1_60

0 + 12_2

12 + 60_2

4_60

4_60

2_60

2_60

3_60

3_60

1_60

1_60

12 + 36_2

36 + 0_2



ดงนน ระยะทางจากจดทจะชนแมวถงบานเทากบ

0.8 + 1.8 + 0.3 = 2.9 กโลเมตร

นนคอ เสนทางทนำาฝนขบรถกลบบานคอ 2.9 กโลเมตร สนกวาเสนทาง

ทเธอออกจากบานถงจดทจะชนแมว คอ 4.7 กโลเมตร


เมอพจารณากราฟ จะพบวา เวลาทนำาฝนขบรถออกจากบานถงเวลาทเธอ

เบรคเพอไมใหชนแมว ใชเวลาเกอบเทากบเวลาทเธอขบรถกลบบานหลงจากทเธอเบรค

เพอไมใหชนแมว คอประมาณ 6 นาทเทากน ในขณะทชวงแรกของการขบรถนำาฝนใช

อตราเรวโดยเฉลยสงกวาการขบรถในชวงทสองคอนขางมาก จงประมาณไดวา เสนทางท

นำาฝนขบรถกลบบานสนกวาเสนทางทเธอออกจากบาน ถงจดทเธอเบรคเพอไมใหชนแมว


เมอพจารณาพนทใตกราฟโดยใชความรสกเชงปรภม จะพบวาพนทใตกราฟ

ตงแตเวลา 9.00 น. ถง 9.06 น. มากกวาพนทใตกราฟตงแตเวลา 9.06 น. ถง 9.12 น.

กลาวคอประมาณ 23.5 ตารางหนวย กบ 14.5 ตารางหนวย ตามลำาดบ โดยหนงตาราง

หนวยจะเปนตวแทนของผลคณระหวางเวลาหนงนาทกบอตราเรว 12 กโลเมตรตอชวโมง

หรอหนงตารางหนวย แทน x 12 = 0.2 กโลเมตร ซงสามารถสรปไดวา ถามพนท

ใตกราฟมากกวากจะมระยะทางมากกวาตามไปดวย โดยมอตราสวน 1 ตารางหนวยตอ

0.2 กโลเมตร

ดงนน เสนทางทนำาฝนขบรถกลบบานสนกวาเสนทางทเธอออกจากบานถง

จดทจะชนแมว

1_60




ยอมรบเสนทอยใตเสนสองเสนทใหมา แตเสนนนตองอยใกลเสนทแสดงถง “คนทเดนบนพน” มากกวาเสนแกนนอน

ท�งเลอน

ทางขวาเปนรปของทางลอน

กราฟความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาตอไปน

แสดงการเปรยบเทยบระหวาง “การเดนบนทางเลอน”

กบ “การเดนบนพนทอยขางทางเลอน”

คำ�ถ�มท 1 : ท�งเลอน ตามกราฟขางบน ถาถอวาคนทงสองคนมระยะกาวเทา ๆ กน จงเขยนเสนเพมลงในกราฟ ขางบนแสดงระยะทางกบเวลาของคนทยนนง ๆ อยบนทางเลอน

ลกษณะเฉพ�ะของขอสอบเนอห� : การเปลยนแปลงและความสมพนธแขนงวช� : -สถ�นก�รณ : ในเชงวทยาศาสตรสมรรถนะ : การสะทอน และสอสารทาง คณตศาสตรแบบของขอสอบ : สรางคำาตอบแบบอสระ



% ตอบถก46.7845.5148.4637.3116.54






โจทยแสดงรปทางเลอน และกราฟเสนแสดงความสมพนธระหวางระยะทางจาก จดเร มตนของทางเล อนกบเวลา มา 2 เสน โดยเสนหน งแสดงความสมพนธระหวางระยะทางจากจดเรมตนของทางเลอนกบเวลาทคนเดนบนทางเลอน อกเสนหนงแสดงความสมพนธระหวางระยะทางจากจดเรมตนของทางเลอนกบเวลาทคนเดนบนพนทอยขางทางเลอน เพอแสดงการเปรยบเทยบระหวาง “การเดนบนทางเลอน” กบ “การเดนบนพนทอยขางทางเลอน” จากสถานการณโจทย มสงทนกเรยนสงเกตไดจากกราฟทใหมาคอ ในระยะเวลาทเทากน คนทเดนบนทางเลอนเคลอนทไดระยะทางมากกวาคนทเดนบนพนทอยขางทางเลอน เมอโจทยใหเงอนไขวา คนทเดนบนทางเลอนและคนทเดนบนพนทอยขางทางเลอนมระยะกาวเทา ๆ กน แสดงวาระยะทางทคนเดนบนทางเลอนเคลอนทไดมากกวาคนทเดนบนพนทอยขางทางเลอน คอระยะทไดจากการเคลอนทของทางเลอนในระยะเวลานน

ความรทนกเรยนจะตองใชในการตอบคำาถาม คอ 1. การใชกราฟแสดงความสมพนธระหวางปรมาณในสถานการณตางๆ รวมถง การแปลความหมายและนำาไปใชแกปญหา 2. การเขยนกราฟแสดงความสมพนธระหวางปรมาณในสถานการณทกำาหนดให 3. ความรสกเชงจำานวนและความรสกเชงปรภม ในการแกโจทยปญหาขอน นอกจากความรทางคณตศาสตรทเกยวของแลว นกเรยนจะตองมทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรในการวเคราะหเปรยบเทยบกราฟทแสดงอตราเรวทแตกตางกนโดยเสนกราฟทแสดงอตราเรวทมากกวาจะอยเหนอเสนกราฟทแสดงอตราเรวนอยกวา



คำาถามท 1 ตามกราฟขางบน ถาถอวาคนทงสองมระยะกาวเทา ๆ กน จงเขยนเสนเพมลงในกราฟขางบนแสดงระยะทางกบเวลาของคนทยนนง ๆ อยบนทางเลอน

แนวคด จากกราฟความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาทกำาหนดใหในสถานการณโจทยแสดงใหเหนวาในระยะเวลาทเทากน คนทเดนบนทางเลอนจะไดระยะทางการเคลอนทจากจดเรมตนของทางเลอนมากกวาคนทเดนบนพนขางทางเลอน ถาคนทงสองมระยะกาวเทา ๆ กน ระยะทางทคนเดนบนทางเลอนเคลอนทไดมากกวาคนทเดนบนพนขางทางเลอนยอมไดมาจากการเคลอนทของทางเลอน ซงคนทยนนง ๆ บนทางเลอนกจะเคลอนทไดเทากบระยะทางในการเคลอนทของทางเลอนนนเอง เมอคำาถามตองการใหเขยนเสนเพมลงในกราฟเพอแสดงความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาของคนทยน นง ๆ บนทางเลอนจงทำาไดดงน 1. กำาหนดจด T (t, 0) แสดงเวลา t นาท ณ จดใดจดหนงบนแกนนอนของกราฟ(แกนทแสดงเวลา) 2. จากจด T (t, 0) ลากเสนขนานกบแกนตง (แกนทแสดงระยะทางจากจดเรมตนของทางเลอน) ใหตดเสนกราฟ “คนทเดนบนทางเลอน” ทจด A (t, a) และตดเสนกราฟ “คนทเดนบนพน” ทจด B (t, b) โดย a > b > 0 ดงรป



ระยะทางจากจดเรมตนของทางเลอน

คนทเดนบนทางเลอน

คนทเดนบนพน

คนทยนนง ๆ อยบนทางเลอน

T (t, 0)o

A(t, a)

(t, b)B

C (t, a - b)

เวลา



ดงนน ในระยะเวลา t จะได TA คอระยะทางทคนเดนบนทางเลอนเคลอนทไดจากจดเรมตนของ ทางเลอน ณ เวลา t นาท TB คอระยะทคนเดนบนพนทอยขางทางเลอนเคลอนทไดจากจด เรมตนของทางเลอน ณ เวลา t นาท ถาคนทเดนบนทางเลอนและคนทเดนบนพนทอยขางทางเลอนมระยะกาวเทา ๆ กน แสดงวา AB ซงเปนผลตางระหวาง TA กบ TB คอระยะทางทคนยนบนทางเลอนเคลอนทไดจากจดเรมตนของทางเลอนในเวลา t นาท 3. เมอตองการเขยนกราฟแสดงความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาของคนทยนนง ๆ อยบนทางเลอน และทราบวา ณ เวลา t นาท คนทยนนง ๆ อยบนทางเลอนจะเคลอนทไปไดเปนระยะทาง a – b จงกำาหนดจด C (t, a – b) บน TA ททำาให TC = AB 4. ให O แทนจดเรมตน ลาก OC จะได OC เปนกราฟแสดงความสมพนธระหวางระยะทางของคนทยนนง ๆ อยบนทางเลอนเคลอนทไดกบเวลา ในกรณน จะสงเกตเหนวา “การเดนบนทางเลอนทกำาลงเคลอนไปจะมอตราการเคลอนทมากกวาการเดนบนพนทอยขางทางเลอน ในขณะทการเดนบนพนทอยขางทางเลอนจะมอตราการเคลอนทมากกวาการยนนง ๆ อยบนทางเลอนทกำาลงเคลอนทไป” ซงสงเกตไดจากกราฟวา AB < TB ดงนน TC < TB นนคอ OC อยใต OB และ OB อยใต OA 5. ในทางปฏบต นกเรยนสามารถใชการวเคราะหและกำาหนด OC ไดตามแนวของคำาตอบทเฉลยไว คอ ยอมรบเสนทอยใตสองเสนทใหมา แตเสนนนตองอยใกลเสนทแสดงถง “คนทเดนบนพน” มากกวาเสนแกนนอน ซงไมจำาเปนตองแสดงวธเขยนกราฟอยางทแสดงไวขางตน คำาตอบตองการเพยงความเขาใจเกยวกบความสมพนธของอตราการเคลอนทของคนทเดนบนทางเลอน คนทเดนบนพนทอยขางทางเลอน และคนทยนนง ๆ อยบนทางเลอน




1. การมประสบการณในการใชทางเลอน จะชวยใหเขาใจไดโดยงายวา สำาหรบคนทมระยะกาวเทา ๆ กนและใชเวลาในการเดนเทากน คนทเดนบนทางเลอนจะเคลอนทไดระยะทางจากจดเรมตนมากกวาคนทเดนบนพนขางทางเลอน โดยระยะทางทเคลอนทไดมากกวานนเปนระยะทางทไดจากการเคลอนทของทางเลอน ซงกคอระยะทางทคนยนนง ๆ อยบนทางเลอนเคลอนทไดในชวงเวลาทเทากน สำาหรบนกเรยนทไมมประสบการณเกยวกบการใชทางเลอน อาจเปรยบเทยบใหเหนความสมพนธดงกลาวไดจากสถานการณเรองการพายเรอตามนำา และการพายเรอในนำานง ถาคนสองคนมความสามารถในการพายเรอในนำานงไดระยะทางเทากน เมอพายเรอในระยะเวลาทเทากน คนทพายเรอตามนำาจะไดระยะทางการเคลอนทของเรอมากกวาคนทพายเรอในนำานง ซงระยะทางทเรอเคลอนทไดมากกวานนเกดจากการเคลอนทของกระแสนำาทเรยกกนวา “อตราเรวของกระแสนำา” ซงกคอระยะทางทเรอเคลอนทตามนำาในระยะเวลาหนงโดยคนทนงบนเรอไมไดพาย สำาหรบสถานการณเกยวกบการพายเรอและกระแสนำามตวอยางอยในหนงสอเรยนรายวชาเพมเตมคณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 3 ทพฒนาโดย สสวท. เรองโจทยปญหาเกยวกบเศษสวนของพหนาม 2. นกเรยนไทยตอบคำาถามไดถกตองเพยง 16.54 เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนไทยทเขาสอบ นกเรยนจากประเทศจน ญปน และเกาหล กตอบคำาถามไดถกตองไมถง 50เปอรเซนตของจำานวนนกเรยนแตละชาตทเขาสอบ สนนษฐานวานกเรยนสวนใหญทกชาตไมสามารถวเคราะหไดวา เสนกราฟทตองการลากควรเปนอยางไร จะตองมตำาแหนงอยประมาณเทาใด ทงนอาจเปนเพราะนกเรยนหลายคนไมมประสบการณในการใชทางเลอนทำาใหไมสามารถประยกตใชความรทางคณตศาสตรในการอานกราฟและเชอมโยงไดวา ณ เวลา t ใด ๆ ระยะหางตามแนวแกนตงระหวางเสนกราฟของ “คนทเดนบนทางเลอน”กบเสนกราฟของ “คนทเดนบนพน” คอ ระยะทางทคนทยนนง ๆ อยบนทางเลอนเคลอนทไดจากจดเรมตนของทางเลอนในเวลา t นาท และเมอสงเกตจากกราฟ จะเหนวา ระยะหางตามแนวแกนตงระหวางเสนกราฟทงสองนอยกวาระยะหางระหวางเสนกราฟ “คนทเดนบนพน” กบแกนนอน แตจะนอยกวากนไมมากนก เสนกราฟทเปนคำาตอบจงเปนเสนทอยใตเสนสองเสนทใหมาและอยใกลเสนทแสดงถง “คนทเดนบนพน” มากกวาเสนแกนนอน 3. เพอใหงายตอการอธบายถงความสมพนธระหวางอตราการเคลอนทของคนทเดนบนทางเลอน คนทเดนบนพนทอยขางทางเลอนและคนทยนนง ๆ อยบนทางเลอน



ครผสอนอาจใชขอมลเกยวกบอตราการเคลอนทของทางเลอน เชน 3 เมตร/นาท และอตราเรวในการเดนของคนทวไปคอ 5 เมตร/นาท สรางคำาถามทนำาไปสความสมพนธดงกลาว และใชเปนคำาถามในหองเรยน ดงตวอยาง ถา กำาหนดใหอตราการเคลอนทของทางเลอน คอ 3 เมตร/นาท และอตราเรวในการเดนของคน คอ 5 เมตร/นาท ใหนกเรยนตอบคำาถามตอไปน 1. คนทยนนง ๆ อยบนทางเลอนจะมอตราการเคลอนทเปนเทาใด [3 เมตร/นาท] 2. คนทเดนบนทางเลอนจะมอตราการเคลอนทเปนเทาใด [8 เมตร/นาท] 3. ในเวลา 3 นาท และ t นาท คนทยนนง ๆ อยบนทางเลอนจะเคลอนทไดระยะทางเทาใด [9 เมตร และ 3t เมตร ตามลำาดบ] 4. ในเวลา 3 นาท และ t นาท คนทเดนบนทางเลอนจะเคลอนทไดระยะทางเทาใด [24 เมตร และ 8t เมตร ตามลำาดบ] 5. ในเวลา 3 นาท และ t นาท คนทเดนบนพนทอยขางทางเลอนจะเคลอนทไดระยะทางเทาใด [15 เมตร และ 5t เมตร ตามลำาดบ] 6. เมออตราการเคลอนทของคนทยนนง ๆ อยบนทางเลอนเปน 3 เมตร/นาทถา S1 แทนระยะทางการเคลอนทเปนเมตรของคนทยนนง ๆ อยบนทางเลอนในระยะเวลา t นาท S1 และ t มความสมพนธกนอยางไร และมกราฟของความสมพนธเปนอยางไร เพราะเหตใด [S1 = 3t และเปนกราฟเสนตรง เพราะความสมพนธระหวาง S1 และ t เปนสมการเชงเสนสองตวแปร]

ในกรณทนกเรยนไมสามารถหาความสมพนธระหวาง S1 และ t ไดครผสอนควรใหนกเรยนยอนกลบไปดคำาตอบของคำาถามขอ 3 และใชคำาถามเชอมโยงไปยงความรเกยวกบอตราเรว ซงมสตรในการหา คอ อตราเรว = หรอ ระยะทาง = อตราเรว x เวลา จะได S1 = 3t

ระยะทาง_เวลา



ถาหาความสมพนธระหวาง S1 และ t ไดแลวแตไมทราบวากราฟของความสมพนธเปนอยางไร กใหนกเรยนลองเขยนกราฟของความสมพนธด ซงนกเรยนอาจจะตอบคำาถามทเหลอวากราฟของความสมพนธเปนเสนตรง เพราะเขยนกราฟของความสมพนธแลวได เสนตรง กเปนคำาตอบทยอมรบได แตควรจะถามคำาถามใหเชอมโยงไปสเรองกราฟของสมการเชงเสนสองตวแปร ซงนกเรยนเคยเรยนมาแลว เพอใหนกเรยนใชเปนเหตผลในการตอบวา กราฟของสมการเชงเสนสองตวแปรเปนเสนตรงโดยไมตองเขยนกราฟ 7. เมออตราการเคลอนทของคนทเดนบนทางเลอนเปน 8 เมตร/นาท ถา S2 แทนระยะทางการเคลอนทเปนเมตรของคนทเดนบนทางเลอนในระยะเวลา t นาท S2 และ t มความสมพนธกนอยางไร และมกราฟของความสมพนธเปนอยางไร เพราะเหตใด [ S2 = 8t และเปนกราฟเสนตรง เพราะความสมพนธระหวาง S2 และ t เปนสมการเชงเสนสองตวแปร ] 8. เมออตราการเคลอนทของคนทเดนบนพนทอยขางทางเลอนเปน 5 เมตร/นาท ถา S3 แทนระยะทางการเคลอนทเปนเมตรของคนทเดนบนพนทอยขางทางเลอนในระยะเวลา t นาท S3 และ t มความสมพนธกนอยางไร และมกราฟของความสมพนธเปนอยางไร เพราะเหตใด [ S3 = 5t และเปนกราฟเสนตรง เพราะความสมพนธระหวาง S3 และ t เปนสมการเชงเสนสองตวแปร ] การตอบคำาถามทง 8 ขอเปนตวอยางการวเคราะหสถานการณโจทยขางตนในลกษณะยอนกลบ เพราะกราฟของความสมพนธในขอ 7 และ 8 คอกราฟความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาทแสดงการเปรยบเทยบ “การเดนบนทางเลอน” กบ“การเดนบนพนทอยขางทางเลอน” ซงกำาหนดใหในโจทย สวนกราฟในขอ 6 คอ กราฟแสดงความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาของ “คนทยนนง ๆ อยบนทางเลอน” ทโจทยตองการใหเขยนเสนเพมลงในกราฟทโจทยกำาหนดให การเชอมโยงความรจากการตอบคำาถามไปสสถานการณโจทยจะชวยใหนกเรยนเกดความเขาใจถงความสมพนธระหวางอตราการเคลอนทของคนทเดนบนทางเลอน คนทเดนบนพนทอยขางทางเลอน และคนทยนนง ๆ อยบนทางเลอน ซงเปนพนฐานสำาคญในการตอบคำาถามขอน เพอตรวจสอบความเขาใจของนกเรยนในเรองกราฟของความสมพนธระหวาง ระยะทางกบเวลา ทแสดงการเปรยบเทยบระหวางอตราเรวทมความเกยวของเชอมโยงกน



212

ตามกราฟขางบน คาถามท 1 จงเขยนเสนเพมลงในกราฟขางบนแสดงความสมพนธระหวางระยะทาง กบเวลาของการพายเรอในนานง

คาถามท 2 จงเขยนเสนเพมในกราฟขางบนแสดงความสมพนธระหวางระยะทางกบ เวลาของเรอทลอยตามนาโดยคนทนงบนเรอไมไดพาย

แนวคดในการแกโจทยปญหา คาถามท 1 เนองจาก อตราเรวของเรอทพายในนานง + อตราเรวของกระแสนา = อตราเรวของเรอทพายตามนา และ อตราเรวของเรอทพายในนานง – อตราเรวของกระแสนา = อตราเรวของเรอทพายทวนนา จะได อตราเรวของเรอทพายในนานง = อตราเรวของเรอทพายตามนา – อตราเรวของกระแสนา หรอ อตราเรวของเรอทพายในนานง = อตราเรวของเรอทพายทวนนา + อตราเรวของกระแสนา และ 2 อตราเรวของกระแสนา = อตราเรวของเรอทพายตามนา – อตราเรวของเรอทพายทวนนา

หรอ อตราเรวของกระแสนา = 2

ายทวนนาองเรอทพอตราเรวข ายตามนาองเรอทพอตราเรวข −

ดงนน เสนกราฟทแสดงความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาของ

ระยะทางจากจดเรมตน ของการพายเรอ

เรอทพายตามนา

เวลา O

เรอทพายทวนนา

ในลกษณะตาง ๆ คลายกบเรองทางเลอนขางตน ครผสอนอาจใชสถานการณเรอง การพายเรอ มาใหนกเรยนไดฝกวเคราะหความสมพนธดงกลาว เชน

สถ�นก�รณโจทย ในการพายเรอ เราทราบวามอตราเรวของกระแสนำาทชวยใหเรอแลนไดเรวขนเมอพายเรอตามนำา เพราะกระแสนำาชวยเพมอตราเรวใหเรอ แตถาพายเรอทวนนำา เรอจะแลนไดชาลงเพราะกระแสนำาตานเรอ จงมขอสรปทเปนตวแบบเชงคณตศาสตร วา อตราเรวของเรอทพายตามนำา เทากบ อตราเรวของเรอทพายในนำานง + อตราเรว ของกระแสนำา อตราเรวของเรอทพายทวนนำา เทากบ อตราเรวของเรอทพายในนำานง – อตราเรว ของกระแสนำา ตวอยางกราฟความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาตอไปน แสดงการเปรยบเทยบระหวาง “การพายเรอตามนำา” กบ “การพายเรอทวนนำา”ของคนสองคนทพายเรอในลำานำาและเวลาเดยวกน ดวยอตราเรวของการพายในนำานงเทากน

จงเขยนเสนเพมลงในกราฟขางบนแสดงความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาของการพายเรอในนำานง

จงเขยนเสนเพมในกราฟขางบนแสดงความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาของเรอทลอยตามนำาโดยคนทนงบนเรอไมไดพาย





213

การพายเรอในนานง จงอยระหวางเสนกราฟ “เรอทพายตามนา” กบ “เรอทพายทวนนา” โดยมระยะหางตามแนวแกนตงจากเสนกราฟทงสองเทากน และมวธหาตาแหนงของเสนกราฟทเปนคาตอบดงน 1. กาหนดจด T ณ จดใดจดหนงบนแกนนอน 2. จากจด T ลากเสนขนานกบแกนตงตดเสนกราฟ “เรอทพายตามนา” ทจด A และตดเสนกราฟ “เรอทพายทวนนา” ทจด B ดงรป

3. แบงครง AB ท C

4. ให 0 เปนจดเรมตน ลาก 0C

จะได 0C คอ เสนกราฟแสดงความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาของการพายเรอในนานง

คาถามท 2 เนองจาก อตราเรวของเรอทลอยตามนาโดยคนทนงบนเรอไมไดพาย คอ อตราเรวของกระแสนา และจากแนวคดในการหาคาตอบของคาถามท 1 ทไดขอสรปวา

อตราเรวของกระแสนา = 2

ายทวนนาองเรอทพอตราเรวข ายตามนาองเรอทพอตราเรวข −

ดงนน เสนกราฟทแสดงความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาของ เรอทลอยตามนาโดยคนทนงบนเรอไมไดพาย จงมระยะหางจากแกนนอนตามแนวแกนตง

ระยะทางจากจดเรมตน

เรอทพายตามนา

เรอทพายในนานง

เวลา T

B

A

O

C เรอทพายทวนนา

D เรอทลอยตามนา


คำาถามท 1 เนองจาก อตราเรวของเรอทพายในนำานง + อตราเรวของกระแสนำา = อตราเรวของเรอทพายตามนำาและ อตราเรวของเรอทพายในนำานง - อตราเรวของกระแสนำา = อตราเรวของเรอทพายทวนนำาจะได อตราเรวของเรอทพายในนำานง = อตราเรวของเรอทพายตามนำา - อตราเรวของกระแสนำาหรอ อตราเรวของเรอทพายในนำานง = อตราเรวของเรอทพายทวนนำา + อตราเรวของกระแสนำาและ 2 อตราเรวของกระแสนำา = อตราเรวของเรอทพายตามนำา - อตราเรวของเรอทพายทวนนำา

หรอ อตราเรวของกระแสนำา =

ดงนน เสนกราฟทแสดงความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาของการพายเรอในนำานง จงอยระหวางเสนกราฟ “เรอทพายตามนำา” กบ “เรอทพายทวนนำา” โดยมระยะหางตามแนวแกนตงจากเสนกราฟทงสองเทากน และมวธหาตำาแหนงของเสนกราฟทเปนคำาตอบดงน 1. กำาหนดจด T ณ จดใดจดหนงบนแกนนอน 2. จากจด T ลากเสนขนานกบแกนตงตดเสนกราฟ “เรอทพายตามนำา” ทจด A และตดเสนกราฟ “เรอทพายทวนนำา” ทจด B ดงรป


อตราเรวของเรอทพายตามนำา - อตราเรวของเรอทพายทวนนำา2

3. แบงครง AB ท C 4. ให O เปนจดเรมตน ลาก OC จะได OC คอ เสนกราฟแสดงความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาของการพายเรอในนำานง



คำาถามท 2 เนองจาก อตราเรวของเรอทลอยตามนำาโดยคนทนงบนเรอไมไดพายคอ อตราเรวของกระแสนำาและจากแนวคดในการหาคำาตอบของคำาถามท 1 ทไดขอสรปวา

อตราเรวของกระแสนำา = ดงนน เสนกราฟทแสดงความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาของเรอทลอยตามนำาโดยคนทนงบนเรอไมไดพาย จงมระยะหางจากแกนนอนตามแนวแกนตงเปนครงหนงของระยะหางตามแนวแกนตงระหวางเสนกราฟ “เรอทพายตามนำา” กบ “เรอทพายทวนนำา”และมวธหาตำาแหนงของเสนกราฟทเปนคำาตอบ ดงน กำาหนดจด D บน TA ททำาให DT = AC ลาก OD จะได OD คอ เสนกราฟแสดงความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาของเรอทลอยตามนำาโดยคนทนงบนเรอไมไดพาย

สำาหรบคำาตอบของนกเรยน อาจไมไดแสดงวธหาตำาแหนงของเสนกราฟทเปนคำาตอบของคำาถามท 1 และคำาถามท 2 ตามแนวคดในการแกโจทยปญหา ถานกเรยนลากเสนกราฟไดใกลเคยงกบเสนกราฟทถกตองกเปนคำาตอบทยอมรบได เพราะแสดงวานกเรยนมความเขาใจถงความสมพนธระหวางเสนกราฟทง 4 เสน แตครควรถามถงเหตผลคราว ๆ ทนกเรยนใชในการเขยนเสนกราฟดงกลาวเพอตรวจสอบความเขาใจของนกเรยน สำาหรบสถานการณโจทยเรองการพายเรอ ดงขางตน โจทยจะกำาหนดกราฟของความสมพนธสองเสนใด กจะสามารถวเคราะหหากราฟของความสมพนธอกสองเสนทเหลอได ในกรณทครผสอนเหนวา นกเรยนยงไมเขาใจชดเจนเกยวกบแนวคดทใชในการแกโจทยปญหาขางตน อาจใหนกเรยนไดฝกเขยนกราฟของความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาในเรองการพายเรอ จากสถานการณตอไปน ถาอตราเรวของการพายเรอในนำานงคอ a กโลเมตร/ชวโมง และ อตราเรวของ กระแสนำาคอ b กโลเมตร/ชวโมง โดยท a > b > 0

จงเขยนกราฟของความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาของเรอทพายในนำานง เรอทพายตามนำา เรอทพายทวนนำา และเรอทลอยตามนำาโดยคนทนงบนเรอไมไดพาย บนแกนคเดยวกน

แนวคดในก�รเขยนกร�ฟ ให S1, S2, S3 และ S4 แทนระยะทางเปนกโลเมตรทเรอเคลอนทไดในเวลา t ชวโมง สำาหรบเรอทพายในนำานง เรอทพายตามนำา เรอทพายทวนนำา และเรอทลอยตามนำา โดยคนทนงบนเรอไมไดพายตามลำาดบ

จะไดความสมพนธทเปนตวแบบเชงคณตศาสตร คอ S1 = at S2 = (a + b)t S3 = (a – b)t และ S4 = bt


อตราเรวของเรอทพายตามนำา - อตราเรวของเรอทพายทวนนำา2



215

แนวคดในการเขยนกราฟ ให S1, S2, S3 และ S4 แทนระยะทางเปนกโลเมตรทเรอเคลอนทไดในเวลา t ชวโมง สาหรบเรอทพายในนานง เรอทพายตามนา เรอทพายทวนนา และเรอทลอยตามนาโดยคนทนงบนเรอไมไดพายตามลาดบ จะไดความสมพนธทเปนตวแบบเชงคณตศาสตร คอ S1 = at S2 = (a + b)t S3 = (a – b)t และ S4 = bt เขยนตารางแสดงความสมพนธขางตนเพอนาไปเขยนกราฟเสนตรง ไดดงน

t 0 1 2

S1 0 a 2a

S2 0 a + b 2(a + b)

S3 0 a – b 2(a – b)

S4 0 b 2b

เขยนตารางแสดงความสมพนธขางตนเพอนำาไปเขยนกราฟเสนตรง ไดดงน

จะเหนวากราฟทไดมลกษณะของความสมพนธระหวางเสนกราฟทง 4 เสนเชนเดยวกบกราฟของสถานการณโจทยขางตน

เขยนกราฟจากตารางความสมพนธไดดงน

ระยะทาง (กโลเมตร)

เรอทพายตามนำาเรอทพายในนำานง

เรอทพายทวนนำา

เรอทลอยตามนำา

o 1 2

(1, a + b)a + ba

a - b

b

(1, a - b)

(1, b)

(1, a)

เวลา (ชวโมง)



บรรณ�นกรมเลขาธการสภาการศกษา, สำานกงาน. (2554). คมอสร�งคว�มรคว�มเข�ใจแกผบรห�ร คร และนกเรยนเพอเตรยมคว�มพรอมรองรบก�รประเมนต�มโครงก�รวจยน�น�ช�ต (PISA และ TIMSS). พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : พรกหวานกราฟฟค.สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2547). คมอครร�ยวช� พนฐ�น คณตศ�สตร เลม ๑ ชนมธยมศกษ�ปท ๒. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2552). หนงสอเรยนร�ยวช� เพมเตม คณตศ�สตร เลม ๑ ชนมธยมศกษ�ปท ๑. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2553). หนงสอเรยนร�ยวช� เพมเตม คณตศ�สตร เลม ๒ ชนมธยมศกษ�ปท ๑. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2553). หนงสอเรยนร�ยวช� พนฐ�น คณตศ�สตร เลม ๒ ชนมธยมศกษ�ปท ๒. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2553). คมอครร�ยวช� พนฐ�น คณตศ�สตร เลม ๒ ชนมธยมศกษ�ปท ๑. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2553). คมอครร�ยวช� เพมเตม คณตศ�สตร เลม ๑ ชนมธยมศกษ�ปท ๑. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2553). คมอครร�ยวช� เพมเตม คณตศ�สตร เลม ๒ ชนมธยมศกษ�ปท ๑. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2554). หนงสอเรยนร�ยวช� เพมเตม คณตศ�สตร เลม ๑ ชนมธยมศกษ�ปท ๒. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2554). หนงสอเรยนร�ยวช� เพมเตม คณตศ�สตร เลม ๒ ชนมธยมศกษ�ปท ๒. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว.



บรรณ�นกรมสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2554). ครคณตศ�สตรมออ�ชพ เสนท�งสคว�มสำ�เรจ. กรงเทพมหานคร. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2554). ตวอย�งก�รประเมนผล น�น�ช�ต PISA: คณตศ�สตร. พมพครงท 2. กรงเทพมหานคร : อรณการพมพ. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2554). หนงสอเรยนร�ยวช� พนฐ�น คณตศ�สตร เลม ๑ ชนมธยมศกษ�ปท ๑. พมพครงท 3. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2554). หนงสอเรยนร�ยวช� พนฐ�น คณตศ�สตร เลม ๒ ชนมธยมศกษ�ปท ๑. พมพครงท 3. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2554). หนงสอเรยนร�ยวช� พนฐ�น คณตศ�สตร เลม ๑ ชนมธยมศกษ�ปท ๒. พมพครงท 2. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2554). หนงสอเรยนร�ยวช� พนฐ�น คณตศ�สตร เลม ๑ ชนมธยมศกษ�ปท ๓. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2554). หนงสอเรยนร�ยวช� พนฐ�น คณตศ�สตร เลม ๒ ชนมธยมศกษ�ปท ๓. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2554). หนงสอเรยนร�ยวช� เพมเตม คณตศ�สตร เลม ๑ ชนมธยมศกษ�ปท ๓. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2554). หนงสอเรยนร�ยวช� เพมเตม คณตศ�สตร เลม ๒ ชนมธยมศกษ�ปท ๓. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2554). คมอครร�ยวช� พนฐ�น คณตศ�สตร เลม ๑ ชนมธยมศกษ�ปท ๑. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2554). คมอครร�ยวช� เพมเตม คณตศ�สตร เลม ๑ ชนมธยมศกษ�ปท ๒. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว.



บรรณ�นกรมสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2554). คมอครร�ยวช� เพมเตม คณตศ�สตร เลม ๒ ชนมธยมศกษ�ปท ๒. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2554). คมอครร�ยวช� เพมเตม คณตศ�สตร เลม ๒ ชนมธยมศกษ�ปท ๓. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2555). คมอครร�ยวช� พนฐ�น คณตศ�สตร เลม ๒ ชนมธยมศกษ�ปท ๓. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2555). คมอครร�ยวช� พนฐ�น คณตศ�สตร เลม ๑ ชนมธยมศกษ�ปท ๓. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2555). ทกษะและกระบวนก�ร ท�งคณตศ�สตร. พมพครงท 3. กรงเทพมหานคร : 3-คว มเดย. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2555). ตวอย�งก�รประเมนผล ก�รเรยนรคณตศ�สตร ระดบมธยมศกษ�ตอนตน เลม 1. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : 3-คว มเดย. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2556). ตวอย�งก�รประเมนผล ก�รเรยนรคณตศ�สตร ระดบมธยมศกษ�ตอนตน เลม 2. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร : 3-คว มเดย. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2557). ตวอย�งขอสอบ คณตศ�สตร PISA 2012. กรงเทพมหานคร : ว.เจ.พรนตง. ศกษาธการ, กระทรวง. (2552). ตวชวดและส�ระก�รเรยนรแกนกล�ง กลมส�ระ ก�รเรยนรคณตศ�สตร ต�มหลกสตรแกนกล�งก�รศกษ�ขนพนฐ�น พทธศกร�ช ๒๕๕๑. กรงเทพมหานคร : โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตร แหงประเทศไทย.



คณะผจดทำ�

คณะบรรณ�ธก�ร

นายสมพล เลกสกล ขาราชการบำานาญ

นางปยรตน จาตรนตบตร ขาราชการบำานาญ

นางสาวอรณ นาคทต ขาราชการบำานาญ

นางสาวนวลนอย เจรญผล ขาราชการบำานาญ

นางสาวจตรา พนนาพเชษฐ ขาราชการบำานาญ

นางพจนา สถาพรวจนา ขาราชการบำานาญ

นางชลพร สภธระ นกวชาการอสระ

นางสาวจารวรรณ แสงทอง นกวชาการอสระ

นางสาวนาร วงศสโรจนกล นกวชาการอสระ

นางสาวระว สวรรณเดโชไชย มหาวทยาลยมหดล

นางสาวกรกนก บญวงษ มหาวทยาลยมหดล

นายสมพล เลกสกล ขาราชการบำานาญ

นางปยรตน จาตรนตบตร ขาราชการบำานาญ

นางสาวอรณ นาคทต ขาราชการบำานาญ

นางสาวจำาเรญ เจยวหวาน ขาราชการบำานาญ

นางชลพร สภธระ นกวชาการอสระ

นางสาวจารวรรณ แสงทอง นกวชาการอสระ

นายธระเดช เจยรสขสกล มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาธนบร

นางสาวจนทรนภา อตตะมะ สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย



สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.)924 ถนนสขมวท แขวงพระโขนง เขตคลองเตย กทม. 10110โทรศพท Call Center 0-2335-5222, 0-2392-4021 โทรสาร: 0 2381 0750http://www.ipst.ac.th

พชต

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.)กระทรวงศกษาธการ

new พิชิต - trueplookpanyastatic.trueplookpanya.com/hash_cmsblog/201706/59519/919/... ·...

Documents