netiesinė optika. netiesinis poliarizuotumas trečios eilės...
TRANSCRIPT
Netiesinė optika. Netiesinis poliarizuotumas
Trečios eilės netiesinės terpės
Antros eilės netiesinės terpės
Istorija
Pirmasis netiesinės optikos eksperimentas – antros harmonikos generavimas
Istorija
Netiesinis poliarizuotumas
Aptariant šviesos sklidimą dispersinėje terpėje nagrinėjome vandenilio
atomo elektrono judėjimą išoriniame elektriniame lauke.
Buvom gavę lygtį:
)(teErr
Urm
ef
Efektinis potencialas:
r=p
r0
Uef
r
Netiesinis poliarizuotumas
Tuomet efektinį potencialą skleidėm Teiloro eilute iki antros eilės išvestinės:
.)(
,0)(
),(
.)(2
1)(
2
2
min
2
min
dr
prUd
dr
prdUprUU
prUrU
efef
efef
efef
Tokiu atveju gaunamas elektrono judėjimas išoriniame harmoniniame lauke
yra harmoninis, jo daţnis sutampa su išorinio elektrinio lauko stiprio daţniu.
Esant stipriems laukams, pasireiškia judėjimo anharmoniškumas, reikia
skleisti Teiloro eilute su daugiau narių. Judėjimo lygtyje atsiras netiesiniai
nariai.
...)(4
1)(
3
1)(
2
1)( 4
2
3
1
2
min prprprUrU efef
Netiesinis poliarizuotumas
Tuomet iš Lagrandţo lygties gausime judėjimo lygtį:
./
,)(/...2 3
2
2
1
2
00
m
tmEexxxxx
jj
Kai nagrinėjom impulso sklidimą tiesinėje dispersinėje terpėje, rašėm
)exp()( 0 tiEtE
Kai lygtis netiesinė, reikia rašyti tikslią išraišką:
)cos()( 0 tEtE
Taigi, gaunam lygtį
,)cos(/2 0
3
2
2
1
2
00 tmEexxxxx
Tai yra anharmoninio osciliatoriaus lygtis.
Netiesinis poliarizuotumas
)cos(/2 0
3
2
2
1
2
00 tmEexxxxx
Sprendţiame šią lygtį trikdţių teorijos pagalba.
...)2()1()0( xxxx
Nuliniu artiniu gauname ankščiau nagrinėtą harmoninio osciliatoriaus lygtį:
)cos(/2 0
)0(2
0
)0(
0
)0( tmEexxx
Jos sprendinys:
)cos(0
)0( tax
Pirmuoju artiniu gaunama lygtis:
)2cos(10
)1( tbbx
02 2)0(
1
)1(2
0
)1(
0
)1( xxxx
ir
Netiesinis poliarizuotumas
Antruoju artiniu
022 3)0(
2
)0()1(
1
)2(2
0
)2(
0
)2( xxxxxx
Netiesiniai nariai šioje lygtyje yra šaltiniai daţnio bangoms. 3
Tokiu atveju poliarizuotumui gauname:
...)3cos()2cos()cos( 3210 tPtPtPPP
)1(̂ )2(̂ )3(̂ Tiesinis, kvadratinis, kubinis dielektrinio jautrio tenzoriai
arba
Paţymėta
Kai laukas pakankamai silpnas, į šioje eilutėje galime atmesti aukštesnius
narius. Poliarizuotumas susideda iš tiesinės bei netiesinės dalių:
...:ˆ:ˆ
,:ˆ
,
)3(
0
)2(
0
)(
)1(
0
)(
)()(
EEEEEP
EP
PPP
nt
t
ntt
Netiesinis poliarizuotumas
Iki šiol buvo skaitoma, kad krentanti banga monochromatinė.
Tačiau bendru atveju spektro plotis baigtinis – impulsas.
Atvirkštinė Furjė transformacija:
dtetEE ti
)(
2
1)(
)()()(:),,(ˆ)(
)()(:),(ˆ)(
),(:)(ˆ)(
321321
)3(
03214
)3(
2121
)2(
0213
)2(
)1(
0
)1(
EEEP
EEP
EP
Ţymėsime
Atskiriems Furjė komponentams rašome
Rasime priklausomybę nuo laiko poliarizuotumų.
Netiesinis poliarizuotumas
Rasime tiesinį poliarizuotumą, atlikę Furjė transformaciją:
dePtP ti)(2
1)( )1()1(
11
)1(0)1(0)1( 1)()(2
)()(2
)( dtdetEdeEtPtititi
Paţymime – tiesinio
atsako funkcija )()(
2
11
)1()()1( 1 ttdetti
tai
)()()()()( 11
)1(
1011
)1(
10
)1( ttEtdttEttdttP
Jei -delta funkcija, t.y. nėra netiesinės dispersijos, tai integruoti
nereikia
Netiesinis poliarizuotumas
Analogiškai gauname netiesinius poliarizuotumus:
Buvo
Kvadratinio atsako funkcija
Netiesinis poliarizuotumas
Kubinio atsako funkcija
Trečios eilės netiesinės terpės
Panagrinėkime netiesinę izotropinę terpę. Dėl aukštos simetrijos
kvadratinis dielektrinis jautris lygus nuliui ir 0)2( P
Tokios terpės yra trečios eilės netiesinė terpės arba kubinės terpės.
Panagrinėsime šviesos impulso saviveiką tokioje terpėje.
..)(2
1),( )( jketAetrE rkti
Įrašome į
Rašysime skaliarus
vietoj vektorių-
tiesinė poliarizacija
Trečios eilės netiesinės terpės
Prielaida: kinta daug lėčiau nei
Kodėl 3/8
Trigubo daţnio komponentai, nesvarbūs saviveikai
Atsakas momentinis.
Trečios eilės netiesinės terpės
Netiesinis lūţio rodiklis.
Dėl terpės netiesiškumo kinta lūţio rodiklis. Atsiranda priedas,
priklausantis nuo intensyvumo.
Elektrinio lauko indukcijos vektorius:
čia
Trečios eilės netiesinės terpės
Įrašome
Į
gauname
Taikoma, kad A(t) kinta daug lėčiau nei tiesinio atsako funkcija –
beinercinis atsakas.
Trečios eilės netiesinės terpės
Buvo
Taigi
Trečios eilės netiesinės terpės
Dielektrinė skvarba
Tiesinis lūţimo
rodiklis
Trečios eilės netiesinės terpės
Laikysime, kad 0)Im()Im( )3()1(
Tuomet
2)3(
2
0
2
0
2 ||ˆ4
31 A
nnn
nnAn
nAn
nn 0
2)3(
2
0
0
2)3(
2
0
0 ||ˆ8
3||ˆ
4
31
2)3(
2
0
||ˆ8
3A
nn 1||ˆ
4
3 2)3(
2
0
An
Trečios eilės netiesinės terpės
Galima parašyti
InnAnnn I )(
20
2
20 ||2
1
I
Ann
nn I
2
||,
4
3 2
2)(
2
)3(
0
2
čia
20 ||2
Acn
I
Kadangi
0
2
0
)3(
00
2)(
24
3
cnnc
nn I tai
Vandenyje netiesinis lūţimo rodiklis lygus Wcm /102.3 216
netiesinis lūţimo rodiklis
Trečios eilės netiesinės terpės
Netiesinė Šrėdingerio lygtis
Maksvelo lygtys:
Netiesinėje izotropinėje terpėje:
Antroji lygtis:
Trečios eilės netiesinės terpės
Netiesinė Šrėdingerio lygtis
Paveikiame rotoriumi
Trečios eilės netiesinės terpės
Netiesinė Šrėdingerio lygtis
Lėtai kintančių amplitudţių artinys:
Banginė lygtis
Trečios eilės netiesinės terpės
Netiesinė Šrėdingerio lygtis
Tiesinis atsakas inertinis.
Trečios eilės netiesinės terpės
Netiesinė Šrėdingerio lygtis
Trečios eilės netiesinės terpės
Netiesinė Šrėdingerio lygtis
Vėl laikysim, kad netiesinis atsakas beinertinis.
Banginėje lygtyje rašysime
Trečios eilės netiesinės terpės
Netiesinė Šrėdingerio lygtis
A(t) lėtai kintanti funkcija palyginus su exp(i[...])
Trečios eilės netiesinės terpės
Netiesinė Šrėdingerio lygtis
-grupinis greitis ir ggd koef.
Trečios eilės netiesinės terpės
Netiesinė Šrėdingerio lygtis
Lėtai kintančių amplitudţių artinyje
Trečios eilės netiesinės terpės
Netiesinė Šrėdingerio lygtis
Atmetus štrichus:
Tai yra netiesinė Šrėdingerio lygtis.
Aprašo grupinių greičių dispersiją ir saviveiką.
Su šia sąlyga buvo išvesta dispersinio plitimo lygtis
Dabar- lėtai kintančių amplitudţių sąlyga.
Analogija tarp šių dviejų sąlygų.
Per egzaminą netiesinės Šrėdingerio lygties išvedimo nereikės.
Trečios eilės netiesinės terpės
Netiesinė Šrėdingerio lygtis. Normavimas
Pradinė sąlyga
Lygtis su bedimensiniais kintamaisiais.
Trečios eilės netiesinės terpės
Panagrinėkime netiesinio nario įtaką, Laikysime, kad GGD neţymi,
tai yra nėra antro nario.
Normuojame į netiesinį ilgį:
Ši lygtis sprendţiasi analiziškai.
Trečios eilės netiesinės terpės
Sujungiam kompleksiškai
Galima parašyti
Sprendinys
Laboratorinis darbas
Impulso savimoduliacija
Gauso impulso atvejis
Trečios eilės netiesinės terpės
Savimoduliacija.
Fazės pokytis
Daţnio moduliacija
Gauso impulsui
Trečios eilės netiesinės terpės
Savimoduliacija.
Koordinačių pradţioje daţnio moduliacija arti tiesinės.
Trečios eilės netiesinės terpės
Netiesinė Šrėdingerio lygtis normalios GVD atveju.
Netiesinė Šrėdingerio lygtis aprašo impulsų sklidimą netiesinėje terpėje,
pavyzdţiui šviesolaidyje. Joje įskaitoma grupinių greičių dispersija (antras
dispersijos teorijos artinys) bei netiesinis poliarizuotumas.
,0=-2
+2
12
2
AAt
Ag
z
Ai
g>0 ir 10 Normali GGD
22
d
=zLg
zt
Daţnio moduliacija dėl GGD:
•Dėl netiesiškumo impulso spektras labai išsiplečia,tuo tarpu GGD spektro
neplečia, tik sukuria daţnio moduliaciją, dėl ko impulso trukmė išauga.
• Formuojasi plokščios viršūnės impulsas su beveik tiesine daţnio mod.-a.
000 g
.1 2
0
00
dL
zz
impulso viršūnės amplitudė
didėja ir pasiekia maksimumą
kai
Šiame taške Gauso impulsas pilnai sufazuotas
0zz
(3) kreivė
,1 2
0
0min
.14 2
0max vaa
.arctan2
10
Moduliuotos fazės šviesos impulsų dispersinis sklidimas
t
plėtra
spūda spūda
Trečios eilės netiesinės terpės
Trečios eilės netiesinės terpės
Netiesinė Šrėdingerio lygtis normalios GVD atveju.
Skaitmeninis modeliavimas
amplitudė spektras
laikas daţnis
Plokščios viršūnės impulsą galima efektyviai suspausti panaudojus terpę
su neigiama GGD. Suspausto impulso trukmė /2Dėl fazinės savimoduliacijos spektro plotis platus, dėl to gaunami trumpi
Impulsai. Dviejų lygiagrečių gardelių sistema- neigiama GGD.
Trečios eilės netiesinės terpės
Šviesos impulsų spaustuvai.
Trečios eilės netiesinės terpės
Šrėdingerio solitonai
,0=-2
+2
12
2
AAt
Ag
z
Ai
Turime:
g0 ir 10
Anomali grupinių greičių dispersija.
Kai PPkr , solitonas sklinda nekeisdamas savo pavidalo:
Jeigu impulso galia P<Pkr, impulsas sklisdamas išplis ir solitonas nesusiformuos
Trečios eilės netiesinės terpės
Jeigu P>Pkr , tada impulsas pradţioje spausis, o po to formuosis
daugiasolitonis impulsas, kurio pavidalas periodiškai atsikartos
Trečios eilės netiesinės terpės
Trečios eilės netiesinės terpės
Solitonų
trauka
Solitonų
stūma
(animacijos) laikas
Solitonų sąveika priklauso nuo tarpusavio fazės.
Trečios eilės netiesinės terpės
Smūginės bangos
Trumpiems (femtosekundiniams) impulsams:
tuomet gautume lygtį:
0=-2
1
+
2
1
2
2
2
02
1t
AAiAA
t
Ag
t
AAβ
ui
z
Ai
Matome, kad efektyvus grupinis greitis priklauso nuo intensyvumo,
susidaro smūginė banga.
Trečios eilės netiesinės terpės
Smūginės bangos
(animacijos) laikas
Trečios eilės netiesinės terpės
Pluoštų fokusavimasis
Šviesos pluoštams lūţio rodiklis, o kartu ir fazinis greitis priklausys
nuo pluošto intensyvumo, kuris priklauso nuo skersinių koordinačių:
),()(
2 yxInn
cv
If
Tai reiškia, kad centrinė bangos fronto dalis, kur
intensyvumas maksimalus, atsiliks kraštinių dalių atţvilgiu.
zf
GVD koeficiento ţenklas
2010 )(n didėja didėjant daţniui
sugerties sričių
centriniai daţniai
n
cv
d
dn
n
c
d
dv2
Fazinis greitis – jo išvestinė neigiama
Skaidrumo srityje lūţio rodiklis
Normalioji fazinio greičio dispersija
d
dnturi minimumą, taškas A
GVD koeficiento ţenklas
d
du
uud
d
d
kdg
22
2 11
Grupinių greičių dispersijos koeficientas:
d
dnn
u
c )(
Minimumas taške B, paslinktas
į kairę taško A atţvilgiu.
Taške B GVD koeficientas
lygus nuliui
GVD koeficiento ţenklas
d
du
uud
d
d
kdg
22
2 11
0g 0
d
du
Turime anomaliąją grupinių greičių dispersiją.
0g 0d
du
Turime normaliąją grupinių greičių dispersiją.
0ggrupinių greičių dispersijos apskritai nėra.
Tai yra teisinga antrojo dispersijos teorijos artinio ribose.
Antros eilės netiesinės terpės
Dėl anharmoniškumo atsiranda netiesiniai poliarizuotumo nariai.
Izotropinėje terpėje galėjome nepaisyti lyginių skleidimo narių.
Anizotropinėje terpėje jie nelygūs nuliui. Laikysime, kad kubinio
netiesiškumo nario galime nepaisyti, tuomet poliarizuotumas
Antros eilės netiesinės terpės
Monochromatinės bangos atvejis:
..)(exp2
1jkrktiAeE
tuomet
tdtit
jkrktieAP
jktdrkttietAP
ijij
jiji
jiji
)exp()()(
..)(exp)(2
1
..)()(exp)(2
1
)1()1(
)1(
0
)1(
)1(
0
)1(
Monochrom. bangos sukurtas pirmos eilės poliarizuotumas yra to paties
daţnio kaip ir sklindanti banga.
Antros eilės netiesinės terpės
Panagrinėkime trijų monochromatinių bangų kuriamą netiesinę poliarizaciją.
..)(exp2
1 )( jkrktiAeE lll
l
l
3,2,1l
Tuomet
Sumuojama
pagal
Buvo
Skirtingas sandaugas atitiks skirtingi jautriai:
),(,
),(,
)2(*
)2(
mlijkml
mlijkml
AA
AA
Sumos pagal m ir l.
Antros eilės netiesinės terpės
Galioja perstatymo simetrijos, pavyzdţiui:
),(),( )2()2(
lmikjmlijk
Antros eilės poliarizuotumo vektoriaus komponentui gauname
..)()(exp),(4
)()(exp),(4
*)()()2(0
)()()2(0)2(
jkrkktiAAee
rkktiAAeeP
mlmlml
m
k
l
jmlijk
mlmlml
m
k
l
jmlijki
ml Kombinaciniai daţniai
Poliarizuotumo banga sklis greičiu
||,
ml
mlml
kkv
Poliarizuotumas į Maksvelo lygtis įeina kaip šaltinis. Kurs šių daţnių bangas:
Antros eilės netiesinės terpės
332313
322212
312111
332313
322212
312111
0
0
0
2
2
2
2313
3212
3121
32313
32212
31211
Suminiai, dvigubi, skirtuminiai ir nuliniai daţniai.
Antros eilės netiesinės terpės
Maksvelo lygtys:
0
00
Hdivt
DHrot
Ddivt
HErot
Elektrinės indukcijos lygtis:
PED
0 čia )2()1( PPP
2
)2(2
02
)1(2
02
2
2
2
2
0
1
t
P
t
P
t
E
vErotrot
t
DErotrot
Turime
Antros eilės netiesinės terpės
Pozytyvi inerferencija
00 ,rt rkkti mlml
)()(exp Poliarizuotumas
sukuria bangą rktiaE
exp0
sklindančią faziniu greičiu ||/ kv f
rt
,
|| ml
mlp
kkv
Poliarizuotumas, sklindantis faziniu greičiu
sukuria bangą 1E
Pozytyvi interferencija bus tuomet, kai
pf vv
ml
ml
kkk
Antros eilės netiesinės terpės
Kadangi c
nk
ir )(nn tai minėtos sąlygos bus išpildomos tik kai
kurioms daţnių kombinacijoms
Pavyzdţiui:
231321
123
123
,,
kkk
rezonansiniai daţniai
arba
321231
213
,,
rezonansiniai daţniai
Toliau laikysime, kad fazinis sinchronizmas pasiekiamas tik tokiems daţniams
231132213
123
,,
poliarizuotumo daţniai:
Anizotropinės terpės – ‘o’ ir ‘e’ bangos..
Antros eilės netiesinės terpės
Paţymėsim
rktiAeE
rktiAeE
rktiAeE
jkEEEE
333
)3()3(
222
)2()2(
111
)1()1(
)3()2()1(
exp
exp
exp
..2
1
tuomet
)()1(
0
))(1(
)()1(
0
))(1(
)3)(1()2)(1()1)(1()1(
)(
:)(ˆ
..2
1
j
njmn
j
m
j
j
j
EP
EP
jkPPPP
komponentams
Antros eilės netiesinės terpės
Paţymėsime, kad kvadratiniame poliarizuotume daţnio
banga atsiranda du kartus, nariuose: 13
rkktiAAee kjijk
)()(exp),( 1313
*
13
)1()3(
13
)2(
bei
*3131
*
31
)3()1(
31
*)2( )()(exp),( rkktiAAee kjijk
kadangi
),(),(
),(),(
13
)2(
31
)2(
)2(*)2(
ikjijk
mlijkmlijk
tai antrasis narys sutampa su pirmuoju:
rkktiAAee jkikj
)()(exp),( 1313
*
13
)1()3(
13
)2(
Analogiška situacija ir su kitų daţnių bangomis.
..)()(exp),(4
)()(exp),(4
*)()()2(0
)()()2(0)2(
jkrkktiAAee
rkktiAAeeP
mlmlml
m
k
l
jmlijk
mlmlml
m
k
l
jmlijki
Antros eilės netiesinės terpės
Turime
..)()(exp),(24
)()(exp),(24
)()(exp),(24
2323
*
23
)2()3(
23
)2(0
1313
*
13
)1()3(
13
)2(0
212121
)2()1(
21
)2(0)2(
jkrkktiAAee
rkktiAAee
rkktiAAeeP
kjijk
kjijk
kjijki
arba
)2()1(
21
)2(
0
)3)(2(
*)1()3(
13
)2(
0
)2)(2(
*)2()3(
23
)2(
0
)1)(2(
)3)(2()2)(2()1)(2()2(
),(
),(
),(
..2
1
kjijki
kjijki
kjijki
iiii
EEP
EEP
EEP
jkPPPP
čia
rktiAeE
rktiAeE
rktiAeE
333
)3()3(
222
)2()2(
111
)1()1(
exp
exp
exp
Buvo
Antros eilės netiesinės terpės
Vektoriams:
)2()1(
21
)2(
0
)3)(2(
*)1()3(
13
)2(
0
)2)(2(
*)2()3(
23
)2(
0
)1)(2(
)3)(2()2)(2()1)(2()2(
),(ˆ
),(ˆ
),(ˆ
..2
1
kj
kj
kj
EEP
EEP
EEP
jkPPPP
1
2
3
atitinka
šiuos
daţnius
Turime:
)2()1(
21
)2(2
300
)3(
3
)1(2
300
)3(
2
2
3)3(
*)1()3(
13
)2(2
200
)2(
2
)1(2
200
)2(
2
2
2)2(
*)2()3(
23
)2(2
100
)1(
1
)1(2
100
)1(
2
2
1)1(
),(ˆ)(ˆ
),(ˆ)(ˆ
),(ˆ)(ˆ
EEEEc
Erotrot
EEEEc
Erotrot
EEEEc
Erotrot
2
)2(2
02
)1(2
02
2
2
1
t
P
t
P
t
E
vErotrot
Banginė lygtis
Antros eilės netiesinės terpės
)(ˆ1)(ˆ )1(
jj 2
00 /1 c
Kadangi
tai
)2()1(
21
)2(
2
2
3)3(
32
2
3)3(
*)1()3(
13
)2(
2
2
2)2(
22
2
2)2(
*)2()3(
23
)2(
2
2
1)1(
12
2
1)1(
),(ˆ)(ˆ
),(ˆ)(ˆ
),(ˆ)(ˆ
EEc
Ec
Erotrot
EEc
Ec
Erotrot
EEc
Ec
Erotrot
Toliau laikysime, kad visos trys bangos sklinda z ašies kryptimi. Amplitudė
gali kisti dėl netiesinės sąveikos bei sugerties.
zktizAeE jjj
jj exp)()()(
)2()1(
21
)2(2
300
)3(
3
)1(2
300
)3(
2
2
3)3(
*)1()3(
13
)2(2
200
)2(
2
)1(2
200
)2(
2
2
2)2(
*)2()3(
23
)2(2
100
)1(
1
)1(2
100
)1(
2
2
1)1(
),(ˆ)(ˆ
),(ˆ)(ˆ
),(ˆ)(ˆ
EEEEc
Erotrot
EEEEc
Erotrot
EEEEc
Erotrot
Antros eilės netiesinės terpės
Turime EEdivgradErotrot
)(
lygu nuliui (iš Maksvelo lygties),
neįskaitomas nunešimas
2
2
z
EErotrot
Taigi
)2()1(
21
)2(
2
2
3)3(
32
2
3
2
)3(2
*)1()3(
13
)2(
2
2
2)2(
22
2
2
2
)2(2
*)2()3(
23
)2(
2
2
1)1(
12
2
1
2
)1(2
),(ˆ)(ˆ
),(ˆ)(ˆ
),(ˆ)(ˆ
EEc
Ecz
E
EEc
Ecz
E
EEc
Ecz
E
Antros eilės netiesinės terpės
Pirmajai lygčiai turime
zkkti
zktizkti
eAAeec
eAecz
eAe
2323
11
11
*
23
)2()3(
23
)2(
2
2
1
)(
1
)1(
12
2
1
2
)(
1
2)1(
),(ˆ
)(ˆ)(
arba
zkkktieAAeee
c
Aeec
Akz
Aik
z
A
123123*
23
)2()3(
23
)2()1(
2
2
1
1
)1(
1
)1(
2
2
11
2
11
12
1
2
),(ˆ
)(ˆ2
Fazinio sinchronizmo sąlyga gali būti tenkinama apytiksliai. Įveskime
123 kkkk
Antros eilės netiesinės terpės
z
Ak
z
A j
j
j
2
2
Lėtai kintančių amplitudţių atveju
kzi
kzi
kzi
eAAiz
A
eAAiz
A
eAAiz
A
2133
*
1322
*
2311
Ir gauname
Terpė be nuostolių. Neįskaitėme bangų dispersijos bei difrakcijos.
Atsirastų išvestinės pagal laiką ir erdvines koordinates.
Fazinis sinchronizmas kolinearių bangų atveju
213 kkk
c
nk
jj
j
)(
Antros eilės netiesinės terpės
Kad pasiektume fazinį sinchronizmą, turi būti tenkinamos sąlygos
lūţimo rodikliams. Tai pasiekiama anizotropinėse medţiagose.
Nagrinėsim netiesinius vienašius kristalus.
Antros harmonikos generacija.
2/321
Tuomet
)2(2)()(
)2(2)()(
111
111111
nnn
nnn
Galimos sąveikos
)2(2)()( 1101 e
o nnn
)2(2)()( 111 ee
o nnn
)2(2)()( 1011 nnn ee
)2(2)()( 10101 nnne
Neigiamas kristalas Teigiamas kristalas
I tipo
II tipo
oo-e
oe-e
ee-o
eo-o
Antros eilės netiesinės terpės
xn
zn
en
on
)(en
xn
zn
en
on
oe nn oe nn
Neigiamas kristalas Teigiamas kristalas
Elipsės lygtis: 12
2
2
2
e
x
o
z
n
n
n
n
cos,sin e
z
e
x nnnn
222
0
2
0 cos)(
e
eoe
nnn
nnn
Antros eilės netiesinės terpės
xn
zn
s
2/321
Paţymime:
)2()( 110 enn
)2(),2(),( 1210021001 ee nnnnnn
Turime: se
e
nnn
nnn
22
2
2
02
2
02
20201
cos
Iš čia
2
2
2
02
2
2
2
01
01
02arccose
es
nn
nn
n
n
I tipo sinchronizmas neigiamame kristale antros harmonikos generacijos
atveju:
Antros eilės netiesinės terpės
2
2
2
02
2
2
2
01
01
02arccose
es
nn
nn
n
n
Turi būti nes 201 enn 202 enn
90,201 senn Nekritinis fazinis sinchronizmas
90s Kritinis fazinis sinchronizmas
Antros eilės netiesinės terpės
Dinaminės lygtys, aprašančios antros harmonikos amplitudės augimą plokščių
monochromatinių bangų atveju:
2
133
3
*
111
Az
A
AAz
A
oo-e sąveika, neįskaitomi tiesiniai nuostoliai.
II harmonika
I harmonika
Laboratorinis darbas Nr XX:
Antrosios harmonikos generacija
2
133
3
*
111
Az
A
AAz
A
Šios lygtys turi analizinį sprendinį. Sumodeliuosim šias lygtis pirmuoju
Oilerio metodu ir palyginsime sutapimą su analiziniu sprendiniu.
31
Normavimas:
II h
I h
)/tanh( nLz
)/cosh(/1 nLz
Antrosios harmonikos generacija
2
133
3
*
111
Az
A
AAz
A
Šias lygtis galima modeliuoti ir aukštesniais Oilerio metodais.
Optimaliausias – 4-as Oilerio metodas arba Runge-Kutta metodas.
Reikia naudoti Matlab funkciją ode45(@funk,[0 zgal],[x10 x20 x30 x40]).
[0 zgal] – integruojama nuo 0 iki zgal
X10, x20,...-pradinės sąlygos.
@funk – funkcija, kuri aprašoma to paties pavadinimo faile (funk.m)
Joje įrašomos lygtys.
Be to prieš integruojant uţduodamas tikslumas:
options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5 1e-4]);
Matlab Help raktaţodis: ODE::defined
Šiuo atveju tai yra 4 paprastos dif. lygtys (ode).
X(1), X(2), X(3), X(4) – 4 kintamieji,
Atitinkantys Re(A1), Im(A1), Re(A3), Im(A3)
Antros eilės netiesinės terpės
Antros harmonikos generacija
Tai yra suminio daţnio generacijos atskiras atvejis.
(2)
Antros eilės netiesinės terpės
Suminio daţnio generacija ir parametrinis stiprinimas
(2)
1
2
3
Suminio dažnio generacija Parametrinis stiprinimas
Antros eilės netiesinės terpės
3
*
21 AAi
z
A
3
*
12 AAi
z
A
213 AAi
z
A
Parametrinis stiprinimas
1001 | AA z
0| 02 zA
3003 | AA z
00
2
zz
A
Plokščios bangos
ω3= ω1 +ω2
Stiprinama signalinė banga A1, imdama energiją iš
kaupinimo A3. Generuojama skirtuminio daţnio
šalutinė banga A2. Po tam tikro sklidimo nuotolio
procesas pereina į suminio daţnio (3-os) bangos
generaciją.
3
*
21 AAi
z
A
3
*
12 AAi
z
A
213 AAi
z
A
Parametrinė generacija
0| 01 zA
0| 02 zA
3003 | AA z
00
2
zz
A
00
1
zz
A
(2)
2
3
1
klasikinis aprašymas bejėgis!
ω3= ω1 +ω2
Parametrinė generacija: kvantmechaninis aprašymas
Skaičiaus operatorius: n=a+a
<n1,2 (t)>≠0, net kai <n1,2 (0)>=0
Fotonai atsiranda iš kvantinių triūkšmų!
Parametrinė generacija
Kaupinimas (A3) – Gauso pluoštas
Signalas (A1) - triukšmas
3
*
21 AAi
z
A
3
*
12 AAi
z
A
213 AAi
z
A
Parametrinis stiprinimas
(2)
1
2
3
1001 | AA z
0| 02 zA
3003 | AA z
00
1
zz
A
Plokščios bangos
)exp( 11 imA
)exp( 22 imA
)exp( 33 imA
m3= m1 +m2
ω3= ω1 +ω2
ω3
ω1
ω2
A. Beržanskis et al.,Conversion of topological charge of optical
vortices in a parametric frequency converter, Opt. Commun.,
(1997).
m1
m2
m3
m3= m1 +m2
(2)
1
2
3
m3
m1 m2
Suminio dažnio generacija Parametrinis stiprinimas
ω3= ω1 +ω2
Tribangė sąveika: optiniai sūkuriai
K. Dholakia, N. B. Simpson, M. J. Padgett, L Allen., Second-
harmonic generation and the orbital angular momentum of light,
Phys. Rev. A (1996).
Antros harmonikos generacija
(2)
m 2m
LG01 m=1 LG0
2 2m=2
Eksperimentas:
λ=1064nm λ=532nm
J. Arlt, K. Dholakia, L. Allen, and M. J. Padgett, Parametric
down-conversion for light beams possessing orbital angular
momentum, Phys. Rev. A (1999).
Parametrinė šviesos generacija
(2)
m m/2 ??
Eksperimentas: λ=532nm λ=1064nm
LG01 m=1
LG02 m=2
Judesio
kiekio
momentas
PŠG
neišsilaiko
kaip stebimas
dydis!?
A. Mair, A. Vaziri, G. Wiehs, A. Zeilinger, Entanglement of the
orbital angular momentum states of photons, Nature (London)
(2001).
Parametrinė generacija: pavienių fotonų LG0m modų
m3 m1
m2
A. Mair, A. Vaziri, G. Wiehs, A. Zeilinger, Entanglement of the
orbital angular momentum states of photons, Nature (London)
(2001).
lpump= l1 +l2, pvz.: 1=2+(-1)
1=1+0
1=0+1
Judesio kiekio momentas PŠG išsilaiko!
Parametrinė generacija: pavienių fotonų LG0m modų
Klasikiniu atveju stebima LG modų superpozicija.
Intensyvumo skirstinys: m=0 m=1
Beselio-Gauso modos
J. Durnin, Exact solutions for nondifracting beams. The scalar
theory. JOSA A. , (1987):
A(r,φ)=Jm(βr)exp(im φ)exp(-r2/d2)
Beselio-Gauso modos
Judesio kiekio momento srautas/energijos srautas:
L/cP =m/ω
K. Volke-Sepulveda et al., Orbital angular momentum of a high-
order Bessel light beam, Journal of Optics B, (2002):
Parametrinis šviesos stiprinimas: skersinio fazinio
sinchronizmo integralas:
|)()()()/exp(|2121213
0
22 dxxJqxJpxJgxxT mmmmmmm
Topologinio krūvio tvermės dėsnis: m3= m1+m2
Jei kaupinimo bangos m3=1, tai kuri pora m1 , m2 bus
efektyviausiai stiprinama???
Parametrinė šviesos generacija kaupinant
Beselio-Gauso moda
Kaupinimas: m3= 1
m1=1, m2=0 m1=2, m2=-1
Stiprinimas efektyviausias, kai m1=m3 , m2=0 arba m1=0 , m2=m3!
Patvirtinta eksperimentu. Klasikinių laukų atveju galima patikrinti
judesio kiekio momento tvermės dėsnį.
Šalutinės bangos stiprinimas, kai kaupinama m3=1 eilės
Beselio-Gauso moda: spektrai
m1=0, m2=1 m1=1, m2=0 m1=2, m2=-1
Split-step Fourier metodas
Šiuo metodu sprendţiamos netiesinės diferencialinės lygtys su
dalinėmis išvestinėmis.
Netiesinė Šrėdingerio lygtis
Split-step Fourier metodas
Formalus sprendinys:
Paţymėkime
Split-step Fourier metodas
Skleidimas Teiloro eilute:
Tuo tarpu eksponenčių sandaugai turime:
tikslumu šios dvi išraiškos sutampa
Split-step Fourier metodas
Apytiksliai galioja:
Vietoj
rašome
Split-step Fourier metodas
Paţymime
Tai yra tokios lygties sprendinys:
Panašiai
lygties sprendinys
Split-step Fourier metodas
Sprendinys:
Sprendţiama RK4 metodu. -prad.sąlyga.
Split-step Fourier metodas
Simetrizuotas ‘split-step Fourier’ metodas:
Tikslesnis, nes eksponenčių skleidiniuose sutampa daugiau narių: iki
Laboratorinis darbas: Išspręsti netiesinę Šrėdingerio
lygtį šiuo metodu.