nella lezione precedente: n abbiamo definito le regioni di campo n introdotto delle approssimazioni...
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Nella lezione precedente: Abbiamo definito le regioni di campo Introdotto delle approssimazioni degli operatori per calcolare più semplicemente campo a grande distanza e
campo lontano, verificandole su un dipolo hertziano Introdotto e dimostrato il teorema di reciprocità Abbiamo introdotto il concetto di reazione e di equazione integrale Usato il teorema di reciprocità per verificarne le implicazioni sul comportamento delle antenne in spazio libero Introdotto i concetti di Altezza Efficace (e di fattore di antenna) e di Area Efficace Calcolata la relazione tra Guadagno ed Area Efficace
Nella lezione precedente:
Abbiamo utilizzato tale relazione per ottenere l’equazione del “collegamento radio”
Usando la sovrapposizione degli effetti, abbiamo introdotto l’antenna filiforme rettilinea
Abbiamo riportato una soluzione approssimata per la distribuzione di corrente, utile per il calcolo del campo lontano ma non per l’impedenza di ingresso
Antenna Corta
Abbiamo visto che la corrente su una antenna è circa
sinkL
zLsinkI
kL
zLsinkVjzI
)(
cos
)(2)( 0
0
Una antenna è “corta” se lo è rispetto alla lunghezza d’onda L<< o in generale se kL<<1 il seno somiglia in tal caso ad un triangolo: del resto approssimiamo il seno con l’argomento ed il coseno con 1
)(2
cos
)(2)( 00 zLk
Vj
kL
zLsinkVjzI
)1(0 L
zI kL
VjI
0
02
V0I0
Antenna CortaNotate: un’antenna corta non è un dipolo Hertziano!
Campo lontano?
Partiamo dall’espressione generale per antenna filiforme
La corrente non è uniforme; nel dipolo Hertziano questa si può ottenere solo mettendo ai capi serbatoi di carica
2)2(2 Lr
L
L
jkzjkr
dzezIr
esinjE
cos)(2
1
Consideriamo che l’esponenziale è circa 1, ed inseriamo l’espressione triangolare della corrente
L
L
jkr
dzL
zI
r
esinjE 1
2
10
Antenna CortaDa cui
Notate: se confrontiamo con l’espressione per il dipolo Hertziano
(NB: nell’espressione originaria avevamo h/2ma h, lunghezza totale, è qui 2L)
L
L
jkr
dzL
zI
r
esinjE 1
2
10
02I
r
esin
LjE
jkr
E
H
r
esin
LIjE
jkr
0
Vediamo che il campo prodotto da un’antenna corta è pari a quello prodotto da un dipolo di metà lunghezzadel resto: nel dipolo elementare l’integrale della corrente è I0h (trattandosi di un “rettangolo”) mentre ora è I0h/2 (area di un triangolo)
Antenna CortaVolendosi calcolare il diagramma di radiazione, usiamo la definizione
E quindi il solido di radiazione (una componente, quindi un solido solido)
Ovviamente come il dipolo elementare
Calcoliamo altre quantità, come la potenza irradiata: la densità è
usin
E
Ef
),(
),(),(
maxmax
sinfr ),(
r
EHEP u
2
*
2
1Re
2
1 rsinLI
ru
222
0228
Antenna CortaDa cui la potenza attraverso una superficie sferica intorno all’antenna
Per la resistenza di radiazione invece
Che è 1/4 del valore trovato per il dipolo Hertziano
0
22
222
022
8dsinr
r
sinLISdPW
Sr
20
2240 I
L
22
20
802
L
I
WR r
rad
Quanto alla Direttività
isav P
rPD
,,),( maxmax
2
2
4
2
1
r
W
E
r
2
20
22
22022
4
40
8 r
IL
LIr
2
3
Antenna CortaL’altezza efficace? Ricordate che è tale che il campo sia
Poiché abbiamo visto che
L’altezza efficace è
corrispondente a metà antennauh Lsin
r
eI
j
r
eI
jkr
jkrjkr
),(2
),(4
),,(
hhE
02I
r
esin
LjE
jkr
Per l’area efficace, ricorriamo alla relazione con il guadagno (e quindi con la direttività in assenza di perdite)
2
4
A
D 22
8
3
2
3
4
ANB: stessa del dipolo
Antenna a mezz’ondaConsideriamo il caso 2L=/2
in tal caso kL=/2 e dalla soluzione di Hallen
Dove
notate che il denominatore di I0 si annulla per l’antenna a mezza lunghezza d’onda; ricorderete tuttavia che in una linea di trasmissione dove c’è un massimo di corrente c’è un minimo di tensione
kL
sinkLjVI
cos
20
Per una linea in circuito aperto, tale minimo è zero, per cui nel nostro modello anche V al numeratore tende a zero, ed il rapporto resta finito
2
20
sin
zksin
IzI
zkI cos0 kzI cos0
Antenna a mezz’ondaCalcoliamo il campo lontano sostituendo l’espressione della corrente
L
L
jkzjkr
dzezIr
esinjE
cos)(2
1
L
L
jkzjkr
dzekzIr
esinj
cos
0 )cos(2
1
Identità di Eulero
L
L
dzkzjsinkzkz coscoscos)cos( perché dispari in z
L
dzkzkz0
coscos)cos(2 4
0
cos1coscos1cos
dzkzkz
4
0
4
0 cos1
cos1
cos1
cos1
k
kzsin
k
kzsin
cos1
cos22
cos1
cos22
k
sin
k
sin
Antenna a mezz’onda
cos1
cos2
cos
cos1
cos2
cos1
k
cos1
cos22
cos1
cos22
k
sin
k
sin
2
cos2
cos2
sink
Quindi il campo lontano diventa
r
e
sink
IjE
jkr
cos2
cos2
20
E
H
Antenna a mezz’onda
Il diagramma di radiazione è quindi
sin
f
cos
2cos
),(
sin
cos2
cos
sin
x
z
Calcoliamo la potenza irradiata: partiamo dal vettore di Poynting
rsinr
IP u
2
2
22
20
cos2
cos1
8
Antenna a mezz’onda
quindi integriamo
L’integrale non ha forma chiusa in termini di funzioni elementari; occorrono i “seni e coseni integrali” che sono tabellati
0
22
2
22
20 2
cos2
cos1
8dsinr
sinr
ISdPW
Sr
0
220
cos2
cos
4d
sin
I
2
0
2
20
cos2
cos
60
dsin
I
In ogni caso, risolvendo numericamente (provate…anzi proviamo insieme) si ha
20606093.0 IWr
Antenna a mezz’onda
La resistenza di radiazione è
Per la direttività
L’altezza efficace
736093.01202
20I
WR r
rad
isP
rPD max
,, 20
2
22
20
606093.0
41
8120
I
r
r
I
65.1
6093.0
1
uhsink
cos
2cos
2,
usin
cos
2cos
Antenna a mezz’onda
L’area efficace: come al solito dal confronto con la direttività
2
4
A
D42
65.14
2
A
Appare come l’area efficace sia maggiore della superficie fisica; per ricordare:
/2
/4
Antenna MarconianaSi consideri un’antenna corta, disposta verticalmente sul suolo ed alimentata rispetto ad esso
V0/2L<<
Si assuma un suolo perfettamente conduttorePer il teorema delle immagini, equivale ad un dipolo corto di lunghezza doppia, almeno per il campo irradiato
V0
Molto diffuso alle basse frequenze; spesso per migliorare la conducibilità del suolo nelle vicinanze dell’antenna viene disposta una raggiera di fili di rame con centro nell’antenna
Monopolo in quarto d’onda su piano di massaCome prima, ma ora di consideri un’antenna di un quarto d’onda
V0/2L=
Si assuma un suolo perfettamente conduttore
Per il teorema delle immagini, equivale ad un dipolo in quarto d’onda (la tensione è doppia ma la corrente uguale)
V0
Tuttavia per la potenza irradiata e la resistenza di radiazione occorre considerare che irradia solo in metà spazio
Monopolo in quarto d’onda su piano di massaQuindi
)()( immagine dipoloE4
monopoloE
)(2
1)( immagine dipoloW
4 monopoloW rr
5.36)(2
1)( immagine dipoloR
4 monopoloR radrad
L’altezza efficace è pari a quella del dipolo immagine
Altezza efficace di un’antenna verticale in presenza del suolo
Consideriamo un’antenna con altezza efficace h in presenza di suolo perfettamente conduttore
dr
2dcos
d r2 Il campo totale sarà quello dovuto all’antenna più la sua immagine
La distanza del punto di osservazione dall’immagine r2 può essere approssimata (nel termine di fase) cos22 drr
per cui, ricordando la definizione di altezza efficace
r
eI
j
r
eI
jr
drjkjkr
cos2
),(2
),(2
),,(
hhE
mentre al denominatore r2 può essere approssimata con r
Altezza efficace di un’antenna verticale in presenza del suolo
Quindi l’altezza efficace complessiva è
r
eI
j
r
eI
jr
drjkjkr
cos2
),(2
),(2
),,(
hhE
cos21),(
2kdjjkr eIe
r
j h coscos2),(
2cos kdeIe
r
j jkdjkr h
coscos),(2),( cos kde jkdt
hh
per d=0 si riottiene che l’altezza efficace complessiva è doppia dell’antenna singola
Altezza efficace di un’antenna orizzontale in presenza del suolo
Consideriamo un’antenna con altezza efficace h orizzontale in presenza di suolo perfettamente conduttore
Il campo totale sarà quello dovuto all’antenna meno la sua immagine
La distanza del punto di osservazione dall’immagine r2 può essere approssimata (nel termine di fase) dsinrr 22
d
r
2dsin
d r2
I
r
eI
j
r
eI
jr
dsinrjkjkr
2
),(2
),(2
),,(
hhE
quindi
kdsinjt e 21),( hh kdsinsinej jkdsin ),(2 h
Ovviamente se d=0, l’altezza è nulla (non irradia): la corrente è “cortocircuitata” dal piano conduttore
Altezza efficace di una spira elementareRicordiamo il campo elettrico
ovvero in campo lontano
Pertanto, confrontando con la definizione
rjk
r
esin
pjE
jkrm 1
4
r
esin
kpE
jkrm
4 r
esin
RIk jkr
4
)( 2
r
esin
RIk jkr
2
)( 2
uh sinRjk 2),(
r
eI
jr
jkr
),(2
),,( hE
l’altezza efficace risulta
Dipolo di lunghezza generica
Consideriamo un dipolo qualsiasi e sostituiamo l’espressione della corrente per calcolare il campo lontano
sinkL
zLsinkI
kL
zLsinkVjzI
0
0
cos
2
da cui
L
L
jkzjkr
dzezIr
esinjE
cos)(2
1
L
L
jkzjkr
dzekLsin
zLksinI
r
esinj
cos
02
L’integrale lo possiamo calcolare usando l’espressione
)cos()()(22
cbxbcbxasinba
edxcbxsine
axax
Dipolo di lunghezza generica
Saltiamo un po’ di passaggi…e calcoliamo direttamente il diagramma di radiazione
che risulta (dopo un po’ di passaggi…)
L
L
L
L
jkz
dzLsin
zLsinkI
dzeLsin
zLsinkIsin
E
Ef
0
cos0
maxmax ),(
),(,
sinkL
kLkLf
cos1
coscoscos)(
Dipolo di lunghezza generica
Al crescere della lunghezza, cresce il numero di lobi, ed il massimo non è più per =/2
Dipolo di lunghezza generica: impedenza di ingresso
Il calcolo, anche approssimato, è molto complesso; ne diamo qui un breve resoconto
Abbiamo visto nella precedente lezione il concetto di “reazione” introdotto con il teorema di reciprocità, ed applicato alle antenne filiformi
badlba IE , lE dI ab abVI zyxI uJ )()(
Vdove a è b si riferivano a due antenne irradianti l’una alla presenza dell’altra Consideriamo il caso di una sola antenna: quella che si ha è “auto-reazione” (reazione del proprio campo con la propria sorgente)
aadlaa IE , aaVI2a
in IZ
p1 x( )
x2 0 2
0
10
20
Dipolo di lunghezza generica: impedenza di ingresso
ovvero
Questa è un’espressione “stazionaria” o “variazionale”
IE
dlII
aaZ in 22
1,
ovvero un errore di un certo ordine nell’incognita I si ripercuote in un errore di ordine maggiore in Zin
soluzione
Soluzione approx
in pratica la soluzione è un minimo o un massimo (qui x potrebbe essere la corrente e p1(x) l’impedenza)
Dipolo di lunghezza generica: impedenza di ingresso
Allora: si inserisce una I (o una J) di tentativo
IE
dlII
aaZ in 22
1,
E si calcola Zin utilizzando per E il campo prodotto dall’antenna (inclusi i termini reattivi!)
Trovate i grafici risultanti in diversi testi (per es. R. Harrington, Time Harmonic Electromagnetic Fields, a p.352, al variare della lunghezza e della sezione)
Dipolo di lunghezza generica: impedenza di ingresso
A solo titolo di esempio:
Del resto il dipolo è un esempio di antenna risonante
Parte reale
Parte immaginaria
comportamento tipico delle antenne a banda stretta: frequenza di risonanza dove la parte reattiva si annulla
Dipolo RipiegatoDue conduttori connessi alle estremità, con distanza d<<
d
2L
Si analizza considerando la sovrapposizione degli effetti: sovrapponiamo un “modo linea” con corrente di ritorno (caso dispari) ed un “modo antenna” (caso pari)
V/2+
+V/2
IT IT
+ +V/2 V/2
IA IA
V
IA+ IT IA- IT+
Antenne filiformi a banda larga: Antenna a onda progressivaSupponiamo di utilizzare una linea adattata come antenna
Ovviamente perché una implementazione dell’idea funzioni dovremo evitare che la corrente di “ritorno” cancelli completamente il campo prodotto dalla corrente di “andata”Accantoniamo momentaneamente il problema; la corrente ha la forma jkzeIzI 0)(
Una corrente di tal genere, se distribuita su una antenna filiforme, produce un campo lontano pari a
L
jkzjkr
dzezIr
esinjE
0
cos)(2
1
Ljkzjkz
jkr
dzeeIr
esinj
0
cos02
1
Antenne filiformi a banda larga: Antenna a onda progressiva
Risolviamo l’integrale
Per cui
L
jkzjkz dzeeI0
cos0
L
jkz dzeI0
)1(cos0
Ljkz
jk
e
0
)1(cos
)1(cos
)1(cos
1)1(cos
jk
e jkL
)1(cos
1
4
1 )1(cos
jkLjkr e
r
esinE
E
H
ed il diagramma di radiazione banalmente
)1(cos
1),(
)1(cos
jkLesinf
Antenne filiformi a banda larga: Antenna a onda progressiva
Grafico per L=
y r ( ) ( )
x r ( ) ( )
x r ( ) r cos ( )
y r ( ) r sin ( )
Antenne filiformi a banda larga: Antenna a onda progressiva
Grafico per L=3
y r ( ) ( )
x r ( ) ( )
Antenne filiformi a banda larga: Antenna a onda progressiva
Grafico per L=5
y r ( ) ( )
x r ( ) ( )
Antenne filiformi a banda larga: Antenna a onda progressiva
Quel che succede è che all’aumentare della lunghezza, aumenta il numero di lobi secondari, ma quelli principali si schiacciano verso l’asse dell’antenna (orizzontale)
Un’antenna di questo che irradiasse lungo il suo asse si definisce “Endfire”
Come realizzarle?Per esempio l’antenna “rombica”: una linea di trasmissione divaricata a forma di rombo e terminata su un carico adattato
le dimensioni sono scelte in modo che i campi associati ai lobi 1 e 2 (3’ e 4’) si sommino in fase, e i campi associati a 3 e 4 ( 1’ e 2’) si elidano, dando un puro comportamento endifire
Antenne filiformi a banda larga: Antenna a ElicaE’ una struttura con due modi di radiazione
Modo NORMALE: direzione di massimo ortogonale all’asse (broadside)
Modo ASSIALE: direzione di massimo sull’asse (endfire)
Antenne filiformi a banda larga: Antenna a Elica: Modo Normale
Dimensioni piccole rispetto alla lunghezza d’onda
In particolare C essendo C la circonferenza dell’elica
0nL essendo n il numero di avvolgimenti dell’elica
In modo “normale” il comportamento è piuttosto simile ad un dipolo: comportamento a banda stretta
Per il calcolo: vista l’ipotesi sulle dimensioni, analizziamo un unico avvolgimento; il campo totale sarà la sovrapposizione di n avvolgimenti, ma per le dimensioni piccole, la distribuzione complessiva non cambia
Antenne filiformi a banda larga: Antenna a Elica: Modo Normale
L’avvolgimento può essere trattato come sovrapposizione di: Spira (loop elementare) Dipolo elementare
uE sinr
eIDk
jkr
loop 4422
uE sinr
eISj
jkr
dipolo 4
+
Passo, quindi lunghezza del dipolo
Il diagramma di radiazione di entrambe le componenti è pari a quello del dipolo (sin)
Antenne filiformi a banda larga: Antenna a Elica: Modo Normale
uuE sinr
eISjsin
r
eIDk
jkrjkr
44422
Le due componenti sono Ortogonali tra loro Sfasate di /2
Il campo sarà generalmente a polarizzazione ellittica
Il rapporto tra gli assi dell’ellisse è
2
2
C
S
E
E
La polarizzazione diventa circolare se gli assi sono uguali (quindi il rapporto=1)
SC 2
Antenne filiformi a banda larga: Antenna a Elica: Modo Normale
Se si schiaccia molto l’ellisse, al limite riotteniamo una polarizzazione lineareIn particolare con un rapporto molto maggiore di 1 si ha una polarizzazione lineare verticale
Molto usato nei telefoniniIl diagramma di radiazione è omnidirezionale come il dipoloma, a parità di efficienza di radiazione, le dimensioni sono molto contenutePer esempio: eliche su piano di massa di dimensioni </8 (quindi “corte”) la resistenza di radiazione è
][6402
h
Rrad
molto maggiore di un dipolo “corto”
Antenne filiformi a banda larga: Antenna a Elica: Modo Assiale
Se le dimensioni sono grandi rispetto alla lunghezza d’onda, comportamento endfire
La corrente non è più uniforme, ed i contributi si sommano a dare un comportamento endfire
Banda larga e polarizzazione circolare
Valore ottimale dimensioni:
3
4
4
3C
C
Rrad 140
Resistenza di radiazione
Antenne filiformi a banda larga: Antenna a Elica: Modo Assiale
All’aumentare del numero di passi, il lobo diventa più stretto