NELINEÂRU VIENÂDOJUMU ATRISINÂMÎBA

Satura râdîtâjs

Priekðvârds...................................................................2 lppIevads...........................................................................3 lpp1. Apzîmçjumi un terminoloìija.......................................4 lpp2. Îss pamatmetoþu pârskats..........................................8 lpp3. Bola-Brauera teorçma..............................................13 lpp4. Ilustrâcijas Bola-Brauera teorçmai................................22 lpp5. Monotono operatoru metode.........................................24 lpp6.Potenciâlo operatoru metode........................................28 lpp7.Attçlojumu topoloìiskâ pakâpe......................................32 lpp8. Ðaudera princips......................................................47 lpp9. Saspiedoðo attçlojumu princips.....................................57 lpp

LITERATÛRAS SARAKSTS........................................................59 lpp

1

PRIEKÐVÂRDSÐaja mâcîbu lîdzeklî aplûkotas galvenâs metodes|tâdas ka Bola-Brauera ne-kustîgâ punkta princips, attçlojumu topoloìiskâ pakâpe u.c.kuras mûsdienumatemâtikâ lieto nelineâru vienâdojumu atrisinâmîbas pçtîjumos kâ galîgudimensiju telpâs tâ arî vienkârðâkos gadîjumos bezgalîgu dimensiju telpâs.

Satâdot ðo mâcîbu lîdzekli, galvenokârt tika izmantotas sekojoðas mono-grâfijas : N.Danfords un Dþ. Ðvarcs [ 1 ], A.Kufners un S.Fuèiks [ 3 ], S.Fuèiks, I. Òeèas, I. Souèeks u.c. [ 2 ].

Jâatzîmç, ka piedâvâtajos pierâdîjumos konsekventi izmantotas tikai ana-lîtiskas metodes, apzinâti izvairoties no tîri kombinatoriski topoloìiskâm me-todçm.

2

IEVADS

Viens no matemâtikas centrâlajiem jautâjumiem ir: vai dotai problçmaieksistç objekts, kuram piemît vajadþgâs îpaðîbas? Ðî jautâjuma nostâdne irïoti plaða, piemçram: vai eksistç nepârtraukta funkcija, kura nav atvasinâmanevienâ punktâ? Vai eksistç pirmskaitlis, kas ir lielâks par jau uzdoto skaitli?U.t.t. Faktiski jebkuras problçmas pçtîðanas gaitâ agri vai vçlu parâdâsjautâjums par vajadzîgâ objekta eksistenci. Taèu ikdienas matemâtikâ vaitâs pielietojumos visbieþâk jau noformulçtâ veidâ parâdâs jautâjums: vaidotajam vienâdojumam eksistç atrisinâjums?

Vienâdojumu atrisinâmîbas jautâjumam ir ïoti ilga vçsture, un jau seniegrieíi apzinâjâs tâ nozîmi. Tomçr sistemâtiski un dziïi pçtîjumi ir veiktigalvenokârt tikai pçdçjo gadusimtu laikâ. Piemçram, skolas matemâtikasstandartkursos vienâdojumu atrisinâmîba faktiski parâdâs un tiek pçtîta ti-kai divos gadîjumos: kvadrâtvienâdojuma gadîjumâ un lineâru vienâdojumusistçmu gadîjumâ ( kaut arî matricu determinantu jçdziens un nozîme paliekneatklâts).

Skaidrs, ka pietiekoði izsmeïoðas atbildes ðajos gadîjumos bija iespçjamsdot tikai vienâdojumu vienkârðîbas dçï: kvadrâtvienâdojumu nosaka trîsskaitliski parametri, bet lineâru vienâdojumu sistçmâm noteicoðais ir to de-finçto sakarîbu vienkârðais (lineârais) raksturs.

Pârejot uz vispârîgâkiem nelineâriem vienâdojumiem vai sistçmâm, si-tuâcija bûtiski mainâs, kaut vai tâpçc vien , ka daþâdu nelinearitçðu saimeir bezgalîga, kâ rezultâtâ mums jâoperç ar nedaudzâm, vairâk vai mazâkvispârîgâm , abstraktâm attçlojumu îpaðîbâm.

Piemçram, Diofanta vienâdojumu atrisinâmîba viepârîgâ gadîjumâ ir al-goritmiski neatrisinâma problçma. Tâpat arî jautâjums par vispârîgu al-gebrisku vienâdojumu sistçmu atrisinâmîbu reâlo skaitïu laukâ. Protams, tepâreja no reâlo skaitïu laukiem uz komplekso skaitïu laukiem bûtiski izmainaattiecîgo vienâdojumu atrisinâmîbas jautâjumu.

Tomçr, tâ jau ir cita problçma. Tikai atzîmçsim, ka pâreja no reâlo skaitïulauka uz komplekso skaitïu lauku, vai vçlâkos laikos pâreja no diferenciâlvie-nâdojumu klasiskajiem atrisinâjumiem uz vispârinâtajiem atrisinâjumiem irdevuði ïoti daudz matamâtikas attîstîbai.

Mûsu kursâ aplûkosim, galvenokârt, nelineârus vienâdojumus n dimen-siju Eiklîda telpâ Rn . Bet tâ kâ daïa galîgu dimensiju gadîjuma rezultâtubez lielâm grûtîbâm ir pârformulçjami uz bezgalîgu dimensiju Banaha tel-pâm, tad kursâ tiek iekïauts arî Ðaudera princips un saspiedoðo attçlojumuprincips.

3

1. Apzîmçjumi un terminoloìija

Turpmâk bez speciâla atgâdinâjuma vai paskaidrojuma tiks lietoti seko-joði apzîmçjumi un termini.Rn n-dimensiju Eiklîda telpa.

x := (x1, ..., xn), y := (y1, ..., yn) telpas Rn elementi (tiks lietots arîtermins 'telpas punkts').

< ·, · > skalârais reizinâjums Eiklîda telpâ Rn.| · | Eiklîda telpas elementa modulis.c ar indeksiem vai bez ir konstantes, kuru konkrçtâ vçrtîba nav bûtiska.A t t ç l o j u m s likums vai atbilstîba, kas vienas kopas elementiem

piekârto citas (vai arî tâs paðas ) kopas elementus.O p e r a t o r s realizç attçlojumu. Attçlojumu un tam atbilstoðo ope-

ratoru parasti apzîmçsim ar vienu un to paðu simbolu.F : Rn → Rm simbolisks pieraksts izteikumam ôperators F attçlo telpu

Rn iekð telpas Rm, t.i. katram telpas Rn elementam x operators F piekârtokâdu telpasRm elementu, kuru apzîmç ar F (x). Ja operators F definçts tikaikâdas apakðkopas D ⊂ Rn elementiem un pieòem vçrtîbas kopâ M , tad topieraksta F : D → M . Ja katram kopas M elementam y eksistç x ∈ Dtâds, ka y = F (x), tad saka, ka operators F attçlo kopu D uz kopu M .Lai konkretizçtu operatora F argumentu simboliku, lieto, pieïaujot zinâmunekonsekvenci, pierakstu F = F (x) vai F = F (x), x ∈ D . Ja operatorsatkarîgs no vairâkiem funkcionâliem argumentiem, piemçram F definçts divutelpuR unRn Dekarta reizinâjumâ, tad to pieraksta F : R×Rn → Rm, F =F (t, x), (t, x) ∈ R×Rn. Pieraksts F (t, ·) nozîmç, ka tiek aplûkots operators,kas attçlo telpu Rn iekð telpas Rm un kura vçrtîba uz elementa x ∈ Rn irvienâda ar F (t, x) ∈ Rm.

Eiklîda telpu gadîjumâ operators F : Rn → Rm tiek uzdots ar m funkci-jâm

F1 : R→ R, ... , Fm : Rn → R,

kuras sauc par attçlojuma F komponentçm. Sakarîbu starp operatoru F untâ komponentçm parasti pieraksta kâ F = (F1, ..., Fm) un parasti operatorakomponentes tiek apzîmçtas ar to paðu simbolu kâ operators, tikai ar papildusapakðçjiem indeksiem.

A p a k ð ç j i e i n d e k s i tiks lietoti, lai apzîmçtu elementux ∈ Rn vai operatoru F : RN → Rn komponentes, attiecîgi x = (x1, ..., xn)vai F = (F1, ..., Fn). Izòçmums ir apzîmçjot Banaha telpas elementus, kurparasti apakðçjos indeksus lieto , lai atðíirtu Banaha telpas elementus.

A u g ð ç j i e i n d e k s i tiks lietoti, lai atðíirtu vienu no otraelementus vai operatorus, piem., F k : Rn → Rm, k = 1, 2, ... .

4

A p g a b a l s mûsu mâcîbu lîdzeklî ar apgabalu vienmçr tiek saprastavaïçja ierobeþota Eiklîda telpas Rn kopa, kas homeomorfa vienîbas lodei unkuras robeþa ir gabaliem gludavismaz tik gluda ,lai dotajam apgabalam bû-tu pielietojama Ostrogradska -Gausa formula. Ja apgabalu apzîmç , teiksimar simbolu Ω, tad tâ robeþu apzîmç ar ∂Ω. Apgabala Ω slçgumu apzîmç arΩ.

I z l i e k t a k o p a kopu M ⊂ Rn sauc par izliektu, ja no x1, x2 ∈ Mseko

tx1 + (1− t)x2 ∈M ∀t ∈ [0, 1].

m e a s kopas Lebega mçrs.:= simbols, kas norâda, ka kâds objekts tiek definçts ar cita objekta vai

formulas palîdþibu.R+ := x ∈ R | x > 0 .Bnρ := x ∈ Rn || x |< ρ.

Bnρ (x∗) := x ∈ Rn | | x− x∗ |< ρ.

C(Ω) visu apgabala Ω slçgumâ definçtu nepârtrauktu funkciju kopa arnormu

‖ u ‖:= maxx∈Ω| u(x) | .

Ck(Ω) ,kur k ir naturâls skaitlis, ir visu apgabala Ω slçgumâ definçtunepârtrauktu un nepârtraukti atvasinâmu lîdz k-tai kârtai funkciju telpa arnormu

‖ u ‖Ck := maxx∈Ω| u(x) |

+k∑s=1

∑|j|=s| ∂su(x)

∂j1 · · · ∂jn|,

| j |:= j1 + · · ·+ jn.

F ∈ Ck(Ω) operators F : Ω → Rm, kura komponentes F1, ..., Fm piederCk(Ω).

F ′ dota operatora F : D → Rm, D ⊂ Rn, atvasinâjums, kas analitiskiizsakâs ar sekojoðu F komponenðu parciâlo atvasinâjumu matricu|J a k ob i m a t r i c u

F ′ =

F1x1 · · ·F1xn

· · ·Fmx1 · · ·Fmxn

Atvasinâjumu, izrçíinâtu punktâ x apzîmç ar F ′(x).J a k o b i â n s kvadrâtiskas Jakobi matricas determinants. Gadîju-

mâ , ja aplûko operatoru, kas atkarîgs no vairâkiem atðíirîgiem pçc bûtîbas

5

argumentiem, piemçram F = F(t, x), tad ar JxF(t, ·) apzîmç attçlojumaF(t, ·) : Rn → Rn Jakobi matricas determinantu (arguments t te spçlç pa-rametra lomu).

sign reâliem argumentiem definçta funkcija

signt :=

−1 , ja t < 0,0 , ja t = 0,1 , ja t > 0.

suppf f u n k c i j a s n e s ç j s tiek definçts kâ visu to punktu x kopasslçgums, kuriem f(x) 6= 0. Te jâpiezîmç, ka ja suppf ⊂ Ω, kur Ω ir vaïçjsapgabals, tad eksistç δ > 0 tâds, ka f(x) = 0 visiem x, kuriem attâlums nox lîdz apgabala Ω robeþai mazâks par δ.

Atgâdinâsim daþas matemâtiskâs analîzes teorçmas, kuras turpmâk tiksizmantotas.

V e i e r ð t r â s a t e o r ç m a. Ja kopa D ⊂ Rn ir ierobeþota un slçgtaun f ∈ C(D), tad katram ε > 0 eksistç n mainîgo polinoms P tâds, ka

| P (x)− f(x) |< ε ∀x ∈ D.

T e o r ç m a p a r a i z k l â t o f u n k c i j u . Ja apgabals Ω ⊂ Rn

un attçlojums F : Ω→ Rn ir tâdi, ka

(i) F ∈ C1(Ω);

(ii) x0 ∈ Ω un a0 = F (x0);

(iii) JF (x0) 6= 0,

tad eksistç δ > 0 un η > 0 tâdi, ka katram a ∈ Rn, | a − a0 |< η eksistçviens vienîgs x = x(a) tâds, ka | x(a) − x0 |< δ un F (x(a)) = a. Pie tamfunkcija a→ x(a) ir nepârtraukta un vienreiz nepârtraukti atvasinâma lodç| a− a0 |< η.

G a u s a O s t r o g r a d s k a formula. Ja Ω ⊂ Rn ir apgabals argabaliem gludu robeþu un f, g ∈ C1(Ω), tad∫

Ωg(x)fxi(x)dx =

∫∂Ωg(x)f(x) cos(−→n ,−→e i)dS −

∫Ωgxi(x)f(x)dx,

kur −→n ir robeþas ∂Ω ârçjâs normâles vienîbas vektors punktâ x, bet −→e i irvienîbas orts koordinâtu ass

−−→Oxi virzienâ.

I n t e g r â ï i a t k a r î g i n o p a r a m e t r a Ja f : [a, b]×Ω→ Rir tâda, ka

(i) f ir nepârtraukta;

6

(ii) funkcijai f eksistç parciâlais atvasinâjums ft , kas ir nepârtraukts [a, b]×Ω,

tad funkcija

I(t) :=∫

Ωf(t, x)dx

ir nepârtraukta un nepârtraukti atvasinâma segmentâ [a, b] un

I ′(t) =∫

Ωf ′t(t, x)dx.

A r gu m e n t u m a i ò a v a i r â k k â r t î g a j o s i n t e g r â ï os .

Ja doti apgabali Ω ⊂ Rn ar elementiem x un apgabals Ω′ ⊂ Rn ar

elementiem y un attçlojums F : Ω→ Ω′tâds, ka

(i) F ∈ C1(Ω);

(ii) F attçlo apgabalu Ω uz apgabalu Ω′savstarpçji viennozîmîgi;

(iii) JF (·) apgabalâ Ω nemaina zîmi,

tad jebkurai funkcijai f ∈ C(Ω′) ir spçkâ∫Ω′f(y)dy =

∫Ωf(F (x)) | JF (x) | dx.

7

2. Îss pamatmetoþu pârskats

Nelineâru vienâdojumu atrisinâmîbas pçtîjumos var, vairâk vai mazâknosacîti, izdalît sekojoðas metodes, kuras praksç bieþi savstarpçji mijiedar-bojas.

I. M o n o t o n u o p e r a t o r u m e t o d e.DEFINÎCIJA 2.1. Operatoru F : Rn → Rn sauc parm o n o t o n u , ja

< F (x)− F (y), x− y >≥ 0 ∀x, y ∈ Rn;

s t i n g r i m o n o t o n u , ja

< F (x)− F (y), x− y >> 0 ∀x 6= y ∈ Rn;

s t i p r i m o n o t o n u , ja eksistç pozitîva konstante ν tâda, ka

< F (x)− F (y), x− y >≥ ν | x− y |2 ∀x, y ∈ Rn.

Viegli redzçt, ka vienas dimensijas gadîjumâ (n = 1) stipri monotonaifunkcijai f ir sekojoðas îpaðîbas

f(x)→∞, ja, x→ +∞,

f(x)→ −∞, ja, x→ −∞.

Ja funkcija f ir arî nepârtraukta, tad , acîmredzot, katram a ∈ R eksistçtâds x ∈ R (pie tam viens vienîgs) , ka f(x) = a.

Kâ monotonu funkciju piemçrus var minçt f(x) = ex vai f(x) = x3, vaif(x) = x3 + x , pie kam pçdçjâ funkcija ir stipri monotona.

Attçlojumu monotonitâtes îpaðîba ir viegli vispârinâma uz operatoriemBanaha telpâs un to plaði pielieto nelineâru elliptisku vai parabolisku vie-nâdojumu atrisinâmîbas pçtîjumos. Tâlâku informâciju par ðo metodi varatrast, piemçram, monogrâfijâ [4].

B o l a - B r a u e r a n e k u s t î g â p u n k t a m e t o d e .Ðîs metodes bûtîba precîzi izsakâs sekojoðâ teorçmâ.

TEORÇMA 2.1.(Bola-Brauera teorçma ). Ja

(i) D ⊂ Rn ir ierobeþota, izliekta un slçgta kopa;

(ii) F : D → D ir nepârtraukts attçlojums,

8

tad eksistç punkts x0 ∈ D tâds, ka F (x0) = x0.

Ðî teorçma ir viens no bâzes rezultâtiem nelineâru vienâdojumu atrisi-nâmîbas pçtîjumos un bieþi parâdâs kâ starpposms daudzos pierâdîjumospar nelinâru vienâdojumu atrisinâmîbu arî bezgalîgu dimensiju gadîjumos.Interesanti atzîmçt, ka ðîs teorçmas apgalvojumu nedaudz savâdâkâ formulç-jumâ pirmais publicçja Rîgas matemâtiíis Pirss Bols (Pirs Bohl) 1904.gadâ,bet teorçmas pilno formulçjumu L.Brauers (L.E.J. Brouwer) publicçja 1911.gadâ.

S a s p i e d o ð o a t t ç l o j u m u p r i n c i p s.DEFINÎCIJA 2.2. Attçlojumu F : Rn → Rn sauc par s a s p i e d o ð u,

ja eksistç konstante q, 0 ≤ q < 1 tâda, ka

| F (x)− F (y) |≤| x− y | ∀x, y ∈ Rn.

Attiecîgais rezultâts ir

TEORÇMA 2.2. Ja F : Rn → Rn ir saspiedoðs, tad katram a ∈ Rn

vienâdojumsx = F (x) + a

ir viennozîmîgi atrisinâms attiecîbâ pret x ∈ Rn.

Saspiedoðo attçlojumu princips bez grûtîbâm ir vispârinâms uz Banahatelpâm.

A t t ç l o j u m u (o p e r a t o r u ) t o p o l o ì i s k â s p a k â p es (i n d e k s a ) m e t o d e .

Precîzas definîcijas un apraksts tiks doti vçlâk (6. nodaïâ), bet pagaidâmaplûkosim vienkârðu ilustratîvu piemçru.

PIEMÇRS 2.1. Dota kopa D := x ∈ R | −1 ≤ x ≤ 1 un nepârtrauktagabaliem gluda funkcija f : D → R. Mûs interesç jautâjums, vai vienâdoju-mam

f(x) = 0

kopâ D eksistç atrisinâjums?Ja f(−1) = 0 vai f(1) = 0 , tad mûsu vienâdojumam eksistç atrisinâjums.

Tâpçc turpmâk aplûkosim tikai gadîjumu, kur f(−1) 6= 0, f(1) 6= 0. Pieòem-sim vçl, ka kopâ D eksistç galîgs skaits punktu x1, ...xN tâdu, ka f(xi) = 0 unpieòemsim vçl, ka ðajos punktos f ′(xi) 6= 0. Te ir iespçjami divi principiâliatðíirîgi gadîjumi, kuri attçloti zîmçjumos 1. un 2. Pirmajâ gadîjumâ (sk.1. zîmçjumu) mçs varam funkcijas f grafiku nepârtraukti deformçt tâ, laitiktu ievçrots noteikums

9

(• ) | f(−1) |> δ, | f(1) |> δ.

un nonâkt pie funkcijas, piemçram, f(x) ≡ 1, x ∈ D, ar kuru mûsu vienâdo-jumam neeksistç atrisinâjums.

Otrajâ gadîjumâ (sk. 2. zîmçjumu) , lai kâ mçs nepârtraukti deformçtufunkcijas f grafiku ievçrojot noteikumu (•), iznâkumâ vienmçr bûs funkcija,ar kuru mûsu vienâdojumam eksistç vismaz viens atrisinâjums.

Atðíirîba abos gadîjumos ir lielumâ

N∑i=1

signf ′(xi).

6

-

x

y

@

@@@@@@@@@@@@δ δ

y = f1(x)

x1 x2

1.zimejums. signf ′(x1) + signf ′(x2) = 0

10

6

-

x

y

@@@@@@@@@@@@@

2δ

δ

y = f2(x)

x1 x2 x3

2.zîmçjums. signf ′2(x1) + signf ′2(x2) + signf ′2(x3) = 1

Ω

Izejot no ðîs ainas attçlojumu topoloìiskâs pakâpes ideja ir sekojoða:Fiksçtiem ierobeþotam apgabalam Ω ⊂ Rn, attçlojumam F : Rn → Rn

un elementam a ∈ Rn konstruç attçlojumu saimi F : [0, 1]×Rn → Rn tâdu,ka

(i) F ir nepârtraukts;

(ii) eksistç pozitîva konstante α tâda, ka | F(t, x)−a |≥ α ∀(t, x) ∈ [0, 1]×∂Ω;

(iii) F(1, ·) = F (·) ,un F(0, ·) ir attçlojums, kuram viegli var sameklçtvienâdojuma F(0, x) = a saknes xi ar JxF(0, xi) 6= 0 un viegli varizrçíinâ lieluma d :=

∑Ni=1 signf ′(xi) analogu d :=

∑Ni=1 JxF(0, xi).

Tad, ja lielums d nav vienâds ar nulli, var parâdît , ka vienâdojumam F (x) =a apgabalâ Ω eksistç vismaz viens atrisinâjums. Ðajâ deformâcijas procesâ,varbût vissvarîgâkais, ir punkts (ii), kas garantç mûsu vienâdojuma sakòu "neaizieðanu" pâri par apgabala Ω robeþu.

P o t e n c i â l o o p e r a t o r u m e t o d e (vai kritiskâ punktaprincips).

Nereti, it seviðíi uzdevumos, kas saistîti ar fizikâlâm problçmâm, izrâdâs,ka vienâdojums

F (x) = 0

11

ir kâda funkcionâïa I ekstrçma nepiecieðamais nosacîjums, piemçram, Eile-ra vienâdojums variâciju rçíinu uzdevumos. Tâdâ gadîjumâ vienâdojumaatrisinâmîbu var reducçt uzjautâjumu, vai atbilstoðais funkcionâlis sasniedzsavu minimu (vai maksimu)? Ja minims tiek sasniegts, teiksim punktâ x0,tad ðajâ punktâ

I ′(x0) = F (x0) = 0,

un mûsu vienâdojumam eksistç atrisinâjums.Ðim principam ir daudzas modifikâcijas, it seviðíi bezgalîgas dimensijas

telpu gadîjumos. Kâ vienu no interesantâkajâm var pieminçt tâ saucamo "lemmu par kalnu pâreju" , kuru aptuveni var ilustrçt ar sekojoðu piemçru.

PIEMÇRS 2.2. Dots vaïçjs riòíis B1 := x ∈ R2 | | x |< 1 un gludafunkcija f : R2 → R tâda, ka

(i)

minx∈B1

f(x) < minx∈∂B1

f(x);

(ii) eksistç punkts x∗ 6∈ B1 tâds, ka

f(x∗) < minx∈∂B1

f(x);

(iii) ja virkne xk ir tâda, ka f ′(xk) → 0, ja k → ∞, tad virkne xkkonverìç,

tad var parâdît, ka eksistç vismaz divi punkti x1 un x2 tâdi ka f ′(x1) = 0 unf ′(x2) = 0.

Bez augstâk uzskaitîtajâm metodçm nelineâru vienâdojumu pçtîðanâ tiekizmantotas arî daudzas citas, piemçram, teorçma par aizklâto funkciju, at-risinâjumu turpinâðana pçc parametra, speciâlas iterâcijas u.t.t. Tomçr, jauaprakstîtâs metodes veido bâzes idejas.

12

3. Bola-Brauera teorçma

Bola-Brauera teorçma jau tika noformulçta iepriekðçjâ nodaïâ. Pirmssâkt ðîs teorçmas pierâdîjumu pçc bûtîbas , pierâdîsim divus palîgrezultâtus,kurus izmantosim arî tâlâkajâs nodaïâs.

LEMMA 3.1. Ja F : Rn+1 → Rn,

F =

F1(x0, x1, ..., xn)...Fn(x0, x1, ..., xn)

,pieder C2(Rn+1) un ar Ai, i = 0, 1, ..., n apzîmç attçlojuma F Jakobi matri-cas minorus, kurus iegûst izstrîpojot no JF (·) i-to kolonu, piemçram,

An := det

F1x0 ... F1xn−1

...Fnx0 ... Fnxn−1

.Tad

d :=n∑i=0

(−1)i∂

∂xiAi = 0.

Pierâdîjums. Tas balstâs uz determinantu atvasinâðanas formulu, saskaòâ arkuru n× n-matricas B atvasinâjums pçc parametra, teiksim t, ir vienâds arn determinantu summu

∑ni=1 detBi, kur matricu Bi iegûst no matricas B,

aizvietojot tajâ i-tâs kolonas elementus ar to atvasinâjumiem pçc parametrat. Tâpat tiek izmantots labi zinâmais fakts, ka matricâ, apmainot vietâmdivas blakus esoðas kolonas, tâs determinants maina zîmi. No ðîm îpaðîbâmseko

∂

∂xiAi =

∑0≤j<i

(−1)jAij +∑i<j≤n

(−1)j−1Aij,

kur

Aij := det

F1xixj F1x0 , ... F1xn

...Fnxixj Fnx0 ... Fnxn

,un matricâ, kas nosaka Aij nav kolonu ar pirmâs kârtas parciâlajiem atv-asinâjumiem pçc xi un pçc xj ( jo Ai izteiksmç matrica nesatur kolonu arparciâlajiem atvasinâjumiem pçc xi ). Ievietojot iegûtâs Ai atvasinâjumuizteiksmes formulâ priekð d bûs

d =n∑i=0

(−1)i∂

∂xiAi =

n∑i,j=1

(−1)i+jsign(i− j)Aij,

13

un analogi (vienkârði pârsaucot indeksus)

d =n∑j=0

(−1)j∂

∂xjAj =

n∑i,j=1

(−1)j+isign(j − i)Aji.

Tâ kâ sign(·) ir nepâru funkcija, bet Aij = Aji, tad no abâm iepriekðçjâmsakarîbâm seko d = (−1)d, kas dod vajadzîgo vçrtîbu d = 0. •

LEMMA 3.2. Ja apgabals Ω ⊂ Rn un attçlojums F : [0, 1]× Ω→ Rn irtâdi, ka

(i) F ∈ C2([0, 1]× Ω);

(ii

∂

∂tF(t, x) = 0 ∀(t, x) ∈ [0, 1]× ∂Ω,

tad lielumsI(t) :=

∫ΩJxF(t, x)dx

nav atkarîgs no t ∈ [0, 1].Pierâdîjums. Tâ kâ F pieder C2, tad lielums I(t) ir nepârtraukts, nepâr-

traukti atvasinâms pçc t un atvasinâjumu var ienest zem integrâïa zîmes ( sk.teorçmu par integrâïiem, atkarîgiem no parametra ). Pierakstu vienkârðîbasdçï apzîmçsim mainîgo t ar x0. Tad

d

dx0

I(x0) =∫

Ω

∂

∂x0

A0(x0, x1, ..., xn)dx1...dxn,

kur apzîmçjums A0 òemts no iepriekðçjâs Lemmas 3.1 attçlojumam F .Tagad no Lemmas 3.1 un Ostrogradska-Gausa formulas izriet

d

dx0

I(x0) = −n∑i=1

(−1)i∫∂ΩAi cos(−→n ,−→e i)dS.

Bet katrs determinants Ai satur kolonu ar F atvasinâjumiem pçc x0, kurisaskaòâ ar nosacîjumu (ii) ir vienâdi ar nulli uz apgabala Ω robeþas. Tâ-pçc lielumi Ai uz apgabala Ω robeþas ir vienâdi ar nulli, kas dod vajadzîgosakarîbu

d

dx0

I(x0) = 0∀x ∈ [0, 1].

Bola-Brauera teorçmas pierâdîjums vienibas lodei. Apzîmçsim ar Dslçgto vienîbas lodi telpâ Rn, t.i. D := x ∈ Rn | | x |≤ 1. Sâksim ar

14

gadîjumu, kur F ∈ C2(D) un pieòemsim, ka teorçma nav pareiza, t.i., laigan F attçlo lodi D sevî, tomçr nekustîgais punkts neeksistç. Tagad nokopas D kompaktîbas un F nepârtrauktîbas uzreiz seko, ka eksistç pozitîvakonstante ν > 0 tâda, ka

| F (x)− x |≥ ν ∀x ∈ D,

(pretçjâ gadîjumâ no kopas D kompaktîbas mçs iegûtu virkni xk ⊂ D, kaskonverìç uz kâdu D elementu x0, kuram izpildâs F (x0) = x0 ).

Katram x ∈ D aplûkosim vienâdojumu

| x+ ϕ[x− F (x)] |2= 1

attiecîbâ pret ϕ ∈ R. Tas ir kvadrâtvienâdojums un tâ lielâkâ sakne ir

ϕ =− < x, x− F (x) > +

√< x, x− F (x) >2 +(1− | x |2) | x− F (x) |2

| x− F (x) |2(3.1)

Ðajâ izteiksmç saucçjs vienmçr lielâks par ν. savukârt, zemsaknes izteik-sme vienmçr ir nenegatîva. Tâ var bût vienâda ar nulli tikai tad kad vienâun tai paðâ laikâ abi lielumi 1− | x |2 un < x, x− F (x) > ir vienâdi ar nulli.Bet tad bûtu < x, F (x) >= 1, kas, ievçrojot to , ka abi elementi x un F (x)pieder kopai D, nozîmçtu, ka x = F (x), kas ir pretrunâ ar mûsu pieòçmu-mu. Tâdejâdi zemsaknes izteiksme nevienam x ∈ D vav vienâda ar nulli un,atkal izmantojot kopas D kompaktîbu un zemsaknes izteiksmes nepârtrauk-tîbu, iegûstam, ka zemsaknes izteiksme visim aplûkojamajiem argumentiemir lielâka par kâdu pozitîvu konstanti ν1. No ðejienes seko, ka mûsu sakarîba(3.1) definç funkciju ϕ = ϕ(x), kura ir tikpat gluda kâ F , tâtad, vismazϕ ∈ C2(D). Atzîmçsim vçl, ka ja | x |= 1, tad (3.1) dod ϕ(x) = 0.

Definçsim operatoru F : [0, 1]×D → Rn kâ

F(t, x) := x+ tϕ(x)(x− F (x)),

kur funkcija ϕ definçta ar sakarîbu (3.1), un aplûkosim lielumu

I(t) :=∫DJxF(t, x)dx, t ∈ [0, 1].

Tâ ka ϕ(x) = 0 tiklîdz | x |= 1, t.i., x ∈ ∂D, tad

∂

∂tF(t, x) = 0 ∀(t, x) ∈ [0, 1]× ∂D,

tad izpaldîti visi Lemmas 3.2 nosacîjumi un lielums I(·) nav atkarîgs noargumenta t izvçles.

15

Ja t = 0, tad F(0, x) = x un JxF(0, x) = 1, t.i., I(0) = 1.No otras puses, ja t = 1, tad no ϕ un F definîcijâm seko, ka attçlojums

F(1, ·) apmierina netriviâlu funkcionâlu sakarîbu

| F(1, x) |2≡ 1 ∀x ∈ D,

kuru atvasinot, iegûstam

2F1(1, x)gradF1(1, x) + · · · + 2Fn(1, x)gradFn(1, x) = 0 ∀x ∈ D,

t.i. attçlojuma F(1, ·) Jakobi matricas rindas ir lineâri atkarîgas katramx ∈ D ( mûsu funkcionâlâ sakarîba nozîmç, ka kaut viens no skaitïiem Fi(1, x)nav vienâds ar nulli). Tâtad JxF(1, x) = 0 ∀x ∈ D, kas dod I(1) = 0.

Iegûtâ pretruna starp lieluma I neatkarîbu no t un tâ daþâdâm vçrtî-bâm segmenta [0, 1] galapunktos nozîmç, ka mûsu pieòçmums par to , kaattçlojumam F kopâ D nav nekustîgi punkti, bija aplams. Tâdejâdi, esampierâdîjuði, ka lodes D gadîjumâ katram divreiz nepârtraukti atvasinâmamattçlojumam F : D → D eksistç nekustîgais punkts.

Vispârîgais nepârtraukta attçlojuma F : D → D gadîjums tiek aplûkotssekojoðâ veidâ.

Ja F : D → D ir tikai nepârtraukts, tad saskaòâ ar Veierðtrasa teorçmupar nepârtrauktu funkciju f : D → R aproksimâciju ar polinomiem, katramk = 2, 3, ... eksistç polinomiâls attçlojums P k : D → Rn tâds, ka

| P k(x)− F (x) |≤ 1

k∀x ∈ D.

Definçsim attçlojumus F k : D → Rn, k = 2, 3, ... kâ

F k(x) :=k

k + 1P k(x), x ∈ D.

Pçc kostrukcijas

| F k(x) |≤ 1 ∀x ∈ D un | F k(x)− F (x) |≤ 2

k + 1∀x ∈ D.

Pçc iepriekð pierâdîtâ ( attçlojumi F k ir gludi un attçlo lodi D sevî ) katramk eksistç xk ∈ D tâds, ka

F k(xk) = xk.

Tâ kâ kopa D ir kompakta, tad, nesamazinot vispârîgumu, var uzskatît, kavirkne xk konverìç uz kâdu kopas D elementu x0.

Pârejot uz robeþu k →∞ sakarîbâ

| xk − F (xk) |=| xk − F k(xk) + F k(xk)− F (xk) |≤ 0 +2

k + 1

16

un izmantojot attçlojuma F nepârtrauktîbu , iegûstam

x0 = F (x0),

kas dod nekustîgâ punkta eksistenci nepârtrauktam attçlojumam vienîbaslodi sevî.

Bola-Brauera teorçmas pierâdîjums visparîgâ gadîjumâ. Aplûkojam pat-vaïîgu ierobeþotu izliektu slçgtu kopu D ⊂ Rn un nepârtrauktu attçlojumuF : D → D. Nesamazinot vispârîgumu , var uzskatît, ka telpas Rn nulleselements 0 pieder kopai D. pretçjâ gadîjumâ ar vienkârðu transformâciju

D ⇒ D′ := x′ ∈ Rn | x′ = x− x∗; F ⇒ F , F (x′) := F (x′ + x∗),

kur x∗ ir patvaïîgs fiksçts kopas D elements,mçs iegûtu situâciju, kurâ nulleselements pieder kopai D′.

Ja kopa D ir homeomorfa vienîbas lodes slçgumam Bn

1 , t.i., eksistç ne-pârtraukts savstarpçji viennozîmîgs attçlojums F : D → B

n1 , kura inversais

attçlojums F−1 : Bn1 → D arî ir nepârtraukts, tad attçlojumu kompozîcija

FFF−1 : Bn1 → B

n1

ir nepârtraukts un attçlo slçgto vienîbas lodi sevî. Pçc jau pierâdîtâ tameksistç nekustîgs punkts

y0 = FFF−1(y0).

Iedarbojoties uz ðîs vienâdîbas abâm pusçm ar operatoru F−1 iegûsim

F−1(y0) = F (F−1(y0)),

t.i., elements x0 := F−1(y0) pieder kopai D un ir mûsu meklçtais nekustîgaispunkts x0 = F (x0).

Vispârîgajâ gadîjumâ ir ispçjamas divas situâcijas

(I) nulles elements 0 ir kopas D iekðçjs punkts, t.i.,eksistç d > 0 tâds, kakopa x ∈ Rn | | x |< d ⊂ D;

(II) kopâ D neeksistç neviens iekðçjs punkts (situâciju, kurâ kopai D ir cits,nevis 0, iekðçjs pukts x∗ ar iepriekð minçto transformâciju bez grûtîbâmreducç uz situâciju, kurâ 0 ir iekðçjais punkts).

Sâksim ar gadîjumu (I), kurâ kopa D satur lodi B1d . Mûsu mçríis ir parâdît,

ka ðajâ gadîjumâ kopa D ir homeomorfa vienîbas lodei.Nesamazinot vispârîgumu, var uzskatît, ka d = 1 ( pretçjâ gadîjumâ ar

vienkârðu transformâciju x ⇒ x′ := 1dx; F ⇒ F (x′) := 1

dF (dx′) iegûstam

situâciju, kurâ d = 1).

17

Definçsim funkciju p : Rn → R+ kâ

p(x) := inft ∈ R+ |1

tx ∈ D

(reâli lielums p(x) vienâds ar stara, kas iet no 0 punkta caur punktu x , daïas,kas ietilpst D , garumu un inf funkcijas p definîcijâ jâlieto gadîjuma x = 0dçï).

Funkcijai p ir sekojoðas îpaðîbas

(1) p(x) > 1, ja x 6∈ D un 0 ≤ p(x) ≤ 1, ja x ∈ D;

(2) p(λx) = λp(x)∀x ∈ Rn, ∀λ ∈ R+;

(3) p(x) ≤| x | ∀x ∈ Rn un p(x) ≥ 1h| x | ∀x ∈ Rn, kur h := maxx∈D | x |;

(4) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ Rn;

(5) | p(x)− p(y) |≤| x− y | ∀x, y ∈ Rn.

Pirmâ un otrâ funkcijas p îpaðîbas tieði izriet no tâs definîcijas. Treðâsîpaðîbas pirmâ nevienâdîba izriet no tâ , ka kopa D satur vienîbas lodi, betotrâ nevienâdîba izriet no tâ, ka elementi

h

| x |x, x 6= 0,

atrodas ârpus kopas D vai pieder D robeþai.4.îpaðîbu pierâda sekojoðâ veidâ. Izvçlamies skaitïus a un b tâdus, ka

a > p(x) un b > p(y). No funkcijas p definîcijas tieði seko, ka elementi

1

ax un

1

by

pieder kopai D. Elementâri pârveidojumi dod

x+ y

a+ b=

a

a+ b· 1

ax+

b

a+ b· 1

by,

kas kâ divu kopas D elementu izliekta kombinâcija arî pieder kopai D. Tagadno funkcijas p îpaðîbâm (2) un (1) seko

1

a+ bp(x+ y) = p(

x+ y

a+ b) ≤ 1

un, pârejot ðajâ sakarîbâ uz robeþâm a → p(x) un b → p(y), iegûsim (4)îpaðîbu.

18

Savukârt, no (4) îpaðîbas izriet

p(x) = p(x+ y − y) ≤ p(y) + p(x− y),

p(y) = p(y + x− x) ≤ p(x) + p(y − x),

vai, pârnesot lielumus p(x) un attiecîgi p(y) nevienâdîbu kreisajâ pusç unizmantojot (3) îpaðîbu

p(x)− p(y) ≤ p(x− y) ≤| x− y |,

p(y)− p(x) ≤ p(y − x) ≤| y − x | .

No abâm pçdçjâm nevienâdîbâm jau tieði seko funkcijas p (5) îpaðîba.Iegûtâs funkcijas p îpaðîbas garantç, ka attçlojums F : Rn → Rn,

F(x) :=

p(x)|x| x, x 6= 0,

0 x = 0,

realizç kopas D homeomorfismu uz kopu Bn1 .

Tieðâm, attçlojums F ir definçts visâ telpâ Rn un tam eksistç inversaisattçlojums, definçts ar formulu

F−1(y) :=

|y|p(y)

y, y 6= 0,

0 y = 0,

Attçlojumu F un F−1 nepârtrauktîba kopâ Rn \ 0 izriet no funkcijas pnepârtrauktîbas, bet attçlojumu nepârtrauktîba punktâ 0 seko no funkcijasp (3) îpaðîbas.

Savukârt, tas ka F attçlo kopu D uz kopu Bn1 tieði seko no funkcijas p

definîcijas.Tâdejâdi, Bola-Brauera teorçma pierâdîta gadîjumâ, ja kopai D ir iekðçjs

punkts.Aplûkosim gadîjumu II. Apzîmçsim ar m maksimâlo lineâri neatkarîgo

kopas D elementu skaitu. Attiecîgos elementus apzîmçsim ar a1, ..., am. Jam = n, tad, tâ ka 0 ∈ D, elements

a0 :=1

n+ 10 +

n∑i=1

1

n+ 1ai

ir kopas D iekðejs elements. Tieðâm, ja elementam x ∈ Rn ir | x − a0 |< ε,tad ðim elementam ir sekojoðas îpaðîbas. Pirmâmkârtâm, no tâ, ka elementi

19

a1, ...an veido lineâri neatkarîgu sistçmu, seko ka elements x izsakâms kâx = t1a

1 + ...+ tnan un, tâtad,

n∑i,j=1

< ai, aj > (ti −1

n+ 1)(tj −

1

n+ 1) < ε2.

Tâ ka elementi a1, ...an ir lineâri neatkarîgi, tad matrica A,

A :=

< a1, a1 > ... < a1, an >...

< an, a1 > ... < an, an >

,ir pozitîvi definita, t.i., eksistç pozitîva konstante ν tâda, ka < Az, z >≥ ν |z |2 ∀z ∈ Rn. Tagad no iepriekðçjâ novçrtçjuma elementa x koeficientiemseko

| ti −1

n+ 1|< ε√

nν.

No ðejienes jau seko, ka pie pietiekoði maziem ε > 0 elementu x var izteiktkâ elementu 0, a1, ...an izliektu kombinâciju (jo pie maziem ε koeficienti ti irpozitîvi un to summa ir mazâka par 1 un " iztrûkumu" lîdz 1 var kompensçtar koeficientu t0 pie elemena 0 ). Tâ kâ kopa D ir izliekta, tad punkts a0 irkopas D iekðçjs elements.

Ja m < n, tad kopa D pieder elementu a1, ...am lineârai èaulai

Lina1; ...; am := z | z =m∑i=1

αiai, αi ∈ R, i = 1, ...,m.

Tâ kâ elementi a1, ..., am ir lineâri neatkarîgi, tad operators L,

L : Rm → Lina1; ...; am, Lα :=m∑i=1

αiai,

ir lineârs, savstarpçji viennozîmîgs, savstarpçji nepârtraukts un L−1 arî irlineârs un attçlo kopu D uz kâdu kopu D′ ⊂ Rm, kura ir slçgta, izliekta,ierobeþota un kura satur iekðçju punktu. Tieðâm, operatora L (kâ arî ope-ratora L−1 ) linearitâte seko no tâ definîcijas, tâ savstarpçjâ viennozîmîbaseko no elementu a1, ..., am lineârâs neatkarîbas, bet operatora L−1 nepâr-trauktîbu ( kas ir ekvivalenta operatora ierobeþotîbai) pierâda sekojoði. Jaoperators L−1 nebûtu ierobeþots, tad eksistçtu virkne αk ⊂ Rm tâda, ka

| αk |= 1, | Lαk |≤ 1

k, k = 1, 2, ....

20

Ievçrojot to, ka vienîbas sfçra telpâ Rm ir kompakta, nesamazinot vispâ-rîgumu, varam uzskatît, ka virkne αk konvergç uz kâdu elementu α0 ar| α0 |= 1. Bet tas ir pretrunâ ar to, ka operators L ir nepârtraukts, kaspçc robeþpârejas k → ∞ dod Lα0 = 0, un ka elelmenti a1, ..., am ir lineârineatkarîgi. Tagad kopas D′ izliektîba, ierobeþotîba un slçgtîba uzreiz se-ko no operatora L−1 îpaðîbâm. Pçc konstrukcijas, kopa D′ satur elementus0, e1, ..., em (elementi ei ir attiecîgie vienîbas orti ) un analoga konstrukcijakâ iepriekð dod, ka kopa D′ satur iekðçju punktu . Kopai D′ ir spçkâ Bola-Brauera teorçmas apgalvojums un, tâ ka tâ ir homeomorfa kopai D, tad arîkopai D ir spçkâ teorçmas apgalvojums.

Teorçma ir pierâdîta. •

21

4. Ilustrâcijas Bola-Brauera teorçmai

Apskatîsim piemçrus, kas parâda, ka Bola-Brauera teorçmas prasîbas ,vispârîgâ gadîjumâ , nevar atslâbinât, kâ arî piemçrus teorçmas lietojumiem.

PIEMÇRS 4.1. Kopas izliektîbas nepiecieðamîba.Aplûkosim kopu

D := x ∈ R2 | 1 ≤| x |≤ 2,

t.i., gredzenu, un attçlojumu

F : R2 → R2, F (x) := (−x2, x1),

t.i., rotâciju par leòíi π/2.Ir apmierinâtas visas Bola-Brauera teorçmas prasîbas, izòemot prasîbu

par kopas D izliektîbu. Acîmredzot, attçlojumam F kopâ D neeksistç ne-kustîgs punkts. •

PIEMÇRS 4.2. Kopas ierobeþotîbas nepiecieðamîba.Aplûkosim kopu D := R un attçlojumu

F : R→ R, F (x) := x+ 1,

t.i., translâciju. Atkal apmierinâtas visas teorçmas prasîbas, tikai ðoreiz iz-òemot prasîbu par kopas D ierobeþotîbu. Un, acîmredzot, attçlojumam Fneeksitç nekustîgais punkts. •

PIEMÇRS 4.3. Kopas slçgtîbas nepiecieðamîba.Aplûkosim kopu D := x ∈ R | 0 < x < 1 un atçlojumu F : D →

D, F (x) := x2 . Viegli redzçt, ka attçlojumam F kopâ D neeksistç nekustîgspunkts. •

PIEMÇRS 4.4. Attçlojuma nepârtrauktîbas nepiecieðamîba.Aplûkosim kopu D := x ∈ R | −1 ≤ x ≤ 1 un attçlojumu F : D →

D,

F (x) :=

1, ja − 1 ≤ x ≤ 0,−1, ja 0 < x ≤ 1.

Un atkal, attçlojumam F kopâ D neeksistç nekustîgs punkts. •Ðie èetri vienkârðie piemçri uzskatâmi parâdîja, ka visi Bola-Brauera te-

orçmas nosacîjumi ir bûtiski. Sekojoðos piemçros dosim vienkârðas ilustrâci-jas Bola-Brauera teorçmas lietojumiem.

22

PIEMÇRS 4.5. Aplûkosim nepârtrauktu attçlojumu F : Rn → Rn tâdu,ka

| F (x) |≤ c0, x ∈ Rn.

Acîmredzot, operators F attçlo sevî lodi D := x ∈ Rn | | x |≤ c0. Tâ kâizpildâs visi Bola-Brauera teorçmas nosacîjumi, tad eksistç punkts x0 ∈ Dtâds, ka F (x0) = x0.

Kâ sekas ðim rezultâtam ir fakts, ka ja vienâdojumâ

x+ F (x) = a, x ∈ Rn,

operators F ir nepârtraukts un pieòem vçrtîbas no ierobeþotas kopas, tad piejebkura a ∈ Rn mûsu vienâdojumam eksistç vismaz viens atrisinâjums. •

PIEMÇRS 4.6. Aplûkosim vienâdojumu sistçmu

A(x)x+ F (x) = 0, x ∈ Rn,

kur matric-funkcija x → A(x) un vektor-funkcija x → F (x) ir ar sekojoðâmîpaðîbâm:

(i) A(·) ∈ C(Rn → Rn×n) un F (·) ∈ C(Rn → Rn);

(ii) visiem x ∈ Rn matrica A(x) ir inversçjama un eksistç konstante c1

tâda, ka ‖ A−1(x) ‖≤ c1 ∀x ∈ Rn;

(iii) eksistç konstantes c2, c3 un 0 < α < 1 tâdas, ka

| F (x) |≤ c2 + c3 | x |α ∀x ∈ Rn.

Iedarbojoties ar A−1(x) uz mûsu vienâdojuma abâm pusçm, mçs nonâkampie vienâdojuma

x = −A−1(x)F (x).

Attçlojums x→ −A−1(x)F (x) ir nepârtraukts un viegli redzçt, ka tas attçlolodi

x ∈ Rn | | x |≤ (2 max1; c1c2; c1c3)1

1−α

sevî, kas, sakaòâ ar Bola-Brauera teorçmu garantç nekustîgâ punkta eksisten-ci mûsu attçlojumam x→ −A−1(x)F (x) un, lîdz ar to, dod mûsu sâkotnçjâvienâdojuma atrisinâjumu. •

23

5. Monotono operatoru metode

Ðo nodaïu sâksim ar pamatdefinîcijâm.

DEFINÎCIJA 5.1. Operatoru F : Rn → Rn sauc par

(i) m o n o t o n u, ja

< F (x)− F (y), x− y >≥ 0 ∀x, y ∈ Rn;

(ii) s t i n g r i m o n o t o n u , ja

< F (x)− F (y), x− y >> 0∀x, y ∈ Rn, x 6= y;

(iii) s t i p r i m o n o t o n u , ja eksistç pozitîva konstante ν tâda, ka

< F (x)− F (y), x− y >≥ ν | x− y |2 ∀x, y ∈ Rn;

(iv) v i e n m ç r î g i m o n o t o n u , ja eksistç stingri augoða funkcijaγ : R+ → R+, γ(0) = 0 tâda, ka

< F (x)− F (y), x− y >≥ γ(| x− y |) ∀x, y ∈ Rn;

(v) k o e r c i t î v u , ja eksistç funkcija γ : R+ → R tâda, ka

γ(t)→ +∞, ja t→ +∞

un< F (x), x >≥ γ(| x |) | x | ∀x ∈ Rn. •

Viegli redzçt, ka no stiprâs monotonitâtes seko vienmçrîgâ monotonitâte,no vienmçrîgâs monotonitâtes seko stingrâ monotonitâte, bet no stingrâsmonotonitâtes seko monotonitâte.

Ne tik acîm redzami ir, ka no vienmçrîgâs monotonitâtes ( tâtad, arî nostiprâs monotonitâtes ) seko koercitivitâte.

LEMMA 5.1. Ja attçlojums F : Rn → Rn ir vienmçrîgi monotons, tadtas ir arî koercitîvs.

Pierâdîjums. Patvaïîgam fiksçtam x ∈ Rn apzîmçsim ar m tâ moduïa| x | veselo daïu un ar x′ apzîmçsim lielumu x/ | x |.

Lielumu < F (x), x > novçrtçjam kâ

< F (x), x >=| x | < F (| x | x′)−F (mx′)+F (mx′)−F (0) , x′ > + < F (0), x′ >

24

=| x |< F (mx′)−F (0), x′ > + | x |< F (| x | x′)−F (mx′), x′ > + | x |< F (0), x′ >

≡ I1 + I2 + I3.

Pçdçjais saskaitâmais I3 pçc moduïa novçrtçjas kâ

| I3 | ≤ | F (0) | · | x |,

jo | x′ |= 1. Savukârt, otrais saskaitâmais I2 ir nenegatîvs, jo

< F (| x | x′)−F (mx′), x′ >=1

| x | −m< F (| x | x′)−F (mx′), (| x | −m)x′ >

=1

| x | −m< F (| x | x′)− F (mx′), | x | x′ −mx′ >≥ 0

attçlojuma F monotonitâtes dçï ( ja | x |= m, tad lielums I2 identiski vienâdsar 0 ).

Tâpçc

< F (x), x >≥ I1− | I2 |≥| x |< F (mx′)− F (0), x′ > − | x | · | F (0) |

=| x |m∑i=1

< F (ix′)− F ((i− 1)x′), x′ > − | x | · | F (0) |

≥ | x |m∑i=1

γ(| ix′ − (i− 1)x′ |)− | x | · | F (0) |

≥ | x | mγ(1)− | F (0) | ≥ | x | (| x | −1)γ(1)− | F (0) |,kur

(| x | −1)γ(1)− | F (0) |→ ∞, ja | x |→ ∞,jo γ(1) ir pozitîvs lielums. •

Ir spçkâ sekojoða teorçma.TEORÇMA 5.1. Ja F : Rn → Rn ir nepârtraukts un koercitîvs, tad

katram a ∈ Rn vienâdojumam

F (x) = a

attiecîbâ pret x ∈ Rn eksistç vismaz viens atrisinâjums.Ja papildus attçlojums F ir stingri monotons, tad ir atrisinâjuma unitâte.Pierâdîjums. Pierâdîjuma galvenâ ideja ir novest mûsu vienâdojuma at-

risinâmîbu uz situâciju, kurâ var pielietot Bola-Brauera teorçmu. Tam nolû-kam definçsim operatoru B : Rn → Rn kâ

B(x) := F (x)− a, x ∈ Rn.

25

Acîmredzot, operators B ir nepârtraukts. Tas bûs arî koercitîvs. Tieðâm,

< B(x), x >=< F (x), x > − < a, x >≥ γ(| x |) | x | − | a | · | x |

≥ (γ(| x |)− | a |) | x |un B apmierina koercitivitâtes definîciju ar funkciju γ(·)− | a | .

No funkcijas x → γ(| x |)− | a | augðanas îpaðîbâm izriet, ka eksistçkonstante R > 0 tâda, ka

< B(x), x >≥ 0, ja | x |≥ R.

Definçsim kopu D ⊂ Rn kâ

D := x ∈ Rn | | x | ≤ R.

Ja B(x) 6= 0∀x ∈ D, tad no kopas D kompaktîbas un operatora B nepâr-trauktîbas ( analogi kâ Bola-Brauera teorçmas pierâdîjumâ ) izriet, ka eksistçpozitîva konstante d tâda, ka

| B(x) | ≥ d ∀x ∈ D

un tâpçc operatorsF : D → Rn,

F(x) := −R 1

| B(x) |B(x)

arî ir nepârtraukts. Pie tam, pçc konstrukcijas, operators F attçlo kopu Dsevî. Tâ kâ F apmierina Bola-Brauera teorçmas nosacîjumus, tad eksistçx0 ∈ D tâds, ka F(x0) = x0. Bet tad no operatora F konstrukcijas izriet

x0 = −R 1

| B(x0) |B(x0)

kas nozîmç, ka | x0 |= R un pareizinot mûsu sakarîbas abas puses skalâri arx0 bûtu

R2 = −R 1

| B(x0) |< B(x0), x0 >≤ 0,

jo < B(x), x >≥ 0 ∀x ar | x |= R.Iegûtâ pretruna parâda, ka piençmums par to, ka vienâdojumam

B(x) = 0

kopâ D neeksistç atrisinâjums, bija aplams. Tâpçc kopâ D eksistç elementsx0 tâds, ka B(x0) = 0. No ðejienes un no operatora B konstrukcijas seko, kaF (x0) = a.

26

Ja operators F ir stingri monotons, bet mûsu vienâdojumam eksitç diviatrisinâjumi x1 un x2, tad, atòemot vienu no otras sakarîbas

F (x1) = a un F (x2) = a

un pareizinot iegûto rezultâtu skalâri ar x1 − x2 bûtu

< F (x1)− F (x2), x1 − x2 >= 0,

un no operatora F stingrâs monotonitâtes sekotu x1 = x2. Teorçma pierâdî-ta. •

SEKAS 5.1. Ja operators F : Rn → Rn ir nepârtraukts un eksistçpozitîva konstante R tâda, ka

< F (x), x >≥ 0 , ja | x |= R,

tad vienâdojumamF (x) = 0

attiecîbâ pret x ∈ Rn eksitç vismaz viens atrisinâjums. •

TEORÇMA 5.2. Ja attçlojums F : Rn → Rn ir nepârtraukts un stiprimonotons, tad tas realizç homeomorfizmu starp Rn un Rn .

Pierâdîjums. Tâ kâ operators F ir arî vienmçrîgi monotons, tad tas ,saskaòâ ar Lemmu 5.1, ir arî koercitîvs un no Teorçmas 5.1 un Sekâm 5.1uzreiz seko, ka F attçlo Rn uz Rn savstarpçji viennozîmîgi. Ja F (x1) = a1

un F (x2) = a2 tad no F stiprâs monotonitâtes tieði seko

ν | x1−x2 |2≤< F (x1)−F (x2), x1−x2 >=< a1−a2, x1−x2 >≤| a1−a2 | · | x1−x2 |,

no kurienes seko

| F−1(a1)− F−1(a2) |=| x1 − x2 | ≤ 1

ν| a1 − a2 |,

kas dod inversâ operatora F−1 nepârtrauktîbu. •

PIEMÇRS 5.1. Koercivitâtes nepiecieðamîba. Aplûkojam attçlojumuF : R → R, F (x) := ex. Pçc konstrukcijas attçlojums F ir nepârtrauktsun stingri monotons. Tajâ paðâ laikâ vienâdojumam F (x) = a ar negatîvu aneeksistç atrisinâjuma. •

Nobeidzot ðo nodaïu, atzîmçsim, ka monotono operatoru metodi galve-nokârt pielieto parciâlo diferenciâlvienâdojumu teorijâ, sk.,piemçram, [4].

27

6. Potenciâlo operatoru metode

Potenciâlo operatoru metodes ( vai enerìijas funkcionâïu metodes ) pa-matâ ir ideja, ka gludas funkcijas minima punktâ tâs atvasinâjums (gradients) ir vienâds ar 0.

Visvienkârðâkajâ vienas dimensijas gadîjumâ, pçtot vienâdojuma

f(x) = 0

atrisinâmîbu, aplûko funkcionâli

I(x) :=∫ x

0f(t)dt

un meklç pietiekamos nosacîjumus, kuri garantç funkcionâïa I minima eksis-tenci. Ja funkcija f ir nepârtraukta, tad I pieder C1 un I minima punktâ x0

, ja tâds eksistç, ir0 = I ′(x0) = f(x0),

t.i., elements x0 ir mûsu vienâdojuma atrisinâjums.Ðajâ piemçrâ viegli redzçt, ka ja funkcija f ir nepârtraukta un koercitîva,

t.i.,f(x)x/(1+ | x |)→ +∞, ja | x |→ ∞,

tad funkcionâlis I ir korekti definçts un tas sasniedz savu minimu pa x ∈ R.Potenciâlo operatoru metodi ( nedaudz vispârîgâ gadîjumâ : kritiskâ pun-

kta metodi) galvenokârt lieto tâpçc, ka daudzos gadîjumos vieglâk ir konsta-tçt minima eksistenci attiecîgajam funkcionâlim, nekâ ar citâm metodçmpierâdît vienâdojuma atrisinâmîbu.

Metodes abi nosaukumi nosacîti nâk no fizikas un mehanikas minimâlâsenerìijas principa, t.i., ka sistçma atrodas lîdzsvara stâvoklî, ja tâs enerìija irminimâla (vai, mazâkais, nesamazinâs pie mazâm sistçmas perturbâcijâm).Matemâtiskos terminos ðis princips pierakstâs kâ

E(u0) ≤ E(u) visiem pielaujamiem u,

kur lielums u apraksta sistçmas stâvokli, bet funkcionâlis E = E(u) izsakasistçmas enerìiju , kura atbilst sistçmas stâvoklim u.

Ekstrema nepiecieðamais nosacîjums E ′(u0) = 0 ( parasti tas ir Eileravienâdojums variâciju rçíinu funkcionâlim E ) dod sistçmas stâvokïa vienâ-dojumu

Termins "potenciâls ðaistâs ar to, ka fizikâ par potenciâlu lauku parastisauc lielumu v : R3 → R3, kuram eksistç funkcija ϕ : R3 → R, tâda, ka

v = gradϕ.

28

Ðo funkciju ϕ sauc par lauka v potenciâlu.Aplûkotâs îpaðîbas vispârinâjums ir sekojoða definîcija.

DEFINÎCIJA 6.1. Operatoru F : Rn → Rn sauc par p o t e n c i â l u op e r a t o r u, ja eksistç nepârtraukta un nepârtraukti atvasinâma funkcijaf : Rn → R tâda, ka

F (x) = gradf(x) ≡ ∇f(x) ≡ f ′(x) ∀x ∈ Rn. •

TEORÇMA 6.1. Ja operators F : Rn → Rn ir nepârtraukts un potenciâlsun tam atbilstoðâ , saskaòâ ar Definîciju 6.1, funkcija f ir tâda, ka

f(x)→∞, ja | x |→ ∞,

tad vienâdojumamF (x) = 0

eksistç vismaz viens atrisinâjums.Pierâdîjums. No funkcijas f îpaðîbâm tieði izriet, ka eksistç pozitîvs skait-

lis R tâds, kaf(x) ≥ f(0) + 1, ja | x |≥ R.

Tâ kâ f ir nepârtraukta un kopa Q := x ∈ Rn | | x |≤ R ir kompakta,tad eksitç punkts x0 ∈ Q tâds, ka

f(x0) ≤ f(x) ∀x ∈ Q.

No kopas Q konstrukcijas seko, ka 0 ∈ Q un, tâtad,

f(x) ≥ f(0) ≥ f(x0) ∀x ∈ Rn \Q.

Un, apvienojot ðos novçrtçjumus, f(x0) ≤ f(x)∀x ∈ Rn.Visbeidzot, no ekstrema nepiecieðamajiem nosacîjumiem seko

0 = f ′(x0) ≡ F (x0).•

Aplûkojot potenciâlo operatoru metodi ir jârisina vairâkas problçmas, jon-dimensiju telpâ tikai daïa no operatoriem ir potenciâli. Tâdejâdi, pirmâproblçma ir: vai dotais operators F ir potenciâls operators?

29

TEORÇMA 6.2. Lai nepârtraukts un nepârtraukti atvasinâms attçlojumsF := (F1, ..., Fn) : Rn → Rn definçtu potenciâlu operatoru, nepiecieðami unpietiekami, lai F Jakobi matrica, t.i., F ′(·), bûtu simetriska, t.i.,

∂

∂xjFi(x) =

∂

∂xiFj(x), i, j = 1, ..., n; x ∈ Rn.

Pierâdîjums. Ja F (·) = f ′(·) kâdai funkcijai f , tad no matemâtiskâs analîzeszinâms, ka f ′′xixj(·) = f ′′xjxi(·), kas dod matricas F ′(·) simetriskumu.

No otras puses, ja matrica F ′(·) ir simetriska, tad definçjam funkcijuf : Rn → R kâ

f(x) :=∫ 1

0< F (tx), x > dt, x ∈ Rn.

Pçc konstrukcijas, funkcija f ir nepârtraukta un nepârtraukti atvasinâma unatvasinâðanu var ienest zem integrâïa zîmes (Teorçma par integrâïiem, kasatkarîgi no parametra ). Aplûkosim f atvasinâjumu pçc xj

∂

∂xjf(x) =

∫ 1

0

∂

∂xj[n∑i=1

Fi(tx)xi]dt

=∫ 1

0[n∑i=1

tFixj(tx) + Fj(tx)]dt

=∫ 1

0[n∑i=1

tFjxi(tx)xi + Fj(tx)]dt

=∫ 1

0[t∂

∂tFj(tx) + Fj(tx)dt

=∫ 1

0

∂

∂t[tFj(tx)]dt = 1 · Fj(1 · x)− 0 · Fj(0 · x) = Fj(x).

Tâ kâ indeks j bija patvaïîgs, tad

Fj(·) =∂

∂xjf(·), j = 1, ..., n;

t.i., F (·) = f ′(·). •

Otrs jautâjums ir: funkcijas f izturçðanâs pie lieliem argumentiem. Labizinâms, ka ja f(x) → +∞ ja | x |→ ∞, tad no f nepârtrauktîbas se-ko, ka funkcija f sasniedz savu minimâlo vçrtîbu kâdâ punktâ x0. Un, jaF (·) = f ′(·), tad F (x0) = 0. Viegli redzçt, ka ir spçkâ sekojoðs rezultâts.

30

APGALVOJUMS 6.1. ja F ∈ C1(Rn ir potenciâls operators un eksistç ρun c > 0 tâdi, ka

< F (x), x >≥ c | x | tiklidz | x |≥ ρ,

tad teorçmâ 6.2 definçtâ funkcija f ir tâda, ka

f(x)→ +∞, ja | x |→ ∞.

Pierâdîjums. Patvaïîgam x ar | x |> ρ apzîmçsim h := ρ | x |−1. Tad pie| x |> ρ bûs

f(x) =∫ 1

0< F (tx), x > dt =

∫ h

0< F (tx), x > dt+

∫ 1

h< F (tx), x > dt

≥ −∫ h

0max|y|≤ρ

| F (y) | · | x | dt+∫ 1

hct | x | 1

tdt

≥ c(1− ρ

| x |) | x | − max

|y|≤ρ| F (y) | · | x | ρ

| x |

≥ c(1− ρ

| x |) | x | − ρmax

|y|≤ρ| F (y) |→ ∞, ja | x |→ ∞.•

Apgalvojuma 6.2 nosacîjumi uzliek operatoram F lielâkas prasîbas nekâ,piemçram, Sekas 5.1; tomçr Apgalvojuma 6.1 nosacîjumi ir pietiekoði vien-kârði pârnesami uz bezgalîgu dimensiju uzdevumiem Banaha telpâs un vartikt izmantoti attiecîgo potenciâlu novçrtçðanai.

31

7. Attçlojumu topoloìiskâ pakâpe

Lîdz ðim zinâmo vispârîgâko nelineâru vienâdojumu atrisinâmîbas rezul-tâtu dod sekojoða teorçma.

TEORÇMA 7.1. Ja

(H1) Ω ⊂ Rn ir vaïçjs ierobeþots apgabals ar robeþu ∂Ω;

(H2) F : [0, 1]× Ω→ Rn ir nepârtraukts attçlojums;

(H3) kâdam fiksçtam a ∈ Rn eksistç pozitîva konstante ν tâda,ka

| F(t, x)− a |≥ ν ∀(t, x) ∈ [0, 1]× ∂Ω,

tad eksistç lielumsd(t) := d(Ω, F(t, ·), a)

tâds, ka

(i) d(t) ir vesels skaitlis un nav atkarîgs no t ∈ [0, 1];

(ii) ja d(t) 6= 0 tad vienâdojumam

F(t, x) = a

attiecîbâ pret x apgabalâ Ω eksistç vismaz viens atrisinâjums;

(iii) ja kâdam t0 ∈ [0, 1] F(t0, ·) = F (·) un F ∈ C1(Rn) ir tâds, ka vienâdo-jumam

F (x) = a

apgabalâ Ω eksistç galîgs skaits atrisinâjumu x1, ..., xN , kuriem visiemJF (xk) 6= 0, k = 1, ..., N , tad

d(Ω, F(t0, ·), a) =N∑k=1

signJF (xk). (7.1) •

Teorçmâ 7.1 definçto lielumu d(t) sauc par a t t ç l o j u m a F(t, ·) to p o l o ì i s k o p a k â p i a p g a b a l â Ω a t t i e c î b â p r e t e le m e n t u a , vai, pieïaujot zinâmu neprecizitâti, vienkârði par t o po l oì i s k o p a k â p i , ja no konteksta ir skaidrs par kâdu attçlojumu, kâdâapgabalâ un par kâdu elementu a iet runa.

Lai demonstrçtu Teorçmas 7.1 vispârîgumu, parâdîsim kâ no Teorçmas7.1 viegli var izvest Bola-Brauera teorçmu vienîbas lodei D := B

n1 ≡ x ∈

32

Rn | | x |≤ 1.

PIEMÇRS 7.1 ( Bola-Brauera teorçma kâ Teorçmas 7.1 sekas ). Ja F :D → D ir nepârtraukts, tad jâaplûko divi gadîjumi.

1.gadîjumseksistç x0 ∈ D tâds, ka | x0 |= 1 un F (x0) = x0, t.i., Bola-Brauera teorçmas apgalvojums ir spçkâ.

2.gadîjums|F (x)− x 6= 0 ∀x ∈ D ar | x |= 1. Ðajâ gadîjumâ definçjam

Ω := Bn1 , a := 0, F(t, x) := x− tF (x), (t, x) ∈ [0, 1]×D.

No mûsu pieòçmuma, ka uz kopas D robeþas ∂D nav attçlojuma F nekustîgapunkta un no attçlojuma F nepârtrauktîbas seko ( F attçlo kopu D sevî),ka eksistç pozitîva konstante ν tâda, ka

| F(t, x)− 0 | ≥ ν ∀(t, x) ∈ [0, 1]× ∂D.

Pie tam attçlojums F(0, x) = x ∀x ∈ D. Bet vienâdojumam

x = 0

kopâ D eksistç viens vienîgs atrisinâjums x0 = 0 un identitâtes attçlojumamx → x Jakobiânis visos punktos vienâds ar 1 . Tâtad, saskaòâ ar Teorçmu7.1, vienâdojumam

F(1, x) ≡ x− F (x) = 0

kopâ Bn1 eksistç atrisinâjums x0, kas arî ir attçlojuma F nekustîgais punkts

kopâ Bn0 . •

Ja attçlojums F ir pietiekoði gluds, tad topoloìisko pakâpi var definçt aranalitisku formulu, kura gan praktiski nav izmantojama, bet,toties, tâ ir ïotipiemçrota teorçtiskos spriedumos. Turpmâk, gandrîz lîdz nodaïas beigâm,prasîsim , lai papildus hipotçzçm H1−−−H3 izpildâs arî sekojoða hipetçze

(H4) vektorfunkcijai (t, x)→ F(t, x) eksistç pirmâs un otrâs kârtas parciâlieatvasinâjumi pçc argumentiem x1, ..., xn, kuri pieder C([0, 1]× Ω).

DEFINÎCIJA 7.1. Ja izpildâs hipotçzes (H1)−−− (H4) , tad ar attçlo-juma F(t, ·) topoloìisko pakâpi apgabalâ Ω attiecîbâ pret elementu a saprotlielumu

d(t) :=∫

Ωϑ(F(t, x)− a)JxF(t, x)dx, (7.2)

kur JxF(t, ·) ir attçlojuma F(t, ·) Jakobiânis ( t.i., determinants Jakobimatricai attiecîbâ pret argumentiem x1, ..., xn) , bet funkcija ϑ apmierinasekojoðus nosacîjumus

33

1) ϑ : Rn → R ir nepârtraukta;

2) suppϑ ⊂ Bnν , t.i.,kopas y ∈ Rn | ϑ(y) 6= 0 slçgums pieder Bn

ν , nokurienes seko, ka ϑ(y) = 0 tiklîdz | y |≥ ν;

3)∫Rn ϑ(y)dy = 1.

Tâ kâ funkcija ϑ ir nepârtraukta un attçlojums F pieder C2 (attiecîbâpret argumentu x = (x1, ..., xn) ) , tad lielums d(t) Definîcijâ 7.1 eksistç kânepârtraukta argumenta t funkcija. Lai parâdîtu, ka ar formulu (7.2) defi-nçtais lielums d(t) atbilst Teorçmas 7.1 apgalvojumiem, mums ir jâpamatovairâkas ðî lieluma îpaðîbas, un pirmâmkârtâm, ka tas nav atkarîgs no fun-kciju ϑ izvçles ( ja tikai tâs apmierina nosacîjumus 1)-3) ). Pçc tam jau varparâdît, ka d(t) ir vesels skaitlis neatkarîgs no t ∈ [0, 1] un ka spçkâ Teorçmas7.1 apgalvojumi (ii) un (iii). Visbeidzot, zinot, ka Teorçma 7.1 pareiza C2

attçlojumiem, jâparâda, kâ to var pârnest uz vispârîgu nepârtrauktu attçlo-jumu gadîjumu.

Pirms sâkam lieluma d(t) izpçti, pierâdîsim daþus palîgrezultâtus, kuriemir arî patstâvîga nozîme.

LEMMA 7.1. Ja D = x ∈ Rn | | x |≤ α vai D = x ∈ Rn | 0 ≤ xi ≤α, i = 1, ..., n un funkcija ϕ : D → R ir tâda, ka

(i) ϕ ir nepârtraukta;

(ii) suppϕ ⊂ intD;

(iii)∫D ϕ(x)dx = 0,

tad eksistç funkcijas λi ∈ C1(D), i = 1, ..., n, tâdas, ka

(1) suppλi ⊂ D, i = 1, ..., n;

(2) ϕ(x) =∑ni=1

∂∂xiλi(x), x ∈ D.

Atgâdinam, ka ar intD tiek apzîmçta kopas D iekðiene.Pierâdîjums. Pierâdîjums ir pçc indukcijas pa telpas dimensiju n. Mçs

aplûkosim tikai tehniski vieglâko gadîjumu, kur D = x ∈ Rn | 0 ≤ xi ≤α, i = 1, ..., n.

Ja n = 1, tad, acîmredzot, funkcijai

λ1(x) :=∫ x

0ϕ(t)dt

ir visas vajadzîgâs îpaðîbas.

34

Tagad pieòemsim, ka Lemmas apgalvojums ir spçkâ ar n−1 un parâdîsim,ka no ðejienes seko, ka apgalvojums ir spçkâ arî dimensijai n. Tâ kâ visasfunkcijas, kuras bûs mûsu turpmâkajos spriedumos bûs atðíirîgas no nullestikai ierobeþotâs kopâs, tad integrâïus, kurus izmantosim, var uzskatît kâintegrâïus no −∞ lîdz +∞.

Ievedam funkciju ψ kâ

ψ(x1, ..., xn−1) :=∫ ∞−∞

ϕ(x1, ..., xn−1, xn)dxn.

No îpaðîbâm (i)-(iii) uzreiz tieði seko, ka funkcija ψ apmierina mûsu Lemmasnosacîjumus attiecîbâ pret n−1 un kopuD′ := x ∈ Rn−1 | 0 ≤ xi ≤ α, i =1, ..., n−1. Saskaòâ ar mûsu pieòçmumu, eksistç funkcijas λi, i = 1, ..., n−1,tâdas, ka

suppλi ⊂ intD′, λi ∈ C1(D′), i = 1, ..., n− 1,

ψ(x1, ..., xn−1) =n−1∑i=1

∂

∂xiλi(x1, ..., xn−1).

Tâ kâ funkciju λi nesçji ietilpst kopâ intD′, tad eksistç ε > 0 tâds, kasuppλi ⊂ D′ε, kur D

′ε := x ∈ Rn−1 | ε < xi < α− ε, i = 1, ..., n−1, tad,

ievedot patvaïîgu nepârtrauktu funkciju γ kâ

γ : R→ R, suppγ ⊂ (α/2 − ε, α/2 + ε),∫ ∞−∞

γ(t)dt = 1,

un funkciju λn kâ

λn(x1, ..., xn) :=∫ xn

−∞ϕ(x1, ..., xn−1, t)dt −

∫ xn

−∞γ(t)dt

∫ ∞−∞

ϕ(x1, ..., xn−1, s)ds,

bûs∂

∂xnλn(x1, ..., xn) = ϕ(x1, ..., xn)− γ(xn)ψ(x1, ..., xn−1)

= ϕ(x1, ..., xn)−n−1∑i=1

∂

∂xi[γ(xn)λi(x1, ..., xn−1)],

no kurienes jau tieði seko vajadzîgâ funkcijas ϕ reprezentâcija kâ vektorfun-kcijas

(γ(xn)λ1(x1, ..., xn−1) , ..., γ(xn)λn−1(x1, ..., xn−1), λn(x1, ..., xn))

diverìence.Pçc konstrukcijas, funkciju γλi, i = 1, ..., n − 1 nesçji ,acîmredzot,pieder

kopai intD. Savukârt, ja xn ≤ 0,tad λn = 0, jo funkcijas ϕ un γ ir vienâdas

35

ar 0, bet ja xn ≥ α , tad pirmais saskaitâmais λn izteiksmç ir vienâds ar ψ,bet otrais ar 1 ·ψ, kas ir pietiekoði, lai λn = 0 tiklîdz tâs arguments neietilpstintD. •

PIEZÎME 7.1. Lemmas apgalvojums ir spçkâ arî daudz plaðâkai kopu Dsaimei: pietiekoði, ja D ir homeomorfa vienîbas lodei ierobeþota apgabala argabaliem gludu robeþu slçgums.

LEMMA 7.2. Ja Ω ⊂ Rn ir ierobeþots apgabals ar gabaliem gludu robeþuun vektor-funkcija F un funkcija ϑ ir tâdi, ka

(i) F ∈ C1(Ω; Rn) un eksistç pozitîva konstante α tâda, ka

| F (x) |≥ α ∀x ∈ ∂Ω;

(ii) ϑ ∈ C1(Rn), ϑ = ϑ(y1, ..., yn), suppϑ ⊂ Bnα,

tadIj :=

∫Ω

[ϑyj(F (x))]JF (x)dx = 0 j = 1, ..., n.

Pierâdîjums. Aplûkosim, konkrçtîbas dçï, gadîjumu j = 1. Apzîmçsim arAi(x) lielumus, kas ir vienâdi ar determinantu apakðmatricai, kura iegûta nomatricas F ′(x), izsvîtrojot pirmo rindu (tâ atbilst indeksa j = 1 izvçlei) uni-to kolonu. Lielumu Ai konstrukcija atbilst attiecîgai konstrukcijai Lemmâ3.1 un, saskaòâ ar ðo lemmu,

n∑i=1

(−1)i∂

∂xiAi(x) ≡ 0. (7.3)

Definçsim lielumu

H(x) :=n∑i=1

(−1)i∂

∂xi[ϑ(F (x))Ai(x)].

Izrakstot atklâtâ veidâ atvasinâjumus pçc xi, iegûsim

H(x) =n∑i=1

ϑy1(F (x))Ai(x)F1xi

+n∑i=1

(−1)in∑k=2

ϑyk(F (x))Ai(x)Fkxi(x)

+n∑i=1

ϑ(F (x))(−1)i∂

∂xiAi(x) ≡ H1 +H2 +H3.

36

Pçdçjais saskaitâmais H3 ðajâ izteiksmç ir vinâds ar 0, jo izpildâs sakarîba(7.3). Otrais saskaitâmais H2 ir pârrakstâms kâ

H2 =n∑k=2

ϑyk(F (x))[n∑i=1

(−1)iAi(x)Fkxi(x)].

Ðajâ izteiksmç katram k = 2, ..., n atbilstoðais lielums kvadrâtiekavâs ir vie-nâds ar determinanta

det

Fkx1(x) · · · Fkxn(x)F2x1(x) · · · F2xn(x)· · ·

Fnx1(x) · · · Fnxn(x)

izvirzîjumu pçc pirmâs rindas un, tâtad, vienâds ar nulli, jo attiecîgâ matricasatur divas vienâdas rindas (Fkx1(x), ..., Fkxn(x) ). Tâpçc lielums H2 = 0.

Savukârt, lielumsn∑i=1

Ai(x)F1xi(x)

ir JF (x) izvirzîjums pçc pirmâs rindas. Tâdejâdi

H = H1 = ϑy1(F (x))JF (x).

No ðîm sakarîbâm un lielumu I1 un H definîcijâm izriet, ka

I1 =∫

Ωϑy1(F (x))JF (x)dx =

∫ΩH(x)dx

=n∑i=1

(−1)i∫

Ω

∂

∂xi[ϑ(F (x))Ai(x)]dx = 0,

jo pielietojama Gausa-Ostrogradska teorçma un lielums ϑ(F (x)) = 0 uz ap-gabala Ω robeþas ∂Ω ( nosacîjumi (i)un (ii) ).

Pilnîgi analogi aplûkojami gadîjumi j = 2, ..., n. •

PIEZÎME 7.2. Lemmas apgalvojums paliek spçkâ arî, ja attçlojums F irtikai vienu reizi nepârtraukti atvasinâms. Attiecîgais pierâdîjums balstâs uzF aproksimâciju ar polinomiâlu attçlojumu. •

PIEZÎME 7.3. Ja gadîjumâ F attçlo apgabalu Ω savstarpçji viennozîmîgiuz kâdu apgabalu Ω′ un JF (x) 6= 0 ∀x ∈ Ω, tad no teorçmas par mainîgotransformâciju vairâkkârtîgos integrâïos seko∫

Ωϑyj(F (x))JF (x)dx =

∫Ω′ϑyj(y)dy =

∫∂Ω′

ϑ(y) cos(−→n ,Oyj)dS = 0,

37

jo uz ∂Ω′ ϑ(y) = 0 (tâpçc, ka | F (x) |≥ α uz ∂Ω, kas attçlojas par ∂Ω′). •

LEMMA 7.3. Ja Ω ⊂ Rn ir ierobeþots apgabals un F ∈ C1(Ω; Rn) irtâds,ka

(i) eksistç a ∈ Rn un pozitîva konstante α tâdi, ka

| F (x)− a |≥ α ∀x ∈ ∂Ω;

(ii) ja apgabalâ Ω vienâdojumam

F (x)− a = 0

eksistç tikai tâdi atrisinâjumi x∗, kuriem JF (x∗) 6= 0,

tad apgabalâ Ω mûsu vienâdojumam ir tikai galîgs skaits atrisinâjumu.Pierâdîjums. Pieòemsim, ka lemmas apgalvojums nav pareizs un apgaba-

lâ Ω mûsu vienâdojumam eksistç vismaz sanumurçjams skaits atrisinâjumuxk, k = 1, 2, ... . Tâ kâ apgabals Ω ir ierobeþots, tad, nesamazinot vispârî-gumu var uzskatît, ka virkne xk konverìç uz kâdu punktu x0. No lemmasnosacîjumiem ( attçlojums F ir nepârtraukts un lielumi | F (x)−a | ir stingripozitîvi uz ∂Ω) izriet, ka x0 ∈ Ω un

F (x0)− a = 0, JF (x0) 6= 0.

Bet tad

F (x0) = F (xk) = F (x0) + F ′(x0)(xk − x0) + o(| xk − x0 |),

vai, ka| F ′(x0)(xk − x0) |= o(| xk − x0 |).

Nesamazinot vispârîgumu, var uzskatît, ka virkne lk := (xk − x0)/ |xk − x0 | konverìç uz nenulles elementu l0. Bet tad, izdalot pçdçjâs sa-karîbas abas puses ar | xk − x0 | un pârejot uz robeþu k → ∞, mçs iegûtuF ′(x0)l0 = 0, kas nozîmç, ka matricas F ′(x0) determinants ir vienâds ar nulli.Bet tas bûtu pretrunâ ar nosacîjumu (ii). Iegûtâ pretruna parâda, ka mûsupieòçmums par sanumurçjama skaita atrisinâjumu eksistenci bija aplams. •

LEMMA 7.4. (Sarda teorçma) Ja Ω ⊂ Rn ir ierobeþots apgabals unF ∈ C1(Ω;Rn) tad katrai slçgtai kopai D ⊂ Ω ir spçkâ

q(D) := measy ∈ Rn | y = F (x), x ∈ D&JF (x) = 0 = 0.

38

Pierâdîjums. Tâ kâ D ⊂ intΩ un attâlums no D lîdz ∂Ω ir stingri pozitîvs,tad eksistç galîgs skaits n-dimensiju kubu tâdu, ka D ietilpst ðo kubu apvie-nojumâ. Tas nozîmç, ka pietiek pierâdît lemmas apgalvojumu tikai vienamn-dimensiju kubam un, nesamazinot vispârîgumu, var uzskatît, ka

D = x ∈ Rn | x = (x1, ..., xn), 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, ..., n.

Fiksçsim patvaïîgu 0 < ε < 1 . Tâ ka attçlojums x → F ′(x) ir vienmçrîginepârtraukts kopâ D, tad eksistç konstanta δ > 0 tâda, ka

| F (x)− F (x0)− F ′(x0)(x− x0) |≤ ε | x− x0 | (7.4)

tiklidz x, x0 ∈ D& | x− x0 |≤√nδ.

Atkal, nesamazinot vispârîgumu, var uzskatît, ka δ = 1m

kâdam naturâlamskaitlim m. Tâdâ gadîjumâ kubs D ir mn kubu Dk apvienojums, kur katramDk malas garums ir 1/m. Mûs interesç tikai tie kubi Dk, kuriem eksistçpunkts xk ∈ Dk tâds, ka JF (xk) = 0. katram ðâdam kubamDk novçrtçsimkopas

F (Dk) := y ∈ Rn | eksiste x ∈ Dk tads, ka y = F (x)

mçru, izmantojot sakarîbu (7.4)ar elementu xk elelementa x0 vietâ.Tâ kâ atvasinâjums F ′ ir vienmçrîgi nepârtraukts kopâ D, tad eksistç

konstante L tâda, ka

| F ′(x)a |≤ L | a | ∀x ∈ D, ∀a ∈ Rn.

Tâ kâ detF ′(xk) = 0, tad kopa

D′k := y ∈ Rn | y = F ′(xk)(x− xk), x ∈ Dk

sakrît ar kâdu n− 1 dimensiju hiperplaknes kopu, kuras diametrs

d(D′k) := sup| y1 − y2 | | y1, y2 ∈ D′k

nepârsniedz√nLδ.

Nesamazinot vispârîgumu, var uzskatît, ka kopa D′k atrodas hiperplaknçM := y ∈ Rn | y = (y1, ..., yn), yn = 0 un ka F (xk) = 0 ( vispârîgaisgadîjums uz ðo novedas ar vienkârðu koordinâtu transformâciju-rotâciju unpârbîdi argumentu y telpâ). Tâ kâ kopas Dk diametrs nepârsniedz

√nδ, tad

no sakarîbas (7.4) seko, ka kopas Dk attçla F (Dk) elementi atrodas no kopasD′k attâlumâ, kurð nepârsniedz

√nδε. No ðejienes seko

measF (Dk) ≤ [√nLδ + 2

√nδε]n−1 × 2

√nδε ≤

√nnδn[L+ 2]n−12ε.

39

Tâ kâ visu iespçjamo kubu Dk skaits ir mn un δ = 1/m, tad

q(D) = measF (D) ≤ mn√nn 1

mn[L+ 2]n−12ε,

no kurienes un no ε > 0 patvaïîguma seko, ka q(D) = 0. •

Tagad varam sâkt ar sakarîbu (7.2) definçtâ lieluma d(t) îpaðîbu noteik-ðanu.

LEMMA 7.5. Ja izpildâs hipotçzes (H1) − (H4), tad ar sakarîbu (7.2)definçtais lielums d(t) nav atkarîgs no funkcijas ϑ izvçles.

Pierâdîjums. Apzîmçjumu vienkârðîbas dçl ðajâ pierâdîjumâ uzskatîsim,ka F(t, ·) = F (·). Mums pietiek parâdît, ka ja funkcija ϑ apmierina îpaðîbas1) un 2), bet îpaðîbas 3) vietâ apmierina∫

Rnϑ(y)dy = 0,

tad ∫Ωϑ(F (x)− a)JF (x)dx = 0.

Saskaòâ ar Lemmu 7.1 funkcija ϑ izsakâs kâ

ϑ(y) = λ1y1(y) + · · ·+ λnyn(y),

kur funkciju λi nesçji pieder Bnν . Tâtad,∫

Ωϑ(F (x)− a)JF (x)dx =

n∑i=1

∫Ωλiyi(F (x)− a)JF (x)dx = 0

saskaòâ ar Lemmu 7.3. •

LEMMA 7.6. Ja attçlojums F : Rn → Rn apmierina hipotçzes (H1) −(H4) ( formâli tas ir gadîjums, kur F(t, ·) ≡ F (·)∀t ∈ [0, 1] ) un ja jebkuramvienâdojuma

F (x) = a

attiecîbâ pret x ∈ Ω atrisinâjumam x0 ir JF (x0) 6= 0, tad mûsu vienâdoju-mam apgabalâ Ω ir tikai galîgs skaits N atrisinâjumu x1, ..., xN un ar formulu(7.2) definçtais lielums

d :=∫

Ωϑ(F (x)− a)JF (x)dx =

N∑k=1

sign(JF (xk)), (7.5)

40

kur ϑ ir patvaïîga funkcija, kas apmierina prasîbas 1)-3) no Definîcijas 7.1.Pierâdîjums. Tas, ka mûsu vienâdojumam ir tikai galîgs skaits atrisi-

nâjumu, seko no Lemmas 7.3. Ja mûsu vienâdojumam apgabalâ Ω navneviena atrisinâjuma, tad no F vienmçrîgâs nepârtrauktîbas apgabala Ωslçgumâ un hipotçzes (H3) seko, ka eksistç pozitîvs skaitlis α tâds, ka |F (x) − a |≥ 2α ∀x ∈ Ω. Tagad òemot mûsu formulâ priekð d funkciju ϑtâdu, ka supp ⊂ Bn

α, acîmredzot bûs d = 0. Tâlâk aplûkojam gadîjumu, kurN ≥ 1.

Tâ ka mums ir galîgs skaits N vienâdojuma atrisinâjumu un attçlojumiF un F ′ ir vienmçrîgi nepârtraukti, tad eksistç pozitîvs skaitlis α1 < ν unnenegatîva funkcija r : (0, α1]→ R+ tâdi, ka r(α)→ 0, ja α→ 0,

x ∈ Ω | | F (x)− a |≤ α ⊂n⋃k=1

Bnr(α)(x

k),

lodes Bnr(α)(x

k) ietilpst apgabalâ Ω, atrodas pozitîvâ attâlumâ viena no otrasun katrâ lodç Bn

r(α)(xk) Jakobiânis JF (x) nemaina zîmi un pçc moduïa ir

lielâks vai vienâds par α1. Òemot tagad funkcijas ϑ ar suppϑ ⊂ Bnα, α ≤

α1, formulâ (7.5) integrâlis sadalâs N atseviðíu integrâïu summâ, kur katrssaskaitâmais ir integrâlis pa kopu Bn

r(α)(xk).

Skaidrs, ka eksistç pozitîvs α2 ≤ α1 tâds, ka ( saskaòâ ar teorçmu paraizklâto funkciju ) pie 0 < α ≤ α2 attçlojums y = F (x) − a attçlo katrulodi Bn

r(α)(xk) savstarpçji viennozîmîgi uz kâdu vaïçju kopu Uk argumentu y

telpâ.Tâdejâdi, saskaòâ ar teorçmu par argumentu maiòu vairâkkârtîgos in-

tegrâïos, òemot funkciju ϑ ar suppϑ ⊂ Bnα ar 0 < α ≤ α3, kur 0 < α3 < α2

izvçlçts tâds, ka katra kopa Uk satur lodi Bnα3, bûs

d =N∑k=1

∫Bnr(α)

ϑ(F (x)− a)JF (x)dx

=N∑k=1

∫Uk

ϑ(y)signJF (xk)dy =N∑k=1

signJF (xk),

jo katra kopa Uk satur lodi Bnα. •

LEMMA 7.7. Ja F : Rn → Rn apmierina hipotçzes (H1) − (H4) unfunkcija ϑ apmierina parasîbas 1)-3) no Definîcijas 7.1, tad ar formulu (7.2)definçtais lielums

d :=∫

Ωϑ(F (x)− a)JF (x)dx

ir vesels skaitlis.

41

Pierâdîjums. Saskaòâ ar Sarda teorçmu ( Lemma 7.4 ) tâs vienâdojuma

F (x) = b

labâs puses b, kurâm vienâdojumam eksistç atrisinâjums x∗ ∈ Ω ar JF (x∗) =0, pieder kopai ar mçru nulle. Tâpçc eksistç virkne ak ⊂ Rn, ak →a, ja k →∞, ka katram vienâdojumam

F (x) = ak, k = 1, 2, ...

eksistç tikai tâdi atrisinâjumi, kuriem attiecîgais Jakobiânis atðíirîgs no nul-les. Bet tad, saskaòâ ar Lemmu 7.6 lielumi

dk :=∫

Ωϑ(F (x)− ak)JF (x)dx

ar suppϑ ⊂ Bnν/2 pie pietiekoði lieliem k ir veseli skaitïi. Integrâïi, kas definç

lielumus dk ir nepârtraukti pret ak kâ parametriem un , tâtad : 1) dk → d,ja k → ∞; 2) nepârtrauktîbas dçï visi dk pie pietiekoði lieliem k vienâdi arvienu un to paðu veselo skaitli, kas, savukârt, vienâds ar d. •

TEORÇMAS 7.1 PIERÂDÎJUMS pie papildus hipotçzes (H4).Tâ kâ F(t, ·) pieder C1(Ω;Rn) tad mûsu saimei atbilstoðo topoloìisko

pakâpi definçsim kâ

d(Ω, F(t, ·), a) :=∫

Ωϑ(F(t, x)− a)JxF(t, x)dx (7.5)

ar funkciju ϑ, kas apmierina Definîcijas 7.1 nosacîjumus 1)-3). Katram t ∈[0, 1] attçlojums F(t, ·) apmierina Lemmas 7.7 nosacîjumus, tâdad formula(7.5) nosaka veselus skaitïus (katram t ). Bet tâ ka integrâlis formulâ (7.5) irnepârtraukti atkarîgs no t kâ parametra ( teorçma par integrâïiem atkarîgiemno parametra ), tad visi lielumi d(Ω,F(t, ·), a) ir vienâdi ar vienu un to paðukonstanti.

Ja kâdam t0 ∈ [0, 1] izpildâs Teorçmas 7.1 punkta (iii) prasîbas, tad,saskaòâ ar Lemmu 7.6 izpildâs punkta (iii) apgalvojums.

Ja bûtu tâ, ka d(Ω,F(t′, ·), a) 6= 0, bet vienâdojumam

F(t′, x) = a

apgabalâ neeksistçtu atrisinâjuma, tad no attçlojuma F(t′, ·) vienmçrîgâs ne-pârtrauktîbas sekotu, ka eksistç pozitîva konstante α tâda, ka | F(t′, x)−a |≥2α ∀x ∈ Ω. Òemot funkciju ϑ ar nesçju kopâ Bn

α, mçs iegûtu , ka formula(7.5) dod d(Ω,F(t′, ·), a) = 0. Iegûtâ pretruna parâda, ka mûsu pieòçmums

42

par atrisinâjuma neeksistenci ir bijis aplams. •

TEORÇMAS 7.1 PIERÂDÎJUMS vispârîgâ gadîjumâ. Ja attçlojums Fnepieder C2, tad formula (7.2) tieðâ veidâ nav pielietojama, lai definçtu at-tçlojuma topoloìisko pakâpi. Tâpçc vispârîgâ gadîjumâ lieto sekojoðo defi-nîciju.

DEFINÎCIJA 7.2. Ja

(i) Ω ⊂ Rn ir ierobeþots apgabals ar gabaliem gludu robeþu;

(ii) F ∈ C([0, 1]× Ω; Rn) un a ∈ Rn;

(iii) eksistç pozitîva konstante ν tâda, ka

| F(t, x)− a |≥ ν ∀(t, x) ∈ [0, 1]× ∂Ω,

tad a t t ç l o j u m u s a i me s F(t, ·) t o p o l o ì i s k o p a k â p ia p g a b a l â Ω a t t i e c î b â p r e t a ∈ Rn definç kâ

d(Ω, F(t, ·), a) :=∫

Ωϑ(G(t, x)− a)JxG(t, x)dx, (7.5)

kur

1) ϑ ir patvaïîga funkcija tâda, ka ϑ ∈ C(Rn) , suppϑ ⊂ Bn14νun

∫Rnϑ(y)dy = 1;

2) G ir patvaïîga vektorfunkcija G ∈ C([0, 1] × Rn), kurai eksistç pirm-âs un otrâs kârtas parciâlie atvasinâjumi attiecîbâ pret argumentiem(x1, ..., xn), kas ir nepârtraukti kopâ [0, 1]×Rn, un

max(t,x)∈[0,1]×Ω

| F(t, x)− G(t, x) |< 1

4ν.

Pirmâmkârtâm, vajadzîgo vektorfunkciju G eksistence seko no Veierðtrasateorçmas (aproksimçjot F ar polinomiem slçgtâ ierobeþotâ kopâ [0, 1] × Ω.Savukârt, viegli redzçt, ka

| G(t, x)− a |≥ 3

4ν ∀(t, x) ∈ [0, 1]× ∂Ω.

43

Tieðâm, ja x ∈ ∂Ω, tad

| G(t, x)− a |=| G(t, x)−F(t, x) + F(t, x)− a |≥ ν − 1

4ν =

3

4ν. •

Tâpçc, ar formulu (7.5) katram t ∈ [0, 1], saskaòâ ar Lemmu 7.7, tiek definçtsvesels skaitlis d(t).

Tâlâk, ðis skaitlis d(t) nav atkarîgs no vektorfunkcijas G izvçles, ja tikaiir apmierinâti nosacîjumi 1) un 2). Tieðâm, ja mums ir divas vektorfunkcijasG1 un G2, kas apmierina nosacîjumus 1) un 2) , tad aplûkosim vektorfunkcijuHτ saimi

Hτ (t, x) := τG1(t, x) + (1− τ)G(t, x), (t, x) ∈ [0.1]× Ω; τ ∈ [0, 1],

un tai atbilstoðos, ar formulu (7.5) definçtos, lielumus d(τ ; t).No formulas (7.5) acîmredzams, ka katram t funkcija τ → d(τ, t) ir ne-

pârtraukta. Savukârt, visiem attçlojumiem Hτ pie x ∈ ∂Ω

| Hτ (t, x)− a |=| G2(t, x)− a) + τ(G1(t, x)− G2(t, x)) |≥ 3

4ν − 1

2ν =

1

4ν.

Tâpçc visi lielumi d(τ, t) ir veseli skaitïi, atkal saskaòâ ar Lemmu 7.7, un, kâtâdi, vairs nav atkarîgi no τ ∈ [0, 1]. Bet tas nozîmç , ka ar mûsu formulu(7.5) definçtie lielumi d(t) nav atkarîgi no funkciju ϑ un vektorfunkciju Gizvçles, ja izpildâs nosacîjumi 1) un 2).

Visbeidzot, ja kâdam t0 mums F(t0, ·) ∈ C1(Ω), tad saimi G(t, ·) vienmçrvar izvçlçties tâ, ka, papildus, lielums

‖ | F ′x(t0, x)− G ′x(t0, x) | ‖Ln+1(Ω)

ir tik mazs, cik nepiecieðams, lai no nepârtrauktîbas argumentiem sekotu, kalielums

d(Ω, G(t0, ·), a )−∫

Ωϑ(F(t0, x)− a)JxF(t0, x)dx

pçc moduïa ir mazâks par 1, kas nozîmç , ka ar Definîciju 7.2 definçtaislielums d(t0) sakrît ar lielumu d(t0) Teorçmâ 7.1.

Teorçma 7.1 pierâdîta. •

PIEZÎME. Attiecîgâs aproksimâcijas konstruçðana ir diezgan sareþìîta.Vispârîgos vilcienos tâ ir ðâda. Tâ kâ Ω ir ierobeþots apgabals ar gabaliemgludu robeþu, tad katram ε > 0 eksistç divas reizes nepârtraukti atvasinâmavektorfunkcija Fε tâda, ka

‖ F(t0, ·)− Fε(·) ‖W 1n+1(Ω) + ‖ F(t0, ·)− Fε(·) ‖C(Ω;Rn)≤ ε.

44

Tâpat, izvçlçtajam ε eksistç polinoms Pε tâds, ka

| Pε(t, x)−F(t, x) |< ε ∀(t, x) ∈ [0, 1]× Ω.

Visbeidzot, vektorfunkciju G definç kâ

G(t, x) := γ(t− t0)Pε(t, x) + [1− γ(t− t0)]Fε(x)

ar piemçrotu nenegatîvu funkciju γ, kas ir atðíirîga no1 tikai ïoti mazâ punta0 apkârtnç un ir vienâda ar 0 punktâ 0.

Kâ vienkârðu ilustrâciju attçlojumu topoloìiskâs pakâpes pielietojumamaplûkosim algebras pamatteorçmas "jebkuram n-tâs pakâpes polinomam kom-plekso skaitïu laukâ eksistç vismaz viena sakne"pierâdîjumu.

PIEMÇRS 7.1. Pierâdît, ka vienâdojumam

zn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0

komplekso skaitïu laukâ eksistç vismaz viens atrisinâjums.Pierâdîjums. Ðajâ piemçrâ lietosim pierastos apzîmçjumus no kompleksâ

mainîgâ funkciju teorijas z = x+ iy un reâlâs un imaginârâs koordinâtu pâriapzîmçsim kâ x = (x, y) ∈ R2. Vienâdojumam

w(z) := zn − 1 = 0

komplekso skaitïu laukâ ir tieði n atrisinâjumi

zk = ei2kπn , k = 0, 1, ..., n− 1.

Definçsim attçlojumu F : R2 → R2, F (x) = (u(x, y), v(x, y)), kur u un vir kompleksâ argumenta funkcijas w reâlâ un imaginârâ daïa. Attiecîgaisattçlojuma F Jakobiânis ir vienâds ar

JF (x, y) = ux(x, y)vy(x, y)−uy(x, y)vx(x, y) = u2x(x, y)+u2

y(x, y) = v2x(x, y)+v2

y(x, y),

jo funkcijas u un v apmierina Koði-Rîmana sistçmu

ux = vy, uy = −vx.

Tâ kâ

u(x, y) = 1/2[(x+ iy)n + (x− iy)n] + 1, v(x, y) = 1/2[(x+ iy)n − (x− iy)n],

tad kâ | ∇u(x, y) |2 tâ | ∇v(x, y) |2 ir vienâdi ar nulli tikai tad, ja (x, y) =(0, 0), tad

d(B2ρ , F, a) = n,

45

pie ρ > 1 (tâdâ gadîjumâ eksistç pozitîvs ν, ka | w(z) |≥ ν uz apgabala B2ρ

robeþas.Definçjam polinomu saimi

P (t, z) := zn − 1 + t[an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 + 1]

un attçlojumu saimi

F(t, x, y) := (<P (t, z), =P (t, z)), t ∈ [0, 1], (x, y) ∈ R2.

Viegli pârbaudît, ka pie ρ0 ≥| an−1 | + · · ·+ | a1 | + | a0 | +3 uz B2ρ0

robeþasizpildâs | F(t, x, y) |≥ 1. Tâ kâ pie t = 0 attçlojums F(0, ·) atbilst vienâdoju-mam w(z)− 1 = 0, bet pie t = 1 attçlojums F(1, ·) atbilst mûsu sâkotnçjamvienâdojumam, tad sâkotnçjam vienâdojumam eksistç vismaz viens atrisi-nâjums, t.i., n-tâs kârtas polinomam komplekso skaitïu laukâ eksistç vismazviena sakne. •

46

8. Ðaudera princips

Bola-Brauera teorçmas pierâdîjumâ bûtisks bija fakts, ka ierobeþota slçg-ta kopa Eiklîda telpâ ir kompakta. Tâpçc nevar cerçt, ka pilnîgi analogsapgalvojums bûs spçkâ bezgalîgu dimensiju telpâs.

PIEMÇRS 8.1. Aplûkojam kopu

M := f ∈ C([0, 1]) | | f(x) |≤ 1, x ∈ [0, 1],

un attçlojumu A : M →M ,

(A(f))(x) :=

f(x) + sin(x), ja | f(x) + sin(x) |≤ 1,+1 , ja f(x) + sin(x) > 1,−1 , j f(x) + sin(x) < −1.

Viegli pârliecinâties, ka operators A ir nepârtraukts un attçlo kopu M sevî.Savukârt, kopas M ierobeþotîba, izliektîba un slçgtîba ir acîm redzama.

Tâ kâ vienâdîbaf(x) + sin(x) = f(x)

izpildâs tikai punktos x = 0 vai x = 2π, tad iespçjamajam attçlojuma Anekustîgajam punktamfunkcijai f0 jâapmierina viena no sakarîbâm

f0(x) + sin(x) ≥ 1 ∀x ∈ [0, 1]

vaif(x) + sin(x) ≤ −1 ∀x ∈ [0, 1],

jo funkcijai f0 jâbût nepârtrauktai. bet neviena no ðîm sakarîbâm nevarizpildîties , ja f0 ∈M . •

Tâpçc, meklçjot Bola -Brauera teorçmas analogu bezgalîgu dimensiju tel-pâs,bûs nepiecieðams uzlikt papildus prasîbas vai nu uz operatoru, vai arî uzkopu, kuru operators attçlo sevî.

Lai turpinâtu izklâstu, atgâdinâsim daþus faktus un definîcijas no Bana-ha telpu teorijas (paðu Banaha telpas definîciju pieòemot par zinâmu).

DEFINÎCIJA 8.1. Banaha telpas X apakðkopu M sauc par i e r o b eþ o t u , ja eksistç konstante c tâda, ka

‖ x ‖≤ c ∀x ∈M.

Banaha telpas X apakðkopu U sauc par v a ï ç j u , ja katram x∗ ∈ Ueksistç pozitîvs δ tâds, ka

Bδ(x∗) := x ∈ X | ‖ x− x∗ ‖< δ ⊂ U.

47

Banaha telpas X apakðkopu D sauc par s l ç g t u , ja jebkurai virkneixk ⊂ D, kas konverìç , attiecîgais robeþelements pieder kopai D.

Banaha telpas apakðkopu M sauc par i z l i e k t u , ja jebkuriem di-viem kopas M elementiem x1 un x2 tos savienojoðais nogrieznis x ∈ X |x = λx1 + (1− λ)x2, 0 ≤ λ ≤ 1 arî pieder kopai M .

DEFINÎCIJA 8.2. Banaha telpas apakðkopas M s l ç g u m s M irvisu to telpas X elementu x∗ kopa, ka katram x∗ ∈M eksistç kâda kopas Melementu virkne, kas konverìç uz x∗.

DEFINÎCIJA 8.3. Banaha telpas X apakðkopa M ir k o m p a k t a ,ja jebkura kopasM elementu virkne satur apakðvirkni, kas konverìç uz kâdukopas M elementu.

Banaha telpas apakðkopu M sauc par p r e k o m p a k t u , ja tâsslçgums ir kompakta kopa.

DEFINÎCIJA 8.4. Operatoru F : X → Y , kur X un Y ir Banaha telpas,sauc par p i l n î g i n e p â r t r a u k tu ,ja

(i) operators F ir nepârtraukts;

(ii) operators F ierobeþotas kopas attçlo par prekompaktâm. •

Kâ viekârðu piemçru pilnîgi nepârtrauktam operatoram aplûkosim seko-joðo

PIEMÇRS 8.1. Aplûkojam operatoru

A : C([0, 1])→ C([0, 1]), (A(f))(t) :=∫ t

0f(s)ds, t ∈ [0, 1].

Operators A ir nepârtraukts, jo

‖ A(f)− A(g) ‖= max0≤t≤1

|∫ t

0f(s)ds−

∫ t

0g(s)ds |

≤ max0≤s≤1

| f(s)− g(s) |=‖ f − g ‖ .

Ja tagad kopa M ⊂ C([0, 1]) ir ierobeþota, t.i.,eksistç konstante c tâda, kano f ∈M seko, ka ‖ f ‖≤ c, tad patvaïîgam elementam f ∈M

‖ A(f) ‖= max0≤t≤1

|∫ t

0f(s)ds |≤ c,

| (A(f))(t1)− (A(f))(t2) |=|∫ t2

t1f(s)ds |≤ c | t1 − t2 | .

48

Iegûtie novçrtçjumi parâda, ka kopa A(M) ir ierobeþota un tâs elementi irekvi-vienmçrîgi nepârtraukti, kas , saskaòâ ar Askoli-Arcela teorçmu ir pie-tiekami, lai kopa A(M) bûtu prekompakta telpâ C([0, 1]). •

Tâlâkâ mums bûs vajadzîgi vairâki vienkârði funkcionâlanalîzes fakti.

LEMMA 8.1. Banaha telpas X apakðkopaM ir prekompakta tad un tikaitad, ja jebkura kopasM elementu virkne xk satur konverìentu apakðvirkni.

Pierâdîjums. Pieòemsim, ka jebkura M elementu virkne satur konver-ìentu apakðvirkni. Mums jâparâda, ka tad kopasM slçgumsM ir kompaktakopa. Izvçlamies patvaïîgu virkni xk ⊂ M . Tâ kâ xk ∈ M , tad eksistçyk ∈ M tâds, ka ‖ xk − yk ‖< 1/k. No mûsu pieòçmuma seko apakðvir-knes yk′ ⊂ yk eksistence, kas konverìç uz kâdu M elementu y0. Bet tadatbilstoðajai apakðvirknei xk′ bûs

‖ xk′ − y0 ‖=‖ xk′ − yk′ + yk′ − y0 ‖≤1

k+ ‖ yk′ − y0 ‖→ 0 , ja k →∞.

Tâtad, kopa M ir kompakta.No otras puses, ja M ir kompakta kopa, tad no M ⊂ M uzreiz seko, ka

jebkura kopas M elementu virkne satur apakðvirkni, kas konverìç. •

LEMMA 8.2. Banaha telpas X apakðkopa M ir prekompakta tad untikai tad, ja katrm pozitîvam ε eksistç galîgs skaits elementu zs ∈ M, s =1, ..., N , tâdu, ka jebkuram x ∈ M eksistç vismaz viens elements zs tâds, ka‖ x− zs ‖< ε. ( par ðo îpaðîbu parasti saka " k o p â M e k s i s t ç g a lî g s ε t î k l s ").

Pierâdîjums. Pieòemsim pretçjo, ka kopa M ir prekompakta, bet tajâneeksistç galîgs ε tîkls. Ðis pieòçmums nozîmç, ka eksistç ε0 > 0 tâds, kajebkuram galîgam skaitam elementu zs ∈ M, s = 1, ..., N eksistç x∗ ∈ M ,kas atrodas attâlumâ ε0 no visiem elementiem zs, s = 1, ..., N .. Izmantojotðo îpaðîbu, konstruçjam bezgalîgu virkni xk ⊂M pçc sekojoða algoritma.

Izvçlamies patvaïîgu x1 ∈ M . Pçc mûsu pieòçmuma , eksistç x2 ∈ Mtâds, ka ‖ x2 − x1 ‖≥ ε0. Pârçjo procesu organizçjam sekojoði. Ja ir jauatrasti elementi x1, ..., xk ∈ M , tad pçc mûsu pieòçmuma kopâ M eksistçelements xk+1 tâds, ka ‖ xk+1 − xi ‖≥ ε0, i = 1, ..., k.

Tâdejâdi , no mûsu pieòçmuma seko, ka kopâ M ir sanumurçjama virknexk, kuras elementi atrodas attâlumâ , lielâkâ vai vienâdâ ar ε0 , viens nootra. Bet tâda virkne nevar saturçt nevienu fundamentâlu ( t.i. , konverìç-joðu ) apakðvirkni. Tas parâda, ka mûsu pieòçmums, ka prekompaktâ kopâM neeksistç galîgs ε tîkls, bija aplams.

49

Pierâdîjuma otrajâ daïâ parâdîsim, ka no galîga ε tîkla eksistences sekokopas M prekompaktîba. Ðajâ nolûkâ fiksçjam patvaïîgu elementu virknixk ⊂M un atbilstoði virknei εN := 1/N, N = 1, 2, ... aplûkojam attiecîgosε tîklus zNs , N = 1, 2, ... . Saskaòâ ar ε tîkla definîciju, katram N = 1, ...kopu B1/N(zNs ) := x ∈ X | ‖ x − zns ‖< 1/N, s = 1, ..., N saime pârklâjkopu M . Izmantojot ðo îpaðîbu, veidosim apakðvirkni xk′ ⊂ xk pçcsekojoða algoritma.

Fiksçjam x21 = x1. Tâ kâ virkne xk pieder kopu B1/2(z2

s) apvienojumam,tad viena no ðîm kopâm ,teiksim B1/2(z2

1) satur bezgalîgi daudz virknes xkelementus un mçs veidojam apakðvirkni x2

k, kas satur elementu x21 un tos

elementus, kuri ietilpst kopâ B1/2(z21). Tagad tâdu paðu izvçli piemçro virknei

x2k attiecîbâ pret kopu saimi B1/3(z3

s), saglabâjot pirmos divus virknesx2

k elementus.Turpinot ðo procesu pa N = 3, 4, ..., rezultâtâ iegûsim mûsu apakðvirkni

xk′ ⊂ xk tâdu, ‖ xk′1 − xk′2 ‖≤ 1/N tiklîdz k′1, k′2 ≥ N . Tâtad, mûsu

apakðvirkne xk′ ir fundamentâla un , kâ tâda, konverìç. •

LEMMA 8.3. Ja Banaha telpas X apakðkopa M ir prekompakta, tad tâss l ç g t â i z l i e k t â è a u l a coM , kas vienâda ar kopas

z =N∑i=1

λixi | xi ∈M, λi ≥ 0, i = 1, ..., N ; λ1 + ...+ λN = 1; N = 1, 2, ...

slçgumu, ir kompakta kopa.Pierâdîjums. Fiksçsim patvaïîgu virkni yk ⊂ coM . Mums jâpierâda,

ka ðî virkne satur konverìentu apakðvirkni.Saskaòâ ar coM definîciju eksistç virkne zk =

∑Nki=1 λixi tâda, ka ‖ yk −

zk ‖≤ 1/k, k = 1, 2, ... .Fiksçsim patvaïîgu ε > 0. Tâ ka kopa M ir prekompakta (un, tâtad,

tajâ eksistç galîgs ε tîkls ) , tad eksistç elementi as ∈ M, s = 1, ..., S, tâdi,ka katram xi (neatkarîgi no tâ, kura zk reprezentâcijas formulâ tas ietilpst) atbilst kâds asi tâds, ka ‖ xi − asi ‖< ε. Tâpçc katram zk var piekârtotelementu zk tâdu, ka

zk =Nk∑i=1

λsiasi :=S∑s=1

λksas, ‖ zk − zk ‖< ε,

jo attiecîgajâ summâ, kas definç zk koeficienti λi ir nenegatîvi un to summa irvienâda ar 1, un, protams, viens un tas pats elements as var atbilst vairâkiemxi un ðiem xi atbilstoðo koeficientu λi summa veido λsi .

Bet visi iespçjamie λk := (λk1, ..., λkS) pieder kompaktai kopai telpâ RS

un tâpçc eksistç apakðvirkne λk′ ⊂ λk, kas konverìç uz kâdu λ0 =

50

(λ01, ..., λ

0S) ar nenegatîviem λ0

s , kuru summa ir vienâda ar 1. Tas, savukârt,nozîmç, ka attiecîgâ apakðvirkne zk′ konverìç uz kâdu coM elementu yε.No ðejienes un elementu zk, zk konstrukcijas seko, ka attiecîgajai virknei yk′eksistç numurs Nε tâds, ka

‖ yk′1 − yk′2 ‖< 2ε tikldz k′1, k′2 ≥ Nε.

Nâkamajâ solî ar tâdu paðu procedûru varam izdalît jaunu apakðvirkni yk′′ ⊂yk′, kurai

‖ yk′′1 − yk′′2 ‖< 2ε tikldz . k′′1 , k′′2 ≥ N2ε.

Acîmredzot, ka turpinot ðo procedûru tâlâk, ar diagonâlâ procesa palîdzîbuiegûsim apakðvirkni yl ⊂ yk , kas konverìç uz kâdu coM elementu ( jokopa coM ir slçgta ). •

Tagad varam formulçt Ðaudera principu un sâkt tâ pierâdîjumu.

TEORÇMA 8.1 (Ðaudera princips). Ja X ir Banaha telpa un

(i) M ⊂ X ir slçgta ierobeþota un izliekta apakðkopa;

(ii) operators F attçlo kopu M sevî;

(iii) operators F ir pilnîgi nepârtraukts,

tad eksistç elements x0 ∈M tâds, ka f(x0) = x0.

PIEZÎME 8.1. Tâ kâ mûs interesç tikai operatora F izturçðanâs kopâ M ,kura ir ierobeþota, tad nosacîjumu (iii) var aizvitot ar (iii)' operators F irnepârtraukts kopâ M un tâ attçls F (M) ir prekompakta kopa. •

PIEZÎME 8.2. Praksç diezgan bieþi kopa M iepriekð nav zinâma (kâ mçsredzçsim vçlâkajos piemçros ) tâpçc prasa operatora F pilnîgo nepârtrauktî-bu visâ telpâ X. •

Pierâdîjums. 1.daïa|sâkotnçjo problçmu reducç uz problçmu ar nepâr-trauktu operatoru, kas attçlo sevî izliektu kompaktu ( tâtad arî slçgtu unierobeþotu ) kopu.

Tâ kâ kopa F (M) ir prekompakta, tad, saskaòâ ar lemmu 8.3, kopacoF (M) ir kompakta un, protams, ietilpst M (M ir izliekta un slçgta ).Savukârt, attçlojuma F nekustîgais punkts var atrasties tikai kopâ coF (M).Tagad, apzîmçjot D := coF (M), mums ir jâpierâda, sekojoðs apgalvojums:

ja nepârtraukts operators F attçlo sevî izliektu un kompaktu telpas Xapakðkopu D, tad eksistç x0 ∈ D tâds, ka F (x0) = x0.

51

Pierâdîjuma 2. daïa. Fiksçjam patvaïîgi izvçlçtu pozitîvu ε > 0. Tâ kâ ko-pâD eksistç galîgs ε tîkls (Lemma 8.2 ), tad eksistç elementi a1, ..., ai, ..., aN ∈D tâdi, ka jebkuram x ∈ D eksistç vismaz viens elements ai tâds, ka ‖x− ai ‖< ε. Definçjam funkciju ρ : R+ → R+ kâ

ρ(t) :=

ε− t, ja 0 ≤ t < ε,0 , ja ε ≤ t.

un funkcijas

ρi : D → R+, ρi(x) := ρ(‖ x− ai ‖), i = 1, ..., N.

Ar funkciju ρi palîdzîbu definçjam attçlojumu Sε : D → D kâ

Sε(x) :=N∑i=1

ρi(x)ai∑Nj=1 ρj(x)

.

Pçc kontrukcijas,

1) eksistç pozitîva konstanta ν > 0 tâda, ka∑nj=1 ρ(x) ≥ ν, x ∈ D.

Tieðâm, no ε tîkla definîcijas seko, ka mûsu summa ir pozitîva jebkuramx ∈ D . Savukârt pozitîvas konstantas ν eksistence tagad seko no kopasD kompaktîbas.

2) attçlojums Sε ir nepârtraukts (mçs aplûkojam to tikai kopâ D ). Tie-ðâm, kâ skaitîtâjs tâ saucçjs formulâ, kas definç Sε ir nepârtrauktas xfunkcijas, un saucçjs kopâ D ir lielâks vai vienâds ar ν.

3)

‖ Sε(x)− x ‖≤ ε ∀x ∈ D.

Tieðâm,

‖ Sε(x)− x ‖=‖N∑i=1

ρi(x)ai − ρi(x)x∑Nj=1 ρj(x)

‖

≤N∑i=1

ρi(x)ε∑Nj=1 ρj(x)

= ε,

jo funkcijas ρi(·) atðíirîgas no nulles tikai tiem x, kuriem ‖ x−ai ‖< ε.

4) kopa DN := Sε(D) pieder kopai D un tâ pieder arî elementu a1, ..., aNlineârâs èaulas Lina1, ..., aN kâdai galîgu dimensiju m ≤ N apakðtel-pai Xm.

52

Definçjam attçlojumu Fε : coDN → coDN kâ

F Sε I

coDN −→ D −→ DN −→ coDN

Fε(x) = I(Sε(F (x)))

kur I : D → D ir identitâtes attçlojums, t.i., I(x) = x ∀x ∈ D.Tâlâk, pilnîgi analogi kâ Bola-Brauera teorçmas otrâs daïas pierâdîjumâ,

konstatçjam, ka kopa coDN ir homeomorfa kâdai m− dimensiju Eiklîda tel-pas Rm izliektai slçgtai ierobeþotai apakðkopai Q. Ja attiecîgo homeomorfis-mu apzîmç ar H : Q → coDN , tad attiecîbâ pret attçlojumu kompozîcijuH−1 (Fε (H(·))) : Q → Q mçs atrodamies situâcijâ, kurâ pielietojama Bola-Brauera teorçma, kas dod (H ir homeomorfisms ) elementu xε ∈ coDN tâdu,ka Fε(xε) = xε.

Pçc konstrukcijas

‖ Fε(x)− F (x) ‖=‖ Sε(F (x))− F (x) ‖≤ ε ∀x ∈ coDN ,

kas dod‖ F (xε)− xε ‖≤ ε.

Tâ kâ ε > 0 ir patvaïîgs, kopa D ir kompakta un visi xε ietilpst D, tad eksistçvirkne xk ⊂ D, kas konverìç uz kâdu kopas D elementu x0 un

‖ F (xk)− xk ‖≤ 1/k, k = 1, 2, ... .

Pârejot uz robeþu k →∞ pedçjajâ sakarîbâ, iegûstam F (x0) = x0. •

Kâ pirmo piemçru Ðaudera principa pielietojumam aplûkosim Peano te-orçmas pierâdîjumu vienkârðâ gadîjumâ.

PIEMÇRS 8.2. (Peano teorçma nepârtrauktu funkciju gadîjumâ ).Dota pçc argumentu kopuma nepârtraukta vektorfunkcija f = f(t, x); f :

[0, 1]×Rn → Rn un aplûkojam Koði problçmu

x′(t) = f(t, x(t)), t ∈ (0, 1); x(0) = 0.

Dotâ problçma pârrakstâs kâ vienâdojums

x(t) =∫ t

0f(s, x(s))ds, 0 ≤ t. (8.1)

Tâ kâ iepriekð nav zinâms, vai atrisinâjums eksistç visâ segmentâ [0, 1] (parkontrpiemçru labi kalpo Koði problçma x′(t) = x2(t), x(0) = 1, kurai atri-sinâjums eksistç tikai pie 0<t<1 ), tad aplûkosim mûsu vienâdojumu (8.1)

53

segmentâ [0, a], kur a > 0 iepriekð nav zinâms.

Pirmajâ solî parâdîsim, ka jebkuram fiksçtam 0 < a ≤ 1 operators

F : C([0, a]; Rn)→ C([0, a]; Rn), (F (x))(t) :=∫ t

0f(s, x(s))ds, 0 ≤ t ≤ a,

ir pilnîgi nepârtraukts.Lai pierâdîtu operatora F nepârtrauktîbu mums pietiek pierâdît, ka tas ir

nepârtraukts jebkurâ kopâ Br := x ∈ C([0, 1], Rn) | ‖ x ‖< r. Ja x, y ∈ Br

, tad‖ x ‖:= max

0≤t≤a| x(t) |≤ r; ‖ y ‖:= max

0≤t≤a| y(t) |≤ r.

Vektorfunkcija f ir vienmçrîgi nepârtraukta kopâ [0, 1]×Bn

r , t.i.,katrm ε > 0eksistç δ > 0 tâds, ka

| f(t, x− f(t, y) |< ε ∀t ∈ [0, 1], un ∀x, y ar | x |≤ r, | y |≤ r& | x− y |< δ.

Tâtad, ja x, y ∈ Br un ‖ x− y ‖< δ, tad

‖ F (x)− F (y) ‖≤∫ a

0| f(s, x(s))− f(s, y(s)) | ds ≤ aε,

kas ir pietiekoði operatora F nepârtrauktîbai.No vektorfunkcijas f nepârtrauktîbas kopâ [0, 1] × B

nr seko , ka eksistç

konstante cr tâda, ka

| f(t, x) |≤ cr, ∀(t, x) ∈ [0, 1]×Bnr .

Tâpçc

‖ F (x) ‖≤∫ a

0| f(s, x(s)) | ds ≤ acr ∀x ∈ Br.

savukârt, ja x ∈ Br , tad ( òemot t1 < t2 )

| (F (x))(t1)− (F (x())(t2) | ≤∫ t2

t1| f(s, x(s)) | ds ≤ 2cr | t2 − t1 | .

Tâdejâdi, kopai F (Br) izpildâs Arceli-Askoli teorçmas nosacîjumi un kopaF (Br) ir prekompakta telpâ C([0, 1]× ;Rn) un tâ ka jebkura ierobeþota kopaietilpst kâdâ Br, tad operators F attçlo ierobeþotas kopas par prekompak-tâm, kas kopâ ar F nepârtrauktîbu dod operatora F pilnîgo nepârtrauktîbu.

No jau iegûtâ novçrtçjuma (kopâm Br )

‖ F (x) ‖≤ c1a ja x ∈ Br ar r ≤ 1,

54

seko, ka operators F attçlo sevî lodes B1 ⊂ C([0, a] × Rn tiklîdz a < 1 unc1a < 1.

Tagad no iegûtâ novçrtçjuma intervala garumam a un no Ðaudera prin-cipa seko, ka eksistç a > 0 tâds, ka mûsu vienâdojumam , tâtad arî Koðiproblçmai, eksistç atrisinâjums laika intervalâ (0, a). •

PIEMÇRS 8.2. (nelineâra divpunktu robeþproblçma)Ir dotas funkcijas a = a(x, u), f = f(x, u) tâdas, ka

(i) funkcijas a, f ir nepârtrauktas kopâ (x, u) ∈ [0, 1]×R;

(ii) eksistç pozitîvas konstantes ν un µ tâdas, ka visiem aplûkojamiem ar-gumentiem

ν ≤ a(x, u) ≤ µ, | f(x, u) |≤ µ.

Aplûkojam robeþproblçmu[a(x, u(x))u′(x)]′ − f(x, u(x)) = 0, 0 < x < 1,u(0) = 0, u(1) = 0,

attiecîbâ pret u ∈ C2([0, 1]).Definçsim operatoru F : C([0, 1])→ C([0, 1]) kâ

(F (u))(x):=

∫ x0

1a(t,u(t))

[∫ t

0 f(s)ds − 1∫ 1

01

a(s,u(s))ds

∫ 10

1a(s,u(s))

∫ s0 f(τ)dτds ]dt, x ∈ [0, 1].

Viegli redzçt, ka operators F tieðâm attçlo C([0, 1]) iekð C([0, 1]). Pie tamno nosacîjuma (ii) seko, ka F attçlo visu telpu C([0, 1]) kopâ

B := v ∈ C([0, 1) | ‖ v ‖≤ µ

ν(1 +

µ

ν).

Pilnîgi analogi, zemintegrâïa funkciju vienmçrîgâs ierobeþotîbas dçï,

| (F (u))(x1))− (F (u))(x2) |≤ µ

ν(1 +

µ

ν) | x1 − x2 | ∀x1, x2 ∈ [0, 1].

Tâdejâdi, operators F attçlo lodi B sevî un tâ attçls F (B) ir prekompaktakopa.

Ja operatoram F bûtu nekustîgs punkts u0, tad no F definîcijas vienkâr-ðu analitisku darbîbu rezultâtâ (vienkârði atvasinot un reizinot ar a(·, u(·)) )izrâdîsies, ka u0 ir mûsu sâkotnçjâs robeþproblçmas atrisinâjums. Lai tâ bû-tu, nepiecieðams vçl tikai parâdît, ka oprators F ir nepârtraukts, kas atïautupielietot Ðaudera principu.

55

Attiecîgais pierâdîjums balstâs uz to, ka jâaplûko tikai vienmçrîgi ierobe-þotas funkcijas no B un tâpçc visiem aplûkojamiem argumentiem funkcijasa un f ir vienmçrîgi nepârtrauktas, kas ïauj novçrtçt starpîbu ‖ F (u1) −F (u2) ‖. Attiecîgie novçrtçjumi ir vienkârði, bet prasa garus izvedumus,tâpçc mçs tos ðeit nepievedîsim. •

56

9. Saspiedoðo attçlojumu princips

DEFINÎCIJA 9.1. Attçlojumu F , kas attçlo Banaha telpas X apakðkopuM sevî, t.i., F : M →M , sauc par s a s p i e d o ð u k o p â M , ja eksistçkonstante q < 1 tâda, ka

‖ F (x)− F (y) ‖≤ q ‖ x− y ‖ ∀x, y ∈M.

Ja operators ir saspiedoðs visâ telpâ X, tad piebildi " saspiedoðs telpâ X "parasti izlaiþ, ja no konteksta skaidrs par kâdu telpu (vai arî kopu ) iet runa.

TEORÇMA 9.1. (Saspiedoðo attçlojumu princips) Ja

(i) M ir slçgta Banaha telpas X apakðkopa;

(ii) F : M →M ir saspiedoðs kopâ M ar konstanti q,

tad kopâ M eksistç attçlojuma F nekustîgs punkts x0 ∈M ,t.i., F (x0) = x0,punkts x0 ir viens vienîgs, un iterâcijas process

xk+1 = F (xk), k = 1, 2, ..., (1)

no jebkura sâkuma punkta x1 konverìç uz x0.Pierâdîjums. Ar (9.1) definçtâ virkne xk pieder kopai M un pçc îpaðî-

bas (ii)

‖ xk+1−xk ‖=‖ F (xk)−F (xk−1) ‖≤ q ‖ xk−xk−1 ‖≤ · · · ≤ qk−1 ‖ x2−x1 ‖ .

No ðejienes seko, ka patvaïîgiem m > n > 1

‖ xm − xn ‖=‖ xm − xm−1 + xm−1 − · · · − xn ‖≤k=m−1∑k=n

qn ‖ x2 − x1 ‖

≤ qn

1− q‖ x2 − x1 ‖,

t.i., ka virkne xk ir fundamentâla un, tâtad, konverìç uz kâdu punktu x0,kas îpaðîbas (i) dçï pieder kopai M . Visbeidzot, pârejot uz robeþu k → ∞sakarîbâs (9.1), iegûstam

x0 = F (x0),

jo operators F , protams, ir nepârtraukts kopâ M . •PIEMÇRS 9.1. Aplûkojam vienâdojumu Eiklîda telpâ Rn

x− Ax = a,

57

kur a ∈ Rn ir fiksçts elements,,bet konstantas n × n-matricas A norma irvienâda ar q, q < 1. ðajâ gadîjumâ operators F : Rn → Rn , F (x) :=Ax+ a, x ∈ Rn ir saspiedoðs un iterâciju process

xk+1 = Axk + a, k = 1, 2,

no jebkura sâkuma punkta x1 konverìç uz mûsu vienâdojuma atrisinâjumu.•

58

10. Literatûra

[1] N.Danford un J.T.Schwartz, Linear Operators ,Part I, General Theory,New York, London, Interscience Publishers, 1958 .

[2] S.Fuèik, J.Neèas, V.Souèek, Spectral Analysis of Nonlinear Operators,Berlin, Springer Verlag, 1973.

[3] S.Fuèik, A.Kufner, Nonlinear Differential Equations, Amsterdam, El-sevier, 1980.

[4] H.Gajewski, K.Groger, K.Zacharias, Nelineâri Operatorvienâdojumiun Operator-diferenciâlvienâdojumi, Maskava, NAUKA,1978 (krievu valo-dâ).

[5] A.N.Kolmogorov, S.V.Fomin , Elements of Theory of Functions andFunctional Analysis, Moscow, NAUKA, 1976 (krievu valodâ).

59