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Rubén Cordón Martínez
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ÍNDICE 1 INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN DEL PROYECTO ................................................................ 2
2 DESCRIPCIÓN DEL SITIO DE ESTUDIO ................................................................................... 3
2.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 3
2.2 GEOMORFOLOGÍA FLUVIAL DEL CAUCE A ESTUDIAR .................................................. 5
2.2.1 Tramo a simular .................................................................................................... 5
2.2.2 Subtramo 1 ............................................................................................................ 7
2.2.3 Subtramo 2 ............................................................................................................ 8
2.2.4 Subtramo 3 .......................................................................................................... 10
2.2.5 Subtramo 4 .......................................................................................................... 11
2.3 MODELO DIGITAL DE ELEVACIONES ........................................................................... 12
3 MODELOS DE AGUAS SOMERAS, PREPROCESADO PARA SU SIMULACIÓN Y BREVE
DESCRIPCIÓN DEL SOFTWARE .................................................................................................... 17
3.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 17
3.2 MODELADO BIDIMENSIONAL DEL FLUJO ................................................................... 17
3.2.1 Ecuaciones de Saint-Venant 2D ........................................................................... 17
3.2.2 Orígenes del software Dassflow .......................................................................... 21
3.2.3 Preprocesado para simulación 2D ....................................................................... 25
3.3 MODELADO UNIDIMENSIONAL DEL FLUJO ................................................................ 37
3.3.1 Ecuaciones de Saint-Venant 1D para cauces de sección no uniforme ................ 37
3.3.2 Hiperbolicidad del sistema de ecuaciones ........................................................... 42
3.3.3 Descripción del software y preprocesado para simulación 1D ............................ 43
4 RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN ...................................................................................... 46
4.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 46
4.2 RESULTADOS DEL MODELO UNIDIMENSIONAL ......................................................... 46
4.2.1 Simulaciones transitorias .................................................................................... 46
4.2.2 Simulaciones estacionarias ................................................................................. 48
4.3 RESULTADOS DEL MODELO BIDIMENSIONAL ............................................................ 54
5 SUMARIO Y CONCLUSIONES ............................................................................................... 71
6 BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................................... 73
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1 INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN DEL PROYECTO
Actualmente, en el río a estudiar en el presente proyecto existe una problemática real
de erosión y arrastre de sedimento a lo largo del cauce del mismo. De hecho, hay
habilitado un dispositivo de personas y máquinas encargadas de extraer grava y
piedras con el objeto de evitar, en la medida de lo posible, que dicho sedimento pueda
dañar tanto los alrededores del río como el pueblo por el que atraviesa el río, así como
intentar reducir la cantidad del mismo que llega a desembocar en el río principal.
La inversión realizada por el gobierno suizo para este fin es grande, y los antecedentes
no predicen que esto vaya a ir a menos. Ha habido una serie de inundaciones, la última
en agosto de 2013, que han producido grandes destrozos a su paso. El objetivo del
presente proyecto, a nivel práctico, es realizar la simulación del río La Navisence,
pudiéndose utilizar los resultados obtenidos, si fuese de interés, para una predicción a
100 años vista que demostraría cómo esto va a seguir sucediendo, por ejemplo con
factores como el calentamiento global, que cabe esperar que produzca un mayor
deshielo del glacial de forma usual, provocando descargas más violentas, con mayores
caudales, de forma asidua.
A nivel técnico, se compararán los resultados obtenidos para dos modelos, uno
unidimensional y otro bidimensional, para el modelado de las variables
hidrodinámicas del río ante hidrogramas cíclicos asociados a la descarga del glaciar.
Para ello, se comenzará procesando datos Lidar con resolución espacial típica de 1
metro para la generación de un Modelo Digital de Elevaciones a emplear en las
simulaciones numéricas. Posteriormente se considerará un modelo de aguas someras
promediado en la sección transversal (1D) así como promediado tan solo en altura
(2D). Para la resolución numérica de las ecuaciones de aguas someras 1D y 2D
resultantes se empleará un código propio desarrollado por el Tutor del proyecto y el
software Dassflow-Hydro 2.0, respectivamente, proporcionado por el Instituto
Nacional de Ciencias Aplicadas de Toulouse (Francia) en colaboración con la Escuela
Politécnica Federal de Lausana (Suiza). Se emplearán hidrogramas de caudal de agua
medidos en una estación de aforo in situ que han sido suministrados por CREALP
(Centre de Recherche sur l’Environnement Alpin). Finalmente, se realizará una
comparativa de los resultados obtenidos, analizando las ventajas e inconvenientes de
cada uno de los modelos, la precisión de los mismos y las posibilidades que ofrecen
para estudiar los efectos del cambio climático en el transporte de gravas durante
períodos futuros.
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2 DESCRIPCIÓN DEL SITIO DE ESTUDIO
2.1 INTRODUCCIÓN La simulación numérica se va a realizar sobre el río La Navisence, que fluye debido a la
descarga del glaciar Zinal, situado en los Alpes Suizos. En las figura 2.1 se observa un
mapa de Suiza, obtenido de Google Earth, en el que está señalado el sitio a estudiar, y
un zoom de dicha zona con los distintos accidentes geográficos y elementos más
relevantes para el estudio que se va a realizar.
Figura 2.1. Situación del sitio de estudio en Suiza
El presente capítulo está dividido en dos partes. La primera parte consistirá en una
descripción más cualitativa del sitio de estudio y del río, el cual se dividirá en varias
zonas para enumerar los aspectos más relevantes e interesantes que han de ser
considerados en el análisis, apoyado con fotografías reales tomadas in situ. Por otro
lado, la segunda parte presentará el Modelo Digital de Elevaciones de elevada
precisión (1 metro) en el cual se observan claramente formaciones sedimentarias como
barras laterales y multicanales que difícilmente pueden ser cuantificados con un MDE
de menor precisión.
A lo largo del proyecto se hará referencia de manera continuada a los fenómenos de
“Slashing”, “Meandering” y “Multichannel”, que serán presentados en capítulos
posteriores, y que habrán de tratarse con un modelo 2D. También se mostrarán algunos
tramos más rectilíneos donde se podrá aplicar la teoría unidimensional, más
simplificada que la anterior.
A modo aclaratorio, se muestra en la siguiente tabla una imagen de algunos de los
accidentes geográficos más usuales en el río a estudiar:
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Multi-channel (multi-canal):
es la formación de varios canales
por donde se divide el cauce del
río.
(Foto: Río Guadalfeo)
Meander (meandro): es una
curva descrita por el curso del río
cuya sinuosidad es pronunciada.
(Foto: Río Guadalquivir)
Bar (barra): es una región
elevada de sedimento que ha sido
depositada por el flujo.
(Foto: Río Guadalfeo)
Step-pool: esta morfología está
definida como una serie regular
de escalones en el lecho del cauce.
(Foto: Río Guadalfeo)
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Las fotos del río Guadalfeo muestran que a lo largo del curso de dicho río existen
sedimentos como grava o rocas, y que se producen este tipo de formaciones a lo largo
del flujo. Esto demuestra la enorme aplicabilidad de este proyecto, ya que este
problema se da en numerosos ríos, con lo que el procedimiento que se seguirá en este
proyecto se puede extrapolar al estudio de cualquier otro caso que pueda ser de
interés.
2.2 GEOMORFOLOGÍA FLUVIAL DEL CAUCE A ESTUDIAR 2.2.1 Tramo a simular El río se dividirá en cuatro zonas: la Zona 1 cubre el glacial Zinal y el inicio del río La
Navisence; la Zona 2 abarca desde el final de la zona 1 hasta Plat de la Lé, una llanura
de gravas donde se están realizando trabajos para la extracción de las mismas; la Zona
3 va desde Plat de la Lé hasta la Estación de medida que encontramos poco después de
la confluencia con el torrente Petery; y finalmente, la Zona 4 que abarca hasta la central
hidroeléctrica.
La división por tramos antedichos se muestra en la figura 2.2 (dividida en 2 partes para
una mejor visualización), y posteriormente se pasa a describir los elementos más
importantes de cada zona, y mostrar las zonas y características del río más relevantes
con fotografías.
Antes de pasar a dicha descripción, comentar que el 20 de Agosto de 2013 hubo una
crecida súbita e inusual del río debida a intensas lluvias veraniegas, y como
disponemos de algunas fotografías del mismo sitio antes y después de dicha
inundación, en algunas ocasiones se mostrarán ambas para ver el efecto de dicha
inundación y la situación actual del río. Las fotos anteriores son de Agosto de 2012 y
las posteriores de Septiembre de 2013.
Figura 2.2a. Vista aérea del río La Navisence (I)
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Figura 2.2b. Vista aérea del río La Navisence (II)
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2.2.2 Subtramo 1 Como se ha dicho, esta zona incluye el glaciar Zinal y el comienzo de la descarga del
río La Navisence. En la figura 2.3 podemos observar la boca del glaciar, que origina la
descarga de dicho río:
Figura 2.3. Boca del glaciar Zinal
Como se ha mencionado en el capítulo de motivación del proyecto, existe una
problemática, y es que, por la erosión y el desprendimiento del material sólido poco
consolidado limítrofe al río, como el propio glaciar (figura 2.4a), el río arrastra grava y
piedras. Ésto, por un lado, entorpece el flujo normal del río al crearse todo tipo de
formas sedimentarias que modifican el cauce del río, y por otro, al llevar grava de
dimensiones relativamente grandes, puede dañar las construcciones hidráulicas
localizadas próximas al río y zonas urbanas, así como transmitir esta grava al río
principal donde desemboca.
(a)
(b)
Figura 2.4. a) Fuente de grava de las paredes del glaciar. b) Río La Navisence no encauzado
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Como se puede apreciar en la figura 2.4b, el comienzo de la descarga del río no está
encauzado debido a todas estas formas sedimentarias formadas a raíz de las piedras.
Para intentar solventar este problema, el gobierno suizo lleva a cabo una serie de
trabajos de extracción de grava en la zona del glaciar (figura 2.5). Estos trabajos son
muy costosos económicamente y además, como ya se ha comentado, el efecto del
calentamiento global puede no ayudar a reducir este costo, sino más bien a encarecerlo,
ya que, probablemente, el caudal del río vaya en aumento, arrastrando más grava aun,
lo que supondrá una mayor inversión en unos trabajos de extracción que no parecen
tener expectativas de acabarse.
Figura 2.5. Trabajos de extracción de grava
2.2.3 Subtramo 2 Esta zona llega hasta el puente de Plat de la Lé, que se puede ver desde arriba en la
figura 2.6a.
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(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 2.6. a) Vista aérea de Plat de la Lé. b) Vista aguas arriba de Plat de la Lé. c) Vista aguas debajo de Plat de la Lé. d)
Plat de la Lé tras la inundación
Aguas arriba de Plat de la Lé el flujo es bidimensional. En la figura 2.5b se puede
apreciar que el flujo no está encauzado, y hay zonas secas y mojadas. Además se
observa que la anchura es grande y que el lecho sigue siendo un suministro continuo
de grava. Hay numerosas barras que desestabilizan el cauce. Si se observa la figura
2.5b, vemos un ejemplo de barra que está dividiendo el río en dos subcanales.
Aguas abajo el río se encauza (figura 2.5c) y queda fuertemente delimitado por los
taludes laterales. A partir de este punto, el ancho del cauce es menor y el río está
encajado. Esto provoca un flujo con una dirección preferente de movimiento. Además,
la profundidad es mayor que aguas arriba del puente. Pero aun así se puede observar
que hay mucha grava y piedras en los márgenes del río. Esto es debido a que la
velocidad de agua disminuye progresivamente a medida que se aproxima a los bancos
del cauce, lo cual induce una menor capacidad erosiva y favorece la deposición de
gravas y partículas de sedimento.
Tras la inundación de agosto de 2013, Plat de la Lé se vio bastante afectada. Como se ve
en la figura 2.5d, los efectos fueron devastadores, erosionando bastante el propio canal
del río, así como arrollando la vegetación más próxima a éste debido a la cantidad de
grava y piedras que transportaba, además de provocar diversos destrozos como los
que vemos en el puente de la figura 2.5d.
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2.2.4 Subtramo 3 En esta zona cabe destacar dos partes importantes: el torrente Petery, un torrente que
descarga en el río La Navisence; y una estación de medida que utilizan para
monitorizar la dinámica fluvial del río y medir el transporte de gravas. En particular, la
estación de aforo mide el caudal y calado del agua así como el flujo de material sólido
mediante un sofisticado conjunto de “geophones”.
Se comenzará hablando del torrente Petery. Si se observa la figura 2.7a, se ve dicho
torrente seco, pero se ve que contiene una gran cantidad de piedras y grava que
pueden ser puestas en movimiento en el caso que circule agua sobre ellas, tal y como
sucedió en Agosto de 2013. Se ve en la figura 2.7b que cuando descarga, el torrente
Petery arrastra lodo puro.
(a) c
(b)
Figura 2.7. a) Torrente Petery seco. b) Torrente Petery descargando
Ahora se pasará a hablar sobre la estación de medida. En la estación de medida se
encuentran dos vigas que van de un lado a otro del río (figura 2.8):
(a)
(b)
Figura 2.8. Estación de medida a) Antes del evento. b) Después del evento
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A lo ancho del río hay 6 sensores láser, que miden la altura de la superficie del río. Esta
altura es absoluta, pero sabiendo la altura, del fondo del río se puede obtener el calado
en estos 6 puntos, con lo que se puede sacar la superficie mojada. Por otro lado,
también dispone de un sensor de caudal. En la figura 2.8b se puede observar dicha
estación de medida más de cerca. La foto es más reciente, tras la inundación de Agosto
de 2013.
Tras la inundación de agosto de 2013, el torrente aportó una gran cantidad de
sedimento, como se puede apreciar en la figura 2.9b. En la figura 2.9 se puede ver una
foto tomada antes de la inundación y después, y se percibe claramente el devastador
efecto del evento.
(a)
(b)
Figura 2.9. Vista aguas arriba de la estación de medida a) Antes del evento. b) Después del evento
2.2.5 Subtramo 4 De esta zona hay poco que destacar. Lo único que cabe mencionar es que se encuentra
el pueblo que sufre las consecuencias de todo lo mencionado anteriormente, y que por
eso se está intentando tomar esas medidas de extracción de grava.
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2.3 MODELO DIGITAL DE ELEVACIONES La figura 10 muestra el Modelo Digital de Elevaciones del sitio de estudio visto desde
arriba, con su correspondiente leyenda de cotas. Como se ha visto, el río pasa de una
cota de, aproximadamente, 2500 metros en lo más alto del glaciar, a una cota de algo
más de 1500 metros cerca de la central hidroeléctrica.
Figura 2.10. Modelo Digital de Elevaciones
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La figura 2.10 sí que tiene orientación norte, siendo ésta la orientación real, no como en
el caso de la figura 2.2, que se giró 180º para facilitar su descripción. A continuación se
desgranará algo más este Modelo Digital de Elevaciones, y se verá la gran precisión y
potencial que tiene y cómo esto hará que se pueda realizar una simulación mucho más
fiel a la realidad.
Para comprobar dicha precisión, se realizará una serie de secciones clave sobre la
ortofoto, utilizando el software Global Mapper, y se representarán gráficamente las
distintas cotas que nos proporciona este modelo. Pero antes de eso, se va a comentar un
detalle relevante en cuanto al Modelo Digital de Elevaciones.
La figura 2.11 es un zoom de Plat de la Lé tanto en la vista aérea como en el Modelo
Digital de Elevaciones, para comparar ambas, y de la que comentaremos dos cosas:
Figura 2.11. Comparativa vista aérea con MDE
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La primera es que se puede observar que detecta a los coches del aparcamiento, lo que
ya nos da una idea de la precisión de este modelo. Y es que la precisión es en torno a
un metro, lo que quiere decir que cualquier elemento de dimensiones iguales o
superiores a un metro lo representará.
La segunda es el puente de Plat de la Lé. El MDE se ha obtenido directamente de la
vista aérea, por tanto, interpreta que la altura del río en ese punto es la del puente,
como vemos en la figura 2.12 al hacer un corte en la dirección del río con Global
Mapper:
Figura 2.12. Corte longitudinal en el puente de Plat de la Lé con Global Mapper
Esto sucede también en otros puntos del MDE, y para solucionarlo se procesará el
MDE con una función implementada en Matlab que permite restablecer la altura del
río, entre otras cosas, mediante la altura antes y después del puente. Los detalles de
este proceso se indican en el capítulo 3.2.3.
A continuación, se va a hacer un corte general (figura 2.13) del mismo estilo que el
anterior, pero a todo el río, para ver como desciende la altura a lo largo de todo el
recorrido:
Figura 2.13. Cotas a lo largo del río La Navisence
La figura 2.13 constituye sólo el río La Navisence desde su nacimiento a la salida del
glaciar Zinal, pero nada de este último. Como se aprecia, nace a una altura de casi 2000
metros y desciende hasta algo más de 1500 metros, como ya se había dicho al comienzo
de este capítulo.
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Haciendo lo mismo con el torrente Petery (figura 2.14a), se obtiene una sección a lo
largo de la descarga del torrente hasta llegar al río La Navisence (figura 2.14b).
(a)
(b)
Figura 2.14. Torrente Petery a) Vista aérea. b) Sección longitudinal
Se puede ver que tiene una gran inclinación, ya que desciende unos 40 metros a lo
largo de aproximadamente 200 metros, de ahí que arrastre tanta grava y lo haga de
forma tan agresiva. La pendiente resultante del terreno es de aproximadamente el 25%.
Este valor es muy superior al usual límite geofísico del 0.1% que delimita la transición
de terrenos de baja a alta pendiente.
Ahora se pasará a realizar un par de cortes transversales al propio río en dos puntos
concretos, uno aguas arriba de Plat de la Lé, y el otro aguas abajo. El primero, aguas
arriba de Plat de la Lé, se trata de una sección transversal al río en su zona más ancha
(figura 2.15):
(a)
(b)
Figura 2.15. Río en su parte más ancha a) Vista aérea. b) Sección transversal
Como se ve, además de ser la parte más ancha del río, es también de las más
irregulares, con mayor cantidad de sedimentos que imposibilitan que el río se encauce.
Como se puede ver, el Modelo Digital de Elevaciones refleja fielmente dichas
formaciones sedimentarias (denominadas barras laterales), con una alta precisión.
Ahora se pasa a cortar una zona aguas abajo de Plat de la Lé. Se ha seleccionado este
punto ya que hay una carretera paralela al río (figura 2.16):
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(a)
(b)
Figura 2.16. Río y carretera a) Vista aérea. b) Sección transversal
Como se observa, en el Modelo Digital de Elevaciones se puede interpretar
perfectamente donde se encuentra la carretera respecto del río, y a qué altura se
encuentra.
Por último, se va a hacer un último corte a la altura del pueblo que se encuentra a un
lado del río, para ver cómo puede afectar todo lo mencionado anteriormente de la
erosión a la vida diaria de sus habitantes.
(a)
(b)
Figura 2.17. Pueblo a) Vista aérea. b) Sección transversal
En la figura 2.17 se ve cómo se ha dado el corte, y las correspondientes cotas de toda la
sección, de las cuales interesan la del río (R), la de ambas carreteras (C), y la del primer
edificio (E) que se encuentra. Como se ve, el edificio se encuentra a 50 metros del río, y
la primera carretera a tan sólo 25 metros, y a una diferencia de altura de 20 metros. A
priori parece que es una diferencia segura, pero es previsible que haya un aumento del
nivel del agua con el tiempo, o se puede dar una nueva inundación, y esa diferencia no
es tan grande como puede parecer, y con la problemática añadida del transporte de
piedras, los efectos pueden ser aún más dañinos.
En resumen, en este capítulo se han presentado dos grandes temas: por un lado, la
problemática creciente del transporte de grava y piedras que causa unos efectos
significativamente dañinos, tanto en el cauce del río, como en sus inmediaciones; y por
otro lado, se ha descrito el Modelo Digital de Elevaciones disponible y se ha mostrado,
brevemente, la precisión que ofrece, y como eso podrá ayudar a la hora de llevar a cabo
la simulación.
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3 MODELOS DE AGUAS SOMERAS, PREPROCESADO PARA SU SIMULACIÓN Y BREVE DESCRIPCIÓN DEL SOFTWARE
3.1 INTRODUCCIÓN El presente capítulo trata sobre el estudio de la dinámica fluvial del río La Navisence
que se origina debido a la descarga del glaciar Zinal, localizado en los Alpes Suizos. Se
pretende obtener la evolución temporal del campo de velocidad y altura durante dicho
proceso. El interés de dicho cálculo reside en la posibilidad de calcular a posteriori los
esfuerzos cortantes que ejerce el agua sobre las gravas localizadas en el fondo del cauce
y, por lo tanto, predecir el flujo de material sólido asociado a un caudal de agua
determinado.
El interés de la predicción de la carga de fondo (o flujo másico de sedimento) reside en
el hecho de que, debido al cambio climático, y el consecuente calentamiento global, el
caudal del río en los próximos 100 años podría aumentar debido a la mayor
descongelación del hielo glacial, y por tanto se erosionaría una mayor cantidad de
sedimento que podría perjudicar las inmediaciones del río, y el propio cauce del río.
Para la realización de dicho estudio haremos uso, tanto de un código propio
desarrollado por el tutor del proyecto, que comentaremos en la sección 3.2.3 y 3.3.3,
como del software Dassflow-Hydro 2.0, proporcionado por el Instituto Nacional de
Ciencias Aplicadas de Toulouse (Francia) en colaboración con la Escuela Politécnica
Federal de Lausana (Suiza) y la Universidad de Jaén.
Se comenzará describiendo las ecuaciones bidimensionales de aguas someras en la
sección 3.2, las cuales se pueden integrar numéricamente con Dassflow. Posteriormente
se presentará un modelo simplificado unidimensional que se obtiene de integrar el
modelo bidimensional en una sección transversal del cauce.
3.2 MODELADO BIDIMENSIONAL DEL FLUJO 3.2.1 Ecuaciones de Saint-Venant 2D El modelo de aguas someras 2D es muy utilizado a día de hoy por múltiples motivos:
precisión de los resultados, capacidad para reproducir fenómenos complejos (zonas de
recirculación, expansión y contracción en el flujo), o capturar de manera natural
resaltos hidráulicos, entre otros.
El software Dassflow permite la simulación numérica directa del calado y vector
velocidad conocido el caudal, la geometría del cauce y la rugosidad del medio lechoso.
La ventaja de Dassflow es que, además de la simulación numérica directa, éste permite
la asimilación de datos. Por ejemplo conocido el calado del flujo y la geometría del
cauce, se puede inducir cual es el campo de velocidad y caudal asociado.
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Existe otra variedad de problemas inversos que se podrían formular jugando con qué
variable es conocida y cuál es incógnita.
Otro ejemplo de asimilación de datos es, conocido el campo de velocidad y calado, se
puede obtener la geometría del fondo del canal. Esto se realiza mediante un método
variacional, que se basa en la teoría de control óptima de ecuaciones diferenciales
parciales, fusionando así de manera óptima las medidas con los modelos matemáticos:
por un lado tiene en cuenta en análisis de sensibilidad, y por otro ofrece un modo
óptimo de identificación de algunos valores de parámetros de entrada. Sin embargo,
esta técnica de asimilación de datos no será empleada en este proyecto.
Las ecuaciones de aguas poco profundas modelizan de manera efectiva el proceso de
inundación. Su forma conservativa es (Toro, 2001):
𝑑𝐔
𝑑𝑡+𝑑𝐅(𝐔)
𝑑𝑥+𝑑𝐆(𝐔)
𝑑𝑦= 𝐁 𝐔 (1)
donde x e y son las coordenadas espaciales, t es el tiempo, U es el estado del flujo, F y
G son vectores de flujo en las direcciones x e y, respectivamente, y B es el vector del
término de fuente. Dichos vectores están definidos como siguen:
𝐔 = (, 𝑢,𝑣)𝑇 = (, 𝑞𝑥 ,𝑞𝑦)𝑇 (2)
𝐅 = (𝑢,𝑢2 +1
2𝑔2 ,𝑢𝑣)𝑇 (3)
𝐆 = (𝑣,𝑢𝑣,𝑣2 +1
2𝑔2)𝑇 (4)
𝐁 = (0,𝑔 𝑆0𝑥 − 𝑆𝑓𝑥 ,𝑔(𝑆0𝑦 − 𝑆𝑓𝑦 ))𝑇 (5)
donde h es la profundidad del agua, u y v son las componentes x e y de la velocidad,
respectivamente, qx y qy son las componentes de descarga unitarias, y S0 y Sf son el
gradiente de elevación del cauce (o vector pendiente), y el coeficiente de fricción,
respectivamente. Entre otras fórmulas posibles (como Darcy-Weisbach y Chezy), el
término Sf puede ser evaluado mediante la fórmula de Manning, que viene dada por:
𝑆𝑓𝑥 =𝑛2𝑞𝑥 (𝑞𝑥)2 + 𝑞𝑦
2
7/3, 𝑆𝑓𝑦 =
𝑛2𝑞𝑦 (𝑞𝑥)2 + 𝑞𝑦 2
7/3
(6)
donde n es el coeficiente de Manning. En función del tamaño de grano, la forma de
obtener el coeficiente de Manning (Dingman, 2009), sería así:
𝑛 = 0.0150 · 𝑑1/6 (7)
donde d es el diámetro medio de grano expresado en milímetros.
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A continuación se tabulan algunos valores del coeficiente de Manning en función de
algunos parámetros relacionados con el cauce de un río y los posibles accidentes
geográficos que se puede encontrar y que pueden afectar a dicho cauce. El libro del que
se ha extraído dicha tabla contiene algunas figuras ilustrativas para cada uno de los
casos, facilitando la interpretación de los mismos (Dingman, 2009).
Aunque para el presente proyecto, se ha establecido un valor de este coeficiente de
0.059, que es usado habitualmente para grava o rugosidad superficial de 25 cm, aunque
formalmente debería ser ligeramente incrementado en presencia de step-pools,
obstrucción y obstáculos grandes, etc.
El caso de los meandros, por ejemplo, no es necesario incrementar dicho valor, ya que
para el caso de la simulación bidimensional, el campo de velocidad bidimensional
directamente modelará las pérdidas. En la simulación unidimensional sí que habría
que aumentar el coeficiente de Manning.
Descripción del canal Mínimo Normal Máximo
Corriente en terreno de baja pendiente
1. Limpio, recto, sin rápidos ni pozas profundas 0.025 0.030 0.033
2. Igual que arriba, pero con más piedras y maleza 0.030 0.035 0.040
3. Limpio, serpenteante, pozas alternadas y bancos de arena 0.033 0.040 0.045
4. Igual que arriba, pero con algunas piedras y maleza 0.035 0.045 0.050
5. Igual que arriba, mayor pendiente y sección 0.040 0.048 0.055
6. Igual que el número 4, pero con más piedras 0.045 0.050 0.060
7. Tramo lento con maleza y estanques profundos 0.075 0.070 0.080
Corriente en terreno de alta pendiente
Sin vegetación en el canal, generalmente inclinado, con árboles y maleza sumergidos
1. En el fondo: grava, losas y pocas rocas 0.030 0.040 0.050
2. En el fondo: losas con grandes rocas 0.040 0.050 0.070
Llanura de inundación
1. Hierba corta, sin arbustos 0.025 0.030 0.035
2. Hierba alta, sin arbustos 0.030 0.035 0.050
3. Arbustos dispersos, maleza abundante 0.035 0.050 0.070
4. Arbustos ligeros y árboles, en invierno 0.035 0.050 0.060
5. Arbustos ligeros y árboles, en verano 0.040 0.060 0.080
6. Arbustos de densidad media, en invierno 0.045 0.070 0.110
7. Arbustos de densidad media, en verano 0.070 0.100 0.160
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Material n0
Hormigón 0.0011-0.018
Roca amorfa 0.025
Suelo firme 0.020-0.032
Arena muy fina (d = 0.2 mm) 0.012
Arena fina (d = 0.5 mm) 0.022
Arena tamaño medio (d = 1.0 mm) 0.026
Arena gruesa (1.0< d < 2.0 mm) 0.026-0.035
Grava 0.024-0.035
Losas 0.030-0.050
Rocas 0.040-0.070
Grado de irregularidad n1
Bajo 0.000
Medio 0.001-0.005
Alto 0.006-0.010
Severo 0.011-0.020
Irregularidad de la sección transversal n2
Gradual 0.000
Ocasionalmente alterno 0.001-0.005
Frecuentemente alterno 0.010-0.015
Obstrucciones n3
Despreciable 0.000-0.004
Poco probable 0.005-0.015
Apreciable 0.020-0.030
Severo 0.040-0.050
Densidad de vegetación n4
Poca 0.002-0.010
Media 0.010-0.025
Bastante 0.025-0.050
Mucha 0.050-0.100
Rubén Cordón Martínez
21
Las ecuaciones en derivadas parciales anteriores son de primer orden en tiempo y
espacio, siendo las incógnitas h, u, v. Por tanto, es necesario incluir una condición
inicial para cada variable y varias condiciones de contorno. Para alcanzar el estado
estacionario en las simulaciones numéricas, se realizará una simulación transitoria
partiendo de una condición inicial tipo “lecho seco”. Imponiendo las condiciones de
contorno descritas más abajo se efectuará la simulación hasta alcanzar condiciones
estacionarias en todo el dominio computacional. En la entrada hay una altura mínima,
zmin, que sumada a la altura del río, h, resulta ser una constante. Por otro lado, mediante
Matlab es posible calcular el área mojada. El caudal del río es el área mojada por la
componente normal a dicha área de la velocidad. Despejando la velocidad y la altura h
obtenemos las condiciones de contorno v=Q/A, u=0, h=cte-z. A la salida se establece
unas condiciones de contorno tipo Neumann, recordando que éstas son 𝜕𝑧
𝜕𝑛, 𝜕𝑢
𝜕𝑛, 𝜕𝑣
𝜕𝑛= 0.
Las ecuaciones (1) a (7) son resueltas en DassFlow (Honnorat et al., 2007) mediante un
método de volúmenes finitos que admite dos tipos de celdas computacionales:
triángulos y/o cuadriláteros. En este trabajo se emplean triángulos que representan
con mayor precisión los modelos de elevación del terreno. El método numérico
implementado garantiza que la solución es invariante por rotaciones. Para capturar con
precisión discontinuidades, como son los resaltos hidráulicos, se emplea un solver local
1D HLLC de Riemann (Toro, 2001) con una velocidad de onda intermedia y consistente
(Fernández-Nieto et al., 2008).
3.2.2 Orígenes del software Dassflow El método variacional de asimilación de datos, basado en la teoría de control óptimo
(Lions, 1971), da una forma óptima de ajustar el modelo a las observaciones calibrando
algunos parámetros del modelo (Le Dimet and Talagrand, 1986. Courtier and
Talagrand, 1990). Este método se basa en la minimización de una función, llamada
función de coste, que mide la diferencia entre las observaciones disponibles y el estado
del flujo computerizado.
El código original, que consistía en un módulo de simulación directa, se transformó en
un código más general, que combinaba el modelo directo, un modelo adjunto, obtenido
por diferenciación automática, además de un proceso de optimización, consiguiendo el
código final generalizado, que es el que está implementado en el software DassFlow
(Le Dimet and Talagrand, 1986).
Para evaluar la eficiencia del método propuesto se llevó a cabo un caso de prueba, que
contenía todas las características principales de un caso real. El río simulado era
pequeño y constaba de un canal principal plano y un flujo plano también, con una
topografía compleja (figura 3.1a). El dominio computacional (figura 3.1b) estaba
discretizado con una rejilla híbrida de celdas triangulares y cuadradas. La malla
constaba de 809 nodos y 787 celdas.
Rubén Cordón Martínez
22
Figura 3.1. (a) Topografía; (b) malla, estación de medida y áreas parciales de observación
Las condiciones iniciales se definieron como flujo estacionario impulsado por un
caudal de entrada constante de valor Qin = 6.0 m3/s. Este caudal no conlleva a una
inundación, es decir, que el río fluye por el canal principal. El hidrograma de entrada
considerado en dicho estudio fue:
𝑄𝑖𝑛 𝑡 = 6 + 4.5𝑡𝑒−𝑡
60 (8)
Como se sabe, es necesario conocer las condiciones iniciales y de contorno. Para ello se
utilizan cada vez más imágenes de satélite, que tienen una resolución de
aproximadamente 25 metros, junto con el Modelo de Elevaciones Digital, de gran
resolución y exactitud.
El área de interés del caso real estudiado (figura 3.2) incluía 28 km del Río Mosel, entre
Uckange (Francia) y Perl (Alemania). En esta zona, los meandros del río tenían de
media una longitud de 3 km y una pendiente del 0.05%. Merece la pena indicar la
presencia de un estrecho valle entre las ciudades de Berg/Mosel y Perl, que actúa como
cuello de botella en una inundación, reteniendo el agua, y provocando la subida de
nivel del agua. La cuenca del río mide unos 35500 km2. La velocidad de propagación
máxima es baja, en torno a los 2 km/h, y el pico de caudal de descarga registrado por
la estación de medida de Uckange fue de 1450 m3/s. De aquí se obtuvieron las
condiciones de contorno.
Rubén Cordón Martínez
23
Figura 3.2. Área de estudio del Río Mosel
Además, se empleó el hidrograma de las tres estaciones de medida: Uckange, EDF y
Perl, aunque al haber discrepancia entre los datos de la estación de Perl con las otras
dos estaciones, ésta se descartó para el estudio. La imagen usada en dicho estudio fue
tomada a las 6:00 AM durante la inundación del 28 de Febrero de 1997, por el sensor
Synthetic Aperture Radar (SAR) del satélite RADARSAT-1.
A partir de la imagen del sensor SAR, basándose en el método desarrollado por Raclot
(2006), comentado anteriormente, se obtuvo una estimación parcial del nivel del agua,
siguiendo los tres pasos comentados, con una incertidumbre media de ±40 cm, algo
que parece difícil de pensar con dicha imagen, cuyos píxeles abarcan 25 metros. Tras el
procesamiento de la imagen, se obtuvo dicha estimación (figura 3.3):
Figura 3.3. Distribución espacial de los valores del nivel del agua disponibles después del tratamiento de la imagen
Rubén Cordón Martínez
24
El coeficiente de Manning, del que ya se ha hablado anteriormente, es empírico y en la
mayoría de los casos no se puede medir, depende de la vegetación, la erosión, etc. Sin
embargo, gracias a la distribución espacial del nivel del agua obtenida previamente,
fue mucho más fácil la obtención de dicho coeficiente, en comparación con la
calibración “a mano” por el método de prueba-error. Estos coeficientes se obtuvieron a
partir del método variacional de asimilación de datos explicado antes. La distribución
espacial del coeficiente de fricción de Manning se basó en las clases de cubierta
terrestre (figura 3.4):
Figura 3.4. 10 clases de cubierta terrestre
Después de identificar el coeficiente de Manning utilizando datos reales, se obtuvo,
mayoritariamente, un coeficiente de n = 0.033 para casi todos los elementos. Para dicho
proceso, se hizo un análisis de la sensibilidad (figura 3.5), y se concluyó que el valor de
Manning más importante y en el que se debía centrar la atención era en el canal
principal, siendo mucho menos importante el área de vegetación, el puente o las zonas
de grava y hierba.
Rubén Cordón Martínez
25
Figura 3.5. Análisis de sensibilidad
Como se ha visto, a través de una imagen de satélite se puede obtener tanto
condiciones iniciales (p.e. U0) como condiciones de contorno (p.e. Qin). Sin embargo, el
método variacional de asimilación de datos supone una gran carga computacional, es
decir, requiere unos niveles muy altos de memoria y velocidad del procesador.
Una vez explicado brevemente y verificado, se observa pues que el potencial de este
método, y por tanto del software DassFlow, es muy alto y puede suponer una gran
ayuda en el caso que nos ocupa.
3.2.3 Preprocesado para simulación 2D Antes de realizar la simulación numérica se presentarán las etapas de preprocesado
seguidas en este trabajo con el objetivo de optimizar los tiempos de cálculo de dicha
simulación. La optimización consistirá en minimizar todo lo posible el número de
celdas de la malla sobre la que realizaremos la simulación, dado un paso de malla
concreto. Además, como ya se habló en el capítulo del sitio de estudio, en este punto
también se eliminarán los puentes que se encuentran en el Modelo Digital de
Elevaciones.
Rubén Cordón Martínez
26
El diagrama de bloques que sintetiza el proceso seguido sería el siguiente:
En la primera etapa, se parte del Modelo Digital de Elevaciones y la ortofoto
superpuesta en el software Global Mapper. Se selecciona el área de simulación más
ajustada posible, teniendo en cuenta que al realizar la simulación, el agua no
sobresalga de dicha área.
Se sabe que la variación del caudal del río horario a lo largo de todo el tramo es
despreciable, ya que tarda 15 minutos en llegar del glaciar al embalse, con lo que se
puede aplicar la hipótesis simplificadora de que el flujo es estacionario. Por otro lado,
según datos históricos se sabe que el caudal del río fluctúa entre 1 y 30 m3/s,
dependiendo generalmente de la estación del año. Por ambas cosas, a la hora de
realizar la optimización, para estar del lado de la seguridad, se seleccionará un caudal
de 30 m3/s. Esta caudal dará lugar a la inundación de la mayor área posible en el rango
de caudales físicos que suelen acontecer en el río. El objetivo del proceso de
optimización es que el área a simular se ajuste al máximo al área inundada, de manera
que el número de celdas secas sea mucho más pequeño que de celdas mojadas. De otro
modo se estarían incluyendo nodos computacionales en exceso que no benefician la
simulación numérica, consumen memoria y tiempo de cálculo.
ETAPA I)
Selección del área a simular basada en la ortofoto.
Se seleccionará la zona a simular basada en nuestra
percepción de cuál es el área inundable.
ETAPA II)
Hacer la simulación numérica.
ETAPA III)
Convertir los datos de la simulación para el caudal
máximo a Global Mapper.
ETAPA IV)
Redefinir en Global Mapper el área a simular
basada en los resultados de la simulación. Generar
la nueva malla y volver a simular.
Rubén Cordón Martínez
27
Una vez seleccionada el área de simulación se realizará una triangulación de dicha área
que se exporta desde Global Mapper mediante un fichero de extensión .STL, para
posteriormente importarla con Matlab. Al leer la triangulación con Matlab se ve que la
malla está “orientada”, tiene unas direcciones preferentes, que no benefician a la
simulación, ya que ese direccionamiento va a modificar la tendencia de la simulación,
con lo que desde Matlab se aplica un “smooth” (suavizado) Laplaciano, quedando la
malla como se ve en la figura 3.6, con mejores propiedades para la simulación. Se va a
entrar un poco en detalle en el código desarrollado para este proceso de suavizado en
Matlab.
Figura 3.6. Malla final
clear all
cd ..
[p, t, n, c, stltitle] =
stlread('./mesh0_75x0_75/Simulacion2conAreaParaSimulacion3.stl');
% Eliminar puntos duplicados
[salida,I,J] = unique(p(:,1:3),'rows');
p = p(I,1:3);
ix = p(:,1);
iy = p(:,2);
tri = delaunay(p(:,1),p(:,2));
dx1 = ix(tri(:,1))- ix(tri(:,2));
dx2 = ix(tri(:,2))- ix(tri(:,3));
dx3 = ix(tri(:,3))- ix(tri(:,1));
dy1 = iy(tri(:,1))- iy(tri(:,2));
dy2 = iy(tri(:,2))- iy(tri(:,3));
dy3 = iy(tri(:,3))- iy(tri(:,1));
l1 = sqrt( dx1.*dx1 + dy1.*dy1 );
l2 = sqrt( dx2.*dx2 + dy2.*dy2 );
l3 = sqrt( dx3.*dx3 + dy3.*dy3 );
l123 = l1 + l2 + l3;
Rubén Cordón Martínez
28
% Eliminar triángulos cuya suma de la longitud de los bordes sea mayor
que un criterio
tri = tri(l123<=(2+sqrt(2))*1.1,1:3);
FV.faces = tri;
FV.vertices = p;
Inicialmente se lee el archivo .STL con la función “stlread” y se realiza un pre-
tratamiento de la malla. Por un lado se eliminan los puntos que estén duplicados, y por
otro lado se eliminan también los triángulos cuya suma de las longitudes de los bordes
exceda el criterio seleccionado, como se ve a continuación. El resultado es la malla
anteriormente mencionada que se encuentra orientada.
cd ./Mesh2d
[p,t] = smoothmesh(p(:,1:2),tri,100,0.01);
cd ..
figure
daspect([1 1 1])
trisurf(t,p(:,1),p(:,2),0*p(:,1))
tri = t;
res = 1;
dem=dlmread('./01-Zinal_1m_06_2013_z.asc','',6,0);
dem(dem==-9999)=NaN;
dem=flipud(dem);
[m n] = size(dem);
x0 = 2613806.459985;
y0 = 1102804.88027;
[XX,YY] = meshgrid(0:n-1,0:m-1);
XX = x0 + XX*res;
YY = y0 + YY*res;
p(:,3)=qinterp2(XX,YY,dem,p(:,1),p(:,2),2);
A continuación, se dirige al directorio correspondiente para llamar a la función
“smoothmesh”, donde se llevará a cabo dicho suavizado Laplaciano, y posteriormente
se aplicará la función “qinterp2”. Dicha función se utiliza para interpolar la elevación
de los nuevos puntos de la malla a partir del Modelo Digital de Elevaciones original.
Esta función no pertenece a las funciones de Matlab, sino que se puede descargar de su
Centro de Descargas, desarrollada por un usuario, siendo ésta más rápida y eficaz que
la función “interp2d” que viene por defecto en Matlab. A esta función se le tiene que
dar como parámetro de entrada el Modelo Digital de Elevaciones en formato ASCII.
Rubén Cordón Martínez
29
En este punto, se realiza la modificación de los puentes del río mediante un código
simple, llamando a una función propia llamada “puentes”, cuyo código es el siguiente:
PuenteEmbalse=[2614205.450,1110996.157
2614205.858,1110988.214
2614222.041,1110988.825
2614221.022,1110997.379
2614205.450,1110996.157];
zPuenteEmbalse=1561.2;
PuenteArriba=[2615023.970,1106653.474
2615027.556,1106645.924
2615039.826,1106646.113
2615034.352,1106655.425
2615023.970,1106653.474];
zPuenteArriba=1729.6;
PuenteMedio=[2614764.769,1108415.973
2614774.378,1108418.947
2614778.724,1108407.585
2614767.438,1108404.763
2614764.769,1108415.973];
zPuenteMedio=1670.6;
OtroPuente = [2614319.623,1109399.076
2614334.507,1109394.015
2614329.447,1109371.987
2614316.944,1109375.559
2614319.623,1109399.076];
zOtroPuente=1647.7;
Aquí simplemente se definirán los cuatro vértices de cada rectángulo que abarca cada
uno de los cuatro puentes (el quinto punto es el mismo que el primero, para cerrar el
polígono), y la altura media de esos puntos.
cd mesh0_75x0_75
puentes
in = inpoly([p(:,1) , p(:,2)], [PuenteEmbalse(:,1) ,
PuenteEmbalse(:,2)]);
p(in,3) = zPuenteEmbalse;
in = inpoly([p(:,1) , p(:,2)], [PuenteArriba(:,1) ,
PuenteArriba(:,2)]);
p(in,3) = zPuenteArriba;
in = inpoly([p(:,1) , p(:,2)], [PuenteMedio(:,1) , PuenteMedio(:,2)]);
p(in,3) = zPuenteMedio;
Rubén Cordón Martínez
30
in = inpoly([p(:,1) , p(:,2)], [OtroPuente(:,1) , OtroPuente(:,2)]);
p(in,3) = zOtroPuente;
save 'navisencemesh1x1smoothedPatched' p tri;
geodassflow
Ahora los valores de altura de la malla que se encuentran dentro de la región
rectangular pasan a tener la altura media correspondiente, como se observa en el
código anterior. Una vez hecho esto, se exporta la malla al software de simulación
Dassflow, donde se realizará la simulación numérica, como se ha dicho antes, para un
caudal de 30 m3/s. Dicha exportación se lleva a cabo en un código aparte (llamando a
geodassflow), cuyo código se explica brevemente a continuación:
cd ..
% CONSTRUIR EL CONTORNO DE LA MALLA REORDENANDO LOS TRIÁNGULOS
t = tri;
v12 = (p(t(:,2),1)+p(t(:,2),2)*sqrt(-1)) -
(p(t(:,1),1)+p(t(:,1),2)*sqrt(-1));
v13 = (p(t(:,3),1)+p(t(:,3),2)*sqrt(-1)) -
(p(t(:,1),1)+p(t(:,1),2)*sqrt(-1));
negativos = find(sign(real(v12).*imag(v13)-real(v13).*imag(v12))<0);
tri(negativos,2) = t(negativos,3);
tri(negativos,3) = t(negativos,2);
[e,bnde] = getedges(tri,size(p,1));
bnd = find(bnde);
ejes_bnd = e(1:sum(bnde),:);
clear t negativos;
k=1;
Matlab triangulariza y ordena los triángulos de la malla aleatoriamente, sin tener en
cuenta el sentido en que se unen los nodos, es decir, pueden estar unidos el nodo 1 al 2,
y éste al 3, o el 1 al 3, y éste al 2. Para matlab, esto es indiferente, sin embargo para el
software Dassflow no, así que es requerido que la unión de los nodos tenga sentido
horario. Con esta parte del código, los que cumplan esta condición los dejará tal cual,
mientras que para las que no, hará una permuta de los nodos 2 y 3.
Por otro lado, con el comando “getedge”, Matlab devuelve directamente las celdas
frontera. La siguiente parte del código, que es algo más extensa, en líneas generales
pretende obtener qué parte de la celda es la que se encuentra estrictamente en la
frontera, y almacena dicha información:
for i=1:length(bnd)
bool1 = find(tri(:,1) == ejes_bnd(i,1));
bool2 = find(tri(:,2) == ejes_bnd(i,1));
bool3 = find(tri(:,3) == ejes_bnd(i,1));
bool123 = [bool1; bool2; bool3];
bool1a = find(tri(bool123 ,1) == ejes_bnd(i,2));
Rubén Cordón Martínez
31
bool2a = find(tri(bool123 ,2) == ejes_bnd(i,2));
bool3a = find(tri(bool123 ,3) == ejes_bnd(i,2));
if length(bool1a==1)
celdas_fontera(k,1) = bool123(bool1a);
if (tri(celdas_fontera(k,1),2) == ejes_bnd(i,1))
nodos(k,:) = [1 2];
elseif (tri(celdas_fontera(k,1),3) == ejes_bnd(i,1))
nodos(k,:) = [3 1];
else
fprintf('Error');
end
k = k + 1;
elseif length(bool2a==1)
celdas_fontera(k,1) = bool123(bool2a);
if (tri(celdas_fontera(k,1),1) == ejes_bnd(i,1))
nodos(k,:) = [1 2];
elseif (tri(celdas_fontera(k,1),3) == ejes_bnd(i,1))
nodos(k,:) = [2 3];
else
fprintf('Error');
end
k = k + 1;
elseif length(bool3a==1)
celdas_fontera(k,1) = bool123(bool3a);
if (tri(celdas_fontera(k,1),1) == ejes_bnd(i,1))
nodos(k,:) = [3 1];
elseif (tri(celdas_fontera(k,1),2) == ejes_bnd(i,1))
nodos(k,:) = [2 3];
else
fprintf('Error');
end
k = k + 1;
else
fprintf('Error');
end
end
contorno = tri(celdas_fontera,:);
contornox = [];
contornoy = [];
for i=1:length(celdas_fontera)
contornox = [contornox ; p(contorno(i,nodos(i,1)),1) ];
contornoy = [contornoy ; p(contorno(i,nodos(i,1)),2) ];
end
figure
plot(contornox,contornoy,'.')
daspect([1 1 1])
hold on;
contornox = [];
contornoy = [];
for i=1:length(celdas_fontera)
contornox = [contornox ; p(contorno(i,nodos(i,2)),1) ];
contornoy = [contornoy ; p(contorno(i,nodos(i,2)),2) ];
end
Rubén Cordón Martínez
32
plot(contornox,contornoy,'or')
hold off;
Ahora es hora de clasificar la frontera, dependiendo de si es entrada, salida o pared:
% ESCRIBIR LA MALLA Y LAS CC EN UN ARCHIVO EN FORMATO DE DASSFLOW
t = tri; % idem
BC(:,1) = celdas_fontera;
BC(:,2) = nodos(:,1);
BC(:,3) = 3; %PAREDES
for i=1:length(celdas_fontera)
BC(i,4) = ( p(t(celdas_fontera(i), nodos(i,1)),3) +
p(t(celdas_fontera(i), nodos(i,2)),3))/2 ;
ycelda = (p(contorno(i,nodos(i,1)),2) +
p(contorno(i,nodos(i,2)),2)) / 2.0d0;
xcelda = (p(contorno(i,nodos(i,1)),1) +
p(contorno(i,nodos(i,2)),1)) / 2.0d0;
if (ycelda == min(p(:,2)))
BC(i,3) = 1; %ENTRADA
elseif (ycelda == max(p(:,2)))
BC(i,3) = 2; %SALIDA
end
end
LISTACELDAS(:,1) = 1:length(t(:,1));
LISTACELDAS(:,2:4) = t;
LISTACELDAS(:,5) = t(:,1);
LISTACELDAS(:,6) = 1;
LISTACELDAS(:,7) = (p(t(:,1),3)+p(t(:,2),3)+p(t(:,3),3))/3;
LISTANODOS(:,1) = (1:length(p(:,1)))';
LISTANODOS(:,2:4) = p;
inflow = find(BC(:,3)==1);
length(inflow)
outflow = find(BC(:,3)==2);
length(outflow)
wall = find(BC(:,3)==3);
BCinflow = BC(inflow,:);
BCoutflow = BC(outflow,:);
BCwall = BC(wall,:);
Se establece por defecto que toda la frontera es pared, y ahora se procede a separar la
entrada y la salida. Por comparación del valor de la coordenada y, si éste es mínimo,
pertenecerá a la salida, mientras que si es máximo, pertenecerá a la entrada. Finalmente
almacena dicha información para el último tramo del código.
fid = fopen(['navisencemesh0_75x0_75nobridges.geo'],'w+');
count = fprintf(fid,'#Caso \n');
count = fprintf(fid, '%7d %7d %7d\n', [length(p(:,1)) length(t(:,1))
1]);
count = fprintf(fid,'#Lista de nodos\n');
Rubén Cordón Martínez
33
for i=1:length(LISTANODOS(:,1))
count = fprintf(fid, '%7d %15.8f %15.8f %15.8f\n',
LISTANODOS(i,:));
end
count = fprintf(fid,'#Lista de celdas \n');
for i=1:length(LISTACELDAS(:,1))
count = fprintf(fid, '%7d %7d %7d %7d %7d %7d %15.8f\n',
LISTACELDAS(i,:));
end
count = fprintf(fid,'#Condiciones de contorno \n');
count = fprintf(fid,'INLET %7d %7d \n',[length(BCinflow(:,1)) 0]);
for i=1:length(BCinflow(:,1))
count = fprintf(fid, '%7d %7d %7d %15.8f\n',BCinflow(i,:));
end
count = fprintf(fid,'OUTLET %7d %7d \n',[length(BCoutflow(:,1)) 0]);
for i=1:length(BCoutflow(:,1))
count = fprintf(fid, '%7d %7d %7d %15.8f\n', BCoutflow(i,:));
end
count = fprintf(fid,'WALL %7d %7d \n',[length(BCwall(:,1)) 0]);
for i=1:length(BCwall(:,1))
count = fprintf(fid, '%7d %7d %7d %15.8f\n', BCwall(i,:));
end
status = fclose(fid);
En esta parte del código, se escribe un fichero con la estructura correcta para que lo
interprete Dassflow, del tal forma que en el fichero aparece primero la lista de nodos,
con sus respectivas coordenadas x, y y z; luego la lista de celdas, con los nodos que
forman dichas celdas; y finalmente las condiciones de contorno de la entrada, salida, y
la pared.
Tras obtener la primera malla se procede con la segunda etapa en la que se efectúa la
simulación numérica. Los detalles del pos-procesado de los resultados se posponen al
capítulo 4, donde se presenta adicionalmente una interpretación física de los mismos.
Desde el punto de vista del usuario, Dassflow se puede emplear como una caja negra,
definiendo fácilmente el hidrograma de entrada de un fichero de texto, junto con
algunos sencillos parámetros (paso de tiempo, orden del método numérico, cada
cuántas iteraciones se almacenan los datos, entre otros) que se comentan
posteriormente.
Para la tercera etapa, que se recuerda que es para convertir los resultados de la
simulación para su lectura en Global Mapper, se hace uso, de nuevo, de un código en
Matlab.
clear all;
% Número de puntos que forman los triángulos (elementos)
np = 572831;
% Número de elementos
ne = 1131885;
Rubén Cordón Martínez
34
% Número de filas de encabeza en el archivo de TecPlot
ini = 8;
% Comenzar a leer
fin = ini - 1 + np;
x = dlmread('result_final.plt','',[ini 0 fin 0]);
[min(x) max(x)]
ini = fin + 1;
fin = fin + np;
y = dlmread('result_final.plt','',[ini 0 fin 0]);
[min(y) max(y)]
ini = fin + 1;
fin = fin + ne;
z = dlmread('result_final.plt','',[ini 0 fin 0]);
[min(z) max(z)]
ini = fin + 1;
fin = fin + ne;
h = dlmread('result_final.plt','',[ini 0 fin 0]);
[min(h) max(h)]
ini = fin + 1;
fin = fin + ne;
zs = dlmread('result_final.plt','',[ini 0 fin 0]);
[min(zs) max(zs)]
ini = fin + 1;
fin = fin + ne;
m = dlmread('result_final.plt','',[ini 0 fin 0]);
[min(m) max(m)]
ini = fin + 1;
fin = fin + ne;
u = dlmread('result_final.plt','',[ini 0 fin 0]);
[min(u) max(u)]
ini = fin + 1;
fin = fin + ne;
v = dlmread('result_final.plt','',[ini 0 fin 0]);
[min(v) max(v)]
ini = fin + 1;
fin = ini+4*ne-1;
resto = dlmread('result_final.plt','',[ini 0 fin 0]);
tri = zeros(ne,3);
tri(:,1) = resto(1:4:end);
tri(:,2) = resto(2:4:end);
tri(:,3) = resto(3:4:end);
save 'result_final' h u v zs z m x y ne np tri;
tol = 1e-3;
% Podemos pintar la solucion en Matlab
figure
trisurf(tri(h>tol,:),x,y,zs)
% O bien grabamos las X Y Z superficie de los puntos simulados
% cuya profundidad es mayor que cero
matriz(:,1) = x';
matriz(:,2) = y';
Rubén Cordón Martínez
35
matriz(:,3) = zs';
matriz(h<=3e-3,3) = 0;
% Grabamos X Y Zs en los puntos con h>0
fid = fopen('Zs.txt','w');
fprintf(fid,'%12.5f %12.5f %12.5f\n',matriz');
fclose(fid);
Con el comando “dlmread”, se lee directamente el fichero de salida de la simulación de
Dassflow, de extensión “.plt”, y obtiene todos los resultados de la simulación, como
velocidades, alturas,… Luego se pueden representar los resultados directamente en
Matlab, o se puede escribir un fichero con el formato adecuado para Globbal Mapper,
de nombre “Zs.txt”, con los valores de la posición de los nodos y su respectivo valor de
la elevación de la superficie de agua, y ver los resultados en dicho software. Ésta
última opción es la que se llevará a cabo en esta fase de pre-procesado, aunque
realmente constituye la fase de pos-procesado.
En esta cuarta etapa, se lee en Global Mapper este fichero, puede que el área inundada
sobrepase el área que inicialmente habíamos seleccionado como área de simulación, o
puede que pase al contrario, que el área inundada sea inferior al área de simulación. En
cualquier caso, se hará un redimensionamiento del área de simulación, ajustando más
aún el área de simulación, y se volverá a repetir este proceso tantas veces como sea
necesario hasta que la solución converja.
Con esto se tendría lista la malla optimizada para realizar la simulación numérica en
todas sus vertientes y posibilidades. Después de varias iteraciones, se puede apreciar
todo lo anteriormente mencionado en la figura 3.7:
Rubén Cordón Martínez
36
Figura 3.7. Resultado del pre-procesado
El zoom de una zona aleatoria del río muestra que el área de simulación final,
representada mediante una línea, se ajusta bastante bien al cauce del río simulado,
representado mediante color negro. En la simulación, estas zonas que sobresalen del
cauce del río también se simularán, y aparecerán secas. Con respecto al MDE, se ve que
se ha ajustado bastante el área a simular, optimizando así el proceso de simulación.
Recordar que esta imagen es para el máximo caudal registrado de 30 m3/s.
Finalmente, y a modo de validación de los resultados, se muestra a continuación, en la
figura 3.8, una comparación de la simulación para un caudal de 1 m3/s, siendo éste el
caudal más crítico, ya que hay más zonas secas, con una foto del mismo lugar, y por el
que circula aproximadamente el mismo caudal:
Rubén Cordón Martínez
37
Figura 3.8. Comparación de foto real con simulación
Se diferencia perfectamente la zona de vegetación fuera del río, el ensanchamiento del
río, e incluso la barra lateral que divide el cauce, con lo que podemos decir que el
proceso utilizado para preparar la malla es adecuado, y produce unos buenos
resultados.
3.3 MODELADO UNIDIMENSIONAL DEL FLUJO 3.3.1 Ecuaciones de Saint-Venant 1D para cauces de sección no uniforme Se va a proceder a formular matemáticamente el movimiento de aguas someras en
canales abiertos, de pequeña pendiente. Las variables físicas que influyen en el
movimiento del fluido son: la geometría del canal, la cota del fondo del canal y la
fricción del fluido con las paredes del canal. El objetivo que se persigue es modelar el
movimiento del fluido en canales y ríos de sección no uniforme, con pequeña
pendiente y variaciones suaves de la misma. En la figura 3.9 se muestra tanto la sección
transversal como longitudinal del canal, introduciendo la notación que se usará en los
sucesivos apartados.
Figura 3.9. Sección transversal y longitudinal del canal. Notación
Rubén Cordón Martínez
38
Donde x representa la coordenada horizontal, z la coordenada vertical, t el tiempo, S(x)
la cota del fondo del canal, u(x, t) la componente horizontal de la velocidad del fluido,
h(x, t) el nivel de fluido medido según el eje z, A(x, t) el área ocupada por el fluido, σ(x,
η) el ancho del canal para z = S(x) + η y b(x) el ancho del canal en η = h.
La relación entre la sección A y σ es:
𝐴 𝑥, 𝑡 = 𝜎 𝑥, 𝜂 𝑑𝜂(𝑥 ,𝑡)
0
(9)
Y se recuerda que, por la propia hipótesis de flujo unidireccional:
𝑢 ≠ 𝑢 𝑦, 𝑧 (10)
Para deducir las ecuaciones que gobiernan el movimiento de las aguas someras se
aplicarán los teoremas integrales de conservación de la masa y cantidad de
movimiento, y éstas se complementarán con un modelo para la fricción. El volumen de
control genérico seleccionado se muestra en la figura 3.10:
Figura 3.10. Volumen de control, sección longitudinal del canal
La ecuación de conservación de la masa, en forma integral, se expresa:
𝜕
𝜕𝑡 𝜌𝑑𝑉𝑉𝑐
+ 𝜌 𝑣 − 𝑣 𝑐 · 𝑛 𝑑𝑆𝑆𝑐
= 0 (11)
siendo ρ la densidad del fluido, Vc el volumen de control, Sc la superficie del volumen
de control, 𝑣 la velocidad del fluido, 𝑣 𝑐 la velocidad del volumen de control y 𝑛 el
vector unitario normal a la superficie de control (siendo su sentido del fluido al
exterior).
Rubén Cordón Martínez
39
Se aplicará dicha ecuación al volumen de control 𝑉𝑐 ≡ 𝛿𝑉 mostrado en la figura 3.10, de
espesor 𝑑𝑥 → 0. La superficie de control S está compuesta por la superficie de entrada
Se, salida Ss y lateral Sl. La superficie lateral, a su vez, se dividirá en dos, aquella que
está en contacto con la superficie sólida, que se denotará por Sl1, y la que está en
contacto con el aire, denotada por Sl2.
Teniendo en cuenta que 𝜌 ≡ 𝑐𝑡𝑒, 𝛿𝑉 → 0, 𝑆𝑒 ≡ 𝐴, 𝑆𝑠 ≡ 𝐴 + 𝑑𝐴, 𝑣 𝑐 = 0 excepto en Sl2 en
donde 𝑣 𝑐 = 𝜕/𝜕𝑡𝑒 𝑧 , 𝑣 𝑆𝑒 = −𝑢𝑛 , 𝑣 𝑆𝑠 = (𝑢 + 𝑑𝑢)𝑛 , 𝑣 𝑆𝑙1 = 0, y que 𝑣 − 𝑣 𝑐 es
perpendicular a 𝑛 en 𝑆𝑙2, la ecuación de conservación de la masa queda tal que así
(Bohórquez, 2003):
𝜕𝐴
𝜕𝑡+𝜕𝑄
𝜕𝑥= 0 (12)
siendo Q el caudal,
𝑄 ≡ 𝑢𝐴 (13)
Como se ve, existen dos incógnitas, A y Q, y tan sólo una ecuación, la de conservación
de la masa. Para poder resolver el sistema, se procede de forma análoga con la
ecuación de conservación de la cantidad de movimiento. La forma integral de dicha
ecuación, para el mismo volumen de control, se expresa (Bohórquez, 2003):
𝜕
𝜕𝑡 𝜌𝑣 𝑑𝑉𝑉𝑐
+ 𝜌𝑣 𝑆𝑐
𝑣 − 𝑣 𝑐 · 𝑛 𝑑𝑆 = 𝑛 𝑆𝑐
· 𝜏 𝑑𝑆 + 𝜌𝑓 𝑚𝑑𝑉𝑉𝑐
(14)
siendo 𝜏 el tensor de esfuerzos y 𝑓 𝑚 el vector de fuerzas másicas por unidad de masa.
Se aplicará esta ecuación al volumen de control 𝛿𝑉 (figura 3.10) en la dirección del
movimiento x. Teniendo en cuenta las mismas simplificaciones anteriores,
despreciando infinitésimos de orden superior a uno, descomponiendo el tensor de
esfuerzos 𝜏 en dos términos (el tensor de esfuerzos viscosos 𝜏 ′ y la presión p), y
teniendo en cuenta que la fuerza másica 𝑓 𝑚 que actúa es la gravedad, que es
perpendicular al vector director 𝑒 𝑥 y por tanto no habrá que considerarla como tal en
esta ecuación, la ecuación de conservación de cantidad de movimiento se expresa del
siguiente modo:
𝜕𝑄
𝜕𝑡+𝜕𝑄2/𝐴
𝜕𝑥= −
𝜏𝑓
𝜌− 𝑔𝐴
𝜕
𝜕𝑥− 𝑆0 (15)
siendo
𝑆0 = −𝑑𝑆
𝑑𝑥 (16)
la pendiente del fondo del canal.
Rubén Cordón Martínez
40
Como se ve, aparece un término de esfuerzo de fricción por unidad de longitud, 𝜏𝑓 , del
que unas líneas más abajo se presentarán algunos modelos que sirven para
complementar esta ecuación.
Pero antes de eso, se debe realizar un cambio de notación. Las ecuaciones (12) y (15)
forman el sistema de ecuaciones a resolver, que, junto con las condiciones iniciales y de
contorno apropiadas, caracterizan el movimiento del fluido. Pero tal como está
definida la ecuación (15) no es posible aplicar correctamente el método numérico que
se utilizará en la simulación, pues se debe expresar en forma “conservativa”. Por tanto,
definimos:
𝐼1 ≡ − 𝜂 𝜎 𝑥, 𝜂 𝑑𝜂(𝑥 ,𝑡)
0
(17)
𝐼2 ≡ 𝜕𝜎
𝜕𝑥 − 𝜂 𝑑𝜂
0
(18)
De esta manera, se pueden reescribir las ecuaciones (12) y (15) como:
𝜕𝐴
𝜕𝑡+𝜕𝑄
𝜕𝑥= 0 (19)
𝜕𝑄
𝜕𝑡+
𝜕
𝜕𝑥 𝑄2
𝐴+ 𝑔𝐼1 = −
𝜏𝑓
𝜌+ 𝑔𝐴𝑆0 + 𝑔𝐼2 (20)
En la ecuación (20) se puede apreciar la existencia del término conservativo y no
conservativo, 𝑔𝐼1 y 𝑔𝐼2, respectivamente.
Finalmente, como se ha mencionado antes, pasaremos a complementar estas
ecuaciones con modelos para la fricción. Para caracterizar el fenómeno de fricción en
canales abiertos es usual manejar la ecuación de Chezy. Suponiendo el canal prismático
y con pequeña pendiente, Chezy postuló, en 1768, la siguiente ecuación para el
esfuerzo de fricción:
𝑆𝑓 =𝑢2
𝐶2𝑅 (21)
donde Sf está relacionado con 𝜏𝑓 mediante
𝑆𝑓 ≡𝜏𝑓
𝜌𝑔𝐴 (22)
y C es la denominada constante de Chezy, que tiene dimensiones de raíz cuadrada de
longitud dividida por tiempo. La razón de usar Sf es que tiene las mismas dimensiones
que S0, de forma que en estado estacionario, para un canal de sección constante, la
ecuación de cantidad de movimiento se reduce a Sf = S0. La constante C se suele
determinar empíricamente.
Rubén Cordón Martínez
41
Otra opción más racional consiste en usar el coeficiente adimensional de Fanning λ:
𝜏𝑓
𝜌=
1
8𝜆𝑢 𝑢 𝑃 (23)
Comparando con la ecuación de Chezy, se tiene que
𝐶 = 8𝑔
𝜆 (24)
A continuación se presentan distintos modelos para C y λ, dependiendo del número de
Reynolds y la rugosidad del a superficie del canal. El número de Reynolds Re que se
suele usar para un canal abierto es:
𝑅𝑒 =4𝑅𝑢
𝜐 (25)
Canal con superficie lisa: considerando las hipótesis de pequeño canal con
superficie lisa, se pueden usar las correlaciones empíricas obtenidas en ensayos
para conductos circulares.
𝐶 =
28,6𝑅𝑒1/8 𝑠𝑖 𝑅𝑒 < 105
4 2𝑔 log 𝑅𝑒 8𝑔
2,51𝐶 𝑠𝑖 𝑅𝑒 > 105
(26)
En el caso de flujo turbulento completamente desarrollado, el coeficiente λ se
calcula a partir de las distintas aproximaciones siguientes:
1
𝜆≅ 0,88 ln 𝑅𝑒 𝜆 − 0,8 (27)
𝜆 ≅ 1,02[log(𝑅𝑒)]−2,5 (28)
𝜆 ≈ 0,316𝑅𝑒−1/4 𝑠𝑖 4000 < 𝑅𝑒 < 105 (29)
Ecuación de Manning: en 1891 se atribuyó la siguiente ecuación al irlandés R.
Manning.
𝑢 =1
𝑛𝑅
2/3𝑆𝑓
1/2 (30)
donde n es el coeficiente de Manning, expresado en unidades del sistema
internacionl, pero que carece de significado físico. Christensen (1984) investigó
el rango de validez de la fórmula de Manning asumiendo que la ecuación de
Nikurdase (1932) para el factor de fricción en conductos cerrados es válida para
flujos con superficie libre. Con esto se llegó a:
1
𝑛= 8,25
𝑔
𝜖1/6 (31)
Es conveniente utilizar esta expresión para calcular n ya que depende de
parámetros físicos (𝜖, g), siendo 𝜖 la altura media de las rugosidades.
Rubén Cordón Martínez
42
3.3.2 Hiperbolicidad del sistema de ecuaciones Combinando la ecuación (20) y (22), la ecuación de conservación de cantidad de
movimiento queda de la siguiente forma:
𝜕𝑄
𝜕𝑡+
𝜕
𝜕𝑥 𝑄2
𝐴+ 𝑔𝐼1 = 𝑔𝐼2 + 𝑔𝐴(𝑆0 − 𝑆𝑓) (32)
Las ecuaciones (32) y (19) se pueden escribir en forma vectorial,
𝜕𝜔(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡+𝜕𝐅(𝜔)
𝜕𝑥= 𝐆 𝑥,𝜔 (33)
siendo
𝜔 𝑥, 𝑡 = (𝐴,𝑄)𝑡 (34)
𝐅 𝜔 = 𝑄,𝑄2
𝐴+ 𝑔𝐼1
𝑡
(35)
𝐆 𝑥,𝜔 = [0,𝑔𝐼2 + 𝑔𝐴(𝑆0 − 𝑆𝑓)]𝑡 (36)
También pueden ser escritas en forma matricial,
𝐈 · 𝜔𝑡 + 𝐉 · 𝜔𝑥 = 𝐆 (37)
siendo
𝐈 = 1 00 1
, 𝐉 ≡𝜕𝐅
𝜕𝜔=
0 1𝑐2 − 𝑢2 2𝑢
(38)
𝑢 =𝑄
𝐴, 𝑐 = 𝑔
𝐴
𝑏 (39)
Teniendo en cuenta que
𝜕𝜔 = 𝜔𝑡𝑑𝑡 + 𝜔𝑥𝑑𝑥 (40)
Despejando 𝜔𝑥 de la ecuación (40), sustituyendo en la ecuación (39) y
premultiplicando por un vector genérico λ, se tiene
𝛌𝑡 · 𝐈 − 𝐉𝑑𝑡
𝑑𝑥 · 𝜔𝑡 + 𝛌𝑡 · 𝐉 ·
𝑑𝜔
𝑑𝑥= 𝛌𝑡 · 𝐆 (41)
Para el que el primer término de la ecuación (41) sea nulo, con 𝛌 ≠ 0, se tiene que
cumplir que
𝐈 − 𝐉𝑑𝑡
𝑑𝑥 = 0 (42)
Rubén Cordón Martínez
43
Para ello, existen las siguientes dos posibilidades:
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑢 + 𝑐 ≡ λ+ (43)
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑢 − 𝑐 ≡ λ− (44)
Las ecuaciones (43) y (44) definen las curvas características. Éstas son reales y distintas,
por tanto, el sistema de ecuaciones en derivadas parciales es hiperbólico. Sobre las
curvas características, el sistema de ecuaciones en derivadas parciales se reduce a un
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, definidas por:
𝛌𝑡 · 𝐉 ·𝑑𝜔
𝑑𝑥= 𝛌𝑡 · 𝐆 (45)
ó
𝛌𝑡 · 𝐈 ·𝑑𝜔
𝑑𝑡= 𝛌𝑡
𝑑𝜔
𝑑𝑡= 𝛌𝑡 · 𝐆 (46)
siendo λ el autovector asociado al autovalor λ
𝛌+ = −𝜆+
1 , 𝛌− =
−𝜆−1
(47)
Para un canal de sección constante y sin fricción, estas ecuaciones se pueden integrar,
proporcionando los dos invariantes de Riemann, que se conservan a lo largo de sus
respectivas características.
3.3.3 Descripción del software y preprocesado para simulación 1D Para la simulación 1D se emplea un código propio desarrollado por el tutor del
proyecto. No se entrará a explicar en detalle cada línea del código, simplemente se
describirá brevemente qué hace y qué función tiene dicho código.
Se trata de un código desarrollado en el lenguaje de programación FORTRAN cuyas
variables de entrada son:
· Parámetros geométricos.
· Caudal de entrada.
· Profundidad de entrada.
· Ley de fricción a utilizar.
· Parámetros de fricción.
· Tiempo de simulación.
Rubén Cordón Martínez
44
Y como salida, el código proporciona:
· Área mojada.
· Altura (calado) máxima.
· Velocidad.
El preprocesado se lleva a cabo con Matlab. El área de simulación seleccionada es la de
la figura 3.11:
Figura 3.11. Área de simulación 1D
Como se puede apreciar, sólo se selecciona el tramo en el que se puede aplicar la
hipótesis de flujo unidimensional sin caer en grandes errores. Sobre todo el tramo a
partir de la estación de medida hasta la central hidroeléctrica se puede decir que es casi
rectilíneo.
Se desarrollo un script de Matlab que calcula automáticamente las funciones
geométricas I1, I2, A, P y S0 asociadas a la trayectoria del cauce especificada (mostrada
en la figura 3.11 en línea negra continua). Así, se construyen matrices en las
dimensiones x, y y h, que pueden ser representadas gráficamente como se muestra en
la figura 3.12:
Rubén Cordón Martínez
45
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 3.12. a) Área mojada. b) I1. c) I2. d) Perímetro mojado. e) Ancho del canal.
Rubén Cordón Martínez
46
4 RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN
4.1 INTRODUCCIÓN El último capítulo del proyecto presenta, como no podría ser de otra forma, los
resultados obtenidos de las distintas simulaciones realizadas. Como se sabe, se utilizan
modelos unidimensionales y bidimensionales, con lo que el actual capítulo se dividirá
en dos secciones, una para el modelo unidimensional y otra para el modelo
bidimensional.
Al contrario de lo sucedido en el capítulo 3, aquí se mostrarán primero los resultados
del modelo unidimensional, y posteriormente los del caso bidimensional. La
justificación de esta forma de proceder, que se verá en mayor detalle en la sección 4.2.1,
es básicamente que al realizar las simulaciones del modelo 1D, se observa que el caudal
a lo largo de todo el recorrido del río se puede considerar constante, y por tanto sirve
para apoyar el hecho de que las simulaciones en ambos modelos se realicen a caudal
constante.
4.2 RESULTADOS DEL MODELO UNIDIMENSIONAL 4.2.1 Simulaciones transitorias El hidrograma del cauce en el periodo aproximado de un mes, obtenido de la estación
de medida es el mostrado en la figura 4.1:
Figura 4.1. Hidrograma obtenido de la estación de medida
Se ve que las distintas oscilaciones de caudal se dan en torno a un día, siendo el
momento de mayor caudal durante el día, ya que el sol derrite el glacial y provoca una
mayor descarga, y por ende, por la noche se da el momento en que el flujo del cauce es
menor.
Rubén Cordón Martínez
47
De la estación de medida también se puede obtener la variable de profundidad, y por
tanto de manera indirecta, el número adimensional de Froude. En la figura 4.2 se
muestran estas variables a lo largo de un año:
Figura 4.2. Distintas variables obtenidas de la estación de medida
Para la simulación transitoria, se inyecta un caudal impuesto en la entrada,
considerada esta entrada en la estación de medida, y se imponen unas condiciones de
contorno reflectivas en la salida, que corresponde con la central hidráulica. Los
resultados obtenidos para un periodo de aproximadamente 3 días se muestran en la
figura 4.3:
Figura 4.3. Simulación transitoria con zoom para 3 días aprximadamente
Rubén Cordón Martínez
48
En la figura 4.3 se muestra además un pequeño zoom de aproximadamente medio día,
del momento de mayor caudal, donde se puede apreciar que la diferencia entre la
entrada y la salida es de aproximadamente 12 minutos.
Una diferencia de 12 minutos entre el comienzo de la descarga y la desembocadura de
la misma, frente a un día es insignificante, por lo que así queda justificado el por qué
las simulaciones, tanto en el modelo unidimensional como en el bidimensional se
harán para un caudal constante a lo largo de todo el cauce.
Para finalizar esta sección, se presenta en la figura 4.4 la simulación transitoria para el
mismo periodo de tiempo que el de la figura 4.1:
Figura 4.4. Hidrograma en la estación de medida y resultados de la simulación transitoria en la central hidráulica
4.2.2 Simulaciones estacionarias En las simulaciones estacionarias se toma como entrada Plat de la Lé, y como salida la
central hidráulica. En la figura 4.5 se muestran los resultados de dichas simulaciones:
Rubén Cordón Martínez
49
Figura 4.5. Simulación estacionaria
Rubén Cordón Martínez
50
Observando el número de Froude, se ve que el flujo es supercrítico en el primero
kilómetro y medio, ya que el número de Froude es mayor que 1. Los siguientes dos
kilómetros el flujo es crítico, y luego vuelve a ser supercrítico. Éste ciclo se repite
constantemente, y es curioso, ya que de manera natural y espontánea, el flujo de un río
de alta montaña erosiona los alrededores de tal forma que con el tiempo, se consigue
un flujo crítico constante (Gordon, 1997).
Si se observa ahora el número de Reynolds, se ve que gira en torno a 106, es decir, un
flujo altamente turbulento, lo que justifica las leyes de fricción turbulentas que se han
empleado en el presente proyecto.
Otra conclusión, o más bien obviedad, que se puede sacar del análisis de los resultados
es que un mayor caudal supone una mayor velocidad y una mayor profundidad.
Un dato que indica que la simulación es buena es que el número de Froude no varía
apenas al variar el caudal, es decir, que todas las curvas del número de Froude se
solapan.
A continuación, en la figura 4.6, se representan los resultados de una forma más
precisa, que es representando en el eje y distintos caudales, y en el eje x las distintas
posiciones del río, para cada variable que se desee estudiar.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4.6. Resultados de la simulación para las variables a) Área mojada. b) Ancho del cauce. c) Profundidad.
d) Velocidad
Rubén Cordón Martínez
51
Esta forma de presentar los resultados permite sintetizar un problema tan complejo
como es la simulación del río que nos ocupa, en simples representaciones, que
permiten predecir cualquier variable para un caudal dado, en un punto concreto del
flujo.
Finalmente, se ha comparado la importancia relativa del término fuente debido a la
fricción con el debido a la pendiente del terreno. Se observa en ambos casos que S0 es
distinto de Sf y que la diferencia llega a ser del orden del 50%. Esto quiere decir que los
otros términos que aparecen en la ecuación de Saint-Venant juegan un papel
fundamental en la dinámica del flujo y que, de ninguna manera, pueden ser
despreciados.
Figura 4.7. Medida porcentual de la diferencia entre el parámetro S0 y Sf
En la mayoría de software de simulación, suponen que S0=Sf, de manera que la
ecuación de la cantidad de movimiento, la ecuación (32) del proyecto, queda muy
simplificada, pero observando la figura 4.7 se ve que existen diferencias que llegan a
ser, como ya se ha dicho, del 50%, lo que conlleva a un error considerable si se realiza
esta hipótesis simplificadora. Por eso mismo, en las simulaciones realizadas en este
proyecto, no se ha realizado esta simplificación, y por tanto, se han tenido en cuenta las
variaciones espaciales de los términos que aparecen en la ecuación de cantidad de
movimiento.
Para cerrar el capítulo, se va a realizar una interpretación física de los resultados
obtenidos de la simulación. A partir de la figura 4.5 se analizarán los aspectos más
relevantes, como por ejemplo cambios bruscos en algunas variables, y cómo están estos
cambios relacionados en cada una de las variables. Además, en algunos casos se
intentarán justificar estas variaciones observando el estado del flujo en ese punto, si
existe algún accidente geográfico o algún agente externo que lo cause.
Rubén Cordón Martínez
52
En primer lugar se va a observar el número de Froude, del que ya se ha hablado con
anterioridad. A modo de breve introducción, el número de Froude marca si el flujo es
crítico, supercrítico o subcrítico en función de si su valor es 1, mayor de 1, o menor de
1, respectivamente.
Un flujo crítico es el que, teóricamente, lleva una corriente natural, y corresponde con
el punto de mínima energía específica. Un flujo subcrítico tiene una velocidad relativa
baja y una profundidad relativamente grande, correspondiéndose generalmente con un
canal horizontal. En un flujo supercrítico, la velocidad crece considerablemente, a costa
de una menor profundidad, esto es que la energía cinética aumenta a costa de
disminuir la energía potencial.
Si se analiza lo que sucede a lo largo del cauce, observando la figura 4.5 de forma
global, vemos que la profundidad, la velocidad y el número de Froude están
relacionados. Hasta unos 1500 metros, la profundidad del cauce va aumentando muy
lentamente, y la velocidad, prácticamente al mismo ritmo, está disminuyendo,
repercutiendo en el número de Froude de tal forma que progresivamente tiende a
pasar de flujo supercrítico a flujo crítico. Observando ahora los siguientes 2000 metros,
se aprecia que la profundidad en este tramo del río es la más alta de todo el tramo
simulado, y a su vez el de menor velocidad, lo que concuerda con que el número de
Froude valga 1, y por tanto el flujo sea crítico. En el último tramo sucede lo opuesto, el
flujo aumenta a supercrítico, con sus correspondientes variaciones de profundidad y
velocidad.
Lo que cabe preguntarse ahora es por qué se dan estos cambios. A continuación, se
analizará de forma local el primer punto de cambio del flujo, es decir, a los 1500
metros. Lo que está sucediendo en ese punto es, en primera instancia, un pico en todas
las variables, con su correspondiente bajada, sin embargo, la caída de la velocidad es
mucho mayor que la que se produce en la profundidad, y como consecuencia de esto,
el flujo es subcrítico en un pequeño tramo, antes de hacerse crítico. Utilizando Global
Mapper, se realiza un corte a lo largo del tramo simulado, quedando como se ve en la
figura 4.8:
Figura 4.8. Sección longitudinal del tramo simulado
En primer lugar se mira la pendiente, para ver si se da un cambio brusco en la misma
que pueda provocar este suceso, pero se ve que la pendiente en torno a los 1500 metros
permanece constante, con lo que se busca de otra forma justificar este hecho. Para ello
se realiza una captura aérea de dicho punto (figura 4.9):
Rubén Cordón Martínez
53
Figura 4.9. Vista aérea del tramo del río que se encuentra a 1500 metros de altura
El primer aumento de velocidad está provocado por ese estrechamiento del canal, ya
que el flujo está en principio divido en varios canales que finalmente se unifican en uno
sólo, acelerando el flujo. Pero rápidamente vuelve a caer, y esto se debe a que a partir
de ese punto, el cauce se ve fuertemente frenado debido a la gran cantidad de grava a
su alrededor. Tanto es así que produce esa bajada de velocidad, estabilizándolo hasta
llegar al flujo crítico comentado antes.
Volviendo a la figura 4.8, se ve que a los 3500 metros sí que se produce un aumento
importante de la pendiente, lo que acelera el flujo, disminuyendo la profundidad, y
justificando ese cambio, de nuevo, a supercrítico.
En último lugar, es menester comentar las variaciones en el número de Reynolds. Cabe
destacar que en la etapa de flujo crítico, el número de Reynolds permanece más estable
que en el resto de etapas, y ésto es, como ya se sabe, debido a que el flujo es más lento.
Sin embargo, en la primera etapa, que es en la que se producen más variaciones en el
número de Reynolds, es fácil justificar ésto debido a la gran cantidad de accidentes
geográficos y agentes externos que se encuentran dispersos a lo largo del cauce, que
hacen que los fenómenos de viscosidad en esos momentos sean más fuertes, y
provocan caídas del número de Reynolds.
Rubén Cordón Martínez
54
4.3 RESULTADOS DEL MODELO BIDIMENSIONAL Previo a la presentación de los resultados bidimensionales, se debe realizar una pre-
selección de los mismos atendiendo al hecho de que se pretende trabajar con la
hipótesis de que el flujo es estacionario. Esto se consigue sabiendo que, desde que se
inyecta un caudal a la entrada del río, existe un desfase de tiempo hasta que este caudal
aparece a la salida. La figura 4.10 muestra esquemáticamente este hecho para su
correcta interpretación:
Figura 4.10. Lapso conceptual de tiempo en el que aparece a la salida el caudal inyectado a la entrada
Se observa claramente el desfase de tiempo mencionado anteriormente, así que lo que
se hace ahora es buscar un instante de tiempo simulado de cada caudal en el que se
encuentre dicho caudal tanto a la entrada como a la salida. Por ejemplo, para el caso de
la figura 4.10, se escogería un instante de tiempo de 2 en adelante, para el cual, el
caudal a la entrada está también presente a la salida. Para cada caudal simulado se ha
procedido de igual modo.
En primer lugar se muestra la altura de la superficie de agua de una parte del río para
el primero de los caudales, el de 1 m3/s, en la figura 4.11:
Rubén Cordón Martínez
55
Figura 4.11. Altura de la superficie libre para 1 m3/s
Como se puede observar en dicha figura, se han eliminado las zonas secas del área
simulada, quedando en blanco, aparte de la orilla del río, la grava y piedras que se
pueden encontrar a lo largo del cauce. Al tratarse de una simulación de caudal bajo,
esta cantidad de obstáculos es mayor que para un caudal mayor, como se verá más
adelante. Aún así, se ve claramente la problemática presentada en este proyecto, y se
verifica la precisión tan grande de esta simulación bidimensional, ya que es capaz de
captar una gran cantidad de detalles.
De estos resultados, también cabe destacar otro aspecto interesante del flujo, que no se
podía ver en los resultados unidimensionales, pero que este modelo bidimensional sí
que lo refleja. Para ello, en la figura 4.12 se amplían dos zonas concretas del cauce:
Rubén Cordón Martínez
56
Figura 4.12. Zoom de dos zonas de la superficie libre para 1 m3/s
Rubén Cordón Martínez
57
Cuando el río lleva una cierta velocidad y toma una curva, ya sean meandros o una
simple curva leve, el agua se desplaza a uno de los lados, dependiendo de hacia dónde
se dé la curva, debido a la fuerza centrífuga. Este fenómeno no se podía apreciar en el
modelo unidimensional, ya que se presuponía que la superficie del agua era la misma
en cortes transversales del río. Sin embargo, en la figura 4.12 se puede observar esto. Se
ve que transversalmente el río no tiene la misma altura, sino que la superficie está
inclinada en zonas de curvas. Ésto es, una vez más, una muestra de la potencia y
precisión del modelo en dos dimensiones.
La figura 4.13 muestra la profundidad del agua para el mismo caudal simulado, el de 1
m3/s:
Figura 4.13. Profundidad del río para 1 m3/s con zoom del mini-embalse
Se ve que es difícil representar estos isocontornos debido a que existe un punto con una
profundidad mucho mayor que el resto. Este punto corresponde a un mini-embalse
que se ha creado artificialmente en la zona de extracción de grava (ver figura 2.5) para
que se acumulen sedimentos y no puedan discurrir aguas abajo.
Al representar los isocontornos con valores equidistribuidos desde el valor mínimo
hasta el máximo, resulta la figura 4.13, en la que apenas se puede apreciar diferencia a
todo lo largo del río debido a esta irregularidad.
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Para una mayor apreciación de los detalles, se van a ir mostrando los resultados de la
profundidad para zonas concretas, ajustando para dichas zonas los valores de los
isocontornos.
Se observará cómo reconoce este modelo los distintos accidentes geográficos que ya se
han comentado en el capítulo 2 de la descripción del sitio de estudio. Por ejemplo, step-
pools se pueden apreciar en esta simulación, ya que suponen un aumento y
disminución repentinos de la profundidad, que se repite durante un tramo
correspondiente al tramo en el que aparece este accidente geográfico. Esto se aprecia en
la figura 4.14:
Figura 4.14. Step-pools en la simulación
Se puede observar que, a lo largo de este tramo, aumenta y disminuye la profundidad
periódicamente, lo que corresponde al comportamiento de este accidente geográfico,
que ya se sabía que aparecía en esta zona concreta. Una vez más, la respuesta de este
modelo de simulación hace posible distinguir a tanto nivel de detalle.
El resto de accidentes geográficos que aparecen a lo largo del cauce, como son barras,
multicanales y meandros, se ven en las figuras 4.15, 4.16 y 4.17, respectivamente.
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Figura 4.15. Barras en la simulación
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Figura 4.16. Multicanal en la simulación
Figura 4.17. Meandro en la simulación
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A continuación se muestra una curva que toma el río, en la que se podrá comprobar
cómo el modelo bidimensional es más apropiado en la mayoría de los casos que ocupa
el presente proyecto. Se representan los isocontornos del módulo de la velocidad, al
mismo tiempo que se representan los vectores de velocidad. Ésto se encuentra en la
figura 4.18:
Figura 4.18. Velocidad del río en zona de meandro
Una vez más se aprecia la precisión de la simulación bidimensional. Se ha seleccionado
esta zona concreta para hacer ver que claramente el modelo unidimensional no es
válido para esta y otras zonas, ya que como se puede observar, las direcciones del
vector velocidad son múltiples, teniendo que rodear obstáculos, y dandose un
estrechamiento y posterior ensanchamiento del canal. Tantos cambios y tanta variación
son los culpables de que el modelo unidimensional, a pesar de ofrecer buenos
resultados, sobretodo en algunas zonas, se quede escaso de información en otras
muchas situaciones. Sin embargo, también existen algunas zonas en las que el flujo es
rectilíneo, y el modelo unidimensional es totalmente válido. Ésto se puede verificar en
la figura 4.19, que muestra dos de los tramos rectilíneos que se pueden encontrar a lo
largo del cauce, y se puede ver que la velocidad va prácticamente en la misma
dirección, validando así el modelo unidimensional para ese tipo de tramos.
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Figura 4.19. Tramo rectilínea y unidimensional en la simulación
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Una vez que se han analizado las dinámicas y regímenes fluviales que se pueden
encontrar a lo largo del cauce, y se ha comprobado que la simulación es un fiel reflejo
de la realidad, ahora se pasarán a comparar las simulaciones para distintos caudales.
En concreto se van a representar, para una zona concreta de mayor interés, la
profundidad del cauce, y ésto se hará para los caudales más significativos inyectados a
la entrada del área de simulación.
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Figura 4.20. Profundidad de un tramo para las simulaciones de a) 1 m3/s. b) 15 m3/s. c) 20 m3/s. d) 25 m3/s. e) 35 m3/s.
f) 45 m3/s.
Se puede observar claramente que la zona inundada por el río va en aumento conforme
el caudal es mayor. Además, es interesante comentar que algunos de los muchos
obstáculos que existen a lo largo del río también se inundan, quedando así los más
grandes.
Al haber agua sobre mas terreno, ya sean las orillas del río o la grava pequeña que
también inunda, repercute en una mayor probabilidad de que sedimento sea
transportado a lo largo del río, y pueda desembocar en el río principal, o pueda dañar
los alrededores a su paso. Es por esto que es de especial interés el realizar este tipo de
simulaciones, y ver hasta qué punto es capaz de llegar la situación en el caso más
desfavorable que se pueda esperar.
Otro ejemplo de cómo afecta a una misma zona el aumento de caudal se puede
observar en la figura 4.21:
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Figura 4.21. Profundidad de otro tramo para simulaciones de a) 1 m3/s. b) 15 m3/s. c) 20 m3/s. d) 25 m3/s. e) 35 m3/s. f)
45 m3/s.
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De la zona presentada en la figura 4.21, es interesante mencionar que, a medida que el
caudal es mayor, se van formando pequeños canales paralelos al cauce principal. En
cada una de las imágenes de la figura 4.21 aparece un canal que en el anterior no había,
llegando casi a la situación de multicanal para el caso de 45 m3/s.
Para finalizar la presentación de los resultados de este modelo bidimensional se
representará la malla utilizada sobre los isocontornos de profundidad (figura 4.22):
Figura 4.22. Malla sobre el resultado de la simulación
Como se puede apreciar, y como ya se ha comentado con anterioridad, la precisión del
modelo es muy grande, y aunque el tiempo de computación puede parecer muy
elevado, debido a la complejidad del caso, realmente compensa este tiempo de más
respecto al modelo unidimensional debido a que la diferencia en los resultados es muy
significativa, pudiéndose apreciar detalles y casos que en el modelo unidimensional
pasan inadvertidos. Aunque como ya se ha dicho antes, el modelo unidimensional es
más aconsejable, por su rapidez, en los tramos rectilíneos, ya que proporcionan
prácticamente los mismos resultados.
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5 SUMARIO Y CONCLUSIONES
Se ha presentado la problemática actual existente en algunas zonas del río La
Navisence (Suiza) que fluye debido a la descarga del glaciar Zinal. Este hecho se ha
documentado con fotografías del lugar. En concreto, se han presentado diversas
fotografías del lugar, tanto para mostrar las distintas características del cauce
(meandros, barras, etc) como para mostrar los trabajos de extracción de grava que se
están llevando a cabo en dicho río, así como fotografías de sitios antes y después de la
última inundación ocurrida, viendo cómo ésta ha afectado a los mismos.
Además, se ha descrito el Modelo Digital de Elevaciones que se ha utilizado en el
proyecto, mostrando la precisión del mismo, en torno a 1 metro. Distintas herramientas
del software Global Mapper han ayudado a mostrar dicha precisión, como por ejemplo
mostrando cortes tanto longitudinales como transversales de zonas concretas del río.
Seguidamente, se han presentado las ecuaciones de Saint-Venant bidimensionales y el
resultado de las mismas para casos unidimensionales de sección no uniforme, ya que
en el presente proyecto se ha simulado el cauce tanto con el software Dassflow para el
modelo bidimensional, como con un código propio desarrollado por el tutor del
proyecto para el modelo unidimensional.
En ambos casos, existe la necesidad previa de realizar un pre-procesado a la
simulación, así que con el fin de un mayor entendimiento del por qué y el cómo de ello,
se presentan sendos subcapítulos dedicados al pre-procesado justo antes de pasar al
capítulo donde se exponen los resultados obtenidos.
Finalmente, se han ofrecido los distintos resultados, tanto para 1D como para 2D. Para
el primer caso, a pesar de haberse establecido las hipótesis necesarias para considerar
la descarga del río estacionaria, se presentan y analizan aún así los resultados de la
simulación transitoria. Posteriormente, se han sintetizado los resultados de la
simulación unidimensional estacionaria mediante el software Matlab.
Para el caso del modelo 2D, previo a la presentación de los resultados, se justifica cómo
se han seleccionado los instantes de tiempo de la simulación para que el caudal no
varíe frente al tiempo, ya que se encuentra constante en todo el tramo del río simulado.
Una vez hecho esto, se pasa a mostrar y comentar los resultados obtenidos. Para la
presentación de estos resultados se ha usado el software TecPlot, ya que éste es uno de
los formatos de salida de los archivos del software Dassflow.
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Una vez realizado el sumario, viendo qué se ha hecho y cómo se ha hecho, se
recapitulan y listan a continuación las distintas conclusiones que, a lo largo del
proyecto, se han ido obteniendo, aunque muchas de ellas ya se han comentado en su
momento:
Se ha comprobado que un aumento del caudal provoca una mayor superficie
mojada y una mayor profundidad del río, y por ende, puede suponer un
aumento de la capacidad de transporte de sedimento.
Es de esperar un aumento progresivo de la temperatura media de la tierra, lo
que repercutirá en un mayor deshielo del glaciar, y la consecuente subida de
caudal.
En cualquier caso, los datos presentados en el proyecto están preparados para
hacer un estudio de años posteriores si se quisiera, quedando esto como una
posible línea de trabajo futura.
Con el modelo unidimensional que se ha utilizado se obtienen resultados muy
buenos en poco tiempo de simulación, aunque se pierde bastante información
ya que las hipótesis en las que se basa se alejan bastante de la realidad en
diversas ocasiones. Para tramos rectilíneos es la mejor opción por su rapidez.
El modelo bidimensional se ajusta mucho a la realidad, produce unos
resultados muy precisos, y aunque el tiempo de computación es
considerablemente mayor, la diferencia en los resultados es mayor que la
diferencia en el tiempo invertido, es decir, la relación calidad/tiempo es mejor.
Cabe destacar el modelo TomSed. Dicho modelo es el que se suele utilizar en
casos reales de ríos de alta montaña, como el que ocupa el presente proyecto, y
resulta ser más simple que el utilizado en el proyecto, ya que no considera
variaciones en la sección transversal. Para más información sobre este modelo
se puede consultar su página web oficial:
http://www.bedload.at/index.php?option=com_content&view=article&id=65
&Itemid=97&lang=en
Para finalizar, en el presente proyecto quedaría por implementarse un modulo
de transporte de sedimentos, una vez que ya se ha estudiado el cauce del río. Al
igual que en el punto anterior, ésto queda como posible línea de trabajo futura.
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6 BIBLIOGRAFÍA
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