ÍNDICE GENERAL.

Página.

Historia de la derivada. 2.

Definición de derivada. 3.

Derivadas de funciones. 4.

Proyecto Áurea. 7.

Instructivo. Solución para derivadas del juego.

9.

11.

Tablas de derivadas.

17.

Resultados. Análisis e interpretación de resultados. Conclusiones. Referencias.

21.

22.

23.

24.

1 | P á g i n a

Resumen

Uno de los problemas a los que los alumnos nos enfrentamos al momento de

aprender matemáticas radica en que los profesores nos enseñan álgebra de una

manera demasiado formal. Esto nos hace pensar que las matemáticas son poco

atractivas y por lo tanto, y pensamos que la única herramienta con la que

contamos está en la solución de ejercicios propuestos durante el horario de

clases.

En este proyecto creemos que el problema fundamental en la enseñanza

académica de las matemáticas está en cómo se enseñan y se refuerzan los temas

vistos en matemáticas durante el curso escolar.

Nuestro reto principal es cómo le haremos para hacer de las derivadas, un tema

atractivo con las derivadas, y así, los demás muestren interés por el conocimiento

de una forma más divertida y dinámica.

2 | P á g i n a

Historia de la derivada.

“Primero, la derivada fue usada,

después descubierta,

explorada y desarrollada y,

finalmente definida”

-Judith V. Grabiner historiadora de las matemáticas.

Los grandes creadores del Cálculo diferencial fueron el inglés Isaac Newton;

matemático, físico y astrónomo inglés, nacido en Woolsthorpe el día de navidad de

1642 y muerto en Londres el 1727. Se inmortalizó por el descubrimiento de las

leyes de la mecánica y la gravitación universal, su explicación de la

descomposición de la luz en los diferentes colores, y por sus nobles trabajos

relativos al álgebra y la geometría, así como la invención del cálculo diferencial y

Goottfried Leibinz; filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.

Fue uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce

como "El último genio universal". Inventó el cálculo infinitesimal,

independientemente de Newton, y de grandes científicos de los siglos XVII y XVIII

los cuales sistematizaron y generalizaron ideas previas para la construcción del

cálculo. Ideas abordadas desde la antigüedad por grandes personajes como:

Johannes Kepler que fue una figura clave en la revolución científica; astrónomo y

matemático alemán, fundamentalmente conocido por sus leyes sobre el

movimiento de los planetas en su órbita alrededor del Sol. René Descartes (1596

-1650), Pierre de Fermat; fue un jurista y matemático francés apodado con el

sobrenombre de “príncipe de los aficionados, y Galileo Galilei (1564 – 1642).

Se plantea que fueron tres problemas los que motivaron la creación del cálculo:

El primer problema fue la determinación de la velocidad y la aceleración de un

cuerpo si se conoce la distancia en función del tiempo. El segundo fue el cálculo

de longitudes, áreas y volúmenes determinados por curvas o superficies. El

3 | P á g i n a

tercero fue determinar cuándo una función alcanza un valor máximo o mínimo y el

último problema estaba asociado a la geometría y era como calcular las rectas

tangentes o normales a una curva en un punto.

Newton y Leibniz demostraron que con métodos infinitesimales se resolvían

los anteriores problemas planteados.

Fermat (1601 - 1665) en el año 1638 presentó un método para encontrar

máximos y mínimos en una ecuación algebraica la cual fue generalizada años

después. También descubrió un método para calcular la pendiente de una recta

tangente a una curva algebraica.

Newton descubrió y construyó el cálculo diferencial e integral en los años

1665 a 1666 publicando sus resultados en sus libros 《De analysi per aequationes

numero terminorum infinitas》 publicado en 1711,《Methodus fluxionum et

serierum infinitorum》, dándole a su cálculo el nombre de teoría de fluxiones a las

funciones, x, y, z eran fluentes y las derivadas las llamaba fluxiones denotándolas.

Leibniz bajo la influencia de Huygens, le dio importancia al cálculo de las

tangentes a las curvas estando seguro que se trataba de un método inverso al de

encontrar áreas y volúmenes a través de sumas. En julio de 1677 Leibniz ofreció

las reglas correctas para la diferencial de la suma, diferencia, producto y cociente

dos funciones.

En el siglo XIX la función derivada logra su reconocimiento social, científico

y matemático con mayor rigor a partir de Niels Abel (1802 – 1829), Bernhard

Bolzano (1781 -1848), Augustin Cauchy (1789 -1857), Karl Weierstrass (1815 –

1897) entre los más reconocidos.

Definición de la derivada.

En matemáticas, la derivada es una medida de la rapidez con la que cambia el

valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable

independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se

4 | P á g i n a

calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto

intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna

cada vez más pequeño.

La derivada de una función f(x) en un punto x = a, es el valor del límite, si

existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

( )

(

)

( ) ( )

Derivadas laterales

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y

por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

Derivada por la izquierda

( ̅ ) ̅

( ) ( )

Derivada por la derecha

( ) ̅

( ) ( )

Derivada de una función.

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número

real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).

( )

( ) ( )

Derivada de una constante.

La derivada de una constante es cero.

( ) ( )

5 | P á g i n a

Derivada de x.

La derivada de x es uno.

( ) ( )

Derivada de una potencia.

La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base

elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

( ) ( )

Si la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base

elevada al exponente menos uno.

f(x) = xk f '(x)= k · xk−1

( ) ( )

Derivada de una raíz.

La derivada de una raíz enésima de una función es igual a la derivada del

radicando partida por la „n‟ veces la raíz enésima de la función radicando elevada

a „n‟ menos uno.

( ) √

( )

√

Derivada de una raíz cuadrada.

La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del

radicando partida por el duplo de la raíz.

( ) √ ( )

√

6 | P á g i n a

Derivada de una suma.

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de

dichas funciones.

Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o

negativos.

( ) ( )

Derivada de un producto.

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada

del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

( ) ( )

Derivada de una constante por una función.

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de

la constante por la derivada de la función.

( ) ( )

Derivada de un cociente.

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador

por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador,

divididas por el cuadrado del denominador.

( )

( )

7 | P á g i n a

Proyecto Áurea.

Objetivo.

Acercar a los estudiantes de preparatoria a las matemáticas, no solo como

herramienta para reforzar el aprendizaje sobre derivadas, sino además, impulsar

aptitudes como la competitividad de un modo analítico. Nuestro reto principal es

cómo le haremos para hacer de las derivadas, un tema atractivo con las

derivadas, y así, los demás muestren interés por el conocimiento de una forma

más divertida y dinámica.

Problema.

Uno de los problemas a los que los alumnos nos enfrentamos al momento de

aprender matemáticas radica en que los profesores nos enseñan álgebra de una

manera demasiado formal. Esto nos hace pensar que las matemáticas son poco

atractivas y por lo tanto, y pensamos que la única herramienta con la que

contamos está en la solución de ejercicios propuestos durante el horario de

clases.

En este proyecto creemos que el problema fundamental en la enseñanza

académica de las matemáticas está en cómo se enseñan y se refuerzan los temas

vistos en matemáticas durante el curso escolar.

Hipótesis.

Los estudiantes de preparatoria, pierden el interés debido a que las clases suelen

ser poco dinámicas, se sabe que seis de cada diez alumnos de bachillerato

muestran rezago en el área matemática. Debemos incorporar alternativas para

impulsar el aprendizaje de los estudiantes y sobre todo, lograr el éxito del

desarrollo en habilidades matemáticas, sin perder el método científico.

Desarrollo.

8 | P á g i n a

El juego recibe el nombre de Áurea, debido a la forma en que las casillas están

acomodadas, pareciera que fuese el número áureo.

Para comenzar, agregaremos casillas coloridas para llamar la atención del

jugador. También utilizaremos fichas atractivas visualmente para aumentar la

participación de los jugadores.

De igual forma, se utilizará el tiempo como una herramienta de estrés positivo con

el propósito que impulse al juego a ser más dinámico.

En el juego se agregarán fichas extras (fichas rojas) que contengan enunciados

relacionados con ayudar a un compañero, para impulsar el trabajo en equipo,

además también contienen castigos y beneficios que funcionan como una

herramienta para el éxito del juego.

Se sustituyó el „dado‟ común por una pirámide triangular, con el propósito de

innovar un poco en la técnica de avance de casillas, y así, haya más posibilidades

de analizar los diferentes ejercicios expuestos en las tarjetas.

Cada casilla contiene un color específico, cada color específico tiene un tiempo

límite para resolver las derivadas dependiendo de su dificultad algebraica.

Las matemáticas están en todos lados, Áurea funciona como un instrumento para

someter a prueba el razonamiento de los jugadores.

9 | P á g i n a

Instructivo.

Cada participante elige una ficha que le represente.

Todos los participantes se colocarán en “INICIO”.

El primer jugador tirará la pirámide, el número que quede en la base será el

número de casillas que avanzará.

El jugador resolverá la derivada que se encuentre en la ficha del color de la

casilla.

Todos los jugadores cumplirán con este ciclo.

Ganará quien llegue exactamente a la meta.

10 | P á g i n a

¿Quién gana?

Al

Ejemplo: La pirámide dice

que avance una casilla.

11 | P á g i n a

Utilizaremos las siguientes fórmulas.

Derivada de una suma: ( ) ( )

Derivada de “x”: ( ) ( )

Derivada de una constante: ( ) ( )

1.- ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2.- ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3.- ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

4.- ( )

( ) (

) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

5.- ( )

( ) ( ) ( )

( )

6.- ( )

( ) ( )

( )

7.- ( )

( ) ( )

( )

8.- ( )

( ) ( )

12 | P á g i n a

( )

9.- ( )

( ) ( )

( )

10.- ( )

( )

(

)

( )

11.- ( )

( ) ( ) ( )

( )

12.- ( )

( ) ( )

( )

13.- ( )

( ) ( ) ( )

( )

14.- ( )

( ) ( ) ( )

( )

15.- ( )

( ) ( )

( )

16.- ( )

( )

(

)

( )

17.- ( )

( ) ( )

( )

18.- ( )

( ) ( ) ( )

( )

13 | P á g i n a

Utilizaremos las siguientes fórmulas.

Derivada de una suma: ( ) ( )

Derivada de “x”: ( ) ( )

Derivada de una constante: ( ) ( )

1.- ( )

( ) (

) ( )

( )

2.- ( )

( ) (

)

( )

3.- ( )

( ) ( ) (

)

( )

4.- ( )

( ) (

) ( )

( )

5.- ( )

( ) (

( )

6.- ( )

( ) ( ) ( ) (

)

( )

14 | P á g i n a

7.- ( )

( ) (

)

( )

8.- ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

9.- ( )

( ) (

) ( )

( )

10.- ( )

( )

( ) ( )

( )

11.- ( )

( ) (

) ( )

( )

12.- ( )

( ) ( ) ( )

( )

15 | P á g i n a

Utilizaremos las siguientes fórmulas.

Derivada de una suma: ( ) ( )

Derivada de “x”: ( ) ( )

Derivada de una constante: ( ) ( )

Derivada de un cociente: ( )

( )

Derivada de una potencia: ( ) ( )

1.- ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

16 | P á g i n a

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

17 | P á g i n a

Función Resultado.

1.- ( ) ( )

2.-f(x)= 2

( )

3.- f (x)= 3x+ ( )

( )

( )

( )

( )

6.-f(x)= ( )

7.- f(x) = 3 ( )

8.- ( ) ( )

9.- ( ) ( )

10.- ( )

( )

11.- ( ) ( )

12.- ( ) ( )

13.- ( ) ( )

14.- ( ) ( )

15.- ( ) ( )

16.- ( )

( )

17.- ( ) ( )

18.- ( ) ( )

18 | P á g i n a

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Función. Resultado.

19 | P á g i n a

Función Resultado

1.- ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

20 | P á g i n a

Función Resultado

( )

( )

( )

( )

( )

( ) √

( )

√

( )

√

( )

√

( ) ( ) ( )

( )

21 | P á g i n a

Resultados.

La siguiente gráfica de barras representa el promedio de puntos que obtuvo el

juego puntuando, al aplicarse en un grupo de 30 estudiantes, teniendo como

máxima calificación 5 puntos.

Ronda 1.

Ronda 2.

Ronda 3.

Ronda 4.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Calidad. Diversión. Creatividad. Dinámico.

ÁUREA. Ronda 1. Ronda 2. Ronda 3. Ronda 4.

22 | P á g i n a

Análisis e interpretación de resultados.

En la primera ronda (representada de color azul) de juego en el que

“Áurea” fue expuesto, recibimos un promedio de;

Calidad; 2.5. Diversión; 2.-5. Creatividad.- 3.-5. Dinámico.- 3

En la segunda ronda (representada de color naranja) en el que el juego

fue expuesto, después de modificar algunos aspectos, el promedio

quedó de la siguiente manera;

Calidad; 3. Diversión.- 4. Creatividad.- 4. Dinámico.- 4.

La tercera ronda (representada de color gris) quedó de la siguiente

manera:

Calidad; 3. Diversión: 5. Creatividad.- 4. Dinámico.- 4.

Por último, la cuarta ronda (representada de color amarillo) de juego

presentó una mejoría notable en el promedio general del juego.

Calidad: 4. Diversión; 5. Creatividad: 5. Dinámico; 5.

23 | P á g i n a

Conclusiones.

Áurea un juego que acerca a los alumnos de nivel bachillerato a las matemáticas

de una manera divertida que impulsa diferentes aptitudes que le ayudaran al

alumno en su futuro como la competitividad.

Este juego fue muy bien aceptado a los alumnos que lo jugaron que sin duda

alguna pasaron un rato agradable poniendo a prueba sus habilidades

matemáticas, también es una excelente inversión ya que por solo $150 pesos

mexicanos ayudara a los jugadores a ver las matemáticas de un modo muy

divertido.

En el mercado hay escasos juegos de mesa que puedan compararse con Áurea.

Podemos relacionarlo por la estructura casilla-casilla con juegos como “Monopoly”,

su costo en el mercado ronda entre los $350 y $1,201.

Obtuvimos una buena respuesta de los alumnos, concluyendo que Aurea es un

juego dinámico, divertido y lo más importante, sirvió para reforzar el conocimiento

adquirido durante las clases. A groso modo, Áurea cumplió con los objetivos e

hipótesis planteadas.

24 | P á g i n a

REFERENCIAS.

Ramírez R. Historia y epistemología de la función derivada. En línea:

http://www.pedagogica.edu.co/revistas/ojs/index.php/TED/article/viewDownloadInt

erstitial/261/ 252

Salazar Claudia. Descripción de niveles de comprensión del concepto de derivada.

En línea:

http://www.pedagogica.edu.co/revistas/ojs/index.php/TED/article/viewArticle/421

Dolores C.[ 2000], El futuro del cálculo infinitesimal.. Capítulo V. Editorial

Iberoamérica. México D.F.

Salvador Linares. La comprensión de la derivada como objeto de investigación en

didáctica matemática. En línea:

http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=33511205&iCveNu

m=9507

Gregorio Topalián Dakessián.[2011], Matemáticas VI Área I.