van Emde Boas Trees〜明日から使えない謎の速い木〜

catupper

van Emde Boas Treesとは

● 読み：ばん　えんで　ぼーす● 以下「謎木」● 集合（set)● 非常に速い● あらゆる操作がO(lg lg u)● 実装が重い

機能要件

● MAXIMUM　　 最大値● MINIMUM　　　最小値● MEMBER　　　 有無● INSERT　　　　 挿入● DELETE　　　　 削除● SUCCESSOR　　それより大きい最小の要素● PREDECESSOR それより小さい最大の要素

平衡二分探索木

● 葉にビットを立てて有無を表現● 親は全子孫のORの結果を保持（Summary）

１

０ 1

0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7

各オーダー

● MAXIMUM　 log u● MINIMUM log u● MEMBER log u● INSERT log u● DELETE log u● SUCCESSOR log u● PREDCESSOR log u● 木の深さに依存

深さを

log log uにしたい

平方兵法

● サイズu の親は　サイズ√uの子を√u個持つ● 最小サイズは２● 深さはlog log u

サイズ256

サイズ４ サイズ４ サイズ４ サイズ４

サイズ２ サイズ２

各ノードのデータ

● サイズuのノード

● 最大値● 最小値● 子へのポインタ● Summary

– 各子に対する　そのノードとその子孫のOR値

サイズ U

Summary 木

Cluster

木　　木　　木　　木　　木

最大値 max 最小値 min

全体図

各オペレーションのオーダー

MIN,MAX,MEMBER

● MIN、MAX– 子孫の最大値と最小値を各親が持ってる

– O（１）

● MEMBER– 該当箇所へ降りて行って確認するだけ

– 処理数は深さ分

– O（log log u）

SUCCESSOR,PREDCESSOR

● SUCCESSOR

– 木を下りながら

– minより小さくなったらminを返す

– maxより大きくなったら次の兄弟のminを返す

– 次の兄弟はsummaryからSUCCESSORで探す

– 処理数は深さ分

– O（log log u）● PREDCESSOR

– 逆も然り

INSERT

● INSERT– 該当場所へ向かって木を降りて行って

– ｍinもmaxも未定義だったら両方に入れてsummaryを更新して終わる

– minより小さかったら値を交換して再帰続行

– ｍaxより大きかったらmaxを更新

– 処理数は深さ分

– O（log log u）

DELETE

● DELETE– 該当箇所に向かって降りていく

– minとmaxが等しかったら削除して終了

– minと等しかったらsummaryのminのminで更新

– maxと等しかったらsummaryのmaxのmaxで更新

– いた木のminとmaxが等しかったらsummary更新

– O(log log u)

超ややこしい

要するに

● maxとminで要素数が０か１か２以上かを判断– Summaryの更新が必要かを判断

● どの要素もいずれかの木のmin– min maxを中心にオペレーションを回せる

● Summaryはminを扱わない– 削除のとき更新が楽になる

● 要素数が２未満ならそこで再帰終了– 必要メモリが減る

空間計算量

● 扱う数字の範囲分（u）必要● よってO（u）● Int型なら32bit● 大きい

使えない？

工夫

● オペレーションは空の木の子に行かない● 空の木はINSERT時以外更新されない● INSERT時に動的につくればええやん● 木の数は要素数(n)を超えない● よって空間計算量O(n)

やったねたえちゃん

二分ヒープと同じ

まとめ

● ヒープ並のメモリ使用量でO(log log u)で同じ機能をサポート

● 実装– ややこしいオペレーション関数

– ややこしい構造

– 動的ハッシュ

– スクリプト言語に向いてない

– デバッグ大変でした

まとめ

使えるまでメモリを削減するには動的ハッシュが必要

実装が重い！

結論

結論

実装できんかった＞＜

謎木速いんだけど

微妙にバグる

結論

ご清聴ありがとうございました