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GeodesiaCartografıa

Sistemas de referencia. Tiempos

Navegacion AereaTema 1: Geodesia. Cartografıa. Sistemas de referencia.

Tiempos.

Rafael Vazquez Valenzuela

Departamento de Ingenierıa AeroespacialEscuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla

[email protected]

5 de marzo de 2009



Proyecciones. Mapas y CartasTrayectorias ortodromicas y loxodromicas

Trayectorias ejemplo

Estudiemos las trayectorias entre Sevilla (φ = 5o59′W,λ = 37o24′N) y las ciudades:

Madrid (φ = 4o1′W, λ = 40o46′N).Nueva York (φ = 73o58′W, λ = 40o47′N).Melbourne (φ = 144o58′E, λ = 37o49′S).

Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Ciudad Distancia (ort., km) Rumbo inicial (grados, ort) Distancia (lox., km) Rumbo (lox., grados)Madrid 410.0943 23.78 410.1023 24.38

NY 5716.03 296.26 5864.08 273.67Melbourne 17427.04 100 17601.17 118.3

Si numericamente se calculan los mismos casos sobre elelipsoide WGS84, se obtienen los siguientes resultados:

Ciudad Distancia (ort., km) Rumbo inicial (grados, ort) Distancia (lox., km) Rumbo (lox., grados)Madrid 410.64 23.86 410.65 24.47

NY 5742.7 296.26 5891.5 273.65Melbourne 17469 99.86 17644 118.16

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Trayectorias ejemplo: Sevilla-Madrid

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450−6

−5.5

−5

−4.5

−4

distancia (km.)

long

itud

(gra

d.)

OrtodromicaLoxodromica

0 50 100 150 200 250 300 350 400 45037

38

39

40

41

distancia (km.)

latit

ud (

grad

.)


0 50 100 150 200 250 300 350 400 45023.5

24

24.5

25

25.5

distancia (km.)

Rum

bo (

grad

.)


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Trayectorias ejemplo: Sevilla-Nueva York

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000−80

−60

−40

−20

0

distancia (km.)

long

itud

(gra

d.)

LoxodromicaOrtodromica

0 1000 2000 3000 4000 5000 600035

40

45

distancia (km.)

latit

ud (

grad

.)


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000240

260

280

300

distancia (km.)

Rum

bo (

grad

.)


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Trayectorias ejemplo: Sevilla-Melbourne

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000−50

0

50

100

150

distancia (km.)

long

itud

(gra

d.)


0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000−40

−20

0

20

40

distancia (km.)

latit

ud (

grad

.)


0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 1800090

100

110

120

130

distancia (km.)

Rum

bo (

grad

.)


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Aproximacion de ortodromicas por loxodromicas

En el ejemplo (Sevilla-NY) se crean dos waypoints extra deforma que la ortodromica se aproxima por tres loxodromicas.

La proyeccion de la figura es tipo Mercator.

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Sistemas de referenciaTiempos

Sistemas de referencia usuales en Navegacion Aerea

Veremos los siguientes sistemas de referencia:

Sistema inercial geocentrico (ECI: Earth Centered Inertial).Sistema de Ejes Tierra (ECEF: Earth Centered, Earth Fixed)Sistema de referencia topocentrico.Sistema de ejes horizonte local (LLS: Local Level System,NED: North East Down).Sistema de referencia de azimut de deriva (Wander azimuthframe).Sistema de ejes cuerpo (BFS: Body Fixed System).

Ademas estudiaremos las relaciones entre los diferentessistemas de referencia y como pasar de uno a otro.

En este proceso se definiran cantidades utiles, como lavelocidad respecto a Tierra y los angulos de Euler que definenla actitud de una aeronave.

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Sistema Inercial Geocentrico (ECI)

Util para el estudio del movimiento decuerpos orbitando la Tierra, porejemplo los satelites GPS, y comosistema de referencia inercial absoluto.

El eje Oz coincide con el eje derotacion de la Tierra.

El plano Oxy contiene al Ecuador yOx apunta a �, el primer punto deAries (una direccion fija en lasestrellas).

No es realmente inercial (seesta despreciando el movimiento de laTierra en torno al Sol, y el movimientopropio del Sol respecto a las estrellas).

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Sistema de Ejes Tierra (ECEF)

Ligado ıntimamente a la Tierra, rota con ella.

Util para referenciar posiciones terrestres.

El plano Oxy contiene al Ecuador y el plano Oxz al Meridianode Greenwich.

La forma de la Tierra se asimila a un elipsoide de revolucion(Elipsoide Internacional WGS84) alrededor del eje Oz (derotacion de la Tierra).

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Sistema Topocentrico

Ligado ıntimamente a la Tierra,con origen en el donde seencuentre el observador (E ).

Se usa para tomar medidasdesde Tierra.

El plano Exy es tangente al Elipsoide Internacional WGS84 enla superficie, la direccion Ex apunta al Este, la direccion Ey alNorte, y la Ez sigue la vertical local “hacia arriba” (cenit). Ladireccion local “hacia abajo” se denomina nadir.

Las observaciones se componen de tres medidas: r o ρ(distancia al objeto); A, azimut; y h, la altura o elevacionsobre el plano horizontal.

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Sistema de ejes horizonte local (LLS,NED)42 APPLIED MATHEMATICS IN INTEGRATED NAVIGATION SYSTEMS

Fig. 3.1 ECEF coordinate frame with z axis along Earth's rotation axis.

Earth-Centered, Earth-Fixed Frame The Earth-centered, Earth-fixed (ECEF) frame is fixed within the Earth and its

rotation, and it is centered at the Earth's center. Axis definitions in current use vary. Shown in Figs. 3.1, 3.2, and 3.3 are illustrations of three possible ECEF frames. In the first frame, shown in Fig. 3.1, the z axis is parallel to and aligned with the direction of the Earth's rotation. In the equatorial plane, the x axis locates the Greenwich meridian and the y axis completes the right-hand system. In Fig. 3.2, the y axis is parallel to the direction of the Earth's rotation. In the equatorial plane, the z axis locates the Greenwich meridian and the x axis completes the right- hand system. In the third frame, Fig. 3.3, the x axis is parallel to the direction of the Earth's rotation. The z axis locates the Greenwich meridian and the y axis completes the right-hand system.

Earth-Centered Inertial Frame In each of these figures, the corresponding Earth-centered inertial (ECI) frame is

established by the direction of the Earth's rotation. This inertial frame is fixed to an inertial reference. The further specification of the inertial reference is not necessary for the following developments; however, if, for example, navigation aids are based on stellar updates, then the inertial reference would have to be specified.

Local Geodetic Frame Also shown in Figs. 3.1,3.2, and 3.3 are local geodetic (geographic) frames that

are usually associated with the ECEF frame indicated.

Llamada en ingles LLS=Local LevelSystem o NED=North East Down.Tambien “ejes geodeticos ogeodesicos locales”.

Es un sistema local centrado en unpunto que puede o no estar en lasuperficie de la Tierra.

Por tanto cambia al moverse elpunto.

Esta definida respecto al elipsoide: la direccion Norte es eφ, ladireccion Este es eλ y la direccion abajo es −eh.

Es el sistema de referencia fundamental usado en navegacion,aunque a veces es sustituido por el de azimut errante (versiguiente transparencia).

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Sistema de referencia de azimut de deriva

Llamada en ingles “Wanderazimuth frame”.

Se usa frecuentemente ennavegacion en vez del sistemade referencia horizonte localdebido a que, en lasproximidades de los polos, dichosistema esta mal definido yocasiona problemas numericos.

Se rota un angulo α respecto a la direccion N/E. Dichoangulo y su variacion se puede definir por el disenador delsistema de navegacion.

Con α = α = 0 recuperamos el sistema de ejes horizonte local.

Tıpicamente se define α = λ sinφ.56 / 67




Sistema de referencia ejes cuerpo (BFS)

Llamada en ingles BFS=Body Fixed System.Se utiliza para definir la actitud (orientacion) de la aeronave,respecto el sistema de ejes de navegacion (NED o wanderazimuth). 57 / 67




Sistema de referencia ejes cuerpo (BFS)

Los ejes estan definidos como en lafigura.

El centro del sistema de referencia,en el centro de masas del avion.

El eje xb contenido en el plano desimetrıa del avion, hacia el morro.El angulo rotado en torno a xb es ϕ(alabeo o roll).

El eje zb contenido en el plano de simetrıa del avion, haciaabajo. El angulo rotado en torno a zb es ψ (guinada o yaw).

El eje yb completa el triedro (direccion aproximada del aladerecha). El angulo rotado en torno a yb es θ (cabeceo opitch).

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Relacion entre sistemas de referencia

Dado un sistema de referencia A y un sistema de referencia B,para pasar de uno a otro habra que tener en cuenta doshechos:

Cuando no coinciden los orıgenes de A y B, habra que realizaruna translacion: rA = rB + rBA.Cuando A y B estan rotados entre sı, habra que realizar unarotacion: rA = CA

B rB , donde CAB sera la matriz del cambio de

base entre A y B (ortogonal).

Ademas, a la hora de estudiar derivadas, hay que tener encuenta que la derivada tomada en dos sistema de referenciadistintos cambia si dichos sistemas rotan uno en relacion alotro con velocidad angular ωB/A. Lo estudiaremos masadelante.

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Algunas definiciones de interes

Velocidad inercial: es la derivada de la posicion, tomada en elsistema de referencia inercial, es decir, v i = r i .

Velocidad respecto a Tierra: es la derivada de la posicion,tomada en el sistema de referencia ejes Tierra, es decir,v e = r e .

Observese que ambas definiciones no coinciden puesto que laTierra rota; ademas v e 6= C e

i v i porque las derivadas no estantomadas en el mismo sistema de referencia. Mas adelanteveremos como estan relacionadas ambas cantidades.

Velocidad en los ejes de navegacion: es la velocidad respecto aTierra v e tomada en el sistema de referencia de navegacion,es decir, vn = Cn

e v e . Observese que vn 6= rn = 0!

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Algunas definiciones de interes

Esta velocidad vn es la velocidad “percibida” en el avion.Cuando n es el sistema de referencia horizonte local, estavelocidad se suele descomponer en:

Modulo: velocidad respecto a Tierra, a veces llamada Vg . Serıala velocidad real del avion respecto al suelo.Angulo formado entre vn y el plano horizonte local: angulo detrayectoria γ (flight path angle).Angulo formado entre la proyeccion de vn en el plano horizontelocal y la direccion Norte: angulo de rumbo χ (heading angle).

Hay que tener en cuenta que el angulo de rumbo χ y el deguinada ψ pueden no coincidir, especialmente en presencia deviento.

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Relacion entre ECEF y ECI.

Para encontrar C ei , hay que tener en cuenta que la Tierra gira

con velocidad angular ωi/e = [0 0 ωE ]T , es decir, ambossistemas de referencia estaran rotados una cantidadθ = θ0 + ωE t. Despreciando θ0:

ECIωE t−→z i

ECEF

Por tanto:

C ei =

cωE t sωE t 0−sωE t cωE t 0

0 0 1

Donde c = cos y s = sen.

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Relacion entre ECI y LLS.

Para encontrar C ge (donde g hace referencia al caracter

geodesico de LLS), hay que tener en cuenta la posicion (λ, φ)y realizar las siguientes operaciones:

Rotar λ grados en torno a ze .Rotar −φ grados en torno al nuevo eje y .El sistema resultante tiene x en la direccion −z y z en ladireccion x . Por tanto girar -90 grados adicionales.

ECEFλ−→ze

S−φ−→yS

S ′−90−→yS′

LLS

Por tanto:

CSe =

24 cλ sλ 0−sλ cλ 0

0 0 1

35 CS′S =

24 cφ 0 sφ0 1 0−sφ 0 cφ

35 Cg

S′ =

24 0 0 10 1 0−1 0 0

35Cg

e = Cg

S′CS′S CS

e =

24 −sφcλ −sφsλ cφ−sλ cλ 0−cφcλ −cφsλ −sφ

35

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Relacion entre LLS y azimut errante (n).

Para encontrar Cng , hay que tener en cuenta que la rotacion de

angulo α en torno al eje z . Por tanto:

LLSα−→z

WA

Por tanto:

Cng =

cα sα 0−sα cα 0

0 0 1

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Relacion entre n y BFS

Para encontrar Cbn hay que tener en cuenta los angulos de

Euler (ψ, θ, ϕ).

MATHEMATICAL PRELIMINARIES

Fig. 2.3 Single rotation in three-axis coordinate frame.

A vector's components described in one frame can be described in another frame of arbitrary orientation with respect to the original frame by a transformation ma- trix composed of three sequential rotations (Euler angles) starting from the original frame's axes. These rotations are illustrated in Fig. 2.4. In this figure, the primes are used to represent the corresponding transformed axis. The final y frame cor- responds to the triple primed x axes. Written in vector form, the transformation is

where the transformation DCM, c:, transforms the components of the r vector from the x frame to the y frame.

Fig. 2.4 Three rotations in three-axis coordinate frame.

Las operaciones son:

Rotar ψ grados en torno a zn.Rotar θ grados en torno al nuevo eje y .Rotar ϕ grados en torno al nuevo eje x .

nψ−→zn

Sθ−→yS

S ′ϕ−→

xS′BFS

Se llega a:

Cbn = Cb

S′CS′S CS

n =

24 cθcψ −cϕsψ + sϕsθcψ sϕsψ + cϕsθcψcθsψ cϕcψ + sϕsθsψ −sϕcψ + cϕsθsψ−sθ sϕcθ cϕcθ

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Tiempos de interes en Navegacion Aerea

Tiempo Universal Coordinado (UTC):

Medido por relojes atomicos a lo largo del mundo.Cada cierto tiempo (a lo largo de anos) se anaden o restansegundos para compensar la pequena irregularidad de larotacion de la Tierra.El huso horario se define como UTC±n. Ademas hay que teneren cuenta el cambio de horario de verano. Por ejemplo, Sevillaes UTC+1, y en verano UTC+2.A efectos practicos UTC coincide con el viejo GMT.

Tiempo GPS (GPST):

Sirve de referencia para las aplicaciones relacionadas con GPS.Medido en los relojes atomicos a bordo de los Navstar.No se anaden ni restan segundos: no coincide con UTC (difiereen segundos).

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Husos horarios

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