МатематикМатематикаа

Натуральные логарифмы

Расширить понятие логарифма, для этого введя понятие натурального логарифма, выяснить взаимное расположение графиков функции натурального логарифма и показательной,

научиться использовать свойства для вычисления натуральных логарифмов

«Логарифмический дартс» «Логарифмический дартс»

125log25

2log4

1

32log2

1 11

2 12

3 13

4 14

5 15

6 16

7 17

8 18

9 19

10

75 5log

2log11 =x

4log2

1

3log5 −=x

1000lg

2log 2 =x1lg −=x

14log =x

625

1log5

2log 2.0 =x

1lg

17log =x

x=16log24

7 7log

3125log5

1

3343

1log =x

2log6 −=x

49log7

4256log =x

7

121

125

1

0,04

4

0,1

3

-4

4

-2

0

-5

7

4

2

4

4

36

1

-5

xy

xy

xy

xy

6,0

2

1

2

log

log

lg

2log

−=

=

=

−=

xey =

Не является ни четной, ни нечетной;Возрастает;Не ограничена сверху, ограничена снизуНе имеет наименьшего, наибольшего значений; непрерывнаВыпукла внизДифференцируема

Не является ни четной, ни нечетной;Возрастает;Не ограничена сверху, ограничена снизуНе имеет наименьшего, наибольшего значений; непрерывнаВыпукла внизДифференцируема

);()( +∞−∞=fЕ

);()( +∞−∞=fD

Функция Производная

xey 2=xey 2=

xey 2= xey 22=

xey x −= 1−= xey

23 xey x −= xey x 23 3 −=x

ey

= 1 xey −=

∫ += Cedxe xx

1

1

+

+

n

xn

2

1

x x

1−

x

1)0(;2 >xx

x2sin

1

nx

-ctg x -ctg x

x2cos

1 tg x tg x

cos x cos x -sin x -sin x

sin x sin x cos xcos x

)(1

bkxFk

y +=y= f(kx+b) y= f(kx+b)

y=f(x)+g(x)y=f(x)+g(x) Y=F(x)+G(x)Y=F(x)+G(x)

y=kf(x)y=kf(x) Y=kF(x)Y=kF(x)

∫a

b

dxxf )( =F(b) – F(a).

∫ =a

b

abxFdxxf |)()(

∫ dxex3 Cex +3

∫ − dxe x 32 Ce x +−32

2

1

∫ 2x

dxC

x+− 1

∫ + dxxex )2sin( Cxex +− 2cos2

1

Логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом

Логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом

0,lnlog >= bbbe

Десятичные логарифмы для наших потребностей являются весьма удобными. Однако при изучении высшей математики более удобными оказываются логарифмы по основанию е = 2,718281828... (см. § 134, ч. 1). Употребление этих логарифмов позволяет значительно упростить большое количество математических формул. Логарифмы по основанию е получаются при решении многих физических задач и естественным образом входят в математическое описание некоторых химических, биологических и других процессов. Этим и объясняется их название «натуральные логарифмы».Натуральный логарифм числа а обозначается ln а. Сейчас имеются достаточно полные таблицы натуральных логарифмов.

Десятичные логарифмы для наших потребностей являются весьма удобными. Однако при изучении высшей математики более удобными оказываются логарифмы по основанию е = 2,718281828... (см. § 134, ч. 1). Употребление этих логарифмов позволяет значительно упростить большое количество математических формул. Логарифмы по основанию е получаются при решении многих физических задач и естественным образом входят в математическое описание некоторых химических, биологических и других процессов. Этим и объясняется их название «натуральные логарифмы».Натуральный логарифм числа а обозначается ln а. Сейчас имеются достаточно полные таблицы натуральных логарифмов.

a

xx

xe

re

e

a

x

r

ln

lnlog

ln

1ln

01ln

ln

=

==

==

Функция вида y=lnx, свойства и графикФункция вида y=lnx, свойства и график

);0()( +∞=fD );()( +∞−∞=fE

Ни четна, ни нечетнаНе ограничена ни сверху, ни снизуНе имеет наибольшего, наименьшего значенийНепрерывнаВыпукла вверхдифференцируема

Ни четна, ни нечетнаНе ограничена ни сверху, ни снизуНе имеет наибольшего, наименьшего значенийНепрерывнаВыпукла вверхдифференцируема

( )

( )ax

x

Cxx

dxx

x

a ln

1log

ln

1ln

'

'

=

+=

=

∫

( ) 1,53ln −=+= xxy

( )

5,15)1(3

3)1(

53

3

53

13)53ln(

'

''

=+−

=−

+=

+⋅=+=

y

xxxy

xy 2log=

2ln

1'

xy =

1633, 1634, 1635, 1636(а,б)Дома: в,г

1633, 1634, 1635, 1636(а,б)Дома: в,г

№1633

( ) ( )xxx

xxxxy

xxxxy

xxy

+=⋅+=

+=

=

ln21

ln2

lnln''

ln

2'

'22

2

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) 22

2

''"

1

ln1

1

ln11

1

1ln1ln

1

ln

+−+=

+

−+⋅

=+

+−+=

+=

xx

xxx

x

xxx

x

xxxxy

x

xy

№1634

x

exey

xeyx

x

x

+=

=

ln

ln

'

xx

y

xxy

2cos23

2sinln3

' +=

+=

№1635

8

11

7

1,ln

'

'

0

=

+=

=+=

y

xy

xxxy

222'

22'

03

43

ln3

,ln

eeey

xxxy

exxxy

=+=+=

==

№1636 ( )

3

11

3

4

41

1

11

1

22

24

1,22ln

'

'

0

==−

=

+=

+=

−=+=

y

xxy

xxy

( )

21

2

25

2

2,25ln

'

0

−=−=−

−=

=−=

xy

xxy

Составить уравнение касательной к графику функции y=lnx в точке x=e

Составить уравнение касательной к графику функции y=lnx в точке x=e

( ) ( ) )( 000' xfxxxfy +−=

( )e

x

e

xex

ey

exf

xxf

exf

=+−=+−=

=

=

==

1111

1)(

1)('

1ln)(

0'

0

№1623,1637,1641 (а,б)в,г - дома

№1623,1637,1641 (а,б)в,г - дома

( )11

6ln5

111ln6ln

5

1

65ln5

1

65

0

1

0

1

−=−−

=+−−=+−∫

−−

xx

dx

№1642, 1643№1642, 1643

∫ =−==2

1

2

12ln1ln2lnln x

x

dx

( )∫

+−

=−+−=+=

+2

1 2

22

1

2ln

1ln2lnln1

ee

eexedxx

e xx

( ) ( )

3ln2

1

3

9ln2

1

3ln9ln2

132ln

2

1

32

6

3

6

3

=

=−=−=−∫ xx

dx

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми y=0, x=1, x=e и гиперболой x

y1=

∫ =−===e

e exx

dxS

1

1 11lnlnln

№1628, 1629, 1642, 1645 (а,б) дома: в,г№1628, 1629, 1642, 1645 (а,б) дома: в,г

xeyxxy ==== ,3,0,0

∫ −===3

0

33

01eedxeS xx

404

4

0

4

0

11)(e

eeedxeS xx −=−−−=−== −−−∫

№1629 (а)№1629 (а) xx eyeyx −=== ,,1

( )e

e

e

ee

eeee

eedxedxeS xxxx

221

1

0

1

0

10

10

1121211

|)(|

−=+−=+−=−+−

=−−=−=

−

−−∫ ∫

№1629(б)

1,1,1 −=== xye

yx

211

1|0

1

01

−=−+−

=−−=−= ∫−

−−−

ee

eSdxeS xкв

x

№1642

xyexxy

1,,1,0 ====

11lnln|ln 1

1

=−=== ∫ exx

dxS e

e

№1642(б)

32

1,1,3,0

+=−===x

yxxy

( ) ( )

3ln3ln22

13ln

2

19ln

2

1

1ln9ln2

1|32ln

2

1

32

2

3

1

31

=⋅==

=−=+=+

= ∫−

−xx

dxS

№1645 (а)

3,2,1

, ==== xxx

yey x

3

2ln2ln3ln

|ln|

2323

32

32

3

2

3

2

+−=+−−

=−=−= ∫ ∫

eeee

xex

dxdxeS xx

№1645(б) 5,1,1 === xyx

y

5ln5515

1

−=−⋅= ∫ xdx

S

Задание на каникулы:Создать справочник по формулам (лучше напечатать, чтобы можно было размножить), презентация, видеоролик и т.п.1.Тригонометрические формулы2.Тригонометрические уравнения (общий вид, частные случаи, методы решения)3.Производная4.Применение производной к исследованию функций5.Функции, свойства, графики, преобразования6.Первообразная и интеграл7.Показательные уравнения и неравенства8.Логарифмические уравнения и неравенства 9.Степени и корни10.Системы уравнений11.Основные типы задач

12.РЕШАТЬ ВАРИАНТЫ ЕГЭ

Задание на каникулы:Создать справочник по формулам (лучше напечатать, чтобы можно было размножить), презентация, видеоролик и т.п.1.Тригонометрические формулы2.Тригонометрические уравнения (общий вид, частные случаи, методы решения)3.Производная4.Применение производной к исследованию функций5.Функции, свойства, графики, преобразования6.Первообразная и интеграл7.Показательные уравнения и неравенства8.Логарифмические уравнения и неравенства 9.Степени и корни10.Системы уравнений11.Основные типы задач

12.РЕШАТЬ ВАРИАНТЫ ЕГЭ